Matrices
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Tema 2 MATRICES
Matrices
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1.- Matrices. Matrices. Defini Definición ción y primero primeros s ejemplos ejemplos Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:
a1 1 a1 2 a a2 2 21 A a m1 am 2
a1n a2 n amn
Filas de la matriz A
Columnas de la matriz A
Abreviadamente Abreviadamente se puede expresar expresar
A = (aij ).
Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices: - El primero de ellos “ i ”, ”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, “j ”, - y el segundo, j ”, la columna.
Matrices
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1.- Matrices. Matrices. Defini Definición ción y primero primeros s ejemplos ejemplos Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:
a1 1 a1 2 a a2 2 21 A a m1 am 2
a1n a2 n amn
Filas de la matriz A
Columnas de la matriz A
Abreviadamente Abreviadamente se puede expresar expresar
A = (aij ).
Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices: - El primero de ellos “ i ”, ”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, “j ”, - y el segundo, j ”, la columna.
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Observación:: Observación
Los
aij
son llamados componentes o elementos de la Matriz.
Matrices
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El conjunto de todas las matrices de orden mxn y con elementos en K se suele denotar por:
M mn ( K ) K
mn
A ai j mxn / ai j K
K : Q ; R; C
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1.- Matri Matrices. ces. Definic Definición ión y primeros primeros ejemplos ejemplos EJEMPLOS
Son ejemplos de matrices los siguientes:
2 1 3 4
A
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su dimensión 2 x 2. ¿Qué elemento es a21?
6 4 0 1 2 1
B
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3. ¿Qué elemento es b23?
3 1 2 4 C 1 5 1 0
0 0 2 0
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su dimensión 4 x 3. ¿Qué elemento es c32?
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1.- Matri Matrices. ces. Definic Definición ión y primeros primeros ejemplos ejemplos En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es m x n (se lee “m “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.
Igualdad Dos matrices A y B son iguales cuando contienen los mismos elementos, dispuestos en los mismos lugares:
A = B aij = bij i, j Lógicamente, para que dos matrices sean iguales es necesario que tengan la misma dimensión.
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2.- Tipos de matrices Según su dimensión: Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es 1 x n. Por ejemplo, B 1
0 4 9 es una matriz fila de dimensión 1 x 4.
Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será m x 1. Por ejemplo,
1 C 0 8
es una matriz columna de dimensión 3 x 1.
Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n.
2 1 3 4
es una matriz cuadrada de dimensión 2 x 2 o
1 D 6
2 5
3 matriz 4 cuadrada de
Matrices
8
Matriz cuadrada de orden n:
Mismo número de filas que de columnas
forman la diagonal principal
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2.- Tipos de matrices Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal princ ipal a la formada por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:
a11 a12 a a22 21 A a n1 an 2
a1n a2 n ann
Diagonal principal
En la matriz D, la diagonal principal está formada por 1, 5, 0. La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n , a2 ,n−1 , a3 ,n−2 , . . ., an1.
2 3 1 D 6 5 4 3 4 0
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2.- Tipos de matrices Según sus elementos: Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triang ulares . Una matriz es triang ular s uperior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triang ular inferi or si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.
0 1 0 0 0 4 0 0 E 0 3 4 5 1 3 16 78
1 4 3 F 0 9 5 0 0 3 Triangular superior
Triangular inferior
Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal. Una matriz de este tipo se denomina matriz
diagonal
1 0 0 0 0 45 0 0 G 0 0 3 0
Matrices
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Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas:
Matriz triangular superior
Ceros debajo de la diagonal principal
Matriz triangular inferior
Ceros encima de la diagonal principal
Matrices
Matriz diagonal
12
Matriz unidad
Ceros fuera de la diagonal principal
Matriz escalar
Ceros fuera de la diagonal principal, unos en la diagonal principal
Matrices
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2.- Tipos de matrices Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por I n , donde n es el orden o tamaño de la matriz. Algunas matrices identidad son:
1 0 0 1
I 2
1 0 0 I 3 0 1 0 0 0 1
1 0 I 4 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Por ejemplo, A
es una matriz nula de tamaño 2x5.
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2.- Tipos de matrices Matrices escalonadas Fíjate en las siguientes matrices:
1 1 1 A 0 1 6
1 5 0 B 0 1 2 0 0 1
En ellas se cumple que:
1 0 C 0 0
6
0 0 0
1 5 0 D 0 1 2 0 0 0
Si hay filas nulas, están situadas en la parte inferior de la matriz. En las filas no nulas, el primer elemento diferente de cero es uno. En las filas no nulas, el primer elemento diferente de cero de una fila está situado más a la derecha que el primer elemento diferente de cero de la fila inmediatamente superior. De ellas se dice que son matrices escalonadas
Matrices
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3.-Transformaciones elementales Existen una serie de operaciones que se pueden hacer con las filas de una matriz y que permiten convertirla en una matriz escalonada: las transformaciones elementales. En general, si llamamos Fi a la fila i-ésima y F j a la fila j-ésima, las transformaciones elementales son: Ejemplo
Intercambiar dos filas. Fi F j. Sumar a una fila los elementos correspondientes de otra fila multiplicada por un nº real k.
Fi Fi + kF j Multiplicar todos los elementos de una fila por un número real no
2 0 2 4 2 1 1 5 3
F2 F3
2 0 2 1 5 3 4 2 1
2 0 2 F1 F1 + 2F3 0 10 8 4 2 1 4 2 1 1 5 3 1 5 3 2 0 4 2
2 1
F2 2F2
2 8
0 4
2 2
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3.-Transformaciones elementales Estas transformaciones permiten definir una equivalencia entre las matrices de igual dimensión.
