Circuito Equivalente del Autotransformador

Circuito Equivalente del Autotransformador

2009

Iurinic, Leonarado Ulises: Ing. Electromecánico

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2009

1) Introducción: Un autotransformador puede ser descripto básicamente como un par de impedancias conectadas en serie con un acoplamiento inductivo entre ellas, al aplicar tensión entre cualquiera de los bornes de las impedancias se tendrán otros valores de tensión entre los demás bornes, es decir que tendremos algo prácticamente igual a un divisor de tensión como los usados en circuitos electrónicos con el agregado de una inductancia mutua entre los elementos. Como podemos ver en la siguiente figura 1.1, los dos bobinados son atravesados por el mismo flujo al igual que en un transformador común, por lo tanto las tensiones inducidas en ambas bobinas estarán en fase y existirán las mismas relaciones de transformación entre las bobinas 1 y 2 que en un transformador común, además si despreciamos la intensidad de excitación necesaria para mantener el flujo, estas estarán también en fase.

Fig. 1.1 Por lo que ya se ha dicho y observando la figura 1.1 las relaciones de transformación serán las siguientes: E1 E2 IS

=

I I S

= k

+ I=

IL

Luego, dependiendo de cuáles sean los bornes de entrada y salida tendremos la relación de transformación para el autotransformador: " a " Por ejemplo aplicando tensión entre los bornes “S”-“SL” y tomando como tensión de salida la existente entre “L”-“SL”, la relación del autotransformador será: a

=

N1

+

N 2

N2

=

E1

+

E2

E 2

Al igual que en un transformador común, vamos a deducir un circuito equivalente en el cual solamente aparecen impedancias carentes de acoplamientos magnéticos y así poder alcanzar una forma más sencilla de analizar esta máquina eléctrica. Para mayor claridad se divide el estudio en autotransformador reductor y elevador de tensión, primeramente vamos a proponer un modelo y aplicar las leyes de Kirchoff para alcanzar una ecuación representativa, luego se vuelve a explicar el funcionamiento utilizando diagramas








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2) Autotransformador reductor:

Fig. 2.1 Circuito equivalente referido al primario (lado de alta tensión) Relaciones de transformación:

De lo explicado en las sección 1, podemos realizar un cuadro con las relaciones de transformación que vamos a utilizar en el desarrollo. a

=

k = k

N1

+ N 2

N 2

E1 E2

=

IS

N 2

I = IS I L

I S

+ I=

N 1

= a −1

I

= k IL

⋅ ( a − 1)

= a⋅

IS

Aplicando la ley de tensión de Kirchoff en el sentido indicado por las flechas en líneas de trazos sobre la figura 2.1, llegamos a las siguientes ecuaciones:

− I S ⋅ Z1 − E1 + I ⋅ Z 2 − E 2 = 0 V L + I ⋅ Z 2 − E2 = 0

VS

Despejando de 2.2 y ocupando las relaciones de transformación: E2

= V L + I ⋅ Z2

(2.1) (2.2)








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Luego, reemplazando E1 y E2 en 2.1 llegamos a: VS

− I S ⋅ Z1 − ( a − 1) ⋅VL − ( a − 1) ⋅ I ⋅ Z 2 + I ⋅ Z 2 −V L − I ⋅ Z 2 = 0

Ahora simplificamos la expresión y despejamos VS VS

− I S ⋅ Z1 − a ⋅VL − ( a − 1) ⋅ I ⋅ Z 2 = 0

VS

= a ⋅VL + I S ⋅ Z1 + ( a − 1) ⋅ I ⋅ Z 2

Utilizando las relaciones, reemplazamos I por IS para colocar todo en función de la corriente primaria. VS

= a ⋅ VL + I S ⋅ Z1 + I S ⋅ ( a − 1) ⋅ ( a − 1) ⋅ Z 2

Finalmente, acomodando la ecuación anterior llegamos a la 2.3 y pudimos generar la expresión de un circuito equivalente igual al que se muestra en la figura 2.2 VS

