Cap´ıtulo 1 CIRCUITOS RLC
Portada Porta da del Cap´ıtulo ıtu lo 7
1
CAP ´ ITULO 1. CIRCUITOS RLC
2
1.1
´ INTRODUCCION
En este cap´ıtulo se pretende determinar la respuesta completa x(t) con dos o m´as elementos almacenadores de energ´ıa, inductancias y capacitancias. Estos circuitos con dos elementos de almacenamiento de energ´ıa se describen por una ecuaci´on diferencial de segundo orden, es decir, una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden, o dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. De igual forma en este cap´ıtulo se podr´a observar como la respuesta del circuito toma diferentes formas funcionales al variar los valores de los elementos del circuito. En este cap´ıtulo se debe hallar la respuesta natural para circuitos de segundo orden, en una primer caso sin fuentes, y luego incluyendo fuentes, para encontrar la respuesta total como la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada. Una aplicaci´on especifica de la teor´ıa expuesta en este cap´ıtulo, son los sistemas de comunicaci´on, donde se incluyen capacitancias e inductancias, que son excitadas a trav´es de se˜nales el´ectricas para producir salidas espec´ıficas.
1.2
BIOGRAF´IA
1.2.
BIOGRAF ´ IA
3
Tomas Alva Edison ( 1847 - 1931 ): Uno de los mas grandes inventores. Lleg´o a patentar mas de 1.000 invenciones importantes. Naci´o en Mil´an, lugar del estado norteamericano de Ohio. Dedic´ o su ni˜ nez a tratar de satisfacer una honda curiosidad que sent´ıa con relaci´on a ciertos productos qu´ımicos. Se aplic´o particularmente tambi´en al estudio de historia, y le interesaban profundamente ciertos ensayos y libros sobre asuntos cient´ıficos. A los diez a˜nos contaba con su propio laboratorio en el s´otano de su casa, donde trataba de comprobar si eran verdad las maravillas que sus libros de qu´ımica contaban. A los 15 anos principi´ o a estudiar telegraf´ıa bajo la direcci´on del jefe de estaci´on de ferrocarril de una poblaci´on llamada Mt. Clemens, en el estado de Michigan. Al mismo tiempo traba jaba en la oficina de tel´egrafos de la localidad. Su primer empleo como telegrafista lo obtuvo en un lugar del Canad´a llamado Stratford Junction.
En 1868 principi´o a trabajar como telegrafista de la Western Union en Boston. Ese mismo a˜ no obtuvo su primera patente de invenci´on, correspondiente a un computador el´ectrico de votos.
En 1869 se estableci´o en la ciudad de Nueva York y al poco tiempo fue nombrado superintendente de la Gold and Stock Telegraph Company. Ese mismo a˜ no invent´o Edison un indicador autom´atico de cotizaciones de bolsa, patente que vendi´o al a˜ no siguiente por 40.000 d´olares.
Ten´ıa entonces 23 a˜nos y decidi´o dedicarse definitivamente a trabajar por su cuenta. Abri´o un taller en Newark, ciudad del estado de Nueva Jersey, para fabricar sus indicadores de cotizaciones y para trabajar en otros inventos. En 1871 colabor´o con C. L. Sholes, el inventor de la m´aquina de escribir, en un esfuerzo tendente a perfeccionar la primer m´aquina de escribir de la que se obtuvieron resultados satisfactorios. Durante los siguientes cinco a˜nos complet´o muchas otras invenciones. Entre ellas se cuentan un papel parafinado y el sistema de tel´egrafo autom´ atico que consist´ıa en un procedimiento para trasmitir hasta seis mensajes por el mismo hilo telegr´afico simult´aneamente.