Dos matrices son equivalentes si una de ellas se obtiene a partir de la otra mediante transformaciones elementales. EJEMPLO
Reducir a forma escalonada la matriz
Para facilitar los cálculos posteriores, hacemos que el elemento a11 sea 1:
2 1 3 1 1 1 2 2 1 4 3 1
F1 F2
1 1 2 2 0 1 1 3 0 5 5 1
1 1 2 2 2 1 3 1 1 4 3 1
F3 F3 + 5F2
2 1 3 1 A 1 1 2 2 1 4 3 1
F2 F2 – 2F1 F3 F3 + F1 Hacemos que los demás elementos de la primera fila sean 0:
1 1 2 0 1 1 0 0 0
2 3 14
Que está en forma
Matrices
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3.-Transformaciones elementales EJERCICIO
Reduce a forma escalonada las matrices:
1 2 3 A 2 5 7 3 6 10 1 3 1 5 C 1 2 6 4 0 8 8 2
2 3 4 9 B 4 1 0 1 3 1 2 0 2 1 5 1 8 D 1 2 3 4 5 1 3 10 11 13
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4.- Operaciones con matrices
4. 1. Suma y diferencia
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensión m n, la matriz suma, A + B , es la que se obtiene sumando los elementos que en cada una de ellas ocupan la misma posición.
a11 ... a1n b11 ... b1n a11 b11 ... a1n b1n ... A B ... ... ... ... ... ... ... ... am1 ... amn bm1 ... bmn am1 bm1 ... amn bmn De forma abreviada:
EJEMPLO
(aij) + (bij) = (aij + bij)
2 1 3 2 0 4 4 1 7 4 2 1 3 2 5 1 4 6 23
23
23
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 1. Suma y diferencia
Propiedades de la suma de matrices: a) Conmutativa: b) Asociativa:
A + B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C
c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente.
A + 0 = 0 + A
d) Elemento opuesto de A : La matriz – A , que resulta de cambiar de signo a los elementos de A .
A + ( – A ) = ( – A ) + A = 0
La existencia de elemento opuesto permite definir la matriz diferencia (resta), A – B . Es la que se obtiene al sumar A con – B:
A – B = A + ( – B) EJEMPLO
2
1
3 2
0
4
0
1
1
Matrices
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Demostración: Pongamos
A
a , B b , C C M ij
ij
ij
m n
(K )
.Entonces:
A B aij bij bij aij B A A
B. C aij bij cij aij bij
cij
aij bij cij aij bij cij A B C A 0 .
a 0 a
A A
ij
ij
a
ij
0 A
aij 0 0
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4.- Operaciones con matrices EJEMPLO
Si
4. 1. Suma y diferencia
Opuesta de una matriz
0 1 A 4 2 3 9
0 1 A 4 2 3 9
32
32
porque:
0 1 0 1 0 0 4 2 4 2 0 0 3 9 3 9 0 0 32
32
32
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4.- Operaciones con matrices
4. 1. Suma y diferencia
EJERCICIOS 1. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2000 y 2001 vienen dadas por las matrices: X Y Z X Y Z 1 A 11 6,7 0,5 A 13,3 7 A2000 14,5 10 1,2 B A2001 15,7 11,1 3,2 B 20 , 9 3 , 2 2 , 3 21 0 , 2 4 , 3 C C Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos años. ¿Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total? Calcula el incremento de las exportaciones del año 2000 al 2001. 2. Calcula x, y, z en la suma: 3. Calcula a, b, c
x y 1 2 y 0 z 1 1 3 1 y x z 2 3 0 4 4 z 2 2 3 x 2 4 1 0
3
b
2 2
b
4
1
2
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 2. Producto por un nº real
Dada una matriz cualquiera A de dimensión m n y un número real k , el producto k·A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k , resultando otra matriz de igual dimensión. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real).
a11 ... a1n k a11 ... k a1n ... k A k ... ... ... ... ... am1 ... amn k am1 ... k amn EJEMPLO
2 1 3 10 5 15 20 10 5 4 2 1
5
23
23
Propiedades: a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A + k·B b) Distributiva respecto de la suma de números: (k + d)·A= k·A + d·A c) Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·A
Matrices
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DEMOSTRACION. Pongamos
A (aij )i , j , B (bij )i , j .Entonces :
1.[ ] A [ ](aij ) ([ ]aij ) ([ aij ] [ aij ])
( aij ) ( aij ) A A. 2. ( A B) (aij bij ) ( [ aij bij ]) ([ aij ] [ bij ])
( aij ) ( bij ) A B. 3.( ) A ([ ]aij ) ( [ aij ]) ( aij ) ( A ). 4.1 A (1aij ) (aij ) A.
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 2. Producto por un nº real
EJERCICIOS
1 1 y B 1 0 0 2 0 1
1. Si A
halla una matriz X que verifique la ecuación: 2· X – 4· A = B
2. Determina las matrices X e Y sabiendo que:
1 2 8 1
3 X 5Y
2 4 X 3Y 3 0
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
Producto de una matriz fila por una matriz columna. Sea A una matriz fila y B una matriz columna:
A 2 3 1 1x3
1 B 2 5 3x1
Definimos el producto de la matriz A por la matriz B (en este orden):
1 A B 2 3 1 2 2·1 + (−3)·2 + 1·5 = 2 − 6 + 5 = 1 5 1x3
3x1
Hemos emparejado cada elemento de A con un elemento de B, luego el número de estos
Observa que el resultado es un número
Matrices 4.- Operaciones con matrices
Pág. 27
4. 3. Producto de matrices
Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición: “Para multiplicar dos matrices A y B , en este orden, A ·B , es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B ”
Si no se cumple esta condición, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación. Una vez comprobado que el producto A·B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p (observa que el nº de columnas de A = n = nº de filas de B ), entonces el producto A ·B da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente modo: “El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene multiplicando los elementos de la fila
C = A·B , B
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
Filas
A · B = A·B mn
n p
m p Columnas
Es posible el producto
La matriz producto, A·B , si existe, es la que se obtiene de la forma siguiente:
C1 F1 a11
A B
... am1
... a1k b11 ... ... ... ... amk bk 1
... b1n F 1 C 1 ... ... ... ... bkn F m C 1
... F 1 C n ... ... ... F m C n
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4.- Operaciones con matrices EJEMPLO
Para multiplicar las matrices:
3 2 1 4 2 5 3 2
A
24
4. 3. Producto de matrices
0 4 1 1 2 1 B 2 0 2 3 2 1
43 1º.- Comprobamos que se puede realizar el producto A·B , pues el nº de columnas de A es 4 y el nº de filas de B también es 4.
