Capítulo 6
Funciones Trigonométricas Otros ejemplos ejemplos de funciones funciones nu méricas muy importantes son las funciones funciones trigonométricas. trigonométricas. FreFregonométricas en un triángulo rectángulo: cuentemente en la escuela secundaria secundaria se d efinen las razones tri gonométricas rectángulo: cateto cateto op uesto hipotenusa donde
6.1 6.1
cateto cateto adyacente hipotenusa
cateto cateto op uesto cateto cateto adyacente
es uno d e los ángulos agud agud os del triángulo.
Las funcione s tr trigon ométrica ométricass en los reales reales
Como la razón entre un par de lados de un triángulo no varía si cambiamos el triángulo por otro semejante (por el teorema de Tales), ales), siempre siempre pod remos suponer que la hipotenusa tiene longitud longitud , lo que p ermite una representación representación geométrica geométrica mu y conveniente: En el cuarto de circunferencia de radio 1 (figura 6.1) tenemos y donde son las coordenadas del punto , medido desde el semieje semieje .
P(x,y)
de la circunferencia determinado por el ángulo agudo
C
Y
α O
B x
A
Las coordenadas del punto en la circunfere circunferencia ncia determideterminado por el ángulo ángulo agudo , medido desde desde el semieje semieje
Figura 6.1 Por la semejanza de los triángulos cia»
tiene longitud
es decir
Obtenemos tres funciones definidas así:
y
vemos que el segmento «tangente a la circunfereny por esto la razón
se llama tangente.
82
Fu n ci o n e s Tri g o n o m é tri cas
al ángulo le corresponde el punto en la circunferencia unitaria donde la corta el lado del ángulo central (medido como an tes en el sentido antihorario desde el semieje semieje ). a
le corresponde su abscisa
su ordenada la razón
si queremos definir
,
si hablamos hablamos de
si queremos definir
En resumen las tres funciones se construyen así:
Hasta ahora esto vale sólo para ángulos agudos medidos en la forma indicada arriba pero, si tenemos un a man era de m edir el ángulo en un a forma general, podremos extender esta función función a otros núm eros reales. reales. La manera m ás natural de h acer esto es considerando considerando la longitud de la circunferenci circunferenciaa de rad io 1, 1, esta es un nú mero real llamado llamado . Dicho Dicho de otro mod o, es la longitud de una semicircunferencia de radio 1. A un ángulo cualquiera , le corresponde corresponde un único pun to sobre la circun circun ferencia y a este punto una única longitud medida del arco que une el punto con girando girando en sentido sentido antihorario (contrario al movimiento de las agujas del reloj). Este número , con se llama la medida en radianes del ángulo . También se dice dice que es la medida en radianes del arco arco , (recorrido (recorrido en sentido sentido antihorario, figura 6.2). 6.2). Entonces, Entonces,
A rcos rcos y ángulos ángulos
Figura 6.2 6.2 establecemos:
Defin ición: un radián radián es la la med ida del ángulo que se forma cuando se lleva lleva sobre la circun circun ferencia ferencia una longitud igual al rad io. En el caso del círculo radio
(figura (figura 6.3) 6.3),, llamado tam bién círculo círculo trigonométrico, trigonométrico, Obtenemos dos
Un radián
Figura 6.3 6.3 funciones reales: , ordenada ordenada de ,
absc abscisa isa de
. .
6.2 In v e rs as d e l as f u n ci o n e s tri g o n o m é tri cas
83
para medido en rad ianes, con , tenemos, y . La función tangente está definida en tod os los pun tos menos aquellos aquellos dond e se anula , es decir:
Ahora si es un número real positivo podemos d efinir efinir y de la manera siguiente: Considerando como una longitud longitud que se enrolla en la circunferenci circunferenciaa u nitaria en sentido antihorario, después de dar cierto número de vueltas, se llega a algún punto . Entonces, y son respectivamente la ordenada y la abscisa de este punto . De man era p recisa, recisa, si hacemos hacemos la d ivisión ivisión entera de p or obtenemos donde y , entonces definimos y . Si es negativo, se repite el procedimiento anterior, pero damos vueltas en el otro sentido, es decir horario rio. en sentido hora Ahora tenemos las dos funciones y definidas en todo y observamos que: es decir, que sus valores son los números en . Además son periódicas d e período , esto quiere decir que: para todo Por otro lado, si vemos sus gráficas, (figuras (figuras 6.4 6.4 en la p ágina 84 y 6.5) 6.5) entonces entonces es mu y fácil fácil ver dónd e éstas funciones funciones crecen, crecen, dónd e d ecrece ecrecen n y dónd e alcanzan sus máximos y mínimos (los detalles detalles de graficación graficación se verán más ad elante en el curso). curso). La tercera tercera función, la la tangente, no está definida en tod o puesto que hay que excluir los puntos dond e se anula el coseno. coseno. El dominio de
es
.
