Cap 2 Campo Magnetico

ELECTROMAGNETISMO

CAPÍTULO 2 CAMPO MAGNÉTICO

Reedición: Ing. Susana Bellagamba Escuela de Ingeniería Eléctrica FCEIA 2009

CAMPO MAGNÉTICO

CAPÍTULO 2 CONTENIDO 2.1

Generalidades

2.1.1

Introducción

2.1.2

Magnetostática

2.2

Campo Magnético originado por Corrientes Estacionarias

2.2.1

Ecuaciones de Maxwell

2.2.2

Potencial vectorial

2.2.3

Ecuación diferencial de

2.2.4

Primera ley de Laplace

2.2.5

Expresiones de

2.2.6

Condiciones de contorno. Leyes. Casos particulares

2.3

Ley de Ampère-Maxwell

2.3.1

Expresión

2.3.2

Ejemplo con simetría

2.3.3

Ejemplo sin simetría. Circuito magnético.Reluctancia

2.4

Coeficientes de Inducción

2.4.1

Definiciones

2.4.2

Comentarios a las definiciones

2.4.3

Fórmula de von Neumann

2.4.4

Propiedad de reciprocidad

2.4.5

Definición en función de la f.e.m.i.

2.4.6

Expresión de L y M en función de la energía

2.5

Energía del Campo Magnético

2.5.1

Expresión en función de los parámetros integrales

2.5.2

Expresión en función de los parámetros locales generadores

2.5.3

Expresión en función de los parámetros locales

2.6

Fuerzas Mecánicas en el Campo Magnético

2.6.1

Fuerzas entre conductores circulados por corrientes

2.6.2

Segunda ley de Laplace

y

para sistemas filiformes

y

Bibliografía

ELECTROMAGNETISMO Pag 1 de 39

CAMPO MAGNÉTICO

CAPITULO 2 CAMPO MAGNÉTICO 2.1.

GENERALIDADES

2.1.1. Introducción Dividiremos el estudio del campo magnético en régimen estacionario en dos casos particulares:

Magnetostática (propiamente dicha): es el estudio del campo magnético en ausencia de corrientes eléctricas

Campo magnético en régimen estacionario propiamente dicho: corresponde a los campos magnéticos creados por corrientes eléctricas que, en particular, son de las llamadas corrientes continuas.

La magnetostática presenta correspondencia formal con la electrostática, y como ella, puede ser estudiada en forma independiente. El campo magnético creado por corrientes, aún siendo éstas continuas, es ya un caso particular de un fenómeno más general, el electromagnetismo. 2.1.2. Magnetostática En ausencia de corrientes eléctricas las ecuaciones de Maxwell para

0

0

toman el aspecto:

(2.1.1)

Si el medio es isótropo, tenemos que:

(2.1.2)

y entonces resulta:

0

de donde:

y tenemos entonces para

:

0

|

0

(i)


CAMPO MAGNÉTICO

se conoce su rotor y su

Recordemos el teorema de Helmholtz: Si de un campo vectorial

divergencia en un recinto volumétrico V simplemente conexo, y además se conoce su proyección sobre la normal a la superficie en el manto (∂V), dicho campo vectorial

queda

unívocamente definido.

∴

es único

Entonces, por el teorema de Helmholtz,

queda unívocamente definido en V, y de acuerdo a

0 en todo punto de V.

(i), debe ser

Esto nos dice que en un medio isótropo, en ausencia de corrientes, no puede existir campo magnético. Por lo tanto, la existencia de campo magnético en ausencia de corriente excitadora, exige la presencia, dentro del espacio total, de un medio con propiedades de “imán permanente”, lo cual impone la no-isotropía del medio. Si tenemos un medio anisótropo:

0

0

Luego, operando tenemos:

0

que nos lleva a:

0

|

0

(ii)

De donde, por aplicación del teorema de Helmholtz, bastará que nulidad de

0 para tener la no-

.


CAMPO MAGNÉTICO

2.2.

CAMPO MAGNÉTICO ORIGINADO POR CORRIENTES ESTACIONARIAS

2.2.1. Ecuaciones de Maxwell En el caso de campos magnéticos originados por corrientes continuas las ecuaciones de Maxwell son:

0

(2.2.1)

Si los medios son isótropos y homogéneos: con µ = constante y entonces es posible expresar las ecuaciones de Maxwell en términos de

0

según: (2.2.2)

que unidas a la anulación de

en el infinito permiten afirmar la existencia de un único .

Los medios anisótropos pueden incluirse, también, en este estudio. En efecto, dado que es:

resulta:

Si tenemos en cuenta (2.2.1) y definimos la “densidad de corriente de magnetización” como una densidad de corriente ficticia equivalente al efecto de la imantación

0

con

, se tiene:

(2.2.3)

En el vacío tendremos:

Quedando las ecuaciones de Maxwell en términos de

0

según:

(2.2.4)


CAMPO MAGNÉTICO

2.2.2. Potencial Vectorial Dado que la ecuación de Maxwell:

0

es válida para todo el espacio, matemáticamente se puede afirmar que siempre existe un potencial vectorial

tal que:

(2.2.5)

y que sabemos no es único. Por ende, es difícil encontrarle un significado físico. Sin embargo, su introducción es muy útil ya que se transforma en una poderosa herramienta de cálculo. En efecto, aplicando la definición de flujo Φ: Φ

y aplicando en ella (2.2.5) se tiene: Φ

Aplicando el teorema de Stokes, obtenemos: Φ

(2.2.6)

Expresión que nos permite calcular el flujo como una simple integral de línea a lo largo de la curva Γ, siendo Γ= ∂Σ. 2.2.3. Ecuación Diferencial de Si:

Como dijimos que

no es único, podemos imponerle condiciones para seleccionar uno de

ellos. Por el teorema de Helmholtz basta fijar su divergencia y su valor en el contorno, para nosotros el infinito. Elegimos como condición:


CAMPO MAGNÉTICO

0

Condición de Coulomb

Y entonces se tiene para

Si como valor de

(2.2.7)

una ecuación formalmente equivalente a la de Poisson: (2.2.8)

en el contorno se establece su anulación en el infinito, se tendrán tres

problemas de contorno de Dirichlet, uno para cada coordenada, cada uno equivalente al que condujo a la solución del potencial escalar ϕ. Entonces, su solución, por traslado formal, es:

|

|

4

(2.2.9)

El recinto de integración V∞ puede dividirse en dos regiones bien definidas: • VJ aquella donde hay corriente

0

•

0

aquella donde no hay corriente

Con

Entonces la integración puede reducirse a la región donde hay corriente, por anularse el integrando en el resto. Así obtenemos la solución para el potencial vectorial :

|

|

4

(2.2.10)

Si en lugar de tratarse del aire o del vacío se tratara de un medio homogéneo de permeabilidad µ = µ0 µr

se tiene:

|

4

|

(2.2.11)

Finalmente, si el medio fuese isótropo pero no homogéneo, resultaría:

Con lo cual:

Por otra parte, ya vimos que es:


CAMPO MAGNÉTICO

Reuniendo estas dos últimas con (2.2.7) obtenemos:

(2.2.12)

expresión difícil de resolver, ya que en el segundo miembro figura el aporte de

cuya relación

integral con se desconoce. 2.2.4 Primera Ley de Laplace Nos proponemos obtener la expresión que nos permita calcular en función del parámetro generador . Como

4

|

|

Si recordamos que rot implica derivación respecto al punto de observación integración de (2.2.10) se extiende a los puntos perturbadores es:

y que la

(i) | 4 |

Por propiedad vectorial, el integrando es: |

|

|

1 |

|

1 |

donde: •

0

ya que el operador rotor implica derivación respecto de la coordenada y se estaría aplicando a una densidad de corriente que es función de , ya que está calculada en los puntos de perturbación. •

|

1 |

|

|

reemplazando en (i) se tiene:

4

|

|

(2.2.13)


CAMPO MAGNÉTICO

que también puede ser escrita como:

4

|

(2.2.14)

|

expresiones que corresponden a la “Primera Ley de Laplace”.

2.2.5 Expresiones de

y

para Sistemas Filiformes

La región VJ donde existe corriente eléctrica puede en muchos casos corresponder a un tubo de corriente, en ese caso, se acostumbra a hablar de circuito eléctrico. Recordemos que llamamos “tubo de corriente” al recinto volumétrico cuyo manto es sede de líneas de corriente. Entonces la integral triple extendida a VJ puede descomponerse en dos integraciones sucesivas bien definidas: una integral de línea cerrada a lo largo de cada filete de corriente Γ y una integral de superficie extendida a la sección transversal ΣT del tubo. En el caso particular de que las dimensiones de la sección transversal sean mucho menores que las longitudinales, el circuito eléctrico puede asimilarse a un hilo y se tiene lo que se denomina “sistema filiforme”. Además, como las expresiones a estudiar son funciones de la distancia entre el punto de observación y el de perturbación, es necesario que el primero esté suficientemente alejado del circuito eléctrico para poder considerar constante su distancia hasta cada punto de la sección transversal, como se muestra en la figura 2.2.1. + P

Σt

Σt

I

Γ Fig. 2.2.1

+ O

Entonces consideraremos las siguientes hipótesis:

(i)

Σ

(ii)


CAMPO MAGNÉTICO

ó Σ

Γ

(iii)

Además, por ser Γ un filete de corriente es:

resultando entonces:

(iv)

En consecuencia, por la subdivisión de integraciones se tiene en (2.2.10) y en (2.2.14):

4

4

|

|

|

|

Teniendo en cuenta ii resulta:

4

4

|

|

1 |

|

Mientras que por (iv) se obtiene:

4

4

|

|

|

1 |

Ahora bien, la integración de J sobre la superficie transversal ΣT conduce a la corriente por el tubo o circuito, que es constante. Entonces, teniendo en cuenta que es:


CAMPO MAGNÉTICO

se concluye que es:

4

4

|

(2.2.15)

4

|

|

|

|

|

(2.2.16)

2.2.6. Condiciones de Contorno 2.2.6.1 Leyes Cuando existe una superficie interfase entre dos regiones de propiedades magnéticas distintas, la aplicación de las leyes del campo magnético lleva a que se establezcan relaciones entre las componentes de los campos y . Nos proponemos entonces hallar la relación existente entre los parámetros determinantes del campo magnético ( y

) a uno y otro lado de la superficie de separación entre dos medios

de distinta permeabilidad ( µ1 y µ2 ), según se ve en figura 2.2.2. Esta relación puede obtenerse a partir de las expresiones integrales de las ecuaciones de Maxwell en

régimen

estacionario

referidas

al

campo

magnético. Es decir:

µ1

0

µ2

(ii)

complementadas con la condición de isotropía:

P

(i)

Fig. 2.2.2 (iii)

A tal fin consideremos un tubo de flujo de sección transversal diferencial que atraviese la superficie mencionada alrededor del punto donde se quieren obtener las llamadas “condiciones de contorno”. Con las hipótesis anteriores la porción considerada de superficie de separación puede reemplazarse por su plano tangente, y las líneas de campo por su recta tangente, como se muestra en figura 2.2.3.


