Introducción Las cerchas o armaduras son uno de los elementos estructurales estructurales que forman parte del conjunto conjunto de las estructuras de forma activa. Es por ello que para establecer los aspectos relacionados con las cerchas, a continuación se indica las propiedades de la cercha como elemento estructural sometido a tracción y compresión. Además se muestra las propiedades que rige el diseño de la cercha, así como las unidades adicionales requeridas, asimismo se indica el procedimiento para estimar las dimensiones de las secciones transversales de los componentes de la cercha. Para distinguir las propiedades de la cercha primero se establece la definición donde se indica las ventajas, comportamiento, relación relación con el cable y arco, materiales empleados para la construcción, elementos necesarios y los principales usos dados a esta unidad estructural. Posteriormente se señala algunos métodos de resolución de cerchas así como el diseño y un ejemplo de aplicación.
Propiedades de las cerchas Definición La cercha es una composición de barras rectas unidas entre sí en sus extremos para constituir una armazón rígida de forma triangular, capaz de soportar cargas en su plano, particularmente aplicadas sobre las uniones denominada nodos (véase Figura 1); en consecuencia, todos los elementos se encuentran trabajando a tracción o compresión sin la presencia de flexión y corte (Beer y Johnston, 1977; Hsieh, 1982; Olvera, 1972).
Figura 1. Esquema de cercha.
P/ 2
P/ 2 P
H
T
P
T
C
C
C
C T
H
P
P/ 2
(a)
P/ 2
(b)
P/ 2
P/ 2
(c)
Figura 2. Relación entre cable, arco y cercha. Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes, Venezuela. 2 marzo 2012
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Co portamiento El triángulo en la forma ásica de la c rcha, esta es un forma esta ble aún con niones articulladas (caso contr rio del rectá gulo que co uniones artiiculadas es i estable). La forma establ del triangul se puede imaginar si se part del análisis de un cable sometido a un carga puntual (véase Fig ra 2a), el cab le para ser estable requiere de anclajes que soporten el c rte que gene a la tensión el cable en e l apoyo. Si se invierte la form del cable se obtiene un rco que está sometido a ompresión por ser funicu lar de la for a anterior (véas Figura 2b), se puede obs rvar que las imensiones el arco son ayores a las del cable por tratarse de un di eño a compr esión en contraste al cable que es de tra cción. El arco requiere tener los apoyo fijos para resistir el empuje hacia afuera, si se sustituye el apoyo fijo por un tipo de apoyo que arantice la estabilidad e isostaticidad (un a oyo fijo y o ro con roda iento), se ne cesita coloca una barra q e resista el mpuje del arco ara obtener así la configur ación básica de la cercha ( éase Figura 2c). Las cerchas se dividen s gún su form (véase Figu a 3), aunque es casi infinito el número de formas posibles que puede tomar. Ade ás se dividen según la aplicación de las condiciones státicas de eq uilibrio en isostáticas e hiper státicas, las primeras el n mero total d e barras es b=2n-3 donde n en el número total de nodos; mientras q e en las se undas b>2n-3. Otra califi cación es se ún la forma ción, la cual puede ser simple, compuesta y compleja la cercha simple se o tiene de adicionar barra a la armadura básica triangular, la cerch a complejas se obtiene de nir dos o má s cerchas sim ples, mientra que la cercha compleja es la ue no se con sidera como inguna de las anteriores ( eer y Johnston, 1977; Hsiieh, 1982; M ore, 2000; Olver a, 1972; Salvadori y Helle , 1998).
Figura 3. Algunos tip s de cercha. No ta. De Compren sión de las Estru cturas en Arquitectura (p. 39), p or Moore, F. (2 00). México D.F., México: Mc raw-Hill Intera ericana Editores, S.A. de C.V.
Ven ajas La cercha es uno de los rincipales ti os de estructuras empleados en ingeni ría, ya que p oporciona una solución práctiica y económica debido a la ligereza d l peso y gra resistencia Beer y Johnston, 1977; Das, assimali y Sami, 1999).
Mat riales Las cerchas se pueden construir en ma era y acero.
Ele entos Una cercha está formada por los siguie ntes element s: 1. 2. 3. 4.
Los mi mbros de arr iba cordón su erior. Los mi mbros de ab jo cordón inf erior. Diagonales. Verticales montantes o pendolone dependiend del tipo de f erza.
