columnas biaxiales

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO DISEÑO DE CONCRETO REFORZADO [ROMEL ALARCÓN]

1. TEMA: COLUMNAS BIAXIALES 2. OBJETIVOS:

• •

Aprender los diferentes métodos para resolver los miembros a comprension que estan sujetos a flexión biaxial. Aplicar los métodos de diseño ACI de los elementos compuestos sujetos a flexocompresión biaxial, en los que se reune temas necesarios que permitan el análisis teórico de este tipo de elementos

3. INTRODUCCIÓN: Un ejemplo de miembros a comprensión que están sujetos a flexión en dos planos o flexión biaxial son las columnas esquineras de los edificios, estas columnas estan sujetas a momentos Mxx con respecto al eje x, que produce una excentricidad ey de la carga y un momento Myy con respecto al eje y, que ocasionan una excentricidad ex de la carga, por esto, el eje neutro se inclinaun ángulo a con respecto al ala horizontal. El ángulo a depende de la interacción de los momentos flexionantes con respecto a ambos ejes y de magnitud de la carga Pu.

A continuación se ofrecen los diagramas de tensiones de las secciones compuestas de acuerdo con el codigo ACI en estudio, para obtener los valores de las resistencia a compresión, Pn y flexión Mnx , Mny y los metodos aproximados mas simples. 4. FUNDAMENTO TEÓRICO: 4.1. Resistencia de una sección transversal frente a comprensión y flexión en dos planos de acuaerdo al ACI. La distribución de tensiones de una sección compuesta de acuerdo al ACI se puede observar en las figuras siguientes: Para los dos tipos de sección compuesta, por el equilibrio de las fuerzas enternas y externas se tiene: Resistencia a compresión: Y la resistencia a flexión:

Pn = Cc + Fac − Fat

Mnx = Pn * ey = Cc * Yc + Fac * Yac + Fat * Yat

1


En las que: Cc = 0.85 f ´c * Ac Fac = ∑Aac * Fy Fat = ∑Aat * Fy

Ac Aac Aat Gc

Gac

Gat

Fuerza del concreto a compresión Resultante de las fuerzas en el acero a tensión Resultante de las fuerzas en el acero a tensión Área del hormigón en comprensión. Área de la sección de acero en compresión Área de la sección de acero en tensión Centro de gravedad del área de concreto en compresión, que tiene las coordenadas con respecto al eje neutro Xc y Yc en las direcciones X y Y , respectivamente. Posición de la resultante de las fuerzas de la sección de acero en el área a compresión, que tiene las las coordenadas Xac y Yac con respecto al eje neutro en las direcciones X y Y , respectivamente. Posición de la resultante de las fuerzas de la sección de acero en tensión, que tiene las coordenadas Xat y Yat con respecto al eje neutro en las direcciones X y Y , respectivamente.

Distribución de tensiones en una sección rectangular sometidas a esfuerzos biaxiales, de acuerdo al ACI

Distribución de tensiones en una sección circular sometidas a esfuerzos biaxiales, de acuerdo al ACI

Los métodos analizados en las secciones anteriores permiten diseñar columnas rectangulares o cuadradas cuando la flexión está presente únicamente con respecto a uno de los ejes principales.

