CRITICAL JURNAL teori bilangan perann ya dalam mengkonstruksi “suatu kelas bilangan bulat dan perannya bilangan prima”
OLE ! NA"A
! "EA#$ CRI#TINA #ITINJA%
NI"
! &' &'() ()'' '''* '*&+ &+
%ELA#
! RE,-.I% RE,-.I %/C
JURU#AN JURU#A N 0RO.I
! "ATE"ATI%A "ATE"ATI%A ! 0EN.I.I%AN 0EN.I .I%AN "ATE"ATI%A "ATE"ATI%A
UNI1ER#ITA# NE,ERI "E.AN 2A%ULTA# "ATE"ATI%A .AN IL"U 0EN,ETAUAN ALA" +*'3
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan rahmat serta karuniaNya sehingga saya dapat menyelesaikan makalah critical jurnal report teori bilangan ini dengan baik dan meskipun masih dengan banyak kekurangan !aya juga mengucapkan terima kasih kepada dosen pengampu mata kuliah teori bilangan yang telah memberikan arahan dan bimbingan untuk dapat mengerjakan tugas ini sehingga critical jurnal report ini dapat selesai sebagaimana mestinya sesuai dengan arahan yang telah diberikan oleh dosen Makalah critical jurnal report teori bilangan ini dimaksudkan untuk meningkatkan kekritisan mahasis"a dalam memahami maupun mempelajari sebuah jurnal sehingga dapat mengetahui kelebihan dan kelemahan jurnal tersebut dengan cara mengkritisi setiap bagian#bagian dalam jurnal !aya berharap semoga makalah critical jurnal ini dapat berman$aat bagi setiap indi%idu yang membutuhkannya dan juga untuk menambah "a"asan serta pengetahuan bagi yang membacanya !aya juga berharap semoga makalah critical jurnal ini dapat dipahami oleh siapapun yang membacanya !aya juga sebelumnya meminta maa$ bila terdapat kesalahan#kesalahan maupun kesalahan kata#kata yang kurang berkenan Medan& '( April )*'+
Measy ,hristina !itinjak -'./'''*-)
BAB I PEDAHULUAN
A 0atar 1elakang 2urnal adalah sebuah laporan peneliti tentang hasil penelitian yang telah dilakukan secara ilmiah Pada dasarnya& sebagian besar jurnal penelitian dapat dipertanggungja"abkan keilmiahannya tergantung dari metode yang dipakai dalam pembuatan dan penyusunan laporan jurnal penelitian 1anyak man$aat yang didapatkan dari sebuah jurnal& yaitu sebagai bahan yang shahih dan ilmiah
untuk dijadikan re$erensi pengambilan keputusan& sebagai bahan re$erensi penelitian yang akan menguji keshahihan yang sudah diyakini benar sebelumnya& dan media bertukar in$ormasi& memaparkan secara ilmiah berdasarkan $akta yang ada 3i dalam pembelajaran matematika terkhusus bagian teori bilangan& banyak penelitian# penelitian yang membahas tentang bilangan#bilangan hingga kepada notasi#notasi yang digunakan dalam pembelajaran matematika Maka dari itu& bayak juga orang#orang yang melakukan penelitian tentang hal tersebut dan hasil dari penelitian tersebut dijadikan sebagai sebuah jurnal yang cukup mendukung sebagai alat bantu dalam pembelajaran Namun disamping itu& perlu dilakukan critical jurnal untuk meninjau kesesuaian konsep dasar yang disampaikan pada suatu jurnal dengan cara mengkritisi setiap bagian#bagian yang disajikan dalam jurnal ,ritical jurnal ini juga dilakukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah teori bilangan ,ritical jurnal dilakukan dengan cara mere%ie" sebuah jurnal dan kemudian memberikan komentar terhadap jurnal dengan cara mengkritisi isi yang disajikan dalam artikel 1 Tujuan •
4ntuk menelusuri kesesuaian konsep dasar yang disampaikan pada jurnal dengan bahan ajar lain
•
5buku6bahan ajar lainnya7 4ntuk meninjau kesesuaian penelitian jurnal yang dilakukan
•
4ntuk mengkritisi tiap bagian jurnal
, Rumusan Masalah 1agaimana konsep dasar serta metode yang digunakan pada jurnal 8 • Apa kelemahan dan kelebihan dari jurnal 8 • 1agaimana implikasi6analisis mahasis"a pada jurnal tersebut8 •
BAB II IDENTITAS JURNAL DAN HASIL REVIEW
IDENTITAS JURNAL : !uatu Kelas 1ilangan 1ulat dan Perannya 3alam Mengkonstruksi 1ilangan
Judul
Prima
Download
: http966"""googlecoid6$mipaumacid6)*(html
Tahun
: 2013
Penul!
