Carga Axial

Mecánica de Materiales

epartamento e ngen er a

v y m enta

Profesor: Juan F. F. Correal Correal Cor real Daza, Daza, Ph.D., Ph.D., Ph. D., P.E. .E.

Mecánica de Materiales CONTENIDO Prin Princi ci io de de Sai Saint nt Ven enan antt Deformaciones bajo carga axial Esfuerzos térmicos s emas no nea es es

camen e n e erm na os

Deformaciones y esfuerzos residuales







Principio Principio de Saint Venant Venant Principio Principi Prin cipioo de Saint Saint Venant Venantt (Fra Venan (Francia ncia---1885) 188 1885) 5)

b/2

b 

=

b

P

 prom 2.575  prom

1.387  prom

 prom .

prom

Concentración de esfuerzos axiales – – Ejemplos Ejemplos Para la platina con hueco de la figura, Cual es la máxima carga permisible de tensión Pmax si el máximo esfuerzo de t

Aplicando la definición de esfuerzo máximo:

Debido a que t , b y t son constantes:

Concentración de esfuerzos axiales – – Ejemplos Ejemplos

Se observa que P* decrece cuando d/b aumenta: Max. P ocurre cuando el hueco es más pequeño

Mecánica de Materiales CONTENIDO Princi io de Saint Venant Deformaciones bajo carga axial Esfuerzos térmicos s emas no nea es es



Deformaciones bajo carga axial Se tiene que x

P(x)

 = A(x)

 =  = E  

,

x A( x x)

d   dx

=

P(x)

= E

d  

Resolviendo para ,



P ( x x)

d   

P(x)dx E A(x) E L

0

A(x)E

Deformación ara elementos sometidos a carga axial

Deformaciones bajo carga axial 



L

0

P(x)dx E A x E

Deformación para elementos sometidos a carga axial

Sistema de sección y carga constante  L

PL AE



Ai L Li

P P i Li

 i

L



i

i

Deformaciones bajo carga axial Rigidez y flexibilidad de un elemento estructural P L



PL AE



P = K  P L



K= P/ δ  K=

Por lo tanto, K = AE/L Rigidez ) ( Rigidez

Deformaciones bajo carga axial – – Ejemplos Ejemplos Una columna hueca de acero = , s con una longitud L = 8.0 ft. y un diámetro d = 7.5 in, está sujeta a compresión con una carga P = 85 kips kips.. Si el psi y el acortamiento permisible es 0.02 in. ¿ Cual es e m n mo espesor e pared de la columna, tmin?

Deformaciones bajo carga axial – – Ejemplos Ejemplos P = 85 kips E = 30,000 psi L = 8.0 ft = . n allow= 7,000 psi allow = 0.02 in El área requerida basada en el esfuerzo permisible es: P

85k

A



PL

σ allow

A 

PL E allow

7,000psi



.

(85k)(96in ) 30,000ksi 0.02in

n

2

 13.60in2

Deformaciones bajo carga axial – – Ejemplos Ejemplos El acortamiento gobierna: Amin = 13.60 in2 El espesor mínimo es: A



2

(d

4A  d2

 2

 (d  2t)2 )

 (d  2t)2

 4A 

d  2t 

 2

d

2

 4A 

2

tmin 

tmin 

7.5in 2

   min 2   2 

2

2 7.5in  13.60in      2  

2

 d   A t   2  2   d

Sustituyendo los valores para t min:

tmin 0.63 in

Deformaciones bajo carga axial – – Ejemplos Ejemplos w = 0.5 KN/m2

2.4 m

Calcule el desplazamiento

(0.25 x 0.25) w = 1 KN/m2

0.3 m

2.7 m

0.30 x 0.30 w = 1 KN/m2

0.3 m

3m

(0.35 x 0.35)

cubierta. Suponga que el área aferente de cada columna es de 25 m y que Ec = 20 GPa.

Deformaciones bajo carga axial – – Ejemplos Ejemplos P1 = 12.5 KN 2.7 m

(0.25 x 0.25)

Las cargas por piso son: P1 = (0.5)(25) = 12.5 KN P2 = (1)(25) = 25 KN P3 = (1)(25) = 25 KN

= 2.7 m

.

