8.29
Para poner de manifiesto el efecto del
factor de calidad
sobre el módulo de la
intensidad de corriente a frecuencias aproximadas a la de resonancia trazar las gráficas de variación de con respecto a para los siguientes circuitos: Circuito 1:
Circuito 2:
Solución:
Circuito 1:
La pulsación de la frecuencia de resonancia es:
√ √
Con lo que:
Para la frecuencia inferior de media potencia:
() ( ) ( ) () Para la frecuencia superior de media potencia:
()
( )
( ) () Circuito 2:
La pulsación de la frecuencia de resonancia es:
√ √
Con lo que:
Para la frecuencia inferior de media potencia:
() ( ) ( )
() Para la frecuencia superior de media potencia:
()
( )
( ) ()
8.38 La tensión aplicada a un circuito serie formado por una reactancia inductiva fija
= y una resistencia variable es = |° . Trazar los lugares geométricos de la admitancia y de la intensidad de corriente.
El lugar geométrico de es una semicircunferencia de radio:
r=
r=
1 2X
1 2 ∗ (5)
= 0.1
El lugar geométrico de la intensidad de corriente se obtiene de la expresión = ∗ , en donde = |° . La intensidad tiene un valor máximo de 10 A para R = 0.
8.39 A un circuito serie formado por na resistencia fija = y una capacidad variable C se le aplica la tensión = |° . Trazar los lugares
geométricos de la admitancia y de la intensidad de corriente.
El lugar geométrico de es una semicircunferencia de radio:
r=
r=
1 2R
1 = 0.1 2 ∗ (5)
El lugar geométrico de la intensidad de corriente se obtiene de la expresión = ∗ , en donde = |° . La intensidad tiene un valor máximo de 10 A para R = 0.
8.45 Hallar el valor de para el que entra en resonancia el circuito paralelo de la Fig. 845 y trazar el diagrama de su lugar geométrico. . = 5.34 Ω
8.48
En el diagrama del lugar geométrico de la admitancia del
Problema 8-47 hallar
el
valor de para el cual la intensidad de corriente total es mínima. ¿Cuál será el módulo de esta intensidad si el valor eficaz de la tensión aplicada es 100 voltios ?
. = 2.95 mH ; = 5.1 A
r=
1 2R
R =
R =
1 2r
1 = 2 Ω 2 ∗ (0.25)
= 2.95 mH = = 5000 ∗ (2.95 × 10 ) = 14.75 Ω = ( 2 + 14.75) Ω = ( 0.04 + 0.08) Ʊ
=
=
1
∗
0.04 − 0.08
0.04 + 0.08 0.04 − 0.08
=
1 0.04 − 0.08
= 1.6 × 10 + 6.4 × 10
0.04 − 0.08 8 × 10
= (5 − 10) Ω =
=
(5 − 1 0) ∗ (2 + 14.75) 5 − 10 + 2 + 14.75
=
=
∗ +
10 + 73.75 − 20 + 147.5 7 + 4.75
166.42|. ° 8.46|. °
=
I =
100 19.67
= 19.67|−. ° Ω = 5.08 A
=
157.5 + 53.75 8.46|. °
8.49
En el
Problema 8-47 aplicar
una tensión = |° y obtener para
cada valor de que origine la entrada en resonancia del circuito. Solución:
Los valores de L son:
L = 2.43 ; 0.066 mH ω = 5000 rad/s
Con L = 2.43 mH = 2.43 × 10 H
X = ωL X = 5000 ∗ (2.43 × 10 ) = 12.15 Ω Z = ( 2 + j12.15)Ω Z = (3 − j10)Ω Z =
=
(2 + j12.15) ∗ (3 − j10) 2 + j12.15 + 3 − j10 =
=
Z ∗ Z Z + Z
6 − 20 + 36.45 + 121.5 5 + 2.15
128.56|. ° 5.44| . °
= 23.63|−. ° Ω
=
=
150|° 23.63|−. °
= 6.35| . ° A
=
127.5 + 16.45 5 + 2.15
Con L = 0.066 mH = 0.066 × 10 H
X = ωL X = 5000 ∗ (0.066 × 10 ) = 0.33 Ω Z = (2 + j0.33)Ω Z = ( 3 − j10)Ω Z =
=
(2 + j0.33) ∗ (3 − j10) 2 + j0.33 + 3 − j10 =
=
Z ∗ Z Z + Z
6 − 20 + 0.99 + 3.3 5 − 9.67
21.16|− . ° 10.89|− . ° =
=
150|° 1.94|−. °
=
= 1.94|−. ° Ω
= 77.32|. ° A
9.3 − 19.01 5 − 9.67
8.50 En el circuito de fase variable de la Fig. 8-47 la fase de la tensión puede variar
desde 10º hasta 70º en retraso. A la frecuencia de 60 hertzios, ¿cuál será el margen de variación de que produce la citada variación de fase?
. 46.4 6080 En la primera rama:
=
2
La tensión en cada resistencia:
=
1 2
En la segunda rama:
=
( − )
= 2 = 2 ∗ (60) = 376.99 / =
=
1
1 (376.99) ∗ (5 × 10 )
= 530.52
8.54 En la figura. 8-51 se encuentra el diagrama del lugar geométrico de la intensidad
de corriente que circula por un circuito paralelo de tres ramas. Determinar todas las constantes del circuito sabiendo que = radianes por segundo.
Solución: Rama 1: =
Z =
150|−25° = 8.33|15° Ω 18|−40°
Z = (8.05 + j2.16) Ω = . = . = =
=
2.16 5000
= 4.32 × 10 = 0.432 × 10 = .
