1
CHAPITRE 8 ECOULEMENT DANS LES CONDUITES
8.1
VITESSE MOYENNE
Si on examine la vitesse v en un point, celle-ci a seulement des fluctuations dues à la turbulence au cours du temps. On peut écrire : v = v + v ʹ _
où
v
la vitesse moyenne
v'
la variation de la vitesse instantanée. V
v'
V
t
Figure .8. 1 : Variation instantanée de la vitesse en fonction du temps _
Statiquement v' = 0 On peut élargir cette notion à l'écoulement au travers d'une section dans un tuyau. Du fait de la répartition inégale des vitesses dans une même section, les vitesses des particules sont différentes. On peut définir alors une vitesse moyenne V, telle qu'existant en tous les points de la section, elle donne le débit réel. On a donc pour un fluide incompressible : Q = VS = ∫ v dS S
De même, on peut poser v = V + v* où ici v* est la variation spatiale avec
∫ v* dS = 0 S
8.1.1 Expression de la quantité de mouvement en fonction de la vitesse moyenne 2 ⎛ ⎞ ρ ∫ v dS dt v = ρ dt ∫ v 2dS = ρ dt ∫ ( V+v*) dS = ρ dt ⎜ V 2S+2V ∫ v* dS+ ∫ v*2 dS ⎟ S S S S S ⎝ ⎠
Or
∫ v* dS S
= 0 et
∫ v*
2
dS est une quantité toujours positive.
S
Posons ∫ v* dS = η V 2 S avec η ≠ 0. S
2 La quantité de mouvement est ( l + η ) ρ V 2 S dt et est par conséquent plus grande que celle calculée en supposant dans toute la section une vitesse moyenne.
8.1.2 Expression de l'énergie cinétique ρ ∫ v dS dt v 2 = ρ dt ∫ v 3 dS = ρ dt S
S
∫ ( V + v*) S
3
⎛ ⎞ dS = ρ dt ⎜ v 3S + 3V 2 ∫ v* dS + 3V ∫ v*2 dS + ∫ v*3 dS) ⎟ ⎝ ⎠ S S S
∫ v* dS = 0 S
∫ v*
2
dS = η V 2S
S
∫ v* dS = 0 (hypothèse) 3
S
m v2 = α r V3 S d t
α = 1+3η
L'énergie cinétique est donc supérieure à celle que l'on obtenait en calculant avec la vitesse moyenne.
8.1.3 Valeurs ηet α On peut prendre pour ces coefficients, qui tiennent donc compte de l'inégale répartition des vitesses dans la section, les valeurs suivantes :
Consuite cylindrique (écoulement turbulent) Consuite cylindrique (écoulement laminaire) Canal en planches unies (Bazin) Canal en planches recouvertes de liteaux de 5 en 5 cm (Surface très rugueuse )(Bazin) Canal ouvert (rugosité normale)
η
α
0,020 0,330 0,013 0,041
1,060 2,000 1,039 1,122
0,037
1,11 = 10 9
Figure 8.2 : Valeurs de η et α
Signalons qu'on néglige souvent, en première approximation, l'influence de l'inégale répartition de la vitesse, c'est-à-dire qu'on prend η = 0 et α = 1.
8.2 EQUATION COURANT
DE
BERNOULLI
POUR
L'ENSEMBLE
DE
Soit un courant liquide, dont nous considérons deux sections transversales S1 et S2 où les vitesses moyennes sont respectivement V1 et V2. L'équation de Bernoulli appliquée à un filet liquide quelconque d'un fluide s'écrit :
3
z1 + et le débit de ce filet est :
p1 v2 p v2 + 1 = z2 + 2 + 2 ρg 2g ρg 2g
v1 . dS1 = v2 . dS2
Multiplions ces équations membre à membre et faisons la somme de toutes les équations semblables obtenues pour tous les filets constituant le courant : ⎛ ⎛ p1 v 12 ⎞ p2 v 22 ⎞ z + + v dS = z + ∫ ⎜ 1 ρg 2g ⎟⎠ 1 1 S∫ ⎜⎝ 2 ρg+ 2g ⎟⎠ v2 dS2 S1 ⎝ 2
Or pour un fluide pesant z +
p = Constante dans toute la section normale S. ρg
Si z0 et p0 représentant l'altitude et la cote d'un point O quelconque de la section, on a:. ⎛
p1 ⎞
⎛
p0 ⎞
⎛
p0 ⎞
∫ ⎜⎝ z+ ρg ⎟⎠ v dS = ⎜⎝ z + ρg ⎟⎠ ∫ v dS = ⎜⎝ z + ρg ⎟⎠ VS 0
S
0
S
v3 V 3S D'autre part ∫ dS = α 2g 2g S Donc :
⎛ ⎛ po1 v12 ⎞ po 2 v 22 ⎞ z v S z + + α = + +α ⎜ o1 ⎟ 1 1 ⎜ o2 ⎟ V2S2 1 2 ρg 2g ⎠ ρg 2g ⎠ ⎝ ⎝
Le débit total est constant : V1S1 = V2S2 et
⎛ po V2 ⎞ z + + α ⎜ o ⎟ = constante. ρg 2g ⎠ ⎝
C'est l'équation de Bernoulli appliquée à l'ensemble d'un courant liquide. Rappelons que dans cette équation, zo est l'altitude d'un point quelconque d'une section transversale, po est la pression qui règne en ce point, V est la vitesse moyenne dans cette section et α le coefficient tenant compte de l'inégale répartition des vitesses locales dans cette section. Pour les fluides compressibles, les sections normales sont généralement suffisamment petites pour que la pression puisse y être considérée comme égale en tous les points. D'autre part, les variations d'altitude sont généralement fort faibles vis-à-vis des variations de pression. On peut donc écrire pratiquement :
z1 - z2 + ∫
1
2
α1V12 - α2 V22 dp + =0 ρg 2g
z étant l'altitude de l'axe du courant, et p la pression, considérée comme uniforme, dans chaque section normale. En considérant le fluide réel, on a z1 - z2 +
∫
1
2
dp α1V12 - α2 V22 + - τ12 = 0 2g ρg
4
8.3
RESISTANCE A L'ECOULEMENT
Les résistances qui interviennent dans l'expression de τ peuvent se classer en deux catégories : • les résistances continues qui, se produisant même dans des canaux rectilignes et de section transversale invariable, sont dues au frottement des filets fluides entre eux ou contre les parois, comme aussi aux chocs entre particules échangées entre filets voisins ; • les résistances locales, provoquées par des particularités du canal, telles que changements (brusques ou progressifs) de section, ou changements de direction (coudes, courbes).
Dans les prochains chapitres, nous aurons à expliciter l'expression de ces résistances. Cependant, il peut être utile de donner ici une expression, sans doute assez grossièrement approximative, de la perte de charge continue, comme l'avaient conçue les anciens hydrauliciens. Considérons avec eux un courant dont la section transversale a une aire ω et un périmètre mouillé χ . L'expérience montre que, approximativement, la force de frottement est une fonction croissante de la vitesse moyenne : φ (V) et qu'elle est proportionnelle à la surface de frottement contre les parois, soit, pour une longueur dl du canal : X.dl et qu'elle est proportionnelle au poids spécifique ρg du fluide. Elle est donc : ρgχdlφ(V) pour une longueur dl de canal, qui a un poids de : ρgωdl . Elle vaut donc par unité de poids et par unité de longueur : j =
χ φ( V ) ω
χ et pour une longueur dl de canalisation dj=jdl= ϕ ( V ) dl ω
La fonction φ(V) est souvent écrite sous la forme bV2, b étant constant en première approximation, plus exactement b est une fonction de la vitesse moyenne V, des dimensions de la section et de la viscosité du fluide ; on y reviendra plus tard.
8.4
EQUATION DU COURANT
Sous sa forme différentielle, l'équation de Bernoulli appliquée au courant d'un fluide réel, s'écrit, en limitant le terme dτ à celui correspondant aux résistances continues dZ0 +
dp0 α Z d(V 2 ) + + ϕ (V)dl = 0 γ ω 2g
dzo 1 dp α d( V + . o + . dl 2g dl ρg dl
2
ou
)+
Z ϕ (V)dl = 0 ω
Situons les divers points zo sur une même trajectoire quelconque ; soit So l'angle fait par cette trajectoire sous l'horizontale : dzo = - sinSo dl
5 2 1 dpo Z α d( V ) . = . ϕ( v ) + . On obtient ainsi l'équation du courant : sin So 2g dl ρg dl ω
8.5
RAYON HYDRAULIQUE
Le rapport ω / X de la section au périmètre mouillé s'appelle le rayon hydraulique R : R = Pour une section circulaire : R =
ω X
πD2 D : πD = 4 4
Le rayon hydraulique vaut donc la moitié du rayon géométrique (certains hydrauliciens définissent le rayon hydraulique par 2 ω / X , de façon à ce que, pour le cercle, il soit égal au rayon géométrique). Pour un canal ouvert de section rectangulaire, de largeur b et de profondeur h : R =
hb 2 h+b
(La ligne de contact avec l'air n'intervient pas dans le périmètre mouillé). Si h est faible vis-à-vis de b, R tend vers h.
8.6
EXPRESSION DE LA PERTE DE CHARGE EN LONG
L'étude de l'écoulement en conduites se base sur l'équation de Bernoulli pour les fluides réels, que nous avons déjà établie au début du cours. Il faut cependant encore y expliciter le terme j, composante de l'ensemble des forces de frottement par unité de poids, dans la direction opposée à celle de l'écoulement. La chute de pression exprimée en hauteur de fluide peut être mise sous la forme suivante : V2 h= φ (Re,k' k", ....) 2g si nous considérons que le phénomène envisagé ici est indépendant de la gravité (nombre de Froude), de la tension superficielle (nombre de Weber) et de la compressibilité (nombre de Mach). D'autre part, cette chute de pression h correspond à la perte de charge puisque pour un fluide incompressible et une conduite de section constante, les vitesses sont les mêmes dans toutes les sections, donc : h =
∫
2
1
j dl
et si nous considérons que, lorsque le régime est bien établi, j est indépendant de l : h = j l. Il vient donc V2 : j l= φ ( Re, k', k", ...) 2g Enfin, si nous représentons par L, la longueur caractéristique des dimensions du canal, l'un des facteurs k de la parenthèse doit être l/L ; la loi de proportionnalité entre la perte de charge h et la distance l sur laquelle on l'évalue, permettra de faire sortir l/L de la parenthèse et de le mettre en évidence. Il viendra ainsi :
6
Perte de charge par unité de longueur : j =
V2 l φ ( Re, k', k", ...) 2g L
Dans le cas des conduites cylindriques, on prend d'habitude un diamètre intérieur D pour longueur V2 l VD φ ( Re, k', k", ...) avec Re = caractéristique L de la section. On a ainsi : j = 2g D ν Pour les conduites de section autres que circulaire, on prend souvent L = 4 fois le rayon hydraulique R (par analogie avec les conduites cylindriques où D = 4R). On se bornera ici à l'étude des conduites cylindriques. En posant dans l'équation précédente φ (Re, k', k", ...) = f. il vient j =
f V2 où f s'appelle le coefficient de résistance de la conduite. D 2g
Si, dans la parenthèse, nous avons conservé les termes k', k", ... facteurs de forme de la section, c'est qu'en réalité les tubes n'ont jamais une section parfaitement circulaire, mais qu'au contraire leur surface intérieure présente des irrégularités, qui constituent sa rugosité ; on sait par expérience que celle-ci influe sur la résistance à l'écoulement. On peut montrer comment s'applique aux tubes cylindriques, la formule de la perte de charge : x φ (V) . j= ω Dans une section circulaire, 4b =
X 4 4 . bV 2 , d'où = , en posant φ (V) = bV2, il vient : J = D ω D
f 2g
•
f est un coefficient sans dimension,
• b a au contraire la dimension L-1 T2. On l'exprime, sauf précision contraire, dans le système mètre-seconde.
