Capitulo 13_Diseño de Resortes

Diseño de resortes Introducción Casi cualquier pieza con material elástico conserva cierta propiedad de “resorte”. El termino resorte en el contexto de este capítulo se refiere a piezas faricadas con confi!uraciones particulares que proporcionan un ran!o de esfuerzos a lo lar!o de una deflexión si!nificativa " para almacenar ener!ía potencial. #os resortes se diseñan para dar una fuerza de empu$ar% tirar o torcer% o para almacenar ener!ía. #os resortes se farican de alamre redondo o rectan!ular dolado se!&n una forma adecuada de espira% o faricados con material plano% car!ado con una vi!a. #a tala '()* define las variales mane$adas en este este capítulo% +aciendo referencia a las secciones p ecuaciones en las cuales aparecen. ,asa de resorte  -parte de su confi!uración% el resorte tendrá una tasa o constante/ del resorte 0% definido como la pendiente de su curva fuerza deflexión. 1i la pendiente es constante podrá definirse como2  F  k =  ( 13.1)  y

Donde 3 es la fuerza aplicada " y  es  es la deflexión. Dado que la función deflexión siempre es posile determinarla para cualquier !eometría " car!as conocidas% " puesto que la función deflexión expresa una razón entre la car!a aplicada " la deflexión% es posile reor!anizar al!eraicamente " expresa 4 como la ecuación '(.' #a tasa de resorte podría ser un valor constante resorte lineal/ o variar con la deflexión resorte lineal o no lineal/. -mos tienen su aplicación% pero se suele recurrir al resorte lineal para controlar car!as. 5uc+as confi!uraciones con tasas de resorte constantes% " unas cuantas tienen tasa i!ual a cero fuerza constante/.

Cuando intervienen varios resortes% la tasa resultante dependerá de si la cominación se realiza en serie o en paralelo. En las cominaciones en serie la misma fuerza pasa a trav6s de todos los resortes " y  cada  cada uno contriu"e con una parte de la deflexión total% se!&n se oserva en la fi!ura '()'a. #os resortes en paralelo todos sufren la misma deflexión% la fuerza total se divide entre cada uno de ellos% se!&n se oserva en la fi!ura '()'. En el caso de resortes en paralelo% las tasas individuales del resorte se suman directamente2 k total =k 1 + k 2 + k 3 … + k n ( 13.2 a )

7ara resortes en serie% las tasas o constantes de resortes se a!re!an en forma reciproca2 1

k total

 1

1

1

k 1 k 2

k 3

= + +

…+

1

k n

(13.2 b )

'(.8 Confi!uración de resortes #os resortes se clasifican de diferentes formas. #os cuatro tipos de car!a mencionados en la sección '(.* es una de ellas. 9tra es en función a la confi!uración típica del resorte. 5ane$aremos este <imo procedimiento. #a fi!ura '()8 muestra una sección de confi!uraciones de resortes. #os resortes de alamre vienen en forma helicoidal de compresión, helicoidal de tensión % helicoidal de torsión " especiales. #os resortes planos son vigas en voladizo o simplemente apoyadas% " son de muc+as formas. #as roldanas de resorte vienen en una de estilos2 curvas% onduladas% de dedos o Belleville. #os resortes de oina planos sirven como motores% de voluta o de fuerza constante. -nalizaremos todas estas confi!uraciones de manera !eneral " al!unos de ellos se diseño en particular. #a fi!ura '()8: muestra cinco formas de un resorte +elicoidal de compresion. ,odas ,odas ellas proporcionan fuerzas de empu$e " realizan deflexiones !randes. !rande s. #a

aplicasion comun es como resortes de retorno para valvulas en motores% los resortes para troqueles% etcetera. #a forma estandar tiene espiras de diametro constante% paso constante " tasa o constante del resorte. Es la confi!uracion de reosrte mas comun% " +a" en existencia muc+os tamaños. #a ma"or parte estan faricados de alamre redonde% pero tamien se farican de alamre rectan!ular. Es posile camiar el paso " crear un resorte de paso variale. #as espiras de tasa a$a se cerraran primero% con lo que se incrementa la tasa eficaz cuando se tocan una " otra% es decir% cuando “toquen fondo”. #os resortes conicos se farican "as sea con tasa constante o una en incremento. 1u tasa de resorte por lo !eneral no es lineal% incrementandose con la deflexion% "a que las espiras de diamtro mas pequeño tieen una resistencia ma"or a la deflexion% " las espiras ma"ores se flexionan primero. ;ariando el paso de las espiras es posile lo!rar una tasa de resorte casi constate. 1u principal venta$a es su capacidad de cerrarse a una altura tan reducida como un diametro de alamre% si las espiras se anidan unas dentro de otras. #os resortes de arril " de relo$ de arena suelen considerarse como si fueran dos resortes conicos li!ados% amos con tasa de resortes alineal. #as formas de arril " relo$ de arena sirven en articular para modificar la frecuencia natural del resorte en relacion con la forma estandar. #a fi!ura '(.8 muestra un resprte +elicoidal de extension con !randes !anc+os en amos extremos. 7roporciona fuerza de traccion " es capaz de deflexiones !randes. Estos resortes se emplean en cierrapuertas " contrapesos. El !anc+o queda mas esforzado que las espiras "% por lo !eneral. 3alla primero. Cualquier cosa suspendida del !anc+o caera al romperse el resorte de extension% +aciendo que su diseño sea poco se!urp. #as fi!ura '()8c muestra un resorte de arra de extension% que resuelve este prolema mediante un resorte +elicoidal de compresion en modo de traccon. #as arras de extension comprimen el resorte% " si este se rompe% aun su soportara la car!a con se!uridad

#a fi!ura '()8d muestra un resorte +elicoidal de torsión% enrollado de manera similar el resorte +elicoidal de extensión% pero car!ado a torsión. -plicaciones comunes para ellos son contrapesos para puertas de !ara$e% tatoneras% etc.
#a fi!ura '(.8e muestra cinco variales comunes de la arandela o roldana de resorte. ,odas proporcionan una fuerza de compresión " sirven por lo !eneral para car!ar al!o axialmente% como por e$emplo para eliminar el $ue!o axial en un co$inete. 7or lo !eneral% tienen pequeñas deflexiones "% a excepción del =elleville% solo aceptan car!as li!eras.

El resorte en voluta en la fi!ura '()8f proporcionan una fuerza de empu$e pero tiene una fricción e +ist6resis importantes.

#a fi!ura '(.8! muestra tres variedades de resorte en vi!a. Cualquier tipo de vi!a servirá como resorte. #os más comunes son las vi!as en voladizo " las vi!as simplemente apo"adas. >n resorte en vi!as suele tener un anc+o constante o tener al!una " forma% como el trapezoidal que se muestra. Con controlales la tasa de resorte " la distriución de esfuerzos mediante camios en el anc+o o profundidad de la vi!a en su lon!itud. #as car!as lle!an a ser elevadas% pero las deflexiones son limitadas.

#a fi!ura '()8+ muestra un tipo de resorte de potencia% tami6n conocido como resorte motor o de relo$. 1irve principalmente para almacenar ener!ía " proporcionar torsión. #os relo$es " los $u!uetes de cuerda son impulsados con esta clase de resorte.

#a fi!ura '()8i muestra un resorte de fuerza constante para car!as de contrapesos que sirve para lo!rar el entorno de los carro de las maquinas de escriir% así como para la faricación de resortes motor de par de torsión constante. 7roporcionan carreras de deflexión mu" !randes con una fuerza de tracción casi constante.  -nalizaremos el diseño de al!unos de estos tipos de resortes.

'(.( materiales para resortes nas cuantas aleaciones de acero inoxidale son adecuaas para faricar resrtes% i!ual que% entre las aleaciones de core% el core al erilio " el ronce fosforado. #a ma"or parte de los resortes para servicio li!ero se farican de alamre estirado en frio% redondo o rectan!ular% o de cinta del!ada rolada en frio " olana. #os rsortes para servicio pesado% como las piezas de suspension de los ve+iculos% suelen faricarse de formas laminadas en caliente o for$adas. - fin de otener la resistencia requerida% los materiales para resortes se somenten a un proceso de endurecimiento. #as piezas de seccion transversañ reducida se endurecen por traa$o durante el proceso de estirado o formado en frio. 1ecciones ma"ores suelen su$etarse a tratamientos termicos. - fin de lierar esfuerzos residuales " estailizar las dmensiones incluso en piezas de seccion reducida% se aplican tratamientos termicos a a$a temperatura. 7ara endurecer resortes mas !randes%

que dean formarse todavia reconocidos% se recurre a templados " revenidos de alta temperatura.

Alambre para resorte El alamre redondo es% por muc+o% el material mas comun para resortes. #o +a" en una variedad de aleaciones " en una !ama de tamaños. El alare rectan!ular solo esta disponile en unos cuantos tamaños.

