Calculo Retraccion y Fluencia Segun EHE

55

HOR HO RM IGÓ IG Ó N PR PRE ETENS NSA A DO

TEM A 3

NORMATIVA. EL HORMIGÓN Introducción Comp ortamien ortamiento to mec ánic ánic o d el hormigó hormigó n Com p ortam ortam iento d iferi ferid o d el horm horm ig ón: Retrac Retrac c ión y fluenc fluenc ia Coe fic fic iente d e d ila tac ión térmi térmicc a Ap lic a c ión d e los los p a rá me tros tros d e c á lc ulo ulo d el hormi hormigó gó n

3.1.

INTRODUCCIÓN

3.1.1.

Normativa

Tradicionalmente, en la normativa española se ha dado un trato diferenciado a las estructuras de hormigón armado respecto a las de hormigón pretensado. De este modo, antes de la publicación de la Instrucción de Hormigón Estructural EHE, el hormigón armado se ha regido por la EH 91, mientras que el mundo del pretensado se articulaba en torno a la EP 93. La primera instrucción relativa al hormigón en España fue aprobada el 3 de febrero de 1939. Esta instrucción recogía únicamente el empleo del Tem a 3. Norma tiva . El El Horm Hormigó igó n

56

Alfons Alfo nsoo Co b o Esc a milla milla

Luis Felipe Rod ríg ríg uez ue z Ma rtín rtín

hormigón en masa y armado. No fue hasta 1977 cuando apareció la primera instrucción de hormigón pretensado. A partir de esta fecha las sucesivas instrucciones instrucciones relativas al hormigón armado y al pretensado se han ido revisando y modificando por separado. En el año 1998 la Instrucción EHE (vigente en el momento de la redacción de este texto) ha unificado el tratamiento de ambos temas, de forma que el hormigón armado y el pretensado han pasado a estudiarse de forma conjunta bajo la denominación de hormigón estructural. Han sido varias las razones que han aconsejado este cambio, entre las más significativas cabe señalar: - Ambas instrucciones instrucci ones coincidían en algunos puntos de su contenido. - En numerosas estructuras existen simultáneamente simultáneame nte elementos de hormigón armado y de hormigón pretensado. - Tanto en la Normativa técnica internacional internacional como en los comités de expertos, se tiende a la unificación. La Instrucción EHE se ha redactado con el esquema general de las instrucciones anteriores. anteriores. Se han actualizado Anejos que ya existían y se han incorporados otros nuevos, como el relativo a Hormigones de Alta Resistencia, que actualmente figura con carácter de recomendación, pero con la intención de incorporarlo en futuras versiones al articulado de la Instrucción.

3.1.2.

Notación

Generalmente en este texto se empleará la notación de la Instrucción EHE, que se supone conocida del estudio del hormigón armado. La única variación importante es la introducción del subíndice p que se aplica a lo que es específico del hormigón pretensado. A p A p

I

= Sección total de las armaduras activas. = Sección total de las armaduras activas en zona de compresión. Esc uela d e la Ed Ed ific ific a c ión

57

HORMIGÓN PRETENSADO

E p

= Módulo de deformación longitudinal de la armadura activa.

P Pk

= Fuerza del pretensado, carga de rotura. = Valor característico de la fuerza de pretensado .

Pki

= Valor característico inicial de la fuerza de pretensado.

Pkf

= Valor característico final de la fuerza de pretensado.

Po

= Fuerza de tesado.

f max,k

= Valor de cálculo de la componente de la fuerza de pretensado paralela a la sección en estudio. = Carga unitaria de rotura del acero de las armaduras activas.

f pd

= Resistencia de cálculo de las armaduras activas.

f pk

= Límite elástico característico de las armaduras activas.

f py

= Límite elástico aparente de las armaduras activas.

fyp,d

= Resistencia de cálculo de la armadura A p

γ p

= Coeficiente parcial de seguridad de la acción de pretensado.

ε cp

= Deformación del hormigón bajo la acción del pretensado total. = Deformación de las armaduras activas.

V pd

ε p ε p0

ρ

= Deformación de la armadura activa adherente bajo la acción del pretensado total. = Valor final de la retracción del hormigón a partir de la introducción del pretensado. = Cuantía geométrica ρ = A s / A c . Relajación del acero.

ρf

= Valor final de la relajación del acero.

σ p

= Tensión en las armaduras activas.

σ pi

= Tensión inicial en las armaduras activas.

σ p,PO

= Tensión de la armadura activa debida al valor característico del pretensado en el momento en que se realiza la comprobación del tirante.

ε rf

Tem a 3. Norma tiva . El Hormigó n

58

Alfonso Co b o Esc a milla

Luis Felipe Rod ríguez Ma rtín

σ sp

= Tensión de cálculo de armaduras activas.

