Calculo Vectorial

CALCULO VECTORIAL JERROLD E. MARSDEN CORNELL UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF CALIFORNIA, BERKELEY

ANTHONY J. TROMBA UNIVERSITY OF CALIFORNIA, SANTA CRUZ

Versión en español de

Manuel López Mateos

Universidad Nacional Autónoma de

México

Con la colaboración de Sergio Adarve D. U n i v e r s i d a d d e los Andes Bogotá, Colombia A

vv

ADDISON-WESLEYIBEROAMEKICAP

L

Argentina 0 Brasil o Chile o Colombia o Ecuador o Ejpaña Estados Unidos 0 México o Perú 0 Puerto Rico o Venezuela

Versión en espaíiol de l a obra titulada Vector calculus, Third edition, de Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba, publicada originalmente en inglés por W. H. Freeman and Company, Nueva York @ 1976, 1981 y 1988 por W. H. Freeman and Company Esta edición en español es la única autorizada.

@ 1991 por A D D I S O N - W E S L E Y I B E R O A M E R I C A N A , S . A . Wilmington, Delaware, E.U.A. Impreso en los Estados Unidos de América. Printed in U.S.A.

ISBN 0-201-62935-6 6 7 X 9 10 11 12 13 14-CRS-00 99 9X 97 96

L a política es para el momento. Una ecuación es para la eternidad.

A. EINSTEIN

Algunos trucos de. cálculo son bastante fáciles, otros son muy difíciles. Los tontos que escriben los libros de matemáticas avanzadas pocas veces se toman la molestia de mostrar cuán fáciles son los cálculos fáciles.

SILVANUS P. THOMPSON Calculus Made Easy, Macmillan (1910)

ÍNDICE GENERAL

PREFACIO

ix

~~

1

LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLIDIANO 1 1.1

1.3 El productocruz

30

21

1.4 Coordenadas esféricas

y cilíndricas 47

1.5 Espacioeuclidianon-dimensional Ejercicios de repaso del capítulo 1

2

1

Vectoresenelespaciotridimensional

1.2 El producto interno

57 68

DIFERENCIACI~N 75 2.1 Geometría de las funciones con valores reales 2.2Limites

y continuidad

2.3 Diferenciación

118

95

2.4 Propiedades de la derivada 2.5Gradientes

13 1

y derivadasdireccionales

2.6 Derivadasparcialesiteradas

157

145

*2.7 Algunos teoremas técnicos de diferenciación Ejercicios de repaso del capltulo 2

76

180

168

iNDlCE GENERAL

vi

FUNCIONES CON VALORES VECTORIALES

3

3.1 Trayectorias y velocidad 3.2 Longituddearco 201

189

3.3 Campos vectoriales 2 11 3.4 Divergencia y rotacional de un campo vectorial 3.5 Cálculo diferencial vectorial 23 1

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MÁXIMOS Y MÍNIMOS 241

4

4.1 Teorema de Taylor 4.2 4.3 *4.4 4.5

242

Extremos de funciones con valores reales

~~

248

Extremos restringidosy multiplicadores de Lagrange Teorema de la función implícita

280

~

~

298

~~

303

INTEGRALES DOBLES

5.1 Introducción 303 5.2 Integral doble sobre un rectángulo 314 5.3 Integral doble sobre regiones más generales 5.4 Cambio en el orden de integración 336

*5.5 Algunos teoremas técnicos de integración Ejercicios de repaso del capitulo 5

329

342

352

INTEGRALTRIPLE,FóRMULA DE CAMBIODE VARIABLES Y APLICACIONES 6.1 6.2 6.3 6.4 *6.5

Integral triple

265

291

Algunasaplicaciones

Ejercicios de repaso del capítulo 4

6

220

238

Ejercicios de repaso del capltulo 3

5

189

355

Geometría de las funciones de R2 a R2 Teorema delcgmbio de variables

371

364

Aplicaciones de las integrales dobles y triples Integrales impropias

401


408

389

355

iNDlCE GENERAL

7

Vii

INTEGRALESSOBRETRAYECTORIASYSUPERFICIES 7.1

La integral de trayectoria

7.2 Integrales delínea

419

414

7.3 Superficies parametrizadas

449

7.4 Área de una superficie

413

440 463 472

7.5 Integrales de funciones escalares sobre superficies 7.6 Integrales de superficie de funciones vectoriales Ejercicios de repaso del capítulo 7

8

TEOREMASINTEGRALES 8.1

486

DEL ANÁLISIS VECTORIAL

490 504 Camposconservativos 517 Teorema deGauss 528

490

Teorema deGreen

8.2 Teorema deStokes 8.3 8.4

*8.5 Aplicaciones a la flsica y ecuaciones diferenciales *8.6 Formasdiferenciales

566


544

582

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS CON N U M E R A C I ~ NIMPAR TABLAS

647

ÍNDICEDEMATERIAS

655

585

PREFACIO

Este texto se ideó para un curso de un semestre de cálculo de funciones de varias variables y análisis vectorial, el ennivel de segundo año de universidad. En ciertas ocasiones el curso es precedido por un curso introductorio de álgebra lineal, pero esto no es un requisito esencial. Sólo se requieren de los rudimientos más simples del álgebra matricial, y los conceptos necesarios son presentados en el libro. Sin embargo, suponemos que se conocen los principios.de1 cálculo de una variable -diferenciación e integración de las funciones comunes. En el libro seincluye la mayor parte de la teoría básica, así como muchos ejemplos concretos y problemas. La experiencia docente en este nivel indica que es deseable omitir la mayoría de las demostraciones técnicas; son difíciles para los principiantes y se incluyen más bien como referencia o lectura suplementaria. En particular, algunas de lasdemostracionestécnicasdelosteoremasenlos capítulos 2 y 5 se presentan en las secciones optativas 2.7 y 5.5. La sección 2.2 sobre límites y continuidad ha sido diseñada para estudiarse superficialmente y es deliberadamente breve. Se han omitido temas teóricos más sofisticados, como compacidad y demostraciones delicadas de teoría de integración, pues en general pertenecen a cursos más avanzados, y son mejor explicados en éstos. En este nivel es importante tener habilidad para calcular y comprensión intuitiva; hemos procurado satisfacer estanecesidad haciendo el libro tan concreto y orientado al estudiante como nos fue posible. Por ejemplo, aunque hemos formulado correctamente la definición de derivada, lo hicimos usando matrices de derivadas parciales en lugar de transformaciones lineales. Este recurso por sí solo puede ahorrar una o dos semanas de lecciones y evitar dolores de cabeza a los su mejor forma. estudiantes cuyos conocimientos de álgebra lineal no estén en Además incluimos un gran número de ilustraciones físicas. En particular, hemos incluido ejemplos de áreas de la física como mecánica de fluidos, gravitación y teoría electromagnética, y también de economía, aunque no se supone un conocimiento previo de dichos temas.

x

PREFACIO

Una característica especial del libro es la pronta introducción de campos vectoriales, divergencia y rotacional en el capítulo 3, a n t e s d e i n t e g r a c i ó n . E n u n curso de este tipo el análisis vectorial se resiente; el presente arreglo fue diseñado para compensar esta tendencia. Avanzando en esta dirección, podría considerarse exponer el capítulo 4 (teorema de Taylor, máximos y mínimos, multiplicadores de Lagrange) después del capítulo 8 (análisis vectorial). Esta tercera edición conserva el balance entre teoría, aplicaciones, material optativo y notas históricas presente en la segunda edición. Los cambios en esta tercera edición son los siguientes: Fred Soon y Karen Pao h a n r e v i s a d o los ejercicios y han publicado una Guía de estudio ( S t u d y Guide). E s t a g u í a c o n t i e n e (los números o letras soluciones completas a ejerciciosseleccionadosdellibro de estos ejercicios han sido encuadrados para su fácil identificación) así como sugerencias para estudio y ejemplos de exámenes. Los ejercicios se han colocado en una progresión más adecuada, de acuerdo con su nivel de dificultad y cubren una mayor amplitud de temas. Los teoremas técnicos optativos sobre diferenciación y los teoremas sobre integración se han cambiado de los apéndices a los capítulos 2 y 5, y e s t á n i m p r e s o s e n t i p o m á s p e q u e ñ o . El largo capítulo sobre teoría de integración ha sido dividido en dos añadiéndose una nueva sección sobre aplicaciones de integrales múltiples. Se ha incluido material adicional sobre coordenadas cilíndricas y esféricas y se ha simplificado la sección sobre el significado geométrico de l a divergencia y el r o t a c i o n a l . A lo largo del libro se han hecho otros cambios y correcciones que por lectores de la m e j o r a n l a exposición. Muchos de &tos han sido sugeridos segunda edición y estamos en deuda con todos ellos por haber mejorado el libro para beneficio del estudiante.

REQUISITOS PREVIOS Y NOTACIóN Suponemos que los alumnos han estudiado cálculo de funciones de una variable real, incluida l a geometría analítica en el plano. Algunos estudiantes quizá también hayan estudiado matrices, aunque lo que vamos a necesitar se presenta en las secciones 1.3 y 1.5. T a m b i é n s u p o n e m o s q u e los alumnas están familiarizados con funciones del cálculo elemental, como sena:, cos a:, e" y l o g z ( e s c r i b i m o s l o g z para el logar i t m o n a t u r a l , q u e a veces se denota por In 2 o log, z). Se espera que los a l u m n o s conozcan, o repasen conforme transcurre el curso, las reglas básicas de diferenciación e integración para funciones de una variable, como l a r e g l a d e l a c a d e n a , la regla del cociente, integración por partes y demás. Ahora resumiremoslasnotacionesquesevan a usar, a vecessinmención explícita. Los alumnos pueden leerlas rápidamente y después recurrir a ellas, si fuese necesario. La colección de los números reales se denotapor R. Así, R incluye los enteros, . . . , -3, -2, -1, O, I , 2, 3, . . . ; los números racionales p / q , d o n d e p y q s o n

PREFACIO

Xi

Figura 0.1 Representación geométrica de puntos sobre la recta numérica real.

a,

enteros (q # O); y los números irracionales, como T y e. Los elementos de R se pueden visualizar como puntos sobre la recta numérica real, según se muestra en la figura 0.1. Cuando escribimos a E R queremos decir que a es un elemento del conjunto R; en otras palabras, que a es un número real. Dados dos números reales a y b con a < b (esto es, con a menor que b), podemos formar el intervalo cerrado [a,b]formado por todos los z tales que a 5 z 5 6 , y el intervalo abierto ( a , b ) formado por todos los 2 talesque a < x < 6. De maneraanáloga,podemos formar intervalos semiabiertos ( a ,b] y [ a ,b ) (figura 0.2).

Figura 0.2 Representación geométrica de los intervalos

[ a ,b ] ,

El valor absoluto de un número a E R se escribe

(c, d) y [ e ,f],

se define como

la1 y

Por ejemplo, 131 = 3 , 1-31 = 3 , 101 = 0 y 1-61 = 6. La desigualdad la+b1 5 lal+lbl siempre se cumple. La distancia de a a b está dada por la - bl. Así, la distancia de 6 a 10 es 4 y de -6 a 3 es 9. Si escribimos A c R, queremos decir que A es un subconjunto de R. Por ejemplo, A podría ser igual al conjunto de los enteros {. . . , -3, -2, -1, O , 1 , 2 , 3 , .. .}. Otro ejemplo de subconjunto de R es el conjunto Q de números racionales. En general, para dos colecciones de objetos (esto es, conjuntos) A y B , A c B significa que A es un subconjunto de B ; esto es, todo elemento de A también es un elemento de B . El símbolo A U B significa la unión de A y B , la colección cuyos elementos son elementos de A o B . Así {. . . , -3, -2, - 1 , O )

1 , 2 , . . .} = {. . . , - 3 , -2, - l , O , 1 , 2 , . . .}.

u {-l,O,

De manera análoga, AflB significa la intersección de A y B ; esto es, este conjunto está formado por aquellos elementos de A y B que están tanto en A como en B . Así, la intersección de los dos conjuntos anteriores es {-1, O}. Escribiremos A \ B para denotar los elementos de A que no están en B . Así, {. . . , -3, -2, -1, O}

\

{-1,

o, 1 , 2 , .. .} = {. .

I

,

-3, -2)

xi

PREFACIO

Tan1bii.n podemos especificar conjuntos como en los ejemplos siguientes: {u E

{a E

RI

a es un entero} = { . . . , - 3 , -2, -1. O , 1 , 2 , . . .}

R.1 u es u n entero par} = { . . . , -2, O , 2 , 4 , . . .)

-

{X

E R.la

5 T 5 b}

= [u, b].

Una función f:,4 B es una reglaque asigna a cada a E A unelemento específico f ( a ) de B . E1 hechodeque la función f mande a a f ( a ) se denota simbólicamente por a H f ( a ) . Por ejemplo f ( z ) = x3/(l - x) asigna el número z3/( 1 - x) a cada z # 1 en R. Podemos especificar una función f dando la regla para f(z).Así, l a función f arlt,erior se puede definir por la regla 2 H z3/(1 -x). Si A c R, f:A c R ”+ R significa que f asigna un valor en R., f ( x ) , a cada x E A. El conjunto il se llama dominio def , y decimos que f tiene contradominio R, pues es ahídonde setornan los valores de f . Lagráficade f consiste de los punt,os (x1f(2)) enel plano (figura 0.3). Generalmente una asociación (= función = transformación = asociación) f : A B, donde il y B son conjuntos, es una regla que asigna a cada z E A un punto específico f ( z ) E B.

-

\

O

.I

=

dorrtinio

- x

Figura 0.3 Gráfica de u n a función con el intervalo semiabierto A como dominio.

+

+

La notación Cy=lui significa a l ... a , donde a l , . . . a, son números dados. La suma de los primeros 7 1 enteros cs

,=I

La derivada de una función f(z)se denota por f’(z)o

!.f

dx ’

~

xiii

PREFACIO

y la integral indefinidase escribe Jab

f (x)dx.

Si hacemos y = f ( x ) , la derivada también se denota por dY

dx

'

Se suponeque los lectoresconocen la regladelacadena,laintegraciónpor partes y otras reglas que gobiernan al cálculo de funciones de una variable. En particular, deberán saber cómo diferenciar e integrar funciones exponenciales, logaritmicas y trigonométricas.AI final del libro hay una breve tabla de derivadas e integrales, adecuadas para las necesidades de este libro. Las siguientes notaciones se usan como sinónimos: ez = exp x , In x = log x y sen-' x = arcsen x. El final de una demostración se denota por el símbolo U, mientras que el final de un 'ejemplo u observación se denota por el símbolo A El material opcional más teórico o los ejercicios más difíciles están precedidos por una estrella: *. AGRADECIMIENTOS

Multitud de colegas y estudiantes de la comunidad matemitica han hecho valiosas aportaciones y sugerencias desde que se inició este libro. Un primer borrador se escribió en colaboración con Ralph Abraham. Le agradecemos que nos permitiera usar su trabajo. Es imposible nombrar a todos los que han ayudado en este libro, pero queremos agradecer de manera especial a Michael Hoffman y Joanne Seitz por su ayuda en las ediciones anteriores. También recibimos comentarios valiosos de Mary Anderson, John Ball, Frank Gerrish, Jenny Harrison, David Knudson, Richard Koch, Andrew Lenard, Gordon McLean, David Merriell, JeaRoss, Ray nette Nelson, Dan Norman, Keith Phillips, Anne Perleman, Kenneth Sachs, Diane Sauvageot, Joel Smoller,Melvyn Tews, Ralph y Bob Tromba, Steve Wan, Alan Weinstein y John Wilker. Agradecemos a lossiguientesinstructoressus revisiones detalladas del mala University of Houston; Stanley M. nuscrito de esta edición: David Bao, de Lukawecki, de la Clemson University; John F. Pierce, de la West Virginia University y Herb Walum, de The Ohio State University. Una palabra final de agradecimiento para quienes ayudaron a la preparación del manuscrito y la producción del libro en inglés. Agradecemos en forma especial a Connie Calica, Nora Lee, Marnie McElhiney, Rosemarie Stampful, Ruth Suzuki, Ikuko Workman y Esther Zack por su excelente mecanografiado de diferentes versiones y revisiones del manuscrito; Herb Holden de la Gonzaga University y Jerry Kazdan de la University of Pennsylvania por sugerir y preparar la figuras generadas por computadora; Jerry Lyons por su trabajo como nuestro editor en matemáticas; Richard K. Mickey por su magnífica corrección de estilo y Philip McCaffrey por su supervisión editorial.

xiv

PREFACIO

Mantendremos una lista actualizada de correcciones y sugerencias acerca de a cualquier usuario del esta tercera edición. Con gusto enviaremos dicha lista texto. Favor de solicitarla a Jerrold Marsden, Department of Mathematics, Corne11 Universit,y, Ithaca, NY 148537901, o a Anthony Tromba, Department of Mathematics, liniversity of California, Santa Cruz, CA 95064.

Jerrold E. Marsden Anthony J. Tkomba

1

LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0

Los cuaterniones vienen de Hamilton . . . y han sido maldición puraparaquien, de algunaforma, los ha tocado. El vector es unsobreviviente i n ú t i l , . . y jamás ha sidode la másmínima utilidad para ningún ser viviente. Lord Kelvin

En este capítulo consideramos las operaciones básicas de los vectores en el espacio tridimensional: la suma vectorial, la multiplicación por unescaIar y los cow productos punto y cruz. En la sección 1.5 generalizamos algunos de estos ceptos al n-espacioy revisamos las propiedades de las matrices que necesitaremos en los capítulos 2 y 3. 1.1

VECTORES EN EL ESPACIOTRIDIMENSIONAL

Los puntos P en el plano se representan mediante pares ordenados de números reales ( a ,b ) ; los números a y b se llaman coordenadas cartesianas deP. Tracemos dos rectas perpendiculares, llamémosles ejes z y y, y bajemos perpendiculares de P a los ejes, como en l a figura 1.1.1. Después de designar la intersección de los ejes x y y como origen, y de escoger unidades en estos ejes, producimos dos distancias dirigidas a y b , como se muestra en la figura;a se llama la componente z de P, y b se llama la componente y. Los puntos en el espacio se pueden representar de manera análoga mediante ternas ordenadas de números reales. Para construir dicha representación escogemos tres rectas perpendiculares entre sí que se crucen en un punto en el espacio.

2

LA GEOMETRíADEL ESPACIO EUCLIDIAN0

b

U

Figura 1 .1.1 Coordenadas cartesianas en el plano.

Estas rectas se llaman: eje z, eje y y eje z , y el punto en el que se cruzan se llama origen (es nuestro punto de referencia). Escogemos una escala sobre estos ejes. Es común referirse al conjunto de ejes como sistema de coordenadas, y se trazan como se muestra en la figura 1.1.2.

Figura 1.1.2 Coordenadas cartesianas en el espacio.

Podemos asignar a cada punto P en el espacio una terna (ordenada) única de números reales ( a ,b, c ) ; y, recíprocamente, a cada terna podemos asignar un punto Único en el espacio, tal y como lo hicimos para los puntos en el plano. Al origen del sistema de coordenadas le corresponde la terna (O, O, O), y las flechas en los ejes indican las direcciones positivas. Así, por ejemplo, la terna (2,4,4) representa un punto a 2 unidades del origen en dirección positiva a lo largo del eje z, a 4 unidades en dirección positiva a lo largo del eje y , y a 4 unidades en dirección positiva a lo largo del eje z (figura 1.1.3). Debido a la posibilidad de asociar de esta manera los puntos del espacio con las ternas ordenadas, es común usar la expresión "punto ( a ,b , c)" en lugar de la

1.1

VECTORES EN EL ESPACIOTRIDIMENSIONAL

3

Z L

’ Y

Figura 1.1.3 Representación geométrica del punto

( 2 , 4 , 4 ) en coordenadas cartesianas.

frase más larga “punto P que corresponde a la terna (a, b, e).” Si la terna ( a , b , c ) corresponde a PI decimos que a es la coordenada x ( o la primera coordenada), b es Ia coordenada y ( o segunda coordenada), y c es la coordenada z ( o tercera coordenada)de P. Teniendoenmenteestemétodopararepresentarpuntos, vemos que el eje t está formado por los puntos de la forma ( a , O , O ) ,donde a es cualquier número real; el eje y está formado por los puntos (O, a, O); y el eje z está formado por los puntos (O, O, u). También se suele denotar a los puntos en el espacio con las letras x, y y z en lugar de a , b y c . Así, la terna (x,y, 2 ) representa un punto cuya primera coordenadaes x, la segunda coordenada es y, y la tercera coordenada es z . Empleamos la notación siguiente para la recta, el plano y el espacio tridimensional. (i) La recta real se denota por R1 (así, es lo mismo R que R 1 ) . (ii) El conjunto de todos los pares ordenados (x,y) de números reales se denota por R 2 . (iii) El conjunto de todas las ternas ordenadas (x,y, z) de números reales se denota por R3.

Cuando se habla en conjunto de R1, R2 y R3, se escribe Rn, n. = 1, 2 o 3; o R“, m = 1, 2, 3.

L a operación de suma se puede extender de R a R2 y R3. Para R3 se procede de la manera siguiente. Dadasdos ternas (t,y, z ) y ( d ,y’, z’), definimos su Suma mediante Y, 2 )

(2,

+ (z‘, Y’, z ’ ) = (z + z’, Y + Y’, + z ’ ) . 2

LA GEOMETRíA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0

4

+ (2, - 3 , 4 )

(1,1,1)

EJEMPLO 1

+

= (3, - 2 , 5 )

(x,Y, .) (O, o , 0 ) = (2, Y, 2 )

(1,7,3)+(2,0,6)=(3,7,9).

A

El elemento (O, O, O) se llama elemento cero (o sólo cero) de R3. El element o (-x,-y,-z) se llama inverso aditivo (o negativo) de (.,y, z ) , y se escribe ( x , y, z ) - ( d l y’, z’) en lugar de (z, y, z ) ( - - x / , -y’, - 2 ) . Hay operaciones de producto queson importantes en R3. Una de ellas, llamada producto interno, asigna un número real a cada pareja de elementos de R3. En la sección 1.2. estudiaremos con detalle el producto interno. Otra operación de producto para R3 se llama producto por un escalar (la palabra“escalar” es sinónimo de “número real”). Este producto combina escalares (números reales) y elementosde R3 (ternasordenadas)paraproducirelementos de R3 de la manera siguiente: dado un escalar a y una terna ( x , y,z), definimos el múltiplo escalar o producto por un escalar mediante

+

Como consecuencia de las definiciones, la suma y el producto por un escalar para R3 satisfacen las siguientes identidades: (i)

( a P ) ( z ,Y1 2 )

=

.M.> Y,.>I

(asociatividad)

(propiedades del elemento cero) (propiedad del elemento identidad) Para R2 se define la suma de la misma manera que para (z, Y)

+ (z’, Y’)

= (x

+ z’, Y + Y’),

R3,mediante

5

1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

y el producto por un escalar se define como a ( z , Y ) = ( a z ,ay).

Volvamos a la geometría de nuestromodelo. Unadelas herramientas más poderosas de las matemáticas y sus aplicaciones ha sido el concepto de vector. Se define (geométricamente) un vector como un segmento de recta dirigido que comienza en el origen, esto es, un segmento de recta con magnitud y dirección especificados, con punto inicial en el origen. ¿Han oído decir a los pilotos “Estamos en el radio vector de la pista de aterrizaje”? Se refieren al vector que da la dirección y la distancia a que se encuentra el aeroplano de la pista de aterrizaje. Es inútil señalar lo importantes que son en este caso la dirección y la distancia. La figura 1.1.4 muestra varios vectores. Así, los vectores se pueden concebir como flechas que comienzan en el origen. Generalmente se imprimen en letras negritas: v.

Figura 1.1.4 Los vectores sepueden

del origen.

concebir, geométricamente, como flechas saliendo

Usando esta definición de vector, podemos asociar con cada vector v el punto

(x,y, z) en el espacio, donde termina v, y, recíprocamente, a cada punto(x,y, z ) en el espacio podemos asociar un vector v. Así, identificaremos v con (x,y , z ) y escribiremos v = ( z , y ,z ) . Por esta razón, los elementos de R3 no son sólo

sino que también se llaman vectores. La ternas ordenadas de números reales, terna (O, O, O) se denota por O . Decimos que dos vectores son iguales si, y sólo si, tienen la misma dirección y la misma magnitud. Esta condición se puede expresar de manera algebraica diciendo que si v1 = (x,y, z ) y va = ( d ,y’z’), entonces v1

= v2

si, y sólo si,

z = z’, y = y‘, z = z‘.

Geométricamente definimos el vector suma como sigue. En el plano que contiene a los vectores v1 y v2 (ver la figura 1.1.5),formemos el paralelogramo que

6


Figura 1.1 .S

Geometría de la suma de vectores.

tiene como un lado a VI, y como lado adyacente a v2. Entonces la suma V I + v2 es el segmento de recta dirigido a lo largo de la diagonaldel paralelogramo. Esta consideración geométrica de la suma de vectores es útil en muchas situaciones físicas, como veremos más adelante. Para visualizar fácilmente esto mediante un ejemplo, consideren un ave o un aeroplano volando con velocidad VI, con un viento con velocidad v2. Lo que se ve es la velocidad resultante V I va. Para mostrar que la definición geométrica de la suma es consistente con la v1 va = (z z’, y y’, I definición algebraica, debemos demostrar que 7 ’ ) . Probaremos este resultado en el plano y dejaremos que el lector enuncie la si V I = proposición para el espacio tridimensional. Así, queremos mostrar que ( x , y) y v2 = (z’,y’), entonces v1 v2 = (z x / ,y y’). En la figura 1.1.6, sea v1 = (.,y) el vector que termina en el punto A, y sea v2 = (z’, y‘) el vector que termina en el punto B. Por definición, el vector v1 +va termina en el vértice C del paralelogramo OBCA. Entonces, para verificar que

+

+

+

+

+

+

+

+

Y

O Figura 1.1.6

D

E

Construcción para la demostración de que (x,y) +(.I,

y’) = (z+z’, y+y’).

1.1

VECTORES EN EL ESPAClO TRIDIMENSIONAL

+

+

7

+

v1 v2 = (x x', y y'), es suficiente mostrar que las coordenadas de C son (z -tz', y y'). En la figura 1.1.6, los lados de los triángulos OAD y BCG son paralelos y los lados OA y BC tienen igual longitud, lo cual escribiremos como OA = BC. Por lo tanto, BG = OD; y como BGFE es un rectángulo, tenemos que EF = BG. Más aún, OD = 2 y OE = x'. De aquíque EF = BG = OD = x. Como OF = EF OE, se sigue que OF = 2 2'. Esto muestra que la coordenada x de y es análoga. Con un argumento C es 2 + d . La demostración para la coordenada similar para los otros cuadrantes, vemos que la definición geométrica de la suma de vectores es equivalente a la definición algebraica en términos de coordenadas. En la figura 1.1.7(a) se ilustra otra manera de considerar la suma vectorial: en términos de triángulos, en lugar de paralelogramos. Esto es, trasladamos (sin rotación) el segmento de recta dirigido que representa al vector va, de modo que comience al final del vector vl. El punto final del segmento dirigido resultante es el punto final del vector V I + v2. Notamos que cuando V I y v2 son colineales, el triángulo se colapsa. Se ilustra esta situación en la figura 1.1.7(b).

+

+

+

Figura 1.1.7 (a) Se puede visualizar la suma vectorial en términos de triángulos así comodeparalelogramos.Sinembargo, el triángulo secolapsacuando v1 y v2 son colineales (b).

Los múltiplos escalares de los vectores tienen interpretaciones geométricas similares. Si a es una escalar y v es un vector, definimos a v como el vector que tiene a veces la longitud de v , con la misma dirección que v si a > O , pero con dirección opuesta si a < O. La figura 1.1.8 ilustra varios ejemplos. Al usar un razonamiento que depende de triángulos semejantes, podemos probar que si v = (x,y, z), entonces Lyv = (fYz,Lyy,CYZ). Esto es, la definición geométrica coincide con la algebraica. ¿Cómo representamos geométricamente al vector b - a? Como a+ (b - a) = b, b - a es el vector que al sumarlo a a d a b. En vista de esto, podemos concluir

8

/[

LA GEOMETRíADELESPACIOEUCLIDIAN0

Y

Y

/ Y

*

Y

* x

X

Y

f tv Figura 1.1.8

Y

X

Algunos múltiples escalares de un vector v.

que b - a es el vector paralelo a, y con la misma magnitud que, el segmento de recta dirigido que comienza en el punto final de a y termina en el punto final de b (ver la figura 1.1.9). Denotemos por i al vector que termina en (1, O , O), por j al vector que termina en ( O , 1,O) y por k al vector que termina en (O, O, 1). Por la definición de suma

Figura 1.1.9

Geometría de la resta vectorial.

1.1

VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

9

vectorial y la multiplicación por un escalar, hallamos que siv = (x,y, z ) , entonces

v = z(1,0, O)

+ y(O,1, O) + z(O, O, 1) = zi + y j + zk.

Por lo tanto, podemos representar cualquier vector en el espacio tridimensional en términos de los vectores i, j y k. Es por esto que a los vectores i, j y k se les llama vectores de la base canónica para R3.

+ +

EJEMPLO 3 El vector que termina en (2,3,2) es 2i 3j 2k,y el vector que termina en ( O , -1,4) es -j +4k. La figura 1.1.10 muestra a 2i+ 3j+ 2k;el lector A deberátrazar el vector -j 4k.

+

Figura 1.1.10 Representación de ( 2 , 3 , 2 ) en términos de los vectores de la base canónica,

i, j y k.

L a suma y la multiplicación por un escalar los vectores de la base canónica como sigue:

Y

a(zi

se pueden escribir en términos de

+ y j + zk) = (ax);+ ( a y ) j + (az)k.

Debido a la correspondencia entre puntos y vectores, a veces nos referimos al p u n t o a en circunstancias en que se definió a como vector. El lector sobreentenderá que nos referimos al punto final del vector a.

10

LA GEOMETRíA DEL ESPACIOEUCLIDIAN0

Describir los puntos que están dentro del paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores a y b .

EJEMPLO 4

SOLUCIÓN Considerarlafigura 1.1.11. Supongamosque P escualquier punto dentro del paralelogranlo dado y construimos las rectas l1 y l 2 que pasan por P y son parale1a.s a los vectores a y b , respectivamente; vemos que 11 interseca el lado del paralelogramo determinado por el vector b en algún punto tb, donde O 5 t 5 1. Asimismo, 12 interseca al lado determinado por el vector a en algún punto s a , donde O 5 S 5 1.

Figura 1.1.11 Descripción de los puntos dentro del paralelogramo formado por tores a y b.

los vec-

Notar que P es el punto final de la diagonal de un paralelogramo con lados adyacentes sa y tb; por lo tanto, si v denota al vector que termina en P, vemas que v = sa tb. Así, todos los puntos en el paralelogramo dado son puntas finales de vectores de la forma s a tb para O 5 S 5 1 y O 5 t 5 1. Regresando sobre nuestros pasos vemos que todos los vectores de esta forma terminan dentro A paralelogramo. del

+

+

Y

Figura 1.1.12 Descripción de los puntos P en el plano formado por los vectores v y w .

1.1 TRIDIMENSIONAL VECTORES ESPACIO EN EL

11

Como dos rectas que pasan por el origen determinan un plano que pasa por el origen, lo mismo sucede con dos vectores no paralelos. Si aplicamos el mismo razonamiento del ejemplo 4, vetnm que el plano formado por dos vectores no paralelos v y w consta de todos los puntos de la forma QV pw, donde (Y y /? varían sobre los números reales. Not.en que cualquier punto P en el plano formado por los dos ‘vectores será el vértice opuesto del paralelogramo determinado por CYVy pw, donde Q y /3 son algunos escalares, como en la figura 1.1.12. E1 plano determinado por v y w se llama plano generado por v y w . Cuando v es un múltiplo escalar de w y w # O , entonces v y w son paralelos y el plano degenera en una recta. Cuando v = w = O (esto es, cuando ambos son el vector cero), obtenemos un solo punt.0. Haytresplanosparticularesquesurgendemaneranatural en unsistema coordenado y que usaremos más adelante. Al plano generado por los vectores i y j se le llama plano .cy, al plano generado por j y k , plano yz, y al plano generado por i y k , plano s z . Se ilustran estos planos en la figura 1.1.13.

+

Z

V

Figura 1 .I .I 3 Los tres planos coordenados.

Los planos y las rectassonobjet,osgeombtricosquesepuedenrepresentar mediante ecuaciones. Pospondremos hasta la sección 1.3 el estudio de las ecuaciones que representan planos. Sin embargo, usalldo la interpretacidn geométrica de la suma vectorial y de lamultiplicaciónpor u n escalar, podemos hallar la ecuación de una recta 1 que pase por el punto final o extremo del vector a, con la dirección de un vector Y (ver la figura l . l14). . Conforme t varía por todos los números reales, los puntos de la forma Iv son t.odos los rnúltiplos escalares del vector v , y por lo tant,o, agotan los puntos de l a recta que pasa por el origen en la dirección de v. Corno todo punto sobre d cs el extremo de la diagonal de un paralelogramo con lados a y tv para algún valor real de 2 , vemos que todos los punt>os sobre1 son de la formaa + t v . Así, la recta 1 se puede expresar mediante la ecuación l ( t ) = a tv. Decimos que d est,á expresada de manera paramétrica, con el parámetro t . En t = O, l(t) = a. Cuando t crece, el punto l ( t ) se mueve

+

12


Figura 1.1.14 La recta 1, dada en forma paramétrica por l(t) = a

de v y pasa por l a punta de a.

+ t v , estd en dirección

alejándose de a en la dirección de v . Conforme t decrecedesde t = O por los valores negativos, l ( t ) se mueve alejándose de a en la dirección de " v . Puede haber varias parametrizaciones de la misma recta. Se pueden obtener escogiendo, en lugar de a, un punto diferente sobre la recta dada, y formando la ecuación paramétrica de la recta comenzando en ese punto y en dirección de v . Por ejemplo, el extremo de a v est6 sobre la recta l(t) = a Iv, y así, l l ( t ) = (a + v) + tv representa la misma recta. Incluso se pueden obtener otras parametrizaciones observando que si CY # O , el vector CYVtiene la misma dirección que v ( o l a opuesta). Así, lz(t) = a+tcuv es otra parametrización de l(t) = a + t v .

+

EJEMPLO 5

de j.

+

Determinar la ecuación de la recta que pasa por (1, O, O) en dirección

x

Figura 1.1.15 La recta 1 pasa por la punta de i en la dirección j .

1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

SOLUCIÓN

l(t) = i

Larectadeseada

13

sepuedeexpresar

en formaparamétricacomo knemos

+ t j (figura 1.1.15). En términos de coordena.das l(t) = ( 1 , 0 , 0 )

+ t(O,1, O ) = ( I , t , O ) .

A

Vamos a deducir la ecuación de una recta que pasa por los puntos finales de dos vectores dados a y b. Como el vector b - a es paralelo al segmento de recta dirigido que va de a a b, lo que deseamos es calcular la ecuacibrl parantétrica de la recta que pasa por a en dirección de b - a (figura 1.1.16).Así, l(t) = a

+ t ( b - a);

l(t) = (1 - t)a

estoes,

+ tb.

Conforme 1 crece de O a 1, sucede que t(b - a) comienza como el vector cero y crece en longitud (manteniéndose en la dirección de b - a) hasta que en t = 1 es el vector b - a. Así, para I(t) = a t ( b - a), conforme t crece de O a 1, el vector l(t) sé mueve de la punta de a a la punta de b a l o largo del segment,o de recta dirigido de a a b .

+

Figura 1.1.16 La recta I, dada en forma paramétrica por l(t) = a las puntas de a y b.

+ t(b

-

a), pasa por

Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-1, 1,o) y (o, o, 1) (ver la figura 1.1.17). EJEMPLO 6

SOLUCIÓN

Representemos los puntos dados por a = -i 1(t) = (1 - t)(-i

+ j) + tk

=-(1-t)i+(l-t)j+tk.

La ecuación de esta recta se puede escribir entonces como l(t) = ( t - l ) i

+ (1

-

t)j

+ tk,

+ j y b = k; tenemos

LA GEOMETRíADELESPACIO

14

EUCLIDIAN0

Y

Figura 1.1.17 Caso especial de l a figura anterior, donde a = (-1,1, O) y b = ( O , O , 1)

o , de manera equivalente, si l(t) = zi

En términos de componentes, la puntos (21, Y1, tl) Y (z2, Y21 2 2 ) es z

= 21

+t(22 -m ) ,

+ yj + zk,

ecuaciónde

y = y1

pasa por los dos

la recta que

+ t ( y 2 - y]),

2

=

21

+

t(22 - 21)

Eliminando t es posible escribir esto como z-z] z2

- z1

- y-y1 y2 - y1

-

2-21 22 - 21

+

+

Notamos que cualquier vector de la forma c = Xa pb, donde X p = 1, está sobre la recta que pasa porlos extremos de a y b. Para verlo, observar que c = (1 - p)a pb = a p(b - a).

+

+

EJEMPLO 7 Usar métodos vectoriales paraprobar paralelogramo se bisecan entre si.

que las diagonalesde

un

SOLUCIóN Representemos los lados adyacentes del paralelogramo porlos vectores a y b, como se muestra en la figura 1.1.18. Primero calculamos el vector PQ. Como b - a es paralelo e que va al punto medio delsegmentoderecta igual en longitud al segmento dirigido de P a Q , (b - a)/2 es paralelo e igual en longitud a l segmento de recta dirigido de P al punto medio de PQ. Así, el vector a (b - a)/2 = (a b)/2 termina en el punto medio de PQ.

+

+

1.1 VECTORES EN EL ESPAUO TRIDIMENSIONAL

15

P R

Figura 1.1.18 Construcciones usadas para demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.

A continuación calculamos el vector que va al punto medio de OR. Sabemos que a b termina en R, de modo que (a b)/2 termina en el punto medio de OR. En vista de que ya probamos que el vector (a b)/2 termina en el punto medio de OR y en el punto medio de PQ, se sigue que OR y PQ se bisecan entre sí. A

+

+

+

Consideremos ahora algunas aplicaciones físicas de los vectores. Un ejemplo sencillo de cantidad física que se representa mediante un vector es un desplazamiento. Suponer que en una parte de la superficie terrestre lo suficientemente pequeña para considerarse plana, introducimos coordenadas de modo que el eje 2 apunte al este,el eje y apunte al norte, y la unidad de longitud sea el kilómetro. P y queremos ir a un punto Q, el vector de desplazaSi estamos en un punto miento d que une a P. con Q nos indica la dirección y la distancia que tenemos P que viajar. Si 2 y y son las componentes de este vector, el desplazamiento de a Q es “2 kilómetros al este, y kilómetros al norte”. EJEMPLO 8 Supongan que dos navegantes que no se pueden ver entre si,pero por radio, quieren determinar la posición relativa de sus que se pueden comunicar barcos. Explicar cómo pueden hacerlo si cada uno tiene la capacidad de determinar s u vector de desplazamiento al mismo faro. SOLUCIÓN Sean PI y P2 lasposicionesde los barcos, y sea Q la posicióndel faro. El desplazamiento del i-ésimo barco al faro es el vector di que une a Pi con Q. El desplazamiento del primer barco al segundo es el vector d que une a PI con Pa. Tenemos que d dz = dl (figura 1.1.19), de modo que d = dl - da. Esto es, el desplazamiento de un barco hasta el otro es la diferencia entre los A desplazamientosdesde losbarcos hasta el faro. También podemos representar como vector la velocidad de un objeto en movimiento. Por el momento, sólo consideraremos objetos moviéndose con ra.pidez

+

16


EUCLIDIAN0

"

bruma

"- Figura 1.1.19 Se pueden usar métodos vectoriales para localizar objetos.

uniforme a lolargoderectas.Supongan, por ejemplo,que un botedevapor cruza un lago navegando a 10 kilómetros por hora (km/h) en dirección noreste. Después de 1 hora de viaje, el desplazamiento es ( 1 O / f i , l O / f i ) E (7.07,7.07); ver la figura 1.1.20. posición después de 1 h

Figura1.1.20 Si un objeto se mueve hacia tiene componentes (IO/&, 1 0 / J z ) .

el nordeste a 10 km/h, su vector velocidad

El vector cuyas componentes son (lO/fi,lO/fi) se llama vector velocidad del bote. En general, si un objet80 se mueve uniformemente a lo largo de una recta, s u vector velocidad es el vector desplazamiento desde la posición en cualquier momento hasta la posición en el momento 1 unidad de tiempo después. Si aparece una corriente en el lago moviéndose hacia el este a 2 km/h, y el bote continúa apuntando hacia la misma dirección con el motor funcionando a la misma razón, su desplazamient,o después de 1 hora tendrá las componentes dadas por

desplazamiento debido a la corriente debido al motor

Figura1.1.21 El desplazamientototal motor y a la corriente.

es la. sunla de los desplazamientosdebidos

al

1.1 TRIDIMENSIONAL VECTORES ESPAClO EN EL

17

+

(IO/& 2,lO/JZ); ver la figura 1.1.21. Por lo tanto el nuevo vector velocidad 2,10/&). Notamos que ésta es la suma del vectiene componentes (lo/& del bote y el vector velocidad (2, O) de la tor velocidad original (lo/&, lo/&) corriente. Si un objeto tiene vector velocidad (constante) v , entonces en t segundos su vector desplazamiento resultante es d = tv; ver la figura 1.1.22.

+

/

desplazamiento en el tiempo t

Figura 1.1.22 Desplazamiento = tiempo x velocidad.

+ +

Un ave va volando en línea recta con vector velocidad 10i 6 j k (en kilómetros por hora). Suponer que(x,y) son sus coordenadas en tierray que t es su altura. (a) Si en cierto momento el ave está en la posición ( l , 2 ,3 ) 1¿dónde estará una hora después? ¿Y un minuto después? (b) ¿Cuántos segundos tarda el ave en subir 10 metros? EJEMPLO 9

(a) El vector desplazamiento desde ( 1 , 2 , 3 ) despuésde 1hora es 1Oi 6j k , de modo que la nueva posición es ( 1 , 2 , 3 ) (lO,6, 1) = ( 1 1 , 8 , 4 ) . Después de 1 minuto, el vector desplazamiento desde ( l , 2 , 3 ) es &(lOi+6j+k) = ii & k , de modo que la nuevaposiciónes (1,2,3) &) = SOLUCIÓN

7

(&

+

+ + + hj + 21

+ (h, &,

181

-E).

(b) Despuésde t segundos (= t/3600 h), el vector desplazamientodesde (1, 2,3) es (t/3600)(10i 6 j k ) = (t/360)i (t/600)j (t/3600)k. El incremento en altura es lacomponente z t/3600.Esto es iguala 10m ( = & k m ) cuandot/3600 = “esto es,cuando t = 36s. A

+ +

+

+

&

EJEMPLO 10 Las fuerzas fisicas tienen magnitud y direcciónl de modo que pueden representarse mediante vectores. Si actúan simultáneamente varias fuerzas sobre un objeto, la fuerza resultante está representada por la suma de los vectores de fuerza individuales. Suponer que las fuerzas i k y j k actúan sobre un cuerpo. ¿Qué tercera fuerza debemos imponer para contrarrestar a las dos -esto es, para hacer que la fuerza total sea igual a cero?

+

+

+

SOLUCIÓN La fuerza F deberá escogerse de manera que ( i + k ) (j+k ) + v = O; esto es, v = -(i k ) - (j k) = -i - j - 2k. (Recordar que O es el vector cero, el vectorcuyascomponentessontodas cero.) A

+

+


18

NOTA H I S T ~ R I C A

Aproximadamente hasta el año de 1900 muchos científicos se resistieron a usar vectores, en favor de l a teoría más complicada de los cuaterniones. E1 libro que popularizó los métodosvectorialesfue Vector Analysis,de E. R. Wilson (reimpreso por Doveren 1960), basado en los cursos impartidos por J. W. Gibbs cw Yale en 1899 y 1900. Wiison se resistía a tomar el curso de Gibbs, pnes había llevadoen Harvard un curso de un año con J . M. Pierce, campeón en métodos con cuaterniones, pero u11 jefe de departamento lo obligó a añadir el curso a su programa. (Para más detalles ver A History of Vector Analysis, de M. J. Crowe, University of Notre Dame Press. Not,rc Dame, Ind., 1967.)

EJERCICIOS (Los ejercicios que tienen números Guía d e rLstndio.)

, y

letras dentro de n n cuadro están resueltos en l a

Completar los cálculos en los ejercicios del 1 al 6.

m

(-21,23)

-

(?, 6) = ( " 2 5 , ? )

2. 3(133, -0.33, 0 )

+ (-399,

O.99,O) = ( ? . ? , ? )

3. ( s a , -26, 13c) = (52, 1 2 , l l )

+ $('.',?,?)

(2,3,5)-4i+3j=(?,?,?) 5. 800(0.03, O , O ) = ?i 6. ( 3 , 4 , 5 )

+ ( 6 , 2 , -6)

+ ?j + ?k = (?,? ,?)

¿Qué restricciones se deben tener sobre z. y y z de modo que l a terna ( z , y , z ) represente u11 punt,o sobre el ejr y ? ¿Y sobrr el eje z? ;,En el plano xz? ¿En el plano y z ? 8. Trazar los vcctores v = ( 2 , 3 ,-6) y w = (-1,1, 1). En esa figura, trazar 2v, y v - w. 9. VI

(a) Generalizar la construcción geométrica

= (x,y, z) y v2 = (z', y', z') entonces v1

(b)Usandounargnnlentobasado (ax, cuy, N Z ) cuando v = ( T ,y, z).

"v,

V+W.

en la figura 1.1.6 para mostrar que si

+ v2 = (x + x', y +y', z +

2').

en triángulossemejantes,probarque

10. Repetir el ejercicio 8 usando v = ( 2 , 1,3) y w = (-2, O , -1).

(YV =

19

1.1 VECTORES EN TRIDIMENSIONAL EL ESPACIO

En los ejercicios del 11 al 17, usar notación de conjuntos o vectorial, o ambas, para l s configuracionesdadas,como lo hicimos en los describir los puntos que están en a ejemplos 4, 5 y 6. 11. El plano generado por V I = ( 2 , 7 , O ) y v2 = ( O , 2 , 7 ) .

El plano generado por v1 = ( 3 , - 1 , l j y 13.

La recta que pasa por [-1, -1, -1)

v2

= (0,3,4).

en la dirección de j.

14. La recta que pasa por (O, 2 , l ) en la dirección de 2i - k.

r;;l La recta que pasa por

(-1, -1, -1)

16. La recta que pasa por

(-5,0,4)

y (1, -1,2).

y (6, - 3 , 2 ) .

17. El paralelogramo cuyos lados adyacentes son

+ 3k y -2j. = 3 + 21, y = 7 + at, z = -2 + 1,

los vectores i

18. Hallar los puntos de intersección de la recta 3: esto es, l(1) = (3 2t, 7 at, -2 t ) , con los planos coordenados.

+

+

+

+ z - 2 = O y que estén

Mostrar que no hay puntos (x,y, z) que satisfagan 2 2 - 3y sobre la recta v = (2, -2, -1) t ( l , l , 1).

+

20. Mostrar que todo punto sobre la rectav = (1, -1,2)

~-6=0.

+ t ( 2 , 3 , 1 ) satisface 5 a - 3 y -

1?;1 Mostrar que las medianas de un triángulo se intersecan en un punto, punto divide a cada mediana con una razón 2 : 1.

y que este

En los ejercicios del 22 al 24, usar métodos vectoriales para describir las configuraciones dadas. El paralelepípedo que tiene como aristas tenemos en mente está en la figura 1.3.5.)

a los vectores a, b y c . (La región que

23. Los puntos dentro del paralelogramo con una esquina en (zo, yo, Z O ) tal que los lados que salen de esa esquinason iguales en magnitud y dirección a los vectores a y b. 24. El plano determinado por los tres puntos (ZO, ya, zo),

yl, Z I ) y

(51,

( 2 2 , yz, 2 2 ) .

25. Un barco situado en la posición ( 1 , O ) en una carta de navegación (con el norte en l a dirección y positiva) divisa una roca en la posición ( 2 , 4 ) . ¿Cuál es el vector que une al barco con la roca? ¿Qué ángulo 0 forma este vector con la dirección norte? (Se le llama la orientación de la roca desde el barco.)

26. Supongan que el barcodelejercicio 25 apunta al rumbo norte y viaja con una rapidez de 4 nudos respecto al agua. Hay una corriente que fluye con dirección este a 1 nudo; las unidades de la carta son millas náuticas; 1 nudo = 1 milla náutica por hora.

20


EUCLIDIAN0

( a ) Sino hubieracorriente, ¿qué vector u representaríalavelocidaddelbarco respecto al fondo del mar? ¿qué vector v representaríasuvelocidad (b)Si el barcosiguieralacorriente, respecto al fondo del mar? (c) ¿Qué vector w representa la velocidad total del barco? (d) LDÓnde estará el barco después de una hora? (e) ¿Deberá cambiar el rumbo el capitán? (f) ¿Qué pasaría si la roca fuera un iceberg? Un aeroplano está situado en la posición ( 3 , 4 , 5 ) al mediodía, y viaja con velocidad 4OOi 5OOj - k kilómetros por hora. El piloto sabe que hay un aeropuerto en la posición (23, 29,O). (a) ¿A qué hora pasará el avión directamente sobre el aeropuerto? (Suponer que la Tierra es plana y yue el vector k apunta hacia arriba.) (b) ¿Cuál será l a altura del avión cuando pase?

+

28. La velocidad V I del viento es de 40 millas por hora (mi/h) de este a oeste, mientras que un aeroplano viaja convelocidaden el aire v 2 de lOOmi/h con rumbo norte. La rapidez del aeroplano respecto a la Tierra es el vector suma V I v 2 . (a)Hallar v1 v 2 . (b)Trazarunafiguraaescala.

+

+

29. Una fuerza de 501b se dirige a 50' sobre la horizontal, apuntando a la derecha. Determinar sus componentes horizontaly vertical. Mostrar los resultados en una figura.

Dos personas jalan horizontalmente de cuerdas atadas a un poste; el ángulo entre 60'. A jala con una fuerza de 1501b, mientras que B jala con una las cuerdas es de fuerza de 1101b. (a)Lafuerzaresultanteeslasumavectorialdelasdosfuerzasenunsistema coordenado escogido de manera conveniente. Trazar una figura a escala que represente gráficamente a las tres fuerzas. (b) Usando trigonometría, determinar fórmulas para las componentes vectoriales de las dos fuerzas en un sistema coordenado escogido de manera conveniente. Efectuar la suma algebraica y hallar el ángulo que la fuerza resultante hace con A. 31. 1 kilogramo (kg) masa situadoen el origen se cuelga de cuerdas fijadas en los puntos ( I , 1, I ) y (-1, -1,l). Si la fuerza de gravedad apunta en la direccción del vector -k, ¿cuál es el vectorquedescribelafuerzaalolargodecadacuerda? [IDEA: Usar la simetría del problema. 1 kg masa pesa 9.8 newtons (N).]

+

+

32. Escribir la ecuación química CO Hz O = H 2 COZ como una ecuación en ternas ordenadas (C, O , H),e ilustrarla mediante un diagrama vectorial en el espacio.

+

+

(a)Escribirlaecuaciónquímica pC~H403 q02 = rC02 sHzO comouna ecuación en ternas ordenadas con coeficientes desconocidos p , q, T y s. (b) Hallar la menor solución entera positiva posible para p , q, 7 y S , (c) Ilustrar la solución mediante un diagrama vectorial en el espacio. *34. Hallar una recta que esté en el conjunto definido por la ecuación

2'

+ y'

- zz = 1.

1.2

EL PRODUCTO INTERNO

21

1.2 EL PRODUCTOINTERNO

En ésta y en lasección siguiente estudiaremos dos productos de vectores: el producto interno y el producto cruz. Son muy útiles en aplicaciones físicas y tienen interpretaciones geométricas interesantes. El primer producto que vamos a considerar se llama producto interno. Con frecuencia se le llama también producto punto. Supongamos que tenemos dos vectores a y b en R3 (figura 1.2.1) y queremos determinar el ángulo entre ellos, esto es, el menor ángulo subtendido por a y b en el plano que generan. El producto interno nos permite hacerlo. Primero desarrollamos formalmente el concepto y después probamos que este producto hace lo que aseguramos. Seaa = a l i + a d a3k y b = b l i + b j b3k. Definimos el producto interno de a y b, que se escribe como a b, como el número real

+

a - b = albl

+

+ a2b2 + a3b3.

Noten que el producto interno de dos vectores es una cantidad escalar. A veces se denota al producto interno por (a,b). Es frecuente hacerlo por razones tipográficas. Así, (a,b) y a . b significan exactamente lo mismo. Z

X

Figura 1.2.1 0 es el ángulo entre los vectores a y b.

A partir de la definición se siguen ciertas propiedades del producto interno. Si a, b y c son vectores en R3 y a y p son números reales, entonces (i)

ama? O;

(ii)

aa b = a(a b) y

(iii)

a-(b+c)=a-b+a-c y

(iv)

a.b=b-a.

a - a = O si, y sólo si, a = O.

-

-

a ,f?b = P(a b).

(a+b).c=a.c+b-c.

22


EUCLIDIAN0

+

+

Para probar la primera de estas propiedades, observen que si a = a l i a2j a3k, entonces ama = a: + a ; + a i . Como a l , a2 y a3 son nilmeros reales, sabemos que a; 2 O, a$ 2 O , u: >_ O . Así, a - a 2 O. Más aún, si a: + u ; +a: = O , entonces al = a2 = a3 = O, por lo tanto a = O (el vector cero). Las demostraciones de las otras propiedades del producto interno también se obtienen fácilmente. Se si ue del teorema de Pitágoras que la longituddel vector a = a l i + a ~ j + a 3 k es u: u; u; (ver la figura 1.2.2). La longitud del vector a se denota por I l a l l . Es frecuente llamar a esta cantidad la norma de a. Corno ama = u f + a ; + a j , se sigue que

P-" + +

llall = (a

Los vectores que tienen norma 1 se llaman vectores unitarios. Por ejemplo, los vectores i, j y k son vectores unitarios. Observar que para cualquier vector distintode cero a, a/llall esun vector unitario;cuando dividirnos a entre I l a l l , decimos que hemos normalizado a.

1

Figura 1.2.2 La longitud del vector a = (al,u 2 ,u 3 está dada por la fórmula pitagórica:

d

m

.

+

En el plano, definir el vector i d = (cos 0)i (sen O ) j , que es el vector unitario que forma un dngulo 6' con el eje 2 (ver l a figura 1.2.3). Claramente, Iliell = (sen' O

+ cos2 O)'/'= 1.

Si a y b son vectores, hemos visto que el vector b - a es paralelo a, y tiene la misma magnitud que el segmento de recta dirigido que va del extrenlo de a al extremo de b. Se sigue que la distancia del extremo de a al extremo de b es Ilb - all (ver l a figura 1.2.4).

23

1.2 K PRODUCTO INTERNO

Y

cos B Figura 1.2.3 Las coordenadas de

io son cos 0 y sen 8.

Y

Figura 1.2.4 La distancia entre las puntas de a y b es ]lb- all.

Hallar la distanciadelextremodel (1, O , O) al extremo del vector j , (O, 1,O). EJEMPLO 1

vector i, esto es, delpunto

Mostremos ahora que el producto interno en efecto mide el vectores. Sean a y b dos vectores en R3 y sea 8, 0 5 8 ellos (figura 1.2.5). En tomes

TEOREMA 1

a

b = llall llbll cos 8.

ángulo entre dos

5 R,

el ángulo entre

24


Y

Figura 1.2.5 Los vectores a, b y el ángulo 8 entre ellos; geometría del teorema demostración.

1 y su

De modo que podemos expresar el ángulo entre a y b como

si a y b son vectores distintos de cero. DEMOSTFIACI~NSi aplicamos la ley de los cosenos, aprendida en trigonometría, a,l triángulo con un vértice en el origen y lados adyacentes determinados por los vectores a y b, se sigue que

llb - all2 = IIalY

+ llbl12 - 2llall llbll cos 6.

Como llb-a1I2 = (b-a).(b-a), lla1I2 = asa, y llb1I2 = b - b ,podemos reescribir la ecuación anterior como

-

.

(b - a) (b - a) = a a + b b - 211allllbll cos 8.

Ahora, (b-a).(b-a)=b.(b-a)-a-(b-a)

=b.b-b-a-a-b+a-a =a.a+b-b-2a-b.

Así,

-

a a + b b - 2a b = a a

+b

Esto es, a b = llall llbll

cos8.

b - 211allllbll cos B.

1.2

EL PRODUCTO INTERNO

25

Este resultado muestra que el producto interno de dos vectores es el producto entre ellos. Esta relación es útil con de sus longitudes por el coseno del ángulo frecuencia en problemas de naturaleza geométrica.

Para cualesquiera dos vedo-

COROLARIO(DESIGUALDADDECAUCHY-SCHWARZ)

res a y b, tenemos

-

la bl i

llall llbll

con la igualdad si y sólo si a es un múltiplo escalar deb, o uno de ellos es O . DEMOSTRACI~N Si a no es un múltiplo escalar de b, entonces I cos 81 < 1 y se cumple la desigualdad. Cuando a es un múltiplo escalar de b, entonces 8 = O o ?r y IcoseI = 1. m

EJEMPLO 2

Hallar el ángulo entre losvectores i +j + k e i +j - k (figura 1.2.6).

Figura 1.2.6 Búsqueda del ángulo entre a = i

SOLUCI~N Usando el teorema

+j + k y b = i + j - k.

1, tenemos

(i+j+k).(i+j-k)=Ili+j+klIIli+j-kllcosO

de modo que 1

+ I - 1 = (&)(&I

De donde cose =

5.

cos

e.

26


Esto es,

O=

cos"(^) z 1.23 radianes

(71').

A

Si a y b sonvectoresdistintosdecero en R3 y H es el ángulo entre ellos, vemos que a . b = O si y sólo si cos 6' = O. Así, el producto interno de dos vectores distintos de cero es cero si y sólo si los vectores son perpendiculares. Por l o tanto el producto interno nos proporciona un buen método para determinar si dos vectores son perpendiculares. Se suele decir que los vectores perpendiculares son ortogonales. Los vectores de l a base canónica, i, j y k son ortogonales entre sí, y tienen longitud 1; dichos sistemas se llaman ortonormales. Adopt,aremos la convención de que el vector cero es ortogonal a todos los vectores.

Los vectores io = (cos 6)); ortogonales, pues EJEMPLO 3

+ (sen H ) j y j o = -(sen

6)); + (cos H ) j son

i~.je=-cosOsenO+senOcosO=O

(ver la figura 1.2.7).

A

Figura 1.2.7 Los vectores ie y j e son ortogonales.

Sean a y b dos vectores ortogonales distintos de cero. Si c es un vector en el plano generado por a y b, entonces hay escalares (Y y ,B tales que c = cua+,Bb. Usar el producto internopara determinar (Y y p (ver la figura 1.2.8). EJEMPLO 4

SOLUCI~N

Tomando el producto interno de a y c , tenemos a.c=a.(cra+/3b)=aa-a+/3a.b.'

Como a y b son ortogonales, a * b = O, de modo que,

* = -a=- c-

-

a a

a-c [la112

'

1.2

27

EL PRODUCTO INTERNO

E

L

X

Figura 1.2.8 La geometría para la búsqueda de ejemplo 4.

(Y

y

p donde c = a a + pb,

como en el

De manera análoga,

En este ejemplo, el vector cra se llama la proyección de c a lo largo de a, y /3b es su proyección a lo largo de b. El resultado del ejemplo 4 también se puede obtener usando la interpretación geométrica del producto interno. Sea 1 la distancia medida a lo largo de la recta determinada al extender a, del origen al punto donde la perpendicular desde c interseca a la extensión de a. Se sigue que

donde 6' es el ángulo entre a y c. Más aún, I = allall. Juntando estos resultados tenemos

Así, la proyección de c sobre a está dada por c-a

c-a a= (la112 a.

G

28


EUCLIDIAN0

Notar que la longitud de la propccitin de u n vector B es el ángulo entre a y c , está dada por

c

sobre u n vector a, donde

(ver l a figura 1.2.9)

proyecci6n de c \

-

Figura 1.2.9 La proyección de c sobre a es (a c/11a11')a

EJERCICIOS 1. (a) Probar las propiedades (ii)

(b)

2. Calcular a

b donde a = 2i

Hallar el ángulo entre 7j 4. Calcular u

5.

y (iii)delproductointerno

Probarque a b = b a.

+ lOj

+ 19k y

-

12k y b = -3i

-2i

-

+ 4k.

j (al grado más cercano).

- v , donde u = Ai - 315j + 22k y v = u/llull

¿Es igual a cero 118i - 12kll 1/63

+ kll

-

I(8i

-

12k) ( 6 j

+ k)]?Explicar.

En los ejercicios del 6 al 11, calcular llull, llvll y u v para los vectores dados en R3 6. u = 15i

-

2j

+ 4k, v = x i + 3j

-

k

1.3

9.

EL PRODUCTO CRUZ

u = -i

+ 3j + k, v = -2i

u = -i+3k, v 11.

u = -i

29

- 3j - 7k

=4j

+ 2j - 3k, v = -i

- 3j

+ 4k

Normalizar los vectores en los ejercicios del 6 al 8. 13. Hallar el ángulo entre los vectores en los ejercicios del

expresar la respuesta en términos de cos-'.

14. Hallar la proyección de

u = -i

9 al 11. De ser necesario,

+j + k sobre v = 2i + j - 3k.

1;;1 Hallar la proyección de v = 2i +j - 3k sobre u = -i +j + k. ¿Qué restricciones se deben tener sobre b para que el vector 2i a (a) -3i 2j k y (b) k?

+ +

17. Hallar dos vectores no paralelos, ambos ortogonales a 18. Hallar la recta que pasa por t , y = -2 t , z = -1

z = -1

+

+

hallar sus coordenadas.]

+ bj sea ortogonal

(1,1,1).

( 3 , 1 , - 2 ) que interseca y es perpendicular a la recta

+ t . [IDEA: Si (zo,yo, 20) es el punto de intersección,

19. Suponer que una fuerza F (por ejemplo, la gravedad) actúa verticalmente hacia abajo sobre un objeto situado en un plano inclinado en un ángulo de 45' respecto a la horizontal. Expresar esta fuerza como suma de una fuerza que actúe paralela al plano y una que actúe perpendicular a él. 20. Suponer que un objeto moviéndose en la dirección de i + j está bajo laacción de una fuerza dada por el vector 2i j. Expresar esta fuerza como una suma de una fuerza en la dirección del movimiento y una fuerza perpendicular a la dirección del movimiento.

+

Una fuerza de 6 N (newtons) forma un ángulo de x / 4 radianes con el eje y , apuntando a la derecha. La fuerza actúa en contra del movimiento de un objeto a lo largo de la recta que une ( 1 , 2 ) con (5,4). (a) Hallar una fórmula para el vector de fuerza F. (b) Hallar el ángulo 0 entre la dirección del desplazamiento D = (5 - l ) i + ( 4 - 2 ) j y la dirección de la fuerza F. (c) El trabajo realizado es F - D ,o de manera equivalente, IlFll IlDll cos B. Calcular el trabajo con ambas fórmulas y comparar los resultados. *22. Un fluido fluye a través de una superficie plana con vector de velocidad uniforme

v. Sea n una normal unitaria a la superficie del plano. Mostrar que v n es el volumen del fluido que pasa por una unidad de área del plano en una unidad de tiempo.

30


EUCLIDIAN0

1.3 EL PRODUCTO CRUZ

En la sección 1.2 hemosdefinido un producto devectoresque daba como resultado un escalar. En esta sección definiremos un producto de vectores que d a como resultado un vector; esto es, mostraremos cómo dados dos vectores a y b, podemos producir un tercer vector a x b, llamado el producto cruz de a y b. Este nuevo vector tendrá la muy agradable propiedad geométrica de ser perpendicular al plano generado (determinado) por a y b. La definición del producto cruz está basada en los conceptos de matriz y determinante que desarrollamos primero. Una vez hecho esto podremos estudiar las implicaciones geométricas de la estructura matemática construida. Definimos una matriz de 2 x 2 como un arreglo

donde a l l ,

a12, a21

son matrices de 2

X

y

a22

son cuatro escalares. Por ejemplo,

2. El determinante

de dicha matriz es el número real definido por la ecuación

EJEMPLO 1

Una matriz de 3

X

3 es un arreglo

[ ::: ::: : I all

a12

a13

donde,denuevo,cada aij es un escalar; aij denota elregistro o posición en el arregloqueestá en el i-ésimorenglón y la j-ésima columna. Definimosel


determinante de una matriz de 3 x 3 por la regla

175874

31

Sería difícil memorizar la fórmula (2) sin algún recurso mnemotécnico. La regla que hay que aprender es que nos movemosa lo largo del primer renglón, multiplicando a l j por el determinante de la matriz de 2 X 2 obtenida al eliminarel primer renglón y la j-ésima columna, y después sumando todo esto, pero recordando ponerunsignoderestaantes del término a12. Porejemplo, el determinante multiplicado por el término de enmedio en la fórmula (a), a saber

se obtiene al eliminar el primer renglón y la segunda columna de la matriz dada de 3 x 3:

EJEMPLO 2

Una importante propiedad de los determinantes es que al intercambiar dos renglones o dos columnas se cambia su signo. Para determinantes de 2 x 2, esto es una consecuencia de la definición. Para renglones tenemos

y para columnas,

32


Dejamos al lector verificar esta propiedad parael caso de 3 x 3. (Ver el ejercicio 1 al final de la sección.) Unasegundapropiedadfundamental de los determinantes esquepodemos sacar como factor común a escalares de cualquier renglón o columna. Para determinantes de 2 x 2 esto significa aall

a12

all

a12

aall

m 1 2

De manera análoga, para determinantes de 3 x 3 tenemos Ball

(ya12

m 1 3

a31

a32

a33

all

a12

a13

all

aa12

a13

a31

ma32

a33

y así sucesivamente. Estos resultados se siguen de las definiciones. En particular, si cualquier renglón o columna est6 formado(a) por ceros, entonces el valor del determinante es cero. Un tercer hecho fundamental acerca delos determinantes es el siguiente: si cambiamos un renglón ( o columna) mediante la suma de otro renglón ( o , respectivamente, columna), no cambiael valor del determinante. Para el caso de 2 X 2 esto significa que

Para el caso de 3 x 3 , est,o significa que

I=

y así sucesivamente. De nuevo, se puede probar esta propiedad usando nición de determinante (ver el ejercicio 35).

EJEMPLO 3

Suponer

a = ab

Mostrar que

+ PC; i.e., a =

( a l ,a2,a3) =

a(b1, b2, b3)

+ P(c1,

c2, c3)

la

defi-

1.3

EL PRODUCTO CRUZ

33

SOLUCIÓN Probaremos el el caso en que exactamente caso que probamos. Usando el determinante en cuestión

=-

11

ab1

+ PCI

-cubl

(Y

caso a # O, ,8 # O. El caso (Y = O = ,f3 es trivial, y uno de a, p es cero, es una modificación sencilla del las propiedades fundamentales delos determinantes, es

+

ab2 Pc2 -ab2 c2

c1

+PCB

ab3

-ab3 C?,

I

(factorizando - l / a en el segundo renglón) ab1

+ PCI

+

ab2 Pc2 -ab2 "PC2

(factorizando

-l/p

ab3

+

Pc3

-ab3

-PC3

1

en el tercer renglón) (sumando el segundo renglón al primero)

O

=O.

(sumando el tercer renglón al primero)

A

NOTA HIST~RICA

Parece que en 1693 Leibniz inventó y usó los determinantes por primera vez, en relación con soluciones de ecuaciones lineales. Maclauriny Cramer desarrollaron sus propiedades entre 1729 y 1750; en particular, mostraron que la solución del sistema de ecuaciones

es 21

1 =-

A

34


EUCLIDIAN0

Y

donde

hecho conocido como la regla de Crarner. Posteriormente, Vanderrnonde (1772) y Canchy (Isla), al tratar los determinant,escomo 1111 temaapartequemerecíaatención especial,desarrollaron el campodemaneramássistemática,concontribucionesde Laplace, Jacobi, y otros. A Lagrange (1775) se drben fórmulas para vohímenes de paralelepípedosentérminosdedeterminantes. Las estudiaremos más adelante en esta sección. No obstante que durante el siglo diecinueve los matemáticos estudiaron matrices y determinantes, los ternas se consideraban por separado. Para conocer toda la historia hasta 1900, ver T. Mnir, The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, reimpreso por Dover, Few York, 1960.

Ahora que hernos enunciado las propiedades necesarias de los d e t e r m i n a n t e s y estudiadosuhistoria,est,arrlos list,os para proceder c o n el p r o d u c t o c r u z dc vectores. Sean a = c l l i a'j q k y tl = h l i b2j h3k vect,ows e n R3. E l producto cruz de a y b, dcnot,ado por a x b , (;st#á definido como el vector

+

o , simbólicamente,

+

+

axb=ii;

;j;

+

ail.

A u n q u e sólo definimos los determinantes para arreglos de números reales, e s t a expresión formal que incluye vectores es u n a a y u d a útil para recordar el p r o d u c t o cruz. Notar que el producto cruz

producto vectorial.

EJEMPLO 4

Hallar (3i - j

de dos vectores es otro vector; a veces se le llama

+ k) x (i + 2j

-

k).

SOLUCIÓN

(3i-j+k)x(i+2j-k)=

= -i

+ 4j + 7k.

A

UZ

1.3

EL PRODUCTO

35

Ciertas propiedades algebraicas del producto cruz se deducen de la definición. Si a, b y c son vectores y (Y,/3 y y son escalares, entonces (i) a x b = -(b x a) (ii) a x (pb

+

+

yc) = @(ax b) y(a X c ) (aa+pb)xc=cy(axc)+@(bxc)

Notar que a x a = -(a

X

a), por la propiedad (i). Así, a X a

= O . En particular,

i x ij = xO jk=x, O k ,= O .

Además i x jj =x kk ,=x i ,= j ,

lo cual se puede recordar al permutar cíclicamente i, jy k así:

Nuestro siguiente objetivo es proporcionar una interpretación geométrica del producto cruz. Para hacerlo, introducimos primero el triple producto. Dados tres vectores a, b y c , el número real a.

(b x c )

Esto se puede escribir de manera más concisa como al

a2

a3

Supongan ahora que a es un vector en el plano generado por los vectores b y c . Esto significa que el primer renglón en la expresión como determinante de a . (b x c ) es de l a forma a = a b PC, y por lo tanto a (b x c ) = O, por el

+

-

36

LA GEOMETRíADELESPACIOEUCLIDIAN0

ejemplo 3. En otras palabras, el vector b x c es ortogonal a cualquier vector en el plano generado por b y c , en part,icular tanto a b con10 a c . A continuación calculamos la magnitud de b x c. Noten que

(b:

+ + b;)(c: + + c:) C:

=

(lbllz

=

((b/(’ l(c(I2 sen’ 0

l/c11* -

- (blcl

+

+

b 2 ~ 2

b 3 ~ 3 ) ~

(b* c)’ = l/b11’ llc//’ - llb11* 1 1 0 1 1 ~ cos2 0

donde 6’ es el ángulo entre b y c , O 5 8 5 T . Combinando nuest,ros resultados concluimos que b x c es un vector perpendicular al plano generado por b y c , con longitud J/bllllcll I sen 8).Sin embargo, hay dos vectores que pueden satisfacer estas condiciones, pues se pueden escoger dos direcciones que sean perpendiculares ( o normales) al plano P generado por b y c . Esto se ve claro en la figura 1.3.1, que muestra las dos posibilidades 111 y “ n l perpendiculares a P , con llnlll = 1 1 - nl 11 = llbll llcll I sen 01.

Figura 1.3.1 nl y n2 son los dos posibles vectores ortogonales a b y a c , ambos con norma \lb11(lcllIsenel.

¿Cuál es el vector que represenh a b X c?, in1 o -nl? La respuesta es nl = b x c . Resuelvan algunos casos, como k = i x j , para verificarlo. L a siguiente “regla de la mano derecha” determina la dirección de b x c : Si colocan la palma de su mano derecha de maneraque sus dedos se curven desde b en la dirección de c en un ángulo 8, el dedo pulgar apuntará en la dirección de b x c (figura 1.3.2).

37


Figura 1.3.2 Regla de la mano derecha para determinar en cuál de posibles apunta b x c .

las dos direcciones

Si b y c soncolineales,sen 0 = O, de modoque b x c = O. Si b y c no y b x c es un vector perpendicular son colineales, entonces generan un plano a este plan;. La longitud de b x c , llbll llcll I sen 81, es simplemente el k e a del paralelogramo que tienecomo lados adyacentesa los vectores b y c (figura 1.3.3). '

X

Figura 1.3.3 La longitud de b x c es igual al área del paralelogramo formado por b y

c.

38

LA GEOMETR~A DEL ESPACIO EUCLIDIANO

EJEMPLO 5

Hallar un vector unitario ortogonal a los vectores i

SOLUCI~N Un vector perpendicular a

i +j y a j

+j y j + k .

+ k es el vector

(i+j)x(j+k)= Como Ili - j

+ kll = A, el vector

es un vector unitario perpendicular a

i +j y j + k .

A

Usando el producto cruz podemos obtener la interpretación geométrica básica de los determinantes de 2 X 2 y, más adelante, de 3 X 3. Sean b = b l i b j y c = q i czj dos vectores en el plano. Si 6 denota el ángulo entre b y c , hemos visto que ]lb x cII = llbll llcll Isenel. Como ya se dijo, llbll llcll )sen61 es el área del paralelogramo con lados adyacentes b y c (ver la figura 1.3.3). Usando la definición del producto cruz,

+

+

Así, Ilb X cIJ es el valor absoluto del determinante

De aquí se sigue que el valor absoluto del determinante anterior es el área del paralelogramo que tiene como lados adyacentes a los vectores b = bli b j y c = cli czj.

+

+

EJEMPLO 6 Hallar el área del triángulo con vértices en los puntos (1, I), (o, a), y (3,2) (figura 1.3.4).

+

S O L U C I ~ N Sean a = i + j, b = 2j y c = 3i 2j. Es claro que el triángulo cuyos el vértices son los extremos delosvectores a, b y c tiene la misma área que triángulo con vértices en O , b - a y c - a (figura 1.3.4). En efecto, este último essólo unatraslación del triánguloanterior. Como el áreadeestetriángulo trasladado es la mitad del área del paralelogramo con lados adyacentes b - a = -i j y c - a = 2i j , hallamos que el área del triángulo con vértices ( 1 , l ) ,

+

+

39


i

01

1

2

3

(4

Flgura 1.3.4 Problema (a): Hallar el área A del triángulo sombreado. Solución: Expresar como diferencias de vectores (b) para obtener A = $ll(b- a) X (c - .)]I.

los lados

(O, 2) y (3,2) es el valor absoluto de 21 1 -12

esto es,

s.

11 ( = - 2 3.

A

Hay una interpretación de los determinantes de matrices de 3 X 3 como volúmenes, que es análoga a la interpretación de los determinantes de matrices de 2 x 2 como áreas. Sean a = uli u2j ugk, b = b l i + b2j b3k y c = cli c2j cgk, vectores en R3. Mostraremos que el volumen del paralelepipedo con aristas adyacentes a, b y c (figura 1.3.5) es el valor absoluto del determinante

+

+ + =

D

I

al

a2

a3

bl

bz

b3

c1

c2

c3

I

+ +

.

Sabemos que ( ( ax bll es el área del paralelogramo con lados adyacentes a y b. Más aún, I(a X b) c J = 1 1 ~ 1 Ila 1 x bll cos$, donde II, es el ángulo agudo que forma c con la normal al plano generado por a y b. Como el volumen del paralelepípedo con aristasadyacentes a, b y c es el productodeláreadela base [la x bll por la altura IIcIIcosII,, se sigueque el volumen es I(a x b) cI. Vimos en la pág. 35 que D = a (b x e). Al intercambiar renglones vemos que D = “c (b x a) = c (a X b) = (a x b) c; por lo tanto, el valor absoluto de 13 es el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes a, b y c .

-

P a r a concluir esta sección, usaremos métodos vectoriales para determinar la ecuación de un plano en el espacio. Sean P un plano en el espacio, a un vector que termina en el plano, y n un vector normal al plano (ver la figura 1.3.6).

Figura 1.3.5 El volumen del paralelepípedo formado por a, b, c es el valor absoluto del determinante de la matriz de 3 x 3 con renglones a, b y c .

X

1.3

EL PRODUCTOCRUZ

41

Si r es un vector en R3,entonces el extremo der está en el plano P si, y sólo si, r-a es paralelo a P y, por lo tanto, si,y sólo si,(r-a).n = O (n es perpendicular a cualquier vector paraleloa P “ver la figura1.3.6”). Como el producto interno es distributivo, esta última condición es equivalente a r n = a n. Por lo tanto, si hacemos a = ali azj ask, n = Ai Bj Ck y r = zi yj zk, se sigue que el extremo de r está en P si, y sólo si,

+

-

+ +

+ +

+

Az:+By+Cz=r.n=a.n=Aal+Baz+Cas.

(3)

Como n y a se tomaron fijos, el lado derecho de la ecuación(3) es una constante, digamos, -D. Entonces una ecuación que determina el plano P es Az:+By+Cz+D=O.

(4)

+ +

donde Ai Bj Ck es normal a P ; recíprocamente, si A , B y C no son cero simultáneamente, el conjunto de puntos (x,y, z ) que satisface la ecuación (4) es un plano con normal Ai+Bj+ Ck. La ecuación (4) es lineal en las tres variables z, y, z y así corresponde geométricamente a una superficie lineal, esto es, un plano, en R3. Los cuatro números A, B , C,D no están determinados de manera única por P . Para verlo, noten que (2, y, z ) satisface la ecuación (4) si, y sólo si, además satisface la relación (AA)z:

+ (AB)?/+ (AC)z + ( A D ) = O

para cualquier constante A # O. Si A, B , C , D y A’, B’, C‘, D‘ determinan el mismo plano P , entonces A = AA’, B = AB’, C = AC’, D = A D para un escalar A. Decimos que A, B , C , D están determinadas por P salvo un múltiplo escalar. Recíprocamente, dados A, B , C , D y A’, B’, C’, D’, determinan el mismo plano si A = AA’, B = AB’, C = AC’, D = AD’ para algún escalar X. Este hecho se aclarará en el ejemplo 8. El plano con normal Ai Bj Ck, que pasa por un punto R = ( 2 0 ,yo,zo) es

+ +

+

A ( . - 20) B ( y - yo)

+ C ( Z-

ZO)

=0

(notar que 2 = 2 0 , y = yo, z = zo satisface la ecuación Byo Czo). caso, D = -(Azo

+

+

(5)

(S), y entonces, en este

Determinar la ecuación del plano perpendicular al vector i +j + k, que contiene al punto (1,O, O).

EJEMPLO 7

SOLUCIÓN

estoes, x

De la ecuación (5), el plano es 1(z - 1) A

+ y + z = 1.

+ l ( y - O) + 1(z - O) = O;

42


EUCLIDIAN0

+ +

Método 1. Cualquier ecuación del plano es de la forma Az B y = O. Como los puntos (1,1,1)y (2,O,O) y (I,l,O) están en el plano,

SOLUCIÓN

Cz

+D

tenemos

A+B+C+D=O

+D=O

2A

+D=O

A+B

Mediante eliminación, reducirnos este sistema de ecuaciones a la forma

+D =O 2B + D = O 2A

(segunda ecuación) ( 2 x tercera-segunda)

C=0

(primera-tercera)

Como los números A , B C y D están determinados salvo un múltiplo escalar, podemos fijar el valor de uno y así los otros quedarán determinados de manera única. Si hacemos D = -2, entonces A = $1, B = $1, C = O. Así, la ecuación del plano que contiene a los puntos dados es x y - 2 = O.

+

+ +

+

Método 2. Sean a = i j k, b = 2i y c = i j . Cualquier vector normal al plano debe ser ortogonal a los vectores a - b y c - b, que son paralelos al plano, ya que sus extremos están en el plano. Así, n = (a - b) X ( c - b) es normal al plano. Al calcular el producto cruz tenemos,

1- 1 I li

n = -1 P

1 1 =-i-j.

Así, cualquierecuación del plano es tie la forma -z - y + D = O (salvo u11 rnúltiplo escalar). Como (2, O, O) está en el plano, D = +2. Después de sustituir, obtenemos 2 y - 2 = O. A

+

EJEMPLO 9 Determinar la distanciadelpunto E = ( 2 1 , y 1 , z l ) al plano ecuacibn A ( z - zo) + B ( y - yo) + C ( z - z o ) = Az B y C z D = O .

+

SOLUCIÓN

Considerar al vector I1

=

+ +

A i + Bj Ck J A 2 B2 C2

+

+

+

COR


43

X

Figura 1.3.7 La geometría para determinar la distancia del punto E al plano P.

que es un vector unitario normal al plano. Bajar una perpendicular de E al plano y construir el triángulo REQ mostrado en la figura 1.3.7. La distancia d = IEQI ”-+

es la longitud de la proyección de v = RE (el vector de R a E) sobre n; así,

-

distancia = Iv nl = I [ ( z ~ - z0)i

+ (y1 - y0)j + (zl

zo)k] nl

+ B(YI- + C(z1 -

- IA(z1 - 20)

+

-

YO)

dA2+ BZ+ C2

ZO)~

Si el plano está dado en la forma Ax B y + Cz + D = O, escogemos un punto (20, yo, 20) sobre éI y notamos que D = -(Ax, By0 Czo).AI sustituir en la fórmula anterior da

+

+

EJERCICIOS 1. Verificar que al intercambiar

3x3

1: : ; I

dos renglones o dos columnas del determinante de

2

0

2

se cambia el signo del determinante (escoger cualesquiera dos renglones o cualesquiera dos columnas).

44


2. Evaluar

3: Calcular a x b, donde a = i

-

36 45 3

18 24 5

17 20 -2

17

19

23

2 j + k , b = 2i

+j + k.

4. Calcular a (b x c ) , donde a y b son corno en el ejerticio 3 y c = 3i

(O, O , O), (1,1,1) y (O, -2,3). Hallar sn área.

6. Un triingulo tiene vértices

7. ¿Cui1 es el volumen del paralelepípedo con aristas 2i

+j - k, 5i - 3k e i

iCuál es el volumen del paralelepípedo con aristas i, 3j - k y 4i

9.

+ 2k.

j

los vectores'a y b dados

Hallar el área del paralelogramo que tiene como lados a en el ejercicio 3.

En losejerciciosdel vectores dados.

-

9 al 12, describirtodos

+ 2j

-

-

2j

+k?

k?

los vectores unitarios ortogonales a

los

i, j

10. -5i

+ 9j

-

4k, 7i

-Si - 9j - 4k, 7i 12. 2i - 4 j

+ 8j + 9k

+ 8j + 9k, O

+ 3k, -4i + 8j

13. Calcular

u

-

Gk

+ v, u - v , llull, llvll y u x v donde u = i

14. Repetir el ejercicio 1.3 para u = 3i

+ j - k , v = -6i

15. Hallar una ecuación para

-

-

2j

2j

+ k, v = 2i

-

-

j

+ 2k.

2k.

el plano que perpendicular a v = ( I , ] , 1) y pasa por ( l , O , O ) . (b) es perpendicular a v = ( 1 , 2 , 3 ) y pasa por (1,1,1). (c) es perpendicular a la recta 1(t) = ( 5 , o , 2 ) t ( 3 , - 1 , l ) y pasa por (5, -1, O). es perpcndicular a la rect,a l(t) = (-1, -2, 3)1 + ( O , 7 , 1 ) y pasa por (2,4, - I ) .

m e s

+


45

17. (a) Probar las identidades

(B C)A y

A

X

k.,l

(A

B) X C = ( A - C ) B -

X

(u X v) X w = u X ( V X W ) si, y sólo si (U X W ) x v = O. (u x v) x w + (v x w) x u + (w x u) x v = O (la identidad de Jacobi).

(b) Probar (c) Probar

18.

del triple producto vectorial

(B X C) = (A C)B - (A * B)C.

Probarsinrecursosgeométricos,que

u.(vxw)=v.(wxu)=w.(uxv)=-u.(wxv)

= “w (v x u) = -v - ( ux w) (b)

Probar

-

-

.

(u x v) * (u’x v’) = (u u’)(v V’) - ( u . v))(u/ v) =

[IDEA:Usar la parte (a) y el ejercicio 17(a).] 19. Verificar l a regla de Cramer presentada en la nota histórica de la página 33. 20. Hallar una ecuación para

v = (1, -2,2)

+ t ( 3 ,-2,4).

el planoquepasa

por (2, -1,3)

y esperpendiculara

Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1, -2, -3) y es. perpendicular al plano 3 ~ - - - 2 ~ + 4 = 0 .

24. Hallar la distancia de ( 2 , 1 , -1) al plano

2:

Hallar una ecuación del plano que pasa por recta v.= (1, -1, O) t ( 3 , 2 , -2).

+

- 2y + 22 + 5

= O.

( 3 , 2 , -1) y ( 1 , - 1 , 2 ) y es paralelo a l a

27. Rehacer los ejercicios 19 y 20 delasección 1.1 usando el producto punto y l o s conocimientos adquiridos acerca de normales y planos.

2@. Dados los vectores a y b, Les cierto que las ecuaciones x X a =b y determinan sólo un vector x? Dar argumentos geométricos y analíticos.

X

a = llall

-

46

LA GEOMETRiADELESPACIO

EUCLIDIAN0

29. Determinar la distancia del plano 1'22

+ 13y + 5 2 + 2 = O al punto (1, 1, -5).

Hallar l a distancia al punto (6, 1, O) del plano que pasa por el origen y es perpendicular a i - 2j k.

+

31. En mecánica se defineel momento M de una fuerza F alrededor de u n p u n t o O como l a magnitud de F por la distancia perpendicular d de U a l a linea de acción de F. (Recordemos del ejemplo 10, sección 1.1,que las fuerzas se pueden considerar vectores.) El momento vector M es el vector de magnitud M cuya dirección es perpendicular al plano de O y F, determinado por l a regla de l a mano derecha. Mostrar que M = R X F, donde R es cualquier vector que va de O a la línea de acción de F (ver la figura 1.3.8.).

O

de

acción

Figura 1.3.8 Momento de una fuerza 32. La velocidad angular de rotación w , de un cuerpo rígido tiene la misma dirección q n e el eje de rotación y magnitud igual a la tasa de giro en radianes por segundo. El sentido de w se determina por la regla de la mano derecha.

(a) Sea r un vector que va del eje a un punto P del cuerpo rígido. Mostrar que el vector v = w x r es la velocidad de P, como en l a figura 1.3.9, con w = V I y r = v2. (b) Interpretar el resultado para l a rotación de un carrusel alrededor de su eje, donde P es u11 punto en la circunferencia.

Figura 1.3.9 E1 punto

P tiene vector velocidad v .

1.4 COORDENADASESFÉRICAS Y CI~NDRICAS

47

Dos medios fisicos con indicesde refracción n1 y h2 están separados poruna al vectorunitario N . Sean a y b vectoresunitarios superficieplanaperpendicular a lolargodelos rayos incidente y refractado,respectivamente,susdireccionesson las de dichos rayos de luz. Mostrar que n l ( N x a) = nz(N x b), usando l a l e y d e Snell, sen O1 /sen 8 2 = n 2 / n 1 , donde 81 y 8 2 son los ángulos de incidencia y refracción, repectivamente (ver la figura 1.3.10.) rayo de luz

N

Figura 1.3.10 Ley de Snell.

l1

4

5

7

8

*a

'1 1'

1;

'1

Justificar los pasos en los siguientes cálculos: 6 = O - 3 - 6 1 0 - 3 10 EC 10 O

-6

-11

-6

=

1-3 -6

-61

-11

= 33 - 36 = -3.

*35. Mostrar que, en una matriz, al sumar un múltiplo del primer renglón

no se altera el determinmte, esto es, uz

+ Xu1

hi

b2

+ Ab1

c1

~2

c3

b3

!1

+ X C ~=

al

51

~2

b2

~2

a3

b3

c3

c1

1

el segundo

.

[De hecho, al sumar en una matriz un múltiplo de cualquier renglón (columna) renglón (columna), no se altera el determinante.] 1.4

a otro

COORDENADAS ESFÉRICAS Y CILíNDRICAS

La manera usual de representar un punto en el plano R2 es mediante las coordenadas rectangulares ( 2 ,y). Sin embargo, como ya seguramente lo aprendió el lector en cálculo elemental, las coordenadas polares en el plano pueden ser muy útiles. Como se muestra en la figura 1.4.1, las coordenadas (.,e) están relacionadas con (z, y) mediante las fórmulas x = r cost9

donde usualmente tomamos

T

y

y = r sen O ,

2 O y O 5 B < 27r.

48

L A GEOMETRíADELESPACIO

EUCLIDIAN0

.

Figura 1.4.1 Las coordenadas polares de

(.,y)

son ( r , o )

A los lectores no familiarizados con las coordenadas polares se les recomienda estudiar las secciones respectivas en su libro de cálculo. Ahora vamos a exponer dos maneras de representar puntos en el espacio, además de las coordenadas cartesianas rectangulares (x,y , z ) . Estos sistemas coordenados alternativos son particu1arment.e adecuados para ciertos tipos de problemas, como por ejemplo, la evaluación de integrales (ver la sección 6.3). DEFINICI~N (ver la figura 1.4.2). Las coordenadas cilíndricas ( r , B ,2 ) de un p u n t o (z, y, z ) están definidas por

x =TCOS~,

y = r seno,

z =z

(1)

Y

\

Figura 1.4.2 Representación de un punto (z, y, z j en términos de sus coordenadas cilíndricas r , 8 y z.

1.4 COORDENADAS ESFÉRICASY CI~NDRICAS

49

o, explícitamente, T

=

J

Z

,

Z = Z ,

tan"(y/z) si z > O y y 2O tan"(y/z) si z < O 2x tan-'(y/z) s i z > O y y

% = {?r

+ +

donde tan-?(y/x) está entre - ~ / 2y ~ 1 2 Si . 2 = O, entonces 8 = ~ 1 para 2 y y 3 ~ / 2para y < O . Si x = y = O, 8 no está definido.

>O

En otras palabras, para cada punto ( x ,y, z ) representamos la primera y segunda coordenadasen términos de coordenadas polares y no alteramos la tercera. La fórmula (1) muestra que, dados (Y,0 , z ) , la terna (x,y, z ) está completamente determinada y, viceversa, si restringimos 0 al intervalo [O, 2n) ( a veces es conveniente la extensión ( - T , TI) y requerimos que T > O. Para ver por qué usamos el término "coordenadas cilíndricas", nótese que si O 5 8 < 27r, "o0 < z < m y T = a es una constante positiva, entonces el lugar geométrico de estos puntos es un cilindro de radio a (ver la figura 1.4.3).

Figura 1.4.3 La gráfica de los puntos cuyas coordenadas cilíndricas satisfacen

r = a es

un cilindro.

EJEMPLO 1 (a) Hallar las coordenadas cilíndricas de ( 6 , 6 , 8 ) y localizar el punto. (b) Si un punto tiene coordenadas cilíndricas (8,2~/3, -3), jcuáles son s u s coordenadas cartesianas? Localizarlo. SOLUCIÓN Para la parte (a), tenemos T = d t a n - l ( l ) = a / 4 . Así, las coordenadas cilíndricas

m=6fi

y 8 = tan"(6/6) = son (6fi, ÍT/~,$). Éste es el

50

LA GEOMETRíADELESPACIO ~

$.*

‘:i’

si, i:’ \.

. .,.í ?,?!

?.

EUCLIDIAN0

j,

X

Figura 1.4.4 Ejemplos de conversión entre coordenadas cartesianas y cilíndricas.

punto P de la figura 1.4.4. Para la parte (b), tenemos 8 2

2x

x = r c o s $ = 8cos - = -- = -4 3

Y y = sen$

Así, lascoordenadascartesianas figura.

A

& =4v5

= 8sen - = 82K

3

2

son (-4,4&,

- 3 ) . Éste es el punto Q de la

Las coordenadas cilíndricas no son l a s linicas generalizacioncs posibles (I(’ í k t - . coordenadas polares a tresdimensiones.Recuerden clue en dos d i m e t I s i o r l r + - / ; I magnitud del vector .ri+y.j (csto es, r s la r (’11 r.1 sistema dc c o o r ~ l ~ ~ ~ ~ . ~ das polares. Para las coordenadas cilíndricas, la longit,~~tl tlcl vector s i + y.j + rk. a saber,

d w )

1.4

COORDENADAS ESFERICAS Y ClLfNDRlCAS

175874

51

Ahora modificaremos esto introduciendo el sistema de coordenadas esféricas, que usa a p como coordenada. Las coordenadas esféricas suelen ser útiles para resolver problemas donde hay simetríaesférica (simetría alrededor de un punto), ls coordenadas cilíndricas se pueden aplicar donde haya simetría mientras que a cilíndrica (simetría alrededor de una recta). Dado un punto (z,y, z ) E R3, sea

y representemos z y y mediante coordenadas polares en el plano xy: x = rcos0,

donde r = dada por

d m y 0 está dada

y = rsen0

(2)

por la fórmula (1). La coordenada z está

z = pcosqb,

donde 4 esel ángulo(entre O y T , inclusive)que forma el radiovector v = zi yj zk con el eje t , en el plano que contiene al vector v y al eje z (ver la figura 1.4.5). Usando el producto punto podemos expresar 4 como sigue:

+ +

Z

52

iA GEOMETRíADELESPACIO

EUCLIDIAN0

Tonlarnos como coordenadas las cantidades p, 8, 4. Como T

= psenq!

podemos usar la fórmula (2) para expresar x , y y z en términos de coordenadas esféricas p , B, 4. DEFINICI~N Las coordenadas esféricas de

x = psendcos8,

(x,y, z ) se definen como sigue:

y = psendsen0,

z

= pcosd

(3)

donde pL0,

0<0<2A,

O
Nótese que las coordenadas esféricas B y 4 se parecen a las coordenadas geográficas de longitud y latitud si consideramos al eje de la Tierra como el eje z . Sin embargo, hay diferencias: la longitud geográfica es 101 y se llama longitud este u oeste, dependiendo de si B es positivo o negativo; la latitudgeográfica es I7r/2- 41 y se llama latitud norte o sur, dependiendo de si 7r/2 - B es positivo o negativo. Nótese que en coordenadas esféricas la ecuación de la esfera de radio a con centro en el origen toma la forma particularmente sencilla p=a

EJEMPLO 2

(a) Hallar l a s coordenadas esféricas de (1, -1,l) y localizarlo.

(b)

Hallar las coordenadas cartesianas de (3, ~ / 6 ,

~y/ localizarlo. 4)

(c) Sea un punto con coordenadas cartesianas (2, -3,6). Hallar sus coordenadas esféricas y localizarlo. (d) Sea un punto con coordenadas esféricas (1, - ~ / 2 , 7 r / 4 ) . Hallar sus coordenadas cartesianas y localizarlo.

= cos-'

(:)

= cos-'

Ver la figura 1.4.6(a).

(5)

M

0.955 M 54.74'

1.4 COORDENADASESFÉRICAS Y CILI'NDRICAS

p' # fJ

(1,-1,l)

P=djJ

"""

^"

"

53

=

55"

-

"-Y';"

"

Figura 1.4.6 Búsqueda de (a) las coordenadas esféricas del punto coordenadas cartesianas de (3, a/6, ~ / 4 ) .

(b)

2:

= psen4cosO = 3sen

($)cos ();

=3

(5)

& - 3-&2

Ver la figura 1.4.6(b).

(.)

p = d w = J 2 2 + ( - 3 ) 2 + 6 2 = f i = 7 ,

0 = tan-'

(5)

4 = cos-'

(f) = cosp1 ('$)M 0.541 M 31.0'.

):(

= tan-'

Ver l a figura 1.4.7(a).

Ver l a figura 1.4.7(b).

A

(1,-1,l) y (b) las

z -0.983 z -56.31",

2 6 '

54


(4

EUCLIDIAN0

Z

Z

I

- 56" X "

X

Figura 1.4.7 Búsqueda de (a) las coordenadas esféricas de ( 2 , - 3 , 6 ) y (b) las coordenadas cartesianas de ( 1 , -x/2, a/4).

EJEMPLO 3 Expresar (a) la superficie zz = 1 y (b) la superficie .'+y2 en coordenadas esféricas.

- z2 = I

SOLUCIÓN De la fórmula (3), z = p s e n 4 c o s 8 , z = pcos4, y, por lo tanto, la superficie (a) está formada por todos los ( p , O, 4) tales q u e p2sen 8 cos O cos 4 = I ,

i.e.,

Para la parte (b) podemos escribir z2

p2 sen 24 cos O = 2.

+ y2 - z2 = z2 + y2 + z2 - 2z2 = p2 - 2p2 cos2 4,

de manera que la superficie es p2(1- 2 cos2 4) = 1, o bien - p 2 cos(24) = 1.

A

z

V

X

Figura 1.4.8 Vectores ortonormales e,., eo y e , asociados con las coordenadas cilíndricas. El vector e , es paralelo a la recta denominada T.

1.4

COORDENADAS ESFÉRICAS Y CIÚNDRICAS

55

Figura 1.4.9 Vectores ortonormales e,,, eo y e4 asociados con las coordenadas esféricas.

Hay vectores unitarios asociadoscon las coordenadas cilíndricasy esféricas, que son la contraparte de i, j y k para las coordenadas rectangulares. Se muestran en las figuras 1.4.8 y 1.4.9. Por ejemplo, e , es el vector unitario paralelo al planoz y , en dirección radial, de manera quee , = (cos B)i+(sen 8)j. De manera análoga, en coordenadas esféricas e4 es el vector unitario tangente a la curva parametrizada por la variable 4, manteniendo fijas las variables p y 8. Usaremos estos vectores unitarios más adelante, cuando en cálculos vectoriales se utilicen coordenadas cilíndricas y esféricas (ver la sección-3.5).

EJERCICIOS (a) Los puntos siguientes están dados en coordenadascilíndricas;expresarcada y coordenadas esféricas: (1,45O, l ) , (2,7r/2, -4), unoencoordenadasrectangulares ( O , 4 5 O , l o ) , (3, 7r/6,4), ( 1 , -7r/6, O), (2,37r/4, -2). (Sólo el .primer punto se resuelve en la Guía de estudio.) (b) Cambiar los puntossiguientesdecoordenadasrectangulares a coordenadas 1, l ) , ( - 2 6 , - 2 , 3 ) . (Sólo esféricas y a coordenadas cilíndricas:( 2 , 1 , -2), (O, 3 , 4 ) , el primer punto se resuelve en la Guía de estudio.)

(a,

56


-

EUCLIDIAN0

3. Describir el significadogeométricodelassiguientesasociacionesencoordenadas esféricas: (a) (P2 0, 4) (P, 0 x , 4)

kb,l (c)

+

(P,@,d)++(PIQ,") (P, 0, 4) H 0 r/2,4)

+

4. ( a ) Describir las superficies T = constante, O = constante y z = constante en el sistema de coordenadas cilíndricas. ( b ) Describir las superficies p = constante, O = constante y 4 = constante en el sistema de coordenadas esféricas.

Mostrar que para representar cada punto en R3 por medio de coordenadas esféricas es necesario tomar sólo valores de O entre O y 2r, valores de 4 entre O y K , y valores de p 2 O. ¿Serían únicas estas coordenadas si permitimos que p 5 O? 6. Usando coordenadas cilíndricas y los vectores ortonormales (ortogonales normalizados) e , , ee y e, (ver la figura 1.4.8), (a) expresar cada uno de los vectorese,, ee y e , en términos dei, j,k y (x,y, z); y (b) calcular ee x j de manera analítica, usando la parte (a), y geométrica.

7. Usando coordenadas esféricas y los vectores ortonormales (ortogonales normalizados) e p ,ee y e++, (ver la figura 1 . 4 . 9 ) , expresar cada uno delos vectores e p ,es y e++, en términos de i, j,k y ( 2 , y, 2 ) ; y (b) calcular es X j y e4 X j de manera analítica y geométrica. 8. Expresar el plano z = x en coordenadas (a) cilíndricas

y (b) esféricas.

Mostrar que en coordenadas esféricas: (a) p es la longitud de zi yj zk. (b) 4 = cos-l(v k/l/vll), donde v = zi yj (c) 0 = cos-'(u. i/l/ull), donde u = zi yj.

-

+ +

+ + zk. +

en coordenadas esféricas mediante las ecuaciones p = una función de dos variables. ¿Cómo se obtiene geométricamente la segunda superficie a partir de la primera? 10. Dos superficies se describen

f(0,d) y

p = -2f(O,

d), donde f ( 0 , d ) es

+

11. Una membrana circular en el espacio está sobre la región z 2 y 2 5 a'. La componente z máxima de los puntos de la membrana es b. Suponer que (x,y, z) es un punto en la membrana torcida. Mostrar que el punto correspondiente ( T , O, z ) en coordenadas cilíndricas satisface las condiciones O 5 i. 5 a , O 5 O 5 2x, 121 5 b.

12. Un tanque con forma de cilindro circular recto, con radio de 3 m y altura de 5 m contiene la mitad de líquido y reposa de lado. Describir el espacio ocupado por el aire dentro del tanque mediante la elección adecuada de coordenadas cilíndricas.

Seva a diseñar un vibrómetro que soporte los efectos del calentamiento de su d, la cual está enterrada a profundidad de d / 3 ; el Sol cubierta esférica de diámetro calienta la parte superior (suponer que la Tierra es plana). El análisis la deconducción de calor requiere una descripción de la parte enterrada de la cubierta, en coordenadas esféricas. Hallarla.

1.S

ESPACIO n-DIMENSIONAL EUCLIDIAN0

57

14. Un cartucho de filtro de aceite es un cilindro poroso, circular, recto, por el cual fluye el aceite desde el eje hacia la superficie curvada exterior. Describir el cartucho en coordenadas cilíndricas, si el diámetro del filtro es de 4.5 pulg, la altura es de 5.6 pulg y el centro del cartucho está taladrado (a todo lo largo) desde arriba para permitir la entradadeunpernodedepulg. *15. Describir la superficie dada en coordenadas esféricas por p = cos 20.

1.5 ESPACIO EUCLIDIAN0 n-DIMENSIONAL

En las secciones 1.1 y 1.2 estudiamos los espacios R = R1, R2 y R3 y dimos sus interpretaciones geométricas. Por ejemplo, un punto (x,y, z ) en R3 se puede a saber, el segmentoderectadirigido, O pensar como unobjetogeométrico, vector, que sale del origen y termina en el punto (x,y, z). Entonces podemos pensar R3 de cualquiera de estas dos maneras: (i) Algebraicamente, comoun conjunto de ternas ( x , y , z ) donde x , y y z son números reales (ii) Geométricamente, como un conjunto de segmentos dirigidos Estasdosmaneras deconsiderar R3 sonequivalentes. L a definición (i) es más conveniente para generalizar. Específicamente, podemosdefinir R", donde n es un entero positivo (quizá mayorque 3), como el conjunto de todas las n-adas ordenadas x I , x 2 , . . . , z,) donde los xi sonnúmeros reales. Por ejemplo,

J'

( 1 , 4 , 2 , 3) E R4. El conjunto R" definido anteriormente se conoce como n-espacio euclidiano, y sus elementos x = ( x 1 , x 2 , . . , x n ) se conocen como vectores o n-vectores. Al hacer n = 1, 2 o 3 , recuperamos la recta, el plano y el espacio tridimensional, respectivamente. Comenzamosnuestroestudio deln-espacioeuclidiano introduciendovarias operaciones algebraicas. Éstas son análogas a las introducidas en la sección 1.1 para R2 y R3. Las primeras dos, sumay multiplicación por un escalar, se definen como sigue: ,

(i)

+ ( y I , y 2 , . . . , y")

( X I , ~ Z ,. ..,xn)

Y (ii)paracualquiernúmeroreal

= (x1

+ y 1 , +~ yz, . . . , x, + y");

(Y,

@(el, z 2 , .. . ,X") = ((YZI,cYZZ,. . . , (Y%).

La importancia geométrica de estas operaciones para R2 y R3 se analizó en la sección l. l. Los n vectores el = ( l , O , O , . . . , O), e2 = (O, 1 , O , . . . , O ) , . . . , e , = (O, O , . . . O , 1) se llamanvectoresde la base usual de R", y generalizan los tresvectores unitarios ortogonales entre sí, i, j y k de R3. El vector x = ( x l , x 2 ,. . . , z), se puede escribir como x = zlel + x282 + . . . + xnen.

58

U GEOMETRÍADEL ESPACIO EUCLlDlANO

Para dos vectores x = ( 2 1 ,23) ~ ~ y y~ = (y1, yz, y3) en R3, definimos el producto punto o producto interno x y como el número real x y = z l y l z2y2 2 3 ~ 3 . E s t a definiciónseextiendefácilmente a R"; específicamente, para x = (212 , 2 , . . . , G ) , y = ( y l , y ~. ., . , y n ) , definimos x. y = z l y l 22yz . . . z,y,. En R" se suele usar la notación (x,y) en lugar de x y , para el producto interior. Continuando con la analogía con R3, ahora tenemos que definir el concepto abstracto de longitud o norma de un vector x mediante la fórmula

-

-

+

longitud de x = ((x\( = fi=

+

+ +

+

+ + + &. s . .

Si x y y son dos vectores en el plano (R') o en el espacio (R3),sabemos que el ángulo B entre ellos está dado por la fórmula

El lado derecho de esta ecuación está definido tanto para R" como para R2.Aún representa el coseno del ángulo entre x y y; este ángulo está bien definido pues x y y están en un subespacio bidirnensional de Rn (el plano determinado por x y y). El producto punto es una poderosa herramienta matemática; una razónes que incorpora el concepto geométrico de ángulo entre dos vectores. Será útil disponer de algunas propiedades algebraicas del producto interior. Se resumen en el siguiente teorema (ver las propiedades (i), (ii), (iii) y (iv) de la sección 1.2)

TEOREMA 2

Para x, y y z E R" y

+ /?y)

(i) (ax

+

CY

y

p números reales, tenemos

z = a(x z) /?(y.2 ) .

(ii) x. y = y - x .

(iii) x . x 2 O.

(iv) x x = O si, y sólo si, x = O .

DEMOSTRACI~N Cada una de las cuatro afirmaciones se puede probar mediante un sencillo cálculo. Por ejemplo, para probar la propiedad (i) escribimos

La otra demost,ración es similar.

UCLIDIAN0 L 1.5

ESPACIO

59

En la sección 1.2 probamos una propiedad mucho más interesante delos productos punto, llamada la desigualdad de Cauchy-Schwarz ( a veces se le llama desigualdad de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz, o simplemente desigualdad CBS, casos particulares por el maporque se descubrió de manera independiente en temático francésCauchy,elmatemáticoruso Bunyakovskii y el matemático la ley de loscosenos. alemán Schwarz). Para R2 la demostración requirió de Podríamos escoger este método para Rn,restringiendo nuestra atención a un plano en R". Sin embargo, podemos dar una demostración directa, completamente algebraica. TEOREMA 3

Entonces

(DESIGUALDADDECAUCHY-SCHWARz)

Sean x y y vectores en R" .

5 llxll I l Y l l . DEMOSTRACI~N Sea a = y y y b = "x y. Si a = O el teorema es claramente válido, pues entonces y = O y ambos lados de la desigualdad se reducen a O. Así, Ix * YI

podemos suponer que a

# O.

-

Por el teorema 2 tenemos

O<(ax+by)~(ax+by)=a2x~x+2abx~y+b'y~y

-

-

= (y y)2x x - (y y)(x

-

y)'.

Al dividir entre y y se tiene

O

(x Y12

I (x

X)(Y

. Y ) = llX1l2 llY1I2

Al extraer raíz cuadrada en ambos lados de esta desigualdad se obtiene la regla deseada. Hay una consecuencia muy útil de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en términos de longitudes. La desigualdad del triángulo es geométricamente clara en R3. En la figura 1.5.1, llOQll = (Ix YII, lloplj = llxll = llRQ11 Y llORll = llyll. Como la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor o igual que l a longitud del tercero, tenemos llOQll 5 llORll IlRQil, esto es IIx YII 5

+

+

+

+

Figura 1.5.1 Esta situación geométrica muestra que llOQll 5 llORll llRQ11, o, en notación vectorial, que IIx y11 llxll llyll, lo cual es la desigualdad del triángulo.

+ <

+

60


EUCLIDIAN0

IIXIISIIyII.El caso para R" no es tan obvio, de modo que daremos la demostración analítica. COROLARIO

Sean x y y vectores en R". Entonces

+ y11 5 llxll + llyll

(desigualdaddeltriángulo)

Por el teorema 3 , x

y5 [x y1

IIx DEMOSTFIACI~N IIX

+ Y1I2 = llX1l2 + 2 x

Y + llY1I2 5

5 llxll llyll,de modo que

+ 211xll IlYll + llYIl2.

llX1l2

+ y1I2 5 (11x11+ l l ~ 1 1 ) ~ ; al extraer raíz cuadrada se tiene

De aquí obtenemos IIx e1 resultado.

Si el teorema 3 y su corolario se desarrollaran algebraicamente, se convertirían en las siguientes útiles desigualdades:

EJEMPLO 1

S e a x = ( 1 , 2 , 0 , - 1 ) y y = ( - 1 , 1 , 1 , 0 ) . Verificarelteorema3ysu

corolario para este caso: SOLUCI~N

+ + 02 + =4 5 llyll = + 1 2 + 1 2 + = J;s x 'y = 1(-1) + 2 1 + o 1 + (-1)0 = 1 llxll

= J12

22

(-1)2

&1)2

x IIX

o2

+ y = (O, 3,1, -1)

+ y11 =

Jo2

+ 32 + 12 +

*

(-1)2

=f

i .

Calculamos X * y = 1 5 4.24 z && = llxll llyll, lo cual verifica el teorema 3 . De manera análoga podemos verificar su corolario:

IIx +y(]= f i % 3.32 5 4.18 =2.45+1.73W&+h=llxll+llyll.

A

Por analogía con R3, podemos definir el concepto de distancia en R"; a saber, o si x y y son puntos en R", la distancia entre x y y se define como IIx - y[\, la longitud del vector x - y . Insistimos en que n o hay producto cruz definido en R", excepto para n = 3 . Sólo se generaliza el producto punto.

1.5 n-DIMENSIONAL ESPACIO EUCLIDIAN0

61

Generalizando las matrices de 2 x 2 y de 3 x 3 (ver la sección 1.3), podemos considerar matrices de m X n , arreglos de mn números:

[y1 7' all

A=

am]

alz

amz

...

aln

" '

'Zn].

' "

amn

También escribiremos A como [ a i j ] . Definimos suma y multiplicación por un escalar por componentes, tal y como se hizo para vectores. Dadas dos matrices de m X n A y B , podemos sumarlas (restarlas) para obtener una nueva matrizde m X n , C = A + B ( C = A - B ) , cuyo ij-ésimo registro cij es la suma(diferencia) de aij y b i j . Es claro que A B = B A .

+

: :I=[; : 4

EJEMPLO 2

2

[S

1

4

+

0

I]+[-:

Dado un escalar X y una matriz A de m x n , podemos multiplicar A por X para obtener una nueva matriz m x n AA = C, cuyo ij-ésimo registro cij es el producto Xaij. EJEMPLO 3

3[:

1

-1

:I-[:

3

2

-3

6 I:].

A

A continuación pasamos a la multiplicación de matrices.Si A = [ a i j ] ,B = [ b i j ] , entonces AB = C tiene registros dados por n

k=l

que es el producto punto del i-ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B :

62


EJEMPLO 4

Sea 1

0

A=[2 1

1 0

3

o]

B=

y

0

Entonces A De manera análoga, mediante la misma regla podemos multiplicar una matriz de n x m ( n renglones, m columnas) por una matriz de m x p ( m renglones, p columnas) para obtener una matriz de n x p ( n renglones, p columnas). Nótese que para que esté definida A B , el número de columnas de A debe ser igual al número de renglones de B .

EJEMPLO 5

Sea

Entonces

y B A noestá

definida.

EJEMPLO 6

Sea

A=

3

1

5

AB=[3

4

51'

A

[ ;]

y

B=[2 2

1

21.

Entonces y

B A = [13].

A

Cualquier matriz A de m X n determina una asociaciónde R" a Rm de la manera siguiente: Sea x = ( 2 1 , . . . , x") E R"; considerar la matriz columna de

1.5

63

ESPAUO EUCLIDIAN0 n-DIMENSIONAL

n x 1 asociada con x , que denotaremos temporalmente por

y multiplicar A por xT (considerada como

una nueva matriz de m x 1:

xT:

una matriz de n x 1) para obtener

Entonces obtenemos un vector y = ( ~ 1 ,... , ym). Para usar una matriz A que x = (21,. . . , x,) a vectores sirva para obtener una asociación de los vectores y = (y1,.. . , ym) de acuerdo con la ecuación anterior, hemos de escribir los vectores en forma de columna

:'1

Lx,

en lugar de la forma de renglón ( 2 1 , . . . , x,).

J

Este cambio repentino deescribir x comorenglón - a escribirlo como columna es necesario debido a las convenciones sobre multiplicación.* Así, aunque cause alguna confusión, escribiremosx = (21,. . . , x,) y y = (y1, . . . ,ym) como vectores columna x =

[2'1 [ y' ] ,y =

Xn

cuando-se tratede multiplicaciones de matrices;

Ym

esto es, identificaremos estas dos formas de escribir vectores. Así, suprimiremos l a T en xT y consideraremos iguales a xT y a x ; esto es, x = xT. Así, A x = y significará "en realidad" lo siguiente: Escríbase x como vector columna, multiplíquese por A, y sea y el vector cuyas componentes son las del A x define,por lo vectorcolumnaresultante de la multiplicación. La regla x tanto, una asociación de R" a Rm. Esta asociación es lineal; esto es, satisface A(x+y) =Ax+Ay A ( a x ) = .(Ax),

(Y

un escalar,

como puede verificarse fácilmente. En un curso de álgebra lineal se aprende que, recíprocamente, cualquier transformación linealde Rna R" se puede representar mediante una matriz de m x n. Si A = [aij] es una matriz de m x n y ej es el j-ésimo vectorde labase usual de Rn, entonces Aej es un vector en R" con componentes iguales a las de la j-ésima columna de A. Esto es, la i-ésima componente de Aej es a i j . En símbolos, (Aej)d = a i j . *Si los matemáticos hubieran elegido la convención d e escribir x A en lugar de A x , o hubiera diferentes reglas para l a multiplicación de matrices, se podría consewar a x como renglón.

64

IA GEOMETRíA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0

si

EJEMPLO 7

entonces x

H

A x de R3 a R4 es la asociación definida por

EJEMPLO 8 A continuación se ilustra lo quesucede cuando se manda mediante una matriz de 4 x 3:

La multiplicación de matrices no es, en general, conmutativa: matrices de n X n , entonces por lo general

a unpuntoparticular

si A y B son

AB # B A

(ver los ejemplos 4, 5 y 6). Se dice que una matriz de n x n es invertible si existe alguna matriz I3 tal que AB=BA=I,,

donde 1 o o 1 I, = o o .. .. . . o - o r

o '.. o o o 1 o ... " ' " '

o '.. 1

es la matriz identidad de n x n : I,, tiene la propiedad de que InC = C I , = C para cualquier matriz C de n x n. Denotamos B por A-' y la llamamos la inversa de A. La inversa, cuando existe, es Gnica.

1.S

ESPACIO EUCLIDIAN0n-DIMENSIONAL

EJEMPLO 9

65

si

pues AA-l = 1, = A L I A , como puede verificarse al efectuarse a ls multiplicacioA nes de las matrices. En álgebra lineal se aprenden métodos para calcular inversas; en este libro no se requieren esos métodos. Si A es invertible, es posible resolver l a ecuación Ax = y para el vector x multiplicando ambos ladospor A-' y obtener x = A - l y . En la sección 1.3 definimos el determinante de una matriz de 3 X 3. Esto se puede generalizar por inducción a determinantes de n x n. Ilustramos aquí cómo escribir el determinante de una matriz de 4 x 4 en términos de los determinantes de matrices de 3 x 3:

+

a13

1 ::: a41

a22

a24

a32

a34

a42

a44

1 I i!: - a14

a22 a32 a42

:::I a43

(ver la fórmula (2) de la sección 1.3; los signos se alternan: +, -, +, -,. . .). Las propiedades básicas de los determinantes de 3 x 3 que se revisaron en la sección 1.3, mantienen su validez para determinantes de n x n. En particular, nótese el hecho de que si A es una matriz de n x n y B es la matriz formada al sumar un múltiplo escalar del le-ésimo renglón (o columna) de A al 1-ésimo renglón ( o , respectivamente, columna) de A , entonces el determinante de A es igual al determinante de B (ver el ejemplo 10 a continuación). Un teorema básico del álgebra lineal afirma que una matriz A, de n x n es invertible si y sólo si el determinante de A no es cero. Otra propiedad básica es que det(AB) = (det A)(detB ) . En este libro no usaremos muchos detalles de álgebra lineal, de modo que dejaremos estas afirmaciones sin demostración.

EJEMPLO 10

Sea

1

''

'1

0

1

A=[' 2

1

0

1

1

1

0

2

Hallar det A. ¿Tiene A inversa?

0

'

66


Al sumar (-1)

SOLUCIÓN

mos

EUCLIDIAN0 X la

primera columna a la tercera columna, obtene-

Al sumar (-1) X la primera columna a la tercera columna de este determinant,e de 3 X 3, obtenemos

Así, det A = -2

# O,

A

de modo que A tieneinversa.

Si tenernos tres matrices A, B y C tales que los productos A B y BC están definidos,cntonces los productos ( A R ) C y A(DC') eslarán definidos y serán iguales (esto es, la multiplicación de matrices es asociativa). Llamamos a esto triple producto de matrices y lo denotamos por ABC. EJEMPLO 11

Sea

EJEMPLO 12

e] [: :][Y -:] [,' e] [: :] [: 001.

[,'

=

=

A

EJERCICIOS 1. Probar las propicdades (ii) a F I ~R." q u e k.,l~llxll'+ ~'lly11' = 11x+ yll'

2. Mostrar

logramo).

(iv) expresadas en el teorema 2.

+ 11x

-

yl/' (k;sto se conoce como la ley del parale-

('1) IIX - YII l b + YII I llX1l2 + I l Y I l ' (c) 4(x,y) = / / + x y1I2 - IIx - y1/' (A esto se le llama l a identidad de polarización.) Interpret,ar estos result,ados geom6tricamente en t>érminos del paralelogramo formado por x y y .

UCLIDIAN0 AL 1.5 ESPACIO

67

Verificar que se cumplen las desigualdades CBS y del triángulo, para los vectores en los ejercicios 3, 4 y 5:

y = (4, O , -2) ~=(1,0,2,6),~=(3,8,4,1) 5. ~ = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 ) , ~ = ( 3 , 0 , 0 , 0 , 2 )

3. X = (2, O, - l ) ,

6. Verificar que si A es una matriz de lineal.

n x n , la asociación x

+ B ) para

7. Calcular AB, det A, detB, det(AB) y det(A

[: 1

A=

-1

i] o

B=

y

Calcular AB, det A, detB, det(AB) y det(A

9. Usar inducción en

k para probar que si

XI,.

[-: -2

o

H

Ax de R" a R" es

-:]

+ B) para

. .,x k

E R",entonces

10. Probarmedianteálgebralineal,laidentidaddeLagrange:Paranúmerosreales XI,.

..zn

y

y1,.

. . , Y",

Usar esto para dar otra demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en

R".

*11. Probar que si A es una matriz de n X n , entonces

det(XA) = X" det A; y (b) si B es una matriz obtenida a partir de A al multiplicar cualquier renglón columna por un escalar X, entonces det B = X det A. En los ejercicios 12, 13 y 14, A, B y C denotan matrices de n 12.

¿Es cierto que det(A

ejemplo. 13.

¿Es cierto que (A

n.

+ B ) = det A + det B? Dar una demostración

+ B)(A - B ) = A'

Suponiendociertala (det A)(det B)(detC).

X

o

o un contra-

- B2?

ley det(AB) = (detA)(detB),probarquedet(ABC)

=

68


EUCLIDIAN0

*15. (Este ejercicio supone conocimiento de integración de funciones continuas de una variable.) Nótese que la demostración de la desigualdad CBS (teorema 3) depende sólo

de las propiedades del producto interno listadas en el teorema 2. Usar r s t a observación para establecer la siguiente desigualdad para funciones continuas f, g: [O, 11 + R:

Hacer esto (a) verificandoque el espaciodefuncionescontinuasde [O, 11 a R formanun espaciovectorial;estoes,podernospensarlasfunciones f y g de manera abstracta como “vectores” que pueden sumarse entre sí, y multiplicarse por escalares. (b) introdnciendo el producto interno de funciones

y verificando que satisfaga las condiciones (i) a ( i v ) del teorema 2 *16. Definir la transpuesta AT de una matrizA de n x n como sigue: el ij-ésimo elemento de AT es a ] , donde a,3 es el ij-ésimo registro de A. Mostrar que AT está caracterizada

por la siguiente propiedad: Para todo x, y en R“,

( A T x )* y = X * (Ay) Verificar que la inversa de

1 ad

18. Usar la respuesta al ejercicio

-

be

[

d --c

-b a]

17 para mostrar que la solución del sistema

+ by = e cx + dy = f ax

es

1

19. Suponiendo cierta la ley det(AB)= (det A)(det B ) , verificar que (det A)(det A - ’ )

= 1 y concluir que si A tiene inversa, entonces det A

# O.

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO1

+ +

+

+

+

Sea v = 3i 4j 5k y w = i - j k. Calcular v w , 3v, 6v 8w, -2v, v * w, v x w . Interpretar cada operación geométricamente graficando los vectores. 2. Repetir el ejercicio 1 con v = 2j

+ k y w = -i

- k.

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 1

69

por (-1,2, -1) en la dirección de j. (b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( O , 2, -1) y (-3,1, O). (c) Hallar la ecuación del plano perpendicular a ( - 2 , 1 , 2 ) que pasa por (-1,1,3).

3. (a) Hallar la ecuación de la recta que pasa

(a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por

( O , 1 , O ) en la dirección de 3i

+ k.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( O , 1 , l ) y ( O , 1, O). (c)Hallarlaecuaciónpara el plano perpendicular a (-1, 1,-1) quepasapor (1,171).

v w para el siguiente conjunto de vectores: v = - i + j ; w = k. (b) v = i + 2 j - k ; w = 3 1 + J . (c) v = -2i - j + k;w = 3i + 2j - 2k.

5. Calcular

. .

(a)

Calcular v x w para los vectores del ejercicio 5. (Sólo la parte (b) está resuelta en la Guía de estudio.) el ejercicio 5 . (Sólo la parte (b)

Hallar el coseno del ángulo entre los vectores en está resuelta en la Guía de estudio.)

Hallar el área del paralelogramo generado por los vectores del ejercicio parte (b) está resuelta en la Guía de estudio.)

5 . (Sólo l a

9. Usar notación vectorial para describir el triángulo en el espacio cuyos vértices son el origen y los extremos de los vectores a y b. 10. Mostrar que los tres vectores a, b y c están en el mismo plano que pasa por el origen si y sólo si existen tres escalares a , /3 y y, no todos iguales a cero, tales que

aa+pb+yc=O.

11. P a r a los números reales a l , a2,

+ azb2 +

( U I ~

a3

~3b3)’

, bl , b2 5 (U:

y

b3,

mostrar que

+ + a;)(b: + bz + b ; ) . U;

[;?1 Sean u, v y w vectores unitarios queson ortogonales entre sí. s i a = a u + p v + y w , mostrar que

a =, a B.=ua, . v ,

y=a.w.

Interpretar geométricamente los resultados. 13. Sean a y b dos vectores en el plano, a = ( a l , a z ) , b = ( b l , b z ) , y sea X un número real. Mostrar que el área del paralelogramo determinado por a y b Xa es la misma que la del determinado pora y b. Esbozar. Relacionar este resultado con una conocida propiedad de los determinantes.

+

14. Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por los vértices 11, (O, 290) Y ( 3 , 1 , 2 ) .

( O , 1, O ) , ( 1 , 1 ,

15. Dados vectores distintos de ceroa y b en R3,mostrar que el vectorv = Ilallb+llblla biseca el ángulo entre a y b.


70

EUCLIDIAN0

16. Usar métodos vectoriales para probar que la distancia del punto a x + b y = c es

(21,

y1) a la recta

17. Verificar que la dirección de b X c está dada por la regla de la mano derecha, escogiendo dos vectores b y c de entre i, j y k.

-

(a) Suponer que a b = a' b para todo b. Mostrar que a = a'. (b) Suponer que a X b = a' x b para todo b. ¿Es cierto que a = a'? 19. (a) Usando métodos vectoriales mostrar que la distancia entre dos rectas no paralelas 11 y 12 está dada por

=

I(VZ

-

vl)-(al x

Ila1 x

a2)l

a211

donde V I y v2 son dos puntos cualesquiera sobre 11 y 12, respectivamente, y al y a 2 son las direcciones de 11 y 12. [IDEA: Considerar el plano que pasa por 12 y es paralelo a 11. Mostrar que (al x a2)/11a1 x a211es una normal unitaria para este plano; ahora, proyectar v 2 - V I sobre esta dirección normal.] (b) Hallar la distancia entre la recta 11 determinada por los puntos (-1, -1,1) y (O, O , O), y la recta 12 determinada por los puntos (O, -2, O ) y (2, O, 5 ) . 20. Mostrar que

Ax

+

+

dos planos,dados por lasecuaciones A z By C z = O , son paralelos, y que la distancia entre ellos es

+ By + C z + D 2

+ DI

= O y

ID1 - D2l JA2 21. (a) Probar que (23,

+ B2 + C2

el áreadeltriánguloen ya), es el valor absoluto de

'

el planoconvértices

( z ~ , y ~ () 2, 2 , y 2 ) y

(b) Hallar el área del triángulo con vértices (1, a ) , (O, 1) y ( - 1 , l ) 22. Convertir los siguientes puntos de coordenadas cartesianas a cilíndricas y esféricas. Localizar: (b) (-&,1, O ) ( a ) (O, 3 , 4 ) ( 4 (-1, o , 1) (c) ( O , O , 0) k.,l ( - 2 d 5 , - 2 , 3 ) 23. Convertir los siguientes puntos de coordenadas cilíndricasa cartesianas y esféricas. Localizar: (a) ( 1 , x / 4 , 1 ) (3, -4) (c) ( O , */4,1) (dl ( 2 , -x/2,1) (e) ( - 2 , -x/& 1)

DEL

REPASO EJERCICIOS DE

1

71

25. Reescribir la ecuación z = z2 - y' usando coordenadas cilíndricas y esféricas. 26. Usando coordenadas esféricas, mostrar que

donde u = zi

+ y j + zk.Interpretar geométricamente.

27. Verificar las desigualdades de Cauchy-Schwarz y del triángulo para

x=(3,2,1,0)

y

y=(l,l,l,2).

Multiplicar las matrices

¿Es cierto que A B = B A ? 29. (a) Mostrar que para dos matrices

A y B, de n x n , y x E R",

(AB)x = A(Bx). (b) ¿Qué implica la igualdad de la parte (a) respecto a l a relación entre la composición de las asociaciones x H Bx,y H A y y la multiplicación de matrices? 30. Hallar el volumen del paralelepípedo generado por

( 1 ~ 011, ,

(1,1,1),

Y

los vectores (-3,2, o).

31. Verificar quecualquierasociaciónlinealde R" a R" está determinada por una matriz de n x n ; esto es, proviene de una matriz de n x n de la manera explicada en la pág. 62. 32. Hallar una ecuación para el plano que contiene (3, - 1 , a ) y la recta v = (2, -1, O ) +

t ( 2 , 3 , O).

72


EUCLIDIAN0

El trabajo W realizado al mover un objeto de ( O , O ) a ( 7 , 2 ) sujeto a una fuerza F es W = F * r donde r es el vector con cabeza en ( 7 , 2 ) y cola en (O,O). Las unidades son metros y kilos. (a) Suponer que la fuerza F = 10 cosei losenej. Hallar W en términos de 8. (b) Suponer que la fuerza F tiene magnitud de 6 kg y forma un ángulo de x / 6 rad con la horizontal, apuntando a la derecha. Hallar W en metros-kilos.

+

34. Si una partícula con masa m se mueve a una velocidad v, su momento es p = mv. En un juego de canicas, se tira una canicacon masa de 2 gramos (8) con una velocidad de 2 metros por segundo (m/s), la cual choca con dos canicas con masa1gdecada una, 45' y se para. Una de las canicas sale con una velocidad de 3 m/s formando un ángulo de con la dirección de incidencia de la canica grande, como en la figura l . R . l . Suponiendo que el momento total antes y después de la colisión es el mismo (de acuerdo con la ley de conservación del momento), La qué ángulo y velocidad se movió la segunda canica?

Figura 1.R.1 Momento y canicas. 35. Mostrar que para todo

x, y y

2,

Mostrar que

si x, y y z son todos diferentes. 37. Mostrarque

38.

68 86 2

Mostrarque n

n + l

n+n 6+7

627 436 -1

247 23 1

n+2 n+8

tiene el mismo valor, sin importar cuánto sea n. ¿Cuál es ese valor?

CAPíTULO DE EJERCICIOS DEL

REPASO

1

con aristas concurrentes a, b y c está dado por V =

El volumen de un tetraedro

;a

- (b x c ) . (a)

(b)

73

Expresar el volumencomoundeterminante. EvaluarVcuandoa=i+j+k,b=i-j+k,c=i+j.

Usar la siguientedefinición para los problemas 40 y 41: Sean r l , . . . , rn vectores de O a las masas m l , . . . , m n . El centro de masa es el vector

40. Un tetraedro está dado en coordenadas zyz con un vértice en (O,O, O) y las tres aristas concurrentes a (O, O , O) coinciden con los vectores a, b y c . (a) Trazar una figura y rotular las cabezas de los vectores a, b, c . (b)Hallar el centro de masa de cada uno de las cuatro caras triangulares del tetraedro si se coloca una unidad de masa en cada vértice.

r, el centro de masa de un sistema satisface

41. Mostrar que para cualquier vector

donde m =

n

n

,=1

*=1

x:=,

m, es la masa total del sistema.

En los ejercicios 42 al 47, hallar un vector unitario que tenga la propiedad dada. 42. Paralelo a la recta 2: = 31 43. Ortogonal al plano

2:

- 6y

Paralelo a los planos 82: 45. Ortogonal a

+ 1, y = 16t - 2, z = - ( t + 2). + z = 12.

+ y + z = 1 y 2: - y - z = O.

i + 2 j - k y a k.

46. Ortogonal a la recta 2: = 2t - I , y = --1 - 1, z = t

+ 2, y al vector i - j.

A un ángulo de 30' con i y formando ángulos iguales con j y k. 48. Un par de dipolos distan entre sí en T . (Los dipolos son idealizaciones de pequeños magnetosconunpolonorte y un polo sur infinitesimalmentecercanosentre sí; l a potenciadeldipolosedescribe por unvectorllamado su momento de dipolo.)La energía potencial magnética P está dada por P = -m1 B2 (llamado el potencial m1 en el campo de interacción dipolo-dipolo), donde el primer dipolo tiene momento externo BZ del segundo dipolo. En unidades MKS,

-

Bz

= PO

-m2

+ 3(m2 4TT3

1)l

,

74


donde 1 esunvectorunitario, (a)Mostrarque

EUCLIDIAN0

y

P=pn

(b)

esunaconstanteescalar.

-

m1 . m2 - 3(m2 l)(ml 1) 4ífT

Hallar P cuando ml y m2 son perpendiculares.

49. Una esfera de radio 1Ocentímetros (cm) con centro en (O,O, O ) rota alrededor del 4 en unadireccióntalquelarotaciónse ve en sentido eje z convelocidadangular contrario al que giran las manecillas del reloj desde el eje 2 positivo. (a) Hallar el vector de rotación w (ver la sección 1.3, ejercicio 3 2 ) . (b) Hallar la velocidad v = w x r cuando r = 5&(i - j ) está en el “ecuador”.

2

DIFERENCIACION

Yo mealejo con espanto y horror,de la tristemaldadde funciones que no tienen derivadas.

CHARLES

H E R M I T E , enunacartaa

las

Thomas Jan Stieltjes

En este capítulo se amplían los principios del cálculo diferencial para funciones la sección 2.1 de una variable a funciones de varias variables. Comenzamos en con la geometría de las funciones con valores reales y el estudio de las gráficas de estas funciones como un auxiliar para visualizarlas. En la sección 2.2 se dan y continuidad. Este tema se algunas definiciones básicas que relacionan límites trata superficialmente,pues su desarrollo completo requiere de tiempoy madurez matemática, por lo cual es mejor dejarlo para un curso más avanzado.* Afortunadamente para nuestros propósitos, no es necesario un conocimiento completo de las sutilezas del concepto de límite; el estudiante que tenga dificultad con esta sección deberá tenerlo en mente. Sin embargo, añadimos enseguida, el concepto de límite ocupa un lugar central en la definiciónde derivada, pero no en los cálculos de las derivadas en problemas específicos; como ya sabemos porlos cursos de cálculo de una variable. En las secciones 2.3 y 2.4 se trata la definición de derivada y se obtienen algunas reglas básicas del cálculo: a saber, cómo diferenciar una suma, producto, cociente o composición. En la sección 2.5 estudiamos derivadas direccionales y planos tangentes, relacionando estas ideas con las de la sección 2.1, y en la sección 2.6 consideramos algunas propiedades de las derivadas de orden superior. Finalmente la sección 2.7 es optativa, y ahí se dan algunas demostraciones técnicas.

*Ver, por ejemplo, J . Marsden, Elementary Classical Analysis, Freeman, Nueva York, 1974

76

DIFERENCIACI~N

Al generalizar el cálculo de una a varias dimensiones, suele ser conveniente la sección 1.5 hemos resumido lo usar el lenguaje del álgebra de matrices. En que vamos a necesitar. 2.1

GEOMETR~ADE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES

Iniciamosnuestrainvestigaciónde funcionesconvaloresreales desarrollando métodos para visualizarlas. Introduciremos en particular, los conceptos de gráfica, curva de nivel y superficie de nivel de dichas funciones. Sea f una función cuyo dominio sea un subconjunto A de R" y cuya imagen esté contenida en R". Con esto queremos decir que a cada x = (21,. . . , x,) E A , f asigna un valorf(x),una m-ada en R". Dichas funciones f se llaman funciones con valores vectoriales* si m > 1, y funciones con valores escalares si m = 1. Por ejemplo, la función con valores escalares f ( z , y, z ) = ( x 2 y'+ z ' ) - ~ / ' manda al conjunto A de (x,y , z ) # (O, O, O) en R3 ( n = 3 en este caso) a R ( m = 1). P a r a denotar f solemos escribir

+

f:(Z,Y,z)

+"

(Z'

+ Y2 +

2 -3f2

)

.

