PFE – Session de formation continue
24 juin 2010
Interactions sol-structures Calculs en déformation appliqués aux études de stabilité
Philippe Mestat (LCPC)
Interactions sol-structures
Interactions en génie civil • Interactions sol – fluides – structures • • • •
Interactions structures – structures Interactions fluides – structures Interactions sol – fluides Interactions sol – roches
Modèles de fonctionnement • Mécanique : – équations d’équilibre, notions de contraintes et de déformations, notions de forces et de déplacements ; – schémas théoriques de comportement.
• Rhéologie des matériaux : – études expérimentales in situ et en laboratoire ; – caractérisation des propriétés (dont interfaces); – lois de comportement et état initial.
• Calcul numérique par ordinateur : – algorithme de résolution ; – méthode numériques.
Modélisation des structures en interactions avec le sol • Modélisation sans prise en compte du massif de sol : – le sol est représenté par des conditions limites ou des appuis élastiques (ressorts linéaires ou non linéaires). • Modélisation du sol et de la fondation : – les structures sont représentées par des charges connues. • Modélisation du sol, de la fondation et des structures : – l’interaction complète est prise en compte ; – l’ensemble des rigidités est considéré.
Interactions sol-structures • Conditions de liaison - Conditions limites : – déplacements ou forces imposés ; – contraintes imposées ; – conditions de liaison entre éléments de structure et de massif de sol.
• Ressorts (normaux et tangentiels) : – problème de la détermination des raideurs.
• Éléments de contact sans épaisseur : – loi de glissement / frottement (Coulomb) ; – loi de décollement.
• Éléments de joints (avec remplissage) : – rhéologie des matériaux de remplissage.
Applications aux monuments anciens Analyse de la fissuration due à des tassements
Palazzo della Ragione à Milan (Bonaldi et Jurina, 1981)
Cathédrale de Strasbourg
Simulation des appuis des structures Conditions de liaison
Interactions sol-structures • Conditions de liaison - Conditions limites : – déplacements ou forces imposés ; – contraintes imposées ; – conditions de liaison entre éléments de structure et de massif de sol.
• Ressorts (normaux et tangentiels) : – problème de la détermination des raideurs.
• Éléments de contact sans épaisseur : – loi de glissement / frottement (Coulomb) ; – loi de décollement.
• Éléments de joints (avec remplissage) : – rhéologie des matériaux de remplissage.
Interaction fondation-structures • Fondations et structures sans le sol : – l’ingénieur étudie la réaction du sol sur la fondation et les structures ; – le sol est représenté par des conditions aux limites : déplacements imposés ou ressorts (linéaires ou non linéaires). Cas habituel. En tout point de l’interface, il est supposé que les déplacements verticaux sont proportionnels à la contrainte verticale. L’interaction est unidirectionnelle.
Définition d’un coefficient de réaction Le coefficient de réaction (ou module de réaction) est le rapport entre la pression et le déplacement en un point d’une structure en contact avec le sol.
Principe d’équivalence fondant le concept de coefficient de réaction
Fondations superficielles
Rigide
Souple
Quelques remarques Le sol est remplacé par des ressorts indépendants : - modèle de Winkler. En terme de dimension, p/y n’est pas homogène à un module. Son unité est le kN/m3. Le calcul des contraintes et des déformations dans le massif de sol n’est plus possible. Le coefficient de réaction du sol n’est pas une caractéristique intrinsèque d’un massif de sol ou d’une couche. C’est un paramètre d’interaction sol-structures.
Le coefficient de réaction n’est défini que pour un type de chargement donné. Il dépend de la géométrie sur laquelle sont mobilisées les réactions du sol et de la rigidité relative de la fondation par rapport au massif de sol.
