1.7 Componente tangencial y normal.
Cuando una partícula se mueve sobre una trayectoria curvilínea conocida, es posible escribir su ecuación de movimiento en las direcciones tangencial y normal, para representar la velocidad y la aceleración. Durante un intervalo infinitesimal de tiempo dt , la partícula recorre la distancia infinitesimal dX comprendida entre los puntos P y P´. Representando por ρ el radio de curvatura de la trayectoria en el punto considerado, la distancia infinitesimal ds = ρ dθ donde dθ son radiantes; véase figura 12. Si se desprecia la variación infinitesimal de ρ entre P y P´ pues si introduciría un término de orden superior que desaparecería en el límite, por lo que el módulo de la velocidad puede escribirse como:
FIGURA 1. TRAYECTORIA QUE DESCRIBE LA PARTÍCULA Fuente: (Beer, Johnston, & Cornwell, 2010)
𝑉=
𝑑𝑋 𝑑𝑡
𝑉=
𝜌𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑉 = 𝜌𝜃̇
Y la velocidad como: 𝑉̅ = 𝑉 𝑒𝑇 𝑉̅ = 𝜌 𝜃̇ 𝑒𝑇
(1.20)
La aceleración de la partícula se obtiene diferenciando la ecuación (1.20); resulta así:
𝑎̅ = 𝑎̅ = 𝑎̅ = 𝑉
𝑑𝑉̅ 𝑑𝑡
𝑑 (𝑉 𝑒𝑇 ) 𝑑𝑡
𝑑𝑒𝑇 + 𝑉̇ 𝑒𝑇 𝑑𝑡
(1.21)
Donde la derivada del vector eT es distinta cero porque su dirección varía. Para hallar eṪ se encuentra la variación de eT durante el desplazamiento infinitesimal del punto P 𝑎 P´. El vector unitario varía correspondientemente de eT a eT ´ y la diferencia deT entre ambos se representa en la figura 12. En el límite, el módulo del vector diferencia deT es igual a la longitud del arco eT dθ que se obtiene haciendo girar el vector unitario eT el ángulo dθ . El sentido de 𝑑𝑒𝑇 está dado por eN . así pues: 𝑑𝑒𝑇 = 𝑒𝑁 𝑑𝜃 Y al dividir por dθ resulta: 𝑑𝑒𝑇 𝑒𝑁 𝑑𝜃 = 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑒𝑇 = 𝑒𝑁 𝑑𝜃
Al dividir por dt, puede escribirse: 𝑑 𝑒𝑇 𝑑𝜃 = 𝑒𝑁 𝑑𝑡 𝑑𝑡
(1.22)
Al reemplazar la ecuación (1.22) en la ecuación (1.21) de la aceleración resulta: 𝑎̅ = 𝑉(𝜃̇𝑒𝑁 ) + 𝑉̇ 𝑒𝑇 Pero V = ρθ̇ 𝜃̇ =
𝑉 𝜌
𝑉 𝑎̅ = 𝑉 ( 𝑒𝑁 ) + 𝑉̇ 𝑒𝑇 𝜌 𝑉2 𝑎̅ = 𝑒 + 𝑉̇ 𝑒𝑇 𝜌 𝑁
(1.23)
̇
d(𝜌𝜃) dV La componente tangencial de la aceleración se representa por V̇ = dt = dt = ρ θ̈ + ρ̇ θ̇ , representa la razón de cambio en la magnitud de la velocidad y está dirigida en el sentido positivo del eje tangencial del movimiento si la rapidez aumenta y en el sentido negativo del eje tangencial si la rapidez disminuye.
La componente normal de la aceleración están siempre dirigidos hacia el centro de curvatura; véase figura 13.
FIGURA 2. COMPONENTES TANGENTE –NORMAL DE LA ACELERACIÓN Fuente: (Boresi & Schmidt, 2001)
La magnitud de la aceleración está dada por:
2 𝑎 = √𝑎2𝑇 + 𝑎𝑁
En un punto de inflexión de la trayectoria la aceleración normal se hace nula puesto que el radio de curvatura se hace infinito.
