Unidad 3
Movimiento en una dimensión
Es el movimiento de un objeto a lo largo de una línea recta, para fines prácticos se utilizará el modelo de partícula, el objeto se considera un punto. Conceptos Distancia = Es la longitud de una trayectoria seguida por una partícula. Desplazamiento = Cambio de posición en un intervalo de tiempo. Distancia en línea recta de la posición inicial a la final. Δx= xf-xi Rapidez promedio= Distancia total recorrida entre el intervalo de tiempo total. V = d/t tiempo
Velocidad promedio = Desplazamiento de la partícula entre el intervalo de Vx prom = Δx/Δt
Velocidad o velocidad instantanea = Es el límite de la proporción Δx/Δt conforme Δt tiende a cero Vx = lim Δx = dx Δt =0 Δt dt (derivada) Rapidez instantanea = Es la magnitud de la velocidad instantanea Ej
d= 4+6,92 = 10,92m Vm=10,92/6=1,82m/s V(1,5)=4/2=2m/s → d= 8m E60ºN
→ Vm=8mE60ºN/6
→ V(3)=6,92/4=1,73m/sN
Ej Una partícula se mueve de acuerdo a la expresión X=3t 3-2t2+6 con X en metros y t en segundos.
1) ¿Cuál ¿Cuál es la posici posición ón de la partí partícul culaa a los 2s X=3t3-2t2+6 X=3*23-2*22+6=22m 2) ¿Cuál es es el la magnitu magnitudd del desplazam desplazamiento iento de de los 2s 2s a los 3s 3s X=3*23-2*22+6=22m
X=3*33-2*32+6=69m
V=dx/dt= d(3t3-2t2+6)/dt V= 9t2-4t+0 V= 9*22-4*2+0 = 28m/s La derivada de X es V La derivada de V es a ¿Cuál es la magnitud de la velocidad media de 2 a 3? →
→
Vm= d/t = 47/1 =47m/s Aceleración promedia= Es el cambio de la velocidad instantánea en un intervalo de tiempo ax prom = ΔVx/Δt Aceleración instantánea= Limite de la velocidad promedio conforme Δt tiende a cero ax = lim ΔVx/Δt = dV/dt t→0 Si la velocidad y aceleración tienen la misma dirección el objeto aumenta su velocidad, si son contrarias frena. Ej Una partícula se mueve de acuerdo a la expresión X=2*t3+3*t2-5t + 2 a) Encue Encuentr ntree la expresi expresión ón de de la veloc velocida idadd V=dx/dt= d(2*t3+3*t2-5t + 2)/dt V= 6*t2+6*t -5
b) Encue Encuentr ntree la expresi expresión ón de la acel acelerac eración ión a=dV/dt= d(6*t2+6*t -5)/dt a= 12t+6 c) Encue Encuentr ntree la acelerac aceleración ión prome promedio dio de de 2s a 5s V(2) = 6*t2+6*t -5=6*22+6*2 -5=31m/s V(5) = 6*t2+6*t -5=6*52+6*5 -5=175m/s ax prom = ΔVx/Δt = (175-31)/(5-2) = 48m/s
Partículas bajo aceleración constante
Ej Un auto viaja a 20km/h y en 3km aumenta su velocidad a 40km/h. Determine la aceleración en km/h2 Vf 2=Vi2+2 a d 602=202+2 a 3 3200=6 a 533,3 km/h2=a La aceleración del auto es 533,3 km/h 2
Un auto arranca y acelera a 3 m/s 2 durante 4s. Luego viaja con velocidad constante 150m. Finalmente desacelera por 100m hasta detenerse. ¿Cuánto tiempo tarda el viaje? ¿Qué distancia viajó? Solución En este problema el comportamiento del móvil cambia tres, veces ( tres tramos o intervalos), debemos representar la situación para comprender mejor el problema.
La velocidad inicial del punto a y final del punto d son datos que se obtienen partir de la interpretación del enunciado del problema ( arranca entonces Vi =0, se detiene entonces Vf = 0). En el primer tramo desconocemos el valor de la velocidad final y la distancia que avanza, los datos que tenemos son Vo = Om/s
a = 3 m/s2
t= 4s
Vf = ?
d=?
