i: elec'trico,
f'lujo, le
dlvergencia .•pues .•pues de ibuj ibujar ar al ..un ..unos os de
lfneas
sign signif ific icad ad
c.a.ropes a.ropes des.cri.t.·.Os
Ningun un deflujo. Ning
ffsi ffsico co
ta
haci haci fuer fuer
ar atra atraer er
go esta esta pres presen ente te
fluj fluj
elec electr tric ic
puntual st
capi capitu tulo lo pres presen en
ma co side sidera rado do ..
inte intere re arse arse much much
aislante
(0
en os camp campos os elec elec rico rico
mate materi rial al diel dielec ectr tric ico, o,
esta esta icos icos
simplemente dielectrico)
,ren-.o.,
[am. Iia-.
part partic ic la ff ic se pr yecyec-
De
52
Ga
0se tric trices es idea ideale les. s. Su expe experi rime ment nt
co sist sistio io esen esenci cial alme me te de 0s igui iguien en es pa os
1.
Iect Iectri rico co entr entr ella ellas, s, 1.
La
ci
en ca
hemi hemi:s :sfe feri ri
la esfera exterior-era quee queest st se cump cumpli li
fluj te fluj
flujo elec electr tric ico. o.
le
no
magnitud inde indepe pend ndie ient ntem emen en
m o desplazamieruo, flujo de desplazamiento,
simplemen-
1i el fluj fluj
elec electr tr co ma .S
resu result lt
afor afortu tuna nado do util utiliz izar ar unid unidad ades es \II (psi)
inte interi rior or po Q,
dio
b, co
pectiv ivar arne ne te (f gura gura .. ). as ra -0.,. re pect
carg cargas as
Wco Q(
'II)
de un impo import rtan ante te cant cantid idad ad nueva. la de sida sida de fluj fluj elec electr tric ic
ensi ensida da
de jluj jluj
1.J1/47ra
me id
D, espl esplaz azam amie ie to
en coul coulom om
Ql4na
metr metr
C/m2,
cuad cuadra ra
dens densid idad ad de desp despla laza zami mien ento to
(uni (unida da
al-
La "den "densi sida da
•1
de flujoelec flujoelectric tric
Aislante material dieleetrico
Bsferas metalieas
Ifl pa de este este as once oncent nt ca carg cargad adas as La direcci6n diel dielec ectr trco co co ocad ocad en re as esfe esfe as ig ra
se nc uy
inte inte sida sida
.1
camp camp
elec elec rico rico E.
.l
-a __ ._ . 4na
f""a
·-
un dist distan anci ci
donde
· 8
4nb
r=b
:::: ::::
(esf (esfer er
inte interi rior or
(esf (esfer er
exte exteri rior or
b,
D=
· a
4ll'r2
ma Q,
nt (1)
para 4ll',-2 4ll',-2 ..
la
53
divergencia
Par espaci ci (s610 espa
libr libre) e)
(2)
volumerrica espaci ci (s610 espa
Jibr Jibre) e)
(3)
(4)
definicion
rada rada
mues muestr tran an
sigu (I) sigu
sien siendo do apli aplica cabl ble, e,
libre.
ec aci6 aci6
10
(3
ir
que
apar aparec ecer era. a.
seran inal inal mente,
Cons Consid ider eres es un senc sencil illo lo ejem ejempl pl nume numeri rico co para para ilus ilustr trar ar esta esta cant cantid idad ades es
unidad unidades es nuevas nuevas
nC/m 10
So'uci6n.
E=
10-
PL
2rrEop
2rr(S.854
lO-12)p
En
--
10-
1.273
10-
lm
•2
cont conten enid id
en es long long tu
Lo re ltad ltados os
da
br
lo
uper uperfi fici ci
yd
55
'Ii
xper xper me os
Fara Fara ay co la
sf ra
once once rica rica
pued pueden en re mi
1ae fera fera inte interi ri r,
misma, ad de co oc a, pero pero +Q coul coul mb en cual cual indu induci ci de
ie cond cond ctor ctor inte interi ri
plet pletam amen ente te cerr cerrad ada, a, elec electr tric ic indu induci cirf rfan an cono conoce ce como como le
ro
II :: ::
us
rrad rrad po es supe superf rfic icie ie
pa
lv
cira cira un
ar
D en en s d a
56
de
uj
e le le c c Q le
Ga
divergencia
.\
ig
.2
dens densid idad ad de
debido de
la
6S.