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CAP ´ ITULO 1. CIRCUITOS RLC
En 1876 estableci´o su laboratorio en Menlo Park, en el mismo estado de Nueva Jersey, y en ese a˜no invent´o el trasmisor telef´onico de carbono. En 1877 completa la invenci´on del fon´ografo. Una de las m´ as importantes contribuciones aportadas por Edison al bienestar humano fue la invenci´on de la bombilla el´ectrica incandescente, que realiz´o en 1879. El mismo a˜ no perfeccion´o la dinamo e invent´o sistemas de distribuci´on, regulaci´ on y medida de corrientes el´ectricas. El a˜ no siguiente ocurri´o la invenci´on del separador magn´etico de minerales, y un a˜no mas tarde estableci´o Edison una fabrica de bombillas en Harrison y construy´o talleres para la fabricaci´on de accesorios. En 1891 invent´o una c´amara que realizaba las funciones de las c´amaras cinematogr´ aficas actuales. De 1900 a 1910 trabaj´o en la construcci´on de un acumulador a base de n´ıquel y hierro, perfeccion´o el procedimiento para fabricar cemento Portland e ide´o un disco fonogr´afico. Entre los muchos honores que su prol´ıfica labor le mereci´o se cuentan el haber sido nombrado comendador de la Legi´on de Honor de Francia y haber recibido la Medalla Alberto, de la Real Sociedad de Artes de la Gran Breta˜na. Fue hecho miembro de la Academia Nacional de Ciencias en 1927.
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1.3. EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SIN FUENTES
1.3
EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SIN FUENTES
El primer objetivo es calcular la respuesta natural de un circuito RLC en paralelo sin fuentes, resaltando que el circuito RLC en paralelo es de vital importancia en el estudio de redes de comunicaci´on y dise˜ no de filtros.
Figura 1.1: Circuito RLC Observe el circuito de la figura 1.1; en este caso se tiene un capacitor y un inductor que tiene una resistencia asociada distinta de cero. Para el an´alisis se supondr´a que la energ´ıa puede almacenarse inicialmente, tanto en el inductor como en el capacitor, por lo que la corriente del inductor y el voltaje del capacitor podr´an tener valores iniciales distintos de cero. Aplicando LCK en el nodo superior del circuito de la figura 1.1 se obtiene la siguiente ecuaci´on,ver ecuaci´on 1.1: 1 v + R L
t
t0
vdt
− i(t ) + c dv =0 dt 0
(1.1)
El signo negativo es consecuencia de la direcci´on asignada a i. Las condiciones iniciales de la bobina y el condensador son las siguientes:
i(0+ ) = I 0 v (0+ ) = V 0
(1.2)
CAP ´ ITULO 1. CIRCUITOS RLC
6
Derivando a ambos lados la ecuaci´on 1.1 con respecto al tiempo se obtiene: 1 dv 1 d2 v + v=0 C 2 + dt R dt L
(1.3)
El resultado es una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de segundo orden cuya soluci´on v (t) es la respuesta natural. Hay varias formas de solucionar est´a ecuaci´on, una de ellas consiste en suponer una soluci´on de la siguiente forma: v = Aest
(1.4)
Al sustituir la anterior ecuaci´on 1.3 en se obtiene:
CAs2 est + st
Ae
1 R
Asest +
1 L
Asest = 0
2
Cs + frac1Rs +
1 L
(1.5)
Para satisfacer est´a ecuaci´on en cualquier tiempo, por lo menos uno de los tres factores presentes en la ecuaci´on 1.5, A, est ´o el factor agrupado entre par´entesis, debe ser cero; haciendo cero los dos primeros se obtiene la soluci´on trivial de la ecuaci´on diferencial y esta no puede satisfacer las condiciones iniciales dadas, por lo tanto no son soluciones; al igualar a cero el tercer factor resulta: Cs2 +
1 R
s+
1 L
=0
(1.6)
Esta ecuaci´on recibe el nombre de ecuaci´on caracter´ıstica, si puede satisfacer la soluci´on supuesta entonces es correcta. La ecuaci´on 1.6 tiene dos soluciones por ser de segundo grado, s1 y s2 :
− − −
s1 =
1 − 2RC +
s2 =
1 − 2RC
1
2RC 1 2RC
2
2
1 LC
1 LC
(1.7)
1.3. EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SIN FUENTES
7
Se puede demostrar que cualquiera de estos dos valores satisface la ecuaci´on diferencial dada. Sustituyendo s por s1 se obtiene: v1 = A1 es
1
t
(1.8)
t
(1.9)
De igual forma con s2 se obtiene: v2 = A2 es
2
La primera soluci´on satisface la ecuaci´on diferencial: 1 dv1 1 d2 v1 + v1 = 0 C 2 + dt R dt L
(1.10)
y la segunda satisface la ecuaci´on: 1 dv2 1 d2 v2 + v2 = 0 C 2 + dt R dt L
(1.11)
Despu´es de sumar y combinar ambas soluciones, se obtiene: 1 d(v 1 + v2 ) 1 d2 (v 1 + v2 ) + + ( v 1 + v2 ) = 0 C dt2 R dt L
(1.12)
A partir del principio de linealidad y teniendo en cuenta las ecuaciones ?? y ??, se tiene la forma de la respuesta natural: v1 = A1 es t + A2 es 1
2
t
(1.13)
Donde s1 y s2 est´an dadas por las ecuaciones 1.7; A1 y A2 son dos constantes arbitrarias que deben elegirse tales que satisfagan las dos condiciones iniciales espec´ıficas, dependiendo de las amplitudes de A1 y A2 , la curva de respuesta ser´a diferente. De igual forma las constantes s1 y s2 pueden ser n´umeros reales o complejos conjugados, para cada caso las respuestas producidas ser´an diferentes, por lo tanto para tener mayor claridad se har´an dos definiciones.