En la tala '()' aparecen al!unas aleaciones comunes de alamre " sus descripciones% identificadas por la desi!nacion -1,5 " la 1-E. #os tamaños de alamre comunes aparecen en la tala '()8% $unto con una indicacion de los ra!os de tamaños disponiles para aleaciones comunes de acero% identificados por su

neumero -1,5. El diseñador deera proar esos tamaños por si menor costo " su disponiilidad% aunque tamien se farican en otros tamaños% que no aparecen. #a tala '()( muestra los costos relativos de una selección de materias comunes de alamnres para resortes de acero redondo.

?esistencia a tension #a resistencia entre tamaño del alamre " resistencia a la tension que aparecen en la fi!ura '()( es una situacion afortunada. 1e!&n se analizo en la seccion 8.@ " en la fi!ura '()( es una situacion afortunada.#as resistencias a tension del alamre de acero fino se vuelven astante elevadas. >n mismo acero% que se rompe a 8** *** psi en un especimen de prueas de *.( in de diametro% lle!a a alcanzar casi el dole de esta resistencia una vez estrado en frio +asta *.*'* in. El proceso de estirado en frio es el causante del endurecimiento " el refuerzo del material% a expensas% en !ran medida% de su ductivilidad. #a fi!ura '()( es un trazo semilo!aritmico de la resistencia del alamre en funcion del diametro% con ase en extras prueas efectuadas por la -ssociated 1prin!% =arnes Aroup Inc. #os datos correspondientes a cinco de los materiales mostrados en la fi!ura podrian coincidir astante con una funcion exponencial de la forma2 b

S ut = A d ( 13.3)

Donde - "  se definen en la tala '()B para estos materiales de alamre sore los ran!os especificados de diametros. Estas funciones empiricas proporcionan un medio comodo para calcular dentro de un pro!rama de computo de diseño de resortes la resistencia a tension del alamre de acero% lo que permite iteraciones rapidas +acia una solucion de diseño adecuada. #a fi!ura '()B traza estas funciones de resistencia emporicas% a fin de mostrar% sore e$es lineales% el camio en resistencia en funcion a la reduccion en el diametro.

Resistencia al corte  -mplias prueas +an determinado que una estimacion razonale de la resistencia maxima a la torsion de materiales comunes para resortes es @ de la resistencia maxima a tension. S us=0.67 Sut ( 13.4 )

Material plano para resorte El material comercial en cinta de acero al medio o alto carono es el material que mas se emplea para resortes% volutas% resortes de relo$ " motor% roldanas o arandelas de resorte% etc. Cuando es necesario resistencia a la corrosion% tamien

sirven para los resortes planos aleaciones de acero inoxidale (*8% (*8 " '@)@ p+% core al erilio o fosfato.

#os aceros -I1I '**% '*% '*@B " '*F rolados en frio son aleaciones de material que mas se utilizan. Estan disponiles en estado recocido o prerrvenido% que se conocen como G de duro% H de duro%  de duro " totalmente duro. #os dos revenidos mas lando se conforman con facilidad% pero los revenidos mas duros se conforman con ma"or dificultad. El acero totalmente duro se puede formar con contornos suaves% pero no es posile dolarlo en radios pequeños. #a venta$a de formar una tira de acero preendurecido es evitar la distorsion por tratamiento termico de la pieza formada. 1e se requieren doleces a!udos% tendra que recurrirse a un material recocido " lue!o endurecerlo despues de formar.

El proceso de rolado en frio crea un “!rano” en el material analo!o a el !rano de la madera. De la misma forma que la madera se rompera con facilidad si se dola a lo lar!o del !rano% el metal no permitira% sin romperse% deleces a radios pequeños a lo lar!o de su !rano. El !rano ocurre en direccion del rolado% que en el caso de material en tiras es en su e$e lar!o. 7or lo tanto% las piezas formadas de lamina de metal con contornos ruscos deeran ser doladas a traves del !rano. 1i se requieren doleces orto!onales% el !rano deera orientarse a BJ con los doleces. >n factor no dimensional de dolez 8rKt sirve para definir la conformailidad. #a cinta de aceri duro "  de duro se fracturara si se tuerce o dola a lo lar!o del !rano. #a cinta de acero para resorte se produce a una dureza especificada relacionada con su resistencia a la tension. #a fi!ura '() muestra un trazo de la resistencia a la tension en funcion de la dureza para aceros templados " revenidos.

Cualquiera de los niveles de carono anotados en los aceros para resorte -I1I arria mencionados se endurecen a valores en el ran!o que se muestra en la fi!ura '()% lo que si!nifica que la dureza final% mas que el contenido de carono% es el factor que define la resistencia a tension. #a tala '() muestra las resistencias% durezas " factores al dolado de al!unos materiales comunes para resortes planos.

#a fi!ura '() muestra los radios minimos de dolez que lle!an a resistir un resorte para acero plano transversalmente al !rano. -parecen tres ran!os de resistencias de acero% que se muestran como andas " que dependen del espesor  " !rueso del material. Estas corresponden a tres puntos tomados del ran!o superior de la fi!ura '(). #as lineas representan radios minimos de doles para el acero de la resistencia que cruzan. Es posile efecturar interpolacion entre lineas o andas.

13.4 Resortes helicoidales de compresion El resorte +elicoidal de compresion mas comun es el de diametro de espiras constante% de paso constante% de alamre redonde% se!&n se oserva en la fi!ura '()8a. Los referimos a este resorte como el resorte +elicoidal a compresion estandar 
ongitud de los resortes #os resortes de compresion tienen varias dimenciones " deflexiones de interes% se!&n se oservan en la fi!ura '()O la lon!itud lire # f  es la lon!itud !eneral del resorte en su estado no car!ado% es decir como se farican. #a lon!itud ensamlada #a es su lon!itud despues de instalarse a su deflexion inicial " inicial. Esta deflexion inicial% en cominaicon con la tasa de resorte 4% determina la cantidad de fuerzas de precar!a en el ensamle. #a car!a de traa$o es la que aplica para comprimir aun mas el resorte en su deflexion de traa$o " traa$o. #a lon!itud minima de traa$o # m es la dimension es la dimension mas corta a la cual se comprimira durante el servicio. #a altura de cierre o altura solida ls es su lon!itud cuadno se +a"a comprimido de forma que todas las espiras estan en contacto. #a +ol!adura de !olpeo " !olpeo es la diferencia entre la lon!itud minima de traa$o " la altura de cierre% expresado como uun porcenta$e de la delfexion de traa$o. 1e recomienda% para evitar lle!ar a la altura de cierre en servicio% una +ol!adira de !olpeo minima de '*)'% con resortes fuera de tolerancia o con deflexiones excesivas.

!etalles de terminacion
terminales se rectifican planas " perpendiculares en el e$e del resorte para conse!uir superficies normales para la aplicasion de car!a. Cuadrar los extrmos implica dolar las espiras terminales% " aplastarlas para eliminar su paso. Con eso se me$ora la alineacion. 7ara una operación cprrecta se recomienda una superficie plana en la espira terminal de por lo menos 8@*J. -l cominar el aplanado con el rectificado se consi!ue una superficie)aplicasion de la car!a. Es eñ tratamiento de extremo de ma"or costo% pero es el recomendado% sin emar!o% para resortes de maquinaria% a menos de que el diametro del alamre sea mu" pequeño% en cu"o caso se dolan sin rectificar.

"spiras activas El n&mero total de espiras L t podrías o no contriuir de manera activa a la deflexión del resorte% dependiendo del tratamiento dado a los extremos. 1e necesita el n&mero de espiras activas L a para efectos de cálculo. #os extremos cuadrados eliminando dos espiras de una deflexión activa. El rectificado por si mismo elimina una espira activa. #a fi!ura '()F muestra las relaciones entre las espiras totales L t " las espiras activas L a para cada una de las cuatro formas de

terminación de espiras. El n&mero calculado de espiras activas por lo !eneral se redondea al G de espiras más cercano% "a que el proceso de manufactura no siempre lo!ra una precisión me$or.

#ndice del resorte El índice del resorte C es la razón del diámetro de espira D al diámetro de alamre d.  D C =  ( 13.5 ) d

El ran!o preferido para C es de B a '8. En CMB% el resorte es difícil de faricar% " si CN'8% esta propenso a pandearse " tami6n se en!anc+a con facilidad cuando se mane$a en volumen.

!e$le%ión del resorte #a fi!ura '()'* muestra una proporción de un resorte espiral +elicoidal con car!as axiales a la compresión aplicadas. -dvi6rtase que aun cuando la car!a sore el resorte es a la compresión% el alamre del resorte esta a la torsión% "a que la car!a en cualquiera de las espiras tiene tendencia a torcer el alamre en relación con su e$e. >n modelo simplificado de esta car!a% despreciando la curvatura del alamre% es una arra de torsión. >n resorte +elicoidal de compresión es de +ec+o una arra de torsión enrollada de forma +elicoidal% lo que la +ace más compacta. #a deflexión en un resorte +elicoidal de compresión de alamre redondo es2  y =

8 F D 4

3

 N a

d G

(13.6 )

Donde 3 es la car!a axial aplicada sore el resorte% D es el diámetro medio de las espiras% d es el diámetro del alamre% L a es el numero de espiras activas " A es el modulo de corte del material.