Nótese que en R3 solemos usar la notación (x,y , z ) en lugar de (21,x 2 , 2 3 ) . En general, la notación x ++ f(x) es útilparaindicar el valor al cual se manda un punto x E R". Escribimos f : A c R" -+ R" paraexpresarque A es el dominio de f (en R") y que la imagen está contenida en R". También usamos la expresión f manda A dentro de R". Dichas funciones f se llaman funciones d e v a r i a variables si A c R" , n > 1. Como otro ejemplo, tomemos la función con valores vectoriales g: R6 R2 definida por la regla "-+

g ( x ) = g(Z1, 2 2 , x31 z4, 2 5 , 2 6 ) =

(212223242526,

d m )

La primera coordenada del valor de g en x es el producto de las coordenadas de x. Las funciones de R" a R" no son sólo abstracciones matemáticas, sino que Por surgen de manera natural en problemasestudiadosentodaslasciencias. ejemplo, paraespecificar la temperatura T en una región A del espacio se requiere una funciónT :A c R3 -+ R ( n = 3 , m = 1);así T ( z ,y, z ) es la temperatura en el punto (x,y , z). Para especificar la velocidad de un fluido moviéndose enel espacio 'Algunos matemáticos escribirían dicha f en negritas, usando la notación f ( x ) , pues tiene valores vectoriales. Nosotros no lo hacemos así por cuestión de gusto. Usamos negritas prindpalmente para asociaciones que sean campos vectoriales, los cuales se introducirán más adelante. El concepto de función fue desarrollado durante muchos siglos, ampliándose la definición para cubrir más casos según iban apareciendo. Por ejemplo, en 1667 James Gregory definió una función como "una cantidad obtenida a partir de otras canti'dades mediante una sucesión de operaciones algebraicas o mediante cualquier otra operación imaginable." En 1775 Euler dio la siguiente definición: "Si algunas cantidades dependen de otras de maneraque varían cuando varían las últimas, entonces se dice que las primeras son función de las últimas."

2.1

QEOMETRiA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES

77

se requiere una asociación V: R4 + R3, donde V(x, y, z, t ) es el vector velocidad del fluido en el punto (x,y,z) del espacio en el tiempo t (ver la figura 2.1.1). P a r a especificar la tasa de reacción de una solución que consta de seis reactores químicos A , B , C ,Dl E y F enproporciones x , y, z , w,u y v , serequiere una asociación 6 : U c R6 + R, donde u ( z , y, z , w, u, u) da la tasa cuando los químicos están en las proporciones indicadas. Para especificar el vector cardiac0 (el vector que indica la magnitud y dirección del flujo de la corriente eléctricaen el corazón) en el tiempo t , se requiere una asociación c :R -+ R3, t I+ c ( t ) .

Figura 2.1.1 Un fluido enmovimiento define un campovectorial V al especificar l a velocidad de las partículas del fluido en cada punto en espacio y tiempo.

Cuando f:U c Rn ”+ R, decimos que f es una función de n variables, con dominio U y valores reales. La razón por la que decimos “n variables” es simls coordenadas de un punto x = ( 2 1 , . . . , x,) E U plemente que consideramos a como n variables, y f (x) = f(x1,.. . , xn) depende de estas variables. Decimos f(x1 , . . . , z,) es un número real. Buena parte de con “valores reales” porque nuestro estudio será acerca de funciones con valores reales, por lo que les daremos atención especial. Para f :U c R + R , ( n = 1), la gráfica de f es el subconjunto de R2 que consta de los puntos (x,f(x)) en el plano, para z en U. Este subconjunto se puede pensar como una curva en R2. Esto se escribe simbólicamente, como gráfica f = { ( z , f ( z ) )E RZlz E

U},

donde a ls llavessignifican “el conjunto de todos” y la barra vertical significa “tal que”. Trazar la gráfica de una función de una variable es un recurso útil

78

DIFERENCIAC16N

para visualizar el comportamiento real de una función. (Ver la figura 2.1.2.) Será conveniente generalizar la idea de gráfica de una función a funciones de varias variables. Esto conduce a la siguiente definición:

c R" R . Definirnoslagráfica de f como elsubconjunto de Rntl que consta de todos los puntos (21,. . . ,x,, f(z1, . . . , 2 " ) ) en Rntl para ( 2 1 , . . . ,zn) en U. En simbolos: DEFINICI~N Sea f :U

gráfica

"+

f = ((21,.. . ,z,,

. . ,z,)) E R n t 1 l ( z l , . . , x n ) E U } .

f(21,.

Para el caso n = 1, la gráfica es una curva en R2, mientras que para R = 2 es una superficie en R3 (ver la figura 2.1.2). Para n = 3 es difícil visualizar la gráfica, pues como vivimos en un mundo tridimensional, nos es difícil imaginar cofljuntos en R4. Para superar este obstáculo, introducimos la idea de conjunto de nivel. Y

Z

gráfica de f

U

,. .

Figura 2.1.2 Gráficasde(a)unafuncióndeunavariable

variables.

+ +

y (b) unafuncióndedos

Supongamos que f(z,y , z ) = x 2 y2 z 2 . Un conjunto de nivel es un subconjunto de R3 en dondef es constante; por ejemplo, el conjunto dondex2+y2+z2 = 1 es un conjunto de nivel para f . A éste sí lo podemos vistializar: es una esfera de radio 1 en R3. El comportamiento o estructura de una función está determinada en parte por la forma de sus conjuntos de nivel; en consecuencia, entender estos conjuntos nos ayuda a entender la función en cuestión. Los conjuntos de nivel también son útiles para entender funciones de dos variables f ( z , y ) , en cuyo caso hablaremos de curvas de nivel.

2.1 GEOMETR~A DE LAS FUNCIONESCON VALORES REALES

79

Figura 2.1.3 Los contornos de nivel de una función se definen de la misma manera que las líneas de contorno en un mapa topográfico. La idea es análoga a la usada para preparar mapas de contornos, donde se trazan líneas para representar altitudes constantes; caminar a lo largo de dicha línea significará caminar en una curva de nivel. En el caso de una colina sobre el plano xy, una gráfica de todas las curvas de nivel nos da una buena idea de la función h(x,y), que representa la altura de la colina en los puntos (x,y) (ver la figura 2.1.3).

f:U c R" --t R y sea c E R. Entonces el conjunto de nivel del valor c se define como aquellos puntos x E U para los cuales f(x) = c. Si n = 2, hablamos de una curva de nivel (de valor c); y si n = 3, hablamos de una superficie de nivel. En simbolos, el conjunto de nivel de valor c se escribe

D E F I N I C I ~ NSea

{x E Ulf(x)= c } c R". Nótese que el conjunto de nivel siempre está en el espacio dominio.

EJEMPLO 1 La funciónconstante f :R2 "+ R, (x,y) H 2, esto es, la función f(x,y) = 2, tiene como gráfica el plano horizontal z = 2 en R3. La curva de A nivel del valor c es vacía si c # 2, y es todo el plano x y si c = 2.

+ +

EJEMPLO 2 La función f :R2 R, (x,y) H x y 2 tiene como gráfica el plano inclinado z = x y + 2. Este plano insterseca el plano xy (z = O) en la recta y = -x - 2 y el eje z en el punto (O, O, 2). Para cualquier valor c E R, la curva de nivel del valor c es la recta y = -x ( c - 2); o , en símbolos, el conjunto

+

L C

"-f

= {(X, ~ ) J Y= --I

+

+

(C

- 2))

C R2

Exhibimos unas cuantas curvas de nivel de la función en la figura2.1.4. Se trata, A enrealidad,de un mapa decontornode la función f .

80

DIFERENCIACI~N

\ \ Y

recta de intersección del

planoz=z+y+2 y el plano z y

Figura 2.1.4 Las curvas de nivel de f(z,y) = z + y + z + 2 muestran el comportamiento de esta función.

,

I

Y

Figura2.1.5 Relación de las curvas de nivelkn la figura 2.1.4, con la gráfica de la función

f(z,y) = z

+ y + 2, la cual es el plano z = z + y + 2.

2.1

GEOMETRíA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES

01

A partir de las curvas de nivel rotuladas con el valor o “altura” de la función, se puede inferir la gráficade la función elevando mentalmente cada curva de nivel a la altura apropiada, sin estirarla, inclinarlao deslizarla. Si se contemplara este procedimiento para todas las curvas de nivel L C ,esto es, para todos los valores c E R , juntas conformarían toda la gráfica de f , como se indicó en la figura 2.1.5 para el ejemplo 2. Si se visualiza la gráfica sólo para un número finito de curvas de nivel, como suele ser el caso, se produce una especie de modelo de contorno, como en la figura 2.1.4. Sin embargo, si f es una función suave, su gráfica será una superficie suave; entonces, al suavizar mentalmente el modelo de contorno se obtiene una buena idea de la gráfica.

EJEMPLO 3 x2 y2.

+

Describir la gráfica de la función cuadrática f : R2 -+ R, (x,y)

+-+

+

SOLUCIÓN La gráfica es el paraboloide derevolución z = x 2 y2, orientado hacia arriba desde el origen y alrededor del eje z . La curva de nivel del valor c es el conjunto c es vacía para c < O; para c > O la curva deniveldevalor {(x, y)1x2 y2 = c}, un círculo de radio 4 con centro en el origen. Así, al elevarlo a la altura csobre el plano zy, el conjunto de nivel es un círculo de radio &, que indica una forma parabólica (ver las figuras 2.1.6 y 2.1.7). A

+

Es posible determinar el aspecto de una gráfica mediante el método de las secciones. Una sección de la gráfica de f es la intersección de la gráfica con un plano (vertical). Por ejemplo, si PI es el plano z z en R3, definido por y = O, entonces la sección de f en el ejemplo 3 es el conjunto

n gráfica f = {(x,y, z)ly = O, z = z 2 } ,

X

+y’ =

12

+y”

=

2”

+y”

=

3’

Figura 2.1.6 Algunas curvas de nivel para la función f(x, y) = z 2

+ y*.

82

DIFERENCIACI~N

X2

”.

+ Y’

=

4?

“_

i l

/”

X

Figura 2.1.7 Las curvas de nivel de la figura 2.1.6 elevadas hasta la gráfica.

Y

Figura 2.1.8 Dos secciones de la gráfica de f(x, y) = x 2

+y

2

.

2.1

GEOMETRiA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES

a3

EJEMPLO 4 La gráfica de la función cuadrática f :R2 -+ R, (x,y) x 2 - y2 se llama paraboloide hiperbólico o silla de montar, con centro en el origen. Esbozar la gráfica. I-+

SOLUCIÓN Para visualizar esta superficie trazamos primero las curvas de nivel. Para determinar las curvas de nivel, resolvemos la ecuación x2 - y2 = c . Consideremos los valores c = O, 61, f4.Para c = O, tenemos y2 = x 2 , o y = f x ,de manera que este conjunto de nivel está formado por dos rectas que pasan por nivel es z 2 - y2 = 1, o y = que el origen. Para c = 1, lacurvade Y I

Figura 2.1.9 Curvas de nivel para la función f(z,y) = 2’

- y’

84

+

DIFERENCIACI~N

es una hipérbola que cruza verticalmente el eje x en los puntos (&l, O) (ver la figura 2.1.9 . De manera análoga, para c = 4 , la curva de nivel está definida por y = f x z - 4, la hipkrbola cruza verticalmente el eje x en (*2, O). Para c = -1, obtenemos la curva x? - y? = -1, esto es, x = la hipérbola cruza horizontalmente el eje y en ( O , & l ) . Y para c = -4, se obtiene la hipérbola que pasa por (0,&2). Se muestran estas curvas en la figura 2.1.9. Como no es fácil visualizar la gráfica de f a partir sólo de estos datos, calcularemos dos secciones, como lo hicimos en el ejemplo anterior. Para la sección en el plano x z , tenemos

&dn,

que es una parábola abriéndose hacia arriba; y para el plano y",

que es una parábola abriéndose hacia abajo. Ahora se puede visualizarla gráfica elevando las curvasde nivel a l a altura apropiada y suavizando la superficie resultante. Su colocaciónse facilita al calcular las secciones parabólicas. Este procedimiento genera la silla de montar hiperbólica mostradaen la figura 2.1.10. Comparar esto con las gráficas generadas por computadora en la figura 2.1.11 A (nótesequesehacambiadolaorientaciónde los ejes). /

7,'

- v' =

Figura 2.1.10 Algunas curvas de nivel en la gráfica de f(z,y) = z 2 - y'.

-

2.1


Figura 2.1.11 (a) Gráfica generada por computadora, con las curvas de nivel elevadas.

de z = 2’

+ y 2 . (b)

Esta gráfica

86

DIFERENCIACIóN

EJEMPLO 5 y2

+22.

Describir la gráfica de la función f:R3

”-$

R, (x,y,x)

H

x2

+

Éste es el equivalente tridimensional del ejemplo 3. En este contexto, los conjuntos denivel son superficies en el dominio tridimensionalR3. La gráfica, en R4, no se puede visualizar directamente; sin embargo se pueden calcular de manera analítica las secciones. SOLUCIÓN

Figura 2.1.12 Algunas superficies de nivel para f(z,y, z) = x 2

+ y2 + z 2

El conjunto de nivel con valor c es el conjunto

el cual es una esfera con centroen el origen y radio fi para c > O , es un solo punto en el origen para c = O , y es vacío para c < O. En l a figura 2.1.12 se muestran los conjuntos de nivel para c = O , 1 , 4 y 9. Se obtiene mayor información acerca dela gráfica al calcular unasección. Por ejemplo, si escribimos SZ=o = ( ( 5 ,y , z , t ) l z = O}, entonces podemos ver la sección

Como aquí t se mantiene fija en z = O , podemos visualizar esta sección de la gráfica como una superficie en R3, en las variables x , y y t (figura 2.1.13). La A superficie es un paraboloide de revolución.

2.1

QEOMETRiA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES

t

4

Figura2.1.13 La sección z = O de la gráfica de f ( x , y , z ) = z2

+ y2 + z2.

EJEMPLO 6 Describir la gráfica de la función f :R3 + R definida p o r f ( x , y, z ) = x 2 + y2 - z2, que es el símil tridimensional del ejemplo4, y también se conoce

como silla de montar.

SOLUCIÓN

Las superficies de nivel están definidas

por

de dos hojas alrededor del eje z , que atraviesa el eje z en los puntos ( O , O , f a ) . P a r a c positivo, digamos c = b2, la superficie de nivel es el hiperboloide de rez definido por z = el volución una de hoja alrededor eje del cual interseca el plano t y en el círculo de radio (bl. Estas superficies de nivel se esbozan en la figura 2.1.14. Se puede obtener otra vista de la gráfica a partir de una sección. Por ejemplo, el subespacio Sy=o= { ( z , y , z , t ) l y = O} interseca la gráfica en la sección SY=on gráfica

f = ( ( 2 ,y, z, t ) l y = o, t = 2 - z2},

esto es, el conjunto de puntos de la forma (x,O, z , x 2 - z2), que puede considerarse, como en el ejemplo anterior, una superficieen el espacio z z t (ver la figura 2.1.15). A

88

DIFERENCIACI~N

Figura 2.1 .14 Algunas superficies de nivel de l a función f ( Z , y, z ) = Z2 yz - z2.

+

V

b

\

,"

"

Figura 2.1.15 La sección y = O de l a gráfica de f(z,y, z ) = z2

+ y'

- zz,

~

2.1

GEOMETRíA DE LAS FUNCIONES CON

VALORES REALES

a9

Hemos visto cómo sepuedenusar los métodosdesecciones y conjuntos de nivel para entender el comportamiento de una función y su gráfica; estas técnicas pueden ser de bastante utilidad para personas quedeseen visualizar ampliamente datos complicados. Existen muchos programas de computadora que pueden trazar una función dada. Para funciones de una variable, se trata sólo de calcular ciertos valores de se usa el método la función y localizar los puntos. Para funciones de dos variables de las secciones. Por ejemplo, para trazar f(z,y), la computadora seleccionasecciones paralelas a los ejes, asignando valores, digamos a y y trazando la gráfica correspondiente, después cambiando y y repitiendo el proceso. Así se puede barrer una buena parte de la gráfica. Se dan algunos ejemplos en las figuras 2.1.16 y 2.1.17.

Y c = 0.1 c = 0.5

c = l

c = 2

"

j

(a)

y = 1/(1 4- cellz) para c = 0.1, 0.5, 1, y 2.

Figura 2.1.16 Algunas gráficas generadas por computadora.

90

DIFERENCIACI~N

Figura 2.1.16 Algunas gráficas generadas por computadora. (Continúa)

2.1


Figura 2.1.16 (Contin úa)

91

92

DIFERENCIACI~N

3.0 2.5 2.0 1.5

1 .o 0.5

+

Flgura2.1.17 Gráfica generada por computadora, de z = ( z 2 3 y 2 ) e x p ( l - z 2 - y’), representada de cuatro maneras: (a) porsecciones, (b) por curvas de nivel sobre l a gráfica, (c) por curvas de nivel en el plano z y visto en perspectiva, y (d) por curvas de nivel en el plano zy visto desde arriba.

2.1

93

QEOMETRíA MLAS FUNCIONES CON VALORES REALES

-1

-2

+

o

i

2

Y Figura 2.1.1 7 (Con tin úa)

EJERCICIOS 1. Esbozar curvas de nivel y gráfica de las siguientes funciones:

f:R2+R,(z,y)~z-y+2

(c) f :R2 -+ R, (x,y)

I+

(b) f : R 2 + R , ( z , y ) ~ z 2 + 4 y 2

-zy

2. Describir el comportamiento, conforme varía c , de la curva de nivel f(x, y) = c para cada una de estas funciones: (a) f(z,y) = z2 y2 1 f(z,y) = 1 - z 2 - y2 (c) f ( z , y ) = z 3 - x

+ +

Para las funciones enlos ejemplos 2, 3 y 4, calcular la sección de la gráfica definida por el plano SS = {(z,y,z)Iy = z t a n 8 ) para una constante dada 0. Hacer esto expresando z como función de T , donde z = 7 cos 8, y = 7 sen 8. Determinar cuáles de estas funciones f tienen la propiedad de que la forma deSe ngráfica de f sea independiente de 8. (La solución sólo al ejemplo 3 está en la Guía de estudio de este libro.) En los ejercicios 4 al 10, trazar las curvas de nivel (en el plano xy) para las funciones dadas f y valores especificados de c . Esbozar la gráfica de z = f ( z , y). 4. f ( ~ , y ) = 4 - 3 ~ + 2 y , ~ = 0 , 1 , 2 , 3 , - 1 , - 2 , - 3

f(z,y) = (100 - z2 -

c = O, 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0

94

DIFERENCIACI~N

8. f ( x , y)

= 33: - 7y, c = o , 1 , 2 , 3 , -1, -2, -3

En los ejerkicios 1 1 al 13, esbozar o describir las superficies de nivel y una sección de l a gráfica de cada función. 11.

f:R3 + R,( x ,y, z )

H

-x2

13.

f : R3 ”+

R,( x , y, z )

H

x’

-

y2

-

z2

+ y2

En los ejercicios 14 al 18, describir la gráfica de cada función calculando algunos conjuntos de nivel y secciones. 14. f : R3

18.

-

R,( x , y, z ) H xy

f:R2 ”-* R,(zly)

Esbozar o describir 1 9 al 31.

H

las

15.

-x4 = -y24+ -

4

R,(x,y, x)

x

+22

=4

z2 + y 2

-

22

=o

9

x2

9

H

zy

+ yz

superficies en R3 de las ecuaciones presentadas en los ejercicios

22

z=x2

y2 27. z = - - -

-+

máx(lxl,1y1)

20.

23.

f:R3

26. y’

+ z2 = 4.

28. y2

= x2

30.

z2

+ z2

y2

22

“+-+-=1 9 12 9

2.2

LíMITES Y CONTINUIDAD

31.

2’

32.

Usando coordenadas polares, describir las curvas de nivel de la función

95

+ y’ + z2 + 42 - by + 9z - b = O, donde b es una constante

33. Sea f :R2\{0} + R dada en coordenadas polares por f ( r ,8) = (COS 28)/r2. Esbozar algunas curvas de nivel respecto a los ejes zy. (RZ\{O} = {X E R21x # O } . )

34. En la figura 2.1.17(d), la “curva” de nivel z = 3 aparece formada por dos puntos. Probar esto algebraicamente.

2.2 LfMlTES Y CONTINUIDAD

En esta sección se desarrolla la terminología que nos ayudará a estudiar diferenciación de funciones de varias variables en la,sección 2.3. Este material está losconcentrado en los conceptos de conjunto abierto, límite y continuidad; juntos abiertos son necesarios para entender límites, y, a su vez, los límites son necesarios para entender continuidad y diferenciabilidad. Como sucede en cálculo elemental, no es necesario dominar completamente el concepto de límite parapoder trabajar con problemas de diferenciación. Por esta razón los profesores pueden tratar el siguiente material con distintos grados de rigor. Los estudiantes deberán consultar asus maestros acerca de la profundidad requerida. Comenzamoslaformulacióndelconceptodeconjuntoabiertomediantela El definicióndedisco abierto. Sea x0 E R” y sea r un número real positivo. disco abierto (o bola abierta) de radio r y centro x0 se define como el conjunto detodos los puntos x tales que IIx - x011 < T . Este conjunto se denota por D , ( x o )y, es el conjunto de puntos x en R” c.uya distancia (ver la sección 1.5) a x0 es menor que r . Nótese que incluimos sólo aquellas x para las cualesse cumple la desigualdad estricta. El disco D,(xo)se ilustra en la figura 2.2.1 para n = 1, 2 y 3. En el caso n = 1 y zo E R, el disco abierto D, ( 2 0 )es el intervalo abierto (20- r , z o Y), que consta de los números z E R que están estrictamente entre zo - r y 20 T . En el caso n = 2, x0 E R 2 ,D,.(XO) es el “interior” del disco de es el “interior” de la radio T con centro en XO.En el caso n = 3, x0 E R3, DP(xo) bola de radio r con centro en xo.

+ +

U c R” (esto es, sea U un subconjunto de R”). Decimos que U es un conjunto abierto cuando para cualquier punto x0 en U existe algún r > O tal que D,(xo) está contenido en U; ensímbolos, D,(xo) c U (ver la figura 2.2.2). DEFINICI~N Sea

96

DIFERENCIACI~N

(a)

Y

'

Z

i

Figura 2.2.1 Apariencia de los discos Dr(x0) en (a)

1, (b) 2, y (c) 3 dimensiones.

Nótese que el número r > O depende del punto XO,en general r disminuirá conforme x0 se acerca al "borde" de U. Hablando intuitivamente, un conjunto U es abierto cuandolos puntos "frontera" de U no pertenecen aU. En la figura2.2.2, la línea punteada no está incluida en U , y en la figura 2.2.l(c), la frontera de la esfera no está incluida. Y

4

Figura 2.2.2 Un conjunto abierto U es aquel que incluye completamente algún disco D , ( x o ) alrededor de cada uno de sus puntos XO.

2.2


97

Además establecemos la convención de que el conjunto vacío 0 (el conjunto que no tiene elementos) es abierto. Hemos definido un disco abierto y un conjunto abierto. Según hemos escogido los términos, parece que un disco abierto también deberá ser un conjunto abierto. Un momento de reflexión nos hará ver que este hecho requiere una breve demostración.

> O, D,.(xo) es un conjunto abierto. DEMOSTFIACI~N Sea x E D,(xO), esto es, sea IIx - x011 < T . De acuerdo con la definición de conjunto abierto, debemos hallar unS > O tal que Da(.) c D,(xO). Si nos referimos a la figura 2.2.3, vemos que S = r - IIx - x011 es una selección razonable; nótese que S > O , pero que S se hace m & chico si x está cerca del TEOREMA 1

Para cada

x0

E R" y r

borde de D, (xo).

EJEMPLO 1

Probar que A = {(h,y) E R21z > o}

es

un conjunto abierto.

SOLUCIóN Se muestra el conjunto en la figura 2.2.4. Intuitivamente, el conjunto es abierto pues ninguno de los puntos "frontera" 2 = O , está contenido enel

98

DIFERENCIACI~N

Y

Figura 2.2.4 Problema: mostrar que A es un conjunto abierto.

conjunto. Este argumento será suficiente cuando nos hayamos acostumbrado a las ideas. Sin embargo, al principio debemos dar todos los detalles. Para probar que A es abierto, mostramos que para todo punto (x,y) E A existe un T > O tal quy D,(x, y) c A. Si (x,y) E A , entonces x > O. Escoger T = x. Si ( X I , yl) E D, (x,y), tenemos 121

- 21 =

5

J(21

- 2)2

+

(y1

- y)2

< T = 2,

y así, 2 1 - x < x y z - x1 < x. La desigualdad anterior implica que x1 > O, esto es, ( x 1 , y l ) E A . Entonces D,.(x, y) c A , y por lo tanto A es abierto (ver la A figura 2.2.5). Y

Figura 2.2.5 Construcción de un disco alrededor de un punto en A , que está completamente contenido en A .

2.2

LiMlTES Y CONTINUIDAD

99

Es útil tener un nombre especial para un conjunto abierto que contenga un punto dado x, ya que esta idea se presenta frecuentemente al estudiar límites y continuidad. Así, designaremos como una vecindad de x E R” a un conjunto abierto U que contiene al punto x. Por ejemplo, D,.(xo) es una vecindad de x0 para cualquier T > 0. El conjunto A en el ejemplo 1 es una vecindad del punto xo = (3,-10). Introduzcamos formalmente el concepto de punto frontera aludido enel ejemplo 1. Sea A c Rn.Un punto x E R” es punto frontera de A si toda vecindad de x contiene al menos un punto en A y al menos un punto fuera deA .

DEFINICI~N

En esta definición, x puede estar o no en A ; si x E A , entonces x es un punto frontera si toda vecindad de x contiene al menos un punto que no esté en A (ya contiene un punto en A , a saber, x). De manera análoga, si x no está en A , es un punto frontera si toda vecindad de x contiene al menos un punto de A. Estaremos particularmente interesados en puntos frontera de conjuntos abiertos. Por la definición de conjunto abierto, ningún punto de un conjunto abierto A puede ser un punto frontera de A . Así, un punto x es un punto frontera de un conjunto abierto A si y sólo si x no está en A y toda vecindad de x tiene intersección no vacía con A . Esto expresa en términos precisos la idea intuitiva de que un punto frontera de A es un punto justo enel “borde” de A . En la mayoría de los ejemplos resulta muy claro cuáles son los puntos frontera. EJEMPLO 2 (a) Sea A = (a, b ) en R. Entonces los puntosfronterade A son los puntos a y b . Un examen de la figura 2.2.6 y de la definición, lo aclaran. (Se pedirá al lector probar esto en el ejercicio 2(c).)

puntos frontera

\

a

h

.- ““X

Figura 2.2.6 Los puntos frontera del intervalo ( a ,b )

(b) Sea A = D,.(zo, yo) un r-disco alrededor de (20,yo) en el plano. La fron= r2 (figura teraestáformada porlos puntos (x, y) con (x - xo)2 (y 2.2.7). (c) Sea A = {(x, y) E R21x > O}. Entonces la frontera de A está formada por todos los puntos sobre el eje y (ver la figura 2.2.8). A el conjunto D,.(xO) menos el punto zo (un disco “agujereado” (d)Sea A alrededorde XO). Entonces x0 es un puntofrontera de A .

+

100

DIFERENCIACI~N

frontera

~

.

"

-

. _I.

."-"~."

+ x

Figura 2.2.7 La frontera de A está formada por los puntos en el borde de A .

V

X

Figura 2.2.8 La frontera de A está formada por todos los puntos del eje y.

Ahoranosocuparemos delconceptodelímite.Durante toda la exposición siguiente, el dominio d e definición de la función f será un conjunto abierto A . Estamos interesados en hallar el límite de f cuando x E A tienda a un punto de A o a un punto frontera de A . El lector deberá comprenderel hecho de que el concepto de límite es una herramienta básica y útil para el análisis de funciones; nos permite estudiar derivadas y por lo tanto, máximos y mínimos, asíntotas, integrales impropias y otras características importantes de las funciones; también es útil para series infinitas y

2.2


1o1

sucesiones. Presentaremos una teoría de límites de funciones de varias variables que abarque, como caso particular, a la teoría de funciones de una variable. El estudiante probablemente ya aprendió, delcálculode una variable, una definición de límite f ( x ) = I para una función f :A c R + R de un subconjunto x-x0

A denúmeros reales a los números reales. Intuitivamente,estosignificaque conforme x se acerca más y más a xo, los valores f ( x ) se acercan más y más a I . P a r a colocar esta idea intuitiva sobre una base firme, precisa y manejable desdeel punto de vista matemático, por lo general se introduce el “método de épsilon ( E ) y delta (5)” o el “método de las vecindades”.Lo mismo sucede con las funciones de varias variables. A continuación desarrollaremos el enfoque de las vecindades para el concepto de límite. El enfoque épsilon-delta se deja como material de estudio opcional al final de esta sección. DEFINICIóN DE LíMITE Sea f : A c R” 4 Rn,donde A es un conjunto abierto. Sea x0 un punto en A o en la frontera de A , y sea V una vecindad de b E R”. Decimos que f está finalmente* en V conforme x tiende a x0 si existe una vecindad U de x0 tal que x # XO, x E U y x E A implica f(x) E V. (En la figura 2.2.9 se ilustra el significado geométrico de esta afirmación; nótese que x0 no necesariamente debe estar en el conjunto A, de modo que no necesariamente está definida f(xo).) Decimos que f(x) tiende a b cuando x tiende a XO,o, en símbolos,

límite f(x) = b

o

x-x0

f(x) -+ b

cuando

x -+xo,

cuando, dada cualquier vecindad V de b, f está finalmente en V conforme x tiende a x0 (esto es, “f(x)está cerca de b si x está cerca de XO)’). Puede ser que cuando x tienda a x0 los valores de f(x) no se acerquen a un número particular. En este CWQ decimos que límite f(x) no existe. X‘XO

De ahora en adelante, cuando consideremosel concepto de límite f(x),suponx-x0

dremos que x0 pertenece a cierto conjunto abierto donde está definida f,o bien está en la frontera de dicho conjunto. Una de las razones por las que insistimos en la definición de límite, en que x # xo,será clara si recordamos, del cálculo de una variable, que nuestra intención ) una función f en un punto.xo mediante es definir la derivada ~ ’ ( z ode f’(z0)

= limite f ( z ) - f(zo) x-x0 x - 20

3

y esta expresión no está definida en x = 20. ‘Usamos “flnelmente” comotraducciónde “eventually”. Elsignificado en castellano dela traducción literal “eventualmente” es: incierta o casualmente (cf. Diccionario de la Lengua Española Madrid: Real Academia Española, 1984); mientras que el significado en inglés de “eventually” (y, por supueto, con el sentido que se usa en la definición) es: como resultado final (cf. The International Webster Dictionary of the English Language. Nueva York: Tabor House, 1973). [N. del T.]

102

DIFERENCIACI~N

z

TN

i i

Figura 2.2.9 Límites en términos de vecindades; si x está en U, entonces f(x) estará en huecos denotan elhecho de que ( a , f ( a ) ) y ( x o , f ( x o ) ) no

V. (Lospequeñoscírculos

están en la gráfica.) ( a ) f :A = ( a , zo) -+ R. (b) f:A = { ( x , y)1z2 está en la gráfica de f.)

+ y2 < 1 )

"+

R. (La línea punteada no

2.2


(a)

EJEMPLO 3

función f :R

-+

103

Esteejemploilustra

R definida por

f(.) =

un límitequenoexiste.Considerarla

{ -11

'5 00

si si

No existe el límite f ( z ) pues hay puntos x-o

21

arbitrariamentecercade

O con

f(z1) = 1, y también hay puntos x2 arbitrariamente cerca de O con f ( z 2 ) = -1; esto es, no hay un solo número cerca del cual esté f cuando z esté cerca de O (ver la figura 2.2.10). Si se restringe f al dominio (O, 1) o (-1, O), entonces el

límite existe. ¿Pueden ver por qué? Y

-

/(x,) = 1

-T

f ( x p )=

Figura 2.2.10

-1

j

No existe el límite de esta función cuando z + O

(b)Conesteejemplo se ilustra una funcióncuyolímite existe, pero cuyo valor límite no es igual a su valor en el punto donde se toma el límite. Definir f:R -+ R mediante si 1 si

O

#

z=O

f(x) = O , pues para cualquier vecindad U de O , x E U y r-O O implica que f ( x ) = O. Si no hubiésemos insistido en que z # 2 0 , entonces

Es cierto que límite z

.#O

"

v

Figura 2.2.1 1

. *

El límite de esta función cuando z -+ O es cero.

x

104

DIFERENCIACI~N

el límite (suponiendo que usamos la definición anterior de límite sin la condición x # xg) no existiría. Así, estamos realmente interesados en el valor al que se acerca f cuando z + O (o1 en general,cuando x + xu). En la gráfica de la figura 2.2.11 vemos que f tiende a O cuando z -+ O; no nos importa si f toma A otro valoren O , o noestá definida ahí. EJEMPLO 4 Usar la definición para verificar que se cumple el “límiteobvio” límite x = xg, donde x y xg E R” . *-+x0

SOLUCIÓN Sea f la función definida por f(x) = x,y sea V cualquier vecindad de xg. Debemos mostrar que f ( x ) está finalmente en V cuando x + xg. Así, por l a definición, debemos hallar una vecindad U de x0 con la propiedad de que si x # x0 y x E U, entonces f(x) E V. Escoger U = V. Si x E U, ent>oncesx E V; como x = f ( x ) , se sigue que f(x) E V . Así, llernos mostrado que límite x = XO.

De manera análoga tenemos

límite

(X>Y)”(XO,YO)

x-x0

x = XO,

etc.

A

A partir de ahora el estudiantepuededarporválidos,sindemostración, los límitesqueaprendió encálculode una variable. Por ejemplo, se puedeusar limite ,/Z = Jr = I y límite sen B = sen O = O . x-+ 1

0-0

EJEMPLO 5 (En esteejemplo se muestra otro caso,en el cualnoesposible simplement>e “omitir” el límite.) Hallar límite g(z) donde x-1

J’

v

Figura 2.2.12 Estas gráficas son iguales, excepto que en la parte (a) g no está definida en z = 1, mientras que en la parte (b) g1 está definida para todo z >_ O .

2.2


1o5

SOLUCIÓN La gráfica de esta función está en la figura 2.2.12. Vemos que g(1) no está definido,pues la división entre cerono está definida. Sin embargo, si 1, hallamos que multiplicamos el numerador y el denominador de g(II:) por para todo II: en el dominio de g, tenemos

fi+

+

La expresión g*(z)= f i 1 está definida y toma el valor 2 en II: = 1; por el 1. Pero como g*(z) = g(z) para cálculo en una variable, g*(z) 2 cuando 2 2 cuando z 1. A todo II: 2 O , II: # 1, debemos tener también que g(II:) "+

"+

-+

-+

Para hablar con propiedad acerca de el límite, debemos mostrar que f puede y tener a lo más un límite cuando x -+ xo. Esto resulta intuitivamente claro ahora lo enunciamos formalmente. (Ver la sección 2.7 para la demostración.) UNICIDADDE LOS LíMITES

TEOREMA 2:

Si límite f(x) = bl y límite f(x) = b2, entonces bl = b2. X-Xo

X X 'O

Para realizarcálculosprácticos con límites necesitamos algunas reglas, por ejemplo, que el límite de una suma es la suma de los límites. Estas reglas se resumen en el siguiente teorema (ver la sección 2.7 para la demostración). Sean f:A C R" "+ R", g : A c R" -+ R", x0 un elemento de A o un punto frontera de A , b E R" y c E R; entonces

TEOREMA 3

(i)Silímite

X X 'O

f(x) = b, entonceslímite cf(x) = cb, donde cf:A

definida por x (ii) Si límite donde (f (iii) Si

H

c(f(x)). x-x0

-+

R" está definida por x H f(x)

m = 1, límite f(x) = X-tXO

blba, donde (fg): A (iv)

"+

61

x-x0

R está definida por x

Si m = 1, límite f(x) = b X-Xo

y límite g(x) =

límite l/f(x) = l / b , donde l / f : A X X 'O

Rm está

f(x) = bl y límite g(x) = b2, entonces límite (f+g)(x) = bl+b2,

+ 9):A

X'X0

"+

X'X0

# O -+

H

y f(x)

+ g(x).

b2,

x-x0

entonces límite(fg)(x) =

f(x)g(x).

#

x-x0

O para todo x E A , entonces

R está definida por x H l / f ( x )

(v) Si f ( x ) = (fl(x),. . . ,fm(x)) donde f i : A -+ R, i = 1,.. . , m ,son las funciones componentes de f , entonces límite f(x) = b = ( b l , . . . , b,) si y sólo si *'X"

límite fi(x) = bi para cada i = 1,.. . , m . x-x0

Estos resultados son intuitivamente claros. Por ejemplo, la regla (ii) no dice más que si f(x) está cerca de bl y g(x) está cerca de b2 cuando x está cerca

io6

DIFERENCIACI~N

+

de X O ,entonces f(x) g(x) está cerca de bl + b2 cuando x está cerca de xo. El siguiente ejemplo ilustrará la situación.

EJEMPLO 6

Sea f:R2 -+ R,

( 2 ,y) +-+

zz

+ y2 + 2. Calcular

límite

(Z>Y)-+[O>l)

f(z,y).

SOLUCIÓN Aquí f es la suma delastresfunciones (z, y) H z2, (x,y) H y2, y (2, y) H 2. El límite de una suma es la suma de los límites, y el límite de un producto es el producto de los límites (teorema 3). Por lo tanto, usando el hecho z = zo (ejemplo 4), obtenemos dequelímite (Z,Y)"+(ZO,YO)

limite

(z2Y)-(zo,Yo)

x2

=

(

limite

(">Y)-(zo,Yo

,x)

y, usando el mismorazonamiento,límite

(s,Y)+(ro,Yo)

Emite

(zty)-(ro,ya)

f(x, y) = 'O

(

x) = zi

limite

(",Y"O,YO)

y2 = y;.

Enconsecuencia,

+ l 2+ 2 = 3.

A

En el curso de cálculo de una variable aprendimos que el concepto de función es una continua está basado en l a idea intuitiva de una función cuya gráfica saltos, o el tipo de curva que trazaría curva sin romper, esto es, una curva sin una partícula en movimiento o al mover la punta de un lápiz sin separarla del papel. Para efectuar un análisis detalladode las funciones, necesitamos conceptos más precisos que estas vagas ideas. Aclaremos mediant,e un ejemplo. Consideremos la función $: R + R definida por f(z)= -1 si z 5 O y f(z)= 1 si z > O. La gráfica de f se muestra en la figura 2.2.13. (El pequeño círculo hueco significa que el punto (O, 1) no está en la gráfica de f.) Claramente, la gráfica de f está rota en z = O. Considerar ahora la función g: 2 H z2. Se muest,ra esta función V

x

Figura 2.2.13 Esta función no es continua, pues su

pasa por O .

valor brinca súbitamente cuando x

2.2

LIMITES Y CONTINUIDAD

107

Y I

I

Figura 2.2.14 Esta función es continua.

en la figura 2.2.14. La gráfica de g no está rota en ninglin punto. Si se examinan ejemplos de funciones como f, cuyas gráficas estén rotas en algún punto 20, y funciones como g, cuyas gráficas no estén rotas, se ve que la diferencia principal entre ellas es que para una función como g, los valores de g ( x ) se acercan más y más a g ( x 0 ) conforme x se acerca más y más a 20. La misma idea sirve para Pero la idea de más y más cerca no basta como funciones de varias variables. definición matemática; así, formularemos estos conceptos de manera precisa en términos de límites. Sea f :A c R" R"' una función dada con dominio A . Sea x0 E A . Decirnos que f es continua en x0 si y sólo si DEFINICI~N

"+

límite f(x) = f(xo). x-x0

Si decimos simplemente que f es continua, queremos decir que f es continua en cada punto x0 de A .

Como la condición límite f(x) = f(x0)significa que f(x) está cerca de X'XO

f(x0)

cuando x está cerca de XO,vemos que nuestra definición corresponde, en efecto, al requerimiento de que lagráfica de f no esté rota (ver la figura2.2.15, donde se ilustra el caso f :R 4 R). El caso de varias variables es más fácil de visualizar si R. En este caso trabajamos con funciones con valores reales, digamos f :R2 podemos visualizar f trazando su gráfica, formada por todos los puntos (x,y, z) en R3 con z = f (x,y). La continuidad de f significa entonces que su gráfica no tiene "brincos" (ver la figura 2.2.16). "+

io8

DIFERENCIACI~N

Y

Y

"

Figura2.2.15 (a) Función discontinua para la cual no existe límite 5-xn f ( z ) ; (b) función continua para la cual existe el límite y es igual a f(z0).

Cualquier polinomio p ( z ) = u0 + u12 R a R. En efecto, por el teorema 3 y el ejemplo 4, EJEMPLO 7

límite (u0 5 - 2 ~

+ a1z + . . . + u,z")

= límite x-xlJ

= a0

a0

+ . . . + u,zn

es continuo de

+ límite u13: + . . + límite a,zn X-Zn

+ alzo + + anzgn,

X-.ZI)

' ' '

Z

Figura 2.2.16 (a) Función discontinua de dos variables.

Z

(b) Función continua.

2.2

1 o9


pues límite Z" = 2-20

(

límite 5-50 z

) ... (lLyitt

z)

=x:.

A

EJEMPLO 8 Sea f:R2 -+ R, f(x,y) = xy. Entonces f es continua, pues, por los teoremas de límites y el ejemplo 4,

límite

(s.Y)-("o.Yo)

z y = ((

limite

z)

((

z,Y)-(zo,Yo)

limite

s,Y)-(~o~Yo)

y) = zoyo.

A

Se puede ver, por el mismo método, que cualquier polinomio p ( 2 , y) en continuo. EJEMPLO 9

2

y y es

La función f : R2 + R definida por 1 O

si z : < O , o de no ser así

y
no es continua en (0,O) o en cualquier punto sobre el eje x positivo o el eje y positivo. En efecto, si (z0,yo) = u es uno de dichos puntos y 6 > O, hay puntos (x,y) E Ds(u), vecindad de u, con f ( z , y ) = 1 y otros puntos (x,y) E Da(u) con f(x, y) = O. Así, no es cierto que f ( x , y) -+ f ( ~ yo) , = 1 cuando (%,Y) -+ ( 2 0 , Yo). A Para probar que ciertas funciones específicas son continuas, podemos apoyarnos en los teoremas de límites (ver el teorema 3 y el ejemplo 7). Si transcribimos esos resultados en términos de continuidad, llegaremos a lo siguiente: TEOREMA 4

(i)

Sean f:A C R"

Si f es continua en

x0

+

R m ,g: A

c R" -+

Rm,y c un número real.

también lo es cf, donde (cf)(x) = c[f(x)].

(ii) Si f y g son continuas en xo, también lo es f -+ g, donde (f + g)(x) = f(x) + g(x). (iii) Si f y g son continuas en x0 y m = 1, entonces la funcidn producto f g definida por (fg)(x) = f(x)g(x) es continua en XO. (iv) Si f:A c R" "+ R escontinua en x. y no seanula en A , entoncesel cociente l/f es continuo en XO, donde (l/f)(x) = l/f(x).*

(v) Si f:A c R" -+ Rm y f(x) = (fi(x),. . . , f m ( x ) ) , entonces f es continua en x0 si y sólo si cada una de las funciones con valores reales fi ,. . . , fm es continua en XO. *Otra manera de enunciar la regla (iv) es: Si f ( x o ) # O y f es continua, entonces f(x) # O en una vecindad de x g de modo que l / f está defiruda en esa vecindad, y l / f es continua en xg.

110

DIFERENCIACI~N

EJEMPLO 10

f es continua.

Sea f : R2 -+ R’, (x,y)

++

(x’y, (y

+ x3)/(1 + x 2 ) ) . Mostrar que

Para verlo essuficiente,por l a propiedad (v) anterior, mostrar que cada componente es continua. Entonces, most,ramos primero que (x,y) I-+ x2y es continua. Ahora bien, (x,y) H x es continua (ver el ejemplo 4), y de ahí, por(iii), ( x ,y) H x’ es continua. Como (x,y) H yes continua, por (iii), la corrrespondencia (x,y) H z2y es continua. Como 1 x’ es continua y diferente de cero, por l a propiedad (iv) sabemos que1/(1+x2) es continua; por lo tanto (y+ x 3 ) / ( l + x 2 ) esun productodefuncionescontinuas, y por(iii) es continua. A SOLUCIÓN

+

A continuación estudiaremos la composición, otra operación básica que puede efectuarse con funciones. Si g manda A a B y f manda B a C, la composición de. g con f, o de f en g, denotada por fog,manda A a C mediante x H f(g(x)) (ver la figura 2.2.17). Por ejemplo, sen(x2) es l a composición de x I”+ x’ con y H sen y.

Figura 2.2.17 Composición de f en g.

Sean g : A C Rn ”+ R” y f : B c R” 4 RP . Suponer que g( A ) C B, de manera que f o g está definida en A. Si g es continua en x0 E A y f es continua en yo = g( xo), entonces f o g es con t i m a en x0 .

TEOREMA 5

La idea intuitiva es fácil; la demostración formal que aparece en

la

sección

2.7 sigue un patrón similar. Intuitivamente, debemos mostrar que conformex se

acerca a xo, f(g(x)) se acerca a, f(g(x0)). Pero conforme x se acerca a xo,g(x) se acerca a g(x0) (por la continuidad de g en xo); y conforme g(x) se acerca a g(xo), f(g(x)) se acerca a f(g(x0)) (por la continuidad de f en g(x0)). EJEMPLO 11

Aquí podemos escribir f como suma de las dos funciones ( x 2 + y 2 + )30 y sen z 3 , de modo que basta mostrar que cada una es continua. L a primera

SOLUCI~N ,.2

I

Sea f ( x , y, z ) = ( ~ ~ + y ~ + z ~ ) ~ ~Mostrar + s e n qzu~e f. es continua.

2.2

L h l T E S Y CONTINUIDAD

111

+ +

es la composición de (x,y! z) w (xz y' z2) con u w u3*,y la segunda es la composición de (x,y, z) w z3 con u w sen u,y tenemos la continuidad por el A teorema 5. Suplemento de la Secclbn 2.2: Lh"ES EN TÉRMINOS DE ÉPSILON Y DELTA Ahora enunciamos un útil teorema que formula el concepto de límite en términos de épsilons y deltas y que con frecuencia se considera la definición de límite. Es otra manera de precisar el enunciado intuitivo de que "f( x ) se acerca a b cuando x se acerca a x O " . El lector comprenderá mejor esta exposición si la considera a la luz de los ejemplos ya presentados.

Sea f :A C R" + R" y sea x0 un elemento de A o un punto frontera de A . Entonces límite f ( x ) = b si y SÓJO si para todo número E > O existe un 6 > O tal

TEOREMA 6

x-x0

que para cualquier x E A que satisfaga O la figura 2.2.18).

< IIx - x011 < 6,

Y

tenemos l l f ( x ) - bll

(ver

Y

Figura 2.2.18 Geometría de la definición E-6 de límite.

Este teorema se probará en la sección 2.7 Para ilustrar la metodología de la técnica épsilon-delta en el teorema 6, consideremos los ejemplos siguientes.

EJEMPLO 12

Mostrarquelímite

(w4)-(0,0)

z

=O

112

DIFERENCIACI~N

de E ) conlapropiedaddeque O < I l ( z , y ) - (0,O)Il < 6 implique que /x - 01 < E . ¿Qué 6 vamosaescoger?En los cálculosanterioresvemosque si escogemos 6 = E , entonces 11(x,y) - (0,O)Il < 6 implica 1 : - 01 < E . Esto muestraquelímite 3: = O. (Z,Y)".(O,O)

También pudimos haber escogido 6 = ~ / o2 ~ / 3 pero , basta hallar un 6 para satisfacer l a definición delímite. A losrequerimientosde

EJEMPLO 13

Considerar la función

Aunque f no está definidaen (O, O), determinar si f(x,y) tiende a algún número cuando (x,y) tiende a (O,O). SOLUCIóN

Porcálculoelementalsabemosque sen (Y -1 límite -a-O

CY

Por lo tanto, es razonable pensar que

Figura 2.2.19 Gráfica generada por computadora

2.2

LfMlTES Y CONTINUIDAD

En efecto, como

113

l í m i t e ( s e n a ) / a = 1, dado 0-0

E

talque O < la1 < 6 implicaqueI(sena)/a O < llv112 < 6’ < 6, y por IO tanto

>O

hallamos un 5

- 11

<

E.

Si O

con 1 > 6

> O,

< llvll <

> O,

6, entonces

+

Así, límite f(v) = 1. En efecto, si graficamos en una computadora [sen(z2+y2)]/(z2 v-(O,O)

y’)), obtenemos una gráficabien portada cerca de

EJEMPLO 14

A

( O , O ) (figura 2.2.19).

Mostrarque

SOLUCIÓN Debemos mostrar que es pequeño cuando del origen. Para ello usamos la siguiente desigualdad:

(z, y ) está cerca

+

SOLUCIÓN Si existe el límite, .’/(x’ y’) debería aproximarse a un valor definido, digamos a, cuando ( x , y ) se acerque a (0,O). En particular, si (z,y) tiende a cero a lo largo de cualquier trayectoria, entoncesz2/(z2 y’) debería tender al valor límite a. Si (z, y) tiende a (O, O) a lo largo de la recta y = O, claramente el valor límite es 1 (basta x 2 / x 2 = 1). Si (z,y) tiende a (0,O) hacer y = O en la expresión anterior para obtener a lo largo de la recta z = O, el valor límite es

+

límite

f~,Y)“+(O,O)

Porlotanto,noexistelímite

(z,Y)-(o,o)

z’/(z’

O’ -o 0’ Y’

+

+ y’)

#

1.

(verlafigura

2.2.20).

A

114

DIFERENCIACI~N

cuando

(z,y)

tiende

a (0,O)

a lo larao de esta cresta,

t -+

1

T+TY;- l < x 5 l , - l < y 5 l X2

=

Figura 2.2.20 Esta función no tiene límite en (O,O).

Figura 2.2.21 Esta función tiene límite

O en ( O ,O ) .

2.2

115

ÚMITES Y CONTINUIDAD

EJEMPLO 16

Probar que (ver la figura 2.2.21)

Enefecto,nóteseque

SOLUCIóN

Así, dado E > O, escoger 6 = E; entonces O IYI < 6, Y a i ,

< 11(~ I

Usando la notación épsilon-delta llegamos a la siguiente reformulación de la definición de continuidad. Sea f :A c R" -+ R" unafuncióndada.Entonces f escontinuaen x0 E A si y sólo si para todo número E > O existe un ndmero 6 > O tal que TEOREMA 7

x E A y IIx - x011 < 6

implica

Ilf(x) - f(xo)ll

< E.

La demostración es casi inmediata. Nótese que en el teorema 6 insistimos en que X O . Estonoseimponeaquí;enefecto,ciertamentela conclusión del teorema 7 es vdida cuando x = XO,de modo que no es necesario excluir este caso. Aquí si nos interesa el valor de f en XO;queremos que en los puntos cercanos f esté cerca de este valor.

O

< IIx - ~ 0 1 1 , estoes, x #

EJERCICIOS En los ejercicios siguientes el lector puede suponer que las funciones exponencial, seno y coseno son continuas, y puede usar librementelas técnicas del cálculo de una variable. 1. Mostrar que los siguientes subconjuntos del plano son abiertos: (a) A = {(z, y)[ - 1 < 2: < 1,-1 < y < 1)

kb,l (c)

kd,l Y (c)

= {(2:, Y)lY

> 01

c = {(z,?/)I2 < z2 + Y2 < 4)

A U B U C , donde los conjuntos A , B y C se definen como en las parte (a),(b),

(e) D = {(ZI Y ) b

#0YY#

2. (a) Probar que para

y

(b) Probar que si

uuv.

(c)Probarque puntos a y b.

0)

S < b , Ds(x) c Dt(x). son vecindades de x E R", entonces también lo son U n V

x E R" y

UyV

los puntosfronterade

un intervaloabierto

( a ,b )

c

R son los

116

DIFERENCIACI~N

*3. Usar la formulación S-6 de los límites para probar que x’ una demostración más corta usando el teorema 3.

+

4 cuando x -+ 2. Dar

4. Calcular los límites siguientes:

(a)

x3y

limite

(ZrY)-(OJ)

(c)límite 2-0

sen2 x -

kd,l

x

lí,”lc?

sen’ x 22

5. Calcular los límites siguientes:

(b) lím sen límite

(x

2-0

+ h)2- x2

eh - 1 kd,l líprn? h

h

h-O

cos x - 1 límite ___ 2-0

x

x’

6. Calcular los límites siguientes, si es que existen:

8. Sea A C R’ el disco unitario abierto D I(O,O) con el punto x0 = ( 1 , O ) añadido, y sea f : A R,x H f ( x ) la función constante f ( x ) = 1. Mostrar que límite f(x) = 1. -+

x-x0

10. Mostrar que la correspondencia

Mostrar que f : R

+

R, z

H

f:R

( 1 - x)*

-+

R, x

I+

x 2 e 2 / ( 2 - sen x) es continua

+ cos(1 + x3) es continua

o+

2.2

117

LhITES Y CONTINUIDAD

13. Si

f:R" -+ R y g: R" + R son continuas, mostrar que las funciones

14. Probar que

f:R'

-+

R, (x, y)

H

yex

+ sen x +

es continua.

( 2 ~ ) ~

(a) ¿Se puede hacer continua [sen(x+y)]/(x+y) definiéndola de manera adecuada en (O,O)? (b) ¿Se puede hacer continua xy/(x2 y') definiéndola de manera adecuada en

+

(O, O ) ?

16. (a) Usar la regla de l'H6pital para calcular límite

(b) ¿Existe límite

(x,Y)-(o,o)

sen22 - 2 x + y , x3 Y

x-o

sen 22 - 22 x3 .

+

17. Suponer que x y y están en R" y que x # y. Mostrar que existe una función continua f :R" -.+ R con f(x) = 1, f(y) = O, y O 5 f(z) 5 1 para todo z en R". *18. Sea f:A

c R" -+ R y sea x0 un punto frontera deA . Decimos que límite f(x) = 00

si para todo N > O existe 6 (a) Probar que límite(x x-1

> O tal que O < IIx - x011 < 6 implica f(x) > N . - 1)-' = 03 x-x0

Probar que límite 1/1x1 = 03. ¿Es cierto que límite 1/x = m? x-o (c)Probarquelímite 1/(x2 y') = c o .

+

(z24)-(0,0)

*19. Sea f :R

-+

R una función. Escribimos límite

x-b-

f(z) = L y decimos que L es el

limite por la izquierda de f en b, si para todo E > O, existe 6 > O tal que x O < 1 2 : - bl < 6 implica If(.) - LI < E . (a) Formular una definición de límite por l a derecha, o límite f ( x ) .

+

(b) Hallar límite 1/(1 e l l z ) y límite 1/(1 x-o(c) Esbozar la gráfica de 1/(1 e l l z ) .

+

*20. Mostrar que f es continua en

x0

si y sólo si

límite llf(x) x-x0

+ ellx).

- f(xo)ll

= O.

x-b+

y

118

DIFERENCIACI~N

*21. Sea f : A C R" -+ R" que satisface llf(x) - f(y)II 5 Kllx - yllQ para todo x y y en A para constantes positivas K y (Y.Mostrar que f es continua. (Dichas funciones se llaman Holder-continuas o, si (Y = 1, Lipschitz-continuas.) *22. Mostrar que f : R" -+ R"' es continua en todos los puntos si inversa de todo abierto es abierta.

y sólo si la imagen

*23. (a) Probarque existe un número 6 > O tal que si la/ < 6, entonces la3 + 3 a 2 1/100. (b) Probar que existe un número 6 > O tal que si z2 y2 < 6 ', entonces

+al

<

+

1z2

+ y2 + 3zy + 180zy51 < l / l O , O O O

2.3 DIFERENCIACI~N

.

En la sección 2.1 consideramosalgunosmétodos para graficarfunciones. Mediante sóloestosmétodospuedeserimposiblecalcularsuficienteinformación para comprender incluso lascaracterísticas generalesde una funcióncompliser cada. Por el cálculo elemental sabemos que el concepto de derivada puede de mucha ayuda en esta tarea; por ejemplo, nos permite localizar máximos y mínimos, y calcular tasas de cambio. L a derivada, además de éstas, tiene otras aplicaciones, como seguramenteya lo habrá descubiertoel estudiante en su curso de cálculo elemental. Intuitivamente ya sabemos, por nuestro trabajo con la sección 2.2, que una funcióncontinuanotienela gráfica rota.Unafuncióndiferenciablede R2 a R debe ser tal que su gráfica no esté rota, pero además debe tener bien definido un plano tangente a 1.a gráfica en cada punto. Así, no debe haber dobleces, esquinas Z

X

Figura 2.3.1 Gráfica suave.

2.3

119

DlFERENClAClÓN Z

pico

esquina

hoyo X

Figura 2.3.2 Esta gráfica no es suave.

o picos en la gráfica (ver las figuras debe ser suave.

2.3.1 y 2.3.2). En otras palabras, la. gráfica

Para precisar estas ideas necesitamos una definición sensata de lo que entendemos por “ f ( 2 1 , . . . ,x,) es diferenciable en x = ( 2 1 , .. . , xn)”. En realidad esta definición no es tan sencilla,comopudierapensarse. Para avanzar en esa dirección, introduzcamos el concepto de derivada parcial. Este concepto se basa en nuestro conocimiento del cálculo en una variable. (En est8emomento se recomienda revisar rápidamente la definición de derivada en un libro de cálculo en una variable.) Sean U C Rn un conjunto abierto y f : U c R“ + R una función con valores reales. Entonces d fldxl, . . . , df/dx,, las derivadas parciales de f respecto a la primera, segunda, . . . , n-ésima variable son las funciones con valoresreales, de n variables, las cuales, en el punto (x1,, , , , x,) = x, están definidas por DEFINICIÓN

= lím h-O

S(x

+ he,) h

-

f(x)

si existen los limites, donde 1 5 j 5 n y ej es el j-ésimo vector de la base usual, definido por ej = (O,. . . , 1, . . . , O), con el 1 en el j-ésimo lugar (ver la sección 1.5).

En otraspalabras, a f / a x j essimplemente la derivadade f respecto a la variable x 3 ,manteniendo las otras variables fijas. Si f : R3 + R , con frecuencia usaremos la notación df /ax,df /ay, y d f / a 2 en lugar de d f / a x l , d f 1 8 x 2 , y

120

DIFERENCIACI~N

de modo que podemos hablar de las derivadas parciales de cada componente; por ejemplo, es la derivada parcial de la m-ésima componente con respecto a x,, la n-ésima variable.

afm/atn

EJEMPLO 1

Si f ( x l y) = x2y + y3, hallar d f /at y d f / d y .

SOLUCIÓN Para hallar df/& mantenemos y constante (piénsenla como si fuera un número, digamos 1) y diferenciamos sólo respecto a x; entonces

De manera análoga, para hallar af/dy mantenemos x constante y diferenciamos sólo respecto a y:

Para indicar que una derivada parcial ha de evaluarse en algún punto particular, por ejemplo en (xo,yo), escribimos

Cuando escribamos z = f (x,y) para denotar la variable dependiente, con frecuencia escribiremos a z / a x en lugar de a f / a z . Estrictamente hablando, éste es un abuso de notación] pero es una práctica común usar de manera indistinta estas dos notaciones. (Ver el ejercicio 24, en la sección 2.4 para una ilustración de los peligros que conlleva usar notación descuidada.)

SOLUCIÓN

Primero fijamos yo y diferenciamos respecto a x, obteniendo

+

= (-YO sen %yo = " y o sen xoyo

COSYO)(,=~~

+ cos yo.

2.3

121

DIFERENCIAUÓN

De manera análoga, fijamos

aZ

&%o,

YO)

x0

=

y diferenciamos respecto a y para obtener d(c0s zoy

+ x0 cos y )

dy

Y=Yo

= ("zosenxoy- xoseny)ly=,, ---zosenzoyo-zosenyo.

SOLUCIÓN

A

Por la regla del cociente

Resulta insuficiente una definición de diferenciabilidad que requiera sólo de la existencia de las derivadas parciales. No se cumplirían muchos de los resultados usuales, como la regla de la cadena para varias variables, tal como lo muestra el ejemplo 4. Más adelante veremos cómo rectificar esta situación.

EJEMPLO 4

Sea !(x, y) = x1/3y1/3.Por definición,

y, de manera similar, (af/ay)(O, O) = O (¡no se trata de formas indeterminadas!). Es necesario usar la definición original de derivadas parciales, pues las funciones x1l3 y y1l3 no son diferenciables en O. Supongamos que restringimos f a la recta y = x para obtener f ( x , x) = 2'j3 (ver la figura 2.3.3). Podemos ver la R2, definida por substitución y = x como la composición de la función g: R g(z) = (x,x),con f : R 2 + R, definida por f ( x , y ) = x 113y 1/3. Así, la composición f o g estádada por (f o g)(z) = Cadacomponente de g es diferenciable en x, y f tiene derivadas parciales en (O, O), pero f o g no En otras es diferenciable en 1: = O, en el sentido del cálculo en una variable. palabras, la composición de f y g no es diferenciable, en contraste con el cálculo de funciones en una variable, donde la composición de funciones diferenciables es diferenciable. Más adelante daremos una definición de diferenciabilidad que tiene la agradableconsecuencia de que la composición de funciones diferenciables es diferenciable. --+

122

DIFERENCIACI~N

Hay otra razón para no estar satisfechos con la simple existencia de a ls derivadas parciales de f ( z , y) = z1/3y1/3; no hay plano tangente, en un sentido razonable, a la gráfica en (O, O). El plano zy es tangente a la gráfica a lo largo de los ejes z y y pues f tiene pendiente cero en (O, O) a lo largo de estos ejes; esto es, 8f/& = O y df/dy = O en (O, O). Así, si hubiera plano tangente, debería ser el plano zy. Sin embargo, como resulta evidente en la figura 2.3.3, el plano z y no es tangente a la gráfica en otras direcciones, pues la gráfica tiene una severa arruga de modo que no se puede decir que el plano zy es tangente a la gráfica A de f.

Figura 2.3.3 Parte “superior” de la gráfica de z 1 ’ 3 y 1 ’ 3

Para “motivar” la definición de diferenciabilidad, calculemos cómo debería ser la ecuación del plano tangente a la gráfica de f :R2 ”+ R , (z, y) I”+ f(z,y) en (xo,yo), si f fuera suficientemente suave. En R3, un plano no vertical tiene una ecuación de la forma z = ax + b y

Si se t r a t a de que sea el plano tangente a la de los ejes z y y deben ser iguales a af/az respecto a z y y. Así, a = af/dz,b = a f / d y podemos determinar la constante c a partir z = zO,y = yo. Así, obtenemos

+ c.

gráficade f , las pendientes a lo largo y a f / 8 y , las tasas de cambio de f (evaluadas en ( 2 0 ,yo)). Finalmente, del hecho que z = f(x0, yo) cuando

2.3

123

DIFERENCIACI6N Z

plano tangente a la

gráfica de f en

(Xe,

I

I I

Y”,f(XS,Yo))

Y

Figura 2.3.4 Para los puntos (x,y) cerca de (xo,yo), la gráfica del plano tangent’e e s t á cerca de la gráfica de f.

que debería ser la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en ( 2 0 ,yo), si f es “suficientemente suave” (ver l a figura 2.3.4). Nuestra definición de diferenciabilidad dirá, en efecto, queel plano dado porla ecuación (1) es una “buena” aproximación de f cerca de ( 2 0 ,yo). Para tener una idea de lo que significa una buena aproximación, regresemos por un momento al cálculo en una variable. Si f es diferenciable en el punto x O , entonces sabemos que

Sea

2

= 20

+ Ax y reescribamos esto como

124

DIFERENCIACI~N

Así, la recta tangente I que pasa por ( 2 0 , f(z0)) con pendiente f’(z0) está cerca de f en el sentido de que la diferencia entre f ( z ) y /(x) = f(z0) f ’ ( z o ) ( z - 2 0 ) se hace cero aun al dividirse entre x - 2 0 , cuando 2 va hacia 2 0 . Esta es la idea de “buena aproximación” que adaptaremos a funciones de varias variables, reemplazando la recta tangente por el plano tangente (ver la ecuación ( l ) ,anterior).

+

DEFINICI~N Sea

af/az y a f / a y

cuando (x,y) decimos que

+

f : R 2 -+ R. Decimosque f es diferenciable en (20,yo) y si

existen en

(20,yo).

f(Z0, Yo)

( 2 0 ,yo),

si

Esta ecuación expresa el significado que darnos cuando

+ [E(Z0, Yo)] (x - zo) +

es una buena aproximación a la función f .

No siempre es fácil usar esta definición para saber si f es diferenciable, pero será fácil usar otro criterio dado en el teorema 9, más adelante. Hemos usado la idea informal del plano tangente a la gráfica de una función para motivar nuestra definición de diferenciabilidad. Ahora ya estamos preparados para adoptar una definición formal del plano tangente. DEFINICI~N Sea f :R2

”+ R diferenciable en definido mediante la ecuación ( l ) ,

x0

=

( 2 0 ,yo).

se llama plano tangente a la gráfica de f en el punto

E1 plano en R3

( 2 0 ,yo).

EJEMPLO 5 Calcular el plano tangente a la gráfica de z = x 2 punto ( 1 , 0 , 2 ) .

+ y4 + exy en el

Aquí usamos la fórmula (l),con 20 = 1, yo = O, Y zo = f(20,yo) = 2. Las derivadas parciales son

SOLUCIÓN

a2 = 22 + yexY

ax

y

aZ = 4y3 + zezy. aY

2.3

DIFERENCIAU~N

125

En (1, O, 2), son 2 y 1, respectivamente. Asi, por la fórmula (l),el plano tangente es z = 2 ( 2 - 1)

+ l ( y - O ) + 2,

i.e.

z

= 22

+ y.

A

Escribamos D f ( 2 0 ,yo) para la matriz renglón

entonces, la definición de diferenciabilidad afirma que

es nuestra buena aproximación a f cerca de ( 2 0 ,yo). (Como antes, "buena" se toma en el sentidode que de f ( x l y) en alguna cantidad pequeña multiplicada Decimos que por la expresión (3) es la mejor aproximación lineal a f cerca de (xol yo). Ahora estamos preparados para dar una definición de diferenciabilidad para funciones f de R" a Rm,usando el análisis anterior como motivación. La derivada Df(x0) de f = (ti,... , f m ) en un punto x0 es una matriz con elementos tij = afi/axj evaluada en xo.* DEFINICI~N Sean U un conjunto abierto en R" y f : U c R" 4 Rm una función dada. Decimos que f es diferenciable en x0 E U si existen las derivadas parciales de f en x0 y si

donde T = Df(x0) es la matriz cuyos elementos matriciales son L?fi/L?zj evaluadas en x0 y T(x - XO) es el producto de T con x - x0 (considerado como un vector columna). Llamamos a T derivada de f en xg. Siempre denotaremos la derivadaT de f en x0 por D f ( x ~aunque )~ en algunos libros se denote d f ( x 0 ) y se denomine diferencial de f. En el caso m = 1,la matriz

*Resulta que es suficiente postularla existencia de alguna matriz que dé la mejor aproximación lineal cerca de xg E R", pues de hecho esta matriz es necesariamente la matriz cuyo ij-ésimo registro es af,/&, (ver la sección 2.7).

126

DIFERENCIACI~N

T es precisamente la matriz renglón

(A veces, cuando haypeligrodeconfusión,separamos losregistrosmediante comas.) Al hacer n = 2 y colocar el resultado en la ecuación (4), vemos que las condiciones (2) y (4) coinciden. Así, si hacemos h = x - XO,una función f con valores reales, de n variables, es diferenciable en un punto x-, si

pues

Para el caso general en quef manda a un subconjunto de R” a Rm,la derivada es la matriz de m X n dada por

donde 8f i / a z j está evaluada en xo. A Df(x0) se le llama, de manera correcta, matriz de las derivadas parciales de f en X O .

SOLUCI~N (a)Aquí f : R 2 ”-$ R2 está definida por f i ( z , y ) = e”+!’ f 2 ( z ,y) = y2z. Entonces Df(z, y) es la matriz de 2 X 2

(b) Tenemos

+y y

2.3

127

DIFERENCIAUÓN

(c)

Aquí

DEFINICI~N Considerar elcasoespecial matriz de 1 x n:

f :U

,,,[ af

c R”

Df(x)=

+

-1.af

R. Aqui D f ( x ) es una

a xn

Formamos el correspondientevector (af / d z l . . . , af / a x n ) , llamado el gradiente de f y denotado por gradf o V f . De la definición vemm que para f:R3 -+ R , V f = - iaf + - j + -af k, ax ay

af a2

mientras que para f:R2 --t R ,

El significadogeométricodelgradiente se analizará en la sección 2.5. En términos 8 e productos internos, podemos escribir la derivada de f como Df(x)(h) = Vf(x) -h.

EJEMPLO 7

Sea f:R3 grad

EJEMPLO 8

s i f:R2

-+

f=

-+

(dfaf ”)

R , f (x,y, z ) = z e y . Entonces a x ’a y ’

a2

= (eY,xeY,O).

R está dada por (x,y)

H

e”Y

A

+ sen “y1 entonces

+ (xe”Y+xcoszy)j = (ezy + coszy)(yi + x j ) .

Vf(z,y)= (ye“’+

ycoszy)i

128

DIFERENCIACI~N

En cálculo de una variable se muestra que si f es difcrenciable entonces f es continua. En el teorema 8 enunciaremos que esto tambiénse cumple para las funciones difcrenciables de varias variables. Corno sabemos, hay multitud de funciones que son continuas pero no diferenciables, como f ( x ) = 1x1. Antes de enunciar el resultado daremos el ejemplo de una función cuyas derivadas parciales existen en un punto pero que no es continua en ese punto.

EJEMPLO 9

Sea f :R2 -+ R definida por

Como f es constante en los ejes x y y , donde es igual a 1,

Pero f noescontinua

TEOREMA 8

continua en

en (O, O), pueslímite

Sea f :li xg.

(Z,Y)+(O,O)

c R"

-+

f ( x , y ) noexiste.

R'" diferenciableen

x0

A

E U. Entonces f es

Consultar l a sección 2.7 para ver l a demostración. Como ya vimos, por lo general es fácil decir si existen las derivadas parciales de una función usando nuestro conocimiento de cálculo en una variable. Sin embargo, l a definición de diferenciahilidad se ve algo más complicada, y la condición de aproximación requerida en l a ecuación (4) parece difícil de verificar. Afortunadamente existe un criterio sencillo, dado en el siguiente teorema, que nos dice cuándo una función es diferenciable. TEOREMA 9 Sea f:IJ C It" -+ Rnl,Supongarnos que existen todas las derivadas parciales afilaz, de f y son corltinuas en una vecindad de un p u n t o x E U . Entonces f es diferenciable en x.

Daremos la demostración en la seccibn 2.7. Nót.ese la siguiente jerarquía: Teorema 9

L

Definición de derivada

L

Parciales continuas ==+ Diferenciabie =S Existen las parciales

2.3 DIFERENCIACTÓN

129

Todos los enunciados recíprocos obtenidos invirtiendo una implicación, son inal recíprocode laprimeraimplicación,usar válidos.(Parauncontraejemplo f ( z ) 1z2sen(1/x), f(0)= O; para l a segunda, ver el ejemplo 1 de la sección 2.7 o usar el ejemplo 4 de esta sección.) Una función cuyas parciales existan y sean continuas, se dice que es de clase C’. Así, el teorema 9 dice que cualquier función C1 es diferenciable.

EJEMPLO 10

,%a

Mostrar que f es diferenciabk en todos los puntos (x,y) SOLUCIÓN

#

( O , O).

Observarque las derivadasparciales

af - ( x 2 + y2)xeTY- 2y(cos x + e z y )

”

ay

(x’ + y * ) ’

son continuas excepto cuando2 = O y y = O (por los resultados en la sección 2.2). A EJERCICIOS

Evaluar las derivadas parciales az/ax,az/ay para las funciones dadas en los puntos

3. En cada caso siguiente, hallar las derivadas parciales (a) w = z e z 2 + y 2

(c) w = e”’ log(=’

+ y’)

( e ) w = cos yezy sen 1:

x’ w=- x 2

+ Y’ - y2

(d) w = x / y

aw/az, a ~ / a y

130

DIFERENCIACI~N

4. Mostrar que cada una de las funciones siguientes es diferenciable en cada punto de su dominio. Decir cuáles de las funciones son C’.

(c) f ( r , 8) = i r sen 28, r

>O

(d) f ( z , y) =

“Y

J.l-t.yz

a l a superficie z = z 2

5. Hallar la ecuación del plano tangente

+ y3 en (3,1,10).

6. Usando las funciones respectivas enel ejercicio 1, calcular el plano tangent,e a la gráfica en los puntos indicados.

(0>1)

(a)

-

(c) (0,

(0,1) (dl

7. Calcular la matriz de derivadas parciales de las funciones siguientes:

f : R2 f:R2 -+ (c) f:R3 ( d ) f : R 2 -+ (a)

kb,l

9.

R 2 ,f(z,Y ) = (z, Y ) R3,f(z,y) = ( z e Y+ cosy, z, z + eY) R2,f ( z , y, 2 ) = ( z e* Y, y z 2 )

+ +

R3,f(z,y) = (zyeZY,zseny,5zy2)

¿Dónde cruza al eje z el plano tangente a z = e=-’

en (1,1, l ) ?

10. ¿Por q u é podrían llamarse las gráficas de f ( z , y) = z2+y2 y g(z, y) = -z2-y2+zy3

“tangentes” en ( O , Sea

o)?

f ( z , y) = e r y . Mostrar que z ( a f / a z ) = y ( a f / a y ) .

12. Usar la expresión (1) en esta sección para aproximar una función adecuada f ( z , y) y a partir de ahí estimar lo siguiente:

(a) (0.99e’

kb,l

(0.99)3

+ (2.01)3 - 6(0.99)(2.01)

(c) J(4.01)2

+ (3.98)2 + (2.02)2

13. Calcular los gradientes de las funciones siguientes: (a) f ( z , y, z)

(b)

f ( z , Y,

2)

= zexp(-z2 - y’ - 2 ’ ) (Notar que expa = e u . ) =

”YZ

22

+ y2 +

22

k.,lf(z,

y, z ) = z 2 e z cos y

2.4

PROPIEDADES DE LA DERIVADA

131

Calcular el plano tangente a (1,O, 1) para cada una de las funciones en el ejercicio 13. (La solución sólo a la parte (c) está en la Guía de estudio de este libro.)

+ 2y3 en (1,1,3)

15.

Hallar la ecuación del plano tangente a z = z2

16.

Calcular V h ( l , l , l ) si h ( z , y , z ) = (z -t z)ezWy.

18.

Evaluar el gradiente de f ( z ,y, z ) = log(z2

+ y2 + z')

en (1, O, 1).

Describir todas las funcionesHolder-continuascon (Y > 1 (verelejercicio sección 2.2). [IDEA:¿Cuál es la derivada de dicha función?]

*19.

*@ Suponer que f : R" 2.4

+

R"

es una

21,

transformación lineal. iCuál es la derivada de f ?


En cálculo elemental aprendimos cómo diferenciar sumas, productos, cocientes y funciones compuestas. Ahora generalizamos estas ideas a funciones de' varias variables, prestando particular atencióna la diferenciación de funciones compuestas. La regla para diferenciación de composiciones, llamada regla de la cadena, adquiere una forma más profunda en el caso de funciones de varias variables por ejemplo, si f es una función convalores que en las de una variable. Así, reales en una variable, escrita como z = f ( y ) , y y es una función de x, que escribimos y = g(x), entonces z resulta una función de t mediante la sustitución, a saber, z = f(g(t)), y tenemos la conocida fórmula dz

--

dx

dzdy = f'(g(z))g'(x). d y dx

"

Si f es una función con valores reales en tres variables u,o y w,escrita en la forma z = f ( u , v , w),y lasvariables u , v y w son cada una funcionesde 2 , u = g(x), v = h ( s ) , y w = k ( x ) , entonces al sustituir g(z), h(x) y k(t) por u, v y w , expresamos z como función de x : z = f ( g ( x ) ,h(x), k ( x ) ) . En este caso la regla de la cadena es: dz dx

-="

dz du du

dx

dv dv dx dz

+"""

dz d w dw dx

Uno de los objetivos de estasección es explicar dichas fórmulas en detalle. Comenzamos con las reglas de diferenciación para sumas, productosy cocien-

tes.

132

DIFERENCIACI~N

TEOREMA 10

-

(i) Regla del lnúltiplo constante. Sea f : U c R'I R" diferenciable en x0 y sea c un número real. Entonces h(x) = cf(x> es diferenciable en x0 y Dh(xo) = cDf(xo)

(ii) Regla de la suma. Sean f:I/ ciables en xo.Entonces h(x) = f(x)

(igualdad de matrices)

c R"

RnLy g : U

c R"

+

+ g(x) es diferenciable en x0 y "+

R" diferen-

(iii) Regla del producto. Sean f : U c R" + R y y: U c R." + R diferenciables en x. y sea h,(x)= g(x)f(x). Entonces 11: U c R" + R es diferenciable en x0 Y Dh(xo) = g(xo)Df(xo) f(xo)Dg(xo).

+

(Notar que cada lado de esta ecuación es una matriz de 1 X n; un producto más general se presenta en el ejercicio 25 al final de esta sección.) (iv) Regla del cociente. Con las mismas hipótesis que en la regla (iii), sea h(x) = f(x)/g(x) y suponer que g nunca es cero en U. Entonces h es diferenciable en x0 Y

DEMOSTRACI~N Lasdemostracionesdelasreglas(i) a (iv) se desarrollancasi de la misma manera que en el caso de una variable, con sólo una ligera diferencia en la notación. Probaremos las reglas (i) y (ii), dejando las demostraciones de las reglas (iii) y (iv) para el ejercicio 29.

(i) Para mostrar que

Dh(xo) = cDf(xo), debernos mostrar que

esto es, que

(ver la ecuación (4) de l a sección 2.3). Esto es cierto pues f es diferenciable y l a constante c puede factorizarse (ver el teorema 3(i), secciGn 2.2).

2.4

PROPIEDADES DE IA DERIVADA

133

Verificar la fórmula para Dh en la regla(iv) del teorema 10 con f(z,y, z) = z2 y2 z2 y g(z, y,z ) = z 2 1. EJEMPLO 1

SOLUCIÓN

+

+ +

Aquí h(z,y,z) =

x2

+ y2 + z2 x2+1

’

de modo que por diferenciación directa D h ( x , y , z) =

=

-1

[-

ah ah ah -

ax’a y ’ d z

[

2 4 1 - 312(x2+1)2

2y

2’)

22

’ X 2 + 1 ’ 2 2 + l

].

Por la regla (iv), obtenemos

que es lomismoqueobtuvimosdirectamente.

A

Como yamencionamosanteriormente, es en la diferenciacióndefunciones compuestas que encontraremos aparentes alteraciones substanciales de la fórmula D, estoes, delcálculodeunavariable. Sin embargo, si usamoslanotación notación matricial, la regla de la cadena para funciones de varias variables se parece a la regla para una variable.

134

DIFERENCIACI~N

u

REGLA DE LA CADENA. Sean C R" y C R." abiertos.Sean y : U c R" + R" y f : V c R" + RP funciones dadas tales que g manda a U cm V , de modo que está definida f o g . Suponer que g es diferenciable en x0 y TEOREMA 11:

que f es diferenciable en yo = y(x0). Entonces f o g es diferenciable en

x0

D ( f 0 g)(xo) = Df(Y0)DdXo).

y

(1)

El lado derecho es una matriz producto. Daremos ahora una demostración de la regla de la cadena bajo la hipótesis adicional de que las derivad
-

PRIMERCASOESPECIALDE LA REGLA DELACADENA Suponer que c : R R3 y f:R3 + R. Sea h ( t ) = f(c(t)) = f ( z ( t ) , y(t), ~ ( t ) )donde , c(t) = ( z ( t ) , y ( t ) ,

z ( t ) ) . Entonces

" "

Esto es,

rl h - = V f ( c ( t ) ) c'(t).

dt

donde c'(t) = ( ~ ' ( t ) , y ' ( t )~%' ( t ) ) h e es el caso especial del teorema 11 en el que tomamos c = g ! reales y 711 = 3. NÓt#eseque

f con valores

V f ( c ( t ) *) ~ ' ( t = ) Df(c(t)'Dc(t),

donde el product.0 en el lado izquierdo es el producto punto de vectores, mien-

t r a s que el product,odelladoderecho esmultiplicación de matrices, y donde considcramos a D f(c(t)) como matriz renglón y Dc(t) como matriz columna.

V f (c(t)) y c'( t ) tienen las mismas componentes que sus equivalentes matriciales; el cambio notacional indica el paso de matrices a vectores. I m s diagramas siguientes pueden ser de utilidad para que el lector entienda esta relación:

Los vectores

donde D c y D f están evaluada? en t y c ( t ) respectivamente.

2.4

135


DEMOSTRACIóN DE LA ECUACIóN (2)

dh "(to) dt

Por definición

= límite t-to

h ( t ) - h(to) t - to

Sumando y restando dos términos, escribimos

Invocamos ahora el teorema del valor medio del cálculo de una variable, que afirma que: si g : [ a , b ] + .Res continua y diferenciable en el intervalo abierto ( a ,b ) , entonces existe un punto c en ( a , b ) tal que g ( b ) - g ( a ) = g'(c)(b - a ) . Así, al aplicar el teorema del valor medio a f como función de x , podernos asegurar que para alguna c entre x y lco,

Así, hallamos que

donde c , d y e están entre ~ ( ty )x ( t o ) , entre y ( t ) y y ( t o ) , y entre z ( t ) y z ( t o ) , respectivamente. Al tomar el límite t + t o , usando la continuidad de las parciales af/az, a f / a y y a f / a z , y el hecho de que c, d y e convergen a x ( t o ) , y ( t o ) y z ( t o ) , respectivamente,obtenemos l a fórmula (2).

Sean f :R3 + R y g: R3 + z ) , v ( z , y , z ) , w ( x ,y, z)) y definir h : R3 -+ R

SEGUNDO CASO ESPECIAL DE LAREGLA DE LA CADENA

R3. Escribir g ( x , y,z ) = (.(.,y,

136

DIFERENCIACI~N

mediante h ( z ,y, z) = f(u(x,y, z ) , v ( z ,y, z ) , w ( z , y , z ) ) . Entonces - " ax ay

au

av av " ax ay

av

aw

aw

aw

ax

ay

az

auau

" -

a2

a2

En este caso especial hemos tomado n = m = 3 y p = 1 para concretar, y U = R3 y V = R3 porfacilidad, y hemos escrito explícitamente el producto matricial [Df(yo)][Dg(xo)](suprimiendo de las matrices los argumentos x0 y Yo). DEMOSTRACI~NDEL SEGUNDO CASO ESPECIAL DE LA REGLA DE LA CADENA Por definición, d h / d x se obtiene diferenciando h respecto a x , manteniendo fijas y y z . Pero entonces (u(., y, z), v ( x , y, z), w ( z , y, x)) se puede considerar como una función vectorial de la sola variable x . Se puede aplicar el primer caso especial a esta situación y, después de cambiar el nombre a las variables, obtenemos

- -"

De manera análoga,

Y Estas ecuaciones son exactamente las que se obtendrían al multiplicar las matrices en la ecuación (3). DEMOSTRACIÓNDELTEOREMA 11 El casogeneral en laecuación (1) se puede probar en dos pasos. Primero, se generaliza la ecuación (2) a m variables; esto es, para f ( x 1 , . . . , x m ) y c ( t ) = ( x l ( t ) , . . . , zm(t)),se tiene

,=I

donde h ( t ) = f ( z l ( t ) ,. . . , x m @ ) ) . Segundo, el resultado obtenido en paso se usa para obtener la fórmula ah,

m

"

ax,

k=l

el primer

2.4


137

El patrón que sigue la reglade la cadena se aclarará apenas el estudiante trabaje algunos ejemplos adicionales. Por ejemplo,

con una fórmula similar para a f / a y . La función c en el primer caso especial de la regla de l a cadena representa una curva (figura 2.4.1), y c’(t) puede considerarse como un vector tangente ( o vector velocidad) de la curva. Aunque esta idea se estudia con gran detalle en el capítulo 3, podemos indicar aquí el por qué de esta interpretación. Usando la definición de derivada de una función de una variable, vemos que c ’ ( t )= limite h-O

-

c(t + h) - c(t) h

c ’ ( t ) trasladado paralelamente de modo que comience en el punto c ( t )

X

Figura2.4.1 El vector c ’ ( t )representa el vector tangente (o vector velocidad) de la

curva c ( t ) .

138

DIFERENCIACI~N

\

Figura 2.4.2 Geometría asociada con la fórmula límiteh,0(c(t

+ h ) - c ( t ) ) / h= ~ ' ( t ) .

El cociente representa una secante que aproxima un vector tangente conforme h O (ver la figura 2.4.2). "+

EJEMPLO 2 SOLUCI~N

(l1Ol1).

Calcular un vector tangente a la

curva

c ( t ) = ( t ,t 2 , e t ) en t = O.

Aquí c'(t) = ( l , 2 t , e'), de modo que en t = O un vector tangente es A

La regla de la cadena nos puede ayudar a comprender la relación entre la f : R 2 + R2 y l a geometríadecurvas en R2. (Se geometríadeunafunción pueden enunciar afirmaciones similares acerca deR3 o, en general, R" .) Si c ( t ) es una curva en el plano, entonces d ( t ) representa el vector tangente ( o velocidad) 2.4.1, este vector tangente de la curva c ( t ) , y como se demostró en la figura ( o velocidad) se puede considerar como si comenzara en c ( t ) . Ahora bien, sea ~ ( t=) f ( c ( t ) ) ,donde f : R2 -t R2. La curva c representa la imagen de la curva c ( t ) bajo la funciónf . El vector tangente a u está dadopor la regla de la cadena:

"1 " m a t rviezc t o r columna

multiplicación de matrices

2.4

139


En otras palabras, la matriz derivada f de manda al vector tangen te ( o velocidad) a una curva, a l vector tangente (o velocidad) de la correspondiente curva imagen (ver la figura 2.4.3). Así, los puntos son transportados por j , mientras que los vectores tangentes a curvas son transportados por la derivada de f, evaluada en el punto base del vector tangente en el dominio.

Y

Y

+

u ’ ( t )= Df(c(t))c’(t)

ires

’ 4 t~)( t )

es la imagen d e c ( t ) bajo f

Figura 2.4.3 Los vectores tangentes son transportados por la m a t r i z derivada.

EJEMPLO 3

Verificar la regla de la cadena en la forma de j ( u ,v, w ) = u2

don de u(z,y, z) =

“(“,Y,

2%

2)

+

= y2,

Así, diferenciando directamente, ah

ax

- 423y2

frirrrlula (3’) I.’¿zra

v 2 - U‘,

SOLUCIÓN

”

la

+ 2e-22

w ( z , y , z) = e--Tz

140

DIFERENCIACI~N

Por ot,ro lado, usando la regla dc l a cadena,

cs la derivada requerida.

A

Sea f ( x , y ) dada y hacer la sustitución z = r c o s 8 , y = rsen 8 (coordenadas polares). Escribir una fórrrlula para i)f/¿?0.

EJEMPLO 5

SOLUCIÓN

Por la regla de l a cadena,

Sean f ( x , y ) = ( c o s y + ~ ~ , e y~ g+( u~ , )v ) = ( e U 2 > t { , - s e n 7 : )(a) . Escribir una f6rrnula para f o g . ( h ) Calcular D(f o g ) ( O , o) usando la regla de la cadcna. EJEMPLO 6

2.4


141

Ahora

Y

(¡Recordar que Df está evaluada en g(0, O), no en (O,O)!) Así,

Sea f : U c R" -+ R" diferenciable, con g(x) = sen[f(x) f(x)]. Calcular Dg(x).

*EJEMPLO 7

-

f = (fi, . . . , f"), y sea

-

Por l a regladelacadena,Dg(x) = cos[f(x) f(x)]Dh(x), donde . . . fL(x). Entonces h(x) = [f(x) f(x)] = f:(x)

SOLUCIÓN

Dh(x)=

[2

+ +

...

"1

axn

que se puede escribir 2f(x)Df(x), donde consideramos a f como una matriz renglón,

-

afl ... afl ax n

ax1

f=[f~...fm]

y

Df =

-

afm ax1

f

.

.

afm -

ax

n

142

DIFERENCIACI~N

EJERCICIOS

+

1. Si f:U C R" + R esdiferenciable,probarque x H f2(x) 2f(x) también es diferenciable, y calcular su derivada en términos de Df(x). 2. Probar que las siguientes funciones son diferenciables, y hallar sus derivadas en u n punto arbitrario: (a) f : R2 + R, (x,y ) +-+ 2

kb,l

-

f : R 2 - R n , ( ~ , 2 / ) ~ z + ~

(c) f:R2 R, (x,Y ) ( d ) f:R2 -+ R, ( 2 ,y ) (e) f : R2 R, ( x , y )

- R,

-+

f:U

(g) f : R2

( x , y)

++

M

M

I-+

R, ( x ! y )

2

+x +y + y'

x2 ezy

d m ,U = {(z,y)lz2 + y 2

M

z4 - y*

< 1)

3. Escribir la regla de la cadena para cada una de las siguientes funcionesy justificar la respuesta en cada caso usando el teorema 11. (a) a h / a x donde h ( z ,y ) = f(z,u ( z ,y)) kb,l d h / d x donde h ( z ) = f ( z , .(x), u(.)) ( c ) a h l a x clonde h ( z , Y, z ) = f(u(x,Y, z), u(z, Y ) , ~ ( x ) )

4. Verificar la regla de l a cadena para d h / d x donde h ( z ,y) = f(u(z,y), V(Z,y)) y

LCuál es el vector velocidad para cada curva c ( t ) en el ejercicio 5? (La solución a sólo la parte (b) está en la Guía de estudio de este libro.) 7. Sean

8.

f:R3 + R y

g: R3 + R diferenciables. Probar que

Sea f : R3 -+ R diferenciable. Hacer las sustituciones x

= pcosOsen4,

y = psenOsen4,

(coordenadas esféricas) en f ( z , y, z ) , y calcular

af/ap,

z = pcosd

af/¿?O y af/a~$.

2.4


143

IO. S e a f ( u , v , w ) = (e'"",cos(v+u)+sen(u+v+t)) Calcular f o g y D(f o g)(0, O).

y g(z,y) = (er,cos(y-z),e-Y).

11. Encontrar ( a / a s ) ( f o T)(l,O), donde f(u,v)= c o s u s e n v y T ( s ,t ) = (cos(t2s), log I/=). 12. Suponer que la temperatura en el punto (x, y, z) en el espacioes T ( z ,y, z) = x 2 +y2 +z2. Sea una partícula que viaja por la hélice circular recta m ( t ) = (cos 1, s e n t , 1) y sea T ( i ) su temperatura en el tiempo t . (a) ¿Cuál es T'(t)? (b) Hallar un valor aproximado para la temperatura en t = (./a) 0.01.

+

_.

en el círculo z = cost, y = sen 2 y que la T = z2eY - zy3. Hallar dT/dt, la tasa de cambio en temperatura que puede sentirel pato: (a) mediante la regla de la cadena; (b) expresando T en términos de t y diferenciando. 13. Suponer que un pato está nadando

' temperatura del agua está dada por la fórmula

2 - 3

14. Sea f : R " + R" unatransformaciónlinealdemodoque(por el ejercicio 20, sección 2.3) Df(x) sea la matriz de f. Verificar la validez de la regla de la cadena directamente para transformaciones lineales. 15. Sea f : R 2 + R2; (x, y) ++ (er+y,e3-y). Sea c ( t ) una curva con c(0) = (0,O) y ~ ' ( 0 )= (1,l).¿Cuál es el vector tangente a la imagen de c ( t )bajo f en t = O?

17. Sea y(z) definida implícitamente por G(z, y(z)) = O, donde G es una función dada de dos variables. Probar que si y(x) y G son diferenciables, entonces

dy -" dx

Ó'GJax aG/ay

Obtener una fórmula análoga implícitamente mediante

si

¿?G - # O. ay

a la de la parte (a) si

G l ( z , Y l ( X ) , YZ(Z).)= 0, G d X , Y l ( Z ) , YZ(X)) = 0. ( c ) Sea y definida implícitamente por z2

Calcular dy/dz en términos de

2 y y.

+ y3 + e'

= O.

y l , y2 están definidas

DIFERENCIACI~N

144

Los libros sobre termodinámica* usan la

relación

(2)(8)(g)

=-l.

Explicar el significado de esta ecuación y probar que es verdadera. (IDEA: Comenzar con una relación F ( z , y , z) = O quedefine 2 = f ( y , z), y = g ( z , z ) y z = h ( z , y ) y diferenciar implícitamente.) 19. La ecuación de Dieterici del estado de

un gas es

P(V - b)eaiRVT = RT, donde a , b y

R son

constantes. Considerarel volumen V como función de la temperatura

T y de la presión P y probar que

% = ( R + $ ) / ( 1 . " 4 - 1RT 12).

a

*mf si

Este ejercicio da otro ejemplo del hecho de que la regla de la cadena no es aplicable no es diferenciable. Considerar la función

Mostrar que (a) Existen af/ax(O, O) y af/ay(O, O). (b) Si g ( t ) = ( a t ,b t ) paraconstantes a y b , entonces (f o g)'(O) = a b 2 / ( a z b 2 ) pero Vf(0,O) g'(0) = O .

+

*21. Probar que si f :U

c R"

d e O E R" y una función

+

o g esdiferenciable

y

R es diferenciable en x0 E U, existe una vecindad V R tal que para todo h E V, xo h E U ,

R1: V +

f(xo

f

+ h) = f(xo) + [Df(xo)Ih+ Rl(h)

Y

m + O cuando

llhll

+

h-O

x0 E R." y O 5 71 < 72. Mostrar que existe una función C1, f:R" R tal que f(x) = O para IIx - x011 1 T Z ; 0 < f(x) < 1 para T I < IIx - x011 < TZ; y f(x) = 1 para IIx - x011 5 T I . (IDEA:Aplicarunpolinomiocúbicocon g(T:) = 1

$22. Suponer que

y g ( r z ) = g ' ( ~ ; )= g ' ( r : ) = O a IIx

-t

- x0ll2 cuando T I < /(x- x011 < 72.)

'Ver S. M. Binder, "Mathematical Methods in Elementary Thermodynamics," J. Chem. Educ. 43 (1966): 85-92. Una comprensión adecuada de la diferenciación parcial puede ser de gran utilidad en aplicaciones; ver, por ejemplo, M. Feinberg, "Constitutive Equation for Ideal G a s Mixtures and Ideal Solutions as Consequences of Simple Postulates," Chern. Eng. Sci. 32 (1977): 75-78.

2.5

GRADIENTES DIRECCIONALES Y DERIVADAS

145

C1 f : R3-+ R3que lleve al vector i + j + k que sale del origen, a i - j que sale de (1,1,O) y que lleve a k que sale de ( I , ] ,O) a k - i que sale del origen.

*23. Hallar una función

¿Por qué está equivocado el siguiente argumento? Suponer que

z = g ( x , y). Por la regla de la cadena,

aw - "+"+ aw a x

ax

away

ay ax

ax ax

"

Por lo tanto

w = f(x, y, z) y

aw +"aw at

aw a z "=-

aZ ax

ax

aZ ax.

o=-- aw d z a%a x '

de modo que a w / a z = O o ¿3z/ax = O, lo cual es, en general, absurdo. 25. Suponer que f : R" -+ R y g: R" + R" son diferenciables. Mostrar que la función producto h(x) = f(x)g(x) de R" a R" es diferenciable y que si x0 y y están en Rn, entonces [Dh(xo)ly = f(xo){[Dg(xo)l~) {[Df(xo)I~)s(xo).

+

26. Mostrar que h: R" -+ R" es diferenciable si y sólo si cada una de las m funciones componentes h , : R" + R es diferenciable. (IDEA: Usar l a función de proyección de coordenada y la regla de la cadena para una implicación y considerar [llh(x)- h(xo) Dh(xo)(x - xo)ll/llx - ~ 0 1 1 1=~ [h;(x)- h,(xo)Dh,(xo)(x- xo)12/llx- ~ 0 1 para 1 ~ obtener la otra.)

ELl

*27. Usar la regla de la cadena para mostrar que

*28. $ara cuáles enteros

p

> O es xPsen(l/x)

x#0 x = o

diferenciable? ¿Para cuál p es continua la derivada? 10. (IDEA: Usar el mismo truco de suma y resta como en el caso de una variable y el teorema 8.)

*29. Probar las reglas (iii) y (iv) del teorema

2.5 GRADIENTES Y DERIVADASDIRECCIONALES

En la sección 2.1 estudiamoslas gráficas de las funcionesconvaloresreales. Ahora retornaremos ese estudio usando los métodos del cálculo. Específicamente, usaremos gradientes para obtener una fórmula para el plano tangente a una superficie de nivel. Comencemos recordando cómo se define el gradiente.

146

DIFERENCIACI~N

S i f : U c R3 + R es diferenciable, el gradiente de f en (.,y, es el vector en el espacio R3 dado por DEFINICI~N

grad f =

(-af af -)af dz’ a y ’ az

Este vwtor también se denota porV f o V f( x , y, z). Así, matriz de las derivadas D f, escrita como vector. EJEMPLO I

Entonces

Sea f ( z , y , 2 ) = Jz2

Vf(z.y.

EJEMPLO 2

2)

si

=

V f es simplemente la

+ y2 + z2 = T , la distancia

af af 3.f -

( d z ’ a y 1 dJ

y, 2 ) = .cy

2)

+ z , entonces

X

Figura 2.5.1 La ecuación de L es l(t) = x

+ tv

de O a ( x , y, 2).

2.5

ORADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONALES

147

x paralela al vector v (ver la figura 2.5.1). Por lo tanto, lafunción t H f(x +tv) representa la función f restringida a la recta L . Podemos preguntar: icon qué rapidez están cambiando los valores de f a lo largo de l a recta L en el punto x? Como la razón de cambio de una función está dada por una derivada, podemos responder que es el valor de l a derivada de esta función de t en t = O (cuando t = O , x tv se reduce a x). Esto debería ser la derivada de f en el punto x en l a dirección de L , esto es, de v. Podemos formalizar este concepto como sigue.

+

DEFINICI~N Si f:R3---+ R, la derivada direccional de f en x en la dirección de un vector v está dada por

si es que existe. De la definición, podemos ver que l a derivada direccional también se puede definir por la fórmula

donde v = ( v ~ , v z , v ~ ) .

+

DEMOSTRACI~N Sea c ( t ) = x + tv, de manera que f(x tv) = f ( c ( 2 ) ) .Por el l a cadena, ( d / d t ) f ( c ( t ) )= Vf(c(t)) c’(t). primer caso especial de la regla de Sin embargo, c(0) = x y c’(0) = v , y entonces

-

como se pidió demostrar, En la definición de derivada direccional, con frecuencia se escoge a v como un vector unitario. Hay dos razones para ello. La primera es que si cr es cualquier ntímero real positivo, crv es un vectorque apunta en la misma dirección que

Figura 2.5.2 Al multiplicar un vector v por u n escalar

N , se

altera

la

longitud de v.

v , pero puede ser más largo (si (Y > 1) o más corto que v (si cu < 1) (ver la figura 2.5.2). Por el teorema 12, la derivada direccional de f en la dirección v es

La derivada de f “en l a dirección” av es [Vf(x)] [av]= (Y[V f(x)] v , que es N por la derivada direccional en la dirección v , y por lo tanto no es igual a ella. Por lo tanto la derivada direccional, si está definida para todo av,no dependesólo de un punto x y una dirección. Para resolver este problema podemos requerir que el vector v sea de longitud 1. Entonces el vector v determina una dirección, la misma dirección determinada porLYVsi a > O, pero ahorala derivada direccional está definida de manera única por V f (x). v . La segundarazón es quepodemosinterpretar Vf(x) v como la tasa de cambio de f en la dirección v , pues cuando IjvIJ = 1, el punto x tv se mueve una distancia S cuando t se incrementa en S; así, realmente hemos escogido una escala en L de la figura 2.5.1. Nótese que no es necesario usar líneas rect,as para calcular la tasa de cambio . efecto, por la regla de la cadena, de f a lo largo de una trayectoria ( ~ ( t )En

-

+

que es la derivada de f en la dirección a ’ ( t )

Sea f(x, y, z) = x 2 e - Y z . Calcular la dirección del vector unitario EJEMPLO 3

tasa

de cambio de f en la

2.5 ORADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONAES

149

La tasa de cambio requerida es, usando

SOLUCIÓN

gradf

"Y

=

-zzze-yz, -z2ye-'")

el teorema 12,

(

1

J"

1

-,

3 & &

-) 1

,

que en (1,O, O) se convierte en 1

Del teorema 12 también podemos obtener diente:

el significado geométrico del

suponer que g r a d f ( x ) # O . Entoncesgradf(x)apunta dirección a lo largo de la cual f crece m& rápido.

TEOREMA 13

gra-

en la

DEMOSTRACI~N Si n es un vector unitario, la tasade cambio de f en la dirección n es grad !(x) n = (1 grad !(X)(\ cos O, donde 0 es el ángulo entren y grad f(x). Éste es máximo cuando B = O; estoes,cuando n y gradf sonparalelos.(Si grad f ( x ) = O esta tasa de cambio es O para cualquier n.)

En otras palabras,si queremos movernosen una dirección en la cualf va a crecer más rápidamente, debemos proceder en la dirección Vf(x). Análogamente, si deseamos movernos en una dirección en la cual f decrece más rápido, deberemos proceder en la dirección - V f ( x ) .

EJEMPLO 4

SOLUCI~N

¿En qué dirección desde (O, I), crece m& rápido f ( x , y ) = x 2 -y2?

El gradiente es

V f = 2xi - 2yj, de modo que en (O, 1) esto es VPI(O,I) = -2j Por el teorema 13, f crece más rápido en la dirección -j. (¿Pueden ver por qué A estarespuesta esconsistente con lafigura 2.1.9?) Ahora veremos la relación entre el gradiente de una función f y sus superficies de nivel. El gradiente apunta en la dirección en la que los valores de f cambian más rápidamente, mientras que una superficie de nivel está en las direcciones en las que esos valores no cambian. Si f es suficientemente bienportada, el gradiente y la superficie de nivel serán perpendiculares.

150

DIFERENCIACI~N

Figura 2.5.3 Significado geométrico del gradiente: V f la cual f es constante.

es

ortogonal

a

l a superficie S en

c'

TEOREMA 14 Sean f : R 3 -+ R unafunción y ( 2 0 ,y0,zo) un punto en la superficie de nivel S definida por f (x,y, z ) = k, para k constante. Entonces grad f (xo,yo, zo) es normal a lasuperficie de nivel en el sentido siguiente: Siv es el vector tangente en t = O de una trayectoria c ( t ) en S con c ( 0 ) = ( 2 0 , yo, to), entonces (grad f) v = O (ver la figura 2.5.3). DEMOSTRACIóN Sea c ( t ) en S ; entonces f ( c ( t ) )= k. Sea v como en la hipótesis; entonces v = c'(0). Así, el hecho de que f(c(t)) es constante en t y la regla de la cadena dan

14 vemos que es razonable definir el

Si estudiamos la conclusión del teorema plano tangente a S como sigue:

Sea S la superficie formada por los puntos (x,y, z) tales que f (x,y, z ) = k , para k constante. El plano tangente de S en un punto ( 2 0 , yo, zo) de S está definido por la ecuación DEFINICIóN

V f ( z 0 ,yo, zo) (z

- 20,y

- yo, z - %O) = o

(1)

si Vf(z0, yo, Z O ) # O . Esto es, el plano tangente es el conjunto de puntos(z, y , z ) que satisfacen la ecuación (I). Esto extiende la definición que dimos antes para el plano tangente a l a gráfica de una función (ver el ejercicio 11 al final de esta sección).

DIRECCIONALES DERIVADAS 2.5 GRADIENTESY

EJEMPLO 5

3xy

151

Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie definida por

+ z2 = 4 en ( 1 , 1 , 1 ) .

Aquí f ( x , y,z) = 3xy+ z2 y Vf = (3y, 3x,22), que en (1,1,1)es el vector ( 3 , 3 , 2 ) . Así, el plano tangente es

SOLUCIÓN

(3,3,2)

(x - l,y - 1, z - 1) = o 32+3y+2z=8.

A

En el teorema 14 y en la definición anterior pudimos haber trabajado tanto en dos dimensiones como en tres. Así, si tenemos f : R2 + R y consideramos una curva de nivel c = t(z,y)lf(x,y) = k l , entonces Vf(xo, yo) es perpendicular a C para cualquier punto (x0,yo) en C . Asimismo, la recta tangente a C en (xo,yo) tiene la ecuación Vf(20,

yo) (z

- zo, y - yo) = o

(2)

si Vf(zo, yo) # O; esto es, la recta tangente es el conjunto de puntos (x,y) que satisfacen la ecuación (2) (ver la figura 2.5.4). Y

/ Figura 2.5.4 En el plano, el gradiente

Y

V f es ortogonal a la curva f = constante.

Con frecuencia nos referimos a V f como campo vectorial gradiente. Nótese que V f asigna un vector a cada punto en el dominio de f . En la figura 2.5.5 no describimos la funciónV f trazando su gráfica, que sería un subconjunto de R6, esto es, el conjunto de elementos (x,Vf(x)), sino representando a Vf(P), para punto P en lugar del origen. Como cada punto P, como un vector que sale del en una gráfica, este método pictórico de describir V f contiene al punto P y al valor V f ( P ) en la misma ilustración. El campo vectorial gradiente tiene un importante significado geométrico. Muestra la dirección en la cualf crece más rápido y la dirección que es ortogonal alas

a

-

Figura 2.5.5 El gradiente V f de una función f : R 3 R es u n campo vectorial en R3; en cada punto P,, V f ( P , ) es un vector que sale de P,.

curva de ascenso más empinado a la colina

de mapa ( h)

contorno la de

colina

de 250 pies de altura

Figura 2.5.6 Ilustración física de dos hechos (a) V f es la dirección de cimiento d r f y ( b ) V f es ortogorla1 a las curvas de nivel.

más ripido cre-

DERIVADAS 2.5 GRADIENTESY

DIRECCIONAES

153

superficies ( o curvas en el plano) de nivel de f . Es plausible que haga ambas cosas. Para verlo, imaginen una colina como l a que se muestra en l a figura 2.5.6(a). Sea h la función de altura, una función de dos variables. Si trazamos curvas de nivel de h , serán simplemente los contornos de nivel de la colina. L a s podemos imaginar como trayectorias de nivel sobre la colina (ver l a figura 2.5.6(bjj. Una cosa será obvia para cualquiera que haya emprendido l a caminata: para llegar más rápido a l a cima de l a colina se deberá caminar perpendicular a los contornos de nivel. Esto es consistente con los t,eoremas 13 y 14, que aseguran que la dirección de crecimiento más rápido (el gradientej es ortogonal a las curvas de nivel. EJEMPLO 6 La fuerza gravitacional sobre una masa unitaria m en ( x ,y , z ) 'producida por una masa M en el origen en R3, de acuerdo con l a ley de gravitación de Newton. está dada nor

donde G es una constant,e; r = ( ( r /= ( d m es l a distancia de (x, y , z ) al origen; y 11 = r/r el vect,or unitario en l a dirección de r = zi y j zk, que es el vector de posición del origen a (x,y , 2 ) . Notar que F = V ( G r n M / r ) = -VV,esto es, F es el negativo del gradiente V = - G m M / r . Estopuede verificarse como en el delpotencialgravitacional ejemplo 1. Nótese que F está dirigido hacia adentro, hacia'el origen. Además, las superficies de nivel de V son esferas. F es normal a estas esferas, lo cual confirma A el resultado del teorema14.

+ +

EJEMPLO 7

.'y2

Hallar'un vector unitarionormal a laSuperficie S dada por z =

+ y + 1 en el p u n t o ( O , O , 1).

+ +

SOLUCIÓN Sea f ( x , y! z) = x2y2 y 1 - z , yconsiderar l a superficiedefinida por f(x, y , z ) = O. Como éste es el conjunto de puntos (x,y, z ) con z = .'y2 y 1, vemos que es l a superficie S. El gradiente está dado por

+

y así,

+

Vf(O,O,l)=j-k.

Este vector es perpendicular a S en (O, O , 1) y! para hallar una normal unitaria n, dividimos este vector entre su longitud para obtener

.

154

DIFERENCIACI~N

2.5

ORADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONAES

155

4. Hallar los planos tangentes a las siguientes superficies en los puntos indicados: (a) z2 2y2 3 x 2 = 10, ( 1 , 2 , $) (b) y2 - z 2 = 3, ( 1 , 2 , 8 )

+

+

@J 2:yz = 1, (1,1,1)

5. Hallar la ecuación para el plano ta.ngente a cada superficie z = f ( z , y) en el punto indicado: (a) z = 2: 3 + y 3 - 6zy, ( 1 , 2 , - 3 ) z = (cos z)(cosy), ( O , A/2, O ) (c) z = (cos z)(sen y), ( O , */a, 1)

f i J

6. Calcular el gradiente

(a) f ( z , y, z) =

O fpara cada una de las funciones siguientes:

I/J~”-G

Para las funciones en el ejercicio 6, jcuál es la dirección de más rápido crecimiento en (1,1, 1)? (La solución sólo a la parte (c) está en la Guía de estudio de este libro.) Mostrar que una normal unitaria a la superficie está dada por n = ( l / h ) ( j- k).

z3y3

+ y - z + 2 = O e n (O, O , 2)

9. Hallar una normal unitaria a la superficie cos(zy) = e’ - 2 en (1, A , O ) .

10. Verificar los teoremas 13 y 14 para f ( z , y, z) = z2

+ y2 + z2

11. Mostrar que la definición que sigue al teorema 14 produce, como caso especial, la fórmula para el plano tangente a l a gráfica de f ( z , y) considerando a la gráfica como una supetficie de nivel de F ( z , y, z) = f(z,y) - z (ver la sección 2.3).

12. Sea f ( z , y ) = -(1-z2-y2)1’2 para (.,y) t a l q u e z 2 + y 2 < 1. Mostrar queel plano tangente a l a gráfica de f en ( % o ,yo, f(zo, yo)) es ortogonal al vector con componentes (zo, yo, f(z0, yo)). Interpretar esto geométricamente. 13. Para las siguientes funciones

[f 0 d ’ 0 ) .

f:R3 + R

y g: R

-+

R3,hallar V f

y g’ y evaluar

(a) f(z, y, 2.) = z z + yz + zy, g ( t ) = ( e t ,cos t,sen t ) f ( z , y, z ) = e s y z , g(t) = (6t, 3t2, t 3 ) (c) !(x, Y, z) = ( x 2

+ y2 + z’)

log

JFT’FT?, g(t) = ( e ‘ , e - ‘ , t )

14. Calcular la derivadadireccionalde f enlasdireccionesdadas dados P. (a) f(z,y, z ) = z y 2 y2z3 z 3 z , P = (4, -2, -1), v = 1/&(i (b) f(z,y, z) = zyz, P = ( e , e , O), v = Ei & j &k

+

+

+

+

v en lospuntos

+ 3j + 2k)

156

DIFERENCIACI~N

15. Sea r = x i

+ y j + zk y

T

= Ilrll. Probar que

16. ElcapitánRalphtienedificultadescercadelladosoleadodeMercurio. La teméI está en la posición (z, y , z) estará dada por peratura del casco de la nave, cuando T ( z ,y, = e - - r 2 - 2 ~ * - 3 z 2 , donde 1, y y z estánmedidasenmetros.Actualmente éI

est,á en ( ] , I , 1). (a) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir nlás rápido la temperatura? (b) Si la nave viaja a e8 metros por segundo, icon qué rapidez decrecerá la temperatura si avanza en esa dirección? (c) Desafortunadamente, el mctal delcasco se cuarteará si se enfría a una tasa mayor que f i e 2 grados por segundo. Describir el conjunto de las direcciones posibles en las que puede avanzar para bajar la temperatura a una tasa no mayor que ésa. Una función j:R2 ”+ R es independiente de la segunda variable si y sólo si existe una función g: R -+ R tal que f(z,v) = g(z) para todo z en R. En este caso, calcular V f en términos de g’. 18. Sean f y g funciones de R3 a R. Suponer que f es diferenciable y V f ( x ) = g(x)x. Mostrar que las esferas con centro enelorigen están contenidas en los conjuntos de nivel para f ; esto es, j es constante en dichas esferas.

19. Una función j : R” + R se llama una función par si f(x) = f(-x) para todo x en R”. Si j es diferenciable y par, hallar D j en el origen.

Suponer que una montaña tiene forma deun paraboloide elíptico z = c - a z 2 - b y 2 , donde a , b y c son constantes positivas, x y y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar ( x , y y z están medidas en metros). En el punto (1, I ) , Len qué dirección está aumentando más rápido la altitud? Si se suelta una canica en (1, l), Len qué dirección comenzará a rodar? 21. Un ingeniero desea construir un ferrocarril que suba la montaña del ejercicio 20. l a fuerza de las máquinas. En Subir directo la montaña es demasiado empinado para 3% el punto (1, I ) , Len qué direcciones se puede colocar la vía de modo que suba un “esto es, un ángulo cuya tangente sea O.O3? (Hay dos posibilidades.) Hacer u n esbozo de la situación indicando las dos direcciones posibles para una inclinación del 3% en

22. En electroestática, la fuerza P de atracción entre dos partículas de carga opuesta P = k(r/llrl13) (leydeCoulomb),donde I; esunaconstante y r = estádadapor zi y j zk.Mostrar que P es el gradiente de f = -k/llrll.

+ +

23. El potencia1 V debido a dos filamentos de carga paralelos infinitos de densidades lineales X y -X es V = ( X / ~ X E O ) ~ ~ ( donde T ~ / TT~: )=, (z-zo)’+y2 y T ; = ( z + ~ o ) ~ + y ~ . Consideramos a los filamentos en la direcci6n 2 , pasando por el plano z y en ( - 2 0 , O ) y (xo, O). Hallar V V ( z , y)

PARCIALES2.6 DERIVADAS

24. Para cada una de las siguientes, hallar los valores máximo por la función f a lo largo de curva a(t): f(x, y) = xy; u ( t )= (cost, sent); O 5 6 5 2n. (b) f(x,y) = x’ + y ’ ; v ( t ) = (cost,sent);O 5 t 5 2n.

157

y mínimo alcanzados

+

25. Suponer que una partícula se lanza desde la superficie z2 y2 - z2 = -1 en el a la superficie en el tiempo t = O con una punto (1,1,&) en una dirección normal rapidez de 10 unidades por segundo. ¿Cuándo y dónde cruza el plano xy?

R y considerar a D f ( z , y , z ) como una transformación lineal de R3 a R. Mostrar que el kernel (o espacio nulo -el conjunto de vectores enviados al cero-) de D f es el subespacio lineal de R3 ortogonal a V f .

*26. Sea f :R3 ”+

2.6

DERIVADAS PARCIALES ITERADAS

En las secciones anteriores se desarrolló información considerable acerca de la y se investigó la geometría asociada con la derivada derivada de una función de funciones con valores reales mediante el uso del gradiente. En esta sección procederemos a estudiar derivadas de orden superior, aunque volveremos a ellas en el capítulo 4. El objetivo principal de esta sección es probar un teorema que asegura la igualdadde las “segundas derivadas parciales mixtas” de una función. Comenzaremos definiendo los términos necesarios. Sea f:R3 -+ R de clase C1. Recordar que esto significa que d f / B x , d f /ay y d f / d z existen y son continuas; y la existencia de derivadas parciales continuas implica que f es diferenciable (teorema 9). Si estas derivadas, a su vez, tienen derivadas parciales continuas, decimos que f es de clase C 2 ,o que es dos veces significa continuamente diferenciable. Asimismo,si decimos que j es de clase C3, que f tiene derivadas parciales iteradas continuas de tercer orden, y así sucesivamente. A continuación, unos ejemplos de cómo se escriben estas derivadas de orden superior:

Por supuesto que el proceso puede repetirse para las derivadas de tercer orden y así sucesivamente. Si f es una función de sólo x y y y 8f /ax y d f /ay son conls segundas derivadas parciales, obtenemos tinuamente diferenciables, al tomar a las cuatro funciones

Todas éstas se llaman derivadas parciales iteradas, mientras que d2f ldydx se llaman derivadas parcialesmixtas.

d2f / a x a y y

158

DIFERENCIACI~N

SOLUCIÓN

g dx

af = x

=y+2(2+2y),

ay

+ 4(" + 2y)

SOLUCIÓN

a' f

-- - sen z sen' y, a22

3' f

__ = cos x sen 2 y ,

axay

EJEMPLO 3

a2f

~

ay2

= 2 sen x cos 2y;

a' f

-= 2 cos x sen y cos y = cos x sen 2y. nyax

Sea f(x,y, z ) = e"?'

A

+ z cos x. Entonces

-

" -

3zaz

senx,

etc.

A

En t,odos estos ejemplos nótese quelos pares de derivadas parciales mixtas tales como A 2 f / d x a y y f l a y a x , o f / a z a x y d2f/dzdz son iguales. Es un hecho básico y quiz& sorprcnderltc el que por lo general así suceda. Lo probaremos en el siguient,e teorema para funciones f ( z . y ) de dos variables, pero la demostración se puede extender con facilidad a funciones de n variables.

a2

a2

Si f ( z , y) es de clase C 2 (es dos veces continuamente diferenciable), entonces las derivadas parciales mixtas son iguales; esto es,

TEOREMA 15

2.6

DERIVADASPARCIALESITERADAS

159

DEMOSTRACI~N Considerarlasiguienteexpresión:

S(Az, A y ) = f ( ~ o

+ AX,?/o + AY)

-

f(zo

+ A ~ , Y o-)~ ( ~ o , Y+o AY) + f ( z 0 , YO).

Manteniendo yo y Ay fijos, definir

de modo que S ( A x , Ay) = g ( x o + Ax) - g(xo), lo cual expresa S como una diferencia de diferencias. Por el teorema del valor medio para funciones de una variable, est-o es igual a g’(C)Az para alguna 5 entre x0 y 20 A x . De aquí,

+

Aplicando nuevamente el teorema del valor medio,

De manera análoga, se muestra que d2f/dzdy está dada por la misma fórmula prueba el resultado. de límite, lo cual Fue Leonhard Euler, en 1734, quien probó por primera vez este teorema, en relación con sus estudios de hidrodinámica. En el ejercicio 7 pedimos al lector que muestre que para una función C3, de x, Y Y 2 ,

a3f azayas

-

a3f

azayax

-

a3f

ayazaz’

etc.

En otras palabras, podemos calcular derivadas parciales iteradasen el orden que nos plazca.

EJEMPLO 4 Verificar laigualdaddelassegundasderivadasparcialesmixtas para la función

f(z,y) = x e y

+ yz2.

160

DIFERENCIACI~N

SOLUCIÓN

Aqllí

y por lo tanto tenernos

A veces se usa l a notación fz, f y , f2 para las derivadas parciales fz = af/az, etx. Con e s h not,ación, escribimosf z y = ( f r ) y , de manera que l a igualdad de las derivadas parciales mixt'as se denota por f z y = f y z . Nótese que fzy = d2f/dydz, de manera quc se i n v i d e el orden de z y y en las dos notaciones; afortunadamente, l a igualdad de las parciales mixtas hace irrelevante esta potencial ambigüedad. EJEMPLO 5 Sea z = f ( x , y ) = e'sen zy y escribir z = g(s,t), y = h ( s , t ) para funcior~csg y h . Sea k ( s ,t ) = f(g(s,t), h ( s , t ) ) . Calcular ICst usando la regla de la caderla.

SOLUCIÓN

Por l a reglade l a cadena,

k, = fZg,*+ f y h , = ( e z sen z y + yeZ cos zy)g,

AI diferenciar respecto a t se tiene kst

= (fz)tg-E

+

Aplicando la regia de la cadena a (f3)t

por lo tanto, k,t

SF'

= fmgt

fz(gs)t

(fz)t

+fqht

+

y a Y

(fy)*&

(fy)t

+

+ ( z e z cos zy)h,. fy(k5)t

se obtiene

( f Y h = fyzgt + f v y h

vuelve

.l.,* = (fzz9t

+ fzyht)gs + + (fyzgt + f y y h t ) h , + + +hsgt) + + +

= fzzgtgs

fzg.?t

fzy(ht9s

fyyhths

fzsst

fyhst

fyhst.

Comprobar que esta úitima fórmula es simétrica en( S , t), mediante laverificación de la igualdad I C s t = k t , . Al calcular f z z , f z y y f y y , obtenemos

2.6 ITERADAS DERIVADAS PARCIALES

161

+

+

EJEMPLO 6 La ecuacióndiferencialparcial ut u,,, uu, = O , llamada ecuación de Korteweg-de Vries (o ecuación KdV, como abreviación), describe el movimiento de las ondas de agua en un canal poco profundo.

cualquier constante positiva c, la función

(a) Mostrar que para

u ( x , t j = 3csech2[i(x - c t j f i ]

es una solución de la ecuación de Korteweg-de Vries. (Esta solución representa una “joroba” de agua que viaja en el canal y se llama solitón.)* (b) ¿Cómo depende de c la forma y rapidez del solitón? (a) Calculamos ut, u,, u,, y u,,, usandolaregla de lacadena y la fórmula de diferenciación ( d / d z ) sechz = -sech z t a n h z del cálculo de una variable. Al hacer a = ( z - ct)&/2, SOLUCIóN

a

ut = 6 c s e c h a - s e c h a = - 6 c s e c h 2 a t a n h a at

= 3c512 sech’ a t a n h a = c3”u tanh

Además, u, = -6csech’

ax a

“I

U2

6

u2

u2

=cu-----~c~”“. 3 6

Así,

= -&u

+ u(sech2 a)- 2

= c(tanh2 a ) u - - = c(1 - sech’

U2

a.

aff

y así ut = “cu, y CY

at

a t a n h CY-

- -3c312 secb2 N tanh -

u, t a n h

aCY

tanh N ,

= -&(tanh a)u -

- U2

a ) ~ ,-

6

6

U2

2

u,,, = CU, - uu,.

Por lo tanto, ut

+

uxxx

+ u212 = ut + u,,, + (cux - u x x x )= + c u x = o. Ut

(b) La rapidez del solitón es c, pues la gráfica en la figura 2.6.l(a) se mueve c unidades en z por una unidad de t . La forma en el tiempo t = 1 se muestra en la figura2.6.l(b)para c = 1. A *Los solitones fueron observados por primera vez por J. Scott Russell alrededor de 1840 en los canales cercanos a Edimburgo; reportó sus resultados en Trans. Royal Society of Edinburgh 14 (1840): 47-109.

162

DIFERENCIACI~N u

x = cc

U

1

Figura 2.6.1 El solitón: (a) general; (b) la gráfica para c = 1, t = 1; ~

= 6/(e(”-1)/2

+

1.

X

2.6

DERIVADAS ITERADAS PARCIALES

163

NOTA HIST~RICA: ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

La filosofia [naturaleza] está escrita en ese gran libro que siempre está ante nuestros ojos ” e l universo- pero no lo podemos entender si no aprendemos primero el lenguaje y comprendemos los símbolos en los que está escrito. El libro está escrito en lenguaje matemático y los símbolos son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin cuya ayuda es imposible comprender una sola palabra; sin ello, uno vaga sin esperanza en un oscuro laberinto.

GALILEO Esta cita ilustra la creencia, popular enla época de Galileo, de que buena parte del conocimiento de la naturaleza podría reducirse a matemáticas. AI final del siglo dieciusó su ley de gravitación yel nuevo siete se reforzó este modo de pensar, cuando Newton cálculo para deducir las tres leyes de Kepler del movimiento celeste (ver sección la 3.1). El impacto de esta filosofía en las matemáticas fue sustancial, y muchos matemáticos trataron de “matematizar” la naturaleza. La gran cantidad de matemáticas que hoy se y de las ciencias sociales y de ocupan de la física(y en medida creciente, de la economía la vida) es testigo del éxito deesos intentos. Asimismo, las tentativas de matematizarla naturaleza han conducido con frecuencia a nuevos descubrimientos matemáticos. Buena parte de las leyes de la naturaleza fueron descritas en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias (ecuaciones que incluyen las derivadas de funciones de una sola variable, como F = rnd2x/dt2, donde F está dada por laley de gravitación de Newton), o ecuaciones diferenciales parciales, esto es, ecuaciones que incluyen derivadas parciales de funciones. Con objeto de presentar al lector cierta perspectiva histórica yasí ofrecer una motivación para estudiar derivadas parciales, presentamos una breve descripción de tres de las más famosas ecuaciones diferenciales parciales: la ecuación de calor, la ecuación de potencial (o ecuación de Laplace) y l a ecuación de onda. Todas ellas serán analizadas con gran detalle en la sección 8.5. LA ECUACIÓN DE C A L O R . AI principio del siglo diecinueve el matemático francés JosephFourier (1768-1830) inició el estudiodelcalor. El flujo delcalorteníaobvias aplicaciones, tanto a problemas industriales como científicos: por ejemplo, una mejor eficomprensióndelfenómenoharíaposiblequelafundicióndemetalesfueramás ciente permitiendo a los científicos determinar la temperatura de un cuerpo dada la temperatura en su frontera, y así, aproximar la temperatura en el interior de la Tierra. Sea B c R3 un cuerpo homogéneo (figura 2.6.2) representado por alguna región en el 3-espacio. Denotemos por T ( z ,y, t ,t ) la temperatura del cuerpo enel punto (.,y, 2 ) en el tiempo t . Fourier probó, basado en los principios físicos descritos en la sección 8.5, que T debe satisfacer la ecuación diferencial parcial llamada la ecuación de calor,

k

(-a+ - + a2T X2

a 2 T ) = -¿3T

a22

at

’

164

DIFERENCIACI~N

2

X

Figura 2.6.2 Cuerpo homogéneo en el espacio.

donde k es una constante cuyo valor depende de la conductividad del material que compone el cuerpo. Fourier usó esta ecuación para resolver problemas de conducción de calor. De hecho, sus investigaciones de las soluciones de la ecuación (1) lo condujeron al descubrimiento de un nuevo concepto matemático, llamado ahora series de Fourier.

LA ECUACIÓN DE POTENCIAL. En el ejemplo 6 de lasección 2.5 introdujimos el potencial de gravitación V (llamado con frecuencia potencial de Newton) de una masa m en un punto (x,y, z) provocado por una masa puntualM colocada en el origen. Este potencial está dado por V = - G m M / r , donde 7 = Jx2 y2 9 . El potencial V satisface la ecuación

+ +

donde sea, excepto en el origen, como podrá verificar el lector al resolver el ejercicio 19 al final de esta sección. Esta ecuación se conoce como ecuación de Laplace. Pierre Simon de Laplace (1749-1827) realizó trabajos sobre atracción gravitacional de masas no puntuales, y fueel primero en considerar la ecuación(2) relacionada con la atracción gravitacional. Presentó argumentos (más tarde se mostró que eran incorrectos) acerca de que la ecuación (2) se cumplía para cualquier cuerpo y cualquier punto, ya fuera el primero en escribir la ecuación dentro o fuera del cuerpo. Sin embargo, Laplace no fue (2). La ecuación de potencial apareció por primeravez en uno de los principales artículos de Euler en 1752, “Principles of the Motions of Fluids”, en donde dedujo la ecuación de potencial relacionada con el movimiento de fluidos (incompresibles). Euler insistió en que no tenía idea de cómoresolver la ecuación (2). (Estudiaremos potenciales gravitacionales en la sección 6.4 y las ecuaciones de la mecánica de fluidos en la sección 8.5.) Más tarde, Poisson mostró que si (x,y, z) está dentro de un cuerpo atrayente, entonces V satisface la ecuación

a2v + -a2v a2v @-+ - = -4 822

*P

PARCIALES 2.6

DERIVADAS

165

donde p es la densidad del cuerpo atrayente. La ecuación (3) se llama ahora Ecuación de Poisson. Fue también Poisson el primero en señalar la importancia de esta ecuación T es para problemas que incluyeran campos eléctricos. Nótese que si la temperatura a la ecuación de Laplace constante en el tiempo, entonces la ecuación del calor se reduce (¿Por qué?). LasecuacionesdeLaplace y dePoisson son fundamentalesenmuchoscampos, además de la mecánica de fluidos, campos gravitacionales y campos electrostáticos. Por ejemplo, son útiles para estudiar películas de jabón y cristales líquidos; ver, por ejemplo, Mathematics and Optimal Form, de S. Hildebrandt y A. Tromba, Scientific American Books, Nueva York, 1985.

LA E C U A C I Ó N

DE ONDA.

La ecuación lineal de onda en el espacio tiene

l a forma

La ecuación de onda unidimensional

fue deducida alrededor de 1727 por JohnBernoulli, y variosañosdespuésporJean Le Rond d’hlembert en el estudio para determinar el movimiento de una cuerda vibrante (como la de un violín). La ecuación (4) se volvió muy útil para estudiar tanto cuerpos vibrantes como elasticidad. Como veremos cuando consideremos las ecuaciones de Maxwell en electromagnetismo en la sección 8.5, esta ecuación surge también en el estudio de la propagación de radiación electromagnética y de ondas de sonido.

EJERCICIOS

a2f/

1. Calcular las segundas derivadas parciales a 2 f / a x 2 , d2f l a x & / , a’ f l a y a x , ay2 para cada una de las funciones siguientes. Verificar en cada caso el teorema 15:

+

(a) f ( x , Y) = 2 x y / ( x 2 Y ~ ) ~( z, , ~ # ) f(x1Y,z)=eZ+1/x+ze-”,x#O

kb,l

(ojo)

(c) f ( x , Y) = C 0 S ( X Y 2 ) (d) f ( z , y) = e-2ya y3z4 (e) f ( x , y) = l/(cos2 x e-”)

+

+

Sea

(ver la figura 2.6.3). (a) Si (z, y) # (O, O ) , calcular a f / a x y af/ay. (b) Mostrar que (af/ax)(O,O) = O = (af/ay)(O, O ) . (c) Mostrar que (a’f/axay)(O, O ) = 1, (a2f/ayaz)(O, O ) = -1. (d) ¿Qué sucedió? ¿Por qué no son iguales las parciales mixtas?

DIFERENCIACI~N

166

Figura 2.6.3 Gráfica generada por computadora de la función del ejercicio 2. 3. Hallar a 2 z / 8 z 2 ,¿12z/azay, ( a ) z = 3 z 2 2y2

kb,l

+

z

=( 2 2

a2z/ayaz y a2z/ay2 para

+ 7z2y)/3zy, ( x ,Y) # (O,0)

4. Hallar todas las segundas derivadas parciales de (a) z = sen(z2 - 3 2 y ) (b) z = x2y2e22y

f(T,Y,Z)

=z2y+zY2

Usar el teorema 15 para demostrar que si

a3J

-

a3f

-

+YZ2.

f ( z , y, z )

a3J

axayaz ayazax 8.

para

Verificar que

J ( z , y.

Z)

= zeZy

+

azayaz YZ

3

2

.

a3J azayaz

es de clase C 3 ,entonces

2.6

DERIVADASPARCIALESITERADAS

10. Si f ( z , y , z, w) es de la clase

167

C 3 ,demostrar que fxzw

= f zwx .

11. Evaluar todas las primeras y segundas derivadas parciales de las funciones siguien-

y sea x = u

12. Sea w = f ( x , y) una función C 2 dedosvariables Mostrar que

+ u, y

=u -

v.

aZw - " aZwaZw

"

auav

(3x2

ay2

'

13. Sea f :R2 -+ R una fnnción C2 y sea c ( t )una curva C2 en R2.Escribir una fórmula para (d2/dt2)((f o c ) ( t ) )usando dos veces la regla de la cadena.

14. Sea f(z,y, z ) = ex' tan(yz) y sea 1: = g(s, t ) , y = h ( s ,t ) , z = k ( s , 1) y r n ( s , t ) = f(g(s, t ) , h(s, t ) , k ( s , t ) ) . Hallar una fórmula para r n S t usando la regla de la cadena y verificar que la respuesta sea simétrica en S y t .

Una función u = f ( z , y) con segundas derivadas parciales continuas que satisfaga la ecuación de Laplace a2u

a2u

a22

ay2

-+"=O se

llama función armónica. Mostrar que la función u ( z , y ) = z3 - 3zy2 es armónica.

16. iCuáles de las funciones siguientes son armónicas? (Ver el ejercicio 15.)

(a) (c) (e)

f(x, Y) = z2 - ?I2 f(2,Y) = x?/

f ( z , y) = sen z cosh y

kb,l (f)

f ( z ,Y) = z2

+ Y2 +

= Y3 3Z2Y f (z, y) = e5 sen y

f(.,Y)

+

# = f(x - t) g(z (a) Probar que 4 satisface la ecuación de onda: a2#/at2= a2$/az2. (b) Esbozar la gráfica de 4 contra t y z si f ( z ) = z2 y g(x) = O.

17. Sean f y g funciones diferenciables de una variable. Sea

+ t).

+

18. (a) Mostrar que la función g(x, 1) = 2 e - t sen z satisface la ecuación de calor: gt = gxz. (Aquí g ( z , t ) representa la temperatura de una varilla de metal en la posición z y tiempo t . ) (b) Esbozar la gráfica de g para t 2 O.[IDEA:Ver las secciones formadas por los planos t = O, t = 1 y t = 2.1 (c) ¿Qué le sucede a g(z, t ) conforme t + m? Interpretar este límite en términos del comportamiento del calor en la varilla.

