CAPÍTULO II CRISTALOGRAFÍA 2.1.
INTRODUCCIÓN Con la publicación del libro titulado “Cristalografía”, en 1822, por el abate Justo Renato Haüy, se da nacimiento a esta disciplina como una rama independiente de la Mineralogía y por lo cual es llamado padre de la cristalografía. Los cristalógrafos emplean hoy en día el término cristal para referirse a cualquier sólido homogéneo que posee una estructura tridimensional interna ordenada, que bajo condiciones favorables, puede expresarse externamente por la formación de superficies planas y pulidas (figura 2.1). El estudio de los cristales y de las leyes que rigen su crecimiento, ristalografía, y se ha convertido forma externa y estructura interna recibe el nombre de C ristalografía en una poderosa poderosa herramienta en mineralogía, mineralogía, química, física, metalurgia, etc.
Figura 2.1: Cristal de forma cúbica con caras planas y pulidas (Fluorita, F 2Ca) http://www.venta-minerales.com/minerales-cristalografia.html s-cristalografia.html Fuente: http://www.venta-minerales.com/minerale
2.1.1. Definición de cristalografía Es la ciencia que estudia las características de los cristales y las leyes que gobiernan su crecimiento, forma externa y estructura interna . La cristalografía tiene por objeto: Estudiar los cristales en general Reconocer las formas cristalinas y las agrupa en clases y sistemas Analiza las relaciones matemáticas que existe entre las caras de los cristales. Estudia los cristales compuestos o maclas y los agregados cristalinos. Estudia las propiedades físicas y químicas de los cristales en relación a sus formas geométricas. 2.1.3. División de la cristalografía La cristalografía se divide en (figura 2.2): 1) Cristalografía geométrica 2) Cristalografía física o cristalofísica 3) Cristalografía química o cristaloquímica polied liedros La cristalografía geométrica, estudia los cristales considerándolos como po geo geométri cos cos, los agrupa en relación a los elementos de simetría que poseen y estudia la forma de los cristales en relación a la estructura interna o atómica. propii edades física fí sicass, generales como la direccionales, en La cristalofísica estudia las prop relación con las formas geométricas de los cristales. La cristaloquímica estudia las propiedades químicas en relación a la forma de los cristales, también trata la formación de los cristales (cristalogenía).
CRISTALOGRAFÍA
GEOMÉTRICA
CRISTALOFÍSICA
CRISTALOQUÍMICA
Figura 2.2: División de la cristalografía. 2.1.3. Definición de cristal Un cristal es un sólido homogéneo que posee un orden interno tridimensional que bajo condiciones favorables, favorables, puede expresarse externamente por la formación de superficies planas y pulidas (figura 2.3).
Figura 2.3: El término cristalino denota una distribución ordenada de átomos en la estructura. Fuente: http://es.slideshare.net/tango67/la-materia-mineral http://www.iessuel.org/ccnn/interactiv/minerales3_01.htm
2.1.4. Cristalización Los cristales se forman a partir de soluciones, fundidos y vapores . Los átomos en estos estados desordenados tienen una disposición al azar, pero al cambiar la temperatura, presión y concentración pueden agruparse en una disposición ordenada característica del estado cristalino : En una solución de sal (NaCl) en agua (H 2O), la sal cristaliza al evaporarse el agua: Por descenso de presión, de una solución saturada de sal, se sobresatura y se formará cristales de NaCl. Por descenso de temperatura, de una solución saturada de sal, se enfriará, se sobresatura y la sal cristaliza. A partir de vapor, a medida que el vapor se enfría, los átomos o moléculas separadas se van aproximando entre sí, hasta formar un sólido cristalino; por ejemplo copos de nieve a partir del aire saturado de vapor de agua. 2.2.
ORDEN INTERNO DE LOS CRISTALES La naturaleza interna de la materia cristalizada ya fue sospechada por el abate Haüy, quien al observar que exfoliando un romboedro de calcita se obtenían unidades cada vez más diminutas, dedujo que en el último grado se llegaría a un romboedro elemental indivisible formado por la disposición geométrica de los átomos que componen la unidad molecular del carbonato de calcio; el óptico alemán, el barón Von Laue, logró difractar los rayos X (R-X) en los cristales, que demostró la naturaleza de la materia cristalizada como periódica y ordena, respondiendo a una disposición geométrica espacial de los átomos e iones que forman los cristales (figura 2.4).
CRISTALOGRAFÍA
GEOMÉTRICA
CRISTALOFÍSICA
CRISTALOQUÍMICA
Figura 2.2: División de la cristalografía. 2.1.3. Definición de cristal Un cristal es un sólido homogéneo que posee un orden interno tridimensional que bajo condiciones favorables, favorables, puede expresarse externamente por la formación de superficies planas y pulidas (figura 2.3).
Figura 2.3: El término cristalino denota una distribución ordenada de átomos en la estructura. Fuente: http://es.slideshare.net/tango67/la-materia-mineral http://www.iessuel.org/ccnn/interactiv/minerales3_01.htm
2.1.4. Cristalización Los cristales se forman a partir de soluciones, fundidos y vapores . Los átomos en estos estados desordenados tienen una disposición al azar, pero al cambiar la temperatura, presión y concentración pueden agruparse en una disposición ordenada característica del estado cristalino : En una solución de sal (NaCl) en agua (H 2O), la sal cristaliza al evaporarse el agua: Por descenso de presión, de una solución saturada de sal, se sobresatura y se formará cristales de NaCl. Por descenso de temperatura, de una solución saturada de sal, se enfriará, se sobresatura y la sal cristaliza. A partir de vapor, a medida que el vapor se enfría, los átomos o moléculas separadas se van aproximando entre sí, hasta formar un sólido cristalino; por ejemplo copos de nieve a partir del aire saturado de vapor de agua. 2.2.
ORDEN INTERNO DE LOS CRISTALES La naturaleza interna de la materia cristalizada ya fue sospechada por el abate Haüy, quien al observar que exfoliando un romboedro de calcita se obtenían unidades cada vez más diminutas, dedujo que en el último grado se llegaría a un romboedro elemental indivisible formado por la disposición geométrica de los átomos que componen la unidad molecular del carbonato de calcio; el óptico alemán, el barón Von Laue, logró difractar los rayos X (R-X) en los cristales, que demostró la naturaleza de la materia cristalizada como periódica y ordena, respondiendo a una disposición geométrica espacial de los átomos e iones que forman los cristales (figura 2.4).
