UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULT FACULTAD AD DE INGENIERÍA INGENIE RÍA MECÁNICA MECÁN ICA
PRIMERA PRACTIA CALIFICADA DE CALCULO CALCULO POR POR ELEMENTOS FINITOS CURSO
: CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
DOCENTE
: ING. JORGE VERA
ESTUDIANTE
:
-VILLANUEVA MACHADO CARLOS
Lima – Perú
2013
20100022K
CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS 1. Consid! "# $#!!# d "# %&'!# D(!)in "os ds*"#+#)in(os d s*"#+#)in(os nod#"s "os s,'!+os n "os ")n(os "#s !#ions n "os so*o!(s
9
2
E= 200 × 10 N / m
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7. Es( *!o$")# !,'!+# " 88o d 9' 'n# + s 8#n s'*'s(o "#s ,'nions d ,o!)#: n(ons s *'dn o$(n! "#s o(!#s )#(!is d" ")n(o. S d#n # on(in'#i5n i!(#s ,'nions n ,o!)# #!$i(!#!i# s *id #" "(o! o$(n! "#s )#(!is ; K. Consid! " ")n(o 'nidi)nsion#" )os(!#do n "# %&'!#
L# (!#ns,o!)#i5n 2
ε= ( x − x 1 )−1 x 2− x 1 ε
S 's# *#!# !"#ion#! "#s oo!dn#d#s < ds*"#+#)in(o in(!*o"#do *o! u ( ε )= N q + N q 1
1
2
s# " #)*o d
2
Dond s s'*on 9' "#s ,'nions d ,o!)# N1:N2 son N 1=cos
A6 D Ds#! s#!!o !o"" ""
∈
π ( 1 + ε ) 4
… N 2= cos
4
….
/;9 s di! ds#!!o"" "# )#(!i+ ;
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π ( 1 −ε )
e
k
3no (in 9 #"'#! "#s
SOLUCIONARIO PRO;LEMA 1 N/ DE ORDEN/ 17 Cargas:
P 1 =300 + 5 × 13 KN =365 KN
P 2 =600 + 2 × 13 KN =626 KN
9 2 Modulo de Young es E= 200 × 10 N / m
SOLUCI=N POR ELEMENTOS FINITOS 1.MODELADO DEL CUERPO REAL S onsid!#!#n > ")n(os %ni(os: "'&o o$(n)os " si&'in( )od"#do4
C'#d!o d on(iid#d4
NODOS
GDL
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(1)
(2)
(1)
(2)
(mm)
(mm2)
1 2 3 4
1 2 7
2 7 >
1 2 7
2 7 >
1?0 1?0 200
4
5
4
5
200
250 250 400 400
2.MATRI@ DE RIGIDE@ A on(in'#i5n *#s#)os # #"'"#! "# )#(!i+ d Ri&id+ G"o$#": 9' s( d(!)in#d# *o! "# si&'in( '#i5n4
1 −1 − 1 1 AE 0 0 K = L 0 0 0 0 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 1 − 1 0 AE 0 + 0 − 1 1 L 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
0 0 0 0 0
0 0 + 0 0 0
0 0 AE 0 L 0 0 3
0
0
0
0
0
0
0
1
−1
0
−1
1
0
0
0
0 0 0 AE 0 + 0 L 0 0 0 0 0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
−1
0 0 − 1 1 0
R)*"#+#ndo *#!# "os #"o!s #"'"#dos '(i"i+#ndo "# (#$"# d on(iid#d4
5 −5 0 0 0 3 5 103 5 − − 0 0 3 3 3 N K = E x 0 − 5 11 − 2 0 mm 3 3 0 0 − 2 4 − 2 − 0 0 0 2 2
E = 200 x10
Dond4
3
N mm
7.VECTOR DESPLA@AMIENTO
Q1 Q2 Q =Q3 Q4 Q5
mm
L'&o: *o! ondiions d on(o!no4 B1 / 0 3)*o(!#do6 B?/7.?