Mostrar que el potencial V de Newton (ver el ejemplo 6, sección 2.5) satisface la ecuación de Laplace

a2v d2V a2v p+=0 ay* + a22

para

(z,y,z)

# (o,o, O ) .

168

DIFERENCIACI~N

SECCIÓN OPTATIVA

*2.7 ALGUNOS TEOREMAS TÉCNICOSDE D I F E R E N C I A C I ~ N Enestasecciónexaminaremos con mayordetalle las basesmatemáticasdelcálculo diferencial y proporcionaremos las demostraciones que se omitieron en las secciones 2 . 2 , 2.3 y 2.4. Comenzaremos proporcionando las demostraciones de los teoremas de límites presentados en lasección 2.2 (la numeracicin de los teoremas corresponde a la que tienen antes en este capítulo). Recordemos la definición de límite. Sea f:A C R" -+ R", donde A es un conjunto abierto. Sea x0 un p u n t o en A o en la frontera de A , y sea V una vecindad de b E R". Decimos que f está finalmente en V conforme x tiende a x0 si existe una vecindad U d e x0 tal que x # X O , x E U y x E A implique f(x) E V. Decimos que f(x) tiende a b cuando x tiende a X O , o, en símbolos, DEFINICIóN DE LíMITE

límite f(x) = b x-x0

f(x)-+ b cuando

o

X-XO,

cuando, dada cualquier vecindad V de b, f está finalmente en V conforme x tiende a ser que cuando x tienda a x0 los valores de f(x) no se acerquen a un número particular. En este caso decimos que límite f(x) no existe. X O . Puede

x-x0

Primero mostraremos que esta definición es equivalente a la formulación ~ - de 6 los límites.

Sea f:A C R" -+ R" y sea x0 un punto en A o en la frontera de A . Entonces límite f(x) = b si y sólo si para todo número E > O existe 6 > O tal que para

TEOREMA 6

x-x0

x E

A que satisfaga O

< IIx - x011 < 6,

se tiene I l f ( x ) - bll

DEMOSTRACIÓN Supongamosprimeroquelímite

x-x0

< E.

f(x) = b. Sea

E

>

O unnúmero

dado, y considerar la €-vecindad V = D,(b), la bola o disco de radio E con centro en b. Por l a definición de límite, f está finalmente en D,(b) cuando x tiende a XO,lo cual U de x0 talque f(x) E D,(b) si x E U, x E A y significaqueexisteunavecindad x # X O . Ahora, como U es un abierto y x0 E U , existe 6 > O tal que D6(xO) C U . En consecuencia, O < IIx - x011 < 6 y x 5 A implica x E D6(xO) C U . Así, f(x) E D E ( b ) , lo cual significa que Ilf(x) - bll < E. Esta es la afirmación E-6 que deseábamos probar. Probaremos ahora el recíproco. Supongamos que para todoe > O existe 6 > O tal que O < IIx - x011 < 6 y x E A implica I l f ( x ) - bll < E . Sea V una vecindad de b. Tenemos xo; esto es, debemos hallar que demostrar que f está finalmente en V conforme x un conjunto abierto U c R" tal que x E U, x E A y x # x0 implique f(x) E V. Ahora bien, como V es un abierto, existe E > O tal que D,(b) C V. Si escogemos U = D6(x) (deacuerdoconnuestrahipótesis),entonces x E V, x E A y x # x0 significaque I l f ( x ) - bll < E , estoes,que f(z)E D,(b) c V. -+

2.7

ALGUNOS TEOREMAS T~CNICOSDE DIFERENCIACI~N

TEOREMA 2: UNICIDAD DE LOS LíMITES Si límite x-x0

tonces bl = bz.

x-x0

169

f(x) = bl y límite f(x) = b2, en-

DEMOSTRACIóN Es conveniente usar la formulación

E-6 del teorema 6. Suponer que bl y f(x) + b2 cuando x XO. Dado E > O podemos, por hipótesis, hallar 61 > O tal que si x E A y O < [ / x- x011 < 61,entonces [If(.) - bl I/ < E , y de manera análoga, podemos hallar 62 > O tal que O < IIx - x011 < 62 implica Ilf(x) - b21[ < E . Sea 6 el menor de 61 y 62. Escoger x tal que O < /Ix- x011 < 6 y x E A . Existen dichas x's, pues x0 está en A o es un punto frontera de A . Así, usando la desigualdad del triángulo,

f(x)

-+

"+

llbl - b211 = tl(b1 - f(x))

5 /lb1- f(x)ll+

/If(.)

+ (f(x)- b2)ll

- bz/1 < E

+E

=2 ~ .

Así, paratodo E > O , llbl - bzll < 2 ~ De . aquíque bl = bz, puessi bl # b2 se podría hacer E = [lb1- bz11/2 > O y tendríamos llbl - bzll < llbl - b21),lo cual es imposible. TEOREMA 3 Sean f : A c R" + R", g : A C R" + R", xo un elemento de A o un punto frontera deA, b E R" y c E R; entonces, se cumplen las siguientes afirmaciones:

(i) Si límite f(x) = b, entonces limite cf(x) = cb, donde cf: A

Por x

x-x0

x-x0

c(f(x)).

+

R" está definida

(ii) Si límite f(x) = bl y límite g(x) = b2, entonces límite(f+g)(x) = bl +b2, donde

(f x-x0

+ 9): A + R" x-x0

(iii)Si

m = 1, límite f(x) =

donde (fg):A (iv)

Si m

x-x0

-+

+

está definida por x I"+ f(x) g(x). bl

x-x0

y límite g(x) = b Z j entonces límite(fg)(x) = b l b z ,

R está definida por x H f(x)g(x)

= 1, límite x-x0

l / b , donde 1/ f : A

--t

x-X"

f(x) = b # O y f(x) # O para todo x E A, entonces límite l / f =

x-X"

R está definida por x ++ l/f(x).

(v) Si f(x) = (f~(x), . . . , fm(x)) donde f,:A + R, i = 1,. . . , m , son a l s funciones componentes de f,entonces límite f(x) = b = (a,, . . . , b m ) si y sÓ10 si límite f,(x)= b,

para cada i = 1,. . .m.

x-x0

DEMOSTRACIóN Ilustraremos la técnica demostrando las afirmaciones (i) y (ii). Las demostraciones de las otras afirmaciones son algo más complicadas y las puede proporcionarellector.Encadacaso,probablemente el enfoquemásconvenienteesla formulxión E-6 del teorema 6. Para probar la regla (i), sea E > O un número dado; debemos producir un número 6 > O t d que l a desigualdad Ilcf(x) - cb(/< E se cumpla si O < IIx - x0 1) < S. Si c = O, se cumple con cualquier 6, de manera que supondremos que c # O. Sea E' = E/IcI; por la definición de límite, existe 6 con la propiedad de que O < IIx 1x011 < 6 implica llf(x)-bll < e' = e/lcl.Así,O < < 6 implica Ilcf(x)-cbll = llf(x)-bll < e, lo cual demuestra la regla (i).

JIX-XOII

IC/

170

DIFERENCIACI~N

Para probar la regla (ii), seaE > O de nuevo un número dado. Escoger 61 > O tal que O < [ ( X - x011 < 61 implica 11 f ( x ) - blII < &/a. De manera análoga, escoger 62 > O tal quc O < IIx - x011 < 6 2 implica Ilg(x) - bzll < & / a . Sea 6 el menor de 61 y 62. Entonces 0 < IIx - x011 < 6 implica

Así, hernos probado que (f

+ g)(x)

+

bl

+ bz cuando x

-

xo.

Recordemos la definición de función continua. DEFINICIóN Sea f : A c R" + R" unafunción Decirnos que f es continua en x0 si y sólo si

dada con dominio

A. Sea xg

E A.

límite f ( x ) = f(xo). x-x0

Si decimos simplernente que f es continua, queremos decir que f es continua en cada p u n t o xg de A.

A partir del teorema 6, o b t e ~ ~ e m oels teorema 7: f es continua en x0 E para todo número E > O existe un número 6 > O tal que

A si y sólo si

Una de las propiedades de las funciones continuas que enunciamos sin demostración en la sección 2.2 fue la siguiente: Sean f:A C R" + It" y g: B c R" + RP. Suponer que f ( A ) C B , d e manera que y o f está definida en A. Si f es continua en x0 E A y y es continua en yo = f(xo), entonces y o f es continua en xg. TEOREMA 5

Usamos el criterio E-6 decontinuidad. Así, dado tal que para x E A ,

DEMOSTRACIóN

hallar 6

>O

Como y es continua en f(x0) = yo E B , existe y

> O tal que para y

E

>

E B,

O , debemos

2.7 ALGUNOS TEOREMAS T~CNICOS DE DIFERENCIAU~N

171

lo cual a su vez implica que

queesla

conclusióndeseada.

La exposición en la sección 2.3 se simplificó suponiendo, como parte de la definición de Df(xo), queexistíanlasderivadasparcialesde f . Nuestro siguiente objetivo es mostrar que se puede omitir esta hipótesis. Comencemos redefiniendo “diferenciable”. El teorema 16 mostrará que la nueva definición es equivalente a la antigua. DEFINICIóN Sean U un conjunto abierto en R” y f :U c R” “+ R” una función dada. Decimos que f es diferenciable en x0 E U si y sólo si existe una matriz T d e m X n, tal que - T ( x - X o j l l = 0, límite llf(x) IIX

x-x0

- x0 II

(1)

Llamarnos a T derivada de f en x0 y la denotamospor Df(x0). En notación matricial, T ( x - XO) equivale a

donde x = ( z ~ .,. . ,xn) y simplemen teTy.

x0

=

( ~ 0 1 , ...,zon).

A veces escribimos T ( y j como T y o

La condición (1) se puede reescribir como

haciendo h = x - XO. Al escribir l a ecuación (2) en términos de la notación que para todo e > O existe 6 > O tal que O < llhll < 6 implica

o en otras palabras, Ilf(X0

E-6 dice

+ h ) - f(xoj - Thll < Ellhll.

Nótese que como U es abierto, en tanto 6 sea suficientemente pequeño, ((h(( < 6 implica

xo + h E

u.

Nuestra tarea es mostrar que la matriz T es necesariamente la matriz de las derivadas parciales, y, por lo tanto, que esta definición abstracta concuerda con la definición de diferenciabilidad dada en la sección 2.3.

172

DIFERENCIACI~N

-

Suponer que f : U c R" R'" es diferenciable en xo E R . " . Entonces todas las derivadas parciales de f existen en el punto xo y l a matriz T de nz X n estd dada por

TEOREMA 16

esto es,

T = Df(xo)

1

,

donde a f , / a x , está evaluada en xg. En particular, esto implica que T estd determinada de manera única; no existe otra matriz que satisfaga l a condición (1). DEMOSTRACIÓN

Por el teorema 3(v), la condición ( 2 ) equivale a

Aquí, (Th), denota la i-ésima component,e del vectorcolumna T h . Ahora sea h = ae, = ( O , , . . , a , .. . , O ) , con el número a en el j-ésimo lugar y ceros en los demás. Obtenemos

o , en otras palabras,

de modo que

Pero este límite no es más que la derivada parcial af,/ax, evaluada enel punto X O . Así, hemos probado que existe af,/ax, y es igual a (Te,)'. Pero (Te,), = t , , (ver l a sección 1.5), demodoque se sigue el teorema.

Nuestra siguiente tarea es mostrar que diferenciabilidad implica continuidad.

2.7

ALGUNOS TEOREMAS T~CNICOSDE DIFERENCIACI~N

173

DEMOSTRACIóN Usaremos el resultado del ejercicio 2 que está al final de esta sección, a saber, llDf(xo).hll 5 Mllhll donde M es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los elementos en la matriz Df(xo). Escoger E = 1. Entonces, por la definición de la derivada (ver la fórmula ( 2 ) ) , existe un 61 > O tal que O < I/hlJ< 61 implica

Nótese ahora que si Ilhll

< 61,entonces

(Nótese que en esta derivación usamos la desigualdad del triángulo.) Haciendo M1 = 1 M se prueba la segunda afirmación del teorema. Sea ahora E' cualquiernúmeropositivo y sea 6 el menor entre 61 y ~ ' / ( 1 M). Entonces llhll < 5 implica

+

+

Ilf(X0

+ h)

E'

-

f(xo)II < (1 + M ) -1 + M = E',

lo cual prueba que límite f(x0 h-O

o que j escontinuaen

+ h ) = f(xo)

xo.

E n la sección 2.3 afirmamos que un importante criterio para asegurar diferenciabilidad es que las derivadas parciales existan y sean continuas. Probémoslo. TEOREMA 9 Sea f : U C R" R". Supongamosqueexistentodas las derivadas parciales df,/dx, de f y son continuas en una vecindad de un punto x E U . Entonces f es diferenciable en x. 4

DEMOSTRACIóN (En esta demostración vamos a usar el teorema del valor medio del cálculo de una variable. Ver el enunciado en la pág. 135. Consideraremos sólo el caso m = 1, esto es, f: U c R" -+ R, el caso general lo dejamos al lector (ver la demostración del teorema 16 anterior). Tenemos que mostrar que

174

DIFERENCIACI~N

Escribir

( E s t a se llama una suma telescópica pues cada t,érmino se cancela conel siguiente o con el anterior, excepto el primero y el illtimo.) Por el teorema del valor medio, se puede escribir esta expresión como

+

+

+

+

donde y1 = ( ~ 1 . 2 2 h z , . . . , x, h,) .y c1 está entre 2 1 y z1 h l ; y2 = ( 2 1 , c z , x3 h ~. . ,. , z n h n ) y c2 est,á entre x2 p h 2 ; y y n = ( X I : . . . , ~ ~ - c1n ), donde cn está h,. Así podemos escribir entre z n y z,

+

+

+

Por la desigualdad del triángulo, esta expresión es menor

o igual que

pues Ih,( 5 llhll. Así, hemos demostrado que

Pero como las derivadas parciales son continuas por hipótesis, el lado derecho tiende a O cuando h + O , demodo que el ladoizquierdotambiéntiende a O.

2.7 TEOREMAS ALGUNOS

DE TkCNICOS

DlFERENClAClÓN 175

Sean U C R" y V C R" abiertos.Sean y f:V c R" + RP funciones dadas tales que g manda a U en V, de modo que está definida f o g. Suponer que g es diferenciable en x0 y que f es diferenciable en yo = g(x0). Entonces f O g es diferenciabk en x03 Y

TEOREMA 11: REGIA DE IA CADENA

9:

u C R."

+

R"

DEMOSTRACIÓN

De acuerdo con la definición de derivada, debemos verificar que

Primero reescribimos el numerador y aplicamos la desigualdad del triángulo como sigue:

Como en la demostración del teorema 8, IIDf(y0) hll 5 Mllhll para alguna constante M . Así, el lado derecho de la desigualdad (3) es menor o igual que

Como g es diferenciable en implica

XO,

dado e

> O , existe 61 > O

tal que O

tlg(x) - d x o ) - Dg(x0) * ( x - X0)ll < 5 . IIX - x0 II 2M

< IIx

EIIX

- x011 < 61

Esto hace que el segundo término en la expresión (4) sea menor que - x011/2. Volvamos al primer término en la expresión (4). Por el teorema 8, Ilg(x) - g(xo)ll < M1 JIx- x o ) )para una constante M1 si x está cerca de xo, digamos O < 11x - xo))< 62. Escojamos ahora 63 tal que O < IIy - yo11 < 63 implique

176

DIFERENCIACI~N

Así, si 6 = mín(bl,62r& , / M I ) , la expresión (4) es menor que

de modo que

para O

< /Ix - x011 < 6. Estodemuestra el teorema.

El estudiante y a conoce varios ejemplos que ilustran los teoremas anteriores. Consideremos ahora uno de naturaleza más técnica.

Figura 2.7.1 Esta función no es diferenciable en

( O , O) porque está “torcida”

2.7

ALGUNOS TEOREMAS T~CNICOSDE DIFERENCIAU~N

SOLUCIóN

Notamos que

= límite

-

(x O ) / & q ? i

2-0

-o

X

0-0

-0 = límite -x-o

2

y de manera análoga, (af/ay)(O, O) = O . Así, las derivadas parciales existen en (O,O). Además, si ( a ,y) # ( O , O ) , entonces

af - y

”

d

dX

m- 2 x ( x y ) / 2 d X G x’ Y’ -

+

y

-

(x’

+

X2Y Y2)3/2’

lo cual no tiene límite cuando (x, y) -+ ( O , O ) . Se obtienen límites diferentes cuando se usan diferentes trayectorias para acercarse al punto, como bien se puede ver haciendo (0,O) y por lo tanto no x = M y . Así, lasderivadasparcialesnosoncontinuasen podemos usar el teorema 9. Podemos ahora intentar demostrar quef no es diferenciable (sin embargof es continua). Si existiera Df(0, O), por el teorema 16 debería ser la matriz cero, porqueaf/ax y af/Ó’y son cero en (O,O). Así, por la definición de diferenciabilidad, para cualquier E > O existiría 6 > O tal que O < ll(h1, h2)11 < 6 implique

lo cual no sería cierto si escogiéramos (0,O). A

E

5

i. Por lo tanto,

f no es diferenciable en

EJERCICIOS

M Sea f i x , y, z) = ( e z , cos y, sen z). matriz diagonal?

Calcular Df. En general, ¿cuándo será Df una

2. (a) Sea A: R” R’” una transformación lineal con matriz [u,,] de modo que tengacomponentes yI = uijxj.Sea M = UsarladesigualdaddeSchwarz para demostrar que llAxll 5 MIIxII. (b) Usar la desigualdad deducida en la parte (a) para mostrar que una transformación lineal T: R” -+ R” con matriz [ t i j ] es continua. (El ejercicio continúa en la página 178.) -+

E

Ax

límite X-X"

[f(x)]' = h'

y

lirrlite X-XII

Jlfc.n =

Jibi.

2.7

ALGUNOS TEOREMAS TlkNICOS DE DIFERENCIACXÓN

179

2

Figura 2.7.2 Gráfica generada por computadora de z = 2 z y 2 / ( z 2

+ y')).

Definir f : R2 + R mediante

Mostrar que f es continua.

14. Probar que

S:

R2 -+ R' , ( x , y)

H

z

+ y es continua.

15. Usando la definición de continuidad, probar que

limite f ( x h-O

f es continua en x si y sólo si

+ h) = f(x).

DIFERENCIACI~N

180

-

16. ( a ) Se dice que u u a sucesi6u de puntos x n en Rnl converge a x , y se escribe x n + X cuando 71 m , si para todo E > O exist,e N tal que n 2 LV implica / / x- xn/1 < E. Mostrar cine y es un p u n t o frontcra d e u n conjunto abierto A si y sólo si y no está en A y cxiste u n a sucesión de puntos tlistint,os de A , que converge a y. (11) Sea f :A c R." + R"'y y 1111 elerrlent,o de A o un p u n t o f r o n k r a de A. Probar q u e límitc f ( x ) = b si y sólo s i f(x,,) -+ b para t,oda sucesión de puntos x , ~ en A con

-

x 'Y

y. (c) Si 11 c R"' es un abierto, mostrarque x I L x E U irnplica f(x,) + f ( x ) . x,,

f:U

+

RP escontinua

si

y sólo si

+

17. Si f ( x ) = !](x) para todo x

#

ay

hi

límite f(x) = b, entonces mostrar que también 1 1 1

limite g ( x ) = b

-

X-El

18. Sean A c R" y sea x0 1111 punto frontera de A. Sea f : A R y g: A R funciones definidas cn t a l e s que e x i s k n límite fix) y limite g ( x ) , y suponer qur: para todo x x-xO

"--f

X"IXI1

en alguna vcciutlad a g ~ ~ , j c r c a dd ac x".f ( x ) 5 g ( x ) . (Una vecindad agujereada de x0 es cualquier vecindad d c xg. sin X Q . ) ( a ) €'robar q n c límite f(x) 5 I í r n i t c . y(x). (IDEA: Considerar l a funcicin @(x)= x-x,,

x-xí1

límite c ~ ( x2) o. y después usar rl hecho de que el límit,e de la

g ( x ) - !(x); prohar

C~UC

X'XO

dos funciones cs l a sunla de 511slimites.) ( b ) Si f ( x j < y ( x ) , ~,nc,c.csariatrletltc se t.eudrá ladesigualdadestrictade lítnites?

snma dc

c It"

19. Dada f:A llxll = 0 .

x

[a) Si

f, y

- (1)) Sea

0 (dondr:

52

(fl

- R"'.

decirnos

son .(x) c ~ ~ a n t x io

+

-

f 2 ) ( x )= f l ( X )

+

"f cs

~ I I V

+

.(X)

O , prohar que

f2(x)).

cuando x fl

+ fz

-

los

O" si límite f ( x ) /

también es

X-O

.(X)

cuando

y: A R. una funci6n con l a propiedad de qnc existe u n nlímero c > O t,al q ~ t eIg(x)l 5 c para todo x CII A (se dice que g está acotada). Si f es .(x) cuando x O , probar que y f t.ambidu c s . [ X ) cuando x O (donde ( g f ) ( x ) = g(x)f(x)). ( c j Mostrar qur f ( ~ ) = T * PS o(.) cuando z O. i,l'ambién g(z) = z es o(.) CIIalIdo x O?

-

4

-


-

181


Df(x) de cada una de las funciones siguientes: = (z2Y,e-zy) f(z) = (z1.1 (c) f ( z , y, z ) = e z ey e* (dl f(., Y, 2 ) = (x1 Y1 z )

3. Calcular la derivada (a) f ( Z , Y )

+ +

4. Suponer que f ( z , y) = f(y,

2)

para todo

Probar que

( 2 ,y ) .

(df/dz)(a, b ) = (af/aY)(4

a).

Sea f(z,y) = (1 - z2 - y')"'. Mostrar que el plano tangente a la gráfica de f e n (z0, yo, f ( z o ,yo)) esortogonal al vector ( 2 0 , yo, f(z0,YO)). Interpretar geométricamente. 6. Suponer que F ( z ,y) = ( a f / d z ) - ( d f / d y ) y

7. Hallar una ecuación para para:

f(z0,Yo))

-

dF

dz

ay

R, ( 2 ,Y)

+

k.,l f :R'

++

-+

(d) f ( z , y) = log(z + y ) (e) f ( 2 , Y ) = (f) f ( z , y ) = "Y,

f es de clase C2.Probar que

a'f

d'f 8x2

ay2

el plano tangente a l a gráfica de f en el punto ( z o , yo,

f:R2-+R,(z,y)++~-y+2, R,( 2 ,y) 2' 4y2,

(b) f:R2

+

(a)

dF

+

+

ZY, 2:

cosy

(zo,y0)=(1,1) (ZO,YO) = ( 2 , -1) (%O,

yo) = (-1, -1)

(20,

YO)

(20,

YO)

+ arctan(z +Y),

8. Calcular una ecuación para los planos tangentes puntos indicados. (a) x 2 y' z2 = 3 , (1,171) kb,l z3 - 2y3 z3 = O, (1,1,1) (c) (cos z)(cosy)e' = O, (*/&I, O) (d) e s(1,190) y z = 1,

(%o, YO)

= (1,O)

= (111) = (2,1) a las siguientes superficies en los

+ + +

9. Dibujar algunas curvas de

nivel de las funciones siguientes:

(a) f ( z , Y) = l / Z Y (b) f(z,Y) = z' - ZY - Y2 10. Considerar una función de temperatura T ( z ,y) = 3: sen y. Dibujar algunas curvas de nivel. Calcular VT y explicar su significado. 11. Hallar los siguientes límites, si existen:

12. Calcular las primeras derivadas parciales y los gradientes de las funciones siguien-

tes:

(a)

f(z,y, z ) = z e z + y cos z

f(.,

Y,

2)

(c) f(z,Y9

2)

= (2 = (x'

+Y + + Y)/.

,)lo

DIFERENCIACI~N

182

13. Sea

F = F l ( z , y)i

+ F z ( z , y ) j un campo vectorial de clase

C’. Mostrar que si F =

V f para alguna f, entonces ¿3Fl/ay = dFz/¿3z. Mostrar que F = COS z)i + z ( s e n y ) j

no es un campo vectorial gradiente.

14. Sea y(z) una función diferenciable definida implícitamente por F ( z ,y(z)) = O. Del ejercicio 17(a), sección 2.4, sabemos que

Considerar la superficie z = F ( z , y), y suponer que E’ es creciente como función de z y como función de y; i.e., ¿?Flax > O y d F f a y > O. Mostrar, considerando la gráficay el plano z = O, que para z fija en z = O, y deberá decrecer conforme z crece y 2 deberá decrecer conforme y crece. ¿Concuerda esto con el signo menos en la fórmula de dyldz? 15. (a) Considerarlagráficadeunafunción f ( z , y) (figura2.R.1).Sea (zo, yo) en una curva C de nivel, de modo que Vf(z0, yo) es perpendicular a esta curva. Mostrar que el filano tangente a la gráfica es el plano que (i) contiene la recta perpendicular a V f ( z o , y o ) y estáen el planohorizontal z = f ( z o , y o ) , y (ii)tienependiente IIVf(z0, yo)ll respecto al plano z y . (Por pendiente de un plano P respecto al plano z y se entiende la tangente del ángulo O, O 5 O 5 x , entre la normal a P que apunta hacia arriba, p, y el vector unitario k.) L

f

pendiente del plano tangente = llVfll ~

curva de nivel elevada a la gráfica

Figura 2.R.1 Relación entre el gradiente de una función y el plano tangente a la gráfica de la función (ejercicio 15(a)).

f ( z , y) =

(b) Usar este método para mostrar que el plano tangente a la gráfica de (z cos y)”’ en (1,O, 2 ) es como el que se ha dibujado en la figuri 2.R.2.

+

Hallar el plano tangente a la superficie z = z 2 + y2 en el punto ( 1 , - 2 , 5 ) . Explicar el significado geométrico para esta superficie, del gradiente de f(z,y) = z2 y’ (ver el ejercicio 15).

+

183

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPiTULO 2 Z

X

Figura 2.R.2 Plano al cual hace referencia

el ejercicio 15(b).

17. ¿En qué direcciónesigual aceroladerivadadireccionalde f ( z , y ) = (z’-~’))/(~’+ y’) en (1, I)? 18. Hallar la derivada direccional de la función dada en el punto dado y en la dirección del vector dado. (a) f(z,Y, z) = ez COS(YZ),PO = ( O , O, O),v = -2) f(z, y, 2 ) = z y yz z z , p o = ( 1 , 1 , 2 ) , v = (10, -1,2)

kb,l

+ +

19. Hallar el plano tangente y la normal al hiperboloide z’ + y 2 - z’ = 18 en ( 3 , 5 , -4). 20. Sea ( z ( t ) , y ( t ) ) una curva en el plano, O 5 t 5 1, y sea f ( z , y ) una función de dos f y y 5 O. Mostrar que f ( ~ ( 1y(1)) ) ~ 5 f(z(O), y(0)). variables. Suponer que fiz

+

Un insecto se halla en un medio ambiente tóxico. El nivel de toxicidad está dado por T ( z , y ) = 22’ - 4y2. El insecto está en (-1,2). ¿En qué dirección deberá moverse para disminuir lo más rápido posible la toxicidad? 22. Hallar la direcciónen la cual la función w = 1:’+ z y crece más rápidamente V w en esta dirección? Interpretar desde el punto (-1,1). LCuál es la magnitud de geométricamente esta magnitud. 23. Sea f definida en un conjunto abierto S en R”. Decimos que f es homogénea de grado p sobre S si f(Xx) = Xpf(x) para todo real X y para todo x en S para el cual

Ax

E

s.

(a) Si dicha función es diferenciable en x, mostrar que x Vf(x) = pf(x). Esto se conoce como el teorema de Euler para funciones homogéneas. [IDEA: P a r a X fija, definir g(X) = f(Xx) y calcular g‘(l).] (b) Hallar p y verificar el teorema de Euler para la función f(z,y, z ) = 1: - 2y -

6z, z > o.

184

DIFERENCIACI~N

24. Probar que si f(x, y) satisface la ecuación de Laplace

entonces también la satisface la función

(Una función que satisface la ecuacibn de Laplace se llama armónica.) 25. Probar que las funciones

(a) f(z,Y) = log(z’

+ Y’) 1

(c) h ( z ,Y, 2, w)=

+

+ zz +

wz

satisfacen las respectivas ecuaciones de Laplace ( 4 fix f Y Y = 0 ( b ) gxx gYY g r r = O (c) h,, hyy h,, hww = 0 donde fix = ó” flax’, etc.

+

+ + + +

+

26. Si z = [ f ( x - y)]/y, demostrar que z

27. Dado z = f ( ( x

+ y)/(z

+ y ( a z / a x ) + y(az/ay)

= O.

- y)) para f una función de clase C1, mostrar que

aZ

xax

+y-

aZ

=o.

ay

28. Sea f con derivadas parciales a f ( x ) / a z , , donde i = 1, 2,. . . , n, en cada punto x de un conjunto abierto U en R”. Si f tiene un máximo local o un mínimo local en el punto x0 en U, mostrar que af(x,)/ax, = O para cada e.

29. Considerar las funciones definidas en

+ y’) f ( z , y) = z’yz/(z’ + y 4 )

(i) f ( x , y) = xy/(z’

si

R2 mediante las fórmulas siguientes: f ( o , 0) = 0

(x,Y) # ( O , O ) ,

z

f(o, 0) = 0 si ( 2 ,Y) ( o , ~ ) , (a) Mostrar, en cada caso, que las derivadas parciales af(z, y)/az y a f ( x , ! / ) / a y existen para todo (x,y) en R’, y evaluar estas derivadas explícitamente en términos de x y y. (b) Explicar por qué las funciones descritas en (i) y (ii) son diferenciables o no, en ( O , O). 30. Calcular el vector gradiente V f ( z , y) en todos los puntos (x,Y) en R’ para cada una de las funciones siguientes: f ( 0 , 0) = 0 si (x,Y ) # (O, O ) , (a) f ( x , y) = x’y’ log(z’ y’)

kb,l

+ f ( x , y) = zysen[l/(z2 + y4)1

si

Y)

(2,

z (0, O ) ,

f ( o , 0) = O

31. Dada una función f definida en R’, sea F ( r ,8) = f ( r COS 8, T sen e). por ejemplo, Si f ( z , y ) = . / ( x z + y’), entonces F ( r , 8 ) = (cosO)/r. (El ejercicio continúa en la página siguiente.)

O

DEL


185

2

(a) Suponer que trar que

a2

f cumple las propiedades de diferenciabilidad adecuadas, y mos-

= C O S ~ @ ~ ~+2sen@cos@-f(x,y) ( X , ~ )

-F(T,@) a x aayT2

ax

+sen

2

@,f(z,y) a2

donde x = r cos O, y = T sen O. (b) Verificar la fórmula

+

+

-

32. (a) Sean u = i - 2j 2k y v = 2i j - 3k. Hallar: IIuII, U v, U X v y un vector que apunte en la misma dirección que U pero de longitud unitaria. (b) Hallar la tasa de cambio de e*y sen(x, y, z ) en la dirección u en (O, 1 , l ) . 33. Hallar las derivadas direccionales de las siguientes funciones en el punto l a dirección (i j)/& ( a )f ( x ,Y ) = tan"(x/y)

+

(1, 1) en

$Jl

f(Z,Y) = c o s ( p T - 7 ) ( c ) f ( x , Y) = exp(-x2 - Y')

34. Suponer que

f esunafuncióndiferenciabledeuna

u = g(z, y) está definida por

variable y que una función

Mostrar que u satisface una ecuación diferencial (parcial) de la forma X

2au -- y - = G ( z , ~ ) u ax ay

2au

y hallar la función G(x, y). 35. Denotemosporh(x, y) = (x, y). ¿En qué dirección desde más rápido posible? 36.

+

e-39z laalturadeunamontaña en l a posición (1, O) deberíamos comenzar a caminar para escalar lo

Calcular una ecuación para el plano tangente a la gráfica de

en x = 1, y = 2.

186

DIFERENCIACI~N

38. (a) Trazar las cnrvas

a

nivcl tlc

(b) En la figura, dibujar V f

PII

S ( L ,y ) = - x 2 - 9 y 2 para c = O, -1. -10. ( I , 1 ) . Explicar.

En el tiempo 1 = O , se lanza una partícula drsdr el punto ( I , ] . 1j sobre la superficie x 2 +2yz + 3 z 2 = 6 en una direccicirl norrnal a l a superficir con u n a rapidez d e 1 O unidatlcs por segundo. ¿En quir instant? cruza la c+ra r 2 y 2 z 2 = 103?

+ +

40. ¿En quC punto(s) de l a superficie drl ejercicio 39 es el vector normal paralelo a la recta x = q = z?

(a) por sustituciórl

@

y cálculo directo y ( h ) p o r la regla de l a cadena

Calcularlasderivadasparciales v=x-y.

c o ~ n oen (,I ejercicio 41 si z = u v ,

II

=

S

+y

y

44. Un bote navega hacia el norcste a 20 km/h. Suponiendo que la temperatura desciende a una tasa de 0.2 OC/kru en l a dirección nort,e y 0.3 OC/km cn la dirección este, ¿cuál es la tasa de cambio de la temperatura con respecto al tiempo observada en el bote?

Usar la regla de la cadena para hallar una fórmula para (dldt) exp[f(t)y(t)] 46. Usar l a regla de la cadena para hallar una fthnllla para

(d/dtj(.f(fj"'t)).

47. Verificar la regla de la cadena paral a funcihn f ( x , y , z ) = [In(l + x 2 + ? z 2 ) ] / ( 1 + y 2 ) y la curva a ( t ) = ( t , 1 - t 2 ,cos 1). 48. Verificar la regla de la cadena para la funci6n x = et, y = e-t.

f ( ~y ) , =

T'/(?

+ cos y ) y la curva

49. Suponer q u e u ( z , t ) satisface la ecuacicin diferencial ' u t + u u , = 0 y que x , como función x = f ( t ) de t , satisface d r l t l t = u ( x , t j . Probar que u ( f ( t ) , 1) es constante en t .


REPASO

2

187

El desplazamiento en el tiempo t y posición horizontal sobre una recta z de cierta cuerda de violín está dada por u = sen(x - 6 t ) sen(z 6 t ) . Calcular la velocidad de la cuerda en z = 1 cuando t = f .

+

+

51. La ley del gas ideal PV = nRT incluye una constante R, el número TI de moles del gas, el volumen V , la temperatura en grados Kelvin T y la presión P. (a) Mostrar que cada una: n , P , T y V es función de las variables restantes, y determinar explícitamente las ecuaciones que las definen. (b) Calcular d V / d T , a T / a P y a P / a V , y mostrar que s u producto es igual a -1. 52. La temperatura potencial presi6n p mediante

6’ está definida en términos de la temperatura

T y la

La temperatura y la presión se pueden pensar como funciones de la posición (x,y , z ) en la atmósfera y también del tiempo t . (a) Hallar fórmulas para 86’/ax, %/ay, ¿lt9/dz y N / a t en términos de las derivadas parciales de T y p . (b) La condición 8 / 8 2 < O se considera como atmósfera inestable, pues conduce a grandes excursiones verticales de parcelas de aire a partir de un solo ímpetu hacia arriba o hacia abajo. Los meteorólogos usan la fórmula

donde g = 32.2 y C p es una constante positiva. arriba en una atmósfera inestable?

iCÓlno cambia la temperatura hacia

El volumen específico I,’, la presión P y l a temperatura T de un gas de van der P = R T / ( V - p ) - a / V 2 , donde (Y,p y R son Waalsestánrelacionadosmediante constantes, (a) Explicar por qué cualesquiera dos de V , P y T se pueden considerar variables independientes que determinan la t,ercera variable. (b) IIallar a T / d P , 8 P / a V , aV/¿ll’.Identificarcuálesvariables son constantes e interpretar físicamente cada derivada parcial. (c) Verificar que ( 8 T / a p ) ( a P / 8 V ) ( ¿ l V / n T=) -1 (;no +I!).

La altura h del volcán hawaiano Mauna Loa se describe (aproximadamente) mediante la función h ( z , y) = 2.59 - 0.00024y2 - 0.00065z2, donde h es la altura sobre el nivel del mar en millas y x y y miden las distancias este-oeste y norte-sur, respectivamente, en millas, a partir de la cima de la montaña. En ( x ,y ) = (-2, -4): ( a ) ¿Con qué rapidez se incrementa la altura en la dirección ( 1 , l ) (esto es, hacia el noreste)? Expresar la respuesta en n d a s de altura por milla de distancia horizontal recorrida. (b) ¿En qu&dirección va l a trayectoria hacia arriba más empinada?

188

DIFERENCIACI~N

55. (a) ¿En qud dirección es igual a cero la derivada direccional de f ( z , y) = (x’ y’)/(z’ Y’) en (1, I ) ? (b) ¿Qué sucede en un punto arbitrario ( 2 0 , yo) en el primer cuadrante? (c) Describir las curvas de nivel de f. En particular, analizarlas en términos del resultado de (b).

+

56. (a)Mostrarquelacurva z 2 - y’ = c, paracualquier valor de c , satisfacela ecuación diferencial dy/dx = z / y . (b) Trazar algunas de las curvas r 2 - y2 = c, digamos para c = & l . Envarios puntos ( x ,y) a lo largo de cada una de estas curvas, trazar un pequeño segmento de pendiente “/y; verificar que estos segmentos parecen tangentes a la curva. ¿Qué sucede cuando y = O? ¿Qué sucede cuando c = O?

57. ¿Qué condiciones cumple la función f(z,y) si el campo vectorial k campo vectorial gradiente? (Ver el ejercicio 13.)

X

V f es un

F una función de una variable y f una función de dos variables. Mostrar que el vector gradiente deg(z, y ) = F ( f ( z ,y ) ) es paralelo al vector gradiente def(z,y). (b) Sean f(z,y) y g(z,y) funcionestalesque V f = X V g para alguna función X(z, y). ¿Cuál es la relación entre las curvas de nivel de f y g? Explicar por qué puede haber una función F tal que g(z, y ) = F ( f ( z ,y)).

*58. (a) Sea

3


. . .quien con vigor mental casi divino, fue el primero en demostrar los movimientos y formas de los planetas, las trayectorias de los cometas y el flujo de las mareas. EPITAFIO DE NEWTON

Uno de nuestros objetivos principales en el capítulo 2 fue el estudio de las funciones con valores reales. En este capítulo nos ocuparemos de las funciones cuyos valoressonvectores. Comenzamos en la sección 3.1 con trayectorias, que son funciones de R a Rn.Después pasaremos a campos vectoriales e introduciremos las principales operaciones del cálculo diferencial vectorial además del gradiente, a saber, la divergencia y el rotacional. Consideraremos algunos de los aspectos geornétricos asociados a estas operaciones, tal como lo hicimos para el gradiente, pero los resultados que tienen las aplicaciones físicas más importantes tendrán que esperar hasta que hayamos estudiado teoría de la integración. 3.1

TRAYECTORIAS Y VELOCIDAD

Con frecuencia consideramos una curva como una línea trazada sobre un papel, tal como unalínea recta, un círculo, o una curva senoidal. Para tratarde manera R" como el efectiva con estos objetos, resulta conveniente pensar una curva en conjunto de valores de una función que manda un intervalo en R a R". A dicha función le llamaremos trayectoria. Una trayectoria está en un plano si n = 2, y en el espacio si n = 3. La imagen de la trayectoria corresponde, entonces, a la línea que vemm en el papel (ver la figura 3.1.1).

190

FUNCIONES CON VALORESVECTORIALES

-

u = trayectoria

X

b

a

Figura 3.1.1 La función u es la trayectoria; su imagen es la curva que “vemos”

En esta sección definiremos de manera precisa el concepto de trayectoria, daremos algunos ejemplos y mostraremos cómo las trayectorias pueden modelar el camino que siguen objetos en movimiento. Después definiremos velocidad y aceleración de trayectorias y aplicaremos estas ideas a la segundaley de Newton, del movimiento, y al movimiento de los planetas en órbitas circulares. DEFINICI~N Una trayectoria en R” esunafunción u :[u, b] + R”. Si v es diferenciable, decimos que u es una trayectoria diferenciable. Si u es de clase C1, decimos que u es una C1 trayectoria. Los puntos u ( u ) y u ( b ) se llaman extremos de la trayectoria. La imagen de u se llama curva de u.

Es útil denotar la variable como t y pensar que u ( t ) va trazando una curva en R” conforme t va variando. A menudo imaginamos t como el tiempo y u ( t ) como l a posición de una partícula en movimiento en el tiempo t . Si u es una , ~ ( t )y) llamamos a r ( t ) , trayectoria en R3, podemos escribir u ( t )= ( r ( t ) y(t), y(t) y z ( t ) , funcionescomponentesde u. Queda claro que de manera similar podemos formar funciones componentes en R2 o, en general, en R”.

EJEMPLO 1 L a recta L en R3 que pasa por el punto (xo,yo, Z O ) en la dirección del vector v es la curva de l a trayectoria

para t E R (ver la figura 3.1.2).

A

3.1

TRAYECTORIASYVELOCIDAD

191

Figura 3.1.2 L es l a recta en el espacio que pasa por ecuación es ~ ( t =) ( 2 0 ,yo, 20) tv.

+

EJEMPLO 2

(ZO, yo, 20)

en dirección de

El círculo unitario en el plano está representado por Q:

R

--f

R2,

V;

su

la trayectoria

~ ( t=)(cost,sent)

(ver la figura 3.1.3). La imagen de a , esto es, el conjunto de puntos a ( t ) E R 2 , para t E R , es el círculo unitario. A Y

Figura 3.1.3 a(t)= (cost, sent) es una trayectoria cuya imagenes el círculo unitario.

192

FUNCIONESCONVALORESVECTORIALES

EJEMPLO 3 La t,rayectoria a ( t ) = ( t , t 2 )tiene unacurvaqueesunarcoparabólico. L a curva coincide con la gráfica de f ( x ) = x 2 (ver la figura 3.1.4).

A

Figura3.1.4 La imagen de a ( t ) = ( f , t ' ) es la parábola y = z 2 ,

EJEMPLO 4 La función a:t H (t-sen t , I-cos t ) describe la función de posición de un punto en un círculo de radio 1, que va rodando. El círculo está en el plano xy y rueda a lo largo del eje z con rapidez constante; esto es, el centro del círculo se mueve hacia la derecha a lo largo de l a recta y = 1, con rapidez constante de 1

Y

i

(r

: t +, ( t

-

sent, 1

-

cos t)

2* Figura 3.1.5 Esta curva se llama cicloide. Es la trayectoria descrita por un punto moviéndose sobre un círculo que rueda.

".

....

Y

3.1 TRAYECTORIAS

VELOCIDAD

193

radián por unidad de tiempo. El movimiento del punto u ( t ) es más complicado; sucurva se conocecomo cicloide (ver la figura 3.1.5). A

Por lo general, las partículas que se mueven en el espacio lo hacen en curvas suaves. Por ejemplo, las partículas, usualmente, no desaparecen y espontáneamente reaparecen en otro punto, ni cambian repentinamente de velocidad. Así, por el resto de esta sección, restringiremos nuestro estudio a trayectorias suficientemente suaves, digamos C1. En el capítulo 2 aprendimos que si u es una trayectoria en R3, su derivada, D u ( t ) , es una matriz de 3 X 1:

Sea u‘(t)el correspondiente vector (renglón). Así,

de modo que, a ’ ( t o ) = limite

a(to

+h)-

a(t0)

h

h-O

Si nos referimos a la figura 3.1.6, podemos argumentar intuitivamente queel vector u ’ ( t 0 ) deberá ser paralelo a la rectaL , tangente a la trayectoria u en el punto u ( t ~ y) ,que deberá representar l a velocidad de la partícula. En efecto, a(t0

+ h ) - a(to) h

+

representa la velocidad dirigida promedio en el intervalo de tiempo de t o a t o h (es decir, el desplazamiento total dividido entre el tiempo transcurrido). Por lo tanto, cuando h ”+ O , esta expresión tiende al vector de velocidad instantánea. Esto conduce a la siguiente definición. DEFINICI~N Sea u :R + R3 una trayectoria de clase C1. El vector velocidad en u ( t ) está dado por v(t) = d ( t ) = ( d ( t ) ,y ’ ( t ) , ~ ’ ( t ) y) , la rapidez de la

partícula está dada por S ( t ) = Ilu’(t)ll,la longitud del vector u’(t).

Como el vector velocidad u’(to)es paralelo a la recta L tangente a la trayectoria t H u ( t )en el punto u ( t O ) ,una ecuación de la recta L tangente a t H u ( t )en u ( t 0 ) deberá estár dada por la fórmula X H u ( t 0 ) Xu’(to), donde el parámetro X varía entre los números reales (ver la figura 3.1.7).

+

194


Z

Z

Z

X

(c)

Figura 3.1.6 Ilustración de la geometría de la definición de la derivada de una trayectoh) - a(to)]/h. ria: to) = límiteh-O[u(tO (a) [+o + h ) - u ( t . ) ] / h es un vector paralelo al vector que va de to) a d t o h ) para h = h l . (b) El mismo vector para un incremento menor h = h2. ( c ) Caso límite h + O.

+

+

DEFINICI~N Sea u unacurvade clase C' en u ( t 0 ) está dada en forma paramétricapor"

1(X) = a ( t 0 )

R3. L a r e c t a t a n g e n t e

+ Xa'(t0).

a u en

3.1 TRAYECTORIAS Y VELOCIDAD

195

Z

L

*Y

Figura 3.1.7 La recta u(t0)

+

L tangente a una trayectoria u en

u ( t 0 ) tiene

la ecuación 1(X) =

XU'(t0).

EJEMPLO 5 s i u : t H (cost,sen t , t ) , entonceselvectorvelocidades v(t) = ~ ' ( t=) (- s e n t , c o s t , 1). L a rapidez de un punto es la magnitud de la velocidad:

~ ( t=)Ilv(t)ll = (sen2 t + cos2 t

+ 1 1 ' ' ~ = h.

Así, el punto se mueve con rapidez constante, aunque su velocidad no sea cons-

L a trayectoria del punto cuyo tante, pues cambia continuamente de dirección. movimiento está dado por c se llama hélice (circular recta) (ver la figura 3.1.8). L a hélice estásobreuncilindrocircularrecto. A

Figura 3.1.8 a ( t )= (cost, sent,1) es una hélice circular recta.

196

FUNCIONESCON VALORESVECTORIALES

Dada una partícula movjéndose sobre una trayectoria r ( t ) , es natural definir la tasa de cambio del vector velocidad como aceleración. Así, a(t) = a " ( t )= (

~ " ( t ~) ," ( t ~) ," ( t ) )

Si una partícula de masa m se mueve en R3, l a fuerza F que actúa sobre ella ) , relaciona con la aceleración por medio de la segunda leji de en el punto ~ ( t se Newton: F(u(t))= ma(t). En particular, si no actúa fuerza alguna sobre una partícula, a(t) = O , de modo que u'(t)es constante y la partícula sigue una recta. EJEMPLO 6 Considerar una partícula moviéndose sobre la trayectoria descrita en el ejemplo 5, donde t es el tiempo. En el tiempo t = T la partícula deja la trayectoria y se va por una tangente (como se despega el lodo de una rueda de bicicleta). Hallar la ubicación de la partícula en el tiempo t = 2i7. Suponer que ninguna fuerza actúa sobre ella después de dejar la hélice (ver la figura 3.1.9). SOLUCIÓN Notamos que V ( T ) = (O, -1, l ) , de modo que la partícula, después en trayectoria recta a lo largo de la rectaL , que es de dejar la primera curva, viaja paralela al vector velocidad V(T) = u ' ( a ) .Si t F+ c ( t ) representa la trayectoria t 2 T , el vect,orvelocidad, c ' ( t ) , debe ser constante,ya delapartículapara

" Y

Figura 3.1.9 Búsqueda del vector velocidad de lahélice circular recta. (E1 dibujo no está a escala.)

Y

3.1

TRAYECTORIAS

VELOCIDAD

197

que después de que la partícula deja la curva ninguna fuerza actúa sobre ella. ) ( O , -1,l) y .(a) = U ( T ) = (-1, O, T ) . Entonces c ’ ( t )= u’(.) = ~ ( a = Como t H c ( t ) es una trayectoria recta paralela a v(T),su ecuación está dada por t w w tv(x) = w t ( 0 ,-1, l), donde w es algún vector constante. Para hallar w notamos que C ( T ) = w a(0, -1,l) = u(a) = (-1, O,a), de modo que w = ( - ~ , O , T ) - ( O , -T, x) = (-1, x,O). Así, c ( t ) = (-1, x,O) t ( 0 ,-1,l). En consecuencia, c(27r) = (-1, a, O ) 2a(0, -1,1) = (-1, -a, 2 ~ ) . A

+

+

+ +

+

En el problema para determinar la trayectoria u(2) de una partícula, dada su masa, posición y velocidad iniciales, y una fuerza, la ley de Newton se vuelve una ecuación diferencial, (;.e., una ecuación que incluye derivadas) para a(t),y se pueden usar las técnicas de las ecuaciones diferenciales para resolverlo. Por ejemplo, un planeta moviéndosealrededordelSol(considerado situado en el origen en R3) en una trayectoria r(t) obedece la ley GmM mr”(t> = - llr(t)113 r(t),

o abreviando,

mr”

GmM

--

T3

r,

donde M es la masa del Sol, m la del planeta r = }Ir11 y G es la constante gravitacional. La relación usada para determinar la fuerza, F = -GmMr/r3, se llama ley de la gravitación de Newton (ver la figura 3.1.10). No investigaremos en este libro la solución de dichas ecuaciones, sino que nos conformaremos con el siguiente caso particular.

Z

Figura 3.1.10 Una masa M atrae a una masa m con una fuerza F dada por l a ley de la gravitación de Newton: F = - G m M r / r 3 .

EJEMPLO 7 Considerar una partícula de masa m moviéndose con rapidez consrg. Entonces, suponiendo que se tante S en una trayectoria circular de radio


198

mueve en el plano zy, podenlos suprimir la tercera componente y escribir

pues &te es un círculo de radio

TO

s 2

ro

y l/r’(t)ll= S. Entonces podemos ver que tS S2 cos -,--sen To

To

”)

S2

- = --r(t) T,’

To

Así, la aceleraciónvaendirecciónopuesta a r ( t ) ;estoes, se dirigehacia el centro delcírculo (ver la figura 3.1.11). Esta aceleraciónmultiplicadaporla

masa de la partícula se llama fuerza centrípeta. Nótese que aunque la rapidez es constante, la dirección de la velocidad cambia continuamente, por lo cual resulta una aceleración.

4I

x

Figura 3.1.11 La posición de u n a partícula moviéndose con rapidez S en un círculo de T O está dada por la ecuación

radio

r ( t )= ( T O cos(tS/rO), y

SU

aceleración por

sen(tS/To)),

a(t) = -s2r(t)/rg

Supongarnos ahora que tenemos un satélite de masa m moviéndose con una rapidez S alrededor de un cuerpo central con masa M en una. órbita circular de radio T O (distancia al centro del cuerpo esférico central). Por la segunda ley de Newton F = ma, obtenemos

S’m

Gm M r(t) = - T r ( t )

“

Ti

TO

3.1

TRAYECTORIAS Y VELOCIDAD

199

Las longitudes de los vectores en ambos lados de esta ecuación debenser iguales. Por lo tanto GM S 2 =-. ro

Si T es el periodo de una revolución, entonces 2 ~ r g / T= S ; sustituyendo este valor por S en la ecuación anterior y despejando T , obtenemos la regla:

A

Así, el c u a d r a d o del periodo es proporcional al c u b o del r a d i o .

Hemos definidodosconceptosbásicosasociados con una trayectoria: su velocidad y su aceleración. Ambos están relacionados con cálculo diferencial. El concepto fundamental de longitud de una trayectoria, relacionado con cálculo integral, se tratará en la siguiente sección.

NOTA HIST~RICA

El ejemplo 7 ílustra una de las tres famosas leyes que Kepler dedujo antes de que Newton formulara sus leyes; permite calcular el periodo de un satélite cuando está dado el radio de su órbíta, y viceversa. Newton pudo deducir las tres leyes celestes de Kepler a partir de su propia ley de gravitación. El preclaro orden matemático del universo establecido por estos hombres y sus contemporáneos tuvo un gran impacto en el pensamiento del siglo dieciocho. Newton jamás escribió sus leyes como ecuaciones analíticas. El primero en hacerlo fue Euler, alrededor de 1750. (Ver C. Truesdell, Essays in the History of Mechanics, Springer, Nueva York, 1968.) Newton hizo sus deducciones sólo por medios geométricos ( a l menos en lo publicado).

EJERCICIOS 1. Hallar a'(t)y a ' ( 0 ) en cada uno de los casos siguientes. (a) u ( t ) = (sen art, cos 2 x t , 2t (c) a ( t ) = (2,t 3 - 4 t , O)

- t2)

kb,l o ( t )= (et, c o s t , s e n t ) (d) a ( t ) = (sen 2 t , log(1

+ t ) ,t j

2. Determinar los vectores velocidad y aceleración, y la ecuación de la recta tangente para cada una de las curvas siguientes enel valor especificado de t . (a) r(t) = 6ti 3t2j t3k,t = O a ( t )= (sen 3 t , cos 3t, 2 t 3 / * ) ,t = 1 ( c j a ( t j = (cos2 t , 3t - t 3 ,t ) , t = o (d) ~ ( t=) (o, o, t ) , t = I

+

+

200


4. ~ Q u d fuerza actúa en el ejercicio 2(a), sobre una partícula de sigue la trayectoria dada?

masa m en

t = O si

Seaunapart,ículade

1 gramo (g) de masa, que siga la trayectoria del ejercicio t = O? (Escribir las unidades en l a respuesta.) 3(a), con unidades en segundos y centímetros. ¿Qué fuerza actúa sobre ella en

6. Sea u una trayectoria en R3 con aceleración cero. Probar que u es una recta o un punto.

7 . Hallar l a trayectoria u tal que u(0) = (O, - 5 , l ) y u'(t)= ( t ,e'. t2). 8.

zar.

Hallar trayectorias a(t) que representen las siguientes curvas o trayectorias. Esbo-

+

{(Z,Y)IY = el.1 { ( ~ , ~ ) 1 4 2 Y' ~ = 1) (c) Una recta en R3 que pasa por el origen y el punto ( a ,b, c ) ( d j { ( ~ , w ) l ~ ~ 1' 6 ~ '= 4) (a)

+

9. Un satdlite da vuelt,as a 500 kmsobre l a Tierra en órbita circular. Calcular su periodo. (G = 6.67 X lo-'' N * m2/kg2, M = 5.98 X kg = masa de l a Tierra, MKS " m e t r o s , radio de la Tierra = 6.37 x IO3 km. Aquí G está dada en unidades kilogramos, segundos.)

10. Suponer que una partícula sigue la trayectoria u ( t )= ( e t , e - t , cost) hasta que sale una tangente en 2 = 1. ¿Dónde está en t = 2?

por

11. Suponer que una partícula que va siguiendo la trayectoria u ( t ) = (t2,t3 - 4t, O) sale por u n a tangente en t = 2. Calcular la posición de la partícula en 1 = 3.

12. Probar las reglas siguientes para trayectorias diferenciables (en

R" para (a) y R3

Para

13. Probar la siguiente regla para trayectorias diferenciables

en R3:

3.2

LONGITUD DE ARCO

201

Sea ~ ( tuna ) trayectoria, v(t) la velocidad y a(t)la aceleración. Suponer que F es una función de R3 en R3,m > O y F ( u ( t ) )= ma@)(segunda ley de Newton). Probar que d “ [ m d t ) X ~ ( t )=]d t ) X F ( u ( ~ ) ) dt (es decir, “tasa de cambio del momento angular = torca”). ¿Qué se puede concluir F ( u ( t ) ) es paralelo a ~ ( t )¿Es ? este el caso del movimiento planetario?

si

15. Continuar las investigaciones en el ejercicio 4 para probar la ley de Kepler que afirma que un planeta en movimiento alrededor del Sol efectúa ese movimiento en un plano fijo.

3.2

LONGITUD DE ARCO

C o n s i d e r a r u n a t r a y e c t o r i a d a d a u ( t ) .Podemos pensar a(t) como la trayectoria de una partícula con rapidez S ( t ) = ~ ~ u ’ (ets t)a~t r~a y;e c t o r i a t r a z a u n a c u r v a e n el espacio. LCuál es la longitud de esta curva conformet varía de, digamos, a a b? Intuitivamente, esto debiera ser precisamente el total de la distancia recorrida, esto es Jab S ( t )d t . Esto nos conduce a lo siguiente. DEFINICIóN S e a u :[ a ,b] está definida como

-+

R” una trayectoria de clase C’. L a longitud de u l(c)= Jab

Ilc’(t)ll d i .

En R3. la fórmula es

EJEMPLO 1

t

5 2?r, es

La longitud de arco de 1= o

la curva a ( t ) = ( r c o s t , r s e n t ) , p a r a O 5

J(--rsent)2+(Tcostj2dt=2xr,

l o c u a l n o e s más que la circunferencia de un círculo de radio T. S i p e r m i t i m o s q u e O _< t 5 4 s , hubiéramos obtenido 4?rr, pues la trayectoria recorrería dos veceselmismocírculo(figura 3.2.1). A

202


SOLUCIÓN a ( t ) es

El vector velocidad cs u’(t)= ( 1 - cos 1, s e n t ) y la rapidez del punto llf7’(t)li =

J(I

~

cos 1 ) 2

+ a e 7 r 2 f = J-.

3.2

LONGITUD DE ARCO

203

de un ciclo es

I

2T

= 4 (-cosf)

A

=8.

O

* S E C C I ~ NOPTATIVA

En estasecciónsesuponeque el lectorestáfamiliarizadocon la integraldefinida, definida en términos de sumas de Riemann. En caso de no conocer bien el tema, se puede posponer hasta después del capítulo 5. En R3 hay otra manera de justificar la fórmula para ¿(u)d a d a e n l a definición anterior. Este método se basa en aproximaciones poligonales, y se procede como sigue: partimos el intervalo [ a , b ]en N subintervalos de igual longitud:

b-a

t,+1 - 1, = -

N

para

O
Después consideramos la poligonal obtenida al unir pares sucesivos de puntos a ( t l ) , u(tt+l)para O i 5 N - 1. Esto produce una aproximación poligonal a u como la de la figura 3.2.2. De l a fórmula para la distancia en R3 se sigue que el segmento dea(t,) a u ( t E + l )tiene longitud

<

Ila(t,tl) - 4 t C ) l l

= Jb(t*t1)

-

z(tt)]2

+ [y(t,+1) - y(t1)]2 + [z(t,+l) -

41,)]2,

donde a(t)= ( z ( t ) ,y(t), z ( t ) ) . Aplicando el teorema del valor medio a z ( t ) , y(1) y z ( t ) en [t",t , + l ] , obtenemos tres puntos t:, tt' y tt" tales que

204

FUNCIONES CON VALORES VECTORIALES Z

t"

Y

U(t")

=. (u)

x '@'

Figura 3.2.2 Una trayectoria o s r puede aproximar mediante una trayectoria poligonal ) u ( t , + l )por medio de u n a recta. obtenida al unir cada ~ ( t , con Así, el segmento de ~ ( 2 , )a u ( l , + l )tiene longitud

Entonces la longit,ud de nuestra poligonal de aproximación es

Cuando N 03, esta poligonal aproxima mejor la imagen de o.Por lo tanto definimos la longitud de arco de u como el límite, si esqueexiste,de la sucesión S N cuando N + m . Corno se supone que las derivadas z', y' y 2' son continuas en [ a ,b ] , podemos concluir que, de hecho, el límite existe y está dado por " +

(La teoría de la integración relaciona la int,egral con las sumas mediante la fórmula

donde t o , . . . , 1 es~ una partición de [ a ,b ] , 1: E [t,,t,+l] es arbitrario y f es una función continua. Es posible que aquí haya p u n t o s distintos t:, t:" y t:** de modo que habrá que ampliar ligeramente esta fórmula.)

3.2

LONGITUD DE ARCO

205

La imagen de una trayectoria de clase C’ no necesariamente es ‘(muy suave”; en efecto, puede tener dobleces puntiagudos o cambios bruscos de dirección. Por la figura 3.1.5) tiene ejemplo, l a cicloide del ejemplo 3 anterior(verademás picos en los puntos donde a(t) toca el eje x (esto es, donde t = 2 m , n = O, f l , . . .). Otro ejemplo es el hipocicloide de cuatro picos, u :[O, 2x1 -+ R2, t H (cos3t,sen3t), que tiene picos en cuatro puntos (figura 3.2.3). Sin embargo, en esos puntos, u’(t)= O , la recta tangente no está bien definida y la rapidez del punto u@)es cero. Es evidente que la dirección de a(t)puede cambiar de manera abrupta en puntos cercanos al reposo.

Figura 3.2.3 L a imagen de la trayectoria suave a(¿)= (cos3 t , sen3 t ) , una hipocicloide, “se ve suave”.

no

Si tenemos una trayectoria u ( t ) = ( c ( t )y@), , z ( t ) ) en R3, es costumbre denotarla por s ( t ) = a(t),de modo que , dx z ds dy + “d k ~ ’ ( t=) = ”i+ ”j . dt

dt

dt

dt

Así,

En esta notación se puede escribir la longitud

de arco de u como

206


de modo que

l(0)=

EJEMPLO 4

S,” s’(t) d t = s(h) - s ( u ) = s ( h )

U n a partícula se mueve a lo largo de una hipocicloide de acuerdo

a las ccrraciones

2:

= c0s3t,

y = sen3 t ,

U

5 t 5 h.

¿Cuáles son la velocidad y rapidez de la partícula? SOLUCIÓN

Elvectorvelocidad ds - dx -i dt dt

-

+ -jdy dl

de lapartícula es = “ ( 3 sen tcos2 t ) i

+ ( 3 cost sen2 t ) j

y su rapidez es

L a definicibrl de la longitud de arco puede ext,enderse hasta incluir trayectorias que no sean de clase C’ pero que se formen al pegar un número finito de ) , ~ ( 2 ) ) se llama trayectorias C1. Una trayectoria u :[ u ,b] ”+ R3, 1 H ( ~ ( t y@), trayectoria de clase C1 a trozos si existe una partición de [ u ,h]

tal que la función u restringida a cada intervalo [ti,& + I ] , O 5 i 5 N - 1, sea es conticontinuamentediferenciahle.Esto significa que laderivadaexistey se calculan n u a en [ti,t i + l ] ;las derivadas en los extremosdecadaintervalo usandolimitesdesdedentro delintervalo(estoes,límitesdeunlado,como en la pág. 117). En el caso de que una trayectoria sea C1 a trozos, definimos l a longitud de arco de la trayectoria como l a suma de las longitudes de arco de las trayectorias C1 que la forman. Esto es, si la p a r t i c i h

3.2

LONGITUD DE ARCO

207

satisface las condiciones dadas anteriormente. definimos N-1

de

longituddearco

=

(longituddearcode

u de 1 , a

t,+l)

t=O

EJEMPLO 5

Hallar la longitud de arco de la trayectoria u :[-1, 11 + R3, t

H

(111, It - $ l l 0 > . SOLUCIÓN

poco uz: t

(7

H

no es de clase C1 pues r 1 : t H ltl no es diferenciable en O , ni tam$ 1 es diferenciable en Sin embargo, si tomamos la partición

i.

/t -

-l=to
vemos que cada u;c:S continuamente diferenciable en cada uno de los intervalos [-1, O],[O, $1 y [$, 11 y por lo tanto u es continuamente diferenciable en cada intervalo. Así, u es C1 a trozos. (Ver la figura 3.2.4.) En [-1, O] tenemos ~ ( t=) - t , y(t) = -t+,, 1 ~ ( t=) O y I(ds/dtll = A; de aquí, la longitud de arco de c entre -1 y O es a d t = 4.De manera análoga, de modo en [O, f ] , z ( t ) = t , y ( t ) = -t + $, z ( t ) = O y, de nuevo, (lds/dtJI= que la longitud de arco de u entre O y $ es ffi. Finalmente, en [$, 11, tenemos ~ ( t=) t , y(t) = t z ( t ) = O y la longitud de arco de (7 entre y 1 es Así, lalongituddearcototalde u es 2&. A

S_",

a,

3,

V

Figura 3.2.4 Un caso particulardeunatrayectoria -1_
C1 a trozos: u ( t )

It(i + It

-

$-b,

208


EJERCICIOS 1. Calcular la longitud de arco de la curva dada en

el intervalo particular*

(a) La trayectoria del ejercicio 2(a), sección 3.1, [ O , 11

kb,l

La trayectoria del ejercicio 2(b), sección 3.1, [O, 11 (c) s ( t ) = t i t(sen t ) j t ( c o s t ) k , [O, T] ( d ) s ( t ) = 2ti tj + t’k, [O, 21 (e) L a trayectoria del ejercicio 3(b), sección 3.1, [O, 11 ( f ) La trayectoria del ejercicio 3(c), sección 3.1, [-1,1] La trayectoria del ejercicio 3(d), sección 3.1, [ t o , t l ]

+ +

+

s ( t ) para una trayectoria dada

2. La función de longitud de arco s(t) =

u ( t ) ,definida por

S,“ /lu’(r)l/dr, represent,a la distancia que una partícula viajando por la tra-

yectoria u habrá recorrido en el tiempo t si comienza en el tiempo a ; esto es, da la . las funciones de longitud de arco para las curvas longitud de u entre a ( a ) y ~ ( t )Hallar a ( t )= (cosh t , senh t , t ) y p ( t ) = (cos 1, s e n t , t ) , con a = O. 3. Sea Q la trayectoria u ( t )= ( Z , t2,log t ) , definida para t arco de u entre los puntos ( 2 , 1 , O) y (4,4, log 2).

> O.

Hallar la longitud de

T(rl

Sea u la trayectoria u ( t ) = ( t ,tsen t , t cos t ) . Hallar la longitud de arco de u entre (O, o , 0) Y (.,O, -.l.

5. Sea c ( t ) una trayectoria dada, a 5 t 5 b. Sea S = ( ~ ( una t ) nueva variable, donde (Y es una función dada estrictamente creciente, declase G’, definida en [ a ,b]. Para cada S en [(Y(.), cu(b)] existe un t , único, con a ( t ) = s. Definir la función d:[CY(.),( ~ ( b )”-f ] R3 mediante d ( s ) = c ( t ) . (a) Hacer ver que las curvas imágenes de c y d son la misma. (b) Mostrar que c y d tienen la misma longitud de arco. IIc’(r)IIdr. Definir d como se hizo antes, mediante d(s) = (c) Sea S = ( ~ ( t=) c ( t ) . Mostrar que

sat

Se dice que la trayectoria

S I”+

1

$di.)// = 1.

d ( s ) es una reparametrización de

c.

En los ejercicios del 6 al I1 se presenta parte de l a geometría diferencial clásica de las curvas.

-

Sea u:[ a ,b] R3 una trayectoria infinitamente diferenciable (existen derivadas de (t)~~ todos los órdenes). Suponer que a ’ ( t )# O para cualquier t . El vector u ’ ( t ) / ~ \ u ’= T(1) es tangente a u en u ( t ) y, como IIT(t)/l = 1, T se llama tangente unitaria a u. (a) Mostrarque T’(t) T(t) = O. (IDEA:Diferenciar T(1) T(t) = 1.) (b) Escribir una fórmula en términos de u para T’(t). *En varios de estos problemas se puede

usar la fórmula

de la tabla de integrales que está al final del libro.

3.2

LONGITUD DE ARCO

209

7. (a) Se dice que una trayectoria ~ ( s está ) parametrizada por la longitud de arco o, lo que es lo mismo, tiene rapidez unitaria si 1 1 d ( s ) 1 1 = 1. Mostrar que para una trayectoria parametrizada por la longitud de arco en [a,b ] , se tiene I ( Q ) = b - a. (b) La curvatura en un punto a(.) sobre una trayectoria se define por k = ~ ~ T f ( s ) ~ ~ cuando l a trayectoria está parametrizada por la longitud de arco (ver los ejercicios 6 y 7(a)). Mostrar que k = 110"(s)11. (c) Si Q está dada en términos de algún otro parámetro t y a'(t) nunca es O , mostrar que IC = Ila'(t) X ~ " ( t ) ~ ~ / ~usando ~ a ' (eltejercicio ) ~ ~ ~5., (d) Calcular la curvatura de la hélice u ( t ) = ( l / h ) ( c o s t , s e n t , 1). (Esta Q es simplemente un múltiplo escalar de la hélice circular recta de la figura 3.1.8.) 8. Si Tf(t) # O , sesiguedelejercicio 6 que N ( t ) = T f ( t ) / ~ ~ T fes(normal t ) ~ ~ (;.e., perpendicular) a T(t); N se llama vector normal principal. Un tercer vector unitario T comoa N se definepor B = T x N ; B sellama queesperpendiculartantoa vector binormal. Juntos, T, N y B forman un sistema de la mano derecha de vectores ortogonales entre sí que, se puede pensar, se va moviendo a lo largo de la trayectoria (figura 3.2.5). Mostrar que

N.

(c) dB/dt es un múltiplo escalar de

.

_

I

.

.

.

Figura 3.2.5 Tangente T, normal principal N y binormal B.

Y

210


9. Si ~ ( s )está parametrizada por l a longituddearco,podemosusar el resultado del ejercicio 8(c) para definir una función con valores escalares T , llamada torsión, por medio de dB - = -7-N. ds

(a) Mostrar que T = [ a ’ ( s ) x ~ ” ( s ) ] U ” ’ ( S ) / ~ ~ U ” ( S ) ~ ~ ~ . (b) Mostrar que si U está dada en términos de algún otro parámetro 7-=

[u’(t)x U”(t)]

Ila’tt) x

t,

U”’(t)

g”tt)l12

‘

Comparar con el ejercicio’i(c). (c) Calcular la torsión de la hélice ~ ( t =) (l/&)(cos t , s e n t , t ) * I O . Mostrar que si una trayectoria está en un plano entoncessu torsión es cero. Hacerlo demostrando que B es constante y es un vector normal al plano en el cual está U . (Si l a

torsión no es cero, da una medida de cuánto se tuerce la curva fuera del plano formado por T y N.)

*m

(a) Usar los resultados de los ejercicios 8 y 9 para probar las fórmulas de fienet para curvas de rapidez unitaria:

(b) Expresar nuevamente los resultados de la parte (a) como

$ (f)

= w x

(i)

para un vector adecuado w .

En relatividad especial, el tiempo propio de una trayectoria u(X) = (.(X), g(X), .(X), t(X)) se define como l a cantidad

*12.

Jab

&(X)]’

+ [Y’(X)]’ + [.’(X)]’

+

R4 con

- C2[t’(X)]’dX,

donde c es la velocidad de la luz, una constante. En la figura tiempo propio(AB) +tiempo propio(BC)

U : [ a ,b]

3.2.6, mostrar que

< tiempo propio(AC)

(Esta desigualdad esun caso especial delo que se conoce como paradoja de los gemelos.)

3.3

211

CAMPOS VECTORIALES

Ct

Figura 3.2.6 Desigualdad relativista del triángulo.

3.3 CAMPOS VECTORIALES

En el capítulo 2 introdujimos los campos vectoriales mediante la idea del campo vectorial gradiente. En esta sección estudiaremos algunas propiedades generales de los campos vectoriales, incluyendosu significado geométrico y físico.Es importante lograr una clara comprensión de esto para continuar con las secciones 3.4 y 3.5 y para estudiar el capítulo 8. DEFINICI~N Un campo vectorial en R" es una función F: A asigna a cada punto x en s u dominio A un vector F ( x ) .

c R" .+ R"

que

Podemos ilustrar gráficamente F adhiriendo una flecha a cada punto (figu3.3.1). De maneraanáloga,una función f : A c R" -+ R queasigna un número a cada punto se llama campo escalar. Por ejemplo, un campo vectoF l , Fz y F3, de rial F ( z , y ,z) en R3 tiene tres campos escalares componentes . cadacampo F l , Fz modo que F ( s , y , z ) = ( F ~ ( z , y , z ) , F 2 ( z , y , z ) , F 3 ( z , y 1 z ) )Si y F3 es una función C k , decimos que el campo vectorial F es de clase C k ; esto equivale a decir que la función F es de clase Ck en el sentido expresado en el capítulo 2. Se supone que los campos vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que se diga lo contrario. ra

212


Y

X

Figura 3.3.1 Un campo vectorial

dominio.

F asigna un vector (flecha) F(x) a cada punto x de su

Es conveniente trazar la flecha que representa F(x) de modo que comience en x,no en el origen (que es como se acostumbra trazar vectores). Consideramos este vector desplazado con su cola en x como equivalente al vector correspondiente quecomienza en O. En el restodellibronosocuparemosprincipalmentede el término“campovectorial” camposvectoriales en R2 y R3, demodoque significará un campo vectorial en R2 o R3, a menos que se diga lo contrario. EJEMPLO 1 Imaginemos un fluido moviéndose por una tubería con flujo estacionario. Si en cada puntocolocamos la velocidad del fluido en ese punto obtenemos el campo de velocidad V del fluido (ver la figura 3.3.2). Nótese que la longitud cambiar de punto a de las flechas (la rapidez) y la direccióndelflujopueden punto. A

Figura 3.3.2 Campo vectorial que describe la velocidad de flujo en una tubería.

EJEMPLO 2 Consideraruna piezade materialque se calientaporunlado y se enfría por otro. La temperatura en cada punto dentro del cuerpo produce un campo escalar T ( z ,y, 2 ) . El flujo real de calor se puede marcar mediante un campo de flechas que indiquen la dirección y magnitud del flujo (figura 3.3.3).

3.3

CAMPOS VECTORIALES

Figura 3.3.3 Campo vectorial

213

que describe la dirección y magnitud del flujo de calor.

Esta energía o campo vectorial de Aujo de calor está dado por J = -kVT, donde k > O es una constante llamada conductividadVyT es el gradiente de la función con valores reales T . Nótese que el calor fluye, como debe ser, de las regiones calientes hacia las frías, pues - V T apunta en la dirección donde T decrece (ver la sección 2.5). A EJEMPLO 3 La fuerza de atracción de la Tierra sobre una masa m puede describirse mediante un campo vectorial en R3, el campo de fuerza gravitacional. De acuerdo con la ley de Newton, este campo está dado por

F=-- mMG r r3

Figura 3.3.4 Campo vectorial

t

F dado por

la ley de gravitación de

Newton.

21 4


EJEMPLO 4 El movimiento giratorio (como el movimiento de las partículas en un fonógrafo) se describe por el campo vectorial

V ( z , y ) = -yi

Ver la figura 3.3.5.

+ xj.

A

Figura 3.3.5 Campo vectorial giratorio (las flechas muestran la dirección, no magnitud). EJEMPLO 5

En el plano, R2, la función V definidapor Yi 4 V(x,y) = - -x2 y2 z 2 y2

+

+

Y

la

3.3

CAMPOS VECTORIALES

215

R2 menos el origen.Éste es el campo de velocidad queaproximaalcampodevelocidaddelaguaenmovimiento“circular”tal (ficomo ocurre, por ejemplo, cuando se quita el tapón de una tina de agua A gura 3.3.6).

es un campo vectorialen

Figura 3.3.6 Campo vectorial que describe el flujo circular en una tina. EJEMPLO 6 De acuerdo con la ley de Coulomb, la fuerza que actúa sobre una carga e en r debido a una carga Q en el origen, es

donde V = EQe/r y E es una constante que depende de las unidades usadas. P a r a &e > O (cargas del mismo signo) la fuerza es repulsiva (figura 3.3.7(a)), y para &e < O (cargas de signo distinto) la fuerza es atractiva (figura 3.3.7(b)). En este ejemplo el potencial V es constante en lassuperficies de nivel de V ,por eso se llaman superficies equipotenciales.Nótese que el campo de fuerza es ortogonal a las superficies equipotenciales (el campo de fuerza es radial y las superficies equipotenciales son esferas concéntricas). Esto concuerda con el resultado general d e l asección 2.5. En el caso de gradientes de temperatura, en el que F = -kVT, las superficiesdonde T es constante se llamanisotermas. A Hacemos notar que, en general, un campo vectorial no tiene que ser un campo gradiente; esto es, un campo vectorial no tiene que serel gradiente de una función con valores reales. Esto se aclarará en capítulos posteriores. Sin embargo, el concepto de superficie equipotencial tiene sentido sólo si el campo vectorial resulta un campo gradiente. Otro concepto importantees el de línea de flujo. Es fácil de visualizar esta idea en el contexto del ejemplo 1. En ese caso, una línea de flujo es simplemente una

216


(a)

Figura 3.3.7 Campos vectoriales asociados

(b) cargas con signo distinto (Qe

< O).

(b) con (a) cargas del mismo signo

(Qe

>

O) y

trayectoria que sigue una pequeña partícula suspendida elenfluido (figura 3.3.8). También es apropiado llamar a las líneas de flujo líneas de corriente o curvas integrales.

\

línea de flujo

vector velocidad

Figura 3.3.8 El vector velocidad de un fluido es tangente a una línea de

flujo.

Si F es un campo vectorial, una línea de A j o para F esuna trayectoria a ( t ) tal que

DEFINICI~N

~ ' ( t=) F ( a ( t ) ) .

(1)

Esta es, F produce el campo de velocidad de la trayectoria a ( t ) . Geométricamente, el problema de hallar una línea de flujo que pase por u11 punto dado xO para u n campo vectorial dado F , es el de ensartar una curva por el campo vect,orial dc manera que cl vector tarlgent,e a la curva coincida con el campo vectorial, como en l a figura 3.3.9. Analít,icamente, el problema (le hallar u n a línea de flujo que pase por x0 en el tiempo t = O implica resolver la ecuación diferencial (fórmula ( l ) ,anterior) con condicicin inicial X O ;est80? S ,

~ ' ( t=) F ( a ( t ) ) ;

a(O)

xo

3.3

CAMPOS VECTORIALES

Figura 3.3.9 Línea de flujo que se va

217

ensartando por u n campo vectorial en el plano

con condiciones iniciales

donde F = ( F 1 ,F z , F3). En cursos de ecuaciones diferenciales se prueba que si F es de clase C 1 , entonces existe solución única para cada x0 (pero la solución no necesariamente está definida para todo t ) . Nótese que campos vectoriales diferentes pueden tener líneas de flujo que sean la misma curva geométrica.Por ejemplo, en los ejemplos 4 y 5 las líneas de flujo son círculos. Existen varios programas de computadora que permiten hallar numéricamente las curvas solución de campos vectoriales; hay además muchas técnicas analíticas, que se estudian en cursos de ecuaciones diferenciales. La figura 3.3.10 muestra algunas curvas integrales del campo vectorial en el plano dado por F ( z , y ) = (sen y, x’ - y ) , realizadas en una Macintosh usando el programa “Macmath” (por Hubbard y West de Cornel1 University).

218


Figura 3.3.10 Curvasintegralestrazadasporcomputadora,de

F ( z , y ) = (seny)i

(x' - Y1.i.

+

Suplemento de la sección 3.3 Flujos de campos vectoriales

Es conveniente tener una notación especial para la solución única que pasa por un punto dado en el tiempo O, la cual se usará en el suplemento a la sección 3.4. Sea

4 ( X >t )

=

posición del punto en la línea de flujo que pasa por x después de transcurrido un tiempo t .

Con x comolacondicióninicial,seguira lo largodelalíneadeflujoduranteun periodo de tiempo t hastaalcanzarlanueva posición d(x, t ) (ver la figura 3 . 3 . 1 1 ) . Analíticamente, 4(x, 1) está definida por:

La función 4, que se considera como función de las variables x y t , se llama flujo de F . Denotamospor DX ladiferenciaciónrespectoa x, manteniendo t fija. Encursos 4 esunafuncióndiferenciablede x . Así, deecuacionesdiferencialessepruebaque diferenciando la ecuación ( 2 ) respecto a x ,

3.3

21 9

CAMPOS VECTORIALES

F

Figura 3.3.11 Definición del flujo $(x, t ) de

F

En el lado izquierdo de esta ecuaciónse puede usar la igualdad de las derivadas parciales mixtas, y en el lado derecho se puede aplicar l a regla de la cadena, obteniéndose

donde DF(d(x,t)) denota la derivada de F evaluada en $(x,t). Esta ecuación diferencial lineal para Dx$(x,t ) , se llama ecuación de primera variación. Será de utilidad para el estudio de la divergencia y rotacional de la siguiente sección. Nótese que en el espacio tanto D,F($) como DX$son matrices de 3 X 3 pues F y 4 toman valores en R3 y son diferenciadas respecto a x E R3. De manera análoga, para campos vectoriales en el plano, serían matrices de 2 x 2.

EJERCICIOS 1. Sea una partícula de masa m que se mueve sobre una trayectoria r(t) de acuerdo a la ley de Newton, en un campo de fuerza F = - V V en R3, donde V es una función dada de energía potencial. (a) Probar que la energía E = irnllr‘(t)l12 V(r(t)) es constante en el tiempo. (IDEA: Realizar la diferenciación U / & . ) (b) Si la partícula se mueve sobre una superficie equipotencial, mostrar que su rapidez es constante.

+

3. Sea ~ ( tuna ) línea de flujo de un campo gradiente F = -VV. Probar que V ( C ( ¿ ) ) es una función decreciente de t . Explicar.

220


Esbozar el campo gradiente - V V para V ( z , y ) = ( z superficie equipotencial V = 1.

+ y)/(.’

+ y 2 ) . Esbozar la

5. Suponer que a ls isotermas en una región son esferas concéntricas con centro en el origen. Probar que el campo vectorial de flujo de energía apunta hacia el origen o hacia afuera.

Mostrar que a ( t ) = ( e 2 ’ , In Itl, l / t ) para t vectorial de velocidad F ( z , y ,z) = ( a x , t ,-2’)).

#

O es una línea de flujo del campo

7. Mostrar que ~ ( t=) ( t 2 , 2 t - 1,&) para t > O es una línea de flujo del campo vectorial de velocidad F(z, y, t ) = (y + 1 , 2 , 1 / 2 ~ ) . ( a ) Suponiendo que existe unicidad en las líneas de flujo que pasan por un punto dado en un tiempo dado, probar la siguiente propiedad del flujo d(x,t ) de un campo vectorial F: d ( X >t

+

S)

= cb(d(x,S), t ) .

D,d?

(b) ¿Cuál es la propiedad correspondiente para

*9. Si f (x,t ) es una función con valores reales de x y t , definamos la derivada material de f respecto a un campo vectorial F como

Df

8f --+Vf(z).F.

“

Dt

at

Mostrar que Df /Dtes lat derivada de f($(x,t ) , t ) (i.e., lat derivada def transportada por el flujo de F).

3.4

DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

La operación rotacional asocia a cada campo vectorial vectorial rot F definido como sigue: Sea F = Fli

C1 F en R3 el campo

+ Fzj $- F3k = (FI,F2, F3),

y hagamos

Esta fórmula es más fácil de recordar si la reescribimos usando la notación de “operador”. Introduzcamos formalmenteel símbolo “del” (o ‘habla”):

a

a ay

V=i-+j-+k-. ax

a at

3.4

DIVERGENCIA Y ROTAClONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

V es un operador; esto es, actúa u opera sobre funciones Específicamente, V j, V operando sobre f, está dado por V f = i-af +j-af ax ay

221

convaloresreales.

af + k--,

a2

es el gradiente de f . Esta notación formal es bastante útil; si vemm V como vector con componentes a/&, d/dy, d / d r , entonces podemos tomar también el producto cruz

= rot F.

Así,

rotF = V

X

F,

y con frecuencia usaremos esta última expresión. (Nótese que rot F es de clase Ck” si F es de clase C h . ) EJEMPLO 1 SOLUCIÓN

Sea F(z, y , 2) = zi Tenemos

V Así, V

X

+ zyj + k. Hallar V X F

X

I

I

F = - - - =(O - 0 ) i - ( O - O ) j + ( y -0)k. x: aaY aaz

F = yk.

A

El teorema siguiente enuncia una relación básica entre el gradiente y el rotacional. Deberá compararse con el hecho de que para cualquier vector v, tenemos

vxv=o.

TEOREMA 1

Para cualquier función f de clase

v x (Vf)= o ;

c2,tenemos

esto es, el rotacional de cualquier gradiente esel vector cero.


222

D E M O S T ~ C I Ó N Escribamoslascomponentes

Como

del campovectorial

v f = ( a f / a ~a f, / a y , a f / a z ) tenemos, por definición, i

j

V x

(vf).

k

VxVf=

=(S-"f)i+(

azay

a2f

azaz

2qj+("-) azaz

a2f

azay

a2f

ayaz

k,

Cada componente es cero debido a la propiedad simétrica de las derivadas parciales mixtas; por lo tanto se sigue el resultadodeseado. El significado físico total del rotacional se verá con detalle en los ejercicios 12 y 13, también en el capítulo 8, donde se estudia el teorema de Stokes. Sin embargo, podemos ahora considerar una situación sencilla para mostrar por qué el rotacional está asociado con rotaciones. EJEMPLO 2 Considerar un cuerpo rígido B que gira alrededor de un eje L . El movimiento rotacional del cuerpo se puede describir mediante un vector w a lo largo delejede rotación, la direcciónse escoge de manera que el cuerpo gire alrededor de w como en la figura 3.4.1, con la longitud w = llwll tomada como la rapidez angular del cuerpo B , esto es, la rapidez tangencia1 de cualquier punto

Figura 3.4.1 La velocidad v y la velocidad angular w de un cuerpo en rotación están relacionadas por v = w x r.

3.4

DIVERQENUA Y ROTAUONAL VECTORIAL CAMPO DE UN

223

en B dividida entre su distancia al eje L de rotación. Seleccionar un sistema coordenado de modo que L sea el eje z. Sea Q cualquier punto en B y sea (Y l a distancia de Q a L . Claramente,

donde r es el vector cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto terminal es Q. La velocidad tangencia1 v de Q se dirige en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, a lo largo de la tangente a un círculo paralelo al plano zy con radio a , con magnitud

Hemos.visto (pág. 36) que la dirección y magnitud de v implican que v=wxr.

podemos escribir w = wk, r = zi -I-! i i zk, de

Debido a la selección de ejes, modo que

v=wxr=-wyi+wzj

y más aún rotv =

I

a as

I -wy

a ay wz

2 a2

o

I I

=2wk=2w.

Por lo tanto, para la rotación de un cuerpo rígido, el rotacional del campo vectorial de velocidad es un campo vectorial dirigido paralelo al eje de rotación con A magnitudigualaldobledelarapidezangular. Si un campo vectorial F representa el flujodeunfluido (ver el ejemplo 1, sección 3.3), entonces rot F = O en P significa físicamente que el fluido no tiene rotaciones o es irrotacional en P; esto es, no tiene remolinos. La justificación de esta idea y, por lo tanto, del uso de la palabra “irrotacional” depende del teorema de Stokes (o del ejercicio 13). Sin embargo, podemos decir informalmente que rot F = O significa que si colocamos en el fluido una pequeña rueda con Por ejemplo, aspas se moverá con el fluido, pero no girará alrededor de su eje. se ha determinado por medio de experimentos que el fluido drenado de una tina es, generalmente, irrotacional excepto justoen el centro, aunque el fluido “rote” alrededor del hoyo en la tina (ver la figura 3.4.2).Así, el lector deberá tener cuidado con la confusión que pueda generar la palabra “irrotacional”. Consideremos algunos ejemplos de campos rotacionales e irrotacionales.

224

FUNCIONES CON VALDRES VECTORIALES

Figura3.4.2 El campo de velocidad V(x, y, z ) = (yi - x j ) / ( x z + y 2 ) es irrotacional; una pequeña rueda con aspas moviéndose en el fluido no girará alrededor de su eje w.

Verificar que el campo vectorial del ejemplo 5, sección 3.3, es irrotacional en cada punto (x,y) # (0,O).

EJEMPLO 3

SOLUCIÓN

El rotacional es

v x v =

i d ax

= O.

EJEMPLO 4

k

j

a -

a ay

Y

az

-X

O I

A

Sea V ( z , y, 2 ) = yi - x j . Mostrar que V no es un campo gradiente.

SOLUCI~N Si

V fuera un campo gradiente, entonces por el teorema 1 tendría-

mos la ecuación rot V = O . Pero

I i rotV =

j

k l

-Y : $1=--2k+O.

A

3.4

DlVEROENCiA Y ROTAUONAL VECTORIAL CAMPO DE UN

225

Las líneas de flujo para el campo vectorial en el ejemplo 4 , así como para el del ejemplo 3, son círculos alrededor del origen en el plano xy, pero este campo de velocidad tiene rotación. En dicho flujo, una pequeña rueda con aspas gira una vez, conforme circula alrededor del origen (figura 3.4.3).

Figura 3.4.3 El campo de velocidad V(z, y, z) = yi - zj es rotacional; una pequeña rueda con aspas moviéndose en el fluido girará alrededor de su eje w (ver la figura 3.4.2).

Otra operación básica es la divergencia, definida como sigue:

En notación de operador, divF es el producto punto de V y F . Nótese que V X F es un campo vectorial, mientras que V F : R3 -+ R , de modo que V F es un campo escalar. Leemos V F como “divergencia de F”. El significado completo de la divergencia se da en el suplemento a esta sección y también se presenta en conexión con el teorema de Gauss enel capítulo 8, pero podemos ver aquí parte de su significado físico. Si imaginamos F como el gas (o fluido), entonces divF representa la tasa de campo de velocidad de un expansión por unidad de volumen del gas (o fluido). Por ejemplo, si F ( x , y , z ) = xi+ y j zk, entonces div F = 3 ; esto significa que el gas se está expandiendoa la tasa de 3 unidades cúbicas por unidad de volumen por unidad de tiempo. Esto es razonable, pues en este caso F es un vector radial hacia afuera, y conforme el (Ver la gas se mueve hacia afuera a lo largo de las líneas de flujo, se expande. sección 3.3 para un estudio de las líneas de flujo.) Si d i v F < O significa que el gas se comprime. A continuación se presenta una relación básica entre las operaciones de divergencia y rotacional.

+

TEOREMA 2

Para cualquier campo vectorial F de clase C2, div rot F = V

- (V x F) = O;

esto es, l a divergencia de cualquier rotacional es cero.

226

FUNCIONESCON VALORES VECTORIALES

Como con el teorema 1, la demostración se basa en la igualdad de las derivadas parciales mixtas. El estudiante deberá escribir los detalles. Hemos visto que V x F está relacionado con las rotaciones y V F está relacionado con compresiones y expansiones. Esto conduce a la siguiente terminología. Si V F = O , decimos que F es incompresible, y decimos que F es irrotacional si

-

VxF=O.

EJEMPLO 5

Calcularladivergenciade F = x2yi

+ zj + zyzk.

SOLUCIÓN

a + -(zyz) a 2

= 2xy

+ O + x y = 3zy.

A

EJEMPLO 6 Del teorema 2 concluimosque F en el ejemplo 5 nopuede ser el A rotacionalde otro campovectorial, pues tendríadivergenciacero.

El operador de Laplace V 2 , que opera sobre funciones f , está definido como sigue:

+

+

Si F = Fli F2j F3k es un campo vectorial C 2 ,también podemos definir V 2 F en términos de componentes: V2F = V2Fli + V2F2j+ V2F3k.

Como se señaló en la sección 2.6, este operador juega un papel importante en muchas leyes físicas. Continuaremos este estudio en el capítulo 8. Suplemento de la sección 3.4 Geometría de la divergencia Estudiaremosahoraconmásdetalle el significado deladivergencia.Esteanálisis flujo d(x, 1) de un campovectorial F dado al final de la dependedelconceptode sección 3.3. Ver los ejercicios del 11 al 13 para el correspondiente estudio de rotacional. Fijar un punto x y considerar los tres vectores de la base usual i, j y k saliendo de x. Sea E > O unnúmeropequeño y considerar los vectoresdelabase VI = Ei, v2 = Ej y v3 = Ek, que salen también de x. Estos vectores generan u n paralelepípedo P ( 0 ) . Conforme el tiempo crece o decrece, el flujo #(x,t)transforma P ( 0 ) en algún fijo, 4 esunafuncióndiferenciablede x (estoes, # esuna objeto. Para un tiempo función diferenciable de R3 a R3). Cuando E es pequeño, la imagen de P ( 0 ) bajo # se puede aproximar por medio de su imagen bajo la derivada de # con respecto a X.

3.4

DIVERGENCIA Y ROTACIONAL UN DE

CAMPO VECTORIAL

227

(Ver el análisis de la aproximación lineal a una función en la sección 2 . 3 . En particular, recordar que si v es un vector corto anclado en un punto P I , con extremo en P2, de modo que v = P2 - P I , entonces d(P2, t ) - PI, t ) X Dxd(x,t ) - v ; ver el ejercicio 15.) Así, para un tiempo fijo y e pequeño y positivo, P ( 0 ) se transforma aproximadamente en un paralelepípedo generado por los vectores vl(t), v2(t) y vg(t) dados por

Como $(x,O) = x para todo x, se sigue que V I ( O ) = V I , v2(0) = v2 y V 3 ( 0 ) = v3. (Esta fórmula para vectores transformados se estudió en la pág. 138.) Los vectores V I @ ) , v2(t) y v3(t) generan un paralelepípedo P ( t ) que se mueve en el tiempo (ver la figura 3.4.4).

Figura3.4.4 La base en movimiento vl(t), vz(t)y v3(t) y el paralelepípedo asociado.

Denotemos por V(t) el volumen de P ( t ) . El principal significado geométrico de la divergencia está dado por el teorema siguiente.

TEOREMA 3

1 d div F(x) = -U(0)dt

t=o

DEMOSTRACIóN Por la ecuación (3) de la sección anterior,

d

-

-v,(t) = DXF(d(x,1)) * D = ~ ( xt ), vt dt para i = 1, 2, 3


228

Como 4(x, O ) = X , D,d(x, O ) es la matriz identidad, l a evaluación en t = O d a

El volumen V ( t )está dado por el t>riple producto (ver pág. 39):

Usando 10s ejercicios 1 2 y 13dela sección 3.1, y las identidades v1[v2 vz [v3 X V I ] = v3 [VI X V Z ] , obt,enemos

-

+

x v3] =

-

+

Pero V ( 0 ) = E ~ F , = F1i Fzj Fak, [D,F(x)i] i = d F I / d x y, análogamente, el segundo y tercer términos de la ecuación (5) son ~ ' ( d F 2 / d y )y ~ ~ ( d F 3 / d zAI ) . sustituir esto en l a ecuación (6) y dividirentre E~ seprueba el teorema.

El lector más familiarizado con Algebra lineal puede probar esta generalización del teorema 3:* Sean V I ,v2 y v3 cualesquiera tres vectores no coplanares que salgan de x y que fluyan de acuerdo COR l a fórmula

-

v,(t) = D X d ( x , t ) v,,

i = 1,2,3.

Los vectores v l ( t ) ,vz(t) y v3(t) generan un paralelepípedo P ( t ) con volumen V ( t ) . Entonces

1 2 V(0) dt

= div F(x)

En otras palabras, la divergencia de F en x es la tasa a la cual cambiael volumen, por unidad de volumen. ''Tasa'' se refiere a l a tasa de cambio respecto al tiempo conforme los volúmenes son transportados por el flujo. *El lector necesitará saber cómo escribir la matriz de una transformación lineal respecto a una base dada y conocer el hecho de que la traza de una matriz es independiente de la base.

3.4

DIVERGENCIAY ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

229

EJERCICIOS 1. Calcular el rotacional, V x F, de cada uno de los siguientes campos vectoriales: (a) F(z, y, z) = zi y j zk F(z, y, z) = yzi z z j zyk

kb,l (c)

+ + + + F ( z , y , z) = ( x 2 + y 2 + z2)(3i+ 4i + 5k) yzi - z z j + zyk

( 4 F ( z , y , 2) =

+ y 2 + 22

22

2 Calcular la divergenciaV . F de cada uno de los campos vectoriales en el ejercicio 1. O (La solución sólo a la parte (b) está en la Guía de estudio de este libro.)

V x (Of) = O para cada una de las funciones siguientes.

3. Verificar que

(a) f ( z , y, z ) =

&“G

f(z,Y,Z)=zY+yz+zZ

(c)

f(2,

Y7

2)

= 1/(z2

+ Y2 +

2’)

4. Verificar que el campovectorialen el ejemplo 5, sección 3.3, es incompresible. ¿Pueden interpretar físicamente este resultado?

5. Verificar que 6. Sea

kb,l

F = y i + zj es incompresible.

+

F(z, y, z ) = 3z2yi (x3 Verificar que rot F = O .

+ y3)j.

Hallarunafunción f talque F = Of.(Enelcapítulo 8 sedantécnicas específicas para construir f en general. La de este problema deberá ser directa.) (c) ¿Es cierto que para un campo vectorial F puede existir dicha función f sólo si rot F = O?

+ y 2 z 2 . Verificar directamente que V

7. Sea f(z,y, z ) = z2y2

x

Vf =O.

*8. Mostrar que las partes real e imaginaria de cada una de las siguientes funciones complejas forman las componentes de un campo vectorial en el plano, irrotacional e incompresible; aquí i = G. (a) (z - iy)’ (b) (z = e5(cos y - i sen y)

9. Mostrar que

F = y(cos z)i + z(sen y)j no es un campo vectorial gradiente.

+ +

10. Sea r(z, yi z) = zi y j zk. Del ejercicio l(a), sabemos que V X r = O . ¿Pueden comprender el significado físico, visualizando r comoelcampodevelocidaddeun fluido?

*m

Sean v y w dos vectores que salen del origen y son movidos por flujo, como sucede en el suplemento a la sección 3.4:

v(t) = Dx4(07 t)v7w(t) = Dx+(O, t ) W , de modo que en el tiempo t = O y en el origen O en R3 = D,F(O).v

y

dt

t=o

= D,F(O) - w .

la derivada del

230


Mostrar que

d

-v dt

= [D,F(O) v] w

w/ t=o

+v

[D,F(O) w]

+

= {(DxF(0) [DXF(O)IT)v} -W

En particular, para A = D,F(O),

+ [DXF(O)IT} I

S = ${D,F(O) Y

W = ;{D,F(O) - [D,F(0)IT].

Llamamos a S matrizdedeformación y a W matriz de rotación.Mostrarquelos registros de W están determinados por

*13. Sea w = +(O X F)(O).Suponer que se escogen los ejes de modo que w sea paralelo al eje z y apunte en la dirección de k . Sea v = w x r, donde r = zi y j zk, de modo

+ +

que v es el campodevelocidaddeunarotaciónalrededordeleje w convelocidad angular w = llwll y con r o t v = 2w. Como r es u n a función de (z,y,z), v también es una función de (z, y, z). Mostrar que la derivada de v en el origen está dada por

Dv(O)=W=

[I i] "w

Interpretar el resultado como se hizo en el suplemento a la sección 3.4.

(a) Calcular la divergencia y el rotacional de V, W y Y . (b) Hallar las líneas de flujo de V, W y Y . (c) ¿Cómo se comportará una pequeña rueda con aspas en el flujo de V, W y Y ?

3.5

CÁLCULO DIFERENCIALVECTORIAL

231

*15. Sea 4(x, t ) el flujo de un campo vectorialF. Sean x y t fijos. Para pequeños vectores v1 = ci, v2 = r j y vg = rk que salen de x, sea P ( 0 ) el paralelepípedo generado por V I , v2 y v g . Demostrar que para t pequeño, positivo, P ( 0 ) se transforma mediante el flujo.

en aproximadamente un paralelepípedo generado fórmula ( 4 ) .

3.5

CALCULO

por vl(t), v ~ ( ty) v ~ ( t )dado , por la

DIFERENCIAL VECTORIAL

Ahora tenemos a mano estas operaciones básicas: gradien’te, divergencia, rotase desarrollan un poco más sus cional y operador de Laplace. En esta sección propiedades y las relaciones entre ellas. En la tabla 3.1 se resumen algunas fórmulas generales básicas, útiles cuando se trabaja con campos vectoriales en R3. Algunas, como las identidades 10 y 14, se estudiaron en la sección 3.4. Otras se prueban en los ejemplos y ejercicios. Algunas expresiones en la tabla requieren explicación. Primero, en la identidad 7, V = (F*V)G Tabla 3.1

1. 2. 3.

4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Algunas identidades comunes en el análisis vectorial

V(f+g)=Vf+Vg V ( c f ) = c V f , para c constante V ( f S ) = f o g + SVf V ( f / g ) = (gVf - f V g ) / g 2 ,en los puntos donde g(x) # O d i v ( F + G ) = div F + div G rot(F + G ) = rot F + rot G V(F.G) = (F.V)G + (G.V)F + F x rot G + G X rot F d i v ( f F ) = f div F + F - V f d i v ( F x G ) = G. rot F - F - r o t G div rot F = O rot(fF) = f r o t F + V f x F

11. 12. r o t ( F x G ) = F d i v G - G d i v F + ( G . V ) F - ( F . V ) G 13. rot rot F = grad divF - V’F 14. rot O f = O 15. V ( F F ) = 2(F V)F + 2F x (rot F) 16. V 2 ( f g ) = f V 2 g gV2f 2(Vf.Vg) 17. d i v ( V f x Vg) = O 18. v * ( f o g - gVf) = f V 2 g - gV2 f 19. H ( F X G ) = G ( H X F) = F * ( GX H ) 20. H . ( ( F x V ) x G ) = ( ( H . V ) G ) * F - ( H * F ) ( V * G ) 21. F x ( G x H ) = ( F . H ) G - H ( F - G )

+

+

-

NOTA: f y g denotan campos escalares; F, G y H denotan campos vectoriales.

232


-

tiene, por definición,componentes V, = F ( V G i ) , para i = 1, 2, 3, donde G = ( G I ,G2, G3). Segundo, en la identidad 13, V 2 F tiene componentes V 2 F i , donde F = (FllF2,F3). En la identidad 20, la expresión (F x 0)x G significa que V va a operar sólo sobre G como sigue: para calcular (F x V ) X G , definimos formalmente U = F x V por:

U=FxV=

i FI

a

j

k

F2

F3

a

”

ax

ay

a

-

az

y así,

Por ejemplo, la primera componente de (F X

EJEMPLO 1 SOLUCIÓN

V) x G es

Probar la identidad 8 de la tabla 3.1

f F tiene componentes f F i , para i = 1, 2, 3, y entonces

Sin embargo, ( a / a z ) ( f F I )= f d F l / a z + F 1 d f / d z , con expresiones similares para los otros términos. Por lo tanto

3.5

CALCULO

T

SOLUCIÓN

Ahora

233

el c a r ~ ~ pvectorial o r ( x >y, 2 ) = ( x )y , z ) (el vector de posición), = Ilril. Calcular V Ty V ( r r ) .

EJEMPLO 2

y sea

DIFERENCIAL VECTORIAL

Sea r

Tenemos

T ( Z )y, 2 )

=

d m - ,y así, para

T

# O obtenemos

Así,

Para

la

segunda parte, usar la. identidad 8 para escribir

EJEMPLO 3 Mostrar que V f x V g siempre es incompresible. De hecho, deducir la identidad 17 de la tabla 3.1, a partir de la identidad 9.

SOLUCIÓN

Por laZentidad 9,

lo cual es cero, pues

V

X

Vf =O

y

v X vg = O .

A

En los ejercicios 2 al 6 al final de esta sección, el lector practicará con este del tipo de manipulaciones. Más adelante en el libro usaremos las identidades ejercicio 8. Ahora estudiaremos las expresiones para el gradiente, divergencia y rotacional en coordenadas cilíndricas y esféricas, primero enunciando los resultados y después verificando algunos de éstos en los ejemplos; el resto se dejará como ejercicios y para un estudio posterior en el libro (ver el suplemento a la sección 8.4).

234


TEOREMA 4

(i)

Las siguientesfórmulassecumplenencoordenadascilindricas:

+

8.f 1a.f O f = “e,. --es dr r dB

8.f + “e, dz

dF0 d ++ -(rF2) dB dr

donde e,, es y e , , son los vectores ortonormales unitarios mostrados en la figura3.5.1yF=F,e,+Eges+F2e,conF,=F.e,,Fs=F.egyF,=F.e;

Figura 3.5.1 Vectores ortonormales e,., eo y e, asociados con las coordenadas cilíndricas.

TEOREMA 5

(ii)

Encoordenadasesféricas(verlasección

l a

V F = --(p2Ff) P2 d P

l a + -psen

4 84

( s e n 4 F+)

1.41,

1 dF0 +p s e n 4 dB ~

3.5

235

CÁLCULO DIFERENCIALVECTORIAL

donde e p ,e4 y eg son como se muestraen la figura 3.5.23.F = Fpe,,+F+e++Fgee.

X

Figura 3.5.2 Vectores ortonormales e+,,e+ y eo asociados con las coordenadas esféricas.

Probar la fórmula (i) del teorema 4.

EJEMPLO 4

Tenemos

SOLUCIÓN

o f = - i af + - j + -af k. ax ay

af

a2

De l a figura 3.5.1, tenemos e, =

eo

=

xi ~~

+ yj +

Y2

-yi

Y

e, = k.

+xj

= cos Bi

+ sen B j

= - senBi

+ cosBj

(eo y e,. sonortogonalesen

el plano)

236


(Notar las diferencias entre lo anterior y el ejercicio 6, sección 1.4.) Resolviendo para i, j y k, obtenemos

i = e , cos O - eo sen O j = e, sen0 + e o cos0

(2)

k = e,.

c =

Por la regla de la cadena, y recordando que obtenemos ~ df" "$ " + "ax df ' ar

esto es,

df a y ay

T

cos 8, y = r sen B y z = z,

df az dz a r '

a f = coso-a f +seno-. af ar ax ay

De manera análoga,

af a0

- -- -rsen8-

af

df

a x + r c o s ~33-1

y

af

af

-- dz

a2

Resolviendo, obtenemos

Sustituyendo lasecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) y simplificando se obtiene A el resultado deseado. Este método de cambio de variables también se puede usar para la divergencia y el rotacional, aunque es más tedioso para éstos que para el gradiente. Las demostraciones de las fórmulas en el teorema 5 son más largas si se les y la regla de la ataca directamente con el argumento delcambiodevariable cadena usado en el ejemplo 4. Un procedimiento más eficiente para la fórmula (i) es el siguiente método informal. Para justificar

af

V f= -e,+ ap

1

af

--e++ p dd

af

1 -" e o , psend d o

notamos que si p , 4 , 0 cambian de manera infinitesimal, los correspondientes cambios de longitud en las direcciones ep, e4 y eo de sus ejes coordenados son dp,

Pd4

Y

Psenddo

3.5

237

C Á L C U ~DIFERENCIAL VECTORIAL

X

Figura 3.5.3 Cambios infinitesimales de longitud producidos por d p , dB y d4.

(figura 3.5.3). Así, I& componentes del gradiente de f (las tasas de cambio de f por unidad de distancia) están dadas por V f e,, = d f / a p , V f e4 = af / ( p a + ) y V f es = d f/(psen (b d e ) , lo cual da la fórmula (i). La mejor demostración formal de las fórmulas (ii) y (iii) hace uso de los teoremas de Stokes y de Gauss, los cuales se tratan en el capítulo 8. El lector que intente el argumento directo de la regla de la cadena apreciará la espera y probablemente estará de acuerdo en que ese argumento (en el suplemento de la sección 8.4) ;es más explícito y ciertamente más fácil!

EJERCICIOS l . Suponer que V F = O y que riamente divergencia cero? (a) F + G (b) F x G

V * G = O. ¿Cuáles de a ls siguientes tienen necesa(c)

(F.G)F

2. Probar las identidades 1 a 6 de la tabla 3.1.

Probar las identidaddes 7, 9 y 11 de la tabla 3.1. (La demostración sÓ10 de la identidad 9 está en la Guía de estudio de este libro.) 4. Probar las identidades 12, 13, 15 y 16 de la tabla 3.1.

238


5. Sea F = 2xz’i cantidades:

+j + y3zzk, G = z 2 i + y’j + z’k

( 4 Vf (e) 6.

(F.V)G

F x Of

y f = z’y. Calcular las siguientes

VxF ( 4 F . (Vf) (b)

Probar las identidades 18 a la 21 de la tabla 3.1.

7. Sea F un campo vectorial general. ¿Tiene V

d

x F que ser perpendicular

a

F?

w

Sea r(z, y, z ) = (2, y, z) y T = = Ilrll. Probar las identidades siguientes. ( a ) V ( 1 / r ) = - r / ~ T~ # , O; y, en general, v ( T ~ )= nrn-’r y V(1og r ) = r/T’. ( b ) V 2 ( 1 / r ) = O , T # O; y, en general, V 2 r n= n ( n I)rn-’.

-

(c) V (r/r3)= O; y, en general, V ( P r ) = ( n (d) V x r = O ; y, en general, V x ( r n r ) = O .

+ +3)~”.

9. Probar la fórmula (ii) del teorema 4 comenzando con

- (F,.e, + Fees + F,e,)

(

V - F = i-

d

az

+j-ady + k-

a2

y sustituyendo las fórmulas desarrolladas en el ejemplo 4.

$10. Probar la fórmula (iii) del teorema 5 .

*m

Mostrar que en coordenadas polares

toma la forma

en R’, la ecuación de Laplace

d’u 1 a’ 1 au +-+ -T -d~ = o . i3~2 ~2 a82

$12. Mostrarqueencoordenadasesféricas

toma la forma

(.,e)

(p,8,4) la ecuación de Laplace

V’V = O

donde p = cos 4. (Ésta fue la forma original de la ecuación de Laplace.) Compararla con la expresión del ejercicio 11 cuando V es constante en 4 y p = O.

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO3 1. Calcular la divergencia de los siguientes campos vectoriales, en los puntos indica-

dos.

(a) F(z, y, z ) = z i F(z, y, z ) = yi ( c ) F(z, y, z) = (z

+ 3zyj + zk, (O, 1, O ) + zj + zk, ( 1 , 1 , 1 ) + ~ ) + ~(seni z y ) j + (cos zyz)k,

(2, O , 1)

DEL


3

239

Calcular el rotacionaldecadacampovectorial en elejercicioderepaso 1 en el punto dado. (La solución sólo a la parte (b) está en la Guía de estudio de este libro.) (a) Sea f(z,y, z ) = zyz’; calcular Of. (b) Sea F(z, y, z ) = zyi y z j zyk; calcular V X F. (c) Calcular V x (fF) usando la identidad 11 de la tabla 3.1. Comparar mediante cálculo directo. 3.

+

4. Calcular

+

V F y V x F para los siguientes campos vectoriales:

(a) F = 2xi

+

+

3yj 4zk F=x2i+y2j+z2k (c) F = (x y)i (y z ) j

kb,l

+ + + + ( z + z)k

5. En el punto indicado de cada una de las siguientes trayectorias, calcular velocidad, el vector aceleración, la rapidez y la ecuación de la recta tangente. (a) u ( t )= ( t 3 1 , e - ~ , c o s ( r t / 2 ) ) ; t= 1 u(t)= ( t z - 1,c o s ( t 2 ) ,t 4 ) ;t = f i (c) ~ ( t=) ( e t , sen t , cost); t = O

el vector

+

t2 i+tj+k;t=2 (d) ~ ( t =) 1 t2

+

6. Sean u:R + R3 una trayectoria y h: R + R una función diferenciable estrictamente creciente. L a composición U o h: R -+ R3 se llama reparametrización de U por h ; decirporqué u o h tienelamismatrayectoriaque U , y probar que si Q = O h, entonces a ’ ( t )= h ’ ( t ) u ’ ( h ( t ) )(Ver . el ejercicio 5(c) de la sección 3 . 2 . )

7. ¿A qué altitud debe estar un satélite para que parezca quieto en el cielo cuando se le ve desde la Tierra? (Ver el ejercicio 9, sección 3.1. para las unidades.) 8. (a) Sea a cualquier trayectoria diferenciable cuya rapidez nunca es cero. Sea s(t) la función de longitud de arco para a, s ( t ) = l/u’(T)ll d ~Sea . t ( s ) la función inversa de s. Probar que la curva p = a o t tiene rapidez unitaria; i.e., lip’(s)ll = 1. (b) Sea u la trayectoria u ( t ) = ( u cos 1, a s e n t , b l ) . Hallar una trayectoria Q que tenga la misma trayectoria que U pero que tenga rapidez unitaria, I l a ’ ( t ) l l = 1; i.e., hallar una reparametrización de U con rapidez unitaria. (Ver los ejercicios 5 y 7 en la sección 3 . 2 . )

Sea una partícula de masa m que se mueve sobre la trayectoria cost). Calcular la fuerza que actúa sobre la partícula ent = O.

~ ( t=) ( t 2 ,s e n t ,

10. (a) Sea c ( t ) una trayectoria con Ilc(t)ll = constante; ¡.e., la curva está sobre una esfera. Probar que c ’ ( t ) es ortogonal a c ( t ) . (b) Sea c una trayectoria cuya rapidez nunca es cero. Mostfar que c tiene rapidez constante si y sólo si el vector aceleración c” siempre es perpendicular al vector velocidad c’.

Sea una partícula que viaja sobre la trayectoria c ( t ) = (I, t ~t cos , t ) y, en t = r , sale de la curva por una tangente. ¿Dónde está la partícula en el tiempo t = 2 r ?

240


12. Verificar las identidades en el ejercicio 8, sección 3.5, usando las expresiones para div, grad y rot en coordenadas esféricas.

+

+

+

F = 2zye'i e Z z 2 j (z2ye" z2)k. Calcular V F y V x F. (b) Hallar una función f(z,y , z) tal que F = V f . Analizar brevemente.

13. (a) Sea

14. Una partícula que se mueve sobre l a curva u ( t ) = 3tzi - ( s e n t ) j - e'k se suelta en el tiempo t = y sale por l a tangente. ¿Cuáles son sus coordenadas en el tiempo t = l?

5

Sea F(z, y, z ) = (z2, O,z(1 una línea de flujo de F.

2:

+ z)).

Mostrar que a ( t ) = (1/(1 - t ) ,O, e * / ( l

-

t ) ) es

Expresar como integral l a longitud de arco de la curva z2 = y3 = z5 entre z = 1 y = 4 con una parametrización adecuada.

17. Hallar la longitud de arco de u(2) = ti

+ (1nt)j -t2&k

para 1 5 t

5 2.

4

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MÁXIMOS Y MÍNIMOS

. . . a saber, pues la forma de todo eluniverso es de lo más perfecto, y, de hecho diseñado por el creador más sabio, nada ocurrirá en el mundo sinquedestaque,dealgunamanera, la presencia de una regla máxima o mínima. LEONHARD EULER

En cálculo de una variable, para saber si una función f ( x ) tiene algún máximo o mínimo local, se buscan los puntos críticos 20, esto es, puntos x0 tales que f’(z0) = O , y en cada uno de dichos puntos se observa el signo de la segunda derivada f”(x0). Si f”(z0) < O , entonces en f(z0) hay un máximo local de f ; si f”(x0) > O, entonces f(x0) es un mínimo local de f ; si f ” ( x 0 ) = O , el criterio falla. En este capítulo se extienden estos métodos a funciones con valores reales, de variasvariables.Comenzamosenla sección 4.1 con unestudio del teorema de Taylor, que se usará en la sección 4.2 para deducir criterios para detectar máximos, mínimos y puntos silla. Tal como sucede con funciones d e una variable, dichos métodos ayudan a visualizar la forma de una gráfica. En la sección 4.3 se estudiará el problema de maximizar una función con valores reales sujeta a condiciones adicionales, también conocidas como restricciones. Por ejemplo, podríamos querer maximizar f(x,y, z ) para (x,y, z) restringidos a pertenecer a la esfera unitaria, x 2 y2 + z 2 = 1. En la sección 4.4 se presenta un teorema técnico (el teorema de la función iolplícita) útil para estudiar restricciones. También será útil más adelante, cuando estudiemos superficies.

+

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR: MÁXIMOS Y MíNIMOS

242

En la sección 4.5 se describen algunas aplicaciones del material anterior, relacionadas con geometría, economía y puntos de equilibrio de sistemas físicos y su estabilidad. 4.1

TEOREMA DE TAYLOR

Usaremos el teorema de Taylor en varias variables, para deducir un criterio que y finalmenteobtendrepermitadetectardiferentestipos depuntosextremos, mos un criterio parecido al de la segunda derivada que se estudió en cálculo de una variable. Existen algunas otras aplicaciones importantes de este teorema. Básicamente, el teorema de Taylor nos da aproximaciones “de orden superior” a una función, usando algo más que simplemente la primera derivadade la función. Para funciones suaves de una variable f : R ”-f R , el teorema de Taylor asegura we

+-

f ‘ k ) ( a ) (z

k!

-ay

+ &(x,

u),

donde es el residuo. Para Esto significa que

2

cerca de Rk(z’a)

a,

-+

este error & ( x , O

cuando

a) z

es pequeño “de orden

-

a.

(x - a ) k R k ( z , a ) es pequeño comparado con la cantidad (de

IC”. (2)

En otras palabras, por sí pequeña) (x,- u ) ~ . El objetivo de esta sección es probar un teorema análogo válido para funciones de varias variables. De ahí se seguir6 el teorema para funciones de una variable, comocorolario. Ya conocemos una versióndeprimer orden,estoes,cuando k = 1. En efecto, si f : R” + R es diferenciable en x0 y definimos de modo que

RI(x, XO) = f(x) - f(xo) - [Df(xo)](x- XO),

+

f(x) = f(xo) [ D ~ ( x o ) ]( xXO) entonces, por la definición de diferenciabilidad,

+ RI (X,XO),

esto es, Rl(x,XO) tiende a cero más rápido que la cantidad de primer orden, en XO.Resumamos estos resultados. Escribamos h = x-x0 y Rl(x, xo) = Rl(h, xo) (iabuso de notación permitido!), y se obtiene:

4.1

TEOREMA DE TAYLOR

TEOREMA 1

renciable en

243

(Fórmula de Taylorde primer orden). Sea E U . Entonces podemos escribir

f: U C R"

-+

R dife-

x0

donde Rl(h,xo)/llhll + O cuando h

4

O en R"

La fórmula de Taylor de segundo orden es como sigue:

Sea f:U c Rn -+ R con derivadasparcialescontinuashastade tercer orden.* Entonces podemos escribir

TEOREMA 2

donde Ra(h,xo)/l(h/12 O cuando €1 O y la segunda suma es sobre todas las i y j entre 1 y n (de manera que hay n2 términos). 3

-+

En el transcurso de la demostración obtendremos una fórmula explícita útil para el residuo R2 (ver la ecuación (5'), a continuación). Esta fórmula es una generalización de la fórmula (1'). DEMOSTRACIóN DELTEOREMA 2

Por la regla de la cadena,

ahora, integrar ambos lados de t = O a t = 1 para obtener

Integrar por partes la expresión del lado derecho usando la fórmula general

*En realidad, para el enunciado del teorema según se prescnta aqui, basta que f sea de clase C z , pero para tener una forma adecuada del residuo suponemos que f es de clase C 3 .Si se supone válida la versión de una variable, al aplicarla a g ( t ) = f(x0 t h ) se obtiene la versión que se da aqui para varias variables.

+

244

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MÁXIMOS Y MíNIMOS

pues

por la regla de la cadena, y

Así, hemos probado la identidad

donde (La fórmula (3) es una fórmula explícita para el residuo en el teorema 1.) Si integramos por partes la e x p r e s i h (3) para Rl(h,xo), con u=-

ax,ax,

(xo +th)h,h,

y

?)

=

( t - 1)2

-___

2

'

obtenernos

Así, hemos probado que

I

E1 int,egrando es una función continua de t y por lo tanto está acotada en una pequeña vecindad de x0 (pues tiene que estar cerca de s u valor en xg). Así, para una constante M 2 O obtenernos, para l l h l l pequeña, IR2(11,xo)l 5 \\lll13J~f

4.1

TEOREMA DE TAYLOR

245

En particular,

el teorema. Un argumentosimilaraplicadoa R1, muestra que -+ O , aunque esto se sigue tambiCn, de l a definicióndediferenciabilidad, como se notó en lapág. 242.

comorequiere

~ R l ( h , x o ) ~-+/ ~O/ h cuando ~~ h

FORMA EXPLíCITA DEL RESIDUO

(i)

I,

Enelteorema

donde c está en algún lugar de la recta que une

x0

+h

el teorema 2,

(ii)En

donde

con

x0

c'

está en algún lugar de la recta que une a x0 con

x0

+h.

Las representaciones de R1 y R2 como integrales se obtuvieron durante la demostración del teorema 2 (ver las fórmulas (3) y (4)). Las fórmulas que incluyen c y c' (se llaman forma de Lagrange para el residuo) se obtienen del segundo teorema del valor medio para integrales. Éste dice que Jab

h ( t ) g ( t )d t = h ( c ) Jab d l ) d t ,

siempre que h y g sean continuas y g >_ O en [ a )b]; donde c es algún número entre a y b.' Esto se aplica en la fórmula (5) para la forma explícita del residuo con h ( t ) = (a"/axiazj)(x, tll) y g ( t ) = 1 - t .

+

~~~

~~~~~

*Demostración Si g = O, el resultado es trivial, de modo que podemos suponer que g # O y que L b g ( t ) d t > O. Sean M y m los valores máximo y mínimo de h , alcanzados en t~ y t,, respectivamente. Como g ( t ) 2 O, m

Así,

[

d t )di

I

.I"

h(t)g(t)

(1," h ( t ) g ( t )&)/(lab d t ) está entre m = h(t,) g(t)

I A!! yM

lb

d t )dt

= h ( t M ) y entonces, por el teorema

del valor intermedio, es igual a h ( c ) para algún c intermedio.

246

DERIVADASDEORDEN SUPERIOR; MÁXIMOS Y MíNIMOS

No es difícil imaginar l a forma general del teorema de Taylor. Por ejemplo, la fórmula de Taylor de tercer orden es

donde R3(h,xo)/l/hl13 + O cuando h -+ O , y asísucesivamente. L a fórmula general se puede probar por inducción, usando el método de demostración dado anteriormente.

EJEMPLO 1

sen(x

Calcularlafórmula

deTaylorde

segundoordenpara

+ ay), alrededor del punto x0 = (O, O).

SOLUCI~N

f(x,y) =

Nótese que

f(O,O) g(O,0)=cOs(O+2.O)=1.

= O,

~a y( O , O ) = 2 c o s ( O + 2 . O ) = 2 ,

Así, donde

R2(h'o)- + O

cuando

llh1I2

EJEMPLO 2 Calcular la fórmula deTaylorde e" cos y, alrededor del punto x0 = O, yo = O.

h

-+

O.

A

segundoordenpara

S O L U C I ~ N Aquí

f(O,O) %(O, O)

= 1, = 1,

a f ( O , O ) = 1, dX

a2f

-(O, ay2

O) = -1,

-( O , O) = o , ay

a 2 f (0,O) -

axay

= o,

f (x,y) =

4.1

TEOREMA DE TAYLOR

247

donde Rz(h’o) - + O llh1I2

cuando

h -+ O .

A

En el caso de funciones de una variable, se puede desarrollar f ( x ) en una serie infinita de potencias, llamada serie de Taylor:

siempre que se pueda mostrar que R b ( h , x o ) -+ O cuando k -+ m. De manera análoga, para funciones de varias variables los términos anteriores se reemplazan con lós correspondientes que incluyen derivadas parciales, como lo vimos en el función mediante su serie de teorema 2. De nuevo, se puede representar dicha Este punto Taylor, siempre que sea posible mostrar que R k ”+ O cuando k ”+ OO. se examina con mayor profundidad en el ejercicio 7. EJERCICIOS

En los ejercicios 1 al 6, determinar la fórmula de función dada alrededor del punto dado (ZO,yo).

2 f ( z , y)

=l/(2

*7. Una función

Taylor de segundo orden para la

+ Y2 + I ) , zo = o, Yo = 0

f:R -* R se llama analítica siempre que

(i.e., la serie del lado derecho converja y sea igual a f ( z

+ h)).

248

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MklMOS Y MíNIMOS

(a) Suponer que f satisface la condición siguiente: en cualquier intervalo cerrado existe una constante M tal que para toda k = 1, 2, 3 , . . . , lf(’)(x)I 5 M k para todo x E [a,b ] . Probar que f es analítica. [ a ,b]

Mostrar que f es una función Cm, pero que f no es analítica. (c) Dar una definición de función analítica deR“ a R. Generalizar la demostración de la parte (a) para esta clase de funciones. x0 = O, (d)Desarrollar f ( x , y ) = est!’ enunaseriedepotenciasalrededorde yo = o.

4.2

EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALORES REALES

NOTA HISTóRICA

A lo largo de la historia se han buscado leyes que describan los fenómenos del mundo físico. Sin embargo, ningún principio general que abarcara a todoslosfenómenosse propuso hasta 1744, cuando el científico francés Pierre Louis Moreau de Maupertuis presentó s u gran esquema del universo. El “principio metafísico” de Maupertuis es la suposición de que la naturaleza siempre opera con la mayor economía posible. Dicho brevemente, las leyes físicas son cousecuencia de un principio de “economía de medios”; la naturaleza siempre actúa tal de manera que minimiza alguna cantidad, lo que Maupertuis llamó “acción”. Estas ideas, a menudo llamadas principiosvariacionales, son la piedra angular filosófica de buena parte de lafísica matemática y particularmente de la mecánica, tema central de la física, la ingenieríay las matemáticas. El gran matemático suizo Leonhard Euler contribuyó con gran parte de la base matemática para la teoría relacionada de su teoría se presenta en esta máximos y mínimosdecantidadesescalares.Partede sección.

E n t r e las características geométricas básicas de la gráfica de una función están sus puntos extremos, en los cuales la función alcanza sus valores mayor y menor. En esta sección deduciremos un método para determinar estos puntos. De hecho, el métodotambiéndescubreextremoslocales. Éstos s o np u n t o se nd o n d e la función alcanza un valor máximo o uno mínimo respecto a los puntos cercanos. Comencemos definiendo los términos usados. DEFINICI~N

Si f:U

c R”

l l a m a mínimo local de

f

4

R es una función escalar dada, un p u n t o x0 E U s e V d e x0 tal q u e para todos los

s i existe una vecindad

4.2

249

EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALORES REALES Z

i

i

i

c

gráfica de j

r

&

h x0 máximo local

x0

mínimo local X

X

(4 (b) Figura 4.2.1 Puntos mínimo local (a) y máximo local (b) para unafunción variables.

de dos

puntos x en V , f(x) 2 f(xo), (Ver la figura 4.2.1.) De manera análoga, x0 E U es un máximo local si existe una vecindad V de x0 tal que f(x) 5 f(x0) para todo x E V . El punto x0 E U es un extremo local o relativo, si es mínimo local o mixirno local. Un punto x0 es un punto critico de f si Df(x0) = O . Un punto crítico que no es un extremo local se llama punto silla.* La ubicación de los extremos est,á basada en e l hecho siguiente, que debiera conocersedesde el cálculo de una variable(caso n = 1): todo extremo es un punto crítico.

*No siempre se usa el término “ p u n t o silla” con esta generalidad; más adelante continuaremos con el estudio de los puntos silla.

t Demostración Como g(0) es un máximo local, g(t) 5 g(0) para t > O pequeño, de modo que g(t)-g(0) 5 O,ydeaquí,g’(O) =Iímite(g(t)-g(O))/t 5 0,dondelímite significalímitecuando t

-+

Oy t

1-o+

t-0+

> O. De manera análoga, para t < O pequeria tenemos g’(0) = límite (g(t)- g(O))/t 2

O, de modo que g’(0) = O.

1-0-

250

DERIVADASDEORDENSUPERIOR;

MÁXIMOS Y MíNIMOS

Así, [Df(xo)]h= O para todo h, de modo que Df(x0) = O . El caso en el que f alcanza un m'nimo localen x0 es completamenteanálogo. Si recordamos que Df(x0) = O significa que todas las componentes de Df(x0) son cero, podemos reescribirel resultado del teorema 3: si x0 es un extremo local, entonces

esto es, cada derivada parcial es cero en X O . En otras palabras, Vf(x0) = O , donde V f es el gradiente de f . Si queremos hallar los extremos o los extremos locales de una función, entonces según el teorema 3 debemos buscar entre los puntos críticos. A veces resulta lo común es usarcriterios(que posibledetectarlosmedianteinspección,pero desarrollaremos más adelante) análogos al de la segunda derivada en cálculo de una variable.

EJEMPLO 1 Hallar los m á x i m a y mínimos de l a función f :R2 + R, (x,y) H x 2 + y2. (Ignorar el hecho de que este ejemplo puede resolverse p o r inspección). SOLUCIÓN Debemos identificar los puntos criticos de f resolviendo las ecuaciones a f ( z ,y)/az = O y a f ( x , y)/ay = O, para x y y. Pero

de modo que el Único punto crítico es el origen (O, O), donde el valor de la función escero. Como f(x,y) 2 O , este punto es un mínimorelativo -de hecho, un A mínimoabsoluto o global- de f .

Considerar la función del ejemplo 4 de la sección 2.1, f : R2 + R, (x,y) H x 2 - y2. Ignorar por el momento que esta función tiene un punto silla y n o tiene extremos, y aplicar el método del teorema 3 para localizar los extremos. EJEMPLO 2

SOLUCIÓN Como enelejemplo 1, hallamosque f tieneun solo punto crítico, en el origen, donde el valor de f es cero. Examinando directamentelos valores de f para puntos cerca del origen, vemos que f(z, O) 2 f(0,O) y f(0,y) 5 f ( 0 ,O). Como se pueden tomar x o y arbitrariamente pequeños, el origen no puede ser un mínimo relativo ni un máximo relativo (de modo que es un punto silla). Por lo tanto, esta funciónnotieneextremosrelativos(ver la figura 4.2.2). A

4.2 EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALOMS REALES

251

Figura 4.2.2 Función de dos variables con punto silla.

EJEMPLO 3

Hallar todos los puntos críticos de z = x2y + y2x.

SOLUCIÓN

Diferenciando, obtenemos

at

ax "XY+Y

"

2

,

at

-22y4x

"

ay

2

.

Al igualar a cero las derivadas parciales se obtiene 2zy

+ y2 = o,

2xy

+ x2 = o.

Restando, obtenemos x2 = y2. As!, x = f y . Sustituyendo ecuación anterior, hallamos que 2y2

2

= +y en la primera

+ y2 = 3y2 = o,

de modo que y = O y así, x = O. Si x = -y, entonces -2y2

+ y2 = -y2

= o,

de modo que y = O y por lo tanto x = O. De aquí que el Único punto crítico es (O, O). P a r a x = y, z = 2x3, que es tanto positivo como negativo para x cerca de A cero. Así, (O, O) no es unextremorelativo. El resto de esta secciónsededica a deducir un criterio que dependa de la segunda derivada, para que un punto crítico sea un extremo relativo. En el caso especial n = 1, el criterio se reducirá a la conocida condición de que f"(z) > O

252

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR: MÁXIMOS Y MíNIMOS

para un mínimo y f ” ( z ) < O para u11 máximo. Per<) err cl contc~st,ogeneral, la segunda derivada es unobjet,omatcmát,ico hasthntc, m á s conlplicado. Para enunciar el crit,erio int,roducimos una versión d c la segurltla derivada. llamado el hessiano. El concepto que dr:searnos int,roducir illcluye l a i d e a de frlncicjrl cuatlritictl. Las funciones cuadrkticas son funciones y : R.“ R c411r’ t icllen l a forllla.

L

g ( h l , . . . , )L7,) =

atl~~tt~J *,]=I

para una matriz[ a i j ] .En térnlinos de ~nultiplicación de matrices poden~osescribir

Podemos, si así lo queremos, suponer que [ a i j ]es simétrica; de hecho, g no cambia si reemplazamos aij por bij = $(aaj a j i ) , pues hjhj = hjhi y l a suma es sobre toda i y j . L a naturaleza cuadrátlca de y se refleja en la iderltidad

+

que se sigue de l a definici6n. Ahora estamos preparados para definir funciones hessianas (llamadas así en honor de Ludwig Otto Hesse, quien las introdujo en 1844). DEFINICIóN Suponer que f : U c R” + R tiene derivadas parciales de segundo para i, j = 1 , ., . , n , en un punto x0 E U . El hessiano orden (d2f/axiazj)(x”), de f en x g es la función cuadrática definida por

Esta funciGr1 se usa, por lo común, en puntos críticos x0 E U . En este caso, D f ( x o ) = O , y la f6rmula deTaylor (ver el teorema 2 , sección 4.1) se puede escribir en la forma f(xo

+ h) = f(xo)+ Hf(xo)(h) + Ilz(h,xo).

Así, en un punto crítico el hessiano es igual al primer tkrmino no constante en la serie de Taylor de f . U n a función cuadrática g : R.” -+ R se llama definitivamente positiva sig ( h ) 2 O , para todo 11 E R“ y g(h) = O sólo para 11 = O . De manera análoga, y es definitivamente negativa si g(11) 5 O y g(l1) = O sólo para h = O . Nótesequesi n = 1, H f ( z o ) ( h ) = $ f ’ ’ ( z ~ ) h ’ ,la cua.1 es definitivamente positiva si j ” ( z , ) > O . Ahora ya estarnos preparados para enunciar el criterio para extremos relativos.

4.2

EXTREMOS DE FUNCIONES CON

VALORES REALES

253

s i f : U C Rn-+ R es de clase C3,x0 E U es un punto critico de f y el hessiano H f (xg)es definitivamente positivo, entoncesx0 es un mínimo relativo de f . De manera análoga, si H f (xg)es definitivamente negativo, entonces x0 es un máximo relativo.

TEOREMA 4

En realidad, probaremos que los extremos son estrictos. Se dice que un máximo relativo x0 es estricto si f(x) < f(x0) para x cercano, con x # XO. De manera análoga se define un mínimo relativo estricto. La demostración del teorema 4 requiere el teorema de Taylor y el siguiente resultado de álgebra lineal.

LEMA 1

asociada

Si B =

[bij]

es una matriz realde

H : R"

-+

R,( h l , .. . , h n )

n

51

X

n , y si

funcióncuadrática

n

bt3h;h3 1,3=1

es hefinitivamente positiva, entonces existe una constante todo h E Rn, W )

la

M > O tal que para

1 Mllhl12.

DEMOSTRACI~N Para llhll = 1, hacer g(h) = H(h). Entonces g es una función continua de h para llhll = 1 y por lo tanto alcanza un valor mínimo, digamos M.* Como H es cuadrática, tenemos

para cualquier h

# O . (El resultado

es válidode manera obvia si h = O . )

Nótese que la función cuadrática asociada con la matriz precisamente el hessiano.

$(azf / d z ; d z j ) es

*Usamos aquí sin demostración,un teoRma análogo al de cálculo en el cual se afirma que toda función continua en un intervalo [ a ,b] alcanza un máximo y un mínimo. El resultado requerido aqui se enuncia en el teorema 6, más adelante.

254

DERIVADASDE ORDEN SUPERIOR; MÁXIMOS Y MíNIMOS

Como Hf(xo) es defir~itivament,e positivo, e l lema 1 asegura la existencia una const,ant,c Al > O tal q u e para todo h E R”

de

Hf(xo)(h) 2 Ak4/j11112.

Como Ka(ll,xo)/llhlla+ O cuando 11

+

+

O , existe 6

> O tal

q u e para

O < IlhlI < 5

IRz(h,xo)l< h[l/h112.

+

Así, O < Hf(xo)(h) Rz(h,xo)= f(xo h) - f(x0) para O < llhll < 6, de manera q u c xg es u n mínimo relativo. de hecho, un mínimo relativo estricto. L a demost,raci6n et1 e l caso definitivamente negativo es análoga, o puede obtenerse al aplicar la anterior a - f , y se deja comoejercicio. m

1’resent.aremos ahora un criterio lítil para saber cuándo una función cuadrática definida por una matriz de 2 X 2 de ese tipo, es definitivamente positiva. Esto será de utilidad junt,o con el teorema 4.