&asa de constante de resort #a ecuación para la tasa o constante del resorte se otiene reor!anizando la ecuación de deflexión2

4

 F  d G k =  = (13.7 )  y 8 F D 3 N a

El resorte +elicoidal estándar de compresión tiene una tasa de resorte 4 que es lineal en la ma"or parte de su ran!o de operación% se!&n se aprecia en la fi!ura '()''. #os primeros " <imos porcenta$es de su deflexión sufren una tasa no lineal. Cuando alcanzan su altura de cierre # s% todas las espiras entran en contacto " la tasa de resorte de acerca al modulo de elasticidad del material. #a tasa del resorte deerá definirse entre ' " 'O de su deflexión total% " su ran!o de deflexión de traa$o # a)#m dee mantenerse en dic+a re!ión.

"s$uerzos en las espiras de resortes helicoidales de compresión El dia!rama de cuerpo lire de la fi!ura '()'* muestra que en cualquier sección transversal de una espira +ará dos componentes de esfuerzo% uno cortante a la torsión proveniente del par de torsión ,% " otro cortante directo deido a la fuerza 3. Estos dos esfuerzos cortantes tienen distriución a trav6s de la sección que aparece en la fi!ura '()'8a. " '()'8. -mos esfuerzos se suman directamente "

el esfuerzo cortante máximo τ m à x  ocurre en la fi!ura interior de la sección transversal del alamre% se!&n se oserva en la fi!ura '()'8c. τ m à x =

Tr  F   F ( D / 2 ) ( d / 2 ) + = + F 2 = 8 FD3 + 4 F 2 (13.8 a ) 4 J   A π d /32 π d /4 π d πd

Esta manipulación +a colocado el t6rmino correspondiente al cortante directo de la ecuación '(.Oa convirti6ndolo en un factor de cortante directo 4 s. #as dos ecuaciones tienen id6ntico valor% que la proferida es la se!unda versión ecuación '(.O/. 1i el alamre fuera recto su$eto a la cominacion de una fuerza constante 3 " de un par de torsion ,%como se muestra en la fi!ura en la fi!ura '()'*% la ecuacion '(.O seria su solucion exacta. 1in emar!o% este alamre es curvo% en forma de espira. Pa+l define el termino de concentracion de esfuerzos para esta aplicación

" un factor 0 Q% que inclu"e tanto los esfuerzos de corte directo como la concentracion de esfuerzos de cortantre directo como la concentracion de esfuerzos por curvatura.  K w =

 4 C −1 4 C −4

τ max = K w

+

8 FD

πd

3

0.615

C 

( 13.9 a )

( 13.9 b )

Este esfuerzo cominado aparece en la fi!ura '()'8d. En vista que el factor 0 Q de Pa+l inclu"e amos efectos% podemos separarlos en un factor de curvatura 0c " el factor de cortante directo 4 s% mediante  K w = K s K c ; K c =

 K w  K s

(13.10)

1i un resorte está car!ando estáticamente% entonces el criterio de falla es la fluencia. 1i el material flu"e% eliminara la concentración local de esfuerzos por factor de curvatura 0c% " podrá aplicarse la ecuación '(.O para tomar solo en consideración el cortante directo. 7ero% si el resorte está car!ado dinámicamente% entonces la falla será por fati!a% a esfuerzos ien por dea$o del punto de fluencia% " deerá aplicarse la ecuación 'F.F para incorporar tanto los efectos del cortante directo como por curvatura. En un caso de car!a a la fati!a con car!as tanto medias como alternantes% es aplicale la ecuación '(.O para calcular el componente de esfuerzo medio " la ecuación '(.F para calcular el componente de esfuerzo alternante

"s$uerzos residuales Cuando se enrolla un alamre en forma de +6lice% se e$ercen esfuerzos residuales a la tensión en se superficie interna " ocurren esfuerzos residuales a la compresión en su superficie externa. Lin!uno de estos esfuerzos residuales es en6fico " se suele eliminarlos por lieración de esfuerzos del resorte.

Asentamiento se introducen esfuerzos residuales eneficos mediante un proceso identificado por las faricantes de manera confusa a la vez como “eliminacion de asentamiento” " “asentamiento del resorte”. El asentamiento suele incrementar la capacidad de car!a estatica en B) " dolar la capacidad de almacenamiento

de ener!ia del resorte por cada lira del material. El asentamiento se lleva a cao comprimiendo el resorte a su altura de cierre " +aciendo fluir el material% para introducir esfuerzos residuales eneficos. El resorte asentado pierde al!o de lon!itud lire% pero otiene los eneficios arria decritos. 7ara tener las venta$as del asentamiento% la lon!itud lire inicial dee faricarse ma"or a la deseada " deera deseñarse para dar un esfuerzo a la altura de cierre de '* a (* superior al limite elastico del material. 5enos de esta sorecar!a no creara un esfurzo residual suficiente. 5as de (* de sore)esfuerzo a!re!a poco eneficio% incrementando la distorsiRn. El esfuerzo permisile de un resorte que +a sido “asentado” es mu" superior al de un resorte% como fue enrollado. -demás% para calcular el esfuerzo en un resorte “asentado” se aplica la ecuación '(.O con un factor 0 s menor% en vez de la ecuación '(.F dado que% para car!as estáticas% la fluencia durante el asentamiento liera la concentración de esfuerzos en la curvatura. El asentamiento lle!a a su valor máximo en resortes car!ados estáticamente% pero tiene tami6n valor para car!as cíclicas.

'nversión de carga. -sentados o no% los resortes en espiral lle!an a tener al!unos esfuerzos residuales. 7or esta razón no es aceptale la aplicación de car!as invertidas. 1uponiendo que se +an or!anizado esfuerzos residuales para que resulten en6ficos contra la dirección esperada de la car!a% una car!a invertida oviamente aumentara los esfuerzos residuales% causando una falla temprana. >n resorte a la compresión nunca deerá car!arse a la tensión% " un resorte a la tensión a la compresión. (ranallado. Es otra manera de otener esfuerzos residuales eneficos en resortes% " es mu" eficaz contra la car!a ciclica en fati!a. ,ien pocas venta$as para resortes con car!as estaticas. En el caso de los resortes de alamre% se suelen emplear diametros de !ranalla desde *.**O in +asta *.* in. #os resortes de alamre mu" pequeños mp se eneficiaran del !ranallado tanto como aquellos de alamre de diametro ma"or. )andeo de los resortes de compresion >n resorte de compresion se car!a como una columna " se pandea si es demasiado eselto. 1e crea un factor similar de eseltez como una razon de aspecto% de la lonn!itud lire al diametro externo de la espira # f KD. si este factor es NB% el resorte se puede pandear. Es posile evitar un pandeo e xa!erado mediante la colocación del resorte en una perforación o alrededor de una varilla. 1in emar!o% el rozamiento de las espiras sore estas !uías enviará +acia tierra parte de la fuerza del resorte a trav6s de la fricción% reduciendo la car!a entre!ada en el extremo del resorte.

De la misma manera que en las columnas sólidas% las limitaciones en los extremos del resorte afectarán su tendencia a pandear. 1i uno de los extremos está lire para inclinarse% se!&n se muestra en la 3i!ura '()l(a% el resorte se pandeará con una razón de aspecto más pequeña que si está su$eto en cada extremo entre placas paralelas% como se muestra en la 3i!ura '()'(. #a razón de la deflexión del resorte a su lon!itud lire tami6n afecta su tendencia a pandear. #a 3i!ura '()'B muestra un trazo de dos líneas% que ilustra la estailidad de los dos casos de restricción de extremos que aparecen en la 3i!ura '()'(. -quellos resortes que ten!an cominaciones de razón de aspecto a razón deflexión a la izquierda de estas líneas serán estales contra el pandeo.

*scilación del resorte a la compresión Cualquier dispositivo que ten!a a la vez masa " elasticidad tendrá una o más frecuencias naturales% como fue visto en el Capítulo F% en relación con las viraciones en flec+as. #os resortes no son excepción a esta re!la% " viran tanto lateral como lon!itudinalmente al ser excitados dinámicamente cerca de sus frecuencias naturales. Si se permite que entren en resonancia% las ondas de viraciones lon!itudinales% llamadas oscilaciones% +arán que las espiras !olpeen una contra otra. #as importantes fuerzas provenientes tanto de las deflexiones excesivas de las espiras% como de los impactos% +arán que el resorte falle. - fin de evitar esta situación% el resorte no deerá ser ciclado a una frecuencia cercana a su frecuencia natural. En teoría% la frecuencia natural del resorte deerá ser superior a '( veces la correspondiente a cualquier frecuencia aplicada impuesta.