Calcul avec coefficients de réaction Un calcul avec coefficients de réaction peut avoir deux objectifs : – justifier la résistance d’une structure (ferraillage) ; – estimer les déplacements de la structure et les efforts dans la structure. Les coefficients de réaction sont toujours définis à partir de calcul de tassements. Exemple des fondations superficielles : Les solutions analytiques (contrainte verticale et tassement) montrent clairement les approximations de cette méthode de calcul.
Condition de liaison et matrice de rigidité
Modélisation d’une poutre sur appui continu élastique
Poutre sur appui élastique continu
Modélisation numérique sur appuis élastiques ponctuels (exemple donné sur le site de Graitec)
Passage du continu au ponctuel
Le coefficient de réaction de chaque ressort doit être égal à : kressort = ksol x a x b a : distance entre chaque ressort b : largeur de la poutre ksol : coefficient de réaction du sol (matériau continu) (distance a/2 pour les ressorts situés aux extrémités de la poutre)
Quelle discrétisation pour les appuis ponctuels ? Efforts tranchants
vers 110
(en % de la solution exacte)
vers 500
Nombre de ressorts
Cas 1 – poutre de dimension 1,5 x 2 h Cas 2 – poutre de dimension 1,5 x 0,5 h Cas 3 – poutre de dimension 1,5 x 0,1 h Cas 4 – poutre de dimension 1,5 x 0,01 h
(Calculs Graitec)
Déformée d’un immeuble sur appuis élastiques (Oztorun et al., 1998)
Calcul d’un radier de centrale nucléaire • Importance des tassements différentiels • L’analyse par éléments finis est généralement réservée au bâtiment réacteur • Les autres bâtiments sont supposés indéformables • Plusieurs hypothèses sont envisagées pour les coefficients de réaction : – valeurs constantes ; – valeurs plus fortes sous les enceintes. • Ce type de modèle permet de considérer le sol comme des conditions aux limites et de concentrer l’analyse sur un modèle de comportement sophistiqué pour le béton.
Exemple de modélisation d’un radier de centrale nucléaire
Représentation du sol par des ressorts de raideur variable
Modélisation des structures en interactions avec le sol • Modélisation sans prise en compte du massif de sol : – le sol est représenté par des conditions limites ou des appuis élastiques (ressorts linéaires ou non linéaires). • Modélisation du sol et de la fondation : – les structures sont représentées par des charges connues. • Modélisation du sol, de la fondation et des structures : – l’interaction complète est prise en compte ; – l’ensemble des rigidités est considéré.
Interactions sol-fondation • Sol et fondation sans les structures : – l’ingénieur étudie les mouvements à la surface du sol (tassements différentiels) ; – la fondation est « maillée » ou non ; – interactions sol-fondation représentées par des éléments de contact ou des éléments très minces ; – les structures sont représentées par des distributions de charges et de moments dont la transmission à la fondation et au sol est supposée connue.
Modélisation des fondations superficielles • Fondation souple : – fondation déformable qui transmet les charges au sol sans les modifier ; – pression uniforme (contrainte verticale uniforme) ; – maillage de la fondation.
• Fondation rigide (maillée ou non) : – fondation indéformable qui transmet une déformation constante au sol ; – déplacement vertical imposé (contrainte verticale non uniforme) ; • u = 0 et v imposé (interface rugueuse) ; • u libre et v imposé (interface lisse).
Conditions limites pour une fondation souple
Conditions limites pour une fondation rigide
Interactions 3D entre deux fondations
Pile de pont soumise à un choc latéral
Modèle 3D – groupe de pieux carrés
Modélisation des structures en interactions avec le sol • Modélisation sans prise en compte du massif de sol : – le sol est représenté par des conditions limites ou des appuis élastiques (ressorts linéaires ou non linéaires). • Modélisation du sol et de la fondation : – les structures sont représentées par des charges connues. • Modélisation du sol, de la fondation et des structures : – l’interaction complète est prise en compte ; – l’ensemble des rigidités est considéré.