2º.- El resultado, según lo dicho será una matriz de dimensión 2 x 3, tiene 2 filas y 3 columnas:
0 4 1 3 2 1 4 1 2 1 2 5 3 2 2 0 2 3 2 1 24 43
= 23
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
C1 F1
0 4 1 3 2 1 4 1 2 1 2 5 3 2 2 0 2 3 2 1 24 43
16 = 23
El elemento de la fila 1 y columna 1 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:
F1 · C1 = ( – 3 2 1 4) ·
0 1 2 3
= (−3)·0 + 2·1 + 1·2 + 4·3 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
C2 F1
0 4 1 3 2 1 4 1 2 1 2 5 3 2 2 0 2 3 2 1 24 43
16
16
= 23
El elemento de la fila 1 y columna 2 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar:
F1·C2 = ( – 3 2 1 4) ·
−4 −2
0 2
= (−3)·(−4) + 2·(−2) + 1·0 + 4·2 = 12
−
4 + 0 + 8 = 16
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
C3 F1
0 4 1 3 2 1 4 1 2 1 2 5 3 2 2 0 2 3 2 1 24 43
16
16
5
= 23
El elemento de la fila 1 y columna 3 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 3 de B y sumar:
1 1 F1·C3 = ( – 3 2 1 4) · 2 1
= (−3)·1 + 2·1 + 1·2 + 4·1 = − 3 + 2 +
2+4=5
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto:
C1
F2
0 4 1 3 2 1 4 1 2 1 2 5 3 2 2 0 2 3 2 1 24 43
16 =
16
5 23
5
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto:
C2
F2
0 4 1 3 2 1 4 1 2 1 2 5 3 2 2 0 2 3 2 1 24 43
=
16
16
5
– 22 23
5
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto:
C3
F2
0 4 1 3 2 1 4 1 2 1 2 5 3 2 2 0 2 3 2 1 24
Así la matriz producto es: A B
5
16
=
16
16
5
5
– 22
11 23
43
16 5 22 11
Observa que el producto B·A no se puede hacer:
B · A 43
24
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
EJERCICIOS
1 3 B 3 5 2 1 2 6
1. Si A
2. Lo mismo si
1 1 A 0 2 , 4 1
calcula, si es posible, A·B y B·A . ¿Coinciden?
3 0 2 1 1 5
B
3. Calcula todos los productos posibles entre las matrices:
1 2 3 A 1 1 1 0 2 1
1 B 2 1
2 1 0 3 4 5
C
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 3. Producto de matrices
Propiedades del producto de matrices a) Asociativa: A·(B·C)
= (A·B )·C
b) Distributiva respecto de la suma: A ( B C ) A B A C
( B C ) A B A C A c) Elemento neutro: la matriz identidad correspondiente. Si A es m x n:
A I n A I m A A d) En general el producto de matrices no es conmutativo
A B B A
Pueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Ten cuidado con esta propiedad.
e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula: 5 Se dice que el conjunto de las matrices 2 1 3 2 0 con la operación producto tiene divisores
Matrices
Pág. 38
A BC (aik )(l bkl clj ) ( k aik [ l bkl clj ]) ( kl aikbklclj )
(l [ k aik bkl ])i, j ( k aik bkl ) i, l ( AB)C A( B C ) (aik )(bkj ckj ) ( k aik [bkj ckj ])
( k [aik bkj aik ckj ]) ([ k aik bkj ] [ k aik ckj ]) ( k aik bkj ) ( k aik ckj ) AB AC
Matrices 4.- Operaciones con matrices
Pág. 39
4. 3. Producto de matrices
EJERCICIOS 1. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿son ciertas las propiedades siguientes, que son ciertas para las operaciones con números reales?: a) (A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2 · A · B b) (A − B) 2 = A 2 + B 2 − 2 · A · B c) (A + B) · (A − B) = A 2 − B 2
2 1 a b
2. Determina los valores de a y b de la matriz A
para que A 2 = A .
3. ¿Qué matrices conmutan con la matriz
1 2 0 1 ?
Matrices Propiedades del producto de matrices (II) I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en un orden distinto al dado. II. Si A . B = 0 entonces no siempre ocurre que A = 0 ó B = 0.
Ejemplo: Aunque
0 0
2 ÷ . 0 –3 ÷ 0 0 ÷ ÷ ÷= ÷ ninguno de los factores que 0 0 0 0 0
forman el producto es la matriz nula. III. Si A . C = B . C y C
0, entonces no necesariamente A = B.
IV. (A + B)2 A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.
V. (A – B)2 A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten. VI. A2 – B2
(A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.
Matrices
41
POTENCIAS DE MATRI CE S CUADRADAS Una de las herramientas principales en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales es el álgebra matricial. En concreto, el cálculo de potencias naturales de matrices cuadradas resulta de gran interés en el estudio de las ecuaciones diferenciales. Además, las potencias de matrices desempeñan un papel importante en diversas aplicaciones, como por ejemplo en el modelo de Leontief de entrada-salida.
Si
y
:
- PROPIEDADES .-
1.2 .-
Matrices
Pág. 42
4.- Operaciones con matrices
4. 4. Trasposición de matrices
Dada una matriz cualquiera A , se llama matriz traspuesta de A , y se representa por A t a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A . EJEMPLO
2 1 0 7 3 4 2 1 2 4
Si A
entonces la matriz traspuesta de A es:
2 3 1 4 At 0 2 7 1 4 2
Si A es una matriz de dimensión m x n, su traspuesta A t tendrá dimensión n x m, pues el número de columnas pasa a ser el de filas y viceversa. Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá la misma dimensión. Propiedades: t t = A , es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial. a) (A ) b) (A + B) t = A t + B t
Matrices
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La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por A t. Si A = (aij ). entonces At = (a ji ). Si A es mxn, entonces A t es nxm.
