MECANICA PARA INGENIEROS DINAMICA- PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 4.5 2.76 La rueda tiene una velocidad angular de 20 rad/ s, s, en el sentido que se muestra y el 2
bloque A que desliza tiene una aceleración de 8 m/seg hacia la derecha. El radio de la cuerda es de 20 cm; ED = 1.20 m y es horizontal; DB = 20 cm, BC = 80 cm y DBC es continua; AB = 68 cm y el bloque A se mueve horizontalmente. Calcular todas las velocidades utilizando los centros instantáneos.
Solución Datos
20 / 8 ̂ / / 0.20 1.20 20 80 es continua. 68 De la figura se observa que,
0, 0 ! Expresando la velocidad de A en función de O
" " # $ % "/ " 20 % &' &'0. 0.20 20(̂(̂ ) - 138-
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/ /
" *̂
Planteando la ecuacion de velocidad de D en función de E
"! = "" # $ ! % "!/ "! = *̂ # ! % &1.20 &1.20)̂ "! = *̂ # 1.2 1.20 0! (̂
&+)
Planteando la velocidad de B en función de D
" = "! # $ ! % "/! " = *̂ # 1.20 20! (̂ # ! % &'0.12̂' 0.16(̂) " = *̂ # 1.20 20! (̂ ' 0.12! (̂ # 0.16!̂ " = &* # 00.1.16 6!)̂# &1.20! ' 0.12! )(̂
&,)
Planteando la velocidad de B en funcion de C
" = " # $ % "/ " = % &0.*8 *8̂ # 0.6 0.6*(*(̂) " = 0.*8 (̂ ' 0.6*̂
&-)
Expresando la velocidad de A en funcion de B
" = " # $ % "/ "/ = 0.60̂ ' 0.2( 2(̂ " = " # % &0.60 &0.60̂ ' 0.2( 0.2(̂)
(d)
Reemplazando (c) en (d)
" = 0.*8 (̂ ' 0.6* ̂ # % &0.60 &0.60̂ ' 0.2( 0.2(̂) " = 0.*8 (̂ ' 0.6* ̂# 0.60 (̂ # 0.2̂ " = &0.2 ' 0.6*)̂ # &0&0.60 .60 # 0.*8)(̂
(e)
En el punto A se tiene solo velocidad en la dirección horizontal,
" = ̂ # 00((̂
(f)
Reemplazando (f) en (e)
̂# 0(̂ = &0.2 ' 0.6*)̂# &0.60 # 0.*8 *8)(̂ Igualando, se tiene
= 0.2 ' 0.6* 0 = 0.60 # 0.*8 Igualando las expresiones &,) y &-) * # 0.16! = '0.6* 1.20! ' 0.12!= 0.*8 Como: = ! , entonces se tiene
&) &)
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/ ! = ' / ! = '2. /
'
Reemplazando en las ecuaciones
" = .2̂' 2.*(̂ / / $ = * / " = *.*8 / ̂ / Reemplazando en &+): "! = *̂' (̂ / /
&-), &) y &3):
Por lo tanto, finalmente tenemos:
= 0 4 5797:; " = *.*8 / ̂ / 4 5797:; 4 5797:; " = .2̂' 2.*(̂ &/) /) 4 5797:; 4 5797:; = 0 4 5797:; 4 5797:; "! = *̂' (̂ &/) 4 5797:; 4 5797:; " = *̂ / / 4 5797:; 4 5797:; Problema 4.6 El cuerpo rígido ABC gira alrededor de un pivote sin fricción O con una velocidad angular de 2
5 rad/seg contraria a las manecillas del reloj y una aceleración angular de 10 rad/seg de sentido opuesto. Determinar la velocidad y aceleración del bloque que desliza en el instante en que el mecanismo adopta la posición que se muestra.
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Solución $ <+= /> ? @" '10 <+= / Expresamos la velocidad de A en función O
" " # $ % "/ , "/ '0.2̂ 0 # % &'0.2̂) '1(̂ A /> Aplicamos previamente ecuación de aceleraciones para los puntos O y A pertenecen a brazo ABC.