∆Ρi

= Pérdidas instantáneas de fuerza.

∆Ρdif = Pérdidas diferidas de fuerza. ∆σ pd

= Incremento de tensión debido a las cargas exteriores.

∆σ pr

= Pérdida por relajación a longitud constante.

∆Ρ1

= Pérdidas de fuerza por rozamiento.

∆Ρ2

= Pérdidas de fuerza por penetración de cuñas.

∆Ρ3

= Pérdidas de fuerza por acortamiento elástico del hormigón.

∆Ρ4f

= Pérdidas finales por retracción del hormigón.

∆Ρ5f

= Pérdidas finales por fluencia del hormigón.

∆Ρ6f

= Pérdidas finales por relajación del acero.

En el Anejo I de la Instrucción EHE se puede consultar la notación correspondiente a los símbolos más frecuentemente utilizados en la Instrucción.

3.2.

COMPORTAMIENTO MECÁNICO DEL HORMIGÓN

3.2.1.

Resistenc ia a c omp resión

La resistencia de materiales clásica estudia sólidos elásticos, aquellos que gozan de las propiedades de continuidad, homogeneidad e isotropía. Estrictamente, ningún material de la naturaleza posee esas propiedades. Los materiales que constituyen nuestras estructuras, se asemejan en grados distintos al comportamiento de los sólidos elásticos. Esc uela d e la Ed ific a c ión

59


Así, por ejemplo, en el caso del acero debemos descender a una escala microscópica para que no se den las tres propiedades anteriores. Sin embargo, para el caso del hormigón, a una escala macroscópica, a simple vista, ya observamos la falta de homogeneidad. La coexistencia de grava, áridos y pasta, cada uno de estos componentes con propiedades mecánicas distintas hacen del hormigón un material complejo. Además, la formación de poros, junto a la microfisuración que aparece en la interfase árido – pasta de cemento, contribuyen en buena medida a incrementar la complejidad anterior. Por esta razón, a pesar de que tanto la pasta de cemento como los áridos poseen un comportamiento muy aproximadamente elástico y lineal, el material hormigón posee un diagrama tensión deformación que solo puede suponerse lineal hasta aproximadamente el 33% de su carga de rotura. En este texto, el comportamiento del material hormigón se supone ya conocido del estudio del hormigón armado y únicamente se hará hincapié en los puntos que se consideran más significativos para el análisis del hormigón pretensado. La característica mecánica más importante del hormigón es su resistencia a compresión simple. La resistencia a compresión, al igual que la resistencia de cualquier tipo de material, varía de forma estadística según una determinada distribución de frecuencia. Al no conocerse esa distribución, lo usual es utilizar algún parámetro de la misma. Los dos parámetros más utilizados por la Instrucción EHE son la resistencia característica (fck ) y la resistencia media (fcm ) . En el punto 3.2.5. se indica la relación entre ambos valores. La resistencia característica de proyecto fck es el valor que se adopta en el proyecto para la resistencia a compresión, como base de los cálculos. Se denomina también resistencia característica especificada o resistencia de proyecto. La resistencia real f ck real de obra es el valor que corresponde al cuantil del 5 por 100 en la distribución de resistencia a compresión del hormigón colocado en obra. El control en sus modalidades trata de verificar que este valor es superior a la resistencia característica de proyecto. ,


60



La resistencia característica estimada fc est es el valor que estima o cuantifica la resistencia característica real de obra a partir de un número finito de resultados de ensayos normalizados de resistencia a compresión realizados con probetas tomadas en obra. Esta magnitud es la que utiliza el control de calidad para estimar si en un porcentaje suficiente de las amasadas fc real > fck . La Instrucción EHE recomienda que se seleccione el valor o valores de la resistencia característica de proyecto de entre los de la siguiente serie: 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 que son valores en N/ mm 2 de la resistencia característica a compresión de proyecto del hormigón a la edad de 28 días. No obstante en edificación es habitual no sobrepasar los 30 N/ mm 2. En 2.4.3. se señala que la resistencia mínima para hormigón armado es, en cualquier caso, de 25 N/ mm2, y para hormigón en masa de 20 N/ mm 2. Además los requisitos de la Instrucción EHE no son directamente aplicables a hormigones de más de 50 N/ mm 2. En todo caso, se deben respetar los requisitos de durabilidad, que pueden ser más exigentes que los mecánicos. La Tabla 3.1. indica la resistencia de proyecto mínima fck que exige la Instrucción EHE en función del tipo de hormigón de que se trate:

Tipo de hormigón

mínima (N/mm2)

fck

En masa Armado o pretensado Hormigón de limpieza* *

20 25 -

El hormigón de limpieza se considera no estructural, lo mismo que el de elementos como bordillos o aceras, y, por tanto, la Instrucción EHE no establece para ellos un valor mínimo de fck .