#a frecuencia natural n % o lo que es lo mismo f n de un resorte +elicoidal de compresión% depende de sus condiciones de frontera. #a disposición más com&n " más deseale es mantener amos extremos fi$os% "a que su f será el dole al correspondiente a un resorte con un extremo fi$o " otro lire. En el caso fi$o)fi$o2

 n= π 

√

√

 K! rad 1  K! $ n=  %& ( 13.11 a) " a s#! 2 " a

donde k es la lasa de resorte% W n es el peso de las espiras activas del resorte " ! es la constante de la !ravedad. 1e puede expresar como una frecuencia an!ular  n

% o como una frecuencia lineal f. El peso de las espiras activas se determina

a partir de2 2

" a =

2

π  d  DN a '  4

( 13.11 b )

donde S es la densidad de peso del material. 7ara el peso total del resorte sustitu"a N a, en lu!ar de N a. ?eemplazando las ecuaciones '(.@ " '(.lla en la ecuación '(.ll nos da $  n=

2

d

π N a  D

2

√

¿ %& (13.11 c )

32 ' 

para la frecuencia natural de un resorte +elicoidal de espiras fi$o)fi$o. 1i un extremo del resorte está fi$o " el otro lire% act&a como un resorte fi$o)fi$o del dole de su lon!itud. 1e determina su frecuencia natural mediante la ecuación '(.' ' e un n&mero para Na que sea el dole del n&mero real de espiras activas presentes en el resorte fi$o)lire.

Resistencias permisibles para los resortes a la compresión
#M'&" "+&'-* A A &*R'/

#os límites elásticos a la torsión del alamre para el resorte varían en función del material% o si el resorte +a sido asentado o no. #a ,ala '() muestra factores recomendados de límites elásticos a la torsión% para varios alamres comunes para resorte% como un porcenta$e de la resistencia máxima a la tensión del alamre. Estos factores deerán servir para determinar una resistencia para un resorte +elicoidal de compresión con car!a estática.

R"'&"/-'A A A 0A&'(A )*R &*R'/  - lo lar!o de los

10

3

( N ( 10

5

 ciclos varía se!&n el material% dependiendo

tami6n si +a sido !ranallado o no. #a ,ala '()@ muestra valores recomendados de varios materiales de alamre en estado !ranallado o sin !ranallar% en tres puntos de sus dia!ramas S-N, '*% '* " '*@ ciclos. -dvierta que se trata de resistencias a la fati!a por torsión " se determinan a partir de resortes de pruea car!ados con i!uales componentes medio " alternante de esfuerzos razón de esfuerzo R T Umin%KUmaxT */. 7or lo que no son directamente comparales con nin!una de las resistencias a la fati!a totalmente alternantes !eneradas a partir de los especímenes a flexión " en rotación analizadas en el Capítulo % deido tanto a la car!a torsional como a la presencia de un componente de esfuerzo medio.  -plicaremos la desi!nación Sfw . para estas resistencias a la fati!a del alamre% a fin de diferenciarlas de la resistencias a la fati!a totalmente alternantes del Capítulo . Esta resistencia a la fati!a es sin emar!o mu" &til en el +ec+o que representan una situación de car!a a la fati!a del resorte actual " típico/ " se !eneran a partir de muestras de resortes% " no de especímenes de pruea% por lo que tanto !eometría como tamaño son correctos. 9serve que las resistencias a la fati!a de la ,ala '()@ van reduci6ndose con n&meros más elevados de ciclos% incluso por encima de '*  ciclos% donde los aceros por lo !eneral desplie!an un límite de resistencia a la fati!a.

#M'&" !" R"'&"/-'A A A 0A&'(A )*R &*R'/ El acero tiene un límite de resistencia a la fati!a para vida infinita. #os materiales de alta resistencia tienen tendencia a mostrar un “tope” en sus límites de resistencia a la fati!a% ante una resistencia máxima creciente. #as 3i!uras )F " ) '' muestran esa tendencia% " la ecuación 6.5 define un límite de resistencia a la fati!a por tensión% sin corre!ir para flexión totalmente alternante% en aceros con un 1utN 8** 4psi que se conserva constante con resistencias a la tensión crecientes por encima de este valor. -dvierta en la 3i!ura '()( que la ma"or parte de los

alamres de resorte menores de un diámetro de '* mm aparecen al <imo en esta cate!oría de resistencia máxima. Esto implicaría que estos materiales para alamre de resorte deerán tener un límite de resistencia a la fati!a por torsión independiente del tamaño o de su panicular composición de aleación. 9tras investi!ación es apo"an lo anterior. Vimmerli reporta que todo el alamre de acero para resorte de menos de '* mm de diámetro muestra un límite de resistencia a la fati!a por torsión para vida infinita% con una razón de esfuerzo R T * el cual% para diferenciarlo del límite de resistencia a la fati!a totalmente alternante% identificaremos como 1 eQ.

S #w ≅ 45.0 k)s* ( 310 +,a ) )ara r#sort#s sin !ranallar S #w ≅ 67.5 k)s* ( 465 +,a ) )arar#sort#s !ranallados ( 13.12 )

En este caso no es necesario aplicar factores de corrección superficiales de tamaño o de car!a% para "a sea 1fQW o 1eQW, "a que los datos de pruea se desarrollaron con condiciones reales% para estos aspectos de los materiales del alamre. #a ,ala '()@ indica que los datos de resistencia a la fati!a se toman a temperatura amiente% en entorno no corrosivo% sin oscilaciones presentes. Esto tami6n es cierto en lo que se refiere a los datos de Vimmerli. 1i el resorte va a operar a una temperatura elevada o en un entorno Corrosivo% es posile reducir la resistencia a la fati!a o el límite de resistencia a la fati!a se!&n corresponda. 1e puede aplicar una temperatura K temperatura "Ko un factor de confiailidad 0 confiailidad ;6ase el Capítulo % ecuaciones .@f " .O. #a 3i!ura )(* da información en relación con entornos corrosivos. En nuestro análisis de aquí aplicaremos los

valores sin corre!ir de en lu!ar de 1fQW " 1eQW en lu!ar de Sew’ , suponiendo temperatura amiente sin corrosión " una confiailidad del 50 por ciento.

!iagrama / de cortante por torsión del alambre para resorte 1e traza un diagrarna S-N de cortante a torsión para un material " un tamaño de alamre particular% de acuerdo con la información de las ,alas '()B " '()@% se!&n el m6todo que se descrie en la sección . para la creación de dia!ramas S-N estimados. #a re!ión de inter6s para fati!a por alto cicla$e es de N T ' *** ciclos +asta N T ' E@ ciclos " más allá. En la ecuación '(.'8 se define el límite de resistencia a la fati!a para vida infinita del alamre para resorte. #a resistencia a la tensión 1m a ' *** ciclos suele tomarse como F* de la resistencia máxima 1 ut a ' ciclo resistencia estática/. Dado que se trata de una situación de car!a por torsión% las resistencias a la tensión del alamre que se muestran en la 3i!ura '() (% " que se definen mediante la ecuación '(.( " la ,ala '()B% deen convertirse a resistencias a la torsión mediante la ecuación '(.B. Esto +ace que la resistencia a la torsión 1 ms a ' *** ciclos sea i!ual a S ms ≅ 0.9 S-S ≅ 0.9 ( 0.67 S ut ) ≅ 0.6 Sut ( 13.13)

"l diagrama (oodman modi$icado para el alambre de resorte 1e traza un dia!rama Aoodman modificado para cualquier situación de car!a del resorte. En la sección .'( del Capítulo  presentamos un procedimiento de tipo !eneral para el diseño a la fati!a que implicaa encontrar los esfuerzos efectivos de ;on 5ises para cualquier caso cominado de car!a% a fin de simplificar el procedimiento. 1e +izo notar entonces que una situación de car!a puramente a la torsión se resuelve de esa forma% convirtiendo los esfuerzos cortantes a esfuerzos ;on 5ises " comparándolos con las resistencias del material. 1in emar!o% en el caso del diseño de un resorte +elicoidal de compresión% tiene poco sentido recurrir al procedimiento ;on 5ises% porque las resistencias a la fati!a calculadas de manera empírica para el alamre se expresan como resistencias a la torsión. 7or lo tanto resultará más sencillo trazar un dia!rama Aoodman de acuerdo con las resistencias a la torsión% " aplicando los esfuerzos torsionales calculados directamente al mismo. #os resultados serán los mismos% sin importar el procedimiento que se utilice.

