Cap7 Flujo Gas Tuberias

JAGP 1805 – FACILIDADES DE SUPERFICIE EN INSTALACIONES PETROLERAS

1

CAPITULO 7 FLUJO ISOTERMICO DE GAS EN TUBERIAS

1


Contenido

2

Pag.

7. FLUJO DE GAS EN TUBERIAS

5

7.1 Introducción

5

7.2 Ecuación fundamental para el flujo de fluido

6

7.3 Flujo monofásico de gas

8

7.3.1 Ecuación fundamental para el flujo monofásico de gas

9

7.3.1.1 Ecuación fundamental para el flujo monofásico de gas despreciando el efecto cinético

12

7.3.1.2 Ecuaciones que consideran el efecto de P y/o T sobre Z

13

7.3.1.2.1 Ecuación de Cullender - Smith

14

7.3.1.2.2 Ecuación de Sukkar - Cornell

15

7.3.1.2.3 Ecuación de Clinedinst

17

7.3.1.3 Ecuaciones que consideren o no el efecto de P y/o T sobre Z

7.3.1.3.1 Ecuaciones considere el efecto de T y Z promedio

18

18

7.3.1.4 Ecuaciones que no consideran el efecto de P y/o T sobre Z y la energía cinética

21

2


Contenido

7.3.2 Ecuaciones simplificadas para el factor de fricción

3

Pag.

22

7.3.2.1 Ecuación de Weymouth

23

7.3.2.2 Ecuación de Panhandle para el factor de fricción

24

7.3.2.3 Ecuación del IGT para el factor de fricción

31

7.3.2.4 Ecuación de la A.G.A para el factor de fricción

32

7.4 Flujo vertical

33

7.4.1 Presión estática en el fondo de un pozo

33

7.4.1.1 Método de las propiedades promedio para determinar la presión estática en el fondo de pozo

35

7.4.1.2 Método de Sukkar-Cornell

36

7.4.1.3 Método de Cullender-Smith

38

7.4.2 Presión fluyente en el fondo de un pozo

39

7.4.2.1 Método de las propiedades promedios para determinar la presión fluyente en el fondo de un pozo 7.4.2.2 Método de Sukkar - Cornell

40 43

3


Contenido 7.4.2.3 Método de Cullender - Smith

4

Pag. 46

7.5 Ecuación fundamental para el flujo monofásico de gas considerando el efecto cinético

48

7.5.1 Método de Tian-Adewumi

49

7.5.1.1 Flujo Horizontal

54

7.5.1.2 Flujo vertical

57

4


5

7. FLUJO DE GAS EN TUBERIAS

7.1 Introducción

El desarrollo que se presenta está relacionado con el flujo de gas a través de conductos, tubos circulares cerrados y con dispositivos relacionados con su movimiento. Analizaremos situaciones relacionadas con el flujo de gas en tuberías con la finalidad de calcular las pérdidas de presión necesarias para transportar un gas desde el extremo inicial de una tubería hasta el extremo final. De igual manera desarrollaremos aplicaciones para determinar el flujo o el diámetro requerido por una tubería cuando se establece una pérdida de presión entre los extremos de la misma.

La mayoría de las situaciones concernientes al flujo de gas en tuberías está relacionada con su

transporte desde un centro productor hasta los centros de

consumo. Los sistemas de transmisión de este gas se pueden dividir en: sistema de recolección, facilidades de compresión y tratamiento, sistema de tuberías principales y sistema de distribución. Los gasoductos que comprenden los sistemas de recolección, las troncales principales y los sistemas de distribución constituyen un medio económico para transportar el gas a largas distancias. Los sistemas de recolección de gas están formados por una serie de tuberías de diámetro relativamente pequeño, que convergen en tuberías de mayores diámetros o troncales principales, los cuales deben tener la capacidad para transportar los crecimientos futuros de las áreas de producción. El sistema de distribución está conformado por una serie de tuberías de diámetros relativamente pequeños, que sirven para conducir el gas desde el centro de compresión hasta los centros de consumo o clientes.

El diseño de los sistemas de recolección y de distribución involucran un estudio de cierta complejidad, que permiten decidir el diámetro, el espesor y el material de las tuberías que lo forman, así como la capacidad de compresión y los niveles de presión a los cuales estaría sometido el sistema de transporte. La máxima capacidad del sistema está limitada por los parámetros utilizados en su diseño y en su construcción. Se utilizan algoritmos computacionales en el proceso de análisis y de

5


6

diseño de estos sistemas, en vista que es necesario seleccionar la mejor opción desde el punto de vista hidráulico y económico.

Los estudios del flujo de gas a través de tuberías se realizan usando ecuaciones derivadas de la ecuación fundamental de la energía o utilizando simplificaciones para el factor de fricción que conducen a ecuaciones menos complejas. Entre estas ecuaciones se pueden mencionar las ecuaciones de Weymouth, Panhandle, IGT y AGA, entre otras.

7.2 Ecuación fundamental para el flujo de fluido

La ecuación 7.1 representa el gradiente de presión correspondiente al flujo de un fluido, que circula a través de una tubería de diámetro, de rugosidad y de inclinación constante mostrada en la figura 7.1

dP Vρ dV gρ dh fρV 2 + + + =0 dL gc dL gc dL 2 g c D

(7.1)

Fig. 7.1 Flujo de gas a través de una tubería

6


7

En general, la ecuación (7.1) se expresa en términos asociados sobre el gradiente de presión debido a los efectos de la energía cinética, la energía potencial y las pérdidas de fricción entre el fluido y la pared de la tubería.

⎛ dP ⎞ ⎛ dP ⎞ ⎛ dP ⎞ ⎛ dP ⎞ ⎟ +⎜ ⎟ =0 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎝ dL ⎠total ⎝ dL ⎠ acc ⎝ dL ⎠el ⎝ dL ⎠ f

(7.1a)

Donde:

Vρ dV ⎛ dP ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ dL ⎠ acc gc dL

(7.1b)

constituye la componente del gradiente de presión total debido al cambio de la energía cinética.

gρ dh ⎛ dP ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ dL ⎠el gc dL

(7.1c)

representa la componente del gradiente de presión total debida al cambio de la energía potencial.

f ρV 2 ⎛ dP ⎞ ⎜ ⎟ = dL ⎝ ⎠ f 2 gc D

(7.1d)

representa el componente del gradiente de presión total debido a las pérdidas por fricción.

El componente debido al cambio de la energía potencial es válido para flujo compresible (gas) e incompresible (líquido), flujo estacionario o transitorio. Esta componente es cero para flujo horizontal. El componente asociado a las pérdidas por 7


8

fricción aplica a cualquier tipo de flujo e inclinación de la tubería y origina una pérdida de presión en la dirección del flujo. La componente debida a la aceleración causa una caída de presión en la dirección del flujo en la cual exista un incremento de velocidad, esta es cero para una tubería de diámetro constante y para un flujo incompresible.

La ecuación 7.1 aplica a cualquier fluido bajo condiciones de flujo estacionario, para valores de densidad, de velocidad y de factor de fricción conocida. Se expresa en forma diferencial y la cual debe ser resuelta para obtener las pérdidas de presión como una función de la tasa de flujo, del diámetro de la tubería y de las propiedades del fluido.

7.3 Flujo monofásico de gas

Se presenta el desarrollo de la ecuación fundamental para el flujo de gas a través de una tubería de la ecuación (7.1) y a partir de esta se deducen diferentes ecuaciones aplicables a casos específicos.

Analice el flujo de un gas bajo condiciones estacionarias a través de la tubería como se muestra en la figura 7.1. Usando la ecuación fundamental de flujo de fluido, expresada como:

Vρ gρ fρV 2 dP + dV + dh + dL = 0 2gc D gc gc

(7.2)

Considerando que el comportamiento del gas se representa por la ecuación de estado.

Pv = ZRT

(7.3)

8


9

Donde: P y T: representan la presión y la temperatura absolutas a la cual se encuentra sometido el sistema. v

y

Z:

el

volumen

específico

y

el

factor

de

compresibilidad

correspondientes a P y T. R: constante del gas.

En muchas ocasiones la ecuación (7.3) se expresa como:

PV = mZRT −

−

P V = nZ R T

(7.4)

Donde: V: representa el volumen ocupado por el gas a P y T. m: la masa del gas. n: número de moles del gas. −

R : constante universal de los gases = MR. M: peso molecular del gas −

V : volumen molar del gas Usando la ecuación de continuidad representando el flujo a cualquier condición referida a las condiciones estandar, se tiene:

m = msc

(7.5)

La ecuación fundamental para el flujo de gas a través de una tubería se obtiene de la combinación de las ecuaciones 7.2, 7.3 y 7.5.

7.3.1 Ecuación fundamental para el flujo monofásico de gas

9


10

De la ecuación de estado que representa el comportamiento del gas se tiene:

ρ=

P ZRT

(7.6)

Por continuidad:

m = ( ρAV )sc

(7.7a)

m = ( ρQ )sc

(7.7b)

Combinado las ecuaciones 7.3a y 7.5b, se tiene:

⎛ PQ ⎞ m=⎜ ⎟ ⎝ ZRT ⎠ sc

(7.7c)

Luego, para cualquier condición se cumple:

⎛ PQ ⎞ ⎟ ⎝ ZRT ⎠ sc

(7.7d)

1 ⎛ PQ ⎞ ⎜ ⎟ A ⎝ ZRT ⎠ sc

(7.7e)

ρAV = ⎜

ρV =

V=

ZRT ⎛ PQ ⎞ 1 ⎛ PQ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ Aρ ⎝ ZRT ⎠ sc AP ⎝ ZRT ⎠ sc

Q=

ZT ⎛ PQ ⎞ ⎟ ⎜ P ⎝ ZT ⎠ sc

(7.7f)

(7.7g)

10


dV =

1 ⎛ PQ ⎞ ⎛ ZRT ⎞ ⎜ ⎟ d⎜ ⎟ A ⎝ ZRT ⎠ sc ⎝ P ⎠

11

(7.7h)

Luego:

ρVdV =

ρV 2 =

1 ⎛ PQ ⎞ 1 ⎛ PQ ⎞ ⎛ ZRT ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d⎜ ⎟ A ⎝ ZRT ⎠ sc A ⎝ ZRT ⎠ sc ⎝ P ⎠

(7.7i)

1 ⎛ PQ ⎞ 1 ⎛ PQ ⎞ ⎛ ZRT ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎝ ZRT ⎠ sc A ⎝ ZRT ⎠ sc ⎝ P ⎠

(7.7j)

Por geometría, para una tubería inclinada se cumple que:

dh = sen θ dl

(7.7k)

Sustituyendo en la ecuación 7.2 se tiene la ecuación siguiente.

dP R + 2 dL A g c

2 ⎛ ⎛ PQ ⎞ 2 ⎞ d ⎛ ZT ⎞ g P f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎛ ZRT ⎞ ⎟ ⎜⎜ + senθ + ⎜ ⎟=0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ZRT ⎟⎠ ⎟ dL ⎜⎝ P ⎟⎠ g c ZRT 2 g c D ⎜⎝ ⎝ ZRT ⎠ ⎟⎠ ⎝ PA 2 ⎠ ⎠ sc ⎝ sc

(7.8)

La ecuación (7.8) representa la ecuación fundamental para el flujo de un gas a través de una tubería de diámetro y de pendiente constante, donde:

El primer término representa el gradiente total de presión, el segundo la contribución en este gradiente debido al cambio de la energía cinética, el tercero el gradiente correspondiente al cambio de la energía potencial y el último término corresponde al gradiente debido a la fricción entre el fluido y la pared de la tubería.

