CI Trabajo Colaborativo Fase 4 100411 231

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela: Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingenierías Curso: Calculo Integral Trabajo colaborativo Fase IV

Unidad 3: Aplicaciones de las integrales

John Jairo Valencia Rojas Código: 94326428 David Felipe Quintero Código: 1085283875 Cristhian Camilo Zapata Delgado Código: 1.115.063302 Juan Pablo Valdés Código: 94474771

Grupo: 100411_231

Tutor: Oscar Mauricio Mora Arroyo

Universidad Nacional Abierta y Distancia- UNAD Palmira (Valle) Mayo 08 de 2017

1


INTRODUCCIÓN

➢ Con la elaboración de esta actividad, se busca realizar una revisión del curso de Cálculo Integral, profundizando el tema propuesto en la Unidad 3 – Aplicaciones de las integrales.

➢ El estudio de la Unidad 3, brinda los conocimientos y herramientas necesarias, con el fin de lograr el desarrollo de los ejercicios planteados en la guía a desarrollar, descritos en la fase 4.

➢ Adicionalmente, se busca compartir e interactuar con los compañeros del curso y hacer uso del editor de ecuaciones para la elaboración y solución de los ejercicios en formato Word.

2


Ejercicios propuestos Fase 4 – Trabajo colaborativo Una vez estudiados los principios sobre integración y analizadas las diferentes técnicas de integración, se procede a desarrollar la parte práctica o de aplicaciones de las integrales como es el caso del análisis de gráficas (área de regiones planas, área entre curvas, longitud de una curva, longitud de un arco en forma paramétrica) Primera parte (punto 1 al 4) 2. Encuentre el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones y

y  2x  x2 .

y  x3

El área se expresa en unidades de superficie.

Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

1. Hallar el área de la región limitada por la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, entre 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2𝜋. El área se expresa en unidades de superficie. 𝜋

2𝜋

𝜋

2𝜋

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ⟹ −𝑐𝑜𝑠𝑥 ∫ − (−𝑐𝑜𝑥 ∫ ) 0

𝜋 𝜋

0

𝜋

2𝜋

⟹ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∫ +𝑐𝑜𝑥 ∫ 0

𝜋

⟹ −𝑐𝑜𝑠(180) + 𝑐𝑜𝑠(0) + [𝑐𝑜𝑠(380) − 𝑐𝑜𝑠(180)] ⟹ −(1) + (1) + (1 − (1)) ⟹ +1 + 1 + (1 + 1) = 2 + 2 = 4𝑢2 Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

3


Aporte: Juan Pablo Valdés

2. Encuentre el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones

y  x3

y  2 x  x 2 . El área se expresa en unidades de superficie. Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

4

y


1

∫ [(2𝑥 − 𝑥 2 ) − 𝑥 3 ]𝑑𝑥 0 1

𝐴 = ∫ [−𝑥 3 − 𝑥 2 + 2𝑥]𝑑𝑥 0

Aplicando la regla de la suma tenemos: − ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 Aplicando la regla de potencia tenemos: − ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 =

𝑥 3+1 𝑥4 = 3+1 4

− ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 =

𝑥 2+1 𝑥3 = 2+1 3

2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 =

𝑥 1+1 𝑥2 𝑥2 = =2∗ = 𝑥2 1+1 2 2

Solución −

𝑥4 𝑥3 − + 𝑥2 + 𝑐 4 3

Calculamos los límites: lim (−

𝑥→0

lim (−

𝑥→0

𝑥4 𝑥3 − + 𝑥2) 4 3

04 03 − + 02 ) = 0 4 3

lim (−

𝑥4 𝑥3 − + 𝑥2) 4 3

lim (−

14 1 3 − + 12 ) 4 3

𝑥→1

𝑥→1

1 1 5 − − +1= 4 3 12

Aporte: David Felipe Quintero

5


1

3) La región limitada por la grafica 𝑦 = 𝑥 3 ,el eje x y 𝑥 = 2 ,se gira alrededor del eje x. Hallar el área de la superficie lateral del solido resultante.