Rama 2: =
Z =
150|−25°
= 8.33|−60° Ω
18|35°
Z = ( 4.165 − j7.21) Ω = . = . =
=
C=
1 (5000) ∗ (7.21)
1 1
= 2.77 × 10 F = 27.7 × 10 F = .
Rama 3: Sen(35°) =
I 18
I = 18 ∗ Sen(35°) = 10.32 A =
=
150|−25°
= 14.53|65° Ω 10.32|−90°
= . ; = =
=
13.17 = 2.63 × 10 = . 5000
9.21
Determinar el número de mallas necesarias para poder resolver cada uno de los
circuitos de la . − ( − ). Emplear diferentes métodos para cada uno de ellos.
. ()5, ()4, ( )3, ()4, ()4, ( )5
9.22 En el circuito de la Fig. 9-23 hallar la intensidad de la corriente que circula por la
resistencia de 3 ohmios. El sentido positivo de la corriente es el que se indica en el esquema.
= 10I − j5(I − I) = 50|0° 3I + j4I − j5(I − I) = 0 10I − j5I + j5I = 50|0° 3I + j4I − j5I + j5I = 0 (10−j5 j5) (3 −j5j1)II = 50|0° 0 (10−j5 j5) 50|0° 0 = (10 − j5) j5 = (10 − j5) ∗ (3−j250 − j1) − (j5) ∗ (j5) j5 (3 − j1) 250|−90° 250|−90° = 250|−90° = .|−.° = 30 − j10− = j15 − 5 + 25 50 − j25 55.9|−26.57° = = .|−.°
9.25 En el circuito de la Fig. 9-26 hallar la tensión
por el método de las corrientes
de malla.
5(I + I) + 5I + j20I = 100|45° 5(I + I) + 20I = 100|45° 5I + 5I + 5I + j20I = 100|45° 5I + 5I + 20I = 100|45° (10+5 20) 255 = 100|45° 100|45° 5 100|45° 100|45° 25 = 2500|45° − 500|45° = (10+ 5 20) 255 250 + 500 − 25 − 353.55− 353.55 = 1414.22 + 1414.22 = 1767.77+ 1767.77 225 + 500 225 + 500 2000|45° = 3.65|−20.77° A = 548.29|65.77° = ∗ (5 + 20) = 3.65−20.77° ∗ 20.6275.96° = .|.°
9.26 En el circuito de la Fig. 9-27 hallar la tensión eficaz de la fuente V para la potencia
disipada en la resistencia de 5 ohmios sea 100 vatios.
j5(I + I) = V 10(I + I) + 5I = 0 10(I + I) + j5I + j5(I + I) = 0 j5I + j5I = V 10I + 10I + 5I = 0 10I + 10I + j5I + j5I + j5I = 0 j 05 150 10j5 II = V0 j5 10 (10 + j10) I 0 j 05 V0 10j5 0 10 −V ( ) ( ) j 5 0 10 + j 1 0 j 5 10+ j 1 0 = j5 0 j5 = j5 15 10 + j5 0 j5 j50 1015 (10+10j10) 10 (10+ j10) 15 10
Vj75050 + 375 I = j5(150 + j150Vj−50100) − j5(j75) = j5(50 +Vjj15500 ) + 375 = j250− Vj+50j250 = 450. V50|90° = −375 69|146.31° = V0.1109−56.31° P = VI P = I²R 100 = I(5) I = √ 20 = 4.4721 I = V0.1109−56.31° 4.4721 = V0.1109−56.31° 721 = . V = 0.4.14109
9.28 En un circuito de la Fig. 9-28
= = |° .
Hallar la potencia
suministrada por cada generador. Repetir el problema cambiando el sentido de la fuente
.
2I + 3(I − I) + j5(I − I) = 50|0° 3I − j8I + j5(I − I) + 3(I − I) = −50|0° 2I + 3I − 3I + j5I − j5I = 50|0° 3I − j8I + j5I − j5I + 3I − 3I = −50|0° 50|0° 5+ j5)) ((−3− j5))II = −50|0° ((−3− j5 6− j3 50|0° (−3− j5) −50|0° j3) = 50(6− j3) − 50(3+ j5) I = (5+ j5) ((6− ) (5 + j5)(6− j3) − (3+ j5)(3+ j5) (−3− j5) (−3−j5 6− j3) − 150 − j250 = 150 − j400 = 427.2|−69.44° I = 30 − j15+300j30− j150 + 15 − 9− j15 − j15+ 25 61 − j15 62.82|−13.82° I = 6.8|−55.62° A
S = V ∗ I∗ S = 500° 6.855.62° = 340|55.62° VA S = (191.99+ j280.61)VA = . (5+ j5) 50|0° (−3− −50|0° = −50(5+ 5) + 50(3+ 5) I = (5+ j5)j5) (−3− (−3−j5) (6− j3j5)) 62.82|−13.82° + 150 + 250 = −100 = −1.59|13.82° A I = −250 −62.250 82|−13.82° 62.82|−13.82° S = V ∗ I∗ S = −500° −1.59−13.82° = 79.5|−13.82° VA S = (77.2− j18.99)VA = .
j5)) (−3− j5) I = 50|0° ((5+ −3− j5 (6− j3) I 50|0° (−3− j5) 50|0° (6− j3) = 50(6− j3) + 50(3+ j5) I = (50|0° 5+ j5)) ((−3−j5)) (5 + j5)(6− j3) − (3+ j5)(3+ j5) (−3− j5 6− j3
+ 150 + j250 = 450 + j100 = 460.98|12.53° I = 30 − j15+300j30− j150 + 15 − 9− j15 − j15+ 25 61 − j15 62.82|−13.82° I = 7.34|26.35° A S = V ∗ I∗ S = 500° 7.3426.35° = 367|26.35° VA S = (328.87+ j162.89)VA = . (5+ j5) 50|0° (−3− 50|0° = 50(5+ 5) + 50(3+ 5) I = (5 +j5)j5) (−3− (−3− j5) (6− j3)j5) 62.82|−13.82° + 150 + 250 = 400 + 500 = 640.31|51.34° I = 250 +62.25082|−13. 82° 62.82|−13.82° 62.82|−13.82° I = 10.19|65.16° A S = V ∗ I∗ S = 500° 10.19−65.16° = 509.5|−65.16° VA S = (214.03− j462.36)VA = .
