Capítulo 2. Operadores 2.1. Operadores lineales 2.2. Funciones propias y valores propios 2.3. Operadores hermitianos 2.3.1. Delta de Kronecker 2.4. Notación de Dirac 2.5. Operador Adjunto
2. Operadores En la mecánica cuántica, los operadores son objetos que se usan cotidianamente. Este capítulo está dedicado a revisar algunos conceptos relacionados con estos objetos. , es un objeto que transforma a una función, g , en otra, Definición: Un operador, O
h, = h . Og
Por ejemplo, al derivar una función, f ( x ) , la función resultante, f ′( x ) , generalmente es distinta. Por lo tanto, al procedimiento de derivación se le puede asignar un operador, f ′( x ) ≡
df
=
dx
d dx
f ( x ) = Df ( x ) .
, le llamaremos operador diferencial. Al multiplicar una función por A este operador, D
una constante, obtenemos una nueva función. Lo mismo ocurre cuando la multiplicamos por otra función. A este tipo de operadores les denominaremos operadores multiplicativos, 2π ⋅ ⋅ f ( x ) = g( x ) ,
x ⋅ f ( x ) = k ( x ) .
Los operadores pueden combinarse formando otros más complejos, suma de operadores:
, ( A + B ) f = Af + Bf
composición de operadores:
f = A . ) ( AB ) ( Bf
Los operadores siguientes son ejemplos de estos casos, A = 1 +
B =
2-2
d dx
d dx x ,
,
= f + f ′ , Af
= Bf
d dx
( xf ) .
Definición: El conmutador de dos operadores es el operador siguiente, − BA . [ A , B ] ≡ AB
El conmutador cumple las siguientes propiedades:
[ B , A ] = −[A , B ] , [ A , B + C ] = [ A , B ] + [ A , C ] = A [ A , BC ] [ , B ]C + B [A , C ] .
También existen los operadores integrales, entre ellos, la transformada de Laplace, ≡ Lf
∞
0
e − f ( x ) dx ≡ F( t ) . tx
2.1. Operadores lineales Entre la gran variedad de operadores que existen, los operadores lineales son los más comunes. Definición: Un operador, A , es lineal si cumple las dos propiedades siguientes:
1)
, A (cf ) = cAf
2)
+ Ag . A ( f + g ) = Af
en donde f y g son funciones arbitrarias y c es cualquier escalar. Por ejemplo, el operador diferencial es un operador lineal.
2.2. Funciones propias y valores propios Para todo operador lineal existe un conjunto de funciones, {u n } , y un conjunto de escalares, {a n } , tales que satisfacen la ecuación Au n = anun .
2-3
A esta ecuación se le conoce como la ecuación de valores propios del operador A , a los escalares, an , se les llama valores propios del operador y a las funciones un se les denomina funciones propias. Al conjunto de valores propios comúnmente se le llama espectro del operador. Ejemplo: Para el operador p x ≡ −i
∂ , la ecuación de valores propios es la ∂ x
siguiente, p xφ p = pφ p ,
en donde p es el valor propio y φ p es la función propia. Esta ecuación es una ecuación diferencial ordinaria que puede rescribirse en la forma
φ p′
=
ip
φ p ,
y que tiene las siguientes soluciones,
φ p ( x )
= ce
ipx
,
en donde el valor propio es cualquier número real. En este caso el espectro es continuo. Ejemplo: Si las funciones propias de p x deben ser periódicas, con período L ,
φ p ( x ) = φ p ( x + L) , entonces se debe cumplir la condición 1 = e
ipL
.
Esta condición es equivalente a las dos siguientes cos
pL p L
= 1,
sin
pL
= 0
.
Por lo tanto, pn =
2-4
2 nπ
L
,
φ n ( x )
=e
i
2 π nx
L
,
n = 0,±1,±2, . . .
En este caso, el espectro es discreto.
2.3. Operadores hermitianos Dentro de los operadores lineales existe un grupo de operadores que son de gran importancia en la mecánica cuántica. Definición: Un operador O es hermitiano si, para todo par de funciones f y g , se
cumple la igualdad *
( ) ( ) f Og = *
Of g.
Por ejemplo, el operador A = x
es hermitiano, mientras que = D
d dx
si es hemitiano. El operador no lo es. Sin embargo, un operador relacionado con D
C = i
d dx
es hermitiano siempre que f , g → 0 en los bordes del dominio de las funciones. En muchas aplicaciones los conjuntos de funciones forman espacios vectoriales, en estos casos las funciones tienen propiedades similares a los vectores c artesianos. En particular, es posible definir el concepto de ortogonalidad entre funciones. Definición: Dos funciones son ortogonales si
La integral
f
*
f
*
g = 0 .
g puede usarse como una definición del producto interno entre las
funciones f y g , ya que cumple con las propiedades de este tipo de producto, por lo que es posible introducir conceptos tales como proyección y norma en los espacios vectoriales de funciones.
2-5
Los valores propios y funciones propias de los operadores hemitianos tienen propiedades muy interesantes. Teorema: Los valores propios de un operador hermitiano son reales.
Este teorema se demuestra partiendo de la ecuación de valores popios del operador y haciendo algunas manipulaciones. También es necesario hacer uso de la propiedad de hermiticidad.
(
Au n = an un ,
Au n
(
un* A un = an un*un = un A un
u u (a *
n
n
*
)
− an = 0
n
)
*
*
)
*
*
= an un
*
= an un un
*
,
,
,
*
∴ an = an .
ortogonales, si sus Teorema: Las funciones propias de un operador hermitiano son ortogonales, valores propios son diferentes. En este caso, se usa la ecuación de valores propios para dos funciones propias con valor propio distinto.