Tabla 3.1. Resistencia característica mínima del hormigón.

Esc uela d e la Ed ific a c ión

61


Hasta el momento de aparición de la Instrucción EHE, en España el hormigón más utilizado para edificación tenía una resistencia de 175 kp/cm2. La Instrucción EHE exige para un hormigón armado una resistencia mínima de 250 kp/cm 2, no por exigencias resistentes, sino de durabilidad.

3.2.2.

Resistenc ia a tra c c ión

Experimentalmente, se ha comprobado que la resistencia del hormigón a tracción es de 10 a 20 veces menor que la resistencia a compresión. Además la resistencia a tracción tiene una fluctuación mayor que la resistencia a compresión. En función del cálculo que se esté realizando, como resistencia a tracción del hormigón, puede interesar adoptar cualquiera de los tres valores siguientes: - Resistencia media del hormigón a tracción fct, m - Resistencia característica inferior fct,k - Resistencia característica superior fct,k;0,95 Cuando no se disponga de resultados experimentales, para edades teóricas no inferiores a 7 días y en condiciones normales de curado, la Instrucción EHE ofrece las siguientes expresiones para obtener los valores correspondientes de resistencia a tracción, en función de la resistencia característica de proyecto a compresión fck a) Resistencia media a tracción del hormigón: fct m ,

=

0,30 3 f 2ck

b) Resistencia característica inferior a tracción del hormigón: fct,k

=

0,21

3

f 2 ck

c) Resistencia característica superior a tracción del hormigón: fct,k;0,95

=

0,39

3

f 2ck


62



En las tres expresiones anteriores, tanto la resistencia característica a compresión como la resistencia característica a tracción, deben ir expresadas en N/mm 2.

3.2.3.

Resistenc ia s d e c á lc ulo

La resistencia de cálculo del hormigón en compresión fcd o en tracción fct,d se calcula dividiendo el correspondiente valor característico de proyecto por un coeficiente de seguridad parcial γ c′ que se indica en la Tabla 3.2., en función del tipo de Estado Límite y de la Situación considerada. La Instrucción EHE establece dos excepciones respecto a lo anterior: a) Los valores de γ c de la Tabla 3.2. no son de aplicación en la comprobación del Estado Límite Último de Fatiga. b) Cuando se especifica el control a nivel reducido para el hormigón, los valores mínimos de la resistencia característica especificada siguen siendo los establecidos con carácter general, pero se penaliza el valor de la resistencia de cálculo a compresión que no puede ser superior a 10 N / mm 2 .

Valores de γ c

Estado límite Último

Persistente y transitoria

1,50

Accidental

1,30

De servicio

1,00

Tabla 3.2. Coeficientes de minoración de la resistencia del hormigón.


63


3.2.4.

Dia g ra ma s tensión – d eforma c ión d e c á lc ulo

Para dimensionar secciones sometidas a solicitaciones normales, en los Estados Límite Últimos, se adopta uno de los diagramas siguientes: a) Diagrama parábola rectángulo, formado por una parábola de segundo grado y un segmento rectilíneo. El vértice de la parábola se corresponde con la deformación de rotura en compresión simple del hormigón (2,0 ‰) y el extremo del segmento rectilíneo con la deformación de rotura del hormigón en flexión (3,5 ‰) , siendo la ordenada máxima igual al 85 por 100 de la resistencia de cálculo fcd del hormigón a compresión.

Figura 3.3. Diagrama parábola – rectángulo.

b) Diagrama rectangular. Es una aproximación al anterior, en el que el bloque de compresiones es un rectángulo equivalente con una tensión máxima 0,85 fcd y con una profundidad y (figura 3.4 .).


64



Figura 3.4. Diagrama rectangular simplificado.

c) La Instrucción EHE permite el empleo de otros diagrmas de cálculo; como los parabólicos, birrectilíneos, trapezoidales, etc., siempre que los resultados con ellos obtenidos concuerden, de una manera satisfactoria, con los correspondientes a los de la parábola rectángulo o queden del lado de la seguridad.

3.2.5.

Mód ulo d e d eforma c ión longitudinal

La Instrucción EHE propone los dos siguientes: a) Módulo de deformación longitudinal inicial E oj : corresponde a la pendiente de la tangente en el origen a la curva tensión – deformación real a la edad de j días (Figura 3.5.). Puede tomarse igual a: E oj

=

10000 3 fcm ,j


65


Siendo fcm ,j la resistencia media del hormigón a compresión a la edad de j días. Si las condiciones de fabricación son buenas, la resistencia media a compresión fcm a 28 días puede estimarse con la fórmula: fcm

=

+

fck,28

2 8 N / mm

b) Módulo instantáneo de deformación longitudinal secante E j: es la pendiente de la secante al diagrama σ c − ε c real para σ c ≤ 0,45 fcj en servicio, con fcj la resistencia característica a compresión a la edad de j días (figura 3.5.): Ej

=

8500

⋅

3

fcm ,j

En las expresiones anteriores todos los valores deben ir expresados en N/mm2.