LEMA 2

Scar1

E:’IItorlccsH ( h ) ~sdefinitivamentepositivasiysdlosia > O y d e t B = ac-6’

> O.


4.2

DEMOSTRACI~N

255

Tenemos

Completemos el cuadrado, escribiendo H(h) = :u ( h l

+ $hz)’+

(c-

):

hz

Supongamosque H es definitivamentepositivo.Haciendo hz = O , vemosque a > O. Haciendo hl = -(b/ajha, obtenemos c - b 2 / a > O o uc - b2 > O. Recíprocamente]si a > O y c - b 2 / a > O, H(hj es una suma decuadrados, de manera que N(h) 2 O. Si H(h) = O, entonces cada cuadrado debe ser cero. Esto implica que tanto hl como h2 deben ser cero, de modo que H ( h ) es definitivamente positiva. H

De maneraanáloga, H(h) esdefinitivamentenegativa si y sólo si a < O y b2 > O. Hay criterios similares para una matriz simétrica B de n X n. Considerar las n submatrices cuadradas a lo largo de la diagonal (ver la figura 4.2.3). B es definitivamente positiva (esto es, la función cuadrática asociada con B es definitivamente positiva) si y sólo si los determinantes de estas submatrices diagonales son todos mayores que cero. Para B definitivamente negativa, los signos deberán alternarse < O y > O. No probaremos aquí este caso general.* En caso diagonales no sean todos iguales deque los determinantes de las submatrices a cero pero que la matriz no sea definitivamente positiva o negativa, el punto crítico es tipo silla; en este caso se puede mostrar que el punto no es máximo ni mínimo. ac-

Figura 4.2.3 Se usan submatrices “diagonales” en el criterio para definitividad todas deben tener determinante > O .

positiva;

El lema 2 y el teorema 4 dan el resultado de la página siguiente.

*Esto se demuestra, por ejemplo, en K. Hoffman y R. Kunze, Linear Algebra, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1961, págs. 249-251. Los estudiantes familiarizados con álgebra lineal notarán que B es definitivamente positiva cuando todos sus valoms propias (que son reales, pues B es simétrica) son positivos.

256

DERIVADAS DE ORDENSUPERIOR:MÁXIMOS

Y MíNIMOS

( D se l l a n a el tfiscrirninante.) Si e r l ( i i ) tenernos < O en lugar de > O sin cambiar la cor~tlicidr~(iii), entonces t e r l c ~ ~ ~u no srndxirno local (estricto).

4.2

EXTREMOS DE FUNCIONES CON V A L O E S REALES

EJEMPLO 6

257

Localizar los máximos, mínimas y puntos silla de la función f ( z , y)

= l0g(z2

+ Y2 + 1).

S O L U C I ~ N Primerodebemoslocalizar los puntoscríticos de esta función; por lo tanto, de acuerdo con el teorema 3, calculamos

Así, V f ( x , y) = O si y sólo si (x,y) = (O, O ) , de modo que el Único punto crítico de f es (O, O). Ahora debemos determinar si se trata de un máximo, un mínimo o un punto silla. Las segundas derivadas parciales son

a 2 j - 2(z2 + Y2

"

(x2

ay2

+ 1) - (2Y)(2Y) + y2 + 1)2

Y

Por lo tanto

a2f

"(0,O)

aX2

a2f = 2 = -(O, a Y2

lo cual conduce a

O)

y

a2f ( O , O ) = o , axay

D=2.2=4>0.

Como (a2f/azz)(0, O) > O , concIuimos, por el teorema 5, que (O, O) es un mínimo local. (¿Pueden mostrar esto a partir sólo del hecho de que logt es una función A creciente de t > O?) La gráfica de la función g(x,y) = l / x y es una superficie Hallar los puntos en S m& cercanos al origen (O, O, O). EJEMPLO 7

SOLUCIÓN

S en R3.

La distancia de (x,y, z ) a (O, O , O) est#á dadapor l a fórmula d(x,y,z) =

l/w.

Si (z,y, z ) E S, entonces d se puede expresar como unafunción d ( z ,y , l / z y ) de dos variables:

d,(z,y) =

258


M k l M O S Y MíNIMOS

Nótese que el mínimo (si es que mistc) 110 puede est,ar "muy cerca" del eje z o del eje y, pues d , se h a c c muy grarltlf, cuando .r o y t,ienden a cero. Además, d , se hace grande para x y y grandes. ,Isí< p l a u s i b l e (y l o aceptaremos) que d , tenga realmente un rnínirrlo para algunos valorw firlit.os de S y y diferentes de cero. Nuestra tarea será localizar est,? punt,o. Conlo d , > O , esto se rninin1izarA c u a n t ~ o~ T ( . L ' ,y) = z 2 + y 2 + ( t / x 2 y 2 ) = f ( z , y) sea mínima. (Es más fácil t,rabajar con esta función f.)Calculamos el gradiente

Esto es O si y sólo si

y así

dondc ( a , b ) ~s uno tic. l o s cuatro puntos críticos dados anteriormente, y (a"/ a x a y ) ( u ,6 ) = f4. Vemos que c11 cualquiera clc los casos ant,eriores D = 64 - 16 = 48 > O y 6 ) > O , dc lrlotio q u e c a d a punto crít,ico es 1111 rrlínimo local, y &tos son todos los Inínilllos locales tlr J . Finalnlente, nótese que d : ( o , b) = 3 para todos estos puntos críticos de modo que los punt,os sobrc la superficic m i s c t ~ c a n o sa ( O , O , O ) son ( 1 , 1 , I ) , (1, -1, -1), (-1, 1, -1) y (-1, -1, 1). con d , = & PII d o s puntos. Así, d , 2 fi y es igual a cuando ( s , y ) = ( + 1 3 k l ) . A

(a2f/a.zz)(a, fi

4.2


SOLUCIÓN

259

Lasprimerasderivadksparcialesson

2 - 5 z 4 y + y5 + y a. a Z

- = 45y4

+ +

= y(5.

4

+y

4

+ 1)

+ .").

+ +

LOS términos 5x4 y4 1 y 5y4 x4 1 siempre son mayores o iguales que 1; se sigue, entonces, que el ilnico punto crítico está en (0,O). Las segundas derivadas parciales son

a*z

- = 202",

8x2

a2

-=

ay2

2oxY3

Así, en ( O , O ) , D = -1, de modo que (0,O)es un punto silla no degenerado y la A gráfica de z cercade (O, O) se ve como en la figura 4.2.2. Terminamos esta sección con u n estudio de la teoría de máximos y mínimos

absolutos, o globales, de funciones de varias variables. Desafortunadamente, en

general es un problema más difícil localizar los máximos y mínimos absolutos para funciones definidas en R" que para funcioncs de una variable. DEFINICI~N Suponer que f:A + R es una función definida en un conjunto A de R2 o R3. Se dice que un punto x0 E A es un punto de máximo absoluto (o de mínimo absoluto) de f si f(x) 5 f ( x 0 ) (o f(x) 2 f(x0)) para todo x E A .

En cálculo de una variable se aprende que toda función continua en un intervalo cerrado I alcanza su valor máximo ( o mínimo) en algún punto x. en I. También se cumple una generalización a Rn de este hecho teórico. Se dice que un conjdnto D c R" es acotado si existe un número tal que llxll < M para todo x E D . Un conjunto es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera. DEFINICI~N

M

>O

Así, un conjunto es acotado si puede estar estrictamente contenido en alguna bola (que puede ser grande). La generalización apropiada del teorema en una variable de los máximos y mínimos es el resultado siguiente, que enunciamos sin demostración.

260

DERIVADAS DE ORDENSUPERIOR; MÁXIMOS Y MíNIMOS

TEOREMA 6: T E O M A DEL MÁXIMO Y DEL MíNIMO Sea D cerrado y acotado en R" y sea f:D R continua. Entonces f alcanza sus valores máximo y mínimo en algunos puntos x. y x1 de D. -+

Dicho de manera simple, x. y x1 son puntos en donde f alcanza sus valores mayor y menor. Como en cálculo deuna variable, estos puntos no necesariamente están determinados de manera única. Suponerque D = U U 301, donde U es abierto y dU es sufrontera. Más aún, suponer que 3U es una curvasuave a trozos (como en la figura 4.2.4). Por definición, D es cerrado, pues contiene a todos sus puntos frontera (ver la sección 2.2) y suponemos además que D está acotado. Ahora podemos enunciar una consecuencia del teorema 3 .

Y

Figura 4.2.4 D = U U a U .

Sea D según la descripción anterior, con f:D -+R continua, y sea f de clase C1 en U. Si f alcanza su valor máximo (o mínimo) en un punto x0 de U, entonces x0 es un pun to crítico de f .

TEOREMA 7

En efecto, si el punto máximo ( o mínimo) es elemento de U y no está en aU, es un extremo local, y así, el teorema 3 d a el resultado. Para hallar el máximo y mínimo absolutos para una función de clase C' , f :D -+ R, empleamos un procedimiento similar al del cálculo en una variable:

(i) Localizar todos los puntos críticos de

f en U.

(ii) Hallar los puntos críticos de f considerada como función definida sólo en

a u.

(iii) Calcular el valor de f en todos estos puntos críticos. (iv) Comparar estos valores y seleccionar el mayor y el menor. Estos pasos, excepto el (ii), han deser ya conocidos por el alumno. Para llevar a cabo el paso (ii) en el plano, hallamos primero parametrización suave de dU;

4.2

EXTREMOS DE

FUNCIONES CON

VALOES REALES

261

esto es, hallamos una trayectoria una a:I + dU, donde I es algún intervalo que va sobre d U . En segundo lugar, consideramos la función de una variable t I+ f ( m ( t ) ) , t I ylocalizamos los puntosmáximo y mínimo t o y tl E I (irecuerden revisar los extremos!). Entonces a ( t o ) , a ( t 1 ) será un máximo y un en dU. Otro método para mínimo para f, o viceversa,comofuncióndefinida manejar el paso (ii) es el del multiplicador de Lagrange, que presentaremos en la sección siguiente.

EJEMPLO 9

y2 - x - y

Hallar los valores máximo y mínimo de la función f(x,y) = x’

+ 1 en el disco D definido por x’ + y’

5 1.

+

(i) Para hallar los puntoscríticoshacemos d f / d x = df/dy = O. Así, 22- 1 = O, 2 y - 1 = O y por lo tanto, (x,y) = ($, $) es el Único punto crítico en el disco abierto U = {(x, y)1z2 y2 < 11. SOLUCIÓN

+

(ii) La frontera dU se puede parametrizar por Así, f ( u ( t ) )= sen’ t

~ ( t=) (sent, cost), O

5t5

2a.

+ cos2 t - sent - cost + I

= 2 - sent

- cost

= g(t).

P a r a hallar el máximo y m’nimode f en dU, basta localizar el máximo y mínimo de g. Ahora, g ‘ ( t ) = O sólo cuando

Así, los candidatos para máximo y mínimo de c(:T) y los extremos ~ ( 0 = ) m(2~).

f en dU son los puntos m($),

(iii) Los valores de f en los puntos críticos son: paso (ii),

I($, $) = del paso (i)

4

y, del

f(u(;))=f(T JZ& > T ) = ,1 + ,1- h + l

Y f ( C ( 0 ) ) = f ( U ( 2 T ) ) = f ( O l 1 ) = 1.

a,

(iv) Comparando todos los valores $, 22 + d , 1, es claro que el mínimo absoluto se alcanza en ($, $) y el máximo absoluto se alcanza en (-&/a, -fila). A

262


EJERCICIOS En los ejercicios I al 16, hallar los puntos críticos de a l sfunciones dadas y determinar cuáles son máximos locales, mínimos locales o puntos silla. 1. f ( 2 , y ) = 2’ - y’

+ zy

+ y’

- zy

2. f ( z , y ) = 2’

f ( z , y ) = 2’ 4. f ( z , y ) = 2’

r;l f ( z , y) = 6. f ( z , y) =

+ y’ + 2zy + y’ + 32y

e1+sz--y2

2’

- 32y

+ 2231 + 23: + y* + y + 4

7. f ( z , y) = 32’

8. f ( z , y ) = sen(z’

f ( z , y ) = cos(2’

fi)

Y (0, m

+ 51: - 2y + 6y2 + 8

+ y’)

(considerar solamente el punto crítico (O, O ) )

+ y2) (considerarsolamente

los puntos críticos ( O , O ) ,

(a,

)

Al examinar la función f : R’ + R, (2,y) H (y - 3z2)(y- z’) nos daremos idea de la dificultad para hallar condiciones que garanticen que un punto crítico sea un extremo relativo cuando falle el teorema 5. Mostrar que (a) El origen es un punto crítico de f; (b) f tiene un mínimo relativo en (O, O ) en cada recta que pasa por (O, O); esto es, si g ( t ) = ( a t , b t ) , entonces f o g: R + R tiene un mínimo relativo en O, para cada selección de a y b; (c) El origen no es un mínimo relativo de f.

4.2

EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALOES REALES

263

18. Sea f(z,y) = Az’ + E donde A y E son constantes. ¿Cuáles son los puntos críticos d e f ? ison máximos locales o mínimos locales?

+

19. Sea f ( x , y) = 3;’- 22y y’. Aquí D = O. ¿Pueden decir cuáles puntos críticos son mínimos locales, máximos locales o puntos silla?

20. Hallar el punto en el plano 22: - y

+ 2z = 20 más cercano al origen.

Mostrar que la caja rectangular de volumen dado tiene superficie mínima cuando l a c a j a es un cubo. 22. Mostrar que el paralelepípedo rectangular con área de superficie fija máximo es un cubo.

y volumen

23. Escribir el número 120 como suma de tres números, de modo que la suma de los productos tomados de dos en dos, sea máxima.

24. Mostrar que si (zo,yo) es un punto crítico de una función C 3 , f ( z , y ) , y D < O, entonceshaypuntos (z,y) cercade (z0,yo) enloscuales f ( 2 , y ) > f ( z o , Y o ) Y, de manera análoga, puntos en los cuales f ( z , y) < f(zo,yo) 25. Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función

f ( z , y, 2 ) = 2’

+ y2 + z2 + zy.

Sea n un entero mayor que 2 y sea f(z,y) = uzn la naturaleza de los puntos críticos de f .

+ cyn, donde ac # O. Determinar

27. Determinar la naturaleza de los puntos críticos fde ( z , y)

+

= z3 Y2 --6231+6z +3Y.

28. Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de la función f ( z , y) = ( x 2 definida en el disco x 2 y2 5 1.

+

Repetir el ejercicio 28 paralafunción

f(z,y) = z2

+

Y’.

+

30. Una curva C en el espacio está definida implicitamente en el cilindro 2’ y2 = 1 por medio de la ecuación adicional z2 - z y y2 - z’ = 1. Hallar el punto o puntos en

C más cercanos al origen.

+

31. Hallar los valores máximo y mínimo absolutos para f ( z , y ) = sen z rectángulo R = [O, 27r] x [ O , 2x1.

33.’ Determinar la naturaleza de los puntos críticos de f(z,y) = z y

+ cos y en el

+ 1 / x + 8/y.

264

DERIVADASDE ORDEN SUPERIOR; MÁXIMOS Y MíNIMOS

En los ejercicios 34 al 38, D denota al disco unitario.

u una función definida en D , que sea “estrictamente subarmónica”; esto es, V 2 u = (d2u/Ó’z2) (Ó’2u/Ó’y2) > O. Mostrar que u no puede tener un punto máximo en D\Ó’D (conjunto de puntos en D que no están en Ó’D).

*34. Sea

+

u una función armónica; esto es, V 2 u = O. Mostrar que si u alcanza su valor máximo en D\Ó’D, también lo alcanza en i3D. A veces se le llama “principio débil del máximo” para funciones armónicas. (IDEA:Considerar V 2 ( u €ez), 6 > O. Pueden usar el hecho siguiente, que se demuestra en textos más avanzados: dada una sucesión {pn},TI = 1, 2,. . . , en un conjunto cerrado y acotado A , en R2 o R3,existe un punto q tal que toda vecindad de q contiene al menos un miembro de {pn}.

*35. Sea

+

“36. Definir el concepto de función estrictamente supraarmónica

el ejercicio 34. Mostrar que no puede tener mínimo en

*m+

D\¿?D.

u en D , parafraseando

Sea u armónica en D , como en el ejercicio 35. Mostrar que si u alcanza su valor mínimo en D\Ó’D, también lo alcanza en Ó’D. A veces se le llama “principio débil del mínimo” para funciones armónicas.

4: Ó’D -+ R continua y T una solución en D a V2T = O , T = 4 en Ó’D. (a) Usar los ejercicios 34 a 37 para mostrar que dicha solución, de existir, debe ser única. (b) Suponer que T ( z , y ) representa una función de temperatura que es indepen4 representalatemperaturadeunaplacacircularen su dientedeltiempo,donde frontera. ¿Pueden dar una interpretación física del principio enunciado en la parte (a)?

*38. Sea

f una función C’ en la recta real R. Suponer que f tiene exactamente un f. Mostrarque 20 tambiénes punto crítico zo quees un mínimolocalestrictode un mínimo absoluto para f, esto es, que f ( z ) 2 f(z0) para todo x. (b) En el ejemplosiguientesemuestraquelaconclusióndelaparte (a) no se cumple para funciones de más de una variable. Sea f: R2 -+ R definida por

*39. (a) Sea

f ( z , y ) = -y4 - e-zz

+ 2 y 2 J e “ + e-”’.

(i) Mostrar que (O,O) es el Único punto crítico de f y que es un mínimo local. f no tiene mínimo absoluto. (ii) Mostrar de manera informal que

*MSuponer que un pentágono está compuesto de un rectángulo debajo de un triángulo isósceles (ver la figura4.2.5). Si la longitud del perímetro es fija, hallar el área máxima posible.

Y

Figura 4.2.5 Maximizar el área para un perímetro fijo.

4.3

4.3

265

EXTREMOS RESTRINGIDOS Y MULTIPLICADORES DE LAGRANGE


Es común en problemas querer maximizar una función sujeta a ciertas restricciones o condiciones laterales. Dichas situaciones surgen, por ejemplo, en economía. I y 11; sean 1: Suponer que queremos venderdos tipos de mercancía, digamos y y la cantidad vendida de cada una. Representamos por f ( x , y) la ganancia obtenida cuando se vende 1: cantidad de I y y cantidad de 11. Pero nuestra producción está controlada por nuestro capital, de manera que estamos restringidos a trabajar sujetos a una relación g(zly) = c . Así, queremos maximizar f ( z 1y) entre los (z, y) que satisfagan g(z,y) = c. A la condición g(1:, y) = c le llamamos restricción en el problema. El propósito de esta sección es desarrollar algunos métodos para manejar este problema y otros similares.

u

sean f: C R” -+ R y g: U c R” + R funciones suaves dadas. Sean x0 E U y g(x0) = c , y sea S el conjunto de nivelpara g con valor c (recordar que &te es el conjunto de puntos x E Rn con g(x) = c). Suponer que Vg(x0) # O . Si f IS, que denota a “f restringida a S”, tiene un máximo o un mínimo en S , en xo, entonces existe un número real X tal que TEOREMA 8: TEOREMA DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

DEMOSTRACIÓN Enrealidad,nohemosdesarrolladotécnicassuficientespara dar una demostración completa, pero podemos dar los puntos esenciales. (Las cuestiones técnicas adicionales necesarias se dan en la sección 4.4.) Recordar que para n = 3 se define el espacio tangente o plano tangente de S en x0 como el espacio ortogonal a Vg(x0) (ver la sección 2.5), y para n arbitraria podemos dar exactamente la misma definición de espacio tangente de S en XO. Esta definición se puede motivar al considerar tangentes a trayectorias u ( t ) que están en S, como sigue: si a ( t )es una trayectoria en S y u(0)= xol entonces &(O) es un vector tangente a S en xo; pero -dg ( a ( t ) )

dt

= “dc = o, dt

y por otro lado, por la regla de la cadena,

de manera que Vg(x0) u’(0) = O; esto es, u’(0) es ortogonal a Vg(x0).

266

DERIVADAS DEORDENSUPERIOR; MÁXIMOS Y MíNIMOS

si flS tiene un máximo en X O , entonces f ( a ( t ) )indudablementetiene un ~ Entonces, máximo en t = O. Por cálculo de una variable, d f ( ~ ( t ) ) / d t l ~=, O. por la regla de la cadena,

.

= Vf(x0) a ’ ( 0 ) .

Así, Vf(x0) es perpendicular a la tangente de todacurva en S y entonces también es perpendicular al espacio tangente de S en X O . Como el espacio perpendicular a este espacio tangente es una recta, Vf(x0) y Vg(x0) son paralelos. Como Vg(x0) # O , se sigueque Vf(x0) es múltiplode Vg(xo), lo cual es H precisamentela conclusión del teorema. Presentemos el aspecto geométrico de la demostración

si f , al restringirse a una superficie S , tiene un máximo o m í i m o en xo, entonces V f (xo)es perpendicular a S en x0 (ver la figura 4.3.1). COROLARiO

X

Figura 4.3.1 Geometría de los extremos con restricciones.

En estos resultados se observa que para hallar los extremos con restricciones de f debemos buscar entre los x0 que satisfagan las conclusiones del teorema o del corolario. Daremos varios ejemplos de cómo usar cada uno. Cuando se use el método del teorema 8, debemos buscar un punto x0 y una constante X, llamada multiplicador de Lagrange, tal queVf(x0 = XVg(x0). Este método es de naturaleza más analítica que el método del corolario al teorema del multiplicador de Lagrange, que es más geométrico.

4.3

EXTREMOS RESTRINGIDOSY MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

267

En la ecuación (1) se dice que las derivadas parciales de f son proporcionales a las de g. Hallarlospuntos x0 en losque ocurre esto, significaresolver las ecuaciones simultáneas

J

g ( x 1 , . . ., Zn) = c

para 21,.. . , x, y X. Otra manera deconsiderarestasecuaciones es así: pensar en X como una variable adicional y formar la función auxiliarh(z1, . . . , x,, X) = f(x1, . . . , x,) X[g(x1,. . . ,x,) - c]. En el teorema del multiplicador de Lagrange se dice que para hallar los puntos extremos de f l S debemos examinar los puntos críticos de h. Estos se encuentran resolviendo las ecuaciones

O = - = - -ah "

ax, ah

af

ax,

O=-=g(x1,

ax

ag

ax,

...,x , ) - c

que son las mismas que las ecuaciones en el grupo (2) anterior. En el teorema 9 a continuación,sedaráncriteriosdelasegundaderivada análogos a los de la sección 4.2. Sin embargo, en muchos problemas es posible distinguir entre máximosy m'nimos por medios geométricos. Como, usualmente, esto es más sencillo, consideraremos primero ejemplos del último tipo. EJEMPLO 1 Sea S C R2 la recta que pasa por (-1, f:R2 + R,(z,y) H x 2 .'y Hallar los extremos de

+

o)

inclinada a 45', y sea

fls.

Aquí S = {(x,y) I y - x - 1 = O}, y por lo tanto hacemos g(x, y) = y- x - 1 y c = O. Tenemos Vg(z, y) = -i+ j # O . Los extremos relativos de flS deben hallarse entre los puntos en que V f es ortogonal a S, esto es, inclinado a -45'. Pero V f ( x , y) = (22,2y), que tiene la pendiente deseada sólo cuando I = -y, o cuando (x,y) está sobre la recta L que pasa por el origen inclinada a -45'. Esto puede suceder en el conjunto S sólo para el Único punto en el que se SOLUCIÓN

268


Figura 4.3.2 Geometría asociada con la búsqueda de los extremos dc f(z,y) = z 2 + y 2 restringida a S = {(x, y ) I y - 2 - 1 = o}.

intersecan L y S (ver la figura. 4.3.2). A l referirnos a las curvas de nivel de f se indica que este punto (-$ es un mínimo relativo de f l S (pcro no dc f ) . A ~

i)

Sea f : R2 + R , (x,y) h LC’- y’, y sea S el círculo de radio 1 alrededor del origen. Hallar el extremo de f IS. EJEMPLO 2

-

El conjunto S es la curva de nivel para g con valor 1, donde g: R2 R , (x,y) H x 2 + y 2 . Como ya estudiamos ambas funcionesen ejemplos anteriores, conocemos sus curvas denivel; se muestran en l a figura 4.3.3. En dos dimensiones, l a condición de que V f = XVg en xo, i.e., que V f y V g son paralelos en xg, es la misma que las curvas de nivel sean tangentes en x0 (¿por qui?). Así, los puntos extremos de f I Sson (0,4Z1) y ( f l ,O). Evaluando f , hallamos que ( O , &ti) son mínimos y ( % I ,O) son máximos. Resolvamos ahora el problema analíticamente, por el método de los multiplicadores de Lagrange. Claramente, SOLUCI~N

4.3


269

Figura 4.3.3 Geometría asociada con el problema de hallar los extremos de x2 - y2 en S = {(x,y) I z 2 y2 = 1).

+

Estas condiciones producen tres ecuaciones que se pueden resolver para las tres incógnitas x , y y X. De 2 2 = X2x concluimos que x = O o X = 1. Si z = O , entonces y = f l y -2y = X2y implica X = -1. Si X = 1, entonces y = O y x = & l .Así, obtenemos los puntos ( 0 , f l ) y (fl,O),como antes. Como hemos mencionado, este método sólo localiza extremos potenciales; deben usarse otros métodos, tales como argumentos geométricos o el criterio de la segunda derivada presentado a continuación* para determinar si son máximos, mínimos o ni una A cosa ni otra. *En estos ejemplos, Vg(xo)# O en la superficie S , como requiere el teorema del multiplicador de Lagrange. Si Vg(x0) fuera cero para algún x. en S , entonces habría que incluirlo entre los extremos posibles.

270

DERIVADASDEORDENSUPERIOR:

MÁXIMOS Y MíNIMOS

SOLUCIÓN De nuevo usamos el teorema del multiplicador de Lagrange. Buscamos X y (x,y , z ) tales que 1 = 2xx,

o

= 2yx,

1 = 23x

Y

z2

+ y 2 + z2 = 1.

De la primera o tercera ecuación vernos que X # O. Así, de la segunda ecuación, obtenemos y = O. De la primera y tercera ecuaciones, x = z , y de la cuarta, z = *1/& = z . Entonces nuestros puntosson(l/&, O , 1/ay) (-1/a, O , -1/&). Cornparando los valores de f en estos puntos, podemos ver que el primer punto produce el máximo de f (conlasrestricciones) y el segundo el mínimo. A

EJEMPLO 4 Hallarel mayor vohmenquepuedatenerunacajarectangular sujeta a la restricción de que el área de la superficie esté fija, en lorn2.

Aquí,si x , y y z son las longitudesde los lados, el volumenes f ( z ,y , z ) = z y z . La restricción es 2 ( x y + z z + y z ) = 10; esto es, z y + z z + y z = 5.

SOLUCIÓN

Así, nuestras condiciones son

yz

=q y

+z)

23

=q z

2)

z y = X(y zy+zt

+

+ z)

+ y2 = 5

En primer lugar, z # O , pues z = O implica yz = 5 y O = Xz,de modo que X = O y yz = O. De manera análoga, y # O , z # O, 2 + y # O y así sucesivamente. Al eliminar X de las dos primeras ecuaciones se tiene y z / ( y + z ) = x z / ( x + z ) , lo cual da x = y ; de manera análoga, y = z . AI sustituir estos valores en la última ecuación, obtenemos 32’ = 5, o x = f i . Así, x = y = z = f i Y Z Y Z = (5) 5 312 ‘

Esta es la solución; deberá ser claro, geométricamente, que A cuando x = y = z .

el máximo ocurre

Algunas recomendaciones generales son útiles para problemas como éste. En primer lugar, si la superficie S está acotada (como, por ejemplo, un elipsoide),

4.3

EXTREMOS RESTRINGIDOSY MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

271

entonces f debetener un máximoyunmínimo en S. (Ver el teorema 6 en la sección anterior.) En particular, si f sólo tiene dos puntos que satisfagan las o de su corolario, entonces condiciones del teorema del multiplicador de Lagrange uno debe ser un máximo y el otro debe ser un mínimo. Evaluando f en cada punto podremos distinguir el máximo del mínimo. Sin embargo, si hay más de dos de dichos puntos, alguno puedeser punto silla. Además, si S no está acotada (por ejemplo, sies un hiperboloide), entoncesf no necesariamente tiene máximos o mínimos. Si una superficie S está definida por cierto número de restricciones, a saber,

entonces se puede generalizar el teorema del multiplicador de Lagrange, de la siguiente manera: Si f tiene un máximo o un mínimo en x0 en S, deben existir constantes X I , . . . , Xk tales que*

Este caso se puede probar generalizando el método usado paraprobar el teorema del multiplicador de Lagrange. Demos un ejemplo de cómo puede usarse esta formulación más general.

EJEMPLO 5

condiciones 'x SOLUCIÓN

Hallar los puntos extremos de f ( z , y, z ) = y' = 2 y E z = 1.

+

+

E

+y + z

sujeto a las

Aquíhay dosrestricciones:

Y Así, debemos hallar

g2(2,y,z)= 2 + z E,

y, z ,

Vf(., Y,

X1

y

X2

1 = o.

tales que

z) = XlVSl(Z,Y,

.)

+

X2V92(2,Y,

).

*Como con lahipótesis Vg(x0) # O en el teorema del multiplicador de Lagrange, aquídebemos suponer que los vectores Vgl(xo),. . . , Vgk(xo)son linealmente independientes.

272


esto es, calculando los gradientes e igualando componentes,

Y

2 + y 2 = 2, z+t=l.

Estasson cincoecuaciones para x , y , z , X 1 y X z . De la tercera, X 2 = 1, y así 22x1 = O , 2yX1 = 1. Comolasegundaimplica X 1 # O, tenemos z = O. Así, y = A f i y t = 1. Entonces los extremos deseados son (O, &fi, 1). Por inspección, (O, &?, 1) da un máximo y (o, -h, 1) un mínimo.

*

Suplemento de la sección 4.3

Criterio de la segunda derivada para extremos restringidos

En la sección 4.2 desarrollamos un criterio de la segunda derivada para extremos de funciones de varias variables, basado en la observación del término de segundo grado en la serie de Taylor de f . Si la matriz hessiana de las segundas derivadas parciales era definitivamente positiva o definitivamente negativa en u n punto crítico de f, pudimos concluir que estábamos en un mínimo o máximo relativo, respectivamente. Sin embargo, en estasección no estamos interesados en todos los valores fdesino sólo en aquellos obtenidos al restringir f a algún conjunto S que sea el conjunto de nivel de otra función g. La situación es complicada, primero porque los extremos res:ringidos en los puntos críticos de f y, segundo, porque de f no necesariamente se presentan sólosepermite a lavariable moverseenel conjunto S . No obstante,sepuededar un criterio de la segunda derivada en términos de lo que se llama el hessiano limitado. Mostraremos cómo surge esto parael caso de una función f(z,y) de dos variables sujeta a la restricción g(z,y) = c. De acuerdo a las observaciones que siguenal teorema del multiplicador de Lagrange, los extremos restringidos de f se hallan buscando en los puntos críticos de la función auxiliar h(z,y, X) = f(z,y) - X(g(z, y) - c). Supongamos que (zo,yo,X) es dicho punto y sea vo = (zo,yo). Esto es,

4.3


273

En cierto sentido, se trata de un problema en una variable. Si la función g es del todo razonable, entonces el conjunto S definidopor g(x, y) = c es una curva y estamos la interesados en cómo varía f conforme nos movemos a lo largo de esta curva. Si en la otra, entonces ecuación g ( z , y) = c podemos despejar una variable en términos de la tendremos explícita y podemosusarelcriteriodelasegundaderivadaparauna variable. Si ag/ayl.,, # O, entonces la curva S no es vertical en vo y es razonable que podamos despejar y como función de x en una vecindad de 20.De hecho, lo probaremos en la sección 4.4.(Si ag/axI,, # O, podemos despejar x como función de y.) Suponer que S es la gráfica de y = d(x). Entonces f I S se puede escribir como función de una variable, f ( x , y) = f ( x , d ( x ) ) . La regla de la cadena d a

Y La relación g(x, $(x)) = c se puede usar para hallar ambos lados de g(z. $(x)) = c respecto a 1: da

Y

de modo que

Al sustituir la ecuación (7) en la (6) tenemos

Y

d d l d x Y d2$/dx2. Diferenciando

274


En V O , sabemos que af /ay = Xag/ay y que af /ax = X a g / a x , de modo quel a ecuación (8) se convierte en

Y

donde las cantidades se evalúan en 20 y h es la función auxiliar introducida anteriormente. Este determinante de 3 X 3 se llama hessiano limitado, y su signo es opuesto al de d 2 f / d x 2 . Por lo tanto, si es negativo debemos tener un mínimo local. Si es positivo, estamos en un máximo local; y si es cero, el criterio no permite concluir. Este razonamiento conduce al siguiente criterio (ver el ejercicio 24 para un enfoque diferente). Sean f : U c R2 -+ R y g: U c R2 -+ R funcionessuaves (al menos C 2 ) .Sean vo E U , g(v0) = c y S la curva de nivel para g convalor c . Suponer que V g ( v 0 ) # 0 y que existe un número real X tal que V f ( v 0 ) = XVg(v0). Formar la función auxiliar h = f - Xg y el determinante hessiano limitado

TEOREMA 9

0

IHI =

(i) Si (ii) Si

1 1 7 1 > O, IR1 < O,

entonces

ag "

az

vg

a9

"

ax

a2h a xaaxy2

ag

"

ay

a2h -

evaluado en V O .

es un punto n~áximolocal p a r a

entonces vo es un punto mínimo local para

fls. fls.

(iii) Si IHI = O, entonces el criterio no concluye, y vO puede ser un máximo, un mínimo o ni una cosa ni otra.

EJEMPLO 6 Hallarpuntosextremosde y 2 = 1, donde n 2 1.

z2

+

f ( x , y ) = ( z - y)" sujetosa la restricción

4.3

EXTREMOS RESTRINGIDOS Y MULTIPLICADORES LAGRANGE DE

n ( z - y)""

- 2XX = o

- n ( z - y)""

- 2Xy = O

275

- (.' + y2 - 1) = o.

+

De las primeras dos ecuaciones vemos que X(X y ) = O. Si X = O, entonces X = y = Si X # O entonces z = -y. os cuatro puntos críticos se representan en l a figura 4.3.4 y se listan a continuación los valores correspondientes de f(z,y): *Jz/2.

Figura 4.3.4 Los cuatro puntos críticos del ejemplo 6.

Por inspección, vemos que si n es par, entonces A y C son puntos mínimos y B y D sonmáximos. Si n esimpar,entonces B esunpuntomáximo, D esunmínimo, y A y D no son ni u n a cosa ni otra. Veamos si el teorema 9 es consistente con estas observaciones. El determinante hessiano limitado es

IHI

lo

= -22 -2y

-2Y

-22

n ( n - 1)(2:- y)" -n(n - ])(X - y)"

= -4n(n -

l)(X

- y)

- 2X

- n ( n - 1)(2 - y)" n ( n - 1 ) ( X - y)7L--2- 2 X

+ y)' + 8X(z2 - y*).

276


MÁXIMOS Y MíNIMOS

Si n = 1 o si n 2 3 , = O en A, B, C y D. Si n = 2, entonces = O en B y D y -16 en A y C. Entonces el criterio de la segunda derivada reconoce los mínimos en A y C, pero no detecta los máximos en B y D para n = 2. Tampoco concluye para otros n. A valores de

Tal como sucede en el caso sin restricciones, también hay un criterio de la segunda los puntos extremos para derivada para funciones de más de dos variables. Si buscamos f ( x 1 , . . . , x,) sujetos a la sola restricción g(x1,.. . , x,) = c, primero formamos el hesh ( x 1 , . . . ,x,) = f ( x 1 , . . . , x,)-X(g(xl,. . . , x,)siano limitado parala función auxiliar c ) , como sigue:

En segundolugar,examinamos los determinantesdelassubmatricesdiagonalesde orden 2 3 en los puntos críticos de h. Si son todos negativos, esto es, si

entonces estamos en un mínimo local de f l S . Si comienzan con un subdeterminante > O, < O , > O, < O,. . . ) , entonces positivo de 3 x 3 y se alternan los signos (esto es, estamos en un máximo local.Si no son todos cero yno siguen estos patrones, entonces el punto no es un máximo ni un mínimo (se llama de tipo silla).*

EJEMPLO 7 Estudiar los puntos extremos locales de f ( x , y, z ) = xyz en la superficie y' + z 2 = 1 usando el criterio de la segunda derivada. d e la esfera unitaria x'

+

*Para un estudio detallado, ver C. Caratheodory, Calculus of Variations and Partial Differential Equations, Holden-Day, San Francisco, 1965; Y. Murata, Mathematics for Stability and Optimization of Economic Systems, Academic Press, Nueva York, 1977, págs. 263-271; o D. Spring, Am. Math. Monthly 92 (1985): 631-643. Ver también el ejercicio 24.

4.3

EXTREMOS RESTRINGIDOS

Y MULTIPUCADORESDE LAGRANGE

277

SOLUCIóN Igualando a cero las derivadas parciales de la función auxiliar h(x, y, z, X) = xyz - X(x2 y2 z2 - 1) se obtiene

+ +

y2 = 2Xx x2 = 2Xy xy = 2x2

x2

+ y2 + z2 = 1.

Así, 3xyz = 2X(x2+y2 + z 2 ) = 2X. Si X = O, las soluciones son (x, y,z, X) = ( h l ,O , O , O),

( O , &1,0,0) y ( 0 , 0 , f 1 , 0 ) . Si X # O , entonces tenemos 2X = 3xyz = 6Xz2, de modo que 2’ = f . De maneraanáloga, x’ = y’ = f . Así, lassolucionesestándadaspor X = $xyz = f & / 6 . Los puntoscríticosde h y losvalorescorrespondientesde f están dados en la tabla 4.1. Vemos de ahí que los puntos E, F , G y K son mínimos. Los puntos D, H, I y J son máximos. Para ver si esto concuerda con el criterio de la segunda derivada necesitamos considerar dos determinantes. Primero veamos lo siguiente:

Observar que signo (IRzl) = signo X = signo (zyz), donde signo cy = $1 si a cy < O. En segundo lugar consideremos

si

I&/=

Tabla 4.1

A

O -ag/az -ag/ay -ag/ax - d g a/ a2xh / dax2Zh / a xad’ h ylaxdz -ó’g/ay d’hlaxay a2h/ay2 d’hlayaz - a g /dd2zh / a xaa2zh / d y a z

1

C E

-&/3

D

F G

H I J

K

-22 -2X z

y

-2y z

-2X

Los puntos críticos A, B,. . . , J, K de h y valores correspondientesde f

O O

B

o

-22 -2y a2h/az2 -2% x

&/3 &/3 &/3

&I

-&/3 -&I3 -&I3

3

>Oy

-1

-22 y x -2X

’

278


MÁXIMOS Y MíNIMOS

-y

que resulta ser +4 en los puntos &A, f B y kc,y en los otros 8 puntos. En E, F, G y K, tenemos < O y 1 8 3 1 < O , demodoque el criterioseñalaquesonmínimos locales. En D, H, I y J , tenemos IR21 > O y 1831 < O, de modo que el criterio señala que son máximos locales. Finalmente, el criterio de la segunda derivada muestra que f A , f B y kc sonpuntossilla. A

EJERCICIOS En los ejercicios 1 al 5 hallar los extremos de f sujetos a las restricciones enunciadas. f ( 2 ,y, 2 )

=2 -y

2. f ( z , y ) = z

-

f ( z , y ) = z,

y,

22

+ z, 2 + y2 + z2 = 2

22

- y2 = 2

+ 2y2 = 3

4. f ( z , y , 2 ) = z + y + 2 , 2 ~ - y 2 = 1 , 2 z + z = l

5. f ( 2 , y ) = 3 2

+ 2y, 2 x 2 + 3y2 = 3

Hallar los extremos relativos de f I S en los ejercicios 6 al 9.

10. Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de f ( z , y) = z2 y2 - r - y 1 en el disco unitario.(ver el ejemplo 9 de la sección 4.2).

+

+

+ +

11. Considerar la función f(z,y ) = z 2 z y y2 en el disco unitario D = { ( z , y)1x2 y’ 5 1). Usar el métododelosmultiplicadoresdeLagrangeparalocalizarlospun-

tos máximo y mínimopara f en el círculounitario.Usarestoparadeterminar valores máximo y mínimo absolutos de f en D.

+

los

12. Una caja rectangular sin tapa, debe tener un área de superficie de 16m2. Hallar las dimensiones que maximicen su volumen.

Diseñarunalatacilíndrica(contapa)quecontenga mínima cantidad de metal.

1 litrodeagua,usandola

14. Mostrarquelassolucionesdelasecuaciones ( 4 ) y ( 5 ) estánencorrespondencia biunívoca con los puntos críticos de h ( z I , . . . , z , , ~ ~.,. . , x,) = f ( z l , . . , , x n ) x1 [SI ( 2 1 , . . . , Z n ) - C I ] - ’ ’ ’ - X,k[g,(21.. . . , Z n ) - C k ] .

4.3

Y MULTIPLICADORES LAGRANGE DE

EXTREMOS RESTRINGIDOS

279

15. Se va a cortar y adornar un espejo rectangular con área de A pies cuadrados. Si los adornos a lo largo de los lados horizontales cuestan p centavos por pie y los de los lados verticales cuestan q centavos por pie, hallar las dimensiones que minimicen el costo total.

Un canal de riegoen Arizona tiene ladosy fondo de concreto con sección transversal trapezoidal de área A = y(z + y tan O) y perímetro hilmedo P = 1: 2 y / cos O, donde 1: = ancho del fondo, y = profundidad del agua y O = inclinación lateral, medida a partir de la vertical. El mejor diseño para una inclinación fija 0 se halla resolviendo P = mínimo sujeto a la condición A = constante. Mostrar que y' = (A cos 0)/(2 - sen O).

+

17. Aplicar el criterio de la segunda derivada para estudiar la naturaleza de los extremos en los ejercicios 1 a 5 .

18. Un rayo de luz viaja del punto A al punto B cruzando una frontera entre dos medios (ver la figura 4.3.5). En el primer medio su velocidad es V I , y en el segundo es v2. Mostrar que el viaje se realiza enel menor tiempo cuando se cumple laley de Snell:

sen01 VI - -. sen 02 u2 "

Figura 4.3.5 Ley de refracción de Snell. 19. Un servicio de entrega de paquetes requiere que las dimensiones de una caja rectangular sea tal que la longitud más el doble del ancho más el doble de la altura no rebase 108 pulgadas (1 2w 2 h 5 108). iCuál es el volumen de la caja más grande que podrá enviar la compañía?

+

+

20. Sea P un punto en la superficie S en R3 definida por la ecuación f ( z , y, z) = 1 donde f es de clase C'. Suponer que P es un punto donde se maximiza la distancia del origen a S. Mostrar que el vector que sale del origen y termina en P es perpendicular a S.

A unamatrizsimétrica,distintadecero,de 3 x 3. Entonces sus registros satisfacen a l l = a ] , . Considerar la función f(x) = $(Ax) -x. (a) iCnál es V f?

*21. Sea

280

DERIVADAS DE ORDENSUPERIOR; M h M O S Y MíNIMOS

+ +

(b) Considerar la restricción de f a la esfera unitaria S = {(x, y, .)I.” y2 z2 = 1) en R3.Suponer que f debe tener un máximo y un mínimo en S (ver las observaciones en la página 260. Mostrar que debe haber un x E S y un X # O tales que Ax = Ax. (x se llama vector propio, mientras que X se llama valor propio.) *22. Suponer ahora que

A en la función f definida en el ejercicio 21 no necesariamente es simétrica. (a) ¿Cuál es Vf? (b) ¿Es posible concluir la existencia de un vector propio y de un valor propio, como en el ejercicio 21?

*M(a)

+

Hallar los puntos críticos de z y’ sujeta a la restricción 2z2 (b) Usar el hessiano limitado para clasificar los puntos críticos.

+ y2 = 1.

*24. Mostrar que el hessiano limitado de f(z1,.. . , zn) sujeta a la única restricción g(z1,. . . , z n ) = c es el hessiano de la función f(z1,. . . , z,) - Xg(z1,. . . , zn) de las n + 1

variables X, 21,.. . , x n (evaluado en el punto crítico). ¿Pueden usar esta observación para dar otra demostración del criterio restringido de la segunda derivada usando el criterio sin restricciones? [IDEA:Si X0 denota el valor de X determinado por el teorema del multiplicador de Lagrange, considerar la función

SECCIÓN OPTATIVA *4.4

TEOREMA DE LA FUNCldN IMPLíCITA

Esta sección comienza con el enunciado y demostración de una versión particular del teorema de la función implícita. Esta versión es apropiada para estudiar superficies y, en particular, nos permite completar la demostración del teorema del multiplicador de Lagrange de la sección 4.3. Además de probar este teorema, enunciamos sin demostración el teorema general de la función implícita (acompañado del de la inversa). Este estudio será útil más adelante, cuando veamosel teorema del cambio de variables en el sección no son esenciales para la capítulo 5 . Sin embargo, los temas cubiertos en esta comprensión de los principales resultados y aplicaciones del resto del libro. Recordar, del estudio del cálculo de una variable, que si y = f ( z ) es una función C’ y f’(z0) # O, entonces podemos, localmente, cerca de 2 0 , despejar z: 1: = f-’(y). Aprendimos que (f-’)’(y) = l/f’(z); esto es, dz/dy = l/(dy/dz). Es plausible que se pueda invertir y = f(z) porque f’(z0) # O significa que la pendiente de y = f(z) no es cero, de modo que la gráfica está subiendo o bajando cerca de 20.Así, si reflejamos l a gráfica por medio de la recta y = z sigue siendo una gráfica cerca de ( 2 0 ,yo) donde yo = f(z0). En la figura 4.4.1 podemos invertir y = f(z) en la caja sombreada,así está definido z = f - l ( y ) en este margen. En el estudio del cálculo de una variable comprendimos la importancia del proceso y = e 2 , y 1: = sen-’ y esla deinversión. Por ejemplo, z = In y eslainversade inversa de y = sen z. El proceso de inversión también es importante para funciones de varias variables; por ejemplo, el cambio entre coordenadas cartesianas y polares en el plano, incluye la inversión de dos funciones de dos variables.

4.4

281

TEOREMA DE LA FUNCIóN IMPLfClTA

dl_

Figura 4.4.1

.

X

Si f'(x0) # O, entonces y = f(x) es localmente invertible.

U FUNCIóNIMPLklTA Suponerque R tiene derivadas parciales continuas. Denotar los puntos en R"+' por ( X , z), donde X E Rn y z E R, suponer que ( X O , zo) satisface

TEOREMA 10: TEOREMA PARTICULAR DE

F:R"+'

+

m o , 20) = 0

y

dF -a(2x o ,

20)

# o.

Entonces existe una bola U que contiene a x0 en R" y una vecindad V de zo en R tal que existe una función única z = g ( x ) definida para x en U y z en V que satisface F ( x , g ( x )= ) O. Más aún, si x en U y z en V satisfacen F ( x , z) = O, entonces z = g ( x ) . Finalmente, z = g ( x ) es continuamente diferenciable, con la derivada dada por

donde D x F denotaladerivada [ a F / a x l , .. . , aF/a~n];esto es,

(parcial) de F respectoalavariable

x, DxF =

Probaremos el caso n = 2, demodoque F : R 3 + R. Elcaso para toda n es similar,perodebemodificarse la notación.Escribimos x = ( z , y ) y x . = (xo,yo). Como ( a F / a z ) ( z Oyo, , zo) # O , es positivo o negativo. Supongamos, para a > O y b > O tales definir, que es positivo. Por continuidad, podemos hallar números que si [ [ X - x011 < a y Iz - 201 < a , entonces ( a F / & ) ( x , z) > b. También podemos suponer que las otras derivadas parciales están acotadas por un número M en esta región, esto es, I ( a F / a z ) ( x ,z)I 5 M y I ( a F / a y ) ( x ,z)I 5 M . Esto también se sigue por

*DEMOSTRAClÓN

DERIVADAS DEORDEN SUPERIOR; MÁXIMOS Y MíNIMOS

282

la continuidad. Podemos escribir

ahora

F ( x , Z ) = F ( x , Z ) - F ( x o ,2 0 ) = [ F ( x ,2 ) Considerar la función

-

+

F ( x o , z ) ] [ F ( x o ,2 ) - F(xo,.o)l.

h ( t ) = F ( t x + (1 - t)xo, z)

para x y z fijos. Por el teorema del valor medio, existe un número 0 entre O y 1 tal que

h(1)

-

h(O) = h ’ ( B ) ( l - O ) = h’(B),

esto es,

F ( x , 2 ) - F ( x o , 2 ) = [D,F(Bx Al sustituir esta fórmula en la ecuación segundo término de la ecuación, da

donde

6

<

a0

+ (1 - ~ ) x o ,

.)](X

- .O).

(2) junto con una fórmula similar para

el

4 está entre O y 1. Sea a0 que satisface O < a0 < a y escojamos 6 > O tal que y 6 < b a o / 2 M . Entonces, si / [ x- x011 < 6 , tanto 1 : - ZOI como Iy - yo1 son

menores que 6, de modo que el valor absoluto de cada uno de los dos términos en

es menor que M 6

< M ( b a 0 / 2 M ) = bao/2. Así, IIx - x011 < 6 implica I[D,F(Bx

+ (1- @)xo,.)](x

- X O ) ~< bao.

(Las igualdadesseinviertensi (aF/az)(xo,zo) < O . ) Así, por el teoremadelvalor intermedio aplicado a F(x, z) como función de z, para cada x existe z entre zo - ao y zo a0 tal que F ( x , z) = O . Esta z es única, pues, por cálculo elemental, una función con derivada positiva es creciente y así, no puede tener más de un cero.

+

DE4.4

TEOREMAIMPLklTA LA FUNCldN

283

Sea U la bola abierta de radio 6 y centro x0 en R" y sea V el intervalo abierto en R de zo - a0 a zo ao. Hemos probado que si x está confinado a U, existe z Único en V tal que F(x, z ) = O . Esto define l a función z = g ( x ) = g(x, y) requerida por el teorema. Dejamos al lector probar que a partir de esta construcción, z = g(z, y) es una función continua. Falta probar la diferenciabilidad continua de z = g ( x ) . De la ecuación (3), y como F(x, z ) = O y zo = g(xo), tenemos

+

Si hacemos x = (x0

Cuando h

-+

+ h , yo), entonces esta ecuación se convierte

O , se sigue que z

-+

x0 y que z

"+

en

zo, de modo que tenemos

La fórmula

se prueba de la misma manera. Esta deducción se cumple en cualquier punto ( 2 ,y) en U por medio del mismo argumento, de modo que hemos probado la fórmula (1). Como el lado derecho de la fórmula (1) escontinuo,hemosprobadoelteorema. Una vez que sabemos que existe z = g ( x ) y es diferenciable, se puede verificar la fórmula (1) por medio de diferenciación implícita; esto es,la regla de la cadena aplicada a F(x, g ( x ) ) = O d a

lo cual es equivalente a la fórmula (1).


284

EJEMPLO 1 En el teorema particular de la función implícita, es importante reconoU y V suficientemente pequeñas. Por ejemplo, cer l a necesidad de tomar vecindades considerar la ecuación z 2 z2 - 1 = o,

+

esto es, F ( z , z) = z 2 + zz - 1, con n = 1 . Aquí, ( a F / a z ) ( z z) , = 22, de modo que se aplica el teorema particular de l a función implícita a un punto ( 2 0 ,Z O ) que satisfaga zg Z: - 1 = O y zo # O. Así, cerca de dichos puntos, z es una función única de z. Esta función es z = d m si zo > O y z = - d m si zo < O. Nótese que z está definida sólo para 121 < 1 ( U no debe ser muy grande) y z es única sólo cerca de zo (V no debe ser muy grande). Estos hechos, y el que no exista d z / d x en to = O, son, por supuesto, claros a partir del hecho de que z 2 z2 = 1 define un círculo en el plano z z (figura 4.4.2). A

+

+

Z

i Figura 4.4.2 Es necesario tomar vecindades pequeñas

implícita.

en el teorema de la función

Apliquemos el teorema 10 al estudio de superficies. Nos interesa el conjunto de nivel de una función g: U c R” -+ R, esto es, de la superficie S formada por el conjunto de x que satisfacen g(x) = co, donde cg = g(x0) y donde x0 está dada. Tomemos n = 3 , para trabajar con un caso concreto. Así, nos ocuparemos de la superficie de nivel de una función g(z, y, z) que pasa por un punto dado ( 2 0 ,yo, 20). Como en el teorema del multiplicador de Lagrange, supongamos que Vg(z0, yo, zo) # O. Esto significa que al menos una de las derivadas parciales de g no es cero. Para definir, supongamos que ( d g / d z ) ( z o ,yo, zo) # O. Aplicando el teorema 10 a l a función (z, y, z ) M g(z, y, z) - CO, sabemos que existe una función únicaz = k(z,y) que satisface g ( z , y, k(z,y)) = co para (z, y) cerca de (zo, yo) y z cerca de 2 0 . Así, cerca de zo l a superficie S es la gráfica de la función k. Como k es continuamente diferenciable, esta superficie tiene plano tangente en ( 2 0 , yo, zo) definido por

4.4

TEOREMA DE LA FUNCldN IMPLfClTA

285

Pero por la fórmula ( I ) ,

Sustituyendo estas dos ecuaciones en la ecuación (4) se obtiene esta descripción equivalente:

o = ( 2 - 2 0 ) -89 (zo, 82

yo,

20)

+ (x - z0)-(zo, 89 ax

yo,

20)

+ (Y - yo)--(zo, a9 ay

Y O , 20);

esto es, ("-zo,y-yo,z-zo)'vg(zo,Yo,zo)=o. Así, el plano tangente a la superficie de nivel de g es el complemento ortogonal a Vg(z0, yo, 2 0 ) que pasa por el punto ( 2 0 , yo, 2 0 ) . Esto concuerda con la definición de la pág. 150. Ahora estamos preparados para completar la demostración del teorema del multia S en plicador de Lagrange. Para ello debemos mostrar que todo vector tangente (20,yo, 20) es tangente a una curva en S. Por el teorema 10, basta mostrar esto para una gráfica de la forma z = k(z,y). Sin embargo, si v = (z - 2 0 ,y - yo, z - 2 0 ) es tangente a la gráfica (esto es, si satisface la ecuación (4)), entonces v es tangente a l a curva en S dada por

+

c ( t )= (20 t(z: - ~

o )YO,

+t

( -~ YO), k(zo

+ t ( z - zo), + t YO

( -~ yo)))

en t = O. Esto puede verificarse usando la regla de la cadena. (Ver la figura 4.4.3.)

'-"c(t)

= pálica de rectau(t)

X

Figura 4.4.3 Construcción de una curva c ( t ) en la superficie S cuyo vector tangente es v.

286


EJEMPLO 2

¿Cerca de cuáles puntos es posible representar la superficie z3

+ 3 y z + 8x2’

-

3z3y = 1

como gráfica de un función diferenciable z = k(z,y ) ?

+

+

SOLUCIóN Aquí tomamos F ( z , y, z) = z3 3y2 822’ - 3z3y - 1 e intentamos despejar z de F ( z , y, z) = O para presentarlo como función de ( 2 ,y). Por el teorema 10, es posible hacerlo cerca de un punto ( 2 0 ,yo, Z O ) si ( a F / a z ) ( z o ,yo, Z O ) # O , esto es, si

zo(l6z0, SZOYO)# O ,

lo cual significa, a su vez, z0 # O

16x0 # SZOYO.

y

A

A continuaciónenunciaremos,sindemostración, el teorema general de la función implícita.’ En lugar de tratar de resolver una ecuación con una variable, tratamos de resolver m ecuaciones con m variables 21,. . . , zm: F I ( Z 1 , . .. F2(21,.

, z,

. . , z,

..,Zm) 21,. ..,Zm) Z],

.

=o =o

. . , x n r 2 1 , . . . , z*) = o

F*(Zl,.

En el teorema 10 teníamos la condición d F / a z # O. La condición apropiada para el teorema general de la función implícita es que A # O, donde A es el determinante de la matriz de m X m

aFm ~

.

a21

...

aFm

-

evaluado en el punto (XO,20);en la vecindad de dicho punto podemos resolver de manera única para z en términos de x . *Para tres demostraciones diferentes del caso general, consultar: (a) E. Goursat, A Course in Mathematical Analysis, I, Dover, Nueva York, 1959, pág. 45. (Esta demostración deduce el teorema general mediante aplicaciones sucesivas del teorema 10.) (b) T. M. Apostol, Mathematical Analysis, 2a ed., Addison Wesley, Reading, Mass., 1974. (c) J. E. Marsden, Elementary Classical Analysis, Freeman, Nueva York, 1974. De estas fuentes, las dos últimas usan ideas más sofisticadas, que usualmente nose cubren hasta un curso introductorio de análisis. Sin embargo, la primera la puede comprender fácilmenteun lector que tenga algún conocimiento de álgebra lineal.

4.4

TEOREMAIMPLklTA DE LA FUNCldN

287

TEOREMA 11:TEOREMA GENERAL DE LA FUNCIóN IMPLíCITA Si A # O, entonces cerca del punto (XO,Z O ) , l a ecuación (5) define de manera única funciones (suaves) 2;

= k,(Xl,.

(2= 1,.. . , m ) .

..,e,)

Sus derivadas se pueden cdcular mediante diferenciación implícita. ( x , y, u , u)= ( 1 , 1 , 1 , 1 ) podemos resolver

Mostrar que cerca del punto

EJEMPLO 3

+ yvu2 = 2 xu3 + y2v4 = 2 xu

de manera única para u y v como funciones de SOLUCIóN

2:

y y. Calcular ( a u / a x ) ( l , 1 ) .

Para verificar la existencia de la solución, formamos las ecuaciones

y el determinante

=I3

3

14 1 = 9 .

Como A # O, se asegura la existencia de la solución porel teorema general de la función implícita. Para hallar a u / a x , diferenciamos implícitamente las ecuaciones dadas en x usando la regla de la cadena:

+ y-uav + 2yvu-au al: = o

aU

ax ax

2

x- +u ax

2au 3 2 u- + u ax

3

+ 4 y 2 v 3 "aO. v

Al hacer ( x , y, u , v) = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) da au 3a2

au

3-

ax

av += -1

ax

+ 4-aavx

= -1.

Resolviendopara a u / a x , multiplicandolaprimeraecuaciónpor a u / d x = -+. A

4 y restando,da

DERIVADAS DE ORDENSUPERIOR: MÁXIMOS Y MíNIMOS

288

Uncasoespecialdelteorema genrral de l a funci6nimplícit,a es el teorema de la función inversa. Aquí tratamos de resolver las n ecuacionr:s

para X I , . . . , z n como funciones de y,,. . . , y,,; esto es, estamos tratando de invertir las ecuaciones del sistema (6). Esto es análogo a formar los inversos de funciones como sen 2: = y y e” = y, con las que ~1 lector debe estar familiarizado desde cálculo elemental. Ahora, sin embargo, trat,amos con funcioncs de varias variables. La cursticin de existellcia de solución se responde por medio del t.eornna general de la fun(-i6n implícita aplicado a las funciones yt - f l ( z l , . . . r n )con las inccigtlit,as 1 1 . . . . . I , ? (llamadas - 1 l . . . z T L anteriormente). L a condición para existencia (le h ( ~ l u ( . i i ) t ~en una vecirldad de ut1 ~ I I I I L O x0 es A # O , donde A es el deterrninante d c la matriz Df(xo)) y f = ( f ~ , . .., fll). La cantidad A se denota por a ( f 1 . .. . .fn)/8(rIs.. . . I,, ¿)(y,, ). . . . y n ) / a ( z l , .. . , x n ) o J f ( x 0 j y se llama determinarrtr jacobiano de f . Explícitamer~t~e,

.

.

I

El deterrninante jacobiano jugarii u n papel importante en n u e s t r o trabajo posterior de integración (ver la sección 6.3). El teorema siguiente resume w t r análisis:

DE LA FUNCIóN INVERSA Sea U c R’”u n abierto y ,sean R,. . . , f n : U + R. con derivadas parcialrs continuas. Considerar las ecnaciones

TEOREMA 12: TEOREMA fi:

U

--3.

en el grupo (6) cerca de una solución dada xo, yo. Si [a(fl,. . . , f , ) ] / [ a ( z I , . . . , zrL)]= Jf(xo) (definido por laecuación (7)) es difrrc.rtte de cero, entonces el grupo (6) de ecuaciones se puede resolver de manera rínica corno x = g ( y ) para x cerca cit. x. ,y y cerca d e yo. Más aún, l a funcitjrl y tiene derivatlds parciales continuas.

EJEMPLO 4

Considerarlas

ecnacjonea

¿Cerca de cuáles puntos ( x . y ) podernos resolver para r y y en -te‘rrninos d e

+

11

y u?

SOLUCIÓN Aquí las funciones son u ( z , y j = f l ( z , y j = ( z 4 y 4 ) / z y V ( T , y) = f 2 ( z ,y) = sen T cos y. Queremos conocer los puntos cerca de los cuales podemos resolver para L y y corno funcioncs (ir 21 y O . De acuerdo con el teorema de l a función

+

4.4

TEOREMA IMPLfClTA DE LA FUNCIóN

289

inversa, debemos primero calculara(f1, f2)/a(z, y). Tomemos el dominio def = ( f l , como U = {(.,y) E R'lz #O}. Ahora

f2)

Por lo tanto, en los puntos donde esto no se anula, se puede resolver para z y y en términos de u y v. En otras palabras, podemos resolver para z y y cerca de aquellos z, y para los que z # O y (seny)(y4 - 3 z 4 ) # 4zy3 cosz. Generalmente no se pueden resolver explícitamente dichas condiciones. Por ejemplo, si zo = ~ / 2 yo, = r / 2 , podemos resolver para z y y cerca de (zo, yo) pues ahí d(f1,A ) / d ( z , y) # O. A

EJERCICIOS 1. Sea F ( z ,y ) = O que define una curva en el plano zy que pasa por el punto (20,yo). Suponer que (aF/ay)(zo,yo) # O. Mostrar que esta curva se puede representar localy = g(z). Mostrar que (i) la recta ortogonal a mente por la gráfica de una función V F ( z 0 ,y o j concuerda con (ii) la recta tangente a la gráfica de y = g(z).

Mostrar que zy

+ z + 3zz5

= 4 es soluble para

z como función de

( I , O , 1). Calcular a z / d x y az/dy en ( I , O).

( X ,y) cerca

3. (a) Verificar directamente (i.e., sin usar el teorema 10) dónde podemos resolver la ecuación F ( z , y) = y' y 32 1 = O para y en términos de z. (b) Verificar que la respuesta en la parte (a) concuerde con la respuesta esperada del teorema de la función implícita. Calcular dyldz.

+ + +

4. Repetir el ejercicio 3 con

F ( z , y) = zy' - 2y +'2

+ 2 = O.

5. Mostrar que z 3 z 2 - z3yz = O es soluble para z como función de (1,1,I ) , pero no cerca del origen. Calcular a z / d x y dz/dy en (1,l).

(2,

y) cerca de

6. Analizar la solubilidad del sistema

32

+ 2y + zz + u +

1)'

=o

4~+3~+z+u2+v+w+2=0

z+z+w+u2+2=o

para u,v y w en términos de

X,

y y z cerca de

2

= y = z = O, u = v = 0 y w = -2.

290

8.


Investigar si el sistema

se puede resolver para r , y y

2

en t6rminos de u ,

11

y w, cerca de ( x ,y , z ) = ( O , O, O).

+

9. Considerar f ( z , y ) = ( ( x 2 - $)/(x’ y’), zy/(x’ R2\(0,O) a R’ inversa local cerca (ir ( x ,y ) = ( O , l ) ?

Definir z: RZ + R por z ( r , O ) = sen O . Mostrar que

10. T

T

+ y 2 ) ) . ¿Tiene esta función de

cos O y definir y: R2

-+

R por ~ ( T , O )=

¿Cuándo podernos formar una función inversa suave ~ ( xy),, H(z, y)? Verificar directamente y con el teorema de la función inversa. (c) Considerar las siguientes transformaciones Rara coordenadas esféricas (ver l a sección 1.4): x ( p , h , O ) = psen&cosB

y( p , q>< H) = p sen q5 sen O ,.(p.

$9,O ) = pcos $5.

Mostrar que

(d) ¿Cuándo podemos resolver para ( p , &, O ) en términos de ( x ,y, z)? 11. Sea (20, yo, Z O ) un punto del lugar geométrico definido por - y’ - b = O , donde a y b son constantes.

2’

+ z y - a = O,

2’

+

2’

(a) ¿Bajo qué condiciones puede la parte de la figura cerca de sentarse en l a forma 2 = f(z), y = g ( r ) ? (b) Calcular f ’ ( z ) y g’(z).

( Z O , yo, Z O )

repre-

4.5

291

ALGUNASAPLICACIONES

¿Es posible Iesolvex

+ z z u + yv2 = 3 + 2xv - u2v2 = 2

zy* u”yz

para u(%,y, z), v(2, y, z) cerca de ( z , ~ z) , = ( I , 1, I ) , (u, v ) = (1, l)?Calcular &/ay e n ( 2 ,Y, 2) = (1,171).

+

+

+

13. El problema de factorizar un polinomio zn an-lzn-l . . . a0 en factores lineales es, en cierto sentido, un problema de “función inversa”. Los coeficientes a , son funciones conocidas de las n raíces r J . Quisiéramos expresar las raíces como funciones de los coeficientesen alguna región. Con n = 3 , aplicar el teorema de la función inversa a este problemay enunciar la conclusión acerca dela posibilidad de hacer lo planteado.

4.5ALGUNAS

APLICACIONES

En esta sección daremos algunas aplicaciones de los métodos matemáticos desarrollados enlassecciones anteriores.Estosmétodostienenaplicaciónen mecánica,geometría y economía,comenzando con mecánica.Elalumnodeberá consultar con su maestro acerca de cuáles ejemplos deberá estudiar. Denotemos por F un campo de fuerza definido en cierto dominio U de R3. Así, F: U ”+ R3 es un campo vectorial dado. Acordemos que una partícula (con masa m ) , se mueve a lo largo de una trayectoria~ ( tde) manera que se cumple la ley de Newton; masa X aceleración = fuerza; esto es, la trayectoriaa ( t )satisface la ecuación ma”(t)= F ( u ( t ) ) . (1) Si F es un campo de potencial con potencial V ,esto es, si F = - grad V ,entonces

+

imlla’(t)l12 V ( a ( t ) )= constante.

(El primer término se llama energia cinética.) En efecto, al diferenciar con regla de la cadena, d -

dt

(2)

la

l [-m)la‘(t)l)2 + V ( a ( t ) )=] mo’(t) a ” ( t )+ g r a d V ( a ( t )-)d ( t ) 2

+

= [ma”(t) grad V ( a ( t ) ) ]a’(t)= O ,

pues m ~ ” ( t= ) -grad V ( u ( t ) ) Esto . prueba la fórmula (2).

U se llama posición de equilibrio si la fuerza en ese punto es cero: F(xo) = O . Un puntox0 que sea posición de equilibriose llama estable si para todo p > O y E > O , podemos escoger números po > O y €0 > O tales que un punto material situado en cualquier lugar a una distancia menor DEFINICI~N Un punto x0 E

que po de

XO,

después de recibir inicialmente energía cinética en una cantidad

292

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MÁXIMOS Y.MíNIMOS

menor que

€0,

permanecerá para siemprr a una distancia de 6 (ver la figura 4.Fi.1,).

poseerá energia cinética menor clue

Figura 4.5.1 Movimiento cerca de u n punto estable

xg

menor que p y

x0

Así, si tenemos una posición dc equilibrio, estabilidad en x g significa que una partícula que se mueva lentamente cc’rca de x0 siempre pc:rrnanecerá cerca de x0 y se mantendrá movihdose lentanlent,e. Si tenemos un punto de equilibrio inestable xol entonces o ( t ) = x0 resuelve la ecuación ma’’(t) = F(b(t)),pero las solucionescercanaspuedenalejarse de x0 conformetranscurra el tiempo. Por ejemplo, un lápiz que se balancee sobre su punta ilustra una configuración inestable,mientarasqueuna bolacolgandodeunresorteilustraunequilibrio estable. TEOREMA 13

(i) Los puntos criticos de un potencial so11 posiciones de equilibrio. (ii) En un campo de potencial, u n punto x0 enel cual el potencial alcance un mínimo local estricto es una posición (le equilibrio estable. (Recordar que una funciórl f tiene un mínirno local estricto en el punto x0 si existe una vecindad U de x0 tal que f ( x ) > f ( x 0 ) para tjodo x en U distinto de x0.) La primera afirmación es bastante obvia debido a la definición F = -grad V ; los puntos de equilibrio x 0 son exactamente los puntos críticos de V, en los cuales VV(x0) = O . Para probar laafirmación (ii), haremosuso de la ley de conservación de energía, ecuación (2). Tenemos SOLUCIÓN

1

-rnlla’(t)ll2 2

1 + V ( a ( t ) =) -mlla’(0)112 + V(a’(0)). 2

Argumentaremos de manera un poco informal para ampliar e iluminar las ideas centrales. Escojamos una pequelia vecindad de X0 y comience nuestra partícula

4.5

ALGUNAS

293

con poca energía cinética. Conforme t crece, la partícula se aleja de x0 sobre unatrayectoria, a ( t ) y V ( a ( t ) )crece(pues V(a(O))es unmínimoestricto), de modo que la energía cinética debe decrecer. Si la energía cinética inicial es suficientemente pequeña, entonces, para que la partícula escape de la vecindad de X O ,fuera de la cual V ha crecido en una cantidad definida, la energía cinética tendría que volverse negativa (lo cual es imposible). Así, la partícula no puede escapar de la vecindad.

Hallar los puntos que son posiciones de equilibrio y determinar si son o n o estables, siel campo de fuerza F = F,i Fyj F,k está dado por F, = - k 2 x , Fy = - k 2 y , F, = - k 2 z ( k # O).*

EJEMPLO 1

+

+

+

SOLUCIÓN El campo F es un campo de potencial, con potencial V = i k 2 ( z 2 y’ 2’). El ímico punto crítico de V es el origen. El hessiano deV en el origen es

+

+ +

HV(O,O,O)(hl,ha, h3) = i k 2 ( h : h: h i ) , que es definitivamente positivo. Se sigue que el origen es un mínimo estricto de V . Así, por (i) y (ii) del teorema 13, hemosmostradoque el origen es una posicióndeequilibrio estable. A

Sea un punto material en un campo de potencial V restringido a mantenerse sobre la superficie de nivel S dada por la ecuación $ ( x , yz, ) = O, con grad q5 # O. Si en lafórmula (1) reemplazamos F con lacomponente de F paralela a S, aseguramos que la partícula permaneceráen S.1 Por analogía con el teorema 13, tenemos:

TEOREMA 14

(i) Si en un punto P sobre lasuperficie S el potencial VIS tiene un valor extremo, entonces el punto P es una posición de equilibrio sobre la superficie. (ii) Si un punto P E S es un minimo local estricto del potencial VIS, entonces el punto P es una posición de equilibrio estable. Se omitirá la demostración de este teorema. Es análoga a la demostración del teorema 13, con el hecho adicional de que la ecuación de movimiento usa sólo la componente de F a lo largo de la superficie.$ *El campo de fuerza en este ejemplo es el que gobierna el movimiento de unoscilador armónico tridimensional. tSi “!.I, y, 2) = zZ y z + z 2 - T ’ , la partícula está restringida a moverse sobre una esfera; por eJemplo, puede estar girando sujeta a una cuerda. La parte sustraída de F para hacerlo paralelo a S es normal a S y se llama fuerza centrípeta.

+

$Estas ideas se pueden aplicar a un buen número de situaciones físicas interesantes, tales como vibraciones moleculares. La estabilidad de dichos sistemas es una cuestión importante. Para mayor información consultar la literaturasobre física (e.g., H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1950, capítulo 10) y la literatura matemática(e.g., M. Hirsch y S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, Nueva York, 1974).

294


EJEMPLO 2 Sea F el campogravitacional cerca de la superficie de la Tierra; esto es, sea F = ( F z ,Fy,F A ) ,donde F, = O , FzI = O y F, = - m g , donde g es la aceleración debida a la gravedad. ¿Cuáles son las posiciones de equilibrio, si un punto material con masa m está restringido a la esfera 4(x, y , z ) = x’ y’ z’ - r’ = O ( r > O ) ? ¿Cuales son estables?

+ +

F es uncampo de potencial con V = m g z . Usando el método de los multiplicadores de Lagrange introducido en la sección 4.3 para localizar los extremos posibles, tenemos las ecuaciones S O L U C I ~ N Nótese que

vv = XVd d=O

o , en términos de componentes,

O = 2Ax

o = 2xy m y = 2x2

2 + y2 + z2 - r 2 = o. La solucióndeestasecuacionessimultáneas es 2 = O , y = O , z = k r , X = f r n g / 2 r . Por el teorema 14, se sigue que los puntos PI= (O, O , - r ) y Pz = (O, O, r ) son posiciones de equilibrio. Al observar la función de potencial V = m g z y por el teorema 14, parte (ii), se sigue que P I es un mínimo estricto y, por lo tanto, un punto estable, mientras que Pa no lo es. Esta conclusión debe resultar obvia A desde el puntodevista físico. Pasamos ahora a una aplicación geornét,rica.

EJEMPLO 3

Suponer que tenemos una curva definida d ( z ,y) = Ax2

por la ecuación

+ 2 B x y + C y 2 - 1 = O.

Hallar la distancia máxima y mínima de la curva al origen. (Estas sona s l longitudes de los ejes semimayor y senlimenor de esta cuadrática.)

El problema es equivalente a hallar los valores extremos de f(x,y) = sujeto a la condiciónrestrictiva +(.,y) = O. Usando el método del multiplicador de Lagrange, tenemos las ecuaciones siguientes: SOLUCIÓN

x’

+ y’

+ X(2Az + 2 B y ) = o 2y + X(2Bz + 2 C y ) = 0 22

Ax2 + 2 B x y

+ Cyz = 1.

4.5

ALGUNAS APLlCAClONES

295

Sumando x por la ecuación (1) más y por la ecuación (a), obtenemos 2(x2 + y') 2X(Ax2 2Bxy Cy') = O. De la ecuación (3) se sigue que 'x + y 2 + X = O. Sea t = - l / X = 1/(x2 y2) (es imposible que X = O, pues (O, O) no está sobre la curva d ( x , y) = O). Entonces l a s ecuaciones (1) y (2) se pueden escribir como sigue:

+

+

+

+

2(A - t ) z 2Ba

+ 2By = O

+ 2(C - t)y = o

(4)

Si estas dos ecuaciones van a tener solución no trivial (recordar que(x,y) = (O, O)

no está sobre nuestra curva,de modo que no es solución), se sigue de un teorema de álgebra lineal, que su determinante se anula:*

Como esta ecuación es cuadrática en t , ha dossoluciones,que llamaremos t l y t 2 . Como -X = x2 + y', tenemos = Ahora bien, es la distancia del punto (x,?/)alorigen. Por lo tanto, si (x1, y1) y ( 2 2 , y') denotan las soluciones no triviales de la ecuación (4), correspondientes a t l y t z , tenemos que =x/ = 1/& y = 1/&. En consecuencia, si t l > t z , las longitudes de los ejes semimenor y semimayor son l/& y 1/&, respectivamente. Si la curva es una elipse, tantotl como t 2 son reales y positivos. A ¿Quésucede con unahipérbola o una parábola?

a.

d& d

d

m

m

Finalmente, estudiaremos una aplicación en economía.

Suponer que la producción de una firma manufacturera es una canQ es una función f(Ií,L), donde Ii' es la tidad Q de cierto producto, donde cantidad de capital (inversión) y L es la cantidad de trabajo usada. Si el precio B del trabajo es p , el precio del capital q y la firma no puede gastar más de dólares, ¿cómo podemos hallar la cantidad de capitaly de trabajo que maximice la producción Q? EJEMPLO 4

S O L U C I ~ N Se esperaría que sise incrementa la cantidad de capitalo de trabajo, entonces la producción deberá incrementarse; esto es,

*La matriz de los coeficientes de las ecuaciones no puede tener inversa, pues ello implicaría que la solución es cero. De la sección 1.5 sabemos que una matriz que no tiene inversa, tiene determinante cero.

296

DERIVADAS DE ORDENSUPERIOR: MÁXIMOS Y MíNIMOS

También se esperaría que conforme se añada trabajo a una cantidad dada de capital, obtendremos menos productos adicionales por nuestro esfuerzo; esto es,

De manera análoga,

Con estas hipótesis sobre Q, es razonable esperar que las curvas de nivel de la producción (llamadas isocuantas) Q(I<,15) = c se vean como las esbozadas en la figura 4.5.2, con c1 < c2 < c3.

L

Figura 4.5.2 iCuál es el mayor valor de Q en el triángulo sombreado?

Podemos interpretar laconvexidad de las isocuantas como sigue: conforme nos movemos hacia la derecha a lo largo de una isocuanta dada, se emplea más y más capital para reemplazar una unidad de trabajo y producir la misma cantidad. La restricción de presupuesto significa que debemos mantenernos dentro del triángulo acotado por los ejes y la recta p L + q K = B . Geométricamente, es claro que producimos más al gastar nuestro dinero de tal manera que seleccionemos la isocuanta que solamente toca, pero no cruza, la recta de presupuesto. Como el punto máximo está en la frontera de nuestro dominio, aplicamos el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el máximo. Para maximizar Q = f ( K , t)sujeto a la restricción pl; + q K = B , buscamos los puntos

297

ALGUNAS APLICACIONES

4.5

críticos de la función auxiliar, h ( K , L , X) = f(h',L ) - X(pL

+ qK - B ) .

Así, queremos

aQ = Xq, 3h '

aQ = X p dL

Y

p L + q K = B.

Estas son las condiciones que debemos alcanzar para maximizar la producción. A (En el ejercicio 11 sepide al lector trabajar uncasoespecífico.) En el ejemplo anterior, X representa algo interesante. Sea IC = q K y I = p L , de modo que k es el valor en dólares del capital empleado y I es el valor en dólares del trabajo empleado. Entonces las primeras dos ecuaciones se convierten en

Así, en el punto óptimo de producción, el cambio marginal en la producción por dólar de inversiónde capital adicional, es igual al cambio marginal de la producción por dólar de trabajo adicional, y X es este valor común. En el punto óptimo, el intercambio de un dólar de capital por un dólar de trabajo no cambia la producción. Fuera del punto óptimo, la producción marginal es distinta, y un intercambio o el otro incrementarán la producción. EJERCICIOS Sea una partícula que se mueve en un campo de potencial R2 en dado por V(z, y) =

3z2

+ 2xy + 22 + y2 + y + 4. Hallar los puntos de equilibrio estable, si los hay.

2. Sea una partícula moviéndose en un campo de potencial en R2 dado por z2 - 22y y' y3 z 4 . ¿Es (O, O) una posición de equilibrio estable?

+ + +

V(z, y ) =

3. Sea una partícula moviéndose en un campo de potencial enR2 dado por V(z, y ) = z2 4zy - y' - 82 - 6y. Hallar todos los puntos de equilibrio. ¿Cuáles, si hay, son

+

estables?

4. Sea una partícula restringida a moverse en el círculo x 2 + y' = 25 sujeta a fuerzas gravitacionales (como en el ejemplo 2) así como al potencial adicional V ( x ,y) = x 2 242y 8y2. Hallar los puntos de equilibrio estable, si los hay.

+

+

+ +

Sea una partícula restringida a moverse sobrelaesfera z2 y2 z2 = 1, suj e t a a fuerzas gravitacionales (como en el ejemplo a), así como al potencial adicional V(z, y, z ) = z y. Hallar los puntos de equilibrio estable, si los hay.

+

298


6. Tratar de formular una definición y un teorema que diga que si un potencial tiene un máximo en XO,entonces x0 es una posición de equilibrio inestable. Cuidado con las fallas en su argumentación.

7. Tratar de hallar los extremos de z y

+ y z entre los puntos que satisfacen

r?;l Responder la pregunta planteada en la última línea del ejemplo 9. Hallar el punto sobre la curva (cost,sen

zz

= 1.

3.

t , sen(t/2)) más alejado del origen.

Q(z, y ) = z y . El costo de producción 1o. La función de producción de una compañía es es C(z, y ) = 22. + 3y. Si esta compañía gasta C(z, y) = 10, ¿cuál es la máxima cantidad que puede producir? Realizar el análisisdelejemplo 4 paralafuncióndeproducción Q ( K ,L ) = (Y son constantes positivas y O < (Y < 1. ÉSta se llama función de producción de Cobb-Douglas y se usa a veces como un modelo sencillo para la economía nacional. Q es, entonces, la producción agregada de la economía para una entrada de capital y trabajo dada.

A K a L 1 - a ,donde A y

12. Una firma usa fibra de lana y de algodón para producir tela. La cantidad de tela producida está dada por Q(z, y) = z y - z - y 1, donde z es el número de libras de lana, y el número de libras de algodón, z > 1 y y > 1. Si la lana cuesta p dólares por libra y el algodón q dólares por libra, y la firma puede gastar B dólares en material, ¿Cuál será la razón de algodón y lana para producir la mayor cantidad de tela?

+

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO4 1. Analizar el comportamiento de las siguientes funciones en los puntos indicados.

(La respuesta puede depender de la constante C.) (a) z zz - yz 32:y, ( X , Y) = (01 0) = z2 y2 c z y , (x,y) = (O, O ) (c) z = z2 - y2 c z y , (z, y) = ( O , O)

+

+

+ + +

2. Hallar y clasificar los valores extremos (si los hay) de las funciones en R2definidas por las expresiones siguientes: (a) y’ - z3 (b) (z - 1)’ (z - y)2 z2 zy2 y4

+

+

3. (a) Hallar la distancia mínima del origen en

(b) Repetir la parte (a) para la superficie

+

R3 a la supeficie

z = 6zy

+ 7.

z

=d

m .

4. Hallar los primeros términos en el desarrollo de Taylor de f(z,y) = ely cos z alrededor de z = O , y = O.

o

5 Hallar el valor extremo de z = zy, sujeto a la condición z 6. Hallar los valores extremos de z = cos’ 7. Hallar los puntos sobre la superficie

2: +cosz

zz - zy

+ y = 1.

y sujeto a la condición z + y = ~ / 4 .

= 1 más cercanos al origen.

299

EJERCICIOS DEL REPASO DEL CAPíTULO4

8. Usar el teorema de la función implícita para calcular

(a) z / y = 10

z3 - s e n y + y 4 = 4

(c)

dy/dz para y3 = o

et+ya

+

9. Hallar la distancia más corta del punto ( O , b ) a la parábola z2 - 4y = O. Resolver este problema usando el multiplicador de Lagrange y también sin usar el método de Lagrange.

10. Resolver los siguientes problemas geométricos mediante

el método de Lagrange. (a)Hallarladistanciamáscortadelpunto ( a l , u 2 , u3) en R3 al planocuya b222 b323 bo = O , donde ( b 1 , b 2 , b 3 ) # ( O , O , O ) . ecuación está dada por b l z l (b) Hallar el punto sobre la recta de intersección de los dos planos ulzl u 2 2 2 a323 = O y b l z l b2z2 b323 bo = O que esté más cerca del origen. Mostrar que el volumen del paralelepípedo rectangular más grande que puede inscribirse en el elipsoide x2 y2 z2 -+-+"=1

+

+

+

+

+

+

+

a2

b2

+

c2

es 8abc/3&. 11. Una particula se mueve en un potencial V[z, y) = z3 - y' si (O, O) es un punto de equilibrio estable.

+ z2 + 3 z y . Determinar

12. Estudiar la naturaleza de la función f (z, y) = z3 - 3zy2 cerca de (O,O). Mostrar D = O. Esta superficie se que el punto (O, O) es un punto crítico degenerado, esto es, llama "silla de monon. 13. Hallar y esbozar el máximo de f ( z , y) = z y sobre la curva (z

Hallar el máximo y mínimo de f(z, y) = z y - y

+ 1)2 + y2 = 1.

+ z - 1 en el conjunto z 2 + y2 5 2.

15. La planta en Baraboo, Wisconsin, de la Compañía Internacional de Chucherías,

S.A. usa aluminio, hierro y magnesio para producir chucherías de alta calidad. La can-

2: toneladas de aluminio, y toneladas tidad de chucherías que puede producir usando de hierro y z toneladas de magnesio es Q(z,y, z) = zyz. El costo de la materia prima es: aluminio, $6 por tonelada; hierro, $4 por tonelada; y magnesio, $8 por tonelada. y magnesio deberán usarse para manufactu¿Cuántas toneladas de aluminio, hierro (IDEA: Hallar un valor extremo: ¿de qué rar 1000 chucherías al menor costo posible? función, sujeta a qué restricciones?)

*16. Sea

f:R -* R de clase C' y sea u = f(.) 21

= "y

+ zf(.)

Si f'(zo) # O, mostrar que esta transformación de R2 a R2es invertible cerca de (20,y) y su inversa está dada por 2

= f-l[s)

y = "21

+ ?if"(.).

300

DERIVADAS DE ORDENSUPERIOR;MÁXlMOS

Y MíNIMOS

+4 =o 2 r y + y' - 2 1 2 + 304 + x = o 2

~

y2 -

determinan funciones u ( z ,y) y L I ( L y. ) c r r c a y v(2, -1) = 1. Calcular a u / a x en ( 2 , - I ) .

+

dv

I

= 2 y y = -I

tales que u ( 2 , -1) = 2

Para trabajar en este ejercicio el lector tieherá est,ar familiarizado con la técnica de diagonalización de una matriz de 2 x 2. Sean u(.), b ( z ) y c ( z ) tres funciones continuas definidas en U u a U , donde M rs u n conjunto abierto y aLr denota su conjunto de puntos frontera (ver la sección 2 . 2 ) . Usar la not.aci6n del lema 2 en la sección 4.2, y suponer q u e para cada S E I1 U al:, la forma cuadrhtica definida por l a matriz

*19:

es definitivarnenkpositiva. Para una función u d e clase C 2 , en U U aU, definimos un operador diferencial L mediante L u = a ( i 1 2 n / a x 2 ) 2b(a2v/azay) c(a2u/ay2). Con esta condición de definitivitlad positiva, dicho operador se llama elíptico. Una función u se llama estrictamente suharn~ónica respecto a L si L v > O. Mostrar que una función estrictamente subarmónica no puede tener un punto máximo en U .

+

+

*20. Se dice que una función v está en el núcleo del operador L descrito en el ejercicio 19 si L v = O en U U aU.Argumentando como e n el ejercicio 35 df: l a sección 4.2, mostrar

que si v alcanza su máximo en U , también lo alcanza en del máximo para operadores elípticos.

aU.Este es

el principio débil

Sea L un operador diferencial elíptico como en los ejercicios 19 y 20. ( a ) Definir el concepto de función supraarmónica estricta. (b) Mostrar que dichas funciones no pueden alcanzar un mínimo en U. (c) Si v escomoen el ejercicio 2 0 , mostrarque si 'u alcanzasumínimoen también lo alcanza en a U .

'21.

U,

El siguiente método de los cuadrados mínimos deberá aplicarse a los ejercicios 22 al 27. Sucedeamenudoquelateoríadetrásdeunexperimentoindicaquelosdatos experimentales deberán estar colocados,&e manera aproximada, a lo largo de una recta de la forma y = mx b. Es claro que los resultados obtenidos en la realidad, nunca concuerdan exactamente con la teoría. Enfrentamos entonces el problema de hallar la

+

301

EJERCICIOS DEL REPASO DEL CAPíTULO4

Figura 4.R.1 El método de los cuadrados mínimos trata de hallar una aproxime un conjunto de datos.

r e a q u e mejor

recta que mejor se ajustea algún conjunto de datos experimentales( 2 1 , y ~ ) , .. . ,(xn,yn) como en la figura 4.R.1. Si pensamos que la recta y = mx b ajustará los datos, cada punto se desviará verticalmente de la recta en una distancia d , = y, - ( m z , b ) . Quisiéramos escoger m y b de manera queel efect.0 total de estas desviaciones fuera lo más pequeño posible. Sin embargo, como algunas son negativas y otras positivas, y a pesar de tener multitud de cancelaciones, quizá el ajuste siga siendo malo. Esto nos hace sospechar que quizá una mejor medida del error total sea la suma de los cuadrados de estas desviaciones. Así, llegamos al problema de hallar m y b que minimicen l a función

+

donde

X I , .. .

, x,, y

+

y],. . . , yn son datos dados

Para cada conjunto de tres puntos dato, localizar los puntos, escribir la función f ( m ,b ) anterior y hallar m y b para dar el mejor ajuste en línea recta de acuerdo con el método de los cuadrados mínimos, y dibujar l a recta. (a) ( x 1 , ~ 1 ) = ( 1 , 1 ) (b) ( ~ I , Y ~ ) = ( O , O ) (x2, Y 2 1 = ( 2 , 3 ) (x21 Y Z ) = ( 1 1 2 ) ( x 3 , Y3) = G 3 ) (z3, Y 3 ) = ( 4 , 3 ) 23. Mostrar que si sólo se dan dos puntos dato la recta que pasa por ( x ~ , Y I Y) ( x 2 , ~ 2 ) .

(21,

24. Mostrar que las ecuaciones para un punto crítico, equivalentes a

donde todas las sumas van de i = 1 a i = 7 ~ .

y , ) y (22,y2), este método produce

a s l a b = O y aslam = O , son

302


Si y = 7nr + b e s l a recta que mejor ajusta los puntos dato acuerdo con el método de los cuadrados mínimos, mostrar que

(.I,

yl),. . . , ( x n , y n ) de

n

,=I

esto es, l a s desviaciones positivas y negativas se cancelan (ver el ejercicio 24). 26. Usar el criterio de l a segunda derivada para mostrar que realidad no produce un mínimo.

el punto crítico de f en

27. Usar el mhtodo de los cuadrados mínimos para hallar l a recta que mejor ajuste los

puntos ( O . l ) , (1, : 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 4 ) y ( 4 , 5 ) . Dibujar los puntos y l a recta.*

*El método delos cuadrados m'nimos puede ser cambiado y generalizado de multitud de maneras. La idea básica se puede aplicar a ecuadones de curvas más complicadas que una recta.Por ejemplo, se puede buscar la parábola que mejor ajuste un conjunto dado de datos. Estasideas también formaban parte de la base para el desarrollo de la ciencia de la cibernética realizado por Norbert Wiener. Otra versión de los datos es el siguiente problema de aproximación de cuadrados mínimos: dada una función f definida e integrable en un intervalo [ a ,b ] , hallar un polinomio P de grado 5 n tal que el error cuadrático medio

sea lo más pequeño posible.

5

INTEGRALES DOBLES

Es a Arquímedes mismo (c. 225 A.C.) a quien debemos el mejor enfoque a la verdaderaintegracióndescubierto entre los griegos. Su primer avance notable en esta dirección se ocupaba de la demostración de que el área de un segmento parabólico es cuatro tercios del triángulo con la misma base y vértice, o dos tercios del paralelogramo circunscrito.

D. E. Smith, History of Mathematics

En éste y en el siguiente capítulo estudiamos la integraciónde funciones de varias variables con valores reales; en este capítulo se trata con integrales de funciones una interpretación de dos variables, o integrales dobles. La integral doble tiene geométrica básica como volumen, y se puede definir rigurosamente como límite de sumas aproximantes. Presentaremos varias técnicas para evaluar integrales dobles y consideraremos algunas aplicaciones.

5.1 INTRODUCCI~N

En esta sección se estudian de manera breve algunos aspectos geométricos de la integral doble, dejando un análisis más riguroso, en términos de sumas de Riemann, hasta la sección 5.2. Considerar una función continua de dos variables f : R c R2 ”+ R cuyo dominio R es un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados. El rectángulo R puede describirse en términos de dos intervalos cerrados [ u , b] y [c, d l , representando los lados de R a lo largo de los ejes I y y, respectivamente, como en la figura 5.1. l . En este caso, podemos decir que R es el producto cartesiano de [ a , b ] y [e,d] y escribimos R = [u,b]x [c,d].

304

INTEGRALES DOBLES Z

X

Figura 5.1 .l La región V en el espacio está acotada por la gráfica de f , el rectángulo R y los cuatro lados verticales indicados.

Suponer que f(x, y) 2 O en R, de manera que la gráfica de z = f ( x , y) es una superficie que está arriba del rectángulo R. Esta superficie, el rectángulo R y los cuatro planos x = a , 2 = b, y = c y y = d forman la frontera de una región V en el espacio (ver la figura 5.1.1). Es necesario enfrentar el problema de cómo definir de manera rigurosa el volumen V , cosa que haremos en la sección 5.2 por medio del métodoclásico de exhausión, o, dicho en términos modernos,el método de las sumas de Riemann. Sin embargo, para tener un conocimiento intuitivo de este método, supongamos provisionalmente quese ha definido el volumen de una región. El volumen de la región arriba de R y debajo de la gráfica de f se llama la integral (doble) de f sobre R y se denota por

EJEMPLO 1 (a) Si f está definidapor f ( x , y) = I C , donde 6 es una constante , f(x,y) dA = k ( b - a ) ( d - c ) , pues la integral es igual al positiva, entonces S volumen de una caja rectangular con base R y altura k . (b)Sif(x,y)=1-xyR=[O,l]x[O,l],entonces~,f(x,y)dA=~,pueslaintegral es igual al volumen del sólido triangular mostrado eri la figura 5.1.2. A EJEMPLO 2 Suponer que z = f ( x ,y) = x’ + y 2 y R = [--I, 13 x [o, 13. Entonces , f = S,(x2 +y2) dx dy es igual al volumen del sólido esbozado en la la integral S A figura 5.1.3. Calcularemosestaintegral en el ejemplo 3.

5.1

305

INTRoDUCaÓN Z

X

d

Figura 5.1.2 Volumen bajo la gráfica z = 1 -

2:

y sobre R = [O, 11 x [O, 13.

Z

z

= f(x,

y ) = x*

\

+ y?

Figura 5.1.3 Volumen bajo z = z2

.g

+ 'Y

y sobre R = [-I, 11 x

[o, 11.

306

INTEGRALES DOBLES

Y

Figura 5.1.4 Área bajo la gráficade una función continua no negativa b = b es J, f ( z ) d z .

f de

z = a a

1:

Estas ideas son similares a la de integral simple S, f ( ~ dx, ) que representa el área bajo la gráfica de f si f 2 O y, digamos continua; ver la figura 5.1.4.* Reb cordar que puede definirse rigurosamente J, f ( ~dx, ) sin recurrir al concepto de b

área, como un límite de sumas de Riemann. Así, podemos aproximar S, f ( z ) dx escogiendo una partición a = ZO < z1 < . . . < Z, = b de [ a ,b ] , seleccionando puntos ci E [xi,2 i + l ] y formando la suma de Riemann b

(ver la figura 5.1.5). En la sección siguiente examinamosel proceso análogo para integrales dobles. Hay un método para calcular volúmenesconocidocomo principio de Cavalieri. Supongamos que tenemos un cuerpo sólido y denotemos por A(x) el área 2 de un plano de referencia de su sección transversal medida a una distancia (figura 5.1.6). De acuerdo con el principio de Cavalieri, el volumen del cuerpo está dado por volumen =

1 b

A(z) d z ,

donde a y b son a ls distancias mínima y máxima a partir del plano de referencia. Esto se puede aclarar de manera intuitiva. Si partimos [a,b] en a = zo < *Los lectores que no estén familiarizados conesta idea deberán repasarlas secciones adecuadas de su libro de cálculo introductorio.

5.1

307

INTRODUCCIóN

Y

Figura 5.1.5 La suma de las áreas de los rectángulos sombreados es una suma de mann que aproxima el área bajo f de z = a a z = b.

A ( r ) = área de la sección transversal

Rie-

"

\

4

'plano de referencia Figura 5.1.6 Cuerpo sólido con área de sección transversal plano de referencia.

xi< es

A(z) a una distancia z del

. . . < x , = b, entonces una suma de Riemann aproximante para la integral n-1

Pero esta suma también aproxima el volumen del cuerpo, pues A ( $ ) A x es el volumen d e una rebanada con área de sección transversal A ( x ) y ancho A x (figura 5.1.7). Por lo tanto, es razonable aceptar la fórmula anterior para el volumen. A continuación se presenta una justificación más cuidadosa del método.

308

INTEGRALES DOBLES

Figura5.1.7 El volumen de una rebanada con área de sección transversal A ( z ) y grueso b es igual a A ( z )Ax.El volumen total del cuerpo es A ( z )dx.

1,

Ax

NOTA HIST~RICA

Bonaventura Cavalieri (1598-1647) fue discípulo de Galileo y profesor en Bolonia. Sus y volumenfueronbasesimportantespara el fundainvestigacionesacercadelárea sus contemporáneos, mento del cálculo. Aunque estos métodos fueron criticados por Arquímedes había usado antes ideas similares, y más adelante fueron tomadas por los "padres" del cálculo, Newton y Leibniz.

Ahora usamos el principio de Cavalieri para evaluar integrales dobles. Considerar la región sólida bajo lagráfica z = f ( a : , y) definida en la región [u,b] x [e,d], donde f es continua y mayor que cero. Hay dos funciones naturales para el área de sección transversal: una, obtenida usando planos cortantes perpendiculares al eje y. La sección al eje z y la otra usando planos cortantes perpendiculares a: = Z O , del primer tipo, es la transversal determinada por un plano cortante región plana debajo de la gráfica de z = f(z0,y) de y = c a y = d (figura 5.1.8). Cuando fijamos a: = 2 0 , tenemos la función y H f ( z 0 , y ) que es continua en [ c , d ] .El área de la sección transversal A ( x O )es, por lo tanto, igual a la integral S,d f ( z o ,y) dy. Así, la función A de área de sección transversal tiene dominio d

y A: x H f ( x , y) dy. Por el principiodeCavalieri, región debajo de z = f ( a : , y ) debe ser igual a [ u , b]

Jab[icd

el volumen V de la

La integral f(z,y) dy] da: se conoce como integral iterada, pues se obtiene integrando respecto a y y después integrando el resultado respecto a z . Como

5.1

309

INTRODUCCI~N

Y

i'

Figura 5.1.8 Dos secciones transversales diferentes que barren el volumen bajo z =

f (x,Y).

S,

f ( z ,y) dA es igual al volumen V ,

Si invertimos lospapelesde z y y en el estudio anterior y usamos planos cortantes perpendiculares al eje y, obtenemos

La expresión a la derecha de la fórmula (2) es la integral iterada obtenida al integrar respecto a x y después integrando el resultado respecto a y. Así, sinuestroconocimientointuitivoacerca del volumen escorrecto,las fórmulas (1) y (2) deberán ser válidas. De hecho, esto es cierto cuando se definen de manera rigurosa los conceptos estudiados; ello se conoce como el teorema de Fubini. En la siguiente sección daremos una demostración de este teorema. Como se ilustra en los ejemplos siguientes, el concepto de integral iterada y las ecuaciones (1) y (2) proporcionan un método poderoso para calcular la integral doble de una función de dos variables.

310

INTEGRALES DOBLES

SOLUCIÓN

Por la ecuación (2),

+ +

Para hallar s : , ( x 2 y2) dx,tratamos y como constante e integramos respecto a x. Como 3: H x3/3 y2z es una antiderivada de x H x 2 y’, podemos integrar usando métodos de cálculo de una variable, y obtener

+

Después integramos y

H

$ + 2y2 respecto

a y , de O a 1, para obtener

Entonces el volumen del sólido en la figura 5.1.3 es $. Para completar,evaluemos + y’) dx dy usando la ecuación (1) “esto es, integrando respecto a y y después respecto a x-. Tenemos

Tratando x como constante en la integración respecto a y , obtenemos (x’+y’)dy=

= x 2 + - .1

[z’y+$-]’ y=o

1

Después evaluamos J - , ( x 2

loqueconcuerda

(ver

S,

la figura 5.1.9).

SOLUCIÓN

+ f ) dx para obtener

con la respuestaobtenidapreviamente.

EJEMPLO 4 Calcular

A

cos x sen y dx dy, donde S es el cuadrado

Por laecuación (a),

l c o s x sen y dx dy =

3

LT”[

Ln”cos x sen y d r ] dy = L*’sen

s e n y d y = 1.

A

[

[o, ~ / 2 X] [o, r / 2 ]

y l T ” c o s z dx] dy

5.1

31 1

INTRODUCU~N

X

Figura 5.1.9 Volumen bajo z = cos z sen y y sobre el rectángulo [O, x/2]

X

[O,r / 2 ] .

En lasiguiente sección usaremos sumas de Riemann para definir rigurosamente l a integral doble para una ampliaclase de funciones de dos variables, sin recurrir al concepto de volumen. Aunque suprimiremos el requerimiento de quef ( x , y) 2 O, se seguirán cumpliendo las ecuaciones (1) y (2). Por lo tanto, la integral iterada proporcionará de nuevo la clave para calcular la integral doble. En la sección 5 . 3 trataremos integrales dobles sobre regiones más generales que rectángulos. Finalmente, observamos quees común eliminar los paréntesis cuadrados en las integrales iteradas, como en las ecuaciones (1) y (2) anteriores, y escribir

Y

EJERCICIOS

312

INTEGRALES DOBLES

121 Evaluar las integrales del ejercicio

1 integrando respecto a z y después respecto a y . (La solución sólo a la parte (b) está en la Guía de estudio de este libro.)

Usar el principio de Cavalieri para mostrar que los volúmenes de dos cilindros con la misma base y altura son iguales (ver la figura 5.1.10).

Figura 5.1.10 Dos cilindros con la misma base y altura tienen el mismo volumen.

4. Usando el principio de Cavalieri, calcular el volumen de la estructura mostrada en

la figura 5.1.11; cada sección transversal es un rectángulo de longitud 5 y ancho 3.

Figura 5.1.1 1 Calcular este volumen.

o

5 Un leñador corta una pieza con forma de cuña de un árbol cilíndrico de radio r , mediante dos cortes de sierra hacia el centro del árbol, uno horizontal y otro a un ángulo O. Calcular el volumen de la cuña C usando el principio de Cavalieri. (Ver la figura 5.1.12.)

5.1

INTRODUCCTÓN

Figura 5.1.12 Hallar el volumen de

C

6. (a) Demostrar informalmente que en la figura 5.1.13 es

el volumendelsólidoderevoluciónmostrado rb

(b) Mostrar que el volumen de la región obtenida al girar la región bajo la gráfica 23: 3 , -1 5 z 5 3 alrededor del eje z es 512x/15 (ver la de la parábola y = -x2 figura 5.1.14).

+ +

Y

.

"

.,.,.

Figura 5.1.13 Este sólido de revolución tiene volumen

x

S,b [f(x)]'

dz.

314

INTEGRALESDOBLES

:z

+ 2.Y + 3

X

Figura5.1.14 Girando la región entre la gráfica dey = - x 2 + 2 2 + 3 y el eje x, alrededor

del eje x.

Evaluar las integrales dobles en los ejercicios

[-LO].

7. sR(x2y2

7 al 9, donde R es el rectángulo [O, 21 x

+ x) dy dx

9. JR(-xe3sen $ n y ) d y d x

+ +

Hallar el volumen acotado por la gráfica de f(x, y) = 1 22 3 y , el rectángulo [ l , 21 x [O, 13 y los cuatro lados verticales del rectángulo R, como en la figura 5.1.1. 11. Repetir el ejercicio 10 para la superficie f ( x , y) = x4 [-3, -21.

+ y’

y el rectángulo [-I, 11 x

5.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTÁNGULO

Estamos p r e p a r a d o s p a r a d a r u n a d e f i n i c i ó n r i g u r o s a d e la integral do.ble como límite de una sucesión de sumas. Esto se usará después para definir el volumen d e 1s región debajo de la gráfica de una función f(z,y). No r e q u e r i r e m o s q u e f ( z ,y) 2 O; p e r o si f ( z , y) toma valores negativos, interpretaremos la integral como un volumen con signo,así como para el área bajo la gráfica de una función

5.2

INTEORAL DOBLE SOBRE UN RECTÁNGUU)

31 5

de una variable. Además, estudiaremos algunas propiedades algebraicas de la integral doble y probaremos el teorema de Fubini, que asegura que la integral doble se puede calcular como integral iterada. Para comenzar, establezcamos la notación para particiones y sumas. Considerar un rectángulo R c R2, que es el producto cartesiano R = [a,b]X . [c, dl. Por una partición regular de R de orden n , entenderemos dos colecciones n 1 puntos igualmente espaciados y esto es, ordenadas de puntos que satisfacen

{X~}Y=~

+

U = X O < X I

<...<~,=b,

Y XJi.1

b-a - x j = -1 n

C=YO
<...
Yk+l

-yk = a

n

(ver la figura 5.2.1). Y

Figura 5.2.1 Partición regular de un rectángulo R, con n = 4.

Sea R j k el rectángulo [ ~ jzj+l] , x [yk,& + I ] , y sea c j k cualquier punto en R j k . Suponer que f:R 4 R es una función acotada con valores reales. Formar la suma 3,k=O

donde

'

b-a

AX = xj+l - X, = -9 n

Y

AY = Y k + l - Y k =

d-c

- 1

n

AA = A Z A ~ .

Esta suma está tomada sobre todo j y k de O a n - 1, de modo que hay términos. Una suma de este tipo se llama suma de Riemann para f .

n2

316

INTEGRALES DOBLES

DEFINICI~N Si la sucesión {Sn} converge a un límite S cuando n ”+ o;) y el límite S es el mismo para cualquier selección de puntos c j k en los rectángula R j k , entonces decimos que f es integrable sobre R y escribimas

para el límite S. Así, podemos reescribir la integrabilidad de la siguiente manera:

para cualquier selección de c j k E R j k . La demostración del siguiente teorema básico no es difícil, pero como requiere de ciertos aspectos técnicos que no son esenciales para el desarrollo del libro, se presenta en la sección 5.5.* TEOREMA 1

grable.

Cualquier función continua definida en un rectángulo R esinte-

Si. f(x,y) 2 O, la existencia de límite

n-co

S, tiene un significado geométrico di-

recto. Considerar la gráfica de z = f(x,y) como la tapa de un sólido cuya base es el rectángulo R . Si tomamos cada c j k como un punto donde f(x, y) tiene su valor minimot en R j k , entonces f ( C j k ) A X AY representa el volumen de una caja rectangular con base R j k . La suma f ( C j k ) A X AY es igual al volumen de un sólido inscrito, parte del cual se muestra en la figura 5.2.2. De manera análoga, si c j k es un punto donde f (z, y) tiene su máximo en R j k , entonces la suma f ( c j k ) Ax A y es igual al volumen de un sólido circunscrito (ver la figura 5.2.3). Por lo tanto, si existe límite S, y es independiente de c j k E R j k , n-+m se sigue que los volúmenes de los sólidos inscrito y circunscrito tienden al mismo OO.Es entonces razonable llamar a este límite el volumen límite cuando n exacto del sólido bajo la gráfica de f . Así, el método de las sumasde Riemann es consistente con los conceptos introducidos como base intuitiva en la sección 5.1. También hay un teorema que garantiza la existencia de la integral de ciertas funciones discontinuas. Necesitaremos este resultado en la siguiente sección para estudiar la integral de funciones sobre regiones más generales que rectángulos. Nos interesaremos en especial por funciones cuyas discontinuidades estén en curvas en el plano xy. En la figura 5.2.4 se muestran dos funciones definidas en un

CY,,;:,

Ey,i:o

--f

*Para detalles técnicos adicionales acerca de la teoría de la integración, ver J. Marsden, Elementary Classical Analysis, Freeman, Nueva York, 1974. tDicha c , existe ~ debido a la continuidad de f en R, pero no lo probaremos.

5.2

INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTÁNGULO Z

Figura 5.2.2 La suma de cajas inscritas aproxima

* = f ( z , Y).

el volumen debajo de la gráfica de

rectángulo R, cuyas discontinuidades están situadas en curvas. En ot,ras palabras, f es continua en cada punto que esté en R pero no sobre la curva. Curvas útiles son las gráficas de funciones y = d(z), a 5 z 5 b , o x = $(y), c 5 y 5 d , O uniones finitas de dichas gráficas. Se muestran algunos ejemplosen la figura5.2.5. El siguiente teorema proporciona un criterio importante para determinar si una función es integrable. La demostración se estudia en la sección 5.5.

318

INTEGRALES DOBLES

corte en la superficie

z = . f i x , Y)

superficie "rota"

conjunto de discontinuidades de f

conjunto de

discontinuidad-

de f

Figura 5.2.4 Cómo podrían verse las gráficas de funciones discontinuas de dos variables.

0 Y =4

I

Y

2 w

I

Figura 5.2.9 Curvas en el plano representadas como gráficas.

Sea f:R 4 R una función acotada con valores reales, definida en f es discontinua está el rectánguloR, y suponer que el conjunto de puntos donde formado por una unión finita de gráficas de funciones continuas. Entonces f es integrable sobre R.

TEOREMA 2

Recordar que una función está acotada si existe un número M > O tal que -M 5 f(z,y) 5 M para todo (x,y) en el dominio de f . Una función continua en un rectángulo cerrado siempre está acotada, pero, por ejemplo, f ( z , y ) = 1/z en (O, 11 x [O, 11 no está acotada, pues 1/z se vuelve arbitrariamente grande para x cerca de O. Usando el teorema 2 y las observaciones que lo preceden, vemos que las funciones esbozadas en la figura 5.2.4 son integrables sobre R , pues estas funciones están acotadas y son continuas, excepto en gráficas de funciones continuas.

5.2

INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTANGUU)

f

*/“ #”.

X

SJ

319

conjunto de discontinuidades

Figura 5.2.6 Gráfica de una función discontinua y dos cajas circunscritas.

Geométricamente, el teorema 2 implica que si una función no negativa f no es “demasiado mal portada”, entonces los volúmenes de los sólidos circunscritos e inscritos aproximaránel “verdadero” volumenbajo su gráfica (verla figura5.2.6). De la definición de integral como límite de sumas y los teoremas de límites, S, f ( 2 ,y) dA; podemos deducir algunas propiedades fundamentales de la integral estaspropiedadessonesencialmentelasmismasquepara l a integral de una función con valores reales, de una variable. Sean f y g funciones integrables en el rectángulo R, y sea c una constante. Entonces f g y cf son integrables, y

+

(i)(Linealidad)

(ii) (Homogeneidad)

J,4 x 9 Y) dA = J’, c

f(Zl

Y) dA.

(iii) (Monotonía) Si f(z,y) 2 g(z, y), entonces

(iv) (Aditividad) Si Ri, i = 1,.. . , m, son rectángulos ajenos entre sí, tales que f es integrable sobre cada Ri y si Q = R1 U Ra U . . . U R, es un rectángulo, R es integrable sobre Q y entonces una función acotada f :Q --f

m

.

320

INTEGRALES DOBLES

Las propiedades (i) y (ii) son consecuencia de la definición de integral como límite de una suma y los siguientes hechos acerca de series convergentes { S n }y {T,,},que se demuestran en libros de cálculo de una variable: límite (T, + S,) = límite T,, + límite S , n-m

n-o3

n-m

límite (cS,) = clímite S,. n-o0

n-cc

Para demostrar la monotonía, observamos primero que si h(x, y) 2 O y { S n } es una sucesión de sumas de Riemann que converge a ,S h(x,y) dA, entonces, S,, 2 O para todo n , de modo que S'h(z,y) dA = límite S, 2 O. Si f(x,y) 2 n-o3

g(x,y) para todo (x,y) E R , entonces (f - g ) ( x , y) 2 O para todo (x,y) y usando las propiedades (i) y (ii), tenemos

J,f

(z, Y) d A -

J,d z ,Y) dA = S,

Y) - dz,Y11 d A 2 0.

Esto prueba la propiedad (iii). La demostraciónde la propiedad (iv) es más técnica y se prueba un caso particular en la sección 5.5. Deberá ser intuitivamente obvia. Otro resultado importante es la desigualdad

Para ver por qué se cumple la fórmula (2), nótese que, por definición de valor absoluto, -1 f I 5 f 5 1; por lo tanto, de la monotonía y la homogeneidad de la integración (con c = -l),

If

lo cual es equivalente a la fórmula (2) Aunque hemos visto la integrabilidad de gran variedad de funciones, aún no hemos establecido rigurosamente un método general para calcular integrales. En el caso de una variable, evitamos tener que calcular S,b f(x) dx a partir de su definición como límite de una suma, mediante el uso del teorema fundamental del cálculo integral. Recordemos este importante teorema, que nos dice que si f es continua, entonces

lb

f(z)d z = W

) - F(a),

donde f es una antiderivada de f ; esto es, F' = f . Esta técnica no funciona según está enunciada, para funciones f ( 2 ,y) de dos variables. Sin embargo, como lo indicamos en la sección5.1, a menudo es posible

5.2 DOBLE INTEGRAL

SOBRE UN RECTÁNGULO

321

reducir una integral doble sobre un rectángulo,aintegralessimplesiteradas; El teorema de Fubini, después se aplica el teorema fundamental a estas integrales. que ya se mencionó en la sección anterior, justifica rigurosamente esta reducción a integrales iteradas, mediante sumasde Riemann. Como vimos en la sección 5.1, la reducción,

es consecuencia del principio de Cavalieri, al menos si f(x,y) 2 O. En términos de sumas de Riemann, corresponde a la siguiente igualdad: n-1

n-1

n-I f(C3k)AzAy

=

) E (zf(cJk)Az n-1

C f ( c 3 k ) A y A X =: 3=0

3,k=O

n-I

(+O

que se puede probar de manera más general, como sigue: Sea [ a j k ] una matriz de n x n , 0 5 j 5 n - 1, 0 5 k 5 n - 1. Sea E,";:, ajk la suma de los n2 registros de la matriz. Entonces n-1

n-I

/n-1

\

n-I

/ n - ~

\

J,k=O

J=O

\k=O

/

k=O

\J=O

/

En la primera igualdad, el lado derecho representa la suma de los registros de la matriz, primero por renglones y después sumando los resultados: n-I ao(n-I)

k=O

Claramente esto esiguala

(x:

c,",;:,a j k , esto es, la suma

de todos los

ajk.

De

a j k ) representaunasuma delosregistrosde la maneraanáloga, matriz por columnas. Esto prueba la ecuación ( 3 ) y hace plausible la reducción a integrales iteradas, si recordamos que las integrales se pueden aproximar mediante las correspondientes sumas de Riemann. De hecho, la demostración del teorema de Fubini explota esta idea. Antes de proceder con la demostración, será útil recordar cómoel principio de Cavalieri hace plausible la fórmula

322

INTEGRALES DOBLES

Si cortanlos el volumen bajo la gráficx de f en rebanadas paralelas al eje y , entonces podemos ver que el volumen bajo la gráfica es aproximadamente iguala la d suma de l a s cantidades [S, f(z,y) dy]Ax; esto es, si tenemosque S , f (x,y) dA =

s,”[Scd

f (x,y) dyldx. De manera análoga,la segunda igualdad en (4) se demuestra cortando el volumen en rebanadas paralelas al eje x (ver la figura 5.2.7).

Figura 5.2.7

Interpretación geométrica de la integral iterada.

TEOREMA3: TEOREMA DE FUBlNl Sea

gular R = [a, b]

X

[c, dl. Entonces

[[f(z, “DEMOSTRACI~N

Sea c = yo

Y) dY dz =

f una función continua con dominio rectanY) dl: dY = S , f k

[[f(x,

Y)

dA.

(4’)

Primeromostraremos que

[Lk,

< y1 < . . . < yn

Y)

=

S,f(.,

Y) dA.

= d una partición de [e, d ] en

Entonces

F(x)=

5 k=O

f(x,y) dy. yk

R

partes iguales. Definir

5.2

323

INTEGRALDOBLE SOBRE UN RECTÁNGULO

Figura 5.2.8 Notación necesaria en l a demostración del teorema de Fubini;

n = 8.

Usando la versión integral del teorema del valor medio,* para cada 2 fija y cada k , tenemos Jyykk+l f (., Y) d Y = f(., Yk(z))(Yktl - Yk) (ver la figura5.2.8), donde el punto Y k ( z )pertenece a [yk,y k + l ] y puede depender de z, k y n . Hemos mostrado entonces que

Ahora bien, por la definiciónde la integral en una variable como límite de sumas de Riemann,

n-I

que si g(z) es continua en [ a , b ] , s o b g ( z )dx = g ( c ) ( b - u ) para d g h punto E [u, b].El segundo teoremá del valor medio, más general, se demostró en la sección 4.1 (ver

*&te asegura c

la página 245).

* " ~ , ~ . . ~ ~ Y * 9 1 1 ) 1 1 ~ Y Y I L 1 U.I".I Y . ~ F 1 1 i

~

&."..~"_,~.,",,~~~,~.-,~~. . . ", "~,"..',"-~..~~~.",~"-,.",., " " . . - . . " - . - ~ - ~ ~ - ~ ~ i_

324

INTEGRALES DOBLES

donde a = zo < z1 < . . . < zn = b es una partición del intervalo [ a ,b] en n partes iguales y p j es cualquier punto en [ z j , zj+l]. Haciendo c j k = ( p j , Y k ( p j ) ) E Rjk, tenemos (sustituyendo p j por z en la ecuación 5) n-1

F(p3) =

Por lo tanto [l"(z;

Y) d Y dz =

k=O

Lb

f(C~k)(YkSl

- Yk).

F ( z ) dz n-I

= limite n-m

F(p,)(z,+l

-

z3)

3 =o n-1

n-1

Así, hemos probado que

[J",

(x,Y) dY dz =

L

f(.,

Y) dA.

Con el mismo razonamiento podemos mostrar que

ld[f(z,

Y) d z d Y =

S,f(.,

Y) dA.

Estas dosconclusionessonprecisamente lo quequeríamosdemostrar. El teorema de Fubini se puede generalizar al caso en que f no necesariamente es continua. Aunque sin demostración, enunciamos aquí esta versión más general. TEOREMA 3': TEOREMA DE FUBINI Sea f una función acotada cuyo dominro es un rectángulo R = [ a ,b] X [c, dl, y suponer que las discontinuidades def forman una unión finita de gráficas de funciones continuas. Si

f ( z , y) dg

entonces existe y

existe para cada

z E [u, a],

5.2

INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTÁNGULO

325

De manera andloga, si

en ton ces

existe y S*.cf(X,

Y) dx dY =

L?

f ( r ,Y) d A .

Así, si todas estas condiciones se cumplen siznultdneamente, ibJ,"(z,

Y) dy dz = .i"[f(Z,

Y) d z dy =

L

f(.,

Y) dA.

Las hipótesis para esta versión del teorema de Fubini son más complicadas f noes continua donde sea, por que las del teorema 3. Son necesarias pues si d ejemplo, no hay garantía de que exista J", f(x, y) dy para cada x .

EJEMPLO 1

SOLUCIÓN

Calcular J",(z2

+ y) dA, donde R es el cuadrado [O, 11 x [O, 11.

Por el teoremadeFubini,

Por el teorema fundamental del cálculo, se puede ejecutar la illtcgraci6n en

2:

Así,

Lo que hemos hecho es mantener fija y, integrar respecto a a: y después, evaluar el resultado entrelos límites dados para la variablea:. A continuación, integramos A la función restante (sólo de y) respecto a y para obtener la respuesta final. EJEMPLO 2 Una consecuencia del teorema de Fubini es que al intercambiar el orden de integración enlas integrales iteradas, no se altera la respuesta. Verificar esto para el ejemplo 1.

2?6

INTEGRALES DOBLES

f(x, y ) 2 O en R = [ a ,b] x [c, 4 , la integral Jk f ( z , y ) dA i l r t c q r e t a r como un volumen. la función también toma valores neg ¿ ~ ( i v o hc,tlt,onces , l a inkgral doble sc puede pensar como la suma de todos los \ ~ ~ J ~ l ~ l l qrlc l ~ ~ c,st,an l l ~ s entre la superficie z = f ( z , y ) y el plano z = 0, acotados 1)or 10s p l n t ~ o sS = a . 2 = b , y = c y y = d ; aquí, los volúmenes arriba de z = O se c11~11ta11 como posit#ivosy los de abajo como negativos. Sin embargo, el teorema (le lpl1t)ini segi~nse enunció, siguesiendoválido en el caso en que f ( z , y) sea tlc,gxtivo o cambic- de signo e11 It; est,o es: no hay restriccicin en el signo de f en \ ‘ i t l ~ o s( I I J P cuando

w

si

lJll
l a llipót,esis dcl teorema.

Sea R el rectángulo [-a, 11 X [o, 11 y sea f definida por f ( z , y) = 1 2 ~ )f; ( r ,y ) toma valores positivos y negativos en R. Evaluar la integral J13f(”’,?y)drcdy= J R y ( ” 3 - 122)dzdy.

EJEMPLO 3 !/(x3 -

SOLUCI~N

Por el teorema de Fuhini, podemos escribir

De manera alternativa, integrando primero respecto a y , hallamos

LU(%:’ l2 - 1 2 2 ) dy d z =

[i’lb3

1

- 1 2 2 ) y d y fh

l 1 = - l , ( z 3 - 122) dx 2

NOTA HIST~RICA

Aunque el teorema 3 acerca de la igualdad de las integrales iteradaslleva el nombre del matemático italiano Guido Fubini (1879-1943), quien probó un resultado muy general de este tipoen 1907, Cauchy y sus contemporáneos y a sabían que se cumplía la igualdad se parafuncionescontinuas.Cauchy fue el primero en mostrarquelaigualdadno cumplía cuando f no estaba acotada, y, algo más adelante, tambiénse hallaron ejemplos de funciones acotadas donde no se cumple la igualdad.

5.2 INTEGRAL

DOBLE SOBRE UN RECTÁNOUU)

327

EJERCICIOS

2. Evaluar cada una de las integrales siguientes si (a)

JR(zmyn) dz d y , donde m , 1~ > O

(c) JR sen(z 3. Sea

+ Y) d3: dY

(d)

f continua, f 2 O en el rectángulo R. Si

R = [O, 13 SR(az b y

X

[ O , 11.

+ + c ) d z dy SR(.’ + 2zy + Y&) dz dy

SR f dA = O, probar que f = O en R.

4. Calcular el volumen del sólido acotado por el plano z z , el plano yz, el plano zy, los planos z = 1 y y = 1, y l a superficie z = 3:2 y 4 .

+

Sean f continua en [u, b] y g continua en

donde R = [a, b] x

.

2:

[c,

[c, dl.

Mostrar que

dl

6. Calcular el volumen del sólido acotado por la superficie z = sen y, los planos z = 1, = O , y = O y y = ~ / y 2el plano zy.

Calcular el volumen del sólido acotado por la gráfica

R = [O, 11 X [I, 21 y los “lados verticales” de R. 8. Sea

f continua en R = [ a ,b] x

[c,

d l ; para n < 2

z = z2

+ y: el rectángulo

< b, c < y < d, definir

F ( z ,y) = J l f x i y f ( uu ),do du. Mostrar que 32E‘/az¿3y = a2F/dydz = f ( z , y ) . Usaresteejemploparaestudiarla relación entre el teorema de Fubini y la igualdad de las derivadas parciales mixtas (ver la sección 2.6). *9.

Sea f : [O, 13 X [O, 11 + R definida por

Mostrar que la integral iterada

So1[&’f(z,y) tlylrir existe pero f no es integrable.

*lo. Expresar JRcosh zy dz dy como serie convergente, donde R = [O,

11 x [O, 11

328

INTEGRALES DOBLES

*m

Aunque el teoremadeFubinisecumpleparalamayoríadelasfuncionesque No se cumple para toda función. encontramos en la práctica, es necesario tener cuidado. Por ejemplo, podríamos dividir el cuadrado unitario en infinidad de rectángulos de la forma [l/(m l ) ,l/m] X [ l / ( n l ) ,l/n], como en la figura 5.2.9. Definir f de manera que el volumen bajo la gráfica de f sobre cada rectángulo tome valores de acuerdo con la tabla siguiente: 1 1 ... -

+

+

...

1

16 -1

... ...

1.

1

I

L2 - 1

32

16 8

8

4

5

1

; 4

0 0

5 - 1 -1 0

o

o

o

Definir f comocero en (O,O). Cada renglón suma cero, de modo que al sumar los renglones y después las columnas d a como resultado cero. Por otro lado, las columnas suman

...

"

i2

_ -161

1

"

8

1

"

4

1 2

"

de modo que al sumar las columnas y después los renglones da como resultado ¿Por qué no se cumple el teorema de Fubini para esta función?

-2.

Y

x = l Figura 5.2.9 Construcción de una función que no satisface cicio 11).

el teorema de Fubini (ejer-

INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES MAS GENERALES

5.3

329

5.3 INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES MAS GENERALES

En esta sección nuestro propósito es doble: en primer lugar, queremos definir la integral ,S f (x,y) d A en regiones D más generales que rectángulos; y en segundo, queremos desarrollar una técnica para evaluar este tipo de integrales. Para ello, definiremos tres tipos especiales de subconjuntos del plano xy, y después ampliaremos el concepto de integral doble para incluirlos. Suponer que tenemos dos funciones continuascon valores reales, $1: [ a ,61 -+ R, $ 2 : [ u , b] + R q u e satisfacen q51(x) 5 &,(x) para todo x E [a,b]. Sea D el conjunto de todos los puntos (x,y) tales que E [a,bl,

dl(%)

5Y 5 h(z).

Esta región D es de tipo 1. En la figura 5.3.1 se muestran varios ejemplos de regiones del tipo 1.Las curvas y segmentos de recta que acotan la región, forman juntos la frontera de D , denotada por d D .

Figura 5.3.1 Algunas regiones del tipo 1.

Decimosque una región D es de tipo 2 si existenfuncionescontinuas [c,dl -+ R tales que D es el conjunto de puntos (x,y) que satisfacen

$2:

Y E [c,dl,

$l(Y)

$1,

5 x L &(Y),

donde $l(y) 5 &(y) para todo y E [c,dl. De nuevo, las curvas que acotan la 2 región D constituyen su frontera d D . Algunos ejemplos de funciones del tipo se muestran en la figura 5.3.2. Finalmente, una región de tipo 3 es aquella que es del tipo 1 y del tipo 2; esto es, la región se puede describir tanto como una región del tipo 1 como una región del tipo 2. Un ejemplo de región del tipo 3 es el disco unitario (figura 5.3.3). A vecesnosreferiremosalasregiones de los tipos 1, 2 y 3, como regiones elementales. Notar que la frontera d D de una región elemental es del tipo de conjunto de discontinuidades de una función permitidas en el teorema 2. DEFINICI~N Si D esunaregiónelementalen el plano, escoger un rectángulo R que contenga a D. Dada f : D ”+ R, donde f es continua (y, por lo tanto,

INTEGRALES DOBLES

330

Y

Y

Figura 5.3.2 Algunas regiones del tipo 2

Figura 5.3.3 El disco unitario, una región de tipo 3: (a) como región del tipo 1 y (b) como región del tipo 2.

acotada), definir ,S f ( x cy) I dA, la integral de f sobre el conjunto D como sigue: extender f a una funcicin f' definida en todo R mediante

Ahora bien, f" está acotada (pues f lo está) y es continua, excepto quizá en la frontera de D (ver la figura 5.3.4). L a frontera de D está formada por gráficas de funciones continuas, de modo que f * es integrable sobre R por el teorema 2, sección 5 . 2 . Por lo tanto, podemos definir

Cuando f (x,y) 2 O en D , podemos interpretar la integral ,S f ( x , y) dA como el volumen de la región tridinlensional entre la gráfica de f y D , como es evidente en la figura 5.3.4.

5.3

INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONESMAS GENERALES

331

L

$-

i t

a

/

(graph

graph of z = f(x, y )

off* I

Figura 5.3.4 (a) Gráfica de z = f ( z , y ) sobre una región elemental D . (b) La región sombreada muestra la gráfica de z = f*(z,y ) en algún rectbngulo R que contiene a D . En esta figura vemos quelos puntos frontera deD pueden ser puntos de discontinuidad de f', pues la gráfica de z = f ' ( x , y ) se puede romper en estos puntos.

so

Hemos definido f (x,y) dx dy escogiendo un rectángulo R que incluya a D . Deberá ser intuitivarnente claro que el valor de J, f ( x , y) dz dy no depende del R particular escogido; demostraremos este hecho al final de esta sección. Si R = [u,b] X [c,d] es unrectánguloquecontienea D, podemosusar los resultados sobre integrales iteradas en la sección 5.2, para obtener

donde f* es igual a f en D y cero fuera de O, como antes. Suponer que D es R y $ 2 : [ u , b] + R. una región de tipo 1 determinada por funciones 41:[u, b] Considerar la integral iterada --f

lbldf

*(x,Y) dY dx

y, en particular, la integral interiorS, f*(x,y) dy para alguna x fija (figura 5.3.5). Como por definición f'(x, y) = O si y < ~ I ( Z o) y > q52(x), obtenemos d

l d f*(x,Y) dY =

1

+2(=)

41(z)

f*(z,Y) dY =

A continuación resumimos 10 obtenido.

J

"5)

+1(=)

f(.,

Y) dY.

332

INTEQRALES DOBLES

Y

Figura 5.3.5 La región entre las dos gráficas “ u n a región de tipo 1. TEOREMA 4

en ton ces

Si D es una región del tipo

1, como se muestra en la figura 5.3.5,

En el caso f ( z , y ) = 1 para todo (.,y) E D, S , f ( z , y ) d A es el área de D. Podemos verificarlo para la fórmula (1) como sigue:

lb(;;;)f(z> 1 Y) dy dz =

[42(2)

- 41(2)1

= A(D),

la cual es la fórmula para el área de D que se aprende en cálculo elemental. EJEMPLO 1 Hallar ST(x3y + cos x) dA, donde T es el triángulo que consta de los puntos (x,y) tales que O 5 x 5 ~ / 2 O, 5 y 5 x.

7r6 K - _ +--l.

768

2

A

En el ejemplo siguiente usaremos la fórmula (1) para hallar el volumen de un sólido cuya base es una región D no rectangular.

5.3

INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES

MAS GENERALES

333

Y / K ?r\

Figura 5.3.6 Triángulo T representado como región del tipo 1. EJEMPLO 2

Hallar el volumen del tetraedro acotado por los planos y = O , z = O ,

x = O y y - x + z = 1 (figura 5.3.7).

Figura 5.3.7 Tetraedro acotado por los planos y y~O, z = o, ,x = O y y -

+ 2 = 1.

Notemosprimeroque el tetraedrodadotieneunabasetriangular D cuyos puntos (z, y) satisfacen -1 2 x 5 O y O 5 y 5 1 x; por lo tanto, D es una región de tipo 1. (De hecho, D es de tipo 3 ; ver la figura 5.3.8.) Para cualquier punto ( 2 ,y) en D , la altura de l a superficie z sobre (x,y) es 1 - y x. Así, el volumen que buscamos está dado por la integral SOLUCIÓN

+

+

334

INTEGRALES DOBLES

Y

Figura 5.3.8 La base del tetraedro en la figura 5.3.7 representada como una región de tipo 1.

Usando la fórmula (1) con 41(x) = O y

J4

L(l-y+z)dA=

&!(E)

=x

+ 1, tenemos

L1+'(l - y

=

[(1+ " ) y -

+ z) d?/dx

"1"'

dz y=o

EJEMPLO 3 Sea D una región de tipo 1. Describir s u área A(D) como l í h i t e de sumas de Riemann.

SOLUCIÓN Sirecordamosladefinición, A(D) = ,S d x d y es laintegralde l a función f = 1, sobre un rectángulo R que contenga a D . Una suma de Riemann S, para esta integral se obtienedividiendo R en subrectángulos y formando f * ( c j k )Ax A y como en l a fórmula (1) de la sección 5.2. la suma S, = Ahora, f * ( c j k ) es 1 o O , dependiendo de si cjk está o no en D. Considerar los subrectángulos Rjk que tengan intersecciónnovacía con D , y escoger cjk en D n R j k . Así, S, es la suma de las áreas de los subrectángulos que tocan a D y A ( D ) es el límite de éstos cuando n cm. Así, A ( D ) es el límite de las áreas de los rectángulos que "circunscriben" a D . El lector deberá trazar,una figura A simultáneamente con este estudio.

c,",;:,

"-f

Los métodos para tratar las regiones de tipo 2 son completamente análogos. Específicamente, tenemos el siguiente:

5.3 INTEGRAL DOBLESOBRE REGIONESMAS GENERALES

335

Suponer que D es el conjunto de puntos (x,y) tales que y E [ c ,dl x 5 $2(y). Si f es continua en D, entonces

TEOREMA 4‘

y $l(y) 5

Para hallar el área de D sustituimos f = 1 en la fórmula (2); obtenemos

,

Nótese de nuevo que este resultado para el área es consistente con los resultados de cálculo de una variable para el área de una región entre dos curvas. Para las integrales sobre regiones del tipo 3 se puede usar indistintamente el método para regiones del tipo 1 o para regiones del tipo 2. También se sigue de las fórmulas (1) y (2), que ,S f d A es independiente de la selección del rectángulo R que contiene a D, usado en la definición de ,S f d A . Para verlo, consideremos el caso en que D es del tipo 1. Entonces se cumple la fórmula (1); más aún, R no aparece en el lado derecho de esta fórmula, por lo , f d A es independiente de R. tanto, S EJERCICIOS 1. Evaluar las siguientes integrales iteradas y trazar las regiones D determinadas por los límites. Decir si las regiones son del tipo 1, del tipo 2 o de ambos tipos.

2. Repetir el ejercicio 1 para las siguientes integrales iteradas:

(4 (.)

Sf3S,(z2 ”’ + Y) d z dY

sol so1

dy dx s,”2(xn + y ” ) d3: dy,

SE’,:,

f l - W

m , TZ

>O

’

ezty

dY dl:

(d) ~ o n ’ 2 ~ o s z y ~ e n z d y d x (f) f 1 0 2 dy da

s2(1-zz)’/’

3. Usar integrales dobles para calcular el área de un círculo de radio

T.

m

Usar integrales dobles para determinar el área de una elipse con semiejes de longit u d a y b. + 5. ¿Cuál es el volumen de un granero que tiene una base rectangular de6 m por 12 m , y paredes verticales de 9 m de altura al frente (que está del lado que mide 6 m) y 1 2 m tiene un techo plano. Usar integrales dobles para calcularel volumen.

INTEGRALES DOBLES

336

6. Sea D l a región acotada por laspartespositivasde 4y = 10. Calcular

3z

+

l ( x z+

los ejes z y y, y larecta

y') d A .

