CIRCUITOS CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LAPL ACE
Índice
Introducción Contenido........................ Contenido............................................ ........................................ ........................................ ........................................ ................................ ............ 4
Respuesta natural ...................................... ......................................................... ....................................... ......................................... ..................... ..... 4 1.2 Respuesta forzada ........................................ ............................................................ ........................................ ................................. ............. .... 9 ........................................................... ....................................... ................... .............. ....... 11 1.3 Respuesta total ....................................... ........................................................... .................................. .............. ............. 13 1.4 Identificación de circuitos ....................................... .......................................................... ........................................ ........................................ ................................. ............. 15 Conclusiones ...................................... .......................................................... ........................................ ........................................................ .................................... 16 Bibliografía ...................................... ........................................................... ....................................... ....................................................... ................................... ..... 18 Anexos........................................
Introducción. l siguiente traba!o de in"etigacion tiene co#o ob!eti"o co#prender $ explicar el uso %ue tiene el an&lisis de circuitos en el do#inio de 'aplace( $a %ue con esta )erra#ienta es posible resol"er circuitos de cual%uier tipo.(#ostrare#os la i#portacia $ la fuerza %ue tiene laplace( a lo %ue resol"er#os circuitos co#o RC. n relación con laplace tratrer#os de explicar circutios de los siguientes tipo* respuesta natural RC +en serie $ paralelo,( respuesta forzada $ repuesta total( así #is#o dare#os e!e#plos de cada uno de los #-todos( por consecuencia es de "ital i#portacia identificar de %u- tipo de circuito se trata( es decir( si es un circuito RC en serie o en paralelo( un circuito R'C de igual for#a este ta#bi-n puede estar en serie o paralelo $ deter#inar de acuerdo al n#ero de ele#entos al#acenadores de energía.
Contenido
Respuesta natural Respuesta natural de un circuito RC. 'a un 13.1/, de la
respuesta natural de circuito RC +figura por #edio de t-cnicas transfor#ada de 'aplace.
l
capacitor se encuentra inicial#ente cargado 0/ "olts $ nos interesa conocer la expresiones do#inio del tie#po %ue
)asta en
el
corresponde a
v .
l
consiste en deter#inar
pri#er
i $ paso
i . Al transfor#ar el circuito de la figura 13.1/ al do#inio de 'aplace(
se tienen %ue elegir dos circuitos e%ui"alentes para el capacitor cargado. ebido a %ue lo %ue %uere#os encontrar es la corriente( es #&s ncillo to#ar el circuito e%ui"alente en serie esto nos origina un circuito de una #alla con respecto al do#inio de la frecuencia. l circuito e%ui"alente en serie en el do#inio de 'aplace se #uestra en la figura 13.11. u#ando los "olta!es alrededor de la #alla se generan la siguiente expresión*
V 0 s
=
1
I + RI . sC
Resol"iendo la ecuación anterior para
I se obtiene*
C V 0 V / R I = = 0 RCs + 1 1 s +( ) RC
e to#a en cuenta %ue la expresión para
I es una función racional propia de
s $ puede
ser transfor#ada in"ersa#ente por inspección* −t V 0 RC i= e u ( t ) , R
ue es e%ui"alente a la expresión de la corriente %ue se obtiene #ediante los #-todos cl&sicos. espu-s de %ue se )a encontrado
i ( la #anera #&s sencilla de deter#inar
v es aplicar
nica $ sencilla#ente la le$ de 5)# esto es de acuerdo al circuito %ue tenga#os( en este caso esta#os )ablando de un circuito en serie
v = Ri=V 0 e
−t RC
u ( t ) .
!e#plo de respuesta natural en un circuito transitorio de pri#er orden donde )a$ ausencia de fuentes.
l an&lisis de la respuesta natural %ue contienen tanto capacitores co#o inductores se "e li#itado a dos for#as si#ples de circuitos* el circuito R'C en paralelo $ el circuito R'C en serie. e siguen aplicando las le$es b&sicas de corriente $ "olta!e $a sea para un circuito en serie o un circuito en paralelo respecti"a#ente.
Respuesta natural de un circuito R'C en serie. 6ara un circuito en serie deter#inar la respuesta natural consiste en deter#inar la corriente %ue se genera en cada uno de los ele#entos conectados en serie por la liberación de la energía al#acenada inicial#ente en el capacitor( en el inductor o en a#bos ele#entos. 'a corriente del inductor inicial( I /( $ el "olta!e del capacitor inicial( 0 /( representan la energía al#acenada al principio( esto se representa en la figura 7.3.