8.6.1
Rugosité
Le coefficient f dépend des facteurs de forme de la section k', k", ... qui définissent, par leur rapport au diamètre D, les dimensions des irrégularités de la surface intérieure du tube. Ces dimensions dépendent de la nature et de l'état de cette surface qui elles sont difficiles à définir et plus encore à mesurer. Il en est évidemment de même de la rugosité qui en est la conséquence directe. On peut admettre que la rugosité dépend : •
de la hauteur moyenne des irrégularités de surface,
•
de la variation de la hauteur effective autour de la hauteur moyenne,
• de la forme des irrégularités (des irrégularités en dents de scie présentent par exemple, des résistances au mouvement différentes, selon le sens de l'écoulement), •
de la distance entre deux irrégularités voisines,
7 • de la disposition géométrique des irrégularités (par exemple la disposition figure 8.3 a) offrira moins de résistance à l'écoulement que la disposition figure 8.3 b)
vitesse
Figure 8.3 a : Rugosité parallèle à l'écoulement
vitesse
Figure 8.3 b : Rugosité non parallèle à l'écoulement
Pratiquement, il est possible de tenir compte de tous ces facteurs. A défaut de pouvoir faire mieux, on admet que la rugosité peut suffisamment être exprimée par une longueur ε qu'on regarde comme représentant l'ensemble des caractéristiques géométriques des irrégularités de surface; ε s'appelle la rugosité absolue. Dans cette hypothèse, il ne subsiste qu'un seul facteur de forme k qui est ε /D ; ce rapport s'appelle la rugosité proportionnelle. On a finalement ainsi
ε⎞ f V2 ⎛ j = . , avec f = φ ⎜ Re, ⎟ D⎠ D 2g ⎝
Remarques : a. L'expression de f établie ci-dessus permet de donner de ε une définition plus précise que celle adoptée plus haut : ε est une longueur, mesurant le degré de rugosité et telle que, pour deux conduites de nature ou d'état différents, elle ait des valeurs proportionnelles aux diamètres de ces conduites, quand pour des nombre de Reynolds égaux, les valeurs correspondantes des coefficients f sont les mêmes pour les deux conduites. b. Une conduite est lisse ou polie, quand l'influence de ε sur f est nulle ou, au moins, négligeable. Or, ε n'intervient que par le rapport ε /D. On peut donc dire qu'une conduite est lisse quand son diamètre n'a plus d'influence sur la valeur de f, en dehors de celle qu'il exerce par l'intermédiaire du nombre de Reynolds. On conçoit immédiatement que ce n'est pas la valeur absolue de la rugosité ε qui caractérise une conduite comme lisse ou rugueuse, mais bien la rugosité proportionnelle ε /D. Il en résulte qu'une conduite de nature et d'état déterminés ( ε donné) sera à considérer comme lisse si son diamètre D est assez grand, et comme rugueuse dans le cas contraire. Il n'y a donc pas de matériau qui classe invariablement une conduite comme lisse ou rugueuse. En pratique, on appelle conduites lisses celles qui peuvent être considérées comme telles pour les plus petits diamètres courants (conduites en verre, en plomb, en cuivre, en laiton étiré).
8
8.6.2 Régime d'écoulement On doit maintenant à expliciter la fonction f. et l'on doit distinguer les deux régimes d'écoulement définis précédemment. 8.6.2.1 Régime laminaire où la perte de charge résulte uniquement des efforts de viscosité ; ce problème pourra être résolu par la voie théorique, en partant de l'équation de Newton. 8.6.2.2 Régime turbulent où, à l'effet de cette même viscosité se superpose celui des chocs des particules échangées entre filets voisins : le problème est beaucoup plus compliqué et la perte de charge ne sera donnée que par des formules empiriques ou tout au moins semi-empiriques.
L'expérience montre que le régime laminaire correspond aux petits nombres de Reynolds, tandis que le régime turbulent correspond aux nombres de Reynolds élevés. Rappelons en effet, que le nombre de Reynolds est une mesure du rapport qui existe entre les forces d'inertie et les forces de viscosité. Le nombre de Reynolds correspondant au changement de régime s'appelle nombre de Reynolds critique. Comme on l'a vu, le mouvement laminaire est caractérisé par la parfaite régularité des trajectoires et l'absence de tout mouvement tourbillonnaire, ou plus exactement par l'extinction plus ou moins rapide des tourbillons dus aux minimes causes de perturbation qu'il est pratiquement impossible d'éliminer complètement. Lorsque ces tourbillons perdurent, le régime devient turbulent. Il est dès lors logique que, lorsque par exemple, on fait croître la vitesse, le régime laminaire dure d'autant moins longtemps, c'est-àdire que le nombre de Reynolds critique est d'autant plus faible que les causes perturbatrices sont plus importantes ; les conditions d'entrée dans le canal paraissent jouer à cet égard un rôle primordial. Il n'est donc pas possible de fixer une valeur unique et précise du nombre de Reynolds critique ; celui-ci dépendra dans une large mesure de la nature et de l'importance des perturbations qui affectent l'écoulement. Il est pourtant établi qu'il existe une limite inférieure du nombre de Reynolds critique, en dessous de laquelle les plus fortes perturbations finissent par s'amortir, et l'écoulement reprend, après un certain parcours, son caractère laminaire, de sorte que le régime turbulent, avec ses mouvements tourbillonnaires caractéristiques, ne peut s'établir d'une manière permanente. Si en conduite, dans l'expression du nombre de Reynolds, on prend pour longueur caractéristique le diamètre et pour vitesse la vitesse moyenne, la valeur inférieure du nombre de Reynolds critique est de l'ordre de 1 000. Il est par contre impossible de dire à l'heure actuelle s'il existe une limite supérieure du nombre de Reynolds critique. En prenant des précautions minutieuses pour éliminer toute cause de trouble dans l'écoulement, on peut atteindre exceptionnellement, en régime laminaire en conduite, un nombre de Reynolds de 75 000. De plus, l'écoulement présentant une certaine hystérésis, le nombre de Reynolds critique dépend du sens de passage du régime laminaire au turbulent, ou vice-versa. En pratique, on admet qu'en conduite le nombre de Reynolds critique supérieur se situe aux environs de 2000. Pour calculer la perte de charge, il convient de se mettre dans le cas le plus défavorable et on prend comme nombre de Reynolds critique, 1350 environ, valeur à partir de laquelle la perte de charge en régime turbulent dépasse généralement celle calculée par la formule classique de Poiseuille pour l'écoulement laminaire.
9
8.7
FORMULATION PRATIQUE
8.7.1 Régime laminaire Du chapitre 3 des écoulements des fluides réels au paragraphe 3.5.2, sur les écoulements laminaires, 64 on obtient : f = Re Dans un diagramme logarithmique f = f ( Re ) , cette équation est celle d'une droite, la droite de Poiseuille. On remarquera encore que cela résulte de la loi parabolique de répartition de la vitesse, et la vitesse moyenne est égale à la moitié de la vitesse maximum sur l'axe.
8.7.2 Régime turbulent La complication du mécanisme de l'écoulement turbulent ne permet guère d'espérer qu'il soit possible de l'analyser par une voie uniquement théorique. Cependant, son étude présente le plus grand intérêt, car la presque totalité des écoulements en conduites que l'on rencontre en pratique s'effectuent selon le régime turbulent. 8.7.2.1 Formules anciennes De nombreuses formules ont été proposées (Dupuit, Eberlé, Prony, Darcy, Levy, Flamant, etc.). voir A. SCHLAG "L'Ecoulement en conduites des liquides, gaz et vapeurs" publié dans la Bibliothèque Scientifique Belge. On se bornera à donner ici la formule de Dupuit et celle de Darcy (dans le système d'unités mètre-seconde).
• Dupuit propose de donner à b la valeur constante : b = 0,004 (soit f = env. 0,03). (A l'heure actuelle, cette valeur est considérée comme trop élevée pour les tuyaux en acier ; une valeur de f de l'ordre de 0,020 à 0,024 semblerait mieux convenir). •
La formule de Darcy, établie à la suite d'expériences effectuées avec de l'eau à température 4 ⎛ b' ⎞ 2 ordinaire, sur des tuyaux de 0,013 à 0,500 m, s'écrit : j = ⎜ a' + ⎟ V , D ⎝ D⎠ avec a' = 0,000507 et b' = 0,00001294, pour les conduites en fonte recouverte de dépôt. Pour les tuyaux neufs, on prend la moitié de ces valeurs et pour les tuyaux bitumés le tiers. 8.7.2.2 Formules nouvelles
1. Formule de Nikuradse
1 Re f = 2 log 2,51 f
2. Formule de Colebrook Pour tous les tuyaux, l'Institut d'Hydraulique des U.S.A. et la plupart des ingénieurs considèrent l'équation de Colebrook comme la plus acceptable pour calculer f. Cette équation est
1 2.51 ⎞ ⎛ ε = - 2 log ⎜ + ⎟ f ⎝ 3.7 D Re f ⎠
10 Du fait que l'équation est difficile à résoudre, on dispose de diagrammes permettant de lire la relation entre le coefficient de frottement f, le nombre de Reynold Re et la rugosité relative ε /D. On a donné le diagramme de Moody de la figure 8.4, publié avec la permission de l'American Society of Mechanical Engineers) quand on connaît le débit Q et le diagramme de la figure 8.4 quand on a à le calculer. La dernière forme a été proposée pour la première fois par S.J. Johnson et par Hunter Rouse. On doit remarquer que pour les tuyaux lisses où la valeur ε /D est très petite, le premier terme de la parenthèse est négligeable : dans ce cas les formules de Colebrook et de Nikuradse sont identiques. De manière analogue, quand le nombre de Reynolds Re est très grand, le second terme de la parenthèse de la forme de Colebrook est négligeable : dans ce cas là, l'effet de la viscosité est négligeable, et f dépend de la rugosité relative du tuyau. Cette proposition a son interprétation graphique sur la figure 8.4 en ce sens que les courbes deviennent horizontales pour de grandes valeurs du nombre de Reynolds. 8.7.2.3 Formule de Barr (1981) La formule de Barr a l'avantage d'être explicite. La différence maximum entre les résultats de cette formule et celle de Colebrook est de 0,73 %.