Véritables interactions sol-fondation-structures • L’ingénieur étudie les interactions sol-fondation-structures en tenant compte de l’ensemble des rigidités du sol, de la fondation et des structures. On peut distinguer quatre modes d’interactions : – interaction des structures avec le sol environnant ; – interaction entre des structures voisines par l’intermédiaire du sol (intersection de galeries, tunnels en parallèle, pieux et excavations, etc.) ; – effets des mouvements du sol sur le comportement des structures ; – effets du renforcement des sols (inclusions, géotextiles).
Paroi moulée avec un tirant d’ancrage
Détail de la modélisation autour du tirant d’ancrage
Modélisation d’une centrale nucléaire
Modélisation d’une centrale nucléaire – Tassements différentiels sous poids propre
CESAR-LCPC
Métro d’Amsterdam
Géotechnique urbaine (Amsterdam)
Types d’éléments finis : - éléments de massif ; - éléments de structure ; - éléments d’interface ;
- éléments de couplage ; - éléments de liaison.
Tous ces éléments peuvent être assemblés entre eux, à condition d’être compatibles.
Composition d’éléments finis de structure et de massifs de sol
Interaction poutre - massif de sol
Modélisation du revêtement d’un tunnel
Éléments de poutre
Éléments de massif
Cas 3D
Effets des conditions de liaison entre une structure et le sol
(a) Composition simple (les rigidité sont ajoutées, le massif de sol ne reprend pas le degré de flexion de la poutre) ; (b) Fiche des pieds du portique dans le sol et composition simple dans la première couche de sol ; (c) Composition avec éléments de transition pour tenir compte du degré de flexion de la poutre.
(a)
(b)
(c)
Les résultats numériques…
Moments fléchissants
Interactions sol-structures Mécanique du contact et du frottement
Aire de contact
Contact unilatéral
Si q < k c , il y a séparation et u = q / k Si q k c , il y a contact et u = c
Loi de contact unilatéral C'est un contact entre un solide élastique et un obstacle rigide.
Lorsque le solide élastique est en contact avec l'obstacle, - son déplacement normal est nul (uN = 0) ; - la force normale (FN) exercée par l'obstacle sur le solide est une compression. Dans le cas contraire, - le déplacement normal est négatif et la force normale nulle. D'un point de vue mathématique, ces conditions s'écrivent : uN 0 ; FN 0 et uN FN = 0.
Contact entre deux solides déformables La généralisation est simple en petits déplacements : - le contact entre solides est considéré point à point ; - la notion de déplacement relatif des points en vis-àvis est introduite ; - le contact normal est maintenu tout en laissant libre le déplacement tangentiel relatif.
Soient deux solides S1 et S2 possédant une surface de contact commune Sc. En tout point M de cette surface de contact, on distingue deux points M1 et M2 appartenant respectivement aux deux solides.
Principes de la mécanique du contact • On distingue fondamentalement deux types de contact : - le contact sans frottement, où la surface de contact n'autorise que la transmission des contraintes normales ; - le contact avec frottement où, en plus des contraintes normales, se transmettent des contraintes tangentielles. • Travaux analytiques de Hertz (1882) et de Boussinesq (1885) sur le contact sans frottement.
• Premiers travaux de modélisation numérique Goodman (1968).
Frottement entre deux solides • Le frottement entre solides constitue un aspect fondamental du comportement des structures. • Les lois de frottement ont été mises en évidence par Léonard de Vinci (1500). Puis oubliées, elles ont été redécouvertes et formulées par Amontons (1699) : – la force de frottement statique (ou force de résistance au glissement) est proportionnelle à la force normale pour des surfaces lisses ou sèches ; – la résistance au frottement entre deux solides est indépendante des dimensions des solides concernés.
Si F < Fm , il n’y a pas de mouvement. Si F > Fm , il y a glissement d’une structure sur l’autre. Si F = Fm , il y a équilibre. La structure est sur le point de glisser.