se
muestra esta en na
pe fici fici imaimaentone nees es pasa pasara ra couQ, ento
D s donde
quefio elernento
md
in-
supe superf rfic icie ie cuya cuya
quefio elem elemen ento to de supe superf rfic icie ie debe Se
rinica dire direcc cci6 i6
posible posible
.D ua
la su erfi erfici ci
ea cerr cerrad ad
fuera'' signif ific icad ad espe especf cffi fico co tenga un sign Cons Consid ider eres ese, e, en cual cualqu quie ie punt punt P, un pequ pequef efio io elem elemen ento to de supe superf rfic icie ie )c haves e l p ro ro du d u c t de 1 a c o m p o n e n t e Ds Y.6 ,1\I
fluj fluj
fluj fluj
coor coorde dena nado do .6.S
total que pasa
s, normal
,1S
Ds
!lS
asu
uperfieie ~S, dilt
Ds d8
~perfiae
"""""" inte integr gral al de up rfic rficie ie ce rada rada
.S
llS
"hacia
d¢ do simb simb lo
de d¢
8610 un
nteg ntegra ra
dS indi indica ca auto automa ma Ultima
cerrada.
superficie
gaus gaussi sian an ..
Q= 2;Qn
Q=
PLdL
pa una.car una.carga ga 'sup 'super erfi fici cial al
lpsdS
(n
eces ecesar ar amen amen
vol
Par repr repres esen ents ts cual cualqu quie iera ra expr expres esar arse se en terminos
na supe superf rf ci
cerr cerrad ada) a)
pu dv
ultima ma form formul ula, a, Ia ulti
acep acepta ta qu
en eI .3
l.
la
Eor2
ue to
ue
La
58
IT
Dens Densld ld
de fl jo elec elec rico rico le de Gaus Gaus
divergencia
Figura 3.3 sa re un su er icie icie este estenc nc ce rada rada de
superf superfici ici esteri esterica ca agni agnitu tu cons consta tant nt
s=
siem siempr pr tien tien un sn dich dich punt puntas as
4rra
superf rfic icie ie esfe esferi ri na supe
sen
sen
sen
dS
Ds dS
sen
¢=2n
18=][
(J
de d¢ a,
a,
sen
d¢
.3
Apli Aplica caci ci6n 6n de la le de Gaus Gauss: s: algu alguna na dist distri ribu buci cian anes es de carg carg
sobr sobr toda toda la
sime simetr tric icas as
La n te te g a c o n n o s da
12.Jr
271"
2r
4n
perficie, tal coulombs. igui iguien en ecci ecci nc nt en ejem ejem lo la apli aplica caci ci de la ey au pr blem blemas as co sime simetr trfa fa geom geomet etri ries es senc sencil illa la cuyo obje objeti tivo voes es enco encont ntra ra la inte intens nsid idad ad de camp camp elec electr tric ico. o.
algunas distribuciones Se eo side sidera rara ra ahar ahar
de
rg
im tric tric
la
para para de ermi ermina na Ds cuan cuan
cono conoce ce ia dist distri ribu buci ci de carga. E s t e es un ejem ejempl pl de na ecua ecua que se determ determina inara ra aparece dentro de la integral.
faga faga do cond condic icio ione nes: s: 1.