Sea D la región acotada por el eje y y la parábola z = -4y2

S,

z 3 yd z

1

+ 3. Calcular

dy

S,2 (z2+zy-y2)

d y d x . Describir esta integral iterada como una integral sobre cierta región D en el plano zy. 8. Evaluar

+

9. Sea D la región d a d a como el conjunto de (z, y) donde 1 5 z 2 y' 5 2 y y ¿Es D una región elemental? Evaluar f ( z , y) d A donde f(z,y) = 1 + zy.

S,

10. Usar integrales dobles para hallar s e n z , p a r a O 5 z 5 2 ~ y , el eje z.

el área rodea,da por un periodo de la función

11. Hallar el volumen de la región dentro de la superficie z = 'x z = 10.

Calcular el volumen de un cono de base de radio 13. Evaluar y 5 sen 3;.

S,

r y altura

y d A donde D es el conjunto de puntos (.,y)

Por el ejercicio 5, sección 5 . 2 , sabemos que (scdg(y) d y ) .

S, S, b

d

y entre z = O y

h.

tales que O

52

z / ~5 y,

f ( z ) g ( y ) d y d z = (S,"f(z) d z )

X

I)?

15. Sea D una región dadacomo

el conjuntode

( z , y ) con

5 3: 5 b, donde 4 e5 unafunciónnonegativacontinuaen f ( z , y) una función definida en D , tal que f ( z , y ) = - f ( z , - y ) a

Hacer ver que

+ y'

¿Es cierto esto si integramosf(z)g(y) sobre cualquier región D (por ejem-

plo, una región del tipo

~

1 O.

S,

f ( z , y) d A = O .

-d(z) 5 y 5 $(x) y

el intervalo [ u , b]. Sea para todo ( z , y ) E D.

16. Usar los métodos de esta sección para mostrar que el área del paralelogramo D determinado por los vectores a y b es la1 bz - a2 bl 1, donde a = a l i a z j , b = b l i bzj .

+

+

17. Describir el área A ( D ) de una región como límite de áreas de rectángulos inscritos, como en el ejemplo 3.

5.4

CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACI~N

Suponer que D es una región de tipo 3. Así, al ser del tipo 1 y del tipo 2, puede expresarse c o m o el c o n j u n t o de p u n t o s (x,y) tales que a

5 2 5 b,

41(z) 5 y

5

h(z)

5.4

337

CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACIóN

y también como el conjunto de puntos (x,y) tales que c

I Y I d,

4l(Y) 6 x 6 4 2 ( Y ) .

Por lo tanto, tenemos las fórmulas

D

f(.,

Y) d A =

1” j-;;-;)+f(x,

Y) d y d x =

1” l;;;; f(.,

Y)

dx dy.

Si vamos a calcular una de las anteriores integrales iteradas, lo podemos hacer evaluando la otra; esta técnica se llama cambio del orden de integración. Suele ser útil realizar estos cambios al evaluar integrales iteradas, pues quizá una de las integrales iteradas sea más difícil de calcular que la otra. EJEMPLO

Evaluar (a’

- y’)’/’

dy dx

,

cambiando el orden integración. de

Nóteseque z varía entre O y u , y que, para x fija, O 5 y z2)1/2.Así, la integral iterada es equivalente a la integral doble

SOLUCIÓN

1 D

(aZ- Y

5 (u2-

’1” ’ d y d x ,

donde D es el conjunto de puntos (x,y) talesque O 5 x 5 a y O 5 y 5 ( u 2 - z2)ll2.Pero ésta es la representación de un cuarto (la parte del cuadrante positivo)del discode radio u ; por lo tanto D también se puededescribircomo el conjunto de puntos ( x , y) que satisface

OI y 6

a,

O

5x 5

I

(a’ -

(ver la figura 5.4.1). Así,

Pudimos haber evaluado directamente la integral iterada inicial, pero, como puede verificar fácilmente el lector, al cambiar el orden de integración se facilitó ser “imposible” el problema. El ejemplo siguiente muestra que, incluso, puede evaluar una integral iteraday, sin embargo, ser posible evaluar la integral iterada obtenida al cambiar el orden de integración.

1

338

INTEGRALES DOBLES

Figura 5.4.1 La parte del cuadrante positivo de

EJEMPLO 2

u n disco de radio a.

Evaluar

SOLUCIÓN Primero, observar que no se puede calcular esta integral, en el orden (, dado, usando el teorema fundamental. Sin embargo, la integrales igual a .S l ) J W d A , donde D es el conjunto de (x,y) tales que

1
y

O
La región D es del tipo 3 (ver l a figura 5.4.2) y por lo tanto puede expresarse como O

5 y
y

e's x < 2.

Y

Figura 5.4.2

D es la región de integración para el ejemplo 2.

5.4

CAMBIOEN EL ORDEN DE INTEGRAU~N

339

Así, la integral iterada dada es igual a L O g z

j--(z -

1)V/l+e2Ydzdy = i

’

O

g

2

d

7

7

Y

[LZ(.

I

- 1 ) d z dy

En la primera integral en la expresión (1) sustituimos u = e2Y, y en la segunda,

o

= ey.. Entonces obtenemos

Ambas integrales en la expresión (2) se pueden hallar fácilmente con las técnicas de cálculo (o consultando la tablade integrales al finaldel libro). Para la primera integral, tenemos

La segunda integral es

(ver la fórmula 43 en la tabla de integrales). Finalmente, restamos (3) de la ecuación (4) para obtener la respuesta

la ecuación

P a r a concluir esta sección mencionamos un importante resultado análogo al teorema del valor medio del cálculo integral.

INTEGRALES DOBLES

340

TEOREMA 5: TEOREMA DELVALOR MEDIO PARA INTEGRALES DOBLES

f :D (x0

~

Suponer que

R es continua y D es una región elemental. Entonces para algún pun to yo) en D , tenernos ”+

.i,f(.,

Y) dA = f(%, ? / o ) A ( D ) ,

donde A ( D ) denota el área de D .

No podemosprobaresteteorema con todorigor,puesse requiere de algunos resultados sobre funciones continuas que no se han demostrado en este libro; pero podemos esbozarlas ideas principales que sustentan la demostración (ver la demostración de la versión para una variable en la página 245. Como f es continua en D , tiene u n valor máximo 1\/1 y un valor mínimo ‘ m (ver el teorema 6 en la página 260). Así, DEMOSTRACI~N

m

I f(X,

Y)

IM

(5)

para todo ( z , y ) E D . Más a ú n , f ( . c l , y l ) = 7n y f(z2,y2) = M para algunos pares ( 2 1 ,y1) y ( 2 2 , yz)en D. De la desigualdad (5) se sigue que

Por lo tanto, dividiendo todo enhe .4(D), obtenemos

Como una función continua definida en D toma tjodos los valores entre sus valores máximo y mínimo (éste es el teorema del valor intermedio que se demuestra en cálculo avanzado), y como el número [l/A(D)] f ( z , u) dA está por la desigualdad (6) entre estos valores, debe haber un punto ( 2 0 , yo) E D con

,s

Peroésta es precisamente la conclusióndel

teorema 5.

EJERCICIOS 1. En las integrales siguientes, cambiar el orden de integración, esbozar las regiones correspondientes y evaluar las integrales de las dos maneras.

(a)

J; J,’

ZY dY d z

5.4

CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRAaÓN

(c)

(dl

so1

Jl2-"T

JaJay b

'

+

341

dz a y

f(z.y ) d z tly (expresar l a respuesta en términos de antiderivadas)

Ilsantlo el f,eorema del valor nrrdio, mostrar que

7 . C;llcul;tr el volumen d c 1111 elipsoide con semiejes u : h y c. (IDEA: Usar la simetría y hallar p r i m p r o el volr1rnc~11d c medio elipsoide.)

+ +

9. Hallar r l v o l u r r ~ r[Ir ~ ~la regiciu determinada por r 2 y2 z 2 5 10, z 2 2 . Usar el rnGt,oclo del disco del cálculo d e : una variable, y decir cómo está relacionado el método con el prillcipio de Cavalieri.

Evaluar

( I , 3 ) y ( 2 ! 2).

e r P y dr dy, donde D es el interior del triángulocon

vkrtices ( OO, ) ,

342

INTEGRALES DOBLES

SECCIÓN OPTATIVA

*5.5

ALGUNOS TEOREMAS TÉCNICOSDE INTEGRACIóN

Esta swción proporciolla l a s ideas principales d e l a s dernohtrac:iones de esistencia y atlitividad de la integral queseenunciaron en l a sección 5.2. Estas dernost,raciones requieren corlceptos miis avanzados que los necesarios p a r a el resto de cste capítulo. Se n1pncionan aquí los conceptos de continuidad uniforrrlc y de plenit.ud (o cornplcción) de los nlirneros reales, que usualmentc se estudian en un curso int,roduct,orio tie análisis n~aternáticoo d c tdoría de variable rpal.

5.5

ALGUNOS TEOREMAS TECNICOS DE INTEGRACI~N

343

Toda fnrrcicin que .sea continua en un conjunto cerrado y acotado D en R", es uniformernenif, contirlua ('11 D.

TEOREMA 6: PRINCIPIO DE CONTINUIDADUNIFORME

Demost,rar este teorema nos alejará bastante del terna que rst.amos tratando:* sin embargo, podemos probar un caso especial que, de hecho, es suficiente para la mayoria de las situaciones importantes en este libro. DEMOSTRACIóN DE UN CASO ESPECIAL DEL TEOREMA 6 Supongan~osque D = [a,,b] es un intervalo cerrado en la recta, que f:D --t R es continua, que cxiste d f / d r en el intervalo abierto ( u , b ) y que d f / d z está acotada (estocs. que existe una constanteC' > O tal que l(dl/dx)(z)l 5 C para toda I en ( u . b ) ) . Para mostrar que estas condiciones implican que f es uniformemente continua, usamos el t,eorema delvalor medio como sigue: sea E > O dado y sean x y y en D. Entonces. por el teorenra del valor medio,

S(.) para alguna c entre

L

- f i u ) = S'(c)(.

11

-

Y)

y y. Por la hipótesis de acotación de la derivada.

If(.) Sea 6 = € / C . Si

-

y1

< 6,

- f(Y)I

5

CIX

- YI

entonces

If(.)

- f(Y)l

< c; = E.

Así, f es uniformemente continua. (Nót,esc que 6 no dcpende de partedelicadadela definición.) M

S

ui de y, lo cual es la

Esta demostración también funciona para rcgioncs en It" que seal1 convexas; esto es. que para cualcsquiera dos pnntos x y y en D, el segmento de r e c t a a ( ! )= tx+ ( 1 - t ) y , O 5 t 5 1, que los une también está en D . Suponemos que f cs difcrenciablr (en algim conjunto abierto que contenga a D) y que IlVf(x)ll 5 C para alguna consla.ntc C'. Entonces el teorema del valor medio, aplicado a la función h ( f ) = f ' ( a ( f ) d) a> h ( 1 ) - h ( 0 ) = [ h ' ( c ) ] [ l- O ] O

f(x) - f ( y ) = h'(c) = V f ( a ( c ) ) 4 ( c ) = VS(4c.)) (x - Y )

por la regla de la cadena. Así. por la desigualdad d e Cauchy-Schwarz.

344

INTEGRALES DOBLES

NOTA HIST~FIICA Angustill Louis Cauclty (1789- 1857), uno de los más grandes matemáticos dr t,odos los tienlpos. definió lo que ahora llarna~nossucesiones de Cauchy en s u Cours d’analyse, I~nljlicatlocn 1821. Kste libro fue un trabajo biisico para los fundamentos d r l análisis, ~ L I I I I C I I I C ’ w g h n l o s patronesactuales se consideraría no muyriguroso.Cauchy sabía q11c ulta sncesión convergente era “de Cauchy”, y observó que una sucesión de Cauchy convcrgc. No t e n í a U I I demostración, ~ y no pudo h a b e r l a tenido pues dicha demostración tlr.l)c’ntlr tlrl desnrrollo riguroso del sist,ema de los números reales, que hasta 1872 logró e l r n a t c m i t i t m alerrldn Ceorg Cantor (1845-1918).

*I711 los libros d e análisis matemático como los mencionados en la nota anterior 5e usan, aveces, a x i o m a s riifcrentps, como la propiedad de la mínima cota superior. En dicho planteanricnto, ~ t u ( h t r oasioma rtr plenitnd se convicrte en tcorema.

5.5 TLCNICOS TEOREMAS ALGUNOS

DE INTEGRACIóN

345

Ahora ya está claro lo que debemos hacer para asegurar que las sumas de Riemann

{S,} de, digamos, una función continua definida en un rectángulo converge a algún límite S , lo cual probaría que las funciones continuas en rectángulos son integrables; debemos mostrar que {S,} esunasucesióndeCauchy.Parademostrarloseusa el principio de continuidad uniforme. La integrabilidad de las funciones continuas será una consecuencia de los dos lemas siguientes.

LEMA 1 Sea f una función continua en un rectángulo R en el piano, y sea {S,} una sucesión de sumas de Riemann para f. Entonces {S,} converge a algún número S.

DEMOSTRACIóN Dado un rectángulo R c R2, R = [ a ,b] x [ c , d ] ,tenemos la partición regular de R a = x0 < x1 < ... < x, = b , c = yo < y1 < ... < y,, = d, estudiada en la sección 5.2. Recordar que

Y

n-1

S, =

f(cJk)AxAy, J,k=O

donde CJk es un punto escogido de manera arbitraria en R3k = [ x 3 , x J + l ]X [yk, y k + l ] . La sucesión {S,} está determinada sólo por la selección de los puntos c 3 k . P a r a propósitos de la demostración introduciremos una notación un poco más complicada pero muy precisa: sea

Y

a-c

Ay" = -.

n

Con esta notación, tenemos n-1 . .

S, =

f(cJk)AxnAyn. 3,k=O

Para mostrar que {S,} satisface el criterio de Cauchy, debemos mostrar que dado O existe N tal que para todo n, m 2 N , IS, - S , I 5 E. Porelprincipiode continuidad uniforme, f es uniformemente continua en R. Así, dado E > O existe 6 > O tal que cuando x, y E R, IIx - y11 < 6, entonces If(x) - f(y)l < ~ / [ 2 á r e a ( R ) ](se usa ~ / [ 2área ( R ) ]en lugar de e en la definición). Sea N lo suficientemente grande para que si m 1 N , el diámetro (longitud de una diagonal) de cualquier subrectángulo RJk en la m-ésima partición regular de R sea menor que 6. Así, si x y y son puntos en el mismo subrectángulo, tendremos que If (x) - f(y)l < ~ / [ 2área (R)]. E

>

346

INTEGRALES DOBLES

Fijar m y n 2 N . Mostraremos que IS, - IS , < E. Esto muestra que {S,} es una sucesión de Cauchy y porlo tanto converge. Considerar la mn-ésima = ( mpor n)-ésima partición regular de R. Entonces

r, t

donde Ert es un punto en el rt-ésimo rectángulo. Nótese que cada subrectángulo de la mn-ésima partición es un subrectángulo tanto de la m-ésima como de la n-ésima partición regular (ver la figura 5.5.1). Y

Figura 5.5.1 La caja sombreada muestra un subrectángulo en la mn-ésima partición, y la caja marcada con línea gruesa, un subrectángulo en la m-ésima partición.

Denotemos los subrectángulos en la mn-ésima subdivisión por R,, y los de la nésima subdivisión por R,k.Así, cada R,, C Rjk para algin jk, y por 10 tanto podemos reescribir la fórmula (1) como

Aquí estamos usando el hecho de que

donde la suma se toma sobre todos fijo contenidos en un rectángulo identidad

R,k

los subrectángulos en la mn-ésima subdivisión en la n-ésima subdivisión. También tenemos

la

5.5ALGUNOS

TEOREMAS T~CNICOS DE INTEGFIACI~N

347

Esta relación también se puede reescribir como

donde en la ecuación (2') primero sumamos sobre los subrectángulos en la mn-ésima partición contenidos en un R3k fijo y después sumamos sobre j,k. Al restar la ecuación (2') de la ecuación (l'),obtenemos

IS,- Sm,I = 3,k

5

a,

[f(Cjk)AxmnAymn

If(cJk) - f(Lt)lAl:""Ay"".

k ~CtR j k

Debido a la selección de 6 y N, If(CJk desigualdad anterior se convierte en

Así,

- f(Ert)AzmnAymn]

CR,k

- !(&)I

< ~ / [ 2 á r e a(R)],

IS, - SmnI< ~ / y2 de manera análoga se muestra que IS, ( S , - Sm/ = / S , - Smn

para m ,n límite S.

+ Smn - S m J 5 J S n -

SmnJ

+

y en consecuencia la

- SmnI

JSmn

< ~ / 2 Como .

- SmJ< E

2 N, hemos mostrado que {S,} satisface el criterio de Cauchy y así, tiene

Hemos observado que cada suma de Riemann depende de selección la de unacolección de puntos C J k . Para mostrar que una función continua en un rectángulo R es integrable, debemos demostrar queel límite S obtenido en el lema 1 es independiente de la selección de los puntos c j k . LEMA 2

El limite S en el lema 1 no depende de la selección de puntos

cjk.

DEMOSTRACI~N Supongamos que tenemos dos sucesiones de sumas de Riemann {S,} y { S i } obtenidas al seleccionar dos conjuntos diferentes de puntos, digamos c j k y C3fk en cada n-ésima partición. Por el lema 1 sabemos que {S,} converge a algún número S y { S i } también debe converger a algún número, digamos S " . Queremos mostrar que S = S*, y lo haremos mostrando que dado cualquierE > O, IS- S'J < E , lo cual implica que S debe ser igual a S* (¿por qué?). Para comenzar, sabemos que f es uniformemente continua en R. En consecuencia, dado E > O , existe 6 tal que Jf(x) - f(y)l < ~ / [ 3área(R)] cuando IIx - y11 < 6. Escogemos N lo suficientemente grande para que si n 2 N el diámetro de cada subrectángulo en la n-ésima partición regular sea menor que 6. Como límite S, = S y n-co

límite S: = S*,podemos suponer que N se ha escogido tan grande para que n-m

n

2N

implique que ( S , - S / < e/3 y I S: - S'I < ~ / 3 Además, . para n 2 N sabemos, por continuidad uniforme, que si C J k y C J k son puntos en el mismo subrectángulo R j k de

348

INTEGRALES DOBLES

la n-ésima partición, entonces

If(Cjk)

Escribimos ahora

1s - S'I

= 1s - S,

5

- f(CJk)l

+ S,

-

< ~ / [ 3área (R)]. Así,

S: +S:, - S * \

1s - S,I + IS, - S:,/ + IS:, - SI <

E

demodoqueellemaquedademostrado.

Juntos, los lemas 1 y 2 prueban el teorema 1 de la sección 5.2: TEOREMA 1

Cualquier función continua definida sobre un rectángulo R es integrable.

NOTA HIST~RICA

Cauchypresentólaprimerademostraciónpublicadadeesteteoremaen su résumé de 1823, en el cual señala la necesidad de probar la existencia de la integral como lo límite de una suma. En este artículo trata primero las funciones continuas (como estamos haciendo ahora), pero en un intervalo[a, b]. (La demostración es esencialmente la misma.) Sin embargo, su demostración no era rigurosa pues carecía del concepto de continuidad uniforme, que no existía en ese tiempo. El concepto de suma de Riemann S, para una función f es, con certeza, anterior a Bernhard Riemann (1826-1866). Las sumas llevan su nombre probablemente porque é1 desarrolló un enfoque teórico para el estudio de la integración en un artículo fundamental acerca de series trigonométricas en 1854. Su enfoque, aunque fue generalizado posteriormente por Darboux (1875) y Stieltjes (1894), se mantuvo por más de medio siglo hasta que fue rebasado por la teoría que presentó Lebesgueal mundo matemático en 1902. Este último enfoque a la teoría de la integración se estudia, porlo general, en cursos de matemáticas para graduados.

La demostracióndelteorema 2 (sección 5.2) sedejaallectorenlosejercicios4 al 6 al final de esta sección. Las ideas principales están contenidas esencialmente en la demostración del teorema 1, aunque la demostración del teorema 2 contiene una dificultad adicional. Nuestrosiguienteobjetivoserápresentarunademostraciónde la propiedad(iv) de la integral en la página 319, a saber, su aditividad. Sin embargo, debido a algunas dificultades técnicas para probar estos resultados en toda su generalidad, lo probaremos sólo en el caso en que f es continua.

T k N I C O S DE INTEGRACIóN

5.5TEOREMAS ALGUNOS

349

TEOREMA ADlTlVlDAD DE LA INTEGRAL Sean R1 y R2 dos rectángulos ajenos (rectán-

gulos cuya intersección no contiene rectángulos) tales queQ = R1 u Rz es de nuevo un rectángulo, como en la figura 5.5.2. Si f es una función continua sobre Q, de modo que

l o es sobre cada R,, entonces

DEMOSTRACIÓN La demostración depende de las ideas que ya se presentaron en la demostración del teorema 1. El hecho de que f sea integrable sobre Q, R1 y R z , sesigue del teorema 1. Así, existen las tres integrales de la ecuación (31, y falta sólo probar la igualdad. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, queRI = [ u , b l ] x [c,dl y R2 = [ b l , b] x [c, d ] (ver la figura 5.5.2). De nuevo, es necesario desarrollar alguna notación. Sea

b - bl AX;= ,

AX; = -, bl

-U

n

n

b-u Axn= n

y

d-c A y " = -. n

Sea

j>k

donde c : ~ ,c$ y Cjk son puntos en el jk-ésimo subrectángulo de la a-ésima partición regular de R1, R z y Q, respectivamente. Sea S' = límite S;, donde i = 1, 2 y S = límite S,. Se debe mostrar que S = S' n-o0

arbitrario, IS - S' - Sil

< E.

+ S',

n-cx

lo cual se hará mostrando que para E

Y

d

C

-~Figura 5.5.2 Elementos de una partición regular de

RI y

R2.

>O

350

INTEGRALES DOBLES

y

Figura 5.5.3 Partición regular de Q

Por la continuidad uniforme de f en Q, sabemos que dado E > O existe 6 > O tal que - f(y)l < E . Sea N lo suficientemente grande para que si cuando IIx - y11 < S, n 2 N , IS, -SI < ~ / 3 I , S;- S 'I < ~ / 3 i, = 1, 2, y si x y y son dos puntos cualesquiera R1, RZ o Q, entonces en cualquier subrectángulo de la n-ésima partición ya sea de - f(y)l < ~ / [ 3 á r e a ( Q ) ] .Consideremos la n-ésima partición regular de R1, Rz y Q. Estas forman una colección de subrectángulos que denotaremos por R:k, R3k y R J k , respectivamente (ver las figuras 5.5.2 y 5.5.3). Si colocamos la subdivisión de Q encima de las n-ésimas subdivisiones de R1 y Rz, obtenemosunanueva colección derectángulos,digamos Rap, p = 1,.. . , n y (Y = 1 , . . . , m , m > n (ver la figura 5.5.4).

).(fI

If(?)

Y

d

" "

I c

I " "

I I

I

I I I

I I

I

Figura 5.5.4 Las rectas verticales y horizontales de esta subdivisión se obtuvieron mando la unión de las rectas horizontales y verticales de las figuras 5.5.2 y 5.5.3.

to-

5.5

ALGUNOS TEOREMAS T~CNICOSDE INTEGFIAU~N

351

Cada R a está ~ contenido en algún subrectángulo R l k de Q y en algún subrectángulo de la n-ésima partición ya sea de R1 o de Rz. Considerar las igualdades (4), ( 5 ) y (6), anteriores. Se pueden reescribir como

donde Em

donde = C J k si R a p C R,k. Para el lector que ve por primera que

vez esta notación con indices, queremos señalar

c .,B

fi,@CR,

significa que se toma la suma sobre las (Y y p tales que el rectángulo correspondiente R a p está contenido en el rectángulo R,. Ahora bien, la suma para S, se puede dividir en dos:

'Y@

a,@

fi,pCRa

fiD@CRl

Por estas representaciones y la desigualdad del triángulo, se sigue que

+-3 área O E

área(&)

< -. 3 E

a,#

fi-8 C R 2

En este paso usamos la continuidad uniforme de f . Así, I S, - SA - S i l < ~ / para 3 n 1 N . Pero I S- S,[ < ~ / 3 1 , s; - S ' I < ~ / y3 ( S i S21< e/3. Como en el lema 2, al aplicar la desigualdad del triángulo se muestra que (S- S' - S'( < E , lo cual completa demostración. la

-

352

INTEGRALES DOBLES

EJERCICIOS Mostrar que si a y b son dos números tales que para cualquier entonces u = b.

E

> O,

( a-

bl

2. (a) Sea f lafunciónen el intervalosemiabierto ( O , 11 definida por f ( z ) = 1/z. Mostrar que f es continua en todo punto de (O, 11 pero no es uniformemente continua. (b) Generalizar este ejemplo a R2.

R el rectángulo [a, b] x [c, dl y f una función acotada que sea integrable sobreR. (a) Mostrar que f es integrable sobre [ ( u b ) / 2 , b] X [c, dl. (b) Sea N cualquierenteropositivo.Mostrarque f esintegrablesobre [(u b ) / N , bl x [c, dl. 3. Sea

+

En los ejercicios 4 al 6 se trata de dar una demostración del teorema 5.2.

+

2 de la sección

4. Sea C la gráfica de una función continua 4: [u,b] -+ R. Sea E > O cualquier número B, = [u,,b i ] X positivo. Mostrar que C puede colocarse en una unión finita de cajas [c,, d,] de manera tal que C no contenga puntos frontera de U B , y tal que área(&) 5 E . (IDEA: Usar el principio de continuidad uniforme presentado en esta sección.)

Sean R y B rectángulos y B c R. Considerarlan-ésimaparticiónregularde R y sea b, la suma de las áreas de todos los rectángulos en la partición que tienen intersección no vacía con B. Mostrar que límite bn = área ( B ) . n-o0

Sea R un rectángulo y C c R la gráfica de una función continua 4. Suponer que -+ R está acotada y es continua, excepto en C. Usar los ejercicios 4 y 5 anteriores, ya ls técnicas usadas en la demostración del teorema 1 de esta sección para mostrar que f es integrable sobre R. 6.

f: R

7. (a) Usar el principio de continuidad uniforme para mostrar que si 4: [a,b] + R es una función continua, entonces 4 está acotada. f: [u, b] X [c, d] (b) Generalizar la parte (a) para mostrar que la función continua -+ R está acotada. (c)Generalizaraúnmáslaparte(b)paramostrarque f estáacotadadonde f:D -+ R es una función continua en un conjunto cerrado y acotado D c R".

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO5 1. Evaluar las integrales siguientes:

(a)

kb)t (c)

so 3

2 + 1

so1

s-z2+1

+

dz dy dz

J:~ z ln~ y dy ~dz

L1] Invertir el orden de integración de las integrales en el ejercicio

solución sólo a la parte (b) está en la Guía de estudio de este libro.)

1 y evaluar. (La

353


3.

Evaluar las integrales siguientes: (a) (b)

s,"~

exly

dray

~ ~ " 1 J:arcaeny)/y 2

y cos xy

dx dy

4. Cambiar el orden de integración y evaluar

m.

Mostrar que al evaluar dx dy, donde D es una región del tipo 1 , se reproduce la,fórm'ula del cálculo de una variable para el área entre dos curvas. 6. Cambiar el orden de integración y evaluar

.

.

8. Hallar

y[1 - cos(xz/4)] dz dy, donde D eslaregiónenlafigura

5.R.1.

I

,-

Figura 5.R.1 Región de integración para el ejercicio 8.

Evaluara s l integrales en los ejercicios 9 a 16. Esbozar e identificar el tipo d e la región (correspondiente a la manera como está escrita la integral).

354

13.

INTEGRALES DOBLES

so1

s o x z ( z 2 zY - Y2)dY

so1so3’

ex+y dz dy

En los ejercicios 17 al 19, integrar l a función dada f sobre la región dada D . 17.

f(z,y)= 1: - y; D es el triángulo con vértices ( O , O ) , ( 1 , O ) y ( 2 , l ) .

18. f ( z , y )

= z3y

+ c o s z ; D es el triángulo definido por O 5 z 5 x/2,

O

5 y 5 z.

f ( z , y) = (z’ 2zy2 + 2); D es la región acotada por la gráfica de y = eje z y las rectas z = O y z = 2 .

“z’+ z, el

En los ejercicios 20 y 21, esbozar la región de integración, intercambiar

el orden y

+

evaluar. 20. 21.

s14Sl6(z2 + so1Jl1-,(.+

y’) dy d z

Y 2 ) dz dY

22. Mostrarque

4e5 5

ex z + y z d A

5 4e25.

~ 1 . 3X1P A

Mostrar que 4~

5S , ( +.’y’

+ 1 ) dz dy 5 20x,

donde D es el disco de radio 2 con centro en el origen.

W es una región arco-conexa. Esto es, dados cualesquiera dos puntos los une. Si f es una función continua en de W , existe una trayectoria continua que W , usar el teorema del valor intermedio para mostrar que hay al menos un punto en W en el cual el valor de f es igual al promedio de f sobre W , i.e., la integral de f sobre D dividida entre el área de D . (Comparar esto conel teorema del valor medio para integrales dobles, teorema 5.) ¿Qué sucede si W no es arco-conexa?

*24. Suponer que

*25. Probar que:

soz[si F ( u )

du] d t = s,”(z - u ) F ( u )d u .

6

INTEGRAL TRIPLE, FÓRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

Si estásatorado con u n problema de cálculo y no sabes qué hacer, trata de integrar por partes o cambiar de variables. Jerry Kazdan

En este capítulo comenzaremos por adaptar los principios de la integral doble a la integral triple. Después desarrollaremos m& ideas sobre integración; la más

importante es el teorema de cambio de variables, vital para evaluar integrales y esféricas. El capítulo se concluye con un en coordenadas polares, cilíndricas estudio de integrales impropias, extendiendo a integrales múltiples un concepto ya familiar desde el estudio de integrales de una variable.

6.1 INTEGRAL TRIPLE

Dada una función continua f :3 ”+ R , donde B es algún paralelepípedo rectangular en R3,podemos definir la. integral de f sobre B como un límite de sumas, así como lo hicimos para una función de dos variables. Brevemente, partimos los

356

INTEGRAL TRIPLE, FóRMULA DE CAMBIO DEVARIABLES

tres lados de B en

TI

Y APLICACIONES

partes iguales y formamos la suma n-1 n-I

n-1

j=O

k=O

t=O

donde C i j k E & j k , el ijk-ésimo paralelepípedo rectangular ( o caja) en la partición de B, y A V es el volumen de B i j k (ver la figura 6.1.1).

X

Figura 6.1.1 Partición de una caja

B en n3 subcajas

Bijk

DEFINICI~N Sea f una función acotada de tres variables, definida en B. Si existe límite S, (para cualquier selección de C i j k ) , le llamamos integral triple (o simn-w

plemente integral) de f sobre B y la denotamos por

E

B

Como antes, podemos probar que las funciones continuas definidas en B son ls funciones acotadas cuyas discontinuidades están confiintegrables. Más aún,a nadas en gráficas de funciones continuas (tales como 2 = a(y, z ) , y = p(x,z ) o z = -y(x,y)) son integrables. Esto es el análogo del teorema 2 de la sección 5.2. Suponer que el paralelepípedo rectangular B es el producto cartesiano [a,b] X [ c ,d] x [u, u].Entonces, por analogía con las funciones de dos variables, hay varias

6.1

INTEGRAL TRIPLE

357

integrales iteradas que podemos considerar, a saber,

idlb [LW 1"

Jc'

f ( z ,Y7

2)

dz dY dz,

1'1Ld

f(z,Y, 2 ) dY dz d z ,

f ( z ,Y, 2 ) dY d z dz,

etc.

El orden de dx, dy y dz indica cómo se realiza la integración. primera integral anterior representa a

Por ejemplo, la

Como en el caso de dos variables, se cu ple el teorema de Fubini: si f es continua, T entonies las seis integrales iteradas pogibles son iguales. En otras palabras, una integral triple se puede reducir a una triple integración iterada. Para completar la analogía con la integral doble, considerar el problema de evaluar integrales triples sobre conjuntos acotados más generales W c R3 (esto R, es, aquellos conjuntos que se pueden encerrar en alguna caja). Dada f : VL7 extender f a una función f* que coincida con f en W y sea cero fuera de W. Si B es una caja que contiene a W y dW está formada por las gráficas de un número finito de funciones continuas, f* será integrable y definimos "+

r

r

Como en el caso bidimensional, esta integral es independiente de la selección de B . Como en el caso de dos variables, nos restringiremos a regiones de tipos especiales. Una región W es del tipo I si se puede describir como el conjunto de los (x,y, z) tales que a

iz i4

I Y 5 d2(z)

Y

n ( z , v )I z I YZ(Z,Y).

(1)

En esta definición, ~ i D: -+ R , i = 1, 2, son funciones continuas, D es una región E d D . La última bidimensional del tipo 1 y y l ( x , y ) = y2(z,y) implica (.,y) condición significa que si las superficies z = yl(z, y) y z = yz(z, y) se intersecan, lo hacen sólo en (x,y) E d D . Una región tridimensional también se llamará del tipo I si puede expresarse como el conjunto de los (x,y, 2 ) tales que c

I Y i d,

$lb)

5 x 5 42(Y)

Y

Yl(Z,Y) 5

2

I Y2(Z,Y),

(2)

donde yi: D 4 R son como antes y D es una región bidimensional de tipo 2. La figura 6.1.2 muestra dos regiones del tipo I, descritas por las condiciones (1) y (2), respectivamente.

358

INTEGRALTRIPLE, FÓRMULA DECAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

Figura 6.1.2 Algunas regiones del tipo I en el espacio.

Una región W es de tipo I1 si puede expresarse en la forma de la ecuación (1)o (2), intercambiados los papeles de 2 y z , y W es del tipo I11 si se puede expresar en la forma de la ecuación (1) o (a), con y y z intercambiados. Una región W que sea del tipo I, I1 y 111, se llama del tipo IV (figura 6.1.3). Un ejemplo de una región de tipo IV es la bola de radio T , x2 y2 z 2 5 r 2 . Suponer que W es del tipo I. Entonces.

+ +

O

(4)

ya sea que W esté definida por la ecuación (1) o por la ecuación (2). Las demostraciones de las ecuaciones (3) y (4) por medio del teorema de Fubini son iguales a las del caso bidimensional. El lector deberá esbozar, o al menos tratar de visualizar, las figuras asociadas con las ecuaciones ( 3 ) y (4). Una vez que se han entendido los términos, las fórmulas son fáciles de recordar. Puede ser útil recordar la aportación intuitiva del principio de Cavalieri al teorema de Fubini.

6.1

INTEGRALTRIPLE

359

eI Z

Z

+

la tapa y el fondo son superficies z = j ( z , y )

X

el frente y la parte posterior son superficies 3: = f ( z ,z )

IV

región del tipo

,J

los lados izquierdo y derecho son superficies y = j ( z , z )

como región del tipo I1

como región del tipo I

como regi6n del tipo 111

Figura 6.1.3 Cuatro posibles tipos de regiones en el espacio.

Si f ( z ,y, z ) = 1 para todo (x,y, z) E W , entonces obtenemos

Jw Jw

f ( z , y, z ) dV =

En el caso de que fórmula

1 dV = volumen ( W ) .

W sea del tipo I y la fórmula (3) sea aplicable, obtenemos la

volumen ( W )=

lb1 I,,.,,, lb 42(2)

72(5>Y)

dz dy dx

+l(.)

=

f;";MZ,

¿Pueden ver cómo probar esta fórmula a partir

Y)

-

Yl(Z,

?/)I

dY d z .

del principio de Cavalieri?

360

INTEGRALTRIPLE, FóRMULA DECAMBIODEVARIABLES Y APLICACIONES

Verificar la fórmulapara el volumen deuna donde W es la bola unitaria 'x y2 z 2 5 1. EJEMPLO 1

bola:

+ +

,S

dV =

$T,

SOLUCIÓN La región W es del tipo I ; podemos describirla como el conjunto de (x,y, z) que satisfacen

-JTS _< y

-1 5 x _< 1,

Y

5

J;-..,

- \ / 1 " Y 2 < z < J W

(ver la figura 6.1.4). Describir W de esta manera es, con frecuencia, el paso más difícil en l a evaluación de una integral triple. Una vez realizado esto de manera apropiada, queda sólo evaluar l a integral triple dada usando una integral iterada equivalente. En este caso podemos aplicar la fórmula (3) para obtener /w dV =

/-;

,(l-z2-y2)1/2

/("?

dz dy dx. -(1-z?-y2)1/2

-(]-z2)'/2

]

Manteniendo a y y z fijas, e integrando respecto a z , se tiene J_: /(""'"[z,:l-z?-y;"2 -(l-G)'/2

-(1-z2-

d y dx

2 1/2

[/

(1-2)1/2

=2J_:

z

=

4 1

-

x'

X

-

(I

-

x*

-

y2)1'2dy

-(1-z?)l/2

y'

=

1

-y2(x,y)

z

=

\

-4 ~-"x?

-~~~~ - y2 =

-y,(x,y)

Figura 6.1.4 La bola unitaria expresada como región del tipo I.

dz

6.1 INTEGRALTRIPLE

361

Ahora, como x está fija en la integra1 dy, esta integral se puede expresar como s_“,(a2 - y2)1/2 dy, donde a = (1 - x 2 ) l j 2 . Esta integral representa el área de una región semicircular de radio a , de modo que La(a’ -

dy = -T. a2 2

(Es cierto, pudimos haber evaluado directamente la integral usando la tabla de integrales al final del libro, pero este truco ahorra bastante esfuerzo.) Así,

de modo que

- x2)dx

[ Y]’ x--

= T

-1

4

=--T.

3

EJEMPLO 2 Sea W la región acotada por los planos x O, y superficie z = x2 y2, x 2 O, y 2 O. Calcular x dx dy dz.

+

sw

A

O, z = 2 y la

SOLUCIÓN La región W está esbozada en la figura 6.1.5(a). Para escribir esto = O, como una regióndel tipo I , sean yl(x,y) = x 2 y’, y2(x,y) = 2, C#~(X) 42(x) = d m , a = O y b = Así, por la fórmula (3),

d.

= Jfix

[(2

+

- z2)3/2- (2 - 22)3/2 3

1

dx

362

INTEGRALTRIPLE, FÓRMUU DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

Z

Z

También podemos evaluar la integral al escribir W como una región del tipo 11. Vemos que W se puede expresar como el conjunto de (x,y, z ) con pI(y, z ) = o 5 2 5 ( z - y2)1/2 - p2(y, z ) y (y, z ) E D , donde D es el subconjunto del $lano yz con O 5 z _< 2 y O 5 y 5 z 1 / 2 (ver la figura 6.1.5(b)). Por lo tanto

.I

2:dxdydz=

[I

PdY,.)

1[i’”;

Pl(Y,.)

=

z d z ] dydz

(1m

2:

d i ) dy] dz

EJERCICIOS 1. Evaluar

Evaluar 3.

,S

z2 d V , donde

Sw e”2yy

Evaluar Sw(2z

W = [O, 11 x [O, 11 x [ O , 11.

dV, donde W = [O, 11 x [O, 11 x [ O , 11.

+ 3y + z ) dV, donde W = [l,21 x [-1,1]

x [O, 11.

INTEGRALTRIPLE

6.1

363

4. Integrar zez+y sobre [O, 11 x [O, 13 X [O, 11.

,S

Evaluar z 2 cos z d l / donde W es la región acotada por los planos z = O, z = x , y=O,y=l,z=Oyx+y=1. 6. Hallar el volumen de la región acotada por z = z2

Evaluar

h1S,”” JI:’+”,2 dz dy d z y esbozar la región de integración.

8. Hallar el volumen del sólido acotado x+y+22=2.

por lassuperficies z2

9.’ Hallar el volumen del sólido de revolución z2 22

+ y2 +

22

+ 3y2 y z = 9 - z 2 .

= 1.

Hallar el volumendela 10 - z 2 - 2y2. Esbozar.

+ 2y2 = 2,

z = O y

2 z2 + y’ encerrado por la superficie

región acotadaporlassuperficies

11. Hallar el volumen acotado por el paraboloide z = 2x2

z = z2

+ y’

y z =

+ y2 y el cilindro z = 4 - y’.

Calcular la integral de la función f ( z , y, z) = z sobre la región W en el primer octante de R3 acotada por los planos y = O, z = O , 2: y = 2, 2y 1: = 6 y el cilindro y2

+

+ z2 = 4.

+

Cambiar el orden de integración en

I’ 1= .Iy

f(.,

Y, 2) dz dy dz

para obtener otras cinco formas de la respuesta. Esbozar la región de integración. Sea W un conjunto acotado cuya frontera está formada por gráficas de funciones continuas. Supongamos que W es simétrica en el plano z y : (z, y, z ) E W implica que ( 2 ,y, -2) E W . Suponer que f es una función continua acotada en W y f ( z , y, z) = -f(z, y, - z ) . Probar que f ( z , y, z) dV = O.

,S

16.

Usar el resultado del ejercicio 15 para probar que ”,(l+ r: + y ) d V = 4n/3,donde z) con z2 y2 z* 5 1.

W , la bola unitaria, es el conjunto de (z,y,

+ +

SS-

17. Evaluar zyz d x dy dz, donde S es la región determinada por las condiciones z ~ o , y ~ o , z ~ o y z 2 + y 2 + 2 2 ~ 1 .

18. Sea

B la región determinada por las condiciones O 5 1: 5 1, O 5 y 5 1 y O 5 z 5 zy. Hallar el volumen de B (b) EvaluarJ”” z dl: dy d z . B

INTEGRALTRIPLE,FÓRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

364

(c)

Evaluar JJJ y d z dy dz.

(e)

Evaluar JJ” z y d z dy d z

B B

Para cada una de las siguientesregiones W , hallar los límites apropiados 1 $ 1 ( z ) , y1(z,y) y yz(z, y) y escribir la integral triple sobre l a región W como u n a integral iterada en la forma 19.

42(z),

20. Sea B la región acotada por los planos z = O , y = O, z = O, z

(a) Hallarelvolumende (c)

B.

(b) Evaluar

JJ”z B

+y = 1y

z =z

+ y.

d z dy dz.

Evaluar j””j”y dl: dy dz. B

21. Sean f continua y B, la bola de radio el volumen de B,. Probar que

6.2

c

con centro en el punto

(zo, yo, zo).

Sea [Bel

GEOMETRíA DE LAS FUNCIONES DE R2 A R2

En esta sección nos ocuparemos del efecto de las funciones de R2 a R2 sobre los subconjuntos de R2. Esta comprensión geométrica será útil en la siguiente sección, cuando estudiemos la fórmula del cambio de variables para integrales múltiples. Sea D* un subconjunto de R2;suponer que consideramos una función continuamente diferenciable T :D’ -+ R2,de modo que T lleva puntos en D” a puntos en R2.Denotemos este conjunto de puntos imagen porD o por T(D’); entonces D = T ( D * )es el conjunto de todos los puntos (x,y) E R2 tales que (z, y) = T ( z * ,y’)

para algún

(z*, y * ) E

D’

Una manera de entender la geometría de la función T es ver cómo deforma o cambia a D’. Por ejemplo, la figura 6.2.1 ilustra una función T que tuerce ligeramente una región hasta convertirla en un disco.

6.2

GEOMETR~A DE LAS FUNCIONES DE R’ A R’

365

Y

Figura 6.2.1 Función

T de una región D’ a un disco D.

EJEMPLO 1 Sea D* C R2 el rectángulo D’ = [O, 11 X [O, 27r]. Entonces todos los puntos en D* son de la forma ( r ,O), donde O 5 O 5 27r, O 5 r 5 1. Sea T definida por T ( r ,O) = ( r cos O ,r sen O). Hallar el conjunto imagen D .

Sea (x,y) = ( r cos 6, r sen O). Como x2 + y’ = r2 cos’ O + r’ sen’ O = r2 5 1, el conjunto de puntos (x,y) E R’ tales que (x,y) E D tiene la propiedad de que x 2 + y 2 5 1, y así D está contenido en el disco unitario. Además, cualquier punto (x,y) en el disco unitario se puede escribir como( r cos O, r sen O) para algún O 5 r 5 1 y O 5 6‘ 5 27r. Así, D es el disco unitario (ver la figura 6.2.2.). A SOLUCIÓN

Y B

Figura 6.2.2

T d a un cambio de variables a coordenadas polares. El círculo unitario es

l a imagen de un rectángulo.

366

INTEGRALTRIPLE,CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

+

Sea T definida por T ( z , y ) = ((z y)/2,(z - y)/2).Sea D” = [-1,1] x [-1,1] c R2 un cuadrado con lado de longitud 2 y con centro en el origen. Determinar la imagen D obtenida al aplicar T a D”. EJEMPLO 2

SOLUCIóN

t

H

Determinemosprimero

el efectode

T en larecta

a l ( t ) = ( t ,l ) ,

5 t 5 1. Tenemos T ( a l ( f )=) ( ( t + l ) / 2 , ( t - 1)/2). La correspondencia T ( a l ( t ) )es una parametrización de la recta y = z - 1, O 5 z 5 1, pues

donde -1

(t - 1)/2 = (t + l ) / 2

- 1 (ver la figura 6.2.3). Sean a 4 t ) = (1, t ) ,

- l < t < l

= ( 4 -I),

- l < t < l

(-l,t),

--1<1.<1

as(t)

a4(t)=

paiametrizaciones de los otros lados del cuadrado D’. Usando el mismo argumento que antes, vemos que T o a 2 es una parametrización de l a recta y = 1 - z, O 5 z 5 1, T o a 3 es la recta y = z + 1, -1 5 3: 5 O y T o a 4 es la recta y = - z - 1, -1 5 z 5 O. A estas alturas parece razonable pensar que T va a “girar” el cuadrado D” para colocarlo sobre el cuadrado D cuyos vkrtices son (1, O), (O,l ) , (-1,0), (0,-1) (figura 6.2.4). Para probar que así sucede, sea -1 5 a 5 1 y sea L , (figura 6.2.3) una recta fija parametrizada por a ( t ) = ( a , t ) ,-1 5 t 5 1; entonces T ( a ( t ) )= ( ( a t ) / 2 , ( a - t)/2) es una paramet,rizaciÓn de la recta y = -x + a , (-a1)/2 5 x 5 (a 1)/2. Esta recta comienza, para t = -1, en el punto ( ( a- 1)/2, (1 cy)/2) y termina en el punto ( ( I .)/a, ( a - 1)/2); como puede verificarse fácilmente, estos puntos están sobre las rectas T o a 3 y T o al, respectivamente. Así, cuando cy varía entre -1 y 1, L , barre el cuadrado D’, mientras que T ( L a ) barre el cuadrado D determinado por los vértices (-1, O), (O, I ) , (1,O) Y (O, -1). A

+

+

+

Figura 6.2.3 Dominio de la transformación

+

T del ejemplo 2

6.2

GEOMETR~ADE LAS FUNCIONESDE R' A R'

367

Y

Figura 6.2.4 Efecto de T sobre l a región

D'.

El teoremasiguienteproporcionaunamanerafácil T(D*).

dedescribir

la imagen

Sea A una matriz de 2 x 2 con det A # O y T una transformación lineal de R2 a R2 dada por T ( x ) = Az (multiplicación dematrices); ver el ejemplo 4, sección 2.4. Entonces T transforma paralelogramosen paralelogramos y vértices en vértices. Más aún, si T ( D * )es un paralelogramo, D* debe ser un paralelogramo. TEOREMA 1

La demostración del teorema 1 se deja para el ejercicio 10 alfinalde esta sección. Este teorema simplifica el resultado del ejemplo 2 , pues basta hallar los vértices de T ( D * )y después conectarlos mediante rectas. Aunque no podemos visualizar la gráfica de una función T :R2 -+ R2,es útil saber cómo deforma subconjuntos.Sin embargo, la simple consideración de estas deformacionesnonos da una idea completa del comportamiento de T. Podemos abundar en la caracterización de T usando el concepto de correspondencia biunívoca (uno a uno). DEFINICI~N La función T es uno a uno en D* si para ( u ,w) y (u',w') E D* , T ( u ,v) = T(u',u') implica que u = u' y w = o'.

Geométricamente, esto significa que dos puntos diferentes de D* no van a dar al mismo punto de D bajo T . Por ejemplo, la función T ( z ,y) = ( x 2 y2, y4) no es uno a uno porque T ( l ,-1) = ( 2 , l )= T ( l , launque ), ( 1 , -1) # ( 1 , l ) .En otras palabras, una función es uno a uno cuando no manda puntos distintos al mismo punto.

+

368

INTEGRALTRIPLE, CAMBIO DEVARIABLES Y APLICACIONES

EJEMPLO 3

T ( TO) , = todo R2.

(T

Considerar la función T :R2 + R2 delejemplo c o s e , r sen O). Mostrar que T no esuno a uno

1, definidapor dominio es

si su

Si O1 # 0 2 , entonces T(O,el) = T ( 0 ,0 2 ) , de modo que T no puede ser uno a uno. Esta observación implica que si L es el lado del rectángulo D* = [O, 11 X [O, 27~1donde O 5 O 5 27~y T = O (figura 6.2.5), entonces T manda toda L a un solo punto, el centro del disco unitario D. (Sin embargo, si consideramos el conjunto S* = (O, 11 X [O, 27r), entonces T :S* + S es uno a uno (ver el ejercicio 1). Es evidente que al determinar si una función es uno a uno, debe considerarse A cuidadosamente el dominio escogido.) SOLUCIóN

e

Y

Figura6.2.5 La transformación en coordenadas polares T lleva la recta L al punto (O, O).

EJEMPLO 4 SOLUCI~N

Mostrar que la función T :R2 -+ R2 del ejemplo 2, es uno a uno. Suponer que T ( z ,y) = T ( d ,y’); entonces

y tenemos z+y=z’+y’, 2

Sumando, tenemos

- y = 2 ’ - y!.

23: = 22’.

Así, z = x’ y por lo tanto y = y’, lo cual muestra que T es uno a uno (con dominio R2).En realidad, como T es lineal y T(x)= Ax,donde A es una matriz de 2 X 2, bastaría mostrar quedet A # O (ver el ejercicio 8). A

6.2

GEOMETR~ADE LAS FUNCIONESDE R’ A R’

369

En los ejemplos 1 y 2 hemos determinado la imagenD = T ( D * )de una región D* bajo una función T . Lo que nos interesará en la siguiente sección será, en parte, el problema inverso, a saber: dada D y una función uno a uno T de R2 a R2, hallar D* tal que T ( D * )= D . Antes de examinar con más detalle esta cuestión, introducimos el concepto de “suprayectividad” .

DEFINICI~N La función T es sobre D si para cada punto (x,y) E D existe al menos un punto ( u ,w) en el dominio de T tal que T ( u ,w) = (x,y).

Así, si T es sobre, podemos resolver la ecuación T ( u ,w) = (x,y) para ( u ,u ) , dado que (x,y) E D . Si T es, además, uno a uno, esta solución es única. Para transformaciones lineales T de R2 a R2 (o R” a R”), resulta que los conceptos de biunívoca y suprayectiva son equivalentes (ver los ejercicios 8 y 9). Si tenemos dada unaregión D y una función T , la determinación de una región D* tal que T ( D * )= D será posible sólo cuando para todo (x,y) E D exista un ( u ,v ) en el dominio de T tal que T ( u ,w) = (x,y) (esto es, T debe ser sobre 0 ) . El siguiente ejemplo muestra que esto no siempre es posible. Sea T :R2 R2 dada por T ( u ,u ) = ( u ,O). Sea D = [o, 11 X [O, 11. Como T lleva todo R2 a uno de los ejes, es imposible hallar D* tal que T ( D * )= D. A EJEMPLO 5

--f

Sea T definidacomo en elejemplo 2 y sea D el cuadrado cuyos vértices son ( l , O ) , (O, l), (-1, O), (O, -1). Hallar D* con T ( D * )= D.

EJEMPLO 6

Como T eslinealy T ( x ) = A x , donde A es una matriz de 2 X 2 que satisface det A # O, sabemos que T :R2 * R2 es sobre (ver ejercicios 8 y 9), y así, es posible hallar D*. Por el teorema 1, D’ debe ser un paralelogramo. P a r a hallar D* basta hallar los cuatro puntos que van a dar a los vértices de D ; entonces, al conectar estos puntos, habremos hallado D*. Para el vértice (1, O) de D , debemos resolver T(x,y) = ( 1 , O ) = (x y)/2,(x - y)/2 de modo que ( x + y ) / 2 = 1, (z-y)/2 = O. Así, (x,y)= (1,l) es un vértice de D’. Resolviendo A para los otros vértices,hallamosque D* = [-1,1] X [-1,1]. SOLUCIÓN

+

Sea D l a región en elprimer cuadran te que está entre los arcos delos círculos x’ y2 = a2 y x 2 y’ = b2, O < a < b (ver la figura 6.2.6). Estos círculos tienen ecuaciones r = a y r = b en coordenadas polares. SeaT la transformación a coordenadas polares dada porT ( r , 0 )= ( r cos 0, r sen 0) = (x,y). Hallar D* tal que T ( D * )= D . EJEMPLO 7

+

+

370


Y

Figura6.2.6 Buscamos una región

a coprdenadas polares sea D.

D' en el plano B T , cuya imagen bajol a transformación

En la región D , a2 5 x 2 + y2 5 b 2 ; y como r2 = x 2 + y', vemm que a 5 r 5 b . Claramente, para esta región 0 varía entre O 5 0 5 7r/2. Así, si D' = [ a , b ] X [O,x/2],no es difícil ver que T ( D * )= D y T es uno a uno. A

SOLUCIóN

la funcióninversaestudiadoen la sección 4.4 es importante para este material. En él se aseguraque si el determinante de D T ( u g ,w o ) (que es la matriz de las derivadas parciales deT evaluada en (ug,110)) esdiferentedecero,entoncespara ( u ,w ) cercade (ug,vg) y (.,y) cercade (xg,yo) = T(u0,wg), l a ecuación T ( u , v ) = (.,y) se puede resolver de manera única para ( u , v ) comofuncionesde (.,y). En particular, por unicidad, T es uno a uno cerca de. ( u g , 210); además, T es sobre una vecindad de ( 2 0 ,yo), pues T ( u ,v) = ( x , y) se puede resolver para (u, u ) si ( z , y ) está cerca de ( x o ,y"). Si D* y D son regioneselementales y T :D* "+ D tiene la propiedaddeque el ) D* y T determinante de D T ( u , ' v )es diferente de cero para cualquier ( u , ~en manda la frontera de D* de una manera uno a uno y sobre en la frontkra de D , entonces T es uno a uno y sobre de D* en D . (Esta demostración rebasa el ámbito de este libro.) OBSERVACI~N Elteoremade

EJERCICIOS 1. Sea S' = ( O , 11 X [O, 2s) y definir T ( r , 8 ) = ( T cos 8, T sen O ) . Determinar el conjunto imagen S. Mostrar que T es uno a uno en S'.

m Definir Mostrar que T rota el cuadrado unitario D' = [O, 11 x [O, 11.

6.3

TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES

3. Sea

D'

= [O, 11 X [O, 11 y definir

¿Es T uno a uno?

371

T en D'

por

T(u,u )

= (-u2

+ 4u, u). Hallar D.

Sea D' el paralelogramo acotado por las rectas y = 32 - 4, y = 32, y = $ 2 y y = +(x 4). Sea D = [ O , 13 X [O, 11. Hallar T tal que D es la imagen de D' bajo T.

+

5. Sea D' = [O, 13 x [O, 11 y definir T en D' por T(z*,y*)= ( z * y * , 2 . ) . Determinar el conjuntoimagen D . ¿Es T uno a uno? De no ser así, ¿podemoseliminaralgún subconjunto de D' de modo que en el resto T sea uno a uno? 6. Sea

D' elparalelogramoconvértices en (-1,3), (O,O), (2, -1) y (1,2) y D = T tal que D sea el conjunto imagen de D' bajo T.

[O, 11 x [O, 11. Hallar

Sea T: R3+ R3 definida por (p, 4, O)

x = psen$cosO,

H

(x,y , z), donde

y = psen$senO,

z = pcosd

Sea D' el conjunto de puntos (p, 4, O) tal que $ E [O, 7r], O E [O, 2x1 y p E [O, 13. Hallar D = T(D'). ¿Es T uno a uno? De no ser así, ¿podernos eliminar algún subconjunto de D' (como lo hicimos en el ejercicio 1, a D' del ejemplo 1) de modo que en el resto T sea uno a uno? En los ejercicios 8 y 9 sea T(x)= Ax, donde 8. Mostrar que 9.

A

es una matriz de 2 x 2

T es uno a uno si y sólo si el determinante de A es diferente de cero.

Mostrar que det

A # O si y sólo si T es suprayectiva.

Suponer que T:R2 + R2 es lineal; T(x) = Ax, donde A es una matriz de 2 x 2. Mostrar que si det A # O , T manda paralelogramos a paralelogramos. (IDEA: El paralelogramo general en R2 se puede describir por el conjunto de puntos q = p + A V pw para X y p E [O, 11, donde p, v y w son vectores en R2 con v de modo que no sea múltiplo escalar de w . )

+

11. Suponerque T :R2 + RZ es comoen el ejercicio10 paralelogramo. Mostrar que P' es un paralelogramo.

y que T ( P * )= P es un

6.3 TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES

Dadas dos regiones D y D" del tipo 1 o 2 en R2,una función diferenciable T en D' c o n i m a g e n D , esto es, T ( D * )= D y cualquier función integrable con valores reales, f:D -+ R, quisiéramos expresar S , f(z,y) dA c o m o u n a i n t e g r a l s o b r e D* de la función compuesta f o T . En esta sección veremos cómo hacerlo. S u p o n e r q u e l a r e g i ó n D' es un subconjunto de R2 del tipo 1 con coordenadas variables designadas por ( u ,w). Más a ú n , s u p o n e r q u e D es un s u b c o n j u n t o d e l p l a n o z y , del tipo 1. La función T e s t á d a d a p o r d o s f u n c i o n e s c o o r d e n a d a s : T ( u ,u) = ( ~ ( u u), , y(u, u))

para

(u, v) E D'.

372

INTEGRALTRIPLE. CAMBIODE VARIABLES Y APLICACIONES

Como primera conjetura podríamos tener que

donde f o T ( u ,w) = f(z(u,u ) , y(u, u ) ) es la función compuesta definida en D*. Sin embargo, si consideramos la función f : D -+R2 donde f ( z , y) = 1, entonces la ecuación (1) implicaría A ( D )=

S,

dz

du dv = A ( D ' ) .

dy

Es fácil ver que la ecuación (2) se cumplirá sólo para algunos casos particulares y no para una funcióngeneral T . Por ejemplo, definir T mediante T ( u , u ) = ( - u 2 4u, u). Restringir T al cuadrado unitario D' = [O, 11 x [ O , 11 en el plano uu (ver la figura 6.3.1). Entonces, como en el ejercicio 3 , sección 6.2, T manda D* sobre D = [O,31 x [O, 11. Claramente A ( D ) # A ( D * ) ,de modo que la fórmula (2) n o es válida.

+

Y

D

7

Figura 6.3.1 Lafunción rectángulo D .

T :( u ,v)

H

+ 4u, v)

(-uz

manda al cuadrado D'

sobre el

Lo que se necesita es una medida de cómo la transformación T: R2 -+ R2 distorsiona el área de la región. Esto está dado por el determinante jacobiano, que se define como sigue. DEFINICI~N Sea T :D* c R2 + R2 una transformación C' dada por z = z ( u ,u ) y y = y(., u). El jacobiano de T, que se escribe a(z, y ) / B ( u , u ) , es el determinante de la matriz derivada DT(z, y) de T :

'

au

av

'

6.3


373

Lafunciónde R2 a R2 quetransformacoordenadaspolaresen coordenadas cartesianas está dada por EJEMPLO 1

X

= TCOSB,

y = rsene

y su jacobiano es

Si hacemos las restricciones adecuadas a la función T , podemos mostrar que el área de D = T ( D * ) se obtieneintegrando el valor absolutodeljacobiano d(x,y)/d(u, v) sobre D'; esto es, tenemos la ecuación

Parailustrar: delejemplo 1 en la sección 6.2, tomar T :D* -+ D , donde D = T ( D * ) es el conjunto de (;t.,y) con x 2 + y2 5 1 y D' = [O, 11 X [O, 2 ~ 1 , y T(r,O)= ( ~ c o s O , r s e n 8 ) . P o r lfórmula a (3),

(aquí, T y O juegan el papel de u y v ) . De los cálculos anteriores se sigue que

es el área del disco unitario D , confirmando en este caso la fórmula(3). De hecho, podemos recordar del curso de cálculo del primer año que la ecuación (4) es la fórmula correcta para el área de una región en coordenadas polares. No es fácil probar de manera rigurosa la afirmación (3), de que el determinante jacobiano es una medida de cómo distorsiona el área una transformación. Sin embargo, visto de manera adecuada, es plausible. Recordar que A ( D ) = S , dx dy se obtuvo al dividirD en recbángulos pequeños, sumando sus áreas y tomando el límite de esta suma conforme el tamaño de los subrectángulos tiende a cero (ver el ejemplo 3 , sección 5.3). El problema es que T puede mandar rectángulos en regiones cuya área no sea fácil de calcular. Una herramienta útil para ello es la derivada de T , que sabemos (del capítulo 2), d a la mejor aproximación lineal a T .

374

INTEGRALTRIPLE, CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

Y

c

x

U

Figura 6.3.2 Efecto de l a transformación T en un rectángulo pequeño D'.

Considerar un pequeño rectángulo D' en el plano uw según se muestra en la figura 6.3.2. Denotemos por T'la derivada de T evaluada en ( U O , wo), de modo que T' es una matriz de 2 x 2. De nuestro trabajo en el capítulo 2 (ver la página 124) sabemos que una buena aproximación a T ( u ,w) está dada por

donde Au = u - u. y Av = w - va. Pero esta correspondencia manda D' a un paralelogramo con vértice en T(uo,vo) y con lados adyacentes dados por los vectores ax ax ¿?X T'(Aui) =

donde

[

~~

au

ax

T ---i+-J -

av

"

all

ay. au

[ y ] [E] = Au

-

=AuTu

a2l

Y

x -~ ay. T - - ai + u-av av

están evaluados en (u0 , wo). Sabemos de la sección 1.3, que el área del paralelogramo con lados iguales los vectores ai + b j y ci + dj es igual al valor absoluto del determinante

a

6.3


375

Así, el área de T ( D * )es aproximadamente igual al valor absoluto de 18%.

ax.

I

18% a x 1

evaluado en ( U O , WO). Pero elvalor absoluto de esto es precisamente la(z,y)/ a ( u ,.)I Au Av. Este hecho y un argumento relacionado con una partición hará plausible fórla mula ( 3 ) . En efecto, si partimosD* en rectángulos pequeños con lados de longitud A u y Av, las imágenes de estos rectángulos están aproximadas por los paralelogramos con lados T,Au y T, Av y, por lo tanto, con área la(z, y)/d(u, v)l Au Av. Así, el área de D" es aproximadamente Au Av, donde la suma se toma sobre todos los rectángulos R dentro de D* (ver la figura 6.3.3). Por lo tanto el área \a(z, y)/a(u, u ) \ Au Av. En el límite, de T ( D * ) es aproximadamente la suma la suma se convierte en

Y

Figura 6.3.3 El área del rectángulo pequeño R es Av. damenbe la(z, y)/d(u,v)I Au

Au Av. El área de T ( R )es

aproxima-

Demos otro argumento para el caso particular (4) de la fórmula ( 3 ) , esto es, el caso de coordenadas polares. Considerar una región D en el plano zy y una malla correspondiente a una partición de las variables T y 0 (figura 6.3.4). El área de la , la longitud de región sombreada es aproximadamente igual a ( A r ) ( r j k A 0 )pues arco de un segmento de un círculo de radio T subtendiendo un ángulo q5 es rq5. El área total es entonces el límite de rjk Ar A0; esto es,. S , r dr dB. L a idea clave es que el j-ésimo "rectángulo polar" en la malla tiene área aproximadamente igual a rjk A r AO. (Para TI grande, el j-ésimo rectángulo polar se ve como un

376

INTEGRALTRIPLE,CAMBIODEVARIABLES

Y APLICACIONES

rectángulo con lados de longitud rjk A0 y A r . ) Esto deberá arrojar alguna luz sobre por qué decimos que el “elemento de área Ax A$ se transforma en el para un “elemento de área r Ar A0.” El ejemplo siguiente explica estas ideas caso particular.

Sea la región elemental D en el plano x y acotada por la gráfica de una ecuación polar r = f(0), donde Bo 5 0 5 01 y f(0) 2 O (ver la figura 6.3.5). En el plano r0 consideramos la región D’ del tipo 2, donde 00 5 0 5 01 y O 5 T 5 f(0). Bajo la transformación 2 = T cos 0, y = r sen 0, la región D’ va a dar sobre la región D . Usar (3) para calcular el área de D. EJEMPLO 2

0

Y

Figura 6.3.5 Efecto sobre la región D’ de la función de coordenadas polares.

6.3

377

TEOREMA DEL CAM610 DE VARIABLES

SOLUCIÓN

Esta fórmula para variable. A

A(D) debe serfamiliarpor

el estudiodelcálculode

una

Antes de enunciar la fórmula del cambio de variables, que es la culminación de este estudio, recordemos el teorema correspondiente de cálculo de una variable: (5)

donde f es continua y u

H

.(u)

es continuamente diferenciable en [a,b].

DEMOSTRACI~N Sea F una antiderivada de f ; esto es, F’ = f , lo cual es posible (5) se por el teorema fundamental del cálculo. El lado derecho de la ecuación vuelve

L:;

f(x) dx = F ( z ( b ) )- F ( z ( a ) ) .

Para evaluar el lado izquierdo de la ecuación (5), sea G ( u ) = F ( z ( u ) ) .Por la regla de la cadena, G’(u) = F ’ ( z ( u ) ) d ( u )= f ( z ( u ) ) d ( u ) .Entonces, de nuevo por el teorema fundamental,

lb

’1

f(z(u))z’(uL)du =

según se requirió.

G’(u)du = G(b) - G ( a ) = F ( z ( b ) )- F(z(a)),

funcióndeclase C’ u ++ .(u) es uno a unoen 1 O en [a,b] o dx/du 5 O en [a,b]. (Si dx/du es positiva y después negativa, la función x = .(u) crece y después baja, y así, no es uno a uno; se aplica un enunciado análogo para el caso en que dxldu sea negativa y después positiva.) Denotemos por I* el intervalo [ a ,b] y por I el intervalo cerrado con extremos .(a) y z ( b ) . (Así, I = [ t ( a ) , z ( b ) ]si u H .(u) es creciente e I = [z(b),z(a)]si u H .(u) esdecreciente.)Con esta notación podemos reescribir la fórmula (5) como Supongamosahoraquela

[a,b]. Así, debemos tener dx/du

378

,

INTEGRALTRIPLE, CAMBIODE VARIABLES Y APLICACIONES

Ésta eslafórmulaque segeneraliza para integralesdobles: I* sevuelve D " , I se vuelve D , y Idx/dul es reemplazada por l¿9(xc, y)/8(u,u)l. Enunciemos formalmente el resultado (se omite la demostración técnica). Sean D y D" regiones elementales enel plano y sea T :D m+ D de clase C1; suponer que T es uno a uno en D'. Más aún, suponer que D = T ( D * ) .Entonces, para cualquier función integrable f : D + R, tenemos TEOREMA 2: CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES DOBLES

Uno de los propósitos del teorema de cambio de variable es proporcionar un método mediante el cual se puedan simplificar algunas integrales dobles. Es posible hallar una integral f dA en la cual sea complicado el integrando f o la región D , y sea difícil la evaluación directa. Por lo tanto, se escoge T de modo que la integral sea fácil de evaluar con el nuevo integrando f o T o con la nueva región D' (definida por T(D' = D ) . Desafortunadamente, el problemaenla realidad puede complicarse si no se escoge T con cuidado.

so

EJEMPLO 3

y y = x

variables

Sea P el paralelogramoacotado por y = 2 2 , y = 22 - 2, y = x 6.3.6). Evaluar S , x y d x dy haciendo el cambio de

+ 1 (ver la figura

x=u-u,

y=2u-v,

esto es, T ( u ,u ) = ( u - u , 2u - u ) .

Figura 6.3.6 Efecto de í"(u,u) = (u- u,2u - u) en el rectángulo P'.

MBIO

DEL 6.3 TEOREMA

379

SOLUCIóN La transformación T es uno a uno (ver el ejercicio 8, sección 6.2) y está diseñada de modo que manda al rectángulo P" acotado por v = O, v = -2, u = O y u = 1 sobre P . Al usar T se simplifica la región de integración de P a P * . Más aún,

2

Por lo tanto

S,

x y d xd y = =

S,.(u

- v)(2v

I2I'

-1

- v ) du dv

(2u2 - 3vu

2

3

=[

= [ -23v - - v 43 2

+ u') du dv 'I

3u2v -2 v 2 u ] O dv

+

v3 + 5 ] 0 2 = 23- [ - ( - 2 ) - 3 -83- ]

-[-= - 31 = 7.

A

+

EJEMPLO 4 Evaluar S , log(x2 y2) dx dy, donde D es la región en el primer cuadrante que está entre los arcos de los círculos (figura 6.3.7) z2 + y' = b2 ( O < a < b). ' x 2 + y 2 = a 2, Y

i"

Figura 6.3.7 La función de coordenadas polares manda a un rectángulo de un anillo D.

D' sobre parte

380

INTEGRAL TRIPLE, CAMBIO DEVARIABLES Y APLICACIONES

Estos círculos tienenlas sencillasecuaciones T = a y T = b en coordenadas polares. Más aún, r’ = x’ + y’ aparece en el integrando. Así, un el integrando como la región cambio a coordenadas polares simplificará tanto de integración. Según el ejemplo 7 , sección 6.2, la transformación a coordenadas polares

SOLUCIÓN

T

=T

y = rsen0

C O S ~ ,

manda el rectángulo D * , dado por a 5 T 5 b , O 5 8 5 in,sobre la región D. Esta transformación es uno a uno en D’, de modo que por el teorema 2, tenemos

Ahora bien, la(z, ~ ) / O ( T8)l, = derecho se convierte en

T,

como y a se vio; entonces

la integral del lado

Aplicando integración por partes, o usando la fórmula

J’

L

log X d x =

X2

-

2

X2

log X - 4

de la tabla de integrales al final del libro, obtenemos el resultado

Supongamosqueconsideramos el rectángulo D* definido p o r O 5 8 5 27r, O 5 T 5 a en el plano r8. Entonces la transformación T dada por T ( r ,8) = ( r cos 8, r s e n O) manda D’ sobre el disco D , con ecuación x’ y’ 5 u’, en el plano zy. Esta transformación representael cambio de coordenadas cartesianasa coordenadas polares. Sin embargo,T no satisface los requerimientos del teorema del cambio de variables, pues no es uno a uno en D*: en particular, T manda todos los puntos con r = O a (0,O) (ver la figura6.3.8 y el ejemplo3de la sección 6.2). Sin embargo, el teorema del cambio de variables se cumple en este caso. Básicamente, la razón es que el conjunto de puntos donde T no es uno a uno está en un lado de D’, que es la gráfica de una curva suave y por lo tanto, para los propósitos de integración, puede despreciarse. En suma, l a fórmula

+

S,

f(x, y) dx d y =

S,.f ( r

cos O, r sen O)r d r d0

(7)

se cumple cuando T manda D’ demanerabiunívoca a D , exceptoquizáen de puntos de la frontera de D’. El ejemplo 2 proporciona un ejemplo sencillo

6.3


381

Y

7

Figura6.3.8 La imagen

es el disco D.

del rectángulo D*bajo la transformación de coordenadas polares

esto cuando f ( z , y ) es constante, igual a 1. Consideraremos ahora un ejemplo más difícil. EJEMPLO 5

Evaluar

SRd

m

d

z dy donde R = [O,11 x [O, 11.

SOLUCIÓN Esta integral doble es igual al volumen de la región tridimensional mostrada en la figura 6.3.9. Como se le presenta, es difícil evaluar esta integral. Como el integrando es una función sencilla de r2 = z 2 y’, intentamos de nuevo Esto traerá una simplificación un cambio de variables a coordenadas polares. del integrando, pero, desafortunadamente, no en el dominio de integración. Sin embargo, la simplificación es suficiente para permitirnos evaluar la integral. Para aplicar el teorema 2 con coordenadas polares, nos referimos a la figura 6.3.10. El lector puede verificar que R es l a imagen bajo T ( r ,8) = ( r cos 8, rsen 0) de la región D* = Df U D f donde para DT tenemos O 5 B 5 $T y O 5 r 5 sec 8; para D; tenemos 5 8 5 ir, O 5 r 5 csc8. La. transformación T manda Di sobre un triángulo TI y Da sobre un triángulo T2. La transformación T es uno a uno excepto cuando r = O, de modo que se puede aplicar el teorema 2. Por la en R, podemos ver que simetría de z =

+

.4

d

m

Aplicando la fórmula ( 7 ) , obtenemos

INTEGRAL TRIPLE,CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

382

x Figura 6.3.9 Volumen de la región bajo x =

O

d m y sobre R = [O, 11

a

Tz.

[O, 13.

e

Figura 6.3.10 La transformación en coordenadas polares manda

D;

X

D; al triángulo TI y

6.3


A continuación usamos integración iterada para obtener

Consultando una tabla de integrales (ver al final del libro) para hallar sec3 2 d z , tenemos

Consultando, de nuevo, la tabla para Ssec

2

dx,hallamos

Combinando estos resultados y recordando el factor

4, obtenemos

Multiplicando por 2, obtenemos la respuesta 1 3

dx dy = -[&+

log(1

+ h)].A

También hay una fórmula de cambio de variables para integrales triples, que enunciamos a continuación. Primero debemos definir el jacobiano de una transformación de R3 a R3 -es una extensión sencilla del caso de dos variables. DEFINICI~N Sea T :W c R3 ”-+ R3 una función C1 definida por las ecuaciones x = x(u,w, w),y = y(u, w,w),z = %(u, v , w).Entonces el jacobiano de í”, que se denota por ¿?(x, y, z ) / a ( u ,w ,w)es el determinante

ax

ax

au

av

-

ay

3 ay

au

av

a2

a2

av

-

au

ax

aur

”

aw a2

“

aw

384

INTEGRALTRIPLE,CAMBIODE

VARIABLES Y APLICACIONES

El valor absoluto de este determinante es igual al volumen del paralelepípedo determinado por los vectores az

T - - - i + - j +a -yk T

a2

-

au

au

au

-

az "i+ av

ay -j+

-k

a2

av

at1

ax

T u = - i + - j +a-yk aw aw

a2

aw

(ver la sección 1.3). Asícomoen el casodedosvariables, el jacobiano mide cómo la transformación T distorsiona su dominio. Entonces, para integrales de volumen (triples), la fórmula del cambio de variable toma la forma:

(8)

donde D* es una región elemental en el espacio uvw correspondiente a D en el espacio z y z , bajo un cambio de coordenadasT :(u, v ,w)H ( z ( u ,v ,w),y ( u , o,w), z ( u , v,w)),siempre que T sea de clase C' y uno a uno, excepto quizá en un conjunto que sea la unión de gráficas de funciones de dos variables. Apliquemoslafórmula (8) paracoordenadascilíndricas y esféricas(ver la sección 1.4). Primero calculamos el jacobiano de la función que define el cambio de coordenadas. Como y = r sen O,

x = r cos O,

z = z,

tenemos "---=~sen8 Y, 4 a ( T , 0, 2 )

cos0 O

-r s e n 8 rcos0 O

O O =r. 1

Así, obtenemos la fórmula f ( x , y , z) d x dy dz =

f ( r COSO, T sen O, z ) r dr d0 dz.

(9)

A continuación consideramos el sistema de coordenadas esféricas. Recordar que está dado por x =psendcosO,

y = psen$senO,

z = pcosd.

6.3


305

Por lo tanto, tenemos sen 4 cos O sen q ! ~sen O

-p sen 4 sen O p sen 4 cos O

O

p cos 4 cos O p cos 4 sen B -p sen 4

Desarrollando a lo largo del último renglón, obtenemos

- psen 4

= -p’ cos’

sen 4 cos O sen 4 sen O

4 sen B p sen 4 cos O

”p sen

4 sen 4 sen’ B - p’

- p2 sen3 4 cos’

cos’

4 sen 4 cos’ O

O - p’ sen3 4 sen’ 8

= -p2 cos’ 4 sen 4 - p’ sen3 4 I

= !-p’ sen 4. i

Llegamos así a la fórmula

=

S,.

f(psen4cosO,psen4senO,pcos4)pZsen4dpdOd4.

(10)

Para probar lavalidez de la fórmula ( l o ) , se debe mostrar que la transformación S en el conjunto D” es uno a uno excepto en un conjunto que sea la unión de un número finito de gráficas de funciones continuas. Dejaremos esta verificación 1 para el ejercicio 20. EJEMPLO 6

R3.

Evaluar

,S

exp(x2

+ y2 + 22)3/2dl/, donde D es la bola unitaria en

Notarprimeroquenopodemosintegrarfácilmenteestafunción usando integrales iteradas (¡intentarlo!). Tratemos entonces con un cambio de variable. Parece apropiada l a transformación a coordenadas esféricas, pues así 2’ se puede reemplazar por una variable, a saber p2. toda la cantidad x2 y’ Si D” es la región tal que SOLUCIÓN

+ +

o
0<0<2*,

O
podemos aplicar la fórmula (10) y escribir exp(x’

+ y’ + z ’ ) ~ ’ ~d l /

=

p’eP3 sen

4 dp d0 d d .

386


Est8&int,egral es igual a la intcgral iterada

Sea D la bola de radio R y centro ( O , O , O ) en R3. Hallar el volumen

EJEMPLO 7

de D.

i

SOLUCIÓN Elvolumen de D es dx dy d z . Esta integral se puedeevaluar al reducirla a integrales iteradas (ejemplo I , sección 6.1) o considerando colno un volurrlen de revolución, pero l a evaluaremos aquí usando coordenadas esf4ricas. Obtenenlos

/:

dxdydl=/li~T~Rp2sen4dydR((0

2x~23

-~ -

3

4xR3 { - [ c o s ( x ) - cos(O)]}= 3

%

que es la conocidafórmula para el volumen de una esfera sólida.

A

EJERCICIOS

+

haciendo el cambio de variables L = u u , y = u - 'c. Verificar l a respuesta obtenida evaluando directamente l a integral, usando u n a integral iterada.

6.3


387

3. Sea T ( u ,v ) = ( ~ ( u uj, , y ( u , v ) j la función definida por T ( u ,u ) = (4u,2u + 371). Sea D’ el rectángulo [O, 11 x [l,21. Hallar D = T ( D * )y evaluar

( 4

JD2:Yd2:dY

kb,l

J&-YPZdY

haciendo un cambio de variables para evaluarlas 4. Repetir el ejercicio 3 para

como integrales sobre D * .

T(,u,u ) = ( U ) v ( 1 + u ) ) .

5. Evaluar

donde D = [O, 11 X [O, 11, haciendo T ( u ,v) = (u, v/2) y evaluando una integral sobre D’, donde T ( D * )= D. 6.

Definir T ( u , v j = (u’ - v2,2uv).Sea D’ el conjunto de ( u , v ) con u’ 71 2 O. Hallar T ( D * )= D. Evaluar j” dz dy.

u 2 O,

+ Y’

5

1,

Sea T(u,v) como en el ejercicio 6. Haciendo ese cambio de variables, evaluar

8. Calcular

x

S,

-dy d x ,donde R es la región

+ y = 4, usando la función T ( u ,v)

9.

Evaluar

10. Sea

X + Y

sD(2:’+

da dy

D’ una región del tipo

2:

= O, y

0 , z 4- y = 1,

= (u- uv,U.).

donde D es eldisco

x’

+ y’

5 4.

1 en el plano uv acotado por

= da), para a 5 u 5 b. Sea T :RZ-+

acotada por

1)

= h ( % )5 S(%)

R’ la transformación dada por x=u>

Y = $(uLL, u ) ,

donde 4 es de clase C’ y &,h/au nunca es cero. Suponer que T ( D * )= D es una región del tipo 1; mostrar que si f:D -+ R es continua, entonces

Usar integrales dobles para hallar el área dentro de la curva

T

=1

+ sen 8.

388


Calcular JR(z+y)2eZ-Y d z dy donde R e s l a región acotada por ~ + = y 1. J + y = , l . x"y=-lyz-y=l.

6.4

APLICACIONES DE

24. Evaluar

y

LAS INTEGRALES DOBLES

Y TRIPLES

389

Jh z 2 d z dy donde D está determinado por las dos condiciones

2 + y2 5 1.

O

5

z

5

y

25. Integrar ~ ~ e - - ( z a t y 2 t z sobre 2 ) la región descrita en el ejercicio 23

Evaluar lo siguiente usando coordenadas cilíndricas. ( a ) JJ&z dl: dy dz donde B es la región dentro del cilindro

+

plano z y y debajo del cono z = (z’ y ) y2 z~)-”~ dx dydz donde D esla ( b ) [!&(x2 condiciones 5 z 5 1 y z2 y 2 z2 5 1

+

Evaluar &(x

+

2’

2 112

+ +

+ y’

= l,.sobre el

región determinada por

+ y) dz dy donde B es el rectángulo en el plano “y

las

con vértices en

( O , 11, (LO), ( 3 , 4 ) Y ( 4 , 3 ) . 28. Evaluar &(x Y ( 2 , -1).

+ y) dz dy donde D es el cuadrado con vértices en (O, O), +

E el elipsoide (.’/a’) (y“/b2) (a) Hallar el volumen de E . (b) Evaluar J J J E [ ( z 2 / a 2 )+ ( y 2 / b 2 ) y después nsar coordenadas esféricas.) 29. Sea

(1,2), ( 3 , l )

+ ( z 2 / c 2 )5 I , donde a , b y c son positivos. + ( z 2 / c ’ ) ] dzdydz. (IDEA:

Cambiar variables

Usando coordenadas esféricas (ver la sección 1.4), calcular.la integral de f ( p , 4, O) = l / p sobre l a región en el primeroctantede R3 queestáacotadapor los conos 4 = n/4, 4 = arctan 2 y la esfera p = h. ( u 2 -Y’, 2u.v) transforma el rectángulo 1 5 u 5 2 , 1 _< u 5 3 del plano uz‘ en una región R del plano z y . (a) Mostrar que T es 11110 a uno. (b) Hallar el área de R usando la fórmula del cambio de variables.

*31. La función T(uL: u) = ,

+

+

R la región dentro de x 2 y’ = 1 pero fuera de z2 y2 = 2y con z>O,y>O. (a) Esbozar esta región. (b) Sea u = z 2 y 2 , v = z2 y’ - 2y. Esbozar la región I? en el plano uv que corresponde a R bajo este cambio de’coordenadas. (c) Falcular z e y d z dy usando este cambio de coordenadas.

*32. Denotemos por

+

+

S,

Sea U la región acotad& por z3” + y 3 l 2 = u 3 / 2 , para I: 2 O , y 2 O y los ejes coordenados z = O , y = O. Expresar f(z,y) d z d y como una integral sobre el triángulo D’, que es el conjunto de puntos O 5 u 5 a , O 5 v 5 a - u . (No int,entar evaluarla.)

*33.

[,

6.4

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES

En esta sección est,udiaÍwnos como aplicaciones:valorespromedio,centrosde masa, momentos de inercia y potencial gravitacional. Si zl,. . . ,x, son n números, su promedio está definido por [ziIprom= (x1 + . . zn)/n = ( l / n ) zi.Este concepto nos lleva a definir el valor promedio

+

x,”=,

390


de una función de una variable en el intervalo [ u , b] por

Asimismo, para funciones de dos variables, la razón de la integral al &rea de D ,

se llama valor promedio de f sobre D.

EJEMPLO 1

[O, TI. SOLUCI~N

Hallar el valor promediode f(z,y) = xsen2(zy) en D = [ O , 7r] x

Primero calcularnos

= -x3+ 4

cos(27r2) - 1

8x

Así, este valor promedio de f,por l a fórmula ( l ) ,es

+

a3/4 [c0s(27r2) - 1]/8x 7r2

x

cos(27r') - I 8a3

=4+

Si se colocan m l , . . . m, masas en los puntos centro de masa se define como

z 0.7839.

X I ,. . . ,x,

A

sobre el eje x , su

Esta definición surge de la observación siguiente: si tratamos de balancear masas en una palanca (figura 6.4.1), el punto de equilibrio C ocurre donde el momento total (masa por la distancia al punto de equilibrio) es cero, esto es, donde

6.4


Figura 6.4.1 Lapalanca

está equilibrada si

391

- % ) m ,= o.

md(zi - F) = O; un principio físico que se remonta a Newton asegura que esta condición significa que n o hay tendencia a que la palanca gire. Para una densidad de masa continua p ( z ) a lo largo de la palanca, el análogo de l a fórmula (2) es -

x=

J X P ( 4 dz J P ( X ) dx .

Para placas bidimensionales, esto se generaliza (ver la figura 6.4.2) a

donde, de nuevo, p ( z , y) es la densidad de masa.

centro de masa placa

*

Figura 6.4.2 La placa se equilibra cuando se coloca sobre su centro de

masa.

392


SOLUCIÓN

Calculamosprirnerolamasatotal:

El numerador en la fórmula (4) para ?E es

de modo que

Se pueden intercambiar los papeles de A también jj = l / ( e - 1) M 0.582.

2

y y en todos estos cálculos, entonces

Para unaregión W en el espacio con densidad de masap ( z !y, z), estas fórmulas se generalizan como sigue: volumen = JJJ d z dy dz,

(5)

W

masa = JJJ p ( z , y, z ) d z dy d z . W

centro de masa = (Z, 5,Z),

donde

z=

w

masa

(6)

6.4


393

El valor promedio de una función f en una región W está definido por JJJf(x, [flProm

=

W

Y1

2)

dY d z

JJJ d x dY dz W

El cubo [1,2] x [1,2] X [1,2] tiene densidad de masa (1 x)e” y. Hallar la masa de la caja. EJEMPLO 3

+

SOLUCIÓN

p(x, y , z)

=

La masa de la caja es, por la fórmula (6),

x=2 x=1

Si una región y su densidad de masa son simétricas según una reflexión en un plano, entonces el centro de masa está en ese plano. Por ejemplo, en la fórmula (7) para E , si l a región y la densidad de masa son simétricas en el plano yz, entonces el integrando es impar en 2 , de modo que F = O. Esta manera de usar la simetría se ilustra en’ el ejemplo siguiente. (Ver además el ejercicio 17.) Hallar el centro de masa de la región hemisférica W definida p o r l a s desigualdades x 2 y2 z2 5 1, z 2 O. (Suponer que la densidad es constante.)

EJEMPLO 4

+ +

Por simetría, el centro de masadebeestar en el eje z , demodo = O. Parahallar F debemoscalcular, por lafórmula (7), I = que ;rt = SS&, z dz dy d z . El hemisferio es de los tipos I, I1 y 111; lo consideraremos de tipo 111. Entonces la integral I se convierte en . . . SOLUCIÓN

z dx dy dz.

Como z es constante para las integraciones en z y en y, podemos sacarla de los signos de integral y obtener I = l l z

(1m /

%/zj7Iz

Q - d m ’

zdxdy

INTEGRALTRIPLE, FÓRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

394

En lugar de calcular explícitamente las dos integrales interiores, observamos que se t r a t a ni más ni menos que de la integral doble dx dy sobreel disco x’+y2 1 - z 2 , considerado como región del tipo 2. EI área de este disco es x( 1 - z ’ ) , de modo que

&

Elvolumen delhemisferio es :x, demodoque

f = ( x / 4 ) / ( $ x )=

i.

A

La temperatura en los puntos delcubo W = [-I, 13 x [-I, 11 x [-1,1] es proporcional al cuadrado de la distancia al origen.

EJEMPLO 5

(a) iCuál es la temperatura promedio? (b) 1En qué puntos del cubo la temperatura es igual a la temperatura promedio?

sJJw

(a) Sea c la constante de proporcionalidad de modo que T = c(z2+ y2 z 2 ) y latemperatura promedio es [T]prom= T dx dydz, pues el volumen del cubo es 8. Así, SOLUCIÓN

+

L a integral triple es la sunla delasintegralesde x2, y’ y 2’. Como x, y y z entran de manera simétrica en la descripción del cubo, las tres integrales serán iguales, de modo que

La integral interior es igual al área del cuadrado [--I, 11 x [-1,1]. El área de ese cuadrado es 4, de modo que

+ +

(b) L a temperatura es igual a l a temperatura promedio cuando c(z’ y2 z’) = c , esto es, en la esfera z’ y2 z 2 = 1, que está ins‘crita en el cubo Mr.

+ +

A

Otro concepto importante en mecánica, que se necesita para estudiar la dinámica de un cuerpo rígido en rotación, es el de momento de inercia. Si el sólido W tiene densidad uniforme p, el mornentodeinerciaalrededordelejex está

6.4


definido por I, =

///

p(y2

+

2’)

395

dl: dy dz.

W

De manera análoga,

El momento de inercia mide la respuesta de un cuerpo a intentos de girarlo; es análogo a la masa de un cuerpo, que mide su respuesta al intento de moverlo. Sin embargo, a diferencia del movimiento de traslación, los momentos de inercia (Es más difícil poner a girar dependen de la. forma y no sólo de la masa total. un mástil que una bola compacta con la misma masa).

EJEMPLO 6 Calcular el momento de inercia I, del sólido arriba del plano xy acotado por el paraboloide z = x’ y’ y el cilindro x’ y2 = a ’ , suponiendo que a y la densidad de masa son constantes.

+

+

SOLUCIÓN El paraboloide y el cilindro se intersecan en el plano coordenadas cilíndricas, hallamos de (9), que

t = a’.

Usando

Una interesanteaplicación física de la integración triple es la determinación de campos gravitacionales de objetos sólidos. En el ejemplo 6 , sección 2.5, se mostró F ( x , y , z ) de una partícula es el negativo que el campo de fuerza gravitacional V(x, y,t) llamada potencial gravitacional. Si hay del gradiente de una función una masa puntual M en ( x , y , z ) , entonces el potencial gravitacional que actúa (y sobre una masa m en ( x 1 ,y l , zl) debido a esta masa, es G m M [ ( x - xl)’ y ~ )( z ~- ~ 1 ) ~ ] - ~ donde /’, G es l a constante de gravitación universal. Si nuestro objeto atractor es un dominio extendido W con densidad de masa p ( x , y, z ) , podemos pensarlo como formadode regiones infinitesimales con forma de caja con masas dm = p ( x , y, 2 ) d x d y d z localizadas en los puntos (x, y, 2). El potencialgravitacionaltotalpara W se obtiene,entonces,“sumando” los potenciales de las masas infinitesimales -esto es, como una integral triple (ver la figura 6.4.3.):

+

+

396

INTEGRALTRIPLE, FóRMULA DECAMBIODE VARIABLES Y APLICACIONES

Figura 6.4.3 El potencial gravitacional actuando sobre una masa. m en (21,y], de la masa d M = p ( z , y, z) dz dy d z en ( E , y, z ) es [ G m p ( z y, , z ) dl: d y d z ] / r .

21)

surge


Lateoríade los camposdefuerzasgravitacionales y depotencialesgravitacionales sus fue desarrollada por Isaac Newton (1642-1727). Newton detuvo la publicación de teorías gravitacionales por largo tiempo. El resultado de que un planeta esférico tiene el mismo campo gravitacional que tendría sisu masa estuviera concentrada en el centro del planeta, apareció por primera vez en su famoso trabajo Philosophia Naturalis, Principia Mathernatica, cuya primera edición apareció en 1687. Resolveremos el problema y coordenadas esféricas; es notable que en la de Newton usando integrales múltiples solución publicada por Newton usa sólo geometría euclidiana.

EJEMPLO 7 Sea W una región de densidad constante y masa total M . Mostrar que el potencial gravitacional está dado por

donde [ 1 / ~ ] ~ ~ es~el, ,promedio , sobre W de

6.4


SOLUCIÓN

397

De acuerdo con lafórmula ( l o ) ,

XI, Y I , Z I ) = Gm

JJJ ,, JJJ W

+ (Y -

(x -

W

= ~ m p

pdxdydz

&-

dx dy dz

X1l2

como se requería.

[:]

+ (Y -

Y1)2

JSS d(x

= Gm[p volumen ( W ) ] = GmM

Yl)2

W

+ (z +

(2

z1)2

- 21)2

dx dy d z

- x1)2

+ (y -

yl)2

+ (.

- z1)2

volumen ( W )

prom

A

Usemos ahora la fórmula (10) y coordenadas esféricas para hallar el potencial gravitacional V(z1, y1 , z1) para la región W entre las esferas concéntricasp = p1 y p = p 2 , suponiendo que la densidad es constante. Antes de evaluar la integral en la fórmula (lo), hacemos algunas observaciones que simplificarán los cálculos. Como G, m y la densidad son constantes, podemos ignorarlas al principio. Como el cuerpo atractor W es simétrico respecto a rotaciones alrededor del origen, el potencial V(z1 , y1,zl) debe, a su vez, ser simétrico -así, V ( z 1, y l , 21) depende sólo de la distancia R = al origen-. Nuestros cálculos serán más sencillos si vemm el punto (O,O,R)en el eje z (ver la figura 6.4.4). Así, nuestra integral es

d

m

398

INTEGRAL TRIPLE,FÓRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

I

= -[(p2

1zp

1 =-(p+R-

+

Rp

+ 2 R p + R2)’I2

-

(p2 - 2 R p

+ R2)Ií2

IP -

La expresi6n p R siempre es positiva, pero p - R puede no serio, de modo que debemos mantener el signo de valor absolut,o. (Aquí hemos usado la fórmula &? = )1. Sust,ituyendoen la fGrmula para V , obtenemos

6.4

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

Y TRIPLES

399

El factor (47r/3)(pz - py) es precisamente el volumen de W. Colocando de nuevo las constantes G, m y la densidad de masa, hallamos que el potencial gravitacional es G m M I R , donde M es la masa de W. Así, TJ es precisamente conlo si toda la masa de W estuviera concentrada en el punto central. Si R 5 p1 (esto es, si ( X I ,y1, z 1 ) está dentro del hueco), entonces Ip- Rl = p- R Para P en [Pl, P21 Y I

p[p+R-(p-R)]dp=(Gm)4a

61'

pdp=(Grn)2x(p$p:).

El resultado es independiente de R, de modo que el potencial V es constante dentro del hueco. Como la fuerza gravitacional es menos el gradiente de V, concluimos que in0 existe fuerza gravitacional dentro deun planeta uniforme hueco! Dejamos al lector calcular V(0, O, R) para el caso p1 < R < p ~ . Un argumento similar muestra queel potencial gravitacional fuera de cualquier cuerpo simétrico esférico de masa "(aunque su densidad sea variable) es V = G M m / R , donde R es la distancia a su centro (que es el centro de masa). EJEMPLO 8 Hallar el potencial gravitacional actuando en una unidad de masa de una estrella esférica con masa M = 3.02 X lo3' kg a una distancia de 2.25 x 10l1 m de s u centro ( G = 6.67 x N m2/kg2).

SOLUCIÓN

El potencial es

GM v=-= R

6.67 x 10"' x 3.02 x IO3' = 8.95 2.25 x 10l1

X

108m2/s2.

A

EJERCICIOS 1. Hallar el promedio de f(z,y) = y sen x y sobre

D = [O, x] x

[O, x].

2. Hallar el promedio de f ( z , y) = e x t y sobre el triángulo con vértices (O,O), (1, O ) .

(O, 1) y

Hallar el centro de masa de la región entre y = x 2 y y = z si la densidad es 4. Hallar el centro de masa de la

región entre y = O y y = T', donde O 5

2

2

+ y.

5 $.

5. Una placa de oro grabadaD está definida por O 5 T 5 2x y O 5 y 5 x (centímetros) y tiene una densidad de masap(z, y) = yzsen2 4z+2 (gramos por centímetro cuadrado). Si el oro cuesta 7dls por gramo, ¿cuánto vale el oro en la placa?

En el ejercicio 5, ¿cuál es la densidad de masa promedio en gramos por centímetro cuadrado?

INTEGRAL TRIPLE, FÓRMULADE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

400

( a ) IIallar l a masa de l a caja [O, fr] x [O, 11 x [O, 21. suponiendo que la densidad e s ul1iforlrrr. ( h ) Igual que cn l a parte ( a ) , pero con una densidad de masa p ( z , y , z ) = z’ 3y’ + 2 1.

+

+

8. Hallar l a n a s a del scilido acotado por el cilindro si l a densidad es p = .”/,

de l a región acotada por z:

9. €Tallar el cent.ro d e m a s a i=

= 2r y el cono zz = zz + y z

3;’+ y 2

+y +z

= 2 , z: = O, y = O y

o.

10. llallar el c-ent.ro de masa del cilindro p =( 2 y’)22.

+

I’

+y ’5

_<

1, 1

z

5 2 , si

Hallar el valor promedio de sell2 TZ cos2 x %sobre el cubo [O, 21 12. Hallar el valor promedio de e-‘

sobre la bola r 2

+ y’ +

2’

X

la

densidad es

[O,41 X [O. 61.

5 1.

13. I:II sólitlo con dcnsidadconstanteest,áacotado por arriba por el plano z = a y por debajo por el cono descrito en coordenadas esféricas por 4 = k, donde I; es una coltstante 0 < E, < x/2. Dar una integral para s u momento de inercia alrededor del eje 3.

IIallar el momento de inercia alrededor del eje y para la dcnsitlad d r . m a s a es una constante p .

l a hola I’

+ y2 + z’

5 R2 si

15. Hallar cl potencial gravitacional sobre una masa nz de un planeta esférico con masa

i ~ f= 3 x 1 0 ’ ~kg. a una dist,ancia dc 2 x l o R111 de su centro. 16. Hallar la furrLa gravitacionalejercidasobre indicada en el ejercicio 15.

u n objetode

70 kg en laposición

17. 1111 c n r r p o It,‘ en coordenadas z y z es simétrico r e s p w t o a un plano si para toda part.ícula a u n lado del plano existe una partícula de igual masa localizada ens u reflejo, d o ~ ~ deleplano es el espejo. ( a ) E s t u d i a r los planos de simrtría para el cuerpo de un automóvil. (t)) s e a el plauo de sirnrt,ría el plano ry, y denotemos por W + y W - las partes d e 1.V arriba y abajo tiel plano,respectivamente. Por hipótesis, l a densidad de masa p ( r , y , 2 ) s a t i s f x e p ( r . y1 - 5 ) = p ( r 3y. 2 ) . Justificar est,os pasos: ~.J~~’p(r,y.,-)dxdydz=JJ~~zp(s,y,~)dxctlydz 1%’

11.

+ JJJ z p ( r , Y > z) d x dY dz

=

JJJ ZP(z:,

=

JJIz p ( z : , y, z) dr dy dz + JJJ - z p ( u .

C’I’

+

CY

+

Y,

dz: d.?/ dz

IC’ -

bV +

U ,-w)

du dv dw

O.

( c ) F:xplicat por qué l a partc (b) prueba que si un cuerpo es simét.rico respecto a plano, entonces su centro de masa está e n ese plano. (d)Deduciresta ley de la mecánica: Si un cuerpo es sirnétrico en dos planos, entonces SII centro d e masa está en s u recta de interspccidn. un

6.5

INTEGRALES IMPROPIAS

401

18. Una placa rectangular uniforme de acero, de ladosa y b, gira alrededor de s u centro de gravedad con velocidad angular constante u. (a) La energía cinética es igual a $(masa)(velocidad)’. Argumentar que la energía cinética de cualquier elemento de masa p d z dy ( p = constante) está dada por p ( w ’ / 2 ) ( x 2 y’) dz dy, siempre que el origen ( O , O) esté colocado en el centro de gravedad de la placa. (b) Justificar l a fórmula para la energía cinética:

+

placa

(c) Evaluar la integral, suponiendo que la placa está descrita por - a / 2 y -b/2 5 y 5 b/2.

5 z 5 u/2

[Tz;I Como ya se sabe, la densidbd .de

un planeta típico no es constante en todo el planeta. Suponer que el planeta T. S. R. tiene un radio de 5 X 10’ cm y una densidad de masa (en gramos por centímetro cúbico)

,

T T

donde T = de T. S. R.

d w .Hallar una fórmula para

2 i o 4 cm, 5 104 cm, el potencial gravitacional afuera

SECCIÓN OPTATIVA

*6.5 INTEGRALES IMPROPIAS En el capítulo 5 y en las secciones anteriores de este capítulo, definimos la integral y tres variables y enunciamos criterios que nos garantizaban en de funciones de dos qué caso f era integrable sobre un conjunto D.Recordar que una de las hipótesis del teorema 2 (sección 5 . 2 ) era que f estaba acotada. El ejemplo siguiente muestra cómo es posible que la suma S, no converja si f no está acotada. Sean R el cuadrado unitario [O, 11 x [O, 13 y f:R R definida por 4

Claramente, f no está acotada enR, pues, conforme z se acerca a cero,f se vuelve arbitrariamente grande. Sea R,, una partición regular de R y formemos la suma mostrada en la fórmula (1) de la sección 5.2, n-1

n-1

INTEGRALTRIFLE, FÓRMULADE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

402

Figura 6.5.1 Localización de

R11

en una partición de [O, 11 X [O, 11.

Sea

R11 el subrectánguloquecontienea ( 0 , O ) (verlafigura 6.5.1), y escoger algún E Rl1. Para n fija, podemos hacer S , tan grande como queramos al escoger C I más y más cerca de( O , O ) ; entonces, líInit,e S, no puede ser independiente del a selección c11

, " o

de c t j . Sin embargo, evaluemos formalmente la integral iterada de para integrar una función de una variable. Tenemos

=J

f . siguiendo las reglas

2dy=2.

Más a h , si invertimos el orden de integración, también obtenemos

so1

Así, en cierto sentido, esta función es integrable. L a pregunta es: Len qué sentido? Recordemos del cálculo de una variable cómo se trata la integral impropia dx/ ,,6:

l / & no está acot,ada en el intervalo ( O , I ) , pero límite

so1

6-0

S''

dx/&

= 2 y definimos

( d z / & ) como este límite. De manera análoga, para el caso de dos variables permitiremos que la función no esté acotada en ciertos puntos de l a frontera de su dominio y definiremos la integral impropia mediante on proceso de límite. Específicamente, supongamos que la región D es del tipo 1 y f : D -+ R es continua y acotada excepto en ciertos puntos de la frontera. P a r a simplificar la exposición, D está dessupondremos primero q u e f es no negatita. Supondremos, además, que x b, d l ( z ) y d2(x). Escojamosnúmeros 6 y 7 > O talesque critapor a Dv,6 sea el subconjunto de D fornmdo por los puntos ( z , y) con u + 7 2: 5 b - 7 ,

< <

< <

<

~

6.5


403

Y

Y = &(x) I

u

U + ?

b-?

b

Figura 6.5.2 Dominio encogido D,,6 para integrales impropias.

+

41(z) 6 5 y 5 $2(z) - 6 (figura 6.5.2), donde 9 y 6 se escogen lo suficientemente pequeños para que D,,a c D. (Si q5l(u) = q52(u) o q5l(b) = 4 2 ( b ) , debemos modificar Dq,6 puede no ser un subconjunto de D (ver el esto ligeramente, pues en este caso ejemplo a).) Como f escontinua y acotadaen D0,6, existelaintegral f . Podemos D ~ , 6 preguntar ahora qué sucede cuando la región D,,6 se expande hasta llenar la región D , esto es, cuando ( q , 6 ) -+ (O, O). Si existe

límite

sD

definimos que f sea igual a este límite y decimos que es la integral impropia de f sobre D . Esta definición es análoga a la definición de integral impropia para una función de una variable. Como f es integrable sobre D,,,6, podemos aplicar el teorema de Fubini para obtener

Por lo tanto, si f es integrable sobre D ,

Puede ser conveniente trabajar con los limites iterados

INTEGRALTRIPLE,FÓRMUU DE CAMBIODE VARIABLES Y APLICACIONES

404

si es que existen estos límites. De existir, denotamos la expresión

11:;:;)

(2) por

f ( x , Y) dY d x

>

y la llamamos la integral iterada impropia def sobre D . Como suponemos que f O, la existencia de los límites mostradosen la expresión ( 2 ) implica la existencia del límite doble que define f d A ; por lo tanto, la expresión (2) es igual a f d A en este caso. Usando técnicas más avanzadas, es posible mostrar que fsies integrable, entonces, si la f d A ; esto es, se puede usar la expresión integral iterada impropia existe, es igual a ( 2 ) para evaluar la integral impropia. La definición es análoga cuando D es una región del tipo 2. Finalmente,consideremos el caso en que D esunaregióndeltipo 3 y f no está acotada en puntos de aD. Por ejemplo, suponer que D es el conjunto de puntos ( 2 ,y) con

S,

sD

S,

a

5x I b,

&(x) I Y 5h ( x )

y también es el conjunto de puntos (x,y) con

1cI:l

Si f es integrable y existen

f(z,Y ) d x dY

Y

i" 1:;;;

f(z,Y) dY d x

entonces se puede mostrar que ambas integrales iteradas son iguales f d A . Éste es el teorema de Fubini para integrales impropias. es

S,

y su valor común

SOLUCIóN Podemos describir a D como el conjunto de puntos ( 2 ,y) con - 1 5 z 5 1, - d m 5 y 5 d m . Ahora bien, como a D es el conjunto de puntos (z,y) con x 2 y2 = 1 , f no está definida en ningún punto de a D , pues en esos puntos el denominador de f es O. Calculamos la integral iterada impropia y obtenemos

+

6.5


405

En este ejemplo usamos el hecho enunciado anteriormente de que la integral iterada impropia es igual a l a integral impropia de 1 / ( sobre el disco unitario.

d-)

EJEMPLO 2 S e a f ( x , y ) = 1 / ( ~ y) y sea D el conjunto de (x,y) con O O 5 y 5 z. Mostrar que f no es integrable sobre D .

5

z

5 1y

SOLUCIóN Como el denominador de f es cero en la recta y = x , f no está acotada en parte de la frontera de D. Sea O < 7 < 1 y O < 6 < y sea D7,6 el conjunto de ( x ,y) con 7 5 x 5 1 - 7 y S 5 y 5 X - 6 (figura 6.5.3). Escogemos 6 < 17 para garantizar que D,)6 está contenido en D. Considerar

=

=

11-'[- + 11-'+ 1" log(6)

[- log a]

= -(1

-

log(x

dx

2q) log 6

+ [(x

-

-

S)] dx log(X - 6)dz

S)log(x - 6 ) - (x - S)];-".

En el último paso usamos el hecho de que s l o g u d u = u l o g u conjunto anterior de igualdades, tenemos

-

u. Continuando el

fdA=-(1-2~)logS+(1-~-6)10g(1-7-¿?) - (1 - q

-

6) - (7 - 6)log(?/ - 6)

+ ( 7 - 6).

Y

Figura 6.5.3 Dominio encogido

Dv,6 para un dominio triangular D

406

INTEGRAL TRIPLE, FÓRMUU DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

Cuando ( q ,6) (O,O), el segundo término converge a 1 log 1 = O , y el tercero y quinto términos convergen a -1 y O, respectivamente. Sea v = 7 - 6. Como v log v + O cuando v + O (este límite se prueba usando la regla de l’Hopita1, del curso de cálculo), vemos que el cuarto término va a cero cuando (7,6)-+ (O,O). Es el primer término el que nos causará problemas. Ahora bien, -+

y no es difícil ver que esto no converge cuando entonces la expresión (3) se convierte en -

log 6

-

-

( ~ ~ 6 )(O,O). Por ejemplo, sea

+ 46 log 6.

-

7 = 26;

Como antes, 46log6 “+ O cuando 6 O, pero -log6 +o3 cuando 6 ”+ O, lo cual muestra que la expresión (3) no converge. Por lo tanto, límite f dA no existe, demodoque

f noesintegrable.

(v,6)-(0,0)

A

S,

L a teoría de las integrales impropias de funciones que no sean de un solo signo, necesariamenteesmáscomplicada.Enlafigura 6.5.2 debemos tomar por separado los límites izquierdo y derecho, de arriba y de abajo. Esto es análogo a las integrales impropias de una variable sobre intervalos donde la integral es impropia tanto en el extremo izquierdo como en el derecho del intervalo. Es importante considerar las integrales impropias, pues surgen de problemas naturales. Por ejemplo, como veremos más adelante, una de las fórmulas para calcular el área de superficie de nn hemisferionos obliga a considerar la integral impropia del ejemplo1 .

EJERCICIOS 1. Evaluar las siguientes integrales, en caso de que existan.

(d)

so1S,””

log z d z d y

2. k.,] Analizar cómo se definiría f dA si D es una región no acotada, por ejemplo, el conjunto de (z, y) tales que a 5 z < m y +1(z) 5 y 5 &(x), donde están dadas 41 5 4 2 (figura 6.5.4).

S,

(b) Evaluar

S,

z ye - ( 2 2 t y 2 ) d z dy si z

2 o, 0 5

y

5 1.

6.5

407

INTEGRALESIMPROPIAS

Y 4

Figura 6.5.4 Región D no acotada. 3. Usando el ejercicio 2, integrar de dos maneras e-xy para x 2 O, 1 que se cumple el teorema de Fubini) para mostrar que

5 y 5 2 (suponer

d z = log 2.

4. Mostrar que existe l a integral

So1S o a ( x / d G )d y d z , y calcular su valor.

Analizar cuándo existe la integral

x2

+y +x2xy + y2 d x d y

donde D = [O, 11 x [O, I]. Si existe, calcular su valor. 6. Sea f una función no negativa que puede ser no acotaday discontinua en la frontera de una región elemental D. Sea g una función similar tal que f(x, y) 5 g ( z , y ) donde ambas estén definidas. Suponer que existe g(z,y) dA. Hacer ver de manera informal f ( z ,y) dA. que esto implicala existencia de

S,

S,

7. Usar el ejercicio 6 para mostrar que existe

S, JW sen’ (z - y)

dydz

donde D es el disco unitario x 2

+ y2 5 1.

Sea f como en el ejercicio 6 y sea g una función tal que O 5 g(z, y) 5 f ( z , y) siempre que ambas estén definidas. Suponer que g(x,y) dA no existe. Hacer ver de f ( z ,y ) dA. manera informal que no puede existir

S,

S,

408

9.

INTEGRALTRIPLE, FóRMULA DECAMBIODE VARIABLES Y APLICACIONES

Usar el ejercicio 8 para mostrar que no existe

L k J2tY2

dy dx

5x5

donde D es el conjunto de ( z , y ) con O

1y O

5y5

z

*lo. Un cambio de variables puede ayudar para hallar el valor de una integral impropia sobre l a región no acotada R2. Evaluar

.il

-z2-y2

$3:d.Y

E

cambiando a coordenadas polares. ¿Se podría evaluar esta integral de manera directa (ver el ejercicio 2 , sección 6.5)?

*m

Sea W el primer octante de l a bola z 2 + y2 + z2 Evaluar la integral impropia

5

a’,

donde z 2 O, y 2 O y z 2 O.

cambiando variables.

*@ Sea D la región no acotada definida como el conjunto de ( x ,y, z ) con z2+y2 + z 2 2 1. Hacer un cambio de variables para evaluar la integral impropia

dx dy d z

( 9 + y2 + z 2 ) 2 ’ EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 6 Evaluar las integrales en los ejercicios 1 a 8.

+

3. SS&(xz + y 2 z 2 )d z dy d z ; R es l a región acotada por x=O,y=Oyz=O. 4. z d z d y d z ; W esla región acotadaporlosplanos y el cilindro z z y2 = 1 , con z 2 O , y 2 O.

+

-Ss, ~ ~ c o s z d x d y d W z ; es la región acotada por z=Oyz+y=l.

3;

+y

+ z = a (donde a > O ) ,

x = O, y = O, z = O, z = 1

z = O, z =

K,

y = O, y = I ,

409


6.

so2S,” S,“+’

dz dy

dx.

7. s s h ( 1 - z’) d x dy d z ; W es la pirámide con vértice superior en (O,O, 1) y vértices de la base en ( O , O ) , (l,O), (O, 1) y ( 1 , l ) . 8.

SJJJX’ + y’)

dx

W dz;es la misma pirámide del ejercicio 7.

dy

Hallar el volumen dentro de las superficies

2’

+ y’

=z y

2:’+ y’

+

2’

= 2.

11. A través de una esfera de radio 2 seperforaun hoyo cilíndricodediámetro 1. Suponiendo que el eje del cilindro pase por el centro de la esfera, hallar el volumen del sólido que queda.

Sean C1 y C2 dos cilindros de extensión infinita, de diámetro los ejes x y y respectivamente. Hallar el volumen de C1 n C2. 13. Hallar el volumen acotado por

x/a

14. Hallar el volumendeterminadopor

+ y / b + z/c = 1 y los planos coordenados. 5

6 - z 2 - Y’ Y

1

+ +

El tetraedro definido por 2 2 O, y 2 O, z 2 O y 2: y z segmentos de igual volumen, por planos paralelos al plano 2: deberán cortar las rebanadas?

so1sozS: so1S,”

2 y con ejes sobre

d m . 5

1 se va a cortar en n

+ y + z = 1. ¿Dónde se

16. Evaluar cada una de las integrales iteradas siguientes:

(a) (c)

*

z y 2 z 3dx

S: S,” L;y

dy dz

d%dx dy

YZ2

dx dY dz

17. Hallar el volumen del “cono de helado” definido por las desigualdades + z 2 , O < z < 5 + d m . 18. En las partes (a) a (d), hacer

(c,

kd,l

S-d5d “ m

L1

S“’,

J -

p3 sen

+ y2 5

el cambio de variables indicado. (No evaluar.)

m + y’)”’ m (2’

x2

d x dy dz, coordenadas cilíndricas xyz dz dx dy, z2 dz

coordenadas cilíndricas

dxcoordenadas dy,

2 4 dB dq5 dp, coordenadasrectangulares

esféricas

INTEGRALTRIPLE, FÓRMUU DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

410

19. Evaluar

JJJ

( x 2 :1.""+:2)3,2

S

donde S es el sólido acotado por las esferasx 2 +y2 + z 2 = a2 y x 2 + y 2 + z 2 = b 2 , donde a>b>O.

h1

S',

f ( x , y, z) dz dy d z como una integral sobre una región en R3 y después reescribirla en otros cinco posibles órdenes de integración. 20. Escribir la integral iterada

Jll-z

LrnLY +

Evaluar la integral

21.

ze-y3 d x d y

+

(b) Evaluar & ( x 4 2x2y2 y * ) d z dy, donde B es la parte del disco de radio (con centro en (O, O ) en el primer cuadrante).

2

*22. E n el ejercicio 2, sección 6.5, estudiamosintegralessobreregionesnoacotadas.

S-",

Usar el cambio a coordenadas polares para mostrar que e-zz d x = fi. Usar el teorema de Fubini (se puede suponer que se cumple) para mostrar que ( / I

e-22

dX)' =

/^

e-Z2-Y2

(IDEA:

dx dy

"m

"O0

y usar el ejercicio 10, sección 6.5.) *23. Hallar

sR3

f(z,y, z) d x d y d donde z f ( x , y, z ) = exp[-(z2

24. Evaluar J"&(z2

k.,I

+ y' + z 2 ) x y z

+ y' + z ~ ) ~ ' ~ ] .

d x d y d sobre z cada una de las regiones siguientes.

+ + + +

la esfera D = { ( x , y , z ) 1 x 2 y2 zz 5 R ~ } (b) la semiesfera D = { ( x , y, z)1x2 y' z2 5 R2 y z 2 O} (c) el octante D = { ( x , y , z ) l z 2 0 , y 2 0 , z 2 O y x' y2

25. Sea

C la región conformadecono

integral JJJC (1

+ d m )dz dy d z .

+ + z2 5 R 2 }

{ ( x , y, z ) I d m

5

2

5 1) y evaluarla

26. Sean p, 6' y 4 coordenadas esféricas en R3 y suponer que una superficie que rodea p = f(6',4). Mostrar que el al origen se describe por medio de una función continua volumen encerrado por la superficie es

V=

5

~ r [ f ( 6 '+)I3 , sen 4 d 4 dB.

Suponer que (1) f ( 0 , 4) = f ( 2 x , 4); ( 2 ) f ( 4 4) f ( 0 , O) y f ( 0 , x ) son constantes.

*m

SS,

Evaluar exp[(y - z)/(y vértices en ( O , O), ( O , 1) y (1, O).

+ x)] d z

>0

Para 0

I 4 Ix

Y 0 I 6' I 2* Y (3)

d y donde B es el interior del triángulo con

TULO DEL EJERCICIOS REPASO DE

28. Sea

41 1

6

E el elipsoide sólido E =

{ ( T , y,

z)I(x’/i’)

+ (y2/b2) + (z2/c2) 5

I } > donde

(a) Sobre todo el elipsoide; y (b) Sobre l a parte que esté en el primer octante: z>o,

y>o

y

220,

z2

22

- + ~ + “ < 1 . a,2

b2

c2

-

+

Suponer q u e la densidad de un sólido de radio 1I rstá dada por (1 d 3 ) ” , donde d es la distancia al centro de la esfera. Hallar l a masa total de l a esfera. 31. La densidad del material de un casco esférico cuyo radio interior es 1 m y cuyo radio exterior es 2 m , es 0.4d2 g/cm3, donde d es la distancia en metros al centro de la esfera. Hallar l a masa total del casco.

32. ¿Flotaría el casco del ejercicio 31 si se dejara caer en un tanque grande de agua pura‘? ¿Qui. sucedería si hay una filtración en el casco? (Suponer que la densidad del agua es exactarnent,e 1 g/cm3 .)

L a temperatura en los puntos del cubo C = { ( z , y , z ) I- 1 5 2: 5 1, -1 5 y 5 1 y - 1 5 z 5 I } es 3 2 d 2 , donde d es l a distancia al origen. (a) ¿Cuál es l a temperatura promedio? (b) ¿En cuáles puntos del cuboes la temperatura iguala la temperatura promedio?

Usar coordenadas cilíndricas para hallar

el centro de masa de la región definida

35. Hallar el centro de masa del hemisferio sólido

v = {(x,y,

2)12

+ y2 + z2 5 a2 y

2

2 O}

si l a densidad es constante.

Suponer que D esla regiónno acotadade R2 dadapor el conjuntode ( z , y ) con 0 5 z < 00, 0 5 y 5 z. Sea f(z,y ) = ~ - ~ / ~ e Y ”¿Existe l. la integral impropia J, f ( z ,Y) dy?

*37.

INTEGRAL TRIPLE, FóRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

412

38.

Evaluar

i1y

*a i 2

y

& e-zz-y2

i 0.

d z dy

donde

B esté formado por los

( x , y) que sat.isfagan z2

+

sR2

Usar l a s ideas en el ejercicio 2, sección 6.5, para evaluar f(z,y) dx dy. donde f ( z . y) = I/(] + x* (IDEA: Se puedesuponerque el t,eoremade Fubini y el del cambio de variables se cumplen para integrales propias.)

+

*40. Si el mundo fuera bidimensional, las leyes de la física predecirían que el pot,encial gravitacional de una masa puntual proporcional al logaritmo de la distancia al punt,o.

Usando coordenadas polares, escribir una integral que dé el potencial gravitacional de un disco de densidad constante.

41. La rigidez flexural E I de una viga uniforme es el producto de su módulo de elasticidad de Young E y el momento de inercia I de la sección transversal de la viga en z, con respecto a la recta horizontal 1 que pasa por el centro de gravedad de esta sección transversal. Aquí

// F

I =

,

[d(z,y)I2 d z dy.

R

donde d ( z , y) = la distancia de (x,y) a I y R = sección transversal de la viga considerada. (a) Suponer que la sección transversal R es el rectángulo -1 5 z 5 1, -1 y 52 y I es el eje z. Hallar I. (b) Suponer que la sección transversal R es un círculo de radio 4 y 1 es el eje 2 . Hallar I, usando coordenadas polares.

7

INTEGRALES SOBRE TRAYECTORIAS Y SUPERFICIES

Mantengo: (1) Que las partes pequeñas del espacio son

de na-

turaleza análoga a pequeñascolinas que hay en una superficie más o menos plana. (2) Que esta propiedad de curvada torsionada se transmitedemaneracontinuadeunaporción otradel

espacio, como si fueraunaonda.

(3) Queesta

o disa

va-

riación de la curvatura del espacio es lo que realmente sucede en el fenómeno que llamamos movimiento de materia, ya sea ponderable o etéreo. (4) Que en este mundo físico no ocurre a la ley de continuidad. sino esta variación, sujeta, quizá,

W.K. CLIFFORD (1870)

En los capítulos 5 y 6 hemos estudiado la integración sobre R3. Aprendimos a evaluar integrales como

regiones en R2 y

donde D es una región en R2.En este capítulo estudiaremos la integración sobre trayectorias y superficies. Esto es fundamental para entender el capítulo 8; en ese capítulo se usarán los resultados de cálculo diferencial vectorial (capítulo 3) y cálculo integral vectorial (este capítulo) para demostrar los teoremas de Green, Gauss y Stokes, y se exanlinarán algunas a.plicacioues físicas importantes.

414

INTEGRALES SOBRETRAYECTORIAS Y SUPERFICIES

7.1 L A INTEGRAL DE TRAYECTORIA

En esta sección se introduce el concepto de integral de trayectoria; Csta es una de las muchas maneras en que se pueden generalizar las integrales de funciones de una variable, a funciones de varias variables. Además de aquéllas presentadas en los capítulos 5 y 6, hay otras generalizaciones que se estudiarán en secciones posteriores. Suponer que tenemos dada una función escalar f : R3 ”+ R , de modo que f manda puntosen R3 a números reales. Será útil definir la integral de una función f a lo largo de una trayectoriau :I = [ u ,b] ”+ R3, donde u ( t )= ( z ( t ) ,y@), z ( t ) ) . P a r a relacionaresteconcepto con algo tangible, suponer que la imagende u representa un alambre. Podemos suponer que f ( z , y , z ) denota. la densidad de masa en (x,y , z ) y la integralde f será la masa total del alambre. Al hacer que f ( z ,y , z ) sea l a temperatura, podemos usar la integral para determinar l a t,emperatura promedio a lo largo del alambre. DEFINICI~N La i n t e g r a l d e t r a y e c t o r i a , o i n t e g r a l d e f ( x l y, z ) a lo l a r g o d e la trayectoria u ,está defirlida cuando u :I = [ u ,b] + R3 es de clase C1 y cuando la funcidn compuesta t H f ( z ( t ) ,y ( ¿ ) , ~ ( t )es) continua en I. Definimos esta integral por la ecuación

S, f A veces,

ds = i ’ f ( z ( t ) , Y(t), Z(t))llfl’(t)ll

dt

1, f ds se denota por

1,

Si u ( t ) sólo es C1 a trozos o f ( u ( t ) )es continua a trozos, definimos fds rompiendo [ u , b ] enpiezassobrelascuales f(u(t))liu’(t)ll sea continua, y sumando las integrales sobre las piezas. Nótese primero que cuando f = 1, estamos simplemente reenunciando la definición de longitud de arco de u (ver la sección 3.2), y segundo, que basta que f esté definida en la curva imagen C de u ,y no necesariamente en todo el espacio, para que tenga sentido la definición anterior.

Sea u la hélice u :[O, 27~1+ R3, t H ( c o s t , s e n t ,t ) (ver la figura 3.1.81, y sea f ( z , y , z ) = x’ + y2 + 2’. Evaluar la integral S , f ( x , y , z ) ds. EJEMPLO 1

7.1

LA INTEGRAL DE TRAYECTORIA

41 5

SOLUCIÓN

= Jsen2 t

Sustituimos x, y y z para obtener f(z,y, z) = z2

a lo largo de

a. Esto

+ cos2 t + 1 = h.

+ y2 + z2 = cos2 t + sen2 t + t 2 = I + t 2

conduce a (1 -

(3

“

3

[ y]:

+t 2 ) h d t= h t + +4x7

A

Para motivar la definición de la integral de trayectoria, consideraremos sumas

SN del “tipo Riemann” de la misma manera general como definimos longitud de arco en la sección 3.2. Para simplificar, sea u de clase C’ en I . Subdividir el intervalo I = [a,b] por medio de una partición a

= to

< tl < . . . < t N = b.

Esto produce una descomposición de a en trayectorias ui (figura 7.1.1) definidas en [ti, ti+1] para O 5 i 5 N - 1. Denotar l a longitud de arco de ai por Asi; así,

Y

Figura 7.1.1 Rompiendo cr en pequeñas u , ,

416

INTEGRALESSOBRETRAYECTORIAS Y SUPERFICIES

Cuando N es grande, la longitud de arco As, es pequeña y f(x,y , z) es aproximadamente constante para puntos en v i . Consideramos las sumas N-I

*=O

donde (zi, yi, z i ) = u ( t )para algún t E [ti,t i + l ] . Estas sumas son básicamente sumas de Riemann, y de su teoría se puede mostrar que

Así, la integral de trayectoria se puede expresar corno limite de sumas de Riemann. Un caso particular importante de la integral de trayectoria se presenta cuando

l a trayectoria u describe una curva plana. Suponer que todos los puntos u ( t ) están en el plano z y y que f es una función de dos variables con valores reales.

La integral de trayectoria de

f a lo largo de u es

Cuando f ( z , y ) 2 O , esta integral tiene una interpretación geométrica como el “área de una valla”. Podemos construir una“valla” cuya base sea la imagen de y altura f ( x , y) en (x,y) (figura 7.1.2). Si u recorre sólo una vez la imagen de u , l a integral S , f ( x , y) ds representa el área de un lado de la valla. El lector deberá

Figura 7.1.2 L a integral

de trayectoria como área de una valla.

7.1

LA INTEGRAL 417 DE TRAYECTORIA

intentar justificar esta interpretación, usando un argumento similar al utilizado para justificar la fórmula de longitud de arco. EJEMPLO 2 La tia de Tom Sawyer le ha pedido que blanquee ambos lados de la vieja valla mostrada en l a figura 7.1.3. Tom estima que por dejar que alguien blanquee en su lugar 25pies' de valla, la victima voluntaria le pagaría5 centavos. s u tía le proporcione sin costo el ¿Cuánto puede ganar Tom, suponiendo que blanqueador? Z

Y p: t

H

(30 cos3 t , 30 sen3 C)

X '

Figura 7.1.3 La valla de Tom Sawyer.

SOLUCIÓN Según la figura 7.1.3, la base de la valla en el primer cuadrante es R2, t H (30 cos3 t , 30 sen3 t), y la altura de la valla en la trayectoria p:[O, ./a] (x,y) es f ( x , y) = 1 y/3. El área de un lado de la mitad de la valla es igual a la integral JP f ( z , y) ds = S (, 1 y/3) ds. Como p'(t) = (-90 cos2t sen t ,90 sen2 t c o s t ) , tenemos Ilp'(t)ll = gosentcost. Así, la integral es

+

--f

+

+ 2 sen5 t

16"

= 90( f

+ 2) = 225,

que es el área en el primer cuadrante. Por lo tanto, el área de un lado de la valla es de 450pies2. Como hay que blanquear ambos lados, debemos multiplicar por 2 para hallar el área total, que es de 900pies2. Al dividir entre 25 y después de A multiplicar por 5, vemos que Tom puede ganar hasta $1.80 por el trabajo.

418

INTEGRALESSOBRETRAYECTORIASYSUPERFICIES

Esto concluye nuestro estudio de integración de funciones escalares sobre trayectorias. En la siguiente sección nos ocuparemos de integración de campos vectorialessobretrayectoriasy en el capítulo 8 veremos másaplicacionesdela integral de trayectoria, cuando estudiemos análisis vectorial. EJERCICIOS 1. Sea f ( z , y , z ) = y y

~ ( t=)( O , O , t ) , O 5 15 1. Probar que

S,

f ds = O.

S,

f ( z , y, z ) ds, donde (a) f ( z , y, z ) = z y z y u:t ++ (sent, cost,t ) ,t E [O, 2x1 kb,l f ( z , y, z ) = cos z , u como en la parte (a) (c) f ( z , y, z ) = z cos z , u:t H ti t ’ j , t E [O, 11

2. Evaluar las siguientes integrales de trayectorias

+ +

+

3. Evaluar las siguientes integrales de trayectorias

S,

f ( z , y, z ) ds, donde

( a ) f ( z , Y, 2) = exp t/; Y u:t ( I , 2, t Z ) ,t E [O, 11 f ( z , Y, 2) = YZ Y 6:t ( t , 3t, a t ) , t E [l,31 (c) f ( z , Y, z ) = ( X Y)/(Y .) Y u:t ( t ,5 t 3 ’ 2 , t ) ,t E [I, 21 + +

+

+

++

+ +

4. k.,l Mostrar que la integral de trayectoria de f ( z , y ) a lo largo de una trayectoria d a d a en coordenadas polares por T = .(O), 01 5 6 5 8’ es

(b) Calcular la longitud de arco de 5. Sea f: R3\{plano zz}

donde u:[I, e]

+

+

T

=1

+ COSO,

O

5 0 5 27r.

R definida por f(z,y , z) = l / y 3 . Evaluar

R3 éstá dada por

a ( t ) = (1ogt)i

+ t j + 2k.

S,

f ( z , y, z ) ds

6. Escribir el límite siguiente como una integral de trayectoria def ( z , y, z ) = zy sobre alguna trayectoria U en [O, 13 y evaluar: N-I

(aquí t l , . . . , t N es una partición de [O, 11 y t ,

5 tt 5 & + I ) .

Sea f ( z , y) = 2 2 - y, z = t 4 , y = 1 4 , -1 5 t 5 1 . (a) Calcular la integral de f a lo largo de esta trayectoria e interpretar geométricamente la respuesta. (b) Evaluar la función longitud de arco s(t) y rehacer la parte (a) en términos de S (quizá convenga consultar el ejercicio 2 de la sección 3.2). En los ejercicios 8 a 11 se trata la aplicación de la integral de trayectoria al problema de definir el valor promedio de una función escalar alo largo de una trayectoria. Definir el número f(., .)ds

r,

7.2 INTEGRALES DE LíNEA

419

como el valor promedio de f a lo largo de u.Aquí, l ( a )es la longitud de la trayectoria: l(m) =

(Esto es análogo sección 6 . 4 )

S,

Ilu’(t)lld t .

al promedio de una función sobre una región, según

se definió en l a

8. (a) Justificar la fórmula [s‘f(z, y, z) d s ] / Z ( u ) para elvalor promedio de f a lo largo de u ,usando sumas de Riemann. (b) Mostrar que el valor promedio de f a lo largo de u en el ejemplo 1 es (1+ (c) En el ejercicio 2(a) y(b)anterior,hallar elvalor promediode f sobrelas curvas dadas.

ir2).

9. Hallar la coordenada y promediode los puntos enel por p : [O, 7r] R3,O t-+ (O, a sen O, a cos O); a > O.

semicírculo parametrizado

-+

Suponer que el semicírculo en el ejercicio 9 está hecho de alambre con densidad uniforkne de 2 gramos por unidad de longitud. (a) ¿Cuál es la masa total del alambre? (b) ¿Dónde está el centro de masa de esta configuración de alambre? (Consultar la sección 6.4.) 11. Sea u la trayectoria dada por u ( t )= ( t ’ , t , 3) para t E [O, 13. (a) Hallar l ( u ) ,la longitud de la trayectoria.

(b) Hallar la coordenada

y promedio a lo largo de la trayectoria m.

12. Si f: [ a ,b] -+ R es continuamente diferenciablea trozos, sea la longitud de gráfica la de f en [ a ,b] definida como la longitud de la trayectoria t H (1, f ( t ) ) para t E [ a ,b]. (a) Mostrar que la longitud de la gráfica de f en [ a ,b] es

f JTT-Fmdz. a

(b) Hallar la longitud de la gráfica de

y = logz de z = 1 a z = 2.

+ +

Hallar la masa deun alambre que sigue la intersección de la esferaz2 y2 z2 = 1 plano z y z = O si la densidad en ( T ,y , z ) está dada por p(z, y , z ) = z 2 gramos unidad de longitud del alambre.

+ +

Evaluar

s,. f ds donde f(z,y , z ) = z y u ( t )=

( t cos t , tsen t , 1) para O

5 t 5 to.

INTEGRALES DE LíNEA

Si F es un campo de fuerzaen el espacio, entonces una partícu!a de prueba (por ejemplo, una pequeíía unidad de carga en un campo de fuerza eléctrico o una masa unitaria en un campo gravitacional), experimentará l a fuerza F . Suponer que la partícula se mueve a lo largo de la imagen de una trayectoria u mientras actúa sobre ella F. Un concepto fundamental e s el de trabajo realizado por F sobre la partícula conforme traza la. trayectoria u.Si es un desplazamiento en línea recta dadopor el vector d y F es una fuerza constante, entonces el trabajo realizado por F al mover l a partícula a lo largo de l a trayectoria es F d: F d = (fuerza) X (desplazamiento en la dirección de la fuerza).

-

420


De manera más general, si la trayectoria está curvada podemos imaginar que está hecha de una sucesión de desplazamientos rectos infinitesimales, o que está aproximado por un número finito de desplazamientos rectos. Entonces (como en la deducción de las fórmulas para longitud de arco en la sección 3.2 y la integral de trayectoria en l a sección 7.1) llegamos a la siguiente fórmula para el trabajo realizado por el campo de fuerza F sobrc una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria u :[ a ,b] + R3: trabajorealizado por F =

Lb

F ( a ( t ) ) - a’@)d t .

Sin dar una demostración rigurosa podemos justificar la deducción como sigue. Conforme t varía sobre un pequeño intervalo t a t At, l a partícula se mueve de u ( t )a u(t At), un vector de desplazamiento de As = u(t At) - u ( t )(ver la figura 7.2.1).

+

+

+

-. b

Figura 7.2.1 Para At pequeño, As = a ( t

+ A t ) - a ( t )M a ’ ( t )A t .

De la definición de derivada, obt,enemos la aproximación As M u’(t) At.El trabajo realizado al ir de u ( t )a a(2 + At) es, por lo tanto, aproximadamente

-

F ( a ( t ) ) . AS M F ( a ( t ) ) ~ ’ ( A t t).

Si subdividimos el intervalo [ a ,b] en 11 partes iguales a = t o < t l < . . < t , = b , con At = ti+l - t i , entonces el trabajo realizado por F es aproximadamente n-1

n-1

-

F ( a ( t , ) ) A s = X F ( v ( t , ) ) m ’ ( t t )A t

7.2


421

Cuando R -+ 03, esta aproximación se vuelve cada vez mejor, de modo que es R OO. razonable definir trabajo como el límite de la suma anterior cuando Pero este límite está dado por la integral --f

[

F ( a ( t ) ) a ’ ( t )dt.

Este análisis nos conduce a la siguiente definición.