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 4. Trasposición de matrices
En base a esta nueva operación, podemos definir otras dos clases de matrices:
Matriz simétrica: matriz cuadrada que coincide con su traspuesta; es decir, una matriz cuadrada es simétrica si se cumple que A t = A .
3 2 1 A 1 0 2 3 2 7
es simétrica
En una matriz simétrica, los elementos son simétricos respecto a la diagonal principal.
Matriz antis imétrica: matriz cuadrada cuya opuesta coincide con su traspuesta; es decir, si cumple que A t = −A. Por ejemplo:
0 1 3 B 1 0 2 3 2 0
es antisimétrica (comprueba).
Matrices
45
Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizar utilizando la relación que tienen con sus traspuestas.
Sólo para matrices cuadradas
A simétrica si y sólo si
A antisimétrica si y sólo si
, es decir:
, es decir:
¿Cómo son los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica?
Matrices
46
A continuación estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad al comportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes , por ejemplo, desempeñan un papel importante en algunas áreas de la Estadística y la Econometría.
Sólo para matrices cuadradas
A periódica si
. Si p es el menor número natural que satisface , entonces decimos que A es una matriz periódica de período p .
A idempotente si
.
A nilpotente si
. Si p es el menor número natural que satisface , decimos que A es una matriz nilpotente de índice p .
A involutiva si
.
Matrices
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4.- Operaciones con matrices
4. 4. Trasposición de matrices
EJERCICIOS 1. Dadas las matrices
1 2 1 3 3 1 A 1 4 3 B 2 0 1 1 3 4 6 1 0
calcula 3 At − Bt . 2. Obtener las matrices X e Y que verifiquen los sistemas:
1 5 4 2
2 X 3Y a)
1 0 3 6
X Y
2 1 3 0
X Y b)
6 2 0 1
X Y
3 1 0 2
2 X Y c)
1 0 2 4
X 2Y
Matrices
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Matrices
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Matrices
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5.- La matriz inversa En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B , es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A , que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas. Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad I n. Recordemos que ocurría con los números reales: El inverso del número 2 para el producto es un número real x tal que 2· x = 1, el producto de 2 por x es igual al elemento neutro, el 1.
Esto nos permite resolver ecuaciones del tipo:
a·x = b 2·x = 6
En el caso de los números 1 reales es bien fácil despejar x : x =
1 ·2·x = 1 ·6 2 2
2
El inverso de un número real es otro número que
1
Matrices
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5.- La matriz inversa Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que
A X I n
es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad I n.
Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales: 1) No podemos “despejar” la matriz X del modo X = I n /A , porque no hemos definido la división de matrices. 2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).
Matrices
Pág. 52
5.- La matriz inversa Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si
A·B = B·A = I , siendo I la matriz unidad o identidad. La matriz inversa de A se representa por A –1. Si una matriz cuadrada de orden n , A , tiene inversa se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no s ing ular o que es regular ). Por tanto, si una matriz cuadrada de orden n , A , tiene inversa, A −1 , se cumple que:
A A1 I n
y
A1 A I n
Si A no tiene inversa, se dice que es s ing ular o no invertible.
Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una). Para calcular dicha matriz inversa, podemos utilizar varios métodos. A continuación
Matrices
Pág. 53
5.- La matriz inversa
5. 1. Método directo
Consiste en determinar A −1 planteando un sistema de ecuaciones, es decir, si por ejemplo queremos determinar la inversa de la matriz
1 2 1 1
A
lo que buscamos es otra matriz de igual tamaño (orden 2) A
1
x y z t
que debe cumplir A · A−1 = I 2 y A−1 · A = I 2,
1 2 x y 1 0 x 2 z y 2t 1 0 A A I 2 z t 0 1 x z y t 0 1 1 1 1
x + 2 z = 1 y + 2t = 0 – x + z = 0
Es decir, hemos de resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, aunque en realidad son 2 sistemas de dos incógnitas cada uno (uno con ).
Matrices
Pág. 54
5.- La matriz inversa x + 2 z = 1 y + 2t = 0 – x + z = 0 – y + t = 0
5. 1. Método directo
Resolviendo el sistema se obtiene que
x =
1 3
y =
1
por lo que la matriz inversa es: A−1 = 1
– 2
3 3
z =
3
– 2 1
3 3
1 3
t =
1 3
1 1 2 3 1 1
Se puede comprobar que también se cumple que A−1 · A = I 2, luego A es invertible, tiene inversa.
Matrices
Pág. 55
5.- La matriz inversa
5. 1. Método directo
No todas las matrices tienen inversa. Si el sistema no tiene solución, la matriz no tiene inversa.
1 1 2 2
Por ejemplo, si A 1
A A I 2
y t 1 0 1 1 x y 1 0 x z 2 2 z t 0 1 2 x 2 z 2 y 2t 0 1
x + z = 1 y + t = 0 2 x + 2 z = 0 2 y + 2t = 0
Y por ejemplo de 2 x + 2 z = 0 se obtiene x = – z , si z + z = 1, se sustituye en la primera ecuación es – es decir 0 = 1 (imposible). El sistema no tiene solución.