9.29 En el circuito de dos mallas de la Fig. 9-29 hallar la potencia suministrada por el
generador, así como la potencia disipada en cada una de las resistencias del mismo.
2I − j2I + j2(I − I) = 10|0° 3I − j5I + 1I + j2(I − I) = 0 2I − j2I + j2I − j2I = 10|0° 3I − j5I + 1I + j2I − j2I = 0 2 −j2 I = 10|0° −j2 (4 − j3) I 0 −j2 10|0° j30 = 50|−36.87° I = 20 (4−j2− j3) = 2(104 (−4j3−)j3 +)4 = 40− 8 − j6 + 4 13.42|−26.57° −j2 (4 − j3) I = 3.73|−10.3° A S = 100°∗ 3.7310.3° = 37.3|10.3° VA S = (36.7+ j6.67) VA = .
P = I ∗ R P = (3.73)² ∗ (2) = . 2 10|0° −j2 0 = j20 = 20|90° = .|.° I = 13.42|−26.57° 13.42|−26.57° 13.42|−26.57° P = I ∗ R P = (1.49)² ∗ (3) = . P = I ∗ R P = (1.49)² ∗ (1) = .
9.31 En el circuito de la Fig. 9-31 hallar la intensidad de corriente que circula por la
impedancia
(+ ) .
j2.5I + 10(I − I) = 10|0° j5I + 20(I − I) = −10|0° 3I + j4I + 10(I − I) + 20(I − I) = 0 j2.5I + 10I − 10I = 10|0° j5I + 20I − 20I = −10|0° 3I + j4I + 10I − 10I + 20I − 20I = 0 ( 10+0j2.5) (20+0 j5) −20 −10 II = −10| 10|00°° −10 −20 (33 + j4) I 0 (10+ ) j 2 . 5 0 10| 0 ° −100 (20+−20j5) −10|0 0° I = (10 + j2.5) 0 −10 −100 (20−20+j5) (33+−20j4)
(20 ) ( ) 0 +j 5 10+ j 2 . 5 0 10 + 10 −10 −20 −10 −20 I = (10+ j2.5)(20+ j5) −20 − 10(20+0 j5) −20 −10 −20 (33+ j4) ) j 5 0 I = (10 +j2.5)(66010(+200j80++ j5j1065) +−1020(−200− − 400) − 10(200 + j50) + j 5 00 − 2000 − j 5 00 I = (10 +2000 j2.5)(240+ j245) − 2000 − j500 I = 2400 + j2450 + j600 −0 612.5 − 2000 − j500 I = −212.50+ j2550 = 2558.84|0 94.76° =
Z + R +−Rjω1C +R (R + Z −R+ R + jωL) −R(R ++Rjω 1+Cjω+LR) = −R + jω1C+ R (R + R + jωL) R + jω1C +R + R + R + jωL 00 Z + R +−Rjω1C+ R V0 −R(R ++Rjω 1+C+jωLR) −R + jω1C+ R 0 R + jω1C+ R + R + R + jωL I = =0 ∆ ( ) − R + R + j ω L − −R + jω1C+ R R + jω1C+ R + R + R + jωL = 0 − − − RR − − − () + + + + RR + j RωC+ + R(jωL)+ jjωωLC + () = 0 −RR + RR + jωRC + R(jωL)+ CL = 0 = + ²()² ; = + ()²
De donde:
y
9.33 El circuito de la Fig. 9-33 representa el puente de Owen. Hallar los valores de
en función de las otras constantes del puente cuando la corriente que circula por
sea nula.
ZI + jω1C(I − I)+R(I − I − I)+jω1C(I − I − I) = V ZI + R(I + I)+jωL(I + I)+jω1C(I + I − I)+R(I + I − I) = 0 jω1C(I − I)+RI + R(I + I)+jωL(I + I)+jω1C(I + I − I)+R(I + I − I) = 0 Z + jω1C+R + jω1C −R + jω1C −jω1C+R + jω1C I V −R + jω1C Z + R + jωL + jω1C+R R + jωL + jω1C+R I = 0 −jω1C+R + jω1C R + jωL + jω1C+R jω1C+R + R + jωL + jω1C+R I 0
Z + jω1C+R + jω1C V −jω1C+R + jω1C −R R + jω1C 0 + jωL + jω1C+R −jω1C+R + jω1C 0 jω1C+R + R + jωL + jω1C+R I = =0 ∆ 1 1 −R + R + j ω L + jωC+R1 = 0 − 1 jωC 1 1 −jωC+R + jωC jωC+R + R + jωL + jωC+R
− − RR − − ()−− − −− −− − +++ ++ + + + + ++ + = 0 − − ++ = R RjωC = RR + jωRC − jjωωLC R = jωCRR + jωjωCCR −jωL − ω C C R R + j ω C R + ω C L R = jωC L jjωωCL = RR + jωRC − jωRC L = CRR + CjωRC − CjωRC CCRR + jωCR + ωC CRR + CjωRC − CjωRC − ω R = jωC ω C C R − + + + − j ω C R = jωC jCωCCR ω R = − jωC ω R = ωCCCCR = R
Hallar
Hallar
Por sustitución:
9.34 El circuito de la Fig. 9-34 es un puente de medida del coeficiente de autoinducción
de una bobina. Elegir las mallas y escribir el sistema de ecuaciones en forma matricial. Hallar los valores de y cuando la corriente que circula por sea cero.
