Capacitor: Es un elemento pasivo pasivo diseñado para almacenar almacenar energía energía en su campo eléctrico.
Está compuesto por dos placas conductoras separadas por un aislante o (dieléctrico)
Capacitor Cuando una fuente de voltaje v se conecta al capacitor, deposita una carga positiva q en una placa y una carga negativa negativa –q en la otra. El monto de carga carga almacenada (q) es directamente directamente proporcional al voltaje (v) aplicado. Por lo tanto:
Donde C (constante de proporcionalidad) se conoce como Capacitancia cuya unidad es el farad (F). La capacitancia es la relación entre la carga en una placa del capacitor y la diferencia diferencia de tensión entre las dos placas .
Capacitor La Capacitancia C depende de las dimensiones físicas del capacitor, capacitor, y está dada por:
Donde A es el área superficial de cada placa. d es la distancia de separación entre las placas y Ɛ es la permitividad del material dieléctrico entre las placas. Podemos notar que: • • •
Cuanto mas grande sea el área, se tiene mayor mayor capacitancia. capacitancia. A menor espacio espacio entre las placas, se tiene mayor capacitancia. capacitancia. A mayor permitividad, permitividad, mayor mayor capacitancia capacitancia se tiene.
Capacitor El símbolo para un circuito del capacitor es:
Capacitor fijo
Capacitor variable
De acuerdo con la convención pasiva de signos se tiene que: Si v> v>0 0 e i> i>0 0 ó v< v<0 0 e i< i<0 0 el capacitor se está cargando. Si v*i Si v*i < 0 el capacitor se está descargando.
Capacitor Para obtener una relación corriente-voltaje: Derivando ambos lados de
Recordando que
Se obtiene Los capacitores que satisfacen esta ecuación son lineales
Para que un capacitor conduzca corriente su voltaje debe variar con el tiempo
Capacitor Para obtener una relación voltaje-corriente: Se integran ambos lados de
obteniendo
Donde v(to)=q(to)/C es el voltaje entre el capacitor para un tiempo to. El voltaje del capacitor depende de la historia pasada de la corriente del capacitor. Se dice que el capacitor tiene memoria.
Capacitor La potencia instantánea suministrada al capacitor es:
La energía almacenada en el capacitor es:
Notemos que v(-∞)=0, ya que el capacitor se descargó en t=- ∞. Por lo tanto :
Capacitor Con base en la relaciones anteriores es importante resaltar las siguientes propiedades: •
Cuando el voltaje entre los extremos de un capacitor no cambia con el tiempo (es decir cuando el voltaje es dc), la corriente que circula a través del capacitor es cero. Un capacitor es un circuito abierto para dc .
•
La tensión de un capacitor debe ser continua. Analizando la ecuación:
Un cambio discontinuo de voltaje requiere de una corriente infinita, lo cual es físicamente imposible.
Capacitor Con base en la relaciones anteriores es importante resaltar las siguientes propiedades: •
•
El capacitor ideal no disipa energía. Toma potencia del circuito cuando almacena energía y devuelve la energía previamente almacenada cuando suministra potencia al circuito. Un capacitor real tiene un modelo con una resistencia de fuga en paralelo, ésta resistencia toma valores muy grandes por lo cual se puede despreciar en la mayoría de aplicaciones practicas.
Capacitor Ejemplo a. Calcular la carga almacenada en un capacitor de 3pF con 20V a través de él. b. Calcular la energía almacenada en el capacitor. Solución Recordando que:
La energía almacenada es:
Capacitor Ejemplo Determine la corriente que circula por un capacitor de 200 uF cuyo voltaje se muestra en la siguiente figura: Solución La forma de onda del voltaje puede describirse matemáticamente como:
Capacitor Solución Recordando que: tenemos:
Por lo tanto:
Capacitor Ejemplo Obtener la energía almacenada en cada capacitor del siguiente circuito en condiciones dc. Solución En condiciones dc se remplaza cada capacitor por un circuito abierto, obteniendo:
v1=4 V v2= 8V w1=16mJ w2=128mJ
Inductores Es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía en su campo magnético. Si se permite que pase corriente a través del inductor, nos damos cuenta que el voltaje en el inductor es directamente proporcional a la velocidad de cambio de transformación de la corriente. Es decir:
Donde L es la constante de proporcionalidad, llamada inductancia. La unidad de inductancia es el Henry (H). La inductancia es la propiedad por la cual un inductor presenta oposición al cambio de la corriente que fluye por él.