(2.3)

2 = a ⋅ VL + I S ⋅  Z1 + ( a − 1) ⋅ Z 2   

VS

= VLS + I S ⋅ ZeS

Fig. 2.2

V L=S a ⋅V L  2  ZeS = Z1 + ( a− 1) ⋅

Z2

Podemos ver que si necesitamos una impedancia de carga para trabajar con el circuito en lugar de la tensión de carga simplemente hacemos lo siguiente: VL = I

L

⋅ Z L = a ⋅ I S ⋅ Z L ⇒ a ⋅V L = I S ⋅ a 2 ⋅ Z L

Quedando la ecuación 2.3 de la siguiente forma: VS

2 = I S ⋅  Z1 + (a − 1) ⋅ Z 2 + a 2 ⋅ Z L   

(2.4)








VS a

= V L +

I S a

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2 ⋅  Z1 + ( a − 1) ⋅ Z 2   

Como: I S a

=

I L a

2

Llegamos a: VS a

(2.5)

 Z 1  a − 1 2  = V L + I L ⋅  2 +  ⋅ Z 2  a a    

VSL

= VL + I L ⋅ ZeL

Fig. 2.3 V S  V SL =  a   2 Z − a 1    Z = 1 + ⋅ Z 2  eL a 2  a 2 








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3) Autotransformador elevador:

Fig. 3.1 Circuito equivalente referido al primario (lado de baja tensión) Relaciones de transformación:

Nuevamente definimos las autotransformador elevador a

=

k =

k =

relaciones

N 1 N1 N1 N 2 a 1− a

transformación

I

+ N 2 =

de

I L

=

N 2

+ I=

E 1

I L

E 2

I = IS I L

N1

=

definidas

1

a

esta

vez

para

el

−1

IS

⋅ (1 − a)

= a⋅

IS

Siguiendo las flechas en líneas de trazos mostradas en la figura 3.1 y aplicando la ley de tensiones de Kirchoff obtenemos las siguientes ecuaciones

− I ⋅ Z1 − E1 = 0 V L − E2 + I L ⋅ Z 2 − I ⋅ Z 1 − E1 = 0

VS

Despejando E1 de 3.2 y reemplazando en 3.1 tenemos: E1

= V L − E2 + IL ⋅ Z2 − I ⋅ Z1

(3.1) (3.2)










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Luego, por las relaciones de transformación y la ecuación 3.1 obtenemos la siguiente ecuación para E2: E2

=

1  1  − 1 =  − 1 ⋅ a   a 

⋅ E 1 

V L

1  −  − 1  ⋅ I⋅ a 

Z 1

Si la reemplazamos en 3.3, la simplificamos y trabajamos llegamos a:

1  1  − I ⋅ Z1 − VL +  − 1  ⋅VL −  − 1  ⋅ I ⋅ Z1 − I L ⋅ Z 2 + I ⋅ Z1 = 0 a  a  V S 1  − V L −  − 1 ⋅ I ⋅ Z1 − I L ⋅ Z 2 = 0 a a  V S 1  1  − V −L − 1 ⋅  − 1 ⋅ I ⋅ ZS 1 − a ⋅ I ⋅ ZS 2 = 0 a a  a 

VS

Despejando VS y reordenando tenemos finalmente la ecuación de un circuito equivalente referido al primario, tal como se muestra en la figura 3.2: 2

VS VS

1  = a ⋅ VL + a ⋅  − 1 ⋅ I S ⋅ Z1 + a 2 ⋅ I S ⋅ Z 2 a 

(3.4)

2 = a ⋅VL + I S ⋅ (1 − a ) ⋅ Z1 + a 2 ⋅ Z 2   

VS

= VLS + I S ⋅ ZeS

Fig. 3.2










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Nuevamente podemos despejar VL y obtener así el circuito equivalente referido al secundario (lado de alta tensión) tal como se muestra en la figura 3.3 y lo expresa la ec. 3.6. VS a