!'"2* !" R"*R&" "'-*'!A" A A -*M)R"'/ )ARA -AR(A "&+&'-A #os requisitos funcionales para un diseño de resorte lle!an a ser astantes diversos. 7udiera existir un requisito para una fuerza en particular a cierta deflexión o se define la tasa de resorte a un ran!o de deflexión. En al!unos casos +a" limitaciones de diámetro exterior% diámetro interior o lon!itud de traa$o. El procedimiento para el diseño variará dependiendo de estos requisitos. En cualquier caso% el diseño de resortes es en sí un prolema iterativo. Deerán efectuarse ciertas suposiciones o +ipótesis para estalecer los valores de suficientes variales a fin de calcular esfuerzos% deflexiones " tasa de resorte. Dado que en las ecuaciones de esfuerzo " de deflexiones el tamaño del alamre aparece a la tercera o cuarta potencia% " en vista que la resistencia del material depende del tamaño del alamre% la se!uridad del diseño se torna mu" sensile a este parámetro. Es posile recurrir a muc+os procedimientos para el diseño de un resorte " más de una cominación de parámetros de resortes lle!an a satisfacer cualquier con$unto de requisitos funcionales. Es posile optimar parámetros como el peso del resorte para un con$unto dado de especificaciones de rendimiento. - fin de minimizar peso

" costo% los niveles de esfuerzos deerán diseñarse tan elevados como posile% sin causar fluencia estática durante el servicio. Deerá suponerse un diámetro de alamre de pruea d " un índice razonale de resorte C a partir de los cuales se calcula el diámetro de la espira D con la ecuación 13.5. 1e esco!erá un material de pruea para el resorte " se calcularán las resistencias importantes del material para el diámetro del alamre de pruea. ?esulta conveniente calcular el esfuerzo antes de calcular la deflexión dado que% aunque amos implican d " D, sólo la deflexión depende de Na. 1i está definida una fuerza requerida F, el esfuerzo a esa fuerza se calcula con la ecuación '(.O o '(.F% se!&n resulte apropiado. 1i se definen dos fuerzas de operación con una deflexión especificada entre amas% ellas definirán la tasa de resorte. El estado del esfuerzo se compara con el límite elástico para car!as estáticas. El factor de se!uridad para una car!a estática es  N s =

S ys τ 

( 13.14 )

1i el esfuerzo calculado resulta demasiado elevado en comparación con la resistencia del material% para me$orar el resultado se modifica el diámetro% la tasa de resorte o el material del alamre. Cuando parezcan razonales los esfuerzos calculados " la fuerza requerida de operación% en comparación con la resistencia del material% es posile suponer un n&mero de espiras " de +ol!ura de !olpeo de pruea% " efectuar cálculos pos) tenores para la tasa de resorte o la deflexión " la lon!itud lire usando las ecuaciones '(. " '(.@. ;alores fuera de lo razonale de cualquiera de estos parámetros requerirá una iteración adicional con +ipótesis modificadas. Despu6s de varias iteraciones% por lo !eneral se podrá encontrar una cominación razonale de parámetros. -l!unas de las cosas que necesitan verificarse antes de pensar que el diseño está completo será el esfuerzo a la altura de cierre% el Di , el Do,, " la lon!itud lire de la espira% respecto a consideraciones volum6tricas.  -demás% es necesario verificar la posiilidad de pandeo. 1i todo el proceso arria mencionado parece complicado% el lector apreciará el valor que tiene una computadora para +acer todo el “traa$o sucio”. El diseño de resort es% como cualquier procedimiento de diseño iterativo% es tarea ovia para una solución por computadora. #os solucionadores de ecuaciones que permiten una iteración automática están mu" ien adecuados para este tipo de tareas% "a que resuelven todos los aspectos de manera simultánea. -+ora presentaremos al!unos e$emplos de prolemas de diseño de resortes% " mostraremos cómo se utiliza un solucionador de ecuaciones para expeditar sus soluciones.

13. !'"2* !" R"*R&" "'-*'!A" A A -*M)R"'/ )ARA -AR(A A A 0A&'(A Cuando las car!as del resorte son dinámicas que varían con el tiempo/% +a " en el resorte una situación de esfuerzo por fati!a. El proceso de diseño para la car!a dinámica es similar al de la car!a estática% con al!unas diferencias importantes. >n resorte car!ado dinámicamente operará en dos niveles de fuerzas% F mn y F ma! . 7ara estos valores% los componentes de fuerza alternante " medio se calculan a partir de  F max − F m*n  F a = 2

 F max + F m*n  F m = ( 13.15 a ) 2

,ami6n se define una razón de fuerzas ?3 de la forma2  . F =

 F m*n  F max

( 13.15 b )

En los casos más comunes de car!a de resortes tanto F min como F ma!  son positivos% estando la razón de fuerzas alrededor de *
resistencia alternante 1 a en la intersección de la línea de car!a " de la línea Aoodman punto D) con el esfuerzo alternante aplicado U a en el punto E.  N $s = Sa / τ a ( 13.16 a )

Esta razón se deduce de la !eometría de amas líneas.
De la !eometría mcar!a=

τ a τ m−τ * τ a

 y car!a=

τ m− τ *

 y b car!a=−m car!a τ *

( x −τ * ) ( a )


De la !eometría mGood =

 y Good =

−S#s Sus

−S #s Sus

 y bGood = S#s

 x + S #s= S #s

(

1−

)

x (b ) Sus

En el punto de falla% " car!a T "Aood. I!ualando a/ " / " resolviendo en función de x nos da

S #s

(

 x =

1−

)

τ  x = a ( x − τ * ) S us τ m− τ *

[

S us S#s ( τ *− τ m )− τ a τ * S #s ( τ * −τ m ) −S us τ a

] (c )

1ustitu"endo / en la ecuación '(.'a2  N $s =

Sa τ a

=

 y Good τ a

=

mGood x + S s# τ a

( d)

1ustitu"endo c/ en d/ " simplifique para otener el factor de se!uridad como si!ue  N $s =

S #s ( S us− τ * ) S #s ( τ m−τ * ) + S us τ a

(13.16 b )

Donde el límite de resistencia a la fati!a totalmente alternante punto C/ del e$emplo '()( es S #s =0.707

S#w Sus Sus − 0.707 S #w

(13.16 c )

Este procedimiento supone que la precar!a inicial no variará de manera si!nificativa a lo lar!o de la vida de la pieza " tami6n que cualquier incremento en la car!a será tal que mantendrá una relación constante entre los componentes alternante " medio de los esfuerzos. Zste corresponde al caso ( de la sección .''. De no ser así la situación% entonces deerá aplicarse en al!uno de los demás pasos de la sección .'' para determinar el factor de se!uridad. Deerá se!uirse tomando en consideración el esfuerzo de la car!a " de la precar!a inicial% " 6ste varía a$o las condiciones de servicio. 1i el factor de se!uridad es demasiado a$o% es posile modificar el diámetro del alamre% la tasa de resorte o el material% a fin de me$orar resultados. Cuando el factor de se!uridad por fati!a sea aceptale% es posile suponer un n&mero de espiras de pruea " una +ol!ura de !olpeo " se pueden efectuar cálculos adicionales para la tasa de resorte% la deflexión " la lon!itud lire% mediante las ecuaciones '(. " '(.@. ;alores no razonales de cualquiera de estos parámetros requerirán de iteración adicional% camiando las +ipótesis.

Despu6s de varias iteraciones% por lo !eneral se encontrará una cominación de parámetros razonale. -l!una de las cosas que necesitan verificarse% antes de considerar completo el diseño será el esfuerzo a la altura de cierre% en comparación con el esfuerzo de fluencia% " el D i% D0  " la lon!itud lire de la espira respecto a consideraciones de espacio. -demás% dee verificarse la posiilidad de pandeo% " en el caso de car!as dinámicas% deerá compararse la frecuencia natural de resorte con cualquier frecuencia impuesta o forzada del sistema% para salva!uardarse contra oscilaciones. El diseño de resortes para car!as por fati!a se eneficia de manera importante por  soluciones por computadora. #os solucionadores de ecuaciones que permiten una iteración automática están del todo adecuados a este tipo de tareas% "a que resuelven todos los aspectos del prolema de manera simultánea. 7resentaremos a+ora un e$emplo de un diseño de resorte para car!a a la fati!a.

13.5 R"*R&" "'-*'!A" A A "6&"/'/ #os resortes +elicoidales a la extensión son similares a los resortes +elicoidales a la compresión% pero se car!an a la tensión% se!&n se oserva en la 3i!ura '()8. #a 3i!ura '()8* muestra las dimensiones de importancia de cualquier resorte a la extensión. 1e inclu"en !anc+os u ore$as para permitir que se aplique una fuerza de extensión. #a fi!ura muestra una ore$a " un !anc+o estándar% pero son posiles muc+as variantes. #os extremos estándar se forman dolando la <ima espira a F*X en relación con el cuerpo de la espira. #os !anc+os " los aros u ore$as suelen estar esforzados de manera más severa que el cuerpo de las espiras% " esto pudiera limitar la se!uridad del diseño. En resortes de extensión no se efect&a asentamiento de espiras " el !ranallado no es práctico% "a que las oinas enrolladas de manera mu" apretada se prote!en unas a las otras de la !ranalla.

"spiras activas en resortes de e%tensión

,odas las espiras en el cuerpo se consideran como espiras activas% pero% para otener la lon!itud de cuerpo #% se suele a!re!ar una espira al numero de espiras activas.  N t = N a + 1 ( 13.18 )  /b= d N t ( 13.19)

#a lon!itud lire se mide desde el interior de una ore$a o !anc+o de extremo/ +asta la otra% " al variar puede modificar la confi!uración de los extremos% sin camiar el n&mero de espiras.