Figura 2.4: Esquema de la formación de un cristal Fuente: http://geodracky.blogspot.com/2009/08/cristalografia.html
En algunas sustancias, tanto naturales como artificiales, sin embargo, los átomos e iones no se encuentran ordenados, sino que guardan posiciones aleatorias como en un líquido, aunque sin la movilidad que caracteriza al líquido. Son los vidrios y su estructura se denomina amorfa (figura 2.5). Existe transiciones entre la naturaleza amorfa y cristalizada . Del perfecto cristal de cuarzo, se pasa al agregado microcristalino que constituye el pedernal y de esta a las variedades criptocristalinas en donde las unidades no pueden apreciarse, ni con ayuda del microscopio.
Figura 2.5: Sustancia amorfa y cristalina Fuente: http://www.artinaid.com/2013/04/el-estado-solido-de-la-materia/ http://rocasminerales.blogia.com/ http://www.regmurcia.com/servlet/s.Sl?sit=c,365,m,108&r=ReP-26901-DETALLE_REPORTAJESABUELO
La estructura cristalina es definida, repetitiva y periódica. Las unidades idénticas que se repiten, representadas por un punto (nodos o nudos), se distribuyen en una u na celda tridimensional (celda unitaria), de tal manera que todas ellas tienen idénticos alrededores, la red viene definida por las tres direcciones direcciones y las distancias distancias según las cuales el el motivo se repite (figura 2.6).
Figura 2.6: a) Retículo espacial de un sólido cristalino ideal. b) celda unidad con las constantes reticulares.Fuente: http://personales.upv.es/~avicente/curso/unidad3/naturaleza2.html 2.2.1. Celda unitaria La celda unitaria es la distribución de átomos, iones o moléculas más pequeñas, cuya repetición origina todo el conjunto cristalino (red cristalina). El conjunto de constituyentes químicos que forma la celda unitaria, se repite en las tres direcciones del espacio para formar todo el cristal. Esta es la razón para que el aspecto externo de un cristal esté relacionado con la forma geométrica de su celda unitaria (figura 2.7).
Figura 2.7: Esquema de una celda unitaria Fuente: http://www.ing.unlp.edu.ar/quimica/documentos/tipos.htm 2.2.2. Red cristalina La red cristalina es la repetición de la celda unitaria en todas las direcciones. Es la disposición ordenada y sucesiva de los constituyentes químicos a lo largo de las tres (3) direcciones del espacio (figura2.8).
Figura 2.8: Celdilla unidad o elemental que es el menor conjunto de átomos que mantienen las mismas propiedades geométricas de la red y que al expandirse en las tres direcciones del espacio constituyen una red cristalina. Fuente: http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/27092012/88/es-an_2012092713_9144534/ODEe80e03ad-0ad2-3296-a99c-263bec1a4865/12_estructuras_cristalinas.html
2.2.3. Elementos y parámetros de la celda unitaria Los elementos de la celda unitaria son: Los planos (caras, C): son los planos que determinan la forma.
Las aristas (A): es el resultado de la intersección de dos planos. Los vértices o nudos ( V): Corresponden a la intersección de 2 o más aristas.
Figura 2.9: Elementos de la celda unitaria Teorema de Euler: “el número caras más el número de vértices es igual al número de aristas más 2”
C+V=A+2 La geometría de la celda unitaria se define en función de 6 parámetros: La longitud de las aristas: a, b, c Los tres ángulos interaxiales: alfa ( α), beta (β), gamma (γ) Ángulo α entre b y c Ángulo β entre a y c Ángulo γ entre a y b
Figura 2.10: Parámetros de la celda unitaria. Fuente: http://patentimages.storage.googleapis.com/EP2541624A1/imgf0002.png http://consulta-tabla-periodica.blogspot.com/2011_12_01_archive.html https://www.uantof.cl/academicos/igarces/Cristalizacion%20INDEX.htm
2.2.4. Ejes, planos y ángulos cristalográficos Se llama ejes cristalográficos (denominado cruz axial por los cristalógrafos) a un sistema de ejes coordenados, cuyo origen coincide con el centro del cristal y que sirve para fijar la posición de las caras en el espacio, por la magnitud que él determina sobre los ejes, medidas a partir del centro. En los sistemas cúbico, tetragonal, ortorrómbico, monoclínico y triclínico se usa un sistema de 3 ejes coordenados (figura 2.11), en la cual: XX’ va de adelante hacia atrás y se llama antero-posterior YY’ se origina de derecha a izquierda y se le nombra como transverso . ZZ’ va de arriba abajo, se le llama vertical.
Figura 2.11: Ejes y ángulos cristalográficos (cruz axial). Fuente: http://www.hiru.com/image/image_gallery?uuid=a104af83-0522-4e0c-a9097cfec50abb64&groupId=10137
En los sistemas hexagonal y romboédrico se usa un sistema de 4 ejes: 3 ejes iguales horizontales, situados en un plano. 1 vertical, perpendicular a los horizontales (figura 2.12).
Figura 2.12: Ejes y ángulos cristalográficos del sistema hexagonal Fuente: http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm
En ambos casos el sistema de ejes cristalográficos se les conoce con la denominación “cruz axial”.
Los planos cristalográficos son los planos formados por ejes cristalográficos que dividen al espacio en 8 ó 12 partes, según sea el tipo del sistema de ejes; cada parte se llama un octante o dodecante, respectivamente. En forma general se llaman sextantes (figura 2.13).
Figura 2.13: Planos cristalográficos y sextantes. Fuente: http://www.natureduca.com/geol_mineral_materia3.php
Los ángulos formados por cada par de ejes cristalográficos, puede apreciarse en figuras 2.12 y 2.13: α ángulo entre el transverso y vertical. β ángulo entre el antero-posterior con la vertical. γ ángulo antero-posterior con el transverso.