CAP ´ ITULO 1. CIRCUITOS RLC
8
Observando las ecuaciones 1.7 y reemplazando por el siguiente t´ermino: ω0 =
√1
(1.14)
LC
La funci´on est es adimensional, entonces el exponente st es adimensional, por lo tanto como las unidades de t son segundos entonces las unidades de s son [s− 1], que corresponde a unidades de frecuencia. Esta cantidad es llamada frecuencia de resonancia y es funci´on de L y C, y se representa por la letra griega ´omega. De igual forma la expresi´on: α=
1
(1.15)
2RC
es llamada frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento exponencial y se representa por el s´ımbolo alfa, esta expresi´on es una medida de la rapidez con la que decae o se amortigua la respuesta natural hacia su estado final permanente. Por ´ultimo, s, s1 y s2 se llamar´an frecuencias complejas. Debe tenerse en cuenta que s1 , s2 , ω y α son solamente s´ımbolos para simplificar el estudio de los circuitos RLC. Como resumen general se presenta el siguiente conjunto de relaciones:
v1 = A1 es t + A2 es 1
s1 = s1 ω0
−α + = −α + 1 =√
α=
2
− −
t
α2
ω02
α2
ω02
(1.16)
LC
1 2RC
Las magnitudes de A1 y A2 deben encontrarse aplicando las condiciones iniciales dadas. Las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica contienen tres posibles condiciones:
1.4.
EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SOBREAMORTIGUADO
9
1. Dos ra´ıces reales y diferentes cuando: α2 > ω02
2. Dos ra´ıces reales iguales cuando: α2 = ω02
3. Dos ra´ıces complejas conjugadas cuando: α2 < ω02
•
Cuando las dos ra´ıces son reales y distintas se dice que el circuito es sobreamortiguado.
•
Cuando son reales e iguales, se dice que el circuito es cr´ıticamente amortiguado
•
Cuando las dos ra´ıces son complejas conjugadas, se dice que el circuito es subamortiguado.
1.4
EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SOBREAMORTIGUADO
El primer tipo de respuesta natural se obtiene cuando: α2 > ω02
(1.17)
En este caso, el radical ser´a positivo y las ra´ıces ser´an s1 y s2 , ambas reales negativas. Aplicando las siguientes desigualdades:
− − − − − − α2
α
ω02 < α α
2
ω
2 0
<
α+
2
α
2 0
ω
(1.18) <0
Se puede demostrar que s1 y s2 son n´ umeros reales negativos. As´ı la respuesta encontrada ser´a la suma (algebraica) de dos t´erminos exponenciales decrecientes los cuales tienden a cero conforme el tiempo aumenta.