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1 = - 2 log ⎜ ⎜ f ⎜ ⎜ Re ⎜ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ Re ⎞ ⎟ 4.518 log ⎜ ⎟ ε ⎟ ⎝ 7 ⎠ + 0.7 3.7 D ⎟ ⎛ ⎞ ε ⎛ ⎞ ⎟ Re0.52 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝D⎠ ⎟ ⎟ ⎜1 + ⎟ ⎜ ⎟ 29 ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠
8.7.2.4 Remarques On peut se demander quelle influence a, sur la valeur calculée de f, une erreur éventuelle sur l'appréciation de ε , et en plus, une erreur sur l'évaluation du diamètre. En prenant comme base la 1 3.71 D formule de Nikuradse pour la pleine turbulence : = 2 log ε f
En appelant ∆ ε et ∆D les erreurs respectives sur ε et sur D, et ∆f l'erreur en résultant sur f, en ne 1 2 ⎛ ∆ε ∆D ⎞ + retenant que les valeurs absolues, on en tire : . f 2/3 . ∆f = ⎜ ⎟ 2 2.3 ⎝ ε D ⎠ ou
∆ε ∆D + ∆f D ε = 0.87 3.71 D f log ε
La perte de charge par unité de longueur de la conduite j étant déduite de la formule f V2 1 16f j= . = . 2 5 . Q2 2g π D D 2g
On en déduit, pour un débit Q donné :
11
∆j ∆f ∆D = +5. j f D ⎛ ⎞ ⎟ ∆j ∆ε 1 ∆D ⎜ 0.87 = 0.87 . + 5+ ⎜ 3.371 D ⎟ ε log 3.71 D j D ⎜ ⎟⎟ log ⎜ ε ε ⎝ ⎠
ou
formule qui permet d'apprécier l'approximation avec laquelle on peut évaluer j. A titre d'exemple, appliquons-la au cas suivant :
•
Diamètre nominal D = 100 mm.
•
Ecart possible entre le diamètre nominal et le diamètre réel :
∆D = 0,02 . D
Conduite en acier neuve : adoptons ε = 0,1 mm et admettons sur cette valeur une erreur possible de 50 %, valeur élevée mais qui n'a rien de particulièrement exagéré si l'on veut bien se référer aux valeurs mesurées, donc : ∆ε = 0,5 ε ε 0,1 = = 0,001 D 100 On en tire :
∆j = 23% j
Si l'on se limite à la seule influence de ∆ ε , en laissant de côté celle de ∆D, on obtient :
∆j ∆f 0.87 ∆ε = = . j f log 3.371 D ε ε Pour l'exemple traité,
∆j = 12%. j
En se référant à cet exemple, on voit donc qu'une erreur relative sur ε entraîne sur j ou f une erreur relative notablement moindre ; celle-ci peut cependant rester importante car l'erreur d'appréciation sur ε peut elle-même être fort élevée. On voit d'ailleurs que, toutes autres choses égales, l'erreur relative sur j ou sur f croît avec la rugosité proportionnelle ε /D. Or, la rugosité proportionnelle est grande pour les conduites rouillées ou incrustées par un long usage : c'est précisément alors qu'il est difficile d'apprécier la valeur réelle de ε et où, dès lors, on doit prévoir de grandes valeurs de ∆ ε / ε Ce cas est donc fort défavorable et il faudra conduire le calcul de la conduite avec la plus grande prudence. Mais comme on l'a déjà dit plus haut, cette incertitude n'est pas particulière à l’emploi des formules de Nikuradse et de Colebrook, elle existe pour toutes les formules proposées.
12
Figure 8.4 : Diagramme de Moody
13 8.7.2.5 Valeurs de ε On donne à le figure 8.5 les valeurs moyennes de ε en mm pour différents types de conduites industrielles. Tuyaux étirés en verre, cuivre, laiton Tuyaux industriels en laiton Tuyaux en acier laminé :
jusqu'à 0,001 5 0,025 neufs 0,04 à 0,15 rouillés sans inscrustations 0,15 à 0,25 couverts intérieurement de bitume 0,015 Tuyaux en acier soudé neufs 0,03 à 0,1 moyennement rouillés jusqu'à 0,4 fortes incrustations jusqu'à 3 Tuyaux en fer galvanisé 0,12 à 0,15 Tuyaux en fonte neufs 0,22 à 0,25 rouillés 1 à 1,5 couverts intérieurement de bitume 0,1 à 0,125 Tuyaux en béton (suivant degré de poli) 0,15 à 3 Tuyaux en ciment 0,35 Tuyaux en bois 0,2 à 1
Figure 8.5 : Valeurs de ε Les diagrammes de Nikuradse et la formule de Colebrook ne donnent pas de résultats satisfaisants lorsque la rugosité se présente sous forme d'ondulations perpendiculaires à la direction de l'écoulement, telles qu'on en a constatées dans certaines conduites de centrales hydrauliques. La résistance à l'écoulement dépasse de loin celle que l'on évaluerait sur la base de ces diagrammes ou formules et, également, celle correspondant à la mesure ou à l'appréciation de la hauteur des irrégularités de surface.
8.8
PERTES DE CHARGE LOCALES
8.8.1 Principe Les pertes de charges singulières se produisent quand il y a perturbation de l'écoulement normal, décollement au niveau des parois et formation de tourbillons aux endroits où il y a changement de section ou de direction de la conduite ou présence d'obstacles (entrée dans la conduite, élargissement, rétrécissement, courbure et branchement, écoulement à travers les ouvertures, les grilles, les dispositifs d'obturation ou d'étranglement, filtration à travers un corps poreux, écoulement autour de divers obstacles, etc.). Dans les pertes singulières figurent aussi les pertes de pressions dues à la vitesse (pression dynamique) à la sortie de l'écoulement du réseau dans un grand espace (atmosphère). Le phénomène de décollement et de formation de tourbillons est lié à la présence d'une différence des vitesses à travers la section du courant et à un gradient positif de la pression le long de l'écoulement. Ce dernier se produit lors du ralentissement du mouvement (canal divergent) conformément à l'équation de Bernoulli. La différence des vitesses dans la section pour un gradient négatif (mouvement accéléré en canal convergent) ne conduit pas à un décollement. Dans les tronçons convergeant de façon continue,
14 l'écoulement est même plus stable que dans les tronçons à section constante. Toutes les formes des pertes singulières de pression, à l'exception des chutes de pression dynamique à la sortie du réseau, se produisent sur une longueur plus ou moins grande de la conduite et ne sont pas séparables des pertes par frottement. Cependant, pour la commodité du calcul, il est convenu de les considérer concentrées dans une section et ne comprenant pas les pertes par frottement. La sommation est effectuée suivant le principe de la superposition des pertes, d'après lequel on prend la somme arithmétique des pertes par frottement et des pertes singulières : h total = h f + h s (m de fluide ) Pratiquement, il faut calculer la grandeur hf seulement pour les singularités se produisant sur une distance relativement grande (branchements, divergents à faible angle au sommet, etc.) ou quand elle est du même ordre de grandeur que hs. Dans les calculs hydrauliques actuels, on se sert d'un coefficient de perte de charge k sans dimension ; il est d'usage commode du fait que, dans les écoulements dynamiquement semblables (similitude géométrique des tronçons, identité des nombres de Reynolds Re, ainsi que des autres critères de similitude si leur rôle est essentiel), il a la même valeur quelles que soient la nature du liquide, la vitesse de l'écoulement et les dimensions des tronçons considérés. La perte de charge singulière sera donc de la forme : h = k
u2 où u représente la vitesse moyenne 2g
de l'écoulement dans la section caractéristique. Le coefficient de perte de charge locale dépend, en premier lieu, des paramètres géométriques de l'élément étudié de la conduite (ou du canal), et, en outre, de certains facteurs généraux du mouvement, au nombre desquels on comprend : la distribution des vitesses à l'entrée de l'écoulement dans l'élément considéré de la conduite 1. : cette répartition des vitesses, à son tour, dépend du régime d'écoulement, de la forme de l'entrée, de la forme et de l'éloignement des diverses pièces façonnées ou des obstacles disposés en amont de l'élément observé, de la longueur du tronçon droit qui le précède, etc. 2.
le nombre de Reynolds Re = u
3.
le nombre de Mach M =
DH (où DH est le diamètre hydraulique) υ
u (où a est la vitesse de propagation du son). a
Le principe de superposition des pertes s'applique, non seulement à un élément isolé de la conduite (ou du canal), mais aussi au calcul hydraulique du réseau dans son ensemble. Cela signifie que les pertes trouvées pour des éléments isolés de la conduite (ou du canal) sont additionnées arithmétiquement, et cette somme donne la perte de charge générale de l'ensemble du réseau hglobal.
8.8.2 Pour un calcul rapide et approche Comme dans le cadre d'un avant-projet, voici quelques valeurs de k dans les situations les plus u2 courantes (Figure 8.6). On utilise l'équation h = k 2g u étant la vitesse dans la conduite avant la singularité sauf si autre chose est spécifié.