Respuesta natural de un circuito R'C en paralelo.
6ara un circuito en paralelo dada su naturaleza( la respuesta natural del circuito es contraria a la del circuito en serie( en este caso la respuesta natural consiste en deter#inar el "olta!e %ue se genera en las ra#as paralelas #ediante la liberación de la energía al#acenada en el inductor o el capacitor dependiendo del caso o de igual #anera %ue el circuito en serie( en a#bos ele#entos. l "olta!e inicial en el capacitor( 0 /( representa la energía al#acenada en el capacitor. 'a corriente inicial %ue circula por el inductor( I /( representa la energía inicial %ue se al#acena en el inductor( lo anterior se representa gr&fica#ente en la figura 7.1. l pri#er paso en la deter#inación de la respuesta natural del circuito de la figura 7.1 consiste en plantear la ecuación diferencial %ue debe satisfacer el "olta!e
v . e decide deter#inar
pri#era#ente el "olta!e( dado %ue es el #is#o en cada ele#ento al#acenador de energía. 8na "ez )ec)o esto( es posible encontrar el "olta!e para la co#ponente de la ra#a. e obtiene de #anera sencilla una ecuación diferencial para el "olta!e su#ando las corrientes %ue se salen del nodo superior( donde cada una de las corrientes esta expresada en función del "olta!e indeter#inado
v *
v 1 + R L
t
= 0. ∫ vdt + I +C dv dt 0
0
6osterior#ente se eli#ina la integral de la ecuación anterior diferenciando una "ez con respecto a
t ( $( dado %ue I 0 es una constante( se obtiene*
2
dv v d v + + C 2 = 0. R dt L dt 1
espu-s "a#os a di"idir la ecuación por la capacitancia
C $ se ordenan las deri"adas en
orden descendente* 2
d v 1 dv v + + =0. 2 dt RC dt LC
9or#as de la respuesta natural de un circuito R'C en paralelo. :asta el #o#ento se )a analizado el co#porta#iento de un circuito R'C de segundo orden $ %ue depende de los "alores de
s1
$
s2
( lo %ue a su "ez depende de los paretros del circuito R( ' $ C. por
ende el pri#er paso para deter#inar la respuesta natural consiste en obtener estos "alores( $ enseguida( deter#inar si la respuesta es sobrea#ortiguada( suba#ortiguada o crítica#ente a#ortiguada. 6ara co#pletar la descripción de la respuesta natural se re%uiere encontrar dos coeficientes desconocidos( tales co#o
A 1
$
A 2
. l #-todo utilizado para )acer esto se
basa en )acer corresponder la solución para la respuesta natural con las condiciones i#puestas por el circuito( las cuales son el "alor inicial de la corriente $;o "olta!e así co#o el "alor inicial de la pri#era deri"ada de la corriente $;o "olta!e. 'as for#as de respuesta natural de un circuito R'C se obtienen de igual for#a $a sea %ue el circuito este en paralelo o en serie( dic)o esto en las siguientes ecuaciones donde aparece
X ( le corresponde a
v o
i dependiendo de la naturaleza del circuito.
Cuando las raíces del polino#io característico son reales $ distintas( la respuesta de "olta!e o corriente de un circuito R'C( se dice %ue esta sobreamortiguada.
Cuando 2
2
ω0 > α ( $ las raices del polino#io caracteristico la respuesta es subamortiguada.
son co#ple!as(
2
Cuando
2
ω0 =α
o
ω0 =α
( $ las raíces del
polino#io característico son reales e iguales( la respuesta es críticamente amortiguada.
