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Calibración Estática de Resortes Laboratorio de Física Mecánica No.2
RESUMEN – Determinación experimental de la constante de los resortes de la Ley de Hooke a través de 4 experimentos realizados con dos resortes diferentes. Interpretación Interpretación de graficas, demostración y corroboración de las formulas planteadas para sistemas de resortes en serie y en paralelo, y determinación analítica de la constante de los resortes a través de los datos experimentales. PALABRAS CLAVE – Ley de Hooke, Diagrama de cuerpo libre, Longitud natural, variación, método de mínimos cuadrados. FUNDAMENTO TEÓRICO – Cuando se fija un resorte a un techo fijo, este presenta una longitud natural sin tener nada colgando de el. Una vez un peso es colgado de su extremo, el resorte sufre una deformación momentánea y adopta una longitud diferente a la inicial, esta variación es directamente proporcional al peso colgado como se ve experimentalmente: si se cuelga mas peso, mayor será la deformación que sufre el resorte, a dicha variación de la longitud la denotamos como: ∆x y a la longitud del resorte como Lo. De esta manera se puede plantear:
Fórmula conocida como Ley de Hooke. Para hallar dicha pendiente se puede usar el método de mínimos cuadrados (analíticamente) o por medio de un paquete que lo calcule automáticamente (En este caso, Microsoft Office Excel).
MONTAJE EXPERIMENTAL 1 – Se fija un resorte al soporte fijo y se mide su longitud natural. Luego se cuelgan diez (10) masas distintas debidamente pesadas con una balanza y se miden respectivamente las diez (10) diferentes elongaciones (Ver Figura 2).
Fα ∆x Donde F es el peso colgado el resorte y es la variación de la – L o. longitud: L f –
Figura 1. Muestra experimental de la proporcionalidad de la fuerza ejercida sobre el resorte y la longitud de su elongación.
Si se hacen varias pruebas con un mismo resorte, y se tiene una tabla donde se relacione el peso colgado en cada intento y la deformación sufrida por el resorte, y a la vez se hace una gráfica donde se confronten Fuerza o Peso (eje vertical) contra la deformación (eje horizontal), obtendremos una nube dispersa de puntos sin una relación lineal (aparentemente), sin embargo, si conseguimos la tendencia central y obtenemos una línea recta, su ecuación es en teoría nuestra fórmula para relacionar la fuerza ejercida sobre un resorte y su deformación. La ecuación pendiente-intercepto de una línea recta que pasa por el origen es:
Y=mX
(1)
Donde Y sería la fuerza, X sería la deformación sufrida por el resorte y m sería la pendiente de dicha recta que representa la constante de proporcionalidad. Luego si llamamos pendiente de dicha recta, se obtiene:
F=kX
k a la (2)
Figura 2 – Montaje experimental.
Montaje del resorte en el soporte, colocación de masa y medición de variación de longitud.
2 – Se repite el experimento anterior con otro resorte diferente al primero y con masas diferentes, realizando otra vez las mediciones.
3 – Se realiza el montaje en paralelo con los dos resortes utilizados anteriormente, realizando las mediciones con masas diferentes (Ver Figura 3).
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TABLA 1 Peso (N) ∆x (m) 0.7001 0.8919 1.0848 1.2465 1.4082 1.5689 1.76 1.8992 2.0854 2.2765
Figura 3 – Montaje en Paralelo. Montaje de los dos resortes en Paralelo, colocación de masa y medición de variación de longitud.
4 – Se realiza el montaje en serie con los dos resortes utilizados anteriormente, realizando las mediciones con masas diferentes (Ver Figura 4).
0.004 0.012 0.021 0.031 0.039 0.047 0.057 0.065 0.073 0.084
TABLA 2 Peso (N) ∆x (m) 1.8992 2.0854 2.2765 2.4382 2.597 2.7881 2.9429 3.1066 3.2408 3.4015
0.003 0.005 0.007 0.009 0.012 0.015 0.017 0.02 0.021 0.023
Tabla 1 – Datos tomados para el Resorte 1. Tabla 2 – Datos tomados para el Resorte 2. TABLA 3 Peso (N) ∆x (m) 1.8992 2.0854 2.2765 2.4382 2.597 2.7881 2.9429 3.1066 3.2408 3.4015
0.002 0.004 0.005 0.006 0.007 0.009 0.01 0.012 0.013 0.016
TABLA 4 Peso (N) ∆x (m) 0.7 0.892 1.085 1.246 1.408 1.569 1.76 1.899 2.085 2.278
0.006 0.014 0.024 0.033 0.051 0.065 0.072 0.076 0.087 0.1
Tabla 3 – Datos tomados para el Montaje en Paralelo. Tabla 4 – Datos tomados para el Montaje en Serie. 6 – Se realizan las gráficas correspondientes, descritas en el
Figura 4 – Montaje en Serie. Montaje de los dos resortes en Serie, colocación de masa y medición de variación de longitud.
5 – Se diseñan tablas para registrar los valores obtenidos de peso y variación de longitud en cada experimento realizado. (Ver tablas 1, 2, 3 y 4).
fundamento teórico, a la tabla 1 (Ver Anexo 1) obteniendo la pendiente ( m) mediante el método de mínimos cuadrados; y a las tablas 1,2, 3 y 4 (Ver Gráficas 1, 2 , 3 y 4) y se haya la pendiente ( m) automáticamente a través de Microsoft Office Excel. Ahora se muestra el porcentaje de error presente entre el valor de la pendiente obtenida por el método de mínimos cuadrados y la obtenida por Excel para el resorte 1.
