Geometría Geometría
En la figura, se tiene la circunferencia de centro O y radio R.
CIRCUNFERENCIAS DEFINICIÓN
1)
Es el conjunto de todos los puntos de un plan planoo que que equi equidi dista stann de otro otro punt puntoo de dicho plano denominado centro.
R
•
$uerda:
•
%i&metro:
•
+lecha o sagta: EF
•
Recta secante:
•
Recta tangente: - /: punto de tangencia0
•
Recta normal: -1.
•
(rco (rco:: es una una porc porci2 i2nn cual cualqu quie iera ra de la circunferencia determinada por dos puntos de la misma, misma, denomi denominad nados os extrem extremos os del arco, en la figura, por ejemplo: el arco "3:
CD
AB
' ()#*R
E O R
I
PQ
P En la figura, se muestra una circunferencia de centro O y radio R. Una circunferencia determina en su plano correspondiente dos conjuntos de puntos, deno denom minado nadoss inter nteriior y exte exteri rior or a la circunferencia.
2)
•
Si: IO R ⇒ I es un punto interior a la circunferencia.
•
Si: EO ! R ⇒ E es un punto exterior a la circunferencia.
•
Si: O" # R ⇒ " es un punto de la circunferencia.
LÍNEAS ASOCIADAS CIRCUNFERENCIA E C
A
∩
PQ
No te olvides: El crculo, es la porci2n de plano que comprende la circunferencia y su interior. El permetro del crculo es igual a la longitud de la circunferencia, entonces se cumple:
LA
-c # *πR
D
-c: longitud de la circunferencia. R: radio de la circunferencia.
F R B
A
L
T
L
N
•
O
I
P
1
Q
T
3)
-a medida angular de una circunferencia es igual a 4567.
TEOREMAS TEOREM AS FUN FUNDAM DAMENT ENTALE ALESS EN TO TODA DA CIRCUNFERENCIA
Ing. Percy Alania
Geometría Geometría
Teorema
∩
∩
m AN = m NB
Se cumple:
OT
⊥ -
y
∩
∩
m AM = m MB
Teorema L
T
() #
%$O9 # O8
B
D
M
H a
T
O
β
a
d
d
β
O A
C
En la figura, - : recta tangente a la circunferencia en .
Teorema
En la figura, si :
∩
∩
m AB = m CD
A
θ
Teorema
β m H
M
O m
θ En
la
L
N
β A
β
B figura,
MN :
T
T
R e c t a t a n g e n te β B
θ di&metro,
θ
si
C
D
MN ⊥ AB
se cumple:
(8 # 8) En la figura, si :
AB // CD
adem&s:
Ing. Percy Alania
2
Geometría Geometría ∩
se cumple:
Teorema Teorema de it#ot
∩
m AC = m BD
ami;n, si
C
B
- << AB ∩
se cumple:
∩
c
m AT = m TB
a
Teorema B
A O
D
d
a
C i r c u n f e re n c ia in s c r it a e n e l α α A
En la figura
→
PA
y
→
En la figura, circunferencia .
P
a
son tangentes a
PB
adem&s:
Teorema Teorema de Stei!er
"( # ") →
PO
()$%: circunscrito a la
Se cumple: a > c # > d
la circunferencia. se cumple:
ABCD
a?c#?d
isectri= del ∠(")
Teorema Teorema de o!"elet
B d
B C ir c u n f e r e n c i a i n s c r it a e n e l
a
AB C
C
c c
A
a
C i r c u n f e r e n c i a e ! i n s c r it a e n e l
r
A
D
En la figura, circunferencia .
C
En la figura, r : radio de la circunferencia inscrita
()$%: exiscrito a la
$N%ULOS ASOCIADOS CIRCUNFERENCIA
4) •
ABC D
$!&'lo "e!tral
A
LA
A
Se cumple: a > c # > *r
(
O
Ing.χ Percyθ Alania B
Geometría Geometría
En la figura, ∠(O): &ngulo central se x#θ
cumple:
•
$!&'lo i!s"rito
χ
χ P
A
θ
Q
En la figura, ∠)"3: &ngulo exinscrito se
"
cumple:
•
R e c ta s e c a n te
θ
En la figura, ∠("): &ngulo inscrito se
=
"
B
B
!
θ
$!&'lo e)i!s"rito
•
θ
cumple:
=
!
cumple:
A
P
En la figura, ∠("): &ngulo semi inscrito se
!
=
θ "
A $!&'lo semi i!s"rito
•
*
Ing. Percy Alania θ χ
$!&'lo i!terior
R e c ta ta n g e n te
Geometría Geometría
B
Se&'!do "aso:
M
χ
θ
A
β
P N
A
θ
En la figura, ∠("): &ngulo interior se cumple:
B Recta tangente
β
χ
P
T !
