Circunferencia

LA CIRCUNFERENCIA

Geometría Analítica

EJERCICIOS PROPUESTOS
Halle el centro y el radio de las siguientes circunferencias

x2+y2=16

Ecuación Canónica:
C= (0,0) r2=16 r=4

x2+2x+y2+2y=-1

Completando cuadrados:
x2+2x+12 -12 + y2+2y+12 -12 = -1
x2+2x+1 + y2+2y+1 = -1+1+1

(x+1)2+(y+1)2 =1

C= (-1,-1) r2=1 r=1

x2-2x+y2=0

x2-2x+12 -12+y2=0
x2-2x+1 + y2= 1
(x-1)2+y2 =1
C= (1,0) r2=1 r=1

4x2+4y2-4x-18y+2=0


4(x2+y2-x- 9/2 y+ ½) = 0
x2-x + (½)2 - (½)2 + y2 - 9/2y + (9/2)2 - (9/2)2 + ½ = 0
x2-x + (½)2 + y2 - 9/2y + (9/4)2 =- (½)2 +(½)2 + (9/4)2
(x - ½)2 + (y – 9/2)2= 77/16
C = (1/2, 9/4) r2 = 77/16 r = 77/4

3x2+3y2+6x=1


3 (x2+y2+2x) = 1

x2 +2x + 12-12 + y2 = 1/3

x2 +2x + 12+ y2 = 1/3 + 1

(x + 1)2 + y2 = 4/3
C = (-1, 0) r2 = 4/3 r = 23

* No es una circunferencia

x2+y2+2x-4y+5=0


x2 +2x+12 +12 + y2-4y+22 +22 =-5

x2 +2x+12 + y2-4y+22 =-5+1+4

(x+1)2+(y-2)2= 0

C = (-1, 2) r = 0

x2+y2+2x=8

x2 +2x + 12 - 12 + y2=8
x2 +2x + 12 + y2=8+ 1
(x+1)2 + y2 = 9
C= (-1, 0) r2 = 9 r= 3

2x2+2y2+x+y=0

2(x2+y2+x/2 +y/2) =0
x2 +1/2x+(1/4)2-(1/4)2+y2 +1/2y+(1/4)2-(1/4)2 = 0
x2 +1/2x+(1/4)2+y2 +1/2y+(1/4)2= 1/16 +1/16
(x + 1/4) + (y + 1/4) = 1/8
C= (-1/4, -1/4) r2 = 1/8 r= 1/8

x2+y2+4x+4y+9=0

x2 +4x+ 22-22 +y2 +4y+22-22 +9=0
x2 +4x+ 22+y2 +4y+22=-9+8
(x+2)2+(y+2)2 = -1
C= ( -2,-2) r=

La ecuación no posee gráfica

x2+y2+4x-6y-12=0

x2 +4x + 22-22 +y2 -6y +32-32 =12
x2 +4x + 22+y2 -6y +32=12+4+9
(x+2)2 + (y-3)2 = 25

C= (-2,3) r2=25 r=5

Halle las ecuaciones de las circunferencias:

Con radio 3 y centro en (2,-4)
Solo reemplazamos en la ecuación general:
(x - h)2 + (y – k)2 = r2

(x - 2)2 + (y + 4)2 = 32
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 9

Con centro en (-1,3) y que pasa por (4,1)

Solo reemplazamos en la ecuación general:

(x - h)2 + (y – k)2 = r2

(x +1)2 + (y -3)2 = r2

Hallando el radio. Insertando el punto de paso en la ecuación
(4 +1)2 + (1 -3)2 = r2
r2 = 25+4 r= 29
Ecuación: (x +1)2 + (y -3)2 =29

Que pasa por A(0,4),B(1,2) y C(3,2) *

Sacamos puntos medios :
Con A y B
Con B y C
M (12,3)
N=(2,2)

Hallando los vectores normales
n1 = (1,-2) n2=(2,0)

Hallando ecuaciones de las rectas L1 y L2
Pn=P0n
L1=(x, y)(1,-2)=(1/2,3)(1,-2)
L1: x-2y=-11/2
L2=(x, y)(2,0)=(2,2)(2,0)
L2: x=2
Interceptando L1 L2 hallamos (h, k)
y=15/4 x=2 C(2,15/4)

Hallamos el radio
"CA"= r r = 65/16

Circunscrita al triangulo cuyos lados están sobre las rectas:

L1: 3x+2y=13 L2: x-2y=-1 L3: x+2y=3

Hallamos los puntos de intersección entre las rectas

3x + 2y =13 3x+2y=13 x– 2y =-1
x – 2y =-1 x+ 2y=3 x+2y=3
x = 4 x = 5 x=1
y = 2 y = -1 y=1

Reemplazamos los puntos en la ecuación general
(3 - h)2 + (2 – k)2 = r2
(5 - h)2 + (-1 – k)2 = r2
(1 - h)2 + (1 – k)2 = r2
Igualando para obtener ecuaciones con h y k
(3 - h)2 + (2 – k)2 = (3 - h)2 + (2 – k)2
9 - 6h + h2 + 4 - 4k + k2 = 25 - 10h + h2 + 1 + 2k + k2
4h = 13 + 6k
(3 - h)2 + (2 – k)2 = (1 - h)2 + (1 – k)2
9 - 6h + h2 + 4 – 4k + k2 = 1 - 2h + h2 + 1 - 2k + k2
11 = 4h + 2k
Hallando el centro de la circunferencia C = (h,k)

4h = 13 + 6k 11 = 4h + 2k
11 = (13 + 6k) + 2k
k= -1/4

4h = 13 + 6k
4h = 13 + 6(-1/4)
h= 23/8

Hallando radio.
r2 = (3 – 23/8)2 + (2 + 1/4)2
r2 = 325/64

La ecuación de la circunferencia:
C:x-2382+y+142=32564

Inscrita en el triangulo cuyos lados están sobre:
L1: 4x + 3y = 24 L2: 3x - 4y = 18 L3:4x - 3y = -32

Hallamos los puntos de intersección con los ejes:
4x + 3y = 24 3x - 4y = 18 4x - 3y = -32
x=0 y= 8 x=0 y= -9/2 x=0 y= 32/3
x=6 y= 0 x= 6 y= 0 x=-8 y= 0

Como las rectas son tangentes usamos una fórmula que relacione el Centro de la circunferencia con cada una de las rectas.

r= 4h+3k-245
r= 3h-4k-185
r= 4h-3k-325

Igualando los radios, tenemos que buscar puntos que se encuentren entre las rectas.
4h+3k-24= 3h-4k-18
4h + 3k – 24 = 3h – 4k – 18 4h + 3k – 24 = - 3h + 4k + 18
h + 7k = 6 7h – k = 42
4h+3k-24= 4h-3k+32
4h + 3k – 24 = 4h – 3k + 32 4h + 3k – 24 = -4h + 3k - 32
6k = 56 8h = -8
Hallando el centro.
8h = -8 6k = 56
h = -1 k = 28/3
h + 7k = 6 7h – k = 42
k = 1 h=14/3
Tomamos los puntos C= ( -1,1) pues están comprendido en el triangulo que forman las rectas

Ahora hallamos el radio.

r= 4(-1)+3(1)-245
r = -255
r= 5

Con centro en (-1,1) y tangente a L: x+2y=4

Hallando puntos de intersección con la los ejes coordenados.
L: x + 2y = 4
X =0 y = 2
X = 4 y = 0
Hallando el radio.
r = -1+21-45
r = 3/5 r2 = 9/5
Reemplazando y hallando la ecuación de la circunferencia.
C: (x+1)2+ (y-1)2= 9/5

Halle los puntos de intersección de la circunferencia con centro en el origen y de radio 5 con la recta: a) x-y+5=0, b) de pendiente -4/3 y que pasa por (1,7), c) 3x-y=5, d) la recta 7x+y-25=0

a) C: x2 +y2 = 25 ; L: x-y+5=0
Despejamos x en la recta L:
X= y+5
Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia:
(y+5)2 +y2 = 25
Y = 5 ……………….. X = 0
Y = 0 ………………... X = -5

b) C: x2 +y2 = 25 ; m: -4/3 y el punto: (1,7)

Hallamos la ecuación de la recta:

(y-7)/(x-1) = (-4)/3
3y – 21 = -4x + 4
4x +3y – 25 = 0…………………….. Ec. De la recta

Despejamos X :
X = 25 – 3y /4
Reemplazamos en la circunferencia:

(25-3y4)2+y2 = 25
25y2 - 150y + 25*9 = 0
y2 -64 + 9 = 0
(y-3)2 = 0
Y = 3 ……………… X = 4

c) C: x2 +y2 = 25 ; L: 3x-y=5
Despejamos y en la recta L:
y = 3x-5
(3x-5)2 +x2 = 25
x2 +9y2 +25 – 30x = 25
10 x2 – 30x = 0
x2 – 3x=0
X (x-3) = 0 ………………. X = 0 …………….. X = 3
Y = -5 …………….. Y = 4

d) C Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia; la recta 7x+y-25=0
Despejamos y en la recta L:

Y = 25 - 7x

x2 +(25-7x)2 = 25
x2 +49x2 + 25 * 25 – 350x= 25
x2 - 7x +12 = 0 …………………. (x - 3)(x - 4) = 0
X = 3 …………… X = 4
Y = 4 …………… Y = -3

Sea P un punto exterior a una circunferencia dada C. Sea PT el segmento de recta tangente a C en T, y PN la recta trazada desde P que pasa por el centro de C y que intersecta a C en M y N.