a) Posición de las caras Los ejes cristalográficos sirven para precisar la posición de las caras de los cristales en el espacio, por las magnitudes de sus intersecciones sobre ellos, entonces la cara ABC (figura 2.14) que corta a los ejes XX’, YY’ y ZZ’, en los puntos A, B y C respectivamente, quedará
perfectamente ubicada si conocemos las magnitudes OA, OB y OC, a partir del origen. A estas magnitudes se conocen con el nombre de parámetros y se las representa, respectivamente, por a , b y c que colocadas en la forma:
a:b:c
Viene a constituir la expresión paramétrica de la cara ABC. En estos ejes coordenados, se considera como: Lados positivos: OX, OY, OZ
Lados negativos: OX´, OY´, OZ’ De tal manera que una cara (A’B’C’), que corta a los ejes en los lados negativos, tendrá
como expresión, colocándose los signos menos (-) sobre las letras: : : ̅
Figura 2.14: Posición de las caras de un octaedro en el espacio. Fuente: http://www.uned.es/cristamine/cristal/morfo_formas.htm
Se puede representar la forma completa tomando el símbolo de la cara de signos positivos y encerrándolo dentro de paréntesis, es decir, el símbolo de la forma vendría a ser: (a:b:c )
b) Forma fundamental Si los parámetros a, b y c de la cara ABC (figura 2.16) los consideramos iguales a la unidad (a=1, b=1 y c=1) entonces habremos fijado la posición de una cara unitaria o fundamental, con referencia a la cual podemos ubicar la posición de otras caras tal como la MNP. La posición de esta nueva cara estará dada por las longitudes OM, ON y OP¸ luego, si las referimos a los parámetros a, b y c, obtendremos ciertas relaciones tales como m , n y p:
=
=
Despejando numeradores: OM= m.OA ON= n.OB
OP= p.OC
Finalmente: OM= m.a
OP= p.c
ON= n.b
=
Luego colocando la expresión en forma paramétrica para la cara MNP: (ma:nb: pc ) Expresión paramétrica en la cual m, n, y p son 3 cantidades racionales casi siempre sencillas y que nos indican la relación de posición de ambas caras. Conclusión: Se puede multiplicar o dividir todos los parámetros de una cara por un mismo número para obtener caras paralelas.
Figura 2.15: Plano paralelo al plano fundamental o unitario. c) Tipos de caras De acuerdo como una cara corta a los 3 ejes cristalográficos se puede distinguir 3 tipos de caras: piramidal, prismática y pinacoidal (figura 2.16).
Figura 2.16: Tipos de planos cristalográficos.
Se denomina cara piramidal, como la ABC (figura 2.16a), cuando corta a los 3 ejes cristalográficos y tiene sus parámetros finitos , a, b y c. Pero si a=b=c o sea que su símbolo es a=a=a, entonces sabemos que se trata de una cara que corta a los 3 ejes a distancias iguales, o en otras palabras se trata de una cara piramidal del sistema cúbico. Se llama cara prismática cuando corta a 2 ejes y es paralela al tercero (figura 2.17b), su símbolo tendrá 2 parámetros finitos y el otro infinito, quedará representada: a:b:∞c prismática, corta ejes X y Y, paralelo a Z. a:∞b:c domática, corta ejes X y Z, paralelo a Y. ∞a:b:c domática, corta ejes Y y Z, paralelo a X. Recibe el nombre de cara pinacoidal (figura 2.17c), cuando corta a un eje y es paralelo a los otros dos. Sus símbolos son, respectivamente: a:∞b:∞c ∞a:b:∞c ∞a:∞b:c
d) Ley de la racionalidad de los parámetros (ley de Haüy) “Para cristales de una misma especie inorgánica, sus caras cortan siempre a los ejes a distancias tales del origen, que las relaciones entre los segmentos determinados por ellos sobre cada eje están representados por números racionales y generalmente simples” Esta ley limita el número de caras posibles en los cristales de cada sustancia; y la limitación es mayor todavía porque se ha encontrado en la práctica que los números que expresan esas relaciones no solamente son racionales, sino, casi siempre, menores que seis (6).
Figura 2.17: Ley de racionalidad de los índices. Fuente: http://ocw.uniovi.es/pluginfile.php/677/mod_resource/content/1/1C_C11812_A/cristalografia/4/imagenestema4/raci onalidadindices.jpg
2.3.
SISTEMAS CRISTALINOS Hay 7 diferentes combinaciones de los parámetros reticulares ( a, b, c y α, β, γ) que representan a 7 sistemas cristalinos (figura 2.18). Sistemas cristalinos
Cúbico
Romboédrico o Trigonal
Hexagonal
Ortorrómbico o Rómbico
Tetragonal
Figura 2.18: Los 7 sistema cristalinos
Monoclínico
Triclínico
El número de cristales que existe en la naturaleza es inmenso, pero, la existencia de ciertos caracteres análogos , a pesar de sus aspectos exteriores tan variados, han permitido su agrupación en 32 clases cristalinas y estas a su vez en 7 sistemas cristalinos. Estos caracteres son: a) Los elementos de simetría y b) Las constantes cristalográficas (parámetros reticulares). Los primeros permiten distinguir una clase cristalina y los segundos sirven para diferenciar a un sistema cristalino de otro. Los sistemas cristalinos (singonias), siguiendo la clasificación de Mallard, son en número de siete (7): cúbico, tetragonal, rómbico (ortorrómbico), hexagonal, romboédrico (trigonal), monoclínico y triclínico (figura 2.19).
Figura 2.19: Redes tridimensionales de los 7 sistemas cristalinosFuente:http://educativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/750/977/html/2_el_proceso_de_cristalizacin.html
En la tabla 2.1 se muestra los 7 sistemas cristalinos junto a las constantes o parámetros cristalográficos que la identifican a cada uno de ellos.
Tabla 2.1: Sistemas cristalinos, sus constantes cristalográficas y sus minerales representatrivos Sistema
Parámetros
Criterios de identificación
CÚBICO
a=b=c
4 ejes ternarios
α = β = γ = 90°
(a,a,a) Isométrico o monométrico
Ejemplo
Pirita
Minerales representativos Periclasa, halita, silvina, fluorita, pirita
HEXAGONAL
a = b =d ≠ c
α = β = 90° γ = 60° ó 120°
(a,a,a,c ) Dimétrico TRIGONAL o ROMBOÉDRICO
Ejes hexagonales
a = b=d ≠ c
α = β = 90° γ = 60° ó 120° Ejes romboedrales
Greenockita, zincita, erionita, berilio
1 eje senario
Prismas de Berilio Calcita, magnesita, cuarzo
1 eje ternario
ar = br = c r αr = βr = γr
(a,a,a,c ) Dimétrico TETRAGONAL
a= b ≠ c
α = β = γ =90°
Dolomita (con magnesita) Rutilo
1 eje cuaternario
(a,a,c ) Dimétrico wulfenita RÓMBICO
(a,b,c ) Trimétrico MONOCLÍNICO
Azufre, baritina, nitro, antofilita, natrolita, mordenita, sepiolita, zincosita, epsomita, goslarita
3 ejes α = β = γ = 90° binarios o 1 eje binario y 2 planos a ≠ b ≠ c
a ≠ b ≠ c
α = γ = 90° β ≠ 90°
Marcasita 1 eje binario o 1 plano
(a,b,c ) Trimétrico Yeso selenita TRICLÍNICO
a≠b≠
c
α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
(a,b,c ) Trimétrico
1 centro de simetría o sólo traslación
Microclina
Gibbsita, yeso, bórax, caolinita, talco, montmorillonita, tremolitaactinolita, riebeckita, crisotilo, escolecita, melanterita, mirabilita, palygorskita Calcantita
Como se puede ver, el sistema cúbico tiene una sola medida paramétrica, a, y por ello los cristales que pertenecen a este sistema se llaman monométricos (también isométricos); entre tanto que los sistemas tetragonal, hexagonal y romoédrico, tiene 2 medidas para métricas, a y c , y reciben el nombre de dimétricos; los sistemas ortorrómbico, monoclínico y triclínico, por tener 3 medidas distintas, a, b y c se denominan trimétricos.