CAMPO MAGNÉTICO

θ1 ;

∆S Profundidad “p” h h

µ1 Σ δ1

Σ

δ2

•

µ2 Γ= ∂Σ

θ2 ; Fig. 2.2.3

En dicha figura se destaca la isotropía de cada medio en sí mismo, traducida en la colinealidad entre

y ∀ i = 1,2

En la figura 2.2.3 se ha definido un camino Γ = ∂Σ con su correspondiente sentido de recorrido para la aplicación de (i) donde aceptamos que es: δ1 + δ2 = δ << h

(iv)

de modo que el camino Γ = ∂Σ contenga la superficie de separación, pero incluya el menor volumen posible de materiales a uno y otro lado de la misma. Para aplicar la condición (ii) consideraremos un recinto volumétrico V en forma de ortoedro, como se indica en la figura 2.2.3, donde la sección transversal ∆S es un rectángulo tal que: ∆S = p 2h

con p << h

(v)

a fin de cumplir con las aproximaciones geométricas. Para aplicar (i) en la figura 2.2.3 es necesario definir la corriente enlazada. Dada la condición (iv) no es posible hablar de densidad de corriente

en su sentido habitual,

sino de una densidad de corriente por unidad de longitud de superficie de separación, que se denomina densidad lineal de corriente superficial

2

2

2

donde Tδ es el valor de la circulación a lo largo de los tramos laterales “δ1,2” y normal a la superficie Σ orientado en concordancia con el sentido de Γ.

es el versor

De acuerdo a (iv) el aporte de Tδ es despreciable, resultando entonces:

(2.2.17)


CAMPO MAGNÉTICO

o bien:

con :

(2.2.18)

De donde podemos afirmar que la diferencia entre las componentes tangenciales de la intensidad de campo magnético en cada lado de la superficie de separación de los medios es igual al valor de la densidad lineal de corriente en dicha superficie interfase. Aplicando ahora ii en la figura 2.2.3 resulta:

donde Φ

Φ

0

corresponde al flujo a través de la superficie lateral del ortoedro.

De acuerdo a las condiciones (iv) y (v) el aporte Φ

es despreciable, resultando:

0

(2.2.19)

o bien:

con :

(2.2.20)

cos

De donde podemos afirmar que las componentes normales de la inducción magnética son continuas a ambos lados de la superficie de separación entre ambos medios. Se tienen así las “Condiciones de Contorno” o “Condiciones de Frontera” para el Campo Magnético Estacionario en su forma general:

(2.2.21)

o bien : (2.2.22)

0


CAMPO MAGNÉTICO

2.2.6.2 Casos Particulares de las Condiciones de Contorno • Ausencia de densidad de corriente eléctrica en la superficie de separación, es decir: =0 Las expresiones (2.2.21) se reducen a:

(2.2.23)

que expresan la continuidad de la componente tangencial de la intensidad de magnético

y de la componente normal del vector inducción magnética

campo

a uno y otro

lado de la superficie de separación entre ambos medios. En este caso es posible hallar un vínculo simple entre los ángulos θ1 y θ2 en función de las permeabilidades absolutas µ1 y µ2 o de las relativas µr1 y µr2, como se analiza en figura 2.2.4. En efecto, dado que es:

;

µ1

al ser:

µ2

resulta el siguiente sistema de ecuaciones:

θ1

θ2

;

Fig. 2.2.4

dividiendo la primera ecuación por la segunda obtenemos:

es decir: 1

1

(2.2.24)

Obteniéndose la relación: ELECTROMAGNETISMO Pag 13 de 39

CAMPO MAGNÉTICO

(2.2.25)

que es la ley de refracción válida en ausencia de corrientes superficiales en la superficie de separación. •

Aplicación al caso de separación entre dos medios de permeabilidades muy distintas, por

ejemplo Hierro-Aire, como se observa en la figura 2.2.5.a Sea µ2 << µ1

tg θ1 finito y no nulo.

y

θ1

;

Entonces, de 2.2.25 resulta:

µ1 >> µ2

tg θ2 → 0 o sea θ2 → 0

µ2 ;

es decir:

Fig. 2.2.5.a La línea de campo entra al medio menos permeable ortogonal a la superficie de separación

• Aplicación al caso de una capa de escaso espesor comprendida entre dos porciones de otro medio de distinta permeabilidad, tal como muestra la figura 2.2.5.b Aplicando 2.2.25 se tiene:

θ1

resultando: o sea :

µ1

;

θ2 µ2 θ2

tg θ3 = tg θ1 θ3 = θ1

µ3 = µ1 θ3 Fig. 2.2.5.b

La línea de campo que proveniente de un medio de permeabilidad µ1, atraviesa una placa de permeabilidad µ2, emerge de la misma con el mismo ángulo con que ingresó. • Aplicación al caso de una capa de escaso espesor comprendida entre dos porciones de otro medio de mucha mayor permeabilidad, figura 2.2.5.c ELECTROMAGNETISMO Pag 14 de 39

CAMPO MAGNÉTICO

Teniendo en cuenta las conclusiones de los dos últimos casos, obtenemos la solución representada en figura 2.2.5.c θ1

;

µ1 µ2 << µ1

µ3 = µ1 θ1 Fig. 2.2.5.c

Este último caso nos permite analizar la dirección de las líneas de campo magnético en el entrehierro de una máquina o de un instrumento de bobina móvil, concluyéndose que en ambas situaciones el campo magnético puede aceptarse como radial

SHUNT MAGNÉTICO

Líneas de campo en un instrumento de bobina móvil


CAMPO MAGNÉTICO

2.3.