: I Nen"ah Su#a$%a
Re&ewe$
: 'ea!( S%n)a*
HASIL REVIEW A Ringkasan6Kajian :nti !ari 1ab Pendahuluan Riset ' 0atar 1elakang Teori bilangan adalah suatu topik yang berumur sangat tua yang merupakan salah satu $ondasi dari perkembangan matematika Ada banyak topik menarik dalam matematika yang bermula hanya dari pertimbangan teoretik& dan pada akhirnya menemukan sisi terapannya !eperti contohnya kajian mengenai bilangan#bilangan prima 1ilangan#bilangan prima merupakan topik menarik karena si$at uniknya& yaitu bilangan yang mempunyai tepat ) $aktor; ' dan bilangan itu sendiri Akan tetapi& belakangan orang mengetahui bah"a peran bilangan prima sangat penting dalam teknologi komunikasi dan in$ormasi atau kriptogra$i Pada tulisan ini diperkenalkan suatu klas dari bilangan#bilangan bulat positi$ yang mempunyai si$at bah"a jumlah dari $aktor#$aktor sejatinya sama dengan suatu bilangan prima 3itemukan bah"a bilangan#bilangan dari klas ini ternyata berhubungan erat dengan kons#truksi bilangan#bilangan prima 1agian berikut dari tulisan ini akan membahas tentang de$inisi#de$inisi dasar& notasi#notasi& serta teori#teori dasar& yang detailnya akan disajikan pada 1agian ::
∑
,
merupakan suatu prima
1 Ringkasan6Kajian :nti !ari 1ab Kajian Pustaka Riset 1agian ini akan dimulai dengan mende$inisikan pengertian $aktor sejati dari suatu bilangan bulat positi$ !ebuah bilangan positi$ d dikatakan merupakan sebuah faktor sejati dari suatu bilangan bulat positi$ n, jika n habis dibagi oleh d dan d > n 1erdasarkan de$inisi ini& bilangan bulat ' selalu merupakan $aktor sejati dari sebarang bilangan bulat yang lebih dari ' 1erikut ini adalah $ungsi yang sangat dikenal dalam matematika yang dinamakan sebagai $ungsi sigma, yang dinotasikan dengan ?ungsi sigma ini merelasikan suatu bilangan bulat positi$ n dan jumlah dari semua $aktor positi$nya 2ika n adalah suatu bilangan bulat positi$ dan d adalah sebarang $aktor dari n 5termasuk n sendiri7& maka 5n7 dide$inisikan sebagai @ !ebagai contohnya& 5.7 ' B ) B / B . ')& dan 5C7 ' B ) B - B C 'D 3iketahui bah"a jika suatu bilangan bulat positi$ n memenuhi si$at 5n7 )n& maka n disebut suatu bilangan sempurna 5 perfect number 7 2adi& . adalah sebuah contoh dari bilangan sempurna& karena 5.7 ') ). !ebagaimana disebutkan pada sektion sebelumnya& tulisan ini secara utamanya akan membahas suatu klas bilangan dari bilangan#bilangan bulat positi$ yang memenuhi si$at bah"a jumlah dari semua $aktor sejatinya sama dengan suatu prima 1ilangan#bilangan seperti ini akan dinamakan bilangan sumprime 2adi& jika n adalah sebuah bilangan sumprime& maka 5n7 F n adalah suatu prima !ebagai contohnya& - adalah bilangan sumprime karena jumlah dari $aktor#$ktor sejatinya& 5-7 F - = ' B ) / merupakan prima 1ilangan C juga merupakan suatu bilangan sumprime karena 5C7 F C ' B ) B - + adalah prima Akan tetapi& . bukan bilangan sumprime karena 5.7 F . ' B ) B / . bukan merupakan prima Mudah diamati bah"a