ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
2017
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL
“AÑO DEL BUEN SERVICIO AL CIUDADANO”
INTEGRANTES
ESPINOZA LEÓN Dany. LAVADO CRUZ Alicia. MENDOZA ESQUIVEL Christian. RODRIGUEZ LIÑAN Osni. TORRES PEREZ Luis. VÁSQUEZ CUNYA Jhean.
ECUACIÓN CAUCHY-EULER
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS
PÉREZ GONZÁLES Miguel
TEMA CURSO PROFESOR
2017 NUEVO CHIMBOTE - PERÚ Ing. Agroindustrial Agroindustrial
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INTRODUCCION
Hasta ahora hemos visto técnicas para resolver, con relativa facilidad, ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Ahora cuando en una ecuación diferencial sus coeficientes son variables es realmente complicado obtener una solución y para ello se utilizan las series de potencia. Sin embargo existe una ecuación diferencial de coeficientes variables que es posible aplicarle l as técnicas que hemos visto hasta ahora, y se llama ecuación diferencial de Cauchy-Euler. Para aprender a resolver ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler, primero realizaremos el estudio cuando las ecuaciones son homogéneas. Luego se procederá cada uno de los casos que se tiene en Cauchy
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LA ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER Se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias, senos, cosenos, funciones logarítmicas y exponenciales. Este método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes porque se debe resolver la homogénea asociada.
Ecuación de Cauchy-Euler llamada también ecuación Equidimensional tiene la forma Donde, los coeficientes an,an-1, …,a2,a1,a0, son constantes reales. La ecuación de Cauchy – Euler tiene la característica de que el grado de las potencias
() coincide con el orden k de la diferenciación, =
Son ejemplos de ecuaciones de Cauchy
MÉTODO DE SOLUCIÓN Para la solución de la ecuación diferencial de Cauchy, se supone que d icha solución tiene la forma
donde m será una variable por determinar en la cual
dependiendo de los valores que resulten viene dada la solución. Ing. Agroindustrial
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Al aplicar esta solución se deben encontrar las derivadas que aparezcan en la ecuación diferencial, realizar las respectivas sustituciones y proceder a resolver la ecuación polinómica en función de m que resulte. Un método similar al anterior se puede considerar al suponer que la solución tiene la forma
.
Veamos cómo se aplica el método para resolver una ecuación diferencial de Cauchy de tercer orden. Supongamos que queremos resolver la ecuación diferencial
Consideremos que las soluciones tienen la forma: Como la ecuación diferencial es de tercer orden, se debe determinar la tercera derivada.
Al realizar las sustituciones en la ecuación diferencial, se tiene
Realizando las multiplicaciones de términos semejantes en x, se llega
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Aplicando factor común
Como
, se tiene que
Agrupando términos semejantes
Al resolver la ecuación polinómica resultante, se pueden presentar los siguientes casos, en función de si las raíces de esta ecuación son reales y distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas conjugadas.
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CASO 1: RAÍCES REALES DISTINTAS Sean m1 y m2 las raíces reales, con m1 ≠ m2. Entonces y 1 = x m1 y y 2 = x m2 forman un conjunto fundamental de soluciones. Por consiguiente, la solución general es:
y =c 1 x m1 +c 2 x m2 RESOLVER
Sea
la solución general,
Reemplazando en la ecuación diferencial
Dividiendo por
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Luego la solución general es: 2 y=c x 1 1 +c x 2 -
2 y=c x 1 +c x 2 -
RESOLVER
Sea
la solución general,
Reemplazando en la ecuación diferencial
Dividiendo por
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Luego la solución general es:
1 1 2 y=c x + c x + c x 1 2 3 -
y=c x 1
+
-
1 2 c x + c x 2 3 -
-
CASO 2: RAÍCES REALES REPETIDAS Si las raíces son repetidas (esto es, si ml = m2), la solución general es de la forma
= +
CASO 3: Si la ecuación característica de (1) tiene las raíces complejas conjugadas, entonces m1 = α + iβ y m2 = α - iβ, donde α,β > 0 entonces la solución general:
= (( )+ ( )) EJEMPLO. RESOLVER
Sea
la solución general,
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Reemplazando en la ecuación diferencial
Dividiendo por de donde Luego la solución general es:
y = xα(C1cos(β lnx)+ Csen(β lnx)) = (( )+ ( )) y = C1cos(2 lnx)+ Csen(2 lnx) EJEMPLO. Solucionar la siguiente ecuación diferencial
Sea
la solución general,
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Reemplazando en la ecuación diferencial
Dividiendo por
Luego la solución general es: y =c 1 x 1 + c 2 x 1 lnx+ c 3 x 2 y =c 1 x 1 + c 2 x lnx
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+ c 3 x 2
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CAMBIO A COEFICIENTES CONSTANTES Hay ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables que pueden transformarse, mediante cambio de variables, en ecuaciones con coeficientes constantes. Consideramos la ecuación diferencial de Cauchy – Euler caso homogéneo, de
+ = segundo orden, es decir . + donde a0, a1, a2 son constantes reales y a0 ≠0. Verificamos que si hacemos x = et , la ecuación (3) se convierte en una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. En efecto: Suponiendo x > 0, y tomando x =et
ó
t = ln x.
