ALGEBRA LINEAL
GRUPO 74 LUIS ERNESTO VÁSQUEZ CC: 1.110'550.722
TUTORA: VIVIAN YANETH ALVAREZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍAS E INGENIERÍA ECBTI 30/09/2014
INTRODUCCION
Con el siguiente trabajo pretendemos lograr el apoderamiento y adueñamiento de los conceptos obtenidos del material disponible de este curso y que mediante la solución práctica de los ejercicios y problemas planteados dentro del mismo sobre matrices, vectores y determinantes. Queremos lograr el desarrollo de habilidades como de competencias en los contenidos, métodos y conceptos estudiados en las unidades.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
1. Resolver el siguiente problema, graficando la situación presentada. Un helicóptero vuela 220 km rumbo al oeste desde la zona A hasta la zona B y después 150 km en la dirección de 60 grados al noroeste de la zona B hasta la zona C. a) En línea recta, que tan lejos está la zona C de la zona A. b) Respecto de la zona A ¿en qué dirección está la zona C?
Solución: Hallamos la distancia de BX resolviendo:
cos 60
BX
150
BX 150 cos 60
BX 150(0,5) BX
75 Km
Hallamos la distancia de R en X:
RX BX 220 Km RX 75 Km 220 Km RX 295 Km Hallamos la distancia de C en Y:
Sen60
CY 150
CY 150 Sen60 CY 150(0,87) CY 130 Km
Con el teorema de Pitágoras hallamos la distancia entre A y C
R 2 CY RX 2
2
R 2 130 Km 295 Km 2
2
R 2 16900 Km 2 87025 Km 2
R 2 103925 Km 2 R 103925 Km 2 R 322,37 Km Hallamos la distancia de C según A, resolviendo:
Tg Tg
CY RX 130 Km
295 Km Tg 0,46 arctg (0,46) 24,70 0 La zona C se encuentra a 322,37 km de distancia de la zona A en una dirección de 24,70° al noroeste. 2. En 4 semanas, las dos compañías, Álvarez y McGinnis, necesitan las siguientes cantidades de materia prima de levadura, malta y agua (unidades de cantidad: ME): 1ª semana: Alvarez: 8 ME levadura, 4 ME malta, 12 ME agua. McGinnis: 6 ME levadura, 3 ME malta, 12 ME agua.
2ª semana: Alvarez: 10 ME levadura, 6 ME malta, 5 ME agua McGinnis: 9 ME levadura, 5 ME malta, 4 ME agua 3ª semana: Alvarez: 7 ME levadura, 8 ME malta, 5 ME agua McGinnis: 7 ME levadura, 0 ME malta, 5 ME agua. Actividades Representa los datos para saber el consumo de las dos compañías. Compara los consumos respondiendo la siguiente pregunta: ¿Qué cantidad de materia prima se necesita para ambas compañías en cada semana? ¿Cuál es la diferencia de consumo de ambas compañías en cada semana? ¿Cuánto es el consumo de materia prima por semana para 7 compañías como Álvarez, suponiendo que necesitan la misma cantidad de materia prima que la compañía Álvarez? Consideremos que la Compañía Álvarez recibe materia prima de dos proveedores (ALFA Ltda. y Malt S.A.) Cuál de los dos proveedore s es mejor?
Levadura Malta Agua
ALFA Ltda. 50 136 80
Malt S.A. 55 127 79
Halla a la inversa de la matriz de consumo de la compañía McGinnis por Gauss Jordán y luego por Determinantes y compara los resultados adquiridos.
Solución: Teniendo en cuenta que: X = Semana 1
A = Levadura
Y = Semana 2
B = Malta
Z = Semana 3
C = Agua
La representación gráfica para cada compañía quedaría organizada mediante tablas como se representa a continuación.