=
θ+β
En la figura, ∠"(: &ngulo exterior se cumple:
"
$!&'lo e)terior
•
!
rimer "aso:
=
θ−β "
Ter"er "aso: B B
θ
θ
D
β
χ β
P
C
A
χ P
A En la figura, ∠("): &ngulo exterior se
En la figura, ∠("): &ngulo exterior se cumple:
+
!
=
θ−β "
cumple:
!
=
θ−β "
Ing. Percy Alania
Geometría Geometría
(dem&s: x > β # @A67 /s2lo en el tercer caso0
Cir"'!-ere!"ias se"a!tes./ Son aquellas
•
cuya distancia entre los centros es menor que la suma de los radios y mayor que su diferencia.
OSICIONES RELATI,AS DE DOS CIRCUNFERENCIAS COLANARES
5)
Cir"'!-ere!"ias e)teriores./ Son
•
aquellas cuya distancia entre los centros es mayor que la suma de los radios.
A R
O O
O
#
d
R
O
#
r
d
R
"
r B
En la figura, se cumple:
En la figura, se cumple: RBrdR>r
d!R>r
Cir"'!-ere!"ias e)teriores./ Son
•
"
r
AB
ta!&e!tes
aquellas cuya distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
: cuerda comCn circunferencias.
Cir"'!-ere!"ias orto&o!ales. $"
a
$
las
dos
#
R r
O
T
#
O
d
R
O "
O
#
"
d R
En la figura, se cumple:
r
r
d#R>r En la figura se cumple: d * # R* > r*
: punto de circunferencias.
tangencia
Ing. Percy Alania
entre
las -@: O*.
recta tangente a la circunferencia de centro
0
Geometría Geometría
-*: recta tangente a la circunferencia de centro O@.
•
Cir"'!-ere!"ias i!teriores./ Son
Cir"'!-ere!"ias
•
"o!"!tri"as./
Son aquellas cuya distancia entre los centros es cero' es decir tienen el mismo centro.
ta!&e!tes
aquellas cuya distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.
l
T
A
B O
O
O
#
d
R
r "
r
En la figura, se cumple:
R
: cuerda de la circunferencia de radio R tangente a la circunferencia de radio
d#RBr
:punto de tangencia circunferencias..
•
T
entre
AB
las
Cir"'!-ere!"ias i!teriores./ Son aquellas cuya distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.
CUADRIL$TERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 1)
DEFINICIÓN Es aquel cuadril&tero cuyos D;rtices pertenecen a una misma circunferencia.
C O R
O
#
d
B "
r
A En la figura, se cumple:
C ir c u n fe r e n c i a c i r c u n s c r i t a a l c u a d r ilá t e r o A B C D
D
dRBr En la figura, (, ), $ y %: son puntos de la circunferencia' entonces:
Ing. Percy Alania
Geometría Geometría
()$%: inscrito en la circunferencia
2)
ROIEDADES
En la figura,
Teorema
θ#β
se cumple:
En todo cuadril&tero inscrito sus &ngulos interiores opuestos son suplementarios.
C B
()$%: inscrito
β
CUADRIL$TERO INSCRITI3LE EN UNA CIRCUNFERENCIA 1.
ω
DEFINICIÓN
Es aquel cuadril&tero conDexo que puede inscriirse en una circunferencia' es decir, que sus D;rtices pueden ser uicados en una misma circunferencia. C
θ
A
D
B
en la figura,
()$%: inscrito
se cumple:
θ > β # @A67
A
D
adem&s en el gr&fico si: ω es la medida del &ngulo exterior de
En la figura, si: (, ), $ y % pueden ser uicados en una circunferencia, entonces:
θ # ω
D;rtice $, se cumple:
()$%: inscriptile
Teorema
2.
En todo cuadril&tero inscrito' sus diagonales determinan con los lados opuestos &ngulos de igual medida.
rimer "aso
C
odo cuadril&tero conDexo cuyos &ngulos interiores opuestos son suplementarios, es inscriptile. C
B
θ
CONDICIÓN ARA 4UE UN CUADRIL$TERO SEA INSCRITI3LE
β
A
Ing. Percy Alania
β ω
B
D
α
A
D
5
Geometría Geometría
(0 @ )0 * $0 4 %0 F E0 2) $alcule el Dalor de G αH, si GH es un punto de tangencia, O es centro.
En la figura, si : α > β # @A67 Se cumple:
()$%: inscriptile
T
ami;n, si : α # ω Se cumple:
()$%: inscriptile
"
Se&'!do "aso odo cuadril&tero conDexo cuyas diagonales determinan con dos lados opuestos &ngulos de igual medida, es inscriptile. C
B
α
%
A
B
(0 @* %0 @
3)
α
α
P
)0 *6 E0 @A
$0 46
$alcule el Dalor de x, si: es un punto de tangencia y (O # O) # )"
θ
T
A
D !
En la figura, si: α # θ Se cumple: ()$%: inscriptile
A
$alcule la longitud de la flecha correspondiente a AB , siendo: ()#A y r #
B
(0 @*6 %0 @*J
RO3LEMAS ROUESTOS 1)
%
4)
)0 @4 E0 @467
P
$0 @6
$alcule "$, si: () # K' )$ # @ y ($ # @A.