= + = , obtenemos: Sustituyendo en (3): +
[ ]+ + = Es decir:
[ ]+( ) + =
(4)
ecuación
diferencial lineal con coeficientes constantes. Ing. Agroindustrial
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Finalmente, resuelta esta ecuación (4), se deshace el cambio y por sustitución se obtiene la solución del problema dado.
El caso no homogéneo
+ + =()
, requiere el uso de
variación de parámetros.
Ejercicio
Determinar la solución general de la siguiente ecuación: X²y’’ + 2xy’ + 10y = 0
Resolucion y’ = mx ͫ Primero, hacemos y= x ͫ ̅ sustituimos en la ecuación diferencial:
X² m(m-1) x ͫ ̅
²
+ 3x mx ͫ ̅
1 , y’ = m (m-1) x ͫ ̅
²y
1 + 10 x = 0 ͫ
m(m-1) x ͫ + 3m x ͫ +10 x ͫ = 0 Asi , la ecuación característica a resolver es: m(m-1) + 3m +10 = 0
m ² + 2m + 10 = 0
Por lo tanto, las soluciones son :
= −± −4(10) = −±√ 36 = -1 ±3i Ing. Agroindustrial
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Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es: y= x ̅
1
(A cos (ln 3x) + Bsen(ln 3x))
A/x cos (ln 3x) + B/x SEN (ln 3x)
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales (Cauchy-Euler) Vibraciones mecánicas. Circuito eléctrico LRC. Oscilaciones mecánicas
Supongamos que tenemos un muelle del cual colgamos un cuerpo de masa m como muestra la fi gura
Si suponemos que el cuerpo está en equilibrio, por la 2 a ley de Newton se tiene que F m = P,
(6.1)
donde F m = −k ∆y es la fuerza dada por la ley de Hooke (k es la constante del muelle que se opone a su extensión por el peso y ∆y es el alargamiento producido en el muelle). De la ecuación (6.1) obtenemos la relación de equilibrio −k ∆y = mg,
(6.2)
donde g es la constante gravitatoria terrestre. Si ahora tiramos del cuerpo hacia abajo desplazándolo de su posición de equilibrio y lo soltamos, tenemos F m − P = my ´´, (6.3) donde ahora Fm =−k(∆y + y) donde y es la separación del cuerpo de su posición de equilibrio. En ausencia de efectos de rozamiento, desarrollando la ecuación (6.3) obtenemos −k(∆y + y)−mg = my
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y teniendo en cuanta la relación de equilibrio dada por (6.2) deducimos que el movimiento del cuerpo viene dado por la ecuación diferencial my ’’ + ky = 0. Nótese como el peso no apar ece en la ecuación fin al. Esto es debido a que partimos de la condición de equilibrio y si partimos de esta condición las fuerzas
debido al peso no van a aparecer en general en todas las ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales que generemos a partir de estos sistemas dados por muelles. De los contenidos del Tema 5 vemos fácilmente que la solución de la ecuación es de la forma y (t ) = c 1 cos(ωt )+ c 2 sin(ωt ) (6.4) donde c1, c2 son dos constantes que dependen de las condiciones iniciales de la posición y la velocidad y ω = recibe el nombre de periodo. Haciendo el paso
k/m
a coordenadas porlares c1 = Acosφ y c2 = Asinφ, la ecuación (6.4) se escribe
como y (t ) = A cos φ cos(ωt )+ A sin φ sin(ωt ) = A sin(ωt + φ),
donde A recibe el nombre de amplitud y φ el de fase o argumento inicial . El movimiento descrito por estas ecuaciones se llama movimiento oscilatorio simple, y como puede observarse es periódico de periodo ω. Por ejemplo, si ω = 2π y las condiciones iniciales son y (0) = 1 e y´ (0) = 0, entonces la única solución del problema de condiciones iniciales es y (t ) = cos(2πt ) que como sabemos tiene la gráfica