Dónde:
R =
R R
R ; L =
R R
L
9.35 Hallar la función de
transferencia de tensión
/
en el circuito de la
Figura 9-35.
j4) −j4 I = V (20+ −j4 (2 + j14) I 0 + j4) V (20−j4 Vj4 V4|90° 0 = I = (20+ j4) −j4 = −j4 (2 + j14) 40 + j280 + j8− 56 − 16 −32 + j288 V4|90° = V0.0138|−6.34° I = 289.77|96.34° V = Ij10 = V0.0138−6.34°1090° V = 0.138|83.66° V
La tensión de salida
es
9.36
Hallar la función de transferencia de tensión
/
en el circuito de la
Figura
9.36.
j20) −5 I = V (5 +−5j20 (15− 15 − j5j5) I 0 j20)) V (5 +−5j20 V5 V5 0 = I = (5 + j20 = − j25 + j300 j300 + 100 − 25 150 + j275 −5j20) (15−5− j5) 75 −j25 V5 = V0.0159|−61.39° I = 313.25|61.39° V = I10 = V0.0159−61.39°∗ (10) 10) V = 0.159|−61.4° V
La tensión de salida
es
9.37 En el circuito de la Fig. 9-37 hallar el valor de
que se indica.
con el sentido de polarización
( 2−j+2j2) (2−+j2j4) −j02 II = −10|0 0° 0 − j2 ( 2 + j4 ) I 0 ( 2−j+2j2) (2−j−+j2j4) −100|0° I = (2 +0j2) −−jj22 00 −j02 (2−+j2j4) (2−j+2j4) −j−0j2 (2−+j2j4) −10| 0 ° I = (2 + j2) (2 + j4) −j2 + j2 −j2 ( 0 ) −j2 (2 + j4) −j2 2 + j4 40 I = (2 + j2)( 4 + j8 +−10|j8 −0°161(6−4+)4) + j2(−j4+8) = (2 + j2)(−8+ −8 + j1616) + 8+8 + j1616 I = −16 + j32 2 − 40− − 32 + 8+8 + = −4040+ j32 = 51.22|40141.34° = . ||−. −. °° = ∗ V = 0.78−141.34°∗ 290° = 1.56−51.34° + 180° = ..°
9.38 En el circuito de la Fig. 9-38 hallar la potencia disipada en cada una de las tres
resistencias.
( 5−+j2j2) −4j2 j02 II = 50|00° 0 j2 (2 − j2) I −50|90° 5 00|0° −4j2 j02 4 j2 −j2 − j2 0 50 50 − j 5 0 ( ) − 5 0 | 9 0 ° j 2 2 − j 2 ( ) 4 j 2 j 2 2 − j 2 I = (5 + j2) −j2 0 = (5 + j2) 4 ( j2 ) + j2 −j2 ( 0 ) −0j2 j42 (2 −j2j2) j2 2 − j2 j2 2 − j2 I = (5 + j502)((88 −− jj88 ++ 44)) −+ jj520(−j(44) − 4) = 40 − j44000 + −20j4+00j1+6 +20016 16− +jj2800+ 8−8 − j8 5 28| − 45° I = 60084 −− jj26400 = 848. 87.36|−15.945° = 9.71|−29.055° A P = I(5 Ω) P = (9.71)² ∗ (5) = . ( 5−+j2j2) 500|0° j02 −j2 j2 (5 + j2) 0 − 50 5 0 + j 5 0 ( ) 0 − 5 0 | 9 0 ° 2 − j 2 ( ) 0 2 − j 2 − j 2 j 2 I = 87.36|−15.945° = 87.36|−15.945°
I = −50(50(−j87.4 −36|4)4−) +15.j590(045°(j10 − 4)4) = j20087.+ 20036|−−15.500945°− j200 = 87. 36|−300 −15.945° I = −3.43|15.945° A P = I(4 Ω)Ω) P = (−3.43)3)² ∗ (4) = . ( 5−+j2j2) −4j2 500|0° −j2 − j2 4 ( ) 5 + j 2 −j 2 5 0 0 − j 5 0 0 j 2 −5 − 5 0 | 9 0 ° 0 j 2 − j 2 4 I = 87.36|−15.945° = 87.36|−15.945° I = 50(487.) −3j6|50−(15.20 9+45°j8 + 4) = 200 −j87.100036|−+15.400945°− j200 = 87. 60036|−−15.j1200945° I = 187.341.36|64|−15.−63.945°43° = 15.357|−47.485° A P = I(2 Ω) P = (15.357)² ∗ (2) = .
9.39 En el circuito de Fig. 9-38 hallar la potencia suministrada por cada uno de los
generadores.
( 5−+j2j2) −4j2 j02 II = 50|00° 0 j2 (2 − j2) I −50|90° 5 00|0° −4j2 j02 4 j2 −j2 − j2 0 50 50 − j 5 0 ( ) − 5 0 | 9 0 ° j 2 2 − j 2 ( ) 4 j 2 j 2 2 − j 2 I = (5 + j2) −j2 0 = (5 + j2) 4 ( j2 ) + j2 −j2 ( 0 ) −0j2 j42 (2 −j2j2) j2 2 − j2 j2 2 − j2 I = (5 + j502)((88 −− jj88 ++ 44)) −+ jj520(−j(44) − 4) = 40 − j44000 + −20j4+00j1+6 +20016 16− +jj2800+ 8−8 − j8 5 28| − 45° I = 60084 −− jj26400 = 848. 87.36|−15.945° = 9.71|−29.055° A S = V ∗ I∗ S = 500°∗ 9.7129.055° = 485.5|29.055° VA S = (424. 424.4 + j235.35.78) VA = .