⇒
2
0 Q2 Q =Q3 Q4 3.5
mm
>.VECTOR CARGA
An#"i+#ndo "#s ,'!+#s n #d# nodo4
[ ] R 365 × 10 1
3
F =
0
N
626 × 10
3
R
5
?.ECUACIONES DE RIGIDE@ L# '#i5n d !i&id+ s(# d(!)in#d# *o! "# si&'in( '#i5n4
F i
= K iJ Q J ..316
S#$)os 9'4
N
[ ] R 365 × 10 1
3
F =
0
N
626 × 10
3
R
5
Ad)s d4
5 −5 0 0 0 3 5 103 5 − − 0 0 3 3 3 N K = E x 0 − 5 11 − 2 0 mm 3 3 0 0 − 2 4 − 2 − 0 0 0 2 2
R)*"#+#ndo n 3164
[ ] [ R1
3
F =
365 × 10 0
3
3
N =(200 × 10 )
/
5 3
−5 / 3 0
626 × 10
0
R5
0
0 −5 / 3 10 / 3 −5 / 3 −5 / 3 11/ 3 0 −2 0
0
0
0
0
0
−2
0
4
−2
−2
2
][ ] 0
Q2 Q3 Q4
3.5
Rso"indo s( sis()# d ? '#ions ? in5&ni(#s: o$(n)os4 Q =2.177727 mm 2
Q =3.260455 mm 3
Q 4 =4.162727 mm
R =−725909.090909 N 1
R =−265090.909091 N 2
.ESFUER@OS P#!# #"'"#! "os #"o!s d "os s,'!+os *o! ")n(o: #*"i#)os "# si&'in( '#i5n4
σ
e
e E = [ − 1 1] l
Qi Qi +1
o$(n)os "o si&'in(4 σ =
(
σ 2=
(
1
(
σ = 3
(
σ 4=
3
200 × 10 150
3
200 × 10 150
3
200 × 10
200
)
1
1
[−1
1
3
]
[
) [− ] [ 1
200
200 × 10
) [− ] [
1
)[− ] [ 1
1
0 2.177727
2.177727 3.260455
3.260455 4.162727
4.162727 3.5
]
→ σ =2903.636
]
→ σ 2 =1443.637333
]
→ σ = 902.272
]
→ σ 4=−662.727
1
3
N mm
2
N mm
N 2 mm
2
N 2 mm
SOLUCI=N MANUAL
∑ F =
0
⇒ 3
3
R + R =365 × 10 + 626 × 10 N … (α ) 1
5
Aplicando criterio de Rsis(ni# d )#(!i#"s4
(e) Fer!a a"#a$#e (N)
E%#a&' a%mi&'
1
F1 R1
Tra""i$
2
F2 3*5KN + R1
C'm,re%i$
7
F3 3*5KN + R1
Tra""i$
>
F4 (3*5KN - *2*.N) + R1
C'm,re%i$
DEFORMACI=N TOTAL4 Del gráfco se observa que la expansión total es 3.5
⇒ δ 1
+ δ + δ − δ = 3.5mm 2
F 1 L1 E 1 A1
+
3
F 2 L2 E 2 A2
R 1( 150 ) E ( 250 )
4
+
F 3 L3 E 3 A3
−
F 4 L4 E 4 A4
= 3.5
(365 × 10 − R )(150) (365 × 10 − R )( 200) (365 × 10 + 626× 10 − R ) (200) 3
−
3
1
E ( 250 )
+
E ( 400 )
!esolviendo:
R =725909.09 N 1
( α ) !eepla"ando en la ecuación
R2=265090.91 N
#uego:
F L δ = =2.177727 mm E A 1
1
1
1
1
F L δ = =−1.082727 mm E A 2
2
2
2
2
F L δ = =−0.902273 mm E A 3
3
3
3
3
3
1
:
−
3
1
E ( 400 )
=3.5
F L δ = =.662727 mm E A 4
4
4
4
4
CALCULO DE ESFUER@OS4 F N σ = =2903.636 ( TRACCIÓN ) A mm 1
1
2
1
σ = 2
− F N =1443.636 (COMPRESIÓN ) A mm 2
2
2
σ = 3