solución 0.5

∫ 0

0.5

𝑥4 𝑥 𝑑𝑥 = | 4 0 3

0.5

𝑥4 0.54 04 | = − = 0.015625 𝑈 2 4 0 4 4

𝑏

Longitud = 𝑠 ∫𝑎 √1 + (𝑓)(𝑥))2 𝑑𝑥 cos(𝑥) = 𝑒 𝑦 𝐼𝑛(cos 𝑥) = 𝑦 𝑦 = 𝐼𝑛(cos 𝑥) 𝑦1 =

−𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −𝑡𝑔(𝑥) cos 𝑥 𝑏

𝑠 = ∫ √1 + (−𝑡𝑔(𝑥))2 𝑑𝑥 𝑎 𝑏

𝑠 = ∫ √1 + 𝑡𝑔2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑠 = ∫ √𝑡𝑔2 (𝑥) + 1𝑑𝑥

6


𝑡𝑔2 (𝑥) + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) ⁄

𝑠 = ∫⁄ 3 √𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 6

⁄

𝑠=∫

3

⁄

𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑑𝑥

6

⁄

𝑠 = 𝐼𝑛| sec(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)| |⁄3 6

𝑠 = 𝐼𝑛| sec(⁄3) + 𝑡𝑔(⁄3) | − 𝐼𝑛|𝑠𝑒𝑐(⁄6) + 𝑡𝑔(⁄6) 𝑅/. 𝑠 = 0,768

Aporte: John Jairo Valencia Rojas

Encontrar el perímetro de media circunferencia descrita por la siguiente ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4. La forma paramétrica de la ecuación es: 𝑥 = 2 sen( 𝑡) y 𝑦 = 2cos( 𝑡), para 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋. Solución: 𝑥2 + 𝑦2 = 4 Se sabe que la ecuación cónica de una circunferencia está dada por: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑥 2 + 𝑦 2 = 22 Por tanto, tenemos que el radio que cumple la condición es 2. el perímetro de una circunferencia es: 𝑝 = 2𝜋 ∙ 𝑟 Por lo tanto, el perímetro de la media circunferencia será: 𝑝 =𝜋∙𝑟 Remplazamos valores: 𝑝 = 𝜋 ∙ 2 = 𝟔, 𝟐𝟖 Aporte: Cristhian Camilo Zapata Delgado

7


Segunda parte (punto 5 al 8)

Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa.

5. Hallar el volumen del sólido generado al hacer girar en torno al eje y, la región en el primer cuadrante que está por encima de la parábola 𝑦 = 𝑥2, y por debajo de la parábola 𝑦 = 2 − 𝑥2 (ver figura). El volumen se expresa en unidades cúbicas.

Solución

Tenemos que: 2 − 𝑥2 − 𝑥2 = 0 2 − 2𝑥 2 = 0 Solucionamos por medio de la ecuación de segundo grado El resultado es: 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 Entonces:

8

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 : 2𝑎

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela: Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingenierías Curso: Calculo Integral Trabajo colaborativo Fase IV 1

𝑉 = ∫ 2 𝜋𝑥(2 − 2𝑥 2 )𝑑𝑥 0 1

= 4𝜋 ∫ 2 𝜋𝑥(𝑥 − 𝑥 3 )𝑑𝑥 0

= 4𝜋 (

𝑥2 𝑥4 − ) 2 4

Sustituimos para 0: = 4𝜋 (

02 04 − ) 2 4

=0 Y para 1: 12 14 = 4𝜋 ( − ) 2 4 = 4𝜋(0.25) = 3.1416 → 𝜋

𝑦 = 𝑥2 6.Hallar el volumen del solido que se genera al girar la región plana 𝑅: { 𝑦 = √8𝑥 eje x (ver figura). El volumen se expresa en unidades cúbicas.

9

alrededor del


Solución Determinamos los puntos de intersección: √8𝑥 = 𝑥 2 8𝑥 = 𝑥 4 0 = 𝑥 4 − 8𝑥 0 = 𝑥(𝑥 3 − 8) 0 = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 2 + 2𝑥 + 4) Los dos puntos de intersección son: 𝑥=0 𝑥=2 Usando el método de las arandelas 𝑏

𝑉 = 𝜋 ∫ ([𝑅(𝑥)]2 − [𝑟(𝑥)]2 )𝑑𝑥 𝑎

𝑅(𝑥) = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑟(𝑥) = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 Entonces, 𝑅(𝑥) = √8𝑥 𝑟(𝑥) = 𝑥 2 2