( 5+−j2j2) −j42 50|00° − j2 4 (5+ j2) −j2 5 0 − j 5 0 0 j 2 −50| 9 0° 0 j 2 −j 2 4 I = 87.36|−15.945° = 87.36|−15.945° I = 50(487.) −3j6|50−(15.20+945°j8 + 4) = 200 −j87.100036|−+15.400945°− j200 = 87. 60036|−−15.j1200945° I = 187.341.36|64|−15.−63.945°43° = 15.357|−47.485° A S = V ∗ I∗ S = −5090°∗ 15.35747.485° = −767.85|137.485°VA S = (565.98 + j518.9) VA = .
9.40
En el circuito de la
Fig. 9-39
hallar la intensidad de la corriente de la malla
la elección de las mallas considerada.
con
30| 0 ° (5+ ) j 5 5 5 I 55 ((137++jj33)) ((117++jj33))II = 30|030|°−020|° 0° ( 5 +j5 5) ( 13 5+j3) 30|30|00°° I = (5 +j55) (7+5 j3) 10|50° 55 ((137++j3j3)) ((117++j3j3)) 55 ((137 +j+ j33)) −30(5+5 j5) (7+5 j3)+ 10(5+5 j5) (13 5+ j3) 30 I = (5+ j5)(13 + j3) (7+ j3) − 5(7 +j5 3) (11 5+ j3)+ 5(13 5+j3) (7+5 j3) (7+ j3) (11 + j3) (35+jj135−9+ j65 33−9 ) ( ) − j15−) 49− 30−(j35+j 1 5+ j 3 5− 15 −25 + 10 65+ j 1 5+ j 6 5−15 − 25 I = (5+ j530)(143+ 21− j21+9) − 5(55 + j15− 35 − j15)+ 5(35+ j15−65 − j15) 30(−5+j 5 0)+ 10(25+j 8 0) −900+150−j 1 500+ 250+ j 8 00 − 500− j 7 00 I = −900− = = (5+ j5)(94+ j30) −100−150 470+ j150+ j470− 150− 100− 150 70 +j620 = 8623.60.293|39|−125.83.5558°37° = .|−.°
9.41 Hallar la intensidad de
corriente
en el circuito de la
Figura 9-40.
( 5+−5j2) (5−−5j2) −j02 II = 50|045° 0 −j2 (5+ j2) I 0 ( 5+−5j2) (5−−5j2) 50|045° = (5+0j2) −5−j2 00 −50 (5−−j2j2) (5+−j2j2) −05 (5−−j2j2) 50| 4 5° I = (5+ j2) (5− j2) −j2 + 5−j−52 (5+0 j2) −j2 (5+ j2) j10 −50|j140+5°(j41+0)4) + 5(−25− j10) I = (5+ j2)(25+ 1 35° I = 165 50+45°j66−∗101259−0°j50 = 54000|+1j35°16 = 500| 43.08|21.8° = . |. °
9.42 En el circuito de la Fig. 9-40 hallar la relación de intensidades
.
(5+ ) j 2 −5 0 I 50| 4 5° −50 (5−−j2j2) (5+−j2j2)II = 00 ( 5+−5j2) (5−−5j2) 50|045° I = (5+0j2) −5−j2 00 −50 (5−−j2j2) (5+−j2j2) −05 (5−−j2j2) 50| 4 5° I = (5+ j2) (5− j2) −j2 + 5−j−52 (5+0 j2) −j2 (5+ j2) j10 −50|j140+5°(j41+0)4) + 5(−25− j10) I = (5+ j2)(25+ 1 35° I = 165 50+45°j66−∗101259−0°j50 = 54000|+1j35°16 = 500| 43.08|21.8° = . |. ° 50| 4 5° −5 0 00 (5−−j2j2) (5+−j2j2) 50|45°(5−−j2j2) (5+−j2j2) I = 43.08|21.8° = 43.08|21.8°
I = 50|45°(25+43.0j18|02−1.j81°0+ 4 + 4) I = 43.50|048|5°(33) 21.8° I = 43.1650|08|241.5°8° I = 38.3|23.2° A II = 38.11.63||1213.3.22°° = .|−° = −.
9.43 En el circuito de la Fig. 9-41, con las tres corrientes de malla que se indican, hallar
las impedancias
. y
( ) 5+ j 2 −5 0 ∆= −50 (5−−j2j2) (5+−j2j2) ∆= (5+ j2) (5−−j2j2) (5+−j2j2)+ 5−j−52 (5+0 j2) ∆= (5+ j2)(25+j10 − j10 + 4 + 4) + 5(−25 − j10) ∆= 165 + j66 − 125 − j50 ∆= 40 + j16 ∆= 43.08|21.8° = ∆∆ = −043.5 08|(5−2−j1.28j2°) = 43.0j8|1021.8° = 43.10|08|920°1.8° = 4.3|−68.2° = ∆∆ = (5−43.−50j8|2)21.−j80°2 = 43.0j8|1021.8° = 43.10|08|920°1.8° = 4.3|−68.2°
9.44 En el circuito de la Fig. 9-42 y con las mallas que se indican, hallar las
impedancias
, y .