El área de cada sección de la columna es: A1 = (0.25)(0.25) = 0.063 m2 A2 = (0.30)(0.30) = 0.09 m2 A3 = (0.35)(0.35) = 0.123 m2

.

P3 = 25 KN

Si el módulo de elásticidad del concreto es 20 Gpa, la deformación de la cubierta será:

C=(2.7/EC)[(12.5/0.063)+(37.5/0.09)+(62.5/0.123)] 2.7 m

.

.

Entonces

C = 1.516 x10-7 m 

Deformaciones bajo carga axial – – Ejemplos Ejemplos 90 KN A

F

Cuál es el desplazamiento vertical de la vi a rí ida AFB en el punto F de aplicación de la carga?

B

300 mm C

D mm 20 mm

E = 200 GPa

mm 40 mm E = 70 GPa

Deformaciones bajo carga axial – – Ejemplos Ejemplos 90 KN Desplazamiento vertical de cada columna: 60 KN

30 KN

AC = PL/AE = ((60000*0.3)/(0.012*200x109) AC = -286x10-6 m = 0.286 mm

60 KN

30 KN

BD = ((-30000*0.3)/(0.02 *70x10 ) BD= -102x10-6 m = 0.102 mm

A

B

C

D

Deformaciones bajo carga axial – – Ejemplos Ejemplos 90 KN

AC

F

esp azam en o ver ca e punto de aplicación de la carga (F):

F = BD + (AC- BD)400/600 = 0.102 + 0.184/600 *400 F = 0.225 mm

BD AC-BD

Deformaciones bajo carga axial – – Ejemplos Ejemplos Cuál es el desplazamiento vertical de los untos A B ? 0.5 m

1

0.5 m

2

0.8 m

0.5 m

3

A

26 KN A = 160 mm2 A2 = 100 mm2 A3 = 200 mm2 E = 170 GPa

10 KN

Deformaciones bajo carga axial – – Ejemplos Ejemplos 1

0.5 m

0.5 m

0.5 m

26 KN

26 KN

26 KN

2

A1 = 160 mm2 A2 = 100 mm2 A3 = 200 mm2 =

a

10 KN

0.8 m

Deformaciones bajo carga axial – – Ejemplos Ejemplos 16 KN

T =  PiLi/(AiEi)

1

T = 1/170x109*[(16000*0.5)/0.00016 -(10000*0.8)/0.0001]

0.5 m 26 KN

T = -1.76x10- m = 0.176 mm 0.8 m 10 KN

B

10 KN = mm A2 = 100 mm2 E = 170 GPa 1




Análisis de sistemas indeterminados Método de la flexibilidad

a

El método de la flexibidad considera las fuerzas como desconocidas desconocidas,, no los desplazamientos. Procedimiento:

L b

1.Seleccionar como redundante una de las 1.Seleccionar reacciones desconocidas. 2.Liberar 2. Liberar la estructura (retirar el soporte) 3.Solucionar 3. Solucionar los dos problemas en forma n epen en e. 4.Evaluar 4. Evaluar los desplazamientos de forma separada y luego utilizar compatibilidad de deformaciones y .


A

a

L

=


P = a

R AE

A

AR = AE

a

b

b

B

B B

Como A = 0 Entonces P = AR AE

=

A

AE

 R A=

L

Entonces: FY = 0

R R B = P(1P(1-

L

)

Análisis de sistemas indeterminados Método de la Rigidez El método de la rigidez considera los desplazamientos como desconocidos desconocidos,, no las fuerzas a Procedimiento: L b

1.Seleccionar un desplazamiento conveniente como 1.Seleccionar cantidad desconocida. 2.Relacionar 2. Relacionar las fuerzas mediante una ecuación de equilibrio . epresen ar as uerzas en rm nos e os desplazamientos. 4.Se 4. Se resuelve el sistema para el desplazamiento . 5.Determinar 5. Determinar las fuerzas a partir de los desplazamientos.

