CÁLCULO DE ZAPATAS
ZAPATA: Es una estructura de concreto y hierro que tiene la función de recibir todas las cargas transmitidas desde la losa. La zapatas son construidas con hormigón y hierro para darle más seguridad y calidad a la estructura, permitiendo que la edificación no sufra ningún tipo de hundimiento. Es decir, son el punto de apoyo de las columnas que son las que les transmiten todas las cargas actuantes de la construcción. Las cargas por naturaleza actúan perpendicularmente y nunca cambian de posición así se trate de inclinar la columna que es la que trasmite la carga sobre la zapata. Las zapatas las encontramos ilustradas en los planos con una superficie cuadrada. El diseño de ellas como lo hemos estudiado en la unidad de suelos, se hace con base a la carga que recibe y la calidad portante del suelo. Aquí veremos todo las causas que se producirían si al concreto no se le implementa una armadura de hierro o acero. En la siguiente figura analizaremos detalladamente la forma cómo la carga actúa sobre la zapata.
FIGURA 1
FIGURA 2
FIGURA 3
FIGURA 4 En el gráfico podemos observar como la columna se encuentra situada en todo el centro de la zapata. La carga que ésta ejerce sobre ella se distribuye uniformemente en toda su base cuadrada ocasionando así una reacción del suelo compactado. Analizando un poco más en perspectiva la carga total que se ejerce sobre la viga de amarre es completamente compartida en los dos apoyos que en este caso se trata de dos columnas de concreto reforzado. La interpretación de este gráfico que veremos a continuación es que cada columna de concreto le corresponde la mitad de la carga total que al mismo tiempo es trasmitida hacia la zapata de concreto, cuya reacción de cada una obviamente es igual pero en sentido contrario dirigiendo hacia la parte superior.
CÁLCULO DE LAS DIMENSIONES DE LA ZAPATA =P/a a=q/r _ _____ b= q/r CÁLCULO DEL MOMENTO FLECTOR El cálculo del momento de pandeo lo podemos deducir matemáticamente así:
M = [(q / b²)(b)(b - a) / 2] (b – a) / 4 M = (q)(b – a)² / 8b
CÁLCULO DEL ACERO El cálculo del acero se hace ya obtenido el valor del momento de pandeo mediante la siguiente ecuación: As = M / (0,80)(d)(f’y)
CÁLCULO DE LA FUERZA CORTANTE La fuerza cortante V en la sección es igual a la fuerza total hacia arriba a la izquierda de la cara del muro. La fórmula se deduce así:
V = [q / (b²)][(b)(b - a) / 2] V = (q)(b - a) / 2b CÁLCULO DE LA ADHERENCIA LOCAL La adherencia local es la resistencia que obtiene el concreto sobre el hierro y la cual nos permite elegir un grado de resistencia máximo. Para su cálculo debemos primero que todo encontrar el perímetro total del diámetro de cada barra y multiplicarlo por el número de varillas que se han calculado previamente. La fórmula se establece así: ∆ = V / (0,80)(d)(∑p
)
Donde: V = Es la fuerza cortante expresada en unidades de kilogramos(Kg). d = Es la profundidad del cimiento expresada en centímetros (cm). ∑p
= Es la suma total del perímetro de las barras de acero expresado en
unidades de centímetros(cm)
CÁLCULO DE LA FUERZA CORTANTE DIAGONAL La fuerza V es igual a un esfuerzo dirigido hacia arriba motivado por la reacción del suelo en una sección del cimiento. Su fórmula se deduce así:
V = [(L)(b – a – 2d) / 2][q / (b)(L)]
V = (q)(b – a – 2d) / 2b CÁLCULO DEL ESFUERZO CORTANTE El esfuerzo cortante finalmente lo calculamos luego así:
= V / (0,8)(L)(d) Donde:
V = Es la fuerza cortante diagonal expresada en unidades de kilogramos(Kg). L = Es la longitud del cimiento expresado en unidades centímetros(cm). d = Es la profundidad del cimiento expresada en unidades de centímetros(cm).
CHEQUEO DEL CANTO ÚTIL DE LA ZAPATA Una comprobación probable para calcular el canto o espesor útil de la zapata se obtiene con una fórmula de punzamiento. As: D = q / (Lt)(0,025)(f’c)
Donde: D = Es el espesor útil de la zapata dado en unidades de centímetros( cm). q = Es la carga total sobre la zapata dada en unidades de kilogramos( Kg). Lt = Es perímetro de la base de la columna dado en unidades de centímetros( cm). f’c = Es la resistencia del concreto dada en unidades de kilogramos sobre
centímetro cuadrado(Kg / cm²).
NOTA IMPORTANTE: Se toma un espesor de recubrimiento de la armadura de 7,00 centímetros debido a que generalmente se deposita una capa de concreto de limpieza en fondo de la excavación para evitar deterioros en su calidad al mezclarse con barro, tierra, agua etc., el recubrimiento normal según la el proceder es de 8,00 centímetros cuando el concreto está en contacto con el suelo.