Además, en la cercha es muy importante el medi de unión q e es median e remaches, tornillos o solda ura a una cartela colocada en la inters cción o nod (véase Figu a 4). La cart la impone u a pequeña Facultad de Arquitectur a y Diseño Univer sidad de Los An es, Venezuela. 2 marzo 2012
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restricción a la rotación por ello las barras de tracción o compresión pura en los elementos desarrollan una pequeña cantidad de flexión y corte (Beer y Johnston, 1977; Moore, 2000; Salvadori y Heller, 1963).
Figura 4. Esquemas de cartela en madera y acero. Usos Las cerchas se emplean cuando se tiene luces libres grandes como puentes, sitios públicos y estadios. Las cerchas paralelas se usan en recintos amplios (véase Figura 5), de cordones superiores curvos se comportan similar a una estructura colgante o un arco y se emplean en algunos puentes (véase Figura 6), en techos y entrepiso se emplean cerchas livianas tal como se indica en la Figura 7, donde se observa un tipo de cercha empleado para techo y entrepiso que corresponde a variaciones realizadas sobre la Warren (véase Figura 3 y 7). El rango de luces de la cercha es de 15 a 30 m para cerchas de madera y 15 a 50 m para cerchas de acero (Beer y Johnston, 1977; Engel, 2001; Nieto, 2006 y Salvadori y Heller, 1998).
Figura 5. Tipos de cerchas paralelos. Nota. De Sistemas de Estructuras, por Engel, H., 2001, Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A.
Figura 6. Tipos de cerchas para puentes. Nota. De Estructuras tipo: función, formas generales, elementos... por Nieto E., 2006. [En Red].
Figura 7. Tipo de cercha para entrepiso. Nota. De Estructuras tipo: función, formas generales, elementos... por Nieto E., 2006. [En Red].
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Resolución de las cerchas Método de los nodos El método de los nodos considera el equilibrio para determinar las fuerzas en los elementos. Como toda la cercha está en equilibrio, cada nodo también lo está. En cada nodo, las cargas y reacciones junto con las fuerzas de los elementos, forman un sistema de fuerzas concurrentes que debido a las ecuaciones de equilibrio, permiten estableces las fuerzas en los elementos. Debido a que la cercha se analiza en un plano, las ecuaciones de equilibrio solo deben satisfacer los dos ejes por ser un sistema de fuerzas concurrentes.
∑ F x = 0 ; ∑ F y = 0
(1)
La Ecuación 1 indica que el equilibrio es en dos ejes, lo que implica que al establecer el equilibrio en un nodo, solo se debe determinar las fuerzas en un máximo de dos barras; dado que la distribución de nodos y barras en una armadura simple permite encontrar un nodo en que sólo haya dos fuerzas desconocidas. Al finalizar la resolución de un nodo, las fuerzas halladas se pueden trasladar a los nodos adyacentes y tratarse como cantidades conocidas en dichos nodos. Este procedimiento puede repetirse hasta que se hallen todas las fuerzas desconocidas (Das, Kassimali y Sami, 1999). Para establecer el tipo de fuerza en la barra (tracción o compresión), según el sentido de las fuerzas obtenido por el cálculo en los nodos, la Figura 8 indica la relación entre los sentidos de las fuerzas en el nodo y en la barra.
Convenio en Nodos
Nodo
Nodo
i o n s e p r m o C
i o n c c T r a
Convenio en Barra
Figura 8. Convenio de fuerza en las barras. Método de las secciones La porción de la armadura que se escoge se obtiene trazando una sección a través de tres barras de armadura, una de las cuales es la barra deseada; dicho en otra forma, trazando una línea que divida la armadura en dos partes completamente separadas pero que no intercepte más de tres barras (Beer y Johnston, 1977; Hsieh, 1982).
Diseño de cerchas Una vez resuelta la cercha, se procede a obtener las dimensiones de los elementos, siguiendo un diseño de tracción y compresión para el material indicado.
Diseño de cerchas de acero Diseño por Tracción Ciertos miembros de la cercha esta sometidos a fuerzas axiales de tracción (por lo general el cordón inferior) y la sección transversal puede tener varias formas, ya que para cualquier material, el único factor que determina la resistencia es el área transversal.