Pruebe que "PM" * "PN" = "PT"2

(a+r)2=r2+b2
a2+2ar+r2=r2+b2
a2+2ar=b2
aa+2r=b2
PMPN=PT2

Halle la ecuación de la circunferencia :

Con centro en (0,-3) y tangente a 5x-12y+2=0

L: 5x-12y+2=0
x=0 y= 1/6
x=-2/5 y= 0
Hallando el radio.
r = 50-12-3+213
r = 38/13 r2 = (38/13)2

C: x2+ (y+3)2= (38/13)2

Con centro en el EJE X y que pasa por (4,6) y (1,3)

El centro estaría dado por C =(h,0)

Reemplazamos en la ecuación general, los puntos y el centro
(1 - h)2 + (3)2 = r2
(4 - h)2 + (6)2 = r2
Igualando
(1 - h)2 + 9 = (4 - h)2 +36
1 - 2h + h2 +9 = 16 - 8h +h2 + 36
6h = 42
h = 7
Hallamos radio
(1 - 7)2 + (3)2 = r2
r2 = 45
C: (x-7)2 + y2 = 45

Que pasa por (7,-5) y es tangente a L: x-y-4=0 en el punto (3,-1)

Encontrando puntos de intersección con los ejes
L: x-y-4=0
x=0 y= -4
x=4 y= 0
Reemplazando en la ecuación general e igualando
(7 - h)2 + (-5 - k)2 = r2
(3 - h)2 + (-1- k)2 = r2
49 - 14h + h2 + 25 + 10k + k2 = 9 – 6h + h2 + 1 + 2k + k2
8k + 64 = 8h
k + 8= h

Hallando radio
r = h-k-42
r= k+8-k-42
r= 42 r2 = 162 = 8

Hallando los puntos del centro de la circunferencia
r2 = (h-3)2+ (k+1)2
8 = (k+5)2 + (k+1)2
8 = k2 + 10k + 25 + k2 + 2k + 1
k2 + 6k + 9 = 0
K=-3 K + 8 = h
h = 5
C: (x-5)2+ (y+3)2= 8

De radio 5 y tangente a 4x-3y+1=0 en (3,2)

Que pasa por (2,-2) y por los puntos de intersección de las circunferencias
C1: x2+y2-2x+3y-13= 0, y C2: x2+y2-x-2y-15=0

Usamos u + nv = 0
x2+y2-2x+3y-13 + n (x2+y2-x-2y-15) = 0
x2+y2-2x+3y-13 + nx2+ny2-nx-2ny-15n = 0
(1+n)x2 + (1+n)y2 – (2+n)x + (3-2n)y – (13 + 15n) = 0
C= x2 + y2 – (2+n)(1+n)x + (3-2n)(1+n)y – (13 + 15n)(1+n) = 0

Reemplazamos el punto
22 + (-2)2 – (2+n)(1+n)(2) + (3-2n)(1+n)(-2) – (13 + 15n)(1+n) = 0
5n = -15
n = -3

Reemplazamos en en la ecuación obtenida.
C= x2 + y2 – (2+(-3))(1+(-3))x + (3-2(-3))(1+(-3))y – (13 + 15(-3))(1+(-3)) = 0

C= x2 + y2 – 12 x - 92 y +16 = 0

radio 50 y corta en el EJE X una cuerda de longitud igual a 28 unidades, y que pasa por (0,8)

Con centro en (-1,1) y tangente a L: x + 2y = 4

L: x+2y=4
x=0 y= 2
x=4 y= 0
Hallando el radio.
r = -1+21-45
r = 3/5 r2 = 9/5
C: (x+1)2+ (y-1)2= 9/5

Que pasa por (2,-2) y (3,4), y cuyo centro se encuentra en la recta
L: x + y = 2

Reemplazamos los puntos del centro en la recta
h + k = 2

Reemplazando los puntos en la ecuación general
(3 - h)2 + (4 - k)2 = (2 - h)2 + (-2 - k)2
9 - 6h + h2+ 16 - 8k + k2 = 4 - 4h + h2 + 4+ 4k + k2
17 = 2h + 12k
Reemplazando con la ecuación obtenida:
17 =2(2-k) + 12k h+13/10=2
k = 13/10 h = 7/10
Hallando radio
r 2= (3-7/10)2+(4-13/10)2
rr = 629/50

C: (x-7/10)2+(y-13/10)2 = 629/50

Que pasa por (2,3), (3,2) y (-4,3)

Reemplazando y igualando radios
(2 - h)2 + (3-k)2 = r2
(3- h)2 + (2-k)2 = r2
(-4 - h)2 + (3-k)2 = r2

(2 - h)2 + (3-k)2 = (3- h)2 + (2-k)2
4 - 4h + h2 + 9 - 6k+ k2 = 16 + 8h + h2 + 9 - 6k + k2
2h = 2k
h = k
(2 - h)2 + (3-k)2 = (-4 - h)2 + (3-k)2
4- 4h +h2 + 9-6k+k2 = 16 + 8h + h2 + 9 - 6k+k2
-1=h k= -1
Reemplazando para hallar radio
(2 – (-1))2 + (3-(-1))2 = r2
r2 = 25 r = 5
La ecuación es:

(x +1)2 + (y+1))2 = 25

Grafica:

Una circunferencia C es tangente simultáneamente a:

C1: (x-3)2+ (y-4)2=4, C2: (x-3)2+ (y-8)2=36
Halle el lugar Geométrico descrito por el centro de C.

Halle la ecuación del lugar Geométrico del centro de una circunferencia que se mantiene tangente a las circunferencias
C1: x2+ y2-4y-12=0, C2: x2+ y2=1

En el eje Y: en la circunferencia A su centro es el punto medio de (0;6) y (0;1)
C=0;6+(0;1)2=(0;3,5)
Igualmente en la circunferencia B entre (0;-1) y (0;-2) entonces C(0;-1,5)
C=0;-1+(0;-2)2=(0;-1,5)
Pero la ecuación del centro de la circunferencia es una elipse con el eje focal paralelo al eje Y, entonces la ecuación es:
(y-k)2a2+(x-h)2b2=1
2a=dC:A
3,5—1,5=5=2a
a=2,5
Ce=(0,1)
En el triangulo formado h=2,5
2,52=12+b2
5,25=b2

(y-1)25,25+x26,25=1

Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta y=4X si las longitudes de los segmentos que determina sobre el EJE X y sobre el EJE Y son 7/2 y 4, respectivamente.

Como la recta pasa por el punto:
k = 4h
Reemplazando en la ecuación general
(x - h)2+ (y - k)2 = r2
(x - h)2+ (y -4h)2 = r2
Reemplazando los puntos de intersección
(x1-h)2+ (4h)2 = (x2-h)2+ (4h)2
(x1-h)2 = (x2-h)2
"x1-h" = "x2-h"
(x1+x2-2h)(x1-x2) = 0
x1+x2 = 2h
(h)2+ (y1 - 4h)2 = (h)2+ (y2 -4 h)2
"y1-h" = "y2-h"
y1 + y2 = 8h
Relacionando las distancia entre los puntos y las relaciones del ítems anterior
x1-x2 = 7/2 x1+x2 = 2h
y1-y2 = 4 y1+y2 = 8h

x1-x2 = 7/2 y1-y2 = 4
x1+x2 = 2h y1+y2 = 8h
x2 = h + 7/4 y2 = 2 + 4h

La distancia entre las rectas x + 2y – a = 0, x + 2y + 4a = 0, es 25 . Halle la ecuación de la circunferencia que es tangente a ambas rectas, y cuyo centro se encuentra en el EJE Y.

Dadas C1: x2 + y2 -16=0, C2: x2 + y2 + 4x + 8y – 80 = 0, y el punto A = (4,-12), encuentre el área del triangulo ABC, si se sabe que está inscrito en una de las circunferencias, y circunscrito a la otra.

Grafica:

Solución:

Hallando centro de las circunferencias
C1: x2 + y2 - 16= 0
C1= (0,0) r = 4
C2: x2 + y2 + 4x + 8y – 80 = 0
x2 + 4x + 4+ y2 + 8y + 16 = 80 + 16 + 4
(x + 2)2 + (y + 4)2 = 100
C2 = (-2,-4) R= 10

Para formar un triangulo entre las circunferencias, necesariamente sus lados tienen que ser tangentes a ellas.
*Así hallamos el punto B= (4,4) gráficamente

Hallamos los lados del triangulo
AB = (4,4) - (4,-12) = (0,16)
"AB" = 16

"AC" = 2R = 20

"BA"2+ "CB" 2 = "AC"2
"CB" 2 + 256 = 400
"CB" 2 = 12

Hallando Área
SABC = (12*16)/2
SABC = 96 u2

Suponiendo que las circunferencias x2 + y2 + Dx + Ey + F= 0, y
x2 + y2 + D'x + E'y + F'= 0 poseen una cuerda común, pruebe que esta tienen ecuación (D - D')x+(E - E')y+(F -F') = 0
Cn: x2 + y2 + Dx + Ey + F + n(x2 + y2 + D'x + E'y + F')
Cn : (1+n)x2 +(1+n)y2 + (D+nD')x + (E+nE')y + (F+nF') = 0
En el caso que en que : 1+n =0 n=-1
La ecuación se convierte en una Ecuación de Primer Grado
(D - D')x+(E - E')y+(F -F') = 0

Halle la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas
L1:2x – y + 5 = 0 ,L2: x – y + 4 =0 y que es perpendicular a la cuerda común a las circunferencias : x2 + y2 = 4y, x2 + y2 = 4x

Grafica:

Solución:
Hallando los puntos de intersección con los ejes coordenados :
2x – y + 5 = 0 x –y +4 = 0
x=0 y=5 x=0 y=4
x=-5/2 y=0 x=-4 y=5
Intersecando rectas
2x – y + 5 = 0
x – y + 4 = 0
x = -1 y = 3 L1 L2 = (-1,3)

Hallando centro y radio de las circunferencias
x2+ y2 = 4y x2 + y2 = 4x
x2 + y2 - 4y + 4 = 4 x2 - 4x + 4 + y2 = 4
x2 + (y - 2)2 = 4 (x-2) + y2 = 4
C (0,2) r = 2 C (2,0) r=2