LEY DE AMPERE- MAXWELL

2.3.1. Expresión Se conoce como ley de Ampere-Maxwell a la forma integral de la ecuación de Maxwell:

Como en régimen estacionario es: 0 queda:

(2.3.1)

Donde “I” es la “corriente total” que atraviesa la superficie Σ, o bien la “corriente total” que enlaza la curva Γ que es borde de la superficie abierta Σ, como se muestra en la figura 2.3.1. Γ= ∂Σ Σ

I Fig. 2.3.1

Cabe recordar que esta es una ley de verificación y no de cálculo, ya que, en general, conocida “I” es imposible calcular

, salvo que se conozca a priori la configuración del campo y se

adopte Γ de forma que coincida con una línea de campo magnético. Así y todo, resulta de gran utilidad para el cálculo de campo de muchas geometrías, algunas con condiciones de simetría y otras que, si bien no las presentan, reúnen condiciones tales que permiten la aplicación de la ley de Ampere-Maxwell haciendo determinadas aproximaciones. 2.3.2.

Ejemplo con simetría

Un sistema donde se puede aplicar la ley de Ampere-Maxwell para el cálculo de campo debido a la simetría que presenta, es el conductor volumétrico, rectilíneo, de longitud infinita y de sección transversal circular de radio “a”. Se sabe, por condiciones de simetría, que sus líneas de campo, tanto dentro como fuera del conductor, son circunferencias concéntricas con el mismo, tal como se observa en la figura 2.3.2.


CAMPO MAGNÉTICO

I

I

I

9 9

µ0

µ0 a

9

r

µ0

a

9 a

Fig. 2.3.2 Aceptando distribución uniforme de la densidad de corriente, su valor es:

0 a a Para una circunferencia de radio “r” interior al conductor, la corriente total enlazada es:

a

Mientras que la circulación del vector intensidad de campo magnético

es:

2

Entonces, aplicando Ampere-Maxwell, se tiene:

2 a

0

a

(2.3.2)

En cambio, para cualquier circunferencia de radio “r” exterior al conductor, la corriente total enlazada es siempre I, por lo tanto resulta:

2

a

(2.3.3)

Donde, como se observa en la figura 2.3.2,

es el versor circunferencial del sistema de

coordenadas cilíndrico. Es interesante verificar que como

es tangencial a la superficie de separación entre el

conductor y el exterior, debe ser continuo independientemente del valor de la permeabilidad magnética de uno y otro medio. ELECTROMAGNETISMO Pag 17 de 39

CAMPO MAGNÉTICO

H Ello se cumple ya que: 2

a

a

a

a

a

2 a

2 a r = a r

La figura 2.3.3 muestra la representación gráfica del campo. Fig. 2.3.3 Bastará colocar una masa de material ferromagnético que rompa la simetría, para que se altere la configuración de las líneas de campo, y, por consiguiente, deje de ser aplicable la ley de Ampere-Maxwell. 2.3.3. Ejemplo sin simetría – Circuito Magnético Un circuito magnético es una región cerrada del espacio donde hay líneas de campo magnético. Como las líneas de campo magnético se concentran en regiones ferromagnéticas, estas últimas constituyen caminos de flujo magnético. El circuito magnético más sencillo es al anillo de Rowland, que consiste en un núcleo toroidal con un arrollamiento de N vueltas, distribuidas en forma uniforme, por el que circula una corriente I. Consideremos un circuito magnético como se muestra en la figura 2.3.4, suficientemente esbelto como para aceptar el campo uniforme en su sección transversal.

NI

⇒

⇒

Φ

S Γ

Luego: Φ

µ

Si escribimos la ley de Ampère :

(2.3.4)

Fig. 2.3.4

donde se ha considerado que el flujo magnético es constante a lo largo del circuito magnético. Esta suposición es válida cuando el circuito magnético está formado por material ferromagnético, que tiene permeabilidad muy alta frente al medio circundante, y entonces el flujo magnético se concentra dentro del circuito y puede despreciarse la dispersión. La expresión (2.3.4) puede escribirse: ELECTROMAGNETISMO Pag 18 de 39

CAMPO MAGNÉTICO

Φ

Φ

Esta ecuación es análoga a la de la ley de Ohm para los circuitos eléctricos. El parámetro

se

denomina reluctancia del circuito magnético y es el equivalente de la resistencia de un circuito eléctrico. Se observa que la reluctancia de un circuito magnético es inversamente proporcional a su permeabilidad. Así como en los circuitos eléctricos la corriente circula por el camino de menor resistencia, en los circuitos magnéticos el flujo magnético “se establece” preferentemente por los caminos de menor reluctancia, de manera que las líneas de flujo se concentran en las zonas del circuito de mayor permeabilidad. Dada esta analogía, podemos describir un circuito magnético como un circuito eléctrico equivalente, como se muestra en las figuras 2.3.5.a, 2.3.5.b y 2.3.5.c. Γ

µ

Φm

NI

fmm

Fig. 2.3.5.a- Circuito magnético elemental µ1 µ

Γ1

NI

fmm

Φm

Γ2

µΓ 2

Fig. 2.3.5.b - Reluctancias en serie

Γ2

Γ1

Φm1

Γ3

NI

fmm

µ1

Φm3

Φm2

µ3 Γ

µ2 Fig. 2.3.5.c- Reluctancias en paralelo


CAMPO MAGNÉTICO

2.4

COEFICIENTES DE INDUCCIÓN

2.4.1. Definiciones •

Sea un circuito recorrido por una intensidad I, el cual abraza un flujo Φ creado por si mismo, como se muestra en la figura 2.4.1 Γ Φ

Se define como “coeficiente de autoinducción” a

I

la relación entre flujo y corriente excitatriz:

Φ

(2.4.1)

Fig. 2.4.1 Si el circuito tiene N espiras, el flujo total enlazado Ψ es: Ψ= N Φ y entonces: •

Ψ

Φ

(2.4.2)

Sean dos circuitos portadores de corrientes I1 e I2 respectivamente, tal como se observa en figura 2.4.2. Sea Φ2,1 el flujo abrazado por el circuito 2 y creado por la corriente I1. Se define como “coeficiente de inducción mutua” entre ambos sistemas a la relación entre flujo y corriente excitatriz:

,

Φ

,

I1

I2

Γ1

Γ2

(2.4.3) Fig. 2.4.2

Dado que Φ21 se puede calcular como: Φ

,

B

,

dS

es fácil ver que Φ21 puede ser positivo o negativo, dependiendo de los sentidos de I1 e I2 . En consecuencia, M21 también puede ser positivo o negativo. Si el circuito 1 tiene N1 espiras, y el circuito 2 tiene N2 espiras, entonces el flujo total enlazado Ψ2,1 es: Ψ2,1 = N2 Φ2,1


CAMPO MAGNÉTICO

y entonces:

,

Ψ

,

Φ

,

(2.4.4)

• Sea un sistema de n circuitos portadores de corrientes I1 , I2 ,…., Ih ,… In , como se muestra en la figura 2.4.3. Sea Φh el flujo abrazado por el circuito “h” y creado por todas las corrientes del sistema. Se define como “coeficiente de inducción aparente” a la relación entre flujo total y corriente propia:

,

Φ

(2.4.5)

I1 Γ1

I2

Ih

Γ2

Γh

In Γn

con:

Φ

Φ

Φ

,

Φ

,

Fig. 2.4.3 ,

de donde: Φ

L I

M

, I

por lo tanto el coeficiente de inducción aparente resulta: L

,

L

M

,

I I

(2.4.6)

2.4.2. Comentarios a las Definiciones • Si los medios son lineales y vale el principio de superposición, existirá proporcionalidad entre el flujo y la corriente que lo origina. En consecuencia, de (2.4.1) y (2.4.3) se deduce que los coeficientes de autoinducción y de inducción mutua resultan independientes del valor de las corrientes, y solo son función de la geometría del sistema y de la característica del medio. • No ocurre lo mismo con los coeficientes de inducción aparentes, que serán funciones de las relaciones entre las corrientes de los distintos circuitos del sistema, como se observa en (2.4.6) • Si los sistemas están constituidos por circuitos filiformes, es simple determinar el flujo enlazado, ya que el recinto de integración queda claramente definido.


CAMPO MAGNÉTICO

Si se tienen circuitos volumétricos, con corrientes uniformemente distribuidas en las secciones, el cálculo del flujo enlazado o concatenado debe hacerse con especial cuidado, ya que deberá tenerse en cuenta que no todos los filetes de corriente enlazan el mismo flujo. 2.4.3. Fórmula de von Neumann Sea un sistema constituido por dos circuitos filiformes sumergidos en un medio homogéneo y lineal, como en la figura 2.4.4, cada uno de ellos sede de su correspondiente corriente en régimen estacionario. Aplicando las expresiones (2.2.6) y (2.2.16) se puede obtener la expresión del flujo en función de las

I2 I1

corrientes, la geometría y las propiedades magnéticas de

Γ2

Γ1

los sistemas. Si deseamos calcular el flujo Φ2,1 enlazado por el sistema

Fig. 2.4.4

4

Γ2 creado por el sistema Γ1 en figura 2.4.4 será:

|

|

y como es: Φ

,

Resulta:

Φ

,

4

|

|

Finalmente, recordando la definición de M2,1 dada por (2.4.3) se tiene: M

,

4

|

|

(2.4.7)

conocida como “fórmula de von Neumann” Esta expresión permitiría también calcular el coeficiente de inducción propia, si se toma el flujo autoenlazado por el propio sistema, es decir: L

M

,

4

|

|

(2.4.8)


CAMPO MAGNÉTICO

Esta expresión merece un comentario. Como la integración se hace sobre el propio circuito, existirán situaciones en las que se tendrá la coincidencia del punto de perturbación con el de observación, es decir: |

|

0

lo cual conduce en (2.4.8) a una integral impropia no convergente. Este inconveniente proviene de aplicar la expresión de

para circuitos filiformes, sobre el propio circuito, donde sabíamos

no era válida. 2.4.4. Propiedad de Reciprocidad Los coeficientes de inducción mutua gozan de la propiedad de reciprocidad, bajo las hipótesis de aceptar circuitos filiformes en medios homogéneos y lineales. Según las fórmulas de von Neumann es:

M

,

M

,

4

4

|

|

|

|

de donde, aplicando permutabilidad de integrales, obtenemos: (2.4.9)

M2,1 = M1,2 2.4.5. Definiciones en función de la femi

Si tenemos en cuenta (2.4.1) y la ley de Lenz se tiene, para corrientes que varían con el tiempo:

Φ

y aceptando que el sistema es indeformable

i

(2.4.10)

Es decir que el coeficiente de autoinducción (salvo el signo) es el cofactor de la derivada temporal de la corriente para obtener el valor de la femi. De la misma forma, a partir de (2.4.3) se concluye que es: ELECTROMAGNETISMO Pag 23 de 39

,

,

CAMPO MAGNÉTICO

i

(2.4.11)

donde el coeficiente de inducción mutua es el cofactor (salvo el signo), de la derivada temporal de la corriente generadora para obtener la fem de inducción mutua en el sistema observador. 2.4.6. Expresión de L y M en función de la Energía Consideremos un circuito lineal como el de la figura 2.4.5, caracterizado por una fuente de fem ef, una resistencia R y un coeficiente de autoinducción L, donde tanto R como L son invariantes Por la segunda ley de Kirchhoff es:

i R

Φ (i)