2

𝑉 = 𝜋 ∫ ([√8𝑥] − [𝑥 2 ]2 ) 𝑑𝑥 0 2

𝑉 = 𝜋 ∫ (8𝑥 − 𝑥 4 )𝑑𝑥 0 2

2

𝑉 = 𝜋 ∫ (8𝑥)𝑑𝑥 − 𝜋 ∫ (𝑥 4 )𝑑𝑥 0

𝑉=

8𝜋𝑥 2 2 𝜋𝑥 5 2 | − | 2 5 0 0

𝑉=

8𝜋(2)2 𝜋(2)5 − 2 5

0

10


𝑅/𝑉 =

48𝜋 5


7. Una varilla de 4 metros tiene una densidad 𝑝(𝑥) = √𝑥 𝑘𝑔/𝑚 a x metros de un extremo. Hallar el centro de masas de la varilla.

Considerar el centro de masas:

𝑀𝑦 𝑚

𝑏

=

∫𝑎 𝑥𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

∫𝑎 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

Donde a=0 y b=4 y 𝑏

4

∫ 𝑥𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥√𝑥 𝑑𝑥 𝑎

0

Y 𝑏

4

∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ √𝑥 𝑑𝑥 𝑎

0

Entonces 𝑐𝑒 =

𝑀𝑦 𝑚

4

=

∫0 𝑥√𝑥 𝑑𝑥 4

∫0 √𝑥 𝑑𝑥

𝑥 √𝑥 = 𝑥. 𝑥1/2 = 𝑥1/2 4

∫

5

3 𝑥 2 𝑑𝑥

0

5

𝑥 2 2𝑥 2 = = (0,4) 5 5 2

5

2.42 32 ∗ 2 64 = −0= = 5 5 5 4

4

∫ √𝑥𝑑𝑥 = ∫ 0

0

3

1 𝑥 2 𝑑𝑥

2𝑥 2 = (0,4) 3

11

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela: Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingenierías Curso: Calculo Integral Trabajo colaborativo Fase IV 3

2.42 8 ∗ 2 16 = −0= = 3 3 3 Obtenemos así: 4

4

𝑀𝑦 ∫0 𝑥 √𝑥 𝑑𝑥 65 12 𝑐𝑒 = = 4 = = ≈ 2.4𝑚 16 𝑚 5 ∫0 √𝑥 𝑑𝑥 3 El centro de masa de la varilla de 4m es de 2.4m


y  x entre x = 8. Hallar el centroide de la región limitada por la gráfica de y  x  1 y 2

1 y x = 1. Considerar las fórmulas del centroide de la región en el plano: b

Ce( x ) 

My A



 x[ f ( x)  g ( x)]dx a b

 [ f ( x)  g ( x)]dx

b

; Ce( y ) 

a

b

 [ f ( x)  g ( x)]dx a

Hallar el área 𝑏

𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎 1

∫ [(𝑥 2 + 1) − (𝑥)]𝑑𝑥 −1 1

∫ [𝑥 2 + 1 − 𝑥]𝑑𝑥 −1 1

∫ [1 − 𝑥 + 𝑥 2 ]𝑑𝑥 −1

Evaluamos en 1 y -1. |𝑥 −

Mx  A

1 [ f 2 ( x )  g 2 ( x )]dx  2a

𝑥2 𝑥3 1 + |−1 2 3

12


(1)2 (1)3 (−1)2 (−1)3 ((1) − + ) − ((−1) − + ) 2 3 2 3 (1 − 0.5 + 0.33) − (−1 − 0.5 − 0.33) 𝐴 = 0.83 − (−1.833) = 2,663 1

∫ 𝑥(𝑥 2 + 1 − 𝑥)𝑑𝑥 −1

Integración por partes: 𝑢 = (𝑥 2 + 1 − 𝑥) , (𝑥 2 + 1 − 𝑥) (𝑥 2

𝑢′ = 2𝑥 − 1

;

𝑣 ′ = 𝑥, 𝑣 =

𝑥2 𝑥2 − ∫(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 2 2

𝑥2 1 + 1 − 𝑥) − ∫(2𝑥 3 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 2 2

(𝑥 2 + 1 − 𝑥)

𝑥2 1 − (∫ 2𝑥 3 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥) 2 2

(𝑥 2 + 1 − 𝑥)

𝑥2 1 − (∫ 2𝑥 3 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥) 2 2

(𝑥 2 + 1 − 𝑥)