15 ________________________________________________________________________ Entrée dans un tube directement greffé sur la paroi k = 0,50
________________________________________________________________________ Entrée tracée suivant un arc de cercle R/d
0,05
0,1
0,2
0,3
0,4
k
0,25
0,17 0,08 0,05 0,04
________________________________________________________________________ Entrée dans un tube encastré dans une paroi à une distance finie k = 0,8
________________________________________________________________________ Entrée dans une conduite directement installée dans la paroi sous un angle quelconque α k = 0,505 + 0,303 sin α + 0,226 sin2 α
________________________________________________________________________ Entrée dans un tube avec collecteur conique
h=D+
5,6 Q u2 2g D1,5 2g
________________________________________________________________________ sans collecteur conique
h = 0,53 D +
4Q 2g D1,5
-
u2 2g
Largeur du puisard dessiné : 3,5 D ______________________________________________________________________________ Crépine k = 10 avec une valve de fond k = 5,5 sans valve de fond (d'après Agroskin) ______________________________________________________________________________ Branchement en T standard k = 1,8
________________________________________________________________________
16 Elargissement brusque
⎛ u ⎞ h = ⎜1- 2 ⎟ ⎝ u1 ⎠
2
⎛u ⎞ u12 ou h = ⎜ 2 -1⎟ 2g ⎝ u1 ⎠
2
u 22 2g
________________________________________________________________________ Rétrécissement brusque
h=k
u 22 2g
2 (d/D)
0,01
0,1
k
0,50
0,50 0,42 0,33 0,25 0,15
0,2
0,4
0,6
0,8
________________________________________________________________________ Diffuseur
h=
k ( u12 - u 22 ) 2g
α° k
20
40
60
80
0,20
0,28 0,32 0,35
________________________________________________________________________ Convergent
h=
α° k pour D=3d
6
10
k ( u12 - u 22 ) 2g 20
40
0,12 0,16 0,39 0,80
D=1,5d 0,12
60 1,0
80
100
1,06
1,04
0,16 0,39 0,96 1,22 1,16
1,10
120
140
1,04
1,04
1,06 1,04
_______________________________________________________________________________ Coude k = 67,6 . 10-6( α °)2.17 ______________________________________________________________________________ Courbe :
⎛r ⎞ k = 0,13 + 1,85 ⎜ ⎟ ⎝R⎠
3,5
α0 1800
17 Courbe à 180° k = 2,2 ______________________________________________________________________________ Vanne simple e/D
0
k
1/4
0,15
3/8
1/2
5/8
3/4
0,26 0,81 2,06 5,52 17,00
7/8 97,80
______________________________________________________________________________ Robinet à soupape k = 10 quand il est entièrement ouvert ______________________________________________________________________________ Robinet
α° k
5 0,05
10
20
30
40
50
60
70
80
0,29 1,56 5,47 17,30 52,60 206,00 485,00
______________________________________________________________________________ Soupape de retenue entièrement ouverte de type pivotante
k = 2,5
de type sphérique
k = 70,0
de type levante
k = 12,
______________________________________________________________________________ Vanne d'angle k = 5,0 ______________________________________________________________________________ Vanne segment dans une conduite rectangulaire
⎛⎛ 1 ⎞ ⎞ k = 0,8 1,3 ⎜ ⎜ ⎟ n ⎟ ⎝⎝ n ⎠ ⎠ où n =
2
φ indique le degré d’ouverture φ0
_____________________________________________________________________________ Vanne dans une conduite rectangulaire
⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ k = 0,3 1,9 ⎢⎜ ⎟ -n ⎥ ⎣⎝ n ⎠ ⎦
2
où n =
h1 H
18 ______________________________________________________________________________ Tuyère h = 0,3 ∆P
pour d = 0,8 D
h = 0,95 ∆p
pour d = 0,2 D
où ∆p est la chute de pression mesurée ___________________________________________________________________________ Tube de Venturi h = 0,1 ∆p jusqu'à 0,2 ∆p ou ∆p est la différence de pression mesurée ___________________________________________________________________________ Diagramme à paroi mince
⎛ d⎞ h = ∆p ⎜1- ⎟ ⎝ D⎠
2
où ∆p est la différence de pression mesurée ___________________________________________________________________________ Sortie libre d'un convergent d/D
0,5
0,6
0,8
0,9
k
5,50
4,00 2,55 1,10
___________________________________________________________________________ Sortie d'un tube dans un réservoir k = 1,0 ___________________________________________________________________________ Sortie libre d'un diffuseur pour
α° k
8 0,05
15
30
D >2 d 45
0,18 0,50 0,60
___________________________________________________________________________
Figure 8.6 : Pertes de charges locales
19
8.9 CALCUL PRATIQUE DES PERTES DE CHARGES DANS LES CONDUITES La perte de charge par unité de longueur vaut: j =
f V2 D 2g 2
f V2 f ⎛ 4Q ⎞ L L= ⎜ 2⎟ = Q2 L K Pour une longueur L, la perte de charge devient jL = D 2g D ⎝ πD ⎠ 2g
où
K=
l f . 16 2g π 2 D5
La perte de charge locale s'écrit alors :
k
V2 16 Q 2 1 16 = k 2 4 = k K' Q 2 où K' = 2g π 2 D4 2g π D
Entre les 2 points 1 et 2 distants de L, la perte de charge est de ⎛ P1 V2 ⎞ ⎛ P2 V2 ⎞ 2 z + + α z + + α ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ∑ Q ( KL + K'k ) 1 2 ρg ρg 2g ⎠ ⎝ 2g ⎠ ⎝
A
V
1
L
1
D1
H
Ligne pièzométrique Ligne de charge
B L'
2
D'
2
U2 C L"
2
D"
2
D
Figure 8.7 : Diagramme des lignes piézométrique et de charge
Trois problèmes peuvent se poser lors du calcul d'une canalisation. 1. Quelle est la charge à donner à une canalisation de longueur L et de diamètre D pour obtenir un débit Q ? La connaissance de Q, D et L fait que le problème peut être résolu directement. 2. Quel est le débit Q d'une conduite de diamètre D, de longueur L et de charge H ? La perte de charge dépend du débit Q. Il faut donc procéder par approximations successives et la première approximation peut être obtenue par la loi de Darcy. 3. Quel diamètre D faut-il donner à une canalisation de longueur L, pour débiter un volume Q sous une charge H ? La connaissance de la perte de charge est conditionnée par le diamètre D. Il faut donc procéder par approximations successives.
20 Ligne de charge et ligne piézométrique. La ligne de charge étant le lieu de la quantité z +
p V2 +α : 2g ρg
⎛ ⎞ p0 p V2 V2 l'équation z + + α = ⎜ z0 + + α0 - Q2 ( KL + K'k ) ⎟ montre que cette ligne 2g 2g ρg ρg ⎝ ⎠ 2 p V s'obtiendra en soustrayant, en chaque point, de z0 + 0 + α 0 , charge à l'origine de la conduite, la 2g ρg 2 quantité ΣQ ( KL + K'k ) , somme cumulée depuis l'origine, des pertes de charge continues et
localisées. Quand à la ligne piézométrique, lieu de z + α
p , on l'obtiendra en soustrayant, en chaque point, ρg
V2 des ordonnées de la ligne de charge. 2g
Traitons, par exemple, le cas d'une conduite constituée de deux tronçons de diamètres différents, D1 et D2 (D1 > D2) alimentée à l'amont par un réservoir à niveau constant, débouchant à l'aval à l'air libre et
comportant un coude en C (figure 8.7). Si nous exprimons les pressions en valeur relative et si nous fixons au niveau de D, le zéro des z, la charge dans le réservoir est H. A l'extrémité aval de la tuyauterie, V22 elle est α 2 2g
Pour tracer la ligne de charge, nous devons soustraire de la charge H à l'origine, les différentes pertes au fur et à mesure que nous les rencontrons, soit : 1 2
•
En A, perte à l'entrée : Q2 K' k avec k =
•
De A à B, perte continue de Q2 K1 par mètre, soit en tout Q2 K1 L1.
•
En B, perte au rétrécissement de section : Q2 K2 'k, avec k donné par les formules.
•
De B à C, perte continue de Q2 K2 par mètre soit en tout Q2 K2 L2'
•
En C, perte au coude Q2 K2' k avec k donné par les formules.
•
De C à D perte continue de Q2 K2 par mètre, soit en tout Q2 K2 L2".
•
V2 On aboutit ainsi en D à α 2 2g
Pour avoir la ligne piézométrique, on descend la ligne de charge de α1 V22 entre B et D. α2 2g
V12 2g
entre A et B et de
21
8.10 LES RESEAUX DE CONDUITES 8.10.1 Réseau ramifié et réseau maillé Le principe de réseau ramifié est représenté sur la figure 8.8. R a
d
e g
b
f h
c
i
Figure 8.8 : Réseau ramifié : R = réservoir ou station de pompage. R a
d
e g
b
f h
c
i
Figure 8.9 : Réseau maillé
Sur la canalisation maîtresse abc sont branchées des canalisations secondaires de, fg, hi alimentant elles-mêmes des canalisations tertiaires. Le principal inconvénient de ce réseau est le fait que l'écoulement se fait dans un seul sens : lorsqu'un arrêt se produit en un point, toutes les conduites sont arrêtées. Pour y remédier, on peut créer un réseau maillé, tel que les canalisations primaires et secondaires puissent être alimentées dans les deux sens. L'alimentation en retour des canalisations tertiaires serait trop chère. Le réseau maillé, plus cher, s'impose surtout pour les installations importantes.
8.10.2 Calcul d'un réseau ramifié C
A
E F
B
D
G H
Figure 8.10 : Réseau ramifié
22
L'énergie au point A est supposée connue. On peut alors écrire, pour chacun des points terminaux E, F, G, H, l'équation de Bernoulli correspondant au passage de A à un de ces points. Ces équations permettent de calculer : -
les pressions en ces points si les débits sont connus ;
-
les débits dans chaque branche si les pressions sont connues. On doit alors utiliser en
-
plus l'équation de continuité Qi = 0 à chaque noeud.
8.10.3 Calcul d'un réseau maillé par la méthode de Newton-Raphson Le calcul des réseaux maillés a donné naissance à un certain nombre de méthodes conçues initialement pour le calcul manuel mais applicables parfois au calcul par ordinateur. Au paragraphe suivant, nous exposons une méthode spécifiquement conçue pour le calcul sur ordinateur.
8.10.3.1 Principe de modèle théorique : Position du problème Un réseau de distribution est formé d'un ensemble d'éléments (conduites, pompes, réducteurs de pression, vannes, clapets, ...) dont les caractéristiques sont connues. Ces éléments sont connectés d'une manière déterminée. Les noeuds du réseau représentent, soit des points de consommation ou des réservoirs, soit des points de jonction de deux éléments au moins.
Le calcul du réseau de distribution en régime permanent consiste à déterminer les valeurs des pressions en chacun des noeuds et celles des débits dans toutes les branches. Le modèle théorique utilise deux types d'équations : - les équations caractéristiques des éléments Le débit Q(I,J) d'une branche (I,J) du réseau est relié aux hauteurs de charge H(I), H(J) de ses extrémités I et J par une relation de la forme : Q ( I, J) = f {H(I) H(J)}
(8.1)
Pour les conduites, cette relation peut être la formule de Colebrook-White ou toute autre formule telle la formule de Darcy ou de William. - les équations de continuité aux noeuds Ces équations expriment la conservation des débits en chacun des noeuds. Pour un noeud I, on a : (8.2)
Q (I, J) + Q(I) = 0
où
K2 – K1 + 1
est le nombre des branches connectées au noeud I,
Q(I,J) est le débit dans la branche I,J, Q(I) est le débit injecté au noeud I. Le nombre de ces équations est égal au nombre des noeuds du réseau.
23
8.10.3.2
Système d'équations du réseau
Ce système est obtenu en remplaçant dans (8.2) chaque débit Q(I,J), par son expression (8.1.) Σf {H ( I) ,H ( J)} + Q ( I) = 0 Le nombre d'équations indépendantes dans ce système est égal au nombre des noeuds où les pressions H(I) sont inconnues. NB : Cf. méthode des noeuds et des mailles en théorie des circuits (électricité).