-Alvarez
A
X 8
Y 10
Z 7
B
4
6
8
C
12
5
5
A
X 6
Y 9
Z 7
B C
3 12
5 4
0 5
-McGinnis
Para determinar la cantidad de materia prima se necesita que par a ambas compañía en cada semana se realice una suma de matrices donde la empresa Alvarez es la matriz A y la empresa McGinnis es la matriz B
A B
8 10 4 6 12 5 86 43 12 12
7
6 9 7 8 3 5 0 5 12 4 5 10 9 7 7 65 80 5 4 5 5
14 19 14 7 11 8 24 9 10
Se determina la diferencia de consumo de ambas compañías por semana mediante la resta entre la matriz A y la matriz B
A B
8 10 4 6 12 5 86 43 12 12
7
6 9 7 8 3 5 0 5 12 4 5 10 9 7 7 65 80 5 4 5 5
2 1 0 1 1 8 0 1 0 Para determinar el consumo de 7 compañías como a Alvarez por semana multiplicamos la primera columna de la matriz A por el numero 7.
8 7 4 12 72 28 84
Matriz inversa de la compañía Alvarez por Gauss Jordan.
8 10 7 8 10 7 1 0 0 A 4 6 8 4 6 8 0 1 0 12 5 5 12 5 5 0 0 1 Dividimos la fila 1 sobre 8.
1 10 8 7 8 1 8 0 0 4 6 8 0 1 0 12 5 5 0 0 1 Restamos la fila 2 de la fila 1 multiplicando por 4 y el resto de la fila 3 y de la fila 1 multiplicada por 12.
1 10 8 7 8 1 8 0 0 0 1 36 8 1 2 1 0 0 10 44 8 12 8 0 1 . Sumamos la fila 3 de la 2 y multiplicada por 10
1 10 8 7 8 1 8 0 0 0 1 36 8 1 2 1 0 0 0 316 8 22 8 10 1
Dividimos la fila 3 por 316/8.
18 0 0 1 10 8 7 8 0 1 36 8 1 2 1 0 0 0 1 22 316 80 316 316 8 Restamos la fila 2 de la 3 pero multiplicada por 36/8.
1 10 8 7 8 1 8 0 0 0 1 0 59 316 11 79 711 4 0 0 1 22 316 80 316 316 8 Restamos la fila 1 de la fila 3 multiplicada por 7/8.
1 10 8 0 81 1264 35 158 553 2 0 1 0 59 316 11 79 711 4 0 0 1 22 316 80 316 316 8 Resto la fila 1 de la fila 2 multiplicada por 10/8.
1 0 0 47 158 35 632 1638 8 0 1 0 59 316 11 79 711 4 0 0 1 22 316 80 316 316 8 Finalmente hallamos la determinante 8(6x5-5x8)-4(10x5-5x7)+12(10x8-6x7) = 316
PROBLEMAS DE APLICACIÓN (SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS) 1. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere20 kg del A, 30 kg del B, Y 50 kg del C. Una unidad III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B Y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible? Resolver el problema a través de Gauss Jordan para hallar el valor de las variables establecidas
Solución: Determinamos de la siguiente manera: X = Fertilizante tipo I Y = Fertilizante tipo II Z = Fertilizante tipo III Como cada tipo de fertilizante tiene una cantidad de compuestos A, B y C entonces tenemos:
X Y Z
A 10 20 50
Componentes:
Del A se tienen 1600 Del B se tienen 1200 Del C se tienen 3200
Sistema de ecuaciones.
10 x 20 y 50 z 1600 30 x 30 y 0 z 1200 60 x 50 y 50 z 3200
B 30 30 0
C 60 50 50
Reescribimos en forma de matriz y resolvemos por el método de gauss.
10 20 50 1600 30 30 0 1200 60 50 50 3200 Dividimos la primera fila por 10.
