Cinematica de Cuerpos Rigidos

CINEMATICA DE CUERPOS RIGIDOS

INTRODUCCION

En mecánica el movimiento es un fenómeno físico que se define como todo cambio de posición que experimentan los cuerpos de un sistema, o conjunto, en el espacio con respecto a ellos mismos o con arreglo a otro cuerpo que sirve de referencia. Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria. La parte de la física que se encarga del estudio del movimiento sin estudiar sus causas es la cinemática. La parte de la física que se encarga del estudio de las causas del movimiento es la dinámica.

Un cuerpo rígido se puede definir como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de cinemática, ya que esta rama de la mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre de ellos.

Un cuerpo rígido, es un caso particular de un sistema de muchas partículas. Estas partículas deben cumplir la condición de que la separación entre cualquier pareja de ellas siempre permanece constante mientras el cuerpo se mueve, sin importar el tipo de fuerzas que actúen sobre él. Esta deﬁnición permite aﬁrmar que un cuerpo rígido no se deforma bajo ninguna interacción con otros cuerpos.

Cuando un cuerpo rígido interactúa con otros cuerpos, las fuerzas que se generan tienden a imprimirle un movimiento de traslación pura, de rotación pura o un movimiento combinado de traslación y rotación.

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JUSTIFICACION

La cinemática trata del estudio del movimiento de los cuerpos en general, y en particular, el caso simplificado del movimiento de un punto material. Desde el punto de vista matemático, la cinemática expresa como varían las coordenadas de posición de la partícula (o partículas) en función del tiempo. La función que describe la trayectoria recorrida por el cuerpo (o partícula) depende de la velocidad (la rapidez con la que cambia de posición un móvil) y de la aceleración (variación de la velocidad respecto del tiempo).

El movimiento de una partícula (o cuerpo rígido) se puede describir según los valores de velocidad y aceleración, que son magnitudes vectoriales.

En el estudio del movimiento, los sistemas de coordenadas más útiles se encuentran viendo los límites de la trayectoria a recorrer, o analizando el efecto geométrico de la aceleración que afecta al movimiento. El estudio cinemático se hace sobre un sistema de coordenadas cartesianas, usando una, dos o tres dimensiones según la trayectoria seguida por el cuerpo.

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OBJETIVOS

En este reporte analizaremos la cinemática de cuerpos rígidos ya que es muy importante esta rama de la dinámica porque se encarga del diseño de engranes, levas y mecanismos utilizados en muchas operaciones mecánicas. Hablaremos también sobre el movimiento plano de un cuerpo rígido cuando ocurre en todas sus partículas tienden a desplazarse a lo largo de sus trayectorias equidistantes de un plano ya que existen tres tipos de movimientos planos de un cuerpo rígido los cuales son: traslación, rotación alrededor de un eje fijo y el movimiento plano general. Ya entendido bien la cinemática, podremos aplicar las ecuaciones de movimientos, las cuales relacionan las fuerzas que actúan e el cuerpo con el movimiento de cuerpo.

Los objetivos generales de este reporte son:

Traslación.





Rotación con respecto a un eje fijo.



Movimiento general en el plano.

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1.1 INTRODUCCION

Cuerpo rígido: Se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Sin embargo, las estructuras y máquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de cargas que actúan sobre ellas. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de Cinemática, ya que esta rama de la Mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre de ellos. Un cuerpo rígido que pueda girar libremente alrededor de un eje horizontal que no pase por su centro de masas oscilará cuando se desplace de su posición de equilibrio. Este sistema recibe el nombre de péndulo físico.

Traslación: Este tipo de movimiento ocurre cuando una línea en el cuerpo permanece paralela a su orientación original durante todo el movimiento. Cuando las trayectorias del movimiento de dos puntos cualesquiera del cuerpo son líneas paralelas, el movimiento se llama traslación rectilínea. Si las trayectorias del movimiento se desarrollan a lo largo de líneas curvas equidistantes, el movimiento se llama traslación curvilínea.

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CINEMATICA DE CUERPOS RIGIDOS Rotación con respecto a un eje fijo : Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, todas sus partículas, excepto las que quedan en el eje de rotación, se mueven a lo largo de trayectorias circulares.

Movimiento general en el plano : Cuando un cuerpo se somete a un movimiento plano general, experimenta una combinación de traslación y rotación. La traslación se presenta en un plano de referencia y la rotación ocurre alrededor de un eje perpendicular al plano de referencia.