Usando (D - D')x + (E - E')y + (F- F') = 0 cuando tenemos una cuerda común.
((-4)- 0')x + (0-(-4)')y = 0
-4x + 4y = 0
4y – 4x =0
mec.cuerda = 1

Hallando tangente.
mec.cuerda .mL =- 1
(1). ( mL) = -1
mL =- 1
hallando ecuacion punto-pendiente
L: y - y1 = m(x - x1)
L: (y - 3) = -1(x + 1)
L: x + y=2

D
Determine la ecuación del diámetro de la circunferencia x2+ y2-6x+4y-12=0 que biseca a la cuerda cuya ecuación es 3y+x-6=0

GRAFICA:

Solución:
Hallando centro y radio , completando cuadrados
x2 - 6x + 9 – 9 + y2 + 4y + 4 - 4 =12
x2 -6x + 9 + y2 + 4y + 4 = 25
(x -3 )2 + (y + 2)2 = 25
C= (3,-2) r= 5
Hallando pendiente de la cuerda
3y + x – 6 = 0
m = -A/B mcuerda = -1/3
Hallando ecuación del diámetro (punto-pendiente)
y - y1 = m(x –x 1)
y + 2 = (-1/3)(x - 3)
3x - y = 11

Halle la ecuación de la circunferencia

Cuyo diámetro es el segmento de la recta 4x - 3y + 12 = 0 situado entre los ejes coordenados
Grafica:

Solución:
Hallando intersección con los ejes coordenados
4x - 3y + 12=0
x = 0 y = 4
x = -3 y = 0
Por ser diámetro, hallando el punto medio hallamos el centro de la circunferencia
C = (h, k) = (y1 + y2)/2 , (x1 + x2)/2
C = (-3/2 ,2)
hallamos el radio.
r2 = (3/2)2 + (2)2
r2 = 25/4
La ecuación es:
(x+3/2)2 + ( y - 2)2 = 25/4

Que pasa por (0,0),(-3,9) y con centro en el EJE Y
Grafica:

Como el centro de esta sobre el eye Y , entonces será:
C= (0, k)

Hallamos radio, con el punto (0,0)
r2 = k2
Reemplazamos el C en
(3)2 + ( k - 9)2 = k2
9 + k2 -18k +81 = k2
90 = 18k
k =5

Reemplazamos en la ecuación general
x2 + ( y -5)2 = 25

Que pasan por (-1,2), y son tangentes a ambos ejes coordenados.

Que pasan por (4,-2) y (5,-3), y tienen radio 5
De radio 4 y es concéntrica a x2 + y2 + 6y + 8 = 0

Grafica:

i. Por ser concéntrica, si hallamos el centro de la circunferencia podemos obtener la otra ecuación

x2 + y2 + 6y + 8=0
x2 + y2 + 6y + 9 - 9=-8
x2 + y2 + 6y + 9 = 1
x2 + (y + 3)2 = 1
C = (0,-3)
Reemplazamos en la ecuación general
x2 + (y + 3)2 = 42
x2 + (y + 3)2 = 16
Que pasa por (4,-3), y es concéntrica a x2+ y2-4x+3y=1

Grafica:

Solución:
Por ser concéntrica, si hallamos el centro de la circunferencia podemos obtener la otra ecuación
x2 - 4x + 4 -4 + y2+ 3y + 9/4 – 9/4 =1
x2 - 4x + 4 + y2+3y + 9/4 = 29/4
(x - 2)2 + (y+ 3/2)2 = 29/4
C = (2,-3/2)

Hallando radio, tenemos dos puntos
r2 = (4-2)2 + (3+3/2)2
r2 = 25/4
La ecuación es:
(x-2)2 + (y+3/2)2 = 25/4

Un punto P se desplaza de manera que el cuadrado de su distancia de la base de un triangulo isósceles es siempre igual al producto de sus distancias de los otros dos lados. Demuestre que el Lugar Geométrico de P es una circunferencia.

Para simplificar: Se toma como un punto al origen y al otro un punto A(a,0) (a 0) (ver figura).

Sea P(x,y) un punto cualquiera del lugar geométrico. Entonces P debe de satisfacer la condición geométrica
PO2 + PA2 = k Siendo K : la base que siempre permanece constante
*Por distancias entre dos puntos tenemos.

PO2 = x2 +y2
PA2 = (x-a)2 + y2

Se sustituye lo anterior en PO2 + PA2 = k
x2 +y2 + (x-a)2 + y2 = k
*Se reduce a:
x2 +y2 –ax + a22 - k2 = 0

Halle la ecuación de la circunferencia con centro en las rectas x + y=4, 5x + 2y=-1, y de radio 3.

Grafica:

Solución:

Hallando el centro, con la intersecciones de las rectas

x + y= 4
5x + 2y= -1
x = 9

y = 7

Reemplazando en la ecuación general

(x + 3)2 + (y - 7)2 = 9

La recta L es tangente a x2+ y2=1 en A= (-1,1)/2. Halle la tangente del ángulo que forma L con la cuerda que va desde A hasta el punto B=(1,0)

Grafica:

Solución:
L2 m2 = (y - y0)/(x-x0)
= ( 0 - 12)(1+ 12)

L1 = (x0 – 0)(-12 - 0) + ( y - 0)(12 - 0) = 1
L1 = x - y + 2 = 0
M = 1
Tan(α) = 1+ 1(2+1) 1 - 1(2- 1)= 2 + 1

I)
C: (x - h) + (y - k) = R2
(2 - h) + (5 - k) = R2
h – k + 52=h – k + 1 2
h + 3 = k
II)
2 – h+ 5 – k=h – k + 522
2 – h+ 5 – h-3=-3+ 522
h+ -4h-3=0
h-1h-3= 0
h = 3
k = 6 C: (x - 3) + (y - 6) = 2

Una circunferencia es tangente a las rectas L1: y = x + 5, y L2: y = x + 1. Si (2,5) pertenece a la circunferencia, encuentre su ecuación si la suma de las coordenadas del centro es mayor que 7.

I)
C: (x - h) + (y - k) = R2
(2 - h) + (5 - k) = R2
h – k + 52=h – k + 1 2
h + 3 = k

II)
2 – h+ 5 – k=h – k + 522
2 – h+ 5 – h-3=-3+ 522
h+ -4h-3=0
h-1h-3= 0
h = 3
k = 6 C: (x - 3) + (y - 6) = 2

El punto C= (-2,3) es el centro de una circunferencia cuya cuerda sobre el EJE Y es dividida p

or el origen en la razón -4. Halle la longitud de la cuerda.

Halle el valor de K para que la ecuación x2+ y2-8x+10y+k=0, represente una circunferencia de radio 4.

Grafica:

Solución:

Completando cuadrados
x2 - 8x + 16 - 16 + y2 + 10y + 25 -25 = -k
x2 - 8x + 16 + y2 + 10y + 25 = -k + 16 + 25

r 2 = 41 - k = 4

16 = 41 – k
k= 25

El punto (8,6) es el centro de una cuerda de la circunferencia: x2+ y2-12x-4y=0. Halle la longitud de dicha cuerda.

a + c = 16
b + d = 12
L : longitud de la circunferencia
(2,4) u= (220, 420)
u= (-420, 220)

u (L) = (c – a , d - b)
(-4L20, 2L20) = (c – a , d - b) -4L20=16-a-a ^ 220=12-b-b

a = 8 + 2L20 b = 6 - L20

(a.b) pertenece a la Circunferencia: x2 + y2 – 12x – 4y =0
8 + 2L202 + 6 -L202 + 12 (8 + 2L20) + 4(6 -L20) = 0
L2 = (4)(4)(5) L = 45

Halle la ecuación de una circunferencia tangente a la recta 7x-24y-55=0 y cuyo centro es el de la circunferencia x2+ y2-8x-4y=0

Grafica:

Solución:

Hallando el centro, completando cuadrados
x2 - 8x + 16 - 16 + y2 - 4y + 4 – 4 = 0
x2 -8x + 16 + y2-4y + 4 =20

C = (4,2) r2 = 20

Hallando el radio.
r = "7x-24y-55"25

r = "7(4)-24(2)-55"25

r = 3

Ecuación general
(x-4)2 + (y-2)2 = 9

Halle el Lugar Geométrico de los centros de las circunferencias tangentes al EJE Y y que pasen por (1,0)
Grafica:

Solución:
C: x - h2 + y-k2 = R2 tangente al eje y R = h
C: 1 - h2 + 0-k2 = h2
1-2h+ k2=0 1 – 2y + y2 = 0
Y2 = 2x - 1

Halle la máxima distancia del punto A(10,7) a la circunferencia x2+ y2-4x-2y-20=0


x2 + y2 - 4x - 2y – 20 = 0
x2 -4x +4 - 4 + y2 - 2y + 1-1 = 20
x2 - 4x +4 + y2 - 2y + 1 = 25
C =(2,1) r= 5
Para hallar la máxima distancia tendríamos que sumar la distancia que existe entre el punto y la circunferencia más el diámetro, hallamos la distancia entre Centro de la circunferencia y el punto

dCA = (10-2)2+(7-1)2
dCA = 10
Por lo tanto la distancia máxima
dCA + r = 10 +5 = 15

Halle la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas L1, L2 y L3, si su centro se encuentra en el cuarto cuadrante, siendo L1: y=-2 , L2: y=-6,
L3: 3x-4y-9=0

Grafica:

Solución:

Teniendo dos rectas paralelas y una circunferencia tangente a esta, podremos obtener un punto del centro y también el radio
k= (-2)+(-6)2 k = -4
Hallamos el radio
r = 2

Una vez obtenido una de las coordenadas del centro reemplazamos para hallar h
r = "3x-4y-9"5
r = 3h-4(-4-9"5
2 = "3h+7"5

10 = 3h + 7 3h + 7 = -10

h = 1 h = -17/3

Hallando la ecuación , se toma el punto que coincida con el cuarto cuadrante
(x-1)2 + (y+4)2 = 4

Halle la distancia del punto A:(4,26) a la circunferencia x2 + y2 + 10y = 6x + 15

Grafica:

Solución:

x2+ y2+10y = 6x + 15
x2 - 6x + 9 + y2 +10y + 25 = 15 + 9 + 25
(x - 3)2 + (y + 5)2 = 49
C = (3, -5) r = 7

Hallamos la distancia que existe entre el punto y el centro y resto el radio

d Acentro = 1 + (26 + 5)2 = 962
La distancia seria
DAcircunferencia = 962 - 7

La recta L= {Po + t (1,1)} corta a la circunferencia C: x2 + y2 = 186 + 2x + 6y en dos puntos diferentes A y B. Si AB=142, y la distancia del centro de C a L es 14/2, halle la ecuación general de L y los puntos A y B.

