Concreto Armado II Iupsm

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II.

1

CAPÍTULO Nº 1 .: "ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOSAS MACIZAS Y NERVADAS" Las losas o placas son elementos que reciben las cargas verticales (permanentes y accidentales) directamente. Son elementos característicos cuyas dimensiones en planta son muy grandes en comparación con su altura, y generalmente reciben sus cargas perpendicularmente a su plano. Pueden ser armadas en una o dos direcciones, dependiendo de las condiciones de sus apoyos. A continuación, en la Fig. 1-1, se ilustran los dos tipos de armado característico en losas. VISTA EN PLANTA

Dos (2) Apoyos

Cuatro (4) Apoyos

ARMADA EN (1) DIRECCIÓN

ARMADA EN (2) DIRECCIONES

Fig. 1-1. Los as Arm adas en Una (1) (1) y Dos (2) Direccion es

1.1.- ANÁLISIS DE LOSAS CON A POYOS EN SU PERIFERI PERIFERIA A:

Supóngase una losa con cuatro (4) apoyos : dMáx

c.g.

Ly

Ly

Lx Lx

ISOMETRÍA PLANTA Fig. 1-2. 1-2. Planta e isometría de lo sa Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


2

El dibujo de isometría muestra la forma típica como cualquier elemento (en el caso que nos ocupa una losa o placa) sometido a una carga vertical normal a su plano, tiene la tendencia a deflectar. El punto donde ocurre la máxima deflexión dependerá de las condiciones en las cuales esté apoyada la losa. Para este caso en que la losa es simétrica y está apoyada en su periferia, el punto de deflexión máxima ( d Máx) ocurrirá en el centro geométrico ( c.g.) de la figura. Por todo esto podemos concluir que :

•

Si : Lx = Ly . La carga que gravita sobre la losa, se distribuye equitativamente en ambas direcciones.

•

Si : Lx ‡ Ly . La carga que gravita sobre la losa, se distribuye proporcionalmente en relación a las l uces.

Análisis : Si La losa está apoyada en su periferia; como lo muestra la Fig. 1-3 :

Ly

Qtot (Carga)

Qx K /m

Q K /m dx

Lx

Lx

d

Ly

PLANTA Fig. 1-3. 1-3. Distri Distri bución de la carga segùn lado X ó Y

La deflexión máxima viene expresada por la fórmula : Máx = 5 * Q * L^4 384 * E * I

Por otro lado, si nos fijamos en la figura de Isometría en planta, se observa claramente que la flecha máxima es la misma independientemente del lado (Lx ó Ly) que se observe, por lo tanto : dx = dy

Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


2

El dibujo de isometría muestra la forma típica como cualquier elemento (en el caso que nos ocupa una losa o placa) sometido a una carga vertical normal a su plano, tiene la tendencia a deflectar. El punto donde ocurre la máxima deflexión dependerá de las condiciones en las cuales esté apoyada la losa. Para este caso en que la losa es simétrica y está apoyada en su periferia, el punto de deflexión máxima ( d Máx) ocurrirá en el centro geométrico ( c.g.) de la figura. Por todo esto podemos concluir que :

•

Si : Lx = Ly . La carga que gravita sobre la losa, se distribuye equitativamente en ambas direcciones.

•

Si : Lx ‡ Ly . La carga que gravita sobre la losa, se distribuye proporcionalmente en relación a las l uces.

Análisis : Si La losa está apoyada en su periferia; como lo muestra la Fig. 1-3 :

Ly

Qtot (Carga)

Qx K /m

Q K /m dx

Lx

Lx

d

Ly

PLANTA Fig. 1-3. 1-3. Distri Distri bución de la carga segùn lado X ó Y

La deflexión máxima viene expresada por la fórmula : Máx = 5 * Q * L^4 384 * E * I

Por otro lado, si nos fijamos en la figura de Isometría en planta, se observa claramente que la flecha máxima es la misma independientemente del lado (Lx ó Ly) que se observe, por lo tanto : dx = dy



3

Si : dx = 5 * Qx * Lx ^4

Y

dy = 5 * Qy * Ly ^4

384 * E * I

384 * E * I

Igualando dx = dy , tenemos : 5 * Qx * Lx ^4 = 5 * Qy * Ly ^4 , 384 * E * I 384 * E * I

de donde :

Qx * Lx ^4 = Qy * Ly ^4

ec.(ii)

Veamos ahora como se distribuyen las cargas en la losa según las luces de los tramos : Si Lx = Ly : (Las luces de los tramos son las mismas). La ec.(ii) queda :

Qx * (Ly) ^4 = Qy * Ly ^4 Qx = Qy

Aplicando la ec. (i) Q

tot

= Qx + Qy , tenemos : Q tot = Qx + (Qx) Qtot = 2 Qx , por lo que :

Qx = 0.50 Q tot , y Qy = 0.50 Q tot

Esto significa que las cargas sobre la losa se distribuyen en partes Iguales tanto para Lx (50% Q tot) como para Ly (50% Q tot). El armado se puede hacer en cualquiera de las direcciones, o en ambas.

Si Lx = 2* Ly : ( Lx es el doble de Ly). La ec.(ii) queda :

Qx * (2*Ly) ^4 = Qy * Ly ^4 16 *Qx = Qy


tot

= Qx + Qy , tenemos : Q tot = Qx + (16*Qx) Qtot = 17 Qx , por lo que :

Qx = 0.06 Q tot , y Qy = 0.94 Q tot

Esto significa que las cargas sobre la losa se distribuyen casi totalmente hacia la dirección Ly (94% Q tot). En este caso, siendo Ly la longitud más corta, es preferible armar la losa en esa dirección. Es decir colocar los nervios apoyados en Lx (La luz más larga).



4

Si Lx = 1.5 * Ly : ( Lx es 1.5 veces mayor que Ly). La ec.(ii) queda :

Qx * (1.5*Ly) ^4 = Qy * Ly ^4 5.06 *Qx = Qy


tot

= Qx + Qy , tenemos : Q tot = Qx + (5.06*Qx) Qtot = 6.06 Qx , por lo que :

Qx = 0.17 Q tot , y Qy = 0.83 Q tot

Aquí también las cargas se distribuyen en mayor proporción hacia la dirección Ly (83% Q tot). En este caso, sigue siendo preferible armar la losa en la dirección Ly. Es decir colocar los nervios apoyados en Lx (La luz más larga).

" SEGÚN LOS ANÁLISIS HECHOS, SE PUEDE CONCLUIR QUE EL ARMADO DE LAS LOSAS O PLACAS DEBE HACERSE PROCURANDO APOYAR LOS NERVIOS EN LAS LUCES MÁS LARGAS, ES DECIR COLOCAR LOS NERVIOS PARALELOS A LAS LUCES MÁS CORTAS ". Ejemplo : Armar la losa vista en planta de la forma más conveniente. A

B

A

B

6.00

6.00

2

2

4.00

4.00

1

L-1

1

PLANTA 2

1

La losa L-1 , se arma apoyada en las vigas de los ejes 1 y 2. Por lo que el nervio es de 4.00 mts., de longitud.

4.00

L-1

Fig. 1-4. 1-4. Armado de lo sa en planta



5

1.2.- DISTRIBUCIÓN DE LOSAS EN PLANTA : 1.2.1.- Recomendaci ones :

•

Las losas es preferible apoyarlas en las luces más largas, es decir que se arman paralelas a las luces más cortas.

•

Se escoge un ancho de franja unitario con su longitud tentativa de nervio y se hace un barrido en planta. Donde la longitud tentativa del nervio NO se pueda mantener, termina una losa y se comienza con otra losa.

•

Es preferible que la disposición de losas vistas en planta tengan todas la misma orientación de los nervios. Sin embargo cuando NO sea posible hay que recurrir a la ortogonalidad de los nervios.

Ejemplos : Ejemplo Nº 1: 1

2 4.00

3 5.00

4 4.00

1

2

3

4.00

5.00

4 4.00

D 1 L

6.00

C

5.00 2 L

B 4.00 A

PLANTA Fig. 1-5(1). Ejemplo de Distribución de losa en planta


PLANTA


1

2 4.00

3 5.00

4

6

Siguiendo las recomendaciones (1.2.1) , la distribución de losas en planta se orienta en

4.00

función de obtener la menor longitud de nervio.

Hecha la distribución, se pueden

definir tanto las vigas de apoyo (1, 2, 3 y 4),

L-1

como las columnas (Generalmente en las intersecciones de los ejes). L-2

Según la configuración del dibujo de planta, PERFILES DE ANÁLISIS

se obtuvieron dos (2) losas L-1 y L-2

Ejemplo Nº 2: 1 1.50

2 5.50

3 5.00

5

4 4.00

6.00

D 4.50 C

5.00

VACÍO

B

5.00 A 1.50

PLANTA



1

2 5.50

1.50

3 5.00

5

4 4.00

7

6.00

D L-1

4.50

L-1

C

5.00

VACÍO

L-2

L-2 L-4

B

5.00

L-3

A 1.50

PLANTA

A 1.50

B 5.00

C 5.00

D 4.50

En este ejemplo, la distribución de losas está limitada a la distribución arquitectónica L-1

del plano de planta. No obstante se siguen aplicando las recomendaciones (1.2.1) en

-

-

-

virtud de que los nervios se han colocado paralelos a las luces cortas. Esto obliga a la disposición de cuatro (4) perfiles de losas denominados L-1 , L-2 ,

-

L-3 y L-4 , que a su vez determinan la disposición de las vigas de apoyo y las

PERFILES DE ANÁLISIS

columnas.

Fig. 1-5(2). Ejemplo de Distribución de losa en planta



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1.3.- CONSIDERACIONES PARA EL DISEÑO DE LOSAS : 1.3.1.- Acero Longitudinal (As) : El refuerzo principal de las losas o placas es el que vá

destinado a soportar la flexión en el elemento. Dependiendo de si la losa es maciza o nervada la disposición del refuerzo longitudinal (As) podrá variar en cuanto al número de barras, no obstante es indispensable garantizar una mínima cantidad de refuerzo que viene dado por la expresión : b = 50 cm As mín = (14/Fy) * b * d

As (Apoyos)

(Para Losas Nervadas). SECCIÓN DE

d

LOSA NERVADA

bw =10 cm As (Tramos)

As mín = 0.0018 * b * h

(Para Losas Macizas) b = 100 cm

La separación Máxima entre barras NO Excederá (2*h) ó (35 cm) La que sea mayor.