Por tanto A no es invertible, es singular . Este método directo sólo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamaño
Matrices
Pág. 56
5.- La matriz inversa
5. 2. Método de Gauss-Jordan
Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la matriz A −1. Sea A = (aij) la matriz dada e I3 la matriz unidad. Se parte del siguiente esquema:
a11 a12 a13 1 0 0 a a a 0 1 0 21 22 23 a31 a32 a33 0 0 1
( A | I 3)
Aplicar transformaciones elementales hasta llegar a la forma:
1 0 0 b11 b12 b13 0 1 0 b b b 21 22 23 0 0 1 b b b 31 32 33
( I 3 | A – 1)
Matrices
Pág. 57
5.- La matriz inversa
5. 2. Método de Gauss-Jordan
EJEMPLO
1 2 1 1
Calcula por el método de Gauss-Jordan la inversa de la matriz A
i) Consideramos la matriz formada por A y la matriz identidad correspondiente:
1 2 1 0 ( A | I 2) = – 1 1 0 1 ii) Se hace la matriz A triangular superior (es decir, hacemos ceros por debajo de la diagonal principal) usando transformaciones elementales en filas. En nuestro caso, basta sumar la fila 2 con la fila 1, y se obtiene:
1 2 1 0 ( A | I 2) = – 1 1 0 1
F2 F2 + F1
1 0
2 3
1 1
0 1
Matrices
Pág. 58
5.- La matriz inversa
5. 2. Método de Gauss-Jordan
iii) Una vez hecha la matriz triangular superior, se hace la matriz triangular inferior, haciendo ceros a los elementos por encima de la diagonal. El proceso es parecido al anterior:
1 0
2 3
1 1
0 1
F1 3F1 – 2F2
3 0
0 3
1 1
– 2 1
iv) Ya tenemos una matriz diagonal. Lo único que falta es dividir a cada fila entre el número adecuado para obtener unos en la diagonal principal, es decir, para obtener la matriz identidad en la parte izquierda:
3 0
0 3
1 1
– 2
(F1)/3 , (F2)/3
1
1
0
1 /3
– 2/3
0
1
1 /3
1/3
v) Una vez se tiene la matriz identidad en la parte de la izquierda, la parte derecha es la matriz inversa, es decir, llegamos a:
( I 2 | A – 1) =
1
0
1/3
– 2/3
0
1
1/
1/
A – 1 =
1/3
– 2/3
1/
1/
1 1 2 1 1 3
Matrices
Pág. 59
5.- La matriz inversa
5. 2. Método de Gauss-Jordan
Condición para que una matriz tenga inversa (según el método de Gauss) Si al realizar el método de Gauss-Jordan en algún momento alguna fila es de ceros, la matriz no tiene inversa. EJEMPLO
1 1 2 2
Si calculamos por este método la inversa de A
( A | I 2) =
1 2
1 2
1 0
0 1
F2 F2 – 2F1
1 0
resulta:
1 0
Como aparece una fila de ceros, la matriz A no tiene inversa.
1 – 2
0 1
Matrices
Pág. 60
5.- La matriz inversa
5. 2. Método de Gauss-Jordan
EJEMPLO
1 1 0 B 1 1 2 1 0 1
Calcula, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz
Siguiendo los pasos anteriores:
1 1 ( B | I 3) = – 1 1 1 0 F3 2F3 + F2
1 0
1 4
0 0
0 2 1
1 0 0
0 1 0
1 0 0
1 2 0
0 2 4
1 3
0 1
0 – 2
0 0 1 1 1 – 1
F2 F2 + F1
1 0 0
F3 F3 – F1
0 1 1
0 0 2
F1 4F1 – F2
1 2 – 1
0 2 1
1 1 – 1
1 3
– 1
0 1 0
F2 2F2 – F3
4 0
0 4
0 0
2 1 – 2
0 0 1
Matrices
Pág. 61
5.- La matriz inversa 4
0 0 4
1 3 – 1
– 1
2 1 – 2 1 2
5. 2. Método de Gauss-Jordan
F1
F2
F3
4
4
4
0 0
0 4 0
1
0
0
1/4
– 1/4
2/4
0 0
1 0
0 3/4 1 – 1/4
1/4
– 2/4
1/4
2/4
= ( I 3 | B – 1) B – 1 =
También se puede expresar, sacando factor común:
1/4
– 1/4
1/2
3 /4
1/4
– 1/2
1/4
1/2
– 1/4
1 1 B – 1 = 4 · 3
– 1
2 1 – 2
Matrices
Pág. 62
5.- La matriz inversa EJERCICIOS 1. Calcular por el método de Gauss-Jordan la inversa de las matrices:
2 1 3 1
A
2. Dada la matriz diagonal
1 2 3 B 3 2 4 2 1 0
2 1 4 C 0 1 2 1 0 1
3 0 0 D 0 2 0 0 0 5
calcula su inversa. ¿Cómo calcularías de forma rápida la inversa de una matriz diagonal cualquiera?
Matrices Matrices ortogonales
Amxn
a11 a m1
a12
am 2
a1n amn
Matrices ortogonales
Anxn; inversa A-1: A A-1 = A-1 A = I.
A’ transpuesta de A.
Qnxn es ortogonal si Q’Q = QQ’ = I.
(las columnas de una matriz ortogonal son vectores ortonormales)
Matrices
Pág. 64
6.- Rango de una matriz A continuación veremos cómo asignar a una matriz un parámetro llamado rango. El concepto de rango se encuentra ligado al de “independencia lineal” de filas o columnas de una matriz, pero no se introducirá de esta manera porque se requieren conceptos que no conocemos. Baste saber que se define el rango de una matriz como el número máximo de filas o columnas linealmente independientes. Sin embargo, el cálculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspectiva, utilizando el método de Gauss. Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A a la que aplicamos el método de Gauss con el fin de simplificarla lo más posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor número de ceros posible, que esté en forma escalonada), realizando operaciones elementales en filas. Llamaremos rango de la matriz A y lo representaremos por Rang( A) al número
Matrices
Pág. 65
6.- Rango de una matriz Rango de una matriz escalonada El rango de una matriz escalonada A es el número de filas no nulas de A. Lo denotamos por rang( A ) EJEMPLOS
3 1 1 A 0 2 6
1 5 0 B 0 3 2 0 0 2
rang( A) = 2
rang( B) = 3
4 0 C 0 0
6 0 0 0
1 5 0 D 0 3 2 0 0 0
rang(C ) = 1
rang( D) = 2
Matrices
Pág. 66
6.- Rango de una matriz Rango de una matriz cualquiera Nos preguntamos ahora cómo podemos definir el rango de una matriz cualquiera. Vimos que mediante transformaciones elementales podemos transformar cualquier matriz en otra equivalente que sea escalonada. El rango de una matriz A es el rango de una matriz escalonada equivalente a A.