V S a

= V L +

I S a

2 ⋅ (1 − a ) ⋅ Z1 + a 2 ⋅ Z 2   

 1 − a  2  = V L + I L ⋅  2  ⋅ Z1 + Z 2   a  

(3.6)

VSL

= VL + I L ⋅ ZeL

Fig. 3.3 V S  V SL =  a   2  Z =  1− a  ⋅  eL  a 2 

Z 1 +⋅ Z 2








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4) Diagramas vectoriales Para una mejor interpretación del desarrollo anterior el cual ha sido basado mas bien desde un punto de vista matemático, haremos ahora una interpretación por medio de diagramas vectoriales. 4-1) Autotransformador Reductor Para dibujar los fasores tengamos presente la figura 2.1. Como ya se venía trabajando, si el flujo que atraviesa las bobinas es el mismo y despreciamos la excitación necesaria para mantener el flujo, las corrientes que atraviesan a estas deberán estar en fase, entonces dibujamos primeramente “IS” y le sumamos “I” tal como se muestra en la figura 4-1.1 para obtener así la corriente que toma la carga IL. Adelantado a esta un ángulo φc tendremos la tensión de carga V L.

Fig. 4-1.1 Sumando a esta tensión de carga las caídas por la reactancia de la bobina 2 tendremos la f.e.m. inducida en este bobinado tal como se dibuja en la figura 4-1.2.








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Ya hemos hallado E2, si tanto la bobina 1 como la 2 son atravesadas por el mismo flujo, las f.e.m. inducidas en ambas están en fase y relacionadas por el número de espiras tal como se había visto en la sección 2: E1 E2

=

I I S

= k = a −1

Vemos que al conocer E2 podemos calcular E1. Luego sumamos E1 a VL y sumamos también las caídas por la reactancia de la bobina 1 tal como se muestra en la figura 4-1.3 para obtener finalmente la tensión de fuente VS.

Fig. 4-1.3 Si traducimos a ecuaciones los pasos seguidos llegamos a las mismas fórmulas deducidas aplicando directamente las leyes de Kirchoff. En la figura 4-1.4 se muestra el diagrama vectorial completo.








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Fig. 4-1.4

4-2) Autotransformador Elevador

Para un autotransformador elevador nos remitimos a la figura 3.1 y seguimos los mismos pasos explicados para el autotransformador reductor, pero ahora tenemos la siguiente relación entre las corrientes: I L

=

IS

−

I

Adelantada un ángulo φc tendremos la tensión de carga VL como se ve en la figura 4-2.1

Fig. 4-2.1 Sumando la caída de tensión por reactancias del bobinado 2 obtenemos esta ves la tensión VS+E2 como puede observarse a continuación en la figura 4-2.2.










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Fig. 4-2.3 Como las E1 y E 2 están en fase y sus magnitudes relacionadas por el número de de espiras de las respectivas bobinas, podemos calcular cada una de estas por separado. Si ahora sumamos a E1 las caídas debidas a la reactancia de la bobina 1 obtenemos finalmente la tensión del lado fuente en la máquina VS como podemos observar en la figura 4-2.4.








Fig. 4-2.5

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5) Conclusión Al igual que en un transformador común, lo que hacemos es reemplazar el acoplamiento inductivo entre las bobinas por una relación de transformación constante entre las tensiones inducidas a causa de este acoplamiento. Luego hallamos un circuito equivalente proponiendo un modelo lógico y aplicando directamente las leyes de Kirchoff, este puede ser referido a la entrada o salida dependiendo de qué tensión, corriente e impedancias decidamos afectar por la constante de transformación y así obtener un circuito cuyos parámetros “base” serán justamente los del lado elegido. Los diagramas vectoriales son extremadamente útiles a la hora de resolver problemas ya que representan al circuito equivalente deducido mediante Kirchoff. Finalmente podemos ver que el tratamiento del autotransformador es igual al de un transformador, pero le agregamos la condición de que la corriente tomada por la carga sea la sumatoria de las corrientes que atraviesan las bobinas.

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