El movimiento circular constituye el caso del movimiento curvilíneo plano, en el cual el radio de curvatura ρ es el radio constante r de la circunferencia. La velocidad y las componentes de la aceleración de la partícula son: 𝑉 = 𝑟 𝜃̇ 𝑉2 𝑎𝑁 = 𝜌 2 (𝜌𝜃̇) 𝑎𝑁 = 𝜌
𝑎𝑁 = 𝜌𝜃̇ 2
𝑎 𝑇 = 𝑉̇ 𝑎 𝑇 = 𝑟 𝜃̈
(1.24)
(Boresi & Schmidt, 2001) “La curvatura de una curva plana o radio de curvatura en dθ un punto P se define como dS donde θ es la posición angular de la tangente a la curva P y S es la longitud de arco a lo largo de la curva” p.55. Considere cualquier curva en el plano XY , el sentido positivo de la tangente a la curva se considera, como el mismo que el sentido positivo de la curva. (Boresi & Schmidt, 2001) “Sea P0 un punto fijo sobre la curva, y sea P un punto variable. La longitud de arco P0 P se denota por S , con signo apropiado. La variable S es una coordenada sobre la curva, y el punto P0 es el origen de la coordenada S . El ángulo entre la tangente positiva a la trayectoria en el punto P y el eje X se denota por θ . Un θ positivo se mide en sentido antihorario” p. 56. (Boresi & Schmidt, 2001) “Si S recibe un pequeño incremento dS , θ recibe un dθ incremento dθ . La derivada dS se llama curvatura de la curva en un punto P . Esta representa la razón de rotación de la tangente respecto a la longitud de arco S.“p. 56.
(Boresi & Schmidt, 2001) “Si cercanía del punto P ; si
dθ dS
dθ dS
es grande, la curva se dobla aguadamente en la
es pequeña, la curva es casi recta en la cercanía del 1
punto P , la curva tiene dimensión [L− 1 ] , ésta se denota por (ρ) , donde ρ es una cantidad positiva. El signo de la ecuación dθ
dθ dS
=±
1
ρ
es por tanto determinado por
el signo de dS . Si la curvatura es positiva, la curva es cóncava hacia arriba; si es negativa la curva es cóncava hacia abajo” p.56. dθ
Para encontrar la curvatura dS de una curva plana. Considérese la curva C ; véase figura 14, definida por las ecuaciones:
FIGURA 3. CURVATURA DE CUALQUIER CURVA PLANA Fuente: (Boresi & Schmidt, 2001)
(Boresi & Schmidt, 2001) “Si las funciones X = X(t) e Y = Y(t) son conocidas y graficando, puntos en la curva tabulando los valores de X y Y correspondiente a los valores numéricos de t entonces, como X , Y son funciones de t , la longitud de arco S es también una función de t. Si S toma un incremento dS , las coordenadas toman incrementos (dX , dY) . Para un triángulo recto infinitesimal con lados dX, dY y dS ; véase figura 15, donde la hipotenusa es dS 2 = dX 2 + dY 2 ” p. 56.
FIGURA 4. INCREMENTOS DE POSICIÓN Fuente: (Boresi & Schmidt, 2001)
(Boresi & Schmidt, 2001) “Dividiendo esta ecuación entre dt 2 y derivando se tiene:
Ṡ 2 = 𝑋̇ 2 + 𝑌̇ 2
dY
Tanθ = dX
donde θ es el ángulo de la tangente a la curva forman con el eje X.
Dividiendo el numerador y denominador de la razón diferencial tiene:” p. 56.