Al aplicar fórmulas tenemos Vf = Vi + aºt
d= (Vf + V0) º. t 2
Vf = 0 + 3 º4
d= (12+0)º 4 = 24m 2
Vf = 12 m/s
Note que este valor final para el primer tramo es el valor inicial para el segundo tramo, como la velocidad se mantiene constante ahí, la velocidad del punto c también es 12 m/s. El segundo intervalo es con velocidad constante. V= 12m/s d= 150m
t= ?
Siendo movimiento rectilíneo uniforme MRU,la fórmula a utilizar es t= d/v t= 150/12 t = 12,5s
En el tercer intervalo la rapidez inicial también es 12m/s, por ser el tramo anterior con velocidad constante, falta encontrar aceleración y tiempo a = ? Vf = 0 m/s
Vi = 12 m/s d=100m t=?
Vf 2=Vi2+2 a d
d= Vi t + 1/2 a t 2
02 = 122 + 2 a 100
100= 12 t + 1/2 -0,72 t 2
0 = 144 + 200 a
0= 12 t + -0,36 t 2-100
-144/200 = a
t=16,66s
-0,72m/s2 = a
Ya teniendo analizados todos los tramos podemos encontrar el tiempo total y la distancia total. t total = 4s +12,5s + 16,66s = 33,16s d total = 24m + 150m + 100m = 274m Respuesta: . Recorre una distancia total de 274m en un tiempo de 33,16s Ej Dos autos separados 1000m salen a la vez a su encuentro, el auto A viaja con velocidad constante de 8m/s, el auto B parte del reposo y acelera a 5m/s 2. En cuanto tiempo se encuentran? ¿Qué distancia viaja c/u? ¿Qué velocidad alcanza c/u?
a) d1=Vi*t d1= 8t d1+d2=1000m 8t + 2,5 t2 = 1000 2,5 t2+8t-1000=0 t=18,46s t=-21,66s R/ 18,46s
d2=vi t + ½ a t2 d2=0t+ ½ 5 t2 d2=2,5 t2
b) d1= 8t d1=8*18,46 d1=147,68m
d2=0t+ ½ 5 t2 d2=2,5 t 2 d2=2,5*18,47 2 d2=851,92m
c) V1 = constant = 8m/s
Vf=Vi+a t Vf=0+5*18,46 Vf=92,3m/s
Ej Es la recta final de una competencia, el auto A persigue al auto B que esta a 250m delante de él. El B viaja a 40m/s y acelera a 2m/s 2, el A viaja a 20m/ y acelera a 3m/s 2 ¿Qué distancia debe haber a la meta para que gane A?
250+d=20t+ ½ 3 t 2
250+(40t+ ½ 2 t2)=20t+ 1,5 t 2 250+40t+ 1 t 2-20t-1,5 t2=0 - ½ t2+20t+ 250=0 t=50 t=-10
d=40t+ ½ 2 t2
t = 50s porque se descarta el valor negative d=40*50+ ½*2*50 2=4500m Para que gane A debe haber más de 4500m medidos desde B o mas de 4750m medidos desde A Un auto viaja con rapidez constante de 45m/s, pasa al lado de un patrullero oculto que está detenido y sale en su persecución un segundo después de ver el auto pasar a su lado, acelerando a 3m/s 2 ¿Cuánto tarda en alcanzarlo? No salen a la vez, para que el tiempo de movimiento sea el mismo es necesario calcular la ventaja que le saca el auto en 1s a la moto V=d/t 45=d/1 45=d
d=vi t + ½ a t 2 45+d= 0t+ ½ 3 t 2
d=vi t 2
d=45 t
45+45t= 1,5 t 0= 1,5 t2 - 45t -45t t=30,96 se descarta el valor negativo
El tiempo total es 1+30,96=31,96s Caída libre Un objeto en caída libre es aquel que se mueve libremente sólo bajo la influencia de la gravedad. La aceleración en la tierra es 9,8m/s2 y siempre apunta hacia abajo.