𝑥2 1 𝑥4 𝑥3 + (− + ) 2 2 2 3

Evaluamos en -1 y 1 (12 + 1 − 1)

12 1 14 13 5 + (− + ) = 2 2 2 3 12

(−12 + 1 + 1)

−12 1 −14 −13 13 + (− + )= 2 2 2 3 12

5 13 8 2 − =− = − = −0.666 12 12 12 3

13

𝑥2 2


Hallar 𝑥 𝐶𝑒𝑥 =

−0.666 = −0.25 2.663

1 1 2 ∫ (𝑥 + 1)2 − (𝑥)2 𝑑𝑥 2 −1 ∫(𝑥 2 + 1)2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 5 2𝑥 3 𝑥3 𝑥5 𝑥3 + +𝑥− = + +𝑥 5 3 3 5 3 Evaluamos en 1 y -1 15 13 23 + +1= 5 3 15 −15 −13 23 + −1=− 5 3 15 23 23 46 − (− ) = 15 15 15 1 46 23 ∗ = = 1,533 2 15 15 Hallar 𝑦 𝐶𝑒𝑦 =

1,533 = 0,575 2.663

El Centroide es: (-0.25, 0.575)

14


Aporte: Cristhian Camilo Zapata Delgado

Tercera parte (punto 9 al 12) Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales. 9. A una altura de 16m se lanza verticalmente hacia abajo una pelota de béisbol con una velocidad inicial de 2 m/s. Si la pelota golpea una superficie que se encuentra a 4m de alto. Determinar la velocidad de impacto de la pelota.

Sugerencia: 𝑔 = 10 𝑚/𝑠 2 . ℎ = 16 𝑚 𝑔 = 10 𝑚/𝑠 2 𝑣0 = 2 𝑚/𝑠 𝑣𝑓 = 𝐷 = 16𝑚 − 4𝑚 = 12𝑚 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑣𝑓 2 = 𝑣0 2 + 2𝑔𝑑 2𝑚 2 10𝑚 𝑣𝑓 2 = ( ) + 2 ( 2 ) (12𝑚) 𝑠 𝑠 𝑣𝑓 2 =

4𝑚2 240𝑚2 + 𝑠2 𝑠2

𝑣𝑓 = √244𝑚2 /𝑠 2 𝑣𝑓 = 15,62𝑚/𝑠 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 Aporte: Juan Pablo Valdés

15


10. Un resorte tiene una longitud de 1 metro, al aplicarle una fuerza de 40 Newton, dicho resorte se estira hasta 2,6 metros. Hallar el trabajo que se requiere para que el resorte se estire 3 metros. Por ley de Hooke se sabe:

𝐹 = 𝑘𝑥 𝑥 = 2,6 𝑚 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝐹 𝑑𝑒 40 𝑁, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 40𝑁 = 𝑘2,6𝑚 𝑘=

40 ≊ 15,4 2,6

Ahora en la fórmula 𝑏

∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥 𝑎 3

𝑊 = ∫ 15,4𝑥 𝑑𝑥 0

= =

15,4 2 3 𝑥 | 0 2

15,4 15,4 (3)2 − (0)2 2 2 = 69,3𝐽

El trabajo del resorte que se requiere para mover el resorte según lo solicitado es de 69.3.8𝑗 Aporte: David Felipe Quintero

16


11. Si la función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria X está dada por la expresión: 3 2 𝑥 (4 − 𝑥) , 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑓(𝑥) = {64 } 0, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Determinar la probabilidad de que por lo menos la variable adquiera el valor 2.

4

𝑓(𝑥) = 2 = ∫ = 2

3 2 𝑥 (4 − 𝑥)𝑑𝑥 64

3 4 = ∫ (4𝑥 2 − 𝑥 3 )𝑑𝑥 64 2 Calculamos la integral indefinida: 4𝑥 3 𝑥 4 20 ∫ 4𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = − = − 3 4 3 2

3

2

3

Calculamos los límites: 4𝑥 3 𝑥 4 4(2)3 (2)4 20 − = − = 𝑥→2 3 4 3 4 3 lim

4𝑥 3 𝑥 4 4(4)3 (4)4 64 lim − = − = 𝑥→4 3 4 3 4 3 Entonces: 64 20 44 − = 3 3 3 Ahora: 3 44 11 ∗ = = 0,6875 = 68,75% 64 3 16

17

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela: Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingenierías Curso: Calculo Integral Trabajo colaborativo Fase IV 12. La cantidad de demanda y el precio de equilibrio en un mercado están determinados por las funciones 𝑆(𝑥) = 𝑥 + 4, 𝑃 = 𝐷(𝑥) = −2𝑥 2 + 6𝑥 + 16 de oferta y demanda respectivamente. Determinar el Excedente del Consumidor (E.C.) y el Excedente del Productor (E.P.) cuando el mercado está en equilibrio.

