Universidad de Oriente Núcleo de Monagas Departamento de Cursos Básicos Mecánica Vectorial para Ingenieros
Profesor:
Bachilleres:
Fernando Cañizales
Luisa Pereira C.I.: 20.902.253 Gabriela Sosa C.I.: 17.464.746
Maturín, diciembre de 2014.
CENTROIDES Y CENTRO DE GRAVEDAD
Centroide
El centroide es el centro de masa de un objeto con densidad uniforme. Para un objeto unidimensional uniforme de longitud L, el centroide es el punto medio del segmento de línea.
Para un triángulo, el centroide es el punto de intersección de sus tres medianas. El centroide de una figura geométrica es el centro de simetría. Para cualquier otro objeto de forma irregular de dos dimensiones, el centroide es el punto donde un soporte simple puede equilibrar este objeto. Por lo general, el centroide de un objeto bidimensional o tridimensional se encuentra utilizando integrales dobles o triples.
Centro de Gravedad
El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.
En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.
Diferencia entre centroide y centro de Gravedad
Diferencia entre Centroide y centro de Gravedad Centroide
Centro de Gravedad
Es un punto que define el centro geométrico El centro de gravedad es el punto del de un objeto.
espacio
donde
se
considera
que
está
aplicado el peso. El centroide de un cuerpo es el mismo aun El centro de gravedad varía de acuerdo de si el cuerpo es homogéneo (densidad acuerdo a la homogeneidad que posea el uniforme) o no.
cuerpo.
El centroide es un punto geométrico, no El centro de gravedad es el punto de depende de fuerzas de gravedad que actúen aplicación de la resultante de todas las sobre el cuerpo.
fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo.
El centroide solo depende de la forma del La localización del centro de gravedad de objeto.
un objeto dependerá de la forma de éste y de cómo este distribuida su masa.
El centroide es un concepto puramente El centro de gravedad se relaciona con las geométrico.
propiedades físicas del cuerpo.
¿Qué es un eje centroidal y qué es un eje de simetría?
Eje centroidal: es aquel eje o aquellos ejes que son paralelos a los ejes originales. Como se
muestra en la figura los eje y´ y x´ son ejes centroidales del sistema x,y original.
Eje de simetría: Se refiere a cuando una línea atraviesa una figura de tal manera que cada
lado es el espejo del otro. Si dobláramos la figura en la mitad a lo largo del Eje de Simetría, tendríamos que las dos mitades son iguales, quedarían parejas. (ver figura)
Cálculo de centroide de áreas por integración
El centroide de un área limitada por curvas analíticas (esto es, curvas definidas por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina evaluando las integrales que aparecen en las ecuaciones (5.3) de la sección 5.3:
A = ∫x dA
A. = ∫y dA
(5.3)
Si el elemento de área dA es un pequeño rectángulo de lados dx y dy, la evaluación de cada una de estas integrales requiere una integración doble con respecto a X y Y. También es necesaria una integración doble si se usan coordenadas polares para las cuales dA es un
elemento de lados dr y r dθ. Sin embargo, en la mayoría de los casos es posible determinar las coordenadas del centroide de un área con una sola integración. Esto se logra seleccionando a dA como un rectángulo o tira delgada o como un sector circular delgado; el centroide de un rectángulo delgado está localizado en su centro v el centroide de un sector delgado está localizado a una distancia de
a partir de su vértice (como en el caso de un triángulo). Entonces, las
coordenadas del centroide del área en consideración se obtienen expresando que el primer momento del área total con respecto a cada uno de los ejes coordenados es igual a la suma (o integral) de los momentos correspondientes de los elementos del área. Representando con y
̅ las coordenadas del centroide del elemento dA, se escribe: ̅
(5.9)
̅ Si el área A no se conoce aún, ésta también puede calcularse a partir de estos elementos
̅
Las coordenadas
̅ y ̅ del centroide del elemento del área el A deben expresarse
en términos de las coordenadas de un punto localizado sobre la curva que limita al área en consideración. Además, el área del elemento dA debe expresarse en términos de las coordenadas de dicho punto y de los diferenciales apropiados. Esto se ha hecho en la figura 5.12B para tres tipos comunes de elementos; la porción de círculo de la parte c debe utilizarse cuando la ecuación de la curva que limita al área esté dada en coordenadas polares. Deben sustituirse las expresiones apropiadas en las fórmulas (5.9) y debe utilizarse la
ecuación de la curva que limita al área para expresar a una de las coordenadas en términos de la otra. De esta forma, se reduce a una sola integración. Una vez que se ha determinado el área y han sido evaluadas las integrales en las ecuaciones (5.9), estas ecuaciones pueden resolverse
para las coordenadas y del centroide del área.