𝑌̇ 𝑋̇
(1.25)
𝜃̇ 𝑆𝑒𝑐 2 𝜃 =
𝑋̇𝑌̈ − 𝑌̇𝑋̈ 𝑋̇ 2
𝑇𝑎𝑛𝜃 =
Derivando esta expresión t se tiene:
Con la identidad trigonométrica y la ecuación (1.25) se tiene:
sec 2 θ = 1 + tan2 θ 𝜃=
𝑋̇𝑌̈ − 𝑋̇𝑌̈ 𝑋̇ 2 + 𝑌̇ 2
(1.26)
Pero:
𝜃̇ = 𝜃̇ = 𝜃̇ = 𝑆̇
𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑑𝜃 𝑑𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝑡
𝑑𝜃 𝑑𝑆
(1.27)
dY dX
entre dt , se
(Boresi & Schmidt, 2001) “La ecuación ±
Ṡ ρ
1 ρ
se define por
dθ dS
= ±
1 ρ
, y entonces θ̇ =
. Sustituyendo esta relación en la ecuación (1.26) y eliminando Ṡ por medio
de la ecuación, se tiene:” p. 57.
1 𝑋̇𝑌̈ − 𝑌̇𝑋̈ =[ ] 3/2 2 ρ 2 ̇ ̇ [(𝑋) + (𝑌) ]
Por lo que el radio de curvatura de la partícula es:
ρ=
dY 2 3/2 ) ] dX d2 Y dX 2
[1 + (
(1.28)
1.8 Componentes radial y transversal. La posición de la partícula P se mueve por una trayectoria curvilínea específica, puede definirse mediante coordenadas polares r y θ .
Las coordenadas radial y transversal resultan especialmente útiles para los movimientos vinculados a través de condiciones impuestas a la distancia a un punto fijo o al valor de un ángulo, por lo general se mide en grados o radianes. (Boresi & Schmidt, 2001) “Donde r es la distancia dirigida hacia fuera de O a P , y θ es el ángulo dirigido medido desde una línea de referencia (eje X) hasta la línea OP. La línea recta que se extiende radialmente hacia afuera desde O a lo largo de la extensión de OP, se llama línea de coordenada r , y el arco circular generado por la rotación de OP para un valor constante de r , se llama línea de coordenada θ " p. 71; véase figura 16.
FIGURA 5. POSICIÓN DE LA PARTÍCULA EN COORDENADAS POLARES Fuente: (Boresi & Schmidt, 2001) (Beer, Johnston, & Cornwell, 2010) “Se unen a P dos vectores unitarios, er y eθ dirigidos a lo largo de OP o línea de coordenada r y el vector eθ se obtiene al rotar er 90º en el sentido contrario a las manecillas del reloj”. (Beer, Johnston, & Cornwell, 2010) “El vector unitario er define la dirección radial, esto es, la dirección en la cual P se movería si r aumenta y θ se mantuviera constante; el vector unitario eθ define la dirección transversal, es decir, la dirección en la que P se movería si θ aumentara y se mantuviera constante” p. 668. En cualquier instante, la posición de la partícula, se define por el vector posición: 𝑟̅ = 𝑟 𝑒𝑟 (1.29) ̅ de la partícula P, se deriva el vector posición con Para obtener la velocidad V respecto al tiempo t ∶ 𝑉̅ = 𝑉̅ =
𝑑𝑟̅ 𝑑𝑡
𝑑 (𝑟𝑒𝑟 ) 𝑑𝑡
Para determinar la derivada del vector 𝑒𝑟 es necesario considerar la partícula que se mueve de P a P´ el vector er ´ y el vector eθ ´ pasa a eθ ; véase figura 17, la
Dirección de los vectores unitarios varía con el tiempo reemplazando en la ecuación (1.29), se tiene:
FIGURA 6. VECTORES UNITARIOS RADIAL- TRANSVERSAL DE VELOCIDAD Fuente: (Beer, Johnston, & Cornwell, 2010) 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑒𝜃 = 𝑒𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑒𝑟 = −𝑒𝑟 𝑑𝜃 Mediante la regla de la cadena, se expresan las derivadas del tiempo de los vectores unitarios er y eθ del modo siguiente: 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝜃 = 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝜃 = 𝑒𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑟 = 𝜃̇ 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑒𝑟 = 𝜃̇𝑒𝜃 𝑑𝑡
(1.30)
𝑑𝑒𝜃 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝜃 = 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝑒𝜃 = 𝜃̇ 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑒𝜃 = 𝜃̇ (−𝑒𝑟 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝑡
= 𝜃̇𝑒𝑟 (1.31)
𝑉̅ = 𝑟̇ 𝑒𝑟 + 𝑟
𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑡
𝑉̅ = 𝑟̇ 𝑒𝑟 + 𝑟(𝜃 𝑒𝜃 ) 𝑉̅ = 𝑟̇ 𝑒𝑟 + 𝑟𝜃 𝑒𝜃 (1.32) La componente radial de la velocidad es la variación del vector r̅ por unidad de tiempo y la componente transversal de la velocidad se debe a la rotación de r; véase figura 18.