FIGURA 5 Ejemplo1: Calcular la dimensión de una zapata cuyas cargas que recibe de la columna es de 13.500,00 Kg y la carga portante del suelo de Popayán de 0,300 Kg / cm².
FIGURA 6
ANÁLISIS GRÁFICO
FIGURA 7
P = (W)(L) P = (6.750 Kg / m)(4,00 m) P = 27.000 Kg Carga que le corresponde a cada columna:
Para q1: q1 = (1/2)(27.000 Kg) q1 = 13.500 Kg para q2: q2 = (1/2)(27.000 Kg) q2 = 13.500 Kg Solución: Para el cálculo de las dimensiones de la zapata elegimos cualquiera. En este caso tomamos q1:
Datos:
q1 = 13.500,00 Kg = 0,300 Kg / cm² L=? aplicando la formula:
=P/a A = 13.500 Kg / 0,300 Kg / cm² A = 45.000,00 cm² _______________
L=
45.000,00 cm²
L = 212,13 cm ≈ 212,00 cm
L = 2,12 metros RESPUESTA: La Zapata para que pueda aguantar esa cantidad de carga, se debe construir de 2,12 metros por 2,12 metros.
Ejemplo2: ¿Cuál es la dimensión de la zapata que sostiene 10.000,00 Kg de columna si la presión del suelo en Popayán es de 0,300 Kg / cm²?
Solución: P=W/A A=W/P A = 10.000,00 Kg / 0,300 Kg / cm² A = 33.333,34 cm² Extrayendo la raíz cuadrada:
A = (L)(L) A = L² L = 182,00 cm L = 1,8200 m
RESPUESTA: La dimensión de la zapata es 1,8200 m por 1,8200 m para una calidad de suelo de 0,300 Kg / cm². Ejemplo3: Un arquitecto desea saber el peso de la construcción que soporta el suelo, teniendo en cuenta que éste tiene una resistencia de 1,25 Kg / cm² y el tamaño de cada zapata es de 1,50 m por 2,00 m. Calcular el peso de la obra.
Solución: Datos: Longitud de la zapata = 2,00 m Ancho de la zapata = 1,50 m Resistencia del suelo = 1,25 Kg / cm² Peso de la construcción = ? Área de la zapata = (2,00 m)(1,50 m) A = 3,00 m² OBSERVACIÓN: Para determinar el peso debemos expresar 3,0000 m² a cm² ó 1,2500 Kg / cm² a Kg / m², según el procedimiento que nos quede más fácil de efectuar. En este caso convertimos 3,00 m² en cm² Aplicando la regla de tres simple directa:
1,00 m² ____ 10.000 cm² 3,00 m² ____
X
X = (3,00 m²)(10.000 cm² / 1,00 m²) X = 30.000 cm² Ahora calcularemos el peso:
W = (P)(A) W = (1,25 Kg / cm²)(30.000 cm²) W = 37.500 Kg RESPUESTA: El peso neto de la construcción es 37.500 Kg
CÁLCULO DE HIERRO EN ZAPATAS La ecuación que se emplea para el cálculo de zapatas es:
M = (W)(L - a)² / 8L Donde: M = El momento de pandeo dado en Kilogramos por metro (Kg[m]). W = Carga total de la edificación dado en kilogramos (Kg). L = Base de la zapata dada en metros (m). a = Ancho del muro dado en metros (m). para el cálculo de hierro en zapatas se procede similarmente como si se tratara de una losa.
CÁLCULO DE CARGAS Losa = (1,00 m)(0,12 m)(2.400,00 Kg / m³) = 288,00 Kg / m Cubierta = 250,00 Kg / m Muro segunda planta = 336,00 Kg / m Viga de amarre segunda planta = (1,00 m)(0,20 m)(2.400,00 Kg / m³) = 480,00 Kg / m Columna segunda planta = (2,15 m)(0,20 m)(2.400,00 Kg / m³) = 1.032,00 Kg / m Viga de amarre primera planta = (1,00 m)(0,08 m)(2.400,00 Kg / m³) = 192,00 Kg / m Baldosín = (1,00 m)(0,04 m)(2.400,00 Kg / m³) = 96,00 Kg / m Cielo raso = (1,00 m)(0,02 m)(2.400,00 Kg / m³) = 60,00 Kg / m Carga total de la losa = 2.398,00 Kg / m a una distancia de 3,30 metros = 7.913,40 Kg Columna primera planta = (2,15 m)(0,20 m)(0,15 m)(2.400,00 Kg / m³) = 154,80 Kg Muro primera planta = 336,00 Kg Carga muerta = 8.404,20 Kg Carga última (8.404,20 Kg)(1,40%) + (200,00 Kg)(1,70%) = 12.105,88 Kg Se procede de la siguiente manera:
P = 12.105,88 Kg
Ahora podemos calcular la dimensión de la zapata:
=P/a A = 12.105,88 Kg / 0,300 Kg / cm² A = 40.352,90 cm² ______________
L=
40.352,90 cm²
L = 200,880 cm ≈ 200,00 cm
L = 2,00 metros Para este caso elegimos la zapata del primer ejemplo:
Aumento de carga = (2,00 m)²(0,35 m)(2.400 Kg / m³) = 3.360 Kg Aumento de carga = (3.360,00 Kg)(1,40%) = 4.704,00 Kg Carga total = 12.105,88 Kg + 4.704,00 Kg = 16.809,88 Kg Recalculando:
=P/a A = 16.809,88 Kg / 0,300 Kg / cm² A = 56032,933 cm² _______________
L=
56032,933 cm²
L = 236,71 cm L = 2,3671 metros ≈ 2,40 metros La base de 2,40 por 2,40 metros es adecuada. Ahora hacemos el cálculo del momento de pandeo para la zapata:
M = (q / L²)(L)(L - a / 2 )(L - a / 4)
M = (q)(L - a)² / (8)(L) M = (16.809,88 Kg)( 2,40 m – 0,15 m)² / (8)(2,40 m) M = (16.809,88 Kg)( 2,25 m)² / 19,20 m M = (16.809,88 Kg)( 5,0625 m²) / 19,20 m M = 85.100,0175 Kg[m] / 19,20 M = 4.432,29Kg[m] Al suponer un espesor total de la zapata de 42,00 centímetros. A partir de aquí deducimos el canto útil. Así:
Canto útil = 42,00 cm - 0,476 cm – 5,00 cm - 3,81 cm d = 32,714 cm Cálculo de hierro: Para la parte superior en una sola dirección:
As = M / (0,8)(d)(Fy) As = 4.432,29Kg[m] / (0,8)( 0, 35,214 m)(2400 Kg / cm²) As = 4.432,29 / 676,1088 cm² As = 6,5556 cm² Ahora hacemos el cálculo de la cantidad de varillas:
Número de varillas = As / as-varilla N = 6,5556 cm² / 0,71 cm² - varilla N = 9,233 varillas ≈ 10,00 varillas
Cálculo del espaciamiento:
S = (L)(as) / As S = (240 cm)(0,71 cm²) / 4,8518 cm² S = 25,99 cm ≈ 25,00 cm
Colocando en cada extremo de la parilla 1 varilla
CONCLUSIÓN: Son 11 varillas. Es decir, 9 varillas en el centro y 1 varilla en cada extremo de la zapata separadas a 25,00 centímetros. Para el refuerzo inferior e una dirección:
As = M / (0,8)(d)(Fy) As = 4.432,29 Kg[m] / (0,8)(0,32714 m)(2.400 Kg / cm²) As = 4.432,29 / 628,1088 cm² As = 7,05656 cm² Ahora hacemos el cálculo de la cantidad de varillas:
Número de varillas = As / as-varilla N = 7,05656 cm² / 0,71 cm² - varilla N = 9,9388 ≈ 10 varillas Cálculo del espaciamiento: S = (L)(as) / As S = (240 cm)(0,71 cm²) / 7,05656 cm² S = 24,147 cm ≈ 24,00 cm
CONCLUSIÓN: Son 11 varillas. Es decir, 9 varillas en el centro y 1 varilla en cada extremo de la zapata separadas a 24,00 centímetros.
CÁLCULO DE LA FUERZA CORTANTE V = [q / (b²)][(b)(b - a) / 2] V = (q)(b - a) / 2b V = (16.809,88 Kg)( 2,40 m – 0,15 m) / 2(2,40 m) V = (16.809,88 Kg)(2,25 m) / 4,80 m V = 37.822,23 Kg / 4,80 V = 7.879,63125 Kg
CÁLCULO DE LA ADHERENCIA LOCAL ∆ = V / (0,80)(d)(∑p
)
∆ = 7.879,63125 Kg / (0,80)( 32,714 cm )( 10,4775 cm) ∆ = 7.879,63125 Kg / 342,760935 cm² ∆ = 22,99 Kg / cm²
CÁLCULO DE LA FUERZA CORTANTE DIAGONAL V = [(L)(b – a – 2d) / 2][q / (b)(L)] V = (16.809,88 Kg)(2,40 m – 0,15 m – 0,65428 m) / 2(2,40 m) V = (16.809,88 Kg)(1,59572 m) / 4,80 m V = (26.823,8617136 Kg) / 4,80 V = 5.588,31 Kg CÁLCULO DEL ESFUERZO CORTANTE = V / (0,8)(L)(d) = 5.588,31 Kg / (0,8)(2,40 m)( 0,32714 m) = 5.588,31 Kg / 0,6281088 m² = 8.897,04 Kg / m² = 0,889704 Kg / cm² Una comprobación útil para calcular el peralte probable de la zapata se obtiene mediante una fórmula:
CHEQUEO DEL CANTO ÚTIL DE LA ZAPATA D = q / (Lt)(0,025)(f’c)
D = 16.809,88 Kg / (70,00 cm)(0,025)(210 Kg / cm²) D = 16.809,88 / 367,50 cm D = 45,74 cm ≈ 46,00 cm