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Existen situaciones, de ninguna manera excepcionales, en las cuales la compresión axial está acompañada por flexión simultánea con respecto a los dos ejes principales de la sección. Éste es el caso, por ejemplo, de las columnas esquineras de edificios donde las vigas principales y las secundarias llegan hasta estas columnas en las direcciones de los dos muros y transfieren sus momentos extremos a la columna en dos planos perpendiculares. Situaciones similares de carga pueden ocurrir en columnas interiores, en particular si la planta de columnas es irregular. La situación con respecto a la resistencia de columnas cargadas biaxialmente se ilustra en la figura. Sean X y Y las direcciones de los ejes principales de la sección transversal. En la figura (a), la sección se somete a flexión sólo con respecto al eje Y, con una excentricidad de la carga e, medida en la dirección X. La curva correspondiente de interacción de resistencias aparece como. Caso (a) en el esquema tridimensional de la figura (d) y se delinea en el plano definido por los ejes Pn y Mny. Esta curva puede determinarse con los métodos corrientes para flexión uniaxial. De modo similar, la figura (d) muestra la flexión con respecto al eje X únicamente, con una excentricidad ey medida en la dirección Y. La curva de interacción correspondiente es el Caso (b) en el plano de Pn y M, en la figura (d). Para el Caso (e), que combina los ejes de flexión X y Y, la orientación de la excentricidad resultante se define mediante el ángulo A:

λ = rc tan

ex Mny = arctan ey Mnx Y Pn

Pn

X ex

(a ) C a s o (b ) P la n o c oPnn c o n s ta n te

C a s o (a )

Pn

C o n to rn o d e c a rg a

ey X M nyo

M nxo

(b )

C a s o (c ) h

Pn

Pn

c

λ

ey

λ

λ

X M ny

M nx P la n o c o cn o n s ta n te

(c )

ex

θ

(d )

Para este caso, la flexión es con respecto a un eje definido mediante el ángulo eje X.

θ con respecto al

El ángulo A de la figura c de fine un plano en la figura d, que pasa a través del eje vertical Pn conformando un ángulo A con el eje de M, como se indica. En este plano, la resistencia de la columna se define mediante la curva de interacción marcada como Caso (c). Para otros valores de A se obtienen curvas similares para definir la superficie de falla para una situación de carga axial más flexión biaxial, como la de la figura d. La superficie es exactamente análoga a la línea de falla para carga axial más flexión uniaxial. Cualquier combinación de Pu, M, y Muy que caiga dentro de la superficie puede aplicarse sobre la columna en forma segura, pero cualquier

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punto que esté por fuera de la superficie representaría la falla. Observe que la superficie de falla puede describirse bien sea mediante un conjunto de curvas definidas por planos radiales que pasan a través del eje de Pn, como lo señala el Caso (c), o por un conjunto de curvas definidas por intersecciones de planos horizontales, cada uno para una carga constante P, definiendo así los contornos de carga. La construcción de una superficie de interacción para determinada columna parecería ser una extensión obvia del análisis de flexión uniaxial. En la figura c, podrían seleccionarse opciones sucesivas de la distancia c al eje neutro para un valor seleccionado de θ . Para cada una de éstas, utilizando la compatibilidad de deformaciones y las relaciones esfuerzo-deformación para establecer las fuerzas en las barras y la resultante de compresión en el concreto, utilizando luego las ecuaciones de equilibrio para encontrar P, M, y Mny, se podría determinar un solo punto en la superficie de interacción. Cálculos repetitivos, fácilmente realizados mediante computador, pueden establecer entonces una cantidad suficiente de puntos que definen la superficie. La zona de compresión, de forma triangular o trapezoidal como en la figura c, es una complicación y, por lo general, la deformación en cada barra de refuerzo será diferente, pero estas características pueden incorporarse en el análisis. Sin embargo, la principal dificultad es que el eje neutro no va a ser, en general, perpendicular a la excentricidad resultante dibujada desde el centro de la columna hasta el punto de aplicación de la carga Pn. Para cada selección sucesiva del eje neutro, existen valores únicos de Pn, M, y Mny y, sólo para casos especiales, la relación Mny /Mnx, será tal que la excentricidad resulte perpendicular al eje neutro seleccionado para los cálculos. El resultado es que, para selecciones sucesivas de c para determinado 0, el valor de A en las figuras c y d variará. Los puntos en la superficie de falla establecidos de esta manera se desviarán de dicha superficie para valores crecientes de Pn, y no representarán un plano de intersección, como en el Caso (c) de la figura d. En la práctica, la carga mayorada Pu, y los momentos mayorados M, y Muy, que deben ser resistidos, se determinan mediante el análisis del pórtico de la estructura. Por consiguiente se establece el valor real de A = arctan (Muy/Mux) y se necesita únicamente la curva del Caso (c), figura d, para verificar si la columna de prueba es adecuada. Se describe un método de computador iterativo para establecer la línea de interacción para el valor particular de A aplicable. Como alternativa, se utilizan métodos aproximados más simples. Éstos se describen a continuación: 4.2. MÉTODO DEL CONTORNO DE CARGA: El método del contorno de carga se basa en la representación de la superficie de falla de la figura d, mediante una familia de curvas correspondientes a valores constantes de P. La forma general de estas curvas puede aproximarse mediante una ecuación de interacción adimensional:

 M nx   M nxo Donde:

α1

  

 M ny +  M ny 0 

   

α2

= 1.0

M = Pn * e y

M nx 0 = M cuando M ny = 0 M ny = Pn * e x M ny 0 = M ny cuando M = 0 Además a, y a, son exponentes que dependen de las dimensiones de la columna, de la cantidad y distribución del acero de refuerzo, de las características esfuerzo-deformación unitaria del acero y del concreto, de la cantidad de recubrimiento de concreto y del tamaño de los flejes

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transversales o espirales. Cuando a, = a, = a, las formas para estos contornos de interacción son como las mostradas en la figura para valores específicos de a. La introducción de los coeficientes φ del Código ACI para reducir a resistencias de diseño las resistencias a carga axial y a flexión, no presenta dificultad alguna. Se aplican los coeficientes φ apropiados a Pn, M, y My, y se define una nueva superficie de falla, similar a la original pero dentro de ésta. Con la introducción de los coeficientes φ y con a, = a, = a, la ecuación anterior se transforma en:

 φM nx   φM nxo

α

 φM ny   +   φM ny 0  

α

  = 1.0  

Obviamente los coeficientes también pueden utilizarse en la descripción de los contornos de carga para la superficie de resistencias de diseño cambiando los títulos de las coordenadas de acuerdo con dicha ecuación. Los cálculos publicados por Bresler indican que los valores de a están en el intervalo de 1.15 a 1.55 para columnas cuadradas y rectangulares. Los valores cercanos al valor inferior de este intervalo son los más conservadores. En la referencia 8.7 se encuentran métodos y ayudas de diseño tendientes a una estimación más definida del valor de a. En la práctica se conocen los valores de Pu, M, y Muy a partir del análisis de la estructura. Para una sección de columna tentativa, los valores de φMnxo y φMnyo correspondientes a la carga Pu pueden encontrarse fácilmente mediante los métodos usuales para flexión uniaxial. Luego, remplazando a φMnx, con M, y a φMny con, como alternativa, dibujando M, y Muy en la figura 8.16, se puede confirmar que una combinación particular de momentos mayorados cae dentro del contorno de carga (diseño seguro) o por fuera del contorno (falla) y es posible entonces modificar el diseño si es necesario. Se presenta un método aproximado relacionado con el método del contorno de carga, en el cual el contorno curvo de carga se remplaza por una aproximación bilineal. Esto conduce a un método de diseño de prueba en que los momentos de flexión biaxial un momento equivalente de flexión uniaxial. Gráficos de diseño basados en este método aproximado se encuentran en el ACI Column Design Handbook. Los diseños tentativos que se obtienen de esta manera deben verificarse mediante el método del contorno de carga descrito anteriormente o con el método de la carga inversa que se presenta a continuación. 4.3. MÉTODO DE LA CARGA INVERSA Un método de diseño simple y aproximado, desarrollado por Bresler, se verificó satisfactoriamente mediante comparación con resultados de gran cantidad de ensayos y cálculos. Es preciso observar que la superficie de interacción de la columna de la figura d puede dibujarse alternativamente como una función de la carga axial Pn y de las excentricidades. ex = Mny/Pn y ey = Mnx/Pn, como aparece en la figura. La superficie S, de la figura a puede transformarse en una superficie de falla equivalente S, como se ilustra en la figura b, donde ex y ey se dibujan contra l/Pn en vez de P. Así que, ex = ey = O corresponde al inverso de la capacidad de la columna si ésta se cargara concéntricamente, Po; esta situación se representa con el punto C. Para ey = O y para cualquier valor determinado de e, existe una carga Pnyo(correspondiente al momento Mnyo) que producirá la falla. El inverso de este valor de carga es el punto A. En forma similar, para e, = O y para cualquier valor de ey, existe algún valor de la carga Pnxo (correspondiente al momento Mnxo) que producirá la falla; el inverso de éste es el punto B. Los valores de Pnxo y Pnyo se determinan para excentricidades conocidas de la carga aplicada a determinada columna, utilizando los métodos establecidos anteriormente para flexión uniaxial o con las gráficas de diseño para flexión uniaxial.