Inductores
La inductancia de un inductor depende de sus dimensiones y composición física. Las formulas para calcular la inductancia se derivan de la teoría electromagnética. En relación con el inductor solenoide de la figura tenemos que:
Notemos que la inductancia puede incrementar si se aumenta el numero de vueltas de la bobina, usando material con mayor permeabilidad en el núcleo, aumentando el área de la sección transversal o disminuyendo la longitud de la bobina.
Símbolos de los inductores.
Inductores
La inductancia de un inductor depende de sus dimensiones y composición física. Las formulas para calcular la inductancia se derivan de la teoría electromagnética. En relación con el inductor solenoide de la figura tenemos que:
Notemos que la inductancia puede incrementar si se aumenta el numero de vueltas de la bobina, usando material con mayor permeabilidad en el núcleo, aumentando el área de la sección transversal o disminuyendo la longitud de la bobina.
Símbolos de los inductores.
Inductores Para obtener una relación corriente-voltaje: de
Se obtiene
Integrando a ambos lados se obtiene
i(to) es la corriente total para - ∞
Inductores La potencia suministrada al inductor es:
La energía almacenada es:
Inductores Con base en la relaciones anteriores es importante resaltar las siguientes propiedades:
•
El voltaje en un inductor es cero cuando la corriente es constante. Un inductor actua como un corto circuito para dc.
•
Un inductor se opone a un cambio abrupto a la corriente que fluye por él. La corriente que circula por un inductor no puede cambiar instantáneamente.
Un cambio discontinuo en la corriente por un inductor requiere un voltaje infinito, lo cual no es físicamente posible.
Inductores Con base en la relaciones anteriores es importante resaltar las siguientes propiedades: •
•
El inductor ideal no disipa energía. El inductor toma potencia del circuito al almacenar energía y suministra potencia al circuito al devolver la energía previamente almacenada. Un inductor no ideal tiene una componente resistiva importante, como se muestra en la figura. Esto se debe al hecho de que el inductor es de un material conductor como cobre, el cual tiene cierta resistencia, que se llama resistencia de devanado R W, y aparece en serie con la inductancia del inductor. Puesto que usualmente R W es muy pequeña, se le ignora en la mayoría de los casos. El inductor no ideal también tiene una capacitancia de devanado CW, debida al acoplamiento capacitivo entre las bobinas conductoras C W es muy reducida y puede ignorarse
Inductores Ejemplo La corriente que circula a través de un inductor de 0,1 H es Determine el voltaje en el inductor y la energía almacenada en él. Solución Dado que:
La energía almacenada es:
−
=
.
Inductores Ejemplo Determinar la corriente que circula a través de un inductor de 5H si el voltaje en él es:
Determinar la energía almacenada en t = 5s.: Solución Recordemos que:
Inductores Solución La potencia p=vi es: Por lo tanto la energía almacenada se puede obtener de la siguiente manera:
También usando:
Inductores Ejemplo Considere el circuito de la figura. En condiciones de dc, determine: a. i, vc, e i L. b. La energía almacenada en el capacitor y el inductor. Solución En condiciones dc se remplaza el capacitor por un circuito abierto y el inductor por un corto circuito, obteniendo:
iL = 2 A vc = 10 V wc = 50 J w2 = 4 J
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN En esta sección se van a considerar circuitos que contienen diversas combinaciones de dos o tres elementos pasivos (resistores capacitores e inductores).
Circuito RC: circuito que comprende un resistor y un capacitor. Circuito RL: circuito que comprende un resistor y un inductor
Los circuitos RL y RC se analizarán aplicando leyes de Kirchhoff . Por lo tanto se producen ecuaciones diferenciales (a diferencia de el análisis de circuitos resistivos que producía ecuaciones algebraicas) Las ecuaciones diferenciales que son el resultado del análisis de circuitos RC y RL son de primer orden. Así, a estos circuitos se les conoce como circuitos de primer orden
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN
Hay diferentes maneras de excitar un circuito RL o RC
Condiciones iniciales de los elementos de almacenamiento de los circuitos conocidos como circuitos sin fuente, la energía se almacena inicialmente en el elemento capacitivo o inductivo Mediante fuentes independientes.
