USAC Trabajo de: Resistencia de Materiales 2
INTRODUCCIÓN Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto su longitud, para que abajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por fexión lateral o pandeo ante una carga mucho menos que la necesaria para romperlo por aplastamiento. Esto se dierencia de una poste corto sentido a compresión, compresión, el cual, auque est cargado excntricamente, experimenta una fexión lateral despreciable. !unque no existe una limita perectamente establecido entre elemento corto " columna, se suele considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es mas de die# $eces su dimensión trans$ersal trans$ersal menor.
COLUMNAS Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto su longitud, para que abajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por fexión lateral o pandeo ante una carga mucho menos que la necesaria para romperlo por aplastamiento. %as columnas suelen di$idirse en dos grupos& '%argas e (ntermedias). ! $eces, los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer grupo de columnas. %as dierencias entre los tres grupos $ienen determinadas por su comportamiento. %as columnas largas re rompen por pandeo o fexión lateral* las intermedias, por combinación de esuer#as, aplastamiento " pandeo, " los postes cortos, por aplastamiento. Una columna ideal es un elemento homogneo, de sección recta constante, inicialmente perpendicular al eje, " sometido a compresión. +in embargo, las columnas suelen tener siempre pequeas imperecciones de material " de abricación, as- como una ine$itable excentricidad excentricidad accidental en la aplicación de la carga. %a cur$atura inicial de la columna, junto con la posición de la carga, dan lugar a una excentricidad excentricidad indeterminada, con respecto al centro de gra$edad, en una sección cualquiera. El estado de carga en esta sección es similar al de un poste corto cargado excntricamente, " el esuer#o resultante est producido por la superposición del esuer#o directo de compresión " el esuer#o de fexión /o mejor dicho, por fexión0. +i la excentricidad excentricidad es pequea u el elemento es corto, la fexión lateral lateral es despreciable, " el esuer#o de fexión es insigni1cante comparado con el
esuer#o de compresión directo. +in embargo, en un elemento largo, que es mucho ms fexible "a que las fexiones son proporcionales al cubo de la longitud, con u $alor relati$amente pequeo de la carga puede producirse un esuer#o de fexión grande, acompaado de un esuer#o directo de compresión despreciable. !s-, pues, en las dos situaciones extremas, una columna corta soporta undamentalmente el esuer#o directo de compresión, " una columna larga est sometida principalmente al esuer#o de fexión. 3uando aumenta la longitud de una columna disminu"e la importancia " eectos del esuer#o directo de compresión " aumenta correlati$amente las del esuer#o de fexión. or desgracia, en la #ona intermedia no es posible determinar exactamente la orma en que $ar-an estos dos tipos de esuer#os, o la proporción con la que cada una contribu"e al esuer#o total. Es esta indeterminación la que da lugar a la gran $ariedad de órmulas para las columnas intermedias. 4o se ha dado, hasta aqu-, criterio alguno de dierenciación entre columnas largas e intermedias, excepto en su orma de trabajar, es decir, la columna larga est sometida esencialmente a esuer#os de fexión " la intermedia lo est a esuer#os de fexión " compresión directa. %a distribución entre ambos tipos de acuerdo con su longitud sólo puede comprenderse despus de haber estudiado las columnas largas. CARGAS CRÍTICAS
3oloquemos $erticalmente una $iga mu" esbelta, articulmosla en sus extremos mediante rótulas que permitan la fexión en todas sus direcciones. !pliquemos una uer#a hori#ontal 5 en sus puntos medios, de manera que produ#ca fexión seg6n la dirección de mxima fexibilidad. 3omo los esuer#os de fexión son proporcionales a la defexión, no experimentarn $ariación alguna si se aade una uer#a axial en cada extremo, " haciendo que 5 disminu"a simultneamente con el aumento de de manera que la defexión en el centro no $ar-e. Es estas condiciones, el momento fexionarte en el centro es& M 7 5829/%820 : ", en el l-mite, cuando 5 ha disminuido hasta anularse, M 7 /cr09 Entonces, cr es la carga cr-tica necesaria para mantener la columna deormada sin empuje lateral alguno. Un pequeo incremento de sobre este $alor cr-tico har que aumente la defexión , lo que incrementar M, con lo cual $ol$er aumentar " as- sucesi$amente hasta que la columna se rompa por pandeo. or el contrario, si disminu"e ligeramente por debajo de su $alor cr-tico, disminu"e la defexión, lo que a su $e# hace disminuir M, $uel$e a disminuir , etc., " la columna termina por endere#arse por completo. !s-, pues, la carga cr-tica puede interpretarse como la carga axial mxima a la que puede someterse una columna permaneciendo recta,