(15+j5) −10 −j 5 −2 ∆= −10−j5 (12−j4) −2 (2+j1) − 10 −j 5 −10 −j 5 −2 ∆= (15+j5)(12−j4) 5 +10 − −2 (2+j1) −2 (2 +j1) (12−j4) −2 ∆= (15+j5)(24+12−8+4−4)+10(−20−10−10)−5(20+60+20) ∆= (15+j5)(24+4)+10(−20−20)−5(40+60) ∆= 360+60+125−20−200−200−200+300 ∆= 440−215 = 489.719|−26.04° = ∆∆ = (12489.−7j419|) −26.−204° = 489.(72419|+−26.4) 04° = 489.24.719|33|−926..46°04°
−2 (2+ j1) = 20.128|−35.5°
= ∆∆ = 4−−j89.105719|(2+−−226.j014°) = 4−2089.7−19|10−26.− 1004° = 489.28.7219|8|−−135°26.04°
= 17.316|108.96° − 180° = 17.316|71.04° 7 19| − 26. 0 4° 4 89. 7 19| − 26. 0 4° 4 89. 7 19| − 26. 0 4° = ∆∆ = 489. = = −−j105 (12−2− j4) 20 + 60 + 20 72.11|56.309° = 6.79|−82.349°
9.45 En la Fig. 9-43 se añade el generador
de
de manera que la corriente de malla
al circuito de la Fig. 9-42. Hallar el valor
sea cero.
() () () ( ) () ) |( | | () () | () () () () ()
9.46 En la Fig. 9-44 se añade el generador
de
de manera que la corriente de malla
al circuito de la Fig. 9-42. Hallar el valor sea nula.
() () () ( ) () ) |( | | () ()| () () () () ()
9.48 En el circuito de la Fig. 9-45 hallar las tensiones
en bornes del generador es
y
sabiendo que la tensión
(|) ( | ) ( | ) (|)
En el Problema 9.38 se calculo
(|) (|)(|) (|) | )( ) ( | ) (
(|) ( | )( | ) (|) (|) (|)(|)
9.50 En el circuito de la Fig. 9-47 calcular el valor de la tensión en bornes del generador
para que la intensidad de corriente que circule por él sea nula.
( ) () () ) | | ( ()() () ()
10.15
Determinar el número de ecuaciones de tensiones en los nudos que son necesarios
para resolver cada uno de los circuitos de la − ( − ).
. ()3, ()5, ( )1, ()4, ()4, ( )4
10.16 Escribir la ecuación nodal para el nudo dado en la Figura 10-22.
V − V + V + V + V = 0 1 jωL R R jωC V − V + jωC(V) + V + V = 0 R R jωL R V + jωC(V) + V + V = V R jωL R R 1 + 1 = V V R1 + jωC + jωL R R
10.18 En el circuito de la Fig. 10-24 y con los nodos representados escribir el sistema
[ ]
de ecuaciones correspondientes y ponerlo en forma matricial. Después escribir la matriz de impedancias del sistema.
por simple inspección y compararla con la que se obtiene a partir
( ) ( ) ( ) ( ) (| ) ( ) | || | | ( ) ( )
10.19 El circuito representado en la Fig. 10-25 anterior es un puente de Wien. Escribir
[ ]
las tres ecuaciones de los nudos y expresar el sistema en forma matricial. Escribir después
directamente y compararla con la obtenida de las ecuaciones.
() () ( ) | | ( ) | | | | | |
10.22 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-28, la tensión
(||)
10.24 Utilizando el método de los nudos hallar, en el circuito de la Fig. 10-30, la
potencia suministrada por la fuente de 10 voltios y la potencia disipada en cada una de las resistencias.
V − 10|0° + V + V = 0 (2− j2) j2 (4− j5) V − 10|0° + V + V = 0 (2− j2) 2.828|−45° j2 (4− j5) V + V + V = 10|0° (2− j2) j2 (4− j5) 2.828|−45° 10|0° V (2−1 j2) + j21 + (4−1 j5) = 2. 828|−45° j2) − j0.5 + 1 ∗ (4 +j5) = 3.536|45° V (2−1 j2) ∗ ((2+ (4− j5) (4 +j5) 2+ j2) ( ) ( ) 2+ j2 4+ j5 V 8 − j0.5+ 41 = 3.536|45° V(0.25+ j0.25 −j0.5 + 0.097 + j0.121) = 3.536|45° V(0.347 − j0.129) = 3.536|45° 536|45° V = 0. 33.7|−20. 393° V = 9.556|65.393° v V = (3.979 + j8.688) v
0 − 3.97979 − j8.688 688 = 10.57|−55.277° = 3.737|−10.277° A I = 10− 2 − j2 2.828|−45° P = I(2) = (3.737)²(2) = 27.93 W 393° = 9.556|65.393° = 1.492|14.053° A I = 9.556|65. 4 + j5 6.403|51.34° P = I(3) = (1.492) ∗ 3 = 6.678 W P = I(1) = (1.492) ∗ 1 = 2.226 W P = P + P + P P = 27.93 + 6.678 + 2.226 P = 36.834 W
10.27 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-33, la tensión eficaz de la fuente
obtener en la resistencia de 3 ohmios una potencia de 75 vatios.
V − V + V + V = 0 j4 −j5 (3 + j4) V − V + V + V = 0 j4 j4 −j5 (3 + j4) V j41 + −j51 + (3 +1 j4) = j4V V −0 −0..25 + 0.0.2 + (3 +1 j4) ∗ ((33 −− jj44)) = j4V V −0.25+ 0.2+ (3 25− j4) = j4V V(−0. −0.25+ 25 + 0.0.2 + 0.12− 12 − j0.j0.16) = j4V V(0.12− j0.21) = j4V V = j4(j4(0.12−V j0.21)1) V = 0.48 −V j0.84 ∗ 00..4488 ++ j0.j0.8844 = V0.(0.243+8 +0.j0.70584) = V(0.40.8+935j0.84) V = V(0.513 +j0. + j0.898) = ..°
para
261° I = V1.03460. 3+ j4 3460.261° I = V1.05|53. 13° = ..° P = (V0.206)² ∗(3) 75 = V(0.042) ∗ (3) V² = 0.75126 = 595.238 = .