A la misma altura el móvil posee la misma magnitud de la velocidad subiendo y bajando, pero la dirección es contraria, en el punto más alto la velocidad es cero el tiempo en subir es el mismo en bajar
Se lanza una piedra al aire verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio de 50m con una velocidad de 20m/s, la piedra libra el borde del edificio y cae
a) Altura Altura máxi máxima ma medida medida desde desde la la base del del edifici edificioo Vi=20m/s Vf=0m/s a=-9,8m/s d=?
Vf2=Vi 2+2 a d 02=202+2*-9,8*d -400=19,6*d 20,40m=d
la altura máxima medida desde la base = 50+20,40=70,40m b) Veloci Velocidad dad al lleg llegar ar al suelo suelo Vi=20m/s Vf=? a=-9,8m/s d=-50
Vf2=Vi 2+2 a d Vf 2=202+2*-9,8*-50 Vf=√1380 Vf=+/- 37,14m/s
en este caso la respuesta es 37,14m/s hacia abajo interpretando el menos c) Tiempo Tiempo en llegar a la mitad mitad de la altura altura del edificio edificio Vi=20m/s t=? a=-9,8m/s d=-25m
d=vi t + ½ a t2 -25=20*t + ½ -9,8 t2 0=20*t + ½ -9,8 t2 +25 t=5,08s
El tiempo en caer es de 5,08s (se descarta el valor negative del tiempo)
Práctica Desde 100m de altura se deja caer una bola y al mismo tiempo se lanza al aire otra verticalmente hacia arriba a 50m/s ¿Qué velocidad lleva cada una al cruzarse en el aire?
t1=t2 d=vi t + ½ a t 2 d1=0 t + ½ -9,8 t 2 d1= -4,9 t2
d=vi t + ½ a t 2 d2=50 t + ½ -9,8 t 2 d2=50 t + -4,9 t 2
│d1│+d2=100 4,9 t2 +50 t + -4,9 t 2 =100 50 t = 100 t=100/50 = 2s Vf=Vi+at Vf=0+-9,8*2 Vf=-19,6m/s
Vf=Vi+at Vf=50+-9,8*2 Vf=30,4m/s
Ej Desde un edificio de 100m se lanza hacia el suelo una piedra verticalmente hacia abajo a 3m/s, al mismo tiempo se lanza una segunda piedra verticalmente hacia arriba a 5m/s.
a) Cuando Cuando la primera primera llega llega al suelo suelo ¿Cuál ¿Cuál es la la velocidad velocidad de la segunda? segunda? d=vi t + ½ a t 2 -100=-3 t + ½*-9,8 t 2 0=-3t -4,9 t2 +100 t=4,22s (t=-4,83s descartado) Vf=Vi+at Vf=5+-9,8*4,22 Vf=-36,35m/s b) A los 2s de estar estar en el aire aire ¿Cuál ¿Cuál es la separaci separación ón entre entre ambas? d=vi t + ½ a t 2
d=vi t + ½ a t 2
d=-3*2 + ½*-9,8* t 2
d=5*2 + ½*-9,8*t 2
d=-25,6m
d=-9,6m →
d=-25,6-(-9,6) →
│d│= 16m Ej Ejemplo
a) tiempo tiempo en subir subir al al punt puntoo más más alto alto Vf = Vi + aº t 0 = 10 + -9,8 º t -10 = -9,8 º t -10/-9,8 = t 1,02s = t
Se lanza una piedra al aire verticalmente hacia arriba a 10m/s desde un precipicio de 100m. Determine a) el tiempo en subir b) el tiempo en el aire c) altura máxima medida de la base del precipicio d) la velocidad al llegar al suelo e) la velocidad velocidad a los 4s de lanzado
b) b) tiem tiempo po eenn el el air airee No podemos decir que es el doble del tiempo en subir ya que las distancias subida y bajada por la piedra no son las mismas d = V0º t + ½º aº t2 -100=10º t + ½º -9,8º t2 0=100 +10º t + -4,9º t2 C B A
(ecuación cuadrática, pararesolverla igualamos a cero y ordenamos)