&asa de resorte de los resortes de e%tensión #as espiras de los resortes de extensión están enrolladas de manera mu" apretada% " el alamre es retorcido al mismo tiempo que enrollado% creando una precar!a en las espiras que dee ser vencida para separarlas. #a 3i!ura '()8' muestra una curva típica de car!a de flexión para un resorte +elicoidal de extensión. #a tasa de resorte k es lineal% excepto en su porción inicial. #a precar!a F i  se mide extrapolando la porción lineal de la curva de re!reso al e$e de las fuerzas. #a tasa de resorte se expresa de la forma  F − F *

k =

 y

4

d G = 3 (13.20) 8 D  N a

 -dvierta que no ocurrirá deflexión +asta que la fuerza aplicada exceda a la fuerza de precar!a F i incorporada en el resorte.

#ndice del resorte de los resortes de e%tensión El índice del resorte se determina a partir de la ecuación '(. " deerá ser mantenido en el mismo ran!o de entre B a '8% como se recomienda en el caso de los resortes de compresión.

)recarga de las espiras de los resortes de compresión #a precar!a F i se lle!a a controlar +asta cierto punto en el proceso de manufactura% " deerá diseñarse para mantener el esfuerzo inicial de la espira dentro del ran!o preferido que se muestra en la 3i!ura l()88. Esta fi!ura muestra ran!os deseados para el esfuerzo inicial de la espira como una función del índice del resorte. ;alores por fuera del ran!o son posiles pero difíciles de faricar. 1e +an a$ustado funciones c&icas a las curvas de la 3i!ura '()88 a fin de permitir su

uso en un pro!rama de cómputo. #as expresiones c&icas aproximadas aparecen en la fi!ura " son τ * ≅− 4.23 C  + 181.5 C  −3387 C + 28640 (13.21 a ) 3

2

τ * ≅−2.987 C  + 139.7 C  −3427 C + 38404 ( 13.21 b ) 3

2

Donde Ui esta en psi. El promedio de los dos valores calculados de estas funciones se toman como un valor ueno de inicio para el esfuerzo inicial de la espira.

!e$le%ión de los resortes de e%tensión #a deflexión de las espiras se determina a partir de la misma ecuación aplicada para un resorte de compresión con una modificación para la precar!a.  y =

8

( F − F * ) D  N a 3

4

d G

(13.22)

"s$uerzos en las espiras de los resortes de e%tensión #os esfuerzos en las espiras se determinan partiendo las mismas fórmulas que se aplicaron para los resortes de compresión. ;6anse las ecuaciones '(.O " '(F. #os factores K $ " K w  se aplican como antes.

"s$uerzos en los e%tremos de los resortes de e%tensión #os !anc+os o aros estándar tienen dos posiciones de elevado esfuerzo% se!&n se oserva en la 3i!ura '()8(. El esfuerzo torsional máximo ocurre en el punto %, donde el radio de curvatura es el menor. ,ami6n +a" un esfuerzo a flexión en el !anc+o o en el aro en el punto  & dado que el extremo está car!ado como una vi!a curva. Pa+l tami6n define un factor de concentración de esfuerzos K # para flexión en un alamre curvo. El esfuerzo a flexión en el punto  & se determina a partir de

0  A = K b

16 DF 

πd

3

+

4 F 

πd

2

 (13.23 a )

Donde  K b=

2

−C  −1 ( 13.23 b ) 4 C  ( C  −1 )

4 C 1

1

1

1

[ C 1 =

2 .1

d

( 13.23 c )

?' es el radio medio del aro% se!&n se oserva en la fi!ura '()8(. -dvierta que para un extremo estándar% el radio medio del aro es el mismo que el radio de la espira. El esfuerzo a la torsión en el punto = se determina a partir de2 τ 1= K w 2

8 DF 

πd

3

( 13.24 a)

Donde  K w 2=

 4 C 2−1 4 C 2− 4

( 13.24 b )

[ C 2 =

2 .2

d

( 13.24 c )

?8 es el radio de dolez lateral% se!&n se oserva en la fi!ura '()8(. C 8 dee ser superior a B.

*scilaciones en los resortes de e%tensión

 #a frecuencia natural de un resorte +elicoidal de extensión con amos extremos fi$os% contra una deflexión axial% es la misma que el de un resorte +elicoidal de compresión. $  n=

2

d

π N a  D

2

√

¿  %& (13.23)

23 ' 

Resistencias del material para resortes de e%tensión 1e utilizan los mismos materiales de alamre tanto para resortes de extensión como de compresión. -l!unos de los datos de resistencia para resortes de compresión son aplicales tami6n a los resortes de extensión. #a ,ala '()'* muestra al!unas resistencias recomendadas para la fluencia estática del cuerpo de las espiras " de los extremos tanto a la tensión como a flexión. -dvierta que la resistencia a torsión del alamre es la misma que la de los resortes de compresión de las ,alas '() " '()@. #a ,ala '()' ' muestra resistencia a la fati!a recomendadas para dos materiales para varios ciclos de vida% dando datos por separado para las espiras del cuerpo " de los extremos. #os límites de resistencia a la fati!a de la ecuación '(.'8 son válidos para los resortes de extensión " deen convertirse a valores totalmente alternantes% aplicando la ecuación '(.' c para emplearlos en la expresión del factor de se!uridad de la línea de Aoodman de la ecuación '(.' 6#.

!ise7o de resortes helicoidales de e%tensión

El procedimiento de diseño de los resortes de extensión es en esencia el mismo que los resortes de compresión con la complicación adicional de los detalles de los extremos.

Deen +acerse suposiciones para tener suficientes parámetros de diseño que permitan un cálculo de pruea. #os valores supuestos se a$ustan con ase en el resultado " el diseño se +ará mediante una iteración +acia una solución aceptale.  - menudo resulta práctico en prolemas de diseño de resortes de extensión suponer un índice del resorte " un diámetro de alamre como se +izo en los resortes de compresión. El diámetro medio de espiras se determina entonces a partir de la ecuación 13.5. El índice supuesto de resorte se aplica con las ecuaciones '(.8 ' para otener un esfuerzo inicial de enrollado de la espira. Con este valor de esfuerzo inicial% se calcula la precar!a F1 de la espira a partir de la ecuación de esfuerzos '(.O. - continuación se determinan los esfuerzos en las espiras " en los esfuerzos en los extremos " efectuar los a$ustes apropiados a los valores supuestos a fin de otener el factor de se!uridad aceptale. #a deflexión o el n&mero de espiras se determinan a partir de la ecuación '(.88 manteniendo el otro o supuesto o especificado. Entonces se +alla la tasa del resorte mediante la fuerza máxima de diseño " la precar!a cominadas con la deflexión supuesta calculada mediante la ecuación '(.8*. El pandeo no es un prolema en los resortes de extensión% pero la frecuencia natural deerá compararse con la frecuencia impuesta en situaciones dinámicas.

#os factores de se!uridad se determinan a partir de las ecuaciones '(.'B " '(.' teniendo cuidado de mane$ar la resistencia de material apropiada para la torsión en las espiras " para flexión o al cortante en los extremos. Es necesario un análisis de línea Aoodman para resortes car!ados cíclicamente% mismo que está encapsulado en la ecuación '(.'. Es necesario un análisis por fati!a para los extremos así como para las espiras. -dvierta que para los esfuerzos a flexión% el límite de resistencia a la fati!a por tensión " los límites elásticos a la tensión serán necesarios. 1e aplica la razón de ;on 5ises entre la torsión " la tensión para convertir los datos disponiles de fati!a por torsión a resistencia a la tensión. Divida los datos a la tensión entre 0.5'' para otener resistencias a tensión.

13.8 R"*R&" "'-*'!A" A A &*R'/ >n resorte de espiras +elicoidales se car!a a torsión en vez de a compresión " a tensiónY entonces se conoce como un resorte de torsión. #os extremos de las espiras se extienden de manera tan!encial% para servir de razos de palanca sore los cuales aplicar la car!a del momento de fuerzas% se!&n se muestra en la 3i!ura '()8. Estos extremos de espira lle!an a tener una diversidad de formas% para adecuarse a cada aplicación. 7or lo !eneral las espiras son enrolladas de manera apretada como un resorte de extensión% pero no tienen nin!una tensión inicial. #as espiras tami6n se pueden enrollar con espaciado i!ual que un resorte de compresión " esto evitaría fricción entre espiras. 1in emar!o la ma"or parte de los resortes de torsión son enrollados de manera apretada. El momento aplicado sore las espiras coloca al alamre a flexión como una vi!a curva como se oserva en la 3i!ura '()8. El momento aplicado deerá siempre disponerse de manera que las espiras se cierren% en vez de arirlas% "a que los esfuerzos residuales provenientes del enrollado de espiras es favorale contra un momento de cierre. El momento aplicado $amás deerá ser invertido durante el servicio. #a car!a dinámica deerá ser repetida o fluctuante con una razón de esfuerzos R (0 . 7ara asorer las fuerzas de reacción dee preverse un soporte radial en tres o más puntos alrededor del diámetro de las espiras. Este soporte por lo !eneral se consi!ue mediante una varilla colocada en el interior de la espira. #a varilla no dee ser ma"or en su diámetro de más o menos F* del diámetro interior más pequeño de las espiras cuando est6n “a$o car!a”% a fin de evitar que se traen.