Figura 3.5. Diagrama tensión – deformación real del hormigón

Correc c ión en func ión de la na turaleza d el árido

El módulo de deformación longitudinal del hormigón depende de diversas variables, entre las que se encuentra la naturaleza mineralógica del árido. Las expresiones propuestas se pueden corregir, multiplicando el resultado obtenido por el valor del coeficiente a de la Tabla 3.6.


66



Valor de α

Árido Cuarcita

1

Arenisca

0,7

Caliza Ofita, basalto y rocas volcánicas

Normal

0,9

Densa

1,2

Poroso

0,9

Normal

1,2

Granito y otras rocas plutónicas

1,1

Diabasas

1,3

Tabla 3.6. Corrección en función de la naturaleza del árido.

Correc c ión en función de la ed ad de l hormigón

Las propiedades mecánicas del hormigón varían con el paso del tiempo, fundamentalmente en el primer año de edad. La resistencia a compresión aumenta y el módulo de deformación también, pero el crecimiento del módulo de deformación es mayor que el de la resistencia a compresión por lo que la Instrucción EHE propone un procedimiento de evaluación más preciso, en función de la edad, multiplicando el módulo obtenido a la edad de 28 días por el valor del coeficiente β deducido de la Tabla 3.7. Edad del hormigón

3

7

28

90

365

Hormigón de endurecimiento normal

0,63

0,80

1,00

1,09

1,16

Hormigón de endurecimiento rápido

0,74

0,87

1,00

1,07

1,09

Tabla 3.7. Corrección en función de la edad del hormigón.


67


3.2.6.

Coefic iente d e Poisson

La Instrucción EHE fija como coeficiente de Poisson para el hormigón el valor de 0,20, aclarando que se trata de un valor que únicamente puede usarse bajo deformaciones elásticas.

3.3.

COMPORTAMIENTO DIFERIDO DEL HORMIGÓN: RETRACCIÓN Y FLUENCIA

3.3.1.

Co mp orta miento d iferid o d el hormig ón

La naturaleza del hormigón implica la aparición de deformaciones en el mismo con el paso del tiempo. Los dos fenómenos más importantes deformaciones son la retracción y la fluencia.

que

provocan

estas

La Instrucción EHE ofrece métodos para evaluar las deformaciones producidas por la retracción y la fluencia, bien a través de expresiones analíticas o de tablas. Los métodos de la Instrucción no son aplicables cuando el hormigón está tratado térmicamente o sometido a temperaturas extremas.

3.3.2.

Retracción

Se define como retracción a la deformación que experimenta el hormigón a lo largo del tiempo cuando sobre él no se aplica ninguna tensión. Para poder colocar un hormigón en obra es necesario amasarlo con una cantidad de agua que supera a la que se necesita para que se produzca químicamente su fraguado. Ese exceso de agua se evapora a la Tem a 3. Norma tiva . El Hormigó n

68



atmósfera por un proceso de difusión, mayor cuanto menor sea la humedad relativa del ambiente, como consecuencia se produce una disminución de volumen en el hormigón. A este proceso se le conoce como retracción. Si el hormigón se encuentra sumergido, se produce un incremento de volumen, lo que se conoce como entumecimiento. Se trata de un fenómeno muy complejo que depende de numerosos factores. La Instrucción EHE ofrece una formulación simplificada en la cual se tienen en cuenta las siguientes variables: - El grado de humedad ambiente. - El espesor o menor dimensión de la pieza. - La composición del hormigón. - El tiempo transcurrido desde la ejecución, que marca la duración del fenómeno. La Instrucción EHE ofrece la siguiente formulación para obtener la deformación que experimenta el hormigón debido a la retracción o al entumecimiento del hormigón: ε cs (t, t s ) = ε cs0βs (t −

ts )

Donde: t ts

= =

ε cs0 =

Edad del hormigón en el instante de evaluación, en días. Edad del hormigón al comienzo de la retracción, en días. Coeficiente básico de retracción.

ε cs0 = ε sβ HR ε s = (570 −

5 fck ) 10 −6 ,

con

fck

en N / mm 2


69


Para estructuras al aire (HR p β HR

100 %)

3 ⎛ HR ⎞ ⎞ ⎛ = −1,55 ⎜⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ 100 ⎠ ⎠ ⎝

Para estructuras sumergidas: β HR = 0,25 HR

βs (t −

ts )

βs (t − ts ) =

− ts 0,035e2 + (t − ts ) t

Espesor medio en milímetros

e e

Humedad relativa en tanto por ciento Coeficiente que define la evolución temporal de la retracción

=

2 c A u

Ac

Área de la sección transversal.

u

Perímetro en contacto con la atmósfera.