0 = -4,9t2 +10t + 100 A B C t= -3, -3,61s 61s t=5 t=5,65 ,65s desca escart rtam amoos el valo alor negat egativ ivoo c) altura altura máxim máximaa medida medida desde desde la base base del preci precipic picio io Vf 2=Vi2+2 a d 02=102+2*-9,8*d -100=-19,6d -100/-19,6=d 5,1=d R/ 5,1 + 100 = 105,1m d) Veloci Velocidad dad al llegar llegar a 15m 15m del suelo suelo
hacia abajo)
Vf 2 = Vi2 + 2ºaºd Vf 2 =(10)2 + 2º –9,8º -85 Vf 2 = √1766 Vf = Vf = +/- 42,02m/s (tomamos la respuesta negativa, por moverse
R/ Llega al suelo con una velocidad de 42,02m/s hacia abajo Ejercicios recomendados 3, 9,10, 13, 20, 23, 24, 25, 32, 38, 39, 41,51 Problema 3 Una persona camina, primero, con rapidez constante de 5m/s a lo largo de una línea recta desde el punto A al punto B y luego de regreso a lo largo de la línea B a A con una rapidez constante de 3m/s. a) ¿cuál es su rapidez promedio durante todo el viaje? b) ¿Cuál es su velocidad promedio durante todo el viaje? (problema 3, pag 66, serway, sétima edición)
Solución
Veloc=5m/s
Veloc=3m/s
AB
BA
d=x v=5 t=d/v=x/5
d=x v=3 t=d/v=x/3
a) v= distancia total = x+x = 2x = 3,75m/s tiempo total (x/5+x/3) (8x/15) b) →
→
V = d = x+x = 0 = 0m/s t (x/5 (x/5+x +x/3 /3)) (8x/ (8x/15 15)) Problema 9 Una liebre y una Tortuga compiten en una carrera en una ruta de 1km de largo. La tortuga paso a paso continuo y de manera estable a su máxima rapidez de 0,2m/s se dirige hacia la línea de meta. La liebre corre a su máxima rapidez de 8m/s hacia la meta durante 0,8km y luego se detiene para fastidiar a la tortuga. ¿Cuán cerca de la meta la liebre puede dejar que se acerque la tortuga antes de reanudar la carrera, que gana la tortuga en un final de fotografía? Suponga que ambos animales, cuando se mueven, lo hacen de manera constante a su rapidez máxima. (problema 9, pag 46, serway, sétima edición) Solución
Vtortuga =0,2m/s Vliebre=8m/s 200-d=0,2t
d=8t
200-8t=0,2t 200= 0,2t+8t 200=8,2t 200/8,2=t 24,39m/2 d=8t d=8*24,39= 195,12m dTortuga=200-195,12=4,87m Problema 10 Una superbola de 50g que viaja a 25m/s bota en una pared de ladrillo y robota a 22m/s. Una cámara de alta rapidez registra este evento. Si la bola está en contacto con la pared durante 3,5ms ¿Cuál es la magnitud de la aceleración promedio promedio de la bola durante este -3 intervalo de tiempo? Nota: 1ms=10 s(problema 10, pag 46, serway, sétima edición) Solución m=50g vi=25m/s vf=-22m/s (rebota) t=3,5ms = 3,5x10 -3s
a=(Vf-Vi)/t a=(-22-25)/3,5x10-3 a= -12428,5m/s2
Problema 13 Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acedo con la ecuación x=2+3t-1t 2, donde x está en metros y t en segundos. En t=3s, encuentre a) la posición de la partícula b) su velocidad y c) su aceleración (problema 13, pag 47, serway, sétima edición) edición) Solución a) x=2+3t-1t2 x=2+3*3-1*32 x=2m b) V=x’=3-2t V=3-2*3 V=-3m/s c) a=V’=-2m/s2
Problema 20 Un camión cubre 40m en 8,5s mientras frena de manera uniforme a una rapidez de 2,8m/s a) Encuentre la rapidez original y la aceleración (problema 20, pag 47, serway, sétima edición) Solución Vi=? a=? d=40m a=-2m/s2 vf=2,8m/s
t=8,5