8.10.3.3
Principe de la méthode de résolution du système d'équations
La méthode de Newton-Raphson utilisée est un procédé iteratif permettant de déterminer simultanément, à chaque itération, les corrections à apporter à toutes les variables H(I) pour approcher la solution. Soit le système d'équations non linéaires : Σf {H ( I) ,H ( J)} + Q ( I) = 0 Désignons par Fr(I) le vecteur représentant les erreurs de conservation des débits aux noeuds, pour Hr(I) obtenu à un certain moment du calcul Fr ( I) = ∑ f {Hr ( I) , Hr ( J)} + Q ( I) (8.3) Dans la méthode de Newton-Raphson, les valeurs des inconnues Hr+1(I) à l'itération r+1, sont obtenues par les relations : HR+1 ( I) = Hr ( I) + ∂Hr ( I) (8.4) Hr ( I) = J−1Fr ( I)
où et
J=
F ( I) H ( J)H(I)=H(I)
On arrête le procédé itératif lorsque le module du vecteur F(I), F(I) < n où n est un nombre relativement petit. Ce calcul exige que le vecteur F(I) soit dérivable et la matrice jacobienne J soit non-singulière. On évite de calculer une matrice singulière au cours du procédé itératif, en repérant les branches à débit nul et en y imposant des pertes de charge très faibles. La méthode de Newton-Raphson présente deux inconvénients : •
l'inversion de la matrice J à chaque itération;
•
sa convergence n'est rapide qu'à condition de choisir des valeurs initiales des variables proches de la solution.
Dans la pratique, l'inversion directe de la matrice J limite la dimension du réseau à calculer et on peut utiliser deux algorithmes. Le premier est relatif à une matrice J symétrique (réseau ne contenant que des conduites, des clapets, des pompes, ...). La matrice J est découpée selon la zone disponible en mémoire active. Le procédé d'élimination de Gauss s'effectue alors sur des sous-matrices extraites dans un ordre déterminé de la matrice J.
24 Le second est une variante du précédent. Celui-ci tient compte de la non-symétrie de la matrice (réseau général). 8.10.3.4 Les équations explicites du modèle Les développements de ces équations sont illustrés sur l'exemple suivant. Considérons un réseau constitué de 10 conduites et de 8 noeuds (figure 8.11.). Les conditions imposées sont : - les débits Q1, Q2, Q3 aux noeuds IQI; - les hauteurs de charges H4, H5, H6, H7 et H8 aux noeuds IHJ - les caractéristiques géométriques et hydrauliques du réseau.
Les inconnues du problème sont : - les hauteurs de charges H1, H2,et H3 aux noeuds IQI; - les débits Q4, Q5, Q6, Q7 et Q8 aux noeuds HJ; - les débits Q(IJ) dans les conduites. A ce réseau, on établit le graphe associé (figure 8.12)
Figure 8.11 : Réseau
Figure 8.12 : Graphe associé.
25
8.10.3.5 Numérotations et conventions de signe - Numérotation des noeuds du graphe On numérote d'abord les noeuds IQ, où les débits sont imposés, ensuite les noeuds IH, où les pressions sont imposées. - Numérotation des branches du graphe On commence par numéroter les branches reliant les noeuds IQ, au noeud IF, puis les branches reliant les noeuds IH, au noeud IF. On termine par les branches correspondant aux conduites du réseau. - Les branches du graphe sont orientées d'une manière analogue au sens de l'écoulement supposé dans les conduites du réseau. Au graphe du réseau correspond une matrice (IA). Celle-ci est définie par : ⎡+ 1 si le débit dans la branche (I, J) part du noeud I IA(I,J)=⎢⎢ 0 si le noeud considéré n'appartient pas à la branche (I, J) ⎢⎣- 1 si le débit dans la branche (I, J) arrive au noeud I.
ou
⎡IA11 (IA) = ⎢ ⎣⎢0
0 IA22
IA13 ⎤ ⎥ IA23 ⎦⎥
Les équations de conservation des débits aux nœuds Ces équations sont exprimées par le produit : (IA) (Q) = 0 où (IA) est la matrice associée au graphe du réseau et
(8.5)
(Q) le vecteur (Q1, Q2, Q3, ...Q18)T. Le système (8.5) est équivalent aux deux systèmes d'équations : (IA11 ) ( Qq ) + (IA13 )( QC) = 0
(8.6)
(IA22 )(Qn ) + (IA23 )( QC) =
(8.7)
0
(Qq) est le vecteur (Q1, Q2, Q3)T Q1, Q2 et Q3 sont les débits imposés
où
(QC) est le vecteur (Q9, Q10, ...Q13)T Qi sont les débits dans les conduites (Qn) est le vecteur (Q4, Q5, ...Q8)T Qi sont les débits aux noeuds où les pressions sont imposées. 8.10.3.6
Les équations traduisent les égalités de pression aux noeuds
Ces équations sont : ( IA )T ( H) = H ( I) - H( J)
où
(8.8)
(H) est le vecteur (H1, H2, H3, ...H8).
Le système (8.8) s'écrit : ( IA11 )
T
(H ) = (hq) q
(8.9)
26
(IA22 ) (Hh ) = ( hh) T T (IA13 ) (Hq ) + (IA23 ) ( hh) = ( hc ) T
(8.10) (8.11)
Pour l'exemple choisi, cette matrice est BRANCHES DU GRAPHE Noeuds
Conduites du réseau 1
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 2 3
-1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 1 0
4 5 6 7 8
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
-1 0 0 0 0
1
1
1 -1 -1 -1 -1 -1 0
IF
où
2
3
1 0 0 0 0
0 0 0
0
0 0 0
0
0
0
0 1 0
0 1 0
0 0 1 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0
(Hq)
est le vecteur (H1, H2, H3)T;
(Hn)
est le vecteur (H4, H5, ..., H8)T;
(hq)
est le vecteur (HIF - H1, HIF -H2, HIF -H3)T;
(hh) (hc)
0
est le vecteur (H4 - HIF , ...H8 - HIF ,)T; est le vecteur (H1 - H4, H4 - H5, H5 - H6, H2 - H6, H2 – H4, H2 - H8, H7 - H8, H2 - H7, H3 - H7, H8 - H3, H1 - H8).
8.10.3.7
Les équations caractéristiques
- Conduites
Dans ce cas, ces relations sont de la forme : Q ( I,J) = Rij ( Hi -Hj ) Hi -Hj Formule Colebrook-White : ⎛ g D5 ⎞ Rij = - π ⎜⎜ ij ⎟⎟ ⎝ 2 LIJ ⎠
n = 0.5 - 0.5
Formule de Darcy et Levy Formule de William et Hazen où
⎡ ε ⎤ 2,51 . υ . L0,5 ij ⎥ log10 ⎢ ij + ⎢ 3,71Dij ( 2g . D3 )0,5 H - H 0,5 ⎥ ij j j ⎣ ⎦
n = 0,5 Rij = n = 0,46 Rij =
kCij Dij2,63 L0,5 ij kCij Dij2,63
Q(I,J) est le débit de la conduite I-J Dij le diamètre de la conduite I-J Lij la longueur de la conduite I-J
L0,5 ij
-n
27 g εij
l'accélérateur de la pesanteur le coefficient de rugosité
ν
la viscosité dynamique de l'eau
Cij
le coefficient de William et Hazen pour la conduite I-J
k
un coefficient dont la valeur est fixée d'après les unités choisies
- Clapet anti-retour Le débit dans une conduite (I-J) munie d'un clapet est déterminé par les relations : Q ( I,J) = Rij Hi -Hj
(H -H )
-n
i
Q ( I,J) = 0
j
si Hi > Hj si Hi < Hj
- Réducteur de pression aval On suppose qu'un réducteur de pression aval est placé dans la branche (I, J) près du noeud I et que l'appareil est équipé d'un clapet anti-retour. Si la charge limite du réducteur est HR, le débit Q(I, J) est donné par : Q ( I,J) = Rij HR-Hj
-n
(HR-H ) j
Q ( I,J) = 0
si Hi > HR > Hj si Hj > HR
Q ( I,J) = Rij Hi -Hj
-n
(H -H ) i
si HR > Hi > Hj
j
- Pompes et surpresseurs Une pompe est représentée par sa courbe caractéristique hauteur de refoulement-débit : Q ( I,J) = f ( Hi ,Hj ) L'ensemble des équations caractéristiques précédentes s'écrit :
( Qc )
= R ( I,J )( hc )
(8.12)
où
R (I,J) est une matrice diagonale dont les termes sont les coefficients Rij.
8.10.3.8
Système d'équations en (Hq)
Des équations (8.11) et (8.12) on déduit :
(Qc ) = R (I,J) (IA13 ) ( Hq ) + R ( I,J) ( IA23 ) ( Hh) T
T
Cette relation et (8.6) donnent :
(IA13 ) R ( I,J)(IA13 ) (Hq ) + (IA13 ) R ( I,J)(IA23 ) ( Hh) + ( IA11 ) (Qq ) = 0 (8.13) T
T
La méthode de Newton-Raphson modifiée est appliquée à ce système d'équations non linéaire en (Hq). Calcul de la matrice (J): De la relation (8.6), on a : ( IA11 ) ( Q q ) + ( IA13 )( Qc ) = F ( Hq ) où
(Qc) sont
les débits obtenus à un certain moment du calcul
28 F(Hq)
les erreurs de conservation de débits aux noeuds
La matrice (J) est définie par : ( J) +
De la relation (8.11) on a :
∂F ( Hq ) ∂Hq
= ( IA13 ) Hq
∂ ( hc ) T = ( IA 23 ) et ∂ ( Hq )
∂ ( Qc ) ∂ ( hc ) ∂ ( hc ) ∂ ( Hq )
( J) = ( IA13 )
∂ ( Qc ) T (IA23 ) ∂ ( hc )
(Hq) étant calculé, les débits dans les conduites (Qc) et les débits (Qh) aux noeuds IH seront obtenus par les relations (8.7, 8.11 et 8.12).
8.11 LES CONDUITES FORCEES 8.11.1 Types de tuyaux Les matériaux utilisés sont : - la fonte : les tuyaux en fonte sont robustes, résistants au cours du temps mais fragiles - l'acier : qui est plus léger que la fonte, sa résistance est supérieure à celle des autres matériaux et il peut s'adapter à un grand nombre de cas. Par contre, il nécessite un revêtement intérieur et extérieur pour résister à la corrosion. - le béton armé et le béton précontraint : qui sont dans certains cas plus économiques. Le béton précontraint évite la fissuration du béton, ce qui assure une meilleure étanchéité et une meilleure résistance aux agents extérieurs. - l'amiante ciment : qui est insensible à la corrosion électrochimique et résiste très bien aux agents chimiques. - les matières plastiques : qui résistent bien à la corrosion et aux agressions chimiques et sont légers. Leur utilisation est limitée actuellement aux petits diamètres.
8.11.2 Organes accessoires - Robinets-vannes : Ce sont des vannes de type classique qui ne permettent qu'une fermeture totale de la conduite. - Vannes papillon : La vanne papillon (figure 8.13) permet en plus de régler le débit. Elle est constituée par un disque appelé papillon fixé sur un axe horizontal ou vertical.
Figure 8.13 : Vanne papillon
29 - Ventouse : Les ventouses sont des dispositifs destinés à évacuer l'air des conduites. Cet air s'accumule aux points hauts des conduites, c'est donc là qu'il faut placer les ventouses.
