Circuito RC, Respuesta a la frecuencia. A.M. Velasco (133384) J.P. Soler (133380) O.A. Botina (133268) Departamento de física, facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia
Resumen. Se armó un circuito llamado RC, cuyo nombre hace referencia a un circuito compuesto de una resistencia y un condensador, donde un generador de señales suministra un potencial que varía según cierta señal sinusoidal; la cual se puede observar en uno de los canales de un osciloscopio. En un segundo canal del osciloscopio se observa el voltaje en la resistencia; se varía la frecuencia de la señal de entrada y se toma las amplitudes de ambas señales y un tiempo de desfase entre los picos de las ondas mostradas por el osciloscopio. Con estas amplitudes y el valor de la resistencia obtenemos una característica especial de este circuito que se llama Impedancia, luego comprobamos la relación que hay entre ésta y la frecuencia. Con los tiempos tomados, se obtienen los ángulos de desfase y se estudia la relación entre dichos ángulos y la frecuencia.
Introducción. Un circuito RC, es llamado de esta forma al estar compuesto por una resistencia y un condensador, en este caso conectados en serie, a un generador de señales1. En un circuito RC como el descrito anteriormente, la corriente alterna que pasa por la resistencia y por el condensador es la misma. Esto significa que cuando la corriente está en su punto más alto (corriente de pico), estará así tanto en la resistencia como en el condensador. Sin embargo, en la resistencia, el voltaje y la corriente están en fase (sus valores máximos coinciden en el tiempo) mientras que el voltaje en el condensador está retrasado con respecto a la corriente que pasa por él. (El valor máximo de voltaje sucede después del valor máximo de corriente en 90º) Estos 90º equivalen a ¼ de la longitud de onda dada por la frecuencia de la corriente que está pasando por el circuito2. El voltaje total 𝑉𝑜 que alimenta el circuito RC en serie, es por tanto igual a la suma del voltaje en la resistencia 𝑉𝑅 y el voltaje en el condensador 𝑉𝐶 . 𝑉0 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐶
(1)3
Sin embargo, el voltaje tendrá un ángulo de desfase causado por el condensador, el cual se obtiene partiendo de la siguiente ecuación: 𝜃 = 2𝜋𝑓𝜏
(2)
Donde 𝑓 es la frecuencia de oscilación de la onda sinusoidal de la corriente alterna generada, y 𝜏 es un corrimiento encontrado entre los picos de las ondas del voltaje 𝑉𝑜 y 𝑉𝑅 cuyas graficas son sobrepuestas en el osciloscopio. Como se ha dicho con anterioridad, la corriente que circula por la resistencia es la misma que circula a través del condensador, partiendo de este hecho y haciendo uso de la ley de Ohm se tiene que: 𝐼0 = 𝑅𝑉𝑅
(3)
Donde 𝐼𝑜 es la corriente que circula por el circuito y 𝑅 es la resistencia. Además, se tiene la siguiente expresión (4) que relaciona la corriente 𝐼𝑜 con el voltaje suministrado por el generador de señales. 𝐼𝑜 =
𝑉0 𝑍
(4)
Donde 𝑍 es la impedancia del circuito, definida como: 𝑍2 = 𝑅2 +
2 1 2𝜋𝑓𝐶
(5)
Aquí, la expresión 2𝜋𝑓 es la frecuencia angular de oscilación de la corriente alterna generada (𝜔) y 𝑐 es la capacitancia del condensador.
Descripción del Montaje Experimental. El equipo experimental usado en la presente practica experimental, consta de una resistencia variable, un condensador cuya capacitancia es también variable, un generador de señales analógico y un osciloscopio. El esquema del montaje realizado para la práctica es el mostrado en la Figura 1.
Figura 1, muestra el montaje utilizado en la práctica experimental.
Los voltajes, 𝑉0 y 𝑉𝑅 son medidos con el osciloscopio y se sobreponen las ondas en él mostradas con el fin de facilitar la comparación y la obtención del desfase por medio de la medición del parámetro 𝜏.
El fin de este experimento, es verificar experimentalmente tanto la ecuación (5) como la siguiente relación: 1 tan 𝜃 = − (6) 𝜔𝑅𝐶
Y ya que la impedancia del circuito 𝑍 es una función de tres variables (𝑅, 𝐶, 𝑓) queriendo estudiar la variación de 𝑍 cuando se varía la frecuencia únicamente, se fijan los valores de la Resistencia y la Capacitancia. En esta práctica experimental se ha escogido un valor de la Resistencia de (200 ± 5)Ω y una Capacitancia de (1.10 ± 0.01)𝜇𝐹, valores que no han sido escogidos arbitrariamente, pues se busca que sea significativa la presencia de cada uno de los elementos en el circuito. Así mismo, para el caso de la ecuación (6), los valores fijados para la Resistencia y la Capacitancia son los mismos mencionados anteriormente. La frecuencia se varía en el generador de señales en un intervalo de 200 a 1000 Hz con incrementos de 100 Hz. Sin embargo, al medir esta misma frecuencia en el osciloscopio se observa que no corresponde a la indicada por el generador; frente a esta discrepancia, se decide anotar los datos de frecuencia mostrados en el osciloscopio, ya que a diferencia del generador, sobre el osciloscopio se puede obtener una calibración adecuada.