Cuando una línea está definida por una ecuación algebraica, puede determinarse su centroide al evaluar las integrales que aparecen en las ecuaciones (5.4) de la sección 5.3:
L = ∫ x dL
L = ∫ y dL
(5.4)
El diferencial de longitud dL debe reemplazarse por una de las siguientes expresiones,
dependiendo de cuál coordenada x, y o θ, se seleccione como la variable independiente en la
ecuación utilizada para definir la línea (estas expresiones pueden derivarse con el uso del teorema de Pitágoras):
√ √ dL = dL = √ dL = Después de que se ha utilizado la ecuación de la línea para expresar una de las coordenadas en términos de la otra, se puede llevar a cabo la integración y se pueden resolver
del centroide de la línea.
las ecuaciones (5.4) para las coordenadas y
Obtención del centroide de áreas compuestas
En muchos casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras de las formas comunes mostradas en la figura 5.8A. La abscisa X de su centro de gravedad G puede determinarse a partir de las abscisas x1, x2,. . ., xn de los centros de gravedad de las diferentes partes que constituyen la placa, expresando que el momento del peso de toda la placa con respecto al eje y es igual a la suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje. La ordenada Y del centro de gravedad de la placa se encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al x. Así, se escribe
( ) ̅ ̅ ( ) ̅ ̅ ̅
o en forma condensada,
∑ ∑̅
∑ ∑̅
(5.7)
Estas ecuaciones se pueden resolver para las coordenadas gravedad de la placa.
y
del
centro de
Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el
observando que el primer momento Q del área compuesta con respecto al eje Y puede con el área total y como la suma de los expresarse como el producto de coordenadas centroide C de su área. La abscisa coordenadas del centroide del área puede determinarse y
primeros momentos de las áreas elementales con respecto al eje y. La ordenada Y del centroide se encuentra de forma similar, considerando el primer momento Qy del área compuesta. Así, se tiene
( ) ̅ ̅ ( ) ̅ ̅ o en forma condensada,
∑
∑
(5.8)
Estas ecuaciones proporcionan los primeros momentos de área compuesta o pueden
utilizarse para obtener las coordenadas y de su centroide.
Se debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momento de cada área. Los primeros momentos de áreas, al igual que los momentos de las fuerzas, pueden ser positivos o negativos. Por ejemplo, un área cuyo centroide está localizado a la izquierda del eje y tendrá un primer momento negativo con respecto a dicho eje. Además al área de agujero se le debe asignar un signo negativo.
De manera similar, en muchos casos es posible determinar el centro de gravedad de un alambre compuesto o el centroide de una línea compuesta dividiendo al alambre o a la línea en elementos más simples.
Cargas distribuidas en vigas
El concepto del centroide de un área puede utilizarse para resolver otros problemas distintos a los relacionados con los pesos de placas planas. Por ejemplo, considérese una viga que soporta una carga distribuida; esta carga puede estar constituida por el peso de los materiales soportados directa o indirectamente por la viga o puede ser ocasionada por el viento o por una presión hidrostática. La carga distribuida puede representarse al graficar la carga w soportada por unidad de longitud; esta carga está expresada en N/m o en lb/ft. La magnitud de la fuerza ejercida sobre un elemento de viga de longitud dx es dW = w dx, y la carga total soportada por la viga es
Se observa que el producto w dx es igual en magnitud al elemento de área dA mostrado en la figura 5.17a. Por tanto, la carga W es igual en magnitud al área total A bajo la curva de carga:
∫ A Ahora se procede a determinar dónde debe aplicarse, sobre la viga, una sola carga concentrada W, de la misma magnitud W que la carga distribuida total, si se deben producir las mismas reacciones en los apoyos. Sin embargo, debe aclararse que esta carga concentrada W, la cual representa la resultante de la carga distribuida dada, es equivalente a esta última sólo cuando se considera el diagrama de cuerpo libre de toda la viga. El punto de aplicación P de la carga concentrada equivalente W se obtiene expresando que el momento de W con respecto a un punto O es igual a la suma de los momentos de las cargas elementales dW con respecto a O:
() o, como
dW = w dx = dA y W = A,
() Puesto que la integral representa el primer momento con respecto al eje w del área bajo
la curva de carga, ésta puede ser reemplazada por el producto A. Por tanto, se tiene que OP =
, donde
es la distancia desde el eje w hasta el centroide C del área A (nótese que dicho
centroide no es el centroide de la viga).