Figure 8.14 : Ventouse
- Dispositif de sécurité : Ce dispositif, placé en tête de canalisation, arrête l'écoulement si le débit dépasse une certaine valeur. - Clapet de retenue : Les clapets de retenue sont des appareils automatiques destinés à permettre le passage du fluide dans un seul sens et sont surtout utilisés dans les stations de pompage. Ils sont placés aux points bas des canalisations d'aspiration pour maintenir la colonne d'aspiration d'eau et éviter le désamorçage de la pompe.
Figure 8.15 : Clapet
30
8.11.3 Butées des conduites Les forces hydrodynamiques dues à l'écoulement de l'eau donnent naissance dans certains cas à des efforts sur les conduites. Ces efforts doivent être repris par des massifs en béton sur lesquels s'appuie la conduite. 8.11.3.1 Cas du coude Pour rappel la force exercée sur la conduite due au changement de direction du fluide est donnée par dmv le théorème d'Euler : S = section de la conduite = F dt α F = 2 Sv 2 cos 2
Figure 8.16 : Changement de direction
Dans le cas d'un coude vertical, il faut tenir compte du poids de la conduite qui peut intervenir positivement ou négativement.
8.11.3.2 Cas du branchement à angle droit
Figure 8.17 : Branchement et butée
La conduite perpendiculaire exerce à l'endroit du raccordement une force F, parallèle à l'axe de cette conduite, qui doit être reprise par un dispositif d'appui. mv Sv dt V F= = = Sv 2 dt dt
31 8.11.3.3 Cas des changements de section Le passage de la section S1 à la section S2 entraîne une force F, qui est la résultante de la composante parallèle à l'axe de la conduite des pressions qui s'exercent sur le cône de raccordement. Par le théorème d'Euler :
F=
m 2 v 2 - m1v1 = S2 v 2 v 2 - S1v1v1 = S1v1 ( v 2 v1 ) dt
Lorsque toutes ces forces ne sont pas reprises par des dispositifs adéquats, elles doivent être prises en compte dans le calcul des contraintes dans les tuyaux.
Figure 8.18 : Changement de section
8.12 LES POMPES
Nous ne rappelons ici que le principe de fonctionnement des pompes, une étude plus détaillée étant exposée dans d'autres cours
8.12.1 Pompes centrifuges Une pompe centrifuge comporte : - un organe mobile : le rotor - des organes fixes : le diffuseur (stator) les canaux de retour. La roue est formée d'aubages dont la concavité de la courbure est dirigée à l'opposé du sens de rotation. Le diffuseur est également formé d'aubages offrant à l'eau un passage à section croissante.
Figure 8.19 : Vue schématique d'une pompe centrifuge
32
Figure 8.20 : Pompe horizontale
Figure 8.21 : Pompe sans et avec diffuseur à aubes
Sous l'effet de la rotation, l'eau qui arrive par la région axiale est projetée à la périphérie par la force centrifuge et, de ce fait, engendre une dépression qui provoque l'écoulement de l'eau. Dans la volute, la section augmente, ce qui a pour effet de diminuer la vitesse et d'augmenter la pression. Pour améliorer le fonctionnement, on peut aussi placer un diffuseur qui effectue une première transformation de l'énergie cinétique en pression.
8.12.2 Pompes volumétriques Les pompes volumétriques sont utilisées pour les hautes pressions et les petits débits. Elles sont donc principalement utilisées pour la transmission de grands efforts par fluide sous pression. Pour cette raison, leur fonctionnement sera expliqué plus loin, dans le chapitre traitant de la transmission de puissance par fluide sous pression.
Figure 8.22 : pompe volumétrique
8.12.3 Cavitation Lors de la conception d'un réseau, il faut veiller à ce que la pression ne descende pas en dessous d'une certaine valeur, qui correspond au risque de cavitation.
33 Dans le cas des pompes, il faut donc éviter que la pression à l'entrée ne soit pas trop basse. La cavitation est très nuisible car elle correspond à la présence d'air qui provoque des vibrations, une baisse rapide des caractéristiques et une dégradation rapide de la pompe. Elle se produit lorsque la pression absolue devient inférieure à la tension de vapeur. Pratiquement, le calcul se fait par l'intermédiaire d'une valeur, appelée N.P.S.H. (net positive suction head) que l'on peut traduire par charge nette d'aspiration. La N.P.S.H. représente en fait la pression absolue à l'entrée de la pompe. Pour chaque pompe, le constructeur à déterminé la valeur minimum admissible de la N.P.S.H. en fonction du débit, et cette valeur est appelée N.P.S.H. requis. La N.P.S.H. requis augmente avec le débit. Lors du calcul du réseau, on peut calculer par l'équation de Bernoulli la pression absolue à l'entrée de la pompe, appelée N.P.S.H. disponible. Comme on peut le voir dans l'équation de Bernoulli, la N.P.S.H. disponible diminue lorsque le débit augmente.
Figure 8.22 : NPSH2
La N.P.S.H. disponible devant toujours être supérieure à la N.P.S.H. requis, on en déduit la zone de fonctionnement de la pompe, à gauche du débit limite QL. Il importe donc de vérifier tous les cas de fonctionnement pour éviter la cavitation.
8.13 COUP DE BELIER 8.13.1 Généralités Quand le régime d'écoulement dans une conduite fermée se trouve modifié brusquement il se produit une série d'ondes de pression qui se propagent sur toute la longueur de la conduite en s'amortissant progressivement en raison des pertes d'énergie dues aux forces de frottement. Les causes les plus fréquentes de création de trains d'ondes de pression (et de dépression) d'amplitude importante sont les suivantes : - arrêt brutal des groupes alimentant la conduite, - fermeture rapide d'une vanne. Les trains d'ondes se réfléchissent aux extrémités des conduites et le phénomène se propagerait indéfiniment dans un sens puis dans l'autre s'il ne s'amortissait à la longue, les trains d'ondes successifs créant des pressions et des dépressions suivant leur sens de propagation et suivant les différents points considérés de la conduite. Les variations de pression s'ajoutent algébriquement à la pression régnant normalement en chaque point considéré et il peut en résulter soit des surpressions qui peuvent devenir dangereuses pour la conduite ou son équipement accessoire, soit des dépressions qui se traduisent, si elles sont suffisamment importantes, par des cavitations conduisant à la formation d'occlusions gazeuses
34 dont la résorption peut amplifier dangereusement l'onde de surpression au moment de son retour. Les coups de bélier en dehors de ruptures spectaculaires de conduites et de destruction d'appareils de pompage peuvent, par leur répétition, avoir pour conséquence des destructions de joints, des déboîtements de conduites, causes de pertes d'eau importantes, et des détériorations de robinetterie ou d'appareils de comptage.
8.13.2 Surpression maximale Pour des conduites de faible longueur et à pression moyenne, à défaut de calcul précis, les conduites peuvent être simplement protégées pour une pression majorée de 50% par rapport à la pression maximale pour laquelle elles seront normalement prévues. Dans les autres cas, il est indispensable d'analyser le phénomène plus en détail et de prévoir des dispositifs de protection appropriés. Lorsqu'il s'agit d'une conduite unique ou d'un ensemble simple, le problème peut être abordé par le calcul manuel ou encore par une méthode graphique. Quatre données fondamentales sont essentielles dans l'étude du coup de bélier : - la vitesse du courant dans la conduite : v - la longueur de la conduite : L - la durée de la perturbation créant le régime varié : T -la vitesse de l'onde de pression (célérité) : a A noter également, le paramètre important 2L/a, ou temps critique, qui constitue la durée du parcours aller et retour de l'onde de pression. La façon la plus sûre de raisonner, ou du moins la plus simple, est de déterminer la vitesse d'écoulement et de considérer que les autres valeurs ont atteint leur valeur critique (celle de la surpression maximale). Dans ces conditions, la surpression maximale due au av coup de bélier est donnée par la formule de Joukowski : h = mètres d'eau. 9,81 Si H est la pression existant dans la conduite avant le coup de bélier, la pression réelle prend la valeur : H ± h. Aux extrémités des conduites, la pression passe brusquement de H + h à H - h (ou inversement); c'est là que l'on peut vraiment parler de coup de bélier. (Voir figure 8.26) 1420 a= m/s a se calcule par la formule d'Allievi : K d 1+ x E e K module de compressibilité de l'eau ; E module d'élasticité de la matière composant la paroi ; d diamètre de la conduite ; e épaisseur des parois. La valeur maximale de a est donc de 1420 m/s dans le cas d'une conduite absolument rigide telle qu'un tunnel taillé dans le roc. E Les valeurs de = Mr sont les suivantes pour divers matériaux : K acier 100 fonte 37 fonte centrifugée 41 amiante ciment 12 plomb 9
35 Dans la pratique, on peut admettre que la surpression maximale possible due au coup de bélier est de l'ordre de 11 bars pour une vitesse d'écoulement de 1 m/s. Cette surpression maximale est égale, en fait, à l'amplitude de l'onde de pression, par conséquent la dépression maximale lui est égale en valeur absolue ; il en résulte qu'en tout point de la conduite où la pression est inférieure à 11 bars (ce qui est le cas général dans les distributions d'eau), la dépression due au coup de bélier peut conduire à une mise sous vide de la conduite (cavitation). Dans la réalité, la variation de pression sera toujours sensiblement plus faible si on prend la précaution de prolonger la durée T de la perturbation créatrice du régime varié bien au-delà du temps critique.
8.13.3 Calcul de la surpression due à une fermeture instantanée Soit une conduite de diamètre D et d'épaisseur e, et soit une tranche d'eau de longueur x animée de la vitesse V0 et soumisse à une pression nulle. Immobilisons la face aval. Il apparait sur la face amont une surpression h γ (h = hauteur d'eau représentative de la surpression). La tranche se raccourcit de ∆x , et le tuyau se dilate de ∆D (Figure 8. 23).