− F = 902.273 N / mm ( TRACCIÓN ) A 3
2
3
σ = 1
− F =−662.727 N / mm (COMPRESIÓN ) A 4
4
2
SOLUCI=N MATLA; C5di&o ,'n( n MATLA;4 % PROBLEMA 3.6 [Ing. VERA] %Numero de elementos finitos ! % "A#O$ % L & '( mm A & )'( mm) % L) & '( mm A) & )'( mm) % L3 & )(( mm A3 & !(( mm) % L! & )(( mm A! & !(( mm) % E & )((*(+3 N,mm) -l- E&in/ut01 Ingrese modulo de 2oung en N,mm) &1 L&in/ut01Ingrese L 0mm &1 A&in/ut01A 0mm) &1 L)&in/ut01Ingrese L) 0mm &1 A)&in/ut01A) 0mm) &1 L3&in/ut01Ingrese L3 0mm &1 A3&in/ut01A3 0mm) &1 L!&in/ut01Ingrese L! 0mm &1 A!&in/ut01A! 0mm) &1 P)&in/ut014uer5 en nodo ) 0N &1 P!&in/ut014uer5 en nodo ! 0N &1 7&[ 88 ] 9&E*A,L*7 9)&E*A),L)*7 93&E*A3,L3*7 9!&E*A!,L!*7 9&5eros0' 9))&5eros0' 933&5eros0' 9!!&5eros0' %7l-ulo de 9 for i&) for :&) 90i;:& 90i;: end end %7l-ulo de 9) for m&)3 for n&)3 9))0m;n& 9)0m8;n8 end end %7l-ulo de 93 for m&3! for n&3! 9330m;n& 930m8);n8) end end %7l-ulo de 9! for m&!' for n&!' 9!!0m;n& 9!0m83;n83
end end %MA#RI< "E RI=I"E< =LOBAL 09 dis/01MA#RI< RI=I"E< =LOBAL 0N,mm 1 9&9>9))>933>9!! %VE7#OR "E4ORMA7IONE$ ?!&00P!>!(((((*0903;3*90);)890);3*903;)>P)*0903;)*90!;3, 090!;!*0903;3*90);)890);3*903;)890!;3*903;!*90);) ?3&08P)*903;)8?!*903;!*90);),0903;3*90);)8903;)*90);3 ?)&0P)890);3*?3,90);) ?&[( ?) ?3 ?! 3.'] %VE7#OR 4@ER
USO DEL PROGRAMA DE MATLA; *!o$")#7. In&!s )od'"o d o'n& N))2/ 200107 In&!s L1 ))
/ 1?0
In&!s A1 ))2
/ 2?0
In&!s L2 ))
/ 1?0
In&!s A2 ))2
/ 2?0
In&!s L7 ))
/ 200
In&!s A7 ))2 In&!s L> )) In&!s A> ))2
/ >00 / 200 / >00
In&!s F'!+# n nodo 2KN / 700107 In&!s F'!+# n nodo >KN / 0.Q?107 DATOS DE SALIDA4
K/ 1.000?
7.7777 -7.7777
0
0
0
.Q
-7.7777
0
0
0
-7.7777
Q.7777
->.0000
0
0
0
->.0000
.0000
->.0000
0
0
0
->.0000
>.0000
-7.7777
B/ 0 2.1QQQ 7.20? >.12Q 7.?000
F/ 1.000?
-Q.2?1 7.?00 0.0000 .200 -2.?0
ESFUER@OS 3N))26 4
Es,1 /
2.07007
Es,2 /
1.>>7007
Es,7 /
02.2Q2Q
Es,> /
-2.Q2Q7
O$s!#)os 'n *9'o !!o! d$ido # "os ,(os d !dondo
AGREGAR TA;LA COMPARATIVA
PRO;LEMA 24
SOLUCI=N POR ELEMENTOS FINITOS
3A6E" *!o$")# s )od"# 's#ndo dos ")n(os o)o s )'s(!# n "# si&'in( (#$"# d on(iid#d.