1 2 5 160 30 30 0 1200 60 50 50 3200 De la fila 2 restamos la fila 2 multiplicando por 30 y de la fila 3 restamos la fila 1 multiplicada por 60. 5 160 1 2 0 30 150 3600 0 70 250 6400 Dividimos la fila 2 por -30. 5 160 1 2 0 1 5 120 0 70 250 6400 De la fila 1 restamos la fila 2 multiplicandola por 2 y la fila 3 le restamos la fila 3 multiplicada por -70.
1 2 5 80 120 0 1 5 0 0 100 2000 Dividimos la fila por 100.
1 2 5 80 0 1 5 120 0 0 1 20 De la fila 1 restamos la fila 3 multiplicada por -5 y de la fila 2 restamos la fila 3 multiplicada por 5.
1 0 0 20 0 1 0 20 0 0 1 20 Lo que nos dé por el resultado que dé cada tipo de fertilizante se deben fabricar 20 unidades para consumir la totalidad de los compuestos. 2. De la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -1,1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(-2,0,1), B(1,2,3). Solución: Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A(-2,0,1) y B(1,2,3). Las ecuaciones simétricas para una recta cualquiera son:
x x1 a
y y1 b
z z 1 c
Ahora debemos encontrar las constantes a, b, c y para encontrarlas debemos definir un vector dado por los puntos dados
V PQ Y este vector AB está dado por la diferencia de B menos A en X, Y y Z.
V AB 1 (2) i 2 0 j 3 1 k
V AB 1 2 i 2 0 j 3 1 k
V AB 3 i 2 j 2 k
Podemos definir que:
a3 b2 c2 Con los anteriores valores la ecuación simétrica de la recta que contiene los puntos A(-2, 0, 1) y B(1,2,3)
x 1 3
y 2 2
z 3 2
Tendiendo la ecuación de la recta paralela podemos hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, -1, 1) Con la ecuación de la recta paralela podemos determinar que :
A = 3 B=2 C=2 Y con esto hallamos el vector director que nos permitirá hallar la ecuación de la recta solicitada.
x, y, z 1,1,1 3,2,2 x 1 3 y 1 2 z 1 2 Despejamos y de esta forma hallamos la ecuación de la recta solicitada
x 1 3
y 1 2
z 1 2
3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que contiene a los puntos P=(7, -1,1) y Q= (-1, 5,3). Solución: Ecuaciones paramétricas que definen una recta cualquiera.
x x1 at y y1 bt z z 1 ct Las ecuaciones simétricas para una recta cualquiera son :
x x1 a
y y1 b
z z 1 c
Ahora debemos encontrar las constantes a, b, c y para encontrarlas debemos definir un vector dado por los puntos dados
V PQ
Y este vector PQ esta dado por la diferencia de Q menos P en X, Y y Z.
V PQ 1 7 i 5 1 j 3 1 k
V PQ 8 i 6 j 2 k Por lo tanto podemos definir que:
a 8 b6 c2 Con los anteriores valores las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos P=(7, -1,1) y Q= (-1, 5,3) :
x 1 8t y 5 6t z 3 2t Las ecuaciones simétricas son:
x 1
8
y 5 6
z 3 2
4. Encuentre la ecuación general del plano que contiene a los puntos P=(8,5,0), Q=(5, -4,-8) y R= (-3, -5,1) Solución:
Para calcular la ecuación del plano podemos utilizar la fórmula:
x x1
y y1
z z 1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z 1 0 x3 x1
y3 y1
z 1 z 1
Reemplazamos los valores de los puntos dados:
x 8
y 5
z 0
5 8
45 80 0 3 8 5 5 1 0 x 8
y 5
58
9 10
38
x 8 y 5 13 5
9 10
z 0
8 0 1
z 0
8 0 1
Resolviendo el determinante por producto cruz y aplicando la ley de los cofactores tenemos la ecuación del plano.