d=(Vf+vi)t 2 40=(2,8+vi)*8,5 2 Vi=6,61m/s Vf=vi+at 2,8=6,61+a*8,5 -0,44=a Problema 23 Un jet se aproxima para aterrizar con una rapidez de 100m/s y una aceleración con una magnitud máxima de 5m/s2 conforme llega al reposo. a)Desde el instante cuando el avión toca la pista, ¿Cuál es el intervalo de tiempo mínimo necesario antes de que llegue al reposo? b) ¿Este avión puede aterrizar en el aeropuerto de una pequeña isla tropical donde la pista mide 0,8km de largo? (problema 23, pag 48, serway, sétima edición) Solución Vf=0m/s a=-5m/s2 vi=100m/s t=? d=? Vf= vi + a t 0=100+-5t -100/-5=t 20s=t d=(Vf+vi)t 2 d=(0+100)*20 2 d=1000m (no puede aterrizar porq la pista es menor)
Problema 24 En t=0,un carro de juguete se pone a rodar en una pista recta con posición inicial de 15cm, velocidad inicial de -3,5cm/s y aceleración constate de 2,4cm/s 2.En el mismo momento, otro carro de juguete se pone a rodar en una pista adyacente con posición inicial de 10cm, una velocidad inicial de +5,5cm/s y aceleración constante cero. a) En que que tiempo, tiempo, si alguno, alguno, los dos dos carros carros tienen iguales iguales rapideces? rapideces? b) ¿Cuáles ¿Cuáles son las rapidece rapidecess en dicho tiempo? tiempo? c) ¿En que que tiempo(s), tiempo(s), si alguno, alguno, los los carros carros se rebasan rebasan mutuamen mutuamente? te? d) ¿Cuáles ¿Cuáles son sus ubicaci ubicaciones ones en dicho dicho tiempo? tiempo? (problema 24, pag 48, serway, sétima edición) Solución
vi = 3,5cm/s a=2,4cm/s2
vi=5,5cm/s a=0cm/s2
a) La aceleración y la velocidad tienen diferente signo, el movil desacelera, se detienen e inicia un movimiento hacia la derecha vf=5,5cm/s vi =-3,5cm/s a=2,4cm/s2 t? vf=vi+at 5,5=-3,5+2,4*t t=3,75s b) las rapideces son 5,5m//s ya que uno es constante c) d = V0º t + ½º aº t2 d=v*t 2 d+5=-3,5t+½º 2,4º t d=5,5t 2 d+5=-3,5t+½º 2,4º t 5,5t+5=-3,5t+1,2º t2 0=-9t+1,2º t2-5 t=8,02m d) d=v*t d=5, d=5,5* 5*8, 8,02 02== 44,0 44,055 d=44 d=44,1 ,11+ 1+15 15=5 =59, 9,11 11m m de Xo Xo y debe ser la misma para el otro pero se puede comprobar si el problema esta bien resuelto
d = V0º t + ½º aº t2 = d = -3,5*8,02 + ½º 2,4º 8,022=49,11+10=59,11m de Xo Problema 25 El conductor de un automóvil aplica los frenos cuando ve un árbol que bloquea el camino. El automóvil frena uniformemente con una aceleración de -5,6m/s 2 durante 4,2s y hace marcas de derrape rectas de 62,4m de largo que terminan en el árbol ¿Con que rapidez el automóvil golpea el árbol? (problema 25, pag 48, serway, sétima edición) Solución t=4,2s a=-5,6m/s2 d=62,4m vf= ? vi=? 62,4 = V0º 4,2 + ½º -5,6º 4,22 (62,4+49,39)/4,2=Vi 26,61m/s=Vi Vf=Vi+at Vf=26,61+-5,6*4,2 Vf=3,09m/s Problema 32 Speedy Sue, que conduce a 30m/s, entra en un túnel de un carril. En seguida observa una camioneta lenta 155m adelante que se mueve a 5m/s. Sue aplica los frenos pero sólo puede acelerar a -2m/s2 porque el camino está húmedo. ¿Habrá una colisíón? Establezca cómo llega a su respuesta. Si es sí, determine cuán lejos en el túnel y en que tiempo ocurre la colisión. Si es no, determine la distancia de acercamiento más próxima entre el automóvil de sue y la camioneta (problema 32, pag 49, serway, sétima edición) Solución