Análisis de resultados. Los datos tomados experimentalmente son los mostrados en la Tabla 1, la variación de la incertidumbre de una misma magnitud medida a diferentes frecuencias, se debe al cambio de escala realizado en el osciloscopio para facilitar la medición. En la tabla 1 puede verse, que el voltaje 𝑉𝑅 tiende ser constante, lo que indica que un cambio en la frecuencia, de oscilación de la señal generada no influye en la amplitud de la señal en la resistencia, por lo menos en el rango de frecuencias estudiado. La primera parte del análisis de los datos tomados experimentalmente, se va a dedicar a comprobar la ecuación (5), para esto, se parte de los datos de 𝑉0 , 𝑉𝑅 y 𝑓 y con ayuda de las ecuaciones (3) y (4) para calcular los valores de 𝑍 (los cuales se muestran en la Tabla 2) para cada una de las frecuencias. Es evidente además que la ecuación (5) puede escribirse de la forma: 𝑍2 = 𝑅2 +
1 1 2 2 𝑓 2𝜋𝐶
Ahora, si se nombran dos nuevas variables 𝑍 2 = A y
(7) 1 𝑓2
= 𝐹 puede verse que dichas variables
presentan una dependencia directamente proporcional y lineal, por lo que se procede a hacer la grafica de 𝐴 𝑣𝑠 𝐹 experimentales (Figura 2), la cual deberá tener como punto de corte a 𝑅 2 y como pendiente a
1 2 2𝜋𝐶
, y de esta forma quedaría comprobada la ecuación (5).
Figura 2, muestra la grafica de A vs F (Z² vs 1/f²) y el respectivo ajuste lineal.
Puede verse en la Figura 2, que efectivamente la dependencia es lineal y directamente proporcional, además luego de realizar el ajuste se consignan los datos de la pendiente y el intercepto en la Tabla 3, y son comparados con los datos teóricos que se obtienen a partir de hacer con los datos fijos inicialmente 𝑅 2 para el intercepto y
1 2 2𝜋𝐶
para la pendiente.
Puede verse en la Tabla 3 la gran similitud entre los datos teóricos y los obtenidos a partir del análisis de los datos experimentales, con lo que se puede afirmar que la ecuación (5) se cumple si se tiene en cuenta que las magnitudes mostradas en dicha tabla provienen de magnitudes experimentales y la propagación de errores es muy notable. Ahora, lo que viene es comprobar la ecuación (6), para esto se utilizan los datos tomados de 𝜏 y la ecuación (2) para así calcular el ángulo de desfase que va incluido en la ecuación (6). Al igual que la ecuación (5) la ecuación (6) se puede escribir de la forma: tan 𝜃 = −
1 1 2𝜋𝑅𝐶 𝑓
(8)
En este caso, si se define una nueva variable 𝐻 = tan 𝜃 y otra 𝐽 =
1 𝑓
puede verse una relación
lineal e inversamente proporcional entre 𝐻 y 𝐽 sin embargo, y con el fin de encontrar el valor de la pendiente de la grafica de 𝐻 vs 𝐽 experimentales, para compararla con la teórica encontrada al 1 reemplazar el valor fijado de 𝐶 en − se grafica la tangente del ángulo encontrado con la 2𝜋𝑅𝐶 ecuación (2) en función del inverso de la frecuencia 𝑓 (Figura 3). Los datos calculados para éste análisis, también son mostrados en la Tabla 2.
Figura 3, muestra la grafica de H vs J (tan𝜽 vs 1/f) y el respectivo ajuste lineal.
En esta gráfica puede apreciarse que la relación es inversamente proporcional como se esperaría partiendo de la ecuación (8), es conveniente sin embargo realizar el ajuste lineal para encontrar el valor experimental de la pendiente y del intercepto en caso de encontrar alguno distinto de cero, que es como se espera de la ecuación (6), estos datos son comparados con los datos teóricos en la Tabla 4. Puede verse, con respecto al punto de corte que el error es del 100%, pero esto se debe a que la formula usada para encontrar el porcentaje de error no es aplicable en el caso de comparar un valor con el numero 0, sin embargo, si se toma en cuenta la incertidumbre que presenta el punto de corte de esta gráfica, se ve que el 0 está incluido en ese rango de incertidumbre; con respecto a la pendiente de esta gráfica, se encuentra un porcentaje de error muy pequeño, además, el valor teórico también se encuentra dentro del rango de incertidumbre del valor encontrado a través del ajuste lineal. De lo anterior puede decirse que queda demostrada también la ecuación (6) que era otro de los objetivos del experimento. Respecto al comportamiento del fenómeno estudiado, y tomando como base las Figuras 2 y 3, se puede decir que la impedancia de un circuito RC se incrementa a medida que la frecuencia disminuye, o en este caso 1/𝑓 (conocido como el periodo de oscilación) aumenta. Puede decirse además, que cuando el periodo de oscilación 1/𝑓 aumenta, decrece el ángulo de desfase generado por el condensador. El signo del desfase depende del sistema de referencia que se tome para medir el parámetro 𝜏.