Valeur du coefficient de frottement Les valeurs du coefficient de frottement statique sont déterminées en calculant le rapport de la force nécessaire au glissement à la force normale appliquée.
Expérience simple pour déterminer le coefficient de frottement des solides.
Essai d’interaction sol-structure
Principe de l’essai de cisaillement axisymétrique
Essai d’arrachement d’une inclusion
Frottement du sol • Dans un sol granulaire dense, le frottement solinclusion dépend : – des propriétés de surface de l’inclusion ; – de la contrainte normale sur l’inclusion ; – de la densité du sol ; – des propriétés mécaniques du sol (dont la dilatance).
Critère de frottementglissement (c = 0)
Frottement de Mohr-Coulomb
(c = 0) Analogie avec l’élastoplasticité parfaite
Lois d’interface simples • État collé : – adhérence et conditions sur les déplacements. • Glissement parfait : – t = 0 à l ’interface ; – ca = j = 0. • Frottement - glissement : – ca < c et d < j ; – ca [0,2 c ; c ] et d = 0,5 j ou 0,67 j.
Loi de frottement 3D (simple) • Formalisme de l’élastoplasticité : e = ee + ep
• Partie élastique : – sn = Kn ene = Kn Dun – t = Kt ete = Kt Dut • Critère de frottement (Coulomb) • Loi d’écoulement :
G de d sij p ij
Cela suppose qu’il y a contact entre les structures !
Loi de comportement élastoplastique parfaite pour l’interface
t
t
sn
sn Relations de comportement contraintes – déplacements relatifs
Critère de résistance à la traction • Le critère de résistance à la traction s’écrit : sn Rt où Rt est la résistance à la traction de l’élément de contact considéré. Si le critère n’est pas vérifié en un point de contact, la contrainte n’est pas admissible et elle doit être corrigée. Comme les points en vis-à-vis cherchent alors à se séparer (décollement), la correction consiste à annuler les contraintes en ce point.
Problème de contact • Équations générales de la mécanique pour les solides en contact (ou non).
• Conditions aux limites (mécanique classique) : – forces imposées et/ou déplacements imposés. • Conditions aux limites de type « contact » dont l’évolution au cours du chargement fait partie des inconnues du problème (zone de contact). • Conditions de non-interpénétration.
Approche par éléments finis spéciaux Approche par éléments de « contact » : - l'interface n'a pas d'épaisseur, elle doit uniquement reproduire les propriétés des surfaces de discontinuités ; - éléments finis à 4 ou 6 nœuds (2 ou 3 doublets de nœuds) ; - éléments de type ressort (1 doublet de nœuds, ressorts tangentiel et normal).
Approche par éléments de type « couche mince » : - l'interface a une certaine épaisseur et représente un matériau de remplissage (joints dans les massifs rocheux, zones de localisation dans les interactions sol-structures) ; - rapport longueur de l'élément / épaisseur compris entre 10 et 100.
Éléments finis d’interface
Exemple de modélisation avec des couches minces
• On distingue trois types de surface : – la surface de contact initial S0 ; – la surface de contact actuel entre S1 et S2 ; – la surface de contact potentiel (contact maximal) Sc.
Comportement d’interfaces et maillages Il convient donc de prévoir toutes les étapes de la modélisation et de « mailler » en tenant compte de la surface potentielle de contact. Le problème non linéaire du contact n’apparaît que là où il y aura des éléments d’interface dans le maillage. L’élaboration du maillage doit être minutieuse pour ne rien oublier.
Couplage de non-linéarités dans un problème de contact Non-linéarité due au comportement des matériaux (plasticité). Non-linéarité due aux changements de géométrie Elle provient de l'indétermination a priori de la surface finale de contact (recollement, décollement, critère de non-interpénétration). Non-linéarité due au frottement sur la surface de contact. D'où, une méthode de résolution incrémentale et itérative ; des itérations sur le contact et sur la plasticité.
Fin