#as especificaciones de faricación de un resorte de torsión deen definir los parámetros que se indican en la 3i!ura '()8 así como el diámetro del alamre% el diámetro exterior de la espira% el n&mero de espiras " el índice del resorte. #a car!a deer á definirse en un án!ulo a entre los extremos tan!entes en la posición car!ada en vez de como una deflexión a partir de la posición lire. Dado que la car!a es a flexión% el alamre rectan!ular es más eficiente en t6rminos de ri!idez por volumen unitario un I más elevado para las mismas dimensiones/. 1in emar!o% la ma"or parte de los resortes de torsión +elicoidales se farican con alamre redondo% en razón de su menor costo " de la ma"or variedad de tamaños " material es disponiles.

&erminolog9a para los resortes de torsión #os si!uientes parámetros tienen el mismo si!nificado para los resortes de torsión

que para los resortes +elicoidales de compresión2 diámetro medio de la espira D, diámetro del alamre d, índice del resorte C, diámetro exterior D0 , diámetro interior  D1 " n&mero de espiras activas N a. #a tasa de resorte k se expresa como un momento por unidad de deflexión an!ular.

/:mero de espiras en los resortes de torsión

#as espiras activas son i!uales al n&mero de vueltas en el cuerpo N # además de al!una contriución correspondiente de las extremidades% que tami6n se flexiona. En el caso de extremos rectos% la contriución se expresa como un n&mero equivalente de espiras N e)  N # =

 /1 + /2 3 πD

( 13.26 a )

Donde #' " #8 son las lon!itudes respectivas de los extremos tan!entes de la espira. E numero de espiras activas es entonces  N a= N b+ N # ( 13.26 b )

Donde L es el n&mero de espiras en el cuerpo del resorte.

!e$le%ión de los resortes de torsión #a deflexión an!ular en el extremo de la espira se suele expresar en radianes% pero a menudo se convierte a revoluciones. >tilizaremos revoluciones. Dado que se trata de una vi!a a flexión% la deflexión an!ular/ se expresa de la forma 2r#3 =

1  + / w  2 rad = ( 13.27 a ) 2 π  2 π   45  1

donde * es el momento aplicado% +w  es la lon!itud de alamre%  es el módulo de [oun! para el material% e I es el se!undo momento de área de la sección transversal del alamre con relación al e$e neutro. 7ara resortes de torsión de alamre redondo% podemos reemplazar la !eometría apropiada a fin de otener  + /w  ( πD N a ) 64  +D N a 1  +  ( 2r#3 = = = ( 13.27 b ) 4  45  2 π   4 ( πd 4 / 64 ) 2 π  d  4

2r#3 ≅ 10.2

 +D N a 4

d  4

El factor '*.8 por lo !eneral se aumenta +asta '*.O para tomar en consideración la fricción entre espiras% con ase en la experiencia% convirti6ndose en la ecuación

2r#3 ≅ 10.8

 +D +DN a 4

d  4

(13.27 c )

&asa de resorte de los resortes de torsión #a tasa de resorte se podrá siempre otener a partir de la formula de deflexión. 2

+  d  4 k = (13.28) ≅ 2 r#3 10.8 D N a

-ierre de espiras Cuando el resorte de torsión se car!a para cerrar las espiras% el diámetro de la espira se reduce " su lon!itud se incrementa al “darle cuerda” a la espira. El diámetro interior mínimo de la espira a deflexión completa es  D*m*n=

D N b  N b + 2r#3

−d (13.29 )

donde D es el diámetro medio de la espira sin car!ar. Cualquier espira sore la cual funcione la espira deerá estar limitada a F* de este diámetro interior mínimo. #a lon!itud máxima del cuerpo de espiras a “plena car!a” es2  /max =d ( N b+ 1+ 2 ) ( 13.30 )

"s$uerzos en las espiras de los resortes de torsión #os esfuerzos en la fira exterior de una vi!a recta son * cKI, pero como se trata de una vi!a curva% " aprendimos en la sección B.'* que los esfuerzos se concentran en el interior de una vi!a curva. Pa+7(' dedu$o el factor de concentración de esfuerzos para el interior de un alamre redondo enrollado a flexión de la forma 2

 K b* =

4 C  −C −1 4 C ( C −1)

( 13.31 a)

[ en la parte exterior de la espira 2

 K bo=

+ C −1  ( 13.31 b ) 4 C ( C + 1)

4 C 

Donde C es el índice del resorte. El esfuerzo máximo a flexión por compresión el diámetro interior de la espira de un resorte +elicoidal de torsión de alamre redondo es entonces

0 *max = K b*

 + max c = K b*  5 

 + max

( )=

πd

d 2

4

 K b*

32 + max

πd

3

( 13.32 a)

64

[ los componentes de esfuerzo a flexión por tensión en el diámetro de la espira son 0 0 m*n = K b 0

0 0 m#d*o =

32 + m*n

πd

3

;0 0 max = K b 0

0 0 max + 0 0 m*n 2

; 0 0 alt =

32 + max

πd

3

0 0 max + 0 0 m*n 2

( 13.32 b )

( 13.32 c )

 -dvierta que para la falla estática fluencia/ de un resorte de torsión car!ado para que sus espiras se cierren% lo que tiene ma"or importancia es el esfuerzo a la compresión de ma!nitud más elevada  ma ! en el interior de la espi!a% pero en el caso de la falla por fati!a% es un fenómeno de esfuerzo a la tensión% la preocupación corresponde al esfuerzo máximo a la tensión li!eramente inferior de la parte exterior de las espiras. 7or lo tanto los componentes alternante " medio de esfuerzos se calculan en la parte exterior de la espira. 1i el resorte +a sido car!ado para arir las espiras lo que no es recomendado/% deerá ser lierado de esfuerzos a fin de eliminar los esfuerzos residuales deidos al enrollado " entonces deerá recurrirse al esfuerzo interior de la espira para calcular los componentes para el cálculo del factor de se!uridad a la fati!a.

)ar;metros del material para resortes de torsión En este caso% lo que se necesita% son límites elásticos " límites de resistencia a la fati!a por flexión. #a ,ala '()'( muestra límites elásticos su!eridos para varios materiales para alamre como un porcenta$e de su resistencia máxima a la tensión. -dvierta que esfuerzos residuales favorales permiten que se utilice la resistencia máxima del material como un criterio de fluencia en al!unos casos. #a ,ala '()'B muestra porcenta$es de flexión% fati!a% resistencia para varios alamres a '* " '* ciclos tanto !ranallados como no !ranallados. #as mismas limitaciones sore un !ranallado eficaz son aplicales a los resortes de torsión enrollados mu" de manera mu" apretada que se aplica a los resortes de extensión% "a que las espiras apretadas impiden que la !ranalla impacte el diámetro interior de la espira. El !ranallado pudiera no ser efectivo en muc+os resortes de torsión. #os datos de límite de resistencia a la fati!a por torsión de resortes +elicoidales de compresión mostrados en la ecuación '(.'8 pueden adaptarse para flexión% de acuerdo con la razón de ;on 5ises entre car!as de torsión " de tensión. S #wb ≅

S #w 0.577

(13.33 a)

\ue da 45

S #wb ≅

0.577

S #wb ≅

  67.5 0.577

=78 k)s* ( 537 +,a ) )ara r#sort#s sin !ranallar

=117 k)s* ( 806 +,a)  )arar#sort#s !ranallados (13.33 b )

0actores de seguridad para resortes de torsión 1e espera la falla por fluencia en la superficie interior de la espira% " el factor de se!uridad se determina a partir de  N  y =

S y 0 *

( 13.34 a )

max

 -dvierta que los datos disponiles de fati!a " de resistencia a la fati!a son para una situación de esfuerzo repetido i!uales componentes medio " alternante/ " por  lo tanto deerán ser convertidos a valores totalmente alternantes% antes de calcular el factor de se!uridad a la fati!a mediante las ecuaciones '(.'. Dado que la notación a flexión es un tanto distinta% repetiremos las ecuaciones '(.' aquí con las sustituciones apropiad as de variales para el caso del resorte de torsión.  N $b=

S # ( S ut −0 om*n ) S # ( 0 0 m#d*o − 0 om*n ) + Sut  0 0 alt 

( 13.34 b )

S # =0.707

S #wb Sut  S ut −0.707 S #wb

(13.34 c )

!ise7o de los resortes helicoidales de torsión El proceso para el diseño de los resortes +elicoidales de torsión es mu" similar al correspondiente a los resortes +elicoidales de compresión. #a me$or manera para ilustrarlo es mediante un e$emplo.