Analizando el signo d e la función cuando da una vuelta a la circunferencia, y analizando el crecimiento crecimiento y d ecreci ecrecimiento miento de la función, se pu ede construir construir su gráfico como en la figur a 6.6 (los (los detalles de graficación se verán más adelante en el curso). También, si vemos el comportamiento del segmento , notamos que es una función función p eriódica eriódica de período
siempre siempre qu e esté definida en . Pero también, si analizamos analizamos más detalladamente, vemos que tiene un período período menor p ues para cualquiera que sea si está definida. Vemos también también qu e es siempre creciente (en cualquier intervalo contenido en su dominio) y no tiene máximos ni mínimos.
6.2 6.2
Inversas Inversas de las las funcione s trigon trigon ométrica ométricass
Consideremos la función . Si tenemos un punto cualquiera , vemos que la preimagen d e consta consta d e infinitos pun tos. La preimagen se llama el arcoseno arcoseno d e , es decir el arco cuyo seno es . entonces: Si es tal que
Pero también vemos en la figura 6.7, que obtenemos finalmente que la preimagen de
y como es:
Dicho Dicho en palabras, todos los ángulos cuyo seno es , con , se obtienen obtienen de cualquier con , sumándole a todos los mú ltiplos ltiplos enteros pares de y restándole a tod os los múltiplos múltiplos enteros impares impares d e . Igualmente si y si entonces todos los ángu los cuyo coseno es se obtienen obtienen a partir de así, (figura 6.8):
84
Fu n ci o n e s Tri g o n o m é tri cas
La función seno seno
Figura 6.4 6.4
La función cose coseno no
Figura 6.5 6.5
La razón razón entre entre seno seno y el cose coseno, no, la tangente
Figura 6.6 6.6
6.2 In v e rs as d e l as f u n ci o n e s tri g o n o m é tri cas
85
y π−α
α
x
Ordenada=
Figura 6.7
y
α −α
x
, cos coseno eno es un a función par par
Figura 6.8
86
Fu n ci o n e s Tri g o n o m é tri cas
porque
. Entonces puede escribirse así:
Finalmente si y entonces . Ningun a de estas funciones funciones trigonométricas trigonométricas es inyectiva, inyectiva, pero restringidas a intervalos adecuados se obtiene, por ejemplo: es biyectiva ,
es biyectiva es biyectiva
Se p ueden definir funciones inversas restringidas restringidas a esos intervalos. intervalos. Estas Estas funciones inversas se llaman, por abuso de lenguaje, , y y sus gráficas, (figuras 6.9, 6.9, 6.10 6.10 y 6.1 6.11) se pueden obtener por reflexión de las gráficas anteriores respecto a la diagonal principal (la recta ).
Gráficos de
y
Figura 6.9 6.9
3
y=arccos(x)
π
2
1
-1
1
-1
Gráficos de
y
2
3
π
y=cos(x)
Figura 6.10 Es costumbre evitar la notación , o , para designar las funciones y , para evitar confusión con las funciones cosecante, secante y contangente.
Ejemplo: ¿Cuál tiene tiene más p untos: Un segmento o la recta recta entera? Esta Esta p regunta tiene u na bella bella respuesta u tilizando tilizando la función función tan gente: que es una biyección. Entonces el segmento obtenido tiene el mismo mismo núm ero de puntos que la recta . Cualquier Cualquier otro otro segmento segmento tiene el mismo mismo número de puntos que el segmento , como se ve con una proyección. proyección. Esto Esto es sólo posible posible porqu e la recta y un segmento cualquiera son son continuos.
,
6.2 In v e rs as d e l as f u n ci o n e s tri g o n o m é tri cas
87
Gráficas Gráficas de
y
Figur a 6.11 6.11
Ejercicios 1. ¿Para qué valores valores de
es
?
Resp:
, (figura 6.12 6.12). ).
Ejemplo Ejemplo en el círculo círculo trigonométrico trigonométrico
Figura 6.12 2. Para qué valores de
es
.
Re s p :
, (figura 6.13 6.13). ).
3. Recordand Recordand o las definiciones: definiciones:
(a) Pruebe que estas funciones funciones están representadas por la longitud d e los siguientes siguientes segmentos segmentos en la circunferencia unitaria de la figura 6.14. (b) Analice Analice cómo varían estos tres tres segmentos segmentos cuando el pu nto
recorre la circunferencia.
(c) (c) Encuentre el dominio de cada una de las tres funciones funciones cas.