SECCIÓN DE

h

LOSA MACIZA

As (Tramos) Fig. 1-6. Secci ones d e Losas nervad a y maciza

Ecuación utilizada para el Cálculo de As : As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d)

Teniendo en cuenta que : La cuantía calculada en el paso nº 2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K . NO debe superar el valor de cuantía máxima dado por norma :

Procedimiento de cálculo :

w ≤ w Máx

1.- K = Mu / (f'c*b*d^2) 2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K (El menor valor de w) 3.- Ju = 1 - (0.59*w)

(0.80 < Ju < 0.99)

4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d)

( Ø = 0.90 )

(w :Cuantía Geométrica)

w Máx = 0.75*wb (wb :Cuantía Balanceada) wb = 0.85*b1*[ 6300/(6300+Fy) ] donde : ( b1 = 0.85)



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1.3.2.- Acero de Repartición (Por Retracción) : La disposición de este refuerzo tiene la

finalidad de evitar las fisuras en la superficie del concreto debido al proceso de retracción (consecuencia directa del proceso de fraguado). El más utilizado es la malla electrosoldada (Truckson), sin embargo cuando se trata de losas macizas el acero de repartición será la cantidad mínima exigida, la cual viene expresada por la fórmula : As mín = 0.0018 * b * h . As (Repartición) = As mín = 0.018 * b * h

1.3.3.- Sobre Cargas (qcv) : Llamadas también cargas accidentales. Cuando su

valor supere al de las cargas permanentes (qcm), se debe "mover" la sobre carga a los sitios más desfavorables según sea el caso. La carga total mayorada (qu), viene dada por la expresión : qu = (1.4*qcm) + (1.7*qcv)

Si qcv > qcm . Se debe hacer movimiento de qcv. Ej.:

1º CASO : 1

2

4.00

3

4.00

4

1

4.00

2

4.00

1.7*qcv 1.4*qcm

qu


3

4.00

qu = (1.4*qcm) + (1.7*qcv)

4

4.00


10

2º CASO : 1

2

4.00

3

4.00

4

4.00

La carga variable mayorada (1.7*qcv) se analiza en dos (2) tramos adyacentes. 1.7*qcv

La carga permanente mayorada (1.4*qcm) siempre se mantiene sobre todos los tramos.

1.4*qcm

3º CASO : 1.7*qcv

1.7*qcv 1.4*qcm

La carga variable mayorada (1.7*qcv) se analiza en dos (2) tramos extremos. La carga permanente mayorada (1.4*qcm) siempre se mantiene sobre todos los tramos.

4º CASO : 1.7*qcv 1.4*qcm

La carga variable mayorada (1.7*qcv) se analiza en el tramo central. La carga permanente mayorada (1.4*qcm) siempre se mantiene sobre todos los tramos.

Fig. 1-7. Movimient o de Cargas Variables (qcv)

Hacer el movimiento de qcv, implica que para cada uno de los cuatro (4) casos que se presentan, hay que hacerles su respectivo análisis (Diagramas de Corte y Momento flector) para trabajar con los valores más críticos que arrojen estos análisis. NOTA : Obsérvese que para el 2º CASO, la carga a mover (1.7*qcv) también se debería analizar cuando esté situada en los dos tramos adyacentes ubicados hacia la derecha. No obstante los resultados serán los mismos, pero ubicados en sitios inversos de la figura. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


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1.3.4.- Control de Deflexiones : Este aparte se refiere a la altura o espesor que deben

tener los elementos horizontales (Losas o Vigas) para que la deflexión producida por las cargas gravitacionales sea despreciable. El espesor de los elementos se calcula en función de la tabla 9.5 (a) de las Normas COVENÍN-MINDUR 1753. Tabla 9.5 (a) Altura Mínima o espesor mínimo de Losas armadas en una dirección, a menos que se calculen las flechas. Al tu ra o Esp eso r míni m íni mo h

Miembros

Simplemente

Un Extremo

Ambos Extremos

Apoyado

Contínuo

Contínuos

Voladizos

Miembros que NO soportan NI están unidos a elementos NO estructurales susceptibles de ser dañados por grandes flechas Losas Macizas

L/20

L/24

L/28

L/10

L/16

L/18

L/21

L/8 L/ 8

L

L

Losas Nervadas ó Vigas

L

L

Ejemplo : Calcular la altura o espesor mínimo de la losa "Maciza" para NO chequear deflexiones. A

B

5.00

C

5.00

D

4.00

Fig. 1-8. 1-8. Cálcu Cálcu lo d e espesor d e losa seg ùn t abla 9.5(a) 9.5(a) Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

1.00


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Se analiza cada tramo por separado : Tramo A - B : Tiene continuidad después del apoyo B. Por lo tanto : L/24 = 5.00/24 = 0.21 m Tramo B - C : Tiene continuidad a ambos lados de los apoyos. Por lo que : L/28 = 5.00/28 = 0.18 m Tramo C - D : Tiene continuidad a ambos lados de los apoyos. Por lo que : L/28 = 4.00/28 = 0.14 m Volado : Se aplica la condición para voladizos : L/10 = 1.00/10 = 0.10 m Para obtener un espesor de losa uniforme en todos los tramos, se escoge el mayor valor , por lo tanto la Losa Maciza mostrada tendrá un espesor de 21 centímetros para NO chequear deflexiones. Si por ejemplo : 1

2

3

4.00

5.00

4

1

2 4.00

4.00

3 5.00

4 4.00

L-1

1 L

L-2

2 L

Se escoge el mayor valor de espesor de Losa, para que la planta sea uniforme.

PLANTA

Fig. 1-9. Cálculo de hmín de lo sa . Tabla 9.5(a) 9.5(a)

1.3.5.- Chequeo de Esfuerzos Cortantes :

Como las Losas no llevan refuerzos

transversales o estribos, el Concreto debe ser capaz de absorber los esfuerzos cortantes. En tal sentido se debe cumplir la condición : Vu ≤ Ø*Vn , donde : Vn = Vc + Vs . Si (Vs = 0) entonces : Vu ≤ Ø*Vc Vu

Vc = 0.53 * ( √f'c) * b * d

Ø * 0.53 * ( f'c) * b * d

En caso de NO cumplirse la condición, se debe hacer

macizado por corte, o en última instancia aumentar el espesor de la losa. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


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Vu : Corte Mayorado (Kg).

Ø : Factor de minoración = 0.85

Vn : Corte Máximo o nominal (Kg).

Vc : Corte que resiste el concreto (Kg).

Vs : Corte que resiste el refuerzo (Kg).

b : Base de la sección de viga o losa (cm).

d : Altura útil de la viga o losa. (cm).

1.4.- LOSAS MACIZAS :

Su sección es maciza de concreto armado. Se usan característicamente para losas de escaleras, de entrepiso y también de techo. Las losas más económicas de este tipo son aquellas en las cuales las luces oscilan entre los 3.00 a 5.00 m., No obstante se pueden encontrar losas macizas que superen los 5.00 m., de longitud.

SECCIÓN SECCIÓN DE LOSA MACIZA

b = 100 cm

As mín = 0.0018 * b * h

h

q (placa) = d concreto * b * h

( d concreto = 2500 Kg/m3)

Fig. 1-10. 1-10. Secciò Secciò n de lo sa maciza

1.4.1. 1.4.1.-- Ejemplo d e Diseño de L osa Maciza :

Diseñar la losa de la Fig. 1-11., (Como maciza) que aparece en el plano de planta a continuación, con sus respectivos datos : Pasos a seguir : 1.- Determinar espesor de losa. 2.- Análisis de Cargas actuantes. 3.- Análisis de solicitaciones. 4.- Chequeo de esfuerzos cortantes. 5.- Diseño de los refuerzos. 6.- Despiece de la Losa. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


1

2

3

4.00

4.00

14

4

4.00

D

Datos : Fy = 4200 Kg/cm2 f'c = 210 Kg/cm2 Vigas de apoyo = 0.30 x 0.60 Uso Residencial. (qcv = 175 Kg/m2)

C

Acabado : Piso cerámica. ( d = 80 Kg/m2) E L

B

Fig. 1-11. 1-11. Ejempl Ejempl o de Diseñ o de Lo sa Maciza A

PLANTA DE ENTREPISO

PASOS A SEGUIR :

1

2

4.00

3

4.00

1.- Determinar h mín para NO chequear deflexiones :

4

4.00

L-E MACIZA

Tramo 1 - 2 = Tramo 3 - 4 (Un ext. Contínuo) : L/24 = 4.00/24 = 0.17 m. Tramo 2 - 3 (Ambos ext. Contínuos) : L/28 = 4.00/28 = 0.14 m. Se escoge espesor de Losa Maciza = 17 cms. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


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2.- Análisis de Cargas Actuantes : A continuación se procede a determinar las cargas permanentes (qcm) y las cargas accidentales (qcv) para su posterior mayoración (qu). Cargas Permanentes (qcm) : b = 1.00 Cerámica 0.02 0.03

Mortero Placa

Fig. 1-12. Sección de análisi s de cargas

q placa = d concreto * b * h = 2500 (Kg/m3) * 1.00 (m) * 0.17(m) = 425.00 Kg/m q mortero = d mortero * b * e = 2150 (Kg/m3) * 1.00 (m) * 0.03 (m) = 64.50 Kg/m q cerámica = d cerámica * b = 80 (Kg/m2) * 1.00 (m) =

80.00 Kg/m qcm = 569.50 Kg/m

Cargas Accidentales (qcv) : Para uso residencial qcv = 175 (Kg/m2) * 1.00 (m) = 175.00 Kg/m qcv = 175 Kg/m Carga en servicio (qserv) : qserv = 569.50 + 175 = qserv = 744.50 Kg/m Carga Mayorada (qu) : qu = (1.4 *qcm) + (1.7*qcv) = (1.4*569.50) + (1.7*175) = 1094.80 Kg/m qu = 1095 Kg/m Factor de Mayoración de cargas (Fm) : Fm = qu / qserv = 1094.80 / 744.50 = Fm = 1.47

3.- Análisis de Solicitaciones (Diagramas de corte y Momento Flector) : Este paso corresponde a la determinación de los cortes y los momentos flectores en la viga. Recuerde que las condiciones de apoyo de la viga o losa, determinan su grado de Estaticidad. Esto significa que el análisis puede ser de viga Isostática o Hiperestática. El ejemplo que nos ocupa corresponde al caso de viga Hiperestática (Más de dos (2) apoyos), por lo tanto lo primero que se determinará será los momentos de empotramiento (Momentos en los apoyos). Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

0.17


16

En el caso de Losas, podemos asumir que el momento de empotramiento de los apoyos externos es nulo. Sin embargo el diseño del refuerzo en estos apoyos externos se hará con un momento estimado de M = (qu * L^2) / 24 . Ecuación de los tres (3) Momentos. Ecuación para determinar los Momentos de M1*L1 + 2M2*(L1 + L2) + M3*L2 + (6Aa/L1) + (6Ab/L2) = 0

empotramiento :

Donde : M1, M2, M3 : Momentos en los apoyos . L1, L2 : Luces de los tramos adyacentes. (Lo que significa que la ecuación se

limita a dos (2) tramos. (6Aa/L1) , (6Ab/L2) : Términos que dependen de la distribución de la carga (qu)

en el tramo. L

qu

(6Aa/L) = (6Ab/L) = [qu *(L^3) / 4]

Aplicando la ecuación al caso propuesto tenemos : Apoyos 1 - 2 - 3 1

2

4.00

3

Aplicando la ecuación queda :

4.00

M1*4 + 2M2*(4 + 4) + M3*4 + (1095*(4^3)/4) + (1095*(4^3)/4) = 0 Como M1 = 0 . Tenemos :

qu = 1095 (Kg/m)

16M2 + 4M3 + 35040 = 0 (Ec. I) M1 = 0

M2

M3

Apoyos 2 - 3 - 4 : 2

3

4.00

4


4.00


qu = 1095 (Kg/m)

4M2 + 16M3 + 35040 = 0 (Ec. II) M2

M3

M4 = 0

Fig. 1-13. Aplic aciòn de Ec. de los (3) Momentos Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


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Se tienen dos ecuaciones (I y II) con dos incógnitas (M2 y M3), planteando el sistema de ecuaciones queda : 16M2 + 4M3 + 35040 = 0 (Ec. I) 4M2 + 16M3 + 35040 = 0 (Ec. II) . Resolviendo queda ; M2 = M3 = - 1752 Kg*m Ahora se procede al análisis (Diagramas de corte y momento) del elemento :

SECCIÓN DE LOSA MACIZA 1

2

3

4.00

4

4.00

b = 100 cm

4.00

d

h = 17 cm qu = 1095 (Kg/m)

L-E MACIZA

0

1752

d = h - recubrimiento = 17 - 3

0

1752

d = 14 cm.