Grafica:

Solución:

C: x2 + y2 – 186 – 2x – 6y = 0
(x – 1)2 + (y - 3)2 = 132
C (h,k) = (1,3) ^ R = 3

A = (a,b) P – Po = t (1,1)
B = (m,n) (A - B) = t (1,1)
N = (p,r)
BA // NC
L // (1,1)
n=(1,1)
n=(-1,1)
NA // (1,1)
12,12*72 = (7,7) = NA

(A - B)(C - N) = 0
t1.11-p,3-r= 0
1-p + 3-r=0
4=p+r

Distancia de C N = 142
1-p2+ 3-r2=7*14
1+r-42+ 3-r2=7*14
r-3= ±7

PRIMERA SOLUCIÓN
SEGUNDA SOLUCIÓN
r – 3 = 7
r = 10
p = -6

nx.y= nP0
-1,1x,y=-1,1-6,10
y-x-16=0

A=NA+ N
A= 7,7+ (-6,10)
A=(1,17)

B=NB + N
B=-7,-7+ -6,10
B=-13, 3

r - 3 = -7
r = -4
p = 8

nx.y= nP0
-1,1x,y=-1,18,-4
y-x+12=0

A=NA+ N
A= 7,7+ (8,-4)
A=15,3

B=NB + N
B=-7,-7+ 8,-4
B=1,-11

Dos circunferencias C1 y C2, son concéntricos y el radio de C1 es 35. Además, la recta tangente a C1, en el punto A, corta a C2 en los puntos (8,-10) y (12,-2). Encuentre las ecuaciones de C1 y C2 de tal manera que la abscisa del centro de C1 sea menor que 10.

Grafica:

Solución:

C2: (x - h)2 + (y - k)2 = R2
(12 - h)2 + (-2 - k)2 = (8 - h)2 + (-10 - k)2
16+8h+ 16k = 0
2+h+2k=0

(10 - h)2 + (-6 - k)2 = 45
10 – h2 + (-6 – 2+h2)2 = 45 h = 4, h < 10 ^ k = -3
10-h=±6
h = 16

(12 - h)2 + (-2 - k)2 = R2
(12 - 4)2 + (-2 + 3)2 = R2
65=R
C1: (x – 4)2 + (y + 3)2 = 45
C2: (x – 4)2 + (y + 3)2 = 65

Halle las coordenadas del centro de la circunferencia C que pasa por (2 + ( 2 - 6), 2 + ( 2 - 6)), y que es tangente a las rectas L1: 3y=x, L2: y=3x.

(x - a)2 + (y - a)2 = r2 dC,L=r

(c - a)2 + (c - a)2 = 1-3a22 dC,L= h-3k2
2(c - a)2 = 4-23a42 = 8(c - a)2 = 4-23a2

8c2+ 8a2 – 16ac = 4-23a2

4-23a2– 16ac + 8c2 = 0
a=16c±256c2-44+23(8c2)24+23

a = 2c (2 ± 2-3)2+3 c= 2- 6+2

Para positivo:
a = 2(2- 6+2) (2+ 2-3)2+3

a1 = 44+302-243 -186
Para negativo

a = 2(2- 6+2) (2- 2-3)2+3

a2 = 102-83 -66-12

Halle la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas
2x – y + 5 = 0, x – y + 4 = 0, y que es perpendicular a la cuerda común de las circunferencias C1 y C2 donde
C1: x2 + y2 - 4y = 0 , C2: x2 + y2 -4x = 0

Grafica:

Solución:

hallando la intersección entre las rectas
2x-y=-5
x-y=-4
x = -1 y =3

Usando (D- D')x+(E-E')y+(F-F')=0 cuando tenemos una cuerda común.
4x - 4y = 0
x = y
mec.cuerda = 1
Hallando tangente.
mec.cuerda .mL =- 1
(1). ( mL) = -1
mL =- 1
Usando punto pendiente

y -3 = -1 (x+1)

x + y = 2

EJERCICIOS PROPUESTOS (Pag. 298)
Halle la ecuación de la(s) recta(s) tangente(s), y los Puntos de Contacto, correspondientes a:

9x2+9y2+18x-12y=32 , cuyas pendientes midan 2
SOLUCION:
C:9x2+9y2+18x-12y=32


C:9x2+2x+1+9y2-43y+49=32+9+4

C:9x+12+9y-232 =45

C:x+12+y-232 =5, su radio es5 y su centro es C (-1, )

Sea P(a,b) el punto de contacto entre la circunferencia y la recta, entonces esta tiene la forma L:y-b=2(x-a)

(a,b) Ca+12+b-232 =5Reemplazando (*)43-2b2+b-232 =5 b =-13 b =53 a =1 a =-3mL mPC=-1
(a,b) C
a+12+b-232 =5
Reemplazando (*)
43-2b2+b-232 =5
b =-13 b =53
a =1 a =-3
mPC=-12
b-23a+1=-12
a=13-2b…..….(*)

L:y-b=2x-a
L :y-53=2(x+3)L :y=2x+233P =(-3,53)
L :y-53=2(x+3)
L :y=2x+233
P =(-3,53)
L :y+13=2(x-1)
L :y=2x-73
P =(1,-13)

x2+y2+4x-10y+21=0, paralelas a 5x-5y+31=0

SOLUCION:

C:x2+y2+4x-10y+21=0


C:x2+4x+4+y2-10y+25=-21+4+25

C:x+22+y-52 =8, su radio es 22 y su centro es C (-2,5)

Sea P(a,b) el punto de contacto entre la circunferencia y la recta, entonces esta tiene la forma L:y-b=x-a ya que cuando las rectas son paralelas sus pendientes son iguales y en 5x-5y+31=0 su pendiente es 1

(a,b) Ca+22+b-52 =8Reemplazando (*)a+22+-a-22 =5 a =0 a =-4 b =3 b =7mL mPC=-1
(a,b) C
a+22+b-52 =8
Reemplazando (*)
a+22+-a-22 =5
a =0 a =-4
b =3 b =7
mPC=-1
b-5a+2=-1
b=3-a …..….(*)

L :y-7=x+4L :y=x+11P =(-4,7)L:y-b=x-a
L :y-7=x+4
L :y=x+11
P =(-4,7)
L :y-3=x
L :y=x+3
P =(0,3)

x2+y2+6x-8=0, perpendiculares a 4x-y+31=0

SOLUCION:
C:x2+y2+6x-8=0


C:x2+6x+9+y2=8+9

C:x+32+y2 =17, su radio es 17 y su centro es C (-3,0)

Sea P(a,b) el punto de contacto entre la circunferencia y la recta, entonces esta tiene la forma L:y-b=-14(x-a) ya que cuando las rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a -1 y en 4x-y+31=0 su pendiente es 4

(a,b) Ca+32+b2 =17Reemplazando (*)a+32+4a+122 =17 a =-2 a =-4 b =4 b =-4
(a,b) C
a+32+b2 =17
Reemplazando (*)
a+32+4a+122 =17
a =-2 a =-4
b =4 b =-4
mL mPC=-1
mPC=4
ba+3=4
b=4a+12 …..….(*)

L:y-b=-14(x-a)

L :y+4=-14(x+4)L :x+4y=-20P =(-4,7) L :y-4=-14(x+2)
L :y+4=-14(x+4)
L :x+4y=-20
P =(-4,7)
L :x+4y=14
P =(-2,4)

x2+y2-8x-2y+12=0, desde el punto (7,2)

SOLUCION:
C:x2+y2-8x-2y+12=0


C:x2-8x+16+y2-2y+1=-12+16+1

C:x-42+y-12 =5, su radio es 5 y su centro es C (4,1)

Sea P(a,b) el punto de contacto entre la circunferencia y la recta, entonces esta tiene la forma L:y=mx-7+2 ya que esta pasa por el punto (7,2)

L:y=mx-7+2 L:y=mx-7m+2

Reemplazamos L en C y resulta
x-42+mx-7m+32 =5

1+m2x2+2m-14m2-8x+49m2-14m+12=0 ………..(*)

Δ=0
2m-14m2-82-41+m249m2-14m+12=0
m=2 m=-12

L:y=mx-7+2
L :y=-12(x-7)+2L :x+2y=11
L :y=-12(x-7)+2
L :x+2y=11

L :y=2x-7+2
L :y=2x-12

Reemplazando en (*)
Si m=-12 x2-10x+25=0 x=5 y=3P =(5,3) Si m=2
Si m=-12
x2-10x+25=0
x=5 y=3
P =(5,3)
x2-12x+36=0
x=6 y=0
P =(6,0)

Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por (7,-5), y es tangente a la recta x-y-4=0 en el punto (3,-1)

Grafica:

SOLUCION:

Sea C: (x-h)2+(y-k)2=r2
dC:A=dC:B
(h-7)2+(k+5)2=(h-3)2+(k+1)2
8+k=h ……..(*)