Ya que para calcular los valores graficados en la Figura 3 se utilizó un menor número de ecuaciones, la propagación de los errores es menor que para los datos graficados en la Figura 2, y puede verse que los datos están mucho más próximos a los obtenidos teóricamente.
Conclusiones. 1. La impedancia de un circuito RC es directamente proporcional al periodo de oscilación de la señal de corriente alterna generada es inversamente proporcional a la frecuencia. 2. Al encontrar la similitud entre los datos experimentales y los descritos teóricamente, puede afirmarse que cuando la capacitancia del circuito tiende a ser muy grande, la impedancia toma un valor muy cercano al de la resistencia. 3. El condensador del circuito RC genera un desfase en la señal del voltaje que se mide en la resistencia, el cual aumenta si se aumenta la frecuencia. Sin embargo, el voltaje 𝑉𝑅 tiende a permanecer constante.
Bibliografía. [1] Raymond A. Serway – 2005 Electricidad y Magnetismo Pg.169 [2] http://www.unicrom.com/Tut_circuitoRC.asp [3]http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/GOMILA/PROYECTO%20FINAL%20Gomila%2 0JR/circuito_serie%20RC.htm
Anexos. Datos experimentales f (Hz) ±∆f Vo (±0,02 V) 238.0 11.3 1.35 312.0 1.9 1.00 416.7 3.5 0.80 500.0 5.0 0.66 588.0 6.9 0.60 714.0 10.2 0.56 781.0 12.2 0.52 862.0 14.9 0.52 961.0 18.5 0.48
VRo (±0,02 V) 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40 0.40
τ (s) 0.0010 0.00060 0.00040 0.00030 0.00020 0.00020 0.00016 0.00012 0.00010
±∆τ 0.0002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002
Tabla 1, Muestra los datos tomados experimentalmente con sus respectivas incertidumbres.
Datos calculados Io (A) ±∆I Z (Ω) ±∆Z Z² (Ω²) ±∆Z² 1/f (s) ±∆1/f 1/f² (s²) ±∆1/f² θ (rad) ±∆θ tan θ 0.0020 0.0001 675 39 455625 52699 0.004 0.0002 1.77𝑥10−5 1.68𝑥10−6 -1.4954 0.3074 -14.101 0.0020 0.0001 500 30 250000 29686 0.003 0.00002 1.03𝑥10−5 1.28𝑥10−7 -1.1762 0.0399 -2.427 0.0020 0.0001 400 24 160000 19596 0.002 0.00002 5.76𝑥10−6 9.60𝑥10−8 -1.0472 0.0531 -1.743 0.0020 0.0001 330 21 108900 13849 0.002 0.00002 4.00𝑥10−6 8.00𝑥10−8 -0.9425 0.0635 -1.374 0.0020 0.0001 300 20 90000 11715 0.002 0.00002 2.89𝑥10−6 6.80𝑥10−8 -0.7389 0.0744 -0.911 0.0020 0.0001 280 19 78400 10402 0.001 0.00002 1.77𝑥10−5 1.68𝑥10−6 -0.8972 0.0906 -1.252 0.0020 0.0001 260 18 67600 9174 0.001 0.00002 1.03𝑥10−5 1.28𝑥10−7 -0.7851 0.0989 -0.999 0.0020 0.0001 260 18 67600 9174 0.001 0.00002 5.76𝑥10−6 9.60𝑥10−8 -0.6499 0.1089 -0.760 0.0020 0.0001 240 17 57600 8032 0.001 0.00002 4.00𝑥10−6 8.00𝑥10−8 -0.6038 0.1213 -0.690 Tabla 2, Muestra los datos calculados a partir de los datos teóricos tanto para la primera como la segunda parte del análisis de los datos.
Teórico Pendiente (2.09±0.04)𝑥1010 Intercepto (4.00±0.20)𝑥104
Gráfica (2.21 ± 0.09)𝑥1010 (3.22 ± 0.28)𝑥104
% de error 5.66 19.39
Tabla 3, Muestra la comparación entre los datos obtenidos del ajuste lineal de la Figura 2 y los obtenidos teóricamente.
Intercepto Pendiente
Teórico 0.00 (-723.431±19.244)
Gráfica (0.104±0.208) (-743.557±119.080)
% de error 100 2.782003387
Tabla 4 Muestra la comparación entre los datos obtenidos del ajuste lineal de la Figura 3 y los obtenidos teóricamente.
±∆tan θ 61.505 0.275 0.214 0.184 0.136 0.233 0.198 0.172 0.179