2628 2190

1752

4.- Chequeo de Esfuerzos Cortantes : Consiste en

+

+

Vu(Kg)

+

-

-

1752

2628

2190

verificar que los esfuerzos cortantes actuantes en la losa, NO superen la capacidad Normativa que tiene la sección de concreto en resistir corte. Aplicando la

1401.60

1401.60 0.80 1.11

+

Mu (Kg*m)

438

1.11

0.80

+

+ -

-

1752

3.06

1.3.5.- Chequeo de Esfuerzos

Cortant es Vu

Ø * 0.53 * ( f'c) * b * d

1752

-

As (cm2)

consideración

3.41

3.41

3.06

Queda : Vu ≤ 0.85 * 0.53 * ( √ 210) * 100 * 14 Vu

+

As (cm2)

3.06

3.06

3.06

9.139,71 Kg.

Queda verificado el corte, ya que el mayor valor de esfuerzo cortante según el diagrama de corte, es de 2.628,00 Kg.

Fig. 1-14. Cálculo d e soli citaciones



18

5.- Diseño de los Refuerzos : El diseño del acero de refuerzo consiste en determinar el diámetro y número de barras de acero (por sección de losa) necesarias para resistir los momentos flectores tanto en los apoyos como en los tramos. Sin embargo recuérdese que la mínima cantidad de acero vá de acuerdo a la consideración 1.3.1.-Acero Longitudinal

As mín = 0.0018 * b * h


La separación Máxima entre barras NO

SECCIÓN DE

Excederá (2*h) ó (35 cm) La que sea mayor.

h

LOSA MACIZA

As (Tramos) As mín = 0.0018 * 100 * 17 = 3.06 cm2/m (si se escoge la barra de menor diámetro Ø = 3/8" ) Para Ø = 3/8" . As = 0.71 cm2 Dividiendo As mín entre el área de acero escogido : (3.06 cm2/m) / (0.71 cm2/Barra) = 4.31 Barras/m = 5 Barras/m . Para determinar la separación: (1.00m) / (5 Barras/m) = 0.20 m . Por lo tanto la mínima cantidad de acero queda expresada : As mín = As repartición

Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)

Acero en los Apoyos : APO YO

As

APO YO

TRACCIÓN

-

M-


COMPRESIÓN


19

Apoyo 2 = Apoyo 3 : Mu = - 1752 Kg*m 1.- K = Mu / (f'c*b*d^2) = 1752 Kg*m / (210 Kg/cm2 * 1.00m * (14cm)^2) = 0.0426 2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K (El menor valor de w) = (0.9w) - (0.531w^2) = 0.0426 w=

1.646 0.049 < w Máx

(w Máx = 0.325)

3.- Ju = 1 - (0.59*w) = 1 - (0.59*0.049) = 0.971 4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d)

(0.80 < Ju < 0.99)

= - 1752 Kg*m / (0.90 * 4200Kg/cm2 * 0.971 * 0.14m) = 3.41 cm2/m

( Ø = 0.90 ) Separación y Diámetro de barras : Diámetro de barra escogido = 3/8" (As = 0.71 cm2) Número de barras por ancho de losa : N = As (calculada) / As (Barra escogida) N = (3.41 cm2/m) / (0.71 cm2/barra) = 4.80 = 5 Separación de barras : S = (1.00m) / (5 Barras 3/8") S = 0.20 m Por lo tanto la cantidad de acero en los apoyos 2 y 3 queda expresada : As (apoyos 2 = 3)

Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)

Apoyo 1 = Apoyo 4 : En apoyos externos cuando el momento flector es igual a cero (0), el refuerzo se diseña con un valor de momento dado por la fórmula : M = qu * L^2/ 24 Por lo que : M = (1095 Kg/m) * (4.00m^2) / 24 = 730 Kg*m 1.- K = Mu / (f'c*b*d^2) = 0.0177 2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K . w =0.0199 < w Máx

(w Máx = 0.325)



20

3.- Ju = 1 - (0.59*w) . Ju = 0.988 4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d) = 1.40 cm2/m < As mín . Por lo tanto los apoyos 1 y 4 se reforzarán con:

As mín

Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)

Acero en los Tramos :

APO YO

APO YO

APO YO

APO YO

COMPRESIÓN

As +

TRAMO

M+

Tramo 1 - 2 = Tramo 3 - 4 : Mu = + 1401.60 Kg*m Como el procedimiento de cálculo es el mismo, tenemos : As = 2.71 cm2/m. < As mín

Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)

Tramo 2 - 3 : Mu = + 439.00 Kg*m Como el procedimiento de cálculo es el mismo, tenemos : As = 0.84 cm2/m. < As mín

Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)


TRACCIÓN


21

6.- Despiece de Losa : El despiece de la losa, es la representación en dibujo de los cálculos que la preceden. Este despiece incluye básicamente: Dibujo del perfil y sección típica de la losa indicando los ejes estructurales; detalle del diámetro, colocación y longitud del refuerzo. Para el ejemplo propuesto todos estos detalles los representaremos en toda su dimensión en el capítulo Nº 2, correspondiente a ADHERENCIA Y ANCLAJE. Sin embargo a continuación se presenta un despiece típico donde NO incluiremos (Hasta el siguiente capítulo) las longitudes de los refuerzos :

DESPIECE DE LOSA :

1

2

3

4.00

4

4.00

4.00

L-E MACIZA h = 0.17

0.15

0.15

Ø 3/8" c/.20

0.15

0.15

Ø 3/8" c/.20

0.15

0.15

Ø 3/8" c/.20

0.15

0.15

Ø 3/8" c/.20

Ø 3/8" c/.20

REPARTICIÓN Ø 3/8" c/.20

El despiece de Losas, es la representación gráfica de todos los análisis hechos previamente. El despiece como tal, no es más que el dibujo representativo (Del elemento que se diseña) plasmado en los planos estructurales del proyecto.



22

1.5.- LOSAS NERVADAS :

Su sección es en " T " de concreto armado. Son más livianas que las losas macizas (Y por ende más económicas). Son buenas aislantes tanto térmicas como acústicas. Su espesor o altura es generalmente de 15, 20, 25 y 30 cms. Las losas más económicas de este tipo son aquellas en las cuales las luces oscilan entre los 5.00 a 6.00 m., No obstante se pueden encontrar losas macizas que superen los 6.00 m., de longitud. Las Losas Nervadas que se estudiarán en el presente capítulo, son las definidas en el punto

8.10 ENTREPISOS NERVADOS de las Normas COVENÍN-MINDUR 1753. Los nervios

allí definidos y proyectados más comunmente son de las siguientes características : SECCIÓN DE LOSA NERVADA

50 cm

MALLA ELECTROSOLDADA

-

As (Apoyos)

5 cm d

Bloque Piñata

Bloque Piñata

+

bw = 10 cm

As (Tramos)

Bloque Piñata 0.10

0.40

h (Bloque) 0.10

Alturas comerciales de Bloque Piñata y pesos de As mín = (14/Fy) * b * d

Losa Nervada :

q (secc) = d concreto * Area secc.

h Bloque (cm)

h Losa (cm) Peso (Kg/m2)

15 .................. 20 ........... 270

(d concreto = 2500 Kg/m3)

20 .................. 25 ........... 315 25 .................. 30 ............ 360 30 .................. 35 ............ 415

Macizado por Corte : En " Losas Nervadas " , debe verificarse el esfuerzo cortante en las

zonas de apoyos para satisfacer la condición de corte, de lo contrario se deben macizar las zonas de los apoyos. Sin embargo se recomienda macizar por lo menos 10 cms., a cada lado de las caras de los apoyos, como se muestra en la figura : Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


23

L. Macizado = 0.10 m

O Y O P A E D A G I V

PLANTA

L. Macizado = 0.10 m CORTE VIGA DE APOYO

1.5.1.- Ejemplo d e Diseño de L osa Nervada :

A continuación se diseñará la Losa Maciza del ejemplo anterior, pero como Losa Nervada, con los mismos datos :

PASOS A SEGUIR :

1

2

4.00

1.- Determinar h mín para NO chequear deflexiones :

3

4.00

4

4.00

L-E NERVADA



24

Tramo 1 - 2 = Tramo 3 - 4 (Un ext. Contínuo) : L/18 = 4.00/18 = 0.22 m. (El mayor) Tramo 2 - 3 (Ambos ext. Contínuos) : L/21 = 4.00/21 = 0.19 m. Se toma el mayor valor. Sin embargo, según la sección de Losa Nervada, se debe escoger un bloque piñata (de medidas comerciales) cuya altura sumada a los 5 cms., de loseta de igual o superior a los 22 cms., calculados. Por lo tanto se escogerá un bloque piñata de 20 cms., de altura, para que en definitiva la Losa Nervada sea de 25 cms., de espesor. Se escoge espesor de Losa Nervada = 25 cms. 2.- Análisis de Cargas Actuantes : A continuación se procede a determinar las cargas permanentes (qcm) y las cargas accidentales (qcv) para su posterior mayoración (qu). Cargas Permanentes (qcm) : Cerámica

b =50 cm 2 cm 3 cm

Mortero

5 cm d = 22 cm

1/2 Bloque

1/2 Bloque

h (Bloque) = 20 cm

bw = 10 cm

q Losa Nervada = d Losa * b = 315 (Kg/m2) * 0.50 (m)

= 157.50 Kg/m

q mortero = d mortero * b * e = 2150 (Kg/m3) * 0.50 (m) * 0.03 (m) = 32.25 Kg/m q cerámica = d cerámica * b = 80 (Kg/m2) * 0.50 (m)

= 40.00 Kg/m

q tabiquería = d tabiquería * b = 150 (Kg/m2) * 0.50 (m)

= 75.00 Kg/m qcm = 304.75 Kg/m

Cargas Accidentales (qcv) : Para uso residencial qcv = 175 (Kg/m2) * 0.50 (m) = 87.50 Kg/m qcv = 87.50 Kg/m Como (qcv = 87.50 Kg/m) < (qcm = 304.75 Kg/m). NO es necesario hacer movimiento de (qcv). Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


25

Carga en servicio (qserv) : qserv = 304.75 + 87.50 = qserv = 392.25 Kg/m Carga Mayorada (qu) : qu = (1.4 *qcm) + (1.7*qcv) = (1.4*304.75) + (1.7*87.50) = 575.40 Kg/m qu = 576 Kg/m Factor de Mayoración de cargas (Fm) : Fm = qu / qserv = 575.40 / 392.25 = Fm = 1.47 3.- Análisis de Solicitaciones (Diagramas de corte y Momento Flector) :

Apoyos 1 - 2 - 3 1

2

4.00

3


4.00


qu = 576 (Kg/m)

16M2 + 4M3 + 18432 = 0 (Ec. I) M1 = 0

M2

M3

Apoyos 2 - 3 - 4 : 2

3

4.00

4


4.00


qu = 576 (Kg/m)

4M2 + 16M3 + 18432= 0 (Ec. II) M2

M3

M4 = 0

Resolviendo el sistema de ecuaciones queda : 16M2 + 4M3 + 18432 = 0 (Ec. I) 4M2 + 16M3 + 18432 = 0 (Ec. II) . Resolviendo queda ; M2 = M3 = - 921.60 Kg*m



26

Diagramas de corte y momento : b = 50 cm As (Apoyos) 1

2

3

4.00

4

4.00

4.00

SECCIÓN DE

d

LOSA NERVADA

qu = 576 (Kg/m)

L-E NERVADA

0

921.60

bw

0

921.60

d = h - recubrimiento = 25 - 3 d = 22 cm.