TA;LA DE CONECTIVIDAD ELE/ENTO N 1 2
NODO1
NODO 2
7 >
1 2
L#s ondiions d ,!on(!# n "os nodos 7 > son o$i#s4 B7/0 B>/0 A8o!#: o)o "# $#!!# !&id# (in 9' *!)#n! !(# B1: B2 B? s(n !"#ion#d#s o)o s )'s(!# n "# si&'in( %&'!#4
L#s !s(!iions d )'"(i*'n(o 9' s d$n # "# on%&'!#i5n !&id# d "# $#!!# s(n d#d#s *o!4 Q −0.4167 Q = 0 1
5
Q2−0.7500 Q5=0
3;6L#s )#(!is d !i&id+ d" ")n(o s(n d#d#s *o!4 N N E =120000 mm mm
E =206842.718795 1
2
2
2
2
2
A =645.16 mm A =806.45 mm 1
2
! =! =914.4 mm 1
2
[
]
E A 1 −1 k = =10 ! −1 1 1
1
1
1
k 2=
E2 A 2 !2
[
1
−1
]
3
−1 =10 1
3
3
1
¿
[−
4
2
¿
[
145.939
−145.939
145.939
145.939
105.833
−105.833
−105.833
105.833
] ]
3 1
4 2
L# )#(!i+ d !i&id+ &"o$#" s4
3
k =10
12345
[
145.939
0
0
105.833
¿ −145.939
−145.939 0 0 −105.833
0 0
0
145.939
0
0
0
−105.833
0
105.833
0
0
0
0
0
0
]
1 2 3 4 5
L# )#(!i+ s )odi%# o)o si&'. S so& 'n n)!o C/ ?7.77<10 7 < 10> &!#nd n o)*#!#i5n on "os #"o!s d "#s !i&ids. Co)o B 7 /B>/0: s #&!&# C n "#s *osiions 37:76 37:>6 d K. L'&o s onsid!#n "#s !s(!iions d )'"(i*'n(o d#d#s n "# *#!( 3A6 P#!# "# " =0 : *!i)!# )#(!i+ "# !s(!ii5n: Q −0.4167 Q = 0 : no(#)os 9' 1
" 1=1
[
" 2=0.4167
2
C" C " " 1
1
1
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2
2
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C " " = 10 C" 2
7
5
0
. L# #dii5n "# )#(!i+ d !i&id+ s "# si&'in(4 ¿
15
[−
−22.2226
53.33 22.2226
9.2602
]
1 5
" =0 : n(ons no 8# #dii5n d ,'!+#. Si)i"#!)n( "#
Co)o
0
onsid!#i5n d "# s&'nd# !s(!ii5n d )'"(i*'n(o
Q2−0.7500 Q5=0
:
d# "# #dii5n d !i&id+4
[
2
C" C " " 1
1
1
2
2
2
]
C " " = 10 C" 2
7
¿
25
[−
−39.9975
53.33 39.9975
29.9981
]
2 5
Co)o #9' (#)$in " =0 : no 8# in!)n(o d ,'!+#. 0
Ds*'s d #&!&#! (od#s "#s !i&ids *!dn(s: o$(n)os "#s '#ions )odi%#d#s %n#"s4
3
10
[
0
0
533405.833
−145.939
0
533445.939
0
0
0
−105.833 −399975
0
533405.833
0
0
0
392582.87
−222226
[ ][ ] Q Q Q = Q Q 1 2 3 4 5
−145.939 0 −222226 0 −105.833 −399975
533445.939
3.2730 5.8913
−4 8.9541 × 10 −3 1.1689 × 10
7.8567
][ ] [ ] Q Q Q = Q Q 1
0
2
0
3
0 0
4 5
667233.242289
Los s,'!+os s #"'"#n d "# si&'in( )#n!#4 σ = 1
( )
[ −1
( )
[ −1
E !
