Moisés Villena Muñoz
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2 Definición Notación Cardinalidad Representación Gráfica Igualdad Subconjuntos Operaciones Algebra de conjuntos Conjunto Referencial Problemas de cardinalidad
La idea de conjunto está manifiesta de una u otra forma en nuestro cotidiano vivir. Por ejemplo, cuando nos referimos a la especie que pertenecemos, a la sociedad donde vivimos, a la universidad en la cual estamos inscritos, a la carrera que vamos a cursar, ... ... Más aún, los problemas matemáticos se solucionan solucionan referidos a conjuntos.
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OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Defina conjunto. Clasifique y categorice conjuntos. Obtenga subconjuntos de un conjunto finito dado. Obtenga conjunto potencia. Opere conjuntos. Determine formas equivalentes de representación de conjuntos con regiones regiones sombreadas en un diagrama de Venn. Resuelva problemas planteando conjuntos. • • • • • • •
2.1 DEFINICIÓN Un CONJUNTO es una una agru agrupa paci ción ón bien bien definida de objetos llamados elementos.
2.2 NOTACIÓN Para denotar a un conjunto usualmente se emplean las primeras letras del abecedario, en mayúscula . Podemo Pode moss refe referi rirn rnos os a un co conj njun unto to indi indica cand ndo o ca cada da uno uno de sus sus elementos.
Ejemplo Si queremos referirnos al conjunto de las vocales, se lo puede hacer nombrando a cada vocal, es decir: A
=
{a, e, i, o, u}
Esta Esta ma mane nera ra de refe referi rirn rnos os a los los co conj njun unto toss se deno denomi mina na por por extensión o tabulación. También podemos referirnos a un conjunto indicando las características de sus elementos.
Ejemplo Podemos referirnos al conjunto de las vocales de esta otra forma: A
= { x / x
es una vocal }
Esta Esta otra otra form forma a de refe referi rirn rnos os a un co conj njun unto to se deno denomi mina na por por comprensión. Esto último se hace necesario cuando un conjunto tiene muchos elementos. 29
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Ejemplo Si queremos referirnos al conjunto de los números reales, es mejor hacerlo por comprensión, es decir: B
= { x / x
es un número real }
Para decir que un elemento pertenece a un conjunto empleamos el símbolo ∈ .
Ejemplo Para decir que la vocal
a
pertenece al conjunto
A
, lo haremos así:
a ∈ A
2.3 CARDINALIDAD Para deno Para denota tarr al núme número ro de elem elemen ento toss de un co conj njun unto to emplea la simbología N ( A)
A ,
se
Ejemplo Para los dos ejemplos anteriores, tenemos: N ( A)
=5
N ( B )
= ∞ ; donde el símbolo ∞ (Infinito) denota una cantidad muy grande.
De aquí surgen las siguientes definiciones:
Sea A un conjunto. Entonces: 1. A es un CONJUNTO FINITO si tiene una cantidad determinada (contable) de elementos. Tiene principio y tiene fin. 2. A es un CONJUNTO INFINITO si tiene una cantidad indeterminada (no contable) de elementos. Tiene principio y no tiene fin. 3. Si A tiene un sólo elemento se lo llama CONJUNTO UNITARIO. UNITARIO. 4. Si A no tiene elemento, se dice que A es el CONJUNTO CONJUNTO VACÍO VACÍO. Para Pa ra este este caso se emplea la notación: Φ . 30
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2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA A los conjuntos se los suele representar gráficamente mediante los llamados DIAGRAMA DE VENN. A
Generalmente son círculos, aunque también se puede emplear cualquier otra figura geométrica.
2.5 IGUALDAD Sean
y B dos conju conjunto ntos. s. Entonc Entonces es A = B sí y solo sí tienen los los mismos elementos. Es decir: A
( A = B )
≡ ( x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ ( x ∈ B ⇒ x ∈ A)
Gráficamente, tenemos: A
= B x
2.5.1 CONJUNTOS DISYUNTOS. Dos conjuntos A y B son DISYUNTOS si y sólo si, no tienen elementos en común. Es decir, son conjuntos diferentes, A ≠ B Gráficamente tenemos:
A
B
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2.6 SUBCONJUNTOS Sean A y B dos conjuntos. Se dice que B es SUBCONJUNTO de A sí y sólo sí los elementos de B están contenidos en A . Es decir: B ⊆ A ≡ x( B∈ ⇒ x A∈ ) Gráficamente tenemos:
A B x
Puede ocurrir lo contrario.