Ds·
DsdS
en cero cero resp respec ecti tiva vame ment nte, e,
Ds constante.
noes cero,
De sida sida
IT
60
lu
el ctri ctrico co ey de
auss auss
divergencia
Ds fsdS,
var Ds
dS,
llelle-
Ds atravi atraviesa esa normal normalmen mente, te, es
ecci ecci
la su erfi erfici cie, e,
adecuada, carga,
puntual
esfericas
uper uperfi fici ci
quie quie radi radi
cerr cerrad ad
de uada uada
cump cump en lo
requ requer er mien miento to
Ds
Ds
Ento Entonc nces es tene tenemo mos, s,
n,
DsdS
t. Ds
jesf
dS
Ds
14>=Z1r
,.2
sene
4rrr2Ds
4rrr2
Pues Pues
qu
pued pued te er cual cual
ie
alor alor
ri
le
ra ia me
ac
fuefue-
de G a u s s ,
lE iste iste algu algu as tras tras uper uperfi fici cies es ue pu ie an sa isfa isfa er as do co estu estudi dian ante te debe debera ra dete deterr rrni nina na uper uperfi fici cies es como como cu requisites.
ic ne
pe da
PI.., +00.
la
conozcan la resp respue uest stas as rden da Qu co rden
I.
esta esta do preg pregun unta tas: s:
infl influy uyen en en la va iaci iacion on
de qu
el camp campo, o,
vari variab able le es func func
D?
al (y
result ltab ab pero resu
ma diff diffci cil, l,
aa
d em em o
ar
ue es
me
ex
e , e n o nc nc e n o e s p o
r ec e c ur ur r
le
G au a u s para ob-
tener una solu soluci cion on Resp Respon onde de la do preg pregun unta ta ante anteri rior ores es se vuel vuelve ve ahor ahor "una "una obli obliga gaci cion on". ". s610 s610 la anterior Ifnea presente, componente radial
D=Da esta
est compon component ent
p: =j(p)
de
La elec elecci cion on
tinica superficie 3.4 muestra un ilin ilindr dr abar que abar
desde desde le
L.
de Gauss,
x.
lados
dS
Ds2n;pL
se obti obtien ene, e,
Ds
cili cilind ndri rica ca es Ia superficies pu de en erra errarl rl ircu ircula la cerrado recto de radio
2n;pL densidad
de carg carg
aca Q=PLL
27rp
(20)
{parte. ~upenor
dS
{parte. kfenor
dS
62.
divergencia
CAPiTULO
ig ra
La superf superfici iciega egauss ussian ian
.4
uniforme rad as perp perpen endi dicu cula la
pa alel alel
apro apropi piad ada, a, hace hace
inte inte raci raci
supe superf rfic icie ie
as apas apas
ch
cili cilind ndri rica ca
cilindro
s610
es no es
radio b,
=a Fiig Fiig ra 3.
coax coaxia ia es qu
ct
or an un cabl cabl
coax coax al
ejer ejer pl
3..3
plic plicac acio io
de la le de
auss auss algu algu as dist distri ribu buci cion on
de carg carg
sirn sirnet etnc ncas as
Las consid considera eracio ciones nes de simetr simetria ia penni ten obse observ rvar ar qu s610e s610est st pres presen ente te la comp compon onen ente te
Yq
cili cilind ndro ro circ circul ular ar de Iong Iongit itud ud n e e sa sa r m e n e co co m o u pe pe r c i g au au s a na na , de p.
le g debe e le
de radi radi p, donde ob ne
Ds2n:pL
La carg carg total en na ongi ongitu tu
es:
0=0
J¢=o
psa d¢ dz
2rraLps
de
aps
(a
Est result resultado ado
b)
de
con-
lorigi gitu tud, d, metro de lori
2Jtaps
p., ,; 2n:aps
de carg carg infi infini nita ta el u na n a . c a g a n eg eg a v a en Ia superficie interior esta esta supe superf rfic icie ie debe ser
cilindro exterior, la carga
terminaren
-2rcaLp
"I" dr
CI
iIII d ro interi interior or
cilindro ex erio erio es 2nbLpS
cilindro cilindro exterior exterior
cilindro
2rraLps
cilindro cilindro interior interior
PSdlindro
{.Que sucederfa
interior
p,
para la supe superf rfic icie ie
gaus gaussi sian ana? a?
Jindra
t»> (p> b)
a. Entonces,el je"),
cabl cabl
coax coaxia ia
ccndensa-
campo no hay campo longitud finita
rambien cond conden ensa sado do
coax coaxia ial. l.
este b,
el condensador coaxial,
63
Dens Densid idad ad de fluj fluj elec electr tric ico, o, le de Gaus Gaus
64
divergencia
1 " % 1 '9 1 ,
ra-
el D. $o'uc'6n.