Redes de Bravais
Para determinar completamente la estructura cristalina elemental de un sólido, además de definir la forma geométrica de la red, es necesario establecer las posiciones en la celda de los átomos o moléculas que forman el sólido cristalino; lo que se denominan puntos reticulares. Las alternativas son las siguientes: P: Celda primitiva o simple en la que los puntos reticulares son sólo los vértices del paralelepípedo. I: Celda centrada en el cuerpo que tiene un punto reticular en el centro de la celda, además de los vértices. F: Celda centrada en las caras , que tiene puntos reticulares en las caras, además de en los vértices. Si sólo tienen puntos reticulares en las bases , se designan con las letras A, B o C según sean las caras que tienen los dos puntos reticulares. C: Primitiva centrada en dos caras, además de los vértices. A. Bravais demostró en 1848 que sólo son posibles 14 formas de disponerse los átomos o moléculas, conocidas como redes espaciales o redes de Bravais (figura 2.19).
Figura 2.20: Existen 14 tipos diferentes de redes tridimensionales (redes de Bravais) que se agrupan en 7 sistemas cristalinos diferentes. Cada sistema cristalino viene caracterizado por unos determinados valores de las traslaciones y de los ángulos que forman de su celda unidad. A la celda unidad más sencilla (sólo elementos en los vértices) se le denomina primitiva (P). Pueden,
según los grupos, existir otro tipo de celdas: centrada en el interior (I), centrada en 2 caras (C), o centrada en todas las caras (F). Fuente: http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/1bachillerato/cristalizacion/contenido1.htm
2.4.
NOTACIÓN CRISTALOGRÁFICA La notación cristalográfica es una representación analítica que nos indica la posición de las caras en el espacio con relación a los ejes cristalográficos, tomados como referencia. Las notaciones de mayor uso han sido las de: Weiss Naumann Dana Goldschmidt Miller Levy Las notaciones de Naumann y Dana han quedado en desuso, porque es necesario recordar una serie de convenciones que las hace confusas. 2.4.1. Notación de Weiss Se designa a cada eje por las letras que indican los parámetros a, b y c y una característica delante de las letras indica la longitud interceptada por la cara sobre cada eje. Si las características son en general m, n y p, el símbolo de la cara, según Weiss, será:
ma:nb: pc
Las letras m, n y p nos indican el número de veces que las distancias paramétricas de la cara principal ABC (OA, OB y OC), están contenidas en las longitudes OM, ON y OP, de la cara MNP que intercepta los ejes cristalográficos; figura 2.21 y tabla 2.2.
Figura 2.21: ABC plano base fundamental y plano MNP con índices de Weiss Tabla 2.2: Notación de Weiss para los diversos sistemas cristalinos Sistema Intercepción Notación principal otras caras 3 ejes: a,a,a ma:na: pa Cúbico Hexagonal y 4 ejes: ( a,a,a),c ma:na:qa: pc romboédrico 3 ejes: a,a,c ma:na: pc Tetragonal 3 ejes: a,b,c ma:nb: pc Otros Ejemplo 2.1 Una notación 2a:a:3a, significa: Cara piramidal, corta los 3 ejes.
Corta a los ejes antero-posterior a una distancia doble ( 2a), al transverso a una distancia igual a la unidad ( a) y a la vertical en un triple ( 3a). La forma pertenece al sistema cúbico ( a:a:a).
Ejemplo 2.2 La notación 2a:∞a:∞c, nos indica La forma corta solo al eje antero-posterior (X) y es paralelo al eje transverso (Y) y vertical (Z). Su cara determinante es un pinacoide Por tener los parámetros a y c pertenecen al sistema tetragonal. 2.4.2. Notación de Miller Esta notación fue inventada por Whewel, en 1825, pero fue hasta 1839 que el profesor W. H. Miller, de la Universidad Cambridge, la perfeccionó y lo hizo conocer en su “Tratado de Cristalografía”.
Según la figura 2.22 la cara fundamental es la cara ABC y la cara cuya notación queremos encontrar es la cara HKL, cuyas intersecciones son OH, OK y OL, luego su expresión paramétrica será: (1) OH:OK:OL
Figura 2.22: Plano HKL fundamental y Plano ABC con índices de Miller Con ella podemos establecer las siguientes relaciones:
Luego:
=
=
=
=
=
=
Siendo: OA= 1, OB= 1 y OC= 1 (Por definición de plano fundamental). = = = Tendremos:
Reemplazando en la expresión paramétrica (1) se tendrá:
1 1 1 : :
Las cantidades h, k y l determinan completamente la cara HKL, de tal manera que puede suprimirse los numeradores y quedar reducido el símbolo a:
hk l
ó
(hkl)
Lo cual se conoce con el nombre de índices de Miller . Estos índices nos dan, ahora, el número de veces que las magnitudes OH, OK y OL, están contenidos en las distancias unitarias paramétricas OA, OB y OC.
Procedimiento para determinar los índices de Miller 1) Identificar los puntos en los cuales el plano intercepta los ejes coordenados X, Y, Z. Nota 1: Si el plano pasa a través del origen, el deberá moverse (trasladarse). Nota 2. Un plano paralelo a un eje se considera que corta en el infinito y por lo tanto la intercepción se le representa por ∞ y 1/∞ = 0. 2) Se escriben los números recíprocos de estas intercepciones. 3) Estos tres números se multiplican o dividen por un factor común para tener enteros: hkl. 4) Encerrar los números resultantes entre paréntesis: ( hkl). l) Nota 3: Los números negativos se les representa con una barra en la parte superior: ( h Ejemplo 2.3 Determinar los índices de Miller del plano mostrado en la figura adjunta.