Para distintos valores de las variables involucradas, el valor de la deformación de retracción, a distintas edades, tomando como origen el final del curado, de acuerdo con el modelo propuesto y para hormigones de peso normal, puede obtenerse de la tabla 3.8 . Este modelo permite la utilización de coeficientes correctores para considerar la influencia del tipo de cemento y temperatura de curado. Para ello debe consultarse la bibliografía especializada. El Eurocódigo 2 (EC2) ofrece un modelo muy similar al de la Instrucción EHE, pero en el que se puede tener en cuenta el tipo de cemento.


70



Humedad relativa (%) t

−

50

ts

60

70

80

Espesor medio (mm)

días 50

150

600

14

-193

-69

30

-262

-99

90

50

150

600

50

150

600

150

600

-17 -173

-61

-15

-145

-51

-13 -107

-38

-10

-25 -235

-89

-23

-197

-75

-19 -146

-55

-14

-369 -166

-44 -331 -149

-39

-277 -125

-33 -206

-93

-24

365

-466 -292

-87 -417 -262

-78

-350 -219

-65 -260 -163

-49

1825

-507 -434 -185 -454 -388 -165 -381 -326 -139 -283 -242 -103

10000

-517 -499 -345 -463 -448 -309 -388 -375 -259 -288 -279 -192 Tabla 3.8. Valores de la retracción del hormigón 10

3.3.3.

50

−6

Fluencia

Se define como fluencia la deformación que experimenta una muestra de hormigón a lo largo del tiempo como consecuencia de una tensión constante. Supongamos que en una probeta de hormigón se aplica una historia de cargas semejante a la de la figura 3.9. Las deformaciones producidas se muestran en la figura 3.10. En un instante t se carga originando una tensión de valor σ 0 . Como consecuencia se produce una deformación instantánea ε 0 . Si se mantiene la tensión aplicada hasta el instante de tiempo t 1 , la deformación sigue creciendo hasta el valor ε 0 + ε d . Esta deformación es la fluencia. Si ahora se descarga la probeta, se comprueba que la deformación instantánea se recupera de forma inmediata, y con el transcurso del tiempo se recupera sólo parte de la deformación de fluencia, quedando una deformación remanente. De modo que la deformación de fluencia se podría dividir en una deformación elástica (la que se recupera - ε de -) y una deformación plástica (la remanente - ε dp -).


71


Figura 3.9. Historia de cargas

Figura 3.10. Historia de deformaciones

Para que se produzca la fluencia es indispensable que en el hormigón exista agua no combinada. En muestras previamente desecadas no se produce la fluencia bajo carga. La deformación por fluencia es aproximadamente proporcional a la deformación instantánea cuando la tensión aplicada es inferior al 40 % de la resistencia característica del hormigón. Para mayores valores de tensión, se pierde la linealidad, aumentando la deformación con mayor rapidez que la tensión. Este efecto, de escasas connotaciones en la práctica, no se tiene en cuenta en la normativa. Tem a 3. Norma tiva . El Hormigó n

72



La Instrucción EHE ofrece la siguiente formulación, obtenida experimentalmente, para obtener la deformación dependiente de la tensión, en el instante t , para una tensión constante σ (t 0 ) , menor que 0,45 fcm , aplicada en t 0 : ⎡ 1 ϕ (t, t 0 ) ⎤ ε cσ (t, t 0 ) = σ (t 0 ) ⎢ + ⎥ E E ⎢⎣ 0,t0 ⎥⎦ 0,28

donde

t0

y

t

se expresan en días

El primer sumando del paréntesis representa la deformación instantánea para una tensión unidad, y el segundo la de fluencia, siendo: E0,28

Módulo de deformación longitudinal inicial del hormigón a los 28 días de edad.

E0,t0

Módulo de deformación longitudinal inicial del hormigón en el instante t 0 de aplicación de la carga.

ϕ (t, t 0 )

Coeficiente de fluencia.

El coeficiente de fluencia puede obtenerse mediante la siguiente formulación: ϕ (t, t 0 ) = ϕ0β c (t − ϕ0 =

t0 )

Coeficiente básico de fluencia, dado por la expresión:

ϕ0 = ϕ HR β (fcm ) β (t 0 ) ϕ HR =

1

β (fcm ) =

+

100

−

HR

9,9 e1 / 3 16,8 fck

+

8

fck

en N / mm 2


73


β (t 0 ) = β c (t −

1 0,1

+

t 00,2

Función que describe el desarrollo de la fluencia con el tiempo

t0 )