Suponga que los elementos de A estén contenidos en B , en este caso se dice que A es SUBCONJUNTO de B . Es decir: A ⊆ B ≡ ( x ∈ A ⇒ x ∈ B) Gráficamente tenemos:
B x
A Si se cumple que ( B ⊆ A) ∧ ¬( A ⊆ B) , se dice SUBCONJUNTO PROPIO de A . Y se escribe B ⊂ A . Además se cumple que, para cualquier conjunto En este caso a los conjunto SUBCONJUNTO NO PROPIOS.
A
y
Φ
A :
que A
B
es
⊆ A
Φ ⊆ A
se los los deno denom mina ina
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Bien Bien,, ahor ahora a en el sigu siguie ient nte e eje ejemplo mplo se ilus ilustr tra a la técn técnic ica a de búsqueda de todos los subconjuntos de un conjunto dado.
Ejemplo Sea el conjunto A = {1, ∗, ∇} , entonces todos los conjuntos que se pueden formar con los elementos de A , serían: S 1 =
{1}
S 2
= {∗}
S 3 = {∇}
con
cada
elemento
{}
S 4 = 1,∗ S 7
S 5
= {1, ∇}
= {1,∗, ∇} =
S 6 = {∗, ∇}
con dos elementos
A
con tres elementos (ya es el conjunto
A )
y obviamente S 8 = Φ
Note que: N ( A) = 3 , y que el número total de subconjuntos es 8 = 2 3 . Entonces la regla para el número total de subconjuntos de un conjunto A , sería: CANTIDAD DE SUBCONJUNTOS SUBCONJUNTOS
=2
N ( A )
2.6.1 CONJUNTO POTENCIA
Sea A un conjunto. Entonces el CONJUNTO CONJUNTO POTENCIA POTENCIA de A , deno denota tado do por P ( A) , es el conjunto que tiene como elementos a todos los subconjuntos de A . Ejemplo Para el caso anterior tenemos que:
{
P A( ) = {1},{∗ },{∇ },{1,∗ },{1,∇ },{∗ ,∇ }, A,Φ
} 33
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Moisés Villena Muñoz 1 ∈ A
Observe que es correcto decir que: {1} ⊂ A {1} ∈ P ( A)
El NÚMERO DE ELEMENTOS DEL CONJUNTO POTENCIA de un conjunto está dado por: N ( P ( A)) = 2 ( )
A
N A
Ejemplo 2 Sea el conjunto B = {1, {⊗, Ω}} . Hallar P ( B ) . SOLUCIÓN: Hallemos todos los subconjuntos del conjunto B . S 2 = {{ ⊗, Ω}} S 1 = {1}
S 3 = B
S 4 = Φ
entonces P ( B ) =
{{1} , {{ ⊗, Ω}} , B, Φ}
Ejercicios Propuestos 2.1 1.
Sea el el co conjunto S = {{3}, {1,4}} entonces el CONJUNTO POTENCIA de S , es: a) P ( S ) = {{3}, {1}, {φ}, S , {1,4}, {3,4} ,{1,3}, φ} P ( S )
b)
= {{{3}}, S , {{1,4}}, φ}
c) P ( S ) = {{3}, S , {1,4}, {1,3,4}, φ} P ( S )
d)
= {{3}, S , {1,4}, {φ}}
e) P ( S ) = {{3}, {1,4}} 2.
Sea Sea el conjunto B = { a, {b}} , entonces es VERDAD que: a) a ⊂ B
b) {b} ⊂ B
d) N ( P ( B ) ) = 2
c) {b} ∈B
e)
2 N ( P ( B ) ) = 4 3.
A = { a, {b}, c} Dado Dadoss los o s conj conjunto ntos siguientes proposiciones es FALSA?
a)
( ( ) ) N ( P ( B ) ) = 6
N P A
y
B
= {1,2} . Determine ¿cuál de las
( ( ( ) ) ) = 16
b) N P P B
c)
{{ a}} ⊂ P ( A) d)
{{b}} ∈ P ( A)
e) N ( P ( A) ) N ( P ( B ) ) = 32
2.7 OPERACIONES Los co Los conj njun unto toss pued pueden en se serr oper operad ados os,, dand dando o a luga lugarr nuev nuevos os conjuntos.