Sea F un campo vectorial en R3 que sea continuo sobre la trayecC1, u:[u, b] -+ R3. Definimos S , F d s , la integral de linea de F a lo largo de u , por la fórmula DEFINICIóN

-

toria

F ds =

Lb

F ( a ( t ) ) a ’ ( t )d t ;

esto es, integramm el producto punto de F con u’ sobre el intervalo [ a , b ] . Como sucede con las funciones escalares, tambikn podemos definir S , F d s si F(a(t))* u‘(t)sólo es continua a trozos. Hay otra fórmula útil para la integral de línea en el caso de trayectorias u que ’ ( t ) ~al~ vector tangente satisfagan a’(t)# O , a saber: si T(t) = a ’ ( t ) / ~ ~ udenota unitario, tenemos

SF

ds =

=

S,” F ( a ( t ) ) a ’ ( t )d t

SabW(4)T(t)llla’(t)ll

(por definición)

dt

(1)

En esta fórmula se dice que S , F ds es igual a algo parecido a la integral de trayectoria de la componente tangencial F(a(t))T(t) de F a lo largo de u . De hecho, la última parte de la fórmula (1) es análoga a la integral de trayectoria de una función escalar f a lo largo de u . [NOTA:si u no se interseca a sí misma (esdecir, si u(t1) = u(t2) implica 1 1 = t z ) , entonces cada punto P de C (la curva imagen de u ) se puede escribir de manera única como a ( t ) para algún t . Sidefinimos f ( P ) = f ( u ( t ) )= F(u) T(t), f es una funcióndefinidaen C y, por definición, su integral de trayectoria a lo largo de u está dada por la fórmula (1) y no hay ninguna dificultad. No obstante, si u se interseca a sí misma, no podemos definir f como función en C , como antes (¿por qué?), incluso en este caso es útil pensar en el lado derecho de la fórmula (1) como una integral de trayectoria.] P a r a calcular una integral de línea en cualquier caso particular, podemos usar la definición original o podemos integrar la componente tangencial de F a lo largo de u , como prescribe la fórmula ( l ) ,depende de qué sea más fácil o más apropiado. EJEMPLO 1

yj

Sea u(t) = (sent, cost, t ) , con O 5 t 5 2 ~ Sea . F ( z ,y, 2 ) = x i

+ zk. Calcular S, F - d s .

+

422


Aquí, F ( u ( t ) ) = F(sen t , cos t , t ) = (sen t)i (cos t)i - (sen t ) j k . Por lo tanto,

SOLUCIóN

+

-

F ( a ( t ) ) a ' ( ¿ ) = s e n t cos ¿ - cost sen t

+ (cos t ) j + tk y u'(t)=

+t = t,

de modo que F . ds = i 2 ' t d t = 2x2.

A

Otra manera común de escribir integrales de línea es

.I F

Fl dx

ds =

+ F2 d y + F3 dz,

donde F1, F2 y F3 son las componentes del campo vectorial F. A la expresión F1 d x F2 d y F3 dr la llamamos forma diferencial." Por definición, la integral de una forma diferencial es

+

+

.I

F l d x + i , d y + F 3 d z = / ' (a F ~ ~ +dtF 2 *dt+ F 3 @ ) d t

+

dt=lF.ds,

+ d z , donde u :[O, 11 -+

b ( t )= ( w 2 ,

Evaluar S , x2d x x y d y 1) = ( x ( t ) ,y ( t ) , .(t)).

SOLUCI~N

Calculamos d x l d t = 1, d y l d t = 2 t , d z l d t = O; por lo tanto

EJEMPLO 2

=

EJEMPLO 3

i 1 ( t 2+ Z

4 )

R3 está dada por

dt

Evaluar la integralS , cos z d x + e z dy+eY d z , donde u ( t )= (1,t , e t )

yo
Calculamos d x l d t = O, d y l d t = 1, dzldt = e t , de modo que lcoszdx+ezdy+e'dz= = [et

+ T e Io = 2e + f e 4 1 2t 2

- L 2'

A

*Ver la sección 8.6 para un breve estudio de la teoría general de formas diferenciales.

7.2

INTEGRALESDELíNEA

EJEMPLO 4

423

Sea r la trayectoria x =cos3,,

y = sen38,

z

(ver la figura 7.2.2). Evaluar la integral J,(sen

=O, t dx

O

585

+ cos z dy

7x

-

2

-

( ~ y ) l dz). / ~

X

Figura7.2.2 La imagen de la trayectoria x = cos3 8, y = sen3 O , z = 8; O

SOLUCIÓN

5 8 5 7x/2.

En este casotenemos

de modo que la integral es sen z d x

+ cos z dy - ( X Y ) ~ ’ d~ z (-3

=-

COS’

8 sen2 O

+ 3 sen2 O cos2 8

1’”’ cosBsenOd8 = -[$sen2O]:””

-

cos 8 sen O ) dB

= -$.

A

+

EJEMPLO 5 Suponer que F es el campo de fuerza vectorial F(z, y , z) = z3i yj zk. Parametrizar el círculoderadio a en el plano y z haciendoque u(0) tenga componentes

+

x = o,

y=

acos8,

z=asen8,

O 5 0 52x.

424

INTEGRALESSOBRETRAYECTORIAS

Figura 7.2.3 Campo vrctorial

Y SUPERFICIES

F normal

a

1111

círculo en el plano yz

Como F(a(0)) ( ~ ’ ( 0 = ) O, el campo defuerza F es normal al círculoen todo punto sobre el círculo, de tnodo que F no realizará t,rabajo sobre l a part,ícula que sf: mueve a lo largo de &e (figura 7.2.3). Por lo tanto el trabajo realizado por F debe scr O. Podemos vcrificar esto mediante computación directa: ) 1 . = S R F . d ~ = ~ = ~ d x + ~ d y + z d z = ~ ~ ( O - ~ z ~ o s B s ~ ~ B + n ’ ~ u r B s e ~ B ) i lA ~ = O .

EJEMPLO 6 si consideramos el campoy la curva del ejemplo 4, vemosque el trabajo realizado por el campo es una cantidad negativa. Esto significa que A el campoimpide elmovin1ient.o a l o largode la trayectoria.

-:>

L a integral de línea S , F ds depende no sólo del campo F sino también de la trayectoria (T:[ a ,b] + R3. En general, si u y p son dos trayectorias diferentes en R 3 ,S , Fads # Jp F-ds.Por ot8rolado, veremos que S, F - d s = lpF - d s se cumple para todo campo vectorial F si p es lo que llamamos una repararnetrizacicin de (T.

+

-

I II una fr~ncicind e clase C1 con valores reales que sea una corrc,sporlder~ciabiunívoca entre 1111 intervalo I = [ n , b ] sobre otro intervalo I1 = [ a 1 ,b , ] . Sr~a(T:I1 R3 una frítyectoria C1 a trozos. Entonces a la composición DEFINICI~N Sea h :

-

p = u O h : ~ i ~ 3

le llamamos reparametrizaciÓI1 de u

7.2

INTEGRALES

425

Esto significa que p(t) = n ( h ( t ) ) ,de modo que h cambia la variable; de manera la rapidezconquese alternativa, se puedepensar en h comouncambioen p'(t) = mueve un punto a lo largo de la trayectoria.Enefecto,observarque n ' ( h ( t ) ) h ' ( t )de , modo que el vector velocidad para u se nlultiplica por el factor escalar h ' ( t ) . Está implícito en l a definición que h debe mandar extremos a extremos; esto es, h ( a ) = a l y h(b) = b l , o bien h ( a ) = bl y k ( b ) = a l . Distinguimos así dos tipos de reparametrización. Si u o h es una reparametrización de u ,entonces h(a)= u(a1)

y

u o h(b) = u(b1)

u o h ( a ) = u(b1)

y

u

u

o

O

o

h(b)= u ( a 1 )

E n el primer caso, se dice que la reparametrización preserva la orientación, y una partícula que trace la trayectoria u o h se mueveen la misma direcciónque una partícula que trace u.En el segundo caso, la reparametrización se describe como que invierte la orientación, y una partícula que trace la trayectoria u o h se mueve en dirección opuesta a la de la partícula que traza u (figura 7.2.4).

Y

X

b

a

P

gráfica de h

h preserva la

(4

9

orientación

gráfica de h

h invierte la orientación (b)

Figura 7.2.4 Ilustración de una reparametrización que preserva la orientación (a), una parametrización que invierte la orientación (b).

y de

426


0 U

ct

-

Y SUPERFICIES

0

h

Figura7.2.5 La trayectoria p = d o h es una reparametrización de m

Por ejemplo, si C es la imagen de una trayectoria u ,como se muestra en la figura 7.2.5, esto es, C = u ( [ a l ,b l ] ) , y h preserva la orientación, entonces c o h ( t ) irá de u ( u 1 ) a c ( b : ) conforme t va de a a 6; y si h invierte la orientación, e o h ( t ) irá de u ( b l ) a e ( u l ) conforme t va de a a h.

EJEMPLO 7

-

Sea u:[ a ,b] ”-t R3 cualquier trayectoria C1 a trozos. Entonces:

+

(a) La trayectoria uop:[ a ,b] R3, t t-+ u(a b - t ) , es una reparametrización de u correspondiente a la función h: [al b] ”+ [ u ,b ] , t H a + b - t ; llamamos cop la trayectoria opuesta a u.Esta reparametrización invierte la orientación.

(b) La trayectoria p: [O, 11 R3, t H u ( u + ( b - a ) t ) , es una reparametrización de u que preserva la orientación, correspondiente al cambio de coordenadash:[O,l]+[a,b],t++a+(b-a)t. A

-

Sea F un campovectorialcontinuo en la trayectoria C’ u :[ u I , R3, y sea p: [ u ,b] ”+ R3 una reparametrización de u. Si p preserva la orientación, entonces

TEOREMA 1 bl]

7.2


427

y si p invierte la orientación, entonces

DEMOSTRACI~N Por hipótesis, tenemos una función h tal que p = e o h. Por la regla de la cadena,

p‘(t) = a’(h(t))h’(t),

de modo que F ds = Cambiando variables con

JhTab;F(u(s))Jb;l

S

1 b

[ F ( a ( h ( t ) ) )u ’ ( h ( t ) ) ] h ’ ( td)t .

= h ( t ) (ver la sección 6.3), obtenernos

u ’ ( s )d s

F(a(s)) a ’ ( s ) d s =

su

F(u(s))

-

~ ’ ( s ds ) =

si p preserva la orientación si p invierte la orientación

F ds

J, F d s

W

El teorema 1 también se cumple para trayectorias C1 a trozos, como podemos ver si rompemos los intervalos en segmentos en los cuales las trayectorias sean de clase C1 y sumamos las integrales sobre intervalos separados. Así, siesconvenientereparametrizarunatrayectoriacuandoseevalúauna integral, el teorema 1 asegura que el valor de la integral no se afectará, excepto, quizá, por el signo, dependiendo de la orientación.

SOLUCIóN

t5i

Para e ,tenemos d z / d t = 1, d y / d t = 2t, d z / d t = 3t2 y F(e(t))=

+ t 4 j+ t 3 k . Por lo tanto

Por otro lado, para uop: [-S, 101 -+ R3,1 H u(5 - t ) = (5

-

t , (5 - t ) 2 ,(5 - t ) 3 ) ,

428


tenemos d z / d t = -1, d y / d 2 = -10 -3(5 - t ) 2 y F(uOp(t)) = (5 - /)‘i

= [(S - t )

+ 2t = -2(5

+ (5

6 10 1-5

-

t)4j

-75 + 302 - 3 t 2 = t)3k. Por lo tanto

- t), dz/dt =

+ (5

-

A

= -984,375.

Estamos interesadosen reparametrizaciones porque si l a imagen de una u particular puede ser representada de muchas maneras, querernos estar seguros de que las integrales sobre esta imagen no dependen de la parametrización particular. Por ejemplo, para algunos problemas el círculo unitario se puede representar de manera conveniente por la función p dada por z ( t ) = cos 2 t .

y ( t ) = sen 2 t ,

0

5t 5

T.

El teorema 1 garantiza que cualquier integral calculada para esta represent,ación será igual que cuando se representa al círculo por la función u dada por ~ ( t= ) cos I ,

y ( t ) = sent.

O

5t 5

‘T,

pues p = u o h, donde h ( t ) = 2 , y así, p es una repararnetrizacitin tlc embargo, nótese que la funciótl y dada por

(T. Sin

no es una reparametrización d e u .Aunque recorre la misma imagen (el círculo), lohace dos veces. (¿,Por qu4 d o implicaque y no es una reparametrización de u?) L a integral de línea es una integral orientada, por cuanto ocurre u n cambio de signo (como lo vimos en el teorema 1) si se irlviert,e la orientación de la curva. L a integral de trayectoria no tit:nc. esta propiedad. Esto se sigue del hecho de que al cambiar t por -t (inversión de la oricntación) sólo se cambia cl signo de u ’ ( t ) ,no su longitud. Ésta es una de las diferencias entre la integral de linea y la integral de t,rayect,oria. En el t,eorema sig~~ientc,, demost,rado mrdiant,e el mismo mCtotlo que el teorema 1, se muestra que las integrales de trayect,oria no cambian bajo repararlletrizaciolles -incluyendo a las que invierten l a orientación.

Sea u unatrayectoria C’ a trozos, f unafuncióncontinua (con valores reales) definida en la irnagcn de u ,y sea p cualquier repararnetrización de u.Entonces

TEOREMA 2

(31

7.2


429

Considerarenlos a continuación una técnicaútilparaevaluarintegralesde F esun campo vectorialgradiente si línea. Recordar que un campo vectorial F = V f para alguna función f con valores reales. Así, F = - af i + - j +af -k. ax ay

-

af az

Suponer que G, g: [ u , b] R son funciones continuas con valores reales, con G’ = g . Entonces, por el teorema fundamental del cálculo,

i’

g ( r ) d z = G(b)- G y u ) .

Así, el valor de la integral deg depende sólo del valor de G en los puntos extremos del intervalo [ a ,b ] . Como O frepresenta la derivada def ,podemos preguntarnos , V f d s está determinada completamente por el valor de f en los extremos si S u ( u ) y a ( b ) . La respuesta está contenida en la siguiente generalización del teorema fundamental del cálculo.

Suponer que f :R3 ”+ R3 es de clase una trayectoria C1 a trozos. Entonces

TEOREMA 3

c’ y que u :[ u ,61

-

R3 es

DEMOSTRACI~N Aplicar la regla de la cadena a a l función compuesta

F :t

para obtener

H

f(a(t))

F’(t) = (f o a ) ’ ( t )= V f ( a ( t ) )a ’ ( t ) .

L a función F es una función con valores reales de la variable t , de modo que por el teorema fundamental del cálculo.

lb

F ’ ( t ) d t = F ( b ) - F ( a ) = f ( o ( b ) ) - f(o(.)).

Por lo tanto,

430


Y SUPERFICIES

+

SOLUCIÓN Reconocernos y d.r 1: dy, o de manera equivalente, el campo vectorial y i x j Ok, como cl gradient,e dc la función f ( z l y, z ) = EY. Así,

+ +

Obviamente, s i podmlos ident,ificar el int,egrarldo como un gradient>e. la evaIuaci5n (IC a l integral serli ~ r ~ ~ l m c h6 os fkcil. Por ejemplo, el lector clr3ber6 trat,ar de ol)tc.ncr de manera tlircct’a la integral anterior. En cálculo tlc una variable, toda integral es, CII principio, oht~enible hallandouna ant,iderivada. Sit1 enlbargo, para campos vectoriales esto no siempre (:S cicrto, pues el campo vcct,orial no necesariarncnte es u n gradicwk. Est,? punto será examinado con cletalle en l a sección 8.3. FTcmos vistocómo definirintegrales de trayectoria(integrales defunciones escalares)e int,egrales de línea(intcgrales de funcionesvectoriales)sobrecurvas paranlr:t,rizadas. Tambidn hemos visto que nuestro trabajo sesimplifica s i escogc~rlos de manera serlsat>auna parametrización. Como estas integrales son independientes de la parametrización (excepto, quizá, por el signo), parece natural expresar la teoría de marlera qut’ sea inc1ependie:nte de la parametrización y sea, así, r&s “geomdtrica”. Lo harcrnos brevemente y de manera algo informal cn el siguitmtr análisis. simple C’ como la irnage-en d e U I I frrnción ~ C1 a trozos u :I --i R3 y que sea uno a uno en 1111 illtervalo 1 ; u se llama parametrizacicin dc C . Así, uIla curva sirnplc es aquella que no se interseca a sí misma (figura 7.2.6). Si I = [ u ,b ] , llarniunos a a ( a ) y a(b)extrenlos de la curva. Cada

DEFINICI~N Definirnos c w v a

Figura 7.2.6 A la izquierda se muestra una curva simple, no se intersrca a sí misma. A la

derecha tenernos

una

curva quc se interseca a sí misma, luego no es simple.

7.2


431

curva simple C tiene dos orientaciones o direcciones asociadas con ella. Si P y Q son los extremos de la curva, entonces podemos considerar C como dirigida ya sea de P a Q o de Q a P. La curva simple C junto con u n sentido de dirección se llama curva simple orientada o curva simple dirigida (figura 7.2.7).

Figura7.2.7 Hay dos sentidos de dirección posibles

en una curva que une P y Q.

EJEMPLO 10 s i I = [ u , b] es un intervalo cerrado en el eje x , entonces 1, como a a b (izcurva, tiene dos orientaciones: una correspondiente al movimiento de quierda a derecha) y el otro correspondiente al movimiento de b a a (derecha a izquierda). Si f es una función con valores reales, continua en I, entonces denotando 1 con la primera orientación como I+ e I con la segunda orientación por I - , tenemos j ( z ) dz =

-

1-

f(z) d z .

A

DEFINICI~N Por curva cerrada simple entenderemos la imagen de una función C1 a trozos u :[ u , b] -+ R3 que sea uno a uno en [ a ,b ) y satisfaga u ( a ) = u ( b )

(figura 7.2.8). Si u satisface la condición u(.) = u(b) pero no necesariamente es uno a uno en [ u , b ) , llamamos a s u imagen curva cerrada. Las curvas cerralas dos direcciones de das simples tienen dos orientaciones, correspondientes a movimiento posibles a lo largo de la curva (figura 7.2.9).

Figura 7.2.8 Curva cerrada simple (izquierda)

cha).

y curva cerrada que no es simple (dere-

432

INTEGRALES SOBRE TRAYECTORIASYSUPERFICIES

Figura 7.2.9 Dos orientaciones posibles para una curva cerrada simple C

Si C es una curva simple orientada podemos definir, sin ambigüedad,

o una curva cerrada simple orientada,

donde u es cualquier parametrización que preservela orientación de C . En virtud de los teoremas 1 y 2, estas integrales no dependen de la selección de u en tanto u sea, uno a uno (excepto, quizri, en los extremos). (No hemos dernosh-ado que cualesquiera dos trayectorias uno a uno u y 71 con la misma imagen deben ser reparametrizaciones una de otra, pero se omitirá este detalle técnico.) El punto que queremos señalar aquí es que, no obst,ant,e que para facilitar la integración a lo largo de una curva ésta debe estar parametrizada, no es necesario incluir la parametrización en la notación de la integral. Una curva cerrada simple dada se puede parametrizar de muchas maneras. La figura 7.2.10 muestra a C representada conlo la imagen de una función p, con p(t) avanzando en una dirección prescrita alrededor de una curva orientada C conforme t varía de a a b. Nótese que p'(t) también apunta en esta dirección. La rapidez con la que recorremos C puede variar de una parametrización a otra, pero la integral no, de acuerdo con los teoremas 1 y 2. Deberá tomarse la siguiente precaución respecto a estas observaciones. Es pou y 71 tengan la misma imagerl, e induzcan la misma sible que dos funciones

Figura 7.2.10 Conforme t va de dirección fija.

11

a b, p(t) se mueve alrededor de l a curva C

c11

alguna

7.2


433

orientación en la imagen, tales que

Como ejemplo, sea u ( t ) = (cost,sent,O) y ~ ( t=) (cos2t,sen 2t,O), 0 con F(z,y, 2 ) = (y, O, O). Entonces

5t 5

2s,

(los términos que contienen Fz y F3 son cero) =-

st,

12T

sen2 t d t = "x.

S,'"

Pero F ds = -2 senz 2t dt = - 2 ~ .Clararnente u y 77 tienen la misma imagen, a saber, el círculo unitario en el plano q , y más aún, recorren el círculo , F ds # Jt,F ds. La razón para unitario en la misma dirección; sin embargo, S esto es que u es uno a uno pero 77 no (77 recorre el círculo unitario dos veces en dirección contraria a la que giran las manecillas del reloj); por lo tanto, 7 no es una parametrización del círculo unitario, como una curva cerrada simple. Si F = Pi Q j Rk es un campo vectorial, entonces en notación de formas diferenciales escribimos

+ +

Si C - es la misma curva que C , pero con orientación opuesta, entonces

Si C es una curva ( o curva orientada) formada por varias curvas (orientadas) - 1,.. . , 12, como en la figura 7.2.11, entonces escribiremos componentes C;, i c = c1 .. C k . Como podemos parametrizar C parametrizando las

+ cz +

+

Figura 7.2.11 Una curva se puede formar con varias componentes.

434


piezas C1, . . . , C g por separado, obtenemos

Una razón para escribir una curva como suma de componentes es que puede ser más fácil parametrizar individualment,e las componentes Ci, que parametrizar toda C . Si ése es el caso, l a fbr~nula(4) proporciona una manera conveniente de , F ds. evaluar S EJEMPLO 11 Considerar C , el perinletro del cuadrado unitario en R2,orientado en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj (ver figura 7.2.12). Evaluar la integral S , x 2 dx xy dy.

+

Figura 7.2.12 Perímetro del cuadrado unitario, parametrizado en cuatro piezas

SOLUCIÓN

Evaluamoslaintegral usando una pararnetrización conveniente de l a orientación dada. Por ejemplo:

C que induzca

u:[O, 41 + R 2 ,

l k

{

(t,O)

o5t51

(0,4-t)

35154.

(1,t-1) (3-t,1)

15152 2 j t 5 3

Entonces

[-(3 +.i

t)2

+ O] d l +

(O .I4

+ O) dt

7.2

435


las curvas orientadas ilustradas en la figura 7.2.12. Se pueden parametrizar como sigue:

EJEMPLO 12 Una aplicación interesante de la integral de línea es la formulación matemática de la leyde Amp&re, querelacionacorrienteseléctricas con sus efectos magnéticos.* Suponer que H denota un campo magnético en R3, y sea C una curva cerrada orientadaen R3. Con las unidades físicas apropiadas, la ley de Ampkre asegura que

donde I es la corriente neta que pasa por cualquier superficie acotada por C (ver la figura 7.2.13). A

-Lcorriente

1

*El descubrimiento de que las corrientes eléctricas producen efectos magnéticos fue realizado por Oersted alrededor de 1820. Ver cualquier libro elemental de física para un estudio de los fundamentos físicos de estas ideas.

436


Finalmente, mencione~nosq u e la integral de línea triene otro significado físico , V d s donde V es el carnimportante, específicamente, la interpretación de S PO de velocidad de un fluido, que estudiaremos en la sección 8.2. Así, con ayuda de las integrales de línea es posible analizar una amplia variedad de conceptos físicos, desdela noción de trabajo hasta campos electromagnéticosy movimientos de fluidos. EJERCICIOS

+ +

1. Sea F(z, y, z ) = zi yj zk. Evaluar la integral de F a lo largo de cada una de las trayectorias siguientes: u ( t )= ( t , t , f ) , o 5 t 5 1 (b) u ( t )= ( c o s t , s e n t , O ) , O 5 t 5 2x ( c ) u ( t ) = (sent, O , c o s t ) , O 5 t 5 2x (d) u ( t )= (t2, 3 t , 2 t 3 ) , -1 5 t 5 2

k.,l

de las integrales siguientes: a(t)=(cost,sent), 0
2. Evaluar cada una (a)

J,zdy-ydz,

(b)

J ,

S,

x dz

+

+

z z dy x y d z , donde U está formada por los segmentos de recta que unen a (1, o , o) a (O, 1,o) a (o, o, 1 ) (d) x 2 d z - z y dy dz, donde u es la parábola z = x 2 , y = O de (-1, O, 1) a (1,0,1).

yz dx

+

S,

3. Considerar la fuerza F ( z , y , z ) = zi+yj+zk. Calcular el trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de la parábola y = z 2 , z = O , de z = -1 a z = 2 .

r;;l Sea u una trayectoria suave.

(a) Suponer que F es perpendicular a

u ' ( t )en u ( t ) .Mostrar quc

LF.ds=O

(b) Si F es paralelo a a ' f t ) en a@),mostrar que

S, F . S, ds =

IIFII d s

(Por paralelo a u'(d)se entiende que F ( a ( t ) )= A ( t ) u ' ( t ) ,donde X(t) 5.

Suponer que u tiene longitud 1 y IlFll 5

> O.)

M . Probar que

1 L F . d s l 5 MI. 6.

Evaluar~,F~dsdondeF(z,y,z)=yi+2zj+ykyu(t)=ti+t2j+t3k,O~t~1.

1_1] Evaluar S,

+

ydx (3y3 - x ) d y ( t , t " , o ) , O I t _ < l , n = 1 , 2 , ,3. . . .

+tdz

para cada una de

las

trayectorias a ( t ) =

7.2 INTEGRALES DE LíNEA

437

Y

Figura 7.2.1 4 Sección plana de un alambre largo y una curva C alrededor del alambre. 8. Este ejercicio se refiere. al ejemplo 12. Sea L un alambre muy largo, en la figura 7.2.14 se muestra una sección plana (con el plano perpendicular al alambre). Suponer que este plano es el "y. Los experimentos muestran que H es tangente a todo círculo en el plano x y cuyo centro es el eje de L , y que la magnitud de H es constante en dichos círculos C. Así, H = HT, donde T es un vector tangente unitario a C y H es H = 1 / 2 x r , donde r es el radio algún escalar. Usando esta información, mostrar que del círculo C e I es la corriente que fluye por el alambre. 9. La imagen de t H (cos3 t,sen3 t ) , O 5 t 5 2 x , en el plano se muestra en la figura 7.2.15. Evaluar la integral del campo vectorialF(z, y) = x i + y j alrededor de esta curva.

Y

t

Figura 7.2.15 Hipocicloide

~ ( t=) (cos3 t , sen3 t ) (ejercicio 9).


438

10. Suponer que u y q5 son dos trayectorias con los mismos extremos y F es un campo vectorial.Mostrarque F ds = F ds esequivalente a F ds = O, donde C es 11 la curva cerrada obtenida al moverse primero alrededor de u y después alrededor de $ en la dirección opuesta.

S,

su

Sea u ( t )una trayectoria y T el vector tangente unitario. ¿Qué es

+

+

+

12. Sea F = (z3 2zy)i z 2 j 32z’k. Mostrar que la integral de perímetro del cuadrado unitario con vértices ( f l ,r t l , 5 ) es cero.

1,T

ds?

F a lo largo del

13. Usando la trayectoria del ejercicio 9, observar que una función u:[ a ,b] -+ R3 de clase C1 puede tener una imagen que no se vea “suave”. ¿Creen que podría suceder ) siempre distinto de cero? esto si ~ ’ ( tfuera

¿Cuál es elvalor

cerrada C?

delaintegralde

+

S,

15. Evaluar 2zyz d z z 2 z dy conecta ( l , l , l )con ( 1 , 2 , 4 ) . 16. Suponerque f(l,1,2).

un campogradientealrededordeunacurva

+ z 2 y dz, donde C es una curva orientada simple que

V f ( z , y , z) = 2zyze”’i

+ z e Z Z j+ ye2’k.

Si f ( O , O , O ) = 5, hallar

17. Considerar el campo de fuerza gravitacional (con G = m = M = 1) definido [para (X,

Y,

2)

#

(oto,

011 Por

Mostrar que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional conforme una partícula se mueve de (z,, y1, z l ) a ( r z , y 2 , ~ )a lo largo de cualquier trayectoria, depende sólo de los radios R1 = y I22 =

*a

d

m

d

m

.

Una ciclista sube una montaña a lo largo de la trayectoria que se muestra en la figura 7.2.16. Realiza una revolución alrededor de la montaña para llegar a la cima,

A

X

Figura 7.2.16 ¿Cuánto trabajo se realiza al subir en bicicleta esta montaña?

7.2

INTEGRALES D E LíNEA

439

mientras que su velocidad de subida es constante. Durante fuerza descrita por el campo vectorial

F ( r , y, z) = z2i

el viaje,ellaejerceuna

+ 3y2j + 22k.

¿Cuál es el trabajo realizado por la ciclista al viajar de A a B?

R3 unatrayectoriatalque a'(t) # O . Cuandosecumpleesta condición se dice que u es regular. Sea la función f definida por f(z) = Ilu'(t)ll dt. (a) ¿Cuál es d f l d x ? (b) Usando la respuesta a la parte (a), probar que f:[a,b] [O, L ] , donde L es l a longitud de u, tiene una inversa diferenciable g: [O, L] -+ [ a ,b] que satisface f o g(s) = S, g o f ( z ) = 2 . (Pueden usar el teorema de la sección 4.4. de la función inversa para una variable.) (c)Calcular dglds. (4) Recordar que una trayectoria S p ( s ) es de rapidez unitaria, o parametrizada por lalongitud de arco, si I~Q'(s)II = 1. Mostrar que la reparametrización dem dada por p(s) = Q o g(s) es de rapidez unitaria. Concluir que cualquier trayectoria regular se puede reparametrizar por medio de la longitud de arco. (Así, por ejemplo, las fórmulas de Frenet en el ejercicio 11 de la sección 3 . 2 pueden aplicarse a la reparametrización p.)

*19. Sea u:[ a , b ] -+

S,"

4

A lo largo de una "trayectoria termodinámica" C en el espacio (V,T,P ) , (i) El calor ganado es A v d V + K v dT; donde AV y K V son funciones de ( V ,T , P ) , c,. dependiendo del sistema fis~co particular. (ii) El trabajo realizado es PdV. Para un gas de van der Waals,

'20.

S,

RT P ( V , T )= -- 2(V-b)

v2

K v = constante donde R, b , a y J son constantes conocidas. Inicialmente el gas está a una temperatura To y tiene volumen VO. (a) Un procesoadiabático esun movimientotermodinámico ( V ( t )T(b), , P(t)) para el cual

dT dTfdt dl/ - d V / d t

Av

"G'

" "

Si el gas de van der Waals se somete a un proceso adiabático en el cual se duplica el volumen hasta 2V0, calcular el (1) calorganado; ( 2 ) trabajo realizado; y ( 3 ) volumen, temperatura y presión final. (b) Después del proceso indicado en la parte (a), el gas se enfría (o calienta) a volumen constante hasta alcanzar la temperatura original TO. Calcular el (1) calorganado; ( 2 ) trabajo realizado; y (3) volumen, temperatura y presión final.

440


(c) Después del proceso indicado en l a parte (b), se comprime el gas hasta que regresa a su volumenoriginal VO.L a temperatura se mantiene constante durante el proceso. Calcular el (1) calorganado; ( 2 ) trabajorealizado; y (3) volumen, temperatura y presión final. (d) Para el proceso cíclico ( a ) , (b) y (c), calcular el (1) calor total ganado y (2) trabajo total realizado.

7.3 SUPERFICIESPARAMETRIZADAS

En las secciones 7.1 y 7.2 hemos estudiado integrales de funciones escalares y vectorialesa lo largodecurvas.Pasamosahoraaintegralessobresuperficies y comenzaremos por estudiar la geometría de las superficies. Ya conocemos un tipo de superficie, a saber, la gráfica de una función f ( z ,y). En el capítulo 2 sehizo un estudioexhaustivodegráficas, y sabemoscalcular sus planos tangentes. Sin embargo, nos limitaríamos indebidamente si nos restringiéramos a este caso. Por ejemplo, muchas superficies se presentan como superficies de nivel de funciones. Suponer que nuestra superficie S es el conjunto de puntos ( x , y, 2 ) donde z - 2 z3 = O. Aquí S es una hoja que se dobla sobre sí misma (respecto al plano zy) (ver la figura 7.3.1). Obviamente, nos gustaría llamar a S superficie,pues se trata de un plano con un doblez. Sin embargo, S no es la gráfica de alguna función z = f(x,y), pues esto significa que para cada ( 2 0 yo) ~ E R2 debe haber u n zo con ( 2 0 ,yo, Z O ) E S. Como se ilustra en la figura 7.3.1, se viola esta condición.

-+

Y

?'

Figura 7.2.1 Una superficie que no es la gráfica de una función z = f ( z , y).

7.3

441

SUPERFICIES PARAMETRIZADAS

X

Figura7.3.2 El toro no es l a gráfica de una función de la forma z = f ( z , y).

Otro ejemplo es el toro, o la superficie de una dona, dibujada en la figura 7.3.2. Cualquiera diría que el toro es una superficie; sin embargo, por el mismo razonamiento anterior, un toro no puede ser la gráfica de una función diferenciable de dos variables. Estas observacionesnos impulsan a extender nuestra definición de superficie. La motivación para la definiciónquesigue se debe, en parte, a que se puede pensar una superficie como algo que se puede obtener a partir del plano ‘(enrollando”, “doblando” y “empujando”. Por ejemplo, para obtener un toro, tomamos una parte del plano y la enrollamos (ver la figura 7.3.3), después tomamos los “extremos” y hacemos que se junten (figura 7.3.4).

Figura 7.3.3 El primer paso para obtener

un toro a partir de un rectángulo: hacer un

cilindro.

--

extremos pegad-

Figura 7.3.4 Doblar el cilindro y pegar los extremos para obtener un

toro.

Con superficies, así como con curvas,queremoshacerdistinciónentreuna función (parametrización) y su imagen (un objeto geométrico).

442


Una superficie paranletrizada es u n a función Qr: D c R' --t R '> donde D es algún dominio en R.*. La superficie S correspondiente a l a función Qr es s u imagen: ,S = Qr(D).Podernos escribir

DEFINICI~N

Si a es diferenciable o es de clase C1 (que equivale a decir que ~ ( uu ),, y(u, v ) y z ( u , v) son funciones diferenciables o C1 de ( u , w ) "ver el capitulo 2-), llamamos a S superficie diferenciable o C1. Podemos pensar que @ tuerce o dobla la región D en el plano para producir la superficie S (ver la figura 7.35). Así, cada punto ( u , ~ uen ) D se convierte en un rótulo para un punto (.(u, u ) , y ( u , u),s ( u ,u ) ) en S.

Figura 7.3.5

+ "tuerce" y "dobla" D sobre la superficie S = @ ( D ) .

-

Suponer que esdiferenciable en (uo,u " ) E R2. Fijando u en u0 obtenemos R3 dada por 1 w @ ( u o , t ) ,cuya imagen es u n a curva sobre l a una función R superficie (figura 7.3.6). Por los capítulos 2 y 3 sabemos que el vector tangente a esta curva en el punto a ( u 0 ,uo) está dado por dX

T - - ( u o , vo)i - dv

+

vo)j

d2 + -(uo,uO)k. all

De manera análoga,si fijamos v y consideramos la curva t el vector tangente a esta curva en ~ ( u o.o),, dado por

H

Qr(t, v o ) , obtenemos

443

7.3 SUPERFICIES PARAMETRIZADAS

Figura‘7.3.6 Los vectores T, y t a n t o , son tangentes a S .

T, son tangentes a curvas sobre la superficie S y por lo

Como los vectores Tu y T, son tangentes a dos curvas sobre la superficie en +(uo,va), deben determinar el plano tangente a l a superficie en este punto;esto es, Tu X T udebe ser normal a la superficie. Decimos que la superficie S es suave* en @ ( U D , vg) si Tu X T, # O en ( U O ,va); l a superficie es suave si es suave en todos los puntos @(u*,00) E S. El vector distinto de cero Tu X T , es normal a S (recordar que el producto vectorial de Tu y T, es perpendicular al plano generado por Tu y Tu);el hecho deque sea distinto de cero asegura que existirá un plano tangente. Intuitivamente, una superficie suave no tiene “esquinas” .t

EJEMPLO 1

Considerar la superficie dada por las ecuaciones z = ucosu,

y = usenv,

z = u,

u > O.

¿Es diferenciable esta superficie? LES suave?

*Estrictamente hablando, lasuavidad depende dela parametrización Q y no sólo de su imagen S. Por lo tanto, esta terminología es algo imprecisa; sin embargo, es descriptiva y no deberá causar confusión. (Ver el ejercicio 15.) t E n l asección 4.4 hemos mostrado que las superficies de nivel f(z,y,z) = O eran, en realidad, gráficas de funciones de dos variables en alguna vecindad de un punto (zo,y o , 2 0 ) que satisface Vf(z0, yo, 2 0 ) # O. Esto unificó dos concepciones de superficie. De nuevo, usando el teoremade la función implícita, es posible asimismo mostrar quela imagen de una Superficie parametrizada Q en la vecindad de un punto (u,, vo) donde T, X T, # O es también la gráfica de una función de dos variables. Así, todas las definiciones de superficie son consistentes. (Ver el ejercicio 16.)

444

INTEGRALESSOBRETRAYECTORIAS Y SUPERFICIES L

X

Figura 7.3.7 La superficie z =

d G es un cono. d

m

SOLUCIÓN Estasecuacionesdescribenla superficie z = (elevaral en la cuadrado las ecuaciones para x, y y z para verificarlo), que se muestra figura 7.3.7. Esta superficie es un cono con “punta” en ( O , O , O ) ; es una superficie diferenciable, pues cada función componente es diferenciablecomofunciónde u y v. Sin embargo, la superficie no es suave en (O, O, O). Para verlo, calcular Tu y T, en (0,O) E R2:

T - -(O,

- au

0)i

= (cos 0)i

33, + -(O, a2l

0)j

32 + -(O, ¿?U

O)k

+ (sen 0 ) j + k = i + k,

y, de manera análoga, T,, = O(- sen 0)i + O(cos 0 ) j + Ok = O .

Así, Tu x T, = O , de modo que

(O,O,O).

A

por definición, la superficie no es suave en

Resumamos nuestras conclusiones en una definición formal: Siunasuperficieparametrizada @: D c R2 -+ R3 es suave en # O en ( u o , ~ o definimos ), el plano tangente de la superficie en (I(u0, 210) corno el plano determinado por Jus vectores Tu y T,,. Así, n = Tu x T, es un vector normal, y una ecuación del plano tangente en ( 2 0 ,yo, zo) a la superficie está dado por DEFINICIóN

( I ( u o , v g ) , esto es, si Tu x T,,

(z - zo, y - yo,

2

- 20) n = O,

(1)

7.3

SUPERFICIES PARAMETRIaDAS

44s

donde n se evalúa en (UO,vo). Si n = (711 , 712,713) = nli fdrmula (1) se convierte en

+ 712j + n3k1 entonces la (1’)

n~(2-zo)+n2(Y-YO)+n3(2-20)=0.

EJEMPLO 2

Sea @:R2 -+ R3 dada por x = ucosv,

2

y =usenu,

z = u+ v

2

¿Dónde existe un plano tangente? Hallar el plano tangente en @(1,O). SOLUCI~N

Calculamas

Tu= (cos v)i T, = -u(sen

+ (sen v)j + 2uk v)i + u(cos v ) j + 2vk

y el plano tangente en @ ( u v) , es el conjunto de vectores que pasan por @ ( u ,u ) , perpendiculares a

Tux T,= (-2u2

cos v

+ 2v sen u, -2u2 sen v - 2v cos u,u)

si este vector es distinto de cero. Como Tu x T, es igual a O en ( u ,TI) = (O, O), no existe plano tangente en @(O, O) = (O, O, O). Sin embargo, podemos hallar una ecuación del plano tangente en todos los otros puntos, donde Tu x T, # O . En O) = ( l , O , l ) , el punto @(l, n = T, x T, = (-2, O, 1) = -2i

+ k.

Como tenemos el vector n normal a la superficie y un punto ( I , O, 1) en la superficie, podemos usar la fórmula (1’) para obtener una ecuación del plano tangente: -2(z - 1)

esto es,

+

(2

- 1) = o;

~ = 2 ~ - 1 . A

EJEMPLO 3 suponerqueunasuperficie S es la gráficadeunafunción diferenciable g: R2 -+ R. Mostrar que la superficie es suave en todos los puntos (uo, va, duo, ~ o ) )E R3. SOLUCIÓN

Escribir S en forma paramétrica comosigue: 2

= u,

y = v,

2

= g(u, u),

446


que es lo mismo que z = g(z, y). Entonces Tu = i

+ a!?

~ ( 2 ~v0)k 0 ,

a

ag

+k # O.

n = Tu X T, = " Q ( u 0 , w ) i - - ( u o , v o ) j

av

a U

Esto es distinto de cero pues el coeficiente de k es 1; en consecuencia, la parametrización ( u ,w) H ( u ,w, g(u, u ) ) es suave en todos los puntos. Más aún, el plano tangente a S en (zo, yo, z o ) = ( u ~uo, , g(u0,uO)) está dado por la fórmula ( l ) , como donde las derivadas parciales están evaluadas en (uo, wo). Recordando que z = u y y = u , podemos escribir esto como

donde d g / d z y dg/dy estánevaluadas en

( 2 0 ,yo).

A

Este ejemplo también muestra que la definición de plano tangente para superficies parametrizadas concuerda con la obtenida cuando las superficies son gráficas, pues la ecuación (3) es la misma fórmula que dedujimos (en el capítulo 2) para el plano tangente a S en el punto ( 2 0 ,yo, zo) E S; ver la página 124. También es útil considerar superficies suaves a trozos, esto es, superficies compuestas de cierto número de imágenes de superficies parametrizadas suaves. Por ejemplo, lasuperficie de un cubo en R3 es este tipo de superficie. Estas superficies se estudian en la sección 7.4.

EJEMPLO 4

Hallar una parametrización paIa

el hiperboloide de una hoja:

xz + yz - z2 = 1.

+

Como z y y aparecenenlacombinación z2 y 2 , lasuperficie es invariante bajo rotación alrededor del eje z , de modo que es natural escribir

SOLUCIóN

x = T cos O,

y = T sen O.

ETRIZADAS 7.3

SUPERFICIES

447

Entonces x' + y' - z 2 = 1 se vuelve r2 - z 2 = 1. Esto se puede parametrizar convenientemente por T

= cosh u ,

z = senh u.

Así, una parametrización es x = (cosh u)(cosO) y = (cosh u)(sen8) z = senh u ,

donde O

5 6J < 2a, "00 < u < OO.

A

EJERCICIOS En los ejercicios 1 al 3, hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie dada en el punt o especificado. 1. x = 2 u ,

y=u2+v, y=u+v,

2. x = u 2 - v 2 ,

z=uz,

z = v 2 , en (O,1,1)

z=uz+4v,en(-~,~,2)

y = u s e nz e="~, u c o s e v , e n ( 1 3 , - 2 , 1 )

i s o n suaves las superficies en los ejercicios 1 y 2? 5. Hallar una expresión para un vector unitario normal

x = cos II sen u ,

y = sen v sen u ,

a la superficie z = cos u

p a r a u en [O, 7r] y v en [O, 2x1. Identificar esta superficie. 6.

Repetir el ejercicio 5 para la superficie

x = 3 cos O sen 4, para B en [O, 2 ~ y1 4 en [O,

o 7

y = 2 sen 8sen 4,

z

7r].

Repetir el ejercicio 5 para la superficie z =senv,

para O _< u

5 27r

y -1

5 u 5 3.

y = u,

z = COSD

= cos 4

448

8.

INTEGRALESSOBRETRAYECTORIASY

Repetir el ejercicio 5 para la superficie z

para 9.

SUPERFICIES

"x

= (2 - cos u ) cosu,

5u5

x,

-T

5v5

T.

z = sen u

y = ( 2 - cos u) sen u ,

¿Es suave esta superficie?

k.,l Desarrollar una fórmula para

el plano tangente a la superficie z = h(y, 2 ) . (b) Obtener una fórmula similar para y = k(z,2).

10. Hallar la ecuación del plano tangente a cada superficie en el punto indicado. (a) z = u 2 , y = u 2 , z = u' + u 2 , % = I , V = 1

+

z = 3z2 8zy, 2 = 1, y = O (c) z 3 + 3 2 y + z 2 = 2 , x = 1 ' y = ' 3z ' = o 11. Considerar la superficie

k.,I

+(T)

en R3 parametrizada por

O) = ( T cos O , sen OO, ) ,

O

5T51

O

y

5 8 5 4x.

Esbozar y describir la superficie. Hallar una expresión para una normal unitaria

a la superficie.

Hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie en el punto

(20, yo,

20).

*(d) Si (zo,yo, Z O ) esunpuntosobrelasuperficie,mostrarque el segmento de recta horizontal de longitud unitaria que va del eje z a ( 2 0 ,yo, 2 0 ) está contenido en la superficie y en el plano tangente a la superficie en ( 2 0 , yo, 2 0 ) . 12. Dada una esfera de radio 2 con centro en el origen, hallar la ecuación para el plano que es tangente a ella en el punto (1,1, h), considerando la esfera como: (a) Una superficie paramet,rizada por * ( O , 4) = ( 2 cos O sen (6,2 sen O sen (6,2 COS (6); (b) Una superficie dc nivel de f ( z , y , z ) = z2 y2 z2; y (c) La gráfica de g ( z , y) =

+ +

Jw.

+

y' - 2' = 25. (b) Hallar u n a expresión para una normal unitaria a esta superficie. (c) Hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie en (zo, yo, O ) , donde z; +y: = 25. l ( y o , - z o , 25) (d) Mostrar que las rect,as ( 2 0 ,yo, O ) l("yo,zo, 25) y (zo, yo, O ) están sobre la superficie y en el plano tangente hallado en la parte (c). 13. (a) Hallar una paran1et)rizaciÓn para el hiperboloide z2

+

+

-

*14. Una superficie parametrizada se describe mediante una función diferenciable CP: R2

R3.De acuerdo con el capítulo 2, la derivada deberá dar una aproximación lineal que proporcione una representación del plano tangente. Este ejercicio demuestra que, en efecto, así sucede. (a) Mostrarquelaimagen de latransformaciónlineal D+(uo, vo) es el plano generado por Tu y T , . (TtLy T,, están evaluados en (uo, VO).) (b) Mostrar que w ITu x T, si y sólo si w está en la imagen de D + ( u o , VO). (c) Mostrar que el plano tangente según se definió en esta sección, es el mismo que el "plano parametrizado"

7.4

449

ÁREA DE UNA SUPERFICIE

*15. Considerar las superficies + ] ( u ,u ) = (u, v,O) y (P~(u, u) = (u3, v3,O).

Mostrar que la imagen de

9 1

y

9 2

es el plano zy.

Mostrar que 91 describe una superficie suave, pero que 9 2 no. Concluir que el concepto de suavidad de una superficie S depende de la existencia de cuando menos una parametrización suave para S. (c) Probar que el plano tangente de S está bien definido independientemente de parametrización suave (uno a uno) (necesitarán usar el teorema de la función inversa, de l a sección 4.4). Después de estas observaciones, jcreen poder hallar alguna parametrización suave del cono de la figura 7.3.7?

9 una superficie suave; esto es, 9 es de clase C1 y TuX T, # O en (u0,vo). (a) Usar el teoremadelafunciónimplícita (sección 4.4) paramostrarquela vo) es la gráfica de una función C1 de dos variables, digamos imagen de 9 cerca de (uo, z = f ( z , y). (Esto se cumplirá si la componente z de T, x T, es distinta de cero.) (b) Mostrar que el plano tangente en % ( m ,uo) definido por el plano generado por T, y T, coincide con el plano tangente a la gráfica de t = f ( x , y) en este punto.

*16. Sea

7.4 ÁREA DE UNA SUPERFICIE

Antes de proceder con integrales de superficie en general, consideremos primero el problema de calcular el área de una superficie, así como hemos consideradoel problema de hallar la longitud de arco de una curva antes de estudiar integrales de trayectoria. En la sección 7 . 3 , definimos una superficie pararnetrizada S c o m o la imagen de una función 9:D c R2 -+ R3, escrita como * ( u , U ) = ( ~ ( uU),, y(., u ) , Z ( U , U ) ) . A l a función 9 se le llamó parametrización de S y se dijo que S era suave en @ ( u , u )E S si Tu X T, # O , donde

Y

ax T - -(u, v)i - av

+ -ay (u, av

v)j

dz + -(n, aV

v)k.

Recordemos que una superficie suave (hablando informalmente) es una que no tiene esquinas ni cortes. En el restodeestecapítulo y en el siguiente,consideraremos sólo superficies suaves a trozos que sean uniones de imágenes de superficies parametrizadas 9i:Da 4 R3 para las que: (i) Di es una región elemental en el plano;

(ii) 9 i es de clase C1 y uno a uno, excepto, quizá, en la frontera de Di;y

(iii) Si, la imagen de 9 i es suave, excepto, quizá, en un número finito de puntos.

450


DEFINICI~N

trizada por

Definimos el área de superficie* A ( S ) de una superficie parameA ( S )=

.i,

IIT.

X

T.11 dudv

donde llT, x Tul/es la norma de T, x T u .Si S es una unión de superficies s u área es la suma de las áreas de las Si.

(1)

Si,

Como puede verificar fácilmente el lector, tenemos que

donde ,

ax

ax

I

' au y así sucesivamente. Entonces, la fórmula (1) se convierte en

Podemos justificar esta definición analizando la integral S , /IT, x Tu11 du dv en términos de sumas de Riemann. Por simplicidad,supongamosque D es unrectángulo;consideremoslan-ésimaparticiónregularde D , y sea Rij el ij-ésimo rectángulo en la partición, con vértices ( u i , u j ) , ( u i + l , v j ) ,( u i , v j + l ) y ( u i + ~ , v j + l )O, 5 i 5 n - 1, O 5 j 5 n - 1. Denotar losvaloresde Tu y T, en ( u i , v j ) por Tu, y T u J Podemos . pensar los vectores AUT,, y AvTVJcomo tangentes a la superficie en @ ( u Lvzj,) = (zij, yij, +), donde A u = ui+l - ui, Av = u j + l - vj. Entonces estos vectores forman un paralelogramo Pij que está en el plano tangente a la superficie en (zi3,y i j , z i j ) (ver la figura 7.4.1). Tenemos entonces una "cubierta de retazos" de la superficie mediante los Pij. Para n grande, el área de Pij es una buena aproximación al área de 9 ( R i j ) . Como el v1 y va es llvl X val1 (ver área del paralelogramogenerado pordosvectores el capítulo l ) , vemos que

*Como todavía noestudiamos la independenciade la parametrización,puedeparecerque A ( S ) depende de la parametrización O . En la sección 7.6 estudiaremos la independencia de la

parametrización; el uso de esta notación no deberá causar confusión.

451

Y

Figura7.4.1 [IT., X TVjIIAu Av es igual al área de un paralelogramo que aproxima área de un retazo en una superficie S = +(O).

el

Por lo tanto, el área de la cubierta de retazos es

x t=O

Cuando n

"+

x

n-1 n-1

n-1 n-I

A, =

IlT,,

X A ( P t J )=

i=o ]=o

,=o

X

T",11 An Av.

c m , las sumas A, convergen a la integral

Como A , deberá aproximar cada vez mejor el área de la superficie, conforme n -+ c m , tenemos en la fórmula (1) una definición razonable de A ( S ) . Sea D la región determinada por O función a:D -+ R3 definida por EJEMPLO 1

X

= T COS 8,

y

= T sen 0,

5 0 5 2 ~ 0, 5 r 5 1 Y sea la z

=T

una parametrización de un cono S (ver la figura 7.3.7). Hallar s u área de superficie. SOLUCIÓN

En lafórmula (3),

1

O

= "TCOS6'

452


Y 1

= T sen O ,

O

de modo que el integrando del área es

-

IIT.x

~ ~ = 1JT2 1 + T2 cos2 O + 72 sen2 O = T

h .

Claramente, ]IT,.xTglI se anula paraT = O , pero @(O, 8) = ( O , O , O) para cualquier 6. Así ( O , O , O ) es el Único punto donde la superficie no es suave. Tenemos

P a r a confirmar que ésta es el área de @ ( D )debemos verificar que @ es uno a uno (para puntos que no estén en la frontera de D ) . Sea Do el conjunto de (.,O) con O < T < 1 y O < 8 < 2n. Por lo tanto D o es D sin su frontera. Para R3 es uno a uno, suponer que @ ( T , 6) = @ ( T I , 8’) para ( T , 6) y ver que @: Do ( T ’ , 8’) E D o . Entonces --f

rcosO =

T’COSO’,

rsenO = r’senO’,

T =TI.

De estas ecuaciones se sigue que cos 8 = cos 8’ y sen 6 = sen 8’. Así, 6 = 8’ o bien 8 = 6’ 2nn. Pero este segundo caso es imposible, pues tanto 6 como 8’ pertenecen al intervalo abierto (O, an) y por ello no pueden estar a 2n radianes de distancia. Esto prueba que fuera de la frontera, es uno a uno. (¿Es @: D + R3 uno a uno?)Enfuturosejemplos,por lo generalnoverificaremosque la parametrizaciónseauno a unocuandoresulteintuitivamenteclaro. A

+

EJEMPLO 2

Una helicoide se define como x = r cos O ,

y D es la región donde SOLUCI~N

y =

T

Qi:

D

sen O ,

-+

R3, donde z =O

O 5 8 5 2 ~ ry O 5 r 5 1 (figura 7.4.2). Hallar s u área.

Calculamos 8(z, y ) / a ( ~O) , = T , como antes, y

7.4

AREA DE UNA SUPERFICIE

453

Figura 7.4.2 L a helicoide x = r COSO, y = r sen O, z = O.

El integrando de área es, por lo tanto, que nunca se anula, de modo que la superficie es suave. El área de la helicoide es

Después de algunos cálculos (usando la tabla integral es igual a

de integrales), hallamos que esta

~+ [log( h1 + A)].

Una superficie S dada en la forma z parametrización 2:

= u,

y = II,

A

= f(x,y), donde (x,y) E Dl admite la 2

= f(u,.)

para (U, u ) E D . Cuando f es de clase C1, esta parametrización es suave, y la fórmula para el área de superficie se reduce a

después de aplicar las fórmulas

454


Y

según se observó en el ejemplo 2 de l a sección 7.3. Suplemento: Área de superficie e integrales impropias En la fórmula (4) supusimos que a f l d x y aflay eran funciones continuas (y, por lo tanto, acotadas) en D. Sin embargo, es importante coneiderar áreas de superficies para las cuales (af/dz)(zo,yo) o ( d f / d y ) ( z o , yo) se vuelven arbitrariamente grandes cuando (zo, yo) tiende a la frontera de D . Por ejemplo, considerar el hemisferio

donde D es la región z 2

+ y2 5 1 (ver la figura +

7 . 4 . 3 ) . Tenemos

La frontera de D es el círculo unitario z2 y2 = 1, de modo que, cuando ( z , y ) se acerca a a D , el valor de z 2 y' tiende a 1. Por lo tanto, los denominadores en el par de ecuaciones ( 5 ) tienden a cero. Para tratar con casos como éstos, definimos el área A ( S ) de una superficie S descrita por z = f ( X , y) sobre una región D , donde f es diferenciable con posibles discontinuidades de d f l a x y d f l a y en a D , como

+

Y

Figura 7.4.3 El hemisferio z =

d m .

7.4


455

+

+

siempre que J ( a f / a ~ ) ~ (df/dy):' 1 sea integrable sobre D, aun si la integral es impropia; de hecno, ésta es una de las razones por las que introdujimos el concepto de integral impropia en el capítulo 6.

esfera S descrita por l a ecuación

EJEMPLO 3 Calcular el área de la superficie de la x2 y2 z2 = 1.

+ +

SOLUCIóN

S', donde

Calcularemoseláreadelhemisferiosuperior

*

x2

+ + z2 = 1, y2

y después multiplicamos nuestro resultado

z

2 o,

por 2. Tenemos, por lo tanto,

f ( x , y) =

x2

+ Y2 5 1.

+

Sea D l a región x' y2 5 1. Entonces, aplicando la fórmula (4) y haciendo los cálculos de las ecuaciones ( 5 ) anteriores, obtenemos

A(St)=

/ /($)'+

r D

($)'+ldA

que es una integral impropia. Sin embargo, podemos aplicar el teorema de Fubini en este caso para obtener la integral impropia iterada

Así, el área de toda laesfera es 47r. Para otra manera de calcular esta área sin integrales impropias, ver el ejercicio 1. A

En l a m a y o r í a d elos libros de cálculo de una variable, se muestra que el á r e a d e la superficie lateral generada al girar la gráfica de una función y = f ( x ) alrededor del eje x , e s t á dada por

456

INTEGRALES SOBRE TRAYECTORIASY SUPERFICIES

Si se gira la gráfica alrededor del eje y, tenemos

Deduciremos la fórmula (6) usando los métodos desarrollados anteriormente; se puede obtener la fórmula (7) de manera análoga (ejercicio 10). Para deducir la fórmula (6) a partir de la fórmula (3), debemos dar una parametrización de S. Definir la parametrización por x = u,

y = f(u)cos 'u,

z = f(u)sen 'u

sobre la región D dada por

Esta es, en efecto, una parametrización de S, porque para u fija,

traza un círculo de radio If(u)l con centro en ( u ,O,O) (figura 7.4.4). Y

circunferencia = 2 r ~ f ' x ) :

Figura 7.4.4 La curva y = f ( z ) girada alrededor del eje z.

Calculamos

457

7.4 AREA DE UNA SUPERFICIE

de m o d o q u e p o r la fórmula (3)

q u e e s la fórmula (6). Si S es la superficie de revolución, entonces 27rlf(z)l es la circunferencia de la sección transversal vertical a S en el p u n t o 1: (figura 7.4.4). Observar que podemos escribir 2 q : l f ( z ) l d m d z

= J p l f ( z ) l d%

d o n d e la expresiónde la derechaes la integralde 24f(z)I a lo l a r g o d e la t r a y e c t o r i a dada por CT: [a,b] R2, t H ( t , f ( t ) ) Por . lo t a n t o , l a s u p e r f i c i e l a t e r a l d e un sólido de revolución se obtiene integrando la circunferencia que c o r t a t r a n s v e r s a l m e n t e a lo l a r g o d e l a t r a y e c t o r i a d e t e r m i n a d a p o r la función "+

dada.

NOTA HIST~RICA

El cálculo fue inventado ( i o descubierto?) por Isaac Newton (1647-1727) alrededor de 1669 y por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) alrededor de 1684. A principios del siglo XVIII, los matemáticos estaban interesados en el problema de hallar trayectorias de longitud más corta sobre una superficie, mediante métodos de cálculo. ese En tiempo, las superficies eran consideradas fronteras de sólidos definidos por desigualdades (la bola z2 y2 z2 5 1 está acotada por la esfera z 2 y' z2 = 1). Christian Huygens (1629-1695) fue la primera persona desde Arquímedes en dar resultados acerca delas áreas de superficies particulares más allá de la esfera, y obtuvo las y el hiperboloide. áreas de partes de superficies de revolución, tales como el paraboloide El brillante y prolífico matemático Leonhard Euler (1707-1783) presentó el primer trabajo fundamental sobre la teoría de las superficies en 1760 con "Recherches sur la vez se definió courbure des surfaces", y fue quizás en este trabajo, que por primera unasuperficiecomounagráfica z = f ( z , y ) . Euler estaba interesado en estudiar la curvatura de superficies, y en 1771 introdujo el concepto de superficie paramétrica que se describe en esta sección. Despuésdeunarápidaevolución del cálculo al principiodel siglo XVIII, se desarrollaron fórmulas para las longitudes de curvas y de áreas de superficies. Aunque no sabemos cuándo aparecieron por primera vez las fórmulas de área presentadas en esta

+ +

+ +

458

INTEGRALES SOBRE TRAYECTORIASYSUPERFICIES

sección, estamos seguros de que eran conocidas al final del siglo XVIII. Los conceptos subyacentes de longitad de una curva y de área de una superficie se entendían intuitivamente antes de este tiempo, y el uso de fórmulas del cálculo para obtener áreas fue considerado un gran avance. Augustin Louis Cauchy (1789-1857)fue el primero en dar el paso para definir las cantidades de longitud y de área de superficie mediante integrales, como lo hicimos en este libro. La cuestión de definir el área de superficie independiente de las integrales se planteó un poco más adelante, pero dio lugar a muchos problemas difíciles que no fueron resueltos de manera adecuada hasta este siglo. Terminamosesta sección describiendo el fascinanteproblemaclásicodePlateau, quetieneunalargahistoriaenmatemáticas. El físico belgaJosephPlateau (18011883) realizó muchos experimentos entre 1830 y 1869 acerca de la tensión superficial y fenómenoscapilares,experimentosquetuvieronunenormeimpactoen ese tiempo, (1791yfueronrepetidospor físicos notablesdel siglo XIX, comoMichaelFaraday 1867). Si se sumerge un alambre en una solución de jabón o glicerina, entonces se suele 7.4.5 sedan obtenerunapelículadejabóntendidasobre el alambre.Enlafigura algunos ejemplos, aunque quizá los lectores prefieran realizar el experimento. Plateau hizo la pregunt,a matemática: para una frontera dada (alambre), ¿cómo se prueba la existencia de dicha superficie (película de jabón) y cuántas superficies puede haber? El principio físico subyacente es que l a naturaleza tiende a minimizar el área; esto es, la superficie que se forma deberá ser una superficie de área mínima entre todas las superficies posibles que tengan la curva dada como frontera.

Figura 7.4.5 Dos películas de jabón tendidas sobre los alambres. ( F r i t z Goro)

Plateau formuló el problema de manera particular. Sea D c R2 el disco unitario y' 5 1 ) ; sea S' = 8 D su frontera. Más aún, suponer que definidopor {(z,y)lzz Q: [0,2a] + R3 esunacurvacerradasimplecon r = a([O,a x ] ) , y que su imagen representa un alambre en R3 (figura 7.4.6). Sea S el conjunto de todas las funciones C P : D -+ R3 tales que @ ( a D )= CP es de clase C1 y CP es uno a uno en d D . Cada CP E S representa una superficie paramétrica

+

r,

7.4

459


Figura 7.4.6

r va a ser la frontera de una película de jabón.

G1 “semejante” al disco y que “abarca” el alambre

T.

Las películas de jabón de la figura 7.4.5 no son como discos, pero representan un 7.4.7 muestra un contorno que sistema de superficies semejantes al disco. La figura acota a una superficie semejante al disco, y a u n a que no lo es. Para cada 9 E S tenemos el áreadelasuperficieimagen, A(+) = [IT. X T, 11 du dv. Así el área esunafunciónqueasignaacadasuperficie paramétrica su

sD

Figura 7.4.7 Superficies de película de jabón; (b) es semejante al disco, pero (a) no.

460


área.Plateausepreguntósi A tieneunmínimoen S; estoes,¿existe +o talque A(+o) 5 A ( + ) paratoda E S? Desafortunadamente, los métodosdeestelibro no son adecuados para resolver este problema. Podemos atacar cuestiones de hallar mínimos de funciones con valores reales de varias variables, ipero de ninguna manera S como una región en R”, cualquiera que sean! El conjunto se puede pensar el conjunto S es, en realidad, un espacio de funciones, y el problema de hallar mínimos de funciones como A,definidas en dichos conjuntos, es parte de un tema llamado “cálculo de variaciones”, que es casi tan antiguo comoel mismo cálculo. Es, además, una disciplina íntimamente relacionada con ecuaciones diferenciales parciales. Plateau mostró que si existe un mínimo

+

*O(%

.) = ( 4 % u),,.(Y

u),4%.)I

tendría que satisfacer (después de normalizaciones adecuadas), las ecuaciones diferenciales parciales (i)

(” 11)

=O

v*+O

au

a+o .--

av

donde llwll denota la “norma” o longitud del vector w. Por más de 70 años, matemáticos tales como Riemann, Weierstrass, H.A. Schwarz, al reto lanzado por Plateau. En 1931 se Darboux y Lebesgue buscaron una solución resolvió por fin el problema, cuando Jesse Douglas mostró que sí existía dicha +O. Sin embargo, muchas preguntas acerca de películas de jabón permanecen sin respuesta, y esta área de investigación sigue activa hoy día. Para mayor información acerca de este tema fascinante, el lector puede consultar S. Hildebrandt y A. Tromba, Mathematics and Optimal Form, Scientific American Books, Nueva York. 1985.

EJERCICIOS l . Hallar el área de la superficie de la esfera unitaria S representada paramétricamente D es el rectángulo O 5 O 5 2x, O 5 4 5 x y está dada

+:

+

por D -+ S c R3, donde por las ecuaciones

x = cos O sen 4,

y = sen B sen 4,

z = cos 4.

Nótesequepodemosrepresentartodalaesferademaneraparamétrica,peronola podemos representar en la forma z = f ( z , y ) . Comparar con el ejemplo 3. ¿Qué pasaría en el ejercicio 1 si permitimos que

2x? ¿Por qué obtenemos respuestas diferentes? 3.

0

Hallar el áreadela

5o5

3x.

helicoide delejemplo

q5

varíe de -x12 a r / 2 ? ¿De O a.

2 si el dominio D es O

5

T

5

1 y

7.4


461

4. El toro T se puede representar paramétricamente por la función9:D -+ R3,donde 9 está dada por las funciones coordenadas x = ( R+ cos 4) cos O, y = ( R cos 4) sen 8, z = s e n d ; D es el rectángulo [ 0 , 2 ~X] [0,2x], esto es, O 5 0 5 2x, O 5 d 5 2x y R > 1 e s t á fijo (ver la figura 7.4.8). Mostrar que A ( T ) = ( ~ X ) ~ primero R , usando la fórmula

+

(3) y después la fórmula ( 7 ) .

X

Figure 7.4.8 Sección transversal de un toro.

Sea + ( u , u ) = ( u - u, u área de @(D).

+ u , u u ) y sea D el disco unitario en el plano uv. Hallar el

6. Hallar el área de la parte de la esfera unitaria cortada (ver el ejercicio 1 ) .

7. Mostrar que la superficie pintar!

x =l / d y T , 1 5x

por el cono z

< 03,

2

d m

pe puede llenar pero no

Hallar una parametrización de la superficie x 2 - y' = 1 , donde x > O , - 1 5 y 5 1 y O 5 z 5 1. Usar la respuesta para expresar el área de la superficie como integral. 9.

Representar el elipsoide E :

xz y2 -+-+-=I a2

b2

22

c2

paramétricamente y escribir la integral para su área de superficie A ( E ) . (No evaluar la integral).

462


Sea la curva y = f(z),u de la superficie barrida es

5

X

5

b , girada alrededor del eje y. Mostrar que el área

Ja

Interpretar usando longitud de arco

y altura inclinada

11. Hallar el áreadelasuperficieobtenida alrededor del eje y.

al girarlacurva

y = z’,

12. Usar la fórmula (4) para calcular el área de superficie del cono

Hallar el área de la superficie definida por 14. Mostrar que para los vectores

X

5

O

X

5

1,

en el ejemplo I

+ y + z = 1, z’ + 2y’ 5 1.

T, y T, tenemos la fórmula

15. Calcular el área de la superficie dada por X

= TCOS8,

y = 2TCOS8,

Z

=o,

O

5 T 5 1,

0

585

2X

Esbozar. 16. Probar el teorema de Pappus: Sea u:[u, b] + RZuna trayectoria C’ cuya imagen está en el semiplano derecho y es una curva cerrada simple. El área de la superficie lateral generada al rotar la imagen de u alrededor del eje y es igual a 27rCl(u), donde X es el valor promedio de las coordenadas X de los puntos sobre u y l(u)es la longitud de u. (Ver los ejercicios 8 al 11, sección 7.1, para u n estudio de los valores promedio.)

S1

+

El cilindro x 2 y’ = X divide la esfera unitaria S en dos regiones S1 y 5 ’ 2 , donde está dentro del cilindro y S2 afuera. Hallar la razón de las áreas A(Sz)/A(Sl).

18. Suponer que una superficie

D

S que es la gráfica de una función z = f ( z , y), ( x ,y) E

c R’,también se puede describir comoel conjunto de ( X ,y , z ) E R3con F ( z , y, z) =

O (una superficie de nivel). Deducir una fórmula para

A ( S ) que incluya sólo a

F.

Figura 7.4.9 Segmento de recta girado alrededor del ejey se vuelve un frustum de cono.

7.5

INTEGRALES DE FUNCIONES ESCALARES SOBRE

SUPERFICIES

463

19. Calcular el área del frustum mostrado en la figura 7.4.9 usando (a) sólo geometría y (b) una fórmula para el área de la superficie.

Se perfora un hoyo cilíndrico de radio 1 a traves de una bola sólida de radio 2 para formar un acoplador anular, como se muestra en la figura 7.4.10. Hallar el volumen y el área de la superficie exterior de este acoplador.

Figura 7.4.10 Hallar el área de la superficie y el volumen de la región sombreada.

+

21. Hallar el área de la gráfica de la función f(z,y) = ;(z3l2 y 3 l 2 ) que está sobre el dominio [O, 11 x [O, 11. 22. Expresar el área de superficie de las gráficas siguientes sobre la región indicada D como integral doble. No evaluar. (a) (z 2 ~ )D~ =; [-1,2] x [O, 21

kb,l

+

.~+zl(y+l);D=[1,41x[1,21 2 2

( c ) zy3e2 y ; D = círculo unitario con centro en el origen. (d) y3 cos2 z; D = triángulo con vértices (-1, I ) , ( 0 , 2 ) y (-1,l).

7.5

INTEGRALES DE FUNCIONES ESCALARES SOBRE SUPERFICIES

Ahora estamos preparados paradefinir la integral de una función escalar f sobre una superficie S. Este concepto es una generalización natural del área de una superficie, que corresponde a la integral sobreS de la función escalarf (x,y , z) = 1. Esto es muy parecido a considerar la integral de trayectoria como una generalización de la longitud de arco. En la siguiente sección trataremoscon la integral de una función vectorial F sobre una superficie. Estos conceptos jugarán un papel crucial en análisis vectorial, tema tratado en el capítulo final. Comencemos con una superficie S parametrizada por una función a:D -+ S c R3, @ ( u ,u ) = ( 4 % u), Y(% u ) , 4%u)).

464


Si f(x,y , z ) es una función continua con valores reales definida en S, definimos la integral de f sobre S como DEFINICIÓN

(1)

donde Tuy T, tienen el mismo significado que en las secciones 7 . 3 y 7.4. Desarrollando, la ecuación (I) se vuelve

Así, si f es idénticamente 1, recobramos la fórmula (3) del área, de la sección es independiente de la 7.4. Como el área de superficie, la integral de superficie parametrización particular usada. Esto se estudiará en la sección 7.6. Podemos obtener unconocimientointuitivode esta integral al considerarla como límite de sumas. Sea D un rectángulo partido en n2 rectángulos Rij. Sea Sij = @(Rij)la parte de l a superficie @ ( D )correspondiente a Rij (ver la figura 7.5.1), y sea A(Sij) el área de esta parte de la superficie. Para n grande, f será aproximadamente constante en Sij, y formamos la suma n-1

n-1

r=O

J=o

donde (ui, v j ) E Rij. De la sección 7.4 tenemos una fórmula para A(Sij):

Z

i

Figura 7.5.1

+ lleva una parte

R,, de D a una parte de S

7.5

INTEGRALES FUNCIONES DE

ESCALARES SUPERFICIES SOBRE

465

porel teorema delvalormedio paraintegrales, es iguala IITu; X Tu;11 Au Av para algún punto (u!,u;) en Rij. Por lo tanto, la suma se vuelve lacual,

n-1 n-1

,=o j=o

que es una suma aproximante para la última integral en la fórmula (1). Por lo , f dS. Nótese que cada término en la suma de la fórmula tanto, límite S, = S n-03

(3) es el valor de f en algún punto O(ui , vj) por el área de Sij. Comparen esto con la interpretación de sumas de Riemann de la integral de trayectoria de la sección 7.1. Si S es unión de superficies parametrizadas Si,i = 1,. . . , N , que no se intersecan excepto, quizá, a lo largo de curvas que definen sus fronteras, entonces la integral de f sobre S está definida por

como debería esperarse. Por ejemplo, la integral sobre la superficie de un cubo se puede expresar como la suma de las integrales sobre los seis lados. EJEMPLO 1

Suponer que se describe una helicoide como en el ejemplo 2, sección m .Hallar SS f d S .

SOLUCIÓN

Como antes,

7.4, y sea f dada por f (x,y, z ) = d

Además, f ( r cos 8, rsen 8, 8)= d

= =

m . Por lo tanto

S'" 1' O

0

LZ"

J G d G d r dB

$dB=

5.

A

Suponer que S es la gráfica de una función C ' , z = g(x,y). Recordar de la sección 7.4, que podemos parametrizar S por z = u,

y = v,

2

= y(u, v).


466

de modo que

Sea S

EJEMPLO 2

O5

2

+ y, donde D

la superficie definida por z = 'x

5 I , -1 5 y 5 1. Evaluar J, x d S .

SOLUCI~N

Si hacemos z = g(x, y) = x2 + y, la fórmula (4) d a

=

Evaluar

EJEMPLO 3

es l a región

S,

J' -1

1' o

t 2dS,

x

d

m

d

z dy

donde S es la esfera unitaria x 2

+ y2 + t 2= 1.

SOLUCIÓN Para este problema es conveniente representar la esfera paramétricamente mediante las ecuaciones x = cos 6 sen 4, y = sen 0 sen 4, z = cos 4, sobre la región D en el plano 04 dada por O 5 4 5 a, O 5 6 5 2a. De la ecuación (1) obtenemos z 2 dS = L ( c o s q5)211Te x

Ahora bien, haciendo algo muestra que

L

de cálculos [usar llTe

de modo que

z2 dS

=

X

cos2

T+/I

dB dq5.

la fórmula (2) de la sección 7.41 se

T+ll = I sen 41,

q 5 I sen q 5 I dqB5

7.5



467

Desarrollaremosahoraunafórmulaparaintegralesdesuperficiecuando la superficie se puede representar como una gráfica. Para ello, sea S la gráfica de z = g(a,y) y consideremos la fórmula (4). Aseguramos que

donde 0 es el ángulo que forma la normal a la superficie con el vector unitario k en el punto (a,y , g(a,y)) (ver la figura 7.5.2). Al describir la superficie por la ecuación d(.z, y, z) = z - g(a,y) = O , un vector normal es Vd;esto es,

(ver el ejemplo 3 de la sección 7.3, o recordar que la normal a una superficie con ecuación g(a,y , z ) = constante es Vg.)Así, coso

n-k= -Ilnll J(dg/d2)2

1

+ (8g/dy)2 + 1

’

AI sustituir esta fórmula en la ecuación (4) d a la ecuación (5). El resultado es, de hecho, geométricamente obvio, pues si un rectángulo pequeño en el plano ay tiene área AA, entonces el área de la parte sobre ella, en l a superficie, es A S = AA/cosB (figura 7.5.2). Este enfoque nos puede ayudar a recordar l a fórmula (5) y a aplicarla a problemas.

Figura 7.5.2 El área de un retazo de área A S sobre un r e t a z o AA es A S = AA/ coso, donde 0 es el ángulo que forma l a normal n con k.

468


SS

Calcular x dS, donde .S' es el triángulo con vértices (1 (O, 1,O) y ( O , O , 1) (Ver la figura 7.5.3). EJEMPLO 4

~

o, O ) ,

X

Figura 7.5.3 Al calcular una integral de superficie específica, se halla una fórmula para la normal n y se calcula el ángulo B al prepararse para la fórmula (5).

+ +

SOLUCIÓN Esta superficie es el planodcscritopor l a ecuación 2 y z = 1. Como la superficie es un plano, el ángulo 6 es constante y un vector normal unitario es 11 = (l/&, l/&, 1/J'5). Así, cos6 = x1.k = 1 / & y por l a ecuación (5),

donde D es el dominio en el plano xy. Pero

Las integrales de funciones sobre superficies son útiles para calcular la masa de una superficie, cuando se conoce la función m de densidad de masa.. sa t,otal cle una superficie c o densidad ~ de masa (por unidad de área) m est& dada por

EJEMPLO 5 Sea a:D -+ R3 l a pararnetrizacidn de la helicoide S = @ ( D )del ejemplo 2 de la seccidn 7.4. Recordar y r ~ e@ ( r O, ) = ( T cos 8 , r sen O , O ) , O 5 B 5 27r, O 5 5 I . Suponerque S tienedensidaddemasa en ( x eyl , 2 ) E S igual al doble de la distancia (le ( x . y , z ) al eje central (ver la figura 7.4.2), esto es,

La

7.5

INTEGRALES DE FUNCIONES ESCALARES SOBRE SUPERFICIES

469

m ( x ,y, z) = = 2r, en el sistemadecoordenadascilíndricas.Hallar masa total de l a superficie.

la

Aplicando l a fórmula (6),

SOLUCIÓN

M(S)=

S,

2 d z d S = l 2 r dS =

2r11T,

Del ejemplo 2 de la sección 7.4, vemos que /ITTX Toll =

-4* (23~2

3

- 1).

X

Tell d r dB.

m.Así,

A

EJERCICIOS

2. Sea CP: D C

R2-+ R3 una parametrización de una superficie 2:

= z(u, u),

y = y(u, v ) ,

S definida por

z = z(u, v )

(a) Sean

S,

Mostrar que el área de superficie deS es J m d u dv. En esta notación, ¿cómo f dS para una función generalf? podemos expresar (b) ¿En qué se convierte la fórmula si los vectores aCP/au y aCP/av son ortogonales? (c) Usar las partes (a) y (b) para calcular el área de superficie de una esfera de radio a .

S,

Evaluar

S,

z dS, donde S es el hemisferio superior de radio

a,

esto es, el conjunto

d m . 4. Evaluar S .(, + y + z) dS, donde S es la frontera de la bola unitaria B ; esto es, S es el conjunto de y, z) con z2 + y* + z2 = 1. (IDEA: Usar la simetría del problema.)

de (z,y, z) con z =

(2,


470

5. Evaluar

S,

zyz

Y SUPERFICIES

d S , donde S cs el triángulo col1 vértices (1, O , O ) , ( O , 2, O ) y ( O , 1 , l ) .

6. Sea u n a superficie S definida de manera implícita por F ( z , y , z ) = O para ( x , y ) en un dominio D de R2. Mostrar que

Comparar con el ejercicio 18 de la sección 7.4. Evaluar

S,

z d S , donde S es la superficie z = z 2

+ y2, x 2 + y’

51

Evaluar s,z2dS, donde S c s la frontera del cubo C = [-1,1] Hacer cada cara por separado y sumar los resultados.)

X

[-I, 13 x [-I, 13.

(IDEA:

Hallar la masadeunasuperficieesférica S deradio R talque en cadapunto y, z ) E S la densidad de masa es igual a la distancia de ( x , y , z ) a algún punto fijo ( 2 0 ,yo, zo) E s . 9.

(2,

d ,

10. Una superficie metálica S tiene l a forma de un hemisferio z = z 2 y’ 5 R2. La densidad de masa en (z, y , z ) E S está dada por m ( x ,y, z ) =

+

Hallar l a masa total de S.

O

2’

5

+ y’.

Sea S la esfera de radio R. (a) Argumentar por simetría que

(b) Usar este hecho y algo de inteligencia para evaluar, la int,egral

con muy pocos cálculos,

( c ) ¿Ayuda esto en el ejercicio l o ? 12. (a) Usar sumas de Riemann para justificar l a fórmula

f sobre l a superficie S. ( b ) En el ejemplo 3 de esta sección, mostrar que el promedio de f ( x ,y , z ) = z’

para el valor promedio de

es -

i.

(c) Definir el centro de gravedad (Z, 5, t)de una superficie S de modo que C , 5 y S. Mostrar que el centro de

z sean los valores promedio de las coordenadas z, y y z en gravedad del triángulo en el ejemplo 4 de esta sección es

(i,i,5 ) .

7.5



471

13. Hallar las coordenadas x , y y z del centro de gravedad del octante de la esfera sólida de radio R, con centro en el origen, determinado por x 2 O, y 2 O, z 2 O. (IDEA: Escribir este octante como una superficie parametrizada “ v e r elejemplo 3 de esta sección y el ejercicio 12.)

Hallarlacoordenada z delcentrodegravedad(coordenada z promedio)dela superficie de un hemisferio (z 5 O) con radio r (ver el ejercicio 12). Argumentar por simetría que las coordenadas x y y promedio son, ambas, cero.

* 15.

por’

+:

Sea la funcional de Dirichlet para una superficie parametrizadaD

”-f

R3 definida

Usandoelejercicio 15 de la sección 1.5, argumentar que el área A ( + ) 5 J(+) y la igualdad se cumple si

a+ a+

-=O. (b) a u av Comparar estas ecuaciones con el ejercicio 2 y las observaciones al final de la sección 7.4. Una parametrización 9 que satisface las condiciones (a) y (b) se llama conforme.

+:

D c R2 y D + R2 una funciónsuave + ( u , w) = ( x ( u , u ) , y ( u , u ) ) que satisface las condiciones (a) y (b) delejercicio 15. Mostrar que x y y satisfacen las a x / & = ay/&, ax/au = - a y / a u o lasecuacione,s ecuacionesdeCauchy-Riemann a x / a u = - a y / a v ,a x l d v = a y / & . Concluirque conjugadasdeCauchy-Riemann V2+ = O (i.e., cada componente de 9 es armónica).

*16. Sean

+

(a) Calcular el área de la parte del cono x’ y’ = z2 con z 2 O que está dentro y2 z2 = 2 R z , donde R es una constante positiva. de la esfera 2’ (b) ¿Cuál es el área de la parte de la esfera que está dentro del cono?

+ +

*la. Sea S una esfera de radio r y p un punto dentro o fuera de la esfera (pero no ella). Mostrar que

1

dS =

{ 4xr 4ar2/d

si si

en

p está dentro de S p estáfuerade S

donde d es la distancia de p al centro de la esfera y la integración es sobre x.

+

19. Hallar el área de superficie de la parte del cilindro x’ z’ = a’ que está dentro del cilindro 2’ y2 = 2ay y también en el octante positivo (x 2 O, y 20,z 2 O). Suponer que a > O.

+

*La funcional deDirichletjugó un papelimportante en las matemáticas del siglo XIX. El matemático Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) la usó para desamollar su teoría de funciones complejas y paradar una demostración del famosoteoremade la función de Riemann. Todavía se usa de manera extensiva como herramienta en el estudio de ecuadones diferenciales parciales.

INTEGRALESSOBRE TRAYECTORIAS Y SUPERFICIES

472

7.6

INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES VECTORIALES

En esta sección nos ocuparemos de integrales de funciones vectoriaies sobre superficies. La definición que damos aquí es una extensión natural de l a dada para funciones escalares estudiadas en l a sección 7.5. DEFINICI~N Sea F un campo vectorial definido en S , imagen de una superficie parametrizada 9. La integral de superficie de F sobre e, denotada por

1

F dS,

o a veces por

/-I F . dS,

9

se define por l F . ( T x, T,)duddv,

l F - d S =

donde Tu y T, se definen como en la sección 7.3 (ver la página 442 y la figura 7.6.1).

U

Figura 7.6.1 Significado geométrico de

EJEMPLO 1

F (Tux T , )

Sea D el rectángulo en el plano 64 definido por O
o<4<.,

y sea la superficie S definida por la parametrización 9: D 2:

= cos Osen 4,

y = sen 0 sen 4,

-+

R3 dada por

z = cos 4.

7.6

INTEGRALES DE SUPERFICIE DE

FUNCIONES VECTORIALES

473

(Asi, O y 4 son los ángulos de coordenadas esféricas, y S es la esfera unitaria parametrizada por @.) Sea r el vector de posición r(z,y , z) = zi yj zk. Calcular S , r dS.

+ +

-

Primero hallamos

SOLUCIÓN

T e = (- sen 4 sen 8)i + (sen 4 cos 8)j

T+ = (cos 8 cos 4)i + (sen ecos 4)j - (sen 4)k entonces Te x T+ = (- sen2 4 cos 8)i - (sen’ 4 sen 8 ) j - (sen 4 cos 4)k.

Después calculamos

-

+ yj + zk) ( T e T d ) = [(cos 8 sen4)i + (sen 8 sen4)j + (cos 4)k] - (-sen4)[(senq+cosO)i + (sen4senB)j + COS^)^] = (- sen $)(sen24 cos2 e + sen’ 4 sen2 8+ cos’ 4)

r ( T e x T+)= (zi

X

= -sen 4.

Así, Lr-dS;=l-sen4d4dO=

lT

(-2)d8=-4~.

A

Se puede esbozar una analogía entre la integral de superficie ,S F d S y la , F d s . Recordar que la integral de línea es una integral integral de línea S orientada. Necesitábamos el concepto de orientación de una curva para extender , F ds a integrales de línea S, F ds sobre curvas orientadas. la definición de S Extendemos la definición de S* F dS a superficies orientadas de manera similar; esto es, dada unasuperficie S parametrizada por una función a, queremos definir S, F d S = S, F d S y mostrar que es independiente de la parametrización, excepto, quizá,por el signo. Para lograrlo necesitamos el concepto de orientación de una superficie.

-

-

DEFINICI~N Una superficie orientada es una superficie de dos lados, uno de ellos el lado exterior o positivo; y el otro el lado interior o negativo.* En cada punto (zl y I z) E S hay dos vectores normales unitarios nl y n 2 , donde nl = -n2 (ver la figura 7.6.2). Cada una de, estas normales se puede asociar con un lado de la superficie. Así, para especificar un lado de una superficie S ,

*Usamos el término “lado” en sentido intuitivo. Este conceptose puede desarrollar de manera rigurosa. Además, la selección del lado llamado “exterior”, a menudo es impuesto por la superficie misma, como, por ejemplo, en el caso de una esfera. En otros casos, la denominación es algo arbitraria (ver la parte desuperficie ilustrada en la figura 7.6.2).

474


Figura 7.6.2 Las dos posibles normales unitarias a una superficie en un punto

en cada punto escogemos un vector normal unitario n que apunta hacia afuera desde el lado positivo deS en ese punto. Esta definición suponequenuestra superficietiene dos lados.Daremosun ejemplo de una superficie con un solo lado. El primer ejemplo conocido de dicho tipo de superficie fue la cinta de Mobius (debido al matemático y astrónomo alemán A. F. Mobius, quien, junto con el matemático J . B. Listing, la descubrió en 1858). En las figuras. 7.6.3 y 7.6.4 se presenta dicha superficie. En cada punto de M hay dos normales unitarias, nl y n2. Sin embargo, nl no determina un lado Único de M , y tampoco n2. Para ver esto de manera intuitiva, podemos deslizar n2 alrededor de la curva cerrada C (figura 7.6.3). Cuando n2 regrese a un punto fijo p de C ,coincidirá con nl, mostrando que tanto nl y n2 apuntan desde el mismo lado de M y, en consecuencia, M tiene un solo lado.

M

Figura 7.6.3 Cinta de Mobius: deslizar nz alrededor de C una vez; cuando nz regrese a su punto inicial, nz coincidirá con nl = -n2.

La figura 7.6.4 es una cinta de Mobius dibujada por el conocido matemático y artista del siglo XX, M. C. Escher. Presenta hormigas caminando a lo largo de la banda de Mobius. Después de una vuelta alrededor de la banda (sin cruzar por un lado) terminan en el “lado opuesto” de la superficie.

7.6

INTEGRALES DE

SUPERFICIE DE FUNCIONES VECTORIALES

475

Figura 7.6.4 Hormigas caminando sobre una cinta de Mobius. (Moebius Strip 11, 1963, p o r M. C. Escher. Escher Foundation, Haags Gemeentemuseum, La Haya.)

Sea @: D "+ R3una parametrización de una superficie oxientada S y suponer que S es suave en @(uo,vo),(uo,vo) E D ; i.e., está definido el vector normal unitario (Tuox T,o)/llTuox TUoll.Si n(@(uo,vo)) denota la normal unitaria a S en @ ( u ovo) , apuntando desde el lado positivo de S a ese punto, se sigue que (Tuox T v o ) / ~ ~ xT u Tvoll o = fn(O(u0,wo)). Se diceque la parametrización @ preserva la orientación si (Tu x T,)/llTu x T, 11 = n ( @ ( u ,v)) en todo (u, v) E D para los cuales S es suave en@(u,v). En otras palabras,@ preserva la orientación si el vector Tu x T, apunta hacia afuera desde el lado exterior de la superficie. Si Tu X T, apunta hacia afuera desde el lado interior de la superficie en todos los puntos ( u , v) E D para los que S es suave en @(u,v), entonces se dice que @ invierte la orientación. Usando la notación anterior, esta condición corresponde a l a selección de (Tu x T,)/llTu x Toll = n(@(u, u)). SesiguedeesteanálisisquelabandadeMobiusnopuedeserparametrizada por una sola parametrización. (La esfera del ejemplo 1 puede ser parametrizada por una sola parametrización, pero no por una que sea uno a uno en todas partes "ver el análisis al principio de la sección 7.4.)

+ +

EJEMPLO 2 Podemos dar a la esfera unitaria 'x y' z' = 1 en R3 (figura 7.6.5) una orientación seleccionando el vector unitario n ( x , y , z) = r , donde r = xi yj zk,que apunta hacia afuera desdeel lado exterior de la superficie. Esta

+ +

selección corresponde a nuestra concepción intuitiva del exterior de la esfera. Ahora que la esferaS es una superficie orientada, considerar la parametrización @ de S dada en el ejemplo 1. El producto cruz de los vectores tangentes To y T 4 -esto es, una normal a S- está dado por (-senq5)[(cos@senq5)i+(sen@senq5)j+(cosq5)k]=-rsenqh.

476

INTEQRALES SOBRE TRAYECTORIAS Y SUPERFICIES

Figura 7.6.5 La esfera unitaria orientada por su normal exterior n

Como -sen 4 5 O para O 5 4 5 T , estevector normal apunta hacia adentro A desdelaesfera. Así, laparametrización 9 dada invierte la orientación. EJEMPLO 3 Sea S una superficie descrita por z = f ( z , y ) . Hay dosvectores normales unitarios a S en (zo, yo, f(z0,yo)), a saber, A n , donde

n=

Podemos orientar todas estas superficies* tomando el lado positivo de S como el lado desde el cual apunta n (figura 7.6.6). Así, el lado positivo de dicha superficie está determinado por la normal unitaria n con componente k positiva. Si parametrizamos esta superficie por * ( u , u) = ( u ,u , f ( u , u ) ) , entonces @ preservará A orientación. la Enunciaremos ahora, sin demostración, un teorema que muestra que la integral sobre una superficie orientada es independiente de la parametrización. La demostración deesteteorema es análoga a la del teorema 1 (sección 7.2); el *Si hubiéramos dado una definición rigurosa de orientación, podríamos usar este argumento para mostrar quetodas las superficies z = f ( z ,y ) son, de hecho, orientables; esto es,que tienen “dos lados”.

477

7.6 INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES VECTORIALES

z

f

I1 [

X

n

t

exterior

d

Figura 7.6.6 n apunta desde el exterior de l a superficie.

meollo de la demostración está en la fórmula de cambio de variables -esta aplicada a integrales dobles.

vez

Sea S ' u n a superficie orientada y sean y dos parametrizaciones suaves que preserven la orientación, con F un campo vectorial continuo definido en S . Entonces

TEOREMA 4

Si Q l preserva la orientación y

Q2

la invierte, entonces

Si f es una función continua con valores reales definida en S, y si parametrizaciones de S, entonces

Si f = 1, obtenemos

mostrando am' que el área es independiente de la pararnetrización.

Q1

y

Q2

son

478


Podemos entonces usar sin ambigüedad la notación

s,s, F . dF S- d= S

( o una suma de dichas integrales, si S es unión de superficies parametrizadas que se intersecan sólo a lo largo de sus curvas frontera) donde CP es una parametrización que preserva la orientación. El teorema 4 garantiza que el valor de la integral no depende de la selección de C P . Recordar de la fórmula (1) de la sección 7.2 que una integral de línea S ,, F ds se puede pensar como la integral de trayectoria de la componentetangencia1 de F a lo largo de u (aunque para el caso en que u se interseca a sí misma, l a integral obtenida no es, técnicamente, una integral de trayectoria.) Una situación similar se cumple en nuestrocontexto,paralasintegralesdesuperficie,pues hemos supuesto que las funciones @ que definen la superficie S son uno a uno excepto, quizás, en la frontera de Dl lo cual puede ser ignorado para propósitos de integración. Así, aldefinir integrales sobre superficies en este libro suponemos que las superficies no se intersecan. Para una superficie suave orientada S y una parametrización CP que preserva la orientación de S, podemos expresar S, F dS como integral de una función f con valores reales, sobre l a superficie. Sea n = (Tu X Tu)/llTuX Tul)la normal unitaria que apunta al exterior de S. Entonces F*(T, xTU)dudv

donde

f = F n. Así, hemos probado el siguiente teorema.

S, F - d S ,la integral de superficie deF sobre S, es igual a la integral de la componente normal de F sobre la superficie. En breve,

TEOREMA 5

L J , F dS =

F ndS.

Esta observación a menudopuedeahorrarmucho esfuerzo computacional, como lo demuestra el ejemplo 4. El significado geométrico y físico de l a integral de superficie se puede entender expresándola como un límite de sumas de Riemann. Por sencillez, supongamos que D es un rectángulo. Fijar una parametrización CP de S que preserve la orientación y partamos la región D en n' piezas Dij , O 5 i 5 n - 1, O 5 j 5 n - 1. Denotemos por A u la longitud del lado horizontal deDij y por Av la longitud del

7.6

INTEGRALES DE SUPERFICIE DE

FUNCIONES VECTORIALES

479

lado vertical de Ddj. Sean ( u ,u ) un punto en D;j y (x,y, z ) = @ ( u u, ) , el punto correspondiente en la superficie. Consideremos el paralelogramo con lados A u T, y Av T, que está enel plano tangentea S en (x,y , z ) y el paralelepípedo formado por F , Au Tu y Av T, . El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del triple producto F (AUT, X AUT,,) = F * (Tu X T,) A U Av.

El vector Tu X T, es normal a la superficie en ( x l y, z ) y apunta hacia afuera desde el exterior de la superficie.Así, el número F . (Tu x T,) es positivo cuando el paralelepípedo está en el exterior de la superficie (figura 7.6.7). Z

U

X

&./

Figura 7.6.7 F (T, x T,) > O cuando el paralelepípedo formado por Av F está en el “exterior” de l a superficie S .

Tu,A u T u y

En general, el paralelepípedo está en aquel lado de la superficie desde donde apunta F. Si pensamos F como el campo de velocidad de un fluido, F ( z , y , z ) apunta en ladirección en la cual el fluido se mueve a través de lasuperficie cerca de ( x , y , z ) . Más aún, el número

-

IF ( T u A u X T%,Av)l

mide la cantidad de fluido que pasa a través del paralelogramo tangente por unidad de tiempo. Como el signo de F . ( A u Tu X Av T,) es positivo si el vector F apunta hacia afuera en (x,y, z ) y negativo si F apunta hacia adentro, F (Tu X T u )Au Av es una medida aproximada de la cantidad neta de fluido que fluye hacia afuera a través de la superficie por unidad de tiempo. (Recordar que “afuera” o “adentro”dependede la parametrizaciónescogida. La figura 7.6.8 ilustra F dirigida hacia afuera y hacia adentro, dados Tu y T u . )Por lo tanto, la integral S, F dS es la cantidad neta de fluido que fluyea travds de la superficie por unidad de tiempo, esto es, la tasa de Aujo.Por lo tanto, esta integral también se llama Aujo de F a través de la superficie.

480


Figura 7.6.8 Cuando F (Tu X T,) > O (izquierda), F apunta hacia afuera; cuando F (Tu X T u )< O (derecha), F apunta hacia adentro.

-

En el casoenque F representa un campo magnético o eléctrico, S , F dS también se conoce como flujo. El lector quizá conozca las leyes físicas (como la de Faraday) que relaciona el flujo de un campo vectorial con la circulación (o corriente) en un lazo circundante. Esta es la base histórica y física del teorema de Stokes, que estudiaremos en la sección 8.2. El principio correspondiente en mecánica de fluidos se llama teorema de circulación de Kelvin. Las integrales de superficie tambiénse aplican al estudio de flujo de calor. Sea T ( x ,y, z ) la temperatura en un punto (x,y , z) E 1%‘ c R3, donde W es alguna región y T es una función C’. Entonces 8T 3T VT=-i+-j+-k dr

ay

3T a2

representa el gradiente de temperatura, el y calor “fluye” según el campo vectorial -kv?’= F , donde k es una corlst,ante positiva (ver la sección 8.5). Por lo tanto F d S es la tasa total de flujo de calor o flujo a través de la superficie S.

SS

Suponer que una funciórl de temperatura está dada por T ( x , y, z ) = x 2 + y2 z 2 y sea S la esfera unitaria x’ + y2 + zz = 1 orientada con la normal exterior (ver el ejemplo 2 ) . Hailar el flujo de calor a través de la superficie S si k = 1. EJEMPLO 4

+

SOLUCIÓN

Tenemos F = -V?‘(z, y , 2 ) = -2xi - 2 y j - 2 z k .

+

En S , n ( x , y, z) = zi + y j zk es la normal “exterior” unitaria a S en (x,y , z ) y f ( x , y , z ) = F n = -22’ - 2y2 - 2 z 2 = -2 es la componente normal de F . En el teorema 5 podemos ver que la integral superficie de F es igual a la integral de su componente normal f = F n sobre S. Así, S , F d S = S, f dS =

-

7.6


481

SS

-2 dS = -2A(S) = - 2 ( 4 ~ ) = - 8 ~ .El flujo de calor se dirige hacia el centro de la esfera (¿por qué hacia el centro?). Claramente, nuestra observación de que J s F - d S = J , f d S nos ha ahorrado considerable tiempo de computación. En este ejemplo, F(r, y, z ) = -2xi - 2yj - 2zk podría también representar un campo eléctrico, en cuyo caso S , F dS = - 8 ~sería el flujo eléctrico a través A de S.

Hay una importante ley física, debida al gran matemático y físico

EJEMPLO 5

K . F. Gauss, que relaciona el flujo de un campo eléctrico E sobre una superficie “cerrada” S (por ejemplo, una esfera o un elipsoide) con la carga neta Q encerrada por la superficie, a saber,

(ver la figura 7.6.9). La ley de Gauss se estudiará en detalle en el capítulo 8. Esta ley es análoga a la ley de Arnpkre (ver el ejemplo 12, sección 7.2).

Figura 7.6.9 Ley de Gauss:

1,E

dS = Q, donde Q es l a carga neta dentro de S.

Suponer que E = En; esto es, E es múltiplo escalar constante de la normal unitaria a S . Entonces la ley de Gauss, la ecuación (1) anterior, se vuelve

-

pues E = E n. Así, E n el caso de que S sea la esfera de radio R , la ecuación (2) sea convierte en

Q E= 4~ R2 (ver la figura 7.6.10).

482


Figura 7.6.10 Campo

E debido

a una carga puntual Q es

E = Qn/4xR2.

Supongamos ahora que E surge de una carga puntual aislada Q. Por simetría, se sigue que E = En, donde n es la normal unitaria a cualquier esfera con centro en Q. Por lo tanto se cumple la ecuación ( 3 ) . Considerar una segunda carga puntual QOsituada a una distancia R de Q. La fuerza F que actúa sobre esta segunda carga Q o está dada por QQo F = EQQ= EQon = 4xR2 n'

Si F es la magnitud de F, tenernos

que es la conocidaley de Cor~lornbpara la fuerzaentredoscargaspuntuaA les.* Deduzcamos las fórmulas de integrales de superficie para gráficas de funciones. Considerarlasuperficie S descrita por z = f ( z , y ) , ( z , y ) E D , donde S está orientada de modo que

af. - -af j

"

n=

ay

+k

apunta hacia afuera. Hemos visto que podemos parametrizar S por a:D -+R3 d a d a por @(x, y) = ( x , y, f ( x , y)). En este caso, S , F clS se puede describir de *A veces venlos la fórmula F = ( 1 / ~ l ~ c o ) Q Q 0 / RLa 2 . constante adicional co aparece cuando se usan unidades MKS para medir la carga. Nosotros usamos unidades CGS, o gaussianas.

7.6

403


manera particularmente simple. Tenemos T , = i + - kaf ,

ax

+

Así, T, x T, = -(af/az)i - ( a f / a y ) j k. Si F = Fli vectorial continuo, obtenemos l a fórmula

+ Fd + F3k es un campo

L F - d S = k F . ( T , x T,)dedy

=

S, [.(-2) (+) +F2

+ a ] dxdy.

Las ecuaciones

EJEMPLO 6

describen un disco de radio 5 que está en el plano z = 12. Supongamos que r es el campo vectorial r ( x , y, z ) = xi + yj + zk. Calcular

SSIr

dS.

Lo haremos de tres maneras. Primero, tenemos d z / & = dz/dy = O, pues z = 12 es constante en el disco, de modo que SOLUCIÓN

r ( e ,y, 2 ) .

(T,x TY)= r(x, y, z) (i x j) = r ( x , y, z ) k = z

y entonces, usando la definición original al principio de se convierte en r dS =

S,

z de dy =

esta sección, l a integaal

12 d x d y = l2(área de

D)= 3 0 0 ~ .

Una segunda solución: como el disco es paralelo al plano zy, la normal unitaria exterior es k. Entonces n(z,y, z ) = k y r n = z. Sin embargo, JIT, X T,II = [ (k((= 1, y como ya sabemos del análisis anterior al teorema 5, página 478, que

Tercero, podemos resolveresteproblemausando con f(x, y) = 12 y D el disco z2 y2 5 25:

-

r dS L ( x .O + y . O

+

directamente la fórmula (4),

+ 12) dx d y = 12(área de D ) = 3 0 0 ~ .

A

484


EJERCICIOS

+

Sea la temperatura de un punto en R3 dada por T ( L y, , z ) = 3x2 32’. Calcular el flujo de calor a través de la superficie z 2 + z2 = 2 , O 5 y 5 2 , si k = 1. 2. Calcular el flujo de calor a través de la esfera unitaria ejemplo 4). LPueden interpretar físicamente su respuesta?

S si T ( z ,y, z ) =

z (ver el

+ +

3. Sea S la superficie cerrada formada por el hemisferio z’ y’ z’ = 1 , z 2 O y su base z2+y2 5 1 z = O. Sea E el campo eléctrico definido porE(z, y, z) = 2 z i + 2 y j + 2 z k . Hallar el flujo eléctrico a través de S. (IDEA:Romper S en dos partes SI y S’ y evaluar E dS y E dS por separado.)

,S,

S

S2

4. Sea el campo de velocidad de u n fluido descrito por F = f i j (medido en metros por segundo). Calcular cuántos metros cúbicos de fluido por segundo están cruzando la superficie z2 z’ = y, O 5 y 5 1, en la dirección en que y crece.

+

5. Evaluar ss(V x F) d S , donde S es l a superficie x 2 + y’ + 32’ = 1, F = y i - z j + z x 3 y Z k . (Hacer que n , la normal unitaria, apunte hacia arriba.)

+

+

+

t

5

O y

+

Evaluar S,(V x F) dS, donde F = (x’ y - 4)i 3 z y j ( 2 2 2 z 2 ) k y S es la y’ 2’ = 16, z 2 O. (Hacer que n , la normal unitaria, apunte hacia superficie 2’ arriba.)

+ +

7. Calcular la integral z 2 O y F = (x 3y5)i apunte hacia arriba.)

+

SSF - d S , donde S es la superficie de semibola z2+y2+z2 la

+ ( y + 1Ozz)j + ( z - zy)k. (Hacer que

n , la normal unitaria,

8 Están construyendo un restaurante en la ladera de una montaña. O arquitecto se muestran en la figura 7.6.11.

restaurante

y’

+ Y’

Los planos del

X*

-

R)’

=

RZ

Y

vista lateral

X

vista superior

Figura 7.6.1 1 Planos del restaurante.

+(Y

=

Y

X

5 1,

7.6


485

(a) La pared vertical curvada del restaurante será hecha de vidrio. ¿Cuál será el área de superficie de esta pared? ( b ) El ingeniero consultor informa al planificador que para ser costeable, el volumen del interior debe exceder rR4/Z. ¿Para qué R satisface este requerimiento la estructura propuesta? (c) Durante un típico día de verano los alrededores del restaurante están sujetos a un campo de temperatura dado por

T ( z ,y, z ) = 3z2

+ (y - R ) 2 + 162’

Una densidad de flujo de calor V = -kVT ( k es una constante que depende del grado de aislamiento a usarse) a través de todos los lados del restaurante (incluyendoel techo y el contacto conla montaña) produce unflujo de calor. ¿Cuáles el flujo total de calor? (La respuesta dependerá de R y k.) 9. Hallar el flujo de + ( z , y ,

z ) = 3xy2i

+ 3 x 2 y j + z3k afuera de la esfera unitaria.

10. Evaluarlaintegraldesuperficie JlsF.ndAdonde

y

as es la superficie del cilindro

z2

F(z,y,z) = i+j+z(z2+yZ)2k

+ y2 5 1 , O 5 z 5 1.

Sea S la superficie de l a esfera unitaria. Sean F un campo vectorial y F, su componente radial. Probar que

l.,lz0 2n

F . dS =

x

Fr sen d d 4 do

¿Cuál es la fórmula correspondiente para funciones f con valores reales? valor medio para integrales de superficie: si F es un campo vectorial continuo, entonces

*12. Probar el teorema del

-

F n dS = P ( Q ) n(Q)14s) para algún punto Q E S , donde A ( S ) es el área de S. [IDEA:Probarlo primero para funciones reales, reduciendo el problema a una integral doble: mostrar que si g 2 O, entonces lfgdA=f(Q)lgdA

para algún Q E D (hacerlo considerando valor intermedio).]

(S,

fg d A ) / ( [ , g dA) y usando el teorema del

13. Obtener una fórmula como la del ejercicio 11 para la integración sobrela superficie de un cilindro.

Sea S una superficie en R3 que sea en realidad un subconjunto D del plano a y . Mostrar que la integral de una función escalar f (x,y, z ) sobre S se reduce a la integral doble de f (z, y, z ) sobre D . ¿En qué se convierte l a integral de superficie de un campo vectorial sobre S? (Asegurarse de que la respuesta sea compatible con el ejemplo 6.)

486


+ +

15. Sea el campo de velocidad de un fluido, descrito por F = i zj zk (medido en metros por segundo). Calcular cuántos metros cúbicos de fluido por segundo cruzan la superficie descrita por z2 y’ z2 = 1, z 2 O.

+ +

1161 (a) Un fluido uniforme que

fluye verticalmente hacia abajo (lluvia fuerte) se describe por el campo vectorial F(z, y , , z) = ( O , O, -1). Hallar el flujo t,otal a través del cono z = ( x 2 y2)”’, z2 y’ 5 1. (b) Debido al fuerte viento, la lluvia cae de lado, de manera que forma un ángulo de 4 5 O , y se describe por F(z, y, z ) = - ( 4 / 2 , O , 4 / 2 ) . ¿Cuál es ahora el flujo a través del cono?

+

17. P a r a a

+

> O, b > O y c > O,

con la orientación determinada

sea S la mitad superior del elipsoide

por la normal hacia arriba. Calcular

F ( z ,Y, z ) = ( x 3 , O , O).

+ +

SSF

dS donde

18. Si S es el hemisferio superior { ( z , y, z)1z2 y2 zZ = 1,z 2 O} orientado por la normal que apunta hacia afuera de la esfera, calcular F dS para las partes (a) y (b). (a) F ( z , y, z ) = zi y j (b) F ( z , y, z ) = yi z j (c) Para cada uno de los campos vectoriales anteriores, calcular Ss(V X F) dS y F dS donde C es el círculo unitario en el plano z y recorrido en dirección contraria a la que giran las manecillas del reloj (según se ve desde el eje z positivo). (Nótese que C es la frontera de S. El fenómeno ilustrado aquí se estudiará con más detalle en el capítulo siguiente, usando el teorema de Stokes.)

+ +

SS

S,

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 7 1. Integrar f ( z , y, z ) = z y z a lo largo de las trayectorias siguientes: (a) ~ ( t =) ( e t c o s t , e t s e n t , 3 ) , O 5 t 5 2 x

u(t)= (cost, sent,t ) ,O 5 t 5 2x (c) a ( t ) = $t2i 2 t 2 j tk, O 5 2 5 1 ( d ) a ( t ) = ti (1/fi)t2j i t 3 k , 0 5 t 5 1

+

+

+

+

2. Calcular l a integral de f a lo largo de la trayectoria a en cada uno de los casos siguientes: (a) f ( z , y , z) = z y yz; a ( t ) = (sen t , cos t , t)O 5 t 5 2a kb,l f ( z , y, z ) = z cos2z; a ( t )= (sent, c o s t , t ) ,O 5 t 5 2 x (c) f ( z , y, 2 ) = 2 y z; o ( t ) = ( t ,t 2 , 3 3 ) , o 5 t 5 1

+ + + + +

3. Calcular cada una de las integrales de línea siguientes

S,(sen x z ) dy - (cos xy) dz, donde C es el triángulo cuyos vértices son (1,O , O), (O, 1 , O ) y ( O , O , I ) , en ese orden ( b ) S,(sen z ) d z (cos z ) dy - ( ~ y ) ”dz, ~ donde C es la trayectoria parametrizada por o(O)= (cos3 O, sen3 O, O), O 5 O 5 7 a / 2

+

SO

DE EJERCICIOS

487

7

4. Si F(x) es ortogonal a ~ ‘ ( t en ) cada punto de a l curva x = a ( t ) ,;.qui. se puede decir acerca de j”,F ds?

+

Hallar el trabajo realizado por la fuerza F ( x , y) = (x’ - y 2 ) i 2 Z y j al mover una partícula en sentido contrario al que giran las ma.necillas dcl reloj, alrededor del cuadrado con esquinas en ( O ,O ) , ( a ,O ) , ( a ,u ) y (O, a ) , a > O. 6. Unanillocon l a forma de la curva z 2 + y 2 = a’ está formado por u n alambre delgado que pesa jzj [ y [ gramos por unidad de longitud en (z,Y). Hallar l a masa del anillo.

+

7. Hallar una parametrización para cada una de las superficies sig~~ientes; ( a ) x 2 y2 z2 - 4 2 - 6y = 1 2 2 x 2 y’ z2 - 8 2 = 1 (c) 4x2 9y2 - 2s’ = 8

kb,l

+ + + + +

8. Hallar el área de la superficie definida por x

O

= /¿(u, u) = u

5 u 2 1, O 5 u 5 9.

+ v,

7)) I”+

y = y ( u , u) = u..

2

(x,y, z ) donde = f(u,

Escribir una fórmula para el área de superficie de * : ( . , O )

5r5

1, O

7j)

= ‘u;

1. Esbozar.

x = r cos 0,

O

+:(u,,

5 0 5 27r. Esbozar

y = 2r sen O,

+- (.,y.

t) donde

z = T;

Suponer que z = f ( z , y) y que (af/az)2+(af/ay)2 = c , c > O. Mostrar que el área multiplicado de l a gráfica de f que está sobre una región D en el plano z y es por el área de D.

m

11. Calcular la integral de f i x , y , z) = 2’ repaso 8.

S’

+ y’ + z’

sobre la superficie del ejercicio de

12. Hallar f dS en cada uno de los casos siguientes: (a) f(z,y, z ) = z; S es l a parte del plano z y z>O,y~O,z>O

+ +z

= 1 en el octante positivo

kb,l

f ( z , y, z) = z2; S es la parte del plano z = z dentro del cilindro z 2 + y2 = 1 (c) f(x, y, z) = x ; S es l a parte del cilindro z’ + y’ = 23: con 0 2 2 5

14. Calcular la integral de z

d

+ y sobre la superficie de la esfera unitaria.

Calcularlaintegraldesuperficiede

( T I , 1) Y (2, o, 3 ) .

m

x sobre el triángulo con vértices ( 1 , 1 , I ) ,

488


16. ITn paraboloide de revolucidn

S está parametrizado por +(u, 71) = ( u cos u , usen u , 2. O 5 u 5 2 K . ( a ) Hallar una ecuación en I , y y z que describa la superficie. ( b ) j,Cuál es el significado geométrico de los parámetros u y u‘? (c) Hallar un vector unitario ortogonal a la superficie en +(u,u ) . (d) Hallar la ecuación para el plano tangente en +(uo, (10) = ( 1 , 1 , 2 ) y expresar la respuesta de las dos maneras siguientes: (i) parametrizada por 71 y 1 1 ; y (ii) en términos de T , y y z . ( e ) Hallar el área de S. u.”, O

5 21 5

17. Sea f ( z , y , z ) = z e y c o s ~ z . ( a ) Calcular F = V f . (h) Evaluar F d s donde c ( t )= (3 cos4 1,5 sen‘

S, .

+ zk. Evaluar S, + + z 2 = 1.

18. Sea F(T.y, 2 ) = zi + yj de la csfera unitaria z 2 y2

.(a).

20. Sea

c(b) =

F = V f para

S, F

T.

F * dS donde S es el hemisferio superior

una función escalar dada. Sea

Mostrar que

15

t ,O), O

ds = O.

c ( t ) una curva cerrada, esto es,

21. Considerar la superficie +(u,u ) = (u2cos v,u’ sen u , u).Calcular l a normal unitaria en u = 1, ti = O. Calcular la ecuación del plano tangente en este punto.

+

22. Sea S la parte del cono z2 = x* y2 con z entre 1 y 2 orientada por l a normal F dS donde F ( z , y, z ) = ( x 2 ,y’, 2’). apuntando hacia afuera del cono. Calcular

S,

23. Sea F = r i + z 2 j + y z k que representa el campo de velocidad de un fluido (velocidad medida en metros por segundo). Calcular cuántos metros cilbicos de fluido por segundo cruzan el plano ~y a través del cuadrado O 5 5 1 , O 5 y 5 1.

+ +

Mostrar q u e el área de superficie de la parte de la esfera x 2 y* z2 = 1 que está arriba del rectángulo [-a, u ] X [-a, u ] , donde 2a2 < 1, en el plano z y es

25. Scan

S una superficie y C una curva cerrada, frontera de l(VxF)-dS=

L

S.

Verificar la igualdad

F-dS

si F es un campo gradientr (usar el ejcrcicio de repaso 20). 26. Calcular SsF dS, donde F(z. y, z ) = ( z , y , -y) y S eslasuperficiecilíndrica y’ = 1 , O 5 z 5 1, con normal apuntando hacia afuera del cilindro. definida por I’

+

CAPíTULO EJERCICIOS DEL DE REPASO

7

489

27. Sea S la parte del cilindro x 2 + y 2= 4 entre los planos z = O y z = x lo siguiente: (a) Jsz2dS (b) JsY2dS JsZ2dS

+

+ 3. Calcular

r la curva de intersección del plano z = a x by con el cilindro 2’ Hallar todos los valores de los números reales a y b tales que a’ b2 = 1 y 28. Sea

+

+ y’

= 1.

~ydx+(z-l)dy-ydz=O. 29. Una hélice circular que está sobre el cilindro x’ puede describir paramétricamente mediante

x = RcosO,

y = Rsen0,

z

+ y’

=PO,

= R 2 , con pendiente p , se

0 2 O.

Una partícula se desliza bajo la acción de la gravedad (que actúa paralelament,e al eje z), sin fricción, a lo largo de la hélice. Si la partícula empieza a la altura 20 > O , entonces, cuando alcanza la altura z, O 5 z 5 z o , a lo largo de la hélice, su rapidez está d a d a por donde S es la longitud de arco a lo largo de la hélice, g es la constante de gravedad y t es tiempo. (a) Hallar la longitud de la parte de la hélice entre los planos z = zo y z = 2 1 ,

o 5 2 1 < 20.

(b) Calcular el tiempo TOque tarda la partícula en alcanzar el plano z = O.

8

TEOREMAS INTEGRALES DEL ANÁLISIS VECTORIAL

Toda la teoría delmovimientodefluidos

se ha reducido a l a

solución de fórmulas analíticas.

L. EULER

Ahora estamos preparados para vincular el cálculo diferencial vectorial (ver capítulo 3 ) y el cálculo integral vectorial (ver capítulo 7). Esto se hará mediante los importantes teoremas de Green, Gauss y Stokes. También señalaremos algunas aplicaciones físicas de estos teoremas al estudio de electricidady magnetismo, hidrodinámica, conducción de calor y ecuaciones diferenciales (lo último mediante una breve introducción a la teoría del potencial).


Muchos de estos teoremas básicos tuvieron su origen en la física.Por ejemplo, el teorema de Green, descubierto alrededor de 1828, surgió en relación con l a teoría del potencial (ést.a incluye potenciales eléctricos y gravitacionales). E1 teorema de Gauss “teorema de la divergencia- surgió en relación con la electroestática (en realidad debería darse crédito conjunto por este teorema al matemático ruso Ostrogradsky). El teorema de Stokes fue sugerido por primera vez en una carta a Stokes del físico Lord Kelvin en 1850 y fue usado por Stokes en el examen para el premio Smith en 1854.

8.1 TEOREMA DE GREEN

El teoremadeGreenrelacionaunaintegraldelínea a lo largo de una curva C. cerrada C en el plano R2,con una integral doble sobre la región encerrada por

EN

8.1

TEOREMA DE

491

Este importante resultado será generalizado en las siguientes secciones, a curvas y superficies en R2.Nos referiremos a integrales de línea alrededor de curvas que son fronteras de regiones elementales del tipo 1, 2 o 3 (ver la sección 5.3). Para entender las ideas de esta sección, quizá-sea necesario referirse a la sección 7.2. Una curva cerrada simple C que es la frontera de una regióndel tipo 1, 2 o 3 tiene dos orientaciones -en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj (positiva) y en el sentido en que giran las manecillas del reloj (negativa)-. Denotamos C con la orientación en sentido-contrario al que giran las manecillas del reloj por C+,y con la orientación en el sentido en que giran las manecillas del reloj por C - (figura 8.1.1).

orientación positiva

orientación negativa

(4

(b)

Figura 8.1.1 (a) Orientación positiva de

C y (b) orientación negativa de C.

La frontera C de una región del tipo 1 se puede descomponer en partes superior e inferior, C1 y C,, y (si es posible) partes verticales izquierda y derecha, B1 y B2. Entonces escribimos, siguiendo la figura 8.1.2,

G+=c$+B:+c,-+B;, donde los signos de suma denotan las curvas orientadas en la dirección izquierda a derecha o de abajo hacia arriba, y los signos de resta denotan las curvas orientadas de derecha a izquierda o de arriba hacia abajo.

U

h

U

A

h

- x

Figura 8.1.2 Dos ejemplos que muestran cómo romper l a frontera orientada de manera positiva de una región D del tipo 1 en componentes orientadas.

492

TEOREMASINTEGRALES DEL ANALISISVECTORIAL

Figura 8.1.3 Ejemplo que muestra cómo romper la frontera orientada de manera positiva de una región D del tipo 2 en componentes orientadas.

Podemoshacer descomposicionessimilaresde lafrontera de una regiónde tipo 2 en partes izquierda y derecha, y partes horizontal superior e inferior (si es posible) (figura 8.13). De manera análoga, la frontera de una regióndel tipo 3 tiene dos descomposiciones " u n a en mitades superior e inferior, la otra en mitades izquierda y derecha. Probaremos ahora dos lemas como preparación para el teorema de Green. LEMA 1 Sea D una región del tipo 1 y sea C s u frontera. Suponer que es de clase C'. Entonces S,+

Pdx = -

x 3P

(El lado izquierdo denota la integralde línea +S, y R = O.) DEMOSTRACI~N Suponerque a

I

X

P:D

"+

R

dx dy.

P d x + Q dy+ R d z donde Q

0

D está descrita por 1. b

4 1 ( z )5

Y 1. d z ( z ) .

+

Descomponemos C+ escribiendo C+ = C: + Bzf +Cy B; (ver la figura 8.1.2). Por el teorema de Fubini podemos evaluar la integral doble como una integral iterada y después usar el teorema fundamental de cálculo:

8.1 TEOREMA DE GREEN

493

Sin embargo, como C t se puede parametrizar por x C$ se puede parametrizar por x H (x,42(z)), a 5 2

H

( ~ , q 5 ~ ( xa) )5, x

5 b, tenemos

5 b, y

Así, al invertir orientaciones,

-

1

P ( x , $ z ( z ) ) dx =

J,;

P ( x , y ) dx.

Por lo tanto ~ ~ d x d y = - ~ t P d x P-d x~. L

Como x es constante en BZ+y B; , tenemos Pdx =O =

L;

Pdx,

de modo que

Así,

Probaremos ahora el lema análogo intercambiando los papeles de x y y. LEMA 2 Sea

c1

D una región del tipo 2 con frontera C . Entonces, si Q: D

--f

R es

I

El signo negativo no se presenta aquí, pues invertir el papel de x y y corresponde a un cambio de orientación para el plano. DEMOSTRACI~N Suponer

que

D está dada por

$l(Y) I x

I $Z(Y)?

c

5 Y I d.

494

TEOREMAS INTEGFIALES DEL ANALISIS VECTORIAL

Usando la notaciGn de la figura 8.1.3, tenemos

donde C: es l a curva parametrizada por y H (&(yjIyj1 c 5 y 5 d l y Cf es la curva y k (&(y), y), c 5 y 5 d. Aplicando el teorema de Fubini y el teorema fundamental del cálculo: obtenemos

TEOREMA 1 : TEOREMA DE GREEN

Suponer que P : D

"+

R y Q :D

Sea D una región del tipo 3 y sea R son de clase C1. Entonces

c su frontera.

"+

L a orientación correcta (positiva) para las curvas frontera de una región D se puede recordar mediante este recurso: si caminan a lo largo de la curva C con l a orientación correcta, la región D estará a s u izquierda (ver la figura 8.1.4).

Figura 8.1.4

Orientación correcta para

la

frontera de una región D.

El teorema de Green se aplica en realidad a cualquier región "decente" en R2. En el ejercicio 8 indicamos una generalización del teorema de Green para regiones que no son del tipo 3 , pero que se pueden descomponer en partes, cada una del

8.1

495

TEOREMA DE GREEN

Figura 8.1.5 El teorema de Green se aplica a D = D I U D2 U D3

u Dq.

tipo 3. Se muestra un ejemplo en la figura 8.1.5. La región D es un anillo; su frontera está formadapor dos curvas C = C1 +C2 con las orientaciones indicadas. (Notar que para la región interior la orientación correcta es en el sentido erl que giran las manecillas delreloj: iel recurso de la figura 8.1.4 aún sirve para recordar la orientación!) Si se aplica el teorema 1 a cada una de las regiones D l , D2, 0 3 y 0 4 y se suman los resultados, se obtendrá la igualdad del teorema de Green para D y su curva frontera C. Usemos la notación d D para la curva orientada. C+,esto es, la curva frontera de D orientada en el sentido correcto, según se describió en el recursode la figura 8.1.4. Entonces podemos escribir el teorema de Green como

El teorema de Green es muy útil, pues relaciona una integral de línea alrededor de la frontera de una región, con una integral de área sobre el interior de la región, y en muchos casos es más fácil evaluar la integral de línea que la integral de área. Por ejemplo, si sabemos que P se anula en la frontera, podemos concluirde manera inmediata que !,(dP/dy) d x dy = O aunque d P / d y no necesariamente se anule en el interior. (¿Pueden construir dicha P en el cuadrado unitario?) Verificar el teoremade Green para P ( x , y ) donde D es el disco unitario x 2 + y' 5 1.

EJEMPLO 1

=' z

y &(.,y)

= .cy

SOLUCIÓN Lo hacemosevaluandodirectamente ambos ladosen el teorema de Green. L a fronterade D es el círculo unitarioparametrizado por 2 cos t ,

496

TEOREMASINTEGRALES

y = sen t , O

5t

DEL ANÁLISISVECTORIAL

27r, de modo que 2n

cos2 t

( 2 g)

Por otro lado,

dzdy =

-

1

ydxdy.

lo cual es cero por simetría. Así, se verifica el teorema de Green en este caso. A Podernos usar el teorema de Green para obtener una fórmula para el área de una región acotada por una curva cerrada simple (ver también el ejercicio 20).

c

si esunacurva cerrada simplequeacotaunaregiónparala cual se aplica el teorema de Green, entonces el área de la región D acotada por C=dDes

TEOREMA 2

A= DEMOSTRACIóN

Green tenemos

31

lD

xdy - ydx.

Sean P ( x , y) = -y y Q ( z ,y) = x ; entonces, por el teorema de

=il[1+1]dxdy= EJEMPLO 2

por x2I3

L

Calcular el área de la región encerrada por l a hipocicloide definida

+ y213 = a2I3, usando la parametrización x = a cos3 8,

(ver la figura 8.1.6). SOLUCIÓN

A=

dxdy=A.

;l,xdy-ydx

y

= a sen3 8,

O

585

2a

8.1

497

TEOREMA DE GREEN

Figura 8.1.6 L a hipocicloide x = a cos3 O, y = a sen3 0, O

5052 ~ .

La forma del enunciado del teorema de Green contenido en el teorema 1 no es laquegeneralizaremos en las seccionessiguientes.Podemosreescribir con elegancia el teorema, en lenguaje de campos vectoriales. Sea D C R2 una región de tipo 3 y sea d D s u frontera (orientada en sen tido contrario al que giran las manecillas del reloj). Sea F = Pi Qj un campo vectorial C1 en D . Entonces

TEOREMA 3: FORMA VECTORIAL DEL TEOREMA DE GREEN

+

8D

F . d s = S (Dr o t F ) . k d A = S D ( V x F ) . k d A

(ver figura 8.1.7). Este resultado sesiguefácilmentedelteorema 1 despuésde interpretar los diferentes símbolos. Pedimos al lector proporcionar los detalles en el ejercicio 14.

+

EJEMPLO 3 Sea F = (xy’, y x). Integrar (V x F) k sobrelaregión primer cuadrante acotado por l a s curvas y = x’ y y = x. SOLUCIÓN

Método I . Aquí calculamos

V

X

( 2 2)

F = O , O , - - - = (1 - 22y)k.

enel

498

TEOREMASINTEGRALESDEL

ANALISIS

VECTORIAL

Figura 8.1.7 Forma vectorial del teorema de Green.

Así, (V x F) k = 1 - 22y. Esto se puede integrar sobre la región dada D (ver la figura 8.1.8) usando una integral iterada como sigue:

Método 2. Aquí usamos el teorema 3

//(V

para

obtener

-

x F) k d z dy =

D

L a integral de línea de F a lo largo de la curva y = z de izquierda a derecha es

A lo largo de l a curva y = x 2 obtenemos z5dz

+ (z + z2)(2z dx) = 1. + + ' = ' 6

3

2

3

499

TEOREMADEGREEN

8.1

Figura 8.1.8 Región acotada por las curvas y = z2 y y = z.

Así, recordando que la integral a lo largo de y = 2 se va a tomar de derecha a izquierda, como en la figura 8.1.8,

Hay todavía otra forma del teorema de Green que puede generalizarse a

R3.

Sea D C R2 una región del tipo 3 y sea a D su frontera. Denotemos por 11 la normal unitaria exterior a dD. Si (T:[a,b] + R2,t H a ( t ) = ( ~ ( t y(t)) ), es una parametrización orientada de manera positiva de d D , n está dado por

TEOREMA4: TEOREMADE LA DIVERGENCIAENELPLANO

n= (ver la figura 8.1.9). Sea F = Pi

(y’($

J[.’(t)I’

-x’(t))

+ W(t)I2 ’

+ Qj un campo vectorial C1 en D . Entonces

DEMOSTRACI~N Como d ( t ) = ( ~ ’ ( t )y’(t)) , es tangente a d D , resulta claro que n u’= O, de modo que n es normal a la frontera. El signo de n se escoge para Por la hacer que corresponda a la dirección exterior (en lugar de la interior).

-

.o

TEOREMAS INTEGRALES DEL ANALISIS VECTORIAL

Figura 8.1.9 n es la normal unit,aria exterior a í3D.

definición de integral de trayectoria (ver la sección 7.2),

=

lD (E+%) P dy - Q d z .

Por el teorema de Green, esto es igual a drdy=LdirFdA.

+

Sea F = y3i x5j. Calcular la integral de de F alrededor del cuadrado unitario.

EJEMPLO 4

Esto se puede hacer usando

SOLUCIÓN

la componente normal

el t,eorema de la divergencia. En efecto,

JdDf-nda=ldivFdA.

Pero div F = O , de modo quelaintegral

es cero.

A

EJERCICIOS

S,

1 . Evaluar y d z - z dy donde C es la fronteradel cuadrado[-l,l]x[-l, 11 orientado en dirección contraria a la que giran las manecillas del reloj (usar el teorema de Green). 2 Hallar el área del disco D de radio U

R usando el teorema de Green.

8.1

TEOREMA DE GREEN

501

3. Verificarel teorema de Green para funciones: (a) P ( x , Y) = “ y 2 , Q ( x , Y) = --Y“’ kb,l P ( x , Y) = 2: Y, Q ( z , Y) = Y (c) p ( z ,Y) = Z Y = Q ( z ,Y) ( d ) P ( z , Y) = 2 y , Q ( x , Y) = x

el disco D con centro (O, O) y radio R y las

+

,S,

4. Usando el teorema de la divergencia, mostrar que F.nds = O , donde F ( x , y) = y i - zj y D es el disco unitario. Verificar esto directamente.

a

Hallar el área acotada por un arco de la cicloide I = a(O -sen O), y = a(1 - cos O), O 5 O 5 2a y el eje x (usar el teorema de Green).

> O, 6.

Bajo las condiciones del teorema de Green, probar que

+

+

7. Evaluar s c ( 2 x 3 - y 3 ) dx (z3 y3) dy, donde C es el círculo unitario, y verificar el teorema de Green para este caso.

Probar la siguiente generalización del teorema de Green: Sea D una región en el plano z y cuya frontera consta de un número finito de curvas cerradas simples orientadas. Suponer que por medio de un número finito de segmentos paralelos a los ejes coordenados, D puede descomponerse en un número finito de regiones D , de tipo 3 con la frontera de cada D, orientada en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj (ver la figura 8.1.5). Entonces, si P y Q son de clase C1 en D ,

donde a D es la frontera orientada de

D . (IDEA: Aplicar el teorema de Green a cada

Di.) 9. Verificarel teorema de Green para el integrando del ejercicio Q = z3 + y3) yla región anular D descritapor a 5 x 2 y’ orientadas como en la figura 8.1.5.

+

10. Sea D una región para la cual se cumple armónica: esto es,

-ax2 + - = o ay2

a2f a2f

en D. Probar que

7

( P = 2x3 - y3,

5 b,

confronteras

el teorema de Green. Suponer que

f es

502

TEOREMAS INTEGRALES DEL ANALISISVECTORIAL

+ yj y

(a) Verificar el teorema d e la divergencia para F = zi

22

+ y2 5 1.

( b ) Evaluar la integral de la componente normal de elipse x‘/a’ y2/b2 = 1.

D el disco unitario

2zyi - y 2 j alrededor de la

+

+

12. Sea P ( z , y) = - y / ( z 2 + y 2 ) . Q(z, y) = %/(x2 y2). Suponiendo que D sea el disco unitario, investigar por qué falla el teorema de Green para esta P y Q. 13. Usar el teorema de Green para evaluar Jc+(y2 + z”) d z + x 4 dy, donde C+ es el perímetro de [O, I] x [O, 11 en dirección contraria a la que giran las manecillas del reloj.

14. Verificar el teorema 3 Usar el teorema 2 para calcnlar el área dentro de la elipse z ’ / u 2 Usar el t.eorema 2 pararecobrarlafórmula coordenadas polares.

A =

S,

6

T’

+ y2/b2 = 1.

dB paraunaregiónen

17. Esbozar la demostración del teorema de Green para laregión mostrada en la figura 8.1.10.

Figura 8.1.lo Probar el teorema de Green para esta región

18. Probar la identidad

lD

d Vd

T

nds = L(dV’4

+ Vd

Vd)dA.

Usar el teorema de Green para hallar el área de un lazo de l a rosa de cuatro hojas = 3 sen 26. (IDEA: z dy - y d z = r2 dB.)

20. Mostrar que si C es una curva cerrada simple que acota una región en la cual aplica el teorema de Green, entonces el área de la región D acotada por C es

/ l = ~ D x d y = - ~ D y d x .

Mostrar cómo esto implica el teorema 2.

se

8.1

TEOREMA DE GREEN

503

Los ejercicios 21 al 29 ilustran la aplicación del teorema de Green a ecuaciones diferenciales parciales. Se ocupan de manera particular de las soluciones a la ecuación d e Laplace, esto es, defuncionesarmónicas. (Ver la sección 8.5 para resultados adicionales). Para estos ejercicios, sea D unaregión abierta en R2, con frontera d D . Sea u : D U Ó’D -+ R una función continua de clase C 2 en D . Suponer que p E D y que los discos cerrados B, = B,(p) de radio p con centro en p están contenidos en D p a r a O < p 5 R . Definir I(p) p o r

*21. Mostrar que límite I(p) = 2 x u ( p ) . 0-0

*22. Denotemos por

*23. Mostrar que

-

aB, y d u / d n = V u n. Mostrar

n la normal unitaria exterior a

I’(p)=

P

V 2 u dA.

*24. Suponer que u satisface la ecuación de Laplace:

anteriores para mostrar que

u(p) =

LB,

1 -

2xR

V 2 u = O en D . Usar los ejercicios

uds.

(Esto expresa el hecho de que elvalor de una función armónica en un punto es promedio de sus valores en la circunferencia de cualquier diSco con centro en él.)

el

24 para mostrar que si u es armónica (i.e., si V 2 u = O), entonces u ( p ) se puede expresar como una integral de área

*25. Usar el ejercicio

BR

u es una función armónica definida en D (i.e., V 2 u = O en D ) y que u tiene una máximo (o mínimo) local en un punto p en D. I(.)I Mostrar que u debe ser constante en algún disco con centro en p. (IDEA:Usar los resultados del ejercicio 2 5 ) . (b) Suponer que D es arco-conexa (i.e., para cualesquiera dos puntos p y q en D , existe una trayectoria continua U : [O, I] + D tal que a ( 0 ) = p y ’ a ( 1 ) = q ) , y que el máximo o minimo en p es absoluto; así, u ( q ) 5 ~ ( po)u(q) 2 u(p) para todo q en D. Mostrar que u debe ser constante en D .

*26. Suponer que

(El resultado en este ejerciciose llama principio fuerte del máximoo mínimo para funciones armónicas. Comparar esto con los ejercicio 34 al 38 de la sección 4 . 2 . )

504


ANALISIS

VECTORIAL

*27. Se dice que una función es subarmónica en que es supraarmónica si V 2 u 5 O.

D si V 2 u 2 O donde sea, en D . Se dice

(a) Deducir un principio fuerte del máximo para funciones subarmónicas. (b) Deducir un principio fuerte del mínimo para funciones supraarmónicas.

