Cinemática de los fluidos1

HIDRODINÁMICA

Cinemática de fluidos

UNIDAD 2. HIDRODINÁMICA. 2.1 CINEMÁTICA DE FLUIDOS.

2.1.1 Campos vectoriales.

2.1.1.1 Definiciones y clasificación de la hidrodinámica. Se define la hidrodinámica como la parte de la hidráulica que estudia el estado de movimiento de los líquidos, analizando la relación entre las magnitudes de dicho movimiento y las fuerzas que lo producen, clasificándose para su estudio en hidrocinemática hidrocinemática e hidrocinética. hidrocinética. La cinemática de los líquidos (o hidrocinemática) estudia el movimiento de sus partículas, sin considerar la masa ni las fuerzas que actúan, en base al conocimiento conocimiento de las magnitudes cinemáticas básicas: velocidad, aceleración y rotación. 2.1.1.2 Los campos vectoriales de flujo. Un campo de flujo se define como cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, con la condición de que la región o subregión del flujo quede ocupada por el fluido. En cada punto del campo de flujo es posible determinar o especificar una serie de magnitudes físicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a su vez campos independientes o dependientes dentro del flujo. Un campo escalar se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad física a la cual corresponde; algunos ejemplos son la presión, la densidad y la temperatura. En un campo vectorial, además de la magnitud, se necesita definir una dirección y un sentido para la cantidad física a la que corresponde, es decir, tres valores escalares. Algunos ejemplos de campos vectoriales son la velocidad, la aceleración y la rotación.

Guillermo Cardoso Landa1 Landa1

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Por último, un campo tensorial se define mediante nueve o más componentes escalares, por ejemplo: esfuerzo, deformación unitaria y momento de inercia. 2.1.2 Velocidad, aceleración y rotación.

2.1.2.1 Campo vectorial de velocidades en un flujo. El análisis del movimiento de una partícula del fluido que recorre una curva se puede hacer de dos maneras diferentes: mediante el vector de posición r en función del tiempo y mediante el conocimiento de la trayectoria de la partícula. 2.1.2.1.1 Vector de posición en función del tiempo. El movimiento de una partícula fluida puede expresarse en función del vector de posición r como una función vectorial del tiempo t, es decir,

=  =   +  + 

Donde i, j, k representan los vectores unitarios según tres ejes de coordenadas ortogonales cualesquiera y (x, y, z) son las proyecciones de r de acuerdo a dichos ejes. Estas proyecciones son cantidades escalares y funciones del tiempo: Guillermo Cardoso Landa2

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  =   = = 


2.1.2.1.2 Conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función recorrido-tiempo. En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto origen A), como una función escalar del tiempo, es decir:

= 

2.1.2.1.3 Definición del vector velocidad ( v) en un flujo. El vector velocidad de una partícula fluida se define como la rapidez temporal del cambio en su posición, como se ilustra en la Figura siguiente:

Guillermo Cardoso Landa3

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La velocidad es un campo vectorial dentro de un flujo y, al desplazarse la partícula según la curva C, es un vector tangente en cada punto a la misma que, en general, depende de la posición de la partícula y del tiempo:

=  , = 

La velocidad, en términos de sus componentes según los tres ejes coordenados elegidos, se puede escribir:

=   +   +   Dichas componentes son funciones de la posición de la partícula y del tiempo, es decir:

 =  ,,, =   =  ,,,=   =  ,,,= 


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Siendo la magnitud del vector velocidad,

       =  = √   +   + 

2.1.2.2 Campo vectorial de aceleraciones en un flujo. El campo vectorial de aceleraciones se deriva del campo vectorial de velocidades, puesto que el vector aceleración se define como la variación temporal de la velocidad en ese punto, es decir:

   =  = 

La aceleración no tiene una orientación coincidente con la trayectoria de la partícula, como ocurre con la velocidad; de acuerdo con la definición de derivada total y en base a las ecuaciones anteriores, sus componentes, atendiendo a tres ejes de coordenadas cartesianas, son:


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Las cuales son función de punto y tiempo. La aceleración de las partículas del fluido se puede considerar como la superposición de dos efectos: 1. En el instante t se supone que el cambio es independiente del tiempo; en estas circunstancias la partícula cambiará de posición en ese campo y su velocidad sufrirá variaciones en los diferentes puntos del mismo. Esta aceleración, debida a cambio de posición, se llama aceleración convectiva y está dada por las expresiones contenidas en los primeros paréntesis de las ecuaciones anteriores. 2. El término de los segundos paréntesis no proviene del cambio de posición de la partícula, sino de la variación de la velocidad en la posición ocupada por la partícula al transcurrir el tiempo. A esta se le llama aceleración local.


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2.1.2.2.1 Componentes tangencial y normal del vector aceleración de un flujo.


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rección de la normal principal local de la trayectoria; y, el tercero, según la binormal de la misma (Figura 3.4a).

La magnitud de la componente de la aceleración tangencial se expresa mediante,

 =  =   +  =   + 

Ahora si se sabe que,

 2=       = [  2  +  ] 

Y si se sustituye esta última expresión en la anterior,


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Por otro lado, la componente normal del vector aceleración de un flujo es,

   = −   2.1.2.3 Campo vectorial rotacional en un flujo.