⎡ (t − t o ) ⎤ β c (t − t 0 ) = ⎢ ⎥ ( ) β + − t t 0 ⎦ ⎣ H βH =

[

1,5 e 1

0,3

+ (0,012 HR )16 ] +

En las expresiones anteriores mm.

e,

250 ⊁ 1500

es el espesor medio expresado en

La formulación anterior tiene una base experimental y su calibración se ha realizado a partir de ensayos de laboratorio sobre probetas de hormigón sometidas a compresión. Con esta formulación se pueden utilizar coeficientes correctores para considerar la influencia de los siguientes factores: - Tipo de cemento y temperatura de curado, que pueden tenerse en cuenta modificando la edad de puesta en carga del hormigón t 0 . - Tensiones situadas en el rango 0,45 fcm ,t0 < σ c < 0,6 fcm ,t0 . La no linealidad de la fluencia en este caso se evalúa multiplicando el coeficiente básico de fluencia ϕ0 por una expresión que depende de la relación tensión aplicada / resistencia y para ello debe consultarse la bibliografía especializada. El EC2 propone la misma formulación para calcular la fluencia, con dos factores adicionales de corrección: uno debido al tipo de cemento y otro por el efecto del curado a una temperatura distinta a 20ºC. Para distintos valores de las variables involucradas, el valor del coeficiente de fluencia a 10000 días, de acuerdo con el modelo propuesto, puede obtenerse de la tabla 3.11.


74



Humedad relativa (%)

Edad de puesta en carga

50

60

70

80

Espesor medio (mm)

t0

días

50

150

600

50

150

600

50

150

600

50

150

600

1

5,4

4,4

3,6

4,8

4,0

3,3

4,1

3,6

3,0

3,5

3,1

2,7

7

3,8

3,1

2,5

3,3

2,8

2,3

2,9

2,5

2,1

2,5

2,2

1,9

14

3,3

2,7

2,2

2,9

2,4

2,0

2,5

2,2

1,8

2,2

1,9

1,7

28

2,9

2,4

1,9

2,6

2,1

1,8

2,2

1,9

1,6

1,9

1,7

1,5

60

2,5

2,1

1,6

2,2

1,9

1,5

1,9

1,7

1,4

1,6

1,4

1,3

90

2,3

1,9

1,5

2,0

1,7

1,4

1,8

1,5

1,3

1,5

1,3

1,2

365

1,8

1,4

1,2

1,6

1,3

1,1

1,4

1,2

1,0

1,2

1,0

0,9

1800

1,3

1,1

0,8

1,1

1,0

0,8

1,0

0,9

0,7

0,8

0,7

0,7

Tabla 3.11. Valores de coeficiente de fluencia

Ed a d c orreg id a d el hormig ón: ma d urez

3.3.4.

El comportamiento diferido del hormigón depende también de la temperatura a la que está sometido en servicio. El concepto de madurez del hormigón tiene en cuenta este fenómeno, corrigiendo la edad del hormigón en función de la temperatura. El Código Modelo CEB – FIP 1990 ofrece la siguiente expresión para su evaluación analítica: n

tT

=

∑= ∆ti

i 1

⎛ ⋅ e ⎜⎜ 13,65 ⎝

⎞ ⎟⎟ + T (∆ti) ⎠

4000 273

tT

= Edad del hormigón con el ajuste por temperatura.

∆ti

= Tiempo (en días) en los que se produce la temperatura ∆ti


75


T

(∆ti) = Temperatura en grados centígrados durante el período de tiempo ∆ti .

El valor t t así obtenido se puede introducir en las expresiones reológicas del hormigón en lugar del tiempo natural.

3.3.5.

Consideraciones respecto a la retra c c ión y a la fluencia

En este punto se va a señalar la diferencia de comportamiento frente a la retracción y a la fluencia entre el hormigón armado y el hormigón pretensado. En el hormigón armado, los acortamientos por retracción y fluencia se ven coartados debido a la armadura pasiva. Cuando el hormigón quiere acortar, realiza un trabajo contra el acero pasivo, que por adherencia se lo impide. El hormigón queda sometido a tracción y el acero a compresión. Los acortamientos por retracción y fluencia se ven disminuidos por la armadura pasiva en función de la cuantía de la misma y de la relación entre el módulo de elasticidad del acero y el módulo de deformación del hormigón. En el hormigón pretensado la situación es la inversa. Es el acero el que, una vez liberado de su coacción, trata de acortarse y realiza trabajo contra el hormigón. El acero queda traccionado y el hormigón comprimido, de modo que el acero no se opone a los acortamientos de retracción y fluencia. En el hormigón pretensado, los acortamientos de retracción y fluencia deben ser considerados con sus valores totales, sólo pueden ser reducidos cuando en la zona considerada exista una cuantía importante de armadura pasiva.


76


3.4.