D es el disco {(x, y)1x2 +y2 < 1 ) y C es el círculo {(x,y)lz2 +yz = l}. En la sección 8.5 mostraremos que si f es una función con valores reales coutinua en C , entonces existe una función continua u en D U C que coincide con f en C y es armónica al disco. Suponiendo esto, mostrar lo en D. Esto es, f tiene una extensión armónica siguiente: (a) Si q es una función cont,inua no constante en D u C que es subarmónica (pero no armónica) en D , entonces existe una función continua u en D U C que es armónica en D tal que u coincide con q en C y q < u, donde sea, en D . (b)Lamismaafirmación se cumple si sereemplaza“subarmónica” con “supraarmónica” y “ q < u” p o r “ q > I I ” .

“28. Suponer que

D como en el ejercicio 28. Sea f:D R continua. Mostrar que una solución a la ecuación V 2 u = O que satisface .(X) = f(x) para todo x E a D es única.

*29. Sea

+

*30. Usar el teorema de Green para probar la fórmula de cambio de variables

siguiente caso especial:

en el

para una transformación (u, u) ++ (.c(u,u),y ( u , u)).

8.2

TEOREMA DE STOKES

El teorema de Stokes relaciona la integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada simple (7 en R3, con la integral sobre una superficie S de la cual C es la frontera. En este aspecto, se parece mucho al teorema de Green. Comencemos recordando algunos hechos del capítulo 7. Considerar una superficie S que sea la gráfica de una función f ( x , y ) , de modo que S está parametrizada por

{:1 y=v

;(u,u) = f ( x , y )

para ( u , u ) en algún dominio D . L a integral de una función vectorial F sobre S se desarrolló en la sección 7.6 como

donde F = Fli

+ Fzj + F3k.

8.2

TEOREMA DE STOKES

505

En la sección 8.1 supusimos que las regiones D consideradas eran del tipo 3; esto fue un requerimiento esencial para la demostración del teorema de Green, pero notamos que el teorema es válido para unaclase más amplia de regiones. En esta sección supondremos que D es una región cuya fronteraes una curva cerrada simple a la cual se puede aplicar el teorema de Green. Según se explicó en la sección 8.1, para aplicar el teorema de Green se necesita escoger una orientación de la frontera de D ; pues bien, la orientación que haga que se cumpla el teorema sellamarápositiva.Recordarque si D es del tipo 3, entonces la orientación positiva es en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj. Suponerque u :[ a , b ] + R2, u(t) = ( x ( t ) ,y ( t ) ) es unaparametrización de d D en dirección positiva. Definimos entonces curva frontera dS como la curva cerrada simple orientada quees la imagen de la función 7 7 : t H ( x ( t ) ,y(t), f ( z ( t ) , y(t))) con la orientación inducida por 77 (figura 8.2.1).

Figura 8.2.1 Orientación inducida en 8s: Conforme se camina alrededor de la frontera, la superficie debe estar a la izquierda.

Para recordar esta orientación (esto es, la direcciónpositiva)de d S , imaginar un “observador” caminando a lo largo de la frontera de la superficie donde la normal apunta para el mismo lado que su cabeza; se estará moviendo en la dS suele dirección positiva si la superficie está a su izquierda. Esta orientación de llamarse orientación inducida por una normal n “hacia arriba”. Ahora estamos preparados para enunciar y probar uno de las resultados fundamentales de esta sección. Sea S la superficie orientada definida por una función C2, z = f(x, y), (x,y) E D , y sea F un campo vectorial C1en S. Entonces, si dS denota lacurva frontera orientada deS según se definió

TEOREMA 5: TEOREMADESTOKES PARA GRÁFICAS

506

TEOREMASINTEGRALESDELANÁLlSlSVECTORIAL

antes, tenemos lmtF-dS=l(VxF)-dS=

sas

S ,F - d s .

Recordar que F d s es la integral alrededor de dS de la componente tanG - d S es la integral sobre S de Gen, la componente gencial de F, mientras que normal de G (ver las secciones 7.2 y 7.6). Así, el teorema de Stokes dice que la integral de la componente normal del rotacional de un campo vectorial F sobre F alrededor de una superficieS , es igual a la integral de la componente tangencia1 de la frontera dS. DEMOSTFIACI~N

s,

Si F = Fli

+ F2j + F3k, entonces

Por lo tanto, usamos la fórmula (1) para escribir

Por o t r o h d o ,

donde 17: [ a ,b] -+ R3, 77(2) = ( . z ( t ) , y ( t ) , f ( z ( t ) , y ( t ) ) ) es la pararnet'rización que preserva la orientación de la curva cerrada simple orientada dS estudiada anteriormente. Así,

Pero, por

la

regla de l a cadena dz dz dx dt

dz dy + ú'y dl

"

ax d t

Sustituyendo esta expresión en la ecuación ( 3 ) , obtenemos

8.2

TEOREMA DE STOKES

507

Aplicando el teorema de Green a la teorema de Green se aplica a O )

ecuación (4) se obtiene (suponemos que el - a(F1

+ F3az/ax)]

dA,

ay

Usamos ahora la regla de la cadena, recordando que Fl, de x , y y z, y que z es función de x y y, para obtener

"+"+"+"-+p aF1 aF1 a z

ay

aZ ay

aF3 a z

aF3 d z a z

ay ax

F2

a*)]

aZ ay ax

y F3 son funciones

ayax

dA

Los úitimos dos términos en cada paréntesis se cancelan entre sí, y podemos rearreglar los términos para obtener la integral de la ecuación (a), lo cual completa la demostración.

Sea F = ye*i+xe*j+zye*k. Mostrar que la integral de F alrededor de una curva cerrada simple orientada C que es la frontera de una superficie S es O . (Suponer que S es la gráfica de una función, como en el teorema 5 . ) EJEMPLO 1

Enefecto, Pero calculamos

SOLUCIÓN

por el teorema de Stokes,

i

j

a a VXF= - a ay x yeZ xez xyez

k

a a2

S,

F d s = S,(V x F) dS.

= o.

de modo que S , F ds = O. (De manera alternativa, podemos observar que V(xye'), de modo que su integral alrededor de una curva cerrada es cero.)

EJEMPLO 2

Usar el teorema de Stokes -y3

dx

F= A

para evaluar la integral de línea

+ x 3 dy - z3 d z ,

donde C es la intersección del cilindro x' + y' = 1 y el plano d: + y + z = 1, y la orientación de C corresponde al movimiento en sentido coitrario al que giran las manecillas del reloj, en el plano x y . La curva C acota la superficie S definida por z = 1 - X - y = f ( x , y) para ( x , y) en D = {(x,y)1x2+y' 5 1) (figura 8.2.2). Hacemos F = -y3i+x3j SOLUCIÓN

508

TEOREMAS INTEGRALESDEL

ANALISIS

VECTORIAL

X

Figura 8.2.2 La curva C es la intersección del cilindro plano z + y + z = l .

z2

+ y'

= 1 y el

+

z3k, que tiene rotacional V x F = (32' 3y')k. Entonces, por el teorema de Stokes, la integral de línea es igual a la integral de superficie J](V x F) dS.

Pero

V

x F tiene sólo componente k . Así, por la fórmula (l),tenemos

Esta integral obtenemos

h V

X

F) dS =

S,

(3%'

+ 3 y 2 ) d z dy. Al hacerlo,

sepuedeevaluarcambiandoacoordenadaspolares.

Verifiquemos este resultado evaluando directamente la integral de línea -y3

dx

+ x3 dy - z3 d z .

Podemos parametrizar la curva d D por las ecuaciones 2:

=cost,

y=sent,

z=O,

O 5 t 52x.

Entonces la curva C está parametrizada por las ecuaciones x = cos 2,

y = sent,

z = 1 - sent - c o s t ,

O

5 t 5 27r.

8.2

509

TEOREMA DE STOKES

Así, -y3 dx =

+ x3 dy - z3 dz

IT[(-

sen3 t ) ( - sen t )

+

- (1 - sen t - cos t)3(- cost

= 1 2 r ( c 0 s 4t

+ sen4 t ) dt -

t)(cos t j

(c0s3

+ sen t)] dt

lr

( 1 - sent - cos t)3(- cost

+ sen t) dt.

El segundo integrando es de la forma u3 du,donde u = 1 - sen t - cost, y así, la integral es igual a f[(l - s e n t - c o ~ t ) ~= ] :O.~

+

Entonces nos quedamos con ~ ~ " ( t ~ sen4 0 s t~) dt. Esto se puede evaluar usando las fórmulas (18) y (19) de la tabla de integrales. También podemos proceder como sigue. Usando las identidades trigonométricas sen' t =

1 - cos 21 2 '

2

cos t =

+cosz 2tj dt = A

De nuevo usando el hecho de que cosz 2t =

1

+ cos2t 2

:lr

reducimos la integral anterior a

IT(,

1

+-

cosz 21 dt.

+ cos 4t 2

'

hallamos que 27r A + i 1

(1+ cos4t) dt = A

'

+ $1'"

dt

+

A

3A

2

2

=*+-+o=".

1'"

cos4t dt

A

Para simplificar la demostracióndelanteriorteoremadeStokes,supusimos que la superficie S podría describirse como la gráfica de una función z = f ( z , y), ( 2 ,y) E D,donde D es alguna región a la que se aplica el teorema de Green. Sin embargo, sin mucho más esfuerzo podemos obtener un teorema m& general para superficies parametrizadas orientadas S . La dificultad principal radica en la definición de 8s. Suponer que @: D + R3 es una parametrización de una superficie S y ~ ( t=) ( u ( t ) v, ( t ) )es una parametrización ded D . Podríamos sentirnos tentadosa definir dS como la curva parametrizada por t H ~ ( t=) @ ( u ( t )w(t)). , Sin embargo, con esta definición, dS podría no ser la frontera de S en ningún sentido geométrico razonable.

510


Por ejemplo, llegaríamos a laconclusión de que la fronterade la esfera unitaria

S parametrizada mediante coordenadas esféricas en R3, es la mitad del gran círculo en S que está en el plano m , pero es claro que en un sentido geométrico S es una superficiesuave (nipuntasnicúspides)sinfronterasnilados(ver la figura 8.2.3 y el ejercicio 20). Así, este gran círculo es, en cierto sentido, la frontera “falsa” de S .

‘

frontera “falsa” de S X

Figura 8.2.3 La superficie S es una parte de una esfera.

Podemos eludir esta dificultad suponiendo que 9 es uno a uno en todo D. Entonces la imagen de d D bajo 9, a saber, @(do), será la frontera geométrica de S = @ ( D ) .Si r ( t ) = ( ~ ( tv)( t, ) ) es una parametrización de d D en dirección positiva, definimos dS como la curva cerrada simple orientada que es la imagen de la función v:t H @ ( u ( t )v, ( t ) ) con la orientación de dS inducida por 77 (ver la figura 8.2.1). Sea S una @: D c R2 + superficie orientada definida por una parametrización uno a uno S . Denotemos por dS la frontera orientada de S y sea F un campo vectorial C’ en S . Entonces

TEOREMA6: TEOREMADESTOKESPARA SUPERFICIES PARAMETRIZADAS

l(V

-

x F) d S =

F . ds.

J,,

Esto se demuestra de la misma manera que el teorema 5. EJEMPLO 3 Sea S la superficie mostrada en la figura 8.2.4, con la orientación indicada. Sea F = yi - zj eZzk.Evaluar S,(V X F) d S .

+

-

8.2

51 1

TEOREMA DE STOKES

X

*

Figura8.2.4 La frontera de una superficie S parametrizada por es uno a uno en D. de la frontera de D sólo si

a:D

-+

R3 es la imagen

SOLUCIÓN ÉSta es una superficie parametrizada y pudo ser parametrizada usando coordenadas esféricas basadas en el centro de la esfera.Sinembargo, no necesitamos hallar explícitamente @ para resolver este problema. Por el teorema 6, S,(V x F) dS = ,S , F d s , de modo quesi parametrizamos dS por ~ ( t=) cost, y(t) = s e n t , O 5 t 5 2 ~ determinamos ,

.

=

-

lzr(sen2 t

y entonces S,(V x F) dS = - 2 ~ .

- cos2 t

A

) dt = -

lr

dt = -2a

Usemos ahora el teorema de Stokes para justificar la interpretación física de

V X F en términos de ruedas con aspas propuesta en el capítulo 3. Parafraseando

el teorema 6, tenemos

J,

(rot F ) n dS =

S,

(rot F ) * dS =

ll ss FF T- dd ss = ,

donde FT es la componente tangencial de F. Esto significaque la integral de la componente normal del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie orientada S , es igual a la integral de línea de F a lo largo de d S , lo cual, a su vez, es igual a la integral de trayectoria de la componente tangencia1 de F sobre d S . Supongamos que V representa un campo vectorial de velocidad de un fluido. Considerar un punto P y unvector unitario n. Denotemos por S, el discode radio p y centro P, el cual es perpendicular a n. Por el teorema de Stokes,

512


I”

ANALISISVECTORIAL

Figura 8.2.5 Una normal n induce una orientación en la frontera

as,

del disco S,.

donde as, tiene la orientación inducida por n (ver la figura 8.2.5). No es difícil mostrar (ver el ejercicio 12, sección 7.6) que existe un punto Q en S, tal que

J,

rot V

- n dS = [rot V(Q) - n]A(S,)

(&te es el teorema del valor medio para integrales, su demostración es como en la página 340, donde A(S,) = r p 2 es el área de S,,rot V(Q) esel valor de rot V en Q, y n también se evalúa en Q. Así,

= límite rot V(Q) n(Q) ,-o

= rot V(P) n(P)

Así,* Hagamos una pausa para considerar el significado físico de S , V ds cuando V es el campo de velocidad de un fluido. Suponer, por ejemplo, que V a p u n t a en dirección tangente a la curva orientada C (figura 8.2.6). Entonces, claramente S, V ds > O , y las partículas en C tienden a rotar en sentido contrario al que , V d s < O. Si giran las manecillas del reloj. Si V apunta en dirección opuesta, S , V - d s = O. En V es perpendicular a C, entonces las partículas no giranen C y S la componente tangencia1 deV , representa la general, al serS, V - d sla integral de a la que giran las manecillas cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria *Algunos textos de física adoptan la ecuación (5) como definición de rotacional, y la usan para “demostrar” fácilmente el teorema de Stokes. Sin embargo esto aumenta el peligro de caer en un razonamiento circular, pues para demostrarque la ecuación (5) define en realidad un vector “rot V(P)” se requiere el teorema de Stokes, o algún argumento similar.

8.2

513

TEOREMA DE STOKES

Figura 8.2.6 Significado intuitivo de los signos posibles de

S,

V ds.

del reloj alrededor deC. Por lo tanto, nos referimos a S , V d s como lacirculación de V alrededor de C (ver la figura 8.2.7). movimiento de partículas

del fluido

(4

(b)

Figura 8.2.7 Circulación de una campo vectorial (campo de velocidad de un fluido): (a) circulación alrededor de C es cero; (b) circulación diferente de cero alrededor de C

(“remolino”).

Estos resultados nos permiten ver lo que significa rot V para el movimiento de un fluido.Lacirculación V d s es la velocidad neta delfluidoalrededor as, de dS,, de modo que rot V n representa el efecto de giro o rotación del fluido alrededor del eje n. De manera más precisa, l a fórmula (5) dice que rot V(P)-n(P)es la circulación de V por unidad de área en P en una superficie perpendicular a n(P).

-

Observar que la magnitud de rot V n se maximiza cuando n = rot V/Jlrot V J J . Por lo tanto, el efecto de rotación en P es mayor alrededor del eje paralelo a rot V/ll rot VII. Así, rot V se llama, acertadamente, vector de vorticidad.

514


ANALISIS

VECTORIAL

EJEMPLO 4: LEY DE FARADAY Una ley básica de la teoría electromagnética es que si E(1, z, y, z ) y H(t, 2 , y, z ) representan los campos magnético y eléctrico e n el tiempo t , entonces V x E = - d H / d t donde V x E se calcula manteniendo t fija y aH/dt se calculw manteniendo z, y y z constantes. Usemos el teorema de Stokes para determinar lo que esto significa físicamente. Supongamos que S es una superficie a la q u e se aplica el teorema de Stokes. Entonces

(La última igualdad se puede justificar si H es de clase C’.) Así, obtenemos

Esta igualdad se conoce como ley de Faraday. La cantidad ,S , E d s representa el voltaje alrededor de d S , y s i dS fuera un alambre, una corriente fluiríaen proH ds se llama Aujo de H , o flujo magnético. porción a este voltaje. Además, J”, Así, la ley de Faraday dice que el voltaje alrededor de un lazo es igual al negativo A de la tasa decambiodel Aujo magnéticoatravés dellazo.

-

EJERCICIOS Rehacer el ejercicio 5 de la sección 7.6 (página 484) usando el teorema de Stokes. 2. Rehacer el ejercicio 6 de la sección 7.6 (página 484) usando

el teorema de Stokes.

3. Verificar el teorema de Stokes para el hemisferio superior z = i y el campo vectorial radial F ( z , y, 2 ) = zi y j zk.

+ +

b

d-,

z

> O,

Sea S unasuperficie con frontera as, ysuponerque E es un campoeléctrico perpendicular a 3s. Mostrar que el flujo magnético inducido a través de S es constante en el tiempo. (IDEA:Usar la ley de Faraday.) Sea S la superficie cilíndrica con tapa mostrada en la figura 8.2.8. S es la unión dedossuperficies S1 y SZ, donde S 1 es el conjuntode (z, y , z) con z z + yz = 1 , O 5 z 5 1 y SZ es el conjunto de ( z , y, z ) con 2’ y’ ( z - 1)’ = 1, z 2 1. Sea F ( z , y, z ) = ( z z t’y z ) i + ( z 3 y z y ) j z 4 z Z k .Calcular ss(V x F ) - d S . (IDEA: El teorema de Stokes se cumple para esta superficie.)

+

+

+ +

+ +

6. Sea Q formada por las rectasqueunen ( l , O , O ) , ( O , 1 , O ) y ( O , O , 1) ysea S el triángulo con estos vértices. Verificar el teorema de Stokes directamente con F = y z i

zzj

+ zyk.

+

8.2

TEOREMA DE STOKES

515 Z

Figura 8.2.8 El cilindro cubierto es la unión de

SI y S,.

7. Evaluar la integral &(V x F) dS, donde S es la parte de la superficie de una z2 = 1 y z y z 2 1, donde F = r x (i j esfera definida por z 2 y’ r = zi y j zk.

+ +

+ +

+ +

+ + k),

el ejercicio 7 sepuedensimplificarobservandoque

8. Mostrarqueloscálculosen

,S,

F dr = ,S , F dr paracualquierotrasuperficie C. Al escoger C demanera apropiada, puede ser fácil calcular s,(V x F) dS. Mostrar que así sucede si se t o m a C como la parte del plano z

+y +

Calcular la integral de superficie 2 =1,z>OyF=z3i-y3j.

y2 + z

10. Hallar &(V e Z j - yzk.

X

F = yi

-

11. Sea z2

+ y2 + z2 = 1 ,

2

F ) . d S donde

zj

-

= 1 dentro del círculo

&.(V

-

F) d S , donde S es la semiesfera z 2 +

S es el elipsoide z 2 + y2 + 2z2 = 10 y F = (sen zy)i +

+ zz3y2k. Evaluar

5 o.

X

3s.

&(O

x

-

F) ndA, donde S es la superficie

1;?1 Un globo aerostático tiene la forma esférica truncada mostrada en la figura Los gases calientes escapan por la cubierta porosa

8.2.9. con campo vectorial de velocidad

V ( z , y, z) = V x %(z, y , z ) donde %(z. y, z) = -yi

Si R = 5, calcular la tasa de superficie.

+zj

flujo del volumen de los gases que pasan a través de la

516

TEOREMASINTEGRALESDELANÁLISISVECTORIAL

Figura 8.2.9 Globo aerostático. 13. Probar que la ley de Faraday implica

que

V x E = -dH/dt.

Sea S una superficie y sea F perpendicular a la tangente a la frontera deS.Mostrar

-

L ( V x F ) dS = O. ¿Qué significa esto físicamente si F es un campo eléctrico? 15. Considerar dos superficies SI y S2 con la misma frontera 85’. Describir con dibujos 1 y S2 para asegurar que cómo deben orientarse S

J.

S,,

( V x F ) - d( V S =x F ) - d S

16. Para una superficie S y u n vect,or fijo

v, probar que

donde r(z,y , 2 ) = (z, y, 2 ) .

l.(V

17. Argumentar informalmente que si S es u n a superficie cerrada, entonces

x F) dS = O

(vcr el ejercicio 15). (Una superficie cerrada es aquella que forma la frontera de una región en el espacio; así, por ejemplo. una esfera es una superficie cerrada.)

8.3

CAMPOS CONSERVATIVOS

517

S y v es un

19. (a) Si C es una curva cerrada que es la frontera de una superficie vector constante, mostrar que

L v - d s = O. (b) Mostrar que esto es cierto aun si C no es la frontera de una superficie S.

+:

D R3, D = [ O , 7r] x [ O , 2x1, (a(4, O) = (cos Osen 4, sen O sen 4, cos 4) de la esfera unitaria, manda la frontera de D a la mitad de un círculo mayor en S . 20. Demostrar que la parametrización

+

Verificar el teorema 6 para la helicoide +(T, O) = ( T COSO,r sen O, O), [O, x / Z ] y el campo vectorial F ( z , y, z) = ( z , x ,y).

(T,

O) E [ O , 11 x

22. Probar el teorema 6.

+

+

23. Sea F = z2i ( 2 z y + z)j zk. Sea C el círculo z' + y 2 = 1 y S el disco ' x + y' 5 1 dentro del plano z = O. (a) Determinar el flujo de F hacia afuera de S. (b) Determinar la circulación de F alrededor de C . (c) Hallar el flujo de V X F. Verificar directamente el teorema de Stokes en este caso.

La ley de Faraday relaciona la integral de línea del campo eléctrico alrededor de un lazo C con la integral de superficie de la tasa de cambio del campo magnético sobre una superficie S con frontera C. Considerando básica la ecuación V x E = " a H / a t , la ley de Faraday es consecuencia del teorema de Stokes, como vimos en el ejemplo 4 . Suponerquetenemosdadoscamposeléctricosymagnéticosen el espacioque satisfacen V x E = - a H / a t . Suponer que C es la frontera de la banda de Mobius mostrada en las figuras 7 . 6 . 3 y 7.6.4. Como no es posible orientar la banda de Mobius, no se aplica el teorema de Stokes. ¿En qué se convierte la ley de Faraday? ¿Pueden E ds? imaginar a qué es igual

'24.

S, -

Integrar V x F, F = ( 3 y , -xz, - y z 2 ) sobre la parte de la superficie debajo del plano z = 2, directamente y usando el teorema de Stokes.

22 = z2

+ y2

8.3 CAMPOS CONSERVATIVOS

Vimos en la sección 7.2 que en el caso de un campo de fuerza gradiente F = V f, las integrales de línea de F se evaluaron como sigue:

S,

F ds = f ( o ( b ) ) - f ( a ( a ) ) .

El valor de la integral depende sólo de los extremos a ( b ) y a ( a ) de la trayectoria. En otras palabras, si usáramos otra trayectoria con los mismos extremos, obtendríamos la misma respuesta. Esto nos conduce a decir que la integral es independiente de la trayectoria.

518

TEOREMAS INTEGWLES DEL ANALISIS VECTORIAL

Los camposgradientessonimportantes en problemas físicos. Usualmente, V = -f representa un potencial de energía (gravitacional, eléctrico y así sucesivamente) y F representa unafuerza.* Considerar el ejemplo de una partícula de masa m en el campo de la Tierra; en estecaso se toma f como G m M / r o V = - G m M / r , donde G es la constante gravitacional, M es la masa de l a Tierra y T es la distancia al centro de la Tierra. La fuerza correspondiente es F = (GrnM/r3)r = (GmM/r')n, donde n es el vector radial unitario. (Estudiaremos este caso más adelante.) Nótese que F noestádefinido en el punto T

= o.

Deseamos caracterizar los campos vectoriales que se pueden escribir como un gradiente. Nuestra laborse simp1ific.a de manera considerable gracias al teorema de Stokes. Sea F un campo vectorial c1definido en R3 excepto, quizis, en un número finito de puntos. Las siguientes condiciones sobre F son equivalentes:

TEOREMA 7

(í) Para cualquier curva cerrada simple orientada C , S , F ds = O.

(ií) Para cualesquiera dos curvas cerradas simples orientadas C1 y Cz que tengan los mismos extremos. ilF.ds=i2F-ds

(iii) F es ei gradiente de alguna función f; esto es, F = V f ( y si F tiene un punto excepcional donde no está definido, tampoco f está definido ahí). (iv) V x F = O .

Un campo vectorial que satisfaga una (y por lo tanto, todas) de condiciones las (i)-(iv) se llama campo vectorial conservativ0.t DEMOSTRACI~N Probaremos la siguiente cadena de implicaciones,

bará el teorema:

(i) + (ii) + (iii)

lo cual pro-

+ (iv) + (i).

Primero mostraremos que la condición (i) implica la condición (ii). Suponer que u1 y u2 son parametrizaciones que representan a C1 y Cz, con los mismos extremos. Construir lacurva cerrada u obtenida recorriendo primero u1 y después - 6 2 (figura 8.3.1), o , simbólicamente, l a curva u = u1 - u ~Suponiendo . que u *Si se usa el signo de resta, entonces V es decreciente en dirección de F. Así, una partícula sobre la que actúe F se mueve en dirección que decrezca el potencial.

tEn el plano R2 no se permiten puntos excepcionales (ver el ejercicio 1 2 ) . El teorema 7 se puede probar de la misma manera si F está definido y es de clase C' sólo en un conjunto abierto convexo en R2 o R3. (Un conjunto D es convexo si P y Q E D implica que l a recta que une a P y Q pertenece a D.)

8.3


u = u1

519

c/'

- 0 2

u I(a) = u ?(a)

Figura 8.3.1 Construcción de una curva cerrada simple orientada de dos curvas simples orientadas ( b ) .

u1 - u2

(a) a

partir

es simple, l a condición (i) da

demodoque secumplela condición (ii). (Si u no es simple, serequiereun argumento adicional, omitido aquí.) A continuaciónprobaremosquela condición (ii)implica la condición(iii). Sea C cualquier curva orientada simple que une a un punto como ( O , O , O) con (x,y, z), y suponer que C está representada por la parametrización u (si ( O , O , O) es el punto excepcional de F , podemos escoger un punto de inicio de u diferente , F ds. Por la sin que se afecte la argumentación). Definir f(x, y, z) como S hipótesis (ii), f ( x , y, z) es independiente de C . Mostraremos que F = grad f . En efecto, escogemos u como la trayectoria mostrada en la figura 8.3.2, de modo que

-

f ( x , Y,

Z)

=

lz

Fl(t,0 , o ) d t

+

1'

F 2 ( z ,t, o) dt

Y

Figura 8.3.2 Trayectoria que une ( O , O , O) con (x,y , 2 ) .

+

520


ANALISIS VECTORIAL

donde F = (F1, F z , F3). Se sigue de manera inmediata, que d f / d z = F3. Permutando x , y y z, podemos mostrar similarmente, que df/dz = F1 y a f / a y = F2; esto es, V f = F . Tercero, l a condición (iii) implica la condición (iv) pues, como ya se demost,ró en la sección 3.4, VxVf=O.

Finalmente, sean u una representación de una curva cerrada C y S cualquier superficiecuyafronterasea u (si F tienepuntosexcepcionales, escoger S de manera de evitarlos). La figura 8.3.3 indica que probablemente siempre se pueda hallar dicha superficie; sin embargo, una demostración formal de ello requeriría las presentadas aquí. del desarrollo de ideas matemáticas más sofisticadas que Por el teorerna de Stokes,

Figura 8.3.3 Superficie S q u e genera u n a c u r v a C

-

Hay varias interpretaciones físicas útiles de S , F d s . Ya vimos que una es el trabajo realizado por F al mover ulla partícula a lo largo de C. Una segunda al finalde la sección interpretación es el concepto dc circulación,quevimos anterior. En estecasopensamos F como el campodevelocidaddeunfluido; est,o es, a cada punto P en el espacio, F asigna el vectorvelocidaddelfluido en P. Tomar C como una curva cerrada, y sea As una pequeña cuerda dirigida de C . Entonces F As es aproximadamente la componente tangencial de F por IlAsll. La integral F - d s es la componente neta tangencial alrededor deC . Esto significa que si colocamos una pequeña rueda con aspas en el fluido, girará si la circulación del fluido fuera diferente de cero, o S , F ds # O (ver la figura 8.3.4). Así. con frecuencia nos referimos a la integral de línea

1,

.II

F ds

como la circulación de F alrededor de C .

8.3

521


S,

Figura 8.3.4 F . ds # O implica que una rueda con aspas en un fluido con campo de velocidad F girará alrededor de su eje.

Hay unainterpretación similaren teoríaelectromagnética:Si F representa fluirá alrededorde un lazo C si uncampoeléctrico,entoncesunacorriente J, F ds # O. Por el teorema 7, un campo F no tiene circulación si y sólo si rot F = V X F = O . De aquí, un campo vectorial F con rot F = O se llama irrotacional. Hemos probado entonces que un campo vectorial en R3 es irrotacional si y sólo si es el campo gradiente de alguna función, esto es, si y sólo si F = V f .La función f se llama potencial para F .

EJEMPLO 1

Considerar el campo vectorial F en R3 definido por F(z,y,z)=yi+(zcosyz+z)j+(ycosyz)k.

Mostrar que F es irrotacional y hallar un potencial escalar para F . SOLUCIÓN

Calculamos V

i a VXF= -

ax y

= (COS = Oi

de modo que maneras.

F:

j

2:

YZ

X

+

k

a a ay at z c o s y yz c o s y z

- yz sen yz - cos y t + yz sen y z ) i + (O - 0 ) j

+ O j + Ok = O ,

F es irrotacional. Podemos hallar

+ (1 - 1)k

un potencial escalar de varias

522

TEOREMASINTEGRALES DEL ANALISIS VECTORIAL

Método 1. Con la técnica usada en el teorema 7 para probar que la condición (ii) implica la condición (iii), podemos hacer

= ~ i O ~ ~ + ~ y I d t + ~ z y c o s y t d t =O

+ z y + s e n yz = z y + sen yz.

Se verifica fácilment,e que, como se requiere, V f = F:

af af o f =df -i+-j+-k=yi+(z+zcosyz)j+(ycosyz)k. 33: ay

a2

Método 2. Comosabemosqueexiste sistema de ecuaciones

af

"

a x - y,

f, sabemosque esposibleresolver

3 = z + zcosyz,

el

df = y c o s y z , dZ

para f(z, y , z ) . Estas son equivalentes a las ecuaciones simultáneas (a)

f(.,

Y,

2)

=

+ hl(Y>z )

(b) f ( z , y, z ) = sen y z (c) f ( z lY, 2) = Sen Yz

+ zy + b(z!

2)

+ h 3 ( 1 , Y)

para funciones hl, h2 y h ~independientes , de z, y y z (respectivamente). Cuando h l ( y , z) = sen yz, ha(", z ) = O y h 3 ( z ,y) = z y , las tres ecuaciones concuerdan, de modo que forman un potencial para F. Sin embargo, sólo intuimos los valores de hll h2 y h3. Para deducirde maneramássistemática la fórmula para f, notamos que como f ( z , y, z ) = zy h l ( y , z ) y a f / a z = y cos yz, tenemos que

+

O

Por lo tanto, sustituyendo esto en la ecuación (a) obtenemos

pero por la ecuación (b), g(Y) = h 2 ( z , 2).

8.3

CAMPOS

523

Debido a que el lado derecho de esta ecuación es una función de z y z y el lado izquierdo es una función sólo de y , concluimos que deben ser iguales a alguna constante C. Asi, f ( z , y,

2)

= zy

+ sen yz + C

A

y hemosdeterminado f salvoporunaconstante.

EJEMPLO 2 Una masa M en el origen en R3 ejerce una fuerza sobre una masa m localizada en r = (x,y , z) con magnitud G m M / r 2 y dirigida hacia el origen. y Aquí G es la constan te gravitacional, que depende de las unidades de medición, r = llrll = Si recordamos que -r/T es un vector unitario dirigido hacia el origen, entonces podemos escribir el campo de fuerza como

d

m

.

GmMr F ( z , y , z ) = -T3

.

Mostrar que F es irrotacional y hallar u n potencial escalar para F . (Nótese que F no está definido en el origen, pero aun a s í se aplica el teorema 7 pues permite un punto excepcional.) SOLUCIÓN

Primero verifiquemos que V x F = O. Por la fórmula 11 de la tabla

3.1, de la sección 3.5, obtenemos

VxF=-GmM

Pero V(1/r3) = -3r/r5 (ver el ejercicio 8, sección 3.5), de modo que el primer término se anula pues r x r = O. El segundo término se anula pues

De aquí, V x F = O (para r # O). Si recordamos la fórmula V i r n )= R T (ejercicio ~ ~ 8, sección ~ 3.5), ~ entonces, F . Tenemos F = porinspección,podemosobtener unpotencial.escalarpara -Vq5, donde d(x,y, z ) = - G m M / r se llama energia potencial gravitacional. (Observamos, de paso, que por el teorema 3 de la sección 7.2, el trabajo realizado por F al mover una partícula de masa m de un punta PI a un punto P2 estii dado por

donde r1 es ladistanciaradial A análoga.)

de PI al origen, con r z definidode

manera

524


ANALISIS

VECTORIAL

Por la misma demostración, el teorema 7 también se cumple para campos vectoriales F de clase C1 en R2. En este caso F no tiene puntos excepcionales; ejercicio 12). Nótese, sin embargo, que estoes, F es suavedondesea(verel la conclusión podría cumplirse aun si hubiera puntos excepcionales, u n ejemplo sería (xi yj)/(x2 y 2 ) 312 . Si F = Pi Qj, entonces

+

+

+

de modo que la condición V x F = O se reduce a aP

aQ --

"

ay

ax

Así, tenemos: COROLARIO Si F es un campovectorial C1 en R2 de la forma Pi + &j con d P / d y = d Q / a x , entonces F = V f para alguna f definida en R2.

lnsistirnos en que este corolario puede ser falso si F deja de ser de clase C1 incluso en u11 solo punto (se da un ejemplo en el ejercicio 12). Sin embargo, en R3 se permiten excepciones en puntos (ver el teorema 7).

EJEMPLO 3

(a)

Determinar si elcampovectorial

es un campo gradiente. ( b ) Repetir la parte (a) para F = (2s cos y ) i - ( z 2 sen y ) j .

SOLUCIÓN

(a) Aquí, P ( x , y ) = e"Y y Q ( x , y ) = e"+Y. de modo que calculamos

Estas no son iguales, de modo que F no puede tener una función de potencial (b) En &e caso, hallamos 8P

--

ay

aQ

-21: sen y = -,

ax

8.3

525


de modo que F tiene una función de potencial f . Para calcular f resolvemos las ecuaciones

af i3X

= 2xcosy,

Así, f(2,

Y

’f =

y) = x 2 cos y

f ( x , y) = z 2 cosy

-22

sen y.

+ hl (Y) + h2(x).

Si h l y hz son la misma constante, entonces se satisfacen ambas ecuaciones, de A modo que f ( z , y) = 2’ cosy es un potencial para F . EJEMPLO 4

Sea 6 :[ l ,21 -+ R2 dada por x = e

t-1

,

x

y=sen-

t

Calcular la integral ] u F . ds = /u 22: cosy dx

-

x 2 s e n y dy,

donde F = (2z cos y); - (xz sen y ) j extremos son ~ ( 1 =) (1, O) y 4 2 ) = ( e , 1). Como a(2z C O S Y ) / d ( - ~sen~y ) / a z , F es irrotacional y por lo tanto, un campo vectorial gradiente (como vimos en el ejemplo 3). Así, por el teorema 7, podemos r e e n d a z a r por cualquier curva C1 a trozos que tenga los mismos extremos, en particular, por la trayectoria poligonal de(1,O) a ( e , O ) a ( e , 1). Así, la integral de linea debe S O L U C I ~ N LOS

&J

ser igual a

= ( e 2 - 1)

+ e2(cos 1 - 1) = e2 cos 1 - 1.

De manera alternativa, usando el teorema 3 de la sección 7.2, tenemos ~2zcosydx-x2srnydy=

S,

Vf*ds

= f ( f f ( 2 ) ) - f(ff(1)) = e 2 cos 1 - 1 ,

pues f(x,y) = 2’ cos y es una función de potencial para F. Es evidente que esta técnica es másfácilquecalculardirectamente l a integral. A Concluimos esta sección con un teorema que es hastantme parecido en espíritu al teorema 7. El teorema 7 fue motivado, en parte como un recíproco al resultado de que rot V f = O para cualquier función C1 f :R3 ”+ R -o, si rot F = O ,


526

ANALISIS VECTORIAL

entonces F = Vf-. También sabemos (fórmula 10 en la tabla 3.1, sección 3.5) que div(rot G) = O para cualquier campo vectorial G de clase C 2 . Podríamos plantearnos la validez del enunciado recíproco: Si div F = O, Les F el rotacional de un campo vectorial G? E l siguiente teorema responde en sentido afirmativo.

F es un campo vectorial c“ en R3 con div F = O. entor1ce.s existe un canlpo vectorial G de clase C‘l tal que F = rot G .

si

TEOREMA 8

L a demostración se esboza en el cjercicio 16. Advertimos al lector que a diferenciade F en el teorema 7, al campovectorial F delteorema 8 no se le permite tener un punto excepcional. Por ejemplo, el campo de fuerza gravitacional F = -(G7n,Mr/r3) tiene la propiedad de que divF = O y sin embargo, no existe G para el cual F = rot G (ver el ejercicio 25). El teorema 8 no se aplica pues el campo de fuerza gravitacional F no está definido en O E R.”.

EJERCICIOS 1. Mostrar que cualesquiera dos funciones de potencial para un campo vectorial difieren, a lo más, en una constante.

(a) Sea F ( ~ , Y ) = (.cy, y’) y sea u la trayectoria y = 2.c’ que une ( O , O) con ( I , 3)

en

R*.Evaluar

S,

F * ds. ( b ) ¿Depende la integral en la parte (a) de la trayectoria que une ( O , O ) con ( 1 , 2 ) ?

Sea F ( z , y, z ) = (2zyzSsen z)i+zZzj+z2yk.Hallar una función f tal que F = V f. 4. Evaluar ejercicio 3 .

S,

F ds, donde u ( t ) = (cos’ t, sen3 1, t ’ ) , O 5

En el ejercicio 5, mostrar que F = V ( ~ / T T) ,# O , integral de F independiente de l a trayectoria?

T

t

5

K,

y F es como en el

= Ilrll. ¿En qué sentido es la

+ y j + zk. ¿,Puede existir una funcibn f t a l que F = V f ? Sea F = I;;i + Fzj + Fsk y suponer que cada F k satisface la condición de homoge-

7. Sea F ( z , y, z ) = zyi *8.

neidad

Fk(tz,ty,12) = t E k ( z ,y,z ) ,

Suponer además que V

X

k = 1 , 2 , 3.

F = O . Probar que F = V f donde

2f(~,y,z)=zFl(e,y,z)+yFz(2,y,z)+~E73(1:,~,~).

(IDEA: Usar el ejercicio de repaso 2 3 , capítulo 2 . )

8.3


527

+

Sea F(z, y, z) = (eZ sen y); (eZ cos y ) j t 3 ,exp O 5 t 5 1.

u(t)=

(A, A),

+ zz k. Evaluar la integral S,

F * ds, donde

10. Sea un fluido con campo de velocidad F ( z , y, z) = zyi + y z j + zzk. ¿Cuál es la circulación alrededor del círculo unitario en el plano z y ? Interpretar la respuesta dada. 11. La masa de la Tierra es aproximadamente 6 x lo2’ g y la del Sol es 330,000 veces mayor. La constante gravitacional es 6.7 X lo-’ m3/s2 . g. La distancia de la Tierra al Sol es alrededor de 1.5 x 10” cm. Calcular, aproximadamente,el trabajo necesario para incrementar la distancia de la Tierra al Sol en 1cm.

12. (a) Mostrar que

S.(,

dy - y d z ) / ( z 2

+ y2) = 2

~ donde , C es el círculo unitario.

+

+

+

(b) Concluir que el campo vectorial asociado [-y/(z2 y’)) [./(x’ y’))li no es un campo conservativo. (c) Mostrar, sin embargo, que aP/ay = a Q / a z . Contradice esto el corolario (de la página 524) del teorema 77 De no ser así, ¿por quC no? 13. Determinar cuál de los siguientes campos vectoriales F en el plano es el gradiente de una función escalar f . Si existe dicha f , hallarla. (a) F(z, Y) = z i d kb,l ~ ( zy), = z y i z y j (c) F ( z ,y) = (x’ y’)i 22:yj

+ + +

+

14. Repetir el ejercicio 13 para los campos vectoriales siguientes:

(a) F(z, y) = (cos 2:y - zysen zy)i - (.’sen

+

zy)j

(b) F ( z , y ) = ( 2 : d n ) i ( y d n ) j (c) F ( z , y) = (22: cos y cos y)i - ( z 2 sen y 2: sen y ) j

+

+

sc

15. Mostrar que los siguientes campos vectoriales son conservativos. Calcular F .ds para la curva dada. (a) F = ( 2 : y 2 + 3 z 2 ~ ) i + ( s + y ) z 2 j ; C es la curva que está formada por los segmentos de recta de (1,l) a (O, 2 ) a ( 3 , O).

kb,l

+ l 1 - 2y(z2 (y’ +

F = - 2x Y‘

+

” j ; C está parametrizada por

1)2

z = t3

0 5 t l l . (c) F = [cos(zy2)- zy2 sen(zy’)]i - 2z2y sen(zy’)j; C es la curva

t 5 o.

16. Probar el teorema 8.

(IDEA: Definir G = G l i + Gzj + G3k por

-

1, y = t6 - 1,

( e t , et+’),

-1

5

528


ANALISIS VECTORIAL

17. ¿Es cada uno de los siguientes campos vectoriales el rotacional de algún otro campo vectorial? De ser así, hallar el campo vectorial. (a) F = zi yj zk (b) F = ( z z I ) i ( z - 2x:y)j yk

+ + + +

+

Sea F = z z i - y z j + yk. Verificar que V * F = O . Hallar G tal que F = v x G . 19.

Repetir el ejercicio 18 para F = y 2 i

20. Sea

+ z’j + z’k.

F = zeYi - (z cos z ) j - z e Y k . Hallar G tal que F = V

21. Sea F = (z cos y)i

-

(sen y ) j

+ (sen z)k. Hallar G tal que

X

G.

F=

x G.

de (O,O, O ) a ( r ,Y, z), mostrar qLIe la función 22. Usando diferentes trayectorias definida en la demostración del teorema 7 para “condición (ii) implica condición (iii)” satisface 3f l a x = Fl y 3f/i3y = F2.

f

Sea F el campo vectorial en R3 dado por F = -yi + z j . (a) Mostrar que F es rotacional, esto es, que F no es irrotacional. (b) Suponer que F representa el campo vectorial de velocidad de un fluido. Most r a r que si colocamos un corcho en este fluido, girari en un plano paralelo al plano zy, en una trayectoria circular alrededor del pje z . (c) ¿En qué dirección gira el corcho? *24. Sea G el campo vect.oria1 en R3\{eje z j definido por

+ .Y’

G = - -Y z2

i + “j. x2

+ y2

(a) Mostrar que G es irrotacional. (b) Most,rar que el resultado del ejercicio 23(b) tanlbiOn se cumple para G . iCómo podemos resolver el hecho deque las trayectorias de F y G sean iguales (circulares alrededor del eje z ) pero que F sea rotacional y G no? (IDEA:L a propiedad de ser rotacional es una condicibn local, esto es, una propiedad del fluido en l a vecindad de U I I punto.)

F = - ( G m M r / r 3 ) el campo de frrcrza gravitacional definido en R3\{O}. (a) Mostrar que div F = O. (b)Mostrar q u r F # rot G paracualquiercampovectorial G declase C1 en

*25. Sea

R’\{Oj. 8.4

TEOREMA DE GAUSS

El teorema de Gauss asegura que el flujo deun campo vectorial hacia afuera a l a integral de la divergencia de ese campo de una superficie cerrada es igual vectorial sobre el volunlen encerrado por la superficie. Se t r a t a de un resultado paralelo al teorema de Stokes y al de Green, en el sentido de que relaciona una integral sobre un objeto geométrico cerrado (curva o superficie) con una integral sobre una región contenida (superficie o volumen).

530


Suponerque S es una superficie cerrada orientada de algunadeestasdos maneras y F es u n campovectorial en S. Entonces, como lo definimosen Ia sección 7.6 (pág. 478).

Si S tiene la orientación exterior, la integral S, F d S mide el flujo total de F hacia afuera a través de S . Est>o es,si pensamos F como el campo de velocidad de , F . d S indica la cantidad de fluido que sale de la región acotada por un fluido, S S por unidad de tiempo. Si S tiene la orientación interior, la integral S, F dS mide el flujo total de F hacia adentro a través de S. Recordemos otra manera común de escribir estas integrales de superficie, una manera que especifica explícitjanlente la orientación de S. Sea la orientación de S dada por un vector normal unitario n(z,y, 2 ) en cada punto de S. Entonces tenemos la integral orient#ada

-

J : l F.dS=

(F-n)dS,

esto es, la integral de la componente normal de F sobre S. En el resto de esta región Q, adoptamos sección, si S es una superficie cerradaqueenglobauna la convencióndeque S X dR tiene dada la orientación exterior, con normal unitaria exterior n(z,y, 2 ) en cada punto (z,y,z) E S. Más aún, denotamos la superficie con la orientación opuesta (interior) por dilo,. Entonces la dirección normal unitaria asociada a esta orientación es -n. Así,

ln .ds L(F. F

EJEMPLO 2

=

n) ds = -

El cubounitario Q dado por

es una región en el espacio, del tipo IV (ver la figura 8.4.3). Escribimos las caras como s1:z=o,

O < Z < l ,

O
S2:z=l,

O < Z < l ,

O
s3:2=0,

o
O < Z < l

s4:2:=1,

O
O < Z < l

Sg:y=O,

O < Z < l ,

O < Z < l

Se:y=l,

OLz
O < Z < l

'

0.4

TEOREMA DE GAUSS

529

C~omenzaremos pidicndoal lector que repase las diferentes regiones en el espacio que se introdujeron cuando estudiamos la integral de volumen; estas regiones se ilustran e11 l a figura 6.1.3. Como lo indica la figura, la frontera de una región dc tipo I, I1 o 111 en R3 es una superficie formada por un número finito (a lo más seis, por lo menos dos) de superficies que se pueden describir como gráficas de funciones de R3 a R. Este tipo de superficie se llama superficie cerrada. Las superficies S’,, &,. . . SN que componen dicha superficie cerrada se llaman sus ~

caras.

EJEMPLO 1 El cubo en l a figura 8.4.l(a) es una región del tipo IV (recordar que esto significa que es simultáneamente de los tipos I, I1 y 111), con seis rectángulos es que componen su frontera. La esfera es la frontera de una bola sólida, que A ademásuna regióndel tipo I V .

Figura 8.4.1 (a) Regiones del tipo

IV

y (b) las superficies S, que componen sus fronte-

ras.

Las superficies cerradas se pueden orientar de dos maneras. En la primera, orientacicin exterior, l a normalapuntahaciaafueraen el espacio, y en la segunda, la orientación interior, l a normal apunta hacia adentro de l a región acotada (figura 8.42). la

normal exkrior

f

Figura 8.4.2 110.; posibles orientaciones para una superficie cerrada

8.4

531

TEOREMA DE GAUSS n, = k

t

I

n4 = i

n, = ,

n3 =

" I

-k

Figura 8.4.3 Orientación exterior en el cubo.

En la figura 8.4.3 vemos que n 2 = k = - n1, n 4 = i = - n3 > n6

= j = -n5,

de modo que para un campo vectorial continuo F = Fli

+ Fzj + F3k,

g*~.d,=jIF.ndS=-JI,F3dS4~~F3dS-~~F~dS

Llegamos ahora al último de los tres teoremas centrales de este capítulo. Este teorema relaciona integrales desuperficie con integrales de volumen; en palabras, el teorema asegura que si R es una región en R3, entonces el flujo de un campo F hacia el exterior a través de la superficie cerrada aR es igual a la integral d e d i v F sobre R. (Ver l a página 479 para la interpretación de las integrales de superficie en términos de flujo.) TEOREMA 9: TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS

Sea una

región en el espa-

cio, del tipo IV. Denotar por dR la superficie cerrada orientada que acota a R.

532


ANALISIS

VECTORIAL

Sea F un campo vectorial suave definido en $2. Entonces

o, de manera alternativa,

DEMOSTRACI~N Si

8Q/8y

F = Pi+ Qj+ Rk,entonces por definición, div F = a P / d z l a aditividad de la

+ d R / d z , demodoquepodemosescribir(usando

integral de volumen)

+

Por otro lado, la integral de superficie en cuestión es (Pi+Qj+Rk).ndS Pi.ndS+~nQi.ndS+lnRk.nd.S.

El teorema se sigue si logramos probar las tres igualdades

Y

Probaremos la ecuación (3); las otras dos igualdades se pueden probar de manera análoga. Como S2 es una región del tipo I (así como también de los tipos I1 y 111), existe un par de funciones z = fl(Z,Y),

z =

f2(2,Y)>

cuyo dominio común es una región elemental D en el plano zy, tal que S2 es el conjunto de todos los puntos (x,y, z ) que satisfacen f ~ ( ~ ,5 y )

5 fz(~,y),

(z,Y)E D .

TEOREMA DE GAUSS

0.4

533

Por la fórmula (4) de la sección 6.1, tenemos

de modo que

La frontera de 0 es una superficie cerrada cuya tapa S2 es la gráfica de z = f i ( x , y), ( x , y) E D y cuya parte inferior S1 es la gráfica de z = f l ( z , y), ( x , y) E D . Los otros cuatro lados de dR están formados por las superficies S,,S,, S5 y S g , cuyas normales son siempre perpendiculares al eje z . (Ver, por ejemplo, la figura 8.4.4. Notar que pueden faltar algunos de los otros cuatro lados -por ejemplo, si L? es un bola sólida y dQ es una esfera- pero esto no afectar& el argumento.) Por definición,

/

z = ./.(x, y )

Figura 8.4.4 Una región $2 del tipo I para l a cual Jan Rk d S = J n ( a R / d z ) d V . Los cuatro lados de X 2 , que son S,,Sq, S S y SS tienen n o r n d e s perpendiculares al eje z.

Como en cada una de S,, S,,S5 y S 6 la normal 11, es perpendicular a k,teneluos k 11 = O a lo largo de estas caras, de modo que la inkgral se reduce a

-

La superficie S 1 está definida por z = f , ( x ! g ) ,dc modo que

534


ANALISIS

VECTORIAL

(como S 1 es la parte inferior de s 1 , para que nl apunte hacia afuera debe tener componente k negativa; ver el ejemplo 2). Así, nl . k =

-1

/(x,.-(g)2+l

Y

de modo que

r

r

AI sustituir las ecuaciones (6) y (7) en la ecuación (5) y después comparar con la ecuación (4), obtenemos

Las igualdades restantes (1) y ( a ) , se pueden probar de la misma manera para W completar demostración. la

El lector deberá notar que la demostración es análoga a la del teorema de Green. Por el procedimiento usado en el ejercicio 8 de la sección 8.1, podemos extender el teorema de Gauss a cualquier región que pueda partirse en subregiones del tipo IV. Esto incluye todas las regiones que nos interesan aquí. Como ejemplo, considerarla región entre dos superficies cerradas, una dentro dela otra. L a superficie de esta región consta de dos partes orientadas según se muestra en la figura 8.4.5. Aplicaremos el teorema de l a divergencia a dicha región cuando probemos la ley de Gauss en el teorema 10, más adelante.

0.4

TEOREMA DE GAUSS

535

Figura 8.4.5 Región más general a la que se aplica el teorema de Gauss.

SOLUCIÓN

Por el teoremadeGauss,

donde Cl es la bola acotada por la esfera. L a integral de la izquierda es (l+y+z)dV=2

Por simetría, podemos argumentar que ver el ejercicio 15, sección 6.1). Así,

S,

y dV =

S,

z dV =

O (como ejemplo,

(como la bola unitaria tiene volumen 4 ~ / 3 ver ; el ejemplo 1, sección 6.1). Los lectores se convencerán de lo difícil de manejar el cálculo directo de S , F ndS. A

-

EJEMPLO 4

Usar el teorema deladivergencia para evaluar

+ Y + .)

s,,(.2

donde W es la bola sóJida x2 + y’

+

2’

dS,

5 1.

SOLUCIÓN Para poder aplicar el teorema de la divergencia de Gauss, debemos hallar algún campo vectorial

F = Fli + F2j + R k

536

ANALISIS


11

VECTORIAL

= zi

+ yj + zk

+ +

+ +

pues en i3W, x 2 y2 z 2 = 1 y el radio vector r = rci y j zk es normal a l a esfera dW (figura 8.4.6). Por lo tanto, si F es el campo vectorial deseado, enbnces F -11 = E;z

+ F ~ +Y F ~ z .

y resolvemos para F l , E; y F3 para hallar que F=zi+j+k.

Calculando div F obtenemos

Así, por el teorema de (xz

la

+y +

divergencia de Gauss, Z)

dS =

4

dl’ = volumen ( W ) = “A. 3

X

Figura 8.4.6 n es la normal unitaria a d W , la frontera de la bola W

A

USS

8.4

TEOREMA DE

537

El significado físico de l a divergencia es que en un punto P, div F(P) esla tasa del flujo neto hacia el exterior en P por unidad de volumen. Esto se sigue del teorema de Gaussy del teorema delvalor medio para integrales (así como del suplemento a la sección 3.4): Si R, es una bola en R3 de radio p con centro en P , entonces existe un punto Q E R, tal que F

11 dS

=

.6,

div F dV = div F(Q) volumen

(n,)

de modo que 1 div F(P) = límite div F(Q) = límite -

F ndS.

P-0

Esto es análogo a la formulación del rotacional en términos de límite que se d a al final de la sección 8.2. Así, si div F ( P ) > O, consideramos P como una fuente, pues hay un flujo neto hacia el exterior cerca de P. Si div F(P) < O, P se llama sumidero de F . Un campo vect,orial F de clase C1 definido en R3 se llamasindivergencia si div F = O. Si F es sindivergencia,tenemos S, F d S = O para todas las se puededemostrarrápidamente superficiescerradas S. Elrecíprocotambién , F d S = O para todas las superficies cerradas usando el teorema de Gauss: Si S S , entonces F es sin divergencia. Si F es sin divergencia, vemos entonces que el flujo de F a través de cualquier superficie cerrada S es O, de modo que si F es el campo de velocidad de un fluido, la cantidad neta de fluido que fluye hacia afuera de cualquier región será O. Así, la misma cantidad de fluido debe fluir hacia adentro de la región que la que sale (en unidad de tiempo). Por lo tanto, un fluido con esta propiedad se l h m a incompresible. (En el ejercicio 22 se d a una justificación adicional de est,a terminología.)

-

-

+

+

EJEMPLO 5 Evaluar S , F d S , donde F(z,y, z ) = zy’i z’yj yk y S es la superficie del cilindro x’ + y’ = 1, acotado por los planos z = 1 y z = -1 e incluyendo las porciones x 2 y’ 5 1 cuando z = *l.

+

SOLUCIÓN Es posible calcular directamente esta integral pero, como en muchos otros casos, es más fácil usar el teorema de la divergencia. Ahora, S es la frontera de la región R dada por x’ y’ 5 1, -1 1. 2 5 1. Así, S, F d S = S,(divF) dl/. Más aún,

+

-

A ( d i v F) d V =

1

(x’

-+ y’)

d z dy dz =

(1 1

(x2

.C?+y?
=2

s2+y2<1

+

dx

dy)

dz

( 2 + y 2 ) dz dy.

Antes de evaluarla integral doble notamos quela, integral de superficie satisface SanF n d S =

S z 2 + y 2 g

( x 2 + y’) dx d y > O. Esto significa que ,S ,

F d S , el

538


flujo neto de F hacia afuera del cilindro, es positivo, lo cual concuerda con el hecho de que div F = x’ y’ 2 O dentro del cilindro. Cambiamos variables a coordenadas polares para evaluar la integral doble:

+

y = ~senO,

z =TCOS~,

O

5T5

Tenemos, por lo tanto, a(x,y)/a(r,O) = T y x 2

Por lo tanto, Ja div F dV = T .

1,

O

+ y2 = ?.

5 O 5 27r Así,

A

Como señalamos antes, el teorema de la divergencia de Gauss se puede aplicar a regiones en el espacio más generalesque las del tipo IV. Para concluir esta sección, usaremos esta observación para probar un resultado importante.

TEOREMA 10: LEYDEGAUSS

(O, O,O)

d M , tenernos

Sea M una región en R3 del tipo IV. Entonces si

donde r ( z , y, z ) = xi

+ y j + zk

Y

SECCIÓN OPTATIVA: DEMOSTFIACI~N DE LA LEY DE GAUSS

Primero suponer que (O, O ,O ) @ M. Entonces r / r 3 es un campo vectorial a M , de modo que por el teorema de la divergencia

S,,

Pero v . ( r / T 3 )= O para 8, sección 3 . 5 ) . Así,

T

C1 en M y

ET 3d S = / M V . ( 5 ) dV.

# O , como el lector puede verificar fácilmente (ver el ejercicio dS = O.

TEOREMA DE GAUSS

0.4

539

Supongamos ahora que (O,O, O) E M . No podemos seguir usando el método anterior pues r / r 3 no es suave en M, envistadeldenominadorcero en r = (O, 0,O). Como (O, 0,O) E M y ( O , O , O ) 6 d M , existe c > O tal que la bola N de radio c con centro en (O, O, O) está completamente contenidaen M . Ahora bien, sea R la región entre M y N . Entonces R tiene frontera d N U d M = S . Pero la orientación en d N inducida por la normal exterior en R es opuesta a la obtenida a partir deN (ver l a figura 8.4.7). Ahora, V ( r / r 3 )= O en 0 , de modo que por el teorema de la divergencia (generalizado),

-

t"

aM

Figura 8.4.7 Orientación exterior inducida en

S.

Como

donde n es la normal exterior a S , tenemos

Ahora bien, en a N , n = -r/r y r = c, pues a N es una esfera de radio que

, S,

Pero dS = 47rc2, el áreadesuperficiedelaesferaderadio resultado.

t.

c, de modo

Esto pruebael

540


ANALISIS

VECTORIAL

EJEMPLO 6 La ley de Gauss tiene la siguiente interpretación física. El potencial debido a una carga puntual Q en (O, O, O) está dado por

y el campo eléctrico correspondiente es

Así, el teorema 10 asegura que el flujo eléctrico total, ,S E dS (esto es, el flujo de E hacia afuera de una superficie cerrada d M ) es igual a Q si la carga está dentro de M y cero de no ser así. (En el ejercicio 14 se da una generalización.) Nótese que aún si (O, O, O) @ M , E continuará siendo diferente de cero en M . Para una distribución continua de carga descrita por medio de una densidad de carga p, el campo E está relacionado con la densidad p mediante

Así, por el teorema de Gauss,

o el flujo hacia afuera de una superficie es igual a la carga total dentro.

A

Suplemento a la Seccibn 8.4: Divergencia y rotacional en coordenadas polares y cilíndricas Usamos el teorema de Gauss para deducir la fórmula

l a

d i v F = --(p2Fp) P2 aP

1 aF0 + P senl d 84a (sen 4F+)+ psen 30 ~-

para la divergencia de un campo vectorial F en coordenadas esféricas (ver el teorema 5 de la sección 3.5). El método es usar la fórmula

S,,

div F(P) = límite -

n-P

vio)

donde R es una región con volumen V(R) que se encoge hasta un punto P (en el libro hemos tomado una bola Clp, pero podemos usar regiones con cualquier forma). Sea Cl

13.4 TEOREMA DE GAUSS

541

l a región sombreada de la figura 3 . 5 . 3 . Entonces para las dos caras ortogonales a la dirección radial, l a integral de superficie en la ecuación (9) es, aproximadamente, Fp(p

+ d p , 4 , O ) x área de la cara exterior

-

F p ( p I4, O )

X

área de la cara interior

= F p ( p + d p , 4, O ) ( p + d4)* sen 4 dQ dB - F P ( p ,4, B)p2 sen Q dQ dH z

a

( Fpp2sen 4) d p dd dB

(10)

-

aP

debido al teorema del valor medio para una variable. Dividiendo entre el volumen de l a región R , a saber, p2 sen 4 d p d$ dB, vemos que la contribución al lado derecho de l a ecuación (9) es

para estas caras. Asimismo, l a contribución de las caras ort,ogonales a. l a dirección 4 1 3 1 aF0 es -(sen 4F+,), y para la dirección O , . Sustituyendo en la ecuación osen 4 ad osen d 80 ( 9 j . y toman’do el límite se obtiene la ecuación’ ( 8 ) . L a fórmula para rot F en coordenadas esféricas se puede deducir de mancra análoga usando la fórmula (5) de la sección 8.2, a saber ~

~

La deducción de las fórmulas correspondientes en coordenadas cilíndricas es análoga.

EJERCICIOS 1. Sea S una superficie cerrada. Usar el teorema de Gauss para mostrar que si F es un campo vectorial C 2 ,entonces s,(V x F) dS = O. (Comparar con el ejercicio 14 de l a sección 8.2.) 2. Sea F = r3i unitaria.

+ y 3 j + z3k. Evaluar

la integral de superficie de

F sobre la esfera

+ +

,S

3. Evaluar F dS, donde F = x i y j zk y R es el cubo unitario (en el primer octante). Realizar directamente los cálculos y verificar usando el teorema de la divergencia. 4. Repetir el ejercicio 3 para

F=i+j+k (b) F = x 2 i x’j

+

5. Sea

+ z2k

F = yi+zj+xzk. Evaluar Jan Fads para cadau n a de las siguientrs regiones O:

+

(a) x 2 y’ 5 2 5 1 (b) x 2 + y 2 5 z < l y z > 0 (c) 2 + y 2 5 2 5 1 y x 5 o

542


m

+

Repet,ir ?I ejercicio 5 p a r a F = (3. - y); ( y - z ) j la parte (b) está en la Guía de cstudio de este libro.)

+ (t

-

z)k. (La solución sólo a

7. Sea S la superficie de l a regi6n 0 . Mostrar que

r n dS = 3 volumen

(a)

Intentar explicarlo geomdtricamente. (IDEA: Suponer que ( O , O, O ) E O y considerar el cono oblicuo con vértice en (O, O , O ) , base A S y altura Ilrll. Su volumen es $ ( A S ) ( r - n ) . ) 8. Evaluar unitaria. 9.

Evaluar

S,- F

dS, donde F = 3 x y 2 i

+ 3 z 2 y j + z 3 k y S es la superficie de l a esfera

& Fn, dA, donde F(x, y,

el primer octante. Efectuar directamente

la divergencia.

+

= x i yj - z k y es el cubo unitario en los cálculos y verificar usando el teorema de

t)

Evaluar laintegral de superficie SS,,F.ndA, donde F ( z , y , z) = i + j + z ( z 2 + y 2 ) 2 k y as es la superficie del cilindro z 2 y 2 5 I . O _< z 5 I .

+

12. Probar la identidad

*m

V*(FxG)=G-(VxF)-F*(VxG) Most,rar que J A ( l / r 2 ) d z d y d z =

S.(,

n / r 2 ) dS donde r = zi

+ yj + zk.

14. E‘ijar los vectores V I , .. . VI; E R3 y los números (“cargas”) q l , . . . , q k . Definir @(x, y, z ) = qr/(4x/lr- v, II), donde r = (z, y, z). Mostrar que para una superficie cerrada S y E = -V4,

cf‘=,

LE.dS=Q, d o d e Q es la carga total dentro de S. (Suponerque se aplicala ley de Gauss del trorrrna 10 y que ninguna de las cargas está en S . ) 15. Probar las identidades

d e Green

fVg.ndS=~(fV’g-Vf.Vg)dV (f v g - g V f )

* I1

dS =

(f V2g - g 0 2 f ) dv.

Suponer q u e F satisfacediv F = O y rot F = O . Mostrar que podemos escribir F = V f ,donde Ozf= O.

8.4

TEOREMA DE GAUSS

543

*17. Sea p una función continua cn n“ tal que p(q) = O excepto para (1 en alguna región R. Sea q E R denotada por cl = ( x , y , z ) . El potencial d r p se define como l a fnncicin

donde IIp - 911 es la distancia entre p y q . (a) Usando el método del teorclna 10, mostrarque Vd ndS’ = dW paraaquellasregiones W q u e puedanpart,irse en una unlonfinitaderegiones tipo IV. (b) Mostrar que 4 satisface la ccuación de Poisson

S,

,S

pdV

dcl

u2$h= - p . (IDEA: Usar la parte ( a ) ) . (Nótese que si pes una densidad de carga, entoncesl a intcgral que define a puede pensarse como la suma del potencial en p causado por las cargas puntuales distribuidas sobre R de acuerdo con la densidad p . ) Suponer que F es tangente a las superficies cerradas S de una regi6n

0 .

Probar

que Jl[(div F )

= o.

*19. Usar l a ley de Gauss y la simet,ría para probar que

el campo eléctrico debido a una carga Q esparcida uniformemente sobre la superficie de una esfera, es el mismo fuera de la superficie que el campo desde una carga puntual Q situada en el cent,ro de la esfera. ¿Cómo es el campo dentro de la esfera?

*20. Reformular el ejercicio 19 en términos de campos gravitacionales

21. Mostrar cómo se puede usar la ley de Gauss para resolver la parte (b) del ejercicio 25 en la sección 8 . 3 .

d(x,1) el flujo del campo vactorial F en R3 (ver l a sección 3 . 4 ) , y sea J(x,t ) el jacobiano de la función d t : x H d(x,t ) para t fija. 3 de la sección 3.4, mostrar que (a) Usando la demostración del teorema

*22. (Teorema del transporte). Sea

a

-](x, at

t ) = [div F(x)]J(x,t ) .

(b) Usando el teoremadecambiodevariables y laparte (a), mostrarque b) es una función dada y R c R3 es cualquier región, entonces

f ( z , y , z,

dt ///f(z,

Y, z )

nt

d?/ dz =

///(

+ f d i v F)

si

d z dy dz (ecuacióndetransporte)

donde Ot = qht(0), la cual es la región moviéndose con el flujo, y donde D f / D t = ¿5’f/at + DxfF es la derivada material (ejercicio 9, sección 3.3).

-

544

TEOREMAS INTEGRALES DELANALEE

( c ) ‘I’omar equiva1cntt.s:

f

VECTORIAL

= 1 en la parte ( b ) y mostrarquelassiguientesafirmaciones

son

( i ) div F = 0 ( i i ) volunlen(nt) = vollImen(R) (iii) J(x,t ) = 1

0 . .J. F y f como en el ejercicio 22. Probar que la forma vectorial del t,eorenla del transporte, a saber,

*23. Sean

donde F . V ( f F ) denota la matriz derivada de 3 x 3 D ( f F ) , que opera en el vector colurnna F; e n coordenadas cartesianas, F VG es el vector cuya i-ésima component,e es

SECCIÓN OPTATIVA

*8.5

APLICACIONES A LA FíSICA Y ECUACIONES DlFERENClALESt

Podernos aplicar los conceptos desarrolladosen este capít,ulo a la formulación de algunas como ecuación t,eorías físicas. Primero estudiaremos la importante ecuación conocida de conscrvacio’rr, En relación con flnidos, expresa la conservación de masa, y en la t,eoría electromagnética, la conservación de carga. Aplicaremos la ecuación a conducción de calor y a electromagnetismo. Sea V ( t .J . ! / , z ) 1111 campo vect,orial C’ en R3 para cada t y sea p ( t , x , y , z ) una función (1’ con valores reales. Por ley d e conservación de masa para V y p, entenderemos clue la condic-ibn

vale p a r a

todas las regiones 0 en

R 7 ,

donde J = p V ; ver la figura 8.5.1.

tEl lector encordrará iltil referirse a H. M. Sdley, Uiv, Nueva York, 1‘373. para ver más ejemplos.

Grad, Curl and AI1 T h a t , W . W . Norton,

8.5

545

APLICACIONES A LA FíSICA Y ECUACIONES DIFERENCIALES

J.n = masa fluyendo hacia afuera de R por unidad de área por unidad de tiempo.

Figura 8.5.1 La tasa de cambio de la masa en cruza 30.

R es igual a la tasa a la cual la masa

Si pensamos p como una densidad de masa(p podría ser también densidad de carga), esto eS, la masa por unidad de volumen, y V como el campo de velocidad de un fluido, l a condición dice simplemente que la tasa de cambio de la masa total en R es igual a la tasa a la cual la masa fluye hacia adentro de 0. Recordar que J n d S se llama el flujo de J . Necesitamos el resultado siguiente.

,S,

TEOREMA 11 P a r a V y p definidos en p es equivalente a la condición

div j

R3,la ley de conservación de masa

para V y

a P = O, +at

esto es, p d i v V + V - V p + - =aP O. at Aquí, div J significa que calculamos divJ manteniendo a t fija, y ¿?plat significa que diferenciamos p respecto a t para z , y y z fijas.

S,

DEMOSTRACIóN Primero, observemos que (dldt)

p d z dy dz = J,(ap/at) d3: dy dz y

debido al teorema de la divergencia. Así, la conservación de masa es equivalente condición (div j

+

g)

a la

dz dy dz = O.

Como esto debe cumplirse para todas lasregiones R, es equivalente a div J+ap/at = O.

m

546

TEOREMASINTEGRALESDELANALISISVECTORIAL

Figura852 La fuerza que a c t ú a s o b r e

por unidad de &rea es -!m

8.5


547

ÉSta es una cantidad vectorial; la i-ésima componenteFan de es la integral de la i-ésima componente de pn sobre la superficie an (entonces, esto es la integral de superficie de una función con valores reales). Si e es cualquier vector fijo en el espacio, tenemos

que esla integral de un escalar sobre Ó'R. Por el teorema de la divergencia y la identidad 8 de la tabla 3.1,

-

e Fan = -

S,

div(pe) dxdy dz

= - / ( gnr a d p ) . e d r d y d z , de modo que

F a =-1Vpdxdydz. Ahora aplicaremos la segunda ley de Newton a una región en movimiento Rt. Aquí, Rt = q$t(R), donde &(x) = q$(x,t ) denota el flujo deV. La tasa de cambio del momento de Rt es igual a la fuerza que actúa sobre ella:

$

p V dx dy dz = Fant -

1,

V p dx dy dz.

Aplicamos la forma vectorial del teorema del transporte al lado izquierdo (ejercicio23, sección 8.4) para obtener

Como R t es arbitrario, esto es equivalente a

d dt

-(pV)

+ V . V(pV)

+ p V d i v V = -VP.

Al simplificar usando la ecuación de continuidad de la fórmula

P(%+V.VV

1

(1') obtenemos

=-vp.

ÉSta es l a ecuación de Euler para un fluido perfecto. P a r a fluidos compresibles, p es una función dada de p (por ejemplo, para muchos gases, p = Ap' para constantes A y y ) . Si, por otro lado, el fluido es incompresible, p se determina a partir de la condición div V = O. Las ecuaciones (1) y (2) gobiernan entonces por completo el movimiento del fluido.

548


NOTA H I S T ~ R I C A Las ecuaciones que describen el movimiento de un fluido fueron deducidas por primera 1755, c‘n u n artículotitulado“GeneralPrinciples of the vez por LeonhardEuleren Motion of Fluids.”Euler realizó trabajo fundamental en mecánica así comoenmatemáticas puras; esencialmente L-l inició el terna de mecánica analítica (en oposición a los métodos geornétricos usados por Newton). A é1 se deben las ecuaciones de un cuerpo rígido (ecuaci6n que se aplica, por ejemplo, a un satélite q u e se desploma) y la formulación de varias ecuaciones básicas de la mecánicaen términos de valores mínimos de funciones. Euler escribió el primer libro de texto de cálculo y contribuyó, de hecho, a todas las ramas de las matemát,icas. Escribió varios libros y cientos de artículos de y a su muerk, en 1783, estaba t,rainvestigación después de quedar totalmente ciego, bajando en un nuevo tratado sobre mecánica de fluidos. Las ecuaciones de Euler para un fluidofueronfinalmentemodificadaspor Navier y Stokesparaincluirefectosde viscosidad;lasecuacionesresultantesde n’avier-Stokes sc describen en virtualmente todo libro de mecánica de fluidos. A Stokes se debe además, por supuesto, el teorema de Stokes, uno de los principales resultados e11 este libro.

Pasemos ahora a la ecuación de calor, una de las ecuaciones más importantes de las matemáticas aplicadas. Ha sido, y sigue siendo, uno de los mot,ivos principales para el estudio de ecuaciones diferrnciales parciales. Vamos a expresarnos de manera intuit.iva. Si T(t,T , y , z) (una función C’) denota la temperatura de un cuerpo en el tiempo t . entonces VT representa el gradiente de temperatura: el calor “fluye” s r g i n el campovectorial -VT = F. Nóteseque VT apunta en l a dirección en que crece T (capítulo 3 ) . Como el calor fluye de lo calientr a lo frío, hemos insertado un signo de resta. La densidad dr energía, esto es, la energía por unidad de volumen, es c p o T , donde r es una constante (calor específico) y p o es la densidad de masa, clue se supone constante. (Aceptamos estas afirmaciones de l a física elemental). El vector de ff ujo de cnergia es J = kF, donde k es una constante llamada conductividad. Proponemos que se conserve laenergía. E’orrnalment,r esto significa q u e J y p = c p o T deberán obedecer l a ley de conservación de masa, con p jugando cl papel de “masa” (nótese que es densidad de energía, no de masa); esto es,

Por el teorema 11, esta afirmacicin es equivalente a d i v J + -3=PO

at

Pero div J = div(-kVT) = - k V 2 T . (Recordar que V 2 T = a2T/¿?x2+ a2T/dy2 + a 2 T / a z 2y V2 es el operador de Laplace.) A continuación, t,enemos aplat = a ( c p o T ) /

8.5


donde calor.

K

549

= k / c p o se llama difusividad. La ecuación (3) es la importante ecuación de

Así como las ecuaciones (1) y (2) gobiernan el flujo de un fluido ideal, la ecuación

(3) gobierna la conducción de calor, en el sentido siguiente. Si T(0, z, y, z ) es una distribución de temperatura inicial dada, entonces está determinada una única T(t, z , y, z) que satisfaga la ecuación (3). En otras palabras, la condición inicial en t = O , nos d a

el resultado para t > O. Nótese que si T no cambia con el tiempo (caso estacionario), entonces se debe tener V Z T= O (ecuación de Laplace).

Estudiemosahoralasecuacionesde Maxwell, quegobiernan los camposelectromagnéticos. La forma de estas ecuaciones depende de las unidades físicas que se em47r, la velocidad de la luz y pleen, y al cambiar unidades se introducen factores como así sucesivamente. Consideraremos el sistema en el que las ecuaciones de Maxwell sean más sencillas. Sean E y H funciones C1 'de ( t ,z, y , z ) que son campos vectoriales para cada t . Va.n a satisfacer (por definición) las ecuaciones de Maxwell con densidad de carga p ( t , z, y , z ) y densidad de corriente J ( i , z, y, z) cuando se cumpla lo siguiente:

V EGauss), =p

(ley de

(4)

V H = fuentes Omagnéticas), hay(no

(5)

3H +at = O

(ley deFaraday),

(6)

aE v x H-=J at

(ley deAmpkre).

(7)

-

VxE Y

De estas leyes, las ecuaciones (4) y (6) se estudiaron en las secciones 8.4 y 8.2 en forma integral; históricamente, surgieron en estas formas como leyes físicamente observadas. La ley de Ampkre se mencionó como caso especial en el ejemplo 12, sección 7.2. Físicamente, se interpretaE como el campo eléctrico yH como el campo magnético. Conforme avanza el tiempo t , estos campos interactúan de acuerdo con las ecuaciones anteriores,entre sí yconcualesquieracargasycorrientesqueesténpresentes.Por ejemplo, la propagación de ondas electromagnéticas en el vacío está gobernada por estas ecuaciones con J = O y p = O. Como V H = O , podemos aplicar el teorema 8 de la sección 8.3 para concluir que H = V x A para algún campo vectorial A. (Estamos suponiendo que H está definido en todo R3 para cada tiempo t . ) Este campo vectorial A no es Único, y podemos usar igualmente A' = A V f para cualquier función f ( t , z , y, z ) pues V x V f = O . (Esta libertad en la selección de A se llama libertad de medición.) Para cualquier selección

+

550

ANALISIS


VECTORIAL

oH a O=VXE+-=VXE+-VXA (7 t at ¿IA =VXE+VX-=VX 31

aA E + -= - 0 4 at

V x (V

X

A ) = V ( V * A-) V 2 A ,

¿IE .I=VxH--=Vx(VxA)-¿I f

= V ( V * A-) V2A

V’A

-

a2A ~

at2

8’A ++ -dd(l V d ) .

= -J

at2

+ V(V

*

A) + “(Vd), i)

at

esto cs.

a‘ A V’A--=-J+V at2

e s t o e>.

(8)

8.5

APLICACIONES A

LA FíSICA Y ECUACIONES DIFERENCIALES

551

Debemos estar seguros de que podemos hacerlo. Supongamos que tenemos dado Ao y una 40 correspondiente; ¿podemos escoger on nuevo A = A0 + V f y después una nueva 4 tal que V A + 8 4 / 8 t = O? Con este nuevo A, la nueva 4 es 40 - ¿?flat; dejamos l a verificación como 11n ejercicio para el lector. Entonces la condición (10) sobre f se convierte en

.

O

+

Así, para poder escoger A y 4 que satisfagan V A 84/81 = O , debemos poder despejar f de la ecuación (11). Enefecto, es posiblehacerlobajoestascondiciones generales, aunque no lo probemos aquí. La ecuación (11) se llama la ecuación de onda u homogénea. Si aceptamos que A y se pueden escoger de modo que satisfagan V . A 2 4 / a t = O, entonces las ecuaciones (8) y (9) para A y 4 se convierten en

+

La ecuación (9’) se sigue de la ecuación (9) al sustituir V * A por -8qh/at. Así aparece de nuevo la ecuación de onda. Recíprocamente,si A y 4 satisfacenlasecuaciones V A 84/81 = O, V’4 a 2 4 / 8 t 2 = - p y V 2 A - 8’A/Ó’i2 = -J, entonces E = -Vd - aA/8t y H = V X A satisfacen las ecuaciones de Maxwell. Este procedimiento reduce entonces las ecuaciones de Maxwell al estudio de l a ecuación de onda.* Esto es una ventaja, pues las soluciones a la ecuación de onda se han estudiado bastante bien (se aprende a resolverla en la mayoría de los cursos sobre ecuaciones diferenciales). Para indicar la naturaleza ondulatoria de las soluciones, observar por ejemplo, que para cualquier función f,

+

resuelve l a ecuación de onda 0’4 - (8’qh/at2) = O. Esta solución simplemente propaga la gráfica de f como una onda; así, podemos conjeturar que las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son de naturaleza ondulatoria. Históricamente, ésta fue la gran aportación de Maxwell, y pronto condujo al descubrimiento de las ondas de radio, realizado por Hertz. *Hay variaciones de este procedimiento. Para mayores detalles ver, por ejemplo, G. F. D. Duff y D. Naylor, Differential Equations of Applied Mathematics, Wiley, Nueva York, 1966, o libros acerca de teon’a electromagnética, como el de J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, Wiley, Nueva York, 1962.

552

TEOREMASINTEGRALES DEL ANÁLISIS VECTORIAL

8.5


553

La“función” p(x) = S(x) representaunacargaunitariaconcentradaenun solo punto (ver las condiciones (i) y (ii) anteriores). Así, G(x, y)representa el potencial en x debido a una carga colocada en y. Afirmamos que la ecuación (12) se satisface si escogemos

Claramente, G(x,y) = G(y,x). P a r a verificar la segunda parte de la ecuación (12), debemos verificar que V2G(x, y)tenga las siguientes dos propiedades formales de la función 6: (i)

Y (ii)

V2G(x,y) = O

sR3V2G(x,y)dy

para

x#y

= 1.

La propiedad (i) es cierta, pues el gradiente de G es

r VC(x,y)= 4rr

’

donde r z x - y es el vector que va de y a x y T = llrll (ver el ejercicio 8, sección 3.5), y por lo tanto, para T # O, V VG(x,y) = O (como en el ejercicio mencionado). Para la propiedad (ii), sea B una bola alrededor de x; por la propiedad (i),

Esto, a su vez, es igual a

por el teorema de Gauss. Así, por el teorema 10,

as = 1, lo cual prueba la propiedad (ii). Así, una solución de V 2 u = p es

por el t,eorema 12.

554

TEOREMASINTEGRALESDELANALISISVECTORIAL

donde b7 cs una rcgicin en el espacio, S es s u frontera y 11 es el vector normal unitario esterior en cualquier p u n t o de S . A l reemplazar F por f o g . donde f y y son funciones escalares. obtenrmos

Esta es la identidad q u e usaremos. Considerar l a ecuación de Poisson

V21L= p en alguna región

I/,

y las correspondientes ccuacionrs para la función de Green

G(x, y) = G(y, x) Al insertar u y G en

la

y

V'G(x, y ) = 6(x - y ) .

ecuación ( 2 0 ) , obtenernos

( u V 2 G- GV'u) d l i =

dG

(uan

-

G e ) dS an


555

Escogiendo y como nuestra variable de integración se convierte en

y usando G(x, y) = G(y, X), esto

8.5

y por la ecuación (13),

aG

U-

an

-

¿?u G-) dS. an

Nótese que para una región noacotadaesto se vuelveidénticoanuestroresultado anterior, la ecuación (14), para todo el espacio. La ecuación (21) nos permite despejar u en una región acotada donde p = O , al incorporar las condicionesque u debe satisfacer en S . Si p = O , l a ccuación (21) se reduce a u=

aG

(u-

dn

¿?u - G-) dS, an.

o, por completo, a

donde u aparece en ambos lados de l a ecuación. El punto crucial es que la evaluación de la integral sólo requiere que conozcamos el comportamiento de u en S. Por lo común, u está dada en la frontera (para el problema de Dirichlet) o & / a n está dada en la frontera (para un problema de Neumann). Si conocemos u en la frontera, queremos hacer que Gdu/an se anule en la frontera para poder evaluar la integral. Por lo tanto, si u está dada en S debemos hallar G tal q u e G ( x , y ) se anule cuando y esté en S . ksta se llama función de Dirichlet-Green para la regióll V . Recíprocamente, si & / a n está dada en S , debernos hallar G tal que dG/¿?n se anule en S. Ésta es la función de Neumann-Green. Así, una función de Dirichlet-Green G ( x , y ) está definida para x y y en el volumen V y satisface las tres condiciones:

Y

(c)

G ( x , y ) = O cuando y está en S , la frontera de la

región V.

(Notar que por la condición (a), en las condiciones (1)) y (c), las variables x y y se pueden intercambiar sin variar la condición.) Quizá resulte sorprendente que l a condición (a) es en realidad una consecuencia de las condiciones (b) y ( c ) , siempre que ( b ) y (c) también se cumplan al intercambiar x Y Y.

556


Así, G ( x ,y) = G(y, x). Esto significa, en efecto, que no es necesario verificar l a COIIdición (a). ( A est,e resultado también se le conoce corno principio de reciprocidad.) Ent,onces, resolver un problema particular de Dirichlet o Neumann se convierte en l a t,area de hallar la función de Green apropiada. Haremos esto modificando la función de Green para ecuaciones de Laplace en todo R2 o R 3 , a saber, las ecuaciones (16) y (17). Como ejemplo, usaremos ahora el método bidimensional de la función de Green para construir la función de Dirichlet-Green para el disco de radio R (ver la figura 8 . 5 . 3 ) . Esto nos permitirá resolver V2u = O (o bien V 2 u = p ) con u dada en el círculo frontera.

Y

f”

Figura 8.5.3 Geometría de la construcción de la función de Green para

un disco.

En l a figura 8.5.3 hemos trazado el punto X sobre la. circunferencia, pues es ahí donde querernos que se anule G.* La función de Green G(x, y) que hallaremos será válida, *De acuerdo con el procedimiento anterior, se supone que G ( x , y) se anula cuando x o y está en C. Hemos escogido x en C para comenzar.

8.5

APLICACIONES A

LA FíSICA Y ECUACIONES DIFERENCIALES

557

por supuesto, para todo x y y en el disco. EL punto y' representa la "reflexiórt" del punto y ert la región fuera dcl círculo, tal quc ab = R'. Ahora bien, cuando x E C , por la semejanza de los triingulos xOy y xOy',

Por lo tanto, si escogemos nuestra funci6rl de Green como

vemos que C es cero si x está sobre C. Como r " a / R se reduce a r cuando y está sobre C , G también se anula cuando y está sobre C . Si podemos demostrar que G satisface V 2 G = S(x - y) en el círculo,entonceshabremosprobado que G es, en efecto,la función de Dirichlet-Green. Dc la ecuación (17) sabemos quc V2(log .)/?a = 6(x - y ) , de modo quc

V2G(x, y) = 6 ( x - Y) - 6("

-

Y'),

modo que x r~unca puede ser igual a

pero y' siempre está fuera del círculo, de S(x - y') siempre es cero. De aquí,

y' y

y así G es la función de Dirichlet-Green para el círculo. Ahora consideraremos el problema de resolver 0 2 u= o

en este círculo si u( R , S) = [(S) cs l a condición dada a la frontera. Por la ecuación (22) tenemos una solución u=

ac

(uan

-

au

G-) dn

dS.

Pero G = O en C , de modo que nos quedarnos con la integral u =

u

ac

x dS,

558

TEOREMASINTEGRALES DEL ANÁLISISVECTORIAL

donde podernos reemplazar I I por f ( H ) , pues la integral es alrededor de C . Así, la tarea de resolver el problema de Dirichlet C I I el círculo se reduce a la búsqueda de De la ecuacicin (33) podemos escribir

aG‘/an.

Ahora

Y donde r = x

-

y , de modo que Ó’T

an

-

r

a

n

T

-

~cos(nr) T

= cos(nr),

donde (n.) representa el ángulo ent,re n y r. Asirnisrrlo, dr!’ - = cos(nr”)

dn

En el triángulo x y 0 tenemos, por la ley de los cosenos, a2 =

y en el triángulo xy’O, tenemos

de modo que

Y

Por lo tanto,

r2

+ R2

-

2~Rcos(n~j,

8.5

APLICACIONES A LA FíSlCAY ECUACIONES DIFERENCIALES

Usando l a relación ent,rc

T

y

T“

559

cuando x e s t i sobre C , obtenenlos

R2 - a2

Así, la solución se puede escribir como

Escribamos esto en forma m i s explícita y tratable. En primer lugar, nótese que triángulo x y 0 podernos escribir r = [a2

+ R2

-

en el

2aRcos(S -

donde O y S’ son los ángulos polares en los espacios x y y respecl.ivamentc. En s e g u ~ ~ d o lugar, nuestra solución debe ser válida para todoy en el círculo; por lo tanto, l a distancia de y al origen debe ser ahora una variable, que llamaremos T ’ . Finalmente, notemos que ds = R dO en C , de modo que podemos escribir la solución en coordenadas polares como

Esto se conocecomo l a f6rmuJa de Poisson en dos dimensiones.* Comoejercicio, el lector deberá usar esto para escribir la solución a 02u= p con 11 una función dada /(O) en la frontera.

EJERCICIOS 1. (a) Dar los detalles de la afirmación que aparece

en l a piigina 546, de que

es equivalent,e a la ley de conservación d e masa.

*Hay varias maneras de deducir esta famosa fórmula. Para el m&todode variables complejas, ver J. Marsden y M. Hoffman, Basic Complex Analysis, 2a ed., Frecman, Nueva York, 1987, página 195. Para el métodode las series de Fourier ver J. Marsden,Elementary Classical Analysis, Freeman, Nueva York, 1974, página 466.

560


(b) Usando la parte ( a ) y el teorema del cambio de variables, mostrar que p(x,t ) sepuedeexpresar ent.érminos deljacobiano J ( x , t ) delafunciónde flujo d(x,t) y p ( x ,O ) con la ecuacirin P ( X >t ) J ( x t, ) = P ( X , O). (c) ¿Qué se puede concluir de la part,e

(b) para un flujo incompresible?

2. Sea V un campo vectorial con flujo d(x, 2 ) y que V y p satisfagan la ley de conservación de masa. Sea R t la región transportada con el flujo. Probar la siguiente versión del teorema del transporte (ver el ejercicio 22, sección 8.4):

3. (Ley de Bernoulli) (a) Sean V y p que satisfagan l a ley de conservación de masa y la ecuación ( 2 ) (ecuación de Euler para un fluido perfecto). Suponer que V es irrotacional y, por lo tanto, que V = Vd para una función 4. Mostrar que si C es una trayectoria que conecta dos puntos PI y P2, entonces

(IDEA:Se requerirá la identidad

(V V)V = p

( p q 2 )

+ (V x V) x v

de la tabla 3.1, sección 3 . 5 . ) (b) Si en la parte (a), V es estacionario -esto mostrar que

es constante en el espacio. Deducir que, con rapidez de fluido más lenta.

es, ¿?V/¿?t = O-

y p es constante,

en esta situación, se asocia presión

más alta

Usando el ejercicio 3 , mostrar que si satisface la ecuación de Laplace V2d = O, entonces V = Vd es una solución estacionaria de la ecuación de Euler para un fluido incompresible perfecto con densidad constante.

J

Verificar que las ecuaciones de Maxwell implican la ecuación de continuidad para Y P.

Denotemos por H el semiplano superior z 2 O. Para un punto x = (x,y, z ) en H , sea R(x) = (z, y , -z), la reflexión de x en el plano zy. Sea G ( x , y) = --1/4nllx - y11 l a función de Green para todo R3. ( a ) Verificar que la función G definida por G(X, Y) = G ( x , Y ) - G ( R ( x ) ,Y) es la funcicin de Green para el laplaciano en H

8.5


(11)

561

Escribir una f6rmula para l a solución u del problema

7. (a) Con l a notación como en l a Elgnra 8.5.3, mostrar que el problema de Dirichlet R en tres d i r n c n s i o n c s tiene funci6n de Creen

para l a esfera de radio

(:(.,y)

1 =Ill

(-R -)1 UT”

-

T

562


P

t

Figura 8.5.4 Características de l a ecuación u t 9.

+ u u z = O.

Repetir el ejercicio 8 para l a ecuación Ut

+ f(u),= O.

(24)

donde f” > O y f’(uO(z2)) > O. Las características se definen ahora mediante i = f ’ ( u ) , t = l . Decimos que la ecuación(24) está en forma de divergencia. (Este ejercicio muest.ra que, en general, es imposible hallar una solución continua -;independient,emellt,e de l a suavidad de f ! ) IO. (Solucionesdébiles)Comolasecuacionesdelaformadelejercicio

Y surgen en

m u c h a s aplicaciones físicas (dinámica de gases, magnetohidrodinámica, óptica no lineal

(lasers)) y debido a que sería agradable que existiera una

solución para t,odo tiempo

( t ) , es deseable t,ratar de encontrar el sentido de l a ecuación, reint,erpret,ándola cuando

se desarrollan discontinuidades. Para ello, sea 4 = d(z, 1) una función de clase C1. Sea D u n rectángulo en el plano z t determinado por “n 5 z 5 m y O 5 t 5 T,tal quc d(z, t ) = O para x = km,z = T y para toda (x,t ) en e¡ serniplano snperior fuera de D . Sea u una solución “legít,ima” de la ecuación (24). ( a ) Mostrarque

111

+

[u$% f(u)$?%.] dz dl

t >O

+

L

O

?(O(S)d(Z, O) d S

= 0.

(25)

(IL>I.;A: C o r n r n z a r con J J D [ u t + f ( ~ ~ ) , ] b d z = d t O.) Así, si u es una soluciónsuave, entonceslaecuación (2.5) se cumple para t,oda d, s c g i n sc dcscrihici antcriormentc. Llamamos a l a función 71 una solucidn drihil de la ec:uacibn (24) si l a ecuacihll ( 2 5 ) st‘ cumple para dichas d . ( h ) Most,rar que si u, es una soIución dCbiI que sea c 1 cn u n corrjuntoatlicrto 62 en la. rnit,acl superior del plano x t , entonces II es nna soluci6n legítin~adr l a wuac-ititl

( 2 4 ) cn R.

11. (C‘orldicidn de salto, tambiénconocida en dinámica de gases como condicibrl tic. Rankinr-~Illgoniot.)La definición de u n a solución dbbil dada en el ejercicio 10. claranlent,eadmitesolucionesdiscontinuas. Sin embargo. el lector t l e k r r n i n a r á ahora q u c no es admisible todo tipo de discontinuidad, pucs hay u n a conc:sihn e n t r e l a c u r v a de discontinuidad y los valores de l a solución en ambos lados de l a discontinuidad. Sea 71 una solución (débil) de l a ecuación ( 2 4 ) y suponer que r es u n a c u r v a suave en el plano zh tal que u “salta” a’tra.vés de la curva r; esto es, 11 es d c claw C“ csc.c,pto por u n a discont,inuidaddesaltoatravésde T. Llamamos a i- u n a onda de cl~oqc~c~. Escogrr u n punto P E r y construir, cerca de P, un “rectángulo” D = D l U D2. s e g ~ n se muestra en l a figura 8.5.5. Escoger .i que se anule en D y fuera d e D .

8.5


563

f

Figura 8.5.5

La soluciór~u

s a l t a en valor

de

( d ) Mostrar que e11 el punto P sobre

[.I

uI

a

u2

a traves de 1'.

I',

=

[f(.)l>

(26)

donde S = d x / d t en P. El número S se llama rapidez de la discontinuidad. La ecuación (26) se llama condici6n de salto; es la relación que cualquier solución discontinua satisfirá.

564


12. (Pérdida de la unicidad) Un inconvenienteparaaceptarsolucionesdébilesesla pérdida de unicidad. (En dinámica de gases, algunas soluciones matemáticas son extrañas y rechazadassegún basesfísicas. Por ejemplo,lassolucionesdiscontinuasde ondas de choque de rarefacción son rechazadas porque indican que la entropía decrece a través de la discontinuidad.) Considerar la ecuación

ut

+

);(

u(x,O) =

con datos iniciales

= O,

x>o

X

(-1,

a-1

t < 2

x

(Sepuedemostrarquesi f” > O , se puederecuperarlaunicidadimponiendo restricciones adicionales a las soluciones. Así, existe una única solución que satisface las condiciones de “entropía” u(x a , t) - u ( x , t ) E

+

a

‘7

para alguna E > 0 y t o d a a # O. Entonces para t fija, u(x,t)sólo puede “saltar hacia abajo” conforme z crece. En nuestro ejemplo, esto se cumple sólo para la solución con cy = 1.) 13. (La solución a la ecuación (24) depende de la forma particular de la divergencia usada.) La ecuación ut u,uz = O se puede escribir en las dos formas de divergencia

+

ut

+ ($u’)z = o + (ju3)5 = o

(i) (ii)

Mostrar que una solución débil de la ecuación (i) no necesariamente es una solución débil de la ecuación (ii). (IDEA: Las ecuaciones tienen diferentes condiciones de salto: en la ecuación (i) S = f ( u 2 u l ) , mientras que en la ecuación (ii) S = :(u; u1uz .?)/(u2

+

+

+

+

Ul).)

14. ( N o invariancia de soluciones débiles bajo transformaciones no lineales) Considerar la ecuación (24) donde f” > O. (a) Mostrar que la transformación u = f ’ ( u ) lleva esta ecuación a l)t

+ uvz = o.

(27)

(b) Mostrar que la transformación anterior no necesariamente manda soluciones ( 2 7 ) . (IDEA: discontinuas de la ecuación (24) a soluciones discontinuas de la ecuación Verificar las condiciones de salto; para la ecuación ( 2 7 ) , S[.] = +[u2]implica s [ f ’ ( u ) ]= ; [ f ’ ( ~ ) ~ ]para ; la ecuación (24), s[u] = [f(u)].)

8.5


565

15. (Requiere conocimiento de números complejos) Mostrar que la f6rmula de Poisson en dos dimensiones se puede escribir como

donde z‘ = ~ ’ e ” ’ . 16. Paraunadistribucióndecargaestacionaria y unadistribucióndecorrient’e divergencia, los campos eléctrico y magrtético E ( z , y, z ) y H ( z ,y , r ) satisfacen

sin

V x E = OV , - H = OV , . J = OV , . E = p yV x H = J . Aquí, p = p ( z , y, z ) y J ( z ,y, 2 ) se suponen conocidas. (Las constantes t y /I. que aparecen usualmente, se han tomado iguales al a unidad por medio de selecci6n de unidades.) L a radiación que producen los campos a través de la superificie S, se determina por nn campo vectorial de densidad de flujo de radiación, llamado campo vectorial de Puynting,

P=ExH Si S es una superficie cerrada, mostrar que el flujo de radiación a t,ravi.s de S dado por el campo anterior, está dado por

donde V es la región encerrada por S. (b) Los ejemplos de dichos campos son

+ yk, H(z,y, z ) = -zyi + zj + yrk. E(1, Y,

2)

=4

Hallar el flujodelcampovectorialdePoynting a travésde l a cubiertasemiesférica mostrada en la figura 8.5.6. (Nótese que es una superficie abierta.)

X

Figura 8.5.6 Superficie para el ejercicio lG(b).

566


ANALISIS

VECTORIAL

(c) Los campos de la part,e ( b ) producen un campo vectorial de Poynting que pasa en la figura 8.5.7. iCuál es el flujo a travC.5 de este toro? a través de la superficie toroidal mostrada

X

Figura 8.5.7 La superficie para

el ejercicio 16(c).

SECCIÓN OPTATIVA

*8.6

FORMASDIFERENCIALES

La teoría de las formas diferenciales proporciona una manera conveniente y elegante de expresar los tcoreruas de Green, Stokes y Gauss. De hecho, el uso de formas diferenciales muest,ra clue todos estos teoremas son manifestaciones de una sola teoría matemática subyacente y proporciona el lenguaje necesario para generalizarlos a n dimensiones. En esta scxción haremos una exposición m u y elementhl de la teoría de las formas. Como n u e s t r o objetivoprincipal es mostrar que los t.eoremas de Green, Stokes y Gauss se pueden unificar bajo u n solo teorema, nos daremos por satisfechos con algo menos que la versi6n más fuerte de est.os teoremas. Más aún, introduciremos formas de manera puramente axiolnática y no constructiva, ejadiendo asi la tremenda cantidad de preliminares algebraicos formales que por lo general se requieren para su construcción. Para ~1 purist,a, nuestro enfoque estará lejos de est,ar completo, pero podrá ser comprensible para el cstu(1iant.e. Esperarnos que esto motive a algunos estudiantes a escarbar más en l a teoría de las formas diferenciales. Cotnenzawmos introduciendo el concepto de O-forma.

8.6

567

FORMAS

Dadas dos O-formas una nueva O-forma f l

EJEMPLO 1

f1

y

f2

en

podemos sumarlas de la manera usual para obtener O-forma f ~ f z .

+ fz, o multiplicarlas para obtener la

f ~ ( x , yz,) = x y

fir,

+ yz y f 2 ( x , y , z ) = ysen xz son

Y ( f 1 f 2 ) ( ~ , y, 2)

= y2x sen z z

+ y2zsen xz.

O-formas en R3.

A

DEFINICIóN Las 1-formas básicas son las expresiones dx, dy y dz. En este momento las consideramos sólo símbolos formales. Una 1-forma w en un conjunto abierto K es

una combinación lineal formal

o simplemen te

u=Pdx+Qdy+Rdz, donde P, Q y R son funciones con valores reales, definidas en K . Por la expresión P d x entendemos la I-forma P d x O ’ dy O . dz y de manera similar para Q dy y R d z . Además el orden de P d x , Q d y y R d z n o tiene importancia, de modo que

+

+

Pdx+Qdy+Rdz=Rdz+Pdx+Qdy,

etc.

Dadas dos I-formasw1 = P I dx + Q1 dy + R1 dz y w2 = P 2 dx + Qz dy + Rz dz, podemos sumarlas para obtener m a nueva I-forma w1 WZ, definida por

+

y dada una O-forma f , podemos formar la I-forma f w l definida por

EJEMPLO 2 Sean 1-formas. Entonces

= (x

+ y2) dx + ( ~ ydy) + (e2yz) dz y wz = sen y dx + sen

+ wz = (x + y’

+ s e n y) dx

+ (zy + sen 2 ) dy + (eZy”) dz.

Si f ( z , y , 2) = x, entonces fwz =zsenydx+zsenzdy.

A

3:

dy

568

DEL ANALISISVECTORIAL

TEOREMASINTEGRALES

Figura 8.6.1 El orden cíclico de d x , d y y d z .

DEFINICIóN Las t f o r m a s básicas son las expresiones formales d x d y , d y d y z dz d x . Estas expresiones deben pensarse como los productos de d x y d y , d y y d z , y d z y d x .

Una %forma 11 en li es una expresión formal

q=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx, donde F , G y H son funciones reales definidas H d z d x no es importante; por ejemplo,

en K . El orden d e F d x d y , G d y d z y

Fdxdy+Gdydz+Hdzdx=Hdzdx+Fdxdy+Gdydz,

etc

En este punto es útil notar queen una 2-forma, las I-formas básicasd x , d yy dz siempre aparecen en pares cíclicos (ver la figura 8.6.1), esto es, d x d y , d y d z y d z d x . Por analogía con las O-formas y las 1-formas, podemos sumar dos 2-formas 17,

+

= F, d x d y G , d y d z

+ H , dz d x ,

i = 1 y 2, para obtener una nueva 2-forma,

De maneraanáloga, producto

si f esuna

fo

O-forma y si 9 esuna2-forma,podemostomar

= ( f F : )d3: d y

+ (fG)d y dz + ( f H j d z

dx.

Finalmente, por la expresión F d x d y entenderemos la 2-forma F d x dy

dz d x .

EJEMPLO 3

Las expresiones 71

el

=xZdxdy+y3~dydz$senzydzdx

+O

d y dz + O

-

8.6

569

FORMAS DIFERENCIALES

son 2-formas. Su suma es 71+72 = x 2 d z d y + ( y 3 x + y ) d y d z + s e n z y d z d x .

Si f ( x , y, z ) = xy, entonces

f712 = "y2 dydz.

A

DEFINICIóN Una 3-forma básica es una expresión formal dx dy dz (en orden cíclico, figura 8.6.1). Una 3-forma u en un conjunto abierto K c R3 es una expresión de la forma v = f ( x , y ,z) d x d y d z , donde f es una función con valores reales definida en h'.

Podemossumasdos3-formasymultiplicarlaspor O-formas delamaneraobvia. Parece no haber diferencia entre una O-forma y una 3-forma, pues ambas incluyen una sola función con valores reales. Pero las distinguiremos con un propósito que se aclarará más adelante, cuando multipliquemos y diferenciemos formas.

Sean V I = y d x d y d z , u2 = eZ2dxdy dz y f ( x , y , = ( y + e Z 2 ) d x d y d z y fvl = y2zzdxdydz. A

EJEMPLO 4 VI + u 2

2)

= a y z . Entonces

Aunque podemos sumar dos O-formas, dos 1-formas, dos 2-formas o dos 3-formas, no necesitamos sumar una k-forma y una j-forma si IC # j. Por ejemplo, no necesitaremos escribir

f(z,Y, z ) d2: dY +!?(x, Y, z) dz Ahora que hemos definido estos objetos formales (formas), resulta válido pregunLa tarnos para qué sirven, cómo se usan y, quizá lo más importante, qué significan. respuesta a la primera pregunta se aclarará conforme sigamos avanzando, pero de manera inmediata podemos describir cómo usarlas e interpretarlas. Una función con valores reales definida en un dominio K en R3 es una regla que asigna a cada punto en K unnúmeroreal. Las formasdiferencialesson,encierto sentido, generalizaciones de las funciones con valores reales que hemos estudiado en ' son simplemente funciones cálculo. De hecho, las O-formas en un conjunto abierto h en K . Así, una O-forma f manda puntos de h ' a números reales. Preferimos interpretar las k-formas diferenciales (para k 2 l), no como funciones definidas en puntos de K , sino como funciones definidas en objetos geométricos tales como curvas y superficies. Muchos de los antiguos geómetras griegos consideraron a las rectas y curvas formadas por infinidad de puntos, y a los planos y superficies formados

570


ANALISIS

VECTORIAL

por infinidad de curvas. En consecuenciahay al menos cierta justificación histórica para aplicar esta jerarquía geonlét,rica a la interpretación de las formas diferenciales. Dado un subconjunto abierto Ií de K (ver la figura 8.6.2):

c R3,distinguiremos cuatro tipos de subconjuntos

(i) puntos en Ií, (ii) curvas simples orientadas y curvas C cerradas simples orientadas, en (iii) superficies orientadas

S c Ii,

(iv) subregiones elementales (de tipos

I al I V ) R

K,

c lí.

Y

Figura 8.6.2 Los cuatro tipos geométricos de subconjuntos de un conjunto abierto R3 a los que se aplica l a teoría de las formas.

Zi C

Comenzaremos con las 1-formas. Sea

una 1-forma en K y sea C una curva orientada simple como en número real que w asigna a C está dado por la fórmula

l a figura 8.6.2.

El

8.6

FORMAS

S71

Recordar (ver lasección 7.2) que esta integral se evalúa como sigue. u: Sea [u, b] -+ K , a ( t )= ( x ( t ) ,y(t), ~ ( t )una ) parametrización que preserva la orientación de C. Entonces

S,

El teorema 1 de la sección 7.2 garantiza que w no depende de la selección de la parametrización u. Podemos entonces interpretar una 1-forma w en K como una regla que asigna un número real a cada curva orientada C c K ; una 2-forma 7 ,de manera similar, se verá S c h-;y una como una regla que asigna un número real a cada superficie orientada 3-forma v será una regla que asigne un número real a cada subregión elemental A'. Las reglas para asociar números reales con curvas, superficies y regiones están contenidas por entero en las expresiones formales que hemos definido.

+

+

EJEMPLO 5 Sea w = x y d x y2 d y d z una 1-forma en R3 y sea C la curva simple orientada en R3 descrita por la parametrización u ( t ) = (t2,t 3 ,l ) , O 5 1 5 1. C está orientada escogiendo la dirección positiva deC como la dirección en la que u ( t )recorre C conforme t va de O a 1. Entonces, por la fórmula ( l ) , w

= L1[t5(2t)

+ t 6 ( 3 t 2 )+ O] d t =

sew.

L1

(2t6 + 31') dt =

E.

Así, esta 1-forma w asigna a cada curva simple orientaday a cada curva cerrada simple orientada C en R3 el número A Una2-forma 7 enunconjuntoabierto K c R3 sepuedeinterpretardemanera análoga como una función que asocia con cada superficie orientada S c K un número real. Esto se logra por medio del concepto de integración de 2-formas sobre superficies. Sea

7 = F ( x , y , z) d x d y

+ G ( s ,y, .z) d y d z + H ( x , y, z ) d z d x

u n a 2-forma en A', y sea S C K una superficie orientada parametrizada por una función 9:D -+ R3, D c R2, %(u,u ) = (.(u, u ) , y ( u , u ) , z ( u , u ) ) (ver la sección 7.3).

I. I. =

Fdxdy+Gdydz+Hdzdx

572


donde

.

Si S está compuesta de varias piezas S , , z = 1 , . . . k como en l a figura 8.4.4, cada una , definimos con s u propia parametrización

+,

S,

Debemos verificar que 7 no depende de la selección de la parametrización @. Este resultado está esencialmente contenido (aunque no obvio) es en el teorema 4, sección 7.6.

EJEMPLO 6 Sea 17 = z2 d x d y una 2-forma en superior en R 3 . Hallar 7.

SS

SOLUCIóN

R3,y sea S lasemiesferaunitaria

Parametricemos S mediante +(u,

donde (u,u) E D = [O,

./a]

v) = X

(sen u cos v , sen u sen v , cos u),

[O, 2.1.

Entonces, por la fórmula (2))

donde cos u cos 1) cos u sen v

-

sen u senv sen u cos u

= sen u cos 11 cos2 v

+ cos u sen u sen'

v = sen u cos u.

Por lo tanto,

EJEMPLO 7 Evaluar p o r Ia parametrización

S, 1:

+

x dy d z y dl; dy, donde S es la superficie orientada descrita = u v, y = u ' - u', z = uu,(u,u) E D = [O, 11 x [O, 11.

+

8.6

573


SOLUCIóN

Pordefinición,tenemos

= 2(u2

+ u’);

En consecuencia,

lxdydz+ydxdy

=S,

+

+

[ ( u v)(2)(u2 v’)

+ (u’

-

v2)(-2j(u

+ u ) ]du dv

= 4 L ( v 3 + u v ~ ) ~ =u4~ v

Finalmente,debemosinterpretarlas3-formascomofuncionesenlassubregiones elementales (de tipos I a IV) de K . Sea u = f ( x , y, z) dx dy d z una 3-forma y sea R c K una subregión elemental de K . Entonces a cada R c K asignamos el número

que es simplemente la integral triple ordinaria de sección 6.1. EJEMPLO 8 SR

Suponer que

u

= (x

f sobre R, según se describe en

+ z) dsc dy d z y R

la

= [O, 13 x [ O , 11 x [O, 11. Evaluar

v.

SOLUCIÓN

Calculamos:

=[;+y] 2

1

O

=l.

A

Estudiaremos ahora el álgebra (o reglas de multiplicación) de formas, que, junto con la diferenciación de formas, nos permitirán enunciar los teoremas de Green, Stokes y Gauss en términos de formas diferenciales.

574


Si w es una k-forma y 9 es una 1-forma en K , 0 5 k+Z 5 3 , existe un producto llamado producto exterior w A 1) de w y 7) que es una k ¿-forma en K. El producto exterior satisface las leges siguienbes:

+

(i) Para cada k existe una k-forma O, cero, con la propiedad de que O toda k-forma w y O A 9 = O para toda I-forma 11 si O 5 k 1 5 3.

+

(ii) (Distributividad) Si

f es una O-forma, entonces

(iii) (Anticonmutatividad) (iv) (Asociatividad) Si k~ 5 3 , entonces

k2

+

+ w = w para

w A 1)

w 1 , w2

= ( - l ) k L ( rA, w ) .

y w3 son kl, k2 y

A (u2 A

~1

WQ)

=(

~

k3

A1 ~

formas, respectivamente, con 2

A )~

3

kl

+

.

( v ) (Homogeneidad respecto a funciones) Si f es una O-forma, entonces A (f??) = (SU)A 7)

Nótese que las reglas (ii)

= f(w A 9).

y (iii) en realidad implican l a regla ( v ) .

(vi) Se cumplen las siguientes reglas de multiplicación para 1-formas: dz A

dy = dz tly

dy A dz = -dx dy = (-l)(dz

A

dy)

dy A dz = dy d t = ( - l ) ( d z A dy) di A

d x = dz dx = (-l)(dz

dzAdT=O,

A dz)

dyAdy=O,

d z A ( d y A d t ) = ( d z A dy) A dt

dzAds=O

= dx dy dz.

(vi;) Si f es una O-forma y w es cualquier k-forma, entonces

f A w = fw

Usando las leyes (i) a la (vi;), podemos hallar ahora un producto ¿-forma 9 y cualquier k-forma w, s i O 5 k 1 5 3.

Único de cualquier

+

EJEMPLO 9

Mostrar que d z A dy d z = d z dy d z .

SOLUCIÓN

Por la regla (vi), d y d r = dy A d z . Por lo tanto, d z A dy d z = dx A (dy A dt) = dx dy dz.

A

8.6

575


EJEMPLO 10

Siw=zdz+ydyy1)=zydz+zzdy+zydz,hallarwA11

Calculando w A q , seobtiene

SOLUCIóN

EJEMPLO 11

Siw=zdx-ydyy~=zdydz+zdzdy,hallarwA~.

SOLUCIÓN wA~=(zdz-ydy)A(zdydz+zdzdy)

=[(zd~-5(dy)A(zdyd~)]+[(3:d2-yddy)A(~dzdy)]

= (z’ d z

A

dy dz) - (zy dy A dy dz)

+ ( z z dz A dz dy) - (yz dy A d z dy)

= [z’ d z A (dy A dy)] - [yz dy A (dy A dz)]

+ [ z z d z A (dz A dy)] - [y” dy A (dz A dz)]

= z’ d z dy dz - [zy(dy A dy) A dz]

+[

~ ~ (A ddz) z A dy] - [yz(dy A dz) A d y ]

= z 2 dl: dy dz - zy(0 A dz) = z 2 dz dy dz.

+ zz(0 A dy) + [yz(dy A dy) A d z ]

A

El último paso importante en el desarrollo de esta teoría es mostrar cómo diferenciar formas. L a derivada de una k-forma es una (IC 1)-forma si k < 3 y l a derivada de una 3-forma siempre es cero. Si w es una k-forma, denotaremos l a derivada de w por dw. La operación d tiene las propiedades siguientes:

+

(1)

Si f:I<-+ R es un O-forma, entonces

(2)

(Linealidad) Si w1 y wp son k-formas,entonces d(w1+ w 2 )

= dwl

+

dW2.

576

(3)


Si w es una k-forma y 7 es u n a l-forma,

d(w (4)

d(&)

A 7) =

(dd

A

71)

+ (-1

= O y d ( d z ) = d(dy) = tl(dz) = O , o simplemente,

d2

=O

Las propiedades (1) a (4) proporciollaninformaci6nsuficienteparapermitirnos renciar de manera ilnica cualquier forma.

difcs-

SOLUCIÓN

(usalldo 2 ) (usando 3 )

(usando 4)

EJEMPLO 13 Sea f una O-forma. (bando scilo las reglas de diferenciacidn el h e c h o d e q u e d ( d z ) = d(dy) = d ( d z ) = O , mostrar que d(df) = O.

SOLUCIÓN

de modo q u e

Por la regla (11,

(1) a

(3) y

8.6

FORMASDIFERENCIALES

577

Trabajando sólo con el primer término, usando la regla

= ( g d x + -

--

ayax

azax

a 2af y day x+

dy A dx

--a2fdxdy+

ayax

(3), obtenemos

azax d l )

A

dx

+O

+d zA d x azax -d z d x .

De manera análoga, hallamos que

azay

Y

- a2 d y fd z .

a yaz

Al sumarlos obtenemos d ( d f ) = O por la igualdad de las derivadas parciales mixtas.

EJEMPLO 14

Mostrar que d ( d x d y ) , d ( d y d z y) d ( d z d x ) SOR cero.

SOLUC~ÓN Para probar el primercaso,usamoslapropiedad

d ( d x d y )= d ( d x A d y ) = [ d ( d x ) A d y

LOS otros casos son similares.

SOLUCIóN

Porlapropiedad

(3):

- d x A d ( d y ) ] = O.

A

(2)

dV=d(Fdzdy)+d(Gdydz)+d(Hdzdx). Calcularemos d ( F d x d y ) .Usando de nuevo la propiedad

( 3 ) , obtenemos

+

d ( F d x d y=) d ( F A d x d y )= d F A ( d x d y ) F A d ( d x d y ) .

A

578


Por el ejemplo 14, d ( d x dy) = O, de modo que nos queda

Y dz A ( d z A dy) = (-1)2(dz A &y) A d z = dz dy d z .

En consecuencia

d ( F dz dy) =

aF

- d~

ai

dy dz.

De manera análoga, hallamos q a e

Por lo tanto

Hemos desarrollado todos los conceptos necesarios para reformular Green, Stokes y Gauss en el lenguaje de formas.

los teoremas de

Sea D una regiSn elemental en el plano x y , con d D con orientación contraria a la que giran las manecillas del reloj. Suponer que w = P ( x ,y) d z + Q ( z , y ) dy es una I-forma en algrín conjunto abierto I< en R 3 que contenga a D . Entonces

TEOREMA 13: TEOREMA DE GREEN

lI1/: w

=

dw.

Aquí dw es una 2-forma en IC y D es. de hecho, una superficie en R3, parametrizada por ¿@: D -+ R3, +(.,y) = (z, y, O ) . Como P y Q no son, explícitamente, funciones de 2 , entonces a P / d z y aQ/az = O y por el ejemplo 1 2 , dw = ( a Q / a x - a P / d y ) d x dy. En

8.6

579

FORMASDIFERENCIALES

consecuencia, el teorema 13 significa nada más que

que es precisamente el teorema de Green presentado en la sección 8.1. Entonces se cumple el teorema 13. Asimismo, tenemos los siguientes teoremas. TEOREMA 14: TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie orientada enR3 con una fron-

as [figura 8.6.3) orientada según la frontera tera formada por una curva cerrada simple d e S [ver la figura 8.2.1). Suponer que w es una I-forma en algún conjunto abierto 'h m e contiene a S . Entonces

f"

k'

x

/S

P-

Figura 8.6.3 Superficie orientada en la que se aplica el teorema de Stokes.

Sea 0 C R3 una región elemental con Ó'O con l a 8.4). Si q es una 2-forma en algunaregión K que

TEOREMA 15: TEOREMA DE GAUSS

orientaciónexterior (versección contiene a R. entonces

Quizá los lectores ya notaron la fuerte analogíaen los enunciados de estos teoremas. En l a s formulaciones para campos vectoriales hemos usado divergencia para regiones en R3 (teorema de Gauss), rotacional para superficies en R3 (teorema de Stokes) y

580


ANALISIS

VECTORIAL

en R3 (teoremadeGauss),rotacionalparasuperficiesen R3 (teoremadeStokes) y regiones en R2 (teorema de Green). Aquí usamos sólo el concepto unificado de derivada de una forma diferencial para los tres teoremas; y, de hecho, podemos enunciar todos los teoremas como uno, si introducimos un poco más de terminología. Por una %variedad orientada con frontera en R3entenderemos una superficie en R3 cuya frontera es una curva cerrada simple con una orientación como la que se decribió en l a sección 8.2. Por una 3-variedad orientadacon fron teraen R3 entenderemos una región elemental en R3 (suponemos que su frontera, que es una superficie, está dotada con la orientación exterior que se estudió en la sección 8.4). Al siguiente teorema unificado le llamamos “teorema de Stokes”, de acuerdo con las convenciones vigentes.

EJERCICIOS 1. Evaluar w A 7 si

w = 21: d x + y d y 7 = x3 dx y’ d y (c) w = x d a y d y z dz

(a)

+

+

+

7)=2dzdy+zdydz+ydzdz

(e) w = e z y z d a d y q = e“3Yz d z

(b) w = X d~ - y d y

kd,l

q=ydx+~dy

w=zydydz+x’dxdy 7 = dz dz

+

2. Probarque

3.

Hallar dw en los siguientes ejemplos: (a) w = x’y y3 (c) w = x y dy ( x y)’ dx w = (x’ y’) d yd z -x Y dz -d y (g) = a’ y*

+ + +

+

Sea V: K

H ( z ,y,

z)j

+ +

u = y2cosxdy+zydr+d.z (d) w = x d ad y zdydz ydzdx (f) w = (x’ y2 2 ’ ) d z

+ + +

(h) w = x ’ y d y d z

R3 uncampovectorialdefinidopor

+ F ( z ,y, z)k, y sea q la 2-forma en K -+

dada por

q=Fdady+Gdydz+Hdzdx. Mostrar que dq = (div V) dx dy dz.

+

V ( z , y, z) = G ( z , y , z)i

+

8.6

FORMAS

581

+

+

5. Si v = A ( x , y , z)i B ( z ,y, z)j C(z, y, z)k es un campo vectorial en definir la operación Formaz: Campos vectoriales -+ 2-formas mediante

+

K c R3,

+

Formaz(V) = A d y d z B d z d x C dz d y . (a) Mostrar que Formaz(aV1 + V,) = cwFormaz(V1) + Formaz(Vz), donde (y es un número real. (b) Mostrar que Formaz(rotV) = dw, donde w = A d a + B d y + C d z . 6. Usando la versión en forma diferencial del teorema de Stokes, probar la versión campo vectorial de la sección 8.2. Repetir para el teorema de Gauss.

en

7. Interpretar el teorema 16 en el caso k = 1.

+

+ +

Sea w = (x y) d z (y z) d z + ( x + z) d y , y sea S la parte superior de la esfera unitaria; esto es,S es el conjunto de( x ,y, z) con z 2 + g 2 + z 2 = 1 y z 2 O. d S es el círculo unitario en el plano a y . Evaluar w tanto directamente como mediante el teorema de Stokes.

,S,

9. Sea T el sólido triangular acotado plano 2 2 3y 62 = 12. Calcular

+ +

L

por el plano zy, el plano xz, el plano yz y el

F1d~dy+F2dydz+F3d~d~

directamente y por el teorema de Gauss, si (a) FI = 3y, F2 = 182, F3 = -12; y (b) FI = Z , Fz = z 2 ,F3 = y. 10. Evaluar S,w donde w = z dz d y + x d y d z directamente y por el teorema de Gauss.

Sea fórmula

R una

región elemental en

u ( R )=

r

+ ydzdz

y S es la esfera unitaria,

R3.Mostrar que el volumen de R está dado por la

f

zdydz+ydzdz+zdxdy.

L R

12. En la sección 3 . 2 vimos que la longitud [ ( a )de una curva a ( t ) =

a

5 t 5 b , estaba dada por la fórmula

donde, hablando informalment,e

(ds)’ = (dz)’ O

+ (dy)’ + (tlz)’

( ~ ( t y)( ,t ) , z ( t ) ) ,

582


Supongamos ahora que una superficie S está dada en forma parametrizada por + ( u , v) = (x(u, v), y(u, v), z ( u , v)), ( u , u) E D. Mostrar que el área de S se puede expresar como

A ( S )=

dS

y de manera similar para dy y d z . Usar la ley de las formas para las 1-formas básicas d 7 ~y dv. Entonces dS resulta una función multiplicada por l a ’,-forma 1)isica tia dv, que podemos integrar sobre D . )


+

+ +

1. Sea F = 2yzi (-x 3y 2)j + (x’ + z)k. Evaluar s c ( V x F ) . d S , donde S es el y’ = u’, O 5 z 5 1 [sin tapa ni parte inferior). ;Qué sucede si se incluye cilindro x’ l a t a p a y la parte inferior?

+

Sea 0 una región en

I

R3 c o n frontera 8 0 . Probar la identidad

[ F x ( V x G ) ] ~ d S = ~ ( V x F ) ~ ( V x G ) d Fi ;. (- V x V x G ) d V . R

3. Sea F = z‘yi unitario.

+ z 8 j - 2 z y z k . Evaluar la integral de

F sobre la superficie del cubo

4. Verificar el teorema de Green para la integral de linea

JLZ%r+ydy cuando C es l a frontera de l a región entre las curvas y = z y y =

S‘,

0

5

J;

51

F = ( x 3 - 2 z y 3 ) i - 3x’y’j es un campo vectorial gradient,e. (b) Evaluar la integral de F a lo largo de la trayectoria r = cos3 8,y = sell3 8, 0 5 K/2.

5. (a) Mostrar que

o5 6.

;Pueden deducir

el teorema de Green en el plauo a partir del teorema de Gauss?

+

(a) Mostrar que F = 6xy(cos z)i 3sz(cos z ) j - 3szy(sen z ) k es conservativo (ver la secció11 8 . 3 ) . (b) Hallar f tal que F = V f . (c) Evaluar la integral de F a lo largo de la curva S = cos3 H. y = sen3 8. z = O, o 5 0 5 Tl2.


REPASO

8

Sea r ( z , y ,z ) = (z‘,y,z),

t l)Tn-’.

T

583

= Ilrll. Most,rarqueV2(logr)

Sea la velocidad de un fluido descrita por F = Gzzi cual el fluido va saliendo del cubo unitario. Sea F = z2i

+ (“’y

= l/r2 y V 2 ( P ) =

+ z2yj + yzk. Calcular la tasa

- 2zy)j - z2zk. ¿Existe G tal que F = V x G?

M Sean a un vector constante

y F = a x r [como siempre, r(z, y, z) = (z, y, z)]. F conservativo? De ser así, hallar un potencial para él.

*12. Considerar el caso del flujo de un y densidad p.

LES

fluido incompresible con campo de velocidad F

( a ) Si p es constante para cada1 fija, entonces mostrar que p es constante también en t. (b) Si p es constante en t , entonces mostrar que F V, = O.

vf.

(a) Sea f(z,y, z ) = 3zyez2. Calcular (b) Sea a(t)= (3cos3 t,sen21, e t ) , O 5 1 5

S, V

T.

Evaluar

f ds.

(c) Verificar directamente el teorema de Stokes para campos vectoriales gradiente

F=Vf.

Usar el teorema de Green o evaluar de otra manera el circulo unitario (zz y’ = 1 ) .

+

sc

z3 dy

-

y3 d z , donde

C es

SS

15. Evaluar la integral F * dS donde F = zi + y j + 3k y donde S es la superficie de la esfera unitaria z 2 + y2 + z 2 = I .

el teorema de Stokes para superficies en R3. (b) Sea F un campo vectorial en R3 que satisface V x F = O . Usar el teorema de Stokes para mostrar que F d s = O donde C es una curva cerrada. 16. (a) Enunciar

S,

M Usar el teorema de Green para hallar el área del lazo de la curva z = a sen 8 cos 8, y = a sen2 O, para 18. Evaluar z2

S,

a

>O

y z dz

y O

5 O 5 T.

+ z z dy + z y dz donde C es la curva de intersección del cilindro

+ y2 = 1 y la superficie z = y’.

19. Evaluar ~ c ( ~ + ~ ) d z + ( 2 2 -d2y + ) ( y + z ) d z donde C es el perímetro del triángulo que conecta (2, O, O), (O, 3 , O ) y (O, O, 6 ) , en ese orden.

584


20. ¿,Cuáles de los siguientes campos son conservativosen R3?P a r a aquellos que lo sean, hallar una función f tal que F = V f . (a) F ( x , y, Z ) = 3 r 2 y i + z 3 j + 5 k ( b ) F ( z , Y, z) = ( z z)i - ( y z ) j (x - y)k F ( r .y, z) = 2xy3i z 2 z 3 j + 3 r 2 y Z 2 k

+

+ +

+

21. Considerar los dos siguientes campos vectoriales en (i) F ( r ,y , z) = $i - z 2 j x’k

+

R,3:

(ii) G ( r ,y , z ) = ( z 3 - 3 s y 2 ) i + ( y 3 - 3 x 2 y ) j + z k (a)¿,Cuáldeestoscampos(siesquehay) son conservativos en R3?(Esto es, jcuáles son campos gradientes?) Dar razones para la respuesta. (b) Hallar potenciales para los campos que seal1 conservativos. (c) Sea CY la trayectoria que va de ( O , O , O ) a (1, 1 , l )siguiendo las aristas del cubo O<1~l,O~y~1,O<~~lde(O,O.O)a(O.O.1)a(O,l,l)a(l,1,1).Sea~l trayectoria de ( O , O , O ) a (1,1,1) directamente a lo largo de la diagonal del cubo. Hallar los valores dc las integrales de línea LF-ds,

lG.ris,

+

22. Considerar el campo vectorial constante F ( x , y. z ) = i 2j ( a ) Hallar u n campo escalar d ( z , y , z ) en R3 tal que

4(O, O,O )

= O. ( b ) E n la esfera (i) q es un (ii) es un (c) Calcular los

23. Suponer que

k en R3. Vd = F en R3 y

-

C de radio 2 alrededor del origen, hallar los puntos en los cuales máximo y mínimo. valores máximo y mínimo de 4 en C.

V.F(xo, yo, Z O ) > O. Mostrar que para una esfera S lo suficientemente ( I O , ;yo, z o ) : el ílujo de F hacia afuera de S es positivo.

pequeila, con centro en

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

CON NUMERACI~NIMPAR

Algunas soluciones que requieren demostración están incompletas

o se omiten.

SECCIÓN 1.1 1. 4; 17 5. 24i 7.

3. (-104

+ O j + Ok = 24i

+ 16a, -24

- 4b, -22

+26~)

z=O,z=O,~~R;~=O,y=O,zER;y=O,r,zER;z=O,y,zER

9. (b) Primero, lasemejanza deA((0, O, O), (x,O,O), ( z , y, O)) con A((0, O, O), (ax,O,O), ( a z ,ay, O)) muestra que (O, O, O ) , (x,y, O) y (ax, a y , O) son colineales. Segundo,la seme-

janza de A((&O, O), (.,y, o), (x,Y, 2)) con A(((), O , O ) , (ax, *y, O), ( a z , ~a z, ) ) muestra que (O, O, O), (x,y, z) y ( a z , ay, a z ) son colineales. Así, (ax,a y , a z ) está en la dirección apropiada para av. Finalmente,usar el teoremadePitágorasparamostrarquela longitud es correcta.

+ 2t, 7t)ls E R, t E R} 15. l(t) = ( 2 t - l ) i - j + ( 3 t - 1)k

11. { ( a s , 7s

13. l(1) =

-i

+ ( t - l)j - k

+ 3sk - 2tjlO 5 S 5 1,O 5 t 5 1) 19. Si (x,y , z ) está sobre la recta, entonces z = 2 + t , y = -2 + t y z = -1 + t . Por lo t a n t o 22: 3y + z - 2 = 4 + 2t + 6 - 3t - 1 + t - 2 = 7, que no es cero. Por lo t a n t o 17.

{si

-

ningún ( z , y, z) satisface ambas condiciones.

Si los vérticesestán en O , v y w, los puntosmediosdelosladosestán en frv, i w y fr(v w) como en el ejemplo 7. Verificar estas ecuaciones: ( i ) ( f ) ( v w) = f2 v '(w 3 - +) = ;w + i ( v - $4). 21.

+

+

+

23. { ( x ~ , y ~ , z o ) + s a $ l b l O ~ s ~ l , O ~ t ~ l } 25.

i

+ 4j, 0 M 0.24 radianes al noreste.

27. (a) 12:03 p.m.

(b) 4.95km

RESPUESTASA LOS EJERClClOS CON NUMERACIóN IMPAR

586

2 ( 3 , 4. 3 ) 6(1, O. 2 )

IO

IO

C

SECCIÓN 1.2

+ S(O, O, 2 ) = + 4(O, 2, I ) .

H

507

SECCIÓN 1.3

21. (a)

F = (3&

+3 h j )

(b) M 0.322 radianes (c)

1 8 4

S E C C I ~ N1.3

3.

-3i

2 o o

+j + 5k

1 1 3 1 = 8; etc. 2 2

7. 10

5.

J35

9.

fk

+ 17j - 1 0 3 k ) / d m 13. u + v = 3i - 3j + 3k; u . v = 6; llull = 6; llvll = 3; u x v = -3i + 3k

11. f ( 1 1 3 i

15. (a) z + y + z - 1 = 0 (c) 5% 2 2 = 25

(b) ~ + 2 y + 3 2 - 6 = 0 (d) z 2?/ - 32 = 13

+

+

17. (a) Hacer lo primero obteniendo la coordenadas y después usarlas junto con

(B x C ) = -(B x C ) x A para obtener lo segundo.

A

X

(b) Usar las identidades de la parte (a) para escribir la cantidad en términos de productos internos. (c) Usar las identidades de l a parte (a) y agrupar términos. 19. Calcular los resultados de la regla de Cramery verificar que satisfagan la ecuación. 21.

2

- 2y

32 4- 12 = 0

25. 103: - 17y

23.

+ z + 25 = O

42:- 6y - 102 = 14

-

27. P a r a el ejercicio 19, notar que ( 2 , -3, 1) ( 1 , 1 , 1 ) = O, de modo que la recta y el plano son paralelos y ( 2 , - 2 , -1) no está en el plano. Para el ejercicio 20, la recta y el plano son paralelos y (1, - 1 , 2 ) está en el plano.

29. &/13 31. Mostrar que

M satisface las propiedades geométricas de R

33. Mostrar que

nl(N

X

X

F.

a) y nz(N X b) tienen la misma magnitud y dirección.

35. Un método consiste en escribir todos los términos en el lado izquierdo y ver que los términos que incluyen X se cancelen. Otro método es observar primero que el determinante es lineal en cada renglón o columna y que si cualquier renglón o columna se repite, la respuesta es cero. Entonces

c1 a l az Xu1 c3

+

b2

bl

+ Ab1 b3

cz

+ XCI

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS CONNUMERACIóN IMPAR

588

SECCIÓN 1.4 t . (a)

Cilíndricas Rectangulares

I

O

3&/2

e

P

I

I

Esféricas

o

10

312

4

4

4s0

O

arccos

:!A

9

I

I

3r/4

1

3x14

(h) EsféricasRectangulares P

e

4

arctan

x/:!

+ arccos &/3

I

7r/6

Cilíndricas

arcsen &/S

7r/ 6

arccos

589

SECCIÓN 1.S

3. (a) Rotación en

5.

No;

(T,

x alrededor del eje

O , 4) y (-T,O

z.

(b) Reflexión respecto al plano

zy

+ x , x - 4) representan el mismo punto.

./(2

+ y j + zk es (z’ + y’ + z2)lI2 = p + + z2)l’’ (c) cose = +y

9. (a) La longitud de zi ( b ) cos 4 = z/(z’ y2

)

2 112

11. 0 I T I a , O I 6 5 2x significa que ( ~ , 6z ), está dentro del cilindro con radio a y centro en el eje z, y IzI I b significa que no está a una distancia mayor que b del plano zy. 13. -d/(6cosd)

5 p 5 d / 2 , O 5 4 5 2x,

545

y x - cos”($)

x

15. Esta es una superficie cuya sección transversal con cada superficie z = c es una rosa de cuatro pétalos. Las hojas se encojen hasta cero conforme IcI cambia de O a 1.

SECCIÓN 1.5 1. (ii)Expresar en componentes y usar la conmutatividad de l a multiplicaciónde números. (iii) x x es una suma de cuadrados de números reales. (iv) x x es la suma de cuadrados de las componentes de x. Esto puede ser O sólo si cada componente es O.

-

3.

5.

Ix y1 = 10 =

+

I I X yII = 3 d 5

-

[x y[ = 5 <

IIX

&m= llxll llyll por lo tanto Ix y1 I llxll llyll es verdadero I ~ Y I I por lo tanto IIx + YII I IIxII + IIYII es verdadero *

= Ilxll+

= llxll llyll por lo tanto Ix y1 5 llxll llyll es verdadero. 10 tanto IIX YII I llxll llYll es

+ YII = J28 < d5+ m = llxll + IlYll Por

7. A B =

[

-1

-1 1;

+

:] 3

+

verdadero.