1.2 Respuesta forzada 'a respuesta forzada de un circuito es el co#porta#iento #ostrado co#o reacción a una o #&s fuentes independientes de se
se debe a %ue la respuesta del circuito pro"iene de so#eterlo a una fuente por eso se le deno#ina respuesta forzada. 'a respuesta forzada es la salida ante la entrada no nula $ condiciones iniciales nulas $ e%ui"ale a la solución particular de la ecuación diferencial. 'a respuesta forzada
x f
del circuito general de segundo orden debe satisfacer la ecuación
diferencial o forzada #ostrada a continuación* 2
d x f 2
d t
+ a dxf + a x f = f (t ) 1
dt
0
cuación 1 xisten di"ersos #-todos para obtener
x f
( pero en este caso utilizare#os el procedi#iento
%ue consiste en tratar de adi"inar una solución tentati"a#ente %ue $a nos )a$a funcionado bien )asta el #o#ento. Analizando la ecuación 1( nos da#os cuenta %ue para %ue la ecuación cierta( la co#binación lineal de
x f
$ sus deri"adas debe de ser igual a
cuenta una solución tentati"a en la cual
x f
f ( t ) . =ó#ese en
se adi"ina co#o co#binación lineal de
f ( t ) $
sus deri"adas. ado %ue una co#binación lineal de co#binaciones lineales sigue siendo una co#binación lineal( esto nos dice %ue el plantea#iento tentati"o si podría funcionar. ic)o de otra for#a( las diferencias de la co#binación lineal de
f ( t ) $ sus deri"adas re%ueridas en el
lado iz%uierdo de la ecuación 1 pueden producir %ue se cancelen t-r#inos( de!ando solo a
f ( t ) ( %ue es lo %ue se re%uiere para satisfacer la ecuación 1. l plantea#iento tentati"o( en lti#o an&lisis( ser& calificado por la capacidad de satisfacer la ecuación diferencial. !e#plo* Co#o e!e#plo( considere#os la fuente dc 0 g>1? 0 en el circuito de la figura @.1.ntonces(por [email protected],(
'a ecuación característica es
Con respuesta natural
6uesto %ue el ter#ino forzado f+t, es una constante f+t,>32(sus deri"adas pri#era( segunda( $ todas las de#&s( son cero. ntonces( la co#binación lineal #&s general de 9+f, $ todas las deri"adas( son si#ple#ente una constante*
ustitu$endo esta solución forzada tentati"a en [email protected]?,
'a for#a tentati"a funciona si se fi!a A>2. ntonces( la solución total es*
i conoce#os la energía inicial al#acenada en los inductores +o la corriente inducti"a inicial, esto puede utilizarse para e"aluar 1 $ 2 co#o lo discutire#os en la siguiente sección. n el caso de tener funciones forzada constantes( co#o en este e!e#plo( pode#os obtener la solución forzada directa#ente del diagra#a de circuito. n el estado estable de todas las corrientes $ "olta!es ser&n constantes( inclu$endo la incógnita en la ecuación descripti"a. 6or consiguiente( la solución forzada constante debe de ser id-ntica al "alor de estado estable dc. Recu-rdese %ue este puede obtenerse ree#plazando inductores por circuitos cerrados( $ capacitores por circuitos abiertos. ste puede "erificarse f&cil#ente para el circuito en la fig. @.1( ree#plazando los inductores por circuitos cerrados( de for#a %ue por '0 alrededor de la tra$ectoria cerrada exterior
1.3 Respuesta total 'a respuesta total de un circuito est& dada por la su#a de la respuesta natural $ forzada de la #is#a( debido %ue la respuesta natural contiene constantes indeter#inadas( de igual for#a la respuesta total. n el caso de circuitos de pri#er orden solo )a$ una constante indeter#inada en la respuesta natural( en este caso es necesario especificar el "alor de la constante para co#probar %ue la solución total concuerde con la energía inicial en el ele#ento de al#acena#iento( es decir( la corriente inicial para el caso de un inductor o el "olta!e inicial si se )abla de un capacitor. n t-r#inos generales la respuesta total est& dada por las siguientes ecuaciones( dependiendo del caso*
i t =i n + if
v t = v n+ v f
ónde*
i > corriente
n >natural
v > "olta!e
f >forzada
'o #encionado anterior#ente ta#bi-n se aplica a circuitos de segundo orden( tanto en serie co#o en paralelo( %ue en este caso tienen dos ele#entos de al#acena!e de energía $ se #ostrara gr&fica#ente. Cada ele#ento +capacitor e inductor, abastece un "alor inicial necesario para definir las dos constantes indeter#inadas %ue "a a contener la respuesta total del circuito. e trata de dos corrientes inducti"as iniciales $;o "olta!es capaciti"os( dependiendo del caso( pueden ser utilizadas para deter#inar las condiciones iniciales %ue se re%uieren para la resolución de la ecuación descripti"a de segundo orden.
6or e!e#plo( consid-rese el circuito en serie R'C de la figura @.? suponga#os %ue se nos da el "olta!e inicialn 0c+/,> ?0 en la corriente inducti"a i+/,> 1A 6or '0.