30
cilind cilindro ro inteno inteno c ilil in in d r
i n te te r io io r
10-
9.55 L C / m 2
en 10
c i lili n dr dr o e x te te r io io r cilind cilindro ro exter exterior
Por
anto anto
2n (4
21tbL
ca po inte intern rn pS
ue en ca cula culars rs 10- (9.55
9.55
8.854 Ambas
10 -3)(0.5) -3)(0.5)
faci facilm lmen en e:
10-
10 1O-12
mm
region
s610
superficie
-2.39 fJC/m
65
Pt», DIl
D",o ax
D"
a,
j):o at
6.z
/!:J.y
Flgura3.6
Un supe superf rfic icie ie gaus gaussi sian an
alrededor
punto
de tama tamari ri dife difere renc ncia ia investigar 8 r a
8v
50
en
'U
Juga Juga se adqu adquir irir ir
inform rmac aci6 i6 dena info
extr extrem emad adam amen ente te vali valios os
de la teor teoria ia elec electr tror orna nagn gnet etic ica, a, Co si eres eres ua uier uier pu ta P, ue cart cartes esia ia as
Dxo3x
D.v03y
expr expr sa se en comp compon onen ente te
Dz03t..
A,t,
dS
pequ pequei eiio io De
esen esenci cial alrn rnen ente te constante (sobre esta
Jenfrente en cntc cntc
~y !::..z ax
6z,
66
Dens Densid idad ad de fluj fluj el ctri ctrico co le de Gaus Gaus
divergencia
e1
aqut aqut
P, D_to
enfrente
..
10
.'
S» 8 D . . r ;
donde
en
xa
de
Sa
pues pues
qu
mb
COil
z. constante para tien Se tien
ahor ahora, a,
nf nt
(D.\.o
aa~x)
Dpost Dposteno. eno.
~y
.6.Sp .6.Spost oster erior ior
poster posterior ior
(-~y!::.z
x)
6.y .6.z
-D;;o
.p
n.x
B D x ) .~y
n.z
so, 6x6 y6 mo
so, .-
/.
estos D·dS
(aDx
so, _.
dD'l)
.6.x n.y
aD,)
+-.+~
t:::.v
(7)
3•5
67
Divergencia
L\
ultado Ia ap oxim oxim ci
(7 afir afir an
se
ue
(8)
aM s· 10-
yay
2Z3
C/m
$oJuc:i6n.
_e
se
e-1. seny
me 26v.
expr expres esio io es
on cero cero
es
Se
(7), q u
L'1v
co
la ultima
cera,
scri scribi bien endo do esta esta ec acio acio
como como
el lfrni lfrnite te
D.
++
D,
lim
p er er m i r a
0t
Dens Densid idad ad de fluj fluj elec electr trlc lco, o, le de Gaus Gaus
68
divergencia
side reernplazado
por
ulti ultimo mo term termin in
eo,
+ + -
1.sD.dS
Ji
ll.1J
6[)---+0
=PlI
(9)
par ella como dos ecua ecuaci cion ones es
sepa separa rada das, s,
+ + -
(10) Ll
6v
+ + -
(ll)
considerarla metod dS
pequ pequef efia ia supe superf rfic icie ie cerr cerrad ada, a,
cual cual cond cond ce
+ ~
am
a A ~ ) ,= iJ
',1sA.dS
li
(12)
ll.v
n.v---+O
vect vector oria ial. l.