bilangan#bilangan sumprime tidak dapat merupakan bilangan prima& karena jika p adalah sebuah prima maka 5 p7 F p = ' yang bukan sebuah prima 1agian ini akan ditutup dengan teorema berikut yang bukti rincinya dapat ditemukan dalam beberapa buku teori bilangan elementer Teo$e+a 2,1 Jika n = p' p) pk, dimana p'& p)& & pk adalah k buah prima berbeda& maka 5n7 5 p' p) pk – '7 B pk 5 p' p) pk – '7 Proo$ Karena p' p) pk adalah prima#prima dan pi pj untuk semua i j& diperoleh 5 p' p) pk– ' pk 7 5 p' p) pk– '7 5 pk 7 5 p' p) pk – '7 5 p' p) pk– '7 5 p' p) pk– '7 B pk 5 p' p) pk– '7 , Ringkasan6Kajian :nti !ari 1ab
p −1 sumprime jika dan hanya jika adalah sumprime jika dan hanya jika p−1 adalah prime. !ebelum membuktikan teorema di atas& diingatkan bah"a jika p ) dan )k F ' adalah prima& maka kita berurusan dengan prima#prima Merssene Kasus khusus ini akan di$ormulasikan sebagai sebuah akibat 5corollary7 dari teorema ini 0ebih jauh& sebagaimana dinyatakan
sebelumnya& dapat diamati bah"a teorema ini menyodorkan suatu cara untuk menghasil#kan bilangan#bilangan prima 1ukti Amati bah"a k
p −1 p = p−1
+ p k + − p k + −1 p −1
k
1
1
p
k +1
−1− p k ( p −1 ) p −1
k + 1
p −1 k − p p −1
H5 p
k
k
¿− p
k
Ileh karena itu diperoleh bah"a
p −1 p−1
adalah prima jika dan hanya jika p
k
¿− pk
5
juga prima 3engan menggunakan Teorema /' diperoleh bah"a
A*-a% 3,2
k
2
'.C*+ adalah
5
−1 7 −1 )C*' merupakan sebuah prima
7
bilangan sumprime karena
7
adalah sumprime jika dan hanya jika adalah prima, untuk suatu bilangan
bulat positif k. Teo$e+a 3,3 Misalkan p dan q merupakan bilangan-bilangan prima berbeda Maka& pq adalah sumprime jika dan hanya jika p + q + ' adalah prima. Proo$ Perhatikan bah"a karena p dan q adalah prima#prima berbeda& maka diperoleh H 5pJ7 F pJ ' B p B J B pJ # pJ 'BpBJ :tu berarti& H 5pJ7 F pJ prima jika dan hanya jika p + q +' prima !ebagai contoh& '' dan /' adalah prima#prima berbeda dan '' B /' B ' -/ adalahprima 1erdasarkan pada teorema di atas didapatkan bah"a '' /' /-' adalah sumpime ,atat bah"a ' B p + q= 5 p7 B q5H5 p7 F p7 3engan menggunakan ekspresi yang serupa& Theorem // dapat diperumum menjadi teorema berikut ini Teo$e+a 3,. Misalkan p, q, r, merupakan prima-prima berbeda. Maka, pqr adalah sumprime jika dan hanya jika 5 pq7 B r 5H5 pq7 F pq7 adalah prima. 1ukti Perhatikan bah"a H5 pqr 7 F pqr = ' B p + q + r + pq + pr + qr + pqr – pqr ' B p + q + pq + r 5' B p + q7 = 5 pq7 B r 5H5 pq7 F pq7 !ekarang jelas bah"a H5 pqr 7 F pqr prima jika dan hanya jika H5 pq7 B r 5H5 pq7 F pq7 prima
3engan meniru pembuktian dari teorema ini& hasil di atas dapat diperumum sebagaimana di$ormulasikan berikut ini
Teo$e+a 3,/ Misalkan p'& p)& & pk adalah k buah prima berbeda Maka& p' p) pk adalah sumprime jika dan hanya jika 5 p' p) pk – '7 B pk 5 5 p' p) pk – '7 F p' p) pk – '7 adalah prima 1ukti 3engan menggunakan Theorem )' pada 1agian ::& Teorema /D ini dapat dibuktikan segera Teo$e+a 3, Misalkan p dan q merupakan dua prima berbeda, dan misalkan t dan k merupakan bilangan-bilangan bulat positif. Maka, hasil kali plpk adalah sumprime, jika l +1 k k + 1 l l k p ( q −1 ) + q ( p −1 ) + 1− p q dan hanya jika adalah prima. ( p −1 ) (q −1 )