CAP ´ ITULO 1. CIRCUITOS RLC
10
1.5
AMORTIGUAMIENTO CRITICO
El caso en donde los valores de los elementos del circuito est´an ajustados tal que α y ω0 son iguales recibe el nombre de amortiguamiento cr´ıtico, esto en la pr´actica es imposible; no se puede hacer que α y ω0 sean exactamente iguales, el resultado real siempre ser´a un circuito sobre o subamortiguado. El amortiguamiento cr´ıtico se da cuando:
α = ω0 LC = 4R2 C 2
(1.19)
L = 4R2 C
En este caso la respuesta natural toma la siguiente forma: v (t) = A1 e−αt + A2 te−αt
1.6
(1.20)
EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SUBAMORTIGUADO
En esta secci´o n, si se aumenta el valor de R, se logra que el coeficiente de amortiguamiento α disminuya mientras que ω0 permanece constante, la ecuaci´on caracter´ıstica del circuito RLC en paralelo tendr´a dos ra´ıces complejas cuando α2 > ω0 esto se cumple cuando:
LC < (2RC )2
(1.21)
L < 4R2 C
Recordando que: v (t) = A1 es t + A2 es 1
2
t
(1.22)
1.6. EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SUB-AMORTIGUADO
11
Donde:
− ± −
S 1,2 =
α2
α
Cuando:
ω02
(1.23)
ω02 > α2
(1.24)
Se tiene: S 1,2 =
Donde:
− ± − α
j
j =
√
ω02
(1.25)
α2
−1
(1.26)
Estas ra´ıces complejas conducen a una respuesta del tipo oscilatorio. Por medio de una sustituci´on simple, se tiene la frecuencia natural de resonancia ωd . ωd =
Las ra´ıces son:
−
S 1,2 =
ω02
α2
(1.27)
−α ± jω
(1.28)
d
En resumen la respuesta que se tiene es: v (t) = e−αt A1 e jω t + A2 e− jω
d
d
t
En forma equivalente pero m´as larga tenemos:
v (t) = e−αt
A1 +A2
jω d t
e
− jω d t
+e 2
+ j A1 A2
−
jω d t
e
(1.29)
− jω d t
−e j 2
(1.30)
CAP ´ ITULO 1. CIRCUITOS RLC
12 utilizando la identidad de Euler: e± jωt = cos (ωt )
± sin(ωt)
(1.31)
Sustituyendo la identidad de Euler en la respuesta, se obtiene: v (t) = e−αt (A1 + A2 )cos(ωd t) + j (A1 + A2 )sin(ωd t)
(1.32)
Donde el primer t`ermino entre par´entesis cuadrado de la ecuaci´on ?? es igual a cos (ωd t) y el segundo t´ermino entre par´entesis cuadrado de la ecuaci´on ?? es igual a sin (ωd t). Sustituyendo por los nuevos coeficientes se tiene: v (t) = e−αt B1 cos(ωd t) + B2 sin(ωd t)
(1.33)
Esta ecuaci´on representa la forma de la respuesta natural subamortiguada, y su validez se verifica reemplazando directamente en la ecuaci´on diferencial original. Las constantes B1 y B2 , se determinan a partir de las condiciones iniciales v(0) e i(0). La respuesta natural subamrtiguada es oscilatoria con magnitud decreciente. La frecuencia de oscilaci´on depende de ωd y la rapidez de decrecimiento. Se hallara la forma general de las constantes B1 y B2 en t´erminos de las condiciones iniciales cuando el circuito no est´a forzado. Partiendo de t = 0,se tiene: vn (0) = B1
(1.34)
Para hallar B2 se eval´ua la primera derivada de v(0) obteniendo: dv = e−αt ωd B2 dt
− αB
evaluado la derivada en 0 + .
1
cos(ωdt) + ωdB2 + αB1 sin(ωdt)
dv (0) = ωd B 2 dt
− αB
1
(1.35)
(1.36)
1.7.