1382.40 1152

921.60

+

+

Vu(Kg)

+

-

-

921.60

1382.40

737.28

1152

230.40 0.80 1.11

+

Mu (Kg*m)

consideración

1.3.5.- Chequeo de Esfuerzos

Cort antes Vu

Ø * 0.53 * ( f'c) * b * d

0.80

+

+ -

921.60

921.60

1.18

1.18

Queda : Vu ≤ 0.85 * 0.53 * ( √ 210)* 10 * 22 Vu

-

0.73

4.- Chequeo de Esfuerzos Cortantes : Aplicando la

737.28 1.11

-

As (cm2)

As (Tramos)

0.73

1.436,24 Kg.

Queda verificado el corte, ya que el mayor valor de esfuerzo cortante según el diagrama de corte, es de

+

As (cm2)

0.90

0.73

0.90

1.152,00 Kg. No obstante en Losas Nervadas se hace un macizado por corte de 10 cms., medido a cada lado de los apoyos de la Losa.

5.- Diseño de los Refuerzos : El diseño del acero de refuerzo consiste en determinar el diámetro de barras de acero (por sección "T" de losa) necesarias para resistir los momentos flectores tanto en los apoyos como en los tramos. Sin embargo recuérdese que la mínima cantidad de acero vá de acuerdo a la consideración 1.3.1.-Acero Longitudinal



b = 50 cm As mín = (14/Fy) * b * d

27

As (Apoyos)

(Para Losas Nervadas). SECCIÓN DE

d

LOSA NERVADA

bw

As (Tramos)

As mín = (14/Fy) * 10 * 22 = 0.73 cm2 (si se escoge la barra de menor diámetro Ø = 3/8" ) Por lo tanto la mínima cantidad de acero queda expresada : As mín =

1 Ø 3/8"

(As = 0.71 cm2)

Acero en los Apoyos : APO YO

As -

APO YO

b = 0.50

TRACCIÓN

M-

bw = 0.10

COMPRESIÓN

Apoyo 2 = Apoyo 3 : Mu = - 921.60 Kg*m 1.- K = Mu / (f'c*bw*d^2) = 921.60 Kg*m / (210 Kg/cm2 * 0.10m * (22cm)^2) = 0.091 2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K (El menor valor de w) = (0.9w) - (0.531w^2) = 0.091 Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


w=

28

1.587 0.108 < w Máx

(w Máx = 0.325)

3.- Ju = 1 - (0.59*w) = 1 - (0.59*0.108) = 0.937 4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d)

(0.80 < Ju < 0.99)

= - 1752 Kg*m / (0.90 * 4200Kg/cm2 * 0.937 * 0.14m) = 1.18 cm2

( Ø = 0.90 ) Diámetro de barras : Diámetro de barra escogido = 1/2 " (As = 1.27 cm2) Por lo tanto la cantidad de acero en los apoyos 2 y 3 queda expresada : As (apoyos 2 = 3)

1 Ø 1/2 "

(As = 1.27 cm2)

Apoyo 1 = Apoyo 4 : En apoyos externos cuando el momento flector es igual a cero (0), el refuerzo se diseña con un valor de momento dado por la fórmula : M = qu * L^2/ 24 Por lo que : M = (576 Kg/m) * (4.00m^2) / 24 = 384 Kg*m 1.- K = Mu / (f'c*bw*d^2) = 0.0378 2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K . w =0.0431 < w Máx

(w Máx = 0.325)

3.- Ju = 1 - (0.59*w) . Ju = 0.975 4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d) = 0.47 cm2 < As mín . Por lo tanto los apoyos 1 y 4 se reforzarán con: As mín

1 Ø 3/8"

(As = 0.71 cm2)



29

Acero en los Tramos :

b = 0.50

COMPRESIÓN

As +

M+

bw = 0.10

TRACCIÓN

Tramo 1 - 2 = Tramo 3 - 4 : Mu = + 737.28 Kg*m 1.- K = Mu / (f'c*b*d^2) = 0.0145 (Cuando se trate de (As) por (M+) el valor de (b) es = 50 cm ). 2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K . w =0.0162 < w Máx

(w Máx = 0.325)

3.- Ju = 1 - (0.59*w) . Ju = 0.990 4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d) = 0.90 cm2 > As mín . Por lo tanto los Tramos extremos se reforzarán con: As Tramo 1 - 2 = Tramo 3 - 4 :

1 Ø 1/2 "

(As = 1.27 cm2)

Tramo 2 - 3 : Mu = + 238.40 Kg*m Como el procedimiento de cálculo es el mismo, tenemos : As = 0.29 cm2 < As mín

As Tramo 2 - 3 = 1 Ø 3/8" (As = 0.71 cm2)



30

6.- Despiece de Losa : Para el ejemplo propuesto los detalles de los refuerzos, los representaremos en toda su dimensión en el capítulo Nº 2, correspondiente a ADHERENCIA Y ANCLAJE. Sin embargo a continuación se presenta un despiece típico donde NO incluiremos (Hasta el siguiente capítulo) las longitudes de los refuerzos :

DESPIECE DE LOSA :

1

2

3

4.00 MACIZADOS

4

4.00

0.25

4.00

0.25 0.25

0.25

0.25 0.25

L-E NERVADA h = 0.25

0.15

0.15

0.15

1 Ø 3/8"

0.15

0.15

1 Ø 1/2"

1 Ø 1/2"

0.15

0.15

1 Ø 1/2"

1 Ø 3/8"

0.15

1 Ø 3/8"

1 Ø 1/2"

1.6.- LOSAS DE ESCAL ERAS :

El diseño de losas de escaleras, involucra todos los aspectos para la consideración de diseño de losas vistos hasta ahora. Las losas de escaleras, varían significativamente dependiendo del tipo. Los tipos de escaleras más comunes son : De una (1) rampa, de dos (2) rampas, helicoidales, autoportantes, ortopoligonales, etc. Siendo tanta la variedad, no obstante todas se asemejan a una losa maciza; por lo que su diseño involucra los aspectos considerados para el diseño de losas macizas. A continuación se ilustrará un ejemplo de diseño de una losa (La más común) de escalera de una (1) rampa. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


31

EJEMPLO DE DISEÑO DE LOSA DE ESCALERA :

A

B

1

4.80 1.00

1.40

2

3

2.40 1.40

1.00

4.85 1.00

2.70

1.10

3 5 1 . 1

5 8 . 4

1.65

0 7 . 2

1.65

0 0 . 1

2

CORTE

0 4 . 2

PLANTA 1

Para este caso específico, se tomarán como parámetros de diseño : Acero : Fy = 4200 Kg/cm2. Concreto : f'c = 210 Kg/cm2. Vigas de apoyo : (0.30 x 0.50) Carga Variable o Accidental : qcv = 300 Kg/m2. Se utilizará el mismo procedimiento de diseño utilizado para las losas Macizas, señalado en el capítulo 1.4.- LOSAS MACIZAS . De acuerdo al planteamiento arquitectónico, los peldaños de la escalera tendrán 0.30 m de Huella y 0.165 m de Contrahuella. Estas dimensiones son las más aceptadas ya que proporcionan comodidad para el tránsito. Por otro lado, usualmente el número de huellas a salvar entre un descanso y otro NO debería pasar de Diez (10). Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


32

A continuación se plantea la estructuración de la escalera : A

1.- Espesor de la losa : (h mín)

B 4.80 1.00

1.40

1.40

Tramo 2 - 3 : L/20 = 4.85 / 20 = 0.24 m.

1.00

3

Nota : Las losas de escaleras, dependiendo

5 1 . 1

del uso (residencial ó Inst. públicas) suelen ser de 0.15 m a 0.20 m., de espesor.

5 8 . 4

0 7 . 2

1 E L

Como 2 E L

para

este

ejemplo

NO

especificaciones de uso, se hará de 0.20 m ., y se chequeará la deflexión ( δ ).

0 0 . 1

2

hay

DETALLE DE ESCALÓN : 0.30

0 4 . 2

PLANTA 1

0.165 0.20

3.33 Esc,/m

1.00m (Escalera) / 0.30m/Escalón = 3.33 Esc

2.-Análisis de Cargas Actuantes : (qcm y qcv) Cargas Permanentes (qcm) : b = 1.00 Cerámica 0.02 0.03

Mortero Placa

q placa = d concreto * b * h = 2500 (Kg/m3) * 1.00 (m) * 0.20 (m) =

0.20

500.00 Kg/m

q escalón = d concreto * nº esc. * A.esc. = 2500 (Kg/m3) * 3.33 * (0.30*0.165/2) = 206.04 Kg/m q mortero = d mortero * b * e = 2150 (Kg/m3) * 1.00 (m) * 0.03 (m) =

64.50 Kg/m

q cerámica = d cerámica * b = 80 (Kg/m2) * 1.00 (m) =

80.00 Kg/m qcm = 850.54 Kg/m



33

Cargas Accidentales (qcv) : qcv = 300 (Kg/m2) * 1.00 (m) = 300.00 Kg/m qcv = 300 Kg/m Carga en servicio (qserv) : qserv = 850.54 + 300 = qserv = 1150.54 Kg/m Carga Mayorada (qu) : qu = (1.4 *qcm) + (1.7*qcv) = (1.4*850.54) + (1.7*300) = 1700.76 Kg/m qu = 1700.75 Kg/m Factor de Mayoración de cargas (Fm) : Fm = qu / qserv = 1700.76 / 1150.54 = Fm = 1.48 3.- Análisis de Solicitaciones (Diagramas de corte y Momento Flector) : Las consideraciones especiales para determinar los momentos de los apoyos y del tramo, se basan en que la losa es inclinada e isostática. Se resolverán los diagramas de corte (Vu) y momento (Mu) teniendo en cuenta el grado de inclinación de la escalera. 2

3

2

3

4.85 1.00

2.70

4.85 1.00

1.10

Lr = 2.70

1.10

qu*Lr

qu = 1700.75 (Kg/m) qu*Lr *cos α

qu*Lr *sen α 4124.32 K

1.65

1.65

α 3.16 = Lr / cos α

CARGAS ACTUANTES

4124.32 Kg

FUERZAS EQUIVALENTES

En el esquema de la izquierda (CARGAS ACTUANTES) se aprecia el modelo que sirve de base para el análisis del elemento. En el esquema de la derecha (FUERZAS EQUIVALENTES) se observan las consideraciones hechas en el elemento. estas son básicamente :

•

Se asume el elemento simplemente apoyado.