+ ef

Donde si el único campo magnético presente es el creado

L

por el propio sistema es: Φ=Li

Fig. 2.4.5

Y como el sistema es lineal e indeformable (L constante) resulta: Φ (ii) entonces, reuniendo (i) y (ii) se tiene:

i

(iii)

La energía entregada por la fuente en un lapso dt es, por definición:

de donde se obtiene:

i

(iv)

mientras que efectuando un balance energético, la energía entregada por la fuente (dWf) debe traducirse en efecto Joule (dWJ) y en modificación de la energía del campo magnético (dWm), por ser los únicos entes puestos en juego en el modelo. Es decir:

(v)

Recordando la expresión de la energía disipada por efecto Joule, y comparando (iv) con (v) se concluye que es: i

(2.4.12)

en consecuencia, si el sistema evoluciona desde la situación inicial dada por:


CAMPO MAGNÉTICO

t0 = 0 i(t0) = 0 Wm(t0) = 0 hasta : t1 = T i(T) = I Wm(T) = Wm Integrando (2.4.12) entre t0 y T se tiene la expresión: 1 2

(2.4.13)

de donde se obtiene una nueva definición del coeficiente de autoinducción dada por:

2

(2.4.14)

Para obtener el vínculo entre energía y coeficiente de inducción mutua, consideremos un sistema constituido por dos circuitos, como se muestra en la figura 2.4.6, cada uno con sus parámetros propios (ef1, R1, L1 y ef2, R2, L2) más el enlace mutuo M , donde R1 , L1, R2 , L2 y M son invariantes. Por segunda ley de Kirchhoff será:

Φ Φ i1 R1

M

+ ef1

L1

i2 R2

L2

ef2 +

Fig. 2.4.6

Las energías entregadas en un lapso dt por cada fuente serán:

Φ

Φ

(vi)


CAMPO MAGNÉTICO

si el campo magnético es creado exclusivamente por los dos circuitos: Φ

Φ

de donde, como los sistemas son lineales e indeformables se tiene: dΦ

dΦ

resultando en (vi):

i

M

i

M

(vii)

donde:

(viii)

nuevamente el balance energético impone la relación (v), de modo que recordando la expresión de las pérdidas por efecto Joule, y comparando (v) con (vii) y (viii) se obtiene:

i

i

M

M

que por propiedad de los diferenciales puede escribirse: 1 i 2

1 i 2

M

(2.4.15)

en consecuencia, al considerar una evolución que partiendo de : t0 = 0 i1(t0) = 0

i2(t0) = 0

Wm(t0) = 0 concluya en: t1 = T i1 (T) = I1

i2 (T) = I2

Wm(T) = Wm Por integración se obtiene: 1 2

1 2

(2.4.16)


CAMPO MAGNÉTICO

Que puede ser considerada como:

(2.4.17)

donde ahora, para poder calcular M, es necesario poder deslindar WM de manera que:

(2.4.18)

Es evidente la mayor simplicidad de aplicación de (2.4.14) para el cálculo del coeficiente de autoinducción que la de (2.4.18) para el cálculo del coeficiente de inducción mutua, dado que esta última exige el cálculo de la energía total y su deslinde según (2.4.17).


CAMPO MAGNÉTICO

2.5

ENERGÍA DEL CAMPO MAGNÉTICO

2.5.1. Expresión en Función de los Parámetros Integrales Recordemos que para el sistema formado por dos circuitos indeformables y en posiciones fijas entre sí como los de la figura 2.4.6, los cuales evolucionan desde ausencia de corrientes (por ende, energía inicial nula) hasta un cierto estado final con su correspondiente energía, esta última tiene por expresión: 1 2

1 2

(2.5.1)

expresión que puede generalizarse para “n” sistemas bajo las mismas hipótesis, es decir, circuitos indeformables y en posiciones fijas entre sí. Si reordenamos (2.5.1) según: 1 1 2 2

y dado que es: Φ

Φ

se concluye que es: 1 Φ Φ 2

(2.5.2)

Expresión de la energía del campo magnético en función de los parámetros integrales (I, Φ), que en el caso de un sistema de un único circuito toma el aspecto: 1 Φ 2

(2.5.3)

y para el caso genérico de “n” circuitos puede escribirse como:

1 2

Φ

(2.5.4)

2.5.2. Expresión en Función de los Parámetros Locales Generadores Sea el circuito volumétrico de la figura 2.5.2, definido por un tubo de corriente. Σt I Vj

Fig. 2.5.2 ELECTROMAGNETISMO Pag 28 de 39

CAMPO MAGNÉTICO

Subdividamos al mismo en una familia de tubos diferenciales de corriente, de sección transversal

y designemos con

muestra en figura 2.5.3.

al elemento de arco del filete de corriente, tal como se

ditubo Γ

Fig. 2.5.3

Si se indica con al vector densidad de corriente, en cada filete será:

(i)

y en cada tubo diferencial la corriente diferencial resultará:

(ii)

mientras que el flujo enlazado por cada tubo diferencial puede escribirse en función de la integración a lo largo del filete Γ como: Φ

(iii)

En consecuencia, el aporte de cada tubo diferencial a la energía total, aplicando la expresión (2.5.3) resulta:

1 Φ 2

(iv)

Reuniendo (iv), (iii),(ii) y recordando que la corriente en el tubo es constante, se tiene: 1 2

de donde, teniendo en cuenta (i) es: 1 2

Integrando en toda la sección transversal Σt se tiene:


CAMPO MAGNÉTICO

1 2

(v)

expresión en la cual puede interpretarse que es:

donde Vj es la totalidad de la región con corriente. Se obtiene así la expresión de la energía magnética del sistema en función de los parámetros locales generadores , , la cual resulta:

1 2

(2.5.5)

por lo que la energía por unidad de volumen en función de los parámetros locales generadores puede interpretarse según: 1 2

,

(2.5.6)

Si bien en la expresión (2.5.5) la integración se extiende a la totalidad de la región sede de corriente eléctrica (Vj), el mismo resultado se obtiene si generalizamos extendiendo a todo el espacio (V∞) quedando:

1 2

(2.5.7)

dado que el complemento de Vj respecto del V∞ no aporta a la integral por ser nula

en ese

volumen complementario. 2.5.3 Expresión en Función de los Parámetros

Si ahora se desea expresar la energía en función de los parámetros locales de Maxwell ( ), recordando la ecuación de Maxwell en régimen estacionario:

(i)

resulta en (2.5.7): ELECTROMAGNETISMO Pag 30 de 39

CAMPO MAGNÉTICO

1 2

(ii)

y puesto que es:

(iii)

reuniendo (ii) y (iii) se obtiene:

1 2

1 2

Aplicando el teorema de la divergencia y teniendo en cuenta que

1 2

1 2

, se obtiene:

1 2

Como hemos convenido que en ∂V∞ se anulan tanto

como

, finalmente se tiene: (2.5.8)

que es la expresión de la energía magnética en función de los parámetros locales de Maxwell, la cual exige su integración en todo el espacio. De allí que la energía por unidad de volumen asociada a los mismos:

,

1 2

(2.5.9)

no resulte coincidente con la obtenida en (2.5.6) en función de los parámetros locales generadores. Obviamente la integración de las mismas en todo el espacio V∞ conduce a un mismo resultado total final, que es la energía total del campo magnético. Para el caso de medios isótropos, por ser:

resultará en (2.5.9): ,

1 2

(2.5.10)


CAMPO MAGNÉTICO

2.6. FUERZAS MECÁNICAS EN EL CAMPO MAGNÉTICO 2.6.1. Fuerzas entre Conductores Circulados por Corrientes Sea ahora, un sistema constituido por dos circuitos indeformables de comportamiento lineal en régimen estacionario, con posibilidad de modificar sus posiciones relativas. Consideraremos entonces los dos circuitos de la figura 2.5.1 teniendo en cuenta que ahora la inductancia mutua (M) es variable, y las corrientes (I1 e I2) son constantes. Valen aquí las expresiones de la segunda ley de Kirchhoff:

Φ Φ

y de la energía entregada por cada fuente en el lapso “dt”:

Φ

Φ

Se modifica, en cambio, la expresión del balance energético. En efecto, ahora la energía entregada por las fuentes:

se traduce en disipación de calor por efecto Joule, en modificación de la energía de campo magnético imputable sólo a la variación de M y en trabajo mecánico desarrollado durante la deformación del sistema por modificación de las posiciones relativas entre los circuitos. Es decir:

(2.6.1)

Ahora bien

Φ

Φ

donde : Φ

Φ

(i)


CAMPO MAGNÉTICO

que bajo las condiciones de Lj e Ij constantes nos lleva a:

M

(ii)

En esta expresión sabemos que es:

Recordando la expresión de la energía magnética:

(iii)

y teniendo en cuenta las hipótesis de Lj e Ij constantes, es:

(iv)

Reuniendo (iii) y (iv) en (ii) y comparando con (2.6.1) se obtiene:

(2.6.2)

De modo que: El trabajo mecánico desarrollado resulta igual a la modificación de la energía magnética del sistema. Por lo tanto si se deja evolucionar libremente al sistema, éste se modifica a favor de sus propias fuerzas de modo que el trabajo mecánico desarrollado resulta positivo, y, por ende, la energía del campo magnético se incrementa en la misma medida, de forma que el sistema tiende a buscar una posición final de máxima energía de campo magnético. Obviamente, en ese caso, los incrementos de energía parciales se hacen a expensas del aporte de las fuentes. Consideremos ahora un sistema con “k” grados de libertad. Si es

la coordenada correspondiente al grado de libertad “j ” y “Fj “ la componente de la

fuerza generalizada según la dirección del grado de libertad

, entonces es:

donde:


CAMPO MAGNÉTICO

Teniendo en cuenta (2.6.2) se tiene:

(2.6.3)

De (i) tenemos: Φ

Φ

Φ

Φ

entonces en (2.6.3) será:

Φ

,

(2.6.4)

O bien:

,

Φ

donde obviamente se cumple : ,

,

agregándose los subíndices 1 y 2 por el solo hecho de que en los segundos miembros de (2.6.4) aparecen magnitudes relativas al circuito correspondiente. Luego, superponiendo los efectos correspondientes a los “k” grados de libertad, se tiene para un conductor “h” genérico: Φ

Φ

(2.6.5)

Pudiéndose afirmar que el circuito “h” desarrolla un trabajo mecánico debido a la interacción entre su corriente “Ih” y los campos en “h” provenientes exclusivamente de los restantes circuitos del sistema.


CAMPO MAGNÉTICO

2.6.2. Segunda Ley de Laplace Nos proponemos obtener la ley del esfuerzo a que se halla sometido un tramo elemental de circuito filiforme que es sede de una intensidad de corriente “i” y se encuentra sumergido en un campo magnético de valor puntual “ ”. Aceptado que el circuito es filiforme, sea Γ1 la línea cerrada que representa su posición, como se muestra en la figura 2.6.1. Impongamos ahora un desplazamiento virtual del mismo hasta la nueva posición Γ2, obtenida a partir de un desplazamiento

, manteniéndose paralela a sí

misma, sin deformarse y conservando su régimen estacionario.