Solución Ya que el plano pasa por el origen O, se debe escoger un nuevo origen en el vértice de la celdilla unidad adyacente, llamado O’.
Pasos Intercepciones en función de parámetros Intercepciones Recíprocos Reducción Encerrar entre paréntisis
X
Y Z ∞a -b c/2 ∞ -1 1/2 1/∞ 1/-1 2 0 -1 2 (0 ī 2)
2.4.4. Notación de Levy La notación de Levy, introducida en 1837, y muy usada por los cristalógrafos franceses. Es muy incómoda para el cálculo cristalográfico y no tiene las ventajas de las notaciones de Weiss y Miller, de poder representar, independientemente, formas cristalinas o caras aisladas. Representa a las caras considerándolas como truncaduras realizadas sobre los vértices o aristas de los núcleos primitivos (celdas unitarias), cuyos parámetros vienen dadas por tres (3) aristas concurrentes en un vértice. A cada uno de los elementos homólogos (iguales) los denomina con letras. Ejemplo 2.4 El núcleo menos simétrico, el del sistema triclínico (figura 2.23) tiene: 4 vértice idénticos: a, e, i, o. 4 aristas básicas diferentes: b, c, d, f. 2 aristas laterales: g, h. 3 pares de caras: p, m, t .
Figura 2.23: Notación de Levy. 2.4.5. Zonas cristalográficas (plano y eje de zona) En cristalografía se conoce con el nombre de zona al conjunto de caras paralelas a una dirección. Sus elementos son: eje de zona y plano de zona. Se llama eje de zona a una línea imaginaria que pasando por el centro del cristal es paralela a todas las caras que forman la zona. Plano de zona es un plano que pasa por el centro del cristal y es perpendicular al eje de zona. A las caras que pertenecen a una misma zona no es necesario que ellas tengan una arista común.
Figura 2.24: Las caras verticales están en zona, por estar todas paralelas al eje vertical, que en este caso coincide con el eje de zona. 2.5. SIMETRÍA DE LOS CRISTALES Simetría, en un sentido más amplio, significa repetición de caras iguales . Esta repetición puede lograrse mediante operaciones de simetría, tomando como punto de referencia: ejes de simetría, planos de simetría y centro de un cristal . En cristalografía se distingue entre operaciones de simetría y elementos geométricos de simetría; la primera se refiere a la manera como se hace corresponder un conjunto de puntos reticulares con sus homólogos, de tal manera que la estructura cristalina permanezca invariante en dicha operación; el segundo es el ente geométrico que sirve de soporte a las operaciones de simetría, tales como planos, ejes o puntos (Rodríguez L., 1986) Las operaciones de simetría fundamentales son las siguientes: 1) Rotación alrededor de un eje. 2) Reflexión sobre un plano. 3) Rotación alrededor de un eje combinado con inversión (inversión rotatoria). La simetría que describe el modelo macroscópico (cristal de masa homogénea) se llama simetría puntual o finita (simetría de grupos puntuales ) mientras que la que describe el modelo microscópico (escala atómica) se llama, simetría espacial o infinita (simetría de grupos espaciales). La simetría cristalina, en virtud de las imperfecciones de los cristales, no es tan rigurosa como la simetría geométrica , que exige distancias matemáticas. La simetría en los cristales sólo exige distribución similar de los elementos homólogos o semejantes (vértices, aristas y caras), de tal modo que si uno de ellos sufre alguna alteración, todos sus elementos simétricos con respecto al centro, planos y ejes, deben recibir idéntica modificación.
2.5.1. Leyes de simetría Haüy expresa la ley de simetría así “cuando en un cristal se produce una modificación cualquiera en un vértice o en una arista, idéntica modificación se observará en los elementos homólogos”
Así por ejemplo, si un vértice del cubo es sustituido o truncado por una cara, igual modificación se produciría sobre los ocho (8) vértices del cristal (figura 2.19).
Figura 2.19. Combinación de cubo (h) y octaedro (o) o bien cubo con vértices truncados. Fuente: http://www.naturalezadearagon.com/historianatural/geologia.php.
En forma semejante la sustitución de una arista conducirá a la modificación en las once (11) aristas restantes en virtud de esta ley (figura 2.20).
Figura 2.20. Combinación de cubo (h) con rombododecaedro (d); o bien cubo con las aristas truncadas. Fuente: http://www.naturalezadearagon.com/historianatural/geologia.php.
Estas modificaciones permiten obtener, a expensas de una forma primitiva simple, varias formas derivadas también simples, que tendrán distinto aspecto, pero poseerán los mismos elementos de simetría. En la figura 2.19 se puede ver como por truncadura progresivas de los vértices del cubo se deriva el octaedro.
Figura 2.21. Formación del octaedro por truncamiento progresivo de los vértices del cubo. Fuente: http://www.naturalezadearagon.com/historianatural/geologia.php.
Esta ley se explica porque las partes que son simétricas en los cristales (con relación al centro, planos y ejes) están constituidas por moléculas igualmente dispuestas y, por lo tanto, si aparece una nueva cara, se producirá simultáneamente y de la misma manera en las demás partes cuya disposición molecular es la misma.
2.5.2. Formas holoédricas y hemiédricas Muchos minerales parecen contra venir la ley de simetría. En efecto, es frecuente hallar cristales en los cuales solamente la mitad de uno de sus elementos geométricos homólogos está afectada por una modificación. Por ejemplo, el cubo de la figura 2.22a, que tiene cuatro (4) de sus ocho (8) vértices truncados.
Formación de un tetraedro (c) por truncadura progresiva (a, b) de la mitad alternante de los vértices del cubo. Figura 2.22.
Fuente: http://www.naturalezadearagon.com/historianatural/geologia.php.
Pues bien; por modificaciones de esta índole se originan formas derivadas, de simetría inferior a la forma original y dotada de un número de caras mitad del que tenía la forma que se originaría por modificación de todos los elementos geométricos homólogos. Así, mientras por truncadura de los ocho vértices del cubo (figura 2.21) se origina el octaedro, por truncadura de sólo cuatro alternantes (fig. 2.22a,b) se engendra el tetraedro (c). Como es natural, los sólidos así derivados no pertenecen a la misma clase que el sólido originario, pero ambas clases están, evidentemente, relacionadas. Se ha observado que, de las 32 Clases de Simetría , 26 pueden obtenerse de las 6 restantes por modificación conveniente de los elementos geométricos de sus formas. Este hecho permite reunir las 32 Clases de simetría en seis Sistemas cristalinos . La clase de máxima simetría de cada sistema se llama Clase holoédrica , y a sus formas, holoedros; sus derivadas se denominan Clases hemiédricas , y a sus formas, hemiedros.