•

Se hace descomposición de fuerzas en el tramo inclinado del elemento, en función del grado de inclinación. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


34

Diagramas de Corte (Vu ) y Momento flector (Mu) :

2

3

Lr = 2.70

4.85 1.00

Lr = 2.70

qu = 1700.75

1.10

qu*Lr *cos α = qu' * Lr / cos α qu = 1700.75 (Kg/m) qu' = qu * cos 2 α (α = 31.43º)

qu' qu*Lr qu*Lr *cos α

qu*Lr *sen α 4124.32 K

1.65 qu*Lr *sen α =

α

CARGAS

1130.75

3.16 = Lr / cos α 4124.32 Kg

1263.79

1.67

4124.32

-

2253.50

4124.32

2423.57 * cos α

2423.57

(2067.98)

2423.57

Vu (Kg)

(2394.54)

+

2423.57 * sen α

α (1263.79) 1130.75 * sen α

2067.98

(589.64)

α 1130.75

α

1949.96 * cos α

1949.96

(1663.86) 3507.80 1.67

5000.71

Resultante = 2253.50

3507.80

(1663.80 + 589.64)

+ +

3273.95

Mu (Kg*m)

3273.95

+

Nota :

Nótese que el resultado del momento máximo del tramo (5000.71 Kg*m) , equivale al momento máximo de un elemento similar (Simplemente apoyado) totalmente horizontal que se determina por la expresión (M = qu * L 2 / 8) .



Vu

4.- Chequeo de esfuerzos cortantes (Vu) :

35

Ø * 0.53 * ( f'c) * b * d

Queda : Vu ≤ 0.85 * 0.53 * ( √ 210) * 100 * 17 Vu

11.098,22 Kg.

Queda verificado el corte, ya que el mayor valor de esfuerzo cortante según el diagrama de corte, es de 4.124,32 Kg.

5.- Diseño de los refuerzos (As) : As mín = 0.0018 * b * h


La separación Máxima entre barras NO

SECCIÓN DE

Excederá (2*h) ó (35 cm) La que sea mayor.

h

LOSA MACIZA

As (Tramos) As mín = 0.0018 * 100 * 20 = 3.60 cm2/m (si se escoge la barra de menor diámetro Ø = 3/8" ) Para Ø = 3/8" . As = 0.71 cm2 Dividiendo As mín entre el área de acero escogido : (3.60 cm2/m) / (0.71 cm2/Barra) = 5.07 Barras/m = 5 Barras/m . Para determinar la separación: (1.00m) / (5.00 Barras/m) = 0.20 m . Por lo tanto la mínima cantidad de acero queda expresada : As mín = As repartición

Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)

Acero en los apoyos : Cuando en un apoyo externo, donde M - = 0. Se diseña para un valor de momento igual a : M = qu * L 2 / 24

Apoyos 2 = 3 : Mu = 1700.75 * (4.85 2) / 24 = 1666.91 Kg*m 1.- K = Mu / (f'c*b*d^2) = 0.027 Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


2.- (0.9w) - (0.531w^2) = K . w =0.031 < w Máx

36

(w Máx = 0.325)

3.- Ju = 1 - (0.59*w) . Ju = 0.982 4.- As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d) = 2.64 cm2/m < As mín . Por lo tanto los apoyos 1 y 4 se reforzarán con:

As mín

Ø 3/8" c/.20 (As = 3.55 cm2/m)

Acero en los tramos : Tramo 2 - 3 : Mu = + 5000.71 Kg*m Como el procedimiento de cálculo es el mismo, tenemos : As = 8.26cm2/m. > As mín

Ø 1/2" c/.15 (As = 8.47 cm2/m)

2

3

4.85 1.00

2.70

1.10 LE - 1 MACIZA h = 0.20

1.65

DETALLE ESCALONES 0.15

0.15

0.15

0.15

0.30 0.165

Ø 3/8" C/0.20 0.15

Ø 3/8" C/0.20 0.15

0.15

Ø 3/8" C/0.20 Ø 3/8" C/0.20 3 Ø 3/8" Ø 1/2" C/0.15

Ø 1/2" C/0.15 0.10

Ø 1/2" C/0.15

REPARTICIÓN Ø 3/8" c/.20 Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

Ø 3/8" C/0.20

0.10 REFUERZO ESCALONES


2

3

4.85 LE - 2

2.70

1.00 0.15

MACIZA h = 0.20

1.10

0.15

1.65

Ø 3/8" C/0.20 0.15

0.15

Ø 3/8" C/0.20

0.15

0.15

Ø 3/8" C/0.20 Ø 1/2" C/0.15

Ø 3/8" C/0.20 0.15 Ø 1/2" C/0.15


0.30

DETALLE ESCALONES 0.165

Ø 3/8" C/0.20

0.10

0.10 REFUERZO ESCALONES 3 Ø 3/8" Ø 1/2" C/0.15


1.65

37


38

NOTA : La armadura de las losas de escaleras, deben ser verificadas por anclaje. Esto corresponde al Tema Nº 2 "ADHERENCIA Y ANCLAJE" . No obstante el procedimiento y las consideraciones para tales chequeos, son los mismos aplicables a losas macizas, del cual se ilustra un ejemplo ampliamente desarrollado en el tema referido.

1.7.- EJEMPLO DE MOVIMIENTO DE CARGAS (qcv) :

En el tema Nº 1.3.- CONSIDERACIONES PARA EL DISEÑO DE LOSAS, se mencionó una consideración especial para el diseño. Tal consideración se refiere al movimiento de cargas. Y dice textualmente :

1.3.3.- Sobr e Cargas (qc v) : Llamadas también cargas accidentales. Cuando

su valor supere al de las cargas permanentes (qcm), se debe "mover" la sobre carga a los sitios más desfavorables según sea el caso. La carga total mayorada (qu), viene dada por la expresión : qu = (1.4*qcm) + (1.7*qcv) Si qcv > qcm . Se debe hacer movimiento de qcv. A continuación se ilustrará un caso de movimiento de cargas, tomando como ejemplo de diseño, el resuelto en el aparte : 1.5.1.- EJEMPLO DE DISEÑO DE LOSA NERVADA. Con Fy = 4200 Kg/cm2 y f'c = 210 Kg/cm2. Para tal fín modificaremos algunos datos del ejemplo propuesto :

SECCIÓN DE ANÁLISIS : 1

2

4.00

3

4.00

4

4.00

L-E NERVADA

Se escoge espesor de Losa Nervada = 25 cms. Análisis de Cargas Actuantes : A continuación se procede a determinar las cargas permanentes (qcm) y las cargas accidentales (qcv) para su posterior mayoración (qu). Cargas Permanentes (qcm) : Solo para fines didácticos NO se considerará la influencia del peso de la tabiquería. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


39

b =50 cm

Cerámica

2 cm 3 cm

Mortero

5 cm d = 22 cm

1/2 Bloque

1/2 Bloque

h (Bloque) = 20 cm

bw = 10 cm

q Losa Nervada = d Losa * b = 315 (Kg/m2) * 0.50 (m)

= 157.50 Kg/m

q mortero = d mortero * b * e = 2150 (Kg/m3) * 0.50 (m) * 0.03 (m) = 32.25 Kg/m q cerámica = d cerámica * b = 80 (Kg/m2) * 0.50 (m)

= 40.00 Kg/m qcm = 229.75 Kg/m

Cargas Accidentales (qcv) : Se asumirá el valor de (qcv) para áreas públicas (Salón de fiesta). Para Salones de fiesta (qcv) = 500 (Kg/m2) * 0.50 (m) = 250.00 Kg/m qcv = 250.00 Kg/m

Como (qcv = 250.00 Kg/m) > (qcm = 229.75 Kg/m). ES necesario hacer movimiento de (qcv) a los sitios más desfavorables. Carga en servicio (qserv) : qserv = 229.75 + 250.00 = qserv = 479.75 Kg/m Carga Mayorada (qu) : qu = (1.4 *qcm) + (1.7*qcv) = (1.4*229.75) + (1.7*250.00) = 746.65 Kg/m qu = 746.65 Kg/m Factor de Mayoración de cargas (Fm) : Fm = qu / qserv = 746.65 / 479.75 = Fm = 1.56

Análisis de Solicitaciones (Diagramas de corte y Momento Flector) moviendo (1.7 qcv) : En este paso se moverá (1.7 qcv) a los sitios que se consideren afecten los ptos., máximos de corte (Vu) y momento flector (Mu). Los diagramas a continuación, se resolvieron directamente. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


1 1

2

3

4.00

2

40

3

4

4

4.00

4.00

4.00

4.00

4.00

(1.7 qcv) = 425.00 (Kg/m) qu = 746.65 (Kg/m)

0

1194.64

0

1307.97

+

-

-

828.63

+

+

Vu(Kg) -

0

741.31

1634.97

1166.31

+

+

Vu(Kg)

0

1791.65

1493.30

1194.64

3Y4

(1.4 qcm) = 321.65 (Kg/m)

CASO 1

1194.64

CASOS

+

-

-

-

1194.64 1791.96

955.71

955.71 1.11

Mu (Kg*m)

+

+

4

4.00

741.31

2

3

4.00

4.00

(1.7 qcv)

0

0

854.64

856.96

+

Vu(Kg)

-

-

0

1706.96

+

+

CASO 5

854.64

643.30

1279.64

-

4

(1.4 qcm) = 321.65 (Kg/m)

CASO 2

854.64

+

+

Vu(Kg)

1307.97

(1.7 qcv)

(1.4 qcm) = 321.65 (Kg/m)

1493.30

-

4.00

1.7 cv = 425.00 (Kg/m)

429.64

+

+

1

4.00

854.64

1.15

-

3

4.00

326.04 0.67

+

1194.64

2

0

482.10 0.88 1.05

-

1194.64

1

910.92

0.80

-

1351.64

1820.29

298.66 0.80 1.11

+

Mu (Kg*m)

457.97

1493.30

+

-

-

-

429.64 856.96

286.94

Mu (Kg*m)

0.69

+

0.69

854.64

1096.55

1.33

+

+ -

1706.96

286.94

638.66 1.33

1279.64

1493.30

Mu (Kg*m)

643.30

0.57

0.57

+

+ -

-

211.34 854.64

854.64


1096.55

854.64


41

Analizando cuidadosamente cada caso planteado, se obtienen los valores críticos de Corte (Vu) y Momento flector (Mu). Estos valores son : Para Corte : (apoyos 1 y 4) ⇒ Vu = 1279.64 Kg

CASO 5

(apoyos 2 y 3) ⇒ Vu (Máx) = 1820.29 Kg

CASOS 3 Y 4

Para Momento flector : En los Apoyos (Mu -) : (Apoyos 1 y 4) ⇒ Mu = qu*L 2/24 = (746.65 * 4 2)/24 = 497.77 Kg*m. (Apoyos 2 y 3) ⇒ Mu = 1307.97 Kg*m

CASOS 3 Y 4

En los Tramos (Mu +) : (Tramo 1-2 = 3-4) ⇒ Mu = 1096.55 Kg*m (Tramo 2 - 3) ⇒ Mu = 638.66 Kg*m

CASO 5

CASO 2

SECCIÓN DE LOSA NERVADA

b = 50 cm As (Apoyos) d = h - recubrimiento = 25 - 3 d = 22 cm. d

bw

As (Tramos)

Chequeo de Esfuerzos Cortantes : Aplicando la consideración 1.3.5.- Chequeo de Esfuerzos Cortant es Vu Vu

Ø * 0.53 * ( f'c) * b * d

Vu ≤ 0.85 * 0.53 * ( √ 210)* 10 * 22

1.436,24 Kg.