Efectuamos una igualación de las funciones: 𝑥 + 4 = −2𝑥 2 + 6𝑥 + 16

Resolvemos la igualdad: 𝑥 + 4 + 2𝑥 2 − 6𝑥 − 16 → 2𝑥 2 − 5𝑥 − 12 = 0 → 2𝑥 2 − 5𝑥 − 12 = 0

Como vemos se trata de una ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Que se resuelve mediante la ecuación:

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

Donde 𝑎 = 2, 𝑏 = −5, 𝑐 = −12 −(−5) + √(−52 ) − 4 ∗ 2(−12) 5 + √(−52 ) − 4 ∗ 2(−12) 𝑥= →𝑥= →𝑥 2∗2 4 5 + √25 − 4 ∗ (−24) 5 + √25 − 4 ∗ (−24) = →𝑥= 4 4 →𝑥=

5 + √25 + 96 5 + √121) 5 + 11 16 →𝑥= →𝑥= →𝑥= →𝒙=𝟒 4 4 4 4

Hallamos el segundo valor de la ecuación cuadrática: −(−5) − √(−52 ) − 4 ∗ 2(−12) 5 − √(−52 ) − 4 ∗ 2(−12) 𝑥= →𝑥= →𝑥 2∗2 4 5 − √25 − 4 ∗ (−24) 5 − √25 − 4 ∗ (−24) = →𝑥= 4 4 →𝑥=

5 − √25 + 96 5 − √121) 5 − 11 6 𝟑 →𝑥= →𝑥= →𝑥=− →𝒙=− 4 4 4 4 𝟐

Los valores de x son entonces: 𝒙 = 𝟒, 𝒙 = −

18

𝟑 𝟐


Para hallar La cantidad de demanda remplazamos x = 4 en la ecuación de la oferta: Oferta: 𝑆(𝑥) = 𝑥 + 4 → 𝑆(4) = 4 + 4 → 𝑆(4) = 8 Hacemos lo mismo para la demanda: Demanda: 𝐷(𝑥) = −2𝑥 2 + 6𝑥 + 16 → 𝐷(4) = −2𝑥 2 + 6𝑥 + 16 → −2(4)2 + 6(4) + 16 → 𝐷(4) = −2 ∗ 16 + 24+16 → 𝐷(4) = −32 + 40 = 8 Ahora determinamos el excedente del consumo: 𝑄

𝐸. 𝐶 = ∫ 𝐷(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑄𝑝 0 4

𝐸. 𝐶 = ∫ −2𝑥 2 + 6𝑥 + 16𝑑𝑥 − 4 ∗ 8 0

Calculamos la integral indefinida: 4

∫ −2𝑥2 + 6𝑥 + 16𝑑𝑥 = − 0

2𝑥3 3

+ 3𝑥2 + 𝐶

Aplicamos la regla de la suma: ∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 4

− ∫ 2𝑥2 + ∫ 6𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 16 𝑑𝑥 0

Sacamos la constante de la integral mediante esta propiedad: ∫ 𝑎 ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∗ ∫ 𝑓(𝑥)𝑥)𝑑𝑥 2 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 Aplicamos la regla de los exponentes: ∫ 𝑥 𝑎 𝑑𝑥 =

2 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 ∗

𝑥 𝑎+1 , 𝑎+1

siendo a≠ −1

𝑥 2+1 2𝑥 3 → 2 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 2+1 3

19


Sacamos la constante del segundo término aplicando: ∫ 𝑎 ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∗ ∫ 𝑓(𝑥)𝑥)𝑑𝑥 ∫ 6𝑥𝑑𝑥 = 6 ∫ 𝑥𝑑𝑥 Aplicamos la regla de los exponentes: ∫ 𝑥 𝑎 𝑑𝑥 = ∫ 6𝑥𝑑𝑥 = 6 ∗

