VIBRACIONES MECANICAS TEMA
UNIDAD I. CINEMATICA DE LA VIBRACION 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
CONCEPTO DE GRADOS DE LIBERTAD MOVIMIENTO ARMONICO Y SU REPRESENTACION USO DE FASORES PARA SUMA, RESTA, MULTIPLICACION Y DIVISION DEL MOVIMIENTO ARMONICO SERIE DE FOURIER APLICADA AL MOVIMIENTO ARMONICO DIAGNOSTICO DE FALLAS EN LA MAQUINARIA ROTATORIA A PARTIR DEL REGISTRO DE LA VIBRACION
CINEMÁTICA DE LA VIBRACIÓN
1.1 CONCEPTO
DE GRADOS DE LIBERTAD.
El número de grados de libertad en ingeniería se refiere al número mínimo de números reales que necesitamos especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones de una estructura. En mecánica clásica y lagrangiana, la dimensión d del espacio de configuración es igual a dos veces el número de grados de libertad GL, d = 2·GL. - Grado de libertad (gdl). Número de coordenadas independientes que describen el movimiento. - Periodo (T). Tiempo necesario para que el sistema realice un ciclo completo del movimiento. - Frecuencia (f). Número de ciclos desarrollados en la unidad de tiempo. - Elongación (x). Desplazamiento del sistema respecto de la posición de equilibrio inicial. - Amplitud (xm). Desplazamiento máximo del sistema respecto de la posición de equilibrio inicial. Grados de libertad en mecanismos planos Para un mecanismo plano cuyo movimiento tiene lugar sólo en dos dimensiones, el número de grados de libertad del mismo se pueden calcular mediante el criterio de Grübler-Kutzbach: Donde: m,, movilidad. , número de elementos (eslabones, barras, piezas, etc...) de un mecanismo. , número de uniones de 1 grado de libertad. , número de uniones de 2 grados de libertad. Importante: esta fórmula es válida sólo en el caso de que no existan enlaces redundantes, es decir enlaces que aparecen físicamente en el mecanismo pero no son necesarios para el movimiento de éste. 1.2 MOVIMIENTO
ARMÓNICO Y SU REPRESENTACIÓN.
Cinemática del m.a.s. El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo (tal como puede verse en la figura. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.
Una partícula tiene un MAS si su desplazamiento x respecto el origen es,
(
)
Como el coseno x = A cos ωt + ϕ varía entre +1 y –1, x toma valores entre A y -A 0
ωt νϕ ω A===+12ϕ2πPπPω= 2π ν P Periodo Ángulo Fase Amplitud Frecuencia Frecuen inicial de (se (intervalo fase oende (fase (máximo mide cia tiempo fase )para cuando desplazamie hertz angul t =0) el que nto) ar el valor de x se repite) 0
0
La velocidad v de una partícula que tiene un MAS es,
Varíadxperiódicamente entre los valores ω A y -ω A
v=
dt
= −ωAsen( ωt + ϕ 0 )
La aceleración a de una partícula que tiene un MAS es,
Varíadv periódicamente entre los valores ω 2A y -ω 2A. 2 2 a =el MAS = −aωesAproporcional cos ωt + ϕ 0y opuesta = −ω x a x. En
dt
(
)
Representación Velocida Aceleraci Desplazami del desplazamiento ón d ento en función del tiempo
La ecuación viene siendo
md 2 x F = −kx = ma = dt 2
md 2 x = − kx dt 2
d 2x kx =− dt m
kx d 2 x = =0 m dt 2
y la solución viene siendo Donde
x(t ) = A cos(ω t + α ) N kgm 2 m→ s → 1 hertz k = mω 2 → ω = k → m kg kgm s 2 1.3 USO
DE FASORES PARA LA SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MOVIMIENTO ARMÓNICO.
El desplazamiento de una partícula que se mueve con un MAS se puede considerar como la componente X de un vector de longitud OP’= A; este vector rota en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de O con velocidad angular ω y en cada instante forma un ángulo (ω t+ α ) con el eje X.
x = OP = A cos( ωt + ϕ0 )
v = −ωAsen( ωt + α ) = ωA cos( ωt + ϕ0 + π 2)
a = −ω2 A cos( ωt + α ) = ω2 A cos( ωt + ϕ0 + π )
Una sinusoide u onda seno está definida como una función de la forma (la razón de utilizar una onda coseno en lugar de un seno será entendida posteriormente) y = Acos(ωt + φ) ó x = Asen(ωt + φ) x = Ae(iwt) = A1i Sen(ωt + φ)+ A2cos(ωt + φ) Donde • y es la cantidad que varía con el tiempo • φ es una constante (en radianes) conocida como el ángulo de fase de la sinusoide • A es una constante conocida como la amplitud de la sinusoide. Es el valor de pico de la función. • ω es la frecuencia angular dada por ω = 2πf donde f es la frecuencia. • t es el tiempo. Esto puede ser expresado como Donde • i es la unidad imaginaria . • da la parte real del número complejo "z". De forma equivalente, según la fórmula de Euler,
Sen θ =
ix ⇒ r i Senθ r
Cos θ = γ
r
⇒ r = γ Cosθ
Y, la representación fasor de esta sinusoide se define de la forma siguiente:: de forma que Así, el fasor Y es el número complejo constante que contiene la magnitud y fase de la sinusoide. Para simplificar la notación, los fasores se escriben habitualmente en notación angular:
Transformada fasorial La transformada fasorial o representación fasorial permite cambiar de forma compleja a forma trigonométrica: Donde la notación se lee como "transformada fasorial de X" La transformada fasorial transfiere la función sinusoidal del dominio del tiempo al dominio de los números complejos o dominio de la frecuencia. Transformada fasorial inversa La transformada fasorial inversa dominio del tiempo.