Queda verificado el corte, excepto en los apoyos 2 y 3 , ya que el mayor valor de esfuerzo cortante según el diagrama de corte CASOS 3 Y 4, es de 1820.29 Kg . En estos apoyos se determinará la longitud de macizado requerida para resistir ese esfuerzo cortante. No obstante en los otros apoyos, se hará un macizado por corte de 10 cms., medido a cada lado de los apoyos de la Losa. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


42

Cálculo de las Longitudes de Macizado en apoyos ( 2 y 3 ) : CASOS 3 Y 4 2

L (tramo) = 4.00 m

L1 (Macizado) :

L (tramo) = 4.00 m

2.44 = L1 (macizado) 1820.29 1820.29 - 1436.24

L2 Macizado = 0.27 m

L1 (Macizado) = 0.51 m .

1634.97 1436.24

+

2.44

Vu (Kg)

L2 (Macizado) : 2.19

-

2.19 = L2 (macizado) 1634.97 1634.97 - 1436.24

1436.24 1820.29

L2 (Macizado) = 0.27 m .

L1 Macizado = 0.51 m

Diseño de los Refuerzos : Se hará según los valores máximos obtenidos en los casos citados. Sin embargo recuérdese que la mínima cantidad de acero vá de acuerdo a la consideración 1.3.1. Ac ero Longitudin al

As mín = (14/Fy) * b * d

(Para Losas Nervadas).

As mín = (14/Fy) * 10 * 22 = 0.73 cm2 (Se escoge la barra de menor diámetro Ø = 3/8" ) As mín =

1 Ø 3/8"

(As = 0.71 cm2)

Acero en los Apoyos : Apoyo 1 = Apoyo 4 : Para : Mu = - 497.77 Kg*m As (apoyos 1 = 4)

1 Ø 3/8 "

( As = 0.62 cm2)

(As = 0.71 cm2)



Apoyo 2 = Apoyo 3 : Para : Mu = - 1307.97 Kg*m As (apoyos 2 = 3)

1 Ø 5/8 "

43

( As = 1.73 cm2)

(As = 1.98 cm2)

Acero en los Tramos : Tramo 1 - 2 = Tramo 3 - 4 : Para : Mu = + 1096.55 Kg*m As (Tramos 1 - 2 = 3 - 4)

1 Ø 5/8 "

Tramo 2 - 3 : Para : Mu = + 638.66 Kg*m As (Tramos 2 - 3)

1 Ø 1/2 "

( As = 1.34 cm2)

(As = 1.98 cm2)

( As = 0.77 cm2)

(As = 1.27 cm2)

En el despiece de la Losa Nervada NO se considerarán las longitudes del refuerzo, ya que forma parte del tema siguiente. Por lo tanto el dibujo queda de la siguiente manera :

DESPIECE DE LOSA :

1

2

3

4.00 MACIZADOS

4

4.00

0.25

4.00

0.51 0.27

0.25

0.27 0.51


0.15

0.15

0.15

1 Ø 3/8"

0.15

0.15

1 Ø 5/8"

1 Ø 5/8"

0.15

0.15

1 Ø 5/8"

1 Ø 1/2"


1 Ø 3/8"

1 Ø 5/8"

0.15


44

ANEXOS (1.- TABL AS PARA CÁLCUL O DE CORTES Y MOMENTOS) Lc

0.39 0.61

0.53 0.47

0.39 0.61 0.53

0.39 0.61

0.39

0.49 0.51

0.50

1.01

0.96

0.47 0.49 0.51 1.02

0.53 0.47

0.61

0.39

1.14

0.50

0.54 0.46

0.40 0.60

1.14

0.92

Fuerzas Cortantes :

0.50

1.10

0.375 0.625 1.25

0.50

0.40

1.10

0.40

V = CV * W * L

Reacciones en apoyos : R = CR * W * L

0.375

W ⇒ Carga Uniforme Distribuida. L ⇒ Luz del tramo.

0.50

Lc

- 0.106

- 0.077

- 0.085 0.040

- 0.106

- 0.077

0.043

- 0.087 0.043

- 0.105

0.076

0.034

0.076

0.034

- 0.079 0.046

- 0.107

0.035

0.076

- 0.071 0.039

0.076

- 0.100

Coeficiente (Cm) para Momentos en 0.025

0.080

Apoyos y Tramos : M = Cm * W * L 2

- 0.125 0.070

W ⇒ Carga Uniforme Distribuida. L ⇒ Luz del tramo.

0.125


45 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II.

CAPÍTULO Nº 2 .: " ADHERENCIA Y ANCLAJE " En este capítulo se estudiarán los conceptos que fijan pauta para la aplicación de las Normas COVENÍN-MINDUR 1753, señaladas en el capítulo 12. LONGITUDES DE DESARROLLO Y EMPALMES DE LAS ARMADURAS.

Para una comprensión más profunda de este tema, es

imprescindible leer detenidamente tanto el capítulo referido como sus comentarios. En líneas generales el término Longitud de desarrollo se puede definir como : " La longitud que necesita una barra de refuerzo para desarrollar en su totalidad los esfuerzos de adherencia ". A simple vista esta definición no dice mucho, pero una vez que se entienda que una barra de acero embutida dentro de una pieza de concreto es capaz de desplazarse de su posición; debido a (por ejemplo) esfuerzos de flexión, nos damos cuenta que es necesario proporcionarle a la armadura una longitud tal; que garantice la presencia de la barra de refuerzo más allá de la zona donde ocurre la flexión. El origen del esfuerzo de adherencia se debe a : •

La adhesión de naturaleza química existente entre el acero de refuerzo y el concreto.

•

La fricción que se genera entre el acero de refuerzo y el concreto, que se desarrolla como consecuencia de la tendencia de la barra a deslizar. CARGA

Di

Di

As

SECCIÓN DE CONCRETO REFORZADO SOMETIDA A CARGA

TENDENCIA DE LA BARRA A DESLIZAR DEBIDO A LA FLEXIÓN Dtot

Dtot


46 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. •

El acero de refuerzo corrugado que genera una reacción. Es decir; apoyo directo de las corrugaciones del refuerzo contra el concreto.

BARRA CORRUGADA

Ø Barra

2.1.- ESFUERZOS DE ADHERENCIA :

Suponiendo un elemento sometido a cargas :

x

Una sección de ese elemento presentaría las siguientes solicitaciones :

M

C + DC

C Z

M + DM V

T

V + DV BARRA DE REFUERZO

T + DT

Siendo : C : Esfuerzo de Compresión.

dx

T : Esf. De Tracción. V : Esf. De Corte.

Donde :

M=T*Z

y

V = DM / dx

DM = DT * Z

M : Momento flector. Z : Altura útil del elemento. D : Variación del esfuerzo.

DT = DM / Z

dx : Diferencial de longitud.



ANALIZANDO LOS ESFUERZOS EN LA BARRA DE REFUERZO :

m (Esfuerzos de Adherencia)

T

T + DT dx

T + (m*So*dx) = T + DT

T (Kg) m (Kg/cm2)

So : Sumatoria del perímetro de la barra.

m = (1/So) * (DT/dx) Perímetro Perímetro

Como : DT = DM / Z , tenemos :

D

m = 1 * DM So*Z dx So = p * D (D : Diámetro de la barra).

Si : V = DM / dx , la ecuación queda : = 1 * V o*Z

ESFUERZO DE ADHERENCIA

2.2.- LONGITUD DE DESARROLL O :

Se define como la distancia requerida para que una barra de refuerzo pueda desarrollar completamente su esfuerzo adherente. A continuación se presenta una ilustración que muestra los conceptos definidos :



Esfuerzos de adherencia ( f ) : B

En tramo A - B : Ld

A

T : Tensión (Kg)

f = T / Ab

Ab : Área de la barra (cm2) Barra de refuerzo embutida en Concreto.

En pto. B : f=0

Entre A y B el esfuerzo " f " se transmite de la barra al concreto.

T

2.3.- FORMAS DE FALLA :

Las formas características como se presentan las fallas dependerá básicamente del recubrimiento de concreto que tenga la barra de refuerzo. Es decir : Ø Pequeño Ø Grande

Mucho recubrimiento Poco recubrimiento

Se fractura el cilindro de concreto debido al poco recubrimiento. NO HAY ADHERENCIA.

Hay fractura en el concreto. Sin embargo HAY BUENA ADHERENCIA



2.4.- DETERMINACIÓN DE LA LONGITUD DE DESARROLLO :

Suponiendo un segmento de viga :

El objetivo es procurar que los BARRA DE REFUERZO

esfuerzos de adherencia sean menores ( o iguales ) que los esfuerzos que producen la falla.

FISURAS

m ≤ mu

T (Kg) (Tracción)

DT = 0

DT = 0

dx

dx

m : Esfuerzo de adherencia. mu : Esfuerzo de falla.

Donde :

u=K*

f'c

En las fisuras NO hay adherencia m = 0

(Kg/cm2) (Esf. Adher)

m = 0

Si se trata de una viga reforzada sometida a cargas : fs = 0

P

P

fs = Máx

fs = 0

m ≤ mu

(Condición deseada)

T máx - T mín = m*So*L (Como Tmín = 0) = T máx o*L

fs = Máx

≤ mu

(Condición)

L La longitud (Ld) a la cual los esfuerzos de M máx T máx M (Kg*m) = 0 T (Kg) = 0

adherencia son menores que los de la falla,

M máx T máx

+

será : (Despejando L de la ecuación) M=0 T=0

L ≥ T máx y queda : So*mu

T máx = fs máx * Area barra Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

Ld

T máx o* u


Como :

T máx = fs máx * Area barra

, la expresión Ld queda : Ld fs máx * Area barra o* u

Longitud de desarrollo :

Longitud mínima requerida para que se cumpla : m ≤ mu

Ahora bien como :

u=K*

f'c

, la expresión Ld se transforma a:

Siendo :

Ld ≥ fs máx * Area barra So*mu

So = p * d

Ld ≥ Fy * Area barra p*d*K* f'c

fs máx = Fy

Finalmente : Esta expresión corresponde al instante Ld ≥

1 *d*K

* Fy * Area barra f'c

donde se alcanza la falla m ≤ mu

Donde el término (1 / p * d * K ) será un valor conocido que dependerá del número y diámetro (Ø) de las barras, y " K " un coeficiente que dependerá no solo del diámetro de la barra, si no también de la separación entre barras y su función en las secciones de estudio.

2.5.- ARTÍCULOS DE LAS NORMAS COVENÍN-MINDUR QUE DAN PAUTA PARA EL CÁLCUL O DE LONGITUDES DE DESARROLLO, SOLAPES Y GANCHOS ESTÁNDAR. (CAPÍTULO 12 NORMAS 1753).

A continuación

se citará textualmente el capítulo 12 de las Normas referidas, y

posteriormente se ilustrarán algunos de los artículos para una mejor comprensión. Es importante recordarle al lector que para profundizar el entendimiento de este tema, debe referirse a los comentarios que aparecen en las propias Normas. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

51 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. CAPÍTULO 12 : LONGITUDES DE DESARROLLO Y EMPALME DE LAS ARMADURAS.

12.1 LONGITUDES DE DESARROLL O DE LAS ARMADURAS - GENERALIDADES.

En cualquier sección de un miembro de concreto armado la tracción o compresión en las armaduras se transferirá a cada lado de dicha sección mediante prolongación del refuerzo o anclaje, en forma de gancho o dispositivo mecánico, o una combinación de ambos. En las barras sometidas a tracción el anclaje puede lograrse utilizando ganchos, los cuales no se considerarán efectivos para transferir la compresión.