(h-3)2+(k+1)2=rReemplazando (*)C: (8+k-3)2+(k+1)2=8k=-3 h=5 dC:L=r
(h-3)2+(k+1)2=r
Reemplazando (*)
C: (8+k-3)2+(k+1)2=8
k=-3 h=5
h-k-42=r
Reemplazando (*)
42=r

C: (x-5)2+(y+3)2=8

Determine el valor de la constante k para que la recta 2x+3y+k=0, sea tangente a C:x2+y2+6x+4y=0
Grafica:

C:x2+y2+6x+4y=0Reemplazando (*)(k-3y2)2+y2+6(k-3y2)+4y=013y2+-6k-20+(k2+12k)=0Δ=0(-6k-20)2-4(13)(k2+12k)=0 k=1 k=-25SOLUCION:
C:x2+y2+6x+4y=0

Reemplazando (*)
(k-3y2)2+y2+6(k-3y2)+4y=0

13y2+-6k-20+(k2+12k)=0

Δ=0
(-6k-20)2-4(13)(k2+12k)=0

k=1 k=-25

L: 2x+3y+k=0
x=k-3y2 …….(*)

Demuestre que las circunferencias C :x2+y2-3x-6y+10=0 , y C2:x2+y2-5=0 son tangentes y halle la ecuación de la circunferencia tangente a C y C en su punto común y que pase por el punto (7,2)

Grafica:

SOLUCION:

C :x2+y2-3x-6y+10=0

C :x2-3x+94+y2-6y+9=-10+94+9
C : (x-32)2+(y-3)2=54 , su radio es 52 y su centro es C (3/2,3)

C :x2+y2=5, su radio es 5 y su centro es el origen C (0,0)

dC :C =r +r
322+32=52+5
352=352 son tangentes

Cn:C +k(C )=0

x2+y2-3x-6y+10+k(x2+y2-5)=0

1+kx2+1+ky2-3x-6y+10-5k=0 …….(*)

El punto (7,2) a Cn por lo tanto lo satisface y obtenemos el valor de k=-5/8 y lo reemplazamos en (*)
1-58x2+1-58y2-3x-6y+10-5(-58)=0

Cn: (x-4)2+(y-8)2=45

Demuestre que las circunferencias C :x2+y2+2y-4x=0 , y C :x2+y2+2x+4y=0, se cortan ortogonalmente

Grafica:

Solución:

C :x2+y2+2y-4x=0
(x-2)2+(y+1)2=5 C(2,-1)

C :x2+y2+2x+4y=0
(x+1)2+(y+2)2=5 C(-1,-2)

Despejando:

x=5-(y+2)2-1

C C

(5-(y+2)2-1-2)2+(y+1)2=5

5-(y+2)2+9-65-(y+2)2+y2+2y+1=5

5-y2-4y-4+9-65-(y+2)2+y2+2y=4

-2y-65-y+22=-6

3-y=35-y+22

9+y2-6y=9(5-y2-4y-4)

y=-3 x=1 A(1,-3)

y=0 x=0 B(0,0)

Si las circunferencias se cortan ortogonalmente su producto es cero

C B C B

-2,11,2=0

0=0

Dada la circunferencia C:x2+y2=25 , halle los valores de k para los cuales las rectas de la familia 2x-y+k=0:

Grafica:

Solución:

Corten a C
Sean tangentes a C
No tengan ningún punto en común con C
L:2x-y+k=0

L:2x+k=y

C L
x2+(2x+k)2=25

5x2+4kx+k2-25=0

=-4k2+500 ……….(*)

Para que corte a C su discriminante debe ser mayor que cero
>0
-4k2+500>0
k2-125<0
-5555 k+55k-55<0
-55
55
k -55 , 55

Para que sean tangentes a C su discriminante debe ser igual a cero
=0
-4k2+500=0
k2-125=0
k=55 y k=55

Para que no tengan ningún punto en común con C su discriminante debe ser menor que cero
<0
-4k2+50<0
k2-125>0
-5555 k+55k-55>0
-55
55
k - ,-55 55, +

Un punto se desplaza de manera que su distancia al punto (2,4) es siempre igual al doble de su distancia al punto (3,-1). Halle la ecuación de su lugar geométrico.

Grafica:

Solución:

Sea A(x,y) el punto
dP,A=2dA,Q

(x-2)2+(y-4)2=2(x-3)2+(y+1)2

x2-4x+4+y2-8y+16=4(x2-6x+9+y2+2y+1)

3x2+3y2-20x+16y+20=0

8.- Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a x2 + y2 = 34, trazadas desde Q = (8,-2).
Grafica:

Solución:

y = mx + b
Remplazando con el punto (8,-2)
y = 8m + b
x2 + (b + mx)2 = 34

x2 + b2 + m2x2 + 2bmx = 34
x2 + (-2 – 8m)2 + m2x2 + 2(-2 – 8m)mx = 34
(1 + m2)x2 – (4 + 16m)mx + 64m2 + 32m – 30 = 0
Condición de tangencia: =0
(4 + 16m)2 - 4(1 + m2)( 64m2 + 32m – 30) = 0
15m2 + 16m – 15 = 0 (3m + 5)(5m - 3) = 0
m1 = -53 m2 = 35

-2=b+8-53
b= 343

L1: 3y = 34 – 5x
-2 = b +835
b= -345

L2: 5y = -34 – 3y

Halle las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde Q= (7,-2) a C=P=x,yP-4,-1=5, así como los puntos de contacto con C

SOLUCION:

x,y.4;-1=5
x-4;y+1=5
x-42+y+12=5
x2+y2-8x+2y+17=5
x2-y2-8x+2y+12=0
L: 7,2
y+2=mx+7
y=mx-7x-2

C L
x2+m2x2+49m2+4-14m2x+28m-4mx-8x+2mx-14m-4+12=0
1+m2x2-14m2+2m+8x+49m2+14m+12=0
=0
(14m2+12m+8)2-41+m249m2+14m+12=0
7m2+m+42-1+m249m2+14m+12=0
49m2+m2+16+14m3+56m2+8m-49m2-49m4-14m-14m3-12-12m2=0
-4m2-6m+4=0
2m2+3m-2=0
2m -1 m=12
m +2 m=-2

L1:y+2=x-7
2y+4=x-7
11=x+2y

L2:y+2=-2x-7
y+2=-2x+14
2x+y=12

Halle las ecuaciones de las circunferencias que pasan por (-1,4) y por (3,0) si sus radios miden 4 unidades

Grafica:

Solución:

(h + 1)2 + (k – 4)2 = (h – 3)2 + k2
h2 + 2h + 1 + k2 – 8k + 16 = h2 – 6h + 9 +k2

h – k + 1 = 0

h-32+k2=4
(h-3)+k=16

h2+6h+9+h2+2h+1=16

h2 – 2h – 3 = 0
h = 3 ^ k = 4
(h – 3)(h + 1) = 0
h = -1 ^ k = 0

x-32+ y-42= 1

x+12+ y2=16

Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por (4,-2), (-5,1) y (2,2).

Grafica:

Solución:
De 1 y 2h-2k=37h+k=-9h=-1k=-2
De 1 y 2
h-2k=3
7h+k=-9
h=-1
k=-2

h-3;k2;-4=0
2h-6-4k=0
h-2k=3 ………..(1)

h+32;k-327;1=0
7h+212+k-32=0
7h+k=-9……..(2)

C:(x+1)2+(y+2)2=r2
(2,2) C
9+16=r2
5=r
C:(x+1)2+(y+2)2=52

Halle la ecuación del lugar geométrico del centro de una circunferencia que se mantiene tangente a la recta y=1 y a la circunferencia C:x2+y2=9

Dos vértices de un lado de un triangulo ABC son A=(-1,0) y B=(3,0), halle la ecuación del lugar geométrico del vértice C, si la medida del ángulo en B es dos veces la medida del ángulo A.

Grafica:

SOLUCION:
L1:y=m1x+1 m1: yx+1=Tg
L2: y=m2x-3 m2: yx+3=Tg
Tan 2 =Tan + =2Tan 1-Tan2 =Tan2

2yx+11-yx+12=yx+3
2yx+11-y2x+12=yx-3
2yx+1x+12-y2x+22=yx-3
2yx+12x+1x+12-y2=yx-3
2x+1x-3=x2+2x+1-y2
2x2-4x-6=x2+2x+1-y2
2x2-4x-6=x2+2x+1-y2
x2-6x-7+y2=0

Halle las ecuaciones de la circunferencias que pasan por

a) (3,4) (-1,2) (-2,4) b) (2,3) (1,4) (5,2)
Grafica:

SOLUCION:

h+32;k-31;-2=0
h+32-2k+6=0
h-2k=-152

h-1;k-34;2=0
4h-4+2k-6=0
4h+2k=10

h-2k=-152
4h+2k=10
5h=52 h=12 k=4

x-122+y-42=r2
254=r2 52=r
La ecuación:
x-122+y-4=254

Un teorema importante en la Geometría Moderna es el siguiente:
En cualquier triangulo ABC (ver la figura), los puntos medios A', B' y C' de los tres lados, los pies D, E, F de las tres alturas, los tres puntos P, Q, R a la mitad del segmento de cada vértice al ortocentro (punto de intersección de las alturas), todos estos nueve puntos se encuentran en la misma circunferencia llamada LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS DE UN TRIANGULO
Halle la ecuación de esta circunferencia en el triangulo con vértices (a,0), (b,0) y (c,0)
Pruebe que los otros 6 puntos ya descritos satisfacen esta ecuación
Pruebe que N, el centro de la circunferencia de nueve puntos, se encuentra en la misma recta que el centroide G(intersección de las medianas), el ortocentro H y el circuncentro O' (intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados)

La circunferencia que pasa por (2,3), (1,2), (3,0), y la que pasa por (-1,1), (1,2) y (0,3) se encuentran en dos puntos. Halle estos puntos resolviendo las ecuaciones simultáneamente para las incógnitas X y Y.