Figure 8. 23 : Compression de la tranche d'eau et dilation du tuyau
Le théorème de la variation d'énergie cinétique permet de calculer la surpression h : Variation de l'énergie cinétique = Travail des forces extérieures Variation de l'énergie cinétique :
1 1 πD² γx 2 mv² = V0 2 2 4 g
Travail d'écrasement de la tranche :
πD² 1 x ⋅ γh ⋅ γh 2 4 K force ∆x f
Travail de gonflement du tuyau (mesuré par le travail de dilation de l paroi du tube)
1 γhDx γhDx ⋅ ⋅ ⋅ πD 2 2 2exE traction allongement longueur dans ⋅ le tuyau
Après introduction de ces valeurs dans l'égalité précédente te n divisant par ⎛1 D⎞ V02 = h² γ ⎜ + ⎟ ou h = ⎝ K eE ⎠
V0 ⎛1 D ⎞ γg ⎜ + ⎟ ⎝ K eD ⎠
spécifique
γπD²x , on trouve : 8
36 Pour une conduite donnée, la surpression h est proportionnelle à la vitesse V0, dans le cas d'une fermeture instantanée. La célérité a se calcule à l'aide du théorème des quantités de mouvement : Variation de la quantité de mouvement pendant d'intervalle de temps = Somme des forces extérieurs V0 ⋅
γ πD² 1 πD² ⋅ x ⋅ = γh ⋅ d'où g 4 t 4
a=
x hg = t V0
La substitution de h calculée ci-dessus dans cette dernière équation donne : a =
g ⎛1 D⎞ 1⎜ + ⎟ ⎝ K Ee ⎠
La célérité a ne dépend que des caractéristiques D, e, E tuyau et du module d'élasticité de l'eau K
8.13.4 Méthodes de protection Pour diminuer l'intensité du coup de bélier et amoindrir ses conséquences néfastes, on peut chercher à ralentir, à étaler dans le temps, le processus perturbateur qui est à l'origine des trains d'onde de pression. Par exemple, les fermetures et ouvertures de vannes se feront progressivement, une fermeture partielle produisant la même suite de phénomènes qu'une fermeture complète instantanée, les variations a ∆v de pression étant cependant limitée à la valeur : h = , ∆v étant la variation de vitesse causée par la 9.81 fermeture partielle. Il se conçoit que h peut être maintenue en dessous de toute valeur fixée par avance en agissant sur le degré de variation de la vitesse en fonction du temps. A ce propos, il est bon de remarquer que ce sont les derniers tours de vanne qui conduisent à la plus grande variation de vitesse à la fermeture (et les premiers lors de l'ouverture) d'une vanne). Toute fermeture se produisant en un temps inférieur à la valeur critique 2L/a peut être assimilée à une fermeture brusque conduisant à la variation maximale de pression. Si on considère une suite de n fermetures partielles faisant varier la vitesse (le débit) de fractions identiques (ce qui peut être assimilé à une fermeture avec une loi linéaire de variation des 2L v av 2vL débits) et si le temps total de fermeture est de : t = n alors v ' = et h = = a n gn gt La surpression (dépression) due au coup de bélier sera alors proportionnelle à la vitesse de l'eau, à la longueur de la conduite et inversement proportionnelle au temps de fermeture (qui doit de toute façon être supérieur à 2L/a). La protection contre les coups de bélier se traduira aussi par l'établissement d'un certain nombre de consignes concernant le mode de fermeture ou d'ouverture des vannes. Dans le cas de l'élévation de l'eau, lorsque la machine élévatoire est entraînée par une machine à vapeur ou à combustion interne, on est en général maître des modalités d'arrêt et là également la protection contre le coup de bélier résidera dans l'établissement de consignes précises. L'arrêt sera d'ailleurs toujours progressif, ce type de machine étant toujours muni d'un volant d'inertie ; ce dernier constitue un des moyens les plus simples permettant de réduire les coups de bélier lorsque la longueur des conduites est limitée à quelques centaines de mètres. Dans le cas où il s'agit d'entraînement par moteur électrique, où l'arrêt de la fourniture de courant peut être inopiné et où les parties en rotation n'ont qu'une inertie faible, il est indispensable de prévoir des dispositifs de protection. Le dispositif le plus courant est celui du réservoir d'air (figure 8.24). Lors de l'arrêt des groupes électriques, l'air du réservoir se détend et refoule un débit d'eau dans la conduite, débit qui se substitue à celui des pompes. Au retour de l'onde de pression (phase de surpression), l'air du réservoir se comprime
37 et l'eau pénètre dans le réservoir au lieu de s'écraser sur l'extrémité de la conduite avec tous les effets néfastes qu'il s'agit d'éviter.
Figure 8.24 : Protection par réservoir L'amortissement du processus est amélioré en interposant entre le réservoir d'air anti-bélier et la conduite un clapet troué qui laisse passer librement l'eau dans le sens anti-bélier-conduite (phase de dépression) et qui ralentit, en le laminant, le courant d'eau en sens inverse (phase de compression). Les dimensions de ce clapet peuvent être déterminées par le calcul mais il peut être utile de munir le dispositif d'un by-pass permettant d'apporter à l'usage quelques corrections de finition par manoeuvre de la vanne. Il existe une formule permettant le calcul du volume du réservoir : H H H v 2 Vc 1− − log = H0 H0 H0 2gH0 Vr où
Ho H Vc Vr v
pression initiale (en mètres d'eau) de l'air du réservoir pression en fin de détente volume de la conduite volume du réservoir vitesse de l'eau dans la conduite en régime normal
Quand les hauteurs de refoulement sont relativement faibles, le réservoir d'air anti-bélier peut être avantageusement remplacé par une cheminée d'équilibre ; cette disposition est représentée à la figure 8.25. Dans des cas simples, on utilise des robinets d'entrée d'air qui évitent les cavitations en permettant des entrées d'air qu'ils laissent s'évacuer lors de la phase de surpression en raison de leur fermeture retardée, et des soupapes de sûreté qui s'ouvrent à des pressions légèrement supérieures à la pression de service; ces soupapes ne doivent avoir qu'une très faible inertie à l'ouverture. A la mise en service des pompes, le coup de bélier est faible si la caractéristique des pompes est plate. Dans le cas contraire, il est nécessaire de disposer d'un moyen de démarrage progressif ou de procéder au démarrage vannes fermées, ce qui est une pratique courante, l'ouverture de la vanne se faisant très progressivement, surtout pour les premiers tours.
Figure 8.25 : Protection par cheminée d'équilibre
38 Les figures 8.26 et 8.27 représentent respectivement les variations de la pression en cas de fermeture rapide et fermeture sans dispositif de protection. On observera les aller et retour de l'onde de surpression. TIME
L
0
V
a
t
A
B
V b
t=0
expension
² h=pressure wave
V
c
c
t = L/2c
c reflexion ²h
d
t = L/c
²h
V t = 3L/2c
e
c
c
-² h= neg pres wave
V f
t = 2L/c
contraction
V g
t = 5L/2c
c
c
neg . pres
c
neg. pres.
h
t = 3L/c
V
c
j
t = 7L/2c
c
k
V t = 4L/c
Figure 8.26 : Fermeture rapide
39
L
time
V0 t<0
A
B
sudden closure
slow closure
t' < 2L/c
t' > 2L/c
c B
A
t < L/c
c A
B
A
B
ρ cV 0 L/c < t < 2L/c A
c
B
neg pres wave
EXAMPLE A
EXAMPLE B
Figure 8.27 : Fermeture lente
8.13.5 Calcul précis Dans le cas de conduites plus compliquées ou lorsqu'un calcul précis est demandé, il faut recourir à d'autres méthodes de calcul, graphiques ou numériques, qui résolvent le problème par itération pour un certain nombre de points fixés de la conduite. Dans les cas d'un calcul numérique, la résolution nécessite un temps de calcul important et est sujette à des instabilités numériques, dues d'une part à la rapidité inhérente au phénomène et à certaines conditions aux limites ou linéaires. Le principe d'une de ces méthodes est donné au paragraphe suivant.
8.13.5.1 L'équation dynamique d F1 = (mv 1 ) dt
Les forces agissant sur l'élément du fluide projetées sur l'axe x de la conduite sont : ∂ - le gradient de la force de pression p: Fp = − (pΩ)dx ∂x Ω est la section de la conduite en x et p la pression en Ω où
40
- le poids propre du fluide Fg = γ sin θdV = − γ où
γ
est
∂Z dV ∂x
le poids spécifique du fluide
Figure 8.28 : Schéma de calcul -
Ff = − γTdV
les forces de frottement
où T est la force de frottement par unité de poids - la force d'inertie
Fl =
d (ρ v x dV) dt
où vx est la vitesse moyenne dans la section x et ρ la masse spécifique du fluide De l'équation de Newton on déduit : où h =
l ⎡ ∂v ∂v v ⎤ ∂h + vx + =−T ⎢ ∂x ⎥⎦ ∂x g ⎣ ∂t
(8.14)
p + Z et g est l'accélération de la pesanteur δ
8.13.5.2 L'équation de continuité ∂ ∂ ∂ Cette équation s'écrit : ( ρΩ d x ) = 0 ou encore (ρΩ) + (ρΩv x ) = 0 ∂t ∂x ∂t
A l'aide de l'équation de compressibilité de l'eau reliant les contraintes aux pressions
σ0 =
dp=
1 dρ et de la formule des chaudières Kρ
Pr e
où r est le rayon de la conduite, e l'épaisseur de la conduite, p la pression On transforme aisément l'équation de continuité : ∂h ∂h ∂Z c2 ∂v x + + vx = vx ∂t ∂x ∂x g ∂x
(8.15)
41
c2 =
où
1 D ⎞ ⎛ ρ ⎜ K+ ⎟ ⎝ E.e ⎠
K est
le coefficient de compressibilité de l'eau
D
le diamètre de la conduite
e
l'épaisseur de la conduite
E
le module d'élasticité du matériau de la conduite
Les équations (8.14) et (8.15) avec les conditions aux limites et une hypothèse sur le paramètre définissant les forces de frottement constituent le modèle mathématique du régime transitoire.