12.2 LONGITUDES DE DESARROLLO PARA BARRA S Y ALAMBRES ESTRIADOS EN TRACCIÓN.

12.2.1 La longitud de desarrollo (Ld) en cm, para barras y alambres estriados sometidos a tracción, se calculará multiplicando la longitud básica de desarrollo (Ldb) de la sección 12.2.2 por el factor o los factores de modificación de las secciones 12.2.3 y 12.2.4, pero (Ld) no será menor que el valor especificado en la sección 12.2.5 .

12.2.2 La longitud básica de desarrollo (Ldb), en cm, será :

√ f'c ≥ 0.006*db*Fy

a.

Para barras Nº 11 ó menores ......................... 0.06*Ab*Fy /

b.

Para barras Nº 14 ........................................... 0.82 * Fy /

√ f'c

c.

Para barras Nº 18 ........................................... 1.10 * Fy /

√ f'c

d.

Para alambre estriado .................................... 0.11 * db * Fy /

12.2.3

√ f'c

La longitud básica de desarrollo (Ldb), se multiplicará por los siguientes factores

según sean aplicables : a.

Armaduras Superiores. Para armaduras superiores ........................................... 1.40 (A los efectos de longitud de desarrollo se define como armadura superior, a la armadura horizontal que tiene por debajo 30 cm, de concreto o más).

b. Resistencia Cedente. Para armaduras con Fy mayor de 4200 Kg/cm2 ........ ( 2 - 4200/Fy)


52 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. c.

Concretos con Agregados Livianos. Cuando se especifica fct y el concreto se Dosifica de acuerdo con el artículo 4.2 ...................... 1.8*( √ f'c) / fct

≥ 1

Cuando no se especifique fct : Concreto "Totalmente liviano" .................................... 1.33 Concreto "Liviano con arena" ..................................... 1.18 Cuando se utiliza reemplazo parcial de arena puede Interpolarse linealmente.

12.2.4 La longitud básica de desarrollo (Ldb) modificada por los factores apropiados de la sección 12.2.3, puede multiplicarse por los siguientes factores de reducción según sean aplicables: a.

Separación de las Armaduras : Para las armaduras con separación de centro a centro igual o mayor de 15 cm ub icadas a 8 cm o más desde la cara del miembro al borde de la barra, medidos en la dirección de la separación ...................................... 0.80

b.

Exceso de Armaduras : Para las armaduras en exceso de las que se requieren por análisis de un miembro sometido a flexión, el factor es : ....................................................................

c.

As (requerido)__ As (proporcionado)

Zunchos : Para las armaduras encerradas por zunchos de diámetro no menor que nº 2 y con un paso no mayor de 10 cm ..... 0.75

12.2.5 La longitud de desarrollo (Ld) no será menor de 30 cm, excepto en el cálculo de los empalmes por solape según el artículo 12.14 y del desarrollo de las armaduras transversales según el artículo 12.12 .

12.3 LONGITUDES DE DESARROLL O PARA BARRA S ESTRIADAS COMPRIMIDAS.

12.3.1

La longitud de desarrollo (Ld), en centímetros, para barras estriadas sometidas a

compresión se calculará multiplicando la longitud básica de desarrollo (Ldb) de la sección 12.3.2 por los factores de modificación de la sección 12.3.3, pero (Ld) no será menor de 20 cm.


53 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. 12.3.2 La longitud básica de desarrollo (Ldb), cm, será : .................................................. 0.08*db*Fy / ( √ f'c) ≥ 0.004*db*Fy

12.3.3

La longitud básica de desarrollo (Ldb) puede multiplicarse por los siguientes

factores según sean aplicables : a.

Exceso de Armaduras. Para las armaduras en exceso de las que se requieran por análisis .............................................................


b. Zunchos. Para las armaduras encerradas por zunchos de diámetro no menor que nº 2 y con un paso no mayor de 10 cm ....... 0.75

12.4 LONGITUDES DE DESARROLLO PARA GRUPOS DE BARRAS.

La longitud de desarrollo (Ld) de las barras individuales de un grupo, sometidas a tracción o a compresión, será la de la barra individual incrementada en un 20 % para grupos de 3 barras, y un 33 % para grupos de 4 barras.

12.5 LONGITUDES DE DESARROLLO PARA BARRA S CON GANCHOS ESTÁNDAR EN TRACCIÓN.

12.5.1

La longitud de desarrollo (Ldh) para barras estriadas sometidas a tracción que

terminan en ganchos estándar, tal como los definidos en el artículo 7.1, se calculará multiplicando la longitud básica de desarrollo (Lhb) de la sección 12.5.2 por los factores de modificación de la sección 12.5.3. Sin embargo, Ldh no será menor que 8db ni inferior a 15 cm.

12.5.2

Para barras con esfuerzo cedente Fy de 4200 Kg/cm2 la longitud básica de

desarrollo (Lhb) de una barra con gancho sometida a tracción se definirá por la expresión :

Lhb = 320 * db /

w

f'c .

12.5.3 Para obtener la longitud de desarrollo (Ldh) se multiplicará la longitud (Lhb) por los factores indicados a continuación, que sean aplicables :



a. Resistencia Cedente. Barras con Fy diferente de 4200 Kg/cm2 ............................... Fy / 4200

b. Recubrimientos. Barras nº 11 y menores, con un recubrimiento lateral medido perpendicularmente al plano del gancho no menor de 6.0 cm, y ganchos a 90º cuya extensión recta tenga un recubrimiento no menor de 5 cm ........................................ 0.70

c. Ligaduras o Estribos. Barras nº 11 y menores, cuando se confinan los ganchos por medio de estribos cerrados o hélices con separación no mayor de 3db, donde db es el diámetro de la barra con gancho ............................................................................. 0.80

d. Exceso de Armaduras. Cuando hay armaduras en exceso de las que se requieran por análisis, y no se exige específicamente que el anclaje o la longitud de desarrollo sea suficiente para que la barra alcance el esfuerzo cedente Fy, el factor es : .......................


e. Concretos con Agregados Livianos. Para concreto estructural con agregados livianos ................. 1.30

12.5.4

Cuando se requiera anclar las barras mediante ganchos en los extremos

discontínuos de los miembros y los recubrimientos, tanto lateral como superior e inferior, sean menores de 6 cm, se confinarán los ganchos de estas barras mediante estribos cerrados o hélices con separación no mayor de de 3db, siendo db el diámetro de la barra confinada. En este caso no se aplicará el factor de modificación de la sección 12.5.3 (c). Si el análisis indica que el gancho no es necesario, no se aplicarán las disposiciones de la presente sección. Véase en el comentario la Figura C-12.5.4 .

12.5.5

Los ganchos no se considerarán efectivos para la longitud de desarrollo de

armaduras comprimidas.


55 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. 12.6 ANCLAJ ANCL AJ ES MECÁNICOS.

12.6.1

Puede utilizarse utilizarse como anclaje cualquier cualquier dispositivo dispositivo mecánico mecánico capaz de desarrollar

las resistencias de las armaduras sin dañar el concreto.

12.6.2 Deberán presentarse presentarse a la autoridad competente los resultados de los ensayos ensayos que demuestren la idoneidad de dichos dispositivos mecánicos.

12.6.3

La longitud de desarrollo de las armaduras puede estar constituída constituída por la

combinación de un anclaje mecánico más la longitud adicional comprendida entre la sección crítica y el anclaje.

12.7 LONGITUDES LONGITUDES DE DESARROLLO DESARROLLO PARA MALLA S SOLDADAS SOLDADAS DE ALA MBRES ESTRIADOS SOMETIDAS A TRACCIÓN.

12.7.1

La longitud de desarrollo (Ld), en cm, de mallas soldadas soldadas de alambres alambres estriados,

medida desde la sección crítica hasta el extremo del alambre, se calculará como el producto de la longitud básica (Ldb) establecida en la sección 12.7.2 ó 12.7.3 multiplicada por el factor o factores de modificación modificación aplicables aplicables de las secciones 12.2.3 y 12.2.4; pero (Ld) (Ld) no será menor de 20 cm, excepto cuando se calculen los los empalmes por solape según el artículo 12.17 y se calcule el desarrollo de las armaduras transversales según el artículo 12.12 .

12.7.2 La longitud de desarrollo básica (Ldb), en cm, cm, de las mallas soldadas de alambres estriados con un alambre transversal como mínimo dentro de la longitud de desarrollo, a no menos de 5 cm del punto de la sección crítica, será será : Ld = 0.11*db* (Fy - 1400) / ( √ f'c) ≥ 0.76*Aw*Fy / (sw * √ f'c)

12.7.3

La longitud de desarrollo básica (Ldb) de las mallas soldadas de alambres alambres

estriados, sin alambres transversales dentro de la longitud de desarrollo, se determinará tal como si fuesen alambres estriados solos.

12.8 LONGITUDES LONGITUDES DE DESARROLLO DESARROLLO PARA MALLA S SOLDADAS SOLDADAS DE AL AMBRES LISOS SOMETIDAS A TRACCIÓN.

La resistencia cedente para las mallas de alambres lisos se considerará desarrollada


56 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. mediante una franja que incluya dos alambres transversales, con el más cercano a no menos de 5.0 cm de la sección crítica. Sin embargo, la longitud de desarrollo básica (Ldb) medida desde la sección crítica al alambre transversal más alejado no será menor que :

Ldb ≥ Aw * Fy / (sw * √ f'c)

Modificada por los siguientes factores :

a. Exceso de Armaduras. Para las armaduras en exceso de las requeridas por análisis ........................ .................................... ....................... ....................... ........................ ................. .....

As (requerido)___ As (proporcionado)

b. Concreto de Agregados Livianos. Para concreto estructural con agregados livianos ................ ................ El factor de la secc. 12.2.3

Pero (Ld) no será menor de 15 cm, excepto al calcular los empalmes por solape según el artículo 12.18 .

12.9 LONGITUDES DE DESARROLLO DESARROLL O DE LA S ARMADURAS DE MIEMBROS SOMETIDAS A FLEXIÓN - GENERALIDADES.

12.9.1

Las armaduras en tracción pueden desarrollarse doblándolas a través del alma a

fín de anclarlas o hacerlas contínuas con las armaduras del lado opuesto del miembro.

12.9.2

En los miembros sometidos a flexión, las las secciones secciones críticas para el desarrollo de

las armaduras están situadas en los puntos de esfuerzo máximo y donde se interrumpen o doblan las armaduras adyacentes dentro del tramo, debiéndose cumplir las disposiciones de la sección 12.10.3 .

12.9.3 Las armaduras se prolongarán más allá de la sección en la cual ya no se requieren para resistir flexión, una distancia igual a la altura útil del miembro ó 12 db, la que sea mayor excepto en los extremos simplemente apoyados y en el extremo libre de los voladizos.

12.9.4

Las armaduras que se continúan tendrán una prolongación prolongación no menor menor que la

longitud de desarrollo (Ld), más allá de la sección donde se doblan o interrumpen las armaduras en tracción que no se requieren más para resistir flexión.


57 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. 12.9.5

Las armaduras de flexión no se interrumpirán interrumpirán en una zona sometida sometida a tracción tracción a

menos que se satisfaga una de las siguientes condiciones :

12.9.5.1

Cuando la fuerza cortante cortante en el punto de interrupción no excede de 2/3 de la

permitida, tomando en cuenta la resistencia al corte de las armaduras del miembro.