10.28 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-34, cuál debe ser la fuente
tensión en el nudo 1 sea
) ( ( )
para que la
10.29 Hallar la tensión en el nudo 1 en el circuito de la Figura 10-35.
) ( ) (
10.30 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-36, las intensidades de corriente en las tres líneas,
, e.
V −50|90° + V − 50|−30° + V − 50|−150° = 0 5|30° 5|30° 5|30° 1 + 1 + 1 = 1060° + 10−60° + 10|−180° V 5|30° 5|30° 5|30° V0.2−30° + 0.2−30° + 0.2−30° = 5 + j8.66 + 5− j8.66 −10 V0.6−30° = 0 V = 0 I,I e I. I = 50|90° 5|30° = 10|60° A
Entonces las intensidades de corriente
I = 50|−30° 5|30° = 10|−60° A I = 50|−150° 5|30° = 10|−180° A
10.34
El circuito de la
Fig. 10-38
corriente en la resistencia de
tiene una corriente de entrada de intensidad
10 ohmios es
Determinar la relación
( ) ( ) ( ) | | || | ||| | |
La
10.35 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-39, la función de transferencia de tensión
por el método de los nudos.
) ( ) (
10.36 Determinar la función de transferencia de tensión
para el circuito de la
Figura 10-40.
(|) (|) (|) () (| )
10.37 Utilizando el método de los nudos, obtener la tensión a tr avés del circuito paralelo
de la Figura 10-41.
V + V + V = 20|45° 8 3 + j4 2 − j8 1 + 1 = 20|45° V 18 + 3 +j4 2 − j8 − j4 + 2 + j8 = 20|45° V 0.125 + 3 25 68 V(0.125 + 0.12 −j0.16 + 0.0294 + j0.1176) = 20|45° V(0.2744 − j0.0424) = 20|45° V0.2776|−8.7838° = 20|45° 20|45° V = 0.2776|−8.7838° = .|.°
10.38 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-42, las tensiones
, y por el
método de los nudos.
En el circuito de la figura se tomara el nudo A como el nudo 1 y el nudo B como el nudo de referencia.
V + V = 10|0° 5 j5 V 15 + j51 = 10|0° V(0.2 − j0.2) = 10|0° 10|0° = .|° V = 0. 210|0° = − j0.2 0.2828|−45° Aplicando la primera ley de Kirchhoff, la corriente I = 10|0° que entra del nudo A al nudo B tiene que ser igual a las que salen:
V = I∗ 5 V = 10|0°∗ 5 = |° En el circuito de la figura se tomara el nudo C como el nudo 2 y el nudo D como el nudo de referencia.
V + V = 10|0° −j2 −j4 1 + 1 = 10|0° V −j2 −j4 V(j0.5+ j0.25) = 10|0° 10|0° = .|−° V = 10|0° = j0.75 0.75|90°
10.40 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-44, las tensiones en los nudos
fuente de
y y la
) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )
||| || | | | | | | |
10.47 Calcular el valor de
en el circuito de la Fig. 10-49 por el método de los nudos.
V −210|0° + Vj2 + V −2 V = 0 V −2 V + Vj2 + (2 +Vj2) = 0 V 12 + j12 + 12− V 12 = 5 −V 12 + V 12 + j12 + (2 +1 j2) = 0 12 + j121+ 12 1 1−12 1 V = 5 −2 2 + j2 + (2+ j2) V 0 ( 0.5 −j−(00..55+0.) 5) 0.5 − j0−(.50+.5 ()2 − j2)VV = 50 8 (1−(−0j.05.)5) (0.5− j0.5−+(0.0.52)5 −j0.25) VV = 50 (1−−(0j.05.)5) (0.7−5−(0.j50).75) VV = 50
( ) 1 − j 0 . 5 5 ( ) − 0 . 5 0 V = (1−−j(0.05.)5) (0.7−5−(0.j50).75) V = (1 − j0.5)(0.75−2.5 j0.75) − 0.25 = 0.75 − j0.75− j0.2.3755 − 0.375 − 0.25 V = 0.1252.−5j1.125 = 1.131|−2.83.5 659° = 2.21|83.659° v I = 2 +Vj2 = 2.2.21|828|83.465°59° = 0.781|38.659° A V = I(j2) V = 0.78138.659°290° = . |. °
10.48 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-50, las tensiones de los nudos
. y
V −550|0° + Vj2 + V −4 V = 0 V −4 V − Vj2 + V − 26.22|113.2° = 0 V 15 + j12 + 14− V 14 = 10|0° −V 14 + V 14 − 12 + 12 = 13.1|113.2° 15 + j121+ 14 1 −114 1 VV = 13. 10|1|113.0° 2° −4 4 − j2 + 2 1 1 1 1 + + − 5 j 2 4 4 ∆Y = −14 14 − j12 + 12 = (0.2−−(j00.5.2+5)0.25) (0.25+−(j00.2.55+) 0.5) ∆Y = (0.−(0.45−2j5)0.5) (0.−75(0+.2j50).5) = 0.3375 + j0.225 − j0.375 + 0.25− 0.0625 ∆Y = (0.525 − j0.15) ℧ = 0.546|−15.9453° ℧
10| 0 ° −( 0 . 2 5) ( ) 10 − 0 . 2 5 ( ) 13. 1 | 1 13. 2 ° 0 . 7 5+ j 0 . 5 ( ) ( ) − 5. 1 606 + j 1 2. 0 406 0 . 7 5+ j 0 . 5 V = 0.546|−15.9453° = 0.546|−15.9453° V = 7.5 +0.j55−46|1.−215.9019453°+ j3.0101 = 60..2509946|−+15.j89.0453°101 = 0.10.546|1353|−15.52.92453°15° = .|.° (0.−45(0−.2j50).5) 13. 10|1|113.0° 2° (0.−45(0−.2j50).5) (−5.160610+ j12.0406) V = 0.546|−15.9453° = 0.546|−15.9453° + j 7 . 9 9857 V = −2.32227 +0.j55.446|1827−15.+9j453°2.5803 + 6.0203 = 3.0.69803 546|−15.9453° V = 8.0.5846|12|−615.5.19871°453° V = 16.1391|81.1324° v
|° .