2.7.1 INTERSECCIÓN 34
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Sean A y B dos conjun conjuntos tos.. Enton Entonces ces la INTERSECCIÓN de A con B , denotada por A ∩ B , es el co conj njun unto to co cons nsti titu tuid ido o por por los los elementos comunes tanto a A como a B . Es decir: A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Gráficamente tenemos:
Para tres conjuntos sería:
{
}
A ∩ B ∩ C = x / x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C
Para otros casos tenemos:
A ∩ B = B
A ∩ B
= A
A ∩ B =
Φ
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2.7.2 UNIÓN
Sean A y B dos conjuntos. Entonces la UNIÓN de A con B , denotada por A ∪ B , es el conjunto constituido por elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos. Es decir: A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B} Gráficamente tenemos:
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La unión de tres conjuntos sería: A ∪ B ∪ C = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈C }
Observe que se podría decir que:
N ( A
)
∪ B
( A)
= N
( B )
+ N
( A
− N
y
)
∩ B
que N ( A
B ∪ C ∪
)
N =
( A)
N +
( B)
N +
(C )
N −
B) ( A ∩
N −
C ) ( A ∩
( B
N −
N ( A ∩ B ∩ C ) )+
C ∩
Para otros casos tenemos:
A ∪ B = A
A ∪ B = B
A ∪ B
2.7.3 DIFERENCIA
Sean A y B dos conju conjunto ntos. s. Enton Entonces ces la DIFERENCIA de A con B , denotada por A − B , es el conjunto constituido por elementos que pertenecen al conjunto A y no perten pertenece ecen n al conjun conjunto to B . Es decir: A − B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
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Conjunto formado por los elementos sólo del conjunto A .
En cambio,
La DIFERENCIA de B con A , denotada por B − A , es el conjunto constituido por elementos que pertenecen al conjunto B y no pertenecen al conjunto A . Es decir: B − A = { x / x ∈ B ∧ x ∉ A}
Conjunto formado por los elementos sólo del conjunto B .
2.7.4 DIFERENCIA SIMÉTRICA
La DIFERENCIA SIMÉTRICA de A con B , denot enota ado por A • B se define como (
)
(
)
A • B = A − B ∪ B − A
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Ejemplo B = {a , ?, ⊗, ∇} Sean Sean los conjun conjuntos tos A = {1, ∗, ⊗, ∇, Ω} y entonces A ∪ B ={1, ∗, ⊗ , ∇, Ω, a , ?} A ∩ B = {⊗, ∇} A − B = {1, ∗, Ω} el conjunto A menos los elementos del conjunto B . B − A = {a , ?} el conjunto B menos los elementos del conjunto A . A • B = {1,∗, Ω, a , ?}
2.8 ALGEBRA DE CONJUNTOS Las operaciones entre conjuntos cumplen ciertas propiedades.
UNION A ∪ B
= B ∪ A A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C
A ∪ A = A A ∪ Φ
= A
INTERSECCIÓN Conmutatividad Asociatividad Identidad Absorción
A ∩ B
= B ∩ A A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C A ∩ A = A
A ∩
Φ=Φ
Propiedades distributivas
( ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) A − ( B ∩ C ) = ( A − B ) ∪ ( A − C ) A − ( B ∪ C ) = ( A − B ) ∩ ( A − C ) A ∪ ( B − A) = A ∪ B A − ( A ∩ B ) = A − B
A ∪ B ∩ C
(OPCIONAL)Ejercicio (OPCIONAL)Ejercicio Propuesto 2.2 Demuestre las propiedades anteriores.
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2.9 CONJUNTO REFERENCIAL En much muchas as oc ocasi asion ones es un co conj njun unto to A es esta tará rá refe referi rido do a otro otro conjunto que lo contiene, llamado CONJUNTO REFERENCIAL.
Ahora surge la siguiente definición:
2.9.1 CONJUNTO COMPLEMENTO
Sea A un conjunto. Entonces el complemento de A , denotado como define como: A = Re− A
A
C
, se
C
Es decir, A está constituido por los elementos que le faltan al conjunto A para llegar a ser el referencial. C
A ∪ A
Además se cumple que:
A ∩ A
( A ) C
LEYES DE DEMORGAN
C
C
C
C
( A ∪ B ) = A ∩ B ( A ∩ B ) = A ∪ B
C C
= Re
y se pueden verificar las
=Φ
C
=A C
C
Ejemplo 1 Determine los conjuntos
, y C , conociendo que el conjunto referencial es Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y A ∩ B = {1,2,3,4} A − C = {1, 2,7} ( B − C ) − A = {8,9} A, B
( A ∪ B ∪ C ) C = {5,6} SOLUCIÓN:
( )
( )
N A = N B = 6
Representando la información en un diagrama de Venn generalizado, resulta :
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