Así que para obtener el rango de una matriz la transformamos en una matriz escalonada mediante transformaciones elementales (Las transformaciones elementales no modifican el rango). El rango de la matriz será el número de filas no nulas de la matriz escalonada.
Matrices
Pág. 67
6.- Rango de una matriz Calcular el rango de las siguientes matrices:
EJEMPLOS
F2 F2 – 2·F1
a)
1 1 A 2 2
b)
0 3 B 1 1
c)
1 1 0 C 2 1 1 1 1 2
F2 F1
1 1 0 0
1 1 0 3
F2 F2 – 2·F1 F3 F3 + F1
Rg( A)=1 ,sólo una fila distinta de cero.
Rg( B)=2 hay 2 filas no nulas.
0 1 1 0 1 1 0 2 2
F3 F3 + 2·F2
1 1 0 0 1 1 0 0 0
Rg(C )=2 hay 2 filas no nulas.
2 1
d) D
4 2
6 3
F2 2F2 + F1
2 4 6 0 0 0 Rg( D)=1, sólo una fila
Matrices
Pág. 68
6.- Rango de una matriz Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que el número de filas de la matriz. De hecho se verifica que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que su número de filas y de columnas, pues el proceso para hacer el método de Gauss se puede hacer indistintamente mediante operaciones elementales en filas o en columnas. Esto permite, antes de calcular el rango de una matriz, saber entre qué valores va a estar ese rango. Por ejemplo, en el caso c) del ejemplo, como la matriz es 3x3 , el rango sólo puede ser 0, 1, 2 o 3, no hay otras posibilidades. En el caso del apartado d), como la matriz es 2 x 3, el rango sólo puede ser 0,1 o 2. (De hecho, podemos reducir esto algo más , pues una matriz sólo tiene rango cero si es la matriz nula).Resumiendo: Propiedad: Si A es una matriz de tamaño m x n no nula se cumple que:
Matrices
Pág. 69
6.- Rango de una matriz EJEMPLO
1 1 2 3 3 k
Calcular en función de k el rango de la matriz: A
Aplicando Gauss,
1 1 2 A 3 3 k
F2 F2 – 3·F1
2 1 1 0 0 k 6
Ahora es evidente que si k – 6 = 0, la última fila es nula. Por tanto, si k = 6, la última fila es nula y el rango de A es 1, Rg( A)=1, mientras que si k - 6 es distinto de cero, es decir si k es distinto de 6, hay 2 filas no nulas y el rango de A es 2, Rg( A)=2. Resumiendo: Si k 6, entonces Rg( A) = 2 Si k = 6, entonces Rg( A) = 1 La siguiente propiedad permite relacionar el concepto de rango con el de matriz inversa visto anteriormente: Propiedad:
Matrices
Pág. 70
6.- Rango de una matriz EJERCICIOS
1 2 1 1 3 1. Calcula el rango de A según los valores de k : A 1 5 1 k ¿Para qué valores de k tiene A inversa?
2. Calcula el rango de las matrices:
0 2 1 B 1 0 1 0 4 2
1 0 1 2 1 0
A
2 1 0 0 C 2 1 0 0
1 1 1 0
1 0 1 1
2 1 5 1 8 D 1 2 3 4 5 1 3 10 11 13
Matrices
Pág. 71
7.- Aplicaciones de las matrices Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o v ariables. EJEMPLO Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente: 2 unid.
5 unid.
10 unid.
Color N
0,04
0,08
0,12
Color F
0,03
0,05
0,08
Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes: Color N
Color F
2 unid.
700000
50000
5 unid.
600000
40000
10 unid.
500000
500000
Resumir la información anterior en 2 matrices A B, de tamaño respectivo 2x3
Matrices
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7.- Aplicaciones de las matrices Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices: 2 unid
5 unid
10 unid
700000 600000 F 50000 40000 500000
A
500000 N
N
F
0,04 0,03 B 0,08 0,05 0,12 0,08
2 unid 5 unid 10 unid
Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.
Otras matrices son las llamadas matrices de relaci ón, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación se expresa con un 0.
Matrices
Pág. 73
7.- Aplicaciones de las matrices En Matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por líneas. Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:
* Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, líneas que unan un punto consigo mismo, ni líneas paralelas, es decir, líneas que conectan el mismo par de puntos. * Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada línea, mediante una flecha. Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:
Matrices
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7.- Aplicaciones de las matrices Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que: * un 1 en el lugar ( i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la columna j mediante una línea que los una directamente. * un 0 en el lugar ( i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una línea que los una directamente. La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior será: A A B C D
0 0 1 0
B
C
D
1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
Matrices
Pág. 75
7.- Aplicaciones de las matrices EJERCICIOS 1. Escribe las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos:
2. Dibuja los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia: A A B C
B
C
0 1 0 1 0 1 0 0 0
A A B C
B
C
D
0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0
Matrices
76
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2
am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
Matriz aumentada asociada, para resolver el sistema de ecuaciones lineales.
a11 a21
a12
a22
a2 n
a1n
b1
b2
Matrices 2 x1 + 6 x2 + x3 = 7 x1 + 2 x2 – x3 = – 1 5 x1 + 7 x2 – 4 x3 = 9 2 R1 R2 5 R1 R3
3 R2 R3
77
1 7 2 6 1 2 1 1 5 7 4 9
1 2 1 1 2 3 9 0 0 3 1 14
1 2 1 1 3 9 2 2 0 1 0 0 11 55 2 2
1
2 R2
2 R 11 3
1 2 1 1 1 7 2 6 5 7 4 9
1 2 1 1 3 9 1 2 2 0 0 3 1 14
1 2 1 1 3 9 2 2 0 1 0 0 1 5 x1
x3 = 5, x2 = – 3, x1 = 10
R12
2 x2 x3 1 x
3
x
9
Matrices
78
Resolver mediante el método de Gauss-Jordan x 1 + 3 x 2 – 2 x 3 = – 7 4 x 1 + x 2 + 3 x 3 = 5 2 x 1 – 5 x 2 + 7 x 3 = 19
3 2 1 1 3 4 2 5 7 111 R2 1 3 2 111 R3 0 1 1 0 1 1
Entonces:
7 5 19 7 3 3
4 R1 R2 2 R1 R3
3 2 7 1 0 11 11 33 0 11 11 33
3 R2 R1 R2 R3
1 2 1 0 0 1 1 3 0 0 0 0
x2 – x3 = – 3 x + x = 2
Matrices
79
Resolver: x 1 + x 2 = 1 4 x 1 − x 2 = −6 2 x 1 – 3 x 2 = 8
1 1 1 1 0 1 4 1 6 0 1 2 2 3 0 0 16 8
0 + 0 = 16 !! No tiene soluciones.