Los hemiedros se pueden suponer derivados de determinados holoedros, imaginando que en éstos se desarrolla la mitad de las caras, mientras las otras desaparecen. Así, se dice que el tetraedro es el hemiedro del octaedro (figura 2.23) etc.
Figura 2.23. Formación del tetraedro por desarrollo de las caras no punteadas del octaedro. Fuente: http://www.naturalezadearagon.com/historianatural/geologia.php.
Un caso particular de la hemiedría es la: Hemimorfía. Se llaman hemimórficas las formas derivadas de otras por supresión de la mitad del cristal a un lado de un palo singular de simetría. Los cristales hemimórficos se reconocen porque en los extremos se un eje singular de simetría existen elementos geométricos de distinta significación (figura 2.24).
Figura 2.24. Cristal hemimórfico del sistema tetragonal. Fuente: http://www.naturalezadearagon.com/historianatural/geologia.php.
2.5.3. Elementos de simetría de los grupos de punto Los elementos de simetría permiten reconocer las relaciones existentes entre los diversos elementos de cada cristal (vértices, aristas y caras), a la vez permiten el agrupamiento de ellos en las clases cristalinas. a) Centro de simetría Un cristal tiene centro de simetría cuando al hacer pasar una línea imaginaria desde un punto cualquiera de su superficie a través del centro se halla sobre dicha línea y a una distancia igual, más allá del centro, otro punto similar al primero (figura 2.25a). El cristal de la figura 2.25a, tiene un centro de simetría , ya que el punto A se repite en el punto A’ sobre la línea que pasa desde A a través del centro C del cristal y las distancias AC y A’C son caras iguales paralelas y similares en lados puestos del cristal (Dana, 1960).
(a) (b) Figura 2.25. Centro de simetría de un cristal. Fuente: Dana, 1960 y http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/parte_03.html http://slideplayer.es/slide/3892191/
También se puede definir un centro de simetría como un punto que tiene la propiedad de que todas las rectas que pasan por él y que unen elementos homólogos. Así, cada vértice, arista o punto deben tener su correspondiente simétrico en el extremo de la recta que al punto con el centro.
b) Plano de simetría Un plano de simetría es un plano imaginario que divide un cristal en dos mitades, cada una de las cuales es la imagen especular de la otra.
(a)
(b)
Figura 2.26. Plano de simetría. Fuente: http://www.geovirtual2.cl/geologiageneral/ggcap02b.htm http://gaia.geologia.uson.mx/academicos/palafox/PARTE7DEF.HTM
En la figura 2.26, a cada cara, arista o vértice de un lado del plano de simetría corresponde una cara, arista o vértice en una posesión similar al otro lado del plano,
Los planos de simetría pueden ser imaginados como espejos, de ahí que en textos en ingles se representen con la letra m (mirror). Los planos de simetría de los cristales pueden estar orientados perpendiculares o paralelos a los ejes de rotación.
c) Eje de simetría (eje propio) Un eje de simetría es una línea imaginaria a través del cristal, alrededor de la cual puede hacerse girar el cristal y repetir éste su aspecto 2 o más veces durante una revolución completa.
Figura 2.27. Eje de simetría Fuente: http://www2.uned.es/cristamine/cristal/morfo_formas.htm En la figura 2.27 la línea CC’ es un eje de simetría, porque cuando gira
el cristal, sobre él, después de una rotación de 180º tendrá el mismo aspecto que al principio; o sea que las caras, aristas y ángulos sólidos similares aparecerán en el lugar de las caras, aristas y ángulos correspondientes a la posición original, El orden del eje dependerá de las veces que se repita el elemento homólogo en una vuelta. Los cristales presentan los órdenes de ejes que se aprecian en la figura 2.28.
Figura 2.28. Órdenes de los ejes de simetría Fuente: http://3dsym.unizar.es/?page_id=24.
e) Eje de simetría de inversión-rotatoria (eje impropio) Este elemento de simetría compuesto combina una rotación alrededor de un eje con inversión sobre un centro. Ambas operaciones deben completarse antes de que se obtenga la nueva posición. Son aquellos elementos de simetría que necesitan dos movimientos consecutivos para realizar una operación de simetría:
Operación de simetría = Rotación (n) + Inversión (189º) El orden de los ejes de inversión-rotación se les representan por:
Ejemplos Biesfenoedro y escalenoedro tetragonal: Romboedro y escalenoedro ditrigonal: Bipirámide y prisma trigonal y ditrigonal: La figura 2.29 se representa un cristal con un eje cuaternario de inversión.
A
B
Figura 2.29. Eje cuaternario de inversión ( 4̅ = 90º + ó (180º)) Fuente: http://www.quo.es/ser-humano/las-ventajas-de-ser-simetrico http://www2.uned.es/cristamine/cristal/morfo_formas.htm
En la operación de un eje de rotación cuaternario aparecerá: 4 puntos idénticos, cada uno a los 90º de giro. Todos en la parte superior o todos en la parte inferior del cristal. En la operación de ejes cuaternarios de inversión por el contrario, se hallarán también 4 puntos idénticos: 2 estarán en la parte superior.
2 estarán en la parte inferior del cristal
La operación de tal eje implica: 4 rotaciones de 90º, cada una de ellas seguida de una inversión; de este modo: Si el primer punto esta en la parte superior del cristal, El segundo estará en la parte inferior. El tercero en la parte superior y El cuarto nuevamente en la parte inferior • • • •
Tabla 2.3. Elemento
Nombre
Simbolo ( al plano)
Nomenclatura Ángulo de giro E1
360º
Binario
E2
360/2 = 180º
3
Ternario
E3
360/3 = 120º
4
Cuaternario
E4
360/4 = 90º
6
Senario
E6
360/6 = 60º
1*
Nonario
2
No tiene
̅ 1
No tiene
360º
̅ 2
Plano especular equivalente
180º
̅ 3
120º
̅ 4
90º
̅ 6
60º
Fuente:
2.5.4. Notación de la simetría del grupo de puntos Para expresar la descripción de la simetría de un cristal, en base a sus elementos de simetría (eje, plano, y centro), se han propuesto varios esquemas de notación. El más fácil de recordar es: Eje de rotación: An o An (En o En). Donde n es 2, 3, 4, 6. Un plano se designa por: P. Un centro se designa por: C • • •
Utilizando estas notaciones la simetría del cristal de la figura 2.30 con 1 centro, 1 eje cuaternario, 4 ejes binarios y 5 planos de simetría, se representaría así:
C, 1A4, 4A2, 5P
o
C, 1E4, 4E2, 5P
Figura 2.30. Cristal de Idocrasa con simetría cristalina C, 1A4, 4A2, 5P. Fuente: http://www2.uned.es/cristamine/cristal/morfo_formas.htm
De esta manera es posible expresar todas las condiciones de simetría, menos dos situaciones: una cuando no ya simetría y otro cuando es el eje de inversión-rotatorio cuaternario (AP 4).