EL CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTES
13
Como i(0) y v (0) son conocidos se puede utilizar: dv (0) = dt
(0) i(0) − vRC − C
(1.37)
Con estas dos u ´ ltimas ecuaciones ver 1.36 y 1.37, se puede obtener: ωd B2 = αB1
(0) i(0) − vRC − C
(1.38)
Ejemplo, ver figura 1.4:
1.7
EL CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTES
En esta secci´on se analizar´a la respuesta natural de un circuito que contiene una resistencia, una inductancia y una capacitancia ideales conectadas en serie, ver la figura 1.5. La ecuaci´on integrodiferencial del circuito serie es: 1 di L + Ri + dt C
t
idt
t0
− v (t ) = 0 c
0
(1.39)
En forma an´aloga, la ecuaci´on integrodiferencial para el circuito RLC en paralelo es: dv 1 1 C + v + dt R L
t
vdt
t0
−i
L
(t0 ) = 0
(1.40)
Las ecuaciones obtenidas al derivar son: 1 d2 v di R i=0 + + dt2 dt C 1 dv 1 d2 i + v=0 C 2 + dt R dt L L
(1.41)
Se puede observar que ambos modelos comparten equivalencias y similitudes, adem´ as las condiciones iniciales sobre el voltaje del capacitor y la corriente
CAP ´ ITULO 1. CIRCUITOS RLC
14
del inductor en el modelo serie son equivalentes a las condiciones iniciales sobre sus rec´ıprocos en el modelo paralelo. Un breve resumen de las respuestas del circuito serie se da a continuaci´on: La respuesta sobreamortiguada es: i(t) = A1 es t + A2 es 1
2
t
(1.42)
donde: s1,2 =
−
R 2L
Entonces:
± − R 2L
1
(1.43)
L
R 2L
(1.44)
√1
(1.45)
α=
ω0 =
2
LC
La respuesta cr´ıticamente amortiguada es: i(t) = e−αt A1 t + A2
El caso subamortiguado:
i(t) = e−αt B1 cos(ωd t) + B2 sin(ωd t)
Donde:
ωd =
− ω02
α2
(1.46)
(1.47)
(1.48)
Un incremento en α ya sea en el circuito serie o paralelo, manteniendo ω0 constante, lleva a una respuesta subamortiguada. Se debe tener especial cuidado al evaluar α ya que difiere en ambas topolog´ıas. s
1.8.
1.8
LA RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC
15
LA RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC
Se consideran ahora los circuitos RLC en donde las fuentes de CD se conmutan dentro de la red produciendo respuestas forzadas que no necesariamente se anulan cuando el tiempo tiende a infinito. La respuesta completa se expresa como la suma de la respuesta forzada y natural, de igual forma se calculan las condiciones iniciales y se aplican a la respuesta completa para encontrar los valores de las constantes. La respuesta completa (que arbitrariamente se supone que es un voltaje) de un sistema de segundo orden, consiste en una respuesta forzada, vf (t) = V f
(1.49)
que es una constante de excitaci´on de CD, y una respuesta natural, vn (t) = Aes t + Be s 1
2
t
(1.50)
As´ı: v(t) = V f + Aes t + Be s 1
2
t
(1.51)
Suponiendo que s1 , s2 y V f se conocen (basados en el circuito serie), se deben encontrar A, y B ; sustituyendo el valor conocido de v en t = 0+ se encuentra una ecuaci´on que relaciona A y B , v (0+ ) = V f + A + B , pero esto no es suficiente, se necesita otra relaci´on entre A y B y normalmente se obtiene tomando la derivada de la respuesta: dv = 0 + s1 Aes t + s2 Be s dt 1
dv dt
Se sustituye el valor conocido de
2
t
(1.52)
en t = 0+ .
Podr´ıa tomarse una segunda derivada y obtener una tercera relaci´on entre A y B si se usara el valor de ddt v en t = 0+ , sin embargo este valor no se conoce en un sistema de segundo orden, ser´ıa mas u ´ til para encontrar el valor 2
2
CAP ´ ITULO 1. CIRCUITOS RLC
16
inicial de la segunda derivada, si se hace necesario, hasta este punto solo se tendr´an 2 ecuaciones para hallar las dos inc´ognitas A y B . en t = 0+ , suponiendo que v es el Solo falta determinar los valores de v y dv dt voltaje en el capacitor, vC . Como iC = C dv , si se puede establecer un valor dt inicial para la corriente del capacitor autom´aticamente se tendr´a el valor de dv . Si se hubiera seleccionado una corriente de inductor como respuesta, dt entonces el valor inicial de didt deber´ıa relacionarse con alg´un voltaje del inductor. Las variables que no sean voltajes de capacitor o corrientes de inductor se calculan expresando sus valores iniciales y los valores iniciales de sus derivadas en t´erminos de los valores correspondientes para vC e iL . c
c
L
1.8.
LA RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC
Figura 1.2: Circuito RLC
17
18
CAP ´ ITULO 1. CIRCUITOS RLC
Figura 1.3: Circuito RLC
1.8.
LA RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC
Figura 1.4: Circuito RLC
Figura 1.5: Circuito RLC
19