Matrices a11 a21 A am1
80
a12
a22
am 2
a1n
Vectores fila:
a2 n amn
u1 = (a11 a12 … a1n), u2 = (a21 a22, … a2n),…, um = (am1 am2 … amn)
Vectores columna:
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n v1 , v 2 , , v n am1 am 2 amn 1 1 A 2 2
1 3 32 R R R R 6 8 1
1
2
3
1 1 0 4
1 8
El rango de una matriz A m n, es el máximo número de vectores fila linealmente independientes. 3 1 1 0 1 2 2
3 121 R R2 R3 1
2
4 2
1
Matrices
81
AX = 0
Siempre hay soluciones (consistente)
Solución única X = 0
Infinitas soluciones
(solución trivial)
Rang(A) < n
rang(A) = n
n – r parámetros
Matrices
82
AX = B, B≠0
Consistente
Inconsistente
rang(A) = rang(A│B)
rang(A) < rang(A│B)
Solución única
Infinitas soluciones
rang(A) = n
rang(A) < n n – r parámetros
Matrices
83
Determinantes a11
a12
a21
a22
a11
a12
a13
det A a21
a22
a23
a31
a32
a33
det A
a11a22 a12a21
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 . det A a11
a22
a23
a
a
a21 a22 a21 a23 a13 a12 a a a a
Matrices
84
a1 1
a1 2
a1 3
det A a 2 1
a2 2
a2 3
a3 1
a3 2
a3 3
C 11
a22
a23
a32
a33
C 12
El cofactor de aij es C ij = ( – 1)i+ j M ij donde M ij se llama menor . a21
a23
a31
a33
C 13
a21
a22
a31
a32
det A = a11C 11 + a12C 12 + a13C 13
... O por la tercera fila: det A =
a 31C 31
+
a 32C 32
+
a 33C 33
Matrices
85
2 4 7 A 6 0 3 1 5 3 2 11
C 11 ( 1)
1 2
C 12 (1)
13
C ( 1)
6
2
4
7
det A 6
0
3 2C 11 4C 12 7C 13
1 5 4 0
7 11
3 (1)
1 5
3
2
7
6
4 0
1 2
3 (1)
1 5
3
2
7
6
4 0
13
3 ( 1)
3
0 3 5 3 6 3 1 3 6
0
Matrices
86
2
4
7
det A 6
0
3 2C 11 4C 12 7C 13
1 5
3 11
det A 2( 1)
0 3 5 3
1 2
4(1)
6 3 1 3
13
7(1)
6
0
1 5
2[0(3) 3(5)] 4[6(3) 3(1)] 7[6(5) 0(1)] 120 Más corto desarrollando por la segunda fila...
det A 6C 21 0C 22 3C 23 1 2
6(1)
4
7
5
3
3(1)
2 3
2
4
1 5
Matrices
87
6 5 0 A 1 8 7 2 4 0 6
5
det A 1 8
0
7 0C 13 (7)C 23 0C 33
2 4
0 6
(7)(1)
2 3
5
0
1 8 7 ( 7)(1)
2 4 0
2 3
6
5
2 4
Matrices
det
88
T A =
det A
5
det A 7
3 4
41
det A
5
3
7
4
T
41
Si dos filas (columnas) de una matriz A de n × n son idénticas, entonces det A = 0.
6 2 2 A 4 2 2 9 2 2
6
2
2
det A 4
2
2 0
9
2
2
Matrices
89
Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A de n × n son cero, entonces det A = 0. Si B es la matriz obtenida por intercambio de dos filas (columnas) de una matriz A n × n, entonces:
det B = −det A 2 det B 6 4
1 3 0
4
7 6
1 9
2
1 9 0
7 det A
1 3
Matrices
90
Si B se obtiene de una matriz A n × n multiplicando una fila (columna) por un número real k , entonces:
det B = k det A det B kai1C i1 kai 2C i 2 kainC in
k (ai1C i1 ai 2C i 2 ainC in )
expansiónde det A por cofactores a lo largo de la i -ésima fila
5
8
20 16
5
1 1
1
8
4 16
5.8
1
1
4
2
k det A
Matrices
91
Si A y B son matrices n × n, entonces det AB = det A det B.
2 6 3 4 A , B 5 1 1 3 12 22 AB 6 9 det AB = −24, det A = −8, det B = 3, det AB = det A det B.
Matrices
92
Si B se obtiene como combinaciones lineales de filas o columnas de una matriz A n × n, entonces:
det B = det A
1 2 5 1 2 5 3 R R 1 3 A 3 0 7 3 0 7 B 4 1 4 11 4 2
det A = 45 = det B = 45.
Matrices a11
93
0
A a21 a22 a 31 a32
0
0 a33
det A a11
0
0
0
6 0 0 9 4 0 2 4 2
a32
a33
det A
3 0
0
0
2
6
0
0
5 9
4
0
4
2
7
2
3 . 6 . (4) . (2) 144
matriz diagonal
3 0 0 A 0 6 0
0
a11(a22a33 0 . a32 ) a11a22a33
matriz triangular inferior
3 2 A 5 7
a22
3 0 0 det A
0
6
0 (3) 6 4 72
Matrices Supongamos que A es una matriz n n.