% Error = ( | Kt – Ke | / Kt ) x 100 ( | 19.47 – 19.82 | / 19.47 ) x 100 = 1.8 %
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Gráfica 1 – Correspondiente a la Tabla 1 (Datos para Resorte 1). Gráfica 4 – Correspondiente a la Tabla 4 (Datos para Montaje en Serie).
De las anteriores gráficas obtuvimos los siguientes resultados:
RESORTE 1
RESORTE 2
m=19.478
m=71,171
b=0,648
b=0,994
Siendo m la pendiente y b el intercepto con el eje vertical, de las curvas de los respectivos resortes 1 y 2. Así mismo m del resorte 1 es igual a la constante de elasticidad K1=19,478 N/m; mientras que m del resorte 2 es igual a K2=71,171 N/m.
7 – Mediante un análisis físico de cuerpo libre, se determinaron
Gráfica 2 – Correspondiente a la Tabla 2 (Datos para Resorte 2).
las ecuaciones de las constantes de los arreglos en paralelo y en serie:
Resortes en Serie FR
Feq
m
m
W
W
(a)
(b)
Figura 5. Diagrama de cuerpo libre de un objeto colgando de un montaje de resortes en serie.
Gráfica 3 – Correspondiente a la Tabla 3 (Datos para Montaje en Paralelo).
El diagrama de cuerpo libre de ambos sistemas (serie y equivalente) es el que aparece en la figura 5. En ambos casos debe prevalecer la condición de equilibrio:
F=0 Debe notarse que ambos resortes en serie están sometidos a la misma fuerza, esto significa que
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FR = K1∆x1 = K2∆x2 Debe notarse que ambos sistemas tienen la misma posición de equilibrio, por lo que la deformación de todos los resortes es la misma.
Donde ∆x1 y ∆x2 son las deformaciones sufridas por los resortes 1 y 2 respectivamente, las cuales se obtienen a partir de la ecuación anterior como:
∆xeq = ∆x1 = ∆x2 ∆x1
=
∆x2
=
Sustituyendo, se llega a la expresión: K1∆x1 + K2∆x2 = Keq ∆eq
La deformación ∆xeq es igual a la suma de las dos
deformaciones
∆x1
y ∆x2 de los resortes en serie
O bien, K1 + K2 = Keq
∆xeq = ∆x1 + ∆x2
Keq = 90.649 N/m
Pero tenemos que ∆xeq es también:
8 – Por ultimo se dispone mostrarse el porcentaje de error entre Keq obtenido experimentalmente y la teórica del sistema de resortes en paralelo:
∆xeq =
% Error = ( | Kteo – Kexp | / Kteo ) x 100 = ( | 113.33 – 90.641 | / 113.33 ) x 100 = 20.02 %
Luego se tiene que:
También se halla el porcentaje de error entre el K eq experimental y K eq teórica, esta vez del sistema de resortes en serie:
Y por ende:
% Error = ( | Kteo – Kexp | / Kteo ) x 100 = ( | 16.002 – 15.29 | / 16.002 ) x 100 = 4.46 % Luego,
FUENTES DE ERROR 1. 15,292 N/m
Resortes en Paralelo
2. 3.
FR1 FR2
Feq
m
m
Imprecisión en la medida de la longitud natural y la variación, tanto por el error absoluto dado por la imprecisión del instrumento como de la persona al momento de realizar la medición. Posibles deformaciones temporales muy pequeñas pero causantes de la imprecisión de los resortes. Leve inclinación del soporte fijo de donde colgaban los resortes, también causantes de la imprecisión a la reacción del resorte, la cual no seria totalmente al peso neto del objeto sino a una de sus componentes.
CONCLUSIONES W
W
(a)
(b)
Figura2. Diagrama de cuerpo libre de un objeto colgando de un montaje en paralelo.
El diagrama de cuerpo libre de ambos sistemas (paralelo y equivalente) es el que aparece en la figura 2 .En ambos casos debe prevalecer la condición de equilibrio, por lo que se tiene que:
1.
Se han obtenido de manera gráfica como analíticamente la constante de elasticidad de la ley de Hooke, para ambos resortes, y además se han comprobado dos formulas que relacionan, en un arreglo de dos resortes, la fuerza total ejercida por el sistema con las fuerzas realizadas por cada resorte individual, obteniendo que en un sistema en serie la constante del resorte equivalente es producto de las constantes de los dos resortes dividido entre la suma de los mismos; Y para un sistema en paralelo se tiene que la constante del resorte equivalente es la suma de las constantes individuales de los resortes.
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2.
3.
4.
Se sugiere utilizar un Pie de Rey, debidamente montado en el soporte, el cual debe estar correctamente ajustado en forma horizontal. Además se sugiere utilizar masas de pesos parecidos para lograr que el experimento sea menos dispendioso. El modelo que plantea la ley de Hooke, a la vez que las ecuaciones para el arreglo en serie y en paralelo, tienen total validez, incluso los datos experimentales demostraron acercarse bastante a los teóricos. Las constantes consideradas teóricas son un supuesto, ya que son valores hallados mediante fórmulas en las que se utilizaron datos experimentales, es decir, estos valores, técnicamente, no serían teóricos.
REFERENCIAS [1] http://virtual1.medellin.unal.edu.co/moodle/ [2] Raymon A. Serway, Física, 4° edición, Editorial Mc Graw-Hill