11


12

En la literatura técnica se desarrolla la ecuación fundamental de flujo de gas bajo la consideración de despreciar o no el efecto de la energía cinética.

7.3.1.1 Ecuación fundamental para el flujo monofásico de gas despreciando el efecto cinético

Despreciando el segundo término en la ecuación (7.8), se obtiene 2 dP g P f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎛ ZRT ⎞ + senθ + ⎟=0 ⎜ ⎜ ⎟ 2 g c D ⎜⎝ ⎝ ZRT ⎠ ⎟⎠ ⎝ PA 2 ⎠ dL g c ZRT sc

(7.9)

Manipulando los términos de esta ecuación, se tiene: 2 ⎛ ⎛ PQ ⎞ 2 ⎞ ⎤ dP ZRT ⎡ g ⎛ P ⎞ f ⎜⎜ ⎢ ⎜ sen θ + + ⎟ ⎟ ⎟ ⎥=0 dL P ⎢ g c ⎝ ZRT ⎠ 2 g c A 2 D ⎜⎝ ⎝ ZRT ⎠ ⎟⎠ ⎥ sc ⎦ ⎣

(7.10)

Luego, 2 ⎛ ⎛ PQ ⎞ 2 ⎞ ⎤ P dP ⎡ g ⎛ P ⎞ f ⎜⎜ +⎢ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥=0 ⎟ senθ + ZRT dL ⎢ g c ⎝ ZRT ⎠ 2 g c A 2 D ⎜⎝ ⎝ ZRT ⎠ ⎟⎠ ⎥ sc ⎦ ⎣

(7.10a)

Expresando la ecuación en forma de variables separada

P ZRT

⎡ g ⎛ P ⎞2 ⎛ ⎛ PQ ⎞ 2 ⎞ ⎤ f ⎜⎜ ⎢ ⎜ ⎟ senθ + ⎟ ⎟⎟ ⎥ 2 ⎜ gc ZRT g A D ZRT 2 ⎠ ⎠ ⎠ sc ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ c ⎝⎝

dP + dL = 0

(7.10b)

12


13

El perfil de presión axial en la tubería se obtiene a partir de la solución de la ecuación (7.10b) mediante su integración.

P ZRT

P

∫⎡

PI

L

2 ⎛ ⎛ PQ ⎞ 2 ⎞ ⎤ g ⎛ P ⎞ f ⎜⎜ ⎢ ⎜ ⎟ senθ + ⎟ ⎟ ⎥ 2 g c A 2 D ⎜⎝ ⎝ ZRT ⎠ ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣ g c ⎝ ZRT ⎠ sc ⎦

dP + ∫ dL = 0

(7.10c)

LI

Tomando factor común g/R2gc y simplificando

P ZT

P

∫

PI

L

2 2 f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎤ g ⎡⎛ P ⎞ ⎢⎜ ⎥ ⎟ ⎟ senθ + ⎜ Rg c ⎢⎝ ZT ⎠ 2 gA 2 D ⎜⎝ ⎝ ZT ⎠ ⎟⎠ ⎥ sc ⎦ ⎣

dP + ∫ dL = 0

(7.10d)

LI

Agrupando términos

P ZT

P

∫⎡

2 PI ⎛ P ⎞ f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎤ ⎢⎜ ⎥ ⎟ senθ + ⎜ ⎟ 2 gA 2 D ⎜⎝ ⎝ ZT ⎠ ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ZT ⎠ sc ⎦ 2

L

dP +

g

∫ Rg

LI

dL = 0

(7.10e)

c

En la solución de la ecuación (7.10e) se requiere de métodos de integración complejos debido a la interdependencia entre el factor de compresión del gas y el factor de fricción con la presión y temperatura del fluido. Por lo general, se considera el factor de fricción representado por un valor evaluado las condiciones promedio del fluido, de allí que el segundo término del denominador se considere independiente del estado del fluido.

7.3.1.2 Ecuaciones que consideran el efecto de P y/o T sobre Z

13


14

Se desarrollan expresiones que representen el flujo de gas en tubería considerando el efecto de la presión y la temperatura sobre el factor de compresibilidad, bajo esta premisa se pretende obtener expresión que contemplen el menor grado de simplificaciones con la finalidad de disponer de ecuaciones del mayor grado de precisión para representar el flujo de gas a través de tuberías. En la solución de estas ecuaciones se requieren de procesos iterativos e integraciones numéricas para obtener la presión en los extremos de las tuberías y la tasa de flujo.

7.3.1.2.1 Ecuación de Cullender - Smith

Si se define a F como 2 f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ F= ⎟ ⎜ 2 gA2 D ⎜⎝ ⎝ ZT ⎠ ⎟⎠

(7.11) sc

Se tiene:

P

∫ ⎡⎛

PI

P ZT

2 ⎤ P ⎞ ⎟ senθ + F ⎥ ⎢⎜ ⎢⎣⎝ ZT ⎠ ⎥⎦

L

dP +

g ∫L Rg c dL = 0 I

(7.12)

La ecuación (7.12) es conocida como la ecuación de Cullender - Smith, en la solución de esta ecuación se requiere del conocimiento del perfil de temperatura a lo largo de la tubería y proceder a dividir la tubería en un número determinado de tramos y luego obtener el valor de la integral mediante técnicas de integración numéricas.

Desarrolle una hoja de cálculo basada en la metodología de Cullender-Smith para determinar el perfil axial de presión, considerando que el factor de fricción es obtenido a partir de

14


15

la ecuación de Colebrook. Evalué el impacto de dividir la tubería en n tramos.

Aplique la metodología de Cullender Smith a los siguientes datos para determinar la presión del fondo fluyente en una tubería vertical, la cual se ha dividido en 2,4 o 6 tramos

Tsc=60 °F

Psc= 14.7 psia Pi =600 psia

=0.012cP γg

Q = 4.92 MMscfd

µg

= 0.75

H=10000 ft

D=2.441 in

ε= 0.0006 in

Ts = 110°F

Tf =

245°F

7.3.1.2.2 Ecuación de Sukkar - Cornell

De la ecuación (7.10e)

P

∫⎡

PI

P ZT

2 2 f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎤ ⎛ P ⎞ ⎢⎜ ⎥ θ + sen ⎜ ⎟ ⎟ 2 gA 2 D ⎜⎝ ⎝ ZT ⎠ ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ZT ⎠ sc ⎦

L

g dL = 0 Rg c LI

dP + ∫

(7.10e)

Considerando que la temperatura T se representa por el valor correspondiente a la temperatura promedio, se tiene:

P L g Z dP = dL ∫P ⎡ 2 ∫ 2 2 RT g ⎤ ⎛ ⎞ fT prom ⎛ PQ ⎞ prom c LI ⎛P⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎜ ⎟ senθ + ⎟ 2 2 gA D ⎜⎝ ⎝ ZT ⎠ ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ Z ⎠ sc ⎦

PI

(7.13)

Usando el concepto de propiedades seudo reducidas se tiene:

15


16

PSR =

P PSCr

(7.13a)

TSR =

T TSCr

(7.13b)

De la sustitución en la ecuación (7.13) se obtiene:

⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

PSRI

∫

PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

2 ⎡ fT L ⎛⎛ ⎢1 + prom ⎜ ⎜ PQ ⎢ 2 gA 2 Dh ⎜ ⎜⎝ ZTPSCr ⎝ ⎣

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎞ ⎛ Z ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ PSR ⎠ sc

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

dPSR =

gLsenθ RT prom g c

(7.13g)

Si se define a B como: 2 fLT prom ⎛⎜ ⎛ PQ ⎜ B= 2 gA 2 Dh ⎜ ⎜⎝ ZTPSCr ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ sc

(7.13h)

Luego,

PSRI

∫

PSR

⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎡ ⎛ Z ⎢1 + B⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

dPSR =

gLsenθ RTg c

(7.13i)

La ecuación (7.13i) es conocida como la ecuación de Sukkar - Cornell, en la solución de esta ecuación se requiere del conocimiento del perfil de temperatura a lo largo de la tubería y proceder a dividir la tubería en un número determinado de tramos y luego obtener el valor de la integral mediante técnicas de integración numéricas.

16


17

Aplique la metodología de Sukkar Cornell a los siguientes datos para determinar la presión del fondo fluyente en una tubería vertical, la cual se ha dividido en 2,4 o 6 tramos. Compare su resultado con los obtenidos con la metodología de Cullender Smith

Tsc=60 °F =0.012cP

Psc=14.7 psia

γg

H=10000 ft

Q = 4.92 MMscfd µg

Pi =600 psia

= 0.75 D=2.441 in

ε= 0.0006 in

Ts = 110°F

Tf =

245°F

7.3.1.2.3 Ecuación de Clinedinst

Considerando la ecuación (7.10e):

P ZT

P

∫⎡

2 PI ⎛ P ⎞ f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎤ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ senθ + 2 gA 2 D ⎜⎝ ⎝ ZT ⎠ ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ZT ⎠ sc ⎦ 2

L

dP +

g

∫ Rg

LI

dL = 0 c

(7.10e)

Considerando flujo horizontal y que la temperatura T se representa por el valor correspondiente a la temperatura promedio, la ecuación (7.10e) se transforma en:

P L g ZT dP + ∫ dL = 0 ∫P ⎡ 2 Rg ⎤ ⎛ ⎞ c LI f ⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎟ I ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ 2 ⎢⎣ 2 gA D ⎜⎝ ⎝ ZT ⎠ ⎟⎠ sc ⎥⎦ P

T prom f ⎛ ⎛ PQ ⎞ 2 ⎞ P ∫P Z dP = Rg c 2 A 2 D ⎜⎜ ⎜⎝ ZT ⎟⎠ ⎟⎟ ⎠ ⎝

PI

(7.14)

L

∫ dL

(7.14a)

sc LI

17


18

Usando el concepto de presión seudo reducida se tiene:

PSRI

∫ 0

PSR dPSR − Z

PSR

∫ 0

PSR T fL ⎛⎜ ⎛ PQ ⎜ dPSR = Z Rg c 2 A 2 D ⎜ ⎜⎝ ZTPSCr ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ sc

(7.14e)

La ecuación (7.14e) es conocida como la ecuación de Clinedinst para un flujo de gas a través de una tubería horizontal, en la solución de esta ecuación se requiere del conocimiento del perfil de temperatura a lo largo de la tubería y proceder a dividir la tubería en un número determinado de tramos y luego obtener el valor de la integral mediante técnicas de integración numéricas.

7.3.1.3 Ecuaciones que consideren o no el efecto de P y/o T sobre Z

Se presentan expresiones para el flujo de gas en tubería considerando que el comportamiento del fluido está dado por la presión y la temperatura promedio, y el factor de compresibilidad evaluado bajo estas condiciones, de esta premisa se obtienen expresiones que contemplen el menor grado complejidad en las ecuaciones para el flujo de gas a través de tuberías. En la solución de estas ecuaciones se requieren de procesos iterativos.