,
,
y dibuje sus gráfi-
88
Fu n ci o n e s Tri g o n o m é tri cas
Otro ejemplo ejemplo en el el ccírc írculo ulo trigonométrico trigonométrico
Figura 6.13
T
α C P α
O
Otras funciones trigonométricas
, ,
Figura 6.14
A 1
Q
La Trigonometría (lectura requerida) 6.3 6.3
Las iden tidades tidades trigon trigon ométrica ométricass
Las funciones trigonométricas están conectadas por una serie de relaciones que se estudian bajo el nombre de trigonometría. Toda Toda s estas relaciones relaciones se derivan d e las definiciones de seno, coseno, tangen te y d el teorema teorema de Pitágoras:
De manera que toda la trigonometrí trigonometríaa no es más que una serie serie de variac variacio iones nes sobre el Teor Teorema ema d e Pitágoras. Pitágoras. Es mu y importante que repase tod a la trigonometría, porque será utilizada constatemente. constatemente. Para comenzar ese repaso demuestre las siguientes fórmulas:
6.3. 6.3.1 1
Fórmulas órmulas para para la suma de dos ángulos y C α
B
D P β α
0
T
E
A
x
Hallar fórmulas para las fun ciones ciones t rigonométricas aplicaaplicadas das a sumas de ángulos ángulos en términos de las funciones funciones trigotrigonométricas en los sumandos.
Figura 6.15 A partir del dibujo en la figura 6.15: Pruebe las igualdades siguientes:
Luego, pruebe las siguientes fórmulas,
90
Fu n ci o n e s Tri g o n o m é tri cas
6.3. 6.3.2 2
Fórmulas órmulas par para el ángulo ángulo doble
Tomando
6.3. 6.3.3 3
en las fórmulas anteriores, obtenga:
Fórmulas órmulas par para el ángulo ángulo medio
A par tir de las fórmulas anteriores anteriores demuestre que par a
6.3. 6.3.4 4
:
Conversión Conversión de productos productos en sumas y viceversa viceversa
Pruebe que:
6.4 6.4
Teoremas eoremas de Euclides Euclides y Pitágor Pitágoras as
En la figura 6.4, 6.4, notamos el triángulo rectángulo y tres cuadrad os, con con lados iguales a los del triángulo, evocando evocando el planteamiento d e un teorema conocido, conocido, área a del del cuadrado cuadrado mayor es es igual a la suma El Teorema de Pitágoras: o bien, el áre de las área áreass de los dos cuadrados cuadrados menores. Hay varias pruebas directas de este teorema teorema que el estud iante pued e encontrar. encontrar. Mostraremos Mostraremos sin embargo una prueba que ilustra otros hechos, hechos, área del rectángu rectángu lo es igual al área área del cuadrado cuadrado .1 Prime Prime r Teorema Teorema d e Euclide s: el área Queda para los los lectore lectoress el encargo de probar el Teor Teorema ema d e Euclides Euclides.. Esto Esto pu ede hacerse hacerse por ejemplo, observando la misma figura 6.4 y comparando las áreas mencionadas en el teorema con el área del paralelogramo , la cual puede calcularse (usando la fórmula base por altura) en dos formas distintas distintas (notar qu e el triángulo rectángulo es congruente con triángulo ). El Teorema Teorema de Pitágoras es una consecuenci consecuenciaa del Teorema Teorema de Euclides; Euclides; el área del cuadrad o m ás grande, visualmente igual a la suma de las áreas de los dos rectángulos, rectángulos, es la la suma de las áreas de los dos cuadrad os menores, y eso da la pru eba. 1
También el área del rectágulo
es igual al área del cuadrado
6.5 Eje rci ci o s
91
Figu Figu ra 6.16 Teoremas d e Pitágoras y d e Euclides Euclides
6.5 6.5
Ejercic jercicios ios
1. Demuestre el teorema teorema del coseno:
2. Demuestre el teorema teorema del seno:
3. Demuestre la la fórmula de Herón d e Alej Alejandría: Area donde
es el semiperímetro del triángulo,
4. Sea
. Demuestre que
¿Por qué no vale
pu ede también d efinirse con con la fórmula
?
5. Encuentre una fórmula para
.
6. Encuentre una fórmula para
.
7. Calcule Calcule (a) (b) (c) 8. Dibuje el gráfico de
. (¡Cuid (¡Cuid ado!)
9. Escribir Escribir las siguientes siguientes expresiones sin usar signos de valor absolu to:
92
Fu n ci o n e s Tri g o n o m é tri cas
(a)
(c)
(b)
(d )
10. 10. Resolver Resolver la ecuación: ecuación: 11. Resolver Resolver las siguient siguient es inecuaciones y representar graficam ente el conjun conjun to d e sus soluciones: (a) (b) 12. 12. Bosquejar la gráfica de: (a)
(c)
(b)
(d )
13. 13. Demuestre que: (a)
(b)
14. 14. (*) (*) Usando ind ucción (y algo de núm eros complejos) complejos) demu estre la fórmu fórmu la (de Moivre) :