ultimo descriptive de divergencia. (13)
de
ri superficie
rr
ie
ra
util
informaci6n ain velocidad
del cualquier
gencia
la
•5
69
apr La
unafuente
un umidero. exis exis en fuen fuente te ci osit ositiv iv eloc eloc da
1ex
(14)
ade coord coorden enada ada
ial "2
sen
En rea-
cart cartes esia ianas nas
en coor coorde dena nada da cilf cilfnd ndri ri coor enad enad esfe esfe icas icas abri abrian an bten btenid id expr expres es ones ones ar 1adi1adiB d ¢ en coor vector or en sist sistem em de coor coorde dena nada da part partic icul ular ar mi os componentes de vect an aq
or co ve enci encia: a:
(15)
(16)
(17)
libro,
cuyo escalar,
Habi Habien endo dose se eleg elegid id un elem elemen ento to dife difere renc ncia ia de volu volume me dent dentro ro de agua agua Ia disr disrni ninu nuci cion on grad gradua ua CIl cl nive nive de gu on el iern iernpo po oc sion sion ra qu em nt de volu volu en qu de en ma de supe superf rfic icie ie de agua agua En in rant rant en qu la supe superf rfic icie ie de agua agua inte interc rcep epta ta at eler elerne nent nt de volu volume men, n, la dive diverg rgen enci ci se vuel vuelve ve posi positi tiva va pequ pequ no vo
70
O en en s d a
IT
1 1 u e le le c
o,
Ga
divergencia
simplemente indica cudnto Se pued pued seccion 3.4.
ilustrar el co ce to de
iver iverge genc nc
e- sen
si
final de la
continuando
ax
a,
e- cos
2za~,
Solucion. div
= + sen
sidera ra Sin co side
sen
el valor
ubicaci6n
e/m2
e/m
dcnsidad de carga carga volume volumetri trica ca
en 1a seccion siguiente.
(electrostatica)
pres presio ione ne
desa desarr rrol olla lada da
pueden expresarse como: Lim _ : f 5 ~ ' D_. _ d _ S 6V-70
L'I.
-'
divD
PI'
(18)
J)
(19)
(20) la de-
71
cartesian cartesian as;
coordenadas
simplemente
termino
(J
e)
por (18) (18) pues puesto to que,
ia
n.zs
tien tiende de
cero cero
lim.s
f.0.dS 6.11-+0
1)
En esta esta expr expres esio io
rs
6.
izquierda
carga
(20)
las cu tr
primer
tatica lume lume qu
ec ac ones ones
un pequ pequef efto to volu volume me
Max
tr
exacta tame ment nt unitario es exac
igua igua
la den sidad
se lama lama atinadamente
ecuaci6n
fa ley la
d e G au au s carg carg
exactamente 10
cnce cncerr rrad ad
que
ley
carg carg
inversarnente, 1a ley
punt puntua ua
4rrr2 il
(1
la
re
coordenadas
ra la iv
--
r2 dr
Entonces,
I'
La oper operac acio io
-(Do sen s)
4rrr2
el
=0
(si
sen
72
Dens Densid idad ad de fluj fluj elec electr tric ic
Si nuevam nuevament ent
le
de Gaus Gaus
divergencia
recuer erda da qu Ia se recu al
posi posibl bl enco encont ntra ra algo algo qu pudi pudier er "pun "punte tear arse se
form formal alrn rnen ente te ca
8D;'(
para para prod produc ucir ir el esca escala la
" producto
operacion punta. oper operad ador or "nab "nabla la
oper operad ador or vect vector oria ial. l. (21)
Aparecen opera operado dore re
escal escalar ares es sernejantes en varios me od d/dx,
so uc ne cu ci es acP/cJil-, asf sucesi sucesivam vament ente." e." un
ax
a,
(D
-,
CDy)
Dla~)
Asi se ie V·
-(D
(D
diferenciar: IJDv
Iop
el teor teorem em de la dive diverg rgen enci ci
D, au qu ambo ambo
en ajas ajas Me diante pued pueden en obte obtene ne simp simple le r ap a p id id am a m e n t l a d e ri ri vvaa d a p a rc rc ia ia le le s eorrec0en adel adelan ante te Po otro otro ad dr es un exce excele lent nt reco record rdat ator orio io dela dela inte interp rpre reta taci cion on fisi fisica ca de 1adive 1adiverg rgen enci cia. a. Se util utiliz izar ar 1anota 1anotaci ci6n 6n divergenc encia. ia. operacion de diverg aperador con la divergencias, aparecera en tas 'Vu., donde es cual cual ie camp camp escalar, ax
ax
c o o rd rd e n ad ad a s c ilil fn fn d r ic ic a s entonces 'V
sidera
\7·D=
E s t e x pr pr es es io io n se
tornado
a"
enen enen su
-,
sigue indicando la divergencia de
+ '
( p D
seeci6n 3.5.
tiene
ayu-
expresi6n
teor teorem em
chao
de Ladiv Ladiver erge genc ncia ia
se ha obte obteni nido do
nomb nombra rarl rlo, o, empe empe
D. dS sea,
dv vol
s e r ee ee rn rn p a z
e n o n ce ce s
\I
po su equi equiva vale lent nte, e, \7·n
p;
se tien tiene, e,
n. dS
\7. Ddv vo
1VOI
ultima
(22)
CAPiTULO
74
me
ue at ev es
dive dive genc genc es ab ec quee quee uj total c e a da da e g ua ua l n te te g a l de la
teorema su er ci
cerrado. EI va umen umen sa
uest uestra ra aquf aquf en un cort cort tr nsve nsvers rs l.
la supe superf rfic icie ie cerr cerrad ada, a,
la este doble doble integr integraci acion on s ob ob r
abre abre algu algu vo umen umen olur olur en Po ejem ejem lo es rn ch
s up u p er e r f c i que encierraese lfquido
botella
hquido
Ia
interior.
ffsicamente la
numero
amaf amafio io dife difere re cial cial entra conver-
el
10 encierra.
'!11
,-"ji
el forman los planos
2xys.. 1,
/m
eJ
3.
$oluc;on. lo
cu tr
uper uper
Lecturas Lecturas complement complementarias arias
D.
{\D)x=o'
ax)
\D
(3
(D)y=(}.(-dXdzay)
l'CD
(Dh=2.(dXd
y)y=odXdZ
(D)x=o
C d d z a),)
folCDY)Y=2dXdZ
(Dy)},=O
(D))y=2'
f\D).,)X=ldy
fs
y)
dy
12
Puesto V·D
\l·Ddv= vel
(J
~(2xy)
-(x)
oy
2y
1312
10}g
(I
4dz la
I2
mism dentro de mism
para parale lele lepi pipe pedo do
Lecturas co~mpllementarias YD
os R.
R.
Electromagnetics, Sa. ed., br nt
le s a n d A pp pp l c a o n Collin, P r n c p le
o f E le le c r om o m ag a g ne ne t
La
F ie ie ld ld s McGraw-Hill,
75
76
Dens Densid idad ad de fluj fluj elec electr tric ico. o. le
IT
de Gaus Gaus
divergencia
A.. Applied Electromagnetics,
caci cacion on de la elec electr tros osta tati tica ca
H. H., Fund John Wiley Fundam amen enta tals ls of Elec Electr tric ic Wave Waves, s, 2a. ed John op
1948.
ne del capi capi ul
B., Jr.
re ul
in er sant sant
R. L.
ad
Problem,as till
una
de de
la pare parede de herramientas cinco piez piezas as meta metali lica cas? s? ne
aislantes, a) l.Que b)
Is carg carg line lineal al nifo niform rm los planos -4 6. b) < . Q u e
a)
oC liie liie cant cantid idad ad de carg carg pr se te aban abando dona na la supe superf rfic icie ie 1e
5e-201zl nC/m
elec electr tric ic
a)
pa +z
)/[47l'(p2
superf rfic icie ie cili cilind ndri rica ca a) 1a supe
b) iQue
90°? Z2)1.5].
Iong Iong tu
nf nita nita
7, zl ::;; ::;;10, 10,
Iind Iindro ro fini finite te 4xya
2(x
Z2)3),
4YZ3
valu valuar ar la inte inte rale rale
C/m
uper uperfi fici ci 2,
3,0 P.., -0
00
-dl2
dl2. Eneontrar
en cual cual
quie quie part parte. e. 2enC/m
P"
a)
Utiliz izan an b) Util cular
sobr sobr 1a supe superf rfic icie ie r=
rum. rum.
la le
OOOr
Problemas
donde
Aar/r,
es
ns ante ante
equi equier er ,E variacion de la den-
4.n:A
r.
sidad
Jj-C/m
ra
la su er icie icie esfe esferi rica ca 10 mm enco encont ntra ra
m. b) Eneo Eneont ntra ra Dr en en sen
(p
r)/12, donde
O.
ar
1. ro
m, ~. 1m e ne n e 2 000 .n:p) nC/m en coor coorde dena nada da cilm cilmdr dric icas as Encontrar 26
latitud me, a) i,que tud de
un long longiiY2
b)
W/m Y6
superficie en 1,3
m. b) Determinar
fera. a) l,En (io en el angulo f)
dire direcc cci6 i6
ra
para
rom
s» respectivamente.