FIGURA 7.6 Circuito R'C en serie forzado.
iferenciando( la ecuación descripti"a para i+t, es*
5btendre#os la solución tota su#ando las soluciones natural $ forzada. 'a ecuación característica es*
Con una respuesta natural para este circuito R'C en serie sobre a#ortiguando +con raíces reales distintas,.
e la tabla @.1( la solución forzada tentati"a es if> A e2t( $ sustitu$endo la [email protected],
5 A>2.la solución total es entonces*
"aluando la solución total [email protected], en t>/( el "alor inicial de la deri"ada de la incógnita debe ser
iferenciando la solución total $ e"alu&ndola en t>/(el "alor inicial de la deri"ada de la incógnita debe ser*
6ueden utilizarse estas dos ecuaciones para deter#inar 1 $ 2 si pode#os relacionar las condiciones iniciales i+/, $ di;dtEo con la "ariables iniciales del circuito( la corriente inducti"a $ el "olta!e capaciti"o. l pri#ero de estos es f&cil( puesto %ue i+5,>1A es !usta#ente la corriente inducti"a. 6ara relacionar di;dtEo con los "alores dados( escribi#os '0 sin alrededor de la tra$ectoria cerrada $ la e"aluación en t>/*
utilizando estos "alores( pode#os reescribir [email protected]?, co#o
u#ando la ecuación +@(4@a(b,
2>2. 0ol"iendo a sustituir en [email protected]@a,( 1>1. 'a solución total [email protected], %ueda total#ente especificada co#o*
'os "olta!es capaciti"os $;o corrientes inducti"as iniciales para deter#inar las condiciones iniciales re%ueridas pueden estar dadas( co#o en la ilustración anterior.
1. Identi!icación de circuitos 6ara poder resol"er un circuito por el #-todo %ue sea( es de "ital i#portancia analizarlo pri#ero e identificar de %u- tipo de circuito se trata( es decir( si es un circuito RC en serie o en paralelo( un circuito R'C de igual for#a este ta#bi-n puede estar en serie o paralelo $ deter#inar de acuerdo al n#ero de ele#entos al#acenadores de energía +capacitor $;o inductor, si es un circuito transitorio de pri#er o segundo orden( para poder )acer el plantea#iento correspondiente $ poder obtener la respuesta natural( forzada $ total de un circuito. ependiendo si se trata de un circuito de pri#er o segundo orden( de esto "a a depender ta#bi-n el n#ero de constantes indeter#inadas de la respuesta natural del circuito $ a su "ez estas ta#bi-n se "en refle!adas en la respuesta total del #is#o. 5rden del circuito transitorio* F#ero de ele#entos al#acenadores de energía +C e% $;o 'e%, %ue tenga el circuito.
Circuitos transitorios de pri#er orden*
Circuitos transitorios de segundo orden*
iagra#a de circuitos R'C en serie $ en paralelo*
"#$"%U&I'$ l do#inio de 'aplace en el an&lisis de corriente alterna es un #-todo #u$ extenso %ue a$uda a resol"er dic)os proble#as de una #anera #&s sencilla $ "ariada %ue si se realizara de la
for#a con"encional( $a %ue para poder solucionarlos necesitas plantear ecuaciones %ue contienen integrales co#o deri"adas $ se )ace un poco #&s co#ple!o al resol"erlo por lo cual es #&s factible do#inio de 'aplace en el an&lisis de circuitos por lo cual son sencillos de resol"erlos. 6ara poder aplicar la ecuación de la transfor#ada de 'aplace pri#ero tienes %ue saber analizar el circuito correcta#ente dependiendo de la naturaleza %ue este sea confor#e a los ele#entos %ue se encuentran en el circuito $a sean capacitores( inductores $ resistores $ asi plantear las ecuaciones correspondientes.
(ibliogra!ía An&lisis b&sico de circuitos el-ctricos a"id . Go)nson( Go)n '. :ilburn( Go)nn$ R. Go)nson( 6eter . cott uinta edición ditorial 6rentice :all
Cicuitos el-ctricos Gosep) A. d#inister( Ha)#ood Fa)"i =ercera edición ditorial Hc raJ :ill
Cicuitos el-ctricos Ga#es K. Filsson( usan A. Riedel exta edición ditorial 6entrice :all
Circuitos el-ctricos introducción al an&lisis $ dise
=eoria de siste#as $ circuitos 0ictor erez reiser( H. A. Hurra$'asso
ditorial Alfao#ega
)ttp*;;linux/.unsl.edu.ar;Lrlopez;circuitos;lab2.pdf
Ane)os