Γ1 Γ2

Fig. 2.6.1 El trabajo mecánico virtual realizado durante este desplazamiento ficticio es:

(i)

dado que es el único grado de libertad utilizado. A su vez, según (2.6.5) es: Φ

(ii)

Reuniendo (i) y (ii) se tiene:

Φ

(iii)

donde se impone calcular la variación virtual de flujo al pasar de Γ1 a Γ2. Dicha variación es: Φ

Φ Γ

donde con Φ Γ

(iv)

Φ Γ

se ha indicado el flujo asociado al contorno Γj que define la posición del

circuito filiforme. Si ahora indicamos con Σj a una superficie que tenga por contorno a Γj , es decir,

Σ

Γ


CAMPO MAGNÉTICO

La expresión (iv) puede escribirse según: Φ

Φ Σ

Φ Σ

(v)

Dado que el valor del flujo depende exclusivamente del contorno correspondiente y no de la superficie subtendida a partir de él, es que podemos adoptar libremente a Σ1 e imponer a Σ2 que resulte ser la conjunción de Σ1 y la superficie barrida por el circuito al pasar de Γ1 a Γ2. Es decir:

Σ2 = Σ1 ∪ ∆Σ*

(vi)

Donde ∆Σ resulta ser el cilindro de generatriz *

que se apoya en Γ1, tal como se indica en la

figura 2.6.2. Reuniendo las expresiones (v) y (vi) se sigue

que es:

Σ1

Φ

Φ ΔΣ a

la superficie Σ1 queda definido por la regla del y

Γ Γ1 1 Γ2

Ahora bien, el sentido positivo de la normal

tirabuzón

el

sentido

convencionalmente

positivo de la corriente en Γ1. En cambio, para Σ2 impongamos la conservación de coincidencia

i i i

∆Σ

Fig. 2.6.2

de normales en la superficie común y la continuidad de las normales para el tramo cilíndrico, como se observa en la fig. 2.6.2. En ese caso, un elemento de superficie donde

es un elemento de arco de Γ1, tal como se muestra en figura 2.6.3

De esta forma: Φ

de ∆Σ* se puede interpretar vectorialmente según:

puede calcularse como una integral de línea a lo largo de Γ1, Γ1 debido a la constancia de la dimensión . Tendremos entonces:

Γ2

Φ

Γ

Fig. 2.6.3


CAMPO MAGNÉTICO

que por propiedad del producto mixto puede escribirse según: Φ

Γ

O bien: Φ

(vii)

Γ

por ser, de acuerdo a hipótesis,

constante.

Reuniendo (iii) y (vii) resulta:

donde

(viii)

es arbitrario, por lo cual la expresión (viii) debe ser válida para todo

que se

imagine. De allí surge la necesidad de ser:

Denominando

(2.6.5)

al esfuerzo asociado al elemento de circuito

, podría interpretarse que es

válido considerar:

(2.6.6)

que es lo que se conoce como “segunda ley de Laplace”. Esta expresión final merece una crítica. Como de la ley integral (2.6.6) se forzó el paso a una ley diferencial, nada garantiza que (2.6.7) respete las leyes físicas, como ser el principio de acción y reacción. A fin de mostrar el no cumplimiento del mismo entre dos elementos diferenciales de dos circuitos de un sistema, consideremos en particular la geometría de dos hilos rectilíneos, infinitos, paralelos, como los de la figura 2.6.4. Del circuito Γ1 tomemos un elemento diferencial esfuerzo existente sobre

debido al campo

y del Γ2 el creado por

. Designemos con . En este caso

´´

´´

al

resulta ser

diferencial de segundo orden indicándose con el supraíndice (´´). ELECTROMAGNETISMO Pag 37 de 39

CAMPO MAGNÉTICO

Entonces será:

´´

´´

y razonando en forma análoga resultará: ´´

´´

9

i1

i2

Γ1

Γ2 Fig. 2.6.4

En figura 2.6.4 se observa que las rectas de acción de

´´

y

´´

son paralelas pero no

colineales, y por lo tanto no se cumple el principio de acción y reacción, aunque a cálculo hecho

´´

y

´´

tengan misma intensidad.

Sin embargo, en un sistema constituido por circuitos filiformes sede de corrientes, donde el esfuerzo que aparece sobre cada uno de ellos provocado por la interacción entre su corriente y el campo creado por los restantes circuitos se puede calcular con (2.6.5), es decir por la forma integral de la segunda ley de Laplace, los resultados sí cumplen con el principio físico aquí tratado. Esta última afirmación puede ser verificada por cálculo solamente en sistemas de dimensiones finitas.


CAMPO MAGNÉTICO

BIBLIOGRAFÍA Kraus – Fleisch “Electromagnetismo con Aplicaciones”

5ta Edición - 1999

John D. Kraus “Electromagnetismo” 1era edición - 1960 M. Sadiku “Elementos de Electromagnetismo” 3era Edición - 2003 E.M. Pugh y E. W. Pugh “Fundamentos de Electricidad y Magnetismo” 1965 M. Zahn “Teoría Electromagnética” 1991 A. V. Netushil - K.M. Polivanov “Principios de Electrotecnia” 1965 D. K. Cheng “Fundamentos de Electromagnetismo para Ingeniería” 1997 J. R Reitz - F.J.Milford “Fundamentos de la Teoría Electromagnética” 4ta edición 1996


Cap 2 Campo Magnetico

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