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1.2 TRASLACION

En la traslación de un cuerpo rígido, la orientación de todo segmento rectilíneo del cuerpo se mantiene constante. ( No hay rotación). Un movimiento de traslación se presenta cuando el cuerpo cambia de posición sin cambiar su orientación, es decir, todos los puntos del cuerpo sufren el mismo desplazamiento a medida que transcurre el tiempo. En el cual una recta se mantenga siempre paralela a la velocidad, se dice que es de traslación rectilínea en el que todo punto del cuerpo sigue una trayectoria rectilínea en el sentido del movimiento. En una traslación curvilínea, la orientación de todo segmento rectilíneo sigue siendo invariable pero los distintos puntos no siguen trayectorias rectilíneas. En la traslación coplanaria, la trayectoria de cada punto se mantiene siempre en un plano.

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Si A y B son dos puntos cualesquiera del cuerpo, sus posiciones estarán relacionadas por la regla del triángulo para la suma de vectores:

 r A  r B / A

r B

Como la posición de B relativa a A ( r B/A) es constante tanto en módulo como en dirección, su derivada será nula, así al derivar respecto al tiempo la ecuación anterior se tiene simplemente:

v B

 v A

Expresión que nos dice que en un cuerpo rígido en traslación todos sus puntos tienen igual velocidad. Podemos derivar respecto al tiempo la ecuación anterior y obtenemos:

a B



a A

Expresión que nos dice que en un cuerpo rígido en traslación todos sus puntos tienen igual aceleración. Como la forma, tamaño y orientación del cuerpo no importan para describir el movimiento, la Cinemática de los puntos que constituyen un cuerpo rígido en movimiento de traslación coincide con la Cinemática del punto

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1.3 ROTACION CON RESPECTO A UN EJE FIJO En la rotación en torno a un eje fijo, una recta del cuerpo, el eje de rotación, está fija. Los puntos que no son del eje recorren trayectorias circulares centradas en el eje. Si el eje de rotación no corta al cuerpo, podemos imaginar que este se extiende hasta incluir el eje de rotación, es decir, a fines cinemáticos el movimiento del cuerpo es el mismo que tendría si formara parte de un cuerpo rígido mayor que incluyera al eje de rotación. Como cada trayectoria circular está contenida en un plano, la rotación de un cuerpo en torno a un eje fijo es un movimiento plano.

La posición de un cuerpo rígido en movimiento plano queda determinada al dar la situación de un punto y la orientación de una recta del plano del movimiento. Así, el movimiento plano de todo cuerpo se puede determinar a partir del movimiento de dicho punto y el movimiento de la recta. En nuestro caso, en la rotación alrededor de un eje fijo, el punto del eje permanece siempre en él. Por tanto, el movimiento de todo cuerpo se podrá determinar a partir del movimiento de una recta.

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1.3.1 MOVIMIENTO DE UNA RECTA EN LA ROTACIÓN EN TORNO A UN EJE FIJO En la rotación en torno a un eje fijo, la posición del cuerpo queda determinada al dar la posición angular θ de una recta cualquiera del plano de movimiento. La derivada respecto al tiempo de la posición angular da la velocidad angular ω(t) y la segunda derivada da la aceleración angular α(t) del cuerpo rígido:

d  dt



 (t )

d

;

2

 2

dt



d  dt

 (t )



Si conocemos la aceleración angular en función del tiempo podremos integrar para obtener la velocidad angular y la posición angular en función del tiempo así:

t

 (t )   0

t

   (t )dt ;  (t )   0    (t )dt 0

 (t )

  0   t ;  (t )   0   0 t 

0

1 2

Cuando se conozca la aceleración angular en función de la posición angular y no del tiempo, la regla de la cadena para la derivación da

 ( )

d  

dt

d  d  

d  dt





d  d 

que se puede integrar para obtener la velocidad angular en función de la posición angular

 2

2  2

/2

2  1

/2

  ( ) d 

 1

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2

 t

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1.3.2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO EN LA ROTACIÓN EN TORNO A UN EJE FIJO

En la rotación en torno a un eje fijo, los puntos que no estén en el eje recorren trayectorias circulares centradas en dicho eje.

La velocidad del punto P puede escribirse en función de un vector velocidad angular ω definido por:

ω = ω k , de

- dirección: la del eje en torno al cual gira el cuerpo - sentido: regla de la mano derecha Y en función de rP (vector de posición del punto P medido relativo al eje de rotación), de la siguiente manera:

v P

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  x r P  r P  et

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CINEMATICA DE CUERPOS RIGIDOS Expresando el producto vectorial en función de las coordenadas x-y, tenemos:

v P

 ( k ) x (r P cos i  r P sen j)  r P  sen i  r P  cos j

La aceleración del punto P que recorre su trayectoria circular alrededor del eje de rotación, tendrá componentes normal y tangencial:

a P



a  P

t



a  P

n



r P  et



2

r P  en

Las componentes x-y de la aceleración se obtienen derivando la velocidad así:

a P

 r  sen i  r  cos j  r  2 cos i  r  2 sen j P

P

P

P

Por analogía con la velocidad de P, la componente tangencial de la aceleración se podrá escribir en la forma:

( a P ) t

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



x r P

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Donde α es el vector aceleración angular definido por α = αk de - dirección: la del eje en torno al cual gira el cuerpo - sentido: regla de la mano derecha

La componente normal de la aceleración se podrá escribir en la forma:

( a P ) n   x v P  ( k ) x ( r P  et ) 

2

r P  en

Así:

a P

 

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x r P   x v P   x r P   x ( x r P )

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1.4 MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO

La traslación coplanaria y la rotación en torno a un eje fijo constituyen tipos concretos de movimiento plano en los cuales las rectas del cuerpo cumplen condiciones particulares. Todo otro tipo de movimiento plano entra en la categoría de movimiento plano cualquiera.

Cada punto del cuerpo permanece en un plano. Como todos los puntos de rectas perpendiculares a un plano tienen igual movimiento, bastará considerar el movimiento en un solo plano. En adelante, se utilizará el plano que contiene el centro de masa al que llamaremos plano del movimiento. Así, la posición de un cuerpo rígido en movimiento plano quedará determinada al dar la situación de un punto y la orientación de una recta del plano del movimiento.

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CINEMATICA DE CUERPOS RIGIDOS La orientación de la recta se puede determinar o bien dando el ángulo que forma con una dirección fija o dando la situación de dos puntos cualesquiera de la recta. El movimiento de todo el cuerpo podrá determinarse a partir del movimiento de dicho punto y el movimiento de la recta.

Es importante observar que el movimiento angular de rectas del plano del movimiento es el mismo para toda recta de un cuerpo rígido:

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CINEMATICA DE CUERPOS RIGIDOS Considerando el cuerpo de la figura en el que se han dibujado dos segmentos rectilíneos separados un ángulo fijo β. Ambos están en el plano de movimiento y los ángulos que forman con una dirección fija de referencia son θ AB y θCD. Estos ángulos están relacionados de la forma:

 CD



 AB





Al moverse el cuerpo, variarán los ángulos θ AB y θCD pero no el ángulo fijo β con lo que al derivar la ecuación anterior respecto al tiempo, tendremos:

 CD

          CD

AB

AB

Donde ω es la velocidad angular, variación por unidad de tiempo de la posición angular. Esta ecuación nos dice que todas las rectas del cuerpo tienen igual velocidad angular ω. Derivando respecto al tiempo la ecuación anterior, tenemos:

 CD



  CD



CD 



 AB 



  AB



 AB





Donde α es la aceleración angular, variación por unidad de tiempo de la velocidad angular. Esto nos dice que todas las rectas del cuerpo tienen igual aceleración angular α.

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CONCLUSION

Nuestra conclusión en general es que la dinámica es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación con las causas que provocan los cambios de estado físico y estado de movimiento y la cinemática de cuerpos rígidos es una rama que parte de la misma dinámica y es la encarga de estudiar los movimiento y equilibrio de cuerpos materiales ignorando sus deformaciones. Teniendo en cuenta que se puede mover en traslación, en rotación con respecto a un eje fijo o moviendo en un plano general ya que cada uno de estos tipos de movimientos tienen sus diferentes formas de estudio en el cual se aplica diferentes tipos de formulas y ecuaciones. El estudio de esta materia lleva a cabo las aplicaciones de ciertos temas como el cálculo integral, calculo diferencial y sobretodo de la estática para resolver ciertos problemas propuesto mostrándonos así como se demuestra la solución de algunos problemas de movimientos como algunos problemas en movimiento plano ya que allí se aplica los dos movimientos anteriores como lo es el de traslación y el de rotación con respecto a un eje fijo. Entiendo que varias de las cosas que utilizamos en la vida cotidiana son sujetas a esta ciencia de la cinemática mas con el movimiento y es necesario saber un poco el origen de cada uno de los movimientos y más que nada saber porque se llevan a cabo estos fenómenos que hoy son muy útiles en nuestra vida cotidiana.

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BIBLIOGRAFIA



Dinámica II: Mecánica Para Ingeniería y sus Aplicaciones – David J. McGraw-Hill & Wilton King.



Dinámica. Boresi y Schmidt.



Física Tomo I – Serway Raymond.



Física general – Paul Tippens 7ma edición McGraw-Hill.



Mecánica Vectorial para Ingenieros (Dinámica). Beer Johnston McGraw-Hill.

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