COEFICIENTE DE DILATACIÓN TÉRMICA

El coeficiente de dilatación térmica del hormigón se tomará igual a 10 −5 . Los ensayos han demostrado que este coeficiente puede variar en una proporción relativamente elevada (del orden de ± 30 por 100). Dicho coeficiente depende de la naturaleza del cemento, de la de los áridos, de la dosificación, de la higrometría y de las dimensiones de las secciones. Por lo que respecta a los áridos, los valores más bajos se obtienen con áridos calizos y los más elevados con áridos silíceos.

3.5.

APLICACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE CÁLCULO DEL HORMIGÓN

En la Tabla 3.12. se resumen los ámbitos de aplicación de los principales parámetros del hormigón.


77


Parámetros

Módulo de deformación longitudinal inicial

Módulo de deformación longitudinal secante

Resistencia característica inferior a tracción 0,05

Resistencia media a tracción

Símbolo

E0j, E c

Ej

fct,k

fct,m

Resistencia característica f ct;0,95 superior a tracción 0,95

Resistencia a flexotracción

Aplicaciones Definición a partir de la resistencia media a compresión. Cálculo de fluencia. Definición del diagrama de tensión - deformación en hormigones de alta resistencia. Modelos de comportamiento de los materiales. Análisis no lineal. Cálculo de flechas instantáneas. Definición a partir de la resistencia media a compresión. Estimación de pérdidas por acortamiento elástico del hormigón en piezas pretensadas. Estimación de pérdidas diferidas en piezas pretensadas. Método general de comprobación de soportes aislados. Cálculo de la rigidez de elementos de atado torsional en el método de los pórticos virtuales. Cálculo de deformaciones en elementos solicitados a torsión. Cálculo de excentricidad ficticia en elementos de hormigón en masa. Definición Resistencia a esfuerzo rasante en juntas entre hormigones. Cálculo a cortante de secciones de hormigón en masa Cálculo a cortante y punzonamiento de zapatas de hormigón en masa. Definición Cálculo de ángulos de referencia de inclinación de las fisuras Estado límite de fisuración Cuantía mínima a tracción Análisis en cálculo no lineal Deformaciones impuestas Definición a partir de la resistencia a tracción Definición a partir de la resistencia a compresión Cálculo de flechas

EHE Art. 39.6 Art. 39.8 Anejo 11. Cap. 5 Art. 21.3.3 Art. 50.2.2.2. Art. 39.6 Art. 20.2.2.1.3. Art. 20.2.3. Art. 20.2.2.2. Art. 43.5.1

Art. 22.4.4.2. Art. 50.3. Art. 52.6.4. Art. 39.1. Art. 47.2. Art. 52.5. Art. 59.7. Art. 39.1. Art.44.2.3.2. Art. 49.2. _ Art.30.3. Art.50.2.2. Art50.2.2.

Tabla 3.12. Aplicación de los principales parámetros del hormigón


78



EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN

3.1. Obtener el módulo de deformación longitudinal inicial a 28 días de un hormigón HP – 40 fabricado con un árido cuarcítico. ¿Cuál sería el valor a 7 días en el caso de que el árido fuese caliza normal?. 3.2. Obtener para un hormigón HP - 40 los siguientes valores: - Resistencia media a tracción. - Resistencia característica inferior a tracción. - Resistencia característica superior a tracción. 3.3. Obtener la deformación por retracción a 360 días de una pieza de hormigón de resistencia característica 35 N/mm 2 y cuya sección, acotada en mm, se representa en la figura siguiente

Figura 3.13.

La pieza se encuentra en una atmósfera con una humedad relativa del 60 %. 3.4. Obtener la deformación dependiente de la tensión a 360 días cuando sobre la pieza del ejercicio anterior se aplica a los 7 días una fuerza de pretensado que produce en la sección una tensión constante de 10 N/mm 2. Esc uela d e la Ed ific a c ión

79


SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN

3.1. Resistencia media del hormigón a compresión: =

fcm ,28

=

E0,28

fck

+

8

=

+

40

=

10000 3 fcm

8

2 48 N / mm

=

10000 3 48

=

2 36342 N / mm

Si el árido es caliza normal y se quiere evaluar a 7 días, se puede ajustar el valor anterior con los coeficientes correctores de las tablas 3.6. y 3.7. E0,7

=

0,8

⋅

0,9

⋅

36342

2 26166 N / mm

=

3.2. Resistencia media a tracción: fct m ⋅

=

0,30 3 fck 2

=

0,30

3

402

=

2 3,51 N / mm

Resistencia característica inferior a tracción: fct,k

=

0,21 3 fck 2

=

3

0,21 402

=

2 2,46 N / mm

Resistencia característica superior a tracción: fct,k;95

=

0,39

3

fck 2

=

0,39

3

402

=

2 4,56 N / mm

3.4. La deformación por retracción se obtiene a partir de la siguiente expresión: ε cs (t, t s ) = ε cs0 βs (t −

ts )