C1: pasa por (2,3), (1,2), (3,0)
(h-32) k-51,1= 0

h-3+k-5=0

h + k = 4
(h – 2,k – 1)(2,-2) = 0

2h – 2k = 2

h – k = 1

h=52 k= 32

x- 522+ y- 322= r2

(3,0)
14+ 94=r2
52=r
C1: (x - 52 ) + (y - 32) = 52
C2: pase por los puntos (-1,1), (1,2), (0,3)
h,k- 322,1= 0
2h+k- 32=0
h- 12,k- 521,-1=0

h-k+2=0

h = -16 K = -2

17. Hallar la ecuación de la recta tangente a x2+y2 - 2x + y = 5, en el punto (3,1).

Grafica:

Solución:
C: x2+y2-2x+y=5 P: (3,1)
(X-1)2+(y+12)2=5+1+14
(X-1)2+(y+12)2 = 254 ……………………..C: (1, 12)
Ecuación de la tangente a la circunferencia en un punto:

(x-h)(X0-h) + (y-k) (Y0-k)=r2

Reemplazando:
(x-1)(3-1) + (y+12) (1+12)= 254

2(x-1) + 32(y+12) = 254

2x+ 32y =152

4x+3y=15

18. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a 2x-5y+1=0 en (2,1) y de radio 3.
Grafica:

Solución:
(k-1)/(h-2)= -5/2
2k – 2 = -5h + 10
2k + 5h =12
K =12-5h2
Reemplazando K:
(h-2)2+(k-1)2=9
h2 -4h +4 +(12-5h2-1)2 =9
h2 -4h +4 +(12-5h2)2= 9
h2 -4h +4 +100+25h2-100h4 =9
29h2 -116h +116 =36
29h2 -116h +80 =0
116±1162-429(80) 2(29) =0
116±41792(29) =0
116+12192(29) =0 h1 =2 +629 k =1 - 1529
2±62929
H2 =2 -629 k =1 + 1529

Las ecuaciones son:
C1:X - (2-629)2+ (y-(1+1529)2=9
C2:X - (2+629)2+ (y-(1-1529)2=9

19. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes de la C: x2+y2=25, paralelas a 3x-5y=4.
Grafica:

Solución:
(a,b) є C
x2+y2=25
Solución:
3x – 5y=4 m=35
L: y-b =m(x-a)

Reemplazando: La pendiente y los Coeficientes
Y+ 2534 = 35 (x-1534) Y- 2534 = 35 (x+1534)
5y + 25(5)34 = 35 (x-1534) 5y - 25(5)34 = 35 (x+1534)
17034 = 3x – 5y 17034 = 3x + 5y
534 = 3x – 5y -534 = 3x – 5

20. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a C: x2+y2-4x+2y=0 perpendiculares a x + 2y = 1.
Grafica:

Solución:

Tangentes a la recta, tienen la forma de: Y = mx + b

x2 +y2 – 4x + 2y= 0

n = (-2,1)
(-2,1)(x,y) = (-2,1)(P0)
-2x + y = (-2,1)(P0)
y = 2x + (-2,1)(P0) Y = mx + b
m = 2
x2+ m2x2+ b2+ 2mbx-4x+2mx+2b=0
1+ m2x2+ 2mb 2mx+2b+ b2=0

Aplicando la condición de tangencia: =0

4mb+m-22- 41+ m2b2+ 2b=0
- 8b+4-8+4=2b+ b2
bb+10= 0

b = -10 b = 0
y = 2x – 10 y = 2x

21. Hallar la ecuación de la circunferencia:
a) Tangente a los ejes coordenados en el segundo cuadrante, de radio 4
b) Que pase por el origen, que sea radial al origen formando un ángulo 45º de con el eje X en el primer cuadrante y el radio de longitud 3.
c) Tangente al eje x, al eje y, y a la recta cuyos X-intercepto e Y-intercepto sea 3 y 4 respectivamente.

22. Hallar la ecuación de la recta tangente a x2+y2-4x-6y=12 , en el punto (-2,6).

Grafica:

Solución:
C: X2+Y2-4X-6Y=12
X-22+(Y-3)2=25 (h,k)=(2,3) ; r=5
(x-h)(X0-h) + (y-k) (Y0-k)=r2
Reemplazando:
25= (x-2) (-2-2) + (y-3) (6-3)
25= 8-4x+3y-9 4x-3y-26=0

23. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a x2+y2=9 , y tangente a
x- 2y+10=
Grafica:

Solución:
x2+y2=9 Concéntrica con x2+y2=r2
Centro (0,0)
Hallando el radio:
x- 2y+10=0 ………………………… p:( 0 , 0)
r = d (p,L) = 1x+2y+1012+ 22 = 105
C: x2+y2= 20

24. Hallar el menor ángulo en el centro de la circunferencia x2+y2+6x-2y-15=0, determinado por los radios por los radios con extremos en el EJE Y.

25. Encontrar el punto de tangencia de la recta x+2y=10 con la circunferencia
x2+y2-2x-4y=0.
Grafica:

Solución:
L: x+2y=10
C:x2+y2-2x-4y=0
(x-1)2+(y-2)2=0 …………………………….(*)
De L despeja Y:
X + 2y = 10 y = 10- x/2
Reemplazando en (*):
(x-1)2+(y-2)2=5
x2 - 2x + 1 + (10-x 2- 2)2 = 5
4x2 – 8x + 4 + 36 – 12x + x2 = 20
5x2 - 20x + 20 = 0
(x-2)2=0 ………… x = 2
Reemplazando en L:
2 + 2y = 10 …………….. Y = 4
El punto de tangencia es (2, 4)

26. Una circunferencia de radio 22 tiene su centro en la recta 4x+3y=2, y es tangente a la recta x+y=-4. Hallar dicho centro.
Grafica:

Solución:

Radio: 22 …………………… centro: L : 4x+3y =2
LT: x + y =-4 C: (L, K)
Distancia de un punto a una recta:
D (c, LT) = 1x+1y+412+12 = 22

x + y + 4 = 2(2)

x + y = 0

x = 0

Reemplazando en la recta(L) :
L: 4x +3y =2
4(-y) +3y =2
Y =-2 x =2
C: (2, -2)

27. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes al EJE Y, y que pasen por (1, 0)
Solución:
C: x - h2 + y-k2 = R2 tangente al eje y R = h
C: 1 - h2 + 0-k2 = h2
1-2h+ k2=0 1 – 2y + y2 = 0
Y2 = 2x – 1

28. Si el punto (8+3, 7) satisface la ecuación de la circunferencia x2+y2-16x-12y+96=0, hallar la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto.
Grafica:
Solución:
P :(8+3, 7)
C1 : x2+y2-16x-12y+96=0 C: (8,6) ; r = 2

(x-h)(X0-h) + (y-k) (Y0-k) = r2
(x - 8) (8+3 - 8) + (Y – 6) (7 - 6) = 4
3x - 83 + Y – 6 = 4
3X + Y – (10 + 83) = 0
-AB = - 3

29. Si de un punto exterior P se trazan tangentes a una circunferencia, el segmento que une los puntos de contacto se llama CUERDA DE CONACTO DE P. Si P = (x1,y1) es un punto exterior a la circunferencia x2+y2=r2 , demostrar que la ecuación de la cuerda de contacto de P es xx1+yy1=r2.

30. Dada la circunferencia x2+y2-2x-6y+6=0, hallar los valores de m para los cuales de la familia. Y=mx+b:
a) cortan a la circunferencia en dos puntos diferentes.
b) son tangentes con la circunferencia.
c) no tienen ningún punto común con la circunferencia.

31. Hallar las circunferencias de las rectas tangentes a las circunferencias x2+y2-8x-6y+20=0 TRAZADAS DESDE EL PUNTO (9,8)
Grafica:

Solución:
Ecuación de la tangente:
Y – 8= m(x - 9)
Y = mx - 9m + 8
Reemplazando en la ecuación de la circunferencia:
x2+mx-9m+82-8x-6mx – 9m + 8+20=0
x2- 8x + mx2+ 81m2+64 -18m2+ 16mx -144m -6mx +54m -48 +20 =0
(1 +m2)x2 + (-8 -18m2 +16m -6m) x + (81m2 +64 -144m +54m -48 +20) =0
(m2 +1) x2+ (-18m2+ 10m -8) x + (81m2-90m +36) =0
= 0
(-18m2+10m-8)2 -(4m2 +4) (81m2 -90m +36) =0
324m4+100m2+64-360m3-160m+288m2 -(324m4+324m2-360m3-360m+ 144m2+144) =0
100m2+64-360m3-160m+288m2-324m2+360m3+360m- 144m2-144 =0
-80m2+200-80= 0
m = 2
m= 12
y -8 = 2(x -9) 2) y -8 = 12(x -9)
y -8=2x -18 2y-16 = x -9
2=2x -10 -7 = x -2y

32. Dadas las circunferencias x2+y2=16, x2+y2+4x+8y=80 y el punto A = (4,-12), encontrara el área del triangulo ABC, si se sabe que está inscrito a una de las circunferencias, y circunscrito a la otra.
Grafica:

Solución:
AC2= AB2+ BC2
202= 162 + BC2
400 – 256 = BC2
144 = BC2
12 = BC
Área = 12 x 162 = 96

33. Desde el punto (k,-2), con k negativo se trazan rectas tangentes a la circunferencias x2+y2-2x-1=0. el segmento determinado por el punto de tangencia n y el punto A mide 32 . Hallar las ecuaciones de estas tangentes.
Grafica:

Solución:
(x-1)2+(y)2=2
Radio es : 2 …………………… centro: (1 , 0)
Según los datos:
dA,B= 32 , dB,C= r =2 , entonces
dA,B2 +dB,C2=dA,c2 (32)2+(2)2=(k-1)2+4 k -1 = ±4
K=5, k=-3. Y como k< 0, entonces k=-3.
Luego, A= (k,-2) = (-3,-2) LT: y= mx + b
-2 = m(-3) +b b= 3m -2
LT: y =mx + 3m -2 … (*)
Que al reemplazar en la ecuación original de c;
x2- 2x -1 + (mx+3m-2)2= 0,
y haciendo el DISCRIMINANTE = CERO (condición de tangencia) en:
(1 + m2) x2 +2(3m2 - 2m -1) x + (9m2- 12m + 3) = 0
4(3m2 – 2m -1)- 4(1 +m2) (9m2- 12m +3) = 0
7m2 – 8m+1=0=(7m- 1) m= 17 v m =1
reemplazamos estos valores en (*) obtenemos las dos rectas tangentes posibles :
L1: 7y: x -11, L2: y = x +1.