1ukti 4ntuk bilangan#bilangan prima berbeda p dannd q diperoleh bah"a l+ 1 k + 1 −1 q l k l k p l k p q . ¿− p q = − p q H5 p−1 q −1 p
l +1
( qk −1 ) +q k + ( p l−1 ) +1− pl q k 1
( p −1 ) (q −1 )
1erdasarkan pada identitas di atas teorema terbukti Teorema berikut memberikan batasan di ruang mana tidak dimungkinkannya untuk ditemukan bilangan#bilangan sumprime 3 Ringkasan6Kajian :nti !ari 1ab Kesimpulan Riset Telah diturunkan pada tulisan ini hubungan antara bilangan#bilangan sumprime dan bilangan#bilangan prima !ecara lebih khusus dapat dikatakan bah"a jika dalam kasus tertentu diketahui bah"a sebuah bilangan adalah sumprime& maka suatu bilangan prima telah dapat dikonstruksi Permasalahannya adalah pada bagaimana mengenali suatu bilangan adalah sebuah bilangan sumprime tanpa harus memeriksa keprimaannya 5primality7 dari jumlah $aktor#$aktor sejatinya 2adi& merumuskan karakteristik yang seperti ini dari bilangan# bilangan sumprime adalah merupakan kajian yang sangat rele%an untuk kemudian dilakukan
BAB III E'UTAHIRAN 'ASALAH A Kelengkapan !ub Topik Melalui hasil re%ie" yang dilakukan terhadap penelitian 5riset7& diketahui bah"a sub topik yang digunakan dalam riset ini sudah lengkap& namun terdapat sedikit kesalahan penulisan sub topic& yaitu pada penulisan kata K0A!L !ebaiknya penulis menggunakan kata KE0A!L karena lebih baku dan lebih $ormal 1 Keterkaitan Topik 4tama !etelah membaca penelitian 5riset7 dapat diketahui bah"a topik utama penelitian berkaitan dengan setiap bagian#bagian yang disajikan dalam jurnal Mulai dari a"al bahasan jurnal& yaitu pendahuluan pada jurnal& kajian pustaka& hingga kepada hasil dan pembahasan !emua bagiannya menjelaskan sesuai dengan topik utama pada penelitian 3an juga menunjukkan pembuktian yang disajikan dalam bagian hasil dan pembahasan , Aspek Kelayakan :si 3ari hasil re%ie" yang dilakukan terhadap penelitian 5riset7 dapat diketahui bah"a isi dalam jurnal ini sudah bagus Namun& terdapat kekurangan isi jurnal untuk standar jurnal yang baik atau lengkap Kekurangan isi jurnal terletak pada metode penelitian serta langkah penelitian yang tidak didapati dalam isi jurnal 4ntuk standar jurnal yang baik dan lengkap seharusnya menggunakan metode penelitian dan langkah penelitian karena dengan adanya kedua hal tersebut& maka pembaca dapat mengetahui bagaimana cara penelitian melaksanakan penelitian yang ia laksanakan dan dengan demikian juga pembaca akan menjadi lebih mudah memahami hasil dan pembahasan yang tertera pada jurnal 3 Aspek Kelayakan 1ahasa 3ari hasil re%ie" yang dilakukan terhadap penelitian 5riset7 dapat diketahui bah"a bahasa yang digunakan dalam jurnal ini sudah sesuai dengan K11:& hanya saja terdapat beberapa kesalahan dalam tulisan#tulisan isi jurnal 3i samping itu& terdapat juga beberapa kalimat yang janggal dalam pembacaan per katanya E Aspek Kelayakan Penyajian 3ari hasil re%ie" yang dilakukan terhadap penelitian 5riset7 dapat diketahui bah"a penyajian dalam jurnal ini sudah cukup bagus Namun& dalam jurnal ini& penulis tidak menyajikan gambar maupun tabel atau gra$ik dalam hasil dan pembahasan sebagai penambah keindahan jurnal