(
Au n = an un ,
Au m
(
um A un = an umun = un A um *
u u (a *
m n
∴
u u *
m
n
n
*
)
*
*
)
*
= am um ,
*
= am um un ,
− am ) = 0 ,
= 0 .
Cuando un operador tiene más de una función propia con el mismo valor propio, se dice que estas funciones son degeneradas. El teorma anterior garantiza que las funciones degeneradas son ortogonales a las funciones propias que tienen valor propio distinto, sin embargo el teorema no implica que las funciones degeneradas sean ortogonales entre ellas. Este hecho no genera ningún problema ya que siempre es
2-6
posible hacer una combinación lineal de las funciones degeneradas para obtener un conjunto de funciones propias que sean ortogonales entre sí. Siempre que sea posible, las funciones propias deberán cumplir con la condición
u u *
n n
= 1 . En este caso se dice que las
funciones están normalizadas. Así, para todo par
de funciones propias se cumple la condición
1 , n = m
*
u m un = δ mn =
,n ≠ m
0
.
2.3.1. Delta de Kronecker La delta de Kronecker, δ mn , es un símbolo que representa dos posibles valores, dependiendo de sus índices,
1 , n = m
δ mn =
0 , n ≠ m
.
Dado que este símbolo sólo es diferente de cero cuando sus índices son iguales, las sumas que incluyen a la delta de Kronecker se pueden simplificar fácilmente,
δ
Bm = δ 1n B1 + δ 2 n B2 ++δ nn nn Bn + = 0 ⋅ B1 + 0 ⋅ B2 ++ 1 ⋅ Bn +
mn
m
.
= Bn
En general, las funciones propias de un operador hermitiano forman un conjunto completo. Así, toda función arbitraria, φ ( x ) , puede expresarse como una combinación lineal de los elementos de la base del espacio vectorial,
φ ( x ) = bn un ( x) , n
en donde los coeficientes bi están dados por
bi = ui* ( x) φ ( x) dx .
Estos coeficientes juegan el papel de componentes y corresponden a la proyección de la función f sobre la función f unción normalizada ui . Finalmente, se puede ecribir la ecuación
2-7
φ ( x )
=
u ( x ′)φ( x ′)dx ′ ⋅ u ( x) = u ( x) u ( x ′)φ ( x ′)dx ′ , *
n
*
n
n
n
n
n
en donde la última integral puede identificarse como un operador integral identidad, y a su parte interna, agrupada en corchetes, se le denota con el símbolo siguiente,
u ( x) u ( x ′) ≡ δ ( x − x ′) . *
n
n
n
A la distribución δ ( x − x ′) se le denomina la delta de Dirac. Algunas propiedades de la delta de Dirac son las siguientes,
δ ( x − x ′ ) = 0 ,
δ ( x
0
δ ′ ( x
0
cuando x ≠ x ′ ,
− x ) f ( x ) dx = f ( x 0 ) , − x ) f ( x ) dx = − f ′( x 0 ) .
2.4. Notación de Dirac La notación de Dirac, en su versión más simple, puede verse como una notación abreviada que permite representar a la mayoría de las operaciones entre operadores y funciones. ket
g ≡ g( x )
bra
f ≡ f ( x )
braket
f g ≡
función
*
f
*
función conjugada g
integral entre una función y otra conjugada c onjugada
Así, dado que un operador transforma a una función en otra, un operador también transforma a un ket en otro, A g ≡ Ag .
Los brakets cumplen con la siguiente condición, g f
2-8
*
= f g
.
Las funciones propias de un operador hermitiano pueden representarse por kets, y éstos son ortonormales, es decir, son ortogonales y están normalizados, n m = δ mn .
um = um = m ,
En esta notación, la propiedad de hermiticidad para un operador O toma la forma siguiente, g . f Og = Of
Observe que, para los operadores hermitianos, el operador puede aparecer tanto en el bra como en el ket, sin afectar el valor que tiene el braket. braket. Para los operadores que que no son hermitianos, esto no es posible, sin embargo existe otra opción que se presenta posteriormente. Ejemplos del uso de la notación de Dirac
1. Desarrollo de ϕ :
ϕ
=
b
n
bi = i ϕ ,
n ,
n
ϕ ( x )
=
u ( x)[ u ( x ′)ϕ ( x ′)dx ′] , *
n
n
ϕ
n
n
I =
n
=
n ϕ ,
n
n
n
L L 2. Para las funciones periódicas en el intervalo − , , se tiene una base formada por
2 2
las funciones propias del operador p x , n =
1
L
e
i
2 π nx
L
.
Los coeficientes del desarrollo de la función f unción arbitraria ϕ tienen la forma L
bk = k ϕ =
1
L
2
e − L
−i
2 π kx
L
ϕ ( x ) dx ,
2
2-9
por lo que
ϕ
=
1
b e L
i
2 π kx
L
.
k
k
Esta ecuación corresponde al desarrollo de ϕ en series de Fourier.
2.5. Operador Adjunto Si A es un operador lineal, al operador A + que satisface la igualdad
( ) ( f
*
Ag =
)
*
A + f g ,
se le llama el adjunto del operador A . = Por ejemplo, si D
+ =− D
d dx
d dx
, entonces
.
y D + satisfacen la igualdad Usando la notación de Dirac, los operadores D +f g . f Dg = D
De acuerdo con la definición anterior, un operador hermitiano es su propio adjunto y
( ) + D
2-10
+
. = D