8.13.5.3 Les forces de frottement Il est généralement admis que les pertes de charge, en régime transitoire comme en régime permanent, sont exprimées par : ∆H =
fL v . v D 2g
Plusieurs auteurs adoptent un coefficient de perte de charge (f) constant durant toute l'étude du régime transitoire. Ceci donne une bonne approximation pour les extrema qui intéressent le plus les ingénieurs. Toutefois, cette approximation sous-estime l'amortissement des oscillations. Dans notre étude, nous avons considéré le cas général où le coefficient de perte de charge (f) est calculé en fonction de la vitesse à chaque instant. Pour une conduite I-J, les formules utilisées sont : - La formule de Prandtl-Nikuradse pour Re >
560 D (I, J) ε (I, J)
2 log 3.71 D (I, J) 1 = ε (I, J) f (I, J)
- la formule de Hagen-Poiseuille pour Re < 2000 : f =
64 Re
- La formule de Colebrook-White ou Barr (voir 8.7) Re = où
ε (I,J)
est
V(I, J) D (I, J) ν la rugosité absolue de la conduite I-J
V(I,J)
la vitesse moyenne
D(I,J)
le diamètre hydraulique de la conduite I-J
ν
la viscosité cinématique du fluide
42
8.13.6 Méthode d'intégration du système d'équations 8.14 et 8.15 On a un système d'équations aux dérivées partielles quasi linéaires de type hyperbolique. Une intégration analytique de ce système d'équations n'est possible que moyennant certaines hypothèses restrictives telles que : - les pertes de charge sont nulles ; - le terme d'inertie est négligeable ; - les conditions aux limites sont simples. Dans le cas général, les méthodes d'intégration numérique sont pratiquement les plus indiquées. Parmi ces méthodes, nous avons retenu la méthode des caractéristiques, qui permet de tenir compte, d'une façon simple, des conditions aux limites. 8.13.6.1 Méthode des caractéristiques Ecriture matricielle et rappel
⎡1 En posant (A) = ⎢ ⎢0 ⎢⎣ ⎡ ⎢v x (B) = ⎢ ⎢ ⎢1 ⎣
0⎤ 1 ⎥⎥ g ⎥⎦ c2 ⎤ g ⎥⎥ vx ⎥ g ⎥⎦
⎡h ⎤ (U) = ⎢ ⎥ ⎣ν x ⎦ Z ⎡ VX . ⎢ (C) = x ⎢ ⎣ −T
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
Le système d'équations aux dérivées partielles s'écrit : (A)[U],t + (B)[U],x = (C)
(8.16)
L'indice, t ou, x indique qu'il s'agit de la dérivée du vecteur U par rapport à la variable t ou x. Le système (8.16) décrit un phénomène physique. Il possède une solution régulière dans un certain domaine D de l'espace (t.x). Soit T une courbe de D contenant le point (xo, to) et (dx, dt) le vecteur déplacement en ce point. On peut envisager deux méthodes de résolution : a. le vecteur [U] est connu le long de T; calculer alors [U] au voisinage des points (x, t) de T; b. le vecteur [U] est connu le long de T; calculer les dérivées de [U] suivant la normale à T. La connaissance de ces dérivées permet de reconstituer la différentielle d’U dont l'intégration est immédiate. La méthode de caractéristiques est une application de la méthode b. En effet, au système (8.16) ajoutons les différentielles correspondant au déplacement (dx, dt) : dh = h,x dx + h,t dt dv = v,x dx + v,t dt
En notation matricielle on écrit :
[dU] = [E][U],t
+ [E][U],t dx
(8.17)
43 où E est la matrice unitaire d'ordre 2. Combinant (8.16) et (8.17), on déduit un système global : où
[D][ W ] = [G]
⎡U,t ⎤ ⎡C ⎤ W = ⎢ ⎥ et [G] = ⎢ ⎥ ⎣dU⎦ ⎣U,x ⎦
(8.18)
Les dérivées recherchées existent si dtm (D) = 0. Du point de vue mathématique, la condition dtm (D) = 0 définit les courbes caractéristiques T du système (8.18). Si les courbes T sont prises telles que dtm(D) = 0, alors le système (8.18) possède une solution non triviale si les déterminants d'ordre 4 extraits de la matrice (K) : ⎡[ A ] [ B] [ C] ⎤ K=⎢ ⎥ sont tous nuls. Les relations déduites de ces ⎢⎣[Edt ] [Edx ] [dU]⎥⎦ conditions sont appelées les relations sur les caractéristiques. En appliquant cette méthode au système d'équations (8.18), on obtient : pour dtm(D) = 0, les équations caractéristiques à savoir : où
dx = (v + C)dt
pour T+
dx = (v − C)dt
pour T -
pour la matrice (K), les relations sur les caractéristiques : dh +
cdv fv v ∂Z cdt + v dt = 0 + g D2g ∂X
sur T+
− dh +
cdv fv v ∂Z cdt + v dt = 0 + g D2g ∂X
sur T -
Ces relations sur les caractéristiques peuvent être simplifiées. En effet, les termes d'inertie ∂h v ∂v et sont ∂x g ∂x ∂h ∂h ∂t v ∂h v = v = ∂x ∂t ∂x v + c ∂t v ∂v v ∂v ∂t 1 v ∂v = = g ∂x g ∂t ∂x g v + c ∂t v
Avec M =
v (nombre de Mach), on écrit : c
∂h M ∂h = M + 1 ∂t ∂x v ∂v 1 M ∂v = g ∂x g M + 1 ∂t
v
Pour les réseaux de distribution courante, la vitesse v est de l'ordre de 2m/s et la célérité du nom est ∂h ∂h v v ∂x ∂t de l'ordre de 1000 m/s. Il en découle que M est de l'ordre du millième et : v ∂v v ∂h g ∂x g ∂t
44
En admettant que v±c = ±c, v
∂h v ∂v et sont négligeables, on déduit les relations simplifiées ∂x g ∂x
suivantes :
8.13.6.2 Les équations de caractéristiques dx = c dt
pour T+
dx = - c dt pour T -
La relation sur la caractéristique dh +
fv v c dv ∂Z + c dt + v dt = 0 sur T+ g D2g ∂x
- dh + Pour
fv v c dv ∂Z + c dt + v dt = 0 sur T g D2g ∂x
∂Z ∂Z + v ∂Z finir on a : v dt = v dt = + MdZ < 1 ∂x ∂x c ∂x
En négligeant v
∂Z , on obtient encore les relations sur les caractéristiques : ∂x dh +
fvv c dv + c dt = 0 g D2g
− dh +
sur T+
fvv c dv + c dt = 0 surT g D2g
8.13.6.3 Intégration numérique Compte tenu de l'incertitude qui subsiste quant aux valeurs exactes des paramètres dont dépendent la célérité et le coefficient de perte de charge, il est inutile d'utiliser un schéma d'intégration d'ordre élevé.
Le schéma d'Euler est licite pour autant de choisir un pas de temps : ∆t <<
( Ω x )min ( C)max
Cette
méthode est d'utilisation courante. Pour Q = Ωv, où Ω est la section de la conduite en x. On obtient le schéma suivant :
Figure 8.29 : Schéma de calcul
45
Sur T+ hy = hR - BR (Q y - QR ) - C Sur T − hy = hS − BS (Q y - Q S ) - C
où
B =
QR QR Q ∆Z f ∆t + R |∆t 2 DR .ΩS 2g ΩR ∆x R
QS QS f Q ∆Z | ∆t ∆t + S 2 DS .ΩS 2g Ω S ∆x S
C Ωg
En posant Sur T+ HR = hR - BR (Q y - QR ) - C Sur T − hy = hS − BS (Q y - Q S ) - C
QR QR Q ∆Z f ∆t + R |∆t 2 DR .ΩS 2g ΩR ∆x R
QR QR Q Z f t + R |∆t 2 ΩR x S DS .ΩR 2g
les relations sur les caractéristiques s'écrivent :
hy = ou encore
hy = HR − BR .Q y
sur T+
hy = HS − BS .Q y
sur T -
HR − BR + BSHS BR + BS
(8.19)
H −H Qy = R S BR + BS
Ces formules permettent de calculer h et Q au point Y à l'instant t + ∆t quand on donne QR, QS, hR et hS à l'instant t.
8.13.6.4 Conditions aux limites Dans un réseau de distribution d'eau, plusieurs éléments hydrauliques de contrôle peuvent exister. Parmi d'autres, citons les réservoirs, les vannes, les servomoteurs, les pompes, les turbines. Les variations d'une caractéristique d'un élément de contrôle (fermeture d'une vanne, arrêt d'une pompe, ...) engendrent le régime transitoire qu'on cherche à analyser. Les modélisations mathématiques de ces éléments sont évidemment de grande importance.
-
Pour un réservoir amont Pour t = t0, on a : h = ham = Cte
Q = (Q (t0)
Pour t = t0 + ∆t, on a toujours : h = ham (pression invariable au réservoir) Q = Q(t0 + ∆t) La valeur du débit Q à l'instant to + ∆t est déduite de la relation sur la caractéristique TQ (t 0 + ∆t) =
ham − HS BS
46
Figure 8.30 : Réservoir amont.
Figure 8.31 : Réservoir aval.
-
Pour un réservoir aval Pour t = t0,, on a : h = hav = Cte, Q = (Q (t0) Pour t = t0 + ∆t, on a toujours : h = hav , Q = Q(t0 + ∆t)
La valeur du débit Q à l'instant to + ∆t est déduite de la relation sur la caractéristique T+ Q (t 0 + ∆t) =
-
HR − hav BR
Pour une vanne d'extrémité débitant à l'air En t = t0 , on a : h = h(t0), Q = (Q (t0) Ω = Ω (t0) où Ω est la section ouverte de la vanne En t = t0 + ∆t on a : Ω = Ω (t0 +∆t) donné par la loi de manœuvre de la vanne.
De l'équation caractéristique de la vanne : ∆p k ( Ω ) Q 2 (t) = γ Ω2 2g ∆p = h( t ) − Z γ k(t) V 2 (t) = 2 Ω où
Z est l'altitude, k(t) le coefficient de perte de charge
47
On déduit
h(t) = HR − BR y(t) 2 g[h(t) - Z ]
(pour une vanne aval)
h(t) = HS − BS y(t) 2 g[h(t) - Z ]
(pour une vanne amont)
- Pour un noeud du réseau de distribution Considérons comme exemple un noeud à quatre conduites. En t = t0 on connaît : Q1(t0), Q2(t0), Q3(t0), Q4(t0), et h(t0) En t = t0 + ∆t, on a les relations 4
∑ξ Q i=1
i
(t) = 0
hi (t) = Hi + ξBi (t)
(4 relations)
hi (t) = h(t) où
' Hi = hi' (t) + ξiBQ i i +
Q 'j , h'j
' ' ci Q i Q i Qi' ∂Z + ξ ∆t i DiΩ12 2g Ωi ∂X
le débit et la charge à l'instant t 0 au point ∆X du noeud I
⎡ -1 si le débit arrive au noeud I ξi ⎢ ⎣+1 si le débit part du noeud I
Bi =
ci , ci : la célérité dans la conduite i, Ωi : la section de la conduite i, Di : le diamètre de la Ωig 4
conduite i. De ces relations on déduit :
h(t) =
Hi
∑B i=1 4
I
i
∑B i=1
, Qi (t) = ξi
[h(t) − Hi ] Bi
i
Figure 8.32 : Jonction
- Pour pompes munies d'un clapet anti-retour Pour l'étude de pompes, on admet la validité des lois de similitude dynamique simplifiées. L'analyse dimensionnelle nous permet de retrouver pour une même pompe les relations suivantes : N(t) q(t) H(t) P(t) c(t) = n(t 0 ,t) , = n(t 0 ,t) , = n2 (t 0 ,t) , = n3 (t 0 ,t) , = n2 (t 0 ,t) N(t 0 ) q(t 0 ) H(t 0 ) P(t 0 ) c(t 0 ) où sont q le débit, N la vitesse de rotation, H la charge, P la puissance et c le moment cinétique à l'instant t
48 2
dN P ⎡ 60− ⎤ Des expressions de la puissance et du moment cinétique, on déduit : = ⎢ , c'est-àdt IN ⎣ 2π ⎥⎦ P(t ) ⎡ 60− ⎤ dire: N(t 0 ,t) = N(t 0 ) + 0 ⎢ IN(t 0 ) ⎣ 2π ⎥⎦
2
Connaissant P(to) et N(to), on calcule n(to + ∆t). Ayant N(to + ∆t) les paramètres q(to + ∆t), H(to + ∆t) et P(to + ∆t) correspondants sont déduits des relations de similitude. Les conditions aux limites correspondant à une pompe s'écrivent :: HR − HS + BSq(t 0 + ∆t) , BS + BR Q 2 (t 0 + ∆t) = Q1(t 0 + ∆t) − q(t 0 + ∆t ) Q1(t 0 + ∆t) =
h(t 0 + ∆t) = HR −
BR [HR − HS + BSq(t 0 + ∆t)] BS + BR
Figure 8.32 : Pompe 8.13.6.5 Schéma de résolution
Figure 8.33 : Schéma de résolution
et