34. Encontrar la ecuación de la circunferencias que es tangente a las rectas 2x+y=8, 2x+y=13 y cuyo centro se encuentra sobre la recta L=2,4+ t1,8 / tє R.
Grafica:
Solución:
Hallar el radio:
Distancia entre dos rectas:
Lt1:2x+y=8 ; Lt2 : 2x+y=13

dL1 ; L2= C1- C2a2+ b2

d(L1 ; L2) = -8-(-13)22+ 12 = 55 ………………………..DIAMETRO
525 ………………………..RADIO

Hallando el centro:

Lt1:2x+y=8 ……………………..C: (x,y)
Distancia de un punto a una recta:
d(P; Lt1 ) = 2x+y=8 5
2x + y = 212
Y = 212 - 2x………………… (*)

Despejando el centro:

L=2,4+ t1,8
P . n = P0.n
(x,y)(-8,1) = (2,4) (-8,1)
-8x + y = -12
Despejando el centro:
L = 8x – y = 12
Reemplazando Y en L:
8x - (212 - 2x) = 12
20x = 45
X = 95 ……………………………… y = 6
El centro: C: (95,6)

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA:
(X- 94)2+ (y-6)2= 54

35. Desde el punto A= (4,2) se han trazado tangentes a la circunferencia x2+y2=10. Hallar el ángulo formado por ellas.
GRAFICA:

Solución:
x2+y2=10
Radio: 10 ; Centro : (0,0)
HALLANDO (m):
d(C , A) = (4-0)2+ (2-0)2
= 20
Por Pitágoras:
20= 10 + m2
10= m2 …………………… m = 10
Rpta: el ángulo formado por las rectas tangentes es 90º

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS (PAG 315)

1.-Hallar la ecuación del eje radical de cada par de circunferencias:

a) x2+y2-2x-4y=4 , x2+y2+6x+10y=15
Grafica:

Solución:
C1 = x2+y2-2x-4y=4
C2 =x2+y2+6x+10y=15
Cn= x2+y2-2x-4y-4+n ( 4x2+y2+6x+10y-15 ) = 0
Cn = 1+n x 2+ 1+n y2+ 6 n-2 x+ 10 n-4 y+ -15 n-4 = 0
n= -1
Ecuación de la cuerda común
6 -1 – 2 x+ 10 -1 – 4 y+ -15 -1 – 4 =0
- 8 x-14 y+11=0

b) 3x2+3y2-7x+5y=1 , 5x2+5y2+2x-3y=6:
Grafica:

Solución:
C1 = 3x2+3y2-7x+5y=1 C2 = 5x2+5y2+2x-3y=6
C1 = 33x2+33y2-73x+53y=13 C2 = 55x2+55y2+25x-35y=65
C1 = x2+y2-73x+53y-13=0 C2 = x2+y2+25x-35y-65 =0

Cn =
x2+y2-73x+53y-13+ n x2+y2+25x-35y-65 =0

n+1 x2+ n+1 y2+(25 n- 73 ) x+ 53-35 n y+ -13- 65 n =0
n= -1

Ecuación de la cuerda Común:
{25 -1 – 73 }x+ 53- 35 -1 y+ -13- 65 -1 =0
(- 6-3515 ) x+ 25+915 y+ -5+1815 = 0
-4115x+ 3415y+ 1315 =0 25 -1 – 73
-41x+34y+13=0
41x-34y-13=0

c) Hallar también la ecuación de la recta de los centros en cada caso
a.-
C1 =x2+ y2- 2x-4y-4 =0 C2 = x2+ y2+ 6x+10y-15=0
(x-1)2- 1 +( y-2)2- 22- 4 =0 ( x+3 )2- 32+ ( y+5 )2- 52- 15=0
(x-1)2+ y-22=9 (x+3)2+(y-5)2=49
(x-1)2 +(y-2)2=32 (x+3)2+(y-5)2=72
C1,2 r=7 C-3,5 r=7

m= ΔyΔx m=2-51--3=-34=-34
-34=y-2x-1 -3x+3=4y-8

-3x-47+11=0

b.-
C1 =3x2+3y2-7x+5y-1=0 C2 =5x2+5y2+2x-3y-6=0
x2+y2-73x+53y-13=0 x2+y2+25x-35y-65=0
(x-76)2-(76)2+(y+56)2-(56)2-13=0 (x+210)2-(210)2+(y-310)2-(310)2-910=0
(x-76)2+(y+56)2=(8636)2 (x+210)2+(y-310)2=(133100)2
c76,-56 r=1636 c-210,310 R=133100
m=ΔyΔx m=310--56-310-(-56)=18+5060-12+5060=6838

y-310x--210=6838

38y-11410=68x+13610
38y-68x=13610+11410
38y-68x=25010
38y-68x=25
68x-38y=-25

2.-Hallar dos miembros de la familia determinados por el ejercicio [1.(a)]
a) Uno de los cuales pasa por el origen
b) El otro pasa por (3,4)

SOLUCION:

a) Uno de los cuales pasa por (0,0):

1+n(0)2+(1+n)(0)2+6n-20+10n+40+-15n-4=0
-15n-4=0
-4=15n
n=-415

b) Cuando pasa por (3,4)

1+n(3)2+1+n(4)2+6n-23+10n-44+-15n-4=0
9+9n+16+16n+18n-6+40n-16-15n-4=0
68n=1
n=168

3.-Hallar dos miembros de la familia determinados por las circunferencias del ejercicio [1.(b)]:
a) Uno de los cuales pasa por el origen,
b) El otro pasa por (3,4)

SOLUCION:

a) Uno de los cuales pasa por (0,0):

n+1 (0)2+ n+1 (0)2+(25 n- 73 ) (0)+ 53-35 n (0)+ -13- 65 n =0
-13-6n5=0

-13=6n5
-5=18n
n=-518
b) El otro pasa por (3,4).

n+1 (3)2+ n+1 (4)2+(25 n- 73 ) (3)+ 53-35 n (4)+ -13- 65 n =0
9n+9+16n+16+65n-7+203-12n5-13-6n5=0
113n5=-353
n=-175339

4.-Hallar el miembro de la familia determinado por [1.(a)] que tenga su centro en le recta de 45°que pasa por el origen.
Grafica:

SOLUCION:
x2+y2-2x-4y-4+n ( 4x2+y2+6x+10y-15 ) = 0
1+n x 2+ 1+n y2+ 6 n-2 x+ 10 n-4 y+ -15 n-4 = 0
C=--2+6n2;--4+10n2
C1-3n;2-5n
L:x-y=0 x=y
1-3n=2-5n
2n=1 n=12
32x2+32y2+x+y-232=0
3x2+3y2+3x+3y-23=0

5.- ¿Qué miembro de la misma familia es tangente al eje X?, ¿Cuál es tangente al eje Y?
Grafica:

SOLUCION:
1+n x 2+ 1+n y2+ 6 n-2 x+ 10 n-4 y+ -15 n-4 = 0
eje x y=0
1+n x 2+ 6 n-2 x + -15 n-4 = 0
=0
6n-22-41+n-4-15n=0
36n2+4-24n+16n+16+60n2+60n=0
96n2+52n+20=0
n: No existe

eje y x=0
1+n y2+ 10 n-4 y+ -15 n-4 = 0
=0
10n-42-41+n-4-15n=0
100n2+16-80n+16n+16+60n2+60n=0
160n2-4n+36=0
n: No existe.

6.- Tome tres cualesquiera de las cuatro circunferencias en el ejercicio [1], y vea si sus ejes radicales son concurrentes o paralelos.
7.- Demuestre que dadas tres circunferencias cualesquiera que se interceptan, sus tres cuerdas comunes son concurrentes a un punto. Este punto es denominado CENTRO RADICAL.
8.- Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5/2 , y que pase por las intersecciones de las circunferencias.
Grafica:

SOLUCION:
r=52
C1.- x2+y2+2x-6y-16=0 C2.- x2+y2-6x+2y=0
Cn=x2+y2+2x-6y-16+nx2+y2-6x+2y=0
Cn=n+1x2+n+1y2+2-6nx+2n-6y-16=0
x2+y2+2-6nn+1x+2n-6n+1y-16n+1=0
x+2-6n2n+12-2-6n2n+22+y+2n-62n+12-2n-62n+22-16n+1=0
x+2-6n2n+22+y+2n-62n+22=16n+1+21-3n2n+12+2n-32n+12

R2

Como r=52 r2=252
16n+1+21-3n2n+12+2n-32n+12=252
16n+2+1-6n+9n2n2+2n+1+n2-6n+9n2+2n+1=252
16n+1+1-6n+9n2+n2-6n+9n2+2n+1=252
16n+16+1-9n+9n2+n2-6n+9n2+2n+1=252
210n2+4n+26=25(n2+2n+1