'(.F ?9#D-L-1 DE ?E19?,E =E##E;I##E #as arandelas o roldanas de resorte =elleville% patentadas en 3rancia por 3. 3. =elleville en 'O@% tienen una característica fuerza)deflexión no lineal% que las +ace mu" &tiles en ciertas aplicaciones. En la 3i!ura '()8O aparece una selección de roldanas de resorte =elleville comerciales. 1u sección transversal tiene una forma cónica con un espesor de material t " una altura interior de cono /, se!&n se oserva en la 3i!ura '()8F. 1on en extremo compactas " son capaces de !randes fuerzas de empu$e% pero sus deflexiones son limitadas. 1i se colocan sore una superficie plana% su deflexión máxima es /, lo que las coloca en una situación “plana” " deerán emplearse sólo entre ' " 5 de la deflexión para lle!ar a plana.

 5ostraremos despu6s como es posile flexionarlas más allá de la posición plana para otener al!unos efectos interesantes. Estos resortes son prácticos cuando se requieren car!as elevadas% con deflexiones pequeñas en espacios compactos% como en las espi!as separadoras de troqueles para metal laminado% en los mecanismos de reote de armas de fue!o% etc6tera. En su forma de cero tasa de resorte 2fer4a constante/% sirven para car!ar emra!ues " sellos% que necesitan una car!a uniforme con una pequeña deflexión.

#a razón de D0  a Di , identificada como R d , afecta a su comportamiento. -un a R d  T 8 el resorte tiene una capacidad máxima de almacenamiento de ener!ía. Dependiendo de la razón /, la tasa de resorte puede ser en esencia lineal% incrementarse o reducirse con deflexiones crecientes% o quedar más o menos constante en un tramo de la deflexión.

#a 3i!ura '()(* muestra las curvas fuerza deflexión de roldanas =elleville con relaciones / que van desde *.B +asta 8.O. Estas curvas están normalizadas en amos e$es en relación con el estado del resorte al estar comprimido totalmente en plano. #a deflexión " fuerza cero se toma en la posición lire se!&n se oserva

en la 3i!ura '()8F. >na deflexión del '** representa la condición plana% " una fuerza del '** representa la fuerza de ese resorte en condición plana. #os valores asolutos de fuerzas " de deflexión variarán en función de la razón /, del espesor  " del material. En / T *.B% la tasa de resorte es cerca de lineal " se parece a la curva de un resorte +elicoidal. Conforme se incrementa / por encima de *.B% la tasa se +ace más alineal% " a / T '.B'B% la curva tiene una torsión de un valor casi constante% centrada alrededor de la posición plana. 1u fuerza se desvía en menos de ]'  del valor de fuerza a una deflexión de '** sore el ran!o del O* al '8* de deflexión a piano " está dentro de un ]'* sore del  al 'B de deflexión a plano% se!&n se oserva en la 3i!ura '()('.  - relaciones / por encima de '.B'B% la curva se convierte en imodal. >na fuerza aplicada dada corresponde a más de una posile deflexión. 1i se monta este tipo de resortes para permitir que va"a más allá de la condición plana% se!&n se oserva en la 3i!ura '()(8% será iestale% requiriendo una fuerza en cualquiera de las direcciones para +acerlo disparar más allá del centro. #a t6cnica de monta$e que se muestra en la 3i!ura '()(8 tami6n resulta &til para resortes de relaciones / menores% "a que permite dos veces la deflexión potencial " lle!a a aarcar la totalidad de la sección de fuerza constante de un resorte de razón / '.B'B.

0unción carga de$le%ión de las roldanas Belleville #a relación car!a)deflexión no es lineal% por lo que no podemos enunciarla como una tasa de resorte. 1e calcula a partir de

[

( ) ]

 y 4 4y 3  F = ( 6 −  y ) 6 − t  + t  ( 13.35 a) 2 2 2 ( )  K 1 D0 1−3

Donde  K 1=

6

π  ln . d

[

( .d −1 )  .d

2

2

]

 D0

−1  y . d =

 D*

(13.35 b )

#a car!a en la posición plana "T+/ es 3

4 4 6t 

 F  )lana =  (13.35 c ) 2 2 ( )  K 1 D0 1 −3

#as curvas en la fi!ura '()(* fueron !eneradas mediante estas ecuaciones.

"s$uerzos en la roldana Belleville

#os esfuerzos no están distriuidos de manera uniforme en la roldana% sino que están concentrados en los ordes de los diámetros interior " exterior% se!&n se oserva en la 3i!ura '()((. El esfuerzo más !rande ^ c ocurre en el radio inferior del lado convexo " es a la compresión. #os ordes del lado cóncavo tienen esfuerzos a la tensión% siendo el esfuerzo del orde exterior ^ t* por lo !eneral más elevado que el esfuerzo del orde interior ^ ti. #as expresiones para los esfuerzos en las posiciones definidas en la 3i!ura '()(( son 0 c =

[ ( ) ]

−4 4y  y  K  6− + K  t  ( 13.36 a ) 2  K   D ( 1 −3 ) 2

1

0 t* =

2

2

0

4  4y

 K 1 D0

0 t  0 =

2

( 1− 3 ) 2

4 4y

 K 1 D 0

2

( 1− 3

2

3

[ ( ) + ]( − K  6 −

 y

2

 K 3 t 

2

) + ]( )[ (  K 4 6 −

 y

 K 5 t 

2

13.36 b )

13.36 c )

Donde 6

 K 2=

π  ln . d

6

 K 3=

π ln . d

[

 K 4 =

 K 5=

[

 .d −1

[

 .d −1

ln . d

2

]

−1  y . d=

](

ln . d

(

2  . d −1

)

 D*

(13.36 d )

13.36 # )

 . d ln . d −( .d −1 )

.d

 D0

][ (

.d 2

 .d −1 )

]

(13.36 $  )

( 13.36 ! )

-arga est;tica de roldanas Belleville

El esfuerzo a la compresión ^c por lo !eneral es el que controla el diseño en car!as estáticas% pero dado que el esfuerzo está mu" concentrado en los ordes% ocurrirá fluencia local para su alivio " el esfuerzo en todo el resorte será menor. Dado que el ^ c local es más elevado que el esfuerzo promedio% se puede comparar con un valor de resistencia superior a la resistencia máxima a la compresión S7 . Dado que para los resortes suelen utilizarse materiales uniformes% 1uc T 1ut. #a ,ala 13-15 muestra al!unos porcenta$es recomendados de 1 ut% para comparación con a% en car!a estática. ?econozca que en !eneral el material no resiste estos niveles de esfuerzo. 1on sólo una manera de predecir la falla en ase del esfuerzo localizado ^c. El asentamiento la eliminación del asentamiento/ se aplica para introducir esfuerzos residuales favorales% " el esfuerzo permisile se incrementa de manera sustancial% se!&n se aprecia en la ,ala '()'.

-arga din;mica 1i el resorte está car!ado dinámicamente% los esfuerzos máximo " mínimo a la tensión ^ti " ^t*% en los extremos de su ran!o de deflexión deerán calcularse a partir de las ecuaciones '(.( " determinarse a partir de esto los componentes alternante " medio. - continuación se lleva a cao un a nálisis del dia!rama Aoodman " se determina el factor de se!uridad a partir de la ecuación '(.(Ba. 1e determina el límite de resistencia a la fati!a del material se!&n los m6todos del Capítulo . 1e puede aplicar el !ranallado para incrementar la vida a la fati!a.

Resortes apilados #a deflexión máxima de un resorte =elleville tiene tendencia a ser pequeño. - fin de otener más deflexión% se apilan en serie se!&n se muestra en la 3i!ura ' 335#. #a fuerza total será la misma que para un solo resorte% pero se a!re!arán o sumarán las deflexiones. ,ami6n se pueden apilar en paralelo% como se muestra en la 3i!ura 13-35a, en cu"o caso la deflexión total será la misma que en un solo resorte% pero se sumarán las fuerzas. ,ami6n son posiles cominaciones en serie " paralelo. 9serve sin emar!o% que las pilas serie o serie)paralelo son in+erentemente inestales% " deen ser !uiadas sore una espi!a o en una perforación% en cu"o caso% la fricción reducirá la car!a permisile. #a fricción entre +o$as tami6n suele ser importante en pilas en paralelo.

!ise7o de los resortes Belleville El diseño de los resortes =elleville requiere de iteración. Deerán esco!erse valores de pruea de la relación de diámetros R d  " de la razón /. El tipo de la curva de deflexión fuerza deseada su!erirá una razón apropiada / v6ase la 3i!ura '()(*/. 1i se especif ica una fuerza o un ran!o de fuerzas% la deflexión asociada se calcula a partir de las ecuaciones 13.35 una vez que se supon!an un diámetro exterior " un espesor. Es posile estimar el espesor requerido para tener una fuerza específica en la posición plana a partir de 13.37 us

√

2

 F  )lano  D 0 t =  ¿ 132.4 6 / t  4