7.3.1.3.1 Ecuaciones considere el efecto de T y Z promedio

Considerando en la ecuación (7.10e), la temperatura y el factor de compresibilidad evaluados a las condiciones promedio representativo del comportamiento del fluido en el flujo de gas a través de una tubería se tiene:

P ZT

P

∫⎡

2 PI ⎛ P ⎞ f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎤ ⎢⎜ ⎥ ⎟ senθ + ⎜ ⎟ 2 gA 2 D ⎜⎝ ⎝ ZT ⎠ ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ZT ⎠ sc ⎦ 2

L

dP +

g

∫ Rg

LI

dL = 0 c

18


19

Tomando factor común 1/ZpromTprom:

P ( ZT ) prom

P

∫

L

2 ⎡ f (ZT ) prom PI ⎛ 1 ⎞ 2 2 ⎢ P senθ + ⎜ ⎟ 2 gA 2 D ⎝ ZT ⎠ prom ⎢⎣

⎛ ⎛ PQ ⎞ 2 ⎞ ⎤ ⎟ ⎥ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ZT ⎟⎠ ⎟ ⎥ ⎠ sc ⎦ ⎝

dP +

g

∫ Rg

LI

dL = 0

(7.15)

c

Agrupando términos independientes:

P

∫⎡

PI

L

P

2 f (ZT ) prom ⎛ ⎛ PQ ⎞ 2 ⎞ ⎤ ⎜⎜ ⎢P + ⎟ ⎟⎟ ⎥ 2 ⎜ ZT gA Dsen 2 θ ⎠ ⎠ sc ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝⎝

dP +

∫

LI

2

gsenθ ⎛ 1 ⎞ dL = 0 ⎟ ⎜ Rg c ⎝ ZT ⎠ prom

(7.15a)

Obteniéndose,

D5S ⎛ T ⎞ ⎪⎧ 2 Qsc = 32.5329⎜ ⎟ ⎨ PI − e S P 2 S ⎝ P ⎠ sc ⎪⎩ fγ g ( ZT ) prom L e − 1

(

)

(

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.5

(7.15b)

Donde:

S=

2 gLsenθ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ Rgc ⎝ ZT ⎠ prom

2 gsenθ =

SR ( ZT ) prom g c L

d 5S ⎛ T ⎞ ⎧⎪ 2 PI − e S P 2 Qsc ( Mscfd ) = 5.63486⎜ ⎟ ⎨ S ⎝ P ⎠ sc ⎪⎩ fγ g ( ZT ) prom L e − 1

(

)

(

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.5

(7.15c)

19


20

Manipulando la ecuación (7.15b) se puede expresar

D5S ⎛ T ⎞ ⎧⎪ 2 Qsc = 32.5329⎜ ⎟ ⎨ PI − e S P 2 S ⎝ P ⎠ sc ⎪⎩ fγ g ( ZT ) prom L e − 1

(

)

(

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.5

(7.15d)

Definiendo:

H I = PI

2

H F = eS P2 ⎫⎪ S ⎛ T ⎞ ⎧⎪ K = 32.5329⎜ ⎟ ⎨ ⎬ S ⎝ P ⎠ sc ⎪⎩ γ g ( ZT ) prom L e − 1 ⎪⎭

(

0.5

)

(7.15e)

Para una tubería horizontal

⎧ S ⎫ ⎬ =1 ⎨ S ⎩ e −1 ⎭

(

)

La ecuación fundamental se transforma en:

⎧ (H I − H F )D 5 ⎫ Qsc = K ⎨ ⎬ f ⎩ ⎭ Aplique

la

metodología

de

0 .5

(7.15f)

las

propiedades

promedio

a

los

siguientes datos para determinar la presión del fondo fluyente en una tubería vertical, la cual se ha dividido en 2,4 o 6

20


tramos.

Compare

su

resultado

con

los

obtenidos

21

con

la

Q = 4.92 MMscfd

µg

metodología de Cullender Smith y Sukkar-Cornell

Tsc=60 °F =0.012cP

Psc=14.7 psia

Pi =600 psia

γg = 0.75

H=10000 ft

ε= 0.0006 in

D=2.441 in

Ts = 110°F

Tf =

245°F

7.3.1.4 Ecuaciones que no consideran el efecto de P y/o T sobre Z y la energía cinética

Considerando en la ecuación (7.10e), la temperatura y el factor de compresibilidad evaluados a las condiciones promedio son representativas del comportamiento del fluido en el flujo de gas a través de una tubería, así como también la presión en el término correspondiente a la energía cinética, se tiene:

P ZT

P

∫⎡

2 PI ⎛ P ⎞ f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎤ ⎢⎜ ⎥ ⎟ senθ + ⎜ ⎟ 2 gA 2 D ⎜⎝ ⎝ ZT ⎠ ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ZT ⎠ sc ⎦

P

∫⎡

PI

2

L

dP +

P ( ZT ) prom

2 f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎤ ⎛ P ⎞ 2 ⎢⎜ ⎥ senθ + ⎟ ⎜ ⎟ 2 gA 2 D ⎜⎝ ⎝ ZT ⎠ ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ZT ⎠ prom sc ⎦

g

∫ Rg

LI

dL = 0 c

L

g dL = 0 Rg c LI

dP + ∫

Desarrollando se tiene:

21


Qsc = 32.532866

(ZT )sc ⎧⎪ Psc

22

⎡ 2 ⎤ ⎫⎪ D5 ⎛ P ⎞ 2 2 senθ ⎥ ⎬ ⎟ ⎢ PI − P − 0.037499γ g ( ZT ) prom L⎜ ⎨ ⎝ ZT ⎠ prom ⎦⎥ ⎪⎭ ⎩⎪ γ g f ( ZT ) prom L ⎣⎢

(

)

(7.16)

Definiendo:

⎛ P ⎞ 2 2 H I = PI + 0.037499γ g ⎜ hI ⎟ ⎝ ZT ⎠ prom

⎛ P ⎞ 2 2 H F = PF + 0.037499γ g ⎜ hF ⎟ ⎝ ZT ⎠ prom

y

(7.17)

K = 32.532866

(ZT )sc ⎧⎪ Psc

D 5 ⎫⎪ ⎨ ⎬ ⎪⎩ γ g fL ⎪⎭

0.5

(7.18)

La ecuación fundamental se puede transformar en:

⎧ (H I − H F )D 5 ⎫ Qsc = K ⎨ ⎬ f ⎩ ⎭

0 .5

(7.19)

Ejemplo:

Usando

la

ecuación

general,

determine

la

capacidad

de

un

gasoducto usando los datos siguientes:

Tsc=60 °F

γg

Psc=14.7 psia

Pi =600 psia

Pf =460 psia

= 0.60

L=100 mi

D=12.09 in

ε= 0.0006 in

T=

60 °F

7.3.2 Ecuaciones simplificadas para el factor de fricción 22

0.5


23

Varias ecuaciones para el factor de fricción han sido desarrolladas para simplificar el cálculo de las variables de flujo, dichas ecuaciones se fundamentan en considerar el factor de fricción solo función del diámetro y del número de Reynolds.

7.3.2.1 Ecuación de Weymouth

Para eliminar el proceso iterativo en la solución de la ecuación fundamental para el flujo de gas a través de una tubería, Weymouth propuso que el factor de fricción fuera solo función del diámetro de la tubería, si se expresa en término de pulgadas y pies, las expresiones serían las siguientes, respectivamente:

f =

0.032 d 1/ 3

f =

(7.20)

0.01398 D1 / 3

(7.20a)

Esta ecuación está basada en la consideración de que el flujo de gas está en la región completamente turbulenta

Desarrolle una hoja de cálculo basada en las expresiones de Weymouth para el factor de fricción y compárelas con el factor de fricción obtenido a partir de la ecuación de Colebrook. De esta

comparación

determine

el

campo

de

aplicación

de

las

expresiones de Weymouth, exprese sus comentarios y conclusiones respecto a las limitaciones presentes en la literatura técnica

Sustituyendo esta consideración en las ecuaciones (7.15b) y (7.16) para la tasa de flujo Qsc se tiene la expresión correspondiente a la ecuación de Weymouth (Q Qscw).

23


Qscw

D1 / 3 D 5 S ⎛ T ⎞ ⎧⎪ 2 = 32.5329⎜ ⎟ ⎨ PI − e S P 2 S P ⎝ ⎠ sc ⎪⎩ 0.001398γ g ( ZT ) prom L e − 1

Qscw

D16 / 3 S ⎛ T ⎞ ⎧⎪ 2 = 275.1498⎜ ⎟ ⎨ PI − e S P 2 S ⎝ P ⎠ sc ⎪⎩ γ g ( ZT ) prom L e − 1

(

)

(

Qscw = 275.1498

(ZT )sc ⎧⎪ Psc

)

(

(

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

24

0.5

0.5

(7.20b)

⎡ 2 ⎤ ⎫⎪ D 16 / 3 ⎛ P ⎞ 2 2 senθ ⎥ ⎬ ⎟ ⎢ PI − P − 0.037499γ g ( ZT ) prom L⎜ ⎨ ⎝ ZT ⎠ prom ⎪⎩ γ g ( ZT ) prom L ⎣⎢ ⎦⎥ ⎪⎭

(

)

0.5

(7.20c)

Ejemplo

Usando la ecuación de Weymouth, determine la capacidad de un gasoducto usando los datos siguientes: Tsc=60 °F

γg

Psc=14.7 psia

Pi =600 psia

Pf =460 psia

= 0.60

L=100 mi

D=12.09 in

ε= 0.0006 in

T= 60 °F

7.3.2.2 Ecuación de Panhandle para el factor de fricción

Panhandle

considero el factor como una función únicamente del número de

Reynolds y propuso dos relaciones:

f PA =

0.084702 0.147 Re

f PB =

0.01471 0.0392 Re

(7.20d)

(7.20e)

24


25

Desarrolle una hoja de cálculo basada en las expresiones de Panhandle para el factor de fricción y compárelas con el factor de fricción obtenido a partir de la ecuación de Colebrook. De esta

comparación

determine

expresiones

de

conclusiones

respecto

el

Panhandle, a

las

campo exprese

de

aplicación

sus

limitaciones

de

las

comentarios presentes

en

y la

literatura técnica

Desarrollando para la expresión del número de Reynolds con base en las unidades utilizadas en las variables

Re =

γ g QP 4QP ρVD ρVD πD / 4 4 ρQ = = = = 0.023872 µ µ πD / 4 πµD πµDZRT µDZT

(7.20f)

Usando la relación entre la tasa de flujo a condiciones reales y estandar

Q=

ZT ⎛ PQ ⎞ ⎜ ⎟ P ⎝ ZT ⎠ sc

Re = 0.023872

γ g ⎛ PQ ⎞ ⎜ ⎟ µD ⎝ ZT ⎠ sc

Luego,

(7.20g)

Sustituyendo para las expresiones de Panhandle:

f PA

0.084702 = 0.0238720.147

⎡ µD ⎛ ZT ⎞ ⎤ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎢⎣ γ g ⎝ PQ ⎠ sc ⎥⎦

0.147

⎡ µD ⎛ ZT ⎞ ⎤ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ = 0.146671⎢ ⎢⎣ γ g ⎝ PQ ⎠ sc ⎥⎦

0.147

(7.20h)