-4 nC/m
nC/m
en
so tal
es mini minima ma
co trar trar
a)
m.
dens densid idad ad de flujo?
b)
Determinar
m ax a x im im o f)
Calcul ular ar Ia a) Calc
region
en
b) UtiL UtiLiz izar ar Ia le
PI
L,
t. c) Eval Evalua ua
2.4m 2.4mm. m. lOe-2r
encu encuen entr tr pres presen ente te a) do V' D.
eter etermi mina na
3.17
er fica fica
b)
y,
re 2x ya
ta
el
se ciso ciso a) evaluan-
3x2y a. C/m
C/rn
a) Apli-
ley
de cuba cuba b) 3.18
term term ar va cero: a) de hiel hielo; o; b)
mi randola randola
desd desd
c) Es imar imar la ca
di er ncia ncia de
ca
os A/m
rr a,
ecto ectori rial ales es si ient ientes es es
otal otal ence encerr rrad ad itiv itiv
gati gati
77
78
D en en s d a
iT
d e u j e le le cm cm co c o . e y d e G au au s
divergencia
P(4,
xa C f m 2 . pap'
De crib cribir ir la epen epende denc nc de la de si ad (11p)j(4;. 1(4;, z): b) (J
carg carg
en coorde coordenad nadas as
ClIz )[10xyz ax 5x2z 10pz en P ( 3 , cos 84 en P(3, 45" 45°)
'Y b)
c)
3.22
sen
a,
cos
fJ
sen
81'1+
a)
de
pO FlO.
rave rave de Ia supe superf rf ci
erni ernisf sfer er ca 5za
si a)
Fl a,
rr12, rr12,
(2
<¢
2rr. b) iQu6 a? c) Supo Supone ne ue de supe superf rf ci apro apro ia as
ti izan izando do la inte inte rale rale
de
xy. d) Repetir la parte c) utilinteg ntegra ra de volu volume me apro apropi piad ada, a,
za do el eore eorema ma de 1adiv 1adiver erge ge ci
3.23
a) Un carg carg
punr punr al b) Reernplazar Ia
.. Esta Esta lece lece
.o
na re acio acio
entr entr
"o
3.24 ra
ue 'V
Reempl plaz azar ar la b) Reem en
uniforms
ab ezca ezca na relaci6n entre sea la mism misma. a. Encu Encuen entr tr a6r
de tal
:e 3)3 a, C/m
dada
Es-
a)
47
~Cmi es b) ~Cmi
de sida sida de fl jo elec elec rico rico en aban aban on Ia esfe esfera ra en 4? t.f)
47
~Q
ca tida tida de fl joel joelec ec rico rico 4? kg/m",
ecua ecuaci cion on de cont contin inui uida dad. d. b) De-
2Bp,,/ot. a)
(PmU)
mos
qu
dS mC/m
a) Encontrar
ma
-dMldr, d o n d e
para :$ 0.20 0.20 Encont ntra ra PI'pa PI'para ra 0 . 0 6 rn. b} Enco
a,!, a,!,
omand
'V
para c) L Q u e de sida sida de en 0 , 0 8 m?
JLC/m
.1
m,
na nteg ntegra ra
olum olumet etri rica ca
apropiada. ,D
2xy a) Clm
a) b)
fide fide para para
supe superf rf ci
cerr cerrad ad
corr corres espo pond ndie ie te
a.x
Problemas
20r?
3.30
P(O.5,
3,0 3.31
,6
co (2(} (2(})a )a C/m
S;
S;
2,
utiI utiIiz izar ar do meto metodo do dife difere rent ntes es
79
