Persamaan Cauchy
– Euler
Definisi Persamaan Cauchy-Euler adalah persamaan differensial umum yang homogen dengan koefisien variable dengan bentuk persamaannya orde ke-n. Solusi Penyelesaian Persamaan Cauchy-Euler homogeny orde ke-n berbentuk :
Bentuk persamaan Cauchy – Euler berpangkat dua : ax 2 y ' ' ( x) bxy' ( x) cy( x) 0 ; x
b
Maka dapat dimisalkan p( x)
ax
r
, q( x)
0, a
0, b, c R
c ax 2
Misalkan y = w (r, x) = x Substitusi w (r, x) ke y (x) 2 L[ y ]( x) ax y ' ' ( x) bxy' ( x) cy( x) 2 r L[ w]( x) ax r (r 1) x
bxrx
r
r 1
r
2
x [ar 2
x [a(r r 1 )(r r 2 )]
cx
cx
r
r
x ax ( r r ) bxr 2 x x r 2 x [ a ( r r ) br c ] 2
x
2
r
(b a)r c]
r
Maka ada beberapa kemungkinan yang didapat Kemungkinan 1: Kedua akarnya real dan berbeda L[ y ]( x) ax 2 y ' ' ( x) bxy' ( x) cy( x) Solusi : r y1 ( x) w(r 1 , x) x , x 0 1
r 2
y 2 ( x) w(r 2 , x) x , x
0
Kemungkjnan 2 : Kedua akarnya adalah bilangan komplek i i x a x x x e ( ) ln e ln cos( ln x) ie ln sin( ln x)
x cos( ln x) ix sin( ln x)
Solusi : y1 ( x) x cos( ln x) y 2 ( x) x sin( ln x)
Kemungkinan 3 : Kedua akarnya adalah akar kembar
,-
dengan r = r 0, maka solusinya
r
Jika w (r, x) = x , maka persamaan turunan parsial adalah:
, dengan penjabaran sbb :
,- 2 3
01 | Didapat solusi
,- ,. /. /-
Contoh : Tentukan solusi umum dari
Jawab : Misalkan w (r, x) dan diketahui a = 4, b = 0, c = 1 dari persamaan di atas
Didapat r1 = dan r2 =
Jadi, solusi umumnya adalah
√ √
atau
Bentuk persamaan Cauchy – Euler berpangkat tiga :
,- ,- ,- , - 0()1 0() 1 , - Substitusi w (r, x) = x
r
, -
,- { }
01 | Didapat solusi
Latihan 8.5 r
Untuk soal 1- 10, gunakan substitusi y = x untuk mendapatkan solusi umum dengan x>0. 1.
,- , - , - Jawab : a = 1, b = 6, c = 6
Jadi, solusi umum :
2.
,- , - , - Jawab : a = 2, b = 13, c = 15
Jadi, solusi umum :
√ 3.
,- , - , - √ Jawab : a = 1, b = -1, c = 17
√ = √ = = =
,- , - , - =
Jadi, solusi umum :
4.
Jawab : a = 1, b = 2 , c = -3
√
√ √ √
Jadi, solusi umum :
√
5.
√
Jawab :
,- , - , - a = 1, b = -5, c = 13
√
√ =
Jadi, solusi umum :
6.
Jawab :
,- , - , - a = 1, b = -1, c = 4
√
√ √ (√ ) (√ ) (√ ) (√ ) ,- , - , - , - Jadi, solusi umum :
7.
Jawab : a = 1, b = 4, c = 10, d = -10
√
√ ,- , - , - , - Jadi, solusi umum :
8.
Jawab : a = 1, b = 4, c = 1
√
√ √ √ √ Jadi, solusi umum :
9.
√ √ Jawab : a = 1, b = 3, c = 5, d=-5
,- , - , - , - √
√ √ √ 4√ 5 4√ 5 =
Jadi, solusi umum :
.√ / .√ / 10.
,- , - , - , - Jawab : a = 1, b = 9, c =19, d = 8
Jadi, solusi umum :
Untuk soal 11 dan 12, gunakan substitusi dari bentuk umum dengan 11.
Jawab :
Misal misalkan
dx = dz , 2
2
d x=dz
,- , - , - . / maka
a = 2, b = 5, c = -2
untuk mendapatkan solusi
Jadi, solusi umum :
12.
Jawab : misalkan
dx = dz , 2
2
dx=d z
,- , - , -
maka
0
a = 4, b = 0, c = 5
√
√ √ √ √ √
Jadi, solusi umum :
Untuk soal 13 dan 14, gunakan variasi parameter untuk mendapatkan solusi umum dengan
⁄ ,- , - , - 13.
Jawab : a = 1, b = -2, c = 2
⁄ ⁄
Mencari
⁄
∫ ⁄ . / ,- , - , - Jadi, solusi umum :
14.
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ∫ ⁄
Jawab : a = 1, b = 2, c = -2
∫ ∫ . /
Mencari
Jadi, solusi umum :
Untuk soal 15 – 17, cari nilai yang berinisial. 15.
,- , - Jawab :
,- , - , - Substitusi
ke persamaan
Jadi
16.
Jawab : a = 1, b = 5, c = 4
Jadi,
17.
Jawab : a = 1, b = 6, c = 29, d = -29
,- , - , - , -
√
√ √ , , -
, , -
Eliminasi
(x5
didapat
Jadi,
18.
akar-akar persamaan dari
solusi dari persamaan 2
L[ w](t ) a(r r 0 ) e
dimana a,b,c konstan
rt
*,-+| * +| =0
,- 2 3
01 01| |
Didapat solusi
2 19. Tunjukkan l[ y ]( x) x y ' ' ' ( x) xy' ( x) y ( x)
a.
1
y1 ( x) w(1, x) x , x 1
y 2 ( x) w(1, x) x , x 1
0
0
y 3 ( x ) w(1, x ) x 0 , x
0
3 r L[w](x) = (r 1) x
b. Substitusi w (r, x) = x
r
Didapat solusi
8.5 Cauchy – Euler Equations Revisited (Optional)
TUGAS UNTUK NILAI UAS MATA KULIAH NASAB
Oleh
Deviana Putri Utami
[3115066662]
Adimas Priyo Kuncoro
[3115066686]
Dwi Syofiyanti
[3115066698]
Rizqy Ummi Hasanah
[3115066704]
PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA NR 2006 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA 2010