20n2+8n+52=25n2+50n+25

5n2+42n-27=0
5n -3
1n +9
n=35 ,n=-9
Si n=35
Cn=x2+y2+2-6nn+1x+2n-6n+1y-16n+1=0
Cn=x2+y2+2-63535+1x+235-635+1y-1635+1=0
Cn=x2+y2+10-1853+55x+6-3053+55y-1685=0

x2+y2-x-3y-10=
Si n=-9
Cn=x2+y2+2-6nn+1x+2n-6n+1y-16n+1=0
Cn=x2+y2+2-6-6-9+1x+2-9-6-9+1y-16-9+1=0
x2+y2+56-8x+-24-8y+2=0
x2+y2-7x+3y+2=0

9.- Hallar la ecuación de la cuerda común de las circunferencias:
C1: x2+y2-8x+6=0 , C2: x2+y2-6x-14y+38=0

Grafica:

SOLUCION:
Cn: x2+y2-8x+6+nx2+y2-6x-14y+38=0
Cn=1+nx2+1+ny2+-8-6nx-14ny+38n+6=0
n=-1
-8-6-1x-14-1y+38-1+6=0

Ecuación de la cuerda común:-2x+14y+32=0

10.- Demuestre que: C1:x2+y2-6x-3y+10=0, C2:x2+y2=5 son tangentes. Hallar la ecuación tangente a C1 y C2 en su punto común, y que pase por el punto (2,7).
Grafica:

SOLUCION:
*Al ser tangentes: R+r=0
C1:x2+y2-6x-3y+10=0,
(x-3)2-32+y-322-322+10=0
x-32+y-322=9-10+94
x-32+y-322=54=r
C=3 , 32 r=52
C2: x2+y2=5=r2
C 0 , 0 y r=5
r1=r2
5+52=3-02+(32-0)2
25+52=9+94
352=352
*Circunferencia Tangente:
Cn=x2+y2-6x-3y+10+nx2+y2-5=0
Cn=n+1x2+n+1y2-6x-3y+10-5n=0

*Si pasa por el punto (2,7):
n+122+n+172-62-37+10-5n=0
4n+4+49n+49-12-21+10-5n=0
48n+30=0
n=-3048=-58

Cn: -58+1x2+-58+1y2-6x-3y+10-5-58=0
-5+88+-5+88-6x-3y+10+258=0
38x2+38y2-6x-3y+1058=0
x2+y2-16x-8y+35=0

11.- Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 del ejercicio 10en su punto común, y cuyo centro se encuentra en la recta x+3y+5=0.
SOLUCION:
Cn=n+1x2+n+1y2-6x-3y+10-5n=0
x2+y2-6n+1x-3n+1y+10-5nn+1=0

x-62n+12-62n+12+y-32n+12-32n+12+10-5nn+1=0

(x-62n+2)2+(y-32n+2)2=(62n+2)2+(32n+2)2+(-10+5nn+1)=0

C=62n+2,32n+2
Reemplazando en x+3y+5=0 :
62n+2+332n+2+5=0
62n+2+92n+2+5=0
152n+2=-5
3=2n+2
12=n
Cn:12+1x2+12+1y2-6x-3y+10-512=0
32x2+32y2-6x-3y+152=0
x2+y2-4x-2y+5=0

12.- Hallar las ecuaciones de las circunferencias tangentes a C1 y C2 del ejercicio 10 en su punto común y cuyo radio sea igual a 352.
Grafica:

Solución.-
a.-
Ad=3-0,32-0=3, 32
d=32+322=9+94=36+94=454=352
Ud=3, 32352=25, 15
5+52+5=25+52 45+52=55235,15 (5,52)

Ecuación:
x-52+y-522=3522
x2-10x+25+y2-5y+254=454
x2+y2-10x-5x=-20
Bd=(0-3, 0-32)=-3,32

-3, -32)+52+52+5(25,15)=-3,-32+4, 2 (1,12)
Ecuación:
x-12+y-122=3522
x2-2x+1+y2-y+14=456
x2+y2-2x-y-10=0
13.-Hallar la ecuación de las circunferencias tangentes a C1 y C2 del ejercicio 10 en su punto común y que sean tangentes a la recta 2x-y+1=0 :

14.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa (-2,10) y por las intersecciones de la circunferencia x2+y2-2x+2y-32=0 y la recta x-y-4=0
Grafica:

SOLUCION:
X2+Y2-2X+2Y-32=0
X-12-12+Y+12-12-32=0
X-12+Y+12=34
Cn= x-h2+y-h2=R2
x2-2hx+y2-2k+k2-R2=0
Cn=x2-2hx+h2+y2-2ky+k2-R2+nx2+y2-2x+2y-32=0
n+1x2+n+1y2+-2h-2nx+-2k+2ny+h2+k2-R2-32n=0
n=-1
-2h-2-1x+-2k+2-1y+h2+k2-R2-32-1=0
-2h+2x+2-2ky+h2+k2+R2+32 x-y-4
-2h+2=1 2-2k=-1
h=12 k=32
(12)2+(32)2-R2+32=-4

Cn: x-122+y-322=41
x2-x+14+y2-3y+94=41
x2+y2-x-3y+104-41=0
x2+y2-x-3y-772=0

5.- ¿Porque las circunferencias x2+y2-16x-8y+71=0,x2+y2-4x+4y+4=0, x2+y2+2x+10y+17=0 no tienen centro radial?
Grafica:

SOLUCION:
Circunferencia A:
* x2+y2-16x-8y+71=0
x-82-82+y-42-42+71=0
x-82+y-42=9
C (8,4) r=3
Circunferencia B:
* x2+y2-4x+4y+4=0
x-22-22+y+22-22+4=0
x-22+y+22=0
C (2,-2) r=2
Circunferencia C:
* x2+y2+2x+10y+17=0
x+12-12+y+52-52+17=0
x+12+y+52=9
C (-1,-5) r=3

Con las circunferencias A y B:

x2+y2-16x-8y+17+nx2+y2-4x-4y+4
n+1x2+n+1y2+-16-4nx+-8+4ny+71+4n
-16-4-1x+-8+4-1y+71+4-1=0
-12x-12y+67=0
12x+12y-67=0

Con las circunferencias C y D:

x2+y2-4x+4y+4+nx2+y2+2x+10y+17=0
n+1x2+n+1y2+-4+2nx+4+10ny+4+17n=0
n=-1
-4+2-1x+4+10-1y+4+17-1=0
-6x-6y-13=0
6x+6y+13=0

16.- Demostrar que :u=x2+y2-6x+10y+33=0 y v=x2+y2-2x-2y=0 no se cortan, Demuentre que para n=-12 ,el miembro de la familia u+nv=0 es una circunferencia que no corta ni a u ni a v, y cuyo centro está sobre la recta de los centros de u y v.

Demuestre además que no existe circunferencia real si n toma los valores 1, 12,13. Encontrar otros valores de n para los cuales no existe circunferencia radical.

17.- Hallar la ecuación de la familia de circunferencia que pasan por las intersecciones de x2+y2+2x-4y=4 , x2+y2-6x+2y=6. Encontrar la ecuación del eje radical.
Grafica:

SOLUCION:
: C1: x2+y2+2x-4y=4 C2:x2+y2-6x+2y=6
: Cn: x2+y2+2x-4y-4 +n(x2+y2-6x+2y-6)=0
n+1x2+n+1y2+-2-6nx+-4+2ny+-4,-6n=0
n=1
eje radial
2-6-1x+-4+2-1+-4,-6-1=0
8x-6y+2=0
4x-2y+1=0
18.- Hallar la ecuación de la familia de circunferencias que sean tangentes a x+y=3 en el punto (-2,5).
SOLUCION:

ml=-1
l ln mln=1

ecuación de ln
y-5=1x+2
ln:y=x+7
c ln k=h+72
Sea la ecuación de c:x-h2+y-k2=r2, como k=h+7
x-h2+y-h-72=r2 , pero p-2,5 c
entonces (-2-h)2+(5-h-7)2=r2

h+22+-2-h2=r2 r2=2h+22 r="(h+22)"
r=2h+2
Luego la ecuación de c es:
x-h2+y-h-72=2h+22

19.- Hallar la ecuación de la familia de circunferencias que tienen centro en la recta 3x-y=4 y de radio 5.
Solución:

Centro en 3x – y = 4 …………. Centro: (t, 3t - 4)………. Radio: 5
Luego:

(X-t)2+ (Y-3t+4) 2 = 25
X2+ Y 2-2tx+8-6ty + 10 t2- 24t+16-25=0
X2+ Y 2-2tx+8-6ty + 10 t2- 24t-9=0 …. Es la ecuación de la familia de circunferencias.

20.-Seleccionar los miembros de la familia en el Ejercicio Propuesto [17] que satisfagan las condiciones dadas, determinando los valores apropiados de n.
a) De radio 5/2 c) que pasen por (2, 2)
b) de centro en x=2y, d) que pasen por (9, -1)
Grafica:

SOLUCION:
De la ecuación:
n+1x2+n+1y2+-2-6nx+-4+2ny+-4,-6n=0

b)
C=(-D2,-E2)
-2+6n2(n+1),4-2n2(n+1)
Si x=2y
-2+6n2(n+1) =4-2n2(n+1)
-2+6n=8-4n
10n=10
n=1

2x2+2y2+4x-2y-10=0
x2+y2+2x-y-5=0
c) Si pasa por el punto (2,2)
n+1x2+n+1y2+-2-6nx+-4+2ny+-4,-6n=0
n+122+n+122+-2-6n2+-4+2n2+-4,-6n=0
4+4n+4+4n+4-12n-8+4n-4-6n=0
-6n=0
n=0

x2+y2+2x-4y-5=0

d) Si pasa por el punto (9,-1)
n+1x2+n+1y2+-2-6nx+-4+2ny+-4,-6n=0
n+1(9)2+n+1(-1)2+-2-6n(9)+-4+2n(-1)+-4,-6n=0
81+81n+1+n+18-54n+4-2n-4-6n=0
20n=-100
n=-5

-4x2-4y2+32x-14y+26=0
2x2+2y2-16x+7y-13=0

Circunferencia

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