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Un plano oblicuo S', se define mediante los tres puntos: A, B y C; este plano se utiliza como una aproximación a la superficie real de falla S. Observe que para cualquier punto en la superficie cualquier combinación de ex y ey) existe un plano correspondiente S'. Así que 1/Pn Pn

Po

Aproximación mediante superficie plana S´2 Superficie de falla s1

Superficie de falla S2

B

A c 1/Pnyo 1/Pn. exacta

1/Pnxo

1/Po ex

(a)

ey

ex 1/Pn. aprox

ey

(b)

La aproximación de la superficie real de falla S, incluye una cantidad infinita de planos S', determinados mediante pares de valores particulares de e, y ey, es decir, con los puntos particulares A, B y C. al l/Pn,exacta, hasta la superficie de falla real, puede estimarse siempre en forma conservadora mediante la distancia l/Pn,aprox, hasta el plano oblicuo ABC (extendido), gracias a la forma de cascarón de huevo cóncavo hacia arriba de la superficie real de falla. En otras palabras, l/Pn,aprox. siempre es mayor que l/Pn,exacta, lo cual significa que Pn,aprox siempre será menor que Pn, exacta. La ecuación de la carga inversa de Bresler se deduce a partir de la geometría del plano aproximado. Puede demostrarse que:

1 1 1 1 = + − Pn Pnx 0 Pny 0 Po Donde:

Pn =Valor aproximado de la carga última en flexión biaxial con excentricidades e, y ey

Pny 0 =Carga última cuando sólo está presente la excentricidad e, (ey = 0)

Pnx 0 =Carga última cuando sólo está presente la excentricidad ey (e, = 0) P0 =Carga última para la columna cargada concéntricamente La ecuación anterior es suficientemente precisa para propósitos de diseño, siempre y cuando Pn ≥ 0.10 Po . No es confiable cuando predomina flexión biaxial acompañada por una fuerza axial menor que P0 / 10 . Para este caso, en que la flexión predomina fuertemente, la falla se inicia por fluencia en el acero de tensión y esta situación corresponde a la décima parte inferior del diagrama de interacción de la figura 8.15d. En este intervalo resulta conservador y bastante preciso ignorar por completo la fuerza axial y calcular la sección únicamente para flexión biaxial. La introducción de los coeficientes de reducción de resistencia del ACI no cambia el desarrollo anterior de manera fundamental, siempre y cuando el coeficiente φ sea constante para todos los términos; para propósitos de diseño, la ecuación de Bresler puede reestructurarse así:

1 1 1 1 = + − φPn φPnx 0 φPny 0 φPo

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Para el intervalo en el cual el método de Bresler es aplicable, por encima de 0.10 Po , el valor de φ es constante excepto que, para excentricidades muy pequeñas, el Código ACI impone un límite superior en la resistencia máxima de diseño que tiene el efecto de aplanar la parte superior de la curva de interacción de resistencia de la columna. Cuando se utilice el método de Bresler para flexión biaxial, es necesario tomar la curva de resistencia uniaxial sin el corte horizontal para obtener los valores que se van a utilizar en la Pn obtenido de esta manera debe entonces someterse a la ecuación anterior. El valor de φ restricción, al igual que para flexión uniaxial, que no exceda 0.80 φPn para columnas con flejes o 0.85 φPn para columnas reforzadas con espiral. Para una situación común de diseño en que se dan las dimensiones y el refuerzo para la columna Pny 0 para tentativa y las excentricidades ey y e, de la carga, las cargas últimas φPnx 0 y φ

P0 para flexión uniaxial con respecto a los ejes X y Y, respectivamente, y la carga última φ cargas concéntricas, pueden encontrarse mediante cálculos o a partir de gráficos de diseño. Pn . Entonces, es posible calcular 1 / φPn a partir de la ecuación, y de allí se puede obtener φ El requisito de diseño consiste en que la carga mayorada P,, modificada mediante el corte horizontal mencionado anteriormente, no debe exceder φPnx 0 , si es aplicable.

5. METODOLOGÍA: Diseño de una columna a flexión biaxial. La columna de 12 x 20 pulg que aparece en la figura está reforzada con ocho barras No. 9 distribuidas alrededor del perímetro de la columna que suministran un área total de A = 8.00 pulg2. Se va a aplicar una carga mayorada P de 275 klb con excentricidades ey = 3 pulg y e = 6 pulg como se ilustra. Las resistencias de los materiales son f ´c = 4 klb/pulg2 y fy = 60 klb/pulg2. Verifique si el diseño tentativo es adecuado: (a) con el método de carga inversa, y (b) con el método del contorno de carga. y

2.5"

2.5"

15"

2.5"

Pu 3"

12"

7"

2.5"

x

8 barras Nº 9 6" 20"

Solución (a) Mediante el método de la carga inversa se considera inicialmente la flexión con respecto a eje Y. y = 15/20 = 0.75 e/h = 6/20 = 0.30. Con una cuantía de refuerzo de Ast/bh = 8.001240 = 0.033. φPnyo =1.75 ⇒φPnyo =1.75 * 240 = 420 klb Ag φPo = 3.65 ⇒φPo = 3.65 * 240 = 876 klb Ag Luego, para la flexión con respecto al eje X, y = 7/12 = 0.58 (tómese 0.60) y e/h = 3/12 = 0.25.

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1

φPn

=

1 1 1 + − = 0.00356 432 420 876

A partir de la cual φPn = 281 klb . Así que, según el método de Bresler, la carga de diseño de Pu = 275 llb puede aplicarse en forma segura sobre la columna.

(b)

Según el método del contorno de carga para flexión con respecto al eje Y con φPn 275 = =1.15 φPu = 275 llb y Ag 240 φMnxo = 0.53 Ag * h De manera que φMnxo = 0.53 * 240 * 12 =1530 klb * pu lg .Los momentos para cargas mayoradas con respecto a los ejes Y y X son, respectivamente Muy = 275 * 6 =1650 klb * pu lg M = 275 * 3 = 830 klb * pu lg

Para verificar si el diseño tentativo es adecuado se utiliza la ecuación con un exponente a tomado en forma conservadora igual a 1.15. Entonces, con φMnx = M y φMny = Muy esta ecuación indica 1.15

 830     1530 

1.15

 1650  +   2980 

= 0.495 + 0.507 = 1.002

Este valor está muy cerca de 1.0 y, por consiguiente, puede considerarse que el diseño también es seguro utilizando el método del contorno de carga. 6. CONCLUSIONES:

•

Se pudo aprender a utilizar las formulas del ACI en los diferentes métodos para resolver columnas biaxiales

7. BIBLIOGRAFÍA:

•

Diseño de estructuras de concreto (Nilson Arthur)

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columnas biaxiales

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