94
Si ai 1, ai 2, …, ain son los elementos de la i-ésima fila y C k 1, C k 2, …, C kn son los cofactores de la k-ésima fila, entonces:
ai 1 C k 1 + ai 2 C k 2 + …+ ain C kn = 0, para i k Igualmente, si a1 j , a2 j , …, anj son los elementos de la j-ésima columna y C 1k , C 2k , …, C nk son los cofactores de la k-ésima columna, entonces:
Matrices
Demostración Sea B la matriz que obtenemos de A al cambiarle los elementos de la i-ésima fila por los de su k-ésima fila: bi 1 = ak1, bi 2 = ak2 , …, bin = akn B tendrá entonces dos filas idénticas de modo que det B = 0, y:
0 det B ak 1C k 1 ak 2C k 2 aknC kn
95
Matrices
96
2 7 6 A 4 3 2 2 4 8 a11C 31
a12C 32 a13C 33
6 7 6 2 7 6 2 3 2 4 3 4 2 6(25) 2(40) 7(10) 0 2
7
Matrices
97
Inversa de un matriz
Sea A una matriz n n. Si existe una matriz n n B tal que AB = BA = I donde I es la matriz identidad n n, entonces se dice que A es una matriz no singular o invertible. Y B es la matriz inversa de A. Si A carece de inversa, se dice que es una matriz singular . Sean A, B matrices no singulares. (i) (A-1)-1 = A (ii) (AB)-1 = B-1A-1
Matrices
98
Matriz adjunta Sea A una matriz n × n. La matriz formada por la transpuesta de la matriz de cofactores correspondientes a los elementos de A: T
C 11 C 12 C 1n C 11 C 21 C n1 C 21 C 22 C 2 n C 12 C 22 C n 2 C n1 C n 2 C nn C 1n C 2 n C nn se llama adjunta de A y se denota por adj A
Matrices
99
Encontrar la matriz inversa: Sea A una matriz n × n. Si det A 0, entonces:
1 A adj A det A 1
Para n =3:
a11 a12 a13 C 11 C 21 C 31 A(adj A) a21 a22 a23 C 12 C 22 C 32 a C C C a a 31 32 33 13 23 33 0 0 det A 0 det A 0
Matrices
100
1 4 A 2 10 A
1
1 10 2 2
4 5 2 1 1 1 2
1 4 5 2 5 4 2 2 1 0 AA 2 10 1 12 10 10 4 5 0 1 1
5 2 1 4 5 4 20 20 1 0 A A 1 12 2 10 1 1 4 5 0 1 1
Matrices
101
2 2 0 A 2 1 1 3 0 1 C 11
1 1 0 1
C 21 C 31
1 C 12
2
0
0
1
2
0
1
1
2 2
2 1 3 1
C 22 C 32
2
5 0
3 1 2
0
2 1
C 13
2 1 3 0
2 C 23 2 C 33
2 1 2 1 1 2 2 A 5 12
1 12 5 12
3
2
2
3
0
2
2
2 1
16 1
6
6 6
16 1
6
Matrices
2 0 1 A 2 3 4 5 5 6
102
a11 a12 a1n 1 0 a21 a22 a2 n 0 1 ( A | I) an1 an 2 ann 0 0
2 0 1 1 0 0 2 3 4 0 1 0 5 5 6 0 0 1
1
2 R1
2 R1 R2 5 R1 R3
1 0 2 3 5 5 1 0 0 3 0 5
1
1
2
6 2
5 17
2
0 1
0
0 1 0 0 0 1
4
1
0
2
0
1
2
1 5
2
0
0
1 0 0 1
Matrices 1 R 3 2 1 R 5 3
1 0 0 R2 R3 1 0 0 1 30 R3 0 0 1 2 R3 R1 5 3 R3 R2 1 0
103
0
1
2
1
2
0
0
1 5 3 13 13 0 1 1710 12 0 15 0 12 12 0 0 5 1 1 1 0 3 3 3 0 130 16 13 15 0 12 12 0 0 5 1 1 1 3 0 3 3 0 1 5 10 6 0 0 2 5 3 1 0 8 17 10
2 1 A 8
3 17 10 5
Matrices 1 1 2 A 2 4 5 6 0 3
104
1 1 2 1 5 0 2 4 6 0 3 0 1 1 2 R1 R2 0 6 6 0 1 1 6 R1 R3 0 6 0 6 1 1 R2 R3 0 6
0
0
1 0 0 1 2 1 9 2 3 0 2 1 9 2 9 6
0 1 0 0 1 0
2
1
0
9
2
1
0
0 1 0 0 1 0 0
Matrices
105
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2
AX
=B
am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
a11 a21 A am1
a12
a22
am 2
x1 a2 n x2 , X , amn xn a1n
b1 b2 B bm
Si m = n, y A es no singular, singular, entonces: entonces:
Matrices 2 x1 9 x2 15 3 x1 6 x2 16
2
9
3
6
106
2 9 x1 15 6 x2 16 3 1
39 0
1 6 9 2 9 6 39 3 2 3
6 x1 1 6 9 15 1 234 1 x2 39 3 2 16 39 13 3 x1 6 , x2 1/ 3
Matrices
107
2 x1 x3 2
2 0 1 A 2 3 4 5 5 6
5 x1 5 x2 6 x3 1
2 x1 3 x2 4 x3 4
x1 2 x2 2 x 5 3 2 8 5
0
1
1 2
3 4 5 6
4 1 3 2 19 5 17 10 4 62 10 6 1 36
Matrices
108
C 11 C 21 C n1 b1 1 C 12 C 22 C n 2 b2 -1 XA B det A C 1n C 2 n C nn bn b1C 11 b2C 21 bncn1 1 b1C 12 b2C 22 bncn 2 det A b1C 1n b2C 2 n bncnn Regla de Cramer
xk
b1C 1k
b2C 2 k bnC nk det A
det A
Matrices
109
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0
am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene solo la solución trivial (ceros) si y solo si A es no singular . Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene una solución no trivial si y solo si A singular