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Supongamos a continuación suponemos que el cuerpo se encuentra sometido a una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad del móvil (F r = cy´ , c > 0). Por ejemplo, si el muelle y el cuerpo se encuentran sumergidos en algún tipo de líquido. Ahora la ley de Newton nos proporciona F m − P − F r = my´´, de donde procediendo como en el caso anterior vemos que el movimiento del cuerpo vendrá descrito por la ecuación. My ´´+ cy ´ + ky = 0 En este caso obtenemos las raíces
Distinguiéndose la siguiente casuística. Si c2 −4mk > 0, las soluciones serían de la forma y (t ) = c 1eα1t + c 2eα2y si α1 6= α2, caso llamado sobreamortiguado. Por ejemplo, si k = 2 = m y c =5 con las condiciones iniciales y (0) = 1 e y´ (0) = 0 la solución es
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cuya gráfica aproximada es
Si c2 −4mk =0, las soluciones son de la forma y (t ) = (c 1 + c 2t )eαy
en el caso llamado críticamente amortiguado correspondiente a la situación α1 = α2 = α = −c/ 2m. En el caso particular en que c = 4, m = k = 2, con las condiciones iniciales y (0) = 1 e y´ (0) = 0 tenemos que la única solución es y (t ) = (1 + t )e−t , cuya gráfica es
Por último, si c 2 −4mk < 0, tendremos las raíces complejas conjugadas –c/2m
4. La ecuación del movimiento ahora es de la forma
±iω, donde ω=
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ct
ct
y (t ) = e− 2m[c 1 cos(ωt )+ c 2 sin(ωt )] = e− 2m A sin(ωt + φ).
Este movimiento se va amortiguando debido a que la amplitud va decreciendo a cero cuando el tiempo se hace cada vez más grande y recibe el nombre de movimiento subamortiguado. Por ejemplo, para el caso m = 1, c = 4, y k = 1 y condiciones iniciales y (0) = 1 e y´ (0) = 0 la única solución es
cuya gráfica aproximada es:
Si ahora además suponemos la presencia de una fuerza externa al sistema F (t ) actuando sobre nuestra masa puntual, el movimiento vendrá descrito por la ecuación diferencial no homogénea My ´´+cy ´+ky =F (t ). Ing. Agroindustrial
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∈
Normalmente la fuerza será de la forma F (t ) = a sin(Ωt + ψ), donde a, Ω, ψ R, teniéndose entonces las vibraciones forzadas. Estudiaremos en las prácticas con Mathematica cómo son algunos tipos de vibraciones forzadas. Veremos que cuando Ω = ω la amplitud de la vibración es máxima, dando lugar al fenómeno conocido como resonancia, de gran importancia desde el punto de vista técnico, ya que por e jemplo es un soporte teórico para la amplicación en la radio. Pondremos de manifiesto en las prácticas también el caso conocido como casi —resonancia, para valores de Ω próximos a ω.
Circuito eléctrico Consideremos un circuito eléctrico que lleve en serie una bobina de inductancia L, una resistencia R, un condensador de capacidad C y que es alimentado por una f.e.m. V (t), según muestra la siguiente figura.
Suponiendo que L, R y C son constantes, mediante física elemental se sabe que el voltaje generado V (t) se consume en todos los elementos del circuito, es decir,
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donde VC, VR y VL representan la diferencia de potencial entre el condensador, la resitencia y la bobina respectivamente. Sabiendo que
donde q(t) es la carga en cada instante de tiempo,
obtenemos la ecuación lineal de orden dos
Teniendo en cuenta que la intensidad i(t) se define como la derivada de la c arga
q(t) obtenemos la ecuación en términos de la intensidad
Como puede apreciarse, las ecuaciones (6.6) y (6.7) son idénticas a la ecuación (6.5) que proviene de la vibración de un muelle. Así, cabe el mismo análisis par a circuitos que hicimos en el apartado anterior.
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