25


f PB

0.01471 = 0.023872 0.0392

⎡ µD ⎛ ZT ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ ⎜⎜ ⎢ ⎢⎣ γ g ⎝ PQ ⎠ sc ⎥⎦

0.0392

⎡ µD ⎛ ZT ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ ⎜⎜ = 0.017031⎢ ⎢⎣ γ g ⎝ PQ ⎠ sc ⎥⎦

26

0.0392

(7.20i)

Sustituyendo esta consideración en las ecuaciones (7.15d), se tiene:

Panhandle A

D5S ⎛ T ⎞ ⎧⎪ 2 PI − e S P 2 Qsc = 32.5329⎜ ⎟ ⎨ S ⎝ P ⎠ sc ⎪⎩ fγ g ( ZT ) prom L e − 1

(

)

(

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.5

Sustituyendo la expresión de Panhandle A para el factor de fricción en la ecuación (7.15d) se tiene:

(Qsc )PA

D5S ⎛ T ⎞ ⎧⎪ 2 = 32.5329⎜ ⎟ ⎨ PI − e S P 2 S P 0 . 146671 ( ) 1 γ ZT L e − ⎝ ⎠ sc ⎪⎩ g prom

(

)

(

⎡ γ g ⎛ PQ ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎣ µD ⎝ ZT ⎠ sc ⎦

)

0.147

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

0.5

Desarrollando términos y tomando factor comun:

(Qsc )PA

D 4.853 S ⎛ T ⎞ ⎧⎪ 2 = 120.834821⎜ ⎟ ⎨ PI − e S P 2 0.857 S 0.147 ( ZT ) prom L e − 1 ⎝ P ⎠ sc ⎪⎩ (γ g ) µ

(

)

(

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.539665

(7.20j)

Ejemplo:

Usando la ecuación Panhandle A, determine la capacidad de un gasoducto usando los datos siguientes:

Tsc=60 °F psia

γg

L=100 mi

Psc=14.7 psia

Pi =600 psia

Pf =460

= 0.60 D=12.09 in

ε= 0.0006 in

T= 60 °F

26


27

Panhandle B

Sustituyendo la expresión de Panhandle B para el factor de fricción en la ecuación (7.15d), se tiene:

(Qsc )PB

D5S ⎛ T ⎞ ⎧⎪ 2 = 32.5329⎜ ⎟ ⎨ PI − e S P 2 S P − 0 . 017031 ( ) 1 γ ZT L e ⎝ ⎠ sc ⎪⎩ g prom

(

)

(

⎡ γ g ⎛ PQ ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎣ µD ⎝ ZT ⎠ sc ⎦

)

0.0392

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

0. 5

Desarrollando términos y tomando factor común:

(Qsc )PB

D 4.9608 S ⎛ T ⎞ ⎧⎪ 2 = 278.366649⎜ ⎟ ⎨ PI − e S P 2 0.9608 0.0392 S µ ( ZT ) prom L e − 1 ⎝ P ⎠ sc ⎪⎩ (γ g )

(

)

(

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.509996

(7.20k)

Usando la ecuación de Panhandle B, determine la capacidad de un gasoducto usando los datos siguientes: Tsc=60 °F

γg

Psc=14.7 psia

Pi =600 psia

Pf =460 psia

= 0.60

L=100 mi

D=12.09 in

ε= 0.0006 in

T= 60 °F

Desarrolle una hoja de cálculo para la tasa de flujo basada en las expresiones de Panhandle para el factor de fricción. Haga uso de la ecuación.

27


Qsc = 32.532866

(ZT )sc ⎧⎪ Psc

28

⎤ ⎫⎪ ⎡ 2 D5 ⎛ P ⎞ 2 2 senθ ⎥ ⎬ ⎟ ⎢ PI − P − 0.037499γ g ( ZT ) prom L⎜ ⎨ ⎝ ZT ⎠ prom ⎪⎩ γ g f ( ZT ) prom L ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

(

)

Realice aplicaciones para determinar las variables de flujo y compare

sus

resultados

con

los

obtenidos

a

partir

de

las

expresiones correspondientes a la ecuación.

D5S ⎛ T ⎞ ⎧⎪ 2 Qsc = 32.5329⎜ ⎟ ⎨ PI − e S P 2 S P f ZT L e − γ ( ) 1 ⎪ ⎝ ⎠ sc ⎩ g prom

(

)

(

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.5

Exprese sus comentarios y conclusiones al respecto.

Expresando las variables involucradas en el número de Reynolds en otra unidades, por ejemplo si la tasa de flujo se expresa en cfd (ft3/d)

Re =

γ g ⎛ Pq ⎞ 0.023872 γ g ⎛ Pq ⎞ −7 ⎜ ⎟ = 2.763 × 10 ⎜ ⎟ 24 × 3600 µD ⎝ ZT ⎠ sc µD ⎝ ZT ⎠ sc

Si la viscosidad se expresa en centipoise:

Re = 2.763 × 10 −7

γg

γ g ⎛ Pq ⎞ ⎛ Pq ⎞ −4 ⎜ ⎟ = 4.112 × 10 ⎜ ⎟ 6.7197 × 10 µ cp D ⎝ ZT ⎠ sc µ cp D ⎝ ZT ⎠ sc −4

Si el diámetro se expresa en pulgadas:

Re = 4.112 × 10 −4

γ g × 12.0 ⎛ Pq ⎞ γ g ⎛ Pq ⎞ −4 ⎜ ⎟ = 49.344 × 10 ⎜ ⎟ µcp d ⎝ ZT ⎠ sc µ cp d ⎝ ZT ⎠ sc

Si la presión se expresa en psia:

28

0.5


Re = 49.344 × 10 −4

29

γ g ⎛ 144 Pq ⎞ γ g ⎛ Pq ⎞ −4 ⎜ ⎟ = 7105.54 × 10 ⎜ ⎟ µ cp d ⎝ ZT ⎠ sc µ cp d ⎝ ZT ⎠ sc

Para las condiciones estándar de 14.7 psia y 60 °F

Re = 7105.54 × 10 −4

γ g ⎛ 14.7 × q ⎞ γ q ⎜⎜ ⎟⎟ = 200.87 × 10 −4 g sc µ cp d ⎝ 1× (60 + 460) ⎠ sc µ cp d

Luego los factores de fricción de Panhandle son:

Re = 144.6264

f PA

f PB

γ g Qsc µ cp D

0.084702 ⎛⎜ µ cp D ⎞⎟ = 144.62640.147 ⎜⎝ γ g Qsc ⎟⎠

0.147

0.01471 ⎛⎜ µ cp D ⎞⎟ = 144.62640.0392 ⎜⎝ γ g Qsc ⎟⎠

0.0392

Usando estas últimas expresiones para la tasa de flujo:


(

)

(

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.5

Sustituyendo el factor de fricción por la expresión correspondiente a Panhandle A:

29


⎡ ⎤ (QscPA ) = 131.04695⎢⎛⎜ T ⎞⎟ ⎥ ⎣⎝ P ⎠ sc ⎦

1.172333

0.147 ⎧ ⎛ γg ⎞ D5S ⎪ 2 ⎜ ⎟ PI − e S P 2 ⎨ S ⎜ ⎟ µ D ⎪⎩ γ g ( ZT ) prom L e − 1 ⎝ cp ⎠

(

(

)

30

⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.586166

Para Panhandle B:

⎡ ⎤ (QscPB ) = 711.0906⎢⎛⎜ T ⎞⎟ ⎥ ⎣⎝ P ⎠ sc ⎦

1.0408

0.0392 ⎧ ⎛ γg ⎞ D5S ⎪ 2 ⎜ ⎟ PI − e S P 2 ⎨ S ⎜µ D⎟ ( ) 1 γ − ZT L e prom ⎪⎩ g ⎝ cp ⎠

(

(

)

⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.5204

Desarrolle una hoja de cálculo basada en las expresiones de Panhandle para la tasa de flujo expresada en la ecuación.

Qscw = 32.532866

(ZT )sc ⎧⎪ Psc

⎡ 2 ⎤ ⎫⎪ D5 ⎛ P ⎞ 2 2 senθ ⎥ ⎬ ⎟ ⎢ PI − P − 0.037499γ g ( ZT ) prom L⎜ ⎨ ⎝ ZT ⎠ prom ⎪⎩ γ g f ( ZT ) prom L ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

(

)


sus

resultados

con

los

obtenidos

a

partir

de

las



(

)

(

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.5


Desarrolle una hoja de cálculo la tasa de flujo basada en las expresiones

de

Panhandle

para

el

factor

de

fricción,

considerando un valor para la viscosidad del gas equivalente a 0.012

cP.

Realice

una

comparación

con

las

expresiones

30

0. 5


31

presentadas en la literatura técnica que hagan uso de la misma base y emita sus comentarios al respecto.

7.3.2.3 Ecuación del IGT para el factor de fricción

El Instituto de gas de Tecnología de Chicago (IGT por sus siglas en inglés) propuso para el factor de fricción la siguiente relación

f =

0.187 0.2 Re

(7.21)

Sustituyendo esta expresión en la ecuación para la tasa de flujo (7.15d):


(

)

(

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.5

Luego,

(Qsc )IGT

D5S ⎛ T ⎞ ⎧⎪ 2 = 57.71187⎜ ⎟ ⎨ PI − e S P 2 S ⎝ P ⎠ sc ⎪⎩ γ g ( ZT ) prom L e − 1

(

)

(

⎡ γ g ⎤ ⎫⎪ ⎢ ⎥ ⎬ ⎣ µD ⎦ ⎪⎭ 0.2

)

0.555556

Usando la ecuación del I.G.T., determine la capacidad de un gasoducto usando los datos siguientes: Tsc=60 °F γg

Psc=14.7 psia

Pi =600 psia

Pf =460 psia

= 0.60

L=100 mi

D = 12.09 in

ε= 0.0006 in

T= 60 °F

31


32

Desarrolle una hoja de cálculo basada en la ecuación del IGT para la tasa de flujo expresada en la ecuación.

Qscw = 32.532866

(ZT )sc ⎧⎪ Psc

⎡ 2 ⎤ ⎫⎪ D5 ⎛ P ⎞ 2 2 senθ ⎥ ⎬ ⎟ ⎢ PI − P − 0.037499γ g ( ZT ) prom L⎜ ⎨ ⎝ ZT ⎠ prom ⎪⎩ γ g f ( ZT ) prom L ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

(

)


sus

resultados

con

los

obtenidos

a

partir

de

las



(

)

(

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.5


Desarrolle una hoja de cálculo para calcular la tasa de flujo basada en las expresiones del IGT para el factor de fricción, considerando un valor para la viscosidad del gas equivalente a 0.012

cP.

Realice

una

comparación

con

las

expresiones

presentadas en la literatura técnica que hagan uso de la misma base y emita sus comentarios al respecto

7.3.2.4 Ecuación de la A.G.A para el factor de fricción

Usando la ecuación de la A.G.A., determine la capacidad de un gasoducto usando los datos siguientes: Tsc=60 °F γg

Psc=14.7 psia

Pi =600 psia

Pf =460 psia

= 0.60

32

0. 5


L=100 mi

D=12.09 in

ε= 0.0006 in

33

T= 60 °F

7.4 Flujo vertical

La aplicación típica en la industria petrolera bajo la situación de flujo vertical consiste en el flujo de gas a través de una tubería de producción fluyendo desde el yacimiento hasta la superficie. Dos situaciones se presentan; una donde el fluido se encuentra bajo condición estática y la otra bajo condición fluyente, estas situaciones permiten calcular la presión en el fondo de un pozo, conociendo la presión en el cabezal del pozo ó viceversa.