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El diseño consiste en seleccionar un elemento con área transversal suficiente para que la carga factorizada Pu no exceda la resistencia de diseño φ tF y Areq. En general el diseño es un procedimiento directo y las secciones típicas están formadas por perfiles y perfiles combinados más placas, tal como se indican en la Figura 9 donde el más común es el ángulo doble (Galambos, Lin y Johnston, 1999; Segui, 2000).
Figura 9. Secciones típicas de cerchas. Nota. De Diseño de Estructuras de Acero con LRFD (p. 32), por Segui, W., 2000. México D.F., México: Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V.
Areq ≥ donde:
Pu
φ t F y
(2)
φ t =0,90; Pu≡ Carga axial de tracción.
r min ≥ Comprobación no obligatoria
L 300
Diseño por Compresión El procedimiento general de diseño a compresión es de tanteos, donde se supone un perfil y luego se comprueba la resistencia del perfil. Si la resistencia es muy pequeña (insegura) o demasiado grande (antieconómica), deberá hacerse otro tanteo. Un enfoque sistemático para hacer la selección de tanteo es como sigue 1. 2. 3.
Seleccionar un perfil de tanteo. Calcular F cr y øcPn para el perfil de tanteo. Revisar el perfil de tanteo con la formula de interacción (Ecuación 4), si la resistencia de diseño es muy cercana a la carga se tiene la solución
(0,7 ≤
Pu
φ c Pn
)
≤ 1 . De otra manera, se repite todo el
procedimiento (Segui, 2000).
Figura 10. Efectos de la esbeltez. Nota. De Diseño de Estructuras de Acero con LRFD (p. 87), por Segui, W., 2000. México D.F., México: Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V. Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes, Venezuela. 2 marzo 2012
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La resistencia del perfil depende de la denominada carga crítica de pandeo ( Pcr ). Esta carga separa la condición de pandeo indicada en la Figura 10a del acortamiento señalado en la Figura 10b. La carga bajo la cual ocurre el pandeo es función de la esbeltez y para miembros muy esbeltos esta carga puede ser muy pequeña. Por ello, la resistencia al pandeo de una columna disminuye con el aumento de la longitud y la relación de esbeltez (Ecuación 3) que se considera es la más grande de los dos ejes de la sección L/r x y L/r y, ya que el perfil se pandea por el eje más débil (Galambos, Lin, y Johnston, 1999; Segui, 2000).
Parámetro de esbeltez
λ c =
F y
L
r π E λ c
λ c ≤ 1,5 ⇒ F cr = 0,658
λ c > 1,5 ⇒ F cr =
Pu
φ c Pcr donde:
0,877 λ c
2
L
; 2
r min
≤ 200
(3)
F y
(3a)
F y (3b)
≤1
(4)
Pu ≡ Carga axial de compresión, Pcr ≡ Carga axial de pandeo;
Pn = F cr A
φ c ≡ Factor de minoración de resistencia a compresión: φ c =0,85.
Ejemplo Predimensionar la cercha de la figura, donde todas las cargas están mayoradas
4 paneles de 4,5 m = L=18 m; H=3,6 m Esquema de la Cercha. El primer paso para diseñar la cercha es comprobar la isostaticidad de la cercha.
b = 2n − 3 ; n= 8; b= 13; 13=13 Posteriormente se definen las reacciones, haciéndose sumatoria de momentos en el rodillo y luego una sumatoria de fuerzas verticales.