12.9.5.2

Cuando a lo lo largo de cada barra que que se interrumpe interrumpe se coloquen coloquen estribos con un

área superior a la que se requiere para corte y torsión, dentro de una distancia desde el extremo igual a 3/4 de la altura altura útil del miembro. El exceso del área de estribos no será menor que 4.20*bw*s / Fy, y su separación (s) no excederá de ( d / 8 b b ), donde b b es la relación del área de las armaduras interrumpidas al área total de las armaduras de tracción en esa sección.

12.9.5.3

Para barras barras nº 11 y menores, cuando cuando las armaduras que continúan tengan un

área igual al doble de las requeridas por flexión en el punto de interrupción y la fuerza cortante no exceda las 3/4 partes de la permitida.

12.9.6

Se proveerán anclajes extremos adecuados para las las armaduras armaduras en tracción en

miembros sometidos a flexión donde los esfuerzos de las armaduras no sean directamente proporcionales al momento, como ocurre en las zapatas con superficies superiores inclinadas, escalonadas o de sección variable; ménsulas, vigas pared, o miembros en los cuales las armaduras en tracción no sean paralelas al borde comprimido.

12.10 LONGITUDES DE DESARROLL O DE LA S ARMADURAS ARMADURA S PARA MOMENTOS MOMENTOS POSITIVOS.

12.10.1

Al menos una tercera parte de las las armaduras para momentos positivo se

prolongará hasta los apoyos si estos son exteriores y una cuarta parte si son interiores. Se recomienda que tales armaduras penetren dentro del apoyo al menos 15 cm.

12.10.2

Cuando un miembro miembro sometido a flexión flexión sea parte de un sistema primario

resistente a cargas laterales, las armaduras para resistir momentos positivos que deben prolongarse dentro del apoyo según la sección 12.10.1, se anclarán para desarrollar desarrollar en tracción en la cara del apoyo la resistencia cedente especificada Fy.

12.10.3

La armadura en tracción para momentos positivos se prolongará más más allá de un

extremo simplemente apoyado o de un punto de inflexión en una distancia (Ld) dada por la fórmula


58 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. (12 - 1), excepto que dicha condición no necesita cumplirse en apoyo simple cuando las barras se anclan mediante un gancho estándar o un anclaje mecánico equivalente a un gancho estándar (Véase la figura C - 12.10.3(a)).

Ld ≤ La + Mn Vu

(12-1)

donde : La : En un apoyo será la prolongación recta de la armadura más allá del centro de apoyo. En un punto de inflexión La se limitará limitará a la la altura útil del miembro ó 12 db, el que sea mayor.

Mn : Es la resistencia nominal a momento, suponiendo que todas las armaduras de la sección poseen un esfuerzo igual a la resistencia cedente especificada Fy.

Vu : Es la fuerza cortante mayorada en la sección.

El valor de

Mn/Vu

puede aumentarse un 30 % cuando los extremos de las armaduras

están en un apoyo comprimido.

12.11 LONGITUDES DE DESARROLL O DE LA S ARMADURAS ARMADURA S PARA MOMENTOS MOMENTOS NEGATIVOS.

12.11.1

Las armaduras armaduras destinadas a resistir resistir momentos momentos negativos negativos de los miembros miembros se

anclarán en o a través de los miembros que les sirven de apoyo mediante prolongación, ganchos o anclajes mecánicos.

12.11.2 Las armaduras que resisten momentos negativos negativos se prolongarán dentro del tramo como se requiere requiere en el artículo artículo 12.1 y la sección 12.9.3 .

12.11.3

Al menos un tercio del total de las armaduras en tracción colocadas para resistir

momentos negativos en un apoyo se prolongará más allá del punto de inflexión una distancia no menor que la altura útil útil del miembro, miembro, 12 db o L/16 de la luz libre, libre, la que sea mayor.

12.12 LONGITUDES DE DESARROLL O DE LA S ARMADURAS ARMADURA S TRANSVERSALES TRANSVERSAL ES EN VIGAS.



Las armaduras transversales de las vigas se colocarán tan cerca de las

superficies comprimidas o traccionadas del miembro, como lo permitan los requisitos de recubrimiento y la proximidad de otras armaduras.

12.12.2

Los extremos de los estribos de una sola rama, o los que tienen forma de U

simple, o de U múltiple, se anclarán según una de las siguientes formas :

12.12.2.1

Mediante un gancho estándar más una prolongación de 0.50 Ld. La parte de

una rama del estribo correspondiente a 0.50 Ld

se tomará como la distancia entre la mitad de la

altura útil del miembro, d/2, y el punto donde comienza el gancho (Punto de tangencia).

12.12.2.2

mediante una prolongación de d/2 por encima o por debajo de la mitad de la

altura, en la zona comprimida del miembro para una longitud de desarrollo total (Ld), pero no menor de 24 db , o en el caso de barras o alambres corrugados, no menor de 30 cm.

12.12.2.3

Para barras Nº 5 o alambres de 16 mm y menores, se podrá anclar con un

doblez alrededor de las armaduras longitudinales de al menos 135 grados, más una prolongación de 0.33 Ld para estribos con esfuerzos de diseño que excedan 2800 Kg/cm2 .

La prolongación de 0.33 Ld de una rama de estribo, se tomará como la distancia entre la mitad de la altura útil del miembro, d/2 , y el punto donde comienza el gancho (Punto de tangencia).

12.12.2.4 Para cada rama de una malla soldada de alambres lisos, que forma estribos en U simple, se podrá anclar ya sea por : a.

Dos alambres longitudinales en la parte superior de la U , separados a 5 cm.

b.

Un alambre longitudinal ubicado a no más de d/4 de la cara comprimida, y un segundo alambre más cerca de la cara comprimida y separado no menos de 5 cm del primero. El segundo alambre puede ubicarse en la rama del estribo más allá del doblez, o en un doblez cuyo diámetro interno no sea menor que 8 db.

12.12.2.5

para los estribos de una rama constituídos por una malla soldada de alambre

liso o estriado, cada extremo se anclará de la siguiente manera : a.

Mediante dos alambres longitudinales con una separación mínima de 5 cm.

b.

Con el alambre interno a una distancia de la línea media de la viga (d/2) de por lo menos d/4 ó 5 cm, la que fuese mayor.


60 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. c.

El alambre longitudinal externo en el borde traccionado tendrá un recubrimiento igual que la armadura de flexión primaria más próxima a dicho borde.

12.12.3

Entre extremos anclados, cada doblez en la parte contínua de un estribo en U

simple o múltiple encerrará una barra longitudinal.

12.12.4 Si las barras longitudinales que se doblan para resistir cortes se prolongan en una zona de tracción, serán contínuas con las armaduras longitudinales. Si se prolongan en una zona de compresión, se anclarán más allá de la mitad de la altura útil (d/2),

según la longitud de

desarrollo que se obtiene del artículo 12.2 para aquella parte de Fy que debe satisfacer la fórmula (11-14).

12.12.5

Los pares de estribos en U colocados para formar un estribo cerrado se

considerarán empalmados correctamente cuando las longitudes de solape sean 1.70 Ld. En los miembros que tengan por lo menos 45 cm de altura, tales empalmes pueden considerarse adecuados cuando Ab*Fy

no sea mayor de 4000 Kgf por rama y las ramas de estribos se

prolonguen en toda la altura disponible del miembro.

12.13 EMPALMES DE LAS ARMADURAS - GENERALIDADES.

12.13.1

Los empalmes de las armaduras se harán únicamente como lo requieren los

planos estructurales, las especificaciones, o como lo autorice el Ingeniero Responsable.

12.13.2 Empalmes por solape.

12.13.2.1

Para las barras mayores de la Nº 11 no se usarán empalmes por solape con

excepción de lo establecido en las secciones 12.15.2 y 15.8.2.4 .

12.13.2.2

Los empalmes por solape de barras de un grupo se basarán en las longitudes

de solape que se requieren para las barras individuales, incrementándolas en un 20 % para los grupos de 3 barras y un 33 % para los grupos de 4 barras. En ninguna sección de un grupo de barras podrá haber más de un empalme por solape de barras individuales.

12.13.2.3

En miembros sometidos a flexión las barras empalmadas por solape que no

estén en contacto, no se separarán transversalmente más de un quinto de la longitud requerida para los solapes, ni más de 15 cm.


61 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. 12.13.3 Empalmes Soldados y Conexiones Mecánicas.

12.13.3.1

Para empalmar las armaduras se autoriza la soldadura y conexiones

mecánicas.

12.13.3.2 Excepto lo establecido en estas normas, todas las soldaduras cumplirán con las normas AWS D 1.4, "Structural Welding Code-Reinforcing Steel" , de la Sociedad Americana de Soldadura.

12.13.3.3

Un empalme total soldado es aquel que tiene soldadas las barras a tope y es

capaz de desarrollar un esfuerzo de tracción de por lo menos 125 % de la resistencia cedente especificada Fy de la barra.

12.13.3.4

Una conexión total mecánica desarrollará en tracción y en compresión, según

se requiera, por lo menos un 125 % de la resistencia cedente especificada Fy de la barra.

12.13.3.5

Los empalmes soldados y las conexiones mecánicas que no cumplan con los

requisitos de la sección 12.13.3.3

ó

12.13.3.4 pueden utilizarse de acuerdo con la sección

12.14.4.

12.14 EMPALMES DE BARRAS Y AL AMBRES ESTRIADOS SOMETIDOS A TRACCIÓN .

12.14.1

La longitud mínima de solape para barras y alambres corrugados sometidos a

tracción será la que se requiere para los empalmes Clases A, B o C, definidos en la tabla 12.14, pero no menor de 30 cm, donde : Empalme Clase A ............................................................. 1.00 Ld Empalme Clase B ............................................................. 1.30 Ld Empalme Clase C ............................................................. 1.70 Ld

Siendo Ld la longitud de desarrollo en tracción para la resistencia cedente especificada Fy de acuerdo con el artículo 12.2 .

12.14.2

Los empalmes por solape de barras y alambres estriados en tracción se

clasificarán según la tabla 12.14 .


62 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. Tabla 12.14

Tipos de Empalmes por Solape Sometidos a Tracción

As (proporcionado) (*) As (requerido) Igual o Mayor de 2 Menor de 2

Porcentaje de (As) empalmado dentro de la Longitud de Solape requerida 50 %

75 %

100%

CLASE A

CLASE A

CLASE B

CLASE B

CLASE C

CLASE C

(*) Relación del área de las armaduras proporcionadas en el empalme respecto al área de las armaduras requeridas por análisis.

12.14.3

Los empalmes soldados o las conexiones mecánicas utilizadas donde el área de

las armaduras colocadas sea menor del doble de lo que se requiere por análisis, cumplirán los requisitos de la subsección 12.13.3.3 ó 12.13.3.4 .

12.14.4

Los empalmes soldados o las conexiones mecánicas utilizadas donde el área de

las armaduras colocadas sea por lo menos el doble de lo que se requiere por análisis, cumplirán los siguientes requisitos :

12.14.4.1

Los empalmes se escalonarán al menos cada 60 cm, de tal manera que

desarrollen como mínimo en cada sección, el doble de la fuerza de tracción calculada para dicha sección, pero con un esfuerzo no menor de 1400 Kgf/cm2 para el área total de las