" " # @" % "/ ' B "/ " &'10 ) % &'0. &'0.2̂ 2̂) # B &'0.2̂) " ̂ # 2(̂ 2(̂ &A / ) Aplicamos la ecuación de velocidades en los puntos ABC pertenecientes pertenecientes al brazo rígido ABC , y por ser una barra rígida doblada se tiene la misma velocidad angular, de A y C,
$ <+= /> " " # $ % "/ " '1(̂ # % & % &0.6 0.6̂̂ ' 0.(̂ 0.(̂ ) " 1.̂ 1.̂ # 2(̂ 2(̂ &A /> ) Aplicamos previamente ecuación de aceleraciones para los puntos A y C pertenecen pertenecen a brazo rígido ABC. - 141-
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" # @"@" % "/ ' &! )"/ " = 2(̂ # ̂ ' &10 &10 ) % &0.6 &0.6̂ ' 0.( 0.(̂) ' & )&0.66̂ ' 0.(̂ ) " = 2(̂ # ̂ ' 6(̂ ' ̂ ' 1 1̂ # C.((̂ " = '1̂# .(̂ &A/) "
Para el bloque D , aplicamos la ecuación de velocidades en los puntos C y y D pertenecientes al brazo rígido CD:
"! = " # $ ! % "/! "! = 1. 1.̂ # 2(̂ # ! % &'0.2)̂ 0(̂, entonces se tiene Descomponiendo Descomponiendo la velocidad en el punto D "! = ! ̂ # 0( ! ̂ # 00((̂ = 1. 1.̂ # 2(̂ ' 00.2.2 ! (̂ Igualando las expresiones,
= 1. D2 ' 0.!2 2! = 0
! = 1. / 4 5797:; ! = 8 <+ />
Aplicamos previamente ecuación de aceleraciones para los puntos C y D pertenecen a brazo rígido CD.
"! = " # @"@"! % "/! ' &!)"/! "! = '1̂# .(̂ # @ ! % &'0.2)̂ ' E8 F&'0.2̂) 0(̂ Donde la aceleración en el punto punto D " ! = ! ̂ # 0( ! ̂# 0(̂ = ̂# .(̂ # &'0.2)@! (̂ Igualando la expresión se tiene
. # &'0.2)@! = 0 G @! = 1* / ;H = I J/7K 4 5797:;
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Problema 4.10 Una barra se mueve en el plano de la página de forma que el extremo A tiene una velocidad 2
de 7 m/s y frena con una aceleración de 3.3 m/s . ¿Cuáles serán la velocidad y la aceleración o
del punto C cuando BA forme 30 con la horizontal?
O
Solución Datos:
= 7̂ / = −3.3̂ / / = ? = ? En la barra AB se plantea la ecuación de la velocidad de B en función de A
= + × / = "# Donde, / = − 3cos 30° ̂ + 3 sen 30° ̂ ! = 7̂ + "# × $− 3cos 30° ̂ + 3 sen 30° ̂ % = 7 7̂ − 3 cos 30° ̂ − 3 sen30°̂ La velocidad descomponiendo se tiene, = 0̂ + ̂
$7 − 3 sen30°% 0̂ 0̂ + ̂ = $7 sen30°%̂ − 3 3 cos30°̂ Igualando expresiones se tiene
7 − 3 sen sen 30° 30° = 0 & = '.((7)/ - 148-
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−3cos30° = − & = *.*' / / Luego planteamos la ecuación de velocidad de O en función de A