( x 8)(( 9) 1 8 (10)) ( y 5)(13 1 8 5) ( z 0)(13 (10) (9) 5) 0 ( x 8)(9 80) ( y 5)(13 40) ( z 0)(130 45) 0 ( x 8)(89) ( y 5)(53) ( z 0)(85) 0
89 x 712 (53 y 265) (85 z ) 0 89 x 712 53 y 265 85 z 0 89 x 53 y 85 z 447 0
5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos : 1 x 5 y 8 z 10
2 2 x 5 y 7 z 9
Solución: Teniendo los planos
1 x 5 y 8 z 10 2 2 x 5 y 7 z 9 Debemos hallar los puntos de intersección entre ellos, como sabemos, los puntos de intersección entre dos planos es una recta, entonces vamos a hallar la ecuación simétrica de esa recta que por teoría define los puntos de intersección de dos planos. La ecuación simétrica de una recta está definida como:
x a a1
y b a2
z c a3
Para determinar la ecuación simétrica que me define los puntos de intersección, vamos a encontrar X en función de Y y X en función de Z con las ecuaciones de los planos dados. Para hallar X en función de Z, multiplicamos por -1 al plano 1 y se lo sumamos al plano 2 (1) 1 2
x 5 y 8 z 2 x 5 y 7 z 10 9 x 5 y 8 z 2 x 5 y 7 z 1 3 x z 1 3 x 1 z 3 x 1 z 1 z x 3 1 z x 3
Para hallar X en función de Y, multiplicamos por -7 al plano 1 y se lo sumamos al plano 2 multiplicado por 8.
(7) 1 (8)
7 x 5 y 8 z 8 2 x 5 y 7 z 70 72 7 x 35 y 72 z 16 x 40 y 72 z 2 7 x 35 y 72 z 16 x 40 y 72 z 2 23 x 5 y 2 23 x 2 5 y 2 5 y x 23 Ahora igualamos para obtener la ecuación simétrica de la recta que forma la intersección de los dos planos dados
x
1 z 3
2 5y
23
PROBLEMAS DE APLICACIÓN (ESPACIOS VECTORIALES) 1. Dado el conjunto S = {u1, u2} donde u1 = (5,1) y u2 = (-3, -2). Demuestre que S genera a R2. Solución Según la definición cualquier conjunto contenido en un determinado especio vectorial se considera conjunto generador si todo vector se puede considerar una combinación lineal del conjunto original. Por lo tanto: S = { u1, u2} U1 = (5, 2) U2 = (-3, -2) S = {(5, 2), (-3, -2)} V = (x, y) (x, y) = k1(5, 2) + k2(-3, -2) V = k1(5, 2) + k2(-3, -2)
Se puede demostrar que S es generador de R2 ya que cualquier vector en dichos espacios se puede escribir como combinación lineal. 2. Dado el conjunto V = {v1, v2, v3} definido en R4. Donde v1 = (-1, 2, -3,5), v2 = (0, 1, 2, 1), v3 = (2, 0, 1, -2). Determinar si los vectores de V son linealmente independientes. Solución Dado un conjunto de vectores S={ V1, V2, …, Vk } en un espacio vectorial V se dice que S es linealmente independiente si la ecuación C1V1 + C2V2 + … + CkVk = 0
Por lo tanto V {V 1,V 2,V 3} Donde V 1 (1,2,3,5) V 2 (0,1,2,1) V 3 (2,0,1,2) por lo tan to V {(1,2,3,5), (0,1,2,1), (2,0,1,2)} Planteamos la ecuasión vectorial C 1V 1 C 2V 2 C 3V 3 0 Como demos det er min ar que tenga una solución trivial ; entonces comenzamos a resolver
C 1(1,2,3,5) C 2(0,1,2,1) C 3(2,0,1,2) (0,0,0,0)
C 1 0C 2 2C 3 0 2C 1 C 2 0C 3 0 3C 1 2C 2 C 3 0 5C 1 C 2 2C 3 0 Planteamos la matriz y realizamos e lim inación por el método de Gauss Jordan
1 2 3 5
0
2
0
1
0
0
2 1 0 1 2 0
A la fila 1 la dividimos por -1 1 2 3 5
0 2 0
2 1 0 1 2 0 1
0
0