BAB IV ELE'AHAN JURNAL !etelah melakukan re%ie" terhadap jurnal& maka kelemahan jurnal yang diperoleh yaitu sebagai berikut 9 ' 3alam jurnal yang telah dire%ie"& penulis tidak mencantumkan subjek penelitian yang telah dilaksanakan ) 2urnal ini juga tidak lengkap dalam penyajiannya dikarenkan penulis tidak menyampaikan 5menuliskan7 metode penelitian bagaimana yang dilakukan olejh peneliti serta langkah#langkah yang dilakukan dalam penelitian !ehingga dalam hal ini& jurnal yang telah di re%ie" ini dinilaim kurang lengkap dalam penyajian sistematikanya / 3alam jurnal yang telah dire%ie" terdapat beberapa kesalahan tanda baca dan juga terdapat beberapa kesalahan penggunaan kata dalam menyusun sebuah kalimat sehingga terdapat pengertian kalimat yang kurang dimengerti oleh pembaca - 3alam jurnal yang telah dire%ie"& penulis tidak menyampaikan saran terhadap penelitian yang dilaksanakan
BAB V I'PLIASI TERHADAP TERINSEP 4ANALISIS 'AHASISWAI5 !etelah melakukan re%ie" jurnal dan memberi kritikan terhadap jurnal 5critical journal7& maka didapatkan bah"a dalam jurnal yang telah dire%ie" terdapat implikasi jurnal dengan salah satu mata kuliah di jurusan mateamatika yaitu mata kuliah teori bilangan terkhusus dalam sub bab yang membahas tentang topik keterbagian :mplikasi tersebut tertera dalam kajian pustaka serta hasil dan pembahasan pada jurnal Melalui jurnal yang telah dire%ie" secara langsung mahasis"a6i memperoleh ilmu tentang keterbagian dan dengan pembuktian# pembuktian yang diberikan dalam bagian hasil dan pembahasan jurnal membuat para mahasis"a6: menjadi lebih mudah memahami materi keterbagian
BAB VI PENUTUP A Kesimpulan !etelah melakukan re%ie" terhadap jurnal serta mengkritik jurnal 5critical journal7& maka dapat disimpulkan bah"a jurnal tersebut memiliki kelebihan serta kelemahann ya masing# masing 2urnal tersebut sudah bagus terutama dalam hal penyampaian pendahuluan serta kajian pustakanya dikarenakan memiliki kesinambungan yang baik& begitu juga dengan hasil dan pembahasan yang disajikan oleh penulis& berkaitan dengan topic utama dalam jurnal 3i samping itu& terdapat juga beberapa kelemahan jurnal !etelah melakukan kritik terhadap jurnal juga menjadi diketahui bah"a sebuah jurnal juga dapat dipakai sebagai bahan ajaran maupun pembelajaran karena jika belajar melalui jurnal sudah merupakan hal yang lebih baik karena dalam hal tersebut& pembaca langsung memperoleh ilmu dari tinjauan 5penelitian7 langsung yang dilakukan sehingga menjadi lebih mudah untuk memahami sebuah topic