10.50 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-52, el valor de la corriente de excitación I
que da lugar a una tensión
de
V(2 +j2) − I + Vj5 + V 10− V = 0 V 10− V + Vj5 + 2 −Vj2 = 0 V (2+1 j2) + j15 + 101 − V 10 1 = I −V 10 1 + V 10 1 + j15 + 2 −1 j2 = 0 (2 +1 j2) + 1j15 + 101 1 −1 10 1 1 VV = 0I −10 10 + j5 + 2 − j2 (2 +1 j2) + 1j15 + 101 I − 0 10 V = (2 +1 j2) + j15 + 101 −10 1 −10 1 10 1 + j15 + 2 −1 j2 V = 2 −8 j2 − j0.2 + 0.I1∗(0.1) −(0.1) −(0.1) 0.1 − j0.2 + 2 +8 j2
V = (0.25− j0−.2(5−0.1)j0.2 + 0.I1∗)(0(.10.)1− j0.2−+(0.0.12)5 + j0.25) V = (0.3−5−(0.j10).4I∗5)(0.(10.)3−5+(0.j10).05) V = (0.1225 + j0.0175 −I∗j0(0..15751) + 0.0225) − 0.01 V = (0.145 −I ∗(0.j0.141)) − 0.01 = 0. I135∗(0.− 1j0).14 5|30° = 0.1 944|I∗ (0.−46.1)041° I∗ (0.1) = 530° ∗0.1944−46.041° I ∗ (0.1) = 0.972|−16.041° = . |−.°
11.17 Obtener el circuito equivalente de Thevenin en los terminales del circuito
activo de la Figura 11-42.
5∗2
=
5+2
+ 8 = .
Intensidad de corriente de circuito abierto: 20 I =
5+2
= 2.8571 A
Caída de tensión en la de : V = 2 ∗ 2.8571 = 5.7142 v
Tensión :
= 12 − 5.7142 = .
Circuito equivalente de Thevenin:
11.18 Obtener el circuito equivalente de Norton del correspondiente de la Figura 11-42.
11.19 Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito
activo dado en la Figura 11-43.
11.20 Hallar el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-43.
11.21 Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito
puente representado en la Figura 11-44.
11.22
En el circuito del problema anterior se sustituye la resistencia de 500 ohmios por
otra de 475 ohmios. Determinar el circuito equivalente de Thevenin.
11.23
Utilizar el teorema de Thevenin en el circuito puente de la Fig. 11-45 para hallar
la desviación de un galvanómetro conectado a AB con una resistencia de 100 ohmios y una sensibilidad de 0.5 amperios por milímetro.
11.24 Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del puente de
alterna de la Figura 11-46.
11.25 Utilizando el teorema de Thevenin hallar la potencia disipada en una resistencia
de 1 ohmio conectada en los terminales AB del circuito de la Figura 11-47.
11.26
Repetir el Problema 11-25 utilizando el circuito equivalente de Norton.
11.27 Obtener el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito
activo de la Figura 11-48.
11.28 Hallar el circuito equivalente de Norton en los terminales AB del circuito de la Figura 11-48.
11.29 Utilizar el teorema de Thevenin para hallar la potencia disipada en una
impedancia de 2 + 4 ohmios conectada a los terminales AB del circuito activo de la Figura 11-49.
11.30
Repetir el problema anterior utilizando el teorema de Norton.
11.31 Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito
activo de la Figura 11-50.
11.32 Determinar el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-50.
11.35 En el circuito de la Fig. 11-52 hallar la corriente que pasa por la impedancia 3 + 4 ohmios sustituyendo, en primer lugar, el circuito en los terminales AB por su
equivalente de Thevenin.
11.36
Repetir el problema anterior utilizando el teorema de Norton.
11.37 En el circuito de la Fig. 11-53 una fuente de intensidad de 15|54° amperios
alimenta en los terminales señalados en el esquema. Sustituir el circuito, en AB, por un circuito equivalente de Thevenin.
11.38 Obtener el circuito equivalente de Nortonen los terminales AB del circuito de la Figura 11-53.
11.39 Obtener el circuito equivalente en los terminales AB del circuito de la Figura 1154.
11.40 Obtener el circuito equivalente de Norton de la Figura 11-54.
11.41 Utilizando el teorema de Thevenin hallar la potencia disipada en una impedancia
= 10|60° ohmios conectada a los terminales AB del circuito de la Figura 11-55.
11.42
Repetir el problema anterior empleando el teorema de Norton.
11.44 Hallar el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-56.
11.45 Determinar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito
activo de la Figura 11-57.
11.46 Obtener el circuito equivalente de Norton de la Figura 11-57.
11.47 El circuito activo de la Fig. 11-58 contiene un fuente de intensidad de 4|45°
amperios y una fuente de tensión de 25|90° voltios. Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB.
11.48 Obtener el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-58.
11.50 Obtener el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-59.
