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Transformada de Laplace
Unidad 02
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Transformada de Laplace
Transformada de Laplace • Un método analítico importante para resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias - Aplicación a EDO no lineales? (Se debe linealizar primero) • La transformada de Laplace juega un papel importante en el control de procesos - Ejemplos • Funciones de transferencia • Respuesta en frecuencia • Diseño de sistemas de control • Análisis de estabilidad Page
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Definición La transformada de Laplace de una función, f(t), esta definida como
3.1
Donde es el símbolo de la transformada de Laplace, es el operador de la transformada de Laplace y es la función en el dominio del tiempo, t Nota: El operador transforma la función en el dominio del tiempo en una función en el dominio de s,
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Inversa de la Transformada de Laplace L -1 Por definición el operador de la Transformada de Laplace inversa, L-1, convierte la función en el dominio s, F(s), en la correspondiente función en el dominio t, f(t)
Propiedades Importantes Ambos L y L-1, son operadores lineales, es decir,
3.3
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Inversa de la Transformada de Laplace L -1 Donde: •
y
•
y
son constantes
•
y
Igualmente:
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son funciones arbitrarias
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Transformada de Laplace de funciones comunes 1. Función constante Se tiene (a es constante). Entonces de la definición de transformada de Laplace (3.1)
(3-4)
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Transformada de Laplace de funciones comunes 2. Función escalón unitario El cambio escalón unitario es ampliamente usado en el análisis de problemas de control de proceso. Esta definido como sigue
u
(3-5)
Como el escalón unitario es un caso especial de la función constante, su transformada es como sigue
u Page
8
(3-6)
Transformada de Laplace de funciones comunes 3. Derivadas Estas son transformadas muy importantes porque las derivadas aparecen en las Ecuaciones diferenciales que se desean resolver. En las tablas encontramos (3-9) Condición inicial t=0
Igualmente para derivadas de orden superior
(3-10) Page
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Transformada de Laplace de funciones comunes 1. Función Exponencial Considere
donde
Entonces
(3-10)
(3-11)
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10
Transformada de Laplace de funciones comunes 1. Función pulso rectangular Esta definido por
(3-12)
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Transformada de Laplace de funciones comunes
(3-12)
La transformada de Laplace de un pulso rectangular viene dado por
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Transformada de Laplace de funciones comunes 1. Función impulso o Función delta Dirac La función impulso es obtenida tomando el limite de la función pulso rectangular, tendiendo a cero pero manteniendo el área bajo el pulso contante igual uno
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Tablas de Transformada de Laplace
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Practica. Encuentre la transformada de Laplace a.
(Función escalón con una magnitud de 1000)
b.
c.
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donde
,
,
=3
Solución de EDO utilizando Transformada de Laplace Procedimiento: 1. Aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la EDO 2. Rearreglar la ecuación algebraica resultante en el dominio s y despejar la variable de salida por ejemplo 3. Expandir en fracciones parciales 4. Tomar la Transformada inversa de Laplace para encontrar de la expresión
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Practica Resuelva la siguiente ecuación:
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Practica
Comando Mathcad Para transformada inversa
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Notas adicionales 1. Teorema del valor final
2. Teorema del valor inicial
3. Retardo (Teorema de la traslación real)
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Más practica Escriba la transformada de Laplace de la función que sigue el siguiente modelo: a) Cambia en t=0 al valor de 2 b) Cambia al valor de -2 a los 3 minutos, y c) Cambia al valor de 0 a los 6 minutos
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Más practica Determine el valor final de la siguiente función