Si a la fila 2 le sumo la fila 1 multiplicado por -2, a la fila 3 le sumo la fila 1 multiplicada por 3 y a la fila 4 le sumo la fila 1 multiplicada por -5 la matriz reducida quedar ía
1 0 0 0
0 2 0
2 5 0 1 8 0 1
4
0
Para poder tener una solución debemos seguir reduciendo la matriz entonces hacemos nuevamente las siguientes operaciones: a la fila 3 le sumo la fila 2 multiplicada por -2 y a la fila 4 le sumo la fila 2 multiplicado por -1
1 0 0 0
0
2
0
1
4
0
0 13 0 0 4 0
A la fila 3 la divido por -13
1 0 0 0
0 2 0 1
4
0
1
0
4
0
0 0
A la fila 4 le sumo la fila 3 multiplicada por -4
1 0 0 0
0 2 0 1
4
0
1
0
0
0
0 0
A la fila 2 le sumo la fila 3 multiplicada por -4 y a la fila 1 le sumo la fila 3 multiplicada por 2
1 0 0 0
0 0 0
0 1 0 0 0 0
1 0 0
Con lo anterior se deduce que C1 = 0 C2 = 0 C3 = 0
Por lo tanto C1V1 + C2V2 + C3V3 = 0 es una solución trivial por lo que se pudo de demostrar que los vectores V son linealmente independientes 3. Dada la matriz
1 1 5 3 2 4 2 5 1 Hallar el rango de dicha matriz.
Solución
1 1 5 3 2 4 2 5 1 A la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por 3 y a la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por 3
5 1 1 0 1 11 0 3 9 Dividimos la fila 2 por -1
1 1 5 0 1 11 0 3 9 A la fila 1 le restamos la fila 2 y a la fila 3 le restamos la fila 2 multiplicada por 3
1 0 6 0 1 11 0 0 42 Dividimos la fila 3 por -42
1 0 6 0 1 11 0 0 1 A la fila 1 le restamos la fila 3 multiplicada por -6 y a la fila 2 le restamos la fila 3 multiplicada por 11
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Al simplificar la matriz nos muestra que hay 3 fila no nulas por lo que se determina que el rango de la matriz es de 3. 4. Dados los vectores u = -6i ˆ + 9 ˆ j y v = -i ˆ + 9 ˆ j es correcto afirmar que el vector w = -11i ˆ - 9 ˆ j es una combinación lineal de u y v ? Justifique su respuesta. Solución: La forma de comprobar que W es una combinación lineal de U y de V es hallando escalares tales que
C 1U C 2V W Para esto hallamos la matriz y la reducimos por el método de gauss – jordan
6 1 9 9
11 9
Dividimos la primera fila por -6
1 1 6 9 9
11 6
9
De la fila 2 restamos la fila 1 multiplicada por 9
1 1 6 0 45 6
11 6
153 6
Dividimos la fila 2 por 45/6
1 1 6 0 1
11 6
153 45
De la fila 1restamos la fila 2 multiplicada por 1/6
1 0 0 1
108 45
153 45
Como se puede comprobar que el sistema es consistente se puede afirmar que el vector W es una combinación lineal de los vectores U y V.
CONCLUCIONES
Es importante comprender los conceptos básicos tanto teóricos como prácticos de las matrices, vectores y determinantes ya que estos son la base para la adecuada solución y análisis y solución de problemas. El conocer y saber aplicar la regla de Cramer para poder dar solución a los sistemas de ecuaciones lineales como determinantes. El uso de Algoritmos es muy importante ya que en esto se basa el método de Gauss que sirve para determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales o encontrar diferentes tipos de matrices.
BIBLIOGRAFIA (Wikipedia, s.f.) (Wikipedia, s.f.) (Julio, 2011) (Julio, Youtube, 2009) (Serway, s.f.)
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