∑ M rodillo = 0 ∑ F y = 0
R * 18 − 2327 * 13, 5 − 7566 * 9 = 0 ⇒ 18 − 1163
6691, 25 − 1163 − 227 − 7566 +
R 0⇒ =
R , 25 = 6691
kg
R 4364, 75 kg =
A continuación, se realiza una sumatoria de fuerzas en los eje x e y en cada nodo de la cercha. Dado que por equilibrio esta sumatoria es igual a cero, ello ayuda a conocer las fuerzas en las barras desconocidas
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(incógnitas). Resalta que la dirección que lleva una fuerza es la misma dirección de la barra, por consiguiente, se conoce la relación que existe entre las componentes de la fuerza en el eje x o y. En relación al criterio para realizar la secuencia de cálculos de los nodos, esta dependerá del que tenga menor cantidad de barras desconocidas. Siguiendo dicha premisa se realizó la secuencia, tal como se muestra a continuación:
Nodo 1 Se comienza por el nodo 1, ya que, está sometido al menor número de fuerzas desconocidas, que corresponden a las fuerzas en la barra 1-6 y la barra 1-2:
∑ F y = 0 6691,25 − 1163 − F y = 0 ⇒ Fy = 5528,28kg F x F y
=
1 0,8
⇒ F x =
F y
0,80
⇒ F x = 6910,31kg
∑ F x = 0 F12 − 6910,31 = 0 ⇒ F12 = 6910, 31kg Nodo 2 Se continua con el nodo 2, ya que se conoce del nodo anterior la fuerza en la barra 1-2, por lo que quedaba en este nodo solo dos fuerzas desconocidas (barra 2-6, barra 2-3):
∑ F y = 0
F26 − 2327 = 0 ⇒ F26 = 2327kg
∑ F x = 0 F23 − 6910,31 = 0 ⇒ F23 = 6910, 31kg
Nodo 6 Similar al nodo anterior, se conocen las fuerzas en las barras 2-6 y 1-6, por tanto se aprecian dos barras desconocidas:
∑ F y = 0 5528,25 − 2327 + F y = 0 ⇒ Fy = −3201,25kg F x F y
=
1 0,8
⇒ F x =
F y
0,80
⇒ F x = −4001,56kg
∑ F x = 0 − F67 + 6910,31 + 4001, 56 = 0 ⇒ F67 = 10911, 88kg El signo negativo de las componentes de la barra 6-3 indican que se dirige hacia abajo y la derecha.
Nodo 7 Dado que se calculó la fuerza en la barra 6-7, el nodo 7 quedó con dos barras incógnitas:
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∑ F x = 0 10911,88 − F78 = 0 ⇒ F78 = 10911, 88kg
∑ F y = 0
F 37 = 0
Nodo 3 En el nodo 3 actuaban cinco barras, de las que se conocían la fuerza en tres, entonces se determinó la fuerza en las dos restantes:
∑ F y = 0 3201,25 − 7566 + F y = 0 ⇒ Fy = 4364,75kg F x F y
=
1 0,8
⇒ F x =
F y
0,80
⇒ F x = 5455,93kg
∑ F x = 0 , − 6910,31 + 545593 , = 0 ⇒ F34 = 545593 , kg F34 − 400156 Nodo 4 Al haberse calculado lo anteriores nodos, se observa que tanto el nodo 4 como el nodo 8 tienen dos barras incógnitas, entonces se escoge el nodo 4 en vista de que las barras incógnitas en este nodo no están inclinadas, lo cual facilita el cálculo:
∑ F x = 0 F45 − 5455,93 = 0 ⇒ F45 = 5455,93kg
∑ F y = 0
F 48 = 0
∑ F y = 0
4364,75 − F y = 0 ⇒ F y = 4364,75
Nodo 5
F x F y
=
1 0,8
∑ F x = 0
⇒ F x =
F y
0,80
⇒ F x = 5455,93kg
5455,93 − 5455,931 = 0 ⇒ 0 = 0
El nodo 5 así como el nodo 8 tienen una barra desconocida. Es indiferente escoger cualquiera de los dos nodos, pero se realiza el nodo 5 por tener menos barras que inciden en el nodo.
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Comprobación Nodo 8 Después de realizar el cálculo en el nodo 5, se conocen todas las fuerzas en las barras. Por consiguiente, resta para comprobar los cálculos realizados, aplicar las ecuaciones de equilibrio en el eje x e y con lo que se constata que la suma sea igual a cero (nodo en equilibrio):
∑ F y = 0
4364, 75 − 4364, 75 = 0 ⇒ 0 = 0
∑ F x = 0
10911,88 − 5455,93 * 2 = 0 ⇒ 0 = 0
Resultados
10912 kgf
g f k 5 0 8 8
5 1 2 4 k g f
f
g k 7 2 3 2
=0
g f k 8 7 9 6
6910 kgf
6 9 8 7 k g f
=0
5456 kgf
Fuerzas que actúan en las barras de la cercha. Predimensionado de los elementos
Cargas de diseño Cordón Inferior Cordón Superior
6910 kgf 10912 kgf 8850 kgf
Cordón Inferior (Diseño a tracción) Areq ≥
Pu
Areq ≥
φ t F y
6910 0,9 * 2500
Areq
3,07
Se aplica la Ecuación 1 ; tenemos que En la tabla de perfiles IPN, el área del perfil IPN 80 cumple con lo requerido
Se realiza la comprobación
r min ≥
L 300 ; tenemos que
r min ≥
450cm 300
r min
1,5
El perfil IPN 160 cumple con el radio de giro mínimo (criterio de esbeltez), por lo tanto al cumplir con los 2 criterios, este perfil va a ser empleado como cordón inferior.