d = V0º t + ½º aº t2 155+d = 30º t + ½º -2º t2 155+5t = 30t - 1t 2 0=25t - 1t2-155 t=11,38s y t= 13,61s
d=v*t d=5t
hay dos tiempo positivos porque hay dos tiempos en los que la posición es la misma
para que no choquen el auto debe igualar la velocidad del otro así que vf =vi +at 5=30+-2t t=12,5s Si hay colisión porque ocupa más tiempo para reducir la velocidad del de encuentro d=vt d=5*11,38 d=56,9m + 155 = 211,9m desde la entrada del túnel al choque Problema 38 Una bola se lanza directamente hacia arriba, con una rapidez inicial de 8m/s, desde una altura de 30m ¿Después de qué intervalo de tiempo la bola golpea al suelo? (problema 38, pag 49, serway, sétima edición) Solución:
d = V0º t + ½º aº t2 -30=8t+½º -9,8º t2 0=30+8t+½º -9,8º t2 t=3,42s Problema 39 Un estudiante lanza un conjunto de llaves verticalmente hacia arriba a su hermana de fraternidad, quien está en una ventana a 4m arriba. Las llaves las atrapa 1,5s después con la mano extendida. A) ¿Con qué velocidad inicial se lanzaron las llaves? b)¿Cuál fue la velocidad de las llaves justo antes de ser atrapadas? (problema 39, pag 49, serway, sétima edición) Solución d = V0º t + ½º aº t2 4=Vi*1,5+½º -9,8º 1,52 (4+11,02)/1,5=10,01m/s=vi
Vf=vi+at Vf=10,01+-9,8*1,5 Vf=-4,69m/s (hacia abajo) Problema 41 Se golpea una pelota de beisbol de modo que viaja recto hacia arriba después de ser golpeada por el bat. Un aficionado observa que la bola le toma 3s llegar a su máxima altura. Encuentre a)la velocidad inicial de la bola y b)la altura que alcanza (problema 41, pag 49, serway, sétima edición) Solución Vf=vi+at 0=vi+-9,8*3 Vi=29,4m/s d=(Vf+vi)t 2 d=(29,4+0)*3 2 d=44,1m Problema 51 Un cohete de prueba se dispara verticalmente hacia arriba desde un pozo. Una catapulta le da una rapidez inicial de 80m/s a nivel del suelo. Después se encienden sus motores y acelera hacia arriba a 4m/s2 hasta que llega a una altitud de 1000m. En este punto sus motores fallan y el cohete entra en caída libre, con una aceleración de-9,8m/s2 a)¿Para que intervalo el cohete está en movimiento sobre el suelo? b)¿cuál es su altitud máxima? c)¿Cuál es la velocidad justo antes de tocar la tierra? (Necesitará considerar el movimiento mientras el motor funciona separado del movimiento en caída libre) (problema 51, pag 50, serway, sétima edición) Solución Mientras el motor funciona d = V0º t + ½º aº t2 1000=80º t + ½º 4º t2 0= -1000+80º t + ½º 4º t2 t=10s (subida con el motor funcionando) pero continua subiendo por el impulso, el valor de ese impulso es vf=vi+at vf=80+4*10 vf=120m/s de este punto al suelo
d = V0º t + ½º aº t2 -1000 = 120 º t + ½º -9,8º t2 0=1000 + 120 º t + -4,9º t2 t=31,06s t total= 10+31,06=41,06s Vf 2=Vi2+2ad 02=1202+2*-9,8*d d=734 734+1000=1734m es la altura maxima Vf 2=Vi2+2ad Vf 2=1202+2*-9,8*-1000 Vf=√34000 Vf=184,39m/s hacia abajo