permite volver del dominio fasorial al
Aritmética fasoria Lo mismo que con otras cantidades complejas, el uso de la forma exponencial iφ polar Ae simplifica las multiplicaciones y divisiones, mientras que la forma cartesiana (rectangular) a + ib simplifica las sumas y restas. Suma si w1 = w2
x1 = A e (iw1t )
x1 + x2 = A1 e (iw1t ) + A2 e ( iw2t )
x2 = A e (iw2t )
x1 + x2 = ( A1 + A2 ) e (iwt)
En la Resta se recambia el signo más por el menos Multiplicación División x1 x2 = ( A 1 • A 2)ei ( w1 + w2 ) t
1.1 SERIE
x1
DE
x2
=(A1
A2
)ei ( w1 − w2 ) t
FOURIER APLICADA AL MOVIMIENTO ARMÓNICO.
En relación con la descripción del movimiento armónico compuesto, el matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) demostró que toda oscilación de período T puede considerarse un movimiento armónico compuesto formado por una serie finita o infinita de sumandos de movimientos armónicos simples, cuyas frecuencias sucesivas son:
En esta descripción, los primeros términos de la serie, con frecuencias más bajas, son mucho más intensos que los de frecuencias altas y tienen mayor importancia en la descripción real del movimiento oscilatorio.
Ilustración gráfica de las series de Fourier para oscilaciones periódicas. Como puede verse, el movimiento real de la segunda gráfica puede reproducirse con bastante exactitud mediante una suma de un número limitado de armónicos simples. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. Las series de Fourier tienen la forma:
Donde
y
se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la
función Tal serie es muy útil en el análisis de las vibraciones, para el tratamiento de las funciones periódicas que no son armónicas; es decir, no pueden ser descritas por una función senoidal única. Cuando la serie de Fourier se aplica a resolver problemas de vibración, el parámetro x se sustituye por un parámetro del tiempo que puede expresarse sin dimensiones como wt donde w es la frecuencia asociada con el periodo fundamental. , ,
1 a0 = T
1 nπ ∫−T f (t ) dt an = T −∫T f (t ) cos T T
1.2 DIAGNOSTICO
T
1 nπ t dt bn = ∫ f (t ) sin T −T T T
t dt
DE FALLAS EN LA MAQUINARIA ROTATORIA A PARTIR DEL REGISTRO DE LA VIBRACIÓN.
El análisis de vibraciones se emplea para determinar la condición del equipo rotatorio, identificando los problemas en su etapa incipiente antes de que causen fallas graves y paros no programados. Estos problemas pueden ser: rodamientos deteriorados o defectuosos, soltura mecánica, desalineamiento, desbalance, problemas eléctricos en el equipo motriz, etc. Se conoce por Programa de Mantenimiento Predictivo aquel que contempla de modo eficaz de 3 etapas imprescindibles 1. Detección Constituye el primer paso dentro del PMP y se basa en el seguimiento de uno o varios parámetros seleccionados adecuadamente, de acuerdo a su sensibilidad ante los cambios en la condición de la maquina analizada. 2. Identificación Una vez el problema ha sido detectado, es proceder a la determinación de la causa de este es decir, identificar que elemento o elementos de la maquina es el o los causantes del incremento en los niveles de vibraciones, con respecto a las referencias que se reflejaban en una condición mecánica normal de la maquinaria. 3. Corrección Por supuesto, conocer la causa del problema y por consiguiente la ubicación de este, permite organizar y ejecutar de modo eficiente y eficaz los trabajos de eliminación del problema y de su propia causa
Formas de observación de las vibraciones
Incluso en una maquina bien diseñada, solo es posible reducir, mas que eliminar, las fuerzas dinámicas causantes del choque y de la vibración. Entonces, aun las fuerzas de excitación relativamente pequeñas pueden producir respuestas inconvenientemente extensas en caso de existir resonancia, o una aproximación a ella, en un sistema con ligera amortiguación. Se dispone de ciertas técnicas para controlar la respuesta: 1) el control conveniente de las frecuencias naturales para prevenir la resonancia con la excitación; 2) la aplicación de amortiguamiento o de medios disipadores de energía para prevenir la respuesta excesiva, incluso en la resonancia; 3) el empleo de aisladores para reducir la transmisión de las fuerzas de excitación de una a otra parte de la maquina, y 4) la añadidura de un neutralizador de masa auxiliar para reducir la respuesta. Una maquina o elemento de maquina puede experimentar una vibración excesiva si sobre ella actúa una fuerza vibratoria cuya frecuencia de vibración casi coincida con una frecuencia natural de la maquina o del elemento de maquina. En algunos casos, la vibración puede reducirse cambiando la frecuencia natural o la frecuencia de operación, para eliminar la condición de resonancia, o bien añadiendo amortiguación al elemento para disminuir su respuesta a la resonancia. En otros casos, la vibración no puede reducirse por tales medios, pero si la aplicación de un neutralizador de vibraciones que consiste en una masa auxiliar acoplada al sistema vibratorio, generalmente por medio de resortes y amortiguadores. En el análisis de los neutralizadores de masa auxiliar, es conveniente representar al elemento de maquina cuya vibración se va a reducir, como un sistema de un grado de libertad.