, = + × ,/ *.-cos30° os30° ̂ + *.*.- sen sen 30° 30° ̂ ! = '.((7"# Donde, ,/ = − *.-c = 7̂ 7̂ + '.(( '.((7" 7"# × $− *.-c *.-cos30° os30° ̂ + *.-sen *.-sen 30° 30° ̂ % , = 7̂ − *.*.-$'.((7% '.((7%cos cos 30° 30° ̂ − *.*.-$$'.((7% '.((7% sen30°̂ , = 3.-̂ − (.0( (.0(̂ ̂ $/%
$%
Planteando la ecuación de aceleración de B en función de A
= + "# × / − $ − $ % / = −3.31 ̂ + 2 "# × $−3 $−3 cos cos 30° 30° 1̂ + 3 sen sen 30° 4̂ % − $'.((7% $−3 $−3 cos cos 30° 30° 1̂ + 3 sen sen 30° 30° 4̂ % = −3.3̂ −3.3̂ − 3 3 sen sen 30° 30° ̂ − 3 cos cos 30° 30° ̂ + -(.-(.-5 5̂̂ − 3.( 3.((- (-̂̂ 0̂ + ̂ Donde = 0̂ 0̂ 0̂ + ̂ = $−3.3 − 3 sen 30° + -(.-5% -(.-5%̂̂ − $3 $3 cos 30° + 3.((-%̂ 3.((-%̂ Desarrollando la expresión anterior,
01 = $−3.3 −3.3 − 3 sen sen 30° 30° + -(.-5 -(.-5%1 & = 3-.- )/ )/ 4 = −$3 cos 30° + 3.((3.((-% 4 & = −*'.6-/ Determinando la velocidad en C en función de O
= , + , × /, cos (0° (0° ̂ + sen sen (0° (0° ̂ ,, = 3.-̂ − (.0( (.0(̂̂ $/%! $/%! , = Donde /, = cos = 3.-̂ − (.0( (.0(̂ ̂ + '.(( '.((7" 7"# × $co $coss (0 ̂ + sn sn (0 ̂ % = 3.-̂ 3.-̂ − '.( '.((7 (7 sn sn (0 ̂ − (.0 (.0( (̂̂ + '.(( '.((7 7 cos cos (0 ̂ & = −0.-'*̂ −0.-'*̂ − 3.76̂ 3.76̂ $/% $/% La aceleración en O en función de A
, = + , "# × ,/ − $ − $ , % ,/
$8%
, = = '.((7"# ) )/ /!! , = = 3-.-"# )/ ! = −3.3̂ / / Donde - 149-
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Reemplazando en (b) valores respectivos
, = −3.3 3.3̂̂ 33-..-+" +"# $*. $*.-c -cos30°̂ os30°̂ *.-s *.-sen30°̂ en30°̂ % 9'.((7"# : $* *.-cos .-cos 30° 30° ̂ *.-s *.-sen30°̂ en30°̂ %
, 3.3̂ +(.(' +(.('̂̂ '(.* '(.*'+̂ '+̂ +5.+6 +5.+6'̂ '̂ *(.3 *(.33(̂ 3(̂ , *.('(̂ *.('(̂ (+.'7 (+.'75̂ 5̂ $/%
$c%
Determinando la aceleración en C en función de O
, , "# /, $, % /, Donde
, '.((7"# ) )/! /! , 3-.-+"# )/ , 3-.-+"# $ $co coss (0 (0°° ̂ sen sen (0 (0°° ̂ % '.((7 $cos cos (0 (0°° ̂ sen sen (0 (0°° ̂ % , 30.7( 30.7(*̂ *̂ *7.7( *7.7(̂̂ *0.56 *0.56̂̂ *5.5( *5.5(3̂ 3̂
$)%
Reemplazando (c) en (d)
< =>. ?@A ; ?@AB B ̂ C>.DEFG ̂ H IJKLMJKN; H IJKLMJKN;
OPoQReS '.** TPe En el dispositivo que se muestra la barra AB está girando con una velocidad angular constante de 5 rads/s en el sentido de las agujas del reloj. ¿Cuáles serán las velocidades angulares de la barra BD y del cuerpo EFC? Determinar la velocidad del punto D (Indicación: ¿Cuál es la dirección de la velocidad del punto G?)
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