En este sentido, una carga distribuida que actúa sobre una viga puede reemplazarse por una carga concentrada, la magnitud de dicha carga es igual al área bajo la curva de carga y su línea de acción pasa a través del centroide de dicha área. Sin embargo, se debe señalar que la carga concentrada es equivalente a la carga distribuida dada sólo en lo que respecta a las fuerzas externas. Esta carga concentrada puede utilizarse para determinar reacciones pero no debe ser empleada para calcular fuerzas internas y deflexiones.
Determinación del momento de inercia de un área por integración
En la sección anterior se definió el segundo momento o momento de inercia de un área A con respecto al eje x. Definiendo de forma similar el momento de inercia Iy del área A con respecto al eje y, se escribe (figura 9.3a)
∫
∫
(9.1)
Estas integrales, conocidas como los momentos rectangulares de inercia del área A, se pueden evaluar con facilidad si se selecciona a dA como una tira delgada paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular Ix, la tira se selecciona paralela al eje x, de manera que todos los de dicha tira estén a la misma distancia y del eje x (figura 9.3b)-entonces, se obtiene el 2
momento de inercia dIx de la tira multiplicando su área dA por y . Para calcular Iy, la tira se selecciona paralela al eje y de forma que todos los puntos de dicha tira estén a la misma 2
distancia x del eje y (figura 9.3c); así, e l momento de inercia dIy de la tira puntos es x dA.
Momento polar de inercia
Una integral muy importante en los problemas relacionados con la torsión de flechas cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas es la siguiente
(9.3)
donde r es la distancia desde O hasta el área elemental dA (figura 9.6). Esta integral es el momento polar de inercia del área A con respecto Figura 9.6 al “polo” O. El momento polar de inercia de un área dada puede calcularse a partir de los momentos rectangulares de inercia Ix e l y del área, si dichas cantidades ya son conocidas. De hecho, si 2
2
2
se observa que r = x + y , se puede escribir
Demostración del teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner
Considere el momento de inercia 7 de un área A con respecto a un eje AA' (figura 9.9). Si se representa con y la distancia desde un elemento de área dA hasta AA', se escribe
Ahora, se dibuja a través del centroide C del área un eje BB' que es paralelo a AA', dicho eje es llamado eje centroidal. Representando con
y' la distancia desde el elemento dA hasta BB', se escribe
y = y ’ + d, donde d es la distancia
entre los ejes AA' y BB'. Sustituyendo por y en la integral anterior, se escribe
La primera integral representa el momento de inercia I del área con respecto al eje centroidal BB'. La segunda integral representa el primer momento del area con respecto a BB'; como el
centroide C del área está localizado sobre dicho eje, la segunda integral debe ser igual a cero. Finalmente, se observa que la última integral es igual al área total A. Por tanto, se tiene
Esta fórmula expresa que el momento de inercia 7 de un área con respecto a cualquier eje dado AA' es igual al momento de inercia 7 del área con respecto a un eje centroidal BB' que es paralelo a AA' más el producto del área A y el cuadrado de la distancia d entre los dos ejes. Este teorema se conoce como el teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner. Sustituyendo k2A por I y k2A por 7, el teorema también se puede expresar de la siguiente forma
Se puede utilizar un teorema similar para relacionar el mo mento polar de inercia J o de un área, con respecto a un punto O, con el momento polar de inercia J c, de la misma area con respecto a su centroide C. Denotando con d la distancia entre O y C, se escribe
Determinación del momento de inercia de áreas compuestas
Un área compuesta A que está constituida por varias áreas componentes A1 , A2, A3, . . . Como la integral que representa el momento de inercia de A puede subdividirse en integrales evaluadas sobre A1, A2, A3, . . ., el momento de inercia de A con respecto a un eje dado se obtiene sumando los momentos de las áreas A1, A2, A3, . . .con respecto al mismo eje. Por tanto, el momento de inercia de un área que consta de varias de las formas comunes mostradas en la figura 9.12, se puede obtener con las fórmulas proporcionadas en dicha figura. Sin embargo, antes de sumar los momentos de inercia de las áreas componentes, es posible que se
tenga que utilizar el teorema de los ejes paralelos para pasar cada momento de inercia al eje deseado. Esto se muestra en los problemas resueltos 9.4 y 9.5.
En la figura 9.13 se proporcionan las propiedades de las secciones transversales de varias formas (o perfiles) estructurales. Como se señaló en la sección 9.2, el momento de inercia de una sección de una viga con respecto a su eje neutro está relacionado con el cálculo del momento flector en esa sección de la viga. Por tanto, la determinación de los momentos de inercia es un prerrequisito para el análisis y el diseño de elementos estructurales.