P
B
B
A % r
T (0 *6
6
C
A )0 *@
$0 @A
Ing. Percy Alania
Geometría Geometría
%0 *F
5)
E0 **
$alcule el Dalor de GrH, si: ()#u y )$#@*u.
a0 *, 0 4 c0 4, d0 F e0 F,. 9) $alcule RS, si "3#Au y el permetro del tri&ngulo "3R es F6u. Q
B %
r
C
A (0 * %0 F
6)
)0 4 E0
7)
(0 A %0 @*
)0 F E0 5
)0 K E0 @@
$0 @6
10) En el trapecio is2sceles ()$% (%#)$#@6. $alcule la longitud de su mediana.
B
A
$0 4
En un tri&ngulo rect&ngulo de semipermetro igual a @5u y de inradio 4u. $alcule la longitud de la hipotenusa. (0 * %0 @4
8)
&
$0 *,
En un tri&ngulo rect&ngulo ()$, recto G)H: ()#@*u y )$#@5u. $alcule la longitud del inradio del tri&ngulo. (0 %0 *
R
P
)0 *6 E0 *@.
$0 @
D
En un tri&ngulo ()#Au, )$#Ju y ($#5u. $alcule (1 A
Ing. Percy Alania
(0 5 %0 @*
)0 A E0 @@
$0 @6
11) En un tri&ngulo rect&ngulo, la suma de los catetos es *6u. $alcule la suma del radio de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita.
N
C
C
B
(0 *6u %0
)0 @ E0 @*
$0 @6
17
Geometría Geometría
12) Si ()$% es un romoide, calcule el Dalor de GxH
(0 A6 )0 *6 $0 * %0 F6 E0 6 15) %e la figura mostrada' calcule el Dalor de GxH *%(
B A
)%(
C
'%(
!
! D
(0 J6 %0 6 (0 * %0 *6
)0 @ E0 F6
)0 A6 E0 J
$0 56
$0 46 ∩
16) Si AB
∩
' = BC
calcule el Dalor de GxH
C
13) Si AB es di&metro' calcule el Dalor de GxH
!
+
B #"%(
*%( A A
(0 A6 %0 F6
B
(0 @*6 %0 @6
)0 56 E0 46
$0 K6
17) Si
)0 * E0 6
∩
∩
$0 56
' O→ centro, calcule el Dalor
AM = MC
de GxH B
14) %e la figura mostrada calcule el Dalor de GxH )%(
% A
)%(
C
!
! )%(
M
(0 @*
11
,%(
)0 @
$0
Ing. Percy Alania
Geometría Geometría
%0 *6 E0 @6 18) de la figura mostrada' calcule el Dalor de GxH
21) %e la figura mostrada' calcule el Dalor de GxH.
! )%(
! #/(
(0 F6 %0 46
)0 *6 E0 A6
$0 *
22) Si
19) %e la figura mostrada' calcule /x?y0
+
.
(0 *6 %0 46
)0 K E0 45
∩
BC = #"%°
$0 *6
' calcule el Dalor de GxH
#%(
)0 E0 @6
)%0 +
$0 @
C
B
20) Si $%#O+ y O es centro, calcule el Dalor de GxH
!
(0 @A %0 46
(0 * %0 46
)0 F6 E0 F
$0 4
- #6' calcule la m ∠%($ 23) Si (% << )$, B B A
F
% "%
C D
D
C (0 A6 %0 6
)0 56 E0 46
Ing. Percy Alania
$0 F6
12
Geometría Geometría
(0 5 )0 J6 $0 J %0 6 E0 F 24) %el gr&fico mostrado φ B θ #F6, calcule el Dalor de GxH
%0 *6
E0 *
27) %e la figura mostrada' calcule el Dalor de GxH
'%(
φ
θ
!
!
(0 @@6 %0 @46
)0 @*6 E0 @6
$0 @F6
(0 F6 %0 *6
)0 6 E0 A6
$0 *
28) Si: ()#)$' calcule el Dalor de GxH B
25) $alcule el Dalor de GxH' si φ > θ # *6 +
φ
θ
!
A
C
(0 56 %0 4J
)0 5J, E0 4
$0 F
29) En la figura: φ > θ # @46' calcule (0 @46 %0 @@6
)0 @F6 E0 @66
$0 @*6
∩
PQ
θ
P
26) $alcule el Dalor de GxH si el &ngulo
Q
∧
B A C = %°
φ
B
(0 6 %0 @@6
!
)0 @66 E0 @*6
$0 @46
30) Si: ()$% es un romoide, calcule el Dalor de GxH A
A
(0 46
1(
C
)0 F6
$0 6
D
(0 46
B
!
)0C F
$0 56
Ing. Percy Alania
Geometría Geometría
%0 J6
E0 F6
%epartamento de Impresiones
89$RATE8
Ing. Percy Alania
1*