Notación de HERMANN-MAUGIN La notación de Hermann-Maugin ha sido ampliamente aceptada por la gran mayoría de cristalógrafos. Mediante ellos se puede expresar la simetría externa (grupo de puntos) y la simetría interna (grupo espacial). Utilizando los símbolos de Hermann-Maugin, los elementos de simetría se designan así: Los ejes de rotación se indican con: 1, 2, 3, 4, 6. Los ejes con inversión rotatoria se designan con:
Los planos de simetría se representan con: m Un eje con un plano de simetría normal a él se representa por una fracción: 2/m, 4/m
Figura 2.31. Dibujo para mostrarlo donde se ubica el plano de simetría y la orientación de los ejes binarios Fuente: gaia.geologia.uson.mx/academicos/palafox/PARTE7DEF.HTM
Figura 2.32. Ejemplos de notaciones Hermann-Maugin Fuente: http://www.ugr.es/~ipalomo/pages/Temas/Tema5/pag_13.htm
La simetría expresada con: C, 1A4, 4A2, 5P (figura 2.30) Su equivalente en notación Hermann-Maguin es: 4/m2/m2/m Aquí el eje cuaternario es vertical en ángulo de 90º con un plano de simetría horizontal. Los ejes binarios están en un plano horizontal formando entre sí ángulos de 45º y con planos de simetría normales a ellos (figura 2.33).
Figura 2.33. Cristal de idocrasa con notaciones de sus elementos de simetría: C, 1A4, 4A 2, 5P o 4/m2/m2/m. Fuente: http://www2.uned.es/cristamine/cristal/morfo_formas.htm
2.5.5. Reglas relativas a la simetría cristalina Estas reglas permiten encontrar algunos elementos de simetría en función de otros ya conocidos. 1) Cuando un cristal tiene centro de simetría ©, la existencia de un eje de orden par (A2n) determina la presencia de un plano de simetría (P), perpendicular al eje o a la inversa (figura 2.34).
Figura 2.34. El centro y el eje binario dan origen al plano P
2) La presencia de n ejes binarios sobre un plano determinan la existencia de un eje de simetría de orden n, perpendicular al plano de los ejes binarios (figura 2.35).
Figura 2.35. Los ejes A 2’ y A2’’ se hallan en un plano; existe un tercer eje A 2’’’ que es de orden 2 perpendicular al plano de los otros ejes. 2.5.6. Elementos de simetría de los sistemas cristalinos En la tabla 2.4 se muestra los elementos de simetría, empezando por el sistema que tiene el mayor número de ellos. Tabla 2.3. Elementos de simetría y sus notaciones en los siete sistemas cristalinos Sistema
Cúbico
Hexagonal Romboédrico (Trigonal)
Tetragonal
Ortorrómbico (Rómbico) Monoclínico Triclínico
Elementos de simetría (Holoedría) 4 Ejes ternarios 3 Ejes cuaternarios 6 Ejes binarios 9 Planos de simetría 1 Centro de simetría 1 Eje senario o principal 6 Ejes binarios (en 1 plano) 7 Planos de simetría 1 Centro de simetría 1 Eje ternario 3 Ejes binarios (en 1 plano) 3 Planos de simetría (perpendiculares a ejes) 1 Centro de simetría
Notación elementos
de
1 Eje cuaternario (perpendicular a 4E2) 4 Ejes binarios a 45º (distintos en un plano) 5 Planos e simetría 1 Centro de simetría 3 Ejes binarios (2 en un plano y 1 perpendicular) 3 Planos de simetría 1 Centro de simetría 1 Eje binario 1 Plano de simetría 1 Centro de simetría 1 Centro de simetría
1E4, 4E2, 5P, C
los
4E3, 3E4, 6E2, 9P, C
1E6, 6E2, 7P, C 1E3, 3E2, 3P, C
3E2, 3P, C 1E2, 1P, C C
2.5.7. Clases de simetría de los grupos puntuales Se ha demostrado que existe un número limitado de maneras para ordenar objetos, tales como los átomos, alrededor de un punto (vértice o lugar reticular). Solamente existen 32 de estas maneras; se conocen como los 32 grupos puntuales. Cuando las 32 maneras posibles de ordenar objetos alrededor de un punto se combinan con los 14 retículos (celdas) de Bravais, el resultado es 230 tipos posibles de ordenaciones de objetos en el espacio; los llamados grupos espaciales. Las 32 combinaciones de los elementos de simetría (planos y ejes de rotación e inversión) se llaman las 32 clases cristalinas . Cada una de las 32 clases difieren unas de otras por sus elementos de simetría y por sus propiedades físicas. En la tabla 2.4 se indican las 32 clases cristalinas con sus notaciones de simetría; las 15 más importantes para el mineralogista se resaltan en negrita. Tabla 2.4. Las 32 clases cristalinas
Fuente: Dana, 1960.
2.6. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Una proyección de un cristal es un medio para representar un cristal tridimensional en una superficie plana bidimensional.
Figura 2.36. Proyección equiangular. Fuente: http://www.geovirtual2.cl/Geoestructural/prak02.htm
Hay diferentes tipos de representación, usados para fines distintos (figura 2.37). Por la naturaleza de su representación se dividen en dos grandes grupos: a) Representaciones planas: nos dan la perspectiva del cristal, la disposición de sus caras y permiten establecer o calcular ciertas relaciones angulares. Pueden ser, perspectiva caballera y representación plana ortogonal (figura 2.38). b) Proyecciones esféricas: se representan los polos de las caras, no se representa al cristal directamente. Perspectiva Representación plana
caballera Proyección ortogonal
Representación gráfica
Ortogonal
Gnomónica
Estereográfica
Figura 2.37.Tipos de representación de los cristales.