, d e t A = -5,det B = -24,

d e t A B= 120 (= det A detB ) , det(A

+ B ) = -61(#

det A

+ det B )

+

9. IDEA: P a r a k = 2 usar la desigualdad del triángulo para demostrar que 11x1 x211 5 11x111 IIxzll;después, para k = i 1, notar que 11x1 x2 .. . xt+l11 5 11x1 x2

+

. . . + XI II + IIXitl11.

+

+ + +

+ +

11. (a) Verificar n = 1 y n = 2 directamente.Despuésreducirundeterminantede n x n a una suma de determinantes de ( n - 1) x (TI - 1) y usar inducción. (b) El argumento es análogo al de la parte (a). Suponer quese multiplica el primer Xa11 multiplicado por un determinante renglón por X. El primer término de la suma será de ( n - 1) x ( n - 1) sin factores de X. Los otros términos obtenidos (al desarrollar por medio del primer renglón) son similares.

RESPUESTASA LOS EJERClClOS CONNUMERACIóN IMPAR

590

A =

13. No necesariamente.Probarpara

[r: $4-[:I :]

15. ( a ) La surtla dedosfuncionescontinuas y u n múltiploescalardeunafuncióu cont,irtua son continuas. (b) (i) (of'+B y ) . k = f o l ( a f l g ) ( z ) h ( x ) d z

+

= J,' f ( z j h ( z )d.z = N f ' h py / l .

+

f .g

(ii)

=

+ J,' g ( x ) h ( x ) dx

so'f ( z ) s ( z ) d z = so1y ( z ) f ( r ) '

dz = 9 .

f.

En las condiciones (iii) y ( i v ) el irtkgrando es u n cuadrado perfecto. Por lo tanto la integral es no negativa y puede ser O sólo si el integrando es O donde sea. Si f ( z ) # O para algin I , entonces, por continuidad, sería positivo en una vecindad de z y la integral sería positiva. 17. Calcular l a mat,riz producto en ambos 6rdenes. 19. (det A)(det

A - ' ) = det(AA-') = tlet(1j = 1


+

+ +

+

+

+

+

+

1. v w = 4i 3j 6k; 3v = 9i 1 2 j 15k; 6v 8w = 26i 16j 38k; -2v = -6i - 8 j - 1Ok; v w = 4; v x w = 9i f 2 j - 7k. En la figura se deberá presentar v, w , 3v, Gv, 8w, GV 8w, v w como proyección de v a lo largo de w y v X-w como vector perpendicular tanto a v como a w.

+

3.

( a ) l(t) = -i (c) -%x y

( b ) l(t) = (5t - 3)i + ( t + l).j - t k .

+ (2 + t ) j - k.

+ + 2 2 = 9. (b) ( 5 )

5. ( a ) O

7. ( a ) ~ / 2 9. {sta

(b) 5 / 2 6

(c) - 1 0 / & J 1 7 .

+ s ( 1 - t)b10 5 t 5 1 y O 5

11. Sean v = 13. El

(c) -10.

S

5

I}.

(~1,a2,a3),w = ( b l , b Z , b 3 ) , y aplicar la desigualdad CBS.

área e s el valor absoluto de

1 I 1 al

a2

bl

b2

=

al

bl

+ Xal

b2 J2Xaz

1

'

( S e puede sumar u n múltiplode un renglónde un determinante aotrorenglón sin cambiar su valor.) En el dibujo se deberán mostrar dos paralelogramos con la misma base y altura. 15. Los cosenos de las dos partes del ingulo

llall l l b l l ) / l l ~ l l 17.

i xj =

1

= b ' v/llbll

1

n 1 n

IIVII.

= k; etc.

/Iv//

son iguales, pues a *v/11a11

= (a b+

EJERCICIOS DEL DE REPASO

CAPíTULO 1

591

19. (a) IDEA: La longitud de la proyección del vector que conecta cualquier par de puntos, uno en cada recta, sobre (al x a2)/11a1 x a211 es d.

(b)

Jz

21. (a) Notar que

1

(b)

+

Y2

Y1

2

Y3

l1

2 1

x2

Y1

Y2

O -21

- Y1

O x3 - x 1 Y 3 - Y1

/=I

1 x2 - 2 1 2 Y2 - Y1

23 - 21 Y3

- Y1

n

I=1 Usar esto considerando a C como vector columna. (b) La matriz para la composición es la matriz producto. 31.

R" está generado por

cy=l

v=

[ "1

los vectores e l ,e 2 , . . . , e?%. Si v E

R",entonces A V =

c,"=,(v e , ) A e , . Sea = (Ae, e t ) , demodoque cy=, (v et)ak,. Esto es, si

A[)-"'=,(v e;)ei] = a i j e , . Entonces A v

ek

at,

=

*

Ae, =

...

,

entonces

Av =

Vn

como

se

deseaba.

33. (a) 7Ocos8+ 20sen8 (b)

(21&+6)m.

+

k

+

35. Cada lado es igual a 2xy - 7yz 5z2 - 4 8 s 5431 - 5z - 96. (O intercambiar la primera y segunda columnas y después restar la primera de la segunda.)

1

1

37. Sumar el último renglón al primero 39. (a)

-

al

a2

a3

h

b2

b3

c1c3

c2

(b)

y restarlo del segundo.

592

RESPUESTASA LOS EJERCICIOS CON NUMERACIóN IMPAR

SECCIÓN 2.1 1. Las curvas de nivel y gráficas se esbozan a continuación. La gráfica en la parte (c) es un paraboloide hiperbólico como el del ejemplo 4 pero girado 45' y aplanado Para verlo, usar las variables u = 1: y y 'u = 1: - y. verticalmente en un factor de Entonces z = ( 2 - u 2 ) / 4 .

t.

+

1' I

-~

intersección con el plano z y

. . ' \1 1 \

intersección con el plano z z

-"Jt--' *--"

\

con el plano z y

'\

Y

>\

\ \ \

\

Z

..

.Y

593

SECCIÓN 2.1

Y

< secci6n

Z

x = -y

I

X

(c) z = -xy

cos

+

+

3. P a r a el ejemplo 2, z = 6 sen O) 2, la forma depende de 6; para el ejemplo 3 , z = T ’ , la forma es independiente de 8; para el ejemplo 4, z = r2(cos26 - sen2 O), la forma depende de 8.

+

5. Las curvas de nivel son círculos z’ y’ = 100 - c’ cuando c 5 10. La gráfica es el hemisferio superior de 2’ y’ z2 = 100.

+ +

Y /c

z

=o = 2 = 4

= 6 = 8 =

10

X

I

X

I

7. Las curvas de nivel son círculos y la gráfica es un paraboloide de revolución. Ver el ejemplo 3 de esta sección. 9. Si c = 0, la curva de nivel es la recta y = ”z junto con la recta x = O. Si c # O, entonces y = ”z (./x). La curva de nivel es una hipérbola con el eje y y la recta y = ”1: como asíntotas. La gráfica es un paraboloide hipérbolico. Las secciones a lo largo de la recta y = az son las parábolas z = (1 a ) z 2 = (1 a ) r 2 / ( 1 a ’ ) .

+

+

+

+

594

RESPUESTAS A LOS EJERCICTOSCON N U M E R A C I ~ NI M P A R

11. Si c > O, la superficie de nivel f ( z , y , z ) = c es vacía. Si c = O , la superficie de niveles el punto ( O , O , O ) . Si c < O, lasuperficiede nivel eslaesferaderadio G ,, con centro en ( O ,O ,O ) . Una sección de la gráfica determinada por z = a está dada por = -z2 ” 2 - u’, que es un paraboloide de revolución abierto hacia abajo en el espacio xyt. 13. Si c < O , la superficie de nivel es vacía. Si c = O , la superficie de nivel es el eje z . Si c > O, es el cilindro circular recto z 2 y2 = c de radio cuyo eje es el eje z. IJna sección de la gráfica determinada por z = a es el paraboloide de revolución t = x 2 + y 2 . Una sección determinada por z = b es un “canal” consección transversal parabólica t(y, z ) = y* b2.

+

A,

+

15. Haciendo u = ( x - z ) / & y v = ( x + z ) / h d a l o s ejes u y u girados 45” alrededor del las superficies de nivel f = c son “cilindros” eje y desde los ejes z y z. Como f = .y&, perpendiculares al plano vy (z = -x) cuyas secciones transversales son las hipérbolas uy = c/&. La sección S,=, ngráfica de f es paraboloide hiperbólico t = ( z + u ) y en el espacio y z t (ver el ejercicio l(c)). La sección S,,bngráfica de f es el plano t = b z + b z en el espacio x z t . La sección S z = b ngráfica de f es el paraboloide hiperbólico 1 = y(” b) en el espacio x y t .

+

SECCIÓN 2.1

595

17. Si c < O, la curva de nivel es vacía. Si c = O, la curva de nivel es el eje z. Si c > O, es el par de rectas paralelas \y1 = c. Las secciones de la gráfica con z constante son curvas con forma de V z = \y1 en el espacio yt. 19. El valor de z no importa, de modo que obtenemos un “cilindro” de sección transversal elíptica paralelo al eje z que interseca al plano z y en la elipse 4z2 y2 = 16.

z

+

21. El valor de z no importa, de manera que obtenemos un “cilindro” paralelo al eje z d e sección transversal hiperbólica que interseca el plano y z en l a hipérbola z2 - y 2 = 4 . 23. Un paraboloide elíptico con eje a

lo largo del eje z X

596

RESPUESTASA LOS EJERCIUOS CON NUMERACI~N IMPAR

X

27. Éstaesunasuperficiedesillademontaranáloga a ladelejemplo hipérbolas, que son curvas de nivel, no tienen asintotas perpendiculares.

4, pero las

a curvas de nivel

29. Un cono doble con ejes

3

a lo largo del eje y y secciones transversales elípticas

= 4x2

+ 222

f

SECCIÓN 2.2

597

31. Completar el cuadrado paraobtener (x+2)2+(y-b/2)2+(z+:)2 = (b2+4b+97)/4. Éste es un elipsoide con centro en b / 2 , -;) y ejes paralelosalosejescoordenados. 33. Las curvas de nivel se describen por cos 20 = c r 2 . Si c > O , entonces - ~ j 45 8 5 x14 o 3x14 5 O 5 5x14. Si c < O , entonces x j 4 5 8 5 3x/4 o 5 ~ j 5 4 8 5 7 ~ 1 4 En .

cada caso se obtiene una figura con forma de 8, llamada lemniscata, que pasa por el origen. (Dichas formas fueron estudiadas primero por Jacques Bernoulli y a veces se les llama lemniscatas de Bernoulli.)

O ----(I.-

x

SECClbN 2.2 1 . (a) Si (z0,yo) E A , entonces 1x01 < 1 y lyol < 1. Sea T < 1 - 1x01 y T < 1 - 1 ~ 0 1 . Probar que Dr(z0, yo) A , ya sea analíticamente o trazando una figura. (b)Si ( x 0 , y o ) E B y O < T 5 yo (e.g., si T = y0/2), entonces D r ( z o , y ~ c ) B (probarlo analíticamente o trazando una figura).

Jm

(c) Sea T = min(4 - 2). (d) Sea T el menor de los tres nlimeros usados en las partes (a), (b) y (c). (e) Sea T = min(lxol,Iyol).

m

3. P a r a 15 - 21 < 6 = - 2, tenemos [x2- 41 = Por el teorema 3(iii), limite z2 = (limite z ) = ~ 2' = 4. 2-2

5. (a) 5;

(b) O ;

(c) 2x;

x-2

( d ) 1;

(e)

13:

- 21 Iz

+ 21 < 6(6 + 4) = c.

-;

(b) IIxoII; (c) ( 1 , e ) ; ( d ) El limite no existe: (ver por separado los límites para

7. (a) 1;

5

= O y y = O).

RESPUESTASA LOS EJERCIUOS CON NUMERACIóN IMPAR

598

11. 0 13. Usar las partes (ii) y (iii) del teorema 4 . 15. (a) Sea 1 el valor de l a función en (0,O).

17. Sea f(2)

T

= 1.

= I(x - y11/2.

19. (a) límite f ( z )

If(.)

x-b+

si

llz

-

y11

= L si para todo

5 t

T ,

(b) No

sea f(z) = llz

>0

existe 6

>O

-

tal que z

implican - LI < t. (b) límite(1/1:) = - m , l í m i t e e' = O, demodoquelímite z-o-

límite 1/(1 2-0-

+ e'/=)

yII/r. s i

S-0-

t"cc

= 1 . El otro límite es O.

llZ

>b

- y11

y O

>

< 2:

T,

sea

-b

<6

= O. Porlotanto

/J: Fx """""*"""""

I

+ c' '

21. Si t > O y x0 están dados, sea 6 = ( C / K ) ' / Entonces ~. Ilf(x) - f ( x o ) l l < K6" = t cuando IIx - x011 < 6. Notar que l a selección de 6 no depende de 20. Esto significa que f es uniformemen te continua. 23. (a) Escoger

SECCIÓN 2.3

6 < 1/500.

(b)

Escoger 5

< 0.002

599

SECCIÓN 2.4

(y

+ xy2)eZy

(z

+ z2y)e.’Y z cos y

l0zy

9. En z = 1

13. (a)

(b)

1

11. Ambos son xyezy

of = (e-z2-y2-22 ( - 2 2 2 + l), -2zye-z2-y” V f = (xz + y2 + ~ ~ ) - ~ ( y z (+: z2 y ~- X”), X.(%’

(c) O f= (z2ez cos y, -z2ezsen y , 2zex cos y) 15. 2 2

+ 631

-2

)

-2 2 2 e - 3 2 - y 2 - - 2 2

+

+ y2

z2 - y’),

-

zz))

17. -2k

=5

19. Son constantes. Mostrar que la derivada

es la matriz cero.

SECCIÓN 2.4 1. Usar las partes (i), [ii) y (iii) del teorema lo. La derivada en x es 2 ( f ( x ) + l ) D f ( x ) . 3. (a)

p(x) =

h(x, y) = f(z,u ( % ,y)) = f ( p ( z ) , u ( z y, ) ) . Aquí usamos p sólo como notación: %.

Desarrollado:

ah

-

ax

-

-

af

af

-= + ap d x + -au ax ap a u a x

dp

--

dfau

-

afau

-

pues

d p ”-=

dx

dX

]

dx

J U S T I F I C A C ILlamar ~N: ( p , u ) a lasvariablesde f . Para usar l a regla de la cadena debemos expresar h comocomposicióndefunciones;i.e.,hallarprimero g talque h(x, Y) = f ( s ( z , y ) ) . Sea g(z,y) =: ( p ( x ) , u ( x , y ) ) . Por lo tanto, D h = ( D f ) ( D s ) .

RESPUESTAS A LOS EJERCIMOSCONNUMERACIóN IMPAR

600

Entonces

ah de modo que - =

af + af -.a u

af

3f a u i3h Es posible obtener como respuesta - = -+ --. a p au a x ax ax au ax Esto requiere una interpretación cuidadosa debido a la posible ambigüedad acerca del significado de a f / a x , es por ello que se usó el nombre p

ax

(b)

-

-ah= - +3f - - + -af - au ax

ax

au

ax

af at1 au a x

af

af a U "+"+" au a x

ah

(.)

-= ax

atJ

av ax

af

aW

aw a x

5. Calcular cada uno de dos

malleras; las respuestas son ( a ) ( f o c ) ' ( t )= et(cos t - s e n t ) (b) (f o c ) ' ( t )= 15t4 exp(3t') (c) (f o c ) ' ( t )= ( e z t - e P z t ) [ l 1og(e2' e 3 ) ] ( d ) (f o c ) ' ( t )= (1 4t2) exp(2t2)

+

+

+

7. Usar el teorema lO(iii) y reemplazar matrices con vectores. 9. ( f o g ) ( x , y ) = (tan(e"-Y-I)-ee"",C"("Y)

11.

13.

-(x-Y)2)

fr cos( 1 ) cos(l0g A) -2 cos t sen t esen + sen4 t + cos3 t esen

15. (2,O) 17. ( a )

(b)

:][ "1

G(z, y ( x ) ) = O

[

d3/2

=-

demodoque

aG1

aG,

dyl aG2

aG2

ay1

ay2

_

_

[1'

Y D ( f o g ) ( l , l )=

[O

-2 O1

- 3 cos2 t sen2 t .

+

8dGGd y - -- = O . dx a y dx

~ G z ~

ax

La primera componente de esta ecuación se lee

donde

significa matriz inversa.

601

SECCIÓN 2.4

19. Aplicar la regla de la cadenaa B G / B T donde G ( t ( T ,P ) , P ( T ,P ) ,V ( T ,P ) ) = P(vb)ealRvT - RT es idénticamente O ; t ( T ,P ) = T ; y p ( T , P ) = p . 21. Definir R1 ( h ) = f(xo

+ h ) - ~ ( : K o )- [Df(xo)]h. R3 a R talesque gl(x) = 1 para llxll < & / S ; yz(x) = 1 para IIx - (1,l,O)ll < &/3 y g2(x) = O para

23. Sean g1 y g2 funciones C' de

g1 (x) = O para

llxll > 2&/3;

I/x - ( 1 , 1 , O ) l l > 2&/3. hl(X)

=

[

-;%][ ;i] [i]

(Ver el ejercicio 22.) Sean

+

Y h2(x) =

[;; p] o o -1

[ i:]

y hacer f ( x ) = g l ( x ) h ( x ) + g 2 ( ~ ) k 2 ( ~ ) . 25. Por el ejercicio 24 y el teorema1o(iii),cadacomponentede k esdiferenciable y Dkl(xo) = f(xo)Dgl(xo) g,(xc,)Df(xo).Como [Dg;(xo)]y es la a-ésima componente de [Dg(xo)]y y [Df(xo)]y e:; el número Vf(x0) * y, obtenemos [Dk(xo)]y = f(xo)[Dg(xo)lY [Df(Xo)IY[9(Xo)l= f(.o)[Ds(zo)lY P f ( X 0 ) Y I d X o ) .

+

+

sozf ( z , y ) dy y usar el teorema fundamental del cálculo.

27. Hallar primero la fórmula para

F ( z ,z) =

+

( a / a z ) ( F ( z x)), , usando la regla de la cadena. Sea

29. Demostración de la regla (iii):

Cuando x -+ X O , los primeros dos t,érminos van a O por la diferenciabilidad de f y g. El tercero también, porque If(x) -- f(xo)l/llx - x011 y Ig(x) - g(xo)l/llx - xollestán acotados por una constante, digamos M , en alguna bola Dr(x0). Para ver esto, escoger r suficientemente pequeño para que [f(x) - f(xo)]/lIx - x011 diste en menos que 1 de D f ( x o ) ( x - x ~ ) / I I x - x ~ IsiI IIX-XOII < T . Entonces tenemos If(x).-f(xo)l/llx-~oIl 5 M1 + I D f ( ~ o ) ( ~ - ~ o ) l / l l ~ - ~ o=l lM1 +IV~(XO).(X-XO)I/IIX-XOII I M~+IIVf(xo)ll por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. L a demostración de la regla (iv) se sigue de l a regla (iii) y del caso especial de la regla del cociente, con f idénticamente 1; esto es, D(l/g)(xo) = [-1/g(~o)~]Dg(xo). Para obtener esta respuesta, notar que en alguna bola pequeña D,(XO), g(x)> m > O .

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS CONNUMERACIóN IMPAR

602

Usar l a desigualdad del triingulo y la de Scllwarz para mostrar que

Estos dos últimos términos van a O, pues 9 es diferenciable y continua.

SECCIÓN 2.5

-

1. V f ( 1 , 1 , 2 ) v = ( 4 , 3 , 4 ) * (I/&, 2. (a) 17ee/13 (b)

5. (a) 9z - 6y

9.

O) = 2 h

(c) 0

e/&

+ z = -6

(b)

7. (a) - & ( i + j + k )

2/&,

Z .

+y = ~

/ 2 (c)

( b ) 2 i + 2+j2 k

=1

(c) - : ( i + j + k )

k

11. La gráfica de f es la superficie de nivel O = F ( z ,y, z) = f ( z , y) - z. Por lo tanto el plano tangente está dado por

o = V F ( z 0 ,yo, 2 0 ) *

(z

- zo, y

Como zo = f(zo, yo), esto es z = f(zo, yo) (Y - Y O ) .

+

+

+

yo, z - zo)

+ (af/az)(zo,yo)(z - + (af/ay)(zo, YO) 20)

+

(z y, z z,z y), g’(j) = (et, -sent,cos i ) , (f 0 g ) ‘ ( l ) 1 - sen2 1 (b) V f = (yzezyz,zzezyz, z y e z Y z ) , g ’ ( t = ) [6,6t, 3 t Z ] (f , 0 g)’(1) = 108ela ( c ) O f = [I log(z2 y’ z2)](zi y j zk),g’ = ( e t , “e-‘, I ) , (f o g ) ’ ( l ) = log(e2 e-’ 1)](e2 - e-’ 1)

13. (a)

2e cos 1

[I

of =

-

+ cos’ +

+

+

+ + +

15. Sea f ( z , y, z ) = I / T = (z2 -(z2

+ y2 + z 2 ) 3 / 2 ( z , y).,

17. V f = (g’(z), O )

=

+ +

+ y 2 + z 2 ) l l 2 ; r = (z, y, z).

Entonces calculamos V f =

SECCIÓN 2.6

603

19. Df(0, O , . . . , O ) = [ O , . . . , O ]

+ 2by1)/2a]i + y l j , d2 = [-(0.03 + 2byz)/Za]i + y 2 j , donde y1 y y2 son las soluciones de (u2 + /?)y2 + 0.03by + 21.

dl = [-(0.03

6% z

-;-

""- ""_

--

"_

,~

2 X v v = L2xc0 [ ( ? - 3 ) 2i + 2 y (T;$ - $ ) j ] 25. Cruza en ( 2 ' 2 , O), &/lo

SECCIÓN 2.6

segundos después.

604

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS CON NUMERACIóN IMPAR

7. Como f y a f / a r son ambas de clase C 2 , tenemos

9.

fzzw

= fZ,,

= e"Yz[2xycos(zw)

+ z 2 y 2 z c o s ( x w )- z 2 y w s e n ( x w ) ]

df = arctan + ax 31 XY

X2+Y2

a2f azay

a2f

ax2

-

a2f ayax -

-2xy2 Y2y

(z2

+

= (422 - 2)exp(-x2

-

y",

r

7 a2 = (4y2 ay

-

2) exp(-x

2

-Y

2

),

605

SECCIÓN 2.7

13.

a2f

dx (x) +

azf dxdy 2 x8 a y- d- t d t

‘$1d‘!f 12

donde c ( t ) = ( x ( t ) ,y ( t ) )

af (111)+&dt2+&dt2’ dy

dZx

df d2y

15. Evaluar las derivadas d z u / d x z y a z u l a y ’ y sumar

17. (a) Evaluar las derivadas y comparar.

(b)

19.

v = -GmM/r

= -GmM(x2

a2v a2v a2v = G --+-+ax2 ay2 a22

~

+ y’ + z ~ ) - ~Verificar ’ ~ . que M

SECCIÓN 2.7 1. D f ( x , y , a ) =

[

ex

0

o

O -seny

o

O cos 2

~

~

~

+

~

~

+

~ = o~

~

1:

D f es una matriz diagonal si cada función componente f, depende sólo de x i . 3. (a) Sea A = B = C = R con f ( z ) = O y g ( x ) = O si x # O y g(O) = 1. Entonces w = O y g( f ( a ) ) = 1 para todo x . (b) Si t > O , sean 61 y 62 losnficientementepequeñosparaque Da,(yo) C y Ilg(y) - wII < c cuando y E B y O <: IIy - yo11 < 62. Como g(y0) = w, puede quitarse la restricción O < IIy - yell. Sea 6 lo suficientemente pequeño para que 11 f (x) - yo11 < mín(61,62) siempre quex E A y O < /IX-XO 11 < 6. Entonces para dichoX , 11 f (x)-yoll < 61, de modo que f (x) E B y g ( f (x)) esté definida. Además 11 f (x) - yo )I < 6 2 , de modo que Ils(f(x1) - WII < c.

<

-

RESPUESTAS A LOS EJERClClOS CON NUMERACIóNIMPAR

606

Como las k-ésimas cornponent,es concuerdan para cada

I;, V f ( x ) = 2Ax

7. La matriz T de las derivadas parciales se forma al colocar Dg(zo) y D h ( y o ) uno a continuación de otro, de modo que T(zo,yo)(z - zo,y - yo) = Dg(zo)(z - 2 0 ) D h ( y o ) ( y - yo). Usemos ahora la desigualdad del triángulo y el hecho de que II(z zo, y - y0)ll es mayor que Iz - zo/ y que Iy - yo1 para mostrar que y) - f ( z o , yo) T(zo, YO)(^ - zo, Y - ~o)II/ll(z- z0I Y - YO)/Iva a O.

+

,.(fI/

9. TJsar losteoremasdelímites (Probar el dltimo enunciado.)

11. Para continuidad en ( O ,O )

o que l z y l 13.

5 (z'

y el hechodequelafunción

g(z) =

escontinua.

usar el hecho de que

+ y2)/2.

O, ver el ejercicio 11.

15. Hacer que en la definición, x desempeñe el papel de x0 y x

+ h el de x.

17. El vector a toma el lugar de x0 en la definición de límite o en el teorema 6. E n cualquier caso, el límite depende s d o de los valores de f ( x ) para x cerca de X O ,no para x = xg. Por lo t a n t o f ( x ) = g(x) para x # a es suficiente para igualar los límites. 19. (a) límite(f1 x--0

+ f2)(x)/iixll

= límite f ~ ( x ) / ~+límite ~x/~ f~(x)/= ~~ O. x ~ ~ x-o

x--0

> O . Como f es .(X), existe 6 > O tal que Ilf(x)/l/xll 11 < c / c siempre O < llxll < 6. Entonces Il(sf)(x)/llxll/I 5 M X ) l llf(x)/llxll /I < e , demodo q u e

(b) Sea

t

que l í m i t e ( g f ) ( x ) / ~ ~=x ~ O. ~ x--0

(c) límit,e f(z)/IzI = límit,e 1x1 2-0

2-0

=

límite g ( z ) / l z no existe.pues g(z)/lzl = 2-0

tanto g(z) no

O , de modo que

f ( z ) es o(.).

Pero

(cuando z es positivo o negativo). Por lo

es o ( . ) .

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 2 1. (a)Paraholoideelípt,ico. (b) Sea y' = y 3 y escribir z = zy'. kste es un paraboloide hiperbólico (despla-

zado).

+

607


5.

a

El plano tangente a una esfera en

(zo, go,

20)

es normal a la recta que va del centro

(20, yo, 20).

(b) 1: =: 43:- 8y - 8 (d) 1 0 ~ 6y - 4 2 = 6 - X (f) x 2y - z = 2

7. (a) z = z - y + 2

(c) z + y + z = l (e) 22 = J z x Jzy

+-

+

9.

+

&S

(a) Las curvas de nivel son hipérbolas z y = l / c : Y

I

/

/

/

/

//’

/

c = - 4 / / / I ’

””

”

(b) c = z2 - z y

I

- y2 =

(z

/

c = 4

I

-.y>

- 1 -t &

(z - -y) 1-&

608

RESPUESTAS A LOS EJERClCiOS CON NUMERACIóN IMPAR

11. (a) O.

(b) No existe el límite.

13. Si F = O f , entonces a F ~ / a y= a2f / a y a x y a F z / a x = a 2 f / d x d y . Como F es de clase C1, las segundas derivadas parciales de f son continuas y, por el teorema 15, iguales. Si F1 = y c o s x y Fz = xsen y, entonces a F l / a y = cos x y a F z / a x = sen y. Como no son iguales, F no es gradient.e de nada.

+

15. (a) L a recta L(t) = ( 2 0 , yo! f ( x 0 , yo)) t ( a , b, c ) está en el plano z = f ( x o , yo) si c = O y es perpendicular a V f ( z 0 , y o ) si u ( a f / a z ) ( x o , yo) b(af/ay)(xo, yo) = O. En L, tenemos

+

REPASO DEL CAPiTULO 2

DE EJERCICIOS

609

( b ) El plano tangente contiene a l a rectahorizontalquepasa por (1, O , 2 ) y es perpendicular a V f ( 1 , O ) = (5,0), estoes,paralelaaleje y. Forma un ángulode arct,an(llVf'(l, 0)ll) = arctan 5 z 78.7" respecto al plano xy. 17. (l/&, l/&)

o (-I/&

-1/d?)

19. Una normal unitaria es 21. 4i

(fi/10:1(3,5,4).

El plano tangente es 32

+ 16j

23. (a) Como g es la composición A

a2f + -= 2 ax2 ay2 (x2 Pf

25 (a) -

(c)

hzz

y2 x- 2x 2

+

+ h,, + h,, + h,,

Y2)2

H

.+

2

+ 5y +

42

= 18.

Ax ++ f ( X x ) , la regla de la cadena da

- y2

(xZ

+ Y2

)2

=O

6 z 2 - 2y2 - 22' - 2w2 =(x2 y2 22 w 2 ) 3

+ + +

2x2 2z2 - 2w2 + 6y2 (x2 + y2 + + w2)3 -

-

22

27. Diferenciar directamente usand83 la regla de la cadena, o usar el ejercicio 23(a) con

p = o.

29. (a) Si ( z , y) # (O, O), entonces se calcula para (i) que d f / d x = ( y 3 - y z 2 ) / ( z 2 + y 2 ) 2 y d f / a y = ( x 3 - z y 2 ) / ( x 2 y 2 ) * . :Si z = y = O, usar directamente l a definición para hallar que ambas derivadas parciales son O. (b) La fórmula (i) no es continua en (O,O); la fórmula (ii) es diferenciable pero la

+

derivada no es continua.

31. (a) Usarlaregladelacadena

a2f / a x a y

= d2f / a y a x .

y suponerque

f esdeclase

C 2 , demodoque

RESPUESTASA LOS EJERCICIOS CONNUMERACIóN IMPAR

610

( c ) La curva de nivel que pasa por (z0,yo) debe ser tangente a la recta q u e pasa p o r ( O . o ) y ( l o 3 y o ) . L a s curvas de nivel son r e d a s o senlirrectas que salen del origen. 57.

f2.r

+

fy,

=0

611

SECCIÓN 3.2

SECCIÓN 3.1 I. (a) u’(t)= (2x cos 2 x 4 -2x sen 2 x t , 2 - 2 t ) , Ú ( O ) = (ax, O , 2) ( b ) a ’ ( t )= ( e t , - s e n t , c o s t ) , u ’ ( 0 ) = (l,O,l) (c) u’(t)= ( 2 t , 3tZ - 4, O ) , ~ ’ ( 0 = ) (O, -4, O) (d) u’(t)= (2 cos 2 t , l / ( l t ) , I ) , u’(0)= (2,1,1)

+

3.

(a) v ( t ) = - ( s e n t ) i + 2 ( c o s 2 t ) j ~ , a ( t ) = - ( c o s t ) i - ~ ( s e n 4 t ) j , l = i + 2 t j ( b ) v(t) = ( t cos t sen t)i (- 2 sen t cos t)j &k a(t) = ( - t sen t 2 cos t)i ( - t cos t - 2 sen t ) j 1 = t ( j &k) (c) v(t) = &i e‘j - e-‘k, a(,t) = e‘j e“k, 1(t) = j k t ( h i j - k) 1 ( d ) v(t) = i j &k, a(t)= --k, 1 = t(i j ) 2 Ji

+

+

+

+

+

-+

+ + +

+

+

+ +

+

+

5. 1g . cm/s2 en la dirección - i 9. El periodo

T = 5662 S = 1.57 h.

13. Usar las partes

11. (8,8,0)

(a) y (b) del ejercicio 12.

15. a ( t )x a ’ ( t )es normal al plano ‘de la órbita en el tiempo t . Como en el ejercicio 14, su derivada es O, de modo que el plano orbital es constante.

SECCIÓN 3.2

(f)

Usar la sustitución u = e t para demostrar que la integral es 2 ( e

(g) 3. 3

+ log 2

+ 2)3/2 - ( t o+ 2)3/2]

- e”).

5. (a) Como a es estrictamente creciente, manda [a,b] biunívocamente sobre [ a ( a ) , a ( b ) ] .Por definición, v es la imagen de c si y sólo si existe t en [a,b] con c ( t ) = v. Existe un punto S en [ a ( a ) , a ( b )con ] S = a ( t ) , de modo que d(s) = ~ ( t=) v. Por lo tanto la imagen de c está contenida en la de d. Usar de manera análoga para la inclusión opuesta.

(b)

Id

=

s,qb“‘~ ~ d ‘ (dsS =) ~si=a(a) ~ lld’(a(t))ll@’(t) G=:a(b)

= S,‘==,“/ld’(a(t))a’(t)l/ dt =

sab

sab

(Y-’

sab

dt Ilc’(t)lldt = I,.

7. (a) lb = 11u1(3)11 d s = d3 = b - a . (b) T(3) = u ’ ( s ) / ~ ~ u=’ (as’ ()3~ ) , [de modo que T’(s) = u ” ( s ) . Entonces k = IlT’ll = 11u”(s)11. (c) Mostrar que si (i) v y w están en R3, IIv x wII = I Iw - (v w/llvllz)vll IIvII. Usar esto para mostrar que si (ii) p ( t ) = ( z ( t ) , y ( t ) ,~ ( t ) nunca ) es ( O , O , O ) y f ( t ) =

-

612

Si

S

RESPUESTASA LOS EJERClClOS CONNUMERACIóN IMPAR

es la longitud de arco de

o,tls/dt = l l a f ( t ) l l ,y por lo tanto

Así

(Est.e result,ado es til para el cjercicio 9 . ) ( 4 I/&. 9. (a)

Corno u est,á parametrizada por l a longit,nd de arco, T ( s ) = a ’ ( s ) . y N(.s) = ejercicios 12 y 1 3 d e la sección 3.1 y el ejercicio 7 para mostrar

a ” ( s ) / ~ ~ a ” ( Usar s)~~ los.

que

Y

r = - “ .dB N=-

(6’

.

x a ’ ” ) a’”

/t~ff/12

dS

-

( a’ x

.

a ” ) a’”

lla”1I2

( b ) Obtener T’(f.) y ~ ~ T ’ (como t)~~ en el ejercicio 7 . B es nn vect,or unitario en la dirección de u‘ x T ’ = ( a ’ x a ” ) / ~ ~deu modo ’ ~ ~ que . B = (a’ x a”)/lla’x ~ ’ ’ 1 1 . TJsar el resultado (ii) en la solucióndel ejercicio 7 con p = a’ X a” p ejercicios 13 y 13 de la sección 3.1 paraobtener dB/& = (a’ x c r ” ’ ) / ~x~a”jl a ’ - {[(u’ x a”) x a”113}(4’x o’’), p los valores de T’ y llT’ll paraobt,ener N = (a’ x a”’)]/lla’ ( ~ ~ a ’ x~a’’11)(a’’ ~ / ~ / - a(o’ ’ x a ” ) / / ~ Finalmente, ~ ’ ~ ~ ~ usar ) .la regla de la cadena y el product,o int,erior de &stas para obtener N ( s ( t ) )=

1

dB

Ids/dtl d t

N=

( a ’ x a ” )* a’”

/la’x u ” l j 2

(c) -&I3 11. (a) N estádefinida como T’/lIT’/l,de modo que T’ = IIT’/IN = kN. Como T - T ’ = O , T , N y B son una base ort.onorma1 para R3. Al diferenciar B(s) B(s) = 1 y B(s).T(s) = O se muestraque l3’-B = O y B’.T+B.T’ = O . Pero T’-B = 1IT’IIN.B = O . de modo que también B’.T = O. Así, B’ = (B’.T)+(B’.N)N+(B’.B)B= (B’.N)N = - r N . También N‘ N = O pues N N = 1. .4sí, N’ = (N’ T ) T (N’ B ) B . Pero al diferenciar N . T = O y N B = O d a N ’ . T = -N T’ = -I; y N’ B = -N B’ = r . de modo que se sigue la ecuación d~ enmedio. (b) w = -ri = kk

-

-

-

+

-

613

SECCIÓN 3.4

SECCIÓN 3.3 dE dt

1. (a) - =

1 2

-m”2(r’(t),r”(t))

+ (gradV(r(t)),r’(t)) +

= (r’(t),-grad V(r(t))) (grad V(r(t)),r’(t)) = O . (b) Usarlosproductosinterioreshalladosenlaparte(a). también Ilr‘(t)ll lo es.

Si V es constante,

d -V(c(t)) = (VV(c(t)),c‘(t))=: -(VV(c(t)), VV(c(t)))5 O . Una partícula tienat de a moverse hacia una región de menor energía potencial.(El agua fluye colina abajo.) 3.

5. Usar el hecho de que -VT es perpendicular a la superficie T = constante. 7. d ( t ) = (2t,2,1/2&)

= F(g(t)).

9. S i x = ( x , , x 2 , 2 ~ ) , ~ ( x , t ) = ( ~ ~ , ~ 2=f(zl,zz,x3,t),entonce~porlaregla ,~3)yf de la cadena,

SECCIÓN 3.4 1. (a) O ;

(b)

(c)

O;

(1Oy - 8z,6z

- 10x,82: - 6y)

V f = r/llrll, r = ( 2 ,y, z), V x Vf = 0 (b) V f = ( y + z , x + z , y + x ) ,V x V f = O (c) Of = -2r/llrl14, T = ( 2 , y, z), v x Vf = O

3. (a)

-

+ (d/ay)x = O + O = O 7. v f = ( 2 2 y 2 , 22’y + 2yz2, 2y’z); v X v f = (4yz - 4yz, O - O , 4xy - 40y)

5.

V F = (d/ax)y = (0, o , 0)

9. V X F = ( O , O, sen y - cos x). Si F = V f , entonces, como F es C1, f sería de clase C’, y V X F = V x Of sería O , pero no es así. 11. Por la regla del producto,

dw

-dv . \ v = - .dv w+v.dt dt

dt .

Sustituir la ecuación (7) en ésta. Para la últirna igualdad, usar ejercicio 16, sección 1.5. 13. Por la selección de los ejes,

w = f ( V X F)(O) = wk.

ATv w = v Aw

del

614

RESPUESTASA LOS EJERCICIOS CON NUMERACI~NIMPAR

Por el ejemplo 2 ,

v = -wyi

+wzj

y por lo tanto

Por otro lado, según las definiciones de W y V x F ,

W=

[

w12 w11

wZ1 w31 w32

w13 w 2u 2 3

w33!

O

Nuestra selección de ejes coordenados da

Para interpretar el resultadonotamosque el campovectorial v representa una en este rotaciónalrededordeuneje fijo w . El flujo $ ( x , t ) de v hacegirarpuntos campo, y, para t fija, s u derivada D,$(x,t) también rota vectores. Sea Y un vector arbitrario y sea Y ( t )= Dxli;(xlt ) Y . Cuando t crece o decrece, Y ( t )r o t a alrededor de W Y

dt

= D,v(O)Y

Esto d a l atasa de cambio de Y conforme se transporta (rota) por D x 4 . Por el ejercicio 11, la tasa de cambio de cualquier vector X en el origen que es transportado por l a derivada del flujo q5(x,2 ) de F, estri dada por = D x F ( 0 ) X = (S

+ W)X

Así, esta tasa de cambio de X tiene dos componentes: la matriz de deformación, que afecta productos interiores, y l a matriz W . Así, la matriz W es precisamente la tasa de cambio de los vectores conforme son sometidos a una rotación infinitesimal alrededor del eje (rot F)(O) = (V X F)(O) por la función DX+(., 2 ) .

EJERCICIOS DECAPíTULO REPASO DEL

615

3

[La matriz de deformación S incorpora todos los cambios de longitud y ángulo provocados por el flujo. En particular, los cambios de volumen están contenidos en S. De hecho, la traza de S es la divergencia: tr S = div F(x). (La traza de una matriz es la suma de sus registros diagonales). La parte sin traza de S,

S' = S - i ( t r S ) I donde I es la identidad de 3 x 3, se llama tijera.]

+

+

15. La recta x Av va a dar a la curva X H $(x Av, 1 ) después de un tiempo t , la cual, para X pequeño, se aproxima porsu recta tangente, a saber, X ++d(x, t)+Dx$(x,t)*Xv.

S E C C I ~ N3.5 1. Solamente (a) 3.

Escribir cada expresión en términos de coordenadas.

+ z'j + 2yj + 2y3zZzk - y 3 t z 3 i + 2 z 2 y 4 z j+ ( 2 z 3 z 2 - 2 z y ) k

5. (a) 2 z y i (c) 4z2z2i

(e)

7. No, considerar

F = zi + z y j + k; V

x

(b) 3y:z;i (d) 42 z y

+ (4x2 - y3z)j + zz

F = y k , que no es perpendicular a F.

11. Pensar las coordenadas polares! como coordenadas cilíndricas pero sin coordenada z , o igual a O , para ver que las transformaciones requeridas son las dadas porel teorema 5. Usar primero la parte (i) de ese teorema para obtener Vu,y después la parte (ii) para obtener V Vu.

-

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 3 1. (a) 2; 3.

(b)

O;

+

(c)

+

14

(a) V f = yz2i z z z j 2 z y z k ( b ) V x F = (x - y)i - zk (c) ( 2 z y z 3 - 3 z 2 z y z ) i - (y2z3 - 2 z 2 y z z ) j + ( y z z 3 - 2 z Z y z 2 ) k

616

RESPUESTASA LOS EJERCICIOS CON NUMEFIACIÓNIMPAR

5.

Velocidad Aceleración Rapidez Tangente Recta

7. 35,880 km

9.

11. (2x, 3 2 , -2K)

-

+

+

F = (2m,O, -m)

13. (a) V F = 2yeZ z2yeZ 22; V X F = O . (b) f(z,y, 2 ) = z2yez + z3/3 C. Como F es C1, una f que funcione será C2,de modo que V x F = V x V f = O. Así, es necesario que V x F = O para que exista una solución a la parte (b).

+

1 5 z ( 1 ) = 1/(1 - t ) ; y ( t ) = O; ~ ( t = ) e t / ( l - 1); y d ( t ) = ( ( 1 - t)-’,O, ( e t / ( I - t ) ) ( l 1/(1 - t ) ) ) = ( ~ ( t O) , ~z (,t ) ( l

+

+ ~ ( t ) )=) F ( g ( 1 ) )

17. 1 + h 2

S E C C I ~ N4.1 I. f ( h l , h 2 ) = h:

+ 2h1h2 + hz

(Rz(h,O) = O en este caso)

5. f ( h l , h z ) = l + h l h z + R : ! ( h , O )

+

7. (a) Mostrar que I R k ( z , a ) l 5 A B k + ’ / ( k l)! paraconstantes A , B y z enun intervalo fijo [ a ,b]. Probar que R k -+ O conforme I; -+ m. (Usar la convergencia de la serie E c k / k ! = e‘ y usar el teorema de Taylor.) (b) La única dificultad posible es en z = O. Usar la regla de L’H6pital para mostrar que limite p ( t ) e ‘ = 00 t-m

paratodopolinomio

p ( t ) . Usandoesto,probarquelímite

función racional p ( z ) y usarlo para mostrar que (c) f : R” R es analítica en x0 si la serie -+

=-O+

f(k)(o)= O

p(z)e-””

= O para toda

para todo k

617

SECCIÓN 4.2

converge a f(x0 + 11) para todo h == (111,. . . , h r x )en un disco suficientemente pequeño llhil < t. Lafunción f esanalítica” si para t.otlo R > O existeunaconstante M tal que I(akf/¿?xil . ’ . ~ z , , ) ( x )<( M k para cada derivada de orden k-ésimo en todo X que satisfaga I(x(I5 R.

k=O

SECCIÓN 4.2 1. (0,O); punto silla. 3. Los puntos críticos están sobre La recta y = - x ; son mínimos locales pues y)’ 2 O, y son iguales a cero s6lo cuando z = -y.

(z

+

f(z,y ) =

5. (O, O); punto silla. 7. (-:,-+);

mínimo Iocd.

(m, m), a,

9. (O,O);

(O,

máximo local. (El criterio falla, pero usar el hecho de que cos z mínimo local. mínimo local.

11. No haypuntoscríticos. 15. (O,

TAT);

13.

5

1.)

( 1 , l ) esunmínimolocal.

puntos críticos, no hay máximos o mínimos locales.

af/az y a f / ¿ ? y se anulan (en (O, O). (b) Mostrar que f c g ( t ) ) = O en t = 0 y que f ( g ( t ) ) 2 O si It1 (c) f es negativa en la parábola y = 2x2.

17. (a)

< lb1/3u2.

19. Los puntos críticos están sobre la recta y = z y son mínimos locales (ver el ejercicio 3). 21. Minimizar S = 2 x y

+ 2 y 2 + 2 x 2 con z = V/zy,

V el volumen constante.

23. 40, 40, 40 25. El Único punto crítico es (O, O,O).

27. (1, $) es un punto silla; 29.

$ es el máximo absoluto

Es un mínimo, pues

(5, $) es un mínimo local. y O e:; el mínimo absoluto.

31. -2 es el mínimo absoluto; 2 es el máximo absoluto.

33.

(i,4) es un mínimo

local.

618

RESPUESTAS A LOS EJERCC IO IS

CON NUMERACI~N IMPAR

+

35. Si u n ( z , y ) = u ( z ,y) ( l / n ) e z ,entonces V2un = ( l / n ) e z > O. Así, un es estrictamente subarmónica y puede tener su máximo sólo en 8 D , digamos, en p n = ( x n ,yn). Si ( 2 0 , yo) E D, verificar que esto implica u ( z n ,y,) > u ( z 0 , yo) - e / n . Así, debe existir un punto q = (zm, y,) en 8 D tal que arbitrariamente cerca de q podemos hallar por la continuidad de u , que un ( x n ,yn) para n tan grande como se quiera. Deducir 4 z 0 0 , 31‘20)

2 4 z 0 , YO).

37. Seguir el método del ejercicio 3 5 . 39.

(a) Si existiera z1 con f(z1)

zo y z sería otro punto crítico. -m

< f(zo), entonces el máximo de f en el intervalo entre

( b ) Verificar (i) por medio del criterio de la segunda derivada; para (ii), conforme y + co y z = -y.

f va a

SECCIÓN 4.3 1. Máximo en z(1 -1, , l ) , mínimo en f i ( - l , 1, - 1 ) 3. Máximo en

(&, O ) , mínimo en (-&,

O) 4

7. El valor mínimo 4 se alcanza en( O , 2). Usar una ilustración en vez de multiplicadores de Lagrange. 9. (O, O, 11.

2 ) es un mínimo de f .

i?j es el máximo absoluto y 0 es el mínimo absoluto.

13. El diámetro deberá ser igual a la altura, 20/%cm 15. La longitud horizontal es

m,

la longitud vertical es

Jp‘;;/p.

17. P a r a el ejercicio 1, los hessianos limitados requeridos son

En G(1, -1,1)

el multiplicadordeLagrangees

X = &/4

>

O, queindicaun

- 1,, l ) y X = -&/4 < O indica un mínimo en 8 ( - 1 , 1 , -1). En el máximo en z(1 = 24X(4x2 + 6y2), demodoque X= > O indica un máximo en ejercicio 5 , ( 9 / a , 4 m ) y X =m / 1 2< O indica un mínimo en ( - 9 / f i ,

-4/m).

619

SECCIÓN 4.4

SECCIÓN 4.4 1. Usarelteorema 10 con n = 1. (Ver el ejemplo 1). La recta (i) está dada por O = ( Z - 2 0 , y - yo) Vf(~o, yo) = ( x - zo)(aE./ax)(1:0,Y O ) (y - y o ) ( a F / a y ) ( z o ,YO). Para la recta (ii)el teorema 10 d a d y / d z = - ( a F / a x j / ( d F / a y ) , de modo que las rectas concuerdan y están dadas por

+

-9

(a) Si E < podemos despejar y en términos de 1: usando la fórmula cuadrática. (b) a F / a y = 2y 1 no es cero para {yly < - $ } y {yiy > Estas regiones corresponden a las mitades superior e inferior de una parábola horizontal con vértice y a la selección del signo en la fórmula cuadrática. La derivada dy/dz = en (-:, -3/(2y 1) es negativa en la rnitasl superior de la parábola y positiva en la inferior. 3.

+

-5,.

-3)

+

5. Sea F ( z , y , z ) = z 3 z 2 - z 3 y a ; d F / a z = 2z32 = 3z2yz # O en (1,1,1).Cerca del origen, con 3: = y # O, obtenemos las soluciones 2 = O y z = z de modo que no hay solución única. En (1, I ) , a z / a z = y az/ay =

p

-t.

+ + u v y Fz = u x y + v , el determinante en el teorema general de la

7. Con FI = y x función implícita es

que es O en (O, O ,O , O). Así, no se aplica el teorema de la función implícita. Si tratarnos en forma directa hallamos que.u = - - m y , de modo que x + y = u’xy. Para una selección particular de (x,y) cerca de (O, O ) 110 hay soluciones para ( u ,v) o bien hay dos. 9. No. f ( z , y ) = (-1,O) tieneinfinidaddesoluciones,asaber cualquier y.

11. (a) x: +y: # O . ( b ) f‘(z) = -z(1:

+ 2 y ) / ( x 2 + Y’);

g’(z) =

Z(Y

- 2z)/(zZ

( x , ~= ) (0,y) para

+ Y’).

Multiplicar e igualar los coeficientes para obtener ao, al y az como funciones de y r3. Después calcular el determinante jacobiano a(ao,a l , a z ) / a ( r 1 ,r z , 7 3 ) = (r3 - rZ)(rl - r Z ) ( r l - r 3 ) . Éste no es cero si tiene distintas raíces. Así, el teorema de la función inversa muestra que las raíces se pueden hallar como funciones de los 13.

TI,

r2

RESPUESTASA LOS EJERCICIOS CON NUMERACI~NIMPAR

620

coeficientes en alguna vecindad de cualquier punto en el que las raíces sean distintas. Esto es, si las raíces 7 1 , T Z , 73 de z 3 a 2 z 2 a l z a0 son todas diferentes, entonces hay vecindades V de ( T I , 7 2 , 7 g ) y W de ( a o ,a l , a z ) tales que las raíces en V son funciones suaves de los coeficientes en W.

+

+

+

SECCIÓN 4.5 1.

1

(-;,

1

;)

3. (2,1) es un equilibrio inestable.

5. Punto de equilibrio estable ( 2

+ m2g2)"'2(-1, -1, -mg)

7. No hay puntos críticos; no hay máximo 9. ( - l , O ,

o mínimo

1)

11. En el óptimo, Q K / a = p L / ( 1 - a ) .

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 4 1. ( a ) P u n t o silla

(b) Si IC/ < 2, mínimo; si IC1

3. (a) 1

> 2,

punto silla; si C = f 2 , mínimo.

( b ) &/6

5. z = 7. (O,

o, f l )

9. Si b

2 2 , la distancia mínima es

2

m

; si b

5 2 , la distancia mínima es Ibl.

11. No es estable 13.

f(-$, -&/2)

15.

2

= 3&/4

= ( 2 0 / 3 ) 6 ; y = 1 0 8 ; =~ 5

z

s.

17. El determinante requerido en el teorema general de la función implícita no es cero, de modo que podemos resolver para u y u ; ( a u / a z ) ( 2 ,-1) = 19. Se puede hallar una nueva base ortonormal con respecto a la cual la forma cuadrática dada por la matriz

tengaformadiagonal.Estecambiodebase define nuevasvariables 6 y 9, queson €unciones lineales de2: y y. Con manipulaciones de álgebra lineal y la regla de la cadena se muestra que LV = x ( P v / ~ <+~ p) ( a 2 v / a q 2 ) .LOS números X y p son losvalores

SECCIÓN 5.2

621

propiosde A y sonpositivos, pues laformacuadráticaesdefinitivamentepositiva. En unmáximo, aula[ = ¿?v/ao =I O. Más aún, a 2 a / 3 t 2 5 O y ¿?2v/aq25 O , pues si cualquiera fuera mayor que O, a l sección transversal de la gráfica en esa dirección tendría un mínimo. Entonces, Lw 5: O , contradiciendo así la subarmonicidad estricta. /

21. Invertir las desigualdades mostradas en los ejercicios 1 9 y 20. 23. Las ecuaciones para un punto crítico, a s l a m = a s l a b = O , cuando se resuelven para m y b dan m = (y1 - yz)/(zl - 5 2 ) y b = y2z1 - y1z2. La recta y = m3: b pasa entonces por (z1 y]) y ( 2 2 , y2).

+

25. Enunmínimode 27. y =

S

tenemos O = a s / a b = -2

(yt

-

mx,- b ) .

+

&x

SECCION 5.1 1. ( a )

E;

(b)

K

+ fr;

(c) I ;

( d ) log2 -

3. Para mostrar que los volúmenes de los dos cilindros son iguales, mostrar que funciones de área son iguales.

sus

SECCIÓN 5.2 1. ( a )

&;

(b) e - 2 ;

lisenl; (c)

(d) 2 l n 4 - 2

3. Si f ( z 0 , yo) > O , usar la continuidad para mostrar que existe un rectángulo pequeño RI que contiene a ( m , yo) con f ( z , y ) > $ f ( z o , y o ) en R I . Sea g ( z , y ) igual a i f ( z o , yo)

en R1 y O en el resto. Por el teorema 2 , g es integrable. Usar las propiedades (iii) y (iv) de la integral para mostrar que esto implica queS , f d z d y > i f ( z 0 , yo) área (RI). 5. Usar el teorema de Fubini para escribir

y notar que 7.

y

9. Como

S,

6

f ( z ) dz es una constante, de modo que puede sacarse.

so1 so1 dy =

2y dy = 1, tenemos

hl[hlf ( z ,y) dyldz = 1. En cualquier par-

tición de R = [O, 11x [O, 11 cada rectángulo H,k contiene puntos

.:;)

con z irracional. S i en la partición regular de orden n escogemos

con z racional y c!il

cgk

=) :c

en aquellos

622

RESPUESTAS A LOS EJERClClOS CONNUMERACIóN IMPAR

rectángulos con O 5 y 5

y cJk = c::) cuando y

>

t. las sumas de aproximación son

Corno g es integrable, las sumas de aproximación deben converger

a

S,

g

dA =

g. Sin

embargo, si hubiésemos escogido todos los c , , = c “ ) , todas las sumas de aproximación 3k tendrían el valor 1. 1 1 . La funcicin f no está acotada, pues debe haber un volumen de -1 sobre cada uno de los cuadrados diagonales de área l / [ n ( n l)]’.

+

SECCIÓN 5.3 1 - (a)

i, ambos;(b)

$, ambos (c)

(e2

- 1)/4, ambos;

7.

o

5. 28,000ft3 9. ‘Tipo 1; 13.

(d)

$,

ambos.

11. 50x

x/2.

x124

15. Calcular la integral primero respecto a y. Dividirlo en integrales sobre [-d(z), O] y [O, 4(x)] y cambiar variables en la primera integral o usar simetría.

I?. Sea { R t 3 ] unaparticióndeunrectángulo R que contenga a D y sea f igual a 1 en D. Así, f’ es 1 en D y O en R\D. Sea C,k E R\D si R,, noestátotalmente

contenido en D . LasumadeaproximacióndeRiemanneslasumade aquellos rectángulos de la partición contenidos en D .

las áreas de 6

SECCIÓN 5.4

S;

I . (a) $ ;

( b ) x/4; (c) ( b ) G(b) - G(a), donde dG/dy = F ( y , y )

-

F ( a , y) y d F / d z = f ( z , y ) .

3. Notar que el valor máximo de f en D es e y el valor mínimo de f en D es l / e . Usar las ideas presentadas .en In. demost,ración del teorema 4 para mostrar que

5. El valor

que

más pequeíí0 de f ( x , y) = 1/(z2

L

+ y2 + 1) en D es i, en ( 1 , 2 ) , de modo 1 6

f(z,y) dl: dy 2 - . á r e a d = 1.

El valor mlis grande es 1, en ( O ,O ) , de modo que

SECCIÓN 5.5

623

7. i x u b c .

9.

x ( 2 0 m - 52)/3

11. J3/4 13. D se ve como una rebanada de pastel.

15. Usar la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo.

SECCIÓN 5.5 1. Si u

# b , tomar c = la - b 1 / 2 .

3. Sea e = 2d - c, de modo que d = (c + e ) / 2 . Considerar la “duplicación” de R hacia arriba, definida por Q = R U R I , donde R1 = [ a ,b] x [ d , e ] . Si f se extiende f es integrable sobre Q, por a Q haciendo f igual a O en la parte añadida, entonces aditividad. La n-ésima partición legular de [(a b ) / 2 , b] x [c, dl es parte de la 2nésima partición regular de Q. Para n grande, las sumas de Riemann para esa 2n-ésima E cuando cambiamos la selección de los puntos de partición no pueden variar más de los subrectángulos, en particular si cambiamos sólo aquellos en [ ( a b ) / 2 , b] X [c, d l . Estos cambios corresponden a los cambios posibles para las sumas de Riemann para la n-ésima partición de [ ( u b ) / 2 , b] x [c, d l . El argumento para l a parte (b) es similar.

+

+

+

5. Sea R = [ a ,b ] x [c, dl y B = [e, f ] x [g, h ] . Como los rectángulos de una partición deR sólo se intersecan a lo largo de sus lados, sus áreas se pueden sumar, y b, es el área de la unión de todos los subrectángula’s de la n-ésima partición regular deR que interseca a B. Como está contenido en esta unión, área(B) 5 b,. Por otro lado, si (z, y) está en la unión, entoncese - ( b - u ) / . 5 z I f ( b - a)/. y g - (d - c ) / n 5 y 5 h + (d - c ) / n . Estoconduceab, I á r e a ( B ) + 2 [ ( t ~ - u ) ( h . - g ) + ( d - c ) ( f - e ) ] / n + 4 ( a - b ) ( d - c ) / n 2 . Haciendo n + 00 y combinando las desigualdades se prueba la afirmación

+

7. (a) La estrategia es ir de punto en punto dentro de [ u , b] a pasos cortos, sumando c > O, 4 es uniformemente continua y por lo los cambios conforme se avanza. Dado tanto, existe 6 > O tal que Id(.) - $(y)! 5 c siempre que 1 1 : - y1 < 6. Tomar 1: E [ u , b] e introducir puntos intermedios u = 2 0 < 2 1 < . . . < zn-1 < zn = 1: con z,+l - z 1 < 6. Esto se puede hacer con no más de [ ( b 1 segmentos. Por la desigualdad del triángulo,

.)/a] +

Así

14(1:)15 Iqb(a)I + [ ( b - .)/(a + 1)]c

para todo 1: en [a,b ] . (b) Usar un argumento parecido al de la parte (a), moviéndose con pasos cortos dentro del rectángulo [ u , b] x [c, d l . (c) Éste tiene s u truco, pues 13 puede estar compuesto de varias piezas desconecD. Sin embargo, dado c , tadas de modo que no se puedan dar pasos cortos dentro de existe 6 tal que - f(y)I 5 c cuando x y y están en D y IIx - y [ / < 6 , debido al principio del acotamiento uniforme. Como D está acotado, podemos hallar un “cubo”

If(.)

624


grande R con lados de longitud L tal que D C R. Partir R en suhcubos dividiendo cada & i L / m . Si tomarnos arista en m partes. La diagonal de cada subcubo tiene longitud m > &iL/6, cualesquiera dos puntos en el mismo subcubo distan en menos que 6, y hay m" subcubos. Si R 1 , . . . , RN son aquéllos que intersecan D , escoger x, E D n R,. Para cualquier x E D , tenemos If(.)] < c m á x ( l f ( x l ) l , . . . , If(xn)l).

+

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 5 1. (a)

9;

3. (a) -;;

g;

(b) (b)

(c) : e 2 - e +

.rr2/8.

5. En la notación de la figura 5.3.1,

7. (a)

O;

S. Tipo 1; 2x

(b)

(c) O

r/24;

+ x'.

Y+

A

11. Tipo 2; 104/45

Y

6

-1

13.

Tipo 1; 33/140

Y

f

625

SECCIÓN 6.1

15. Tipo 1; 71/420

i 17. 21.

5

19.

s.

‘3”

+

23. La función f ( z , y ) = z 2 + y2 + 1 está entre 1 y 32 1 = 5 en D , de modo que la integral está entre estos valores multiplicados por 47r, el área de D . 25. Intercambiar el orden de integración (el lector deberá hacer u n dibujo en el plano ( u ,t ) ) :

1’

F ( u ) du dt = =

L2lx

F ( u ) d t du

12(z -

u ) F ( u )du.

SECC16N 6.1 1.

5

3. 7

5.

o

7.

9. (4*/3)(1 - d / 2 )

11. 47r

13. 15. Las condiciones sobre f y W muestran que la integral existe. Para hallar su valor se puede usar cualquier suma de aproximación de Riemann. Explicar cómo se pueden escoger puntos de las cajas de una partición d e manera que las contribuciones de las cajas con z positivo se cancelen con las cajas con z negativa.

626


17.

21. Dado € 1 > O , l a continuidadde implicaf(zo,yo,to)-crl < f ( z , y , z ) integración d a

Ahora, dividir entre lBcl y hacer c

+

€ 2 > O talque c < €2 siempreque ( z , y , z ) E Be. La

f muestraqueexiste

< f(zo,yo,zo)+cl,

O

SECCIÓN 6.2 1. S = al disco unitario menos s u centro. 3.

D = [ 0 , 3 ] X [O, 11; sí.

5. La imagen es el triángulo con vértices ( O , O ) : ( O , puede hacerse si eliminamos l a parte z * = O.

1) y ( I , 1). ?' no es uno a uno, pero

+ + z2 5 1 (la bola unitaria).

7. D es el conjunto de (z,y, 2 ) con z 2 y2 uno, pero sí lo es en ( O , 11 X [O, 7r] X ( O , ZK].

T no es uno a

9. Mostrar que T es sobre, equivale a mostrar qne el sistema a z + b y = e , siempre se puede resolver para z y y , donde

+ dy = f

CLC

Cuando se hace esto por eliminación o por la regla de Cramer, la cantidad entre l a cual se debe dividir es det A . Así, si det A # O , siempre se pueden resolver las ecuaciones. 11. ComodetA # O , T mandaa R2 demanerabiunívocasobre R2. Sea T-' l a transformacióninversa.Mostrarque T-' tienematriz A-' y det(A-') = l / d e t A , donde det A # O. Por el ejercicio 10, P' = T" ( P ) es un paralelogramo.

SECCIÓN 6.3

SECCldN 6.4

627

7. x

9.

647r 5

5*

- 1)

11.3x12

13. - ( e 4

15. 2a2

17.

19. 1007r/3

21. 4 * [ h / 2 - log(1

23. 27.

2

47r ln(b/a)

25.

2

(e

29. $nube; (a) $sabc. (b)

f)

+

+ h)+ log 21

2r[(b2 l ) e - b 2 - ( a 2

24 (usar el cambio de variables z = 3u - u \

-

+ 1, y = 3%+

+ l)ePa2]

U).

160

31. (b) 3

f((au2)'I3,( u v 2 ) 1 / 3 ) ~ , ~ - 1 / 3 u - d1 a/ 3dv

33.

SECCIÓN 6.4 I . [x'

- sen(7r')]/s3

3. ( U

") ' 126

18

.

5. $503.06 7. (a)

p , donde p es la densidaddemasa(constante).(b)

9. 11.

f

13. Alhacer

d ladensidad,el momelnto deinerciaes d

S, S, k

2a

a3ecd

p sen3 4 d p dB dq5. 4

15. (1.00 x 108)m 17. (a) El Único plano de simetría para el cuerpo de un automóvil es el que divide los lados derecho e izquierdo del carro. (b) t p(z, y, z) dz dy dz es la coordenada z del centro de masa multiplicada

sss W

por la masa de W . Al rearreglar la fórmula para 2 se obtiene la primera línea de la ecuación. El paso siguiente está juslificado por la propiedad aditiva de las integrales. Por simetría, podemos reemplazar z con "t e integrar en la región sobre el plano zy. Finalmente, podemos factorizar el signo menos y sacarlo de la segunda integral,y como p(z, y, z ) = p(u, u , -tu), restamos la segunda integral de ella misma. Así, la respuesta es O . (c) En la parte (b), mostramos que 2 multiplicada por la masa de W es O. Como la masa debe ser positiva, T debe ser O. (d) Por la parte (c), el centro de masa debe estar en ambos planos. 19. (4.71 x

lOZZ)G/R

RESPUESTAS A LOS EJERCIUOSCON NUMERACIONIMPAR

628

SECCIÓN 6.5 (b)

I . (a) 4;

1s

5;

(c)

&;

(d) 2

-c.

3. Al integrar e-2y dx dy primero respecto a 3: y después respecto a y, se obtiene log 2. Invirtiendo el orden se obtiene la integral del lado derecho de la desigualdad enunciada en el ejercicio.

5. Integrar sobre [c, l ] x [ t ,11 y hacer y es igual a 2 log 2 .

t -+

O para mostrar que existe la integral impropia

7. Usar el hecho de que

9. Usar el hecho de que e z 2 t y ' / ( x - y)

11.

+

2x

l(["

9

a3)3'2

- a9'2

-

2

1/(z

-

y ) en la región dada

13

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 6 1.

o

3. a 5 / 2 ~

5.

o

7.

9.

Sx(42/2-

13.

abc/6

5,

3

11. (5a/16)&

15. Cortar con los planos z 17. (25

-4

+ 10&)x/3

+ y + z = m,1 5 b 5 R. - 1 , k un entero 19. 4n ln(a/b)

(b) 16x/3

21. (a) 23. 4x/3

25. n / 2

27. (e - e-')/4

(Usar el cambio de variables u = y

29. 3 (Usar el cambio de variables u

-

z, u = y

+ x.)

= z 2 - y 2 , PI = zy.)

31. (9.92) X 106)n gramos 33. (a) 32.

(b) Esto ocurre en los puntos de la esfera unitaria

cubo.

35. ( O , o ,

p,

sJD

37. Trabajar primero la integral respecto

5 y 5 x} paraobtener

I c ,=~

+ y' + z2 = 1 inscrita en

el

I 5 x 5 L, dx. El integrandoes

a y en la región D c , = ~ {(x, y)

f dz dy = S," 1,L 0 y L -+ positivo, de modo que le,^ crece cuando t 0

z2

-

-epz)

cy). Acotar

superiormente 1 - e - r

SECCIÓN 7.2

629

mediante z, para O < z < 1, y pol: 1 para 1 < 2 < m para verque acotada y por lo tanto debe converger. La integral impropia existe. 39 2x

41. (a)

if,^ permanece

( b ) 64x

SECCIÓN 7.1

f(., Y,).

1. Ju

3. (a) 2

5.. -+(I

ds = JI f ( z ( t ) , Y ( t ) , z(t))llu’(t)ll d i = .Ib’ 0 * 1 d t = 0.

(b) 5 2 6

(c)

- 2&

+ 1/e2)3/2 + 5(2”/”)

7. (a) La trayectoria sigue la línea recta de(O, O) a (1,l) y regresa a (O, O) en el plano (de f es una recta que va de (O, O,O) a (1, 1 , l ) .La integral es el área del triángulo resultante cubierto dos veces, y es igual a zy. Sobre la trayectoria, la gráfica

d.

La trayectoria es u(s)

Y

=

suf

(1 - S/&)( (S/(&-

1,1) cuando 1)~)(1,1) cuando

5 I 4 6 5 S 5 2& O

S

ds = &.

9. 2 a / x

11. (a) [2&+log(2+&)1/4 (b)

(5/~-1)/[6~+310g(2+~)1

+ +

13. La trayectoria es un círculo uni1,ario con centro en (O, O, O) en el plano 2: y z = O, demodoquesepuedeparametrizarpor u(0) = (cos0)v (senO)w,donde v y w sonvectoresunitariosortogonalesen ese plano.Porejemplo, se puedehacercon v = (l/&)(-l, O, 1) y w = (l/&)(l,- 2 , l ) . La masa total es d e 2 ~ / 3 g r a m o s .

+

SECCIÓN 7.2 1. (a)

i;

(b) O;

(c) O;

(Id) 147.

3. 9

5. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, toda t. Así,

I F ( a ( t ) ) a’(t)l 5 IIF(u(t))ll Ila’(t)ll para

RESPUESTAS A LOS EJERCC IO IS

630

- ( n- l)/(n

7. 9.

CON NUMERACI~NIMPAR

+ 1)

o

11. La longitud de u 13. Si d ( t )nunca es O, entonces el vector unitario T ( t )= u ' ( t ) / l l u f ( t )es \ \ una función a la curva que gira de forma suave. La continua de t , de modo que es una tangente respuesta es no. 15. 7 17. Sea la trayectoria dada por (z,y, z ) = u ( t ) ,donde u(t1) = ( Z ~ , Y I , Z I )y ~ ( t z = ) Pensar z, y y z como funciones de t . Entonces u ' ( t )= ( d z / d t ) i + ( d y / d t ) j

+

(z2, y2, 2 2 ) .

( d z / d t ) k , de modo que el trabajo es

=

lr

+ *k) + y2 + z 2 ) 3 / 2( z i + yj + zk) . ($i d t + "j dt dY

-1

(x2

dl

Así, el trabajo realizado por

el campo gravitacional cuando una partícula se mueve de ( z l , y l , z l ) a (zZ1y2,z2) es 1/R2 - 1/R1. Nóteseque, en estecaso, el trabajo es independiente de la trayectoria que une a los dos puntos.

SECCIÓN 7.3

+1 4(?/ + 2) -

1. z = 2 ( y - 1)

3. 18(2 - 1) -

(Z

- 13) = O

O

182 - 4y - z - 1 3 = O .

5. El vector n = (cos v sen sen usen u,cos u) = unitaria con centro en el origen. 'U,

y, z ) . L a superficie es la esfera

(2,

7. n = -(sen v ) i - (cos v)k; la superficie es un cilindro.

+ +

+

9. (a) z = 20 (y - yo)(ah/ay)(yO, 20) ( z - z o ) ( a h / a z ) ( y o , 2 0 ) describe el plano tangente a z = h ( y , z ) en ( 2 0 ,yo, a ) , zo = h(yo, 2 0 ) . ( b ) Y = yo ( x - zo)(ak/az)(zo, 20) ( 2 - z o ) ( a k / a Z ) ( Z o , 2 0 ) .

+

11. (a) L a superficie es una helicoide. Parece una rampa en espiral alrededor del eje z. (Ver el ejemplo 2 de l a sección 7.4) Da dos vueltas, pues B va hasta 4x.

SECCI~N7.3

631

(b) n = & ( l / ~ ~ ) ( s e n 8 , - c o s f ? , r )

+

+

(c) yoz - z o y +(S; y;). = ( d y;)zo. (d) Si (zo,yO,zo) = ( T O C O S ~ O , T O s e n &entonces ,&), al representar el segmento 1 O 5 T 5 1) se muestra que la recta está en la de recta como ((rcos6’0,r senB0,&) superficie. Al representar la recta como { ( t z o , t y o , 20) I O 5 t 5 I/(.: +y:)} y sustituir el plano tangente en (zo, yo, 2 0 ) . en el resultado de la parte (c), se muestra que está en 13. (a) Usando coordenadas cilínd~ricas se obtiene la parametrización @ ( z , 8) = ((25 z z ) s e n 8 , z ) , -m < .7; < m, O 5 0 5 2x como una posible solución.

z2)cosB, ( 2 5

+

+

sen O, -22).

(b) n = (l/d=)(cosB,

+

(c) 502 YOY = 25. (d) Sustituir las coordenadas a lo largo de estas rectas en la ecuación que define la superficie y en el resultado de la parte (c). 15. (a) u

I+

u, v

I+

v, u

I+

u3 y v

I”+

v 3 , todas mandan a R en R.

(b) Tu X T, = ( O , O , 1) para Qrl y esto nunca es O . T, x T, = 9u2v2(0,O,1) para @z y esto es O a lo largo de los ejes u y D. (c)Queremosmostrarquecualesquieradosparametrizacionesdeunasuperficie que sean suaves cerca de un punto, darán ahíel mismo plano tangente. Así, suponer que 9:D c RZ + R3 y \k: B c RZ-+ R3 son superficies parametrizadas tales que (i)

~(~0,vO)=(20,YO,ZO)=*(SO,tO)

de modo que9 y \k son suaves y uno a uno en vecindades de(uo, vo) y (SO,t o ) , que bien podemos suponer que son D y B. Suponer, además, que “describenla misma superficie”, Para ver que danel mismo plano tangente en(zo, yo, 2 0 ) mostrar esto es, CP(D)= 9(B). que tienen vectores normales paralellx. Para ello, mostrar que existe un conjunto abierto C con (uo, vo) E C c D y unafuncióndiferenciable f :C -, B tal que @(u, v) = *(f(u, u)) para ( u , v) E C . Una vez, hecho esto, con cálculos de rutina se muestra que los vectores normales están relacionados por T: x T: = [ a ( s ,t ) / a ( u , v ) ] T f x TY. P a r a ver que existe dicha f, nótese que como Tf x TY # O , al menos uno de los determinantes de 2 X 2 en el producto cruz es distinto de cero. Suponer, por ejemplo, que

Usar ahora el teorema de la función inversa para escribir ciable de (z, y ) en alguna vecindad de ( S O ,yo).

(d) No.

(S,

1) como función diferen-

RESPUESTAS A LOS EJERCIC~OSCON NUMERACI~N IMPAR

632

SECCIÓN 7.4 1. 4 x 5. 5 ~ ( 6 & - 8)

X

SECCIÓN 7.5 1.

5&+3 ~

24

5. &/30 9. 1 6 x R 3 / 3

3.

m

7.;

3

(3+$ 5&

633

S E C C I ~ N7.6

SECCIÓN 7.6 1. zk487r (el signo depende de la orientación) 3. 47r

5. 27r ( o

-27r, si se escoge una orientación diferente)

7. - 2 ~ / 3 9. 12*/5 11. Con la parametrización usual en coordenadas esféricas, el ejemplo 1). Así,

=

h2"$"

F, sen q+ d 4 dB

Y j dS == 13. Para un cilindro de radio

l"ln

17. $a3bc7r

j sen 4 d4 dB

R = 1 y la componente normal F,, . dS =

15. 2x13

T e x T+ = -sen 4 r (ver

Lb[4'"

F, dB dz.

634

RESPUESTASA LOS EJERCICAOS CON NUMERACIóN IMPAR

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 7 3&(1 - e")/13 (b) - r / f i / 2 ( 2 3 6 , 1 5 8 6 - 8)/35 . [ 2 5 ) 3 (a)

2/71.

+1

(b)

-;

8&/18Y

Una esfera de radio 5 con centro en ( 2 ) 3 , O ) ; +(O, 4) = ( 2 + 5 cos 6' sen 4,s 5 sen 6' sen 4 , 5 cos @); 0 < 8 < 2 ~ ; 0 < 4 < ~

+

Un elipsoide con centro en ( 2 , O , O ) ; @(O, 4) = (2 (l/A)3cos 8 sen 4 , 3 sen 6' sen @ , 3 cos @);

+

O
Un hiperboloide elíptico de una hoja; 2 ) = ( ~ & C i ' F coso, ~&iTG seno, 2 ) ;

@(O,

;S,""

9. A(@) = 43 cos2 6' + 5 dB; CP describe la parte superior de un cono con secciones transversales horizontales elípticas.

11. 11&/6 13. & / 3 15. 5&/6 17. (a) ( e Ycos 19. $ ( e 2

+ I)

m , zey cos 71.2, - r z e Y sen A Z )

SECCIÓN 8.1 1. "8 3. (a)

O

-xR2 (c) (b)

5 3xa2 9 371.(b' - a 2 ) / 2

13 O

O

(d)

-aR2

7. 3x12 1 1 . (a)

15. T a b

271.

(b)

O

SECCIÓN 8.1

635

17. Un segmento de recta horizontal divide laregión en tres regiones a las que se aplica el teorema de Green; usar ahora el ejercicio 8 o la técnica mostrada en la figura 8.1.5. 19. 9n/8 21. Si E > O, existe 6 > O tal que I u ( q ) - u ( p ) l < t siempre que /Ip - ql = p < 6. Parametrizar ¿?B,(p) por q(8) = p p(cos0, sen O). Entonces

+

1%)

-24P)l

:5 J;"lu(q(@))- U ( P ) I

dB

I 2TC.

23. Parametrizar aBp(p) comose hizoen el ejercicio 21. Si p = ( p l , p ~ ) entonces , I(p)= u(p1 p cos O, p 2 p sen O) dB. La diferenciación bajo el signo de integral da

$

+

S,"'

+

-

=

Vu (COSO,

sed)

dB =

(la última igualdad usa el ejercicio 22). 25. Usando el ejercicio 24,

J p ' 4 =

LRIT+

u[]? p(cos8, senO ) ] p dB d p

BR

27. Suponer que u es subarmónica. Probamos las afirmaciones correspondientes al ejercicio 26(a) y (b). El argumento para funciones supraarmónicas es bastante parecido, pero con las desigualdades invertidas. Suponerque V 2 u 2 O y u ( p ) u(q) para todo q en B R ( ~ Por ) . el ejercicio 2 3 , Z'(p) 2: O para O < p 5 R, de modo que en el ejercicio 24 se muestra que 2 n u ( p ) 5 Z ( p ) 5 Z(R) para O < p 5 R.Si u(q)> u(p) para algún q = p p(cos&,senO0) E B R ( ~ entonces ), por continuidad, existe un arco [O, - 6,Oo 61 en d B , ( p ) donde u < u ( p ) - d para alguna d > O. Esto significaría que

+

2xu(p)5 I ( p ) =

<(

1 ;

JO

27r

u[p

+

+

+ p(cos O, sen 0 ) l p d e 5

26d. Esta contradicción muestra que debemos tener .(q) = u ( p ) para todo q en BB(p). Si el máximo en p es absoluto para D , en el último párrafo se muestra que u (.) = u ( p ) para todo x en algún disco alrededor de p. Si u:[O, 1) + D es una trayectoria de p a q, entonces u ( a ( t ) )= ~ ( p ) . p a r a t o d ot en algún intervalo [O, b ) . Sea bo el mayor b E [O, 11 tal que u ( u ( t ) )= u ( p ) para todo t E [O, b ) . (Hablando estrictamente, esto u es requiere la noción de mínima cota superior, de un buen libro de cálculo.) Como continua, u ( u ( b 0 ) )= u ( p ) . Si bo # I , entonces el último párrafo se aplicaría a a ( b o ) y U es constantemente igual a u ( p ) en un disco alrededor de u ( b 0 ) . En particular, existe 6 > O tal que u ( u ( t ) )= u ( u ( b o ) )= u ( p ) en [O, bo 6). Esto contradice la maximalidad de bo, de modo que debemos tener bo = 1. Esto es, o(q)= a(p). Como q era un punto arbitrario en D , u es constante en 12. 29. Suponer que V u : = O y V z u 2 O son dos soluciones. Sea 4 = ul - u z . Entonces 0 ' 4 = O y d(z) = O para todo 2: E 3 D . Considerar la integral 4V2p - V,.vp. Así, V4 Vd = O, lo cual implica que VI#I = O , de modo que I#I es una función constante y por lo tanto debe ser idénticamente cero. 2 -~2 6 ) ~ . ( p ) 2 6 [ ~ ( p ) d]

~ X U ( P )-

+

I=

S,

-

S,

S,


636

SECCIÓN 8.2

1. -2a

3. Cada integral en el teorema de Stokes es cero.

o 9. o

7. -4x/&

5.

+

11. 27r

13. AI usar la ley de Faraday, J,[V x E aH/at] . dS = O para cualquier superficie S. Si el integrando fuera u n vector distinto de cero en algún punto, entollces por continuidad la integral sobre algún disco pequeíío con centro e11 ese punto y manteniéndose perpendicular a ese vector, sería distinta de cero. 15. Las orientaciones de

as, = 8 5 ’ 2 deben concordar

17. Suponer que C es un lazo cerradosobreunasuperficie,trazadodemaneraque dividelasuperficie en dos piezas S1 y Sz. Para l a superficie de una dona (toro) se deben usar dos lazos cerrados; ¿pueden entender por qué? Entonces C acota tanto a S1 como a Sz, pero con orientaci6u positiva respecto a una y negaliva respecto a otra. Por lo tanto,

.I;

VxF.dS=

19. (a) Si C =

L,

VxF.IIS+~,~VxF.IIS=IfF.dr-IfF.Qs=O.

as, S,

v ds = JS V

X

v . dS =

S

0 . ds = O .

(h) j ”v-ds , = j ” b ~ . u ’d(l t=) v - J , d ( t ) t i t = v . ( u ( b ) - u ( u ) )donde , U :[ u , b] + R3 es una parametrizaci6n de C. (La iutegral vectorial es aquel vector cuyas componentes son las integrales de las funciones componentes.) Si C es cerrada, la última expresión es O. 21. Las dos integrales dan

.b

23. ( a ) O

x/4.

25. 2Ox

(c)

(b) x

7r

SECCIÓN 8.3 1. Si

F = V f = Vg y C es una curva de v a w , entonces ( f - ds = O , de modo que f - y cs constante.

J , ~ ( - yf )

3. z2yz - cos z 7. No; V

X

-

g ) ( w ) - (f - g ) ( v ) =

+c

F = (O,O , z ) # O

11. 3.54 x 102‘ergs

13. (a) J = z 2 / 2 (c) f = $ 2 3

+ y2/2 + C . + L y 2 + C.

(1))

F no es un campogradiente

15. Usando el Teorema 7 e n cada caso.

(a)

-$

17. ( a ) No

19. 5 ( z 3 i

(b)

-1

( c ) cos(e2) - c o s ( l / e ) / e

(h) ( ~ z z , , 2 ? / - z , ~ 2 y ) o ( ~ i 2 - 2 2x yy 2 - ~ L . 2 , - x 2 ~ - ~ , ~ )

+ x 3 j + y’k)

637

SECCIÓN 8.4

21. - ( z s e n y + y s e n z , z z c o s y , O ) (Son posibles otras respuestas.) 23. (a) V x F = (O,O, 2 ) # O .

(b) Sea a ( t ) la trayectoria de un objeto en el fluido.Entonces F(a(t)) = a ’ ( t ) . Sea a ( t ) = ( z ( t ) ,y(t), ~ ( t ) )Entonces . 2’ = - y , y’ = z y z’ = O , de modo quc z es constante y el movimiento es paralelo al plano z y . Además x” z = O , y” + y = O. Así, z = Acos t B s e n t y y = C c o s t D sen t . Sustituyendo estos valores en z ‘ = -y, y’ = z, obtenemos C = - B , D = ,4, de modo que z2 y2 = A 2 R 2 y tenemos un círculo. (c) En sentido contrario al que giran las manecillas del reloj.

+

25. (a)

F =-

+

+

GmM

(

~

+ y2 +

(x,Y,

2

+

+

2);

=o (b) Sea S l a esfera unitaria, S1 el hemisferio superior, S2 el hemisferio inferior y C el círculo unitario. Si F = V x G , entonces

L F . d S = L ~ F . d ~ + L ~ F . d S = ~ 6 . d ~ - ~ ~ . d s = O . Pero F dS = -GmM ~ s ( r / ~ ~ rndS ~ ~= 3 )- 4 x G m M , pues ilrll = 1 y r = 11 en S . S: Así, es imposible que F = V x G .

SECCIÓN 8.4

Esto es O si F esdeclase componentes son iguales. 3. 3

7. Si S = 8 0 , entonces

C*, pueslassegundasderivadasmixtasde

S, r

5- (a)

O

n d s := S , V r dV =

9. 1

1 1 . Aplicar el teorema de la divergencia a

-

(b)

&

sus funciones

(c)

-

&

3 dl7 = 3volumen(fl).

fa usando V (fa) = Vf

+ f V a,

13. Si F = P / T 2 , entonces V F -= l / ~ ’ Si , ( O , O , O ) $ 0, el resultadosesiguedel teorema de Gauss. Si (O, O,O) E L?, ‘calculamos la integral quitando una pequeria bola

638


U , = { ( L . , y, Z )

1 (X'

La integral sobre sea en U,.

+ y' +

< €1 alrededor del origen

z'L)1'2

as, se obtiene conel teorema

y después haciendo

10 (ley de Gauss), pues

15. Usar l a fórmula 8 de la tabla 3.1 y el teorema de la divergencia para Usdr l a f6rmula 18 para la parte (b).

17. ( a ) Si

d(p) = J,

T

t +

O:

= t donde

la

parte (a).

p(q)/(4rllp - yII) dV(q), entonces

V4(P) = J;,[P(~l)/4.lV,(~/IlP- C l I O d V ( q ) =

-

l[P('L)/4"I[(P - q)/l/P - c11l31 d V ( q ) ,

donde V, significa el gradiente respecto a lascoordenadas de p y la integral es el vector cuyas componentes son las tres integrales componentes. Si p varía en V u aV y 11 es la normal unitaria exterior a a V , podemos tomar el producto interior usando est,as componrntes y juntar las partes como

Así,

Esencialmente, hay aquí cinco variables de integraci6n, tres que colocan a q en que colocarl a p en (?V.Usar el teorema de Fubini para obtener

Si V es una regi6n de tipo I\', el teorema 10 dice que y O si q 6 V . Así,

S," VI$

*

onlo lo p = 0 fuera de 0,

L"

IldS =

VI$. I l d S

-

S,""

=-

L/

la

Ry

dos

irttegral interior es 4x si cl E V

p(q) dV(qj.

p(q) dV(q).

Si V 110 es del tipo IV,subdividirla en u n a suma de dichas regiones. L a ecuación se curnple en cada parte y, después de sumarlas, las integrales en la frontera a lo largo de se cancelan, dejando el resultado fronteras interiores orientadas de manera apropiada deseado.

SECCIÓN 8.4

639

-

,S,

S,

S,

(b) Por el teorema 9, Vd dS = V2d dV, de modo que V'ddV = p d ~ Como . tanto p como V 2 d son continuas y esto se cumple para regiones arbitrariamente pequeñas, debemos tener 0'4 = "p.

S,

19. Si la carga Q seesparcedemanerauniformesobrelaesfera S deradio R con centro en el origen, la densidad de carga por unidad de área debe ser Q/47rR2. Si p es un punto que no está en S y q E S, entonces la contribuci6n al campo eléctrico en p debido a l a carga cerca de q se dirige a lo largo del vector p - q. Como l a carga está uniformemente distribuida, la component,e tangencia1 de esta cont8ribnción se cancelará con la de un punto simétrico en el ot,ro lado de la esfera a la misma distancia de p. (Dibujar l a figura.) El campo total resultante debe ser radial. ComoS se ve igual desde cualquier punto a distancia llpll del origen, el campo debe depender s610 del radio, y ser de la forma E = f ( r ) r . Si vemos la esfera C de radio llI>ll, tenemos

E) =

(cargadentrode

L

E .d S =

1

f (llpll)r . ndS

= f(llPll)IIPIIi r e a E = 4~llPl/"f(/lPll).

Si l j p l l o ue

< R , no hay carga dentro de C; si

llpil

> R , la carga dentro de

C es Q, de modo

, ,S

21. Por el teorema 10, F - d S = 47r para cualquier superficie que encierre al origen. Pero si F fuera el rotacional de algún campo, entonces l a inkgral sobre dicha superficie cerrada tendría que ser 0. 23. Si I), es la i-ésima componente de nu vector v, entonces el ejercicio 22(b) d a

[$1,

f F d z dy dz] = t

=

$

Lf

d", 1,

(J'F),d z dy dz = -

1,[gF+

=lt

(fF,) div F

f F , d z dy d z

1

dz dy dz

[ ~ i : f F , ) + D , ( f E ; ) . F + ( f F , ) d i v F ]d z d y d z

/{ =/ =

g(fF)

nt

+ [ D ( f F ) F l t + [(fF)div F],} d z d y d t

[$(fF)+D(fF)F+(fE)divF]

[L, ni

=

=

[/ nf

dzdydz I

$(fF)+D(fF)+(fF)divF$rdydz

(:tjfF)+(F-V)(fF)+(fF)dirF)

l.

drdydt

I.

640

RESPUESTAS A LOS EJERCIUOSCON NUMERACIÓNIMPAR

SECCIÓN 8.5 1. (a) Por el ejercicio 22, sección 8.4,

Por el teorema 11, la ley de conservación para V es equivalente a enunciar que el integrando de la derecha es idénticamente O, lo cual implica que la integral de la izquierda es O. Recíprocamente, si 0 esuna región pequeíía,también lo es f i t . Si las integrales de la derecha son O para todas las regiones suficientemente pequeñas, entonces el integrando debe ser O (por cont,innidad). (b) Para cada tiempo t , el cambio de variables (u, v ,w )= d((z, y , z ) , t ) d a

Por la parte (a), el lado izquierdo es constante

su valor en t = O:

en el tiempo y por lo tanto es igual a

Como esto se cumple para todas las regiones pequeñas, los integrandos deben ser iguales, por continuidad. (c) Por el ejercicio 22, sección 8.4, d i v V = O implica J ( x , t ) = 1. Aplicando esto a la parte (b), p(x, t ) = p(x, O). La densidad en cada punto es constante en el tiempo, de modo que ap/at = O y la ley de conservación se convierte en V V p = O. El flujo es perpendicular al gradiente de p, de modo que las líneas de flujo están en superficies de densidad constante. 3. (a) Como v = ~ 4v ,x v = O y, por de Euler se convierte en

Io

tanto, ( V . V ) V = +V(llVl12),laecuación

Si u es una trayectoria de PI a Pz, entonces

+

(b) Si d V / d f = O y p es constante, entonces $V(llVl12) = - ( V p ) / p = - V ( p / p ) y por lo tanto V ( IIV/I* p/p) = O .

+

V J = V (V X H) - V * (dE/at) = -V (aE/at) = ley de Gauss esto es -ap/at. Así, V J dp/dt = O .

5. Por la ley deAmpi.re,

-(ú'/¿%)(o E). Por la

+

7. ( a ) Si x E S, entonces r " a / R = T , de modo que G = O. En general, r = - IIx - yll, por lo tanto

IIx

- y11 y

SECCIÓN 8.5

641

V:G = O cuando x # y, Como en el análisis de la ecuación (15) ( x # y ’ , pues X está adentro de la esferay y ’ está;tfnera). El t,eorema LO d a V2C; = &(x-y)-( R/tr)6(x-y’), pero el segundo tCrmino es siempre O, pues x nunca es y ‘ . Por lo tanto V2G = E(x - y ) para z y y en la esfera. ( b ) Si x está en la snperficie de S, ent,onces n = x/R es la normal unitaria exterior, Y y

Si y es el ánguloentre x y y , entonces IIx - y1I2 = r2 = R 2 I[x - yr1I2= T r r 2 = R’ + b’ - 2 b R c o s y = ( R ’ / ~ ’ ) T ~Entonces . __

(y-x)

”

I

+

n2 -

2eRcosy Y

*11.

Integrando sobre la superficie de la esfcra,

-

R( R2 - a ’ ) 47r

12TlT +

f (O,$) scn 4 (14 dB ( R2 a2 - 3n R cos y)312 ’

9. (a) U = ( d / d s ) [ l ~ ( z ( s ) , t ( s=) )u]z + + u t i = u , f r ( u ) + u t = O . (b) Si la curva característica ~ ( z1), = c (según la parte (a)), definir t de manera implícita como función de z, entonces u z 7rt(dt/rlz) = O. Pero además u t f ( ~ =) O , ~ esto es, ut fr(u)uz = O. Estas dos ecuaciones juntas dan d t / d x = l / f r ( u ) = l / f ’ ( c ) .

+

+

+

Por lo tanto la curva es una recta con pendient,e l / f r ( c ) . (c) Si 2 1 < z2, uo(z1) > 1~01:zz) > O y f’(u(12)) > O , entonces j ’ ( u o ( z 1 ) ) > f’(uo(z2)) > O, pues f ” > O. La cara.cterísticaquepasa por ( ~ 1 ~ tiene 0 ) pendiente I / f ’ ( u o ( z l ) ) , que esmenor q u e l/fr(~b0(?;2)), (la d e la característica que pasa por (z2, O)). De modo que estas rectas se deben crllzar en IIII punto I’ = (?F,i) con i > O y 2: > z2. La solución debe ser discontinua en P , pues estas dos rect,as quc sc cruzan IC darían ahí diferentes valores. (d) j = ( 2 2 - z ~ ) / [ f ’ ( u o ( ~ --~f ) ’ () 11.0(~2))]. 11. (a) Como el “rectringulo” D no t o c a e l ejp ecuación ( 2 5 ) se convierte en

I

y 0 = O en 811 y fuera de 11, l a

642


Pero u es

C'

en el interior de D,, y el ejercicio lO(b) dice que ahí, u t +f(u)= = O. Así, (ii)

(b) Por el teorema de Green,

y así la expresión (ii) se convierte en

+ f(71)dx]dz dr = L

//b$ht

,

d[-u dz

+ f ( u )dt]

Sumando lo anterior para i = 1 , 2 y usando la expresión (i), se tiene

d[-u dz

O = i,,,

+ f(u) d t ] +

i ,

d[-u dz

+ f(u) dt]

La unión de estas dos fronteras recorre una vez 6'D y la parte de r dentro de D una vez en cada dirccción, una vez con los valores u1 y otra con los valores u2. Como 4 = O fuera de D y en 302 esto se convierte en O = d{[-u] ds: [f(u)] dt}. (c) Como d = O fuera de D , la primera integral es l a misma que la de la segunda la parte de r conclusión de la parte (b). La segunda integral resulta de parametrizar por a ( t ) = ( z ( t ) ,t ) , t l 5 t 5 t Z . (d) Si [-u]. [f(u ) ] = c > O en I', entonces podernos escoger un disco pequeño B, con centro en P contenido en D (descrito anteriormente) tal quc [-u](dz/dt)+[f(u)] > c / Z en la parte de I' dentro de B,. Tomar ahora u n disco un poco más pequeño B b C B, con centro en P y escoger 4 tal que 4 1 en Rb. O 5 4 5 1 en el anillo B,\Bb y 4 E O afuera de B,. s i cy(f0) = P , entonces hay 13 y t 4 con t 1 < t d < t o < t 4 < t 2 y a ( t ) E B b para 11 < f < t 4 . Pero entonces

S,

+

+

contradiciendo el resultado tie laparte(c). signos) funciona si c < O.

Un argumentosimilar(inviertiendo

los

13. Al hacer P = y ( u ) @y Q = -f(u)4,aplicando el korema de Green en R rectangular y usando la func-iSn Q como en el ejercicio 10, se muestra que si u es una solución a ~ ( u ) f ~( u ) , = 0, entonces

+

SECCIóN 8.5

643

Éstaeslaanalogíaapropiadade la ecuacicin (25), definiendosolucionesdébilesde f ( ~=)O. ~Así, queremos u tal que

g(u)t

+

JJ(

Udt

+ ;?t2q5z

j d z df +

t>o

se cumpla para toda

sJ'(!7tz4t

L

o

u o ( 2 ) ( $ ( z , Od)2 = o

(i: débil)

4 admisible, pero tal que

+

iu3d,)

dl:d t

+

t>o

;u;(z)4(2,0)d z =

.io

n

(ii: débil)

no se cumpla para alguna 4 admisible. El InCtodo del e,jercicio 11 producr la conclicibn de salto s[g(u)] = [ f ( u ) ] . Para (a)) scst,oes s ( u 2 - 1 1 1 ) = (fui- :u:)o S

P a r a ( b ) , es s ( i u ; - ; u : ) = (

=

$(U2

'

5 7 ~ 2-- 3 tli)

+

(i: salto)

711).

o

(ii: salto) por uO(r) = O para L < O = 1 para z > O, tendremosqueconsiderar l a funcicin u ( z ,t) = O cuando t > 2x y u ( z , t ) = 1 cuando t 5 2 2 . Así, u l = 1, u 2 = O , y la curva de discontinuidad r está dada por t = 22. Ent,onces l a condición de salto (i: salto) (i.e., d x / d f = ;(u, t - 1 ~ 2 ) ) se satisface. Para cualquier 4 particular, existen números T y n tales que 4(z, 1) = O para .r 2 n y 1 2 T . Tomando como 0 l a región O 5 z 5 a y O 5 t 5 T , l a condición (i: débil) se convierte en

Si tomamos para uo(z)una función (de Heaviside) definida y

UO(Z)

n

=-in4(z,0)d2+

+

1"

LTJ2

[-4(z,22)(-d2)+

1 -4(z,2.)(-2dzj] 2

d(X; o) d3:

Así, (i: débil) se satisface para t,oda 4 y u es una solucicirr dkhil de la ccuación (i). Sin embargo no se puede satisfacer (ii: débil) para toda 4, pues falla la condición (ii: s a l t o ) . En efecto, si multiplicamos (ii: débil) por 2 e insertamos u , (ii: débil) se conviert,e en

o Elfactor

-t ;dZ) d3: d t

=.JJ(4t

n

se ha cambiado a

+

1"

4 ( z , o) d a .

y el cálculoanterior se convierte ahora en 0 =

;Lrf2

4 ( z , 2x1 d z ,

que, ciertament,e, no se satisface patra toda 4 admisible.

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

644

CON NUMERACI~NIMPAR

15. Por ejemplo, escribir / r e z e = zll’ = Ire:e c o s 4 zsen 4, 1zI2 = zF y multiplicar.

+

- r ~ e : q ’= I r e : ( ” )

- r’l’,

usar e** =

SECCIóN 8.6 1. (a) (2zy’ - y z 3 )d zd y

+ + z’)

(c) ( x 2 y2 (e) d z d y d z

3.

+

(b) (z’ (d) ( z y

dz dy dz

+ y’) + z’)

d zd y dz dydz

+

+

(a) 2 z y d z (z’ 3yz) dy (c) - ( 2 z Y)dz dy (e) 23: d z d y d z

(b) -(x y’ sen x ) d z d y (d) d z d y d z (f) 231 d y d z- 22 d z d x

(€9 -

(h) 2 z yd zd yd z

+

(.’ 4+x y

dxdy

+ V2) = Formaz(aA1 + A2, aB1 + B2, CUCI +C z ) = (@Al+ A z ) d y d z+ (CUBI+ B z ) d z d x

5. (a) Formaz(aV1

+ ( ~ C+Ic 2 ) d z

dy = a(A1 d y d z B1 d z d z C1 d z d y )

+

+

+(Azdydz+Bzd~d~+Czd~dy)

= aForma2(V1)

+ Formaz(V2)

dw=

az

Pero ( d z ) 2 = ( d y ) 2 = (dz)’ = d z A d z = d y A d y = d z A d z = 0 , d y A d z = - d z A d y , d z A d y = - d y A d z y d x A d z = - d z A d z . Por lo tanto

= Forma2 (rot V). 7. Una 1-variedad orientada es una curva. Su frontera es un par de puntos que se pueden considerar una O-variedad. Por lo tanto w es una O-forma o función, y dw = w ( b ) - w ( a ) si la curva M va de a ab. Más aún, d w es la 1-forma( d w / d z ) d z + ( d w f i y ) d y . Por lo tanto d w es la integral de línea S,(dw/b’z) dw ( d w / a y ) d y= V w ds. Obtenemos así el teorema 3 de la sección 7 . 2 , V w d s= w(b) -w(a).

sa

,S

9. Poner w = F1 dl: d y

(a) O.

(b) 40.

+

F2

dy dz

+ F3 d z

,S

+

d x . La integral se convierte en

,S

CAPíTULO EJERCICIOS DEL DE REPASO

645

8

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPITULO 8 1. (a) 2 r a z

(b) O

3. O

5. (a) 7. (a) 9.

y

f = 24/4-x22y3

(b)

-+

Verificar que V x F = O .

(b) f = 3x2ycos z .

(c)

O.

11. No; V x (a x r) = 2a.

13. (a) O f= 3yez2i

+ 32e"'j + 6 x y t e Z 2 k .

( b ) O.

(c) Los dos lados son 0

15. 8 ~ / 3 17. r a 2 / 4

19. 21

G es conservativo; F no. (b) G = VI$ si I$ = ( x 4 / 4 ) + ( y 4 / 4 ) - i z 2 y 2 + constante. J G a d s : = - ' . 2 , f p F * &= L ; (c) J a F . d s = O ; 21. (a)

5." + G , donde C es cualquier

23. Usar los resultados de la página

" "

.

537.

JpG*ds=

-' 2'

647

DERIVADAS dau dx

du dx

1. -= a -

-&+e

d(u++) dx dx dx

2. ___

d(uv) + da d(u/v) - v(du/dx) - u(dv/dx) 4. -U2 dx

3. --

dx

dx

du

5. 6.

dx

d(u") -=nu ax

-

d(u" I = vuw-' dx d(e") dx

7. - = e

,du -

+ u'(1og dx

dx

d 'u u ) -dx

dx

au du dx dx da" du 9. - = a"(1og a ) da d(1ogu) 1 du 10. - -u dx dx 1 du d ( k u ) = ~11. a dx u(1og a ) d x

d(ea")

8. -= ae

~

dx

d sen u ax

du

12. -= cosu-

du d c0s.u dx

13. --

d arccos u - -1 du dx JC-7 da d arctan u -" 1 du 20. dx 1 + u2 dx du d arccot u " -1 21. dx 1 + u2 dx d arcsec u 1 du 22. ax - u J 2 T dx d arccsc u -1 du 23. dx - J n d x dU d senh u = cosh U 24. dx du d cosh u 25. = senh udx du d tanh u 26. = sech2 u dx dx du d coth u 27. ___ = -(csch2 U ) ax dx d sech u du - -(sechu)(tanhu)28. dx dx d csch IL du 29. -- -(csch u)(cothU ) dx dx 19.

d tan u 2 du udx dx da dcotu 2 15. -- - C S C Udx dx d sec u du 16. -= t a n u s e c u ax dx 14. -= sec

d csc u

18.

d arcsen u dx

-

du u)(cscu)1

~

~

31.

dX

- -(cot dx

~

30.

-sen u-

17.

~

da

32. 33.

d senh" u dx d cosh-' U dx d tanh-I u -~ dx dcoth" u ax

1 du -" - J W d X - J -

1

du dx

1 du 1 - u2 dx 1 du u2 - 1 dx

= --

648

12. J a r c c o s 13.

arctan

14. /senz 15.

d

z

(a

> O)

-c dx = L arctan -x - n log(cr2 + x 2 )

(u

5 dx = xarccos 2 u

1 m x d z = "(mx 2m

/ C O ~ ' Y X ~ Z=

J 2 /

2

> O)

-ser) m r c o s ~ n r )

- (17 r ~ ~ + s e l l r r 1 x c o s n , r ) 2m

16. . sec x dx = tan x 17.

csc2 z dx = -cot x

18. / s e n " x d x

=

-

senn"l z cos z n

n-I 11

J

sen

n"2

xdx

649

20. / t a n n 21.

22.

23.

x dx =

tann"l x n-1

~

/ /

secn x

=

25.

J cosh

x dx = senh X

28.

29.

30.

31.

32.

/

+ n-2

cot x C S C n - z x cscn z d x = n-1 n-1 X dx

= cosh

dx

(Tt

#

n-1

/seen-'

+ n-2

/

x

tanh x d z = log I cosh x1 coth z d z = log I senh z 1

sech x dx = arctan(senh x )

I f1

csch x d x = log tanh

-

=

1 1 senh' x d x = - senh ?,x - -x 4 2

cosh' x dx =

1

1

- senh

4

sech2 x d x = t.anh x

22

+ -21x

x dx

cscn-2 x d z

1 / / / /

1)

(n#1)

tan z seen-' x n-1

J senh

27..

X

/ c o t n x d x = - - - - " / cot" c ont -n 1- ' xxd x

24.

26.

t¿LIln-'

-

+

1 coshz 1 log 2 coshz - 1

( n # 1)

(n

#

1)

650

39. /(u2

41.

- z2)3/2d z = 5 ( 5 u 2 - 2 x 2 ) d G + 3u4 arcsen 8 8

J-J"- x2 d z = -log 1 2u u2

I:'/-

46. J x d X d x = 2(3bx - 2 u ) ( u

15b2

+b ~ ) ~ / '

5

(u

> O)

651

1

63.

64.

65.

66.

/ /

dx=

{

1

ax2

+ bx + c

ax2

+ bx + c d x = -log 2a

X

1

+ +c dx={

d u x 2 1 bx

2

1

2aX

+b -

(b2 > 4ac) log 2 a x + b + J m 2ax + b (b2 < 4ac)

"

& E 3 3 arctan JW

"

lax2

-!-log fi 1

+ bx + cI - 12ax

+ b + 2hj-1

J-a arcsen +

dx

/ J . ; ; + b . + . d x = - -2ax - J G ?4a b"G+T

(a

-2ax - b

(a

> O)

< 0)

4ac -

b2

ax2

+ b +c dx

652

70.

J @"2dx = r

71.

/ s e n a x s e n b a d x = sen(a

3a2x3

2(a

72. /sen 73.

J

74.

J

75.

J

2 4

/

a x cos bx d x =

cos ar

sec x

-

cos bx d x =

- b)z - b)

sen(n

-

'(a

-

xneaz

/

+ 1))

+ bjz + srn(cl '(a' + b j

# b2)

(aZ # (a2

b2)

# b2)

e

a

ax:)mdx =

log a.x

n+l

dx

-

(log

eax(a,sen br

al

1

x71t1 ~

sen ax d z

-

xneax n' --

sen br dx =

83. / e a x

85.

dr

x" log ax dx = xnt'

81. /x'"(log

/ /

b)x b)

+ bjx

(a2

csc r d x = - csc x

J

84.

++bb)r )

cot x tan x d x = sec x

79.

82.

2(11

'(a -

J ' ~ " i : o s a x d r = -1x n s e n n x

/

- sen(a

- b)x - COS(^ b) '(a

COS(U

78.

80.

m

-

n+1

b cos bx)

+ b2 ea"(b sen br + a cos bz) cos bx d x =

srch r

a2

a2

t.anh x d x = - seclt

csch z coth x d r =

- csch

z

+ b2

Jx'~~log

a,z)m-l

rle

653

ÍNDICE DE SÍMBOLOS LOS SiMf30LOS SE LISTANEN ORDEN DEAPARICIóN

N

SíMBOLO

límite x-b

límite

"

NOMBRE

números realesxii númerosracionalesxii intervalo cerrado { z I u 5 z 5 b } xii intervaloabierto { z l a < z < b } xiii intervalo semi-abierto { z l a 5 z < b } xiii intervalo semi-abierto { z l a < z 5 b } xiii valor absolutode a xiii 3 espacion-dimensional baseusual en R3 9 productointeriordedosvectores 21 normadeun vector 22 producto cruz 34 coordenadascilíndricas 48 coordenadas esféricas 52 discode radio r con centro x0 95 límite cuando x tiende a b 101 límiteporlaizquierda derivadaparcial

117

119

derivadade f en x0 125 grad f , gradientede f 127 continuamentediferenciable 129 dos veces continuamentediferenciable unatrayectoria 190 del,nabla 220 rot F, rotacional 220 div F, divergencia 225 laplaciano 226 hessiano 252 integraldoble 304 integraltriple 356

158

jacobiano 372 integral de trayectoria 414 integralde línea 421 t7ayectoriaopuesta 426 integralescalar desuperficie integralvectorialdesuperficie

464 (flujo)

472

”””

ÍNDICE DE MATERIAS

aceleración, 196 aditividad de la integral, 319-320,349-351 Alembert, J.L. d’, 165 Ampkre, ley de, 435-436 Andisis Vectorial, 18 análisis vectorial, 490-580 aplicaciones a física, 544-551 aplicaciones a las ecuaciones diferenciales, 552-559 identidades comunes en, 231 ángulo entre dos vectores, 23-24 anticonmutatividad del producto exterior, 574 antiderivada, 320 aproximación lineal buena, 124 la mejor, 125 área de superficie 449-460 e integrales impropias, 454-457 en términos de sumas de Riemann, 450-451 lateral, 455-457 de una esfera, 454-455 de una helicoide, 452-454 de una sección transversal, 306 de un paralelogramo, 37-38

de un triángulo, 38-39 asociatividad de la multiplicación de mlatrices, 66 del producto exterior, 574 en I t 3 , 4 atmósfera inestable, 187’ axioma de plenitud para los números reales, 344

Bernoulli, J . , 165 Bernoulli, ley de, 560 bola abierta, 95 buena aproximación, 124

cálculo integral, teorema fundamental del, 320 cálcull3, teorema fnndamental del, 320, 429-430 cambio del orden en la integración, 336-340 cambio de variables en coordenadas cilíndricas, 384 en coordenadas esféricas, 3’34-385 en coordenadas polarr~s, 375-376,380-383 método del, 236 para integrales dobles, 376-383 para integrales triples, 383-384

teorema del, 371-386 campo conservativo, 429-430, 517-526 de fuerza gravitacional, 213-214 de fuerza, trabajo realizado por un, 419-421 de potencial, 291-294 de velocidad de la energía (razón de flujo del calor), 212, 213 de velocidad de un fluido, 76-77, 212, 216 de velocidad de un fluido, razón de flujo de un, 479 eléctrico, 549 electromagnético, 549-551 escalar, 211 gradiente, 151-153, 215, 429-430,517-518 propiedades del, 231-237 campo vectorial, 211-219 cálculos con un, fórmulas para los, 231 campos escalares componentes de un, 211 circulación de un, 513, 520 clase de un, 211 curvas solución generadas por computador de un, 217, 218

656

¡NDlCE

definición de, 211, 212 de movimiento circular, 214-215

divergencia de un, 225228 divergencia y rotacional de un, 225 flujo d e u n , 218-219 fnent,c de un, 537 geometría de la divergencia de un, 226-228 potencial para un, 521 propiedades de la divergencia de un, 231-237 razón de flujo de un, 479-481 rotacional de un, 220-226 sumidero para un, 537 campo vect,orial circular, 214-215 como función, 211-212 conservat.ivo, 429-430, 5 17-526 constante, 584 de carga 215, 216 de energía, 212, 213 de flujo de calor, 212, 213 d e la razón del flujo del calor, 212, 213 de potencial, 291-294 de Poynting, 565 de rotación, 214 d e velocidad de l a energía (razón del flujo del calor), 212, 213 de velocidad de u n fluido, 7 6 ~ - 7 7212, , 216, 479 razón de flrl,jo de u n , 479 elcctromagndtico, 549551 gradiente, 151-153, 215, 429-430, 517-518 propiedades del, 231 237 gravitacional, 213--214 irrotacional, 223 225, 521 rotacional, 223-225 s i n divergencia, 537 Cant,or, C . , 344

cara, 529 carga, campo vectorial de, 215, 216 distribución de, 540 carga y flujo, 481 Cauchy, A . . 34, 326, 344, 348, 458 Cauchy-Riemann, ecuación de, 471 Cauchy-Schwarz, desigualdad de, 25, 59-60 Cauchy, sucesión de, 344348 Cavalicri, B.,308 Cavalieri, principio de, 306 CRS, desigualdad d e , 25, 59--60 centro d e gravedad de una superficie, 470 centro de masa, 390-394 cicloide, 193 longitud de arco de la, 202-203 circulación de nn campo vectorial, 513, 520 círculo longitud de arco de un, 201-292 unitario,191 y fuerza centrípeta, I98 Cobb-Douglas, función de producción de, 298 componente 2, 1 Y, 1

composición, 11O 1 1 1 composicidn de funciones, 190 diferenciación de, 131, 133-136 condición de salto, 562, 563 condiciones laterales, 265 conductividad, 212 constante de, 548 corl.jllrlto abierto, 95-99 acotado, 259, 342 cerrado, 259, 342 de nivel, 78-79

notación para, xiii-xiv conservación de masa, ley de, 54-545 constante gravitacional, 201 continuidad, 106-110, 170171 definición de, 107, 115, 170 en el sentido de Holder, 118 en el sentido de Lipschitz, 118 uniforme, 342-343 vs. continuidaduniforme, 342 y diferenciabilidad, 128, 172-174 contradominio, xiv coordenadas cartesianas (rectangulares), 1, 47, 49-50 cilíndricas, 47-50 operaciones vectorialcs en, 234-235 y teorema del cambio de variables, 384 esféricas, 51-55 operaciones vectoriales en, 234-235 y teorema del cambio de Variables, 384-386 geográficas, 52 polares, 47-48 y teorema del cambio de variables, 375-376, 380-383 rectangulares, 1, 47, 4950 correspondencia, xiv, 62-63 campo escalar corno una, 211 campo vectorial como una, 211-212 como trayectoria, 190191 de contorno, 79 de R2 a R2, geometría de una, 364-370 derivada de una, 139 lineal, 63

."

657

~NDICE

Coulomb, ley de, 156, 215, 482 Cramer, G., 33-34 Cramer, regla de, 34 criterio de la segunda derivada para extremos, 251-261 para un extremo restringido, 272-278 cuádrica, semiejes mayor y menor de una, 294 cuaterniones, 18 curva característica, 561 cerrada, 431 simple, 431 componentes de una, 433-434 con rapidez unitaria, 209 de nivel, 78-85 de una trayectoria, 190193 dirigida simple, 431 frontera, 505 integral, 216-218 longitud de arco de una, 201-207 parametrización de una, 430-435 puntos extremos de una, 43 1 simple, 430-431 orientada (dirigida), 431 trayectoria integral sobre una, 416-417 vechor tangente a una, 137-139 curvas frontera, 505 curvatura, 209

d'Alembert, J., 165 deformación, 364, 367 derivada de una trayectoria, 193 direccional, 147-148 material, 220 notación para la, xiv, 125 parcial, 119-122, 171-172

iterada, 157-161 mixta, 157-160 propiedades de la, 131141 derivadas parciales matriz de, 126, 171-172 mixtas, 157-160 desigualdad triangular, 59-60 relativista, 210-211 determinante, 30-34, 65 jacobiano, 372-375, 383384 Dieterici, ecuación de, 144 diferemciabiiidad, 118-129, 1'76-177 definición de, 119-125, 1'71 y continuidad, 128, 1721#74 diferenciación, 118-129 de: funciones compuestas, 1,31, 133-136 técnica, teorema de, 1681'77 diferemcial,125 difusividad, 549 dipolo', 73 Dirac, función delta de, 552 Dirichlet, funcional de, 471 prolblema de, 555 Dirichlet Green, función de, 5,55 disco abierto, 95-99 discontinuidad, 108 rapidez de, 563 discriminante, 256 distancia de un punto a un plano, 42-43 en el n-espacio, 60 notación para la, xiii distributividad del producto exterior, 574 diverg,encia, 537 de un campo vectorial, 2 25-22 8 en coordenadas polares y cilíndricas, 540-541

geometría de la, 226-228 propiedades de la, 231237 y rotacional, 225 Douglas, Jesse, 460

ecuación de calor, 163-164,548549 de conservación, 544-545 de Dieterici, 144 de Euler para un fluido perfecto, 546-547 de Korteweg-de Vries, 160-161 de Laplace, 164-165, 238 de Maxwell, 549-551 de onda, 165 de onda no homogénea, 551 de Poisson, 164-165, 543 de Poisson, método de la función de Green para la, 552-559 de potencial, 164-165 de transporte, 543 de una recta, 11-14 del plano, 39-43 diferencial,197 solución débil de una, 562 ecuaciones diferenciales, 197 parciales, 163-165 y análisis vectorial, 552559 ecuaciones en forma de divergencia, 562 eigpnvalor, 279 eigenvector, 279 eje

x, 1 Y, 1 2, 1 elemento cero, 4 de área, 376

Faraday) M . , 458 11u i d o

campo vcct,orial de velocidad de un, 76-77, 213, 216

inrompresible, 537

perfect.o, ecuación de EIIIcr para un, 546-547

flujo de calor, 480-48 1 d c u n campo vechrial, 218- 219 de u n fluido, 544-548 razbn d ~ 479 , de u n fluido y ecuacibn de continuidad, 5-16 forma diferencial o-. 566-567 I - , 567 2-, 568 569 3 - , 569 formas, 566 567 I , 567 2 , 568--569 3. 566- 567 ilgcbra de, 573 580 diferrnciación d e , 575578 tiifcrrnciales, 422, 566-580 anticonnrrltatividad de, 574 de grado 2, 5 6 8 ~569 d e grado 3 , 569 d c grado 1) 567 difcrenciaci6n tlc. 575578 distributividad d e las, 574 multiplicación d e , 573-580 producto exterior de, 574 propiedades de las, 574 y el teorema de Gauss, 579-580 y el teorema de Green, 578-579 y el teorema de Stokes, 579, 580 fórmula de Taylor de primer orden, 243 de segundo orden, 243 244

de t,ercer orden, 246 Fourier, Joseph, 163-164 Fourier, serirs de, 163--164 Frenet, fórmulas de, 210 frontera, 329 2 y 3-variedades orirntadas con, 580 Fubini, G., 326 Fubini, teorema de, 322-326 para integrales impropias, 404

fuente de an carnpo vcctorial, 537 fuerza

centrípeta, 198, 2 9 3 s moment,o de una, 46 funcicin acotada, 180, 318 analítica, 247 armónica, 165, 264, 503 buena aproximacicin de una, 124 C ' , 129, 157 C 2 , 157 C 3 , 157 componente, 190 compuesta, 110-111 diferenciación de una, 131, 133--136 extremo dc una. Ver extremo, geometría de un, 75-93 continua, 106-110, 170171 en el sentido de Ilijlder, 118 en el sent.ido de Lipsc h i t z , 118 potencial de una, 543 vs.funciónnniforrnemente continua, 342 y difercnciabilidad, 128, 172-174 cuadrát,ica, 252 definit,ivamente negativa, 252 criterio para det,ectar una, 255 dcfinit,ivamente positiva, 252

659

~NDICE

criterio para detectar una, 254-255 de Dirichlet Green, 555 de Green, 552-559 definitivamente negativa, 252 criterio para detectar una, 255 definitivamente positiva, 252 criterio para detectar una, 254-255 de longitud de arco, 201207 de Neumann Green, 555 de producción de CobbDouglas, 298 delta de Dirac, 552 diferenciable, 118-129 discontinua, 108 dos veces continuamente diferenciable, 157 escalar, integral sobre una superficie de una, 463-469 gráfica de una. Ver gráfica gradiente de una. Ver gradiente hessiana, 252 hessiano bordeado, 272, 274 homogénea, 183 integrable, 316-318 mejor aproximación lineal a una, 125 par, 156 sobre, 369 subarmónica, 264, 300, 504 estricta, 264, 300 supraarmónica, 504 uniformemente continua, 178, 342-343 uno a uno, 367-370 valor promedio de una, 389-390, 393 vectorial, integrales de superficie de una, 472483

funciones CON valores escalares, 75 con valores reales, geometría de, 75-93 con valores vectoriales, 75, 189-237 de varias variables, 75 dos veces continuamente diferenciables,157 notación para, xiv subarmónicas, 264, 504 estrictas, 264, 300 supraarmónicas, 504 uniformemente continuas, 1178, 342-343 vectoriales, integral de superficie de, 472-483

Galileo, 163

gas ideal, 187

ley del, 187 Gauss ley de, 481, 538-540 teorema de , 490, 528541 en términos de formas diferenciales, 57s)-580 generación del plano, 11 geometría del espacio euclidiano, 1-74 Gibbs, J.W., 18 gráfica, xiv, 440 suave, 106-107, 118 gráficas generadas por compn,tador, 85, 89-93 miitodo de secciones para, <51-83 suaves (sin romper), 106-107, 118 gradiente, 127, 221 definición de, 146 significado geométrico del, 149 y rotacional, 221 y superficies de nivel, 149-150 gravedad, centro de, de una superficie, 470

gravitación, ley de la, 153, 197 Green identidades de, 542 método de la función de, 552-559 primera identidad de, 554 segunda identidad, 554 teorema de, 490-500 en términos de formas diferenciales, 578-579 forma vectorial del, 497-499 teorema de la divergencia en el plano, 499500

hélice, 195, 196 longitud de arco de la, 202 Hesse, L. O . , 252 hessiano, 252 bordeado, 272, 274 hipocicloide, trayectoria de la, 205-207 Holder, función continua en el sentido de, 118 homogeneidad de la integral, 319-320 del producto exterior, 574 Huygens, C., 457

identidad de Lagrange, 67 identidades del análisis vectorial, 231 inercia, momento de, 394395 inestabilidad atmosférica\, 187 integración cambio del orden de, 336-340 teoría de la, 204 integral aditividad de la, 319-320, 349-351 aplicaciones de la, 389399

660

INDICE

cálculo de la, 320-326 definición de, 319 definida, notación para la, xiv-xv de línea, 419-436, 473 cálculo de la, 421-424 como una integral orientada, 428 definición de, 421 e integral de superficie, 473 y campo gradiente, 429-430, 517 y ley de Ampkre, 435 y parametrización, 430-435 y reparametrización de la trayectoria, 424428 y trabajo, 419-421 de superficie de funciones escalares, 463-469 de funciones vectoriales, 472-483 e integral de línea, 473 en términos de sumas de Riemann, 478-480 sobre una superficie orientada, 473-478 y gráficas de funciones, 482-483 de trayectoria, 413-418 de una forma diferencial, 422 doble, 303-351 aplicaciones de la, 389-399 definición de la, 303, 304 geometria de la, 303311 sobre regiones generales, 329-335 sobre un rectángulo, 314-326 teorema del cambio de variables para la, 376-383

teorema del valor medio para la, 340 e integrabilidad, 316-318 homogeneidad de la, 319-320 impropia, 401-406 iterada, 404 y área de superficie, 454-455 independiente de la trayectoria, 517 iterada, 308 impropia, 404 linealidad de la, 319-320 monotonía de la, 319-320 orientada, 428 triple, 355-362 integrales impropias, 401406 y área de superficie, 454455 integrales, segundo teorema del valor medio para, 245 intervalo abierto, xiii cerrado, xii-xiii inversa de una matriz, 6466 inverso aditivo, 4 irrotacional, 226 isocuanta, 296 isoterma, 215

Kelvin, Lord, 490 Kelvin, teorema de circulación de, 480 Kepler, leyes de, 163, 199 Korteweg-de Vries, ecuación de, 160-161

Lagrange forma de, del residuo, 245 identidad de, 67 multiplicador de, 266 teorema del multiplicador de, 265-267 Lagrange, J.L., 34

Laplace ecuación de, 164-165, 238 operador de, 226, 231 Laplace, P.S., 164 latitud, 52 Leibniz, G., 33, 457 lemniscata, 388 ley de Amp$re, 435-436 de Bernoulli, 560 de conservación de l a masa, 544-545 de Coulomb, 156, 215, 482 de Faraday, 480, 514 de Gauss, 481, 538-540 de Kepler, 163 de la gravitación, 153, 197 del gas ideal, 187 del paralelogramo, 66 de Newton (segunda), 196, 197 de Snell, 47, 279 libertad de medición, 549 límite, 75, 100-115 definición de, 101, 168 enfoque de vecindades para la definición de, 101-111 enfoque épsilon-delta para l a definición de, 101, 111-115, 168 no existente, 101 “obvio”, 104 por la derecha, 117 por la izquierda, 117 unicidad del, 105, 169 limites, producto de los, 105-106 reglas para los 105-106, 169-170 suma de los, 105-106 línea de corriente, 216-218 de flujo, 215-218 linealidad de la integral, 319-320 Lipschitz, función continua en el sentido de, 118 Listing, J.R.,474

661

~NDICE

logaritmo natural, notación para el, xii longitud, 52 de arco, 201-207 de un vector, 22 log x , xii

Maclaurin, C., 33 masa centro de, 390-394 conservación de, 544-545 de una superficie, 466 matrices multiplicación de, 61-66 suma de, 61 triple producto de, 66 matriz antisimétrica, 230 columna, 62, 134 de 2 x 2, 30 de 3 x 3, 30-31 de deformación, 230 de derivadas parciales, 126, 171-172 de n X n , 61 de rotación, 230 determinante de una, 30-34 inversa de una, 64-66 renglón, 62, 134 simétrica, 230 Maupertuis, P. L. M. de, 248 máximo absoluto (global), 259261 global, 259-261 local, 249 estricto, 253 mínimo, teorema del, 260 restringido, 265-278 máximos. Ver también extremo, 259-261 aplicaciones de mCtodos matemáticos para, 291-297 criterio de la segunda derivada para detectar, 272-278

Maxwell, ecuaciones de, 549-551 mejor aproximación lineal, 125 método de la función de Green para la ecuación de Poisson, 552-559 de l a s secciones para graficar, 81-83 de los mínimos cuadrados, 300-301, 3 0 2 s ~ métodos para graficar, 77-93 mínimo absoluto (global), 25:)261 global, 259-261 local, 248-249 estricto, 253 restringido, 265-278 mínimos. Ver también extremo aplicaciones de métodos matemáticos para, 291-297 criterio de la segunda derivada para detectar, 272-278 Mobius, A . F., 474 Mobius, cinta de, 474-475 momento, 72 vector, 46 momento angular, 201 de fuerza, 46 de inercia, 394-395 dipolar, 73 vectorial, 46 monotonía de la integral, 319-320 multiplicación de formas diferenciales, 573-580 de matrices, 61-66 de vectores, 57 por un escalar en el espacio tridimensional, 4-5

por un escalar en el n-espacio euclidiano, 57 múltiplo escalar, 4

nabla, 220-221 naturaleza, matematización de la, 163 negativo, 4 n-espacio euclidiano, 57-66 Neumann-Green, 555 Neumann, problema de, 555 Newton, ley de la gravitación de, 153, 197 potencial de, 153, 164 segunda ley de, 196, 197 Newton, Sir Isaac, 163, 199, 396, 457 norma de un vector, 22 normal a una superficie, vector, 443 normalización, 22 notación, xii-xv notación descuidada, 120 notación para la distancia, ... x111 números irracionales, xii racionales, xii reales, xii sucesión de Cauchy de, 344-348 n-vector, 57

onda de choque, 561-564 operación conmutativa, 63 operaciones vectoriales en coordenadas cilíndricas, 234 en coordenadas esféricas, 234-235 operador diferencial elíptico, 300 órbita circular, 198-199 orientación inducida por una normal hacia arriba, 505

662

INDICE

parametrización que preserva la, 475-476 positiva en la frontera de una región, 505 origen,1 Ostrogradsky, 490

Pappus, teorema de, 462 paraboloide de revolución, 81, 87 hiperbólico, 83, 87 paradoja de los g~melos, 210 pardelepipedo, vectores que generan un, 226-228 volumen de un, 39 paralelogramo, área dc un, 37-38 bisección de las diagonales de un, 14-15 ley del, 66 puntos en un, 10 parametrización conforme, 471 de una curva, 430-435 de una recta, 11-13 de una superficie, 440447 definición de, 442 que invierte la orientación, 475-476 que preserva la oricntación, 475-476 de una trayectoria mediante la longitud de arco, 209 partición regular, 315 pCrdida de unicidad, 563 Pierce, J. M., 18 plano coordenado, 11 ecuación de un, 39-43 generación de un, 11 notación para un, 3 tangente, 122-125, 150151

a una superficie parametrizada, 444-446 definición de, 124, 150 X Y , 11 xz, 11 Y Z , 11 Plateau, J., 458 Plateau, problema de, 458460 Poisson, ecuación de, 164-165, 543 fórmula de, en dos dimensiones, 559 Poisson, V. 164-165 polarización, identidad de, 66 poligonal, trayectoria, 203204 pompa de jabón, problema de la, 458-460 posición de equilibrio, 291294 potencial de Newton, 153, 164 de funciones continuas, 543 de temperatura, 187 gravitacional, 153, 164, 395-399 para un campo vectorial, 521 Poynting, campo vectorial de, 565 presión, 546 principio débil del máximo, 264 de continuidad uniforme, 343 de reciprocidad, 556 fuerte del máximo, 503 fuerte del mínimo, 503 principios variacionales, 248 proceso adiabático, 439 producto cartesiano, 303 cruz, 30-43 definición de, 34 interpretación geométri ca del, 35-43 y determinantes, 30-34

y matrices, 30-31 de límites, 105-106 exterior, 574 interno, 4, 21-28 definición de, 21 notación para el, 21 propiedades algebraicas del, 57-66 propiedades del, 21-28 por un escalar, 4 punto. Ver producto interno vectorial, 34 proyección, 27-28 punto, 9-10 crítico como extremo local, criterio para un, 251-261 como posición de equilibrio, 292 degenerado, 256 extremo como un, 250-251 métodos matemáticos y aplicaciones de un, 291-297 no degenerado, 256 de convergencia, 180 frontera, 99-100 silla, 249,250,251,255, 256 criterio de la segunda derivada para det,ectar un, 272-278 puntos de convergencia, 180 frontera, 99-100

Rankine-Hugoniot, condición de, 562, 563 rapidez, definición de, 193 rapidez de una discontinuidad, 563 unitaria, 209 de una trayectoria, 209 y velocidad, 195

663

~NDICE

razón de flujo (flux), 47948 1 del calor, 480-481 de un fluido, 479 rectángulo, integral doble sobre un, 314-326 partición regular de un, 315 rectángulos ajenos, 349 recta ecuación de una, 11-14, notación para una, 3 parametrización de una, 11-13 tangente, 151 a una trayectoria, 193195 región arco-conexa, 354 de tipo I en el espacio, 357-362 en el plano, 329-335 de tipo I1 en el espacio, 358-359, 362 en el plano, 329-335 de tipo I11 en el espacio, 358-359 en el plano, 329-335 de tipo IV, 358-359 elemental, 329, regla de la cadena, 131, 133141, 174-175,236 de la mano derecha, 3637 reparametrización, 208, 239, 424-428 que invierte la orientación, 425-426 que preserva la orientación, 425-426 resta de vectores, 7-8 restricción, 265 Riemann, B., 348, 471n Riemann, sumas de, 306307, 315, 321, 334, 348 rigidez flexural, 412 rotacional, 220-226

definición d e , 5 1 2 s del gradiente, 222 en coordenadas polares y cilíndricas, 540-541 incompresible, 226 propiedades del, 231-237 y divergencia, 225 y rotación, 222-225 y taeorema de Stokes, 511-513

salto, 106 Schwarz, desigualdad de, 25, :;9-60 secciones, método de las, para graficar, 81-83 semieje ma.yor de una cuádrica, 294 menor de una cuádrica, :!94 silla de mono, 299 de montar, 83, 87 simetaría en un plano, 400 sistema coordenado, 1 ortonormal, 26 Snell, ley de, 47, 279 sobre, 369 solitiin, 161-162 solución débil, 562 Stokes, teorema de, 480, 490, 504-514 subconjunto, xiii sucesión de Cauchy de números reales, 344-348 suma. de límites, 105-106 de matrices, 61 de vectores, 3-4 ten el espacio n-dimensional, 57-66 en el espacio tridimensional 3-4,5-7 telescópica,174 sumas de Riemann colno sucesiones de Caulchy, 344-348

e integral de superficie, 478-480 e integral de trayectoria, 415-416 e integral doble, 314-326 y área de superficie, 478480 sumidero, 537 superficie área de, e integrales impropias 454-457 centro de gravedad de una, 470 definición de, 440, 441, 443ss integral de una función escalar sobre una, 463-469 lado de adentro (negativo) de una, 473-474 lado de afuera (positivo) de una, 473-474 masa de una, 466 superficie acotada, 270-271 C’,442 cerrada, 516, 529-530 como la imagen de una función, 441, 442 de nivel, 79, 86-89 de un solo lado, 474-475 diferenciable, 442 equipoteniial, 154, 215 orientada, 473-474 parametrizada, 440-447 con inversión de la orientación, 475-476 con preservación de l a orientación, 475-476 definición de, 442 teorema de Stokes para una, 510-514 vector normal a una, 443 suave, 443 a trozos, 450-451

664

INDICE

Taylor fórmula de de primer orden, 243 de segundo orden, 243-244 de tercer orden, 246 serie de, 247 teorema de, 242-247 temperatura, potencial de, 187 promedio, 394 teoría de la integración, 204 del potencial, 552-559 teorema de diferenciación técnica, 168-177 de Euler, 159, 183 de Fubini, 322-326 para integrales impropias, 404 de Gauss, 490, 528-541 en términos de formas diferenciales, 579--580 de Green, 490-500 en términos de formas diferenciales, 578-579 de la circulación de Kelvin, 480 de la continuidad uniforme, 343 de la divergencia de Gauss, 531- 540 en el plano, 499-500 de la función implícita, general, 287-288 particular, 280-286 de la función inversa, 288-289, 370 del cambio de variable del máximo-mínimo, 260 del multiplicador de Lagrange, 265-267 del transporte, 543-544, 546 del valor intermedio, 340 del valor medio, 135, 323 para integrales, 245 para integrales dobles, 340

de Pappus, 462 de Stokes, 480, 490, 504-514 en términos de formas diferenciales, 579, 580 para gráficas, 505-510 para superficies parametrizadas, 510-514 de Taylor, 242-247 especial de la función implícita, 280-286 fundamental del cálculo, 429-430 del cálculo integral, 320 general de la función implícita, 287-288 tiempo propio de una trayectoria, 210 torca, 201 toro, 441 torsión, 210 trabajo, 419-421 transformación lineal, 63 trayectoria, 189-199 cl,190 a trozos, 206-207 circular, 191, ,197-199 curva de una, 190-193 definición de, 190 derivada de una, 193 diferenciable, 190 extremos de una, 190 funciones componentes de una, 190 integral de, 413-418 opuesta, 426 parametrización mediante la longitud de arco de una, 209 poligonal, 203-204 rapidez unitaria de una, 209 recta tangente a una, 193-195 regular, 439 reparametrización de una, ' 208, 239, 424-428 tiempo propio de una, 210 triple producto, 35-36 de matrices, 66

unicidad, pérdida de, 563 unión, xiii

valor absoluto, xiii medio, teorema del, 135,323 promedio, 389-390, 393 Vandermonde, 34 van der Waals, gas de, 187 variedad orientada con frontera 2-, 580 3-, 580 vecindad, 99 agujereada, 180 proyección de un, 27-28 vector(es) ángulo entre, 23-24 aplicaciones físicas de los, 15-17 binormal, 209 columna, 63 de desplazamiento, 15-17 de fuerza, 17 de la base usual, 8-9, 57 de razón de flujo de la energía, 548 de vorticidad, 513 en el espacio euclidiano n-dimensional, 57-66 en el espacio tridimensional, 1-20 fuerza, 17 igualdad de, 5 momento, 46 multiplicación de, 57 n-, 57 definición de, 5 extremo de un 9-10 longitud de un, 22 norma de un, 22 normal a la superficie, 443 principal, 209 ortogonales, 26-27 ortonormales, 234-235

665

~NDICE

y coordenadas cilíndricas y esféricas, 54-55, 234-235 perpendiculares, 26 resta de, 7-8 suma de, 3-4 tangente, 137-139 unitario, 22, 147 y coordenadas cilíndricas y esféricas, 54-55, 234-235

velocidad, 16-17, 137e 355-362139, 193-199 velocidad angular, 46 de un fluido, 76-77, 212, 216, 479 y rapidez, 195 volumen de regiones elementales, 32'3-335 de un paralelepípedo, 39

integrales triples,

la integral doble como, 303-311

Wilson, E. B., 18

Calculo Vectorial

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