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 = (2  +2  +2   )=2 



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Lo cual significa que el vector rot v es paralelo a w y perpendicular en cada punto a v.

2.1.2.2.1 Componentes tangencial y normal del vector rotacional de un flujo.


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2.1.3 Definición y clasificación de flujos.

Los flujos pueden agruparse atendiendo a diferentes criterios, siendo los más comunes los descritos a continuación. 2.1.3.1 Atendiendo a las características del flujo con respecto al tiempo. Cuando se toman en consideración las propiedades de un fluido así como sus características mecánicas un flujo puede ser de 2 tipos: 1. FLUJO PERMANENTE. Se define como aquel en el cual las características del flujo en un punto permanecen constantes para cualquier instante de tiempo, o bien, si las variaciones en ellas son muy pequeñas con respecto a sus valores medios y éstos no varían con el tiempo. El flujo permanente es más simple de analizar que el flujo no permanente, por la complejidad que adiciona el tiempo como variable independiente. 2. FLUJO NO PERMANENTE. Se presenta este tipo de flujo cuando sus propiedades y sus características mecánicas son diferentes de un punto a otro dentro de su campo al cambiar de un instante de tiempo a otro. 2.1.3.2 En función del vector velocidad del flujo. 1. FLUJO UNIFORME. Si en un instante particular el vector velocidad es idéntico en cualquier punto del flujo, se dice que un flujo es uniforme. Esto se expresa por , donde es un desplazamiento en una dirección cualquiera. 2. FLUJO NO UNIFORME. Se presenta un flujo no uniforme cuando existen cambios en el vector velocidad, los cuales pueden ser en la dirección del mismo o en direcciones transversales. En un flujo no uniforme se cumple que , donde es un desplazamiento en una dirección cualquiera. En hidráulica se pueden presentar los 4 tipos de combinaciones de los ya definidos, es decir: flujo uniforme permanente, flujo uniforme no permanente, flujo no uniforme permanente y flujo no uniforme no permanente.

 =0

 ≠0





2.1.3.3 Considerando el sistema de referencia para el análisis del flujo. 1. FLUJO UNIDIMENSIONAL. Un flujo es unidimensional cuando sus características varían como funciones del tiempo y de una coordenada Guillermo Cardoso Landa13

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curvilínea en el espacio, usualmente la distancia medida a lo largo del eje de la conducción. 2. FLUJO BIDIMENSIONAL. Se define un flujo bidimensional como aquel en el que sus características son idénticas sobre una familia de planos paralelos, no habiendo componentes en dirección perpendicular a dichos planos, o bien ellas permanecen constantes; es decir, que el flujo tiene gradiente de velocidad o de presión en dos direcciones exclusivamente. 3. FLUJO TRIDIMENSIONAL. Un flujo es tridimensional cuando sus características varían en el espacio, o sea que los gradientes del flujo existen en las tres direcciones. 2.1.3.4 Con respecto a la viscosidad del flujo. 1. FLUJO LAMINAR. Se caracteriza porque el movimiento de las partículas se produce siguiendo trayectorias separadas perfectamente definidas (no necesariamente paralelas), sin existir mezcla macroscópica o intercambio transversal entre ellas. 2. FLUJO TURBULENTO. En un flujo turbulento las partículas se mueven sobre trayectorias completamente erráticas, sin seguir un orden establecido. Para determinar este tipo de flujos se utiliza un parámetro adimensional llamado NÚMERO DE REYNOLDS, , que relaciona las fuerzas de inercia con respecto a las fuerzas viscosas que actúna sobre el flujo, es decir,

       =  Fuerzas viscosas  = ѵ

La cual para el caso de un conducto a presión se expresa a través de la longitud característica del flujo L como el diámetro D del conducto, es decir,

 = ѵ

En la cual, Re, número de Reynolds, adimensional V, velocidad media del agua, en m/s


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D, diámetro del conducto en análisis, en m 2 ѵ, viscosidad cinemática del agua, en m /s 2.1.3.5 En función de la compresibilidad del fluido. 1. FLUJO COMPRESIBLE. Un flujo se considera compresible cuando los cambios de densidad de un punto a otro son importantes, cuando se le somete a esfuerzos normales. Un ejemplo de este tipo de flujo es cuando se presenta el golpe de ariete. 2. FLUJO INCOMPRESIBLE. Es aquel que no presenta cambios de densidad o se consideran despreciables, cuando es sometido a esfuerzos normales. 2.1.3.6 Dependiendo del campo rotacional de velocidades . 1. FLUJO ROTACIONAL. Cuando en un flujo el campo rotacional de velocidades adquiere en alguno de sus puntos valores distintos de cero, para cualquier instante de tiempo, se le llama flujo rotacional, es decir cuando se cumple que .

 ≠0

2. FLUJO IRROTACIONAL. Por el contrario, si dentro de un campo de flujo el vector rotacional de velocidades es igual a cero para cualquier punto e instante de tiempo, el flujo es irrotacional, es decir cuando .

 =0


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2.1.4. Línea de corriente, trayectoria y vena líquida.


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