Figura 3.38. Representaciones plana de los cristales. 1) Proyección esférica En las proyecciones esféricas se considera el cristal inscrito en una esfera de tal manera que coinciden los centros de ambos y para obtener los polos, correspondientes a las caras del cristal, se trazan rectas normales desde el centro del cristal a cada una de sus caras, prolongándolas hasta que cortan a la superficie de la esfera. De este modo se obtienen los polos a (100), b (010), c (001), etc. de las caras A, B y C, etc. respectivamente (figura 2.39)
Figura 2.39. Proyección esférica de un cristal El conjunto de todos los polos, cada uno de ellos representa una cara o plano, conforma la representación gráfica de la proyección esférica del cristal (figura 2.40); cada uno de ellos puede quedar definido en el espacio por coordenadas esféricas , las cuales normalmente se denominan φ (fi) y ρ (rho) (Roquet, 2008).
Figura 2.40. Proyección y coordenadas esféricas. Fuente: En base a http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA04/Sistemas%20de%20coordenadas.htm http://www0.unsl.edu.ar/~geo/materias/mineralogia/documentos/practicos/Guia_de_trabajos_practicos_Mineralogia. pdf
La proyección esférica es muy útil para formarse una idea de las relaciones que existen entre las distintas caras y zonas de un cristal, pero debido a su naturaleza tridimensional no se puede hacer fácilmente un estudio detallado por eso es más simple reducir el problema a dos dimensiones y con ello poder hacer mediciones más precisas.
2) Proyección estereográfica La proyección estereográfica se puede considerar como derivada de la proyección esférica. El plano de proyección se toma comúnmente como el plano ecuatorial de la esfera. La proyección estereográfica proporciona un mapa sobre el cual se pueden mostrar direcciones y planos específicos de un cristal.
Figura 2.41. Proyección estereográfica de un plano. Fuente. Elaborado en base a: http://www0.unsl.edu.ar/~geo/materias/mineralogia/documentos/practicos/Guia_de_trabajos_practicos_Mineralogia. pdf http://www.fempatrimoni.cat/www-crista/CASTELLA/proj-estereo/projeccio-estereo1_es.htm
Para lograr la representación de un polo en la superficie de proyección se opera de la siguiente manera (figura 2.41): a) Se traza una normal a la cara que se desea proyectar y se la continúa hasta que intersecte a la superficie de la esfera. b) Se une este punto de intersección, p polo de proyección esférica, con el punto de emergencia -z si éste se sitúa en el hemisferio superior o con +z si se sitúa en el hemisferio inferior. c) El punto de corte q, resultante de la intersección del segmento trazado en el ítem anterior con el plano ecuatorial, que contiene a los ejes x e y, es el polo de la cara en un sistema de proyección estereográfica (Roquet, 2008). Como regla general para diferenciar a los polos del hemisferio superior de los del hemisferio inferior se marcan a los primeros con puntos y a los segundos con cír culos.
3) Red de Wulff En una proyección estereográfica , la medición y el trazado de los ángulos correspondientes a las coordenadas polares de caras cristalinas, y la posterior ubicación de sus respectivos polos, puede verse facilitada mediante el uso de una plantilla circular denominada Red de Wulff (figura 3). Sobre ella se pueden situar el conjunto de polos correspondientes a la proyección de un cristal y posteriormente leer correctamente los ángulos entre dos caras cualesquiera. Para ubicar el polo relacionado a una cara cuyos valores de coordenadas esféricas se conocen, se procede de la siguiente manera: a) Se señala con una marca sobre un papel transparente el valor de sobre el círculo máximo (ecuatorial). b) Se gira el papel transparente hasta hacer coincidir la marca anterior con un círculo vertical (NS o EW). c) Se marca el valor correspondiente a ρ teniendo en cuenta que el valor 0º coincide con en centro de la red, este punto es el polo de la cara cuyas coordenadas esféricas son yρ (Roquet, 2008).
Figura 2.42. Red de Wulff. Fuente. Elaborado en base a: http://slideplayer.es/slide/3877747/ https://es.scribd.com/doc/43300137/Redes-estereogr-ficas
es el ángulo horizontal (figura 4a), y se mide sobre el plano ecuatorial; su valor es 0º en la emergencia de eje +y. A partir de allí toma valores positivos hasta +180º en sentido horario y negativos hasta -180º en sentido antihorario, ambas escalas convergen en -y. ρ es el ángulo vertical (figura 4b), y se mide sobre los diferentes círculos meridianos de la esfera de proyección; su valor es 0º en los puntos +z y -z, a partir de cualquiera de ellos toma valores
crecientes hasta 90º en el círculo ecuatorial, son positivos todos los valores de ρ correspondientes
al hemisferio superior y negativos los del hemisferio inferior.
Figura 2.43. Manera de medir los ángulos de coordenadas esféricas Fuente. http://www0.unsl.edu.ar/~geo/materias/mineralogia/documentos/practicos/Guia_de_trabajos_practicos_Mineralogia. pdf
La proyección se emplea para 1) Visualizar y discutir las relaciones entre dos planos y las direcciones en un cristal. 2) Ayudar en el análisis de rayos X y patrones de difracción producidos por haces de electrones 3) Representar esquemáticamente la simetría de una red 4) Determinar ángulos entre planos y direcciones en el cristal
2.7. MORFOLOGÍA DE LOS CRISTALES: formas y hábitos Un poliedro geométrico se refiere únicamente a la forma exterior sin importarle el material de que esta hecho, es decir sin buscar ninguna relación entre la masa y la forma; le interesa sólo el espacio. Ejemplo: Un cubo será un poliedro geométrico cualquiera que sea el material de que está construido, bien sea de madera o vidrio.
Poliedro cristalino se refiere a la forma y su relación con el material que la constituye. Por eso un cristal debe satisfacer estas dos condiciones: 1) Debe tener forma poliédrica exterior. 2) Debe existir una relación íntima entre la forma y la estructura interna. En cristalografía, la forma externa se designa con la palabra hábito, mientras que forma se usa en un sentido especial y restringido.
2.7.1. Forma cristalina Una forma consiste en un grupo de caras cristalinas todas las cuales tienen la misma relación con los elementos de simetría y exhiben las mismas propiedades físicas y químicas, pues todas tienen debajo los mismos átomos en la misma ordenación geométrica. 2.8.
MACLAS