ε cs0 es el coeficiente básico de retracción y se evalúa como ε cs0 = ε s ⋅ β HR


80


ε s = (570 −

5fck )


10−6

⋅

= (570 −

5

⋅

35)

⋅

10−6

=

3,95

⋅

10 −4

3 3 ⎛ ⎛ HR ⎞ ⎞ 60 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ = −1,55 ⎜⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟⎟ = −1,55 ⎜⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟⎟ = −1,21 ⎝ 100 ⎠ ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

β HR

ε cs0 =

3,95

10 −4

⋅

⋅

= −4,78 ⋅

1,21

10−4

βs (t − t s ) define la evolución temporal de la retracción y se obtiene a partir de: βs (t −

e

A c

ts )

− ts 0,035 e 2 + (t − t

=

ts )

2 A c

=

u

=

12

⋅

6

+

4

u

=

12

+

14

=

2 85,71 cm

e

=

2

⋅

202

85,71

⋅

14

+

10

⋅

4

4

+

+

4

⋅

10

+

4

+

4

+

2 ⎛ ⎜6

=

4,713 cm = 47,13 mm

⎝

+

42

+

⋅

2 22

+ +

5

⋅

2

52

La retracción es efectiva desde el primer día: ts

=

0

β S (360) =

360 0,035

⋅

−

471,3 2

0

+ (360 − 0)

=

0,21

Finalmente, la deformación por retracción vale: ε cs = −4,78 ⋅

10 −4

⋅

0,21

= −1,01 ⋅


10 −4

= +

2 202 cm

22 ⎞⎟

⎠

81


3.5. Las deformaciones dependientes de la tensión, en el instante t , para una tensión constante σ (to) aplicable en el instante t o , se pueden evaluar mediante la siguiente expresión, basada en el principio de linealidad: ε cσ

⎡ 1 ϕ (t, t o ) ⎤ (t, t o ) = σ (t o ) ⎢ + ⎥ E0,28 ⎥ ⎢⎣ E0,to ⎦

Donde el primer término representa las deformaciones instantáneas elásticas y el segundo las diferidas tensionales, o de fluencia. Deformaciones instantáneas elásticas: σ (t 0 ) = E0,to

=

2 10 N / mm

10000 3 fcm ,to

La resistencia del hormigón a 3 días puede obtenerse a partir de los coeficientes de la tabla 30.4.b. de EHE. Suponiendo un hormigón de endurecimiento normal: σ c,3 = fcm ,3 E0,3

0,65

= =

⋅

22,75

+

2 22,75 N / mm

=

35

8

2 30,75 N / mm

=

10000 3 30,75

=

2 31329 N / mm

Deformaciones de fluencia: ϕ (t, t 0 ) = ϕ0 β c (t −

t0 )

ϕ0 = ϕ HR β (fcm ) β (t 0 ) (coeficiente básico de fluencia) ϕ HR =

1

+

100 9,9

⋅

−

HR

e1 / 3

=

1

+

100 9,9

⋅

−

60

47,131 / 3


=

2,12

82



16,8

β (fcm ) = β (t 0 ) =

+

fck

8

1 0,1

ϕ0 =

+

⋅

35

2,56

+

=

8

1

=

t 00,2

2,12

16,8

=

+

7

0,63

=

0,1

⋅

0,2

=

2,56

0,63

3,42

β c (t − t 0 ) Función que describe el desarrollo de la fluencia con el tiempo. ⎡ t − t0 ⎤ β c (t − t 0 ) = ⎢ ⎥ ( ) β + − t t 0 ⎦ ⎣ H βH = =

1,5

⋅

1,5

[

47,13 1

⋅

[

e 1

+ (0,012 HR )18 ] +

+ (0,012 ⋅

60)18

]+

=

250

0,3

250

320,89 ≯ 1500

⎡ ⎤ 360 − 7 β c (360 − 7) = ⎢ = ⎥ ⎣ 320,89 + (360 − 7) ⎦ ϕ (t, t 0 ) = E0,28

=

⋅

3,42

10000 3 35

+

8

0,52

=

=

=

0,52

1,78

2 35034 N / mm

De modo que la deformación dependiente de tensión toma el valor: ε cσ (360,7) =

10

⎡ 1 ⎢⎣ 31329 + =

⎤ = 35034⎥⎦ 1,78

8,27

⋅

3,19

⋅

10 − 4

+

5,08

⋅

10 − 4

10 −4

Pueden comprobarse los valores relativos del primer sumando (que se corresponde a una deformación elástica inicial) y el segundo sumando (que es la deformación diferida que se produce debido a la fluencia). Esc uela d e la Ed ific a c ión

Calculo Retraccion y Fluencia Segun EHE

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