aunque en equilibrio inestable, de manera que un pequeo empuje lateral haga que se deorme " quede pandeada. ;?@?, el gran matemtico sui#o %eonardo Euler reali#ó un anlisis teórico de la carga cr-tica para columnas esbeltas basado en la ecuación dierencial de la elstica& M 7 E(/d2"8dx20 !hora se sabe que este anlisis es $alido hasta que los esuer#os alcan#an el l-mite de proporcionalidad. En tiempo de Euler no se hab-an establecido los conceptos de esuer#o, ni de l-mite de proporcionalidad, por lo que l no tubo en cuenta la existencia de una l-mite superior de la carga cr-tica. 3uando una columna est sometida a una carga . +e supone que la columna tiene los extremos articulados /mediante rótulas o pasadores0 de manera que no pueden tener despla#amientos laterales. %a defexión mxima es lo su1cientemente pequea para que no exista dierencia apreciable entre la longitud inicial de la columna " su pro"ección sobre el eje $ertical. En estas condiciones, la pendiente d"8dx es pequea " se puede aplicar la ecuación dierencial aproximada de la elstica de una $iga& E(/d2"8dx20 7 M 7 /A"0 7 A" El momento M es positi$o al pandear la columna en el sentido contrario al del reloj, por lo que al ser la " negati$a, ha de ir precedida del signo menos. +i la columna se pandara en sentido contrario, es decir, en la dirección de " positi$a, el momento ser-a negati$o, de acuerdo con el criterio de signos adoptado. %a ecuación anterior no se puede integrar directamente, como se hac-a anteriormente "a que all- M solamente era unción de x. +in embargo, presentamos dos mtodos para resol$erla. 3onociendo algo de dinmica nos damos cuenta que la ecuación anterior es semejante a la ecuación de un cuerpo que $ibra simplemente& M/d2x8dx20 7 ABx para lo cual una solución general es& x 7 3>sen/tC/B8m00 : 32cos/tC/B8m00 de aqu-, por analog-a, la solución de la ecuación $iene dada por& " 7 3>sen/xC/8E(00 : 32cos/xC/8E(00 %(M(D!3(<4E+ =E %! ;
$alor de ( en la ormula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. %a tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia m-nimo de la sección recta. %a órmula de Euler tambin demuestra que la carga cr-tica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones " del módulo de elstico. or este moti$o, dos barras de idnticas dimensiones, una de acero de alta resistencia " otra de acero sua$e, se pandearn bajo la misma carga cr-tica "a que aunque sus resistencias son mu" dierentes tienen prcticamente el mismo modulo elstico. !s- pues, para aumenta la resistencia al pandeo, interesa aumentar lo ms posible el momento de inercia de la sección. ara un rea dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gra$edad " de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo ms parecidos posible / como en una columna hueca0. ara que la órmula de Euler sea aplicable, el esuer#o que se produ#ca en el pandeo no debe exceder al l-mite de proporcionalidad. ara determinar este esuer#o, se sustitu"e en la órmula el momento de inercia ( por !r2, donde ! es el rea de la sección recta " r es el radio de giro m-nimo. <FED(G<+ HE4ER!%
Obtener un conocimiento amplio acerca del comportamiento de las columnas al ser cometidas a esuer!os se compresi"n# su comportamiento $ estudio% &S'&C()ICOS 3onocer la clasi1cación de las $igas. =eterminar cuales son los mtodos de estudio que existen. +aber cuales son las limitaciones que existen en el estudio de $igas. !prender acerca de cómo se pueden eliminar las limitaciones en el estudio de las columnas " de que orma se pueden mejorar.
CONCLUSION&S %as $igas se clasi1can en&
Lar*as% Medias &lementos cortos% %as $igas se estudian mediante las ormulas planteadas por %eonhard Euler.
3omo la resistencia a la fexión $aria con el momento de inercia, el $alor de ( en la ormula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. %a tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia m-nimo de la sección recta. %a órmula de Euler tambin demuestra que la carga cr-tica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones " del módulo de elstico. ara un rea dada, el material debe distribuirse tan le jos como sea posible del centro de gra$edad " de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo ms parecidos posible / como en una columna hueca0.