7.4.1 Presión estática en el fondo de un pozo

El cálculo de la presión estática en el fondo de un pozo a partir del conocimiento o medición de las propiedades en el cabezal de un pozo, envuelve el proceso para determinar el incremento de la presión ejercida por el peso de la columna de gas ubicada entre el cabezal y el fondo del pozo. Usando la ecuación fundamental para el flujo de gas: 2 2 dP R ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ d ⎛ ZT ⎞ g P f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎛ ZRT ⎞ senθ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=0 dL 2 A2 gc ⎜⎝ ⎝ ZRT ⎠ ⎟⎠ dL ⎝ P ⎠ gc ZRT 2 g c D ⎜⎝ ⎝ ZRT ⎠ ⎟⎠ ⎝ PA2 ⎠ sc sc

(7.8)

Bajo una condición estática de flujo Q=0, se tiene:

dP g P + senθ = 0 dL g c ZRT ZRT dP g + senθ = 0 P dL g c

33


34

La solución de la ecuación fundamental de flujo de gas simultáneamente con la ecuación de la energía se obtiene si se conoce la relación entre las propiedades del gas P, T y Z, así como también el perfil de temperatura en gas en función de la profundidad del pozo. Cuando no se disponga de este perfil la solución de la ecuación depende de las consideraciones realizadas. Como se ha mencionado, en el análisis de flujo horizontal se puede considerar al factor de compresibilidad dependiente de la presión y temperatura, o como una constante evaluada a las condiciones de la presión y la temperatura. Debido a la dependencia entre las propiedades del fluido de la presión y la temperatura en los extremos de la tubería, la manera de resolver esta ecuación es mediante un proceso iterativo, considerando la tubería dividida en tramos.

La separación de variables en la ecuación fundamental para la presión estática:

ZRT g dP + senθdL = 0 P gc Integrando:

ZRT g dP = − ∫ P ∫ g c senθdL En la solución de esta ecuación es necesario considerar dos posibles situaciones representativas de un flujo ascendente (θ > 0) senθ > 0 o flujo descendente (θ < 0) senθ < 0. Realizando el análisis bajo el esquema de flujo ascendente, se tiene:

PCP

∫

PFP

L

CP g ZRT senθdL dP = − ∫ g P c LFP

(7.21)

Para determinar la temperatura promedio es necesario conocer las temperaturas en los extremos de los tramos, bien sea la temperatura en el fondo (TFP) o en el

34


35

cabezal del pozo (TCP), si este es el caso, un perfil lineal entre dichos extremos representa una buena consideración. Si no se conoce la temperatura en el fondo del pozo (TFP), puede ser bien estimada a partir de un gradiente térmico de 0.015 °F/ft.

7.4.1.1 Método de las propiedades promedio para determinar la presión estática en el fondo de pozo

Este método, a pesar de ser el menos preciso, es muy utilizado por su simplicidad. Si la temperatura y el factor de compresibilidad se consideran constantes y representados por sus valores promedio, se tiene:

PCP

∫

PFP

dP 1 =− P R( ZT ) prom

LCP

∫

LFP

g senθdL gc

(7.22)

De la integración,

[ln PCP − ln PFP ] = − gsenθ (LCP − LFP ) g c R( ZT ) prom

(7.22a)

⎡ gsenθ (LCP − LFP ) ⎤ PCP = PFP exp ⎢− ⎥ g c R( ZT ) prom ⎦⎥ ⎣⎢

(7.22b)

⎡ gsenθ (LCP − LFP )⎤ PFP = PCP exp⎢ ⎥ ⎢⎣ g c R( ZT ) prom ⎥⎦

(7.22c)

Para flujo ascendente:

LCP – LFP > 0

senθ > 0

Para flujo descendente:

35


36

senθ < 0

LCP – LFP < 0

La solución de la ecuación que permite conocer el valor da la presión en el fondo del pozo a una profundidad debajo de la superficie requiere de un proceso iterativo, esto es porque la presión en el fondo es una función de las condiciones en la superficie y de la temperatura en el fondo. El procedimiento de cálculo involucra la suposición de una presión en el fondo y a partir de ella se determina el factor de compresibilidad promedio. Luego, se calcula la presión en el fondo a partir de la ecuación (7.22c), si la diferencia entre la presión supuesta y la calculada para el fondo del pozo está dentro de una tolerancia permitida se finaliza el proceso. En caso contrario, se continúa iterando. Este proceso se puede utilizar para uno o varios tramos.

Desarrolle estática

una

hoja

de

cálculo

para

calcular

la

presión

en el fondo o en el cabezal de un pozo de gas a

partir del método basado en las propiedades promedio.

⎡ gsenθ (LCP − LFP ) ⎤ PFP = PCP exp ⎢ ⎥ ⎢⎣ g c R ( ZT ) prom ⎥⎦

Considere

que

la

longitud

del

pozo

se

pueda

dividir

en

n

tramos, realice ciertas aplicaciones dependientes del número de tramos y compare los resultados.

Exprese sus comentarios y

conclusiones al respecto.

7.4.1.2 Método de Sukkar-Cornell

Considerando la condición estática en el flujo de un gas B=0 sobre la ecuación (7.13i):

36


⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

PSRI

∫

PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎡ ⎛ Z ⎢1 + B⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

dPSR =

37

gLsenθ RT prom g c

Se tiene que para B = 0:

⎛ Z ⎞ gLsenθ ⎟⎟dPSR = RT prom g c SR ⎠ PSR

PSRI

∫ ⎜⎜⎝ P

(7.23)

Desarrollando

PPCPSR

∫ 0

⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟dPSR − ⎠

PFPSR

∫ 0

⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

⎞ gLsenθ ⎟⎟dPSR = RT prom g c ⎠

(7.23a)

El lado izquierdo de la ecuación se ha resuelto para varios valores de presiones y temperaturas seudo reducidas.

Realice aplicaciones y compare sus resultados con los obtenidos a partir del método basado en la ecuación de Sukkar - Cornell.

PPCPSR

∫ 0

⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟dPSR − ⎠

PFPSR

∫ 0

⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

⎞ gLsenθ ⎟⎟dPSR = RT prom g c ⎠


Considere

que

la

longitud

del

pozo

se

pueda

dividir

en

n




37


38

7.4.1.3 Método de Cullender-Smith

Para la condición estática en el flujo de un gas F=0 sobre la ecuación (7.12):

P ZT

P

∫⎡

L

⎤ PI ⎛ P ⎞ ⎟ senθ + F ⎥ ⎢⎜ ⎣⎢⎝ ZT ⎠ ⎦⎥ 2

dP +

g

∫ Rg

LI

dL = 0 c

Se tiene:

ZT gsenθ dP + ∫P P ∫L Rg c dL = 0 I I P

L

(7.24)

Definiendo:

I=

ZT P

Luego, para flujo ascendente:

PCP

LCP

PFP

LFP

∫ IdP = − ∫

gsenθ dL Rg c

(7.24a)

Con:

LCP – LFP > 0

senθ > 0

38


PCP

∫ IdP < 0 ⇐ P

FP

39

> PCP

PFP

Para flujo descendente:

LCP – LFP < 0

senθ < 0

Como este método no está fundamentado en las consideraciones de los otros métodos, éste resulta el más preciso entre los estudiados.

Realice aplicaciones y compare sus resultados con los obtenidos a partir del método Cullender-Smith.

ZT gsenθ dP + ∫P ∫ Rg c dL = 0 PI LI P

L


Considere

que

la

longitud

del

pozo

se

pueda

dividir

en

n




7.4.2 Presión fluyente en el fondo de un pozo

El cálculo de la presión fluyente en el fondo de un pozo si se conocen ó han sido medidas las propiedades en el cabezal de un pozo, involucra un proceso para determinar el incremento de la presión ejercida por el peso de la columna de gas

39


40

(ubicada entre el cabezal y el fondo del pozo), el cambio de la energía cinética y las pérdidas de la energía debido a la fricción.

Usando la ecuación fundamental para el flujo de gas (ecuación 7.8): 2 2 dP R ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ d ⎛ ZT ⎞ g P f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎛ ZRT ⎞ + senθ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=0 dL 2 A 2 g c ⎜⎝ ⎝ ZRT ⎠ ⎟⎠ dL ⎝ P ⎠ g c ZRT 2 g c D ⎜⎝ ⎝ ZRT ⎠ ⎟⎠ ⎝ PA 2 ⎠ sc sc

Despreciando el efecto de la energía cinética:

2 dP g P f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎛ ZRT ⎞ + senθ + ⎟ ⎟=0 ⎜ ⎜ 2 g c D ⎜⎝ ⎝ ZRT ⎠ ⎟⎠ ⎝ PA 2 ⎠ dL g c ZRT sc

(7.25)

Esta ecuación representa la ecuación fundamental para determinar la presión bajo condiciones fluyente.

7.4.2.1 Método de las propiedades promedios para determinar la presión fluyente en el fondo de un pozo

Este método a pesar de ser el menos preciso y utilizado por su simplicidad, se usa frecuentemente para obtener un valor aproximado de la presión del fondo fluyente. Usando las ecuaciones apropiadas para este caso:

D5S ⎛ T ⎞ ⎧⎪ 2 Qsc = 32.5329⎜ ⎟ ⎨ PI − e S P 2 S ⎝ P ⎠ sc ⎪⎩ fγ g ( ZT ) prom L(e − 1)

(

S=

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

)

0.5

(7.26)

2 gLsenθ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ Rg c ⎝ ZT ⎠ prom

40


(Qsc )

(P

I

2

2

⎡ ⎛T ⎞ ⎤ = ⎢32.5329⎜ ⎟ ⎥ ⎝ P ⎠ sc ⎦ ⎣

−e P S

2

)=

Qsc = 32.532866

2

⎧⎪ D5S 2 PI − e S P 2 ⎨ S ⎪⎩ fγ g ( ZT ) prom L e − 1

( )

(

(

)

fγ g ( ZT ) prom L e S − 1

(Qsc )2

D5S

⎡ ⎛T ⎞ ⎤ ⎢32.5329⎜ ⎟ ⎥ ⎝ P ⎠ sc ⎦ ⎣

(ZT )sc ⎧⎪ Psc

)⎫⎪⎬ ⎪⎭

41

(7.26a)

(7.26b)

2

⎡ 2 ⎤ ⎫⎪ D5 ⎛ P ⎞ 2 2 senθ ⎥ ⎬ ⎟ ⎢ PI − P − 0.037499γ g ( ZT ) prom L⎜ ⎨ ⎝ ZT ⎠ prom ⎦⎥ ⎪⎭ ⎩⎪ γ g f ( ZT ) prom L ⎣⎢

(

)

(7.26c)

⎧ ⎪ (Qsc )2 ⎪ γ g f ( ZT ) prom L 2 2 P = PI − ⎨ D5 ⎛ (ZT )sc ⎪ ⎜⎜ 32.532866 ⎪ Psc ⎝ ⎩

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎫ ⎪ ⎪ ⎛ P ⎞ 2 senθ ⎬ + 0.037499γ g ( ZT ) prom L⎜ ⎟ ZT ⎝ ⎠ prom ⎪ ⎪ ⎭

(7.26d)

Ejemplo: Calcular la presión en el fondo fluyente de un pozo de gas para las siguientes condiciones.

Qsc = 5.153 MMscfd

D = 0.1663 ft = 1.9956 in = 2.0 in

Longitud de la tubería de producción = 5790 ft

γg = 0.60

Temperatura en el cabezal del pozo

= 83 °F Temperatura en el fondo del pozo = 160 °F

Presión en el cabezal del pozo =

2122 psia Rugosidad de la tubería = 0.0006 in.

41

0.5


42

Desarrolle una hoja de cálculo basada en el método de las propiedades

promedio

para

calcular

la

presión

del

fondo

fluyente.

(P

I

2

−e P S

2

)=

(

)


(Qsc )2

D5S

⎡ ⎛T ⎞ ⎤ ⎢32.5329⎜ ⎟ ⎥ ⎝ P ⎠ sc ⎦ ⎣

2

Realice aplicaciones y compare sus resultados con los obtenidos a partir de la ecuación.

⎧ ⎪ (Qsc )2 ⎪ γ g f ( ZT ) prom L 2 2 P = PI − ⎨ D5 ⎛ (ZT )sc ⎪ ⎜⎜ 32.532866 ⎪ Psc ⎝ ⎩

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎫ ⎪ ⎪ ⎛ P ⎞ 2 senθ ⎬ + 0.037499γ g ( ZT ) prom L⎜ ⎟ ⎝ ZT ⎠ prom ⎪ ⎪ ⎭

2


Desarrolle una hoja de cálculo para las variables de flujo basado en el método de las propiedades promedios. Utilizando un procedimiento preciso para determinar la viscosidad del gas o considerando un valor para la viscosidad del gas equivalente a 0.012 cP.

Considere

que

la

longitud

del

pozo

se

pueda

dividir

en

n




42


43

7.4.2.2 Método de Sukkar - Cornell

De la ecuación (7.13i)

P ZT

P

∫⎡

PI

2 2 f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎤ ⎛ P ⎞ ⎢⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ ⎟ senθ + 2 ⎜ ZT ZT gA D 2 ⎝ ⎠ ⎠ sc ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎝

L

dP +

g

∫ Rg

LI

dL = 0 c

(7.27)

Considerando que la temperatura T se representa por el valor correspondiente a la temperatura promedio y usando el concepto de propiedades seudo reducidas se tiene:

P g Z dP = ∫P ⎡ 2 2 RT prom g c fT prom ⎛ ⎛ PQ ⎞ 2 ⎞ ⎤ ⎛P⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ senθ + ⎥ ⎟ 2 gA 2 D ⎜⎝ ⎝ ZT ⎠ ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ Z ⎠ sc ⎦

PI

2 fT prom L ⎛⎜ ⎛ PQ ⎜ Si se define a B como: B = 2 gA 2 Dh ⎜ ⎜⎝ ZTPSCr ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

L

∫ dL

LI

(7.27a)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ sc

Luego,

PSRI

∫

PSR

⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎡ ⎛ Z ⎢1 + B⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

dPSR =

gLsenθ RT prom g c

(7.27b)

43


44

Aplicando propiedades del proceso de integración

PSRI

∫ 0

⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎡ ⎛ Z ⎢1 + B⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

dPSR −

PSR

∫ 0

⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎡ ⎛ Z ⎢1 + B⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

dPSR =

gLsenθ RT prom g c

(7.27c)

La ecuación anterior se puede escribir de la forma:

PSRI

∫

0.2

⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎡ ⎛ Z ⎢1 + B⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

dPSR −

PSR

∫

0.2

⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎡ ⎛ Z ⎢1 + B⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

dPSR =

gLsenθ RT prom g c

(7.27d)

Ejemplo:

Calcular la presión en el fondo fluyente de un pozo de gas para las siguientes condiciones.

Qsc = 5.153 MMscfd

D = 0.1663 ft = 1.9956 in = 2.0 in


γg = 0.60

Temperatura en el cabezal del

pozo = 83 °F Temperatura en el fondo del pozo = 160 °F



Desarrolle una hoja de cálculo basada en el método de SukkarCornell para calcular la presión del fondo fluyente.

44


⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

PSRI

∫

0.2

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎡ ⎛ Z ⎢1 + B⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

dPSR −

⎛ Z ⎜⎜ ⎝ PSR

PSR

∫

0.2

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎡ ⎛ Z ⎢1 + B⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ PSR

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

45

gLsenθ RT prom g c

dPSR =

Realice aplicaciones y compare sus resultados con los obtenidos a partir del método basado en las propiedades promedio.

(P

I

2

−e P S

2

)=

(

)


(Qsc )2

D5S

⎡ ⎛T ⎞ ⎤ ⎢32.5329⎜ ⎟ ⎥ ⎝ P ⎠ sc ⎦ ⎣

2


Desarrolle una hoja de cálculo para las variables de flujo basado

en

el

método

de

Sukkar-Cornell.

Utilizando

un

procedimiento preciso para determinar la viscosidad del gas. Realice una comparación con las expresiones obtenidas para el método

basado

en

las

propiedades

promedio

y

emita

se

dividir

sus

comentarios al respecto.

Considere

que

la

longitud

del

pozo

puede

en

n

tramos, realice ciertas aplicaciones dependiendo del número de tramos y compare los resultados. Exprese sus comentarios y conclusiones al respecto.

45


46

7.4.2.3 Método de Cullender - Smith

De la ecuación fundamental para el flujo de gas, donde se desprecia el efecto cinético y aplicando la integral para dos puntos (PI,LI), (P,L) cualquiera en la dirección del flujo, se tiene:

P ZT

P

∫⎡

PI

2 ⎤ ⎛ P ⎞ θ sen + F ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎣⎢⎝ ZT ⎠ ⎦⎥

L

dP +


(7.28)

Donde:

2 f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ F= ⎜ ⎟ 2 gA2 D ⎜⎝ ⎝ ZT ⎠ ⎟⎠

(7.28a) sc

Definiendo a I como:

I=

P ZT

⎡⎛ P ⎞ 2 ⎤ ⎟ senθ + F ⎥ ⎢⎜ ⎢⎣⎝ ZT ⎠ ⎥⎦

(7.28b)

Se tiene:

PI

∫ IdP = P

g ( L − LI ) Rg c

(7.28c)

Ejemplo:

46


47

Calcular la presión en el fondo fluyente de un pozo de gas para las siguientes condiciones:

Qsc = 5.153 MMscfd

γg = 0.60

D = 0.1663 ft = 1.9956 in = 2.0 in


Temperatura en el cabezal del

pozo = 83 °F Temperatura en el fondo del pozo = 160 °F



Desarrolle

una

hoja

de

cálculo

basada

en

el

método

de

Cullender-Smith para calcular la presión del fondo fluyente.

P ZT

P

∫⎡

PI

L

2 ⎤ ⎛ P ⎞ ⎟ senθ + F ⎥ ⎢⎜ ⎢⎣⎝ ZT ⎠ ⎥⎦

dP +


Realice aplicaciones y compare sus resultados con los obtenidos a partir del método basado en las propiedades promedio.

(P

2

I

−e P S

2

)=

(

)


(Qsc )2

D5S

⎡ ⎛T ⎞ ⎤ ⎢32.5329⎜ ⎟ ⎥ ⎝ P ⎠ sc ⎦ ⎣

2


Desarrolle una hoja de cálculo para las variables de flujo basado

en

el

método

de

Cullender-Smith.

Utilizando

un

procedimiento preciso para determinar la viscosidad del gas.

47


48

Realice una comparación con las expresiones obtenidas para el método basado en las propiedades promedio y Sukkar-Cornell. Emita sus comentarios al respecto.

Considere

que

la

longitud

del

pozo

se

pueda

dividir

en

n




7.5 Ecuación fundamental para el flujo monofásico de gas considerando el efecto cinético

De la ecuación:

dP R + 2 dL A g c

⎛ ⎛ PQ ⎞ 2 ⎞ d ⎛ ZT ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ZRT ⎟⎠ ⎟ dL ⎜⎝ P ⎝ ⎠ sc

2 f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎛ ZRT ⎞ ⎞ g P senθ + ⎟+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=0 2 g c D ⎜⎝ ⎝ ZRT ⎠ ⎟⎠ ⎝ PA 2 ⎠ ⎠ g c ZRT sc

Desarrollando el gradiente del producto ZT/P:

dP R + 2 dL A g c

2 ⎛ ⎛ PQ ⎞ 2 ⎞ ⎡ 1 d ZT dP ⎤ g P f ⎛⎜ ⎛ PQ ⎞ ⎞⎟ ⎛ ZRT ⎞ ⎜⎜ ⎟ (ZT ) − 2 ⎥ + senθ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=0 ⎜ ⎝ ZRT ⎟⎠ ⎟ ⎢⎣ P dL 2 g c D ⎜⎝ ⎝ ZRT ⎠ ⎟⎠ ⎝ PA 2 ⎠ P dL ⎦ g c ZRT ⎝ ⎠ sc sc

Esta relación constituye la ecuación fundamental para el flujo estacionario de gas en una tubería de diámetro y pendiente constante, en ella se han combinado las ecuaciones

de

continuidad,

la

de

la

energía

y

una

correspondiente

al

comportamiento del gas. Para resolver la ecuación fundamental se requiere aplicar técnicas de integración numérica. Sin embargo, una ecuación explicita que relacione la presión, el caudal Q y el diámetro D pueden obtenerse si se divide la tubería en tramos lo suficientemente pequeños, en los cuales las propiedades del fluido se consideran constantes y determinadas a partir de la presión y temperatura promedio 48


49

conocidas. De esta manera, la viscosidad µ se puede considerar como constante dentro del elemento o tramo de tubería en estudio. Como el producto ρV es constante (por condición de flujo estacionario) en la tubería de diámetro D, por ende el número de Reynolds (Re) es constante y en consecuencia el factor de fricción es constante a lo largo del elemento de tubería en estudio, independientemente del regimen de flujo (laminar o turbulento).

En la solución de la ecuación fundamental se considera el esquema presentado por Tian-Adewumi donde se desprecia el gradiente lineal del producto ZT.

7.5.1 Método de Tian-Adewumi

Considerando despreciable el gradiente del producto ZT o los valores de Z y T como constantes en la ecuación fundamental para el flujo estacionario de un gas a través de una tubería de inclinación y diámetro constante, se tiene:

dP RZT − 2 2 dL P A g c

⎛ ⎛ PQ ⎞ 2 ⎞ ⎛ ZRT ⎞ ⎛ ⎛ PQ ⎞ 2 ⎞ dP g P f ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ =0 + senθ + ⎜ ⎝ ZRT ⎟⎠ ⎟ ⎜⎝ PA 2 ⎟⎠ ⎜ ⎝ ZRT ⎟⎠ ⎟ dL g c ZRT 2 g D c ⎠ sc ⎝ ⎠ sc ⎝

(7.29)

Expresando la ecuación con base en el flujo de masa:

dP m 2 RZT dP gPsenθ fm 2 ⎛ ZRT ⎞ − + + ⎜ ⎟=0 dL g c P 2 A 2 dL g c ZRT 2 g c D ⎝ PA 2 ⎠

(7.29a)

Tomando como factor común los términos que agrupan el gradiente de presión y la presión:

⎡ m 2 RZT ⎤ dP 1 ⎡ gsenθP 2 fm 2 ZRT ⎤ + ⎢ + =0 ⎢1 − 2 2 ⎥ 2 ⎥ dL P g ZRT g P A 2 g DA c c ⎣ ⎦ ⎣ c ⎦

(7.29c)

49


50

Desarrollando:

1 P2

⎡ 2 m 2 RZT ⎤ dP 1 gsenθ + ⎢P − 2 ⎥ dL P g c ZRT g A c ⎦ ⎣

⎡ 2 gcZRT fm 2 ZRT ⎤ =0 ⎢P + 2 ⎥ θ gsen 2 g DA c ⎦ ⎣

(7.29d)

Luego,

1 ⎡ 2 m 2 RZT ⎤ dP gsenθ + ⎢P − ⎥ P⎣ g c A 2 ⎦ dL g c ZRT

⎡ 2 fm 2 ( ZRT ) 2 ⎤ =0 ⎢P + 2 ⎥ gsen DA 2 θ ⎣ ⎦

(7.29e)

Considerando que el factor de compresibilidad, el factor de fricción y la temperatura se pueden representar por sus valores promedio y separando variables:

⎡ 2 m 2 R( ZT ) prom ⎤ ⎢P − ⎥ g c A2 ⎢⎣ ⎥⎦ gsenθ dP + dL = 0 g c R( ZT ) prom ⎡ 2 fm 2 ( RZT ) prom 2 ⎤ P⎢P + ⎥ 2 gsenθDA 2 ⎥⎦ ⎢⎣

(7.29f)

Integrando para las condiciones en los extremos de la tubería:

⎡ 2 m 2 R( ZT ) prom ⎤ ⎢P − ⎥ P L g c A2 ⎢⎣ ⎥⎦ gsenθ dP + dL = 0 ∫P ⎡ ∫ 2 2 g R ZT ( ) ⎤ fm ( ZRT ) prom c prom LI I P⎢P 2 + ⎥ 2 2 gsenθDA ⎥⎦ ⎢⎣

(7.29g)

Para el segundo término

50


gsenθ (L − LI ) gsenθ dL = ∫ g c ( ZRT ) prom g c ( ZRT ) prom LI

51

L

(7.29h)

La integral del primer término se puede descomponer así:

⎡ 2 m 2 R( ZT ) prom ⎤ m 2 R ( ZT ) prom P − ⎥ ⎢ − P P P g c A2 g c A2 PdP ⎦⎥ dP = ⎣⎢ + dP ∫ ⎡ ∫⎡ ∫ ⎡ 2 2 2 2 2 2 ⎤ ⎤ ⎤ ( ) ( ) ( ) fm ZRT fm ZRT fm ZRT P P PI prom prom prom I I P⎢P 2 + P⎢P 2 + ⎢P 2 + ⎥ ⎥ ⎥ 2 2 2 θ 2 θ 2 gsenθDA 2 ⎥⎦ gsen DA gsen DA ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ ( 7.29i) Luego,

P

2 2 1 ⎡ 2 fm ( ZRT ) prom ⎤ = ln ⎢ P + ⎥ ∫ 2 2 gsenθDA 2 ⎥⎦ fm 2 ( ZRT ) prom ⎤ 2 ⎢⎣ PI ⎡ 2 PI ⎢P + ⎥ 2 2 gsenθDA ⎥⎦ ⎢⎣ P

PdP

m 2 R ( ZT ) prom P

∫

PI

gcA 2 ⎡ fm ( ZRT ) prom P⎢P 2 + 2 gsenθDA 2 ⎢⎣ 2

P

∫

PI

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

dP =

dP ⎡ 2 fm 2 ( ZRT ) prom 2 ⎤ P⎢P + ⎥ 2 gsenθDA 2 ⎥⎦ ⎢⎣

=

m 2 R ( ZT ) prom gcA

2

P

∫

PI

2 gsenθDA 2 2 fm 2 ( ZRT ) prom

2

dP ⎡ 2 fm 2 ( ZRT ) prom 2 ⎤ P⎢P + ⎥ 2 gsenθDA 2 ⎥⎦ ⎢⎣

⎡ ⎢ P2 ⎢ ln 2 ⎢ fm 2 ( ZRT ) prom 2 ⎢P + ⎢⎣ 2 gsenθDA 2

P

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ PI

Obteniéndose

51


52

⎡ 2 m 2 R( ZT ) prom ⎤ ⎡ ⎤ ⎢P − ⎥ ⎢ ⎥ 2 P 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤ gc A m R( ZT ) prom gsenθDA P ⎣⎢ ⎦⎥ dP = 1 ln P 2 + fm ( ZRT ) prom ⎥ ln ⎢ − ⎢ 2 2 2 ⎥ 2 2 2 2 2 ⎢ gc A 2 ⎣⎢ 2 gsenθDA ⎦⎥ ⎡ 2 fm ( ZRT ) prom ⎤ fm ( ZRT ) prom fm ( ZRT ) prom ⎥ 2 PI ⎢P + ⎥ P⎢P + ⎥ 2 gsenθDA2 ⎦⎥ PI 2 gsenθDA2 ⎥⎦ ⎣⎢ ⎢⎣ P

P

∫

PI

⎡ 2 m 2 R( ZT ) prom ⎤ ⎡ ⎥ ⎢P − ⎢ 2 2 P 2 P ⎡ ⎤ g A gsenθD P2 c ⎦⎥ dP = 1 ln P 2 + fm ( ZRT ) prom ⎣⎢ ⎢ − ln ⎢ ⎥ ∫ ⎡ 2 g c fR ( ZT ) prom ⎢ 2 fm 2 ( ZRT ) prom 2 2 ⎢⎣ 2 gsenθDA 2 ⎥⎦ fm 2 ( ZRT ) prom ⎤ PI PI ⎢P + P⎢P 2 + ⎥ ⎢⎣ 2 gsenθDA 2 2 gsenθDA 2 ⎥⎦ ⎢⎣

Sustituyendo las expresiones correspondientes a las integrales:

2 2 1 ⎡ 2 fm ( ZRT ) prom ⎤ ln ⎢ P + ⎥ 2 ⎢⎣ 2 gsenθDA 2 ⎥⎦

P

− PI

gsenθD g c fR( ZT ) prom

⎡ ⎢ P2 ln ⎢ 2 ⎢ fm 2 ( ZRT ) prom ⎢ P2 + 2 gsenθDA 2 ⎢⎣

P

⎤ ⎥ ⎥ + gsenθ (L − LI ) = 0 ⎥ g c R( ZT ) prom ⎥ ⎥⎦ PI

(7.29j)

Luego,

P

⎡ 2 fm 2 ( ZRT ) prom 2 ⎤ 2 gsenθD ln ⎢ P + ⎥ − 2 g c fR( ZT ) prom 2 gsenθDA ⎦⎥ ⎣⎢ P I

⎡ ⎢ P2 ln ⎢ 2 ⎢ fm 2 ( ZRT ) prom ⎢ P2 + 2 gsenθDA 2 ⎣⎢

P

⎤ ⎥ ⎥ + 2 gsenθ (L − LI ) = 0 ⎥ g c R ( ZT ) prom ⎥ ⎦⎥ PI

(7.29k)

Aplicando propiedades de la función logaritmo natural

P

⎛ 2 gsenθD ⎞ ⎡ 2 fm 2 ( ZRT ) 2 ⎤ 2 gsenθD ⎟⎟ ln ⎢ P + ⎜⎜1 + − ln P 2 2⎥ gcfZRT gsen DA gcfZRT θ 2 ⎠ ⎣ ⎝ ⎦ PI

[ ]

P

PI

+

2 gsenθ (L − LI ) =0 gcZRT

(7.29l)

Desarrollando:

52

P

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ PI


P

53

2 ⎞ ⎡ g c R( ZT ) prom ⎛ fm 2 ( ZRT ) prom ⎤ g c R( ZT ) prom 2 gsenθD ⎜1 + 2 gsenθD ⎟ ln ⎢ P 2 + ln P 2 ⎥ − 2 ⎜ ⎟ 2 gsenθ ⎝ g c fR( ZT ) prom ⎠ ⎣⎢ 2 gsenθ g c fR( ZT ) prom 2 gsenθDA ⎦⎥ PI

⎛ g c R( ZT ) prom g c R( ZT ) prom 2 gsenθD ⎜ + ⎜ 2 gsenθ 2 gsenθ g c fR ( ZT ) prom ⎝

[ ]

P

⎞ ⎡ 2 fm 2 ( ZRT ) prom 2 ⎤ D ⎟ ln ⎢ P + ⎥ − ln P 2 2 ⎟ ⎢ f 2 gsenθDA ⎥⎦ ⎠ ⎣ PI

P

PI

[ ]

P

PI

+ (L − LI ) = 0

+ (L − L I ) = 0

(7.29m)

P

2 2 ⎛ g c R( ZT ) prom D ⎞ ⎡ 2 fm ( ZRT ) prom ⎤ D ⎜⎜ + ⎟⎟ ln ⎢ P + ⎥ − ln P 2 2 f ⎠ ⎢⎣ f 2 gsenθDA ⎥⎦ ⎝ 2 gsenθ PI

[ ]

P

PI

+ (L − L I ) = 0

(7.29n)

Esta ecuación fue publicada por Tian-Adewumi y representa una relación funcional entre los parámetros típicos de una tubería: la presión en los extremos y la tasa de flujo.

La ecuación puede ser utilizada para determinar una de estas variables

siempre que el resto sean conocidas. La forma implicita de la ecuación no permite obtener de manera sencilla el valor de las variables de flujo (P, Q, D), siendo necesario un proceso iterativo. El método de Newton-Raphson puede ser utilizado como mecanismo de aceleración de la convergencia.

X n+1 = X n −

F(Xn) F'(X n )

Para:

P

2 2 ⎛ g c R ( ZT ) prom D ⎞ ⎡ 2 fm ( ZRT ) prom ⎤ D F ( X n ) = ⎜⎜ + ⎟⎟ ln ⎢ P + − ln P 2 ⎥ 2 f ⎠ ⎢⎣ f 2 gsenθDA ⎥⎦ ⎝ 2 gsenθ PI

[ ]

P

PI

+ (L − L I )

53


54

⎡ 2 fm 2 ( ZRT ) 2 ⎤ ⎫ D ⎛ g RZT D ⎞⎧ ⎡ 2 fm 2 ( ZRT ) 2 ⎤ + ⎟⎟⎨ln ⎢ P + − ln ln P 2 − ln PI2 + (L − LI ) F ( X n ) = ⎜⎜ c − ⎢ PI + 2 ⎥ 2 ⎥⎬ θ 2 gsen f f θ θ 2 gsen DA 2 gsen DA ⎝ ⎠⎩ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎭

{ [ ] [ ]}

Derivando con respecto a P:

⎛ g c R( ZT ) prom D ⎞ F ' ( X n ) = ⎜⎜ + ⎟⎟ gsen f ⎠ 2 θ ⎝

2P P + 2

fm 2 ( ZRT ) prom

2

−

2D fP

2 gsenθDA 2

La ecuación fundamental puede ser aplicada para cualquier angulo de inclinación, excepto para tubería horizontal, que presenta una particularidad bajo esta condición. Esta particularidad puede ser removida aplicando la regla de L’Hospital. Otra manera de obtener la expresión correspondiente es no considerar el efecto de la energía potencial en la ecuación fundamental. A continuación analizaremos los casos particulares correspondientes a tuberías horizontales o verticales.

Desarrolle

una

hoja

de

cálculo

basada

en

las

expresiones

correspondientes al flujo de gas donde se considere o no el efecto de la energía cinética. Realice aplicaciones que le permitan deducir bajo que condiciones el efecto cinético debe ser considerado.

Caso particulares

7.5.1.1 Flujo Horizontal

Para flujo horizontal la ecuación anterior presenta una discontinuidad debido a que el inverso de la función seno para cero grado es indeterminada. Siendo necesario desarrollar la ecuación correspondiente a partir de ecuación base para este caso

dP m 2 RZT dP fm 2 ⎛ RZT ⎞ − + ⎜ ⎟=0 dL g c P 2 A 2 dL 2 g c D ⎝ PA2 ⎠

(7.30)

54


55

Tomando como factor común los términos que agrupan el gradiente de presión y la presión:

⎡ m 2 RZT ⎤ dP 1 ⎡ fm 2 RZT ⎤ + ⎢ =0 ⎢1 − 2 2⎥ 2 ⎥ g P A dL P g DA 2 c ⎣ ⎦ ⎣ c ⎦

(7.30a)

Desarrollando:

1 P2

⎡ 2 m 2 RZT ⎤ dP 1 ⎡ fm 2 RZT ⎤ + ⎢ =0 ⎢P − 2 ⎥ 2 ⎥ 2 g A dL P g DA c ⎣ ⎦ ⎣ c ⎦

(7.30b)

Luego,

1 ⎡ 2 m 2 RZT ⎤ dP ⎡ fm 2 ZRT ⎤ +⎢ ⎢P − ⎥ ⎥=0 P⎣ g c A 2 ⎦ dL ⎣ 2 g c DA 2 ⎦

(7.30c)

Considerando que el factor de compresibilidad, el factor de fricción y la temperatura se pueden representar por sus valores promedio, y separando variables: 2 ⎡ fm 2 R ( ZT ) prom ⎤ 1 ⎡ 2 m R ( ZT ) prom ⎤ ⎥ dL = 0 ⎢P − ⎥ dP + ⎢ 2 P ⎣⎢ 2 g c A2 g DA c ⎣⎢ ⎦⎥ ⎦⎥

(7.30d)

Integrando para las condiciones en los extremos de la tubería,

2 L fm 2 R ( ZT ) prom 1 ⎡ 2 m R( ZT ) prom ⎤ ∫ P ⎢⎢ P − g c A 2 ⎥⎥ dP + L∫ 2 g c DA 2 dL = 0 PI ⎣ ⎦ I P

(7.30e)

Se obtiene: 55


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P

fm 2 R( ZT ) prom m 2 R ( ZT ) prom ⎡ P2 ⎤ P (L − L I ) = 0 ln[P ]PI + ⎢ ⎥ − 2 2 2 2 g DA g A ⎣ ⎦ PI c c

(7.30f)

Desarrollando:

P

m 2 R ( ZT ) prom ⎡ P2 ⎤ 2 g c DA 2 2 g c DA 2 P ln[P ]PI + (L − LI ) = 0 ⎢ ⎥ − fm 2 R ( ZT ) prom ⎣ 2 ⎦ P fm 2 R ( ZT ) prom g c A2 I

[ ]

g c DA 2 P2 2 fm R( ZT ) prom

P PI

−

2D P ln[P ]PI + (L − LI ) = 0 f

(7.30g)

(7.30h)

Aplicando propiedades de los logaritmos

[ ]

g c DA 2 P2 2 fm R( ZT ) prom Desarrolle

una

P PI

−

[ ]

D ln P 2 f

hoja

de

P PI

+ (L − LI ) = 0

cálculo

basada

(7.30i)

en

las

expresiones

correspondientes al flujo de gas donde se considere el efecto de

la

energía

metodología

de

cinética

en

tubería

horizontal

Tian-Adewumi.

Realice

aplicaciones

bajo

la

que

le

permitan deducir bajo que condiciones el efecto cinético debser considerado.

Usando la ecuación de Tian-Adewumi, determine la capacidad de un gasoducto usando los datos siguientes: Tsc=60 °F

γg

Psc=14.7 psia

Pi =600 psia

Pf =460 psia

= 0.60

L=100 mi

D=12.09 in

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Establezca comparaciones con otros métodos donde se desprecie el efecto de la energía cinética.

7.5.1.2 Flujo vertical

P

⎛ g c ZRT D ⎞ ⎡ 2 fm 2 ( ZRT ) 2 ⎤ D 2 ⎜⎜ + ⎟⎟ ln ⎢ P + ⎥ − ln P 2 f f ⎠ ⎣ 2 gDA ⎝ 2g ⎦ PI

[ ]

P

PI

+ (L − L I ) = 0

(7.30j)

Desarrolle

una

hoja

de

cálculo

basada

en

las

expresiones

correspondientes al flujo de gas donde se considere el efecto de la energía cinética en tubería vertical bajo la metodología de Tian-Adewumi. Realice aplicaciones que le permitan deducir bajo que condiciones el efecto cinético debe ser considerado. Usando la ecuación de Tian-Adewumi, calcular la presión en el fondo

fluyente

de

un

pozo

de

gas

para

las

siguientes

condiciones:

Qsc = 5.153 MMscfd

D = 0.1663 ft = 1.9956 in = 2.0 in

γg = 0.60 Long. de la tubería de producción = 5790 ft Temp. en el cabezal del pozo = 83 °F Temp. en el fondo del pozo = 160 °F Presión en el cabezal del pozo = 2122 psia Rugosidad de la tubería = 0.0006 in.

Establezca comparaciones con otros métodos, donde se desprecie el efecto de la energía cinética.

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Las ecuaciones (7.29n), (7.30i) y (7.30j) representan una relación funcional aplicable al flujo de gas estacionario a través de una tuberia independiente de su inclinación. En vista que estas escuaciones están basadas en ecuaciones fundamentales aplicadas al flujo de fluido, las mismas pueden ser aplicadas a una variedad de situaciones o problemas relacionados con el flujo de gas en tuberías. En la derivación de las mismas se ha asumido que la temperatura, el factor de compresibilidad y la viscosidad del fluido son constantes, lo cual es válido si la tubería se divide en tramos o secciones de corta longitud y el comportamiento del fluido esta representado por la presión y la temperatura promedio.

El análisis del flujo a través de tuberías con pendiente, diámetro, rugosidad y flujo constante se puede realizar considerando toda la longitud de la tubería como un solo tramo o en n tramos. Tres situaciones típicas podemos encontrar relacionadas con el flujo de gas a través de una tubería:

a. Conociendo las propiedades en un extremo de la tubería se puede determinar el valor de la presión en el otro extremo. Esta solución involucra un proceso iterativo que implica suponer inicialmente la presión desconocida y determinar las propiedades promedio (P, T). A partir de las condiciones promedio, las condiciones de flujo y el factor de fricción se obtiene la presión calculada. Luego, se comparan los valores correspondientes a la presión calculada y la presión supuesta, si la diferencia está en el orden de la tolerancia permitida se acepta el valor de la presión calculada o supuesta como la solución, en caso contrario se continua con el proceso iterativo.

b. Si se conocen las propiedades en los extremos de la tuberia y el diámetro pero se deconoce la tasa de flujo circulante, se realiza un proceso iterativo fundamentado en conocer las condiciones en uno de los extremos de la tubería y suponer la tasa de flujo. El control de este proceso se sigue con la presión en el otro extremo, la cual a su vez se compara su valor conocido. Cuando la diferencia entre la presión calculada y la presión conocida en el extremo de la tubería esté dentro de una tolerancia permitida, entonces el valor de la tasa de flujo supuesta se puede

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considerar como la solución buscada. En caso contrario, se debe repetir el proceso hasta cumplir con la tolerancia establecida.

c. Si se conocen las propiedades en los extremos de la tuberia, la tasa de flujo y se deconoce el diámetro de la tubería, se debe realizar un proceso iterativo similar al de la segunda situación, pero en este caso suposiniendo el diámetro de la tubería.

A continuación se discute ejemplos presentados por Tian-Adewumi (1992), relacionados con la aplicación de estas ecuaciones.

Se considera una tubería horizontal con una longitud de 100 millas. La presión en el extremo inicial es de 2500 psia, mientras que la tasa de flujo es de 600 MMscfd. La presión calculada para el extremo final corresponde a la tubería dividida en 5 tramos. El valor calculado para la presión fue de 1543.6, lo cual no varía significativamente. La diferencia del valor de la presión de salida considerando la tubería como un solo tramo es de solo 18.3 psia. Esto representa 1.2%. La diferencia correspondiente a dos tramos es de solo 0.35%. Esto demuestra que la suposición de considerar como constantes las propiedades del fluido y el factor de fricción calculado a partir de la propiedades promedio involucra errores poco significativos en el calculo de la presión en los extremos de la tubería.

En estudios previos se ha considerado despreciable el efecto de la energía cinética. Young (1967) analizó el comportamiento del flujo de gas considerando despreciable el efecto de la energía cinietica. Sus resultados demuestran que en la mayoría de las aplicaciones, el efecto de la enegía cinética no es importante, salvo algunas situaciones. A esta misma conclusión llegaron Tian y Adewumi (1992). En condiciones de transporte de gas a elevadas presiones, el error relativo involucrado al despreciar el efecto de la energía cinética es muy pequeño. Sin embargo, a condiciones de baja presión el error relativo puede ser muy significativo. Dos ejemplos han sido seleccionados que confirman esta afirmación.

El primer caso se refiere a una tubería de 3000 ft de longitud, 4 pulgadas de diámetro, 0.0006 pulgadas de rugosidad e inclinación de 1 grado. El gas

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transportado tiene una gravedad especifica de 0.75, viscosidad de 0.018 cP, la temperatura y la presión critica de 411 °R y 661 psia, respectivamente. La tasa de flujo es de 10 MMscfd, la presión inicial de 200 psia y la temperatura promedio de 85 °F. La presión calculada en la salida considerando o no el efecto de la energía cinética fue de 39 y 50 psia, respectivamente, equivalente a una diferencia porcentual del 28%.

Para el segundo caso, con los mismos parámetros del caso anterior, excepto que la presión conocida corresponde a la del fondo fluyente (600 psia) con una profundidad del pozo de 8000 ft, una tasa de producción de 17 MMscfd y una temperatura promedio de 100 °F. La presión calculada en el cabezal considerando o no el efecto cinético es de 63 y 90 psia, respectivamente, lo que representa una direfencia equivalente a 43%. De estos ejemplos podemos concluir que a priori no es posible despreciar el efecto de la energía cinética cuando estemos analizando flujo de gas, principalmente cuando el proceso se realice a baja presión.

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Cap7 Flujo Gas Tuberias

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