Análisis de sistemas indeterminados Método de la Rigidez C

A

R Aa AE R A = C AE a R b AE C = B R B = C AE b A B= AE AE C + C = P

C =

a C

P

b

C = Pab AEL B

R A =

Pb L

R B =

Pa L

Análisis de sistemas indeterminados - Modelos Modelos Sistemas en serie La falla del sistema se resenta cuando cual uiera de los componentes falla i

j

E em lo 1 Q

Q

Análisis de sistemas indeterminados - Modelos Modelos Sistema paralelo - activo El sistema falla cuando los dos componentes fallan Ai Aj

Ejemplo 1

Ejemplo 2 Q1

Q

Q2

Ejemplos Análisis de sistemas indeterminados - Ejemplos

Datos:: Datos

en los cables b Encuentre el des lazamiento en el punto de aplicación de la carga


Diagrama de cuerpo libre libre:: cuac n e equ

ro

Diagrama de desplazamiento (Deformada) (Deformada):: Ecuaciones de com atibilidad


Ecuaciones de fuerza fuerza--desplazamiento

us uyen o qs. y en :

Resolviendo simultáneamente Eqs. 1 y 5:

Ejemplos Análisis de sistemas indeterminados - Ejemplos Esfuerzo en los cables:

Análisis de sistemas indeterminados - Ejemplos Ejemplos Dados:

AA = AB = AC = 200 mm2 E = 200 KN/m2

A

B

C

30 KN 5m

2.5 m

2.5 m

1.2 m

Calcular la tensión en cada .

Análisis de sistemas indeterminados - Ejemplos Ejemplos Equilibrio de fuerzas en Y:

FY = TA+TB+TC = 30 KN (1) Compatibilidad de deformaciones:

A

B

C

1.2 m

B- A

C- A

2 (B-A) = (C-A) 2 B – A- C = 0 - - = Equilibrio de momentos en A:

M = 5TB+10TC-30(7.5) = 0 (3)

30 KN 5m

2.5 m

2.5 m

Resolviendo: TA = 2.5 KN TB = 10 KN TC = 17.5 KN




Ejemplos Efectos térmicos - Ejemplos

Junta de dilatación

Datos:: Datos

L = 200 m

Atrans-puente = 7 m2 E = 19.16 GPa

concreto = 11x10-6/ºC es r o =

m

a) Cual debe ser el tamaño de la junta de dilatación del puente si el cambio de temperatura durante el peor día registrado es de +40 oC? b) Si la junta de dilatación se construyó de 4cm a cada lado y el esfuerzo cortante permisible en el estribo es de 0.27 Mpa, cuál es el factor de seguridad del estribo?


La deformación axial debida a la temperatura es: T

-

.

.

.

La junta de dilatación debe ser:  T / 2= cm.=> USE junta de contracción de por lo menos 5 cm


4cm

4cm F

Estado original

Estado deformado

 temp- original = 4.4cm – 4cm = 0.4cm f deformación que debe ser contrarrestada por F

Ejemplos Efectos térmicos - Ejemplos Aplicando compatibilidad de deformaciones:

 f – (FL)/(Atrans_puenteE) = 0 => debido a la presencia del estribo uego: 0.004m – (F 100m)/(7m2*19.16GPa) = 0 => F = 536480 N



= F/A

= 0.536 MN /12 m2

 prom = 0.0447 MPa F.S = 

 prom

/

F.S =  /0.045 = 6.04

A estribo = 12 m2




Sistemas no lineales estáticamente indeterminados Corte AA-A

P

. m .

L

4  2 cm A=

A

A

Dibuje el diagrama carga vs. deformación unitaria para la columna mostrada con L=2.5m. Suponga adherencia perfecta entre el concreto y el acero. , de pandeo.

g mm EC = 1300 Kgf/mm2 Y = 23.2 Kgf/mm2 2 ’ = .