FIGURA 7. COMPONENTES RADIAL -TRANSVERSAL DE VELOCIDAD Fuente: (Hibbeler, 1995)
dθ El término θ̇ = dt = w se le denomina velocidad angular, proporciona una medida de la razón de cambio del ángulo θ . Las unidades para esta medición son radianes 𝑟𝑎𝑑 por segundo 𝑠 .
La magnitud de la velocidad o rapidez es:
𝑉 = √(𝑟̇ )2 + (𝑟𝜃̇)2
Al derivar otra vez con respecto al tiempo t para obtener la aceleración, se tiene:
𝑎̅ = 𝑎̅ = 𝑎̅ = 𝑟̈ 𝑒𝑟 + 𝑟̇
𝑑𝑉̅ 𝑑𝑡
𝑑 (𝑟̇ 𝑒𝑟 + 𝑟𝜃̇𝑒𝜃 ) 𝑑𝑡
𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑒𝜃 + 𝑟̇ 𝜃̇𝑒𝜃 + 𝑟𝜃̈ 𝑒𝜃 + 𝑟𝜃̇ 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑎̅ = 𝑟̈ 𝑒𝑟 + 𝑟̇ (𝜃̇𝑒𝜃 ) + 𝑟̇ 𝜃̇ 𝑒𝜃 + 𝑟𝜃̈ 𝑒𝜃 + 𝑟𝜃̇(−𝜃̇𝑒𝑟 ) 𝑎̅ = (𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 )𝑒𝑟 + (𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇)𝑒𝜃
(1.33)
Las componentes escalares de la velocidad y la aceleración en componentes radial y transversal son: Vr = ṙ Vθ = rθ̇ 𝑎r = r̈ − rθ̇2 𝑎θ = rθ̈ + 2ṙ θ̇ El término − rθ̇2 en la componente radial de la aceleración es la aceleración centrípeta, y el término 2ṙ θ̇ en la componente transversal de la aceleración es la aceleración de coriolis.
La magnitud de la aceleración es:
2 𝑎 = √(𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 ) + (𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇)2
La dirección se determina a partir de la suma vectorial de sus dos componentes, y no será tangente a la trayectoria; véase figura 19.
FIGURA 8. COMPONENTES RADIAL- TRANSVERSAL DE ACELERACIÓN Fuente: (Hibbeler, 1995) 2
d θ dw El termino θ̈ = dt2 = dt = α se conoce como la aceleración angular, ya que mide el cambio realizado en la razón de cambio de θ durante un instante en el tiempo. 𝑟𝑎𝑑 Las unidades para esta medición son 𝑠2 .
La variación del módulo de la componente radial de la velocidad es el incremento dṙ de longitud de Vr , y el termino de aceleración correspondiente es dt = r̈ en el sentido de r positivo.
La variación de la dirección de la componente radial contribuye a la aceleración en ṙ θ̇ en el sentido de θ positivo.
La variación del módulo de la componente transversal de la velocidad es la variación de longitud de Vθ y su contribución a la aceleración es rθ̈ + ṙ θ̇ en el sentido de θ positivo.