𝑥 𝑎+1 , 𝑎+1

siendo a≠ −1

𝑥 1+1 → ∫ 6𝑥𝑑𝑥 = 3𝑥 2 1+1

Procedemos con el tercer término y aplicamos la regla: ∫ 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 → ∫ 16𝑑𝑥 = 16𝑥

Calculamos los límites utilizando la siguiente propiedad: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = lim− (𝐹(𝑥)) − lim+(𝐹(𝑥)) 𝑥→𝑏

𝑎

lim (−

𝑥→0+

𝑥→𝑎

2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 16𝑥) = 0 3

Remplazamos el valor de x = 0 lim = (−

𝑥→0+

2 ∗ 03 + 3 ∗ 02 + 16 ∗ 0) = 0 → 𝐥𝐢𝐦 = 𝟎 𝒙→𝟎+ 3

Remplazamos el valor de x = 4 lim = (−

𝑥→4−

→ lim = (− 𝑥→4−

2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 16𝑥) 3

2 ∗ 43 208 + 3 ∗ 42 + 16 ∗ 4) → lim = 𝑥→4− 3 3

Por último restamos el producto de las constantes que habíamos separado: 4

∫ −𝑥 2 + 6𝑥 + 16𝑥 − 4 ∗ 8 = 0

20

208 112 −4∗8= 3 3


E.C. =

112 3

- 4*8→ 𝐸. 𝐶 =

112 3

- 32→ 𝑬. 𝑪 = 𝟓, 𝟑

Finalmente procedemos a calcular el Excedente de Producción (E.P): 4

𝑄

𝐸. 𝑃 = 𝑄𝑃 − ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 → 𝐸. 𝑃 = 32 − ∫ 𝑥 + 4 0

0

Calculamos la integral indefinida aplicando la regla de la suma: ∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑄

32 − ∫ 𝑥 + 4 = 32 − ∫ 𝑥𝑑𝑥 + ∫ 4𝑑𝑥 → 𝑄𝑃 − ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 = 32 − 0

Para finalizar calculamos los límites: lim 32 − 𝑥 →0

lim 32 − 𝑥 →4

42 2

𝑥2 02 + 4𝑥 = lim 32 − + 4(0) = 32 𝑥→4 2 2

+ 4(4) = 40 → 𝐿𝑖𝑚 = 32 + 40 → 𝑳𝒊𝒎 = 𝟕𝟐 𝐸. 𝑃. = 72 − 32 → 𝑬. 𝑷 = 𝟒𝟎

21

𝑥2 + 4𝑥 + 𝐶 2


CONCLUSIONES

➢ La profundización de la Unidad 3 del curso de Cálculo Integral, permitió obtener las herramientas necesarias y aplicar los conocimientos estudiados, con el fin de poder desarrollar los ejercicios planteados en la guía de la Fase 4, referentes a las Aplicaciones de las Integrales e identificar los campos de acción que tienen éstas en la vida diaria. ➢ Con las herramientas de Cálculo Integral se puede estudiar diversos problemas que pueden ayudar a solucionar los de la vida cotidiana. El Cálculo Integral, integra el pensamiento analítico con el comportamiento real de los sistemas físicos. ➢ En el día a día se hacen distintos tipos de cálculos, es todo un mundo donde todo está regido por la matemática, desde la compra de un kilo de pan, en donde se han hecho cálculos para la compra, la venta, la fabricación del mismo, hasta la fabricación de computadoras de altísima generación. ➢ Los cálculos matemáticos están presentes en cada momento de nuestra vida. Justamente, las fórmulas tienen un porqué y un para qué, basta tratar de imaginar una situación en la que se necesite calcular cualquier cosa y listo, siempre va a haber una solución, en este caso sirve mucho para una carrera profesional. ➢ Adicionalmente, la actividad brindo un espacio de conocimiento e interacción entre los compañeros del grupo de trabajo.

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REFERENCIAS BIBLIGRFICAS

Bonnet, J. (2003). Cálculo Infinitesimal: esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencias experimentales.

Robayo, F. (2016, abril, 10). Aplicaciones de la integral en las ciencias.

Stewart, J. (1999). Cálculo diferencial e integral. México: International Thomson Editores, S. A. de C.V.

Textos de consulta en salas de lectura de algunos centros (verificar e-Biblioteca de la UNAD - Catálogo en Línea)

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CI Trabajo Colaborativo Fase 4 100411 231

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