Cordón Superior (Diseño a compresión) k=1; l = 4,5 m Se selecciona el IPN 300, donde en la Tabla de IPN tenemos A=69 cm2 y r = 2,55 cm.
L r
=
kL r
450cm 2,55cm
⇒
L r
= 176,47 . Al emplear la tabla de Esfuerzos Admisibles a Compresión LRFD, tenemos
tabla
kgf
= 176 ⎯ ⎯ ⎯ → φ F cr = 499 cm 2
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.
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Se aplica la Ecuación 5
φ Pn = φ F cr A
; tenemos
φ Pn = 499 * 69 ⇒ φ Pn = 34431kgf
Pu Por medio de la Ecuación de Interacción (Ecuación 4)
10912 requerido; tenemos
34431
φ c Pn
≤1 se comprueba que el perfil seleccionado cumpla con lo
= 0,32 ≤ 1 ; por lo tanto el IPN 300 cumple
Cordón superior (Diseño a compresión) k=1; l =
4,5 2 + 3,6 2 ⇒ l = 5,76 m
Se selecciona el IPN 300, donde en la Tabla de IPN tenemos A=69 cm2 y r = 2,55 cm.
L r
=
576cm 2,55cm
⇒
L r
kL
= 226 . No sirve IPN 300 porque
r
≤ 200
Se selecciona 2 UPN 100, y a partir de la Tabla de UPN tenemos que 2 perfiles tiene A=21,2 cm2 y r = 3,02 cm.
L r
=
kL r
576cm L ⇒ = 190,68 3,02cm r . Al emplear la tabla de Esfuerzos Admisibles a Compresión LRFD, tenemos kgf
tabla
= 191 ⎯ ⎯ ⎯ → φ F cr = 424 cm 2
Se aplica la Ecuación 5
φ Pn = φ F cr A
.
; tenemos
φ Pn = 424* 21,2 ⇒ φ Pn = 8988,8kgf
Pu Por medio de la Ecuación de Interacción (Ecuación 4)
8850 requerido; tenemos
8988,8
φ c Pn
≤1 se comprueba que el perfil seleccionado cumpla con lo
= 0,98 ≤ 1 ; por lo tanto 2 UPN 100 cumple
Resumen Cordón Inferior IPN 160 Cordón Superior 2 UPN 100
Bibliografía Beer, F. y Johnston, E. R. (1977). Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I). Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamenricana S.A. Braja, D., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica para Ingenieros. Estática. México D.F, México: Editorial Limusa S.A. de C.V. Engel, H. (2001). Sistemas de Estructuras. Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A Galambos, T., Lin, F. y Johnston, B. (1999). Diseño de Estructuras de Acero con LRFD. México D.F., México: Prentice Hall, Hispanoamericana, S.A. Hsieh, Y.-Y. (1982). Teoría Elemental de Estructuras. Madrid, España: Prentice/Hall internacional. Moore, F. (2000). Comprensión de las Estructuras en Arquitectura. México D.F., México: McGrawHill Interamericana Editores, S.A. de C.V.
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Nieto, E. (2006). Estructuras tipo: función, formas generales, elementos.... Recuperado 2 de marzo, 2012, de Open Course Ware. Universidad de Sevilla: http://ocwus.us.es/mecanica-de-medios-continuos-yteoria-de-estructuras/calculo-de-estructuras-1/apartados/apartado1_1.html. Olvera, A. (1972). Análisis de Estructuras. México D.F., México: Compañía Editorial Continental, S.A. Salvadori, M. y Heller, R. (1998). Estructuras para Arquitectos. Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski Publisher. Segui, W. (2000). Diseño de Estructuras de Acero con LRFD. México D.F., México: Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V.
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