Sistemas no lineales estáticamente indeterminados P

Área del acero y del concreto:

0.3 m

AA = 4*d2/4 = 4*22/4 = 12.57 cm2 AC = (30)(30) –12.57 – 12.57 = 887.43 cm2 Equilibrio en Y

0.3 m Y

=

C

A=

Compatibilidad de deformaciones:

4  2 cm (#6)

A = C  PA/(AAEA) = PC/(ACEC)  PC = 4.5 PA

Sistemas no lineales estáticamente indeterminados Límite de deformación elástica para el acero y e concreto:

 Acero

Concreto

(A)Y = 23.2/20400 = 1.14x10-3 . A Y A Y (C)Y = 2.8/1300 = 2.15x10-3 = = > Entonces:

A)Y C)Y

 (P ) = ( ) A = 23.2 * 1257 = 29153 Kgf A Y A Y A

Sistemas no lineales estáticamente indeterminados P 248.5 + 29.2 = 277.7 Ton f 131.5 + 29.2 = 160.7 Ton f

A)Y

C)Y



Cuando el acero fluye: (PA)Y = 29153 Kgf (A)Y = 1.14x10-3

 (C)(Yacero) = (1.14x10 (1.14x10-3)(1300) = 1.482 Kgf/mm2  (PC) (Yacero) = (1.482)(88743) = 131518 Kgf

Sistemas no lineales estáticamente indeterminados

A

B

L

P

C

área y el mismo límite de fluencia, Y, dibuje el diagrama fuerzafuerzadesplazamiento para el sistema mostrado

Sistemas no lineales estáticamente indeterminados Haciendo equilibrio en el punto de aplicación de la carga,

Fy = 0  TB + 2TAcos  = P A

B

L

C

El análisis de com atibilidad en el unto de aplicación de la carga muestra que: A B C

 P

2 2 = 1 cos 



2

1

Sistemas no lineales estáticamente indeterminados Ba o el su uesto de ue las deformaciones son pequeñas, 2 = 1 cos  se puede escribir como: A

B

L

C

TA[L/cos ]/AE = (TBL/AE) cos 

TA= TBcos2 Por lo tanto: B

P

TA = (P/[1+2cos3])cos2

Sistemas no lineales estáticamente indeterminados La fuerza máxima ocurre en la barra vertical B . En la fluencia: TBY = YA A

B

L

C

Por lo tanto el desplazamiento será:

1 = YL/E

(Punto 1)

Reemplazando en TB = P/[1+2cos3]

YA = P/[1+2cos3]  P = YA [1+2cos3] P

(Punto 1)

Sistemas no lineales estáticamente indeterminados

A

B

L

C

Incrementando la fuerza P más allá de la fluencia de la barra vertical, los cables A y C a canzar n a uenc a en TAY = YA. Reemplazando en: en: TB + 2TAcos  = P se obtiene la carga límite plástica del sistema P = YA [[11 + 2cos  ]

(Punto 2)

2 = (Y/E)[L/ /E)[L/cos cos ] P

1 = 2/ cos  1 YL/(E L/(Ecos cos2

Punto 

Sistemas no lineales estáticamente indeterminados Entonces, los puntos del diagrama son:

P/(YA)

1

Punto 2 Punto 1

Y

P = YA [1+2cos3]



2

P = YA [[11 + 2cos  ]

Pp: cos  PY: cos



 cos

(Punto 1) (Punto 2)




Deformaciones y esfuerzos residuales Y  

comportamiento del material

E

 < Y  = E

Y Residual

 Recuperación

Deformaciones y esfuerzos residuales Y  

 < Y  = E

comportamiento del material

Esfuerzo Residual

Y Residual

 Recuperación e s ca

Deformaciones y esfuerzos residuales - Ejemplo Ejemplo

0.5 m

Sobre la barra indicada se aplica una carga que n uce una deformación de 10 mm. Si osteriormente se retira la car a, cual es la deformación permanente del sistema? E = 200 Gpa Y = 240 MPa

F = 10 mm

Deformaciones y esfuerzos residuales - Ejemplo Ejemplo 

F – Y

Y 0.5 m

F – Y

Y

F

Y = Y/E = 240x106/200x109 = 0.0012  =  /L = 0.01/0.5 = 0.02 > 0.0012

F = 10 mm

F – Y = T = 0.02 –– 0.0012 = 0.0188 Deformación residual: R = T * L = 0.0188(0.5) = 0.0094 m

Deformaciones y esfuerzos residuales - Ejemplo Ejemplo El puente provisional mostrado debe someterse a una sobrecarga para poder nivelarlo de forma

2m 0.006 m

P A = 2 cm2 FY = 240 MPa =

existente. Cual debe ser la deformación máxima a la que se e e some er a estructura?

Carga Axial

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