1
1
]
1
σ 2=
E2 !2
[]
Q =740.1629 N / mm Q 3
2
1
1
]
[ ]
Q4 =772.9859 N / mm2 Q2
SOLUCI=N EN MATLA; % PROBLEMA 3.6 [Ing. VERA] %Numero de elementos finitos ) % "A#O$ % L & !.! mm % A & 6!'.6 mm A) & (6.!' mm) % E&)(6!).CC'M/ E)&)((((MP % /r %B(&( B& B)&(.!6C % /r ) %B(&( B& B)&(.C'(( %7&'3.33*(+C %4&66C)33.)!))N -l- E&in/ut01Ingrese modulo de 2oung del /rimer -uer/o en N,mm) &1 E)&in/ut01Ingrese modulo de 2oung del segundo -uer/o en N,mm) &1 A&in/ut01A 0mm) &1 A)&in/ut01A) 0mm) &1 L&in/ut01Ingrese L 0mm &1 B(&in/ut01Pr multi/unto Dn Ingrese B( &1 B&in/ut01B &1 B)&in/ut01B)0el signo de ser ne-esrio &1 B)(&in/ut01Pr multi/unto )Dn Ingrese B( &1 B)&in/ut01B &1 B))&in/ut01B)0el signo de ser ne-esrio &1 4&in/ut01ingrese l -rg&1 7&in/ut01Ingrese 7&1 "&[ 88 ] 9&E*A,L*" 9)&E)*A),L*" 9A&7*[B*B B*B)B*B) B)*B)] 9)A&7*[B)*B) B)*B))B)*B)) B))*B))] 93A&7*[ (( ] 4M&[((((4] 9&5eros0' 9))&5eros0' 933&5eros0' 9!!&5eros0' 9''&5eros0' E&[E;E)] %/r l mtri5 de rigide5 for i&) for :&) 90)*i8;)*:8& 90i;: end end for i&) for :&) 9))0)*i;)*:& 9)0i;: end end for i&) for :&) 9330!*i83;!*:83& 9A0i;: end
end for i&) for :&) 9!!03*i8;3*:8& 9)A0i;: end end for i&) for :&) 9''0i>);:>)& 93A0i;: end end 9&9>9))>933>9!!>9'' %/r l mtri5 de des/l5mientos ?&=ussordn09;4M %/r los esfuer5os for i&) $&E0i,L*[8 ]*[?0i>)?0i] end
DONDE4 %Metodo de guss :ordn fun-tion F& =ussordn0AA;G %"Atos %AA es l mtri5 re-iGid % A es l mtri5 umentd % G es el He-tor de l mno dere- % n es el orden de l mtri5 % Resultdos % F es el He-tor solu-ion [n n]&si5e0AA F&5eros0n; A&[AA G] n&n> for i&n if A0i;i&&( A&Inter-mGio0A;i end PiH&A0i;i for :&in A0i;:&A0i;:,PiH end for J&n if JK&i PiHote&A0J;i for :&in A0J;:&A0J;:8PiHote*A0i;: end end end end for i&n F0i&A0i;n end
DONDE4 fun-tion A&Inter-mGio0A;i % % "Atos % % A es l mtri5 % % n es el orden de l mtri5 % % Resultdos % A es l nueH mtri5 des/ue del inter-mGio [n n]&si5e0A J&i> ile 0J&n0A0J;i&&( J&J> end if J&n for :&n tem/&A0i;: A0i;:&A0J;: A0J;:&tem/ end end
USO DEL PROGRAMA DEL MATLA; In&!s )od'"o d o'n& d" *!i)! '!*o n N))2 /20>2.Q1Q? In&!s )od'"o d o'n& d" s&'ndo '!*o n N))2 /120000 A1 3))26
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PRO;LEMA 74 A6
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