Los dos tipos de circuitos de primer orden y las dos maneras de excitarlos producen las cuatro situaciones posibles que se estudiarán en esta sección.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RC sin fuente Un circuito RC sin fuente ocurre cuando su fuente dc se desconecta súbitamente. La energía ya almacenada en el capacitor se libera hacia los resistores. Consideremos el siguiente circuito El objetivo es determinar la respuesta del circuito, es decir, el voltaje v(t) a lo largo del capacitor. Ya que el capacitor está inicialmente cargado, podemos suponer que en el momento t=0 el voltaje inicial es: Y energía inicial:
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RC sin fuente Al aplicar LCK en el nodo superior se obtiene:
Sabemos que:
Por lo tanto
Ésta es una ecuación diferencial de primer orden, ya que solo implica la primera derivada de v.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RC sin fuente Para resolverla la ordenamos de la siguiente manera:
Integrando a ambos lados se obtiene:
Aplicando exponencial a ambos lados: Como las condiciones iniciales son v(0) = A = Vo. Se obtiene finalmente:
Donde ln A es la constante de integración (condiciones iniciales).
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RC sin fuente
Notamos que la respuesta en voltaje del circuito RC es una caída exponencial del voltaje inicial Como la respuesta se debe a la energía inicial almacenada y a las características físicas del circuito y no a una fuente externa de voltaje o corriente, se llama Respuesta Natural del Circuito. La Respuesta Natural de un circuito se refiere al comportamiento (en términos del voltaje o corriente) del circuito, sin fuentes externas de excitación.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RC sin fuente Al aumentar t, el voltaje decrece hacia cero (estado final o estable). La rapidez con la cual el voltaje decrece se expresa en términos de la constante de tiempo
En términos de la constante de tiempo, tenemos que:
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RC sin fuente Cuanto menor sea la constante de tiempo, mas rápidamente disminuirá el voltaje; es decir, la respuesta será mas rápida (llegará mas rápido a su estado final o estable). Con el voltaje v(t) se puede determinar la corriente a través del resistor
La potencia disipada en el resistor es:
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RC sin fuente La energía absorbida por el resistor hasta el momento t es:
Notemos que si t ∞, WR(∞) , que es la misma que Wc(0), la energía inicialmente almacenada en el capacitor. la energía que se almacenó al inicio en el capacitor se disipa a la larga en el resistor.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RC sin fuente Ejemplo En el circuito de la figura sea v c (0) = 15V. Determine v c, vx, e i x para t>0. Solución Primero se debe hacer que el circuito quede con una sola resistencia en paralelo al capacitor, es decir, se encuentra la R equivalente o resistencia de Thevennin en las terminales del capacitor.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RC sin fuente Solución El objetivo es siempre obtener primero el voltaje del capacitor vc, y con base en él se puede determinar v x e i x La constante de tiempo es:
Por lo tanto:
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RC sin fuente Solución vx se puede calcular aplicando un divisor de voltaje
Por ultimo ix es:
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RC sin fuente Ejemplo
El interruptor del circuito de la figura ha estado cerrado mucho tiempo, y se abre en t=0. Determine v(t) para t>=0. calcule la energía inicial almacenada en el capacitor Solución Para t < 0, el interruptor está cerrado; el capacitor es un circuito abierto para dc.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RC sin fuente Solución
Como el voltaje a lo largo de un capacitor no puede cambiar instantáneamente, el voltaje en = −es el mismo en = +. Por lo tanto:
Para El interruptor está abierto, y se tiene el circuito RC que se muestra a continuación:
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RC sin fuente Solución
La constante de tiempo es:
El voltaje a lo largo del capacitor para t>0 es:
La energía inicial almacenada en el capacitor es:
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RL sin fuente Consideremos el circuito mostrado en la figura, el objetivo es determinar la respuesta del circuito, la cual se supondrá que como la corriente i(t) a través del inductor (para aprovechar la idea de que la corriente del inductor no puede cambiar instantáneamente). En t=0, supongamos que el inductor tiene una corriente inicial Io.
La energía almacenada en el inductor es entonces:
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RL sin fuente Al aplicar LVK a lo largo del lazo
Como: entonces:
y
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RL sin fuente Reordenando e integrando tenemos:
Resolviendo
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Circuito RL sin fuente Al aplicar exponencial a ambos lados tenemos:
La respuesta natural de un circuito RL es una caída exponencial de la corriente inicial. La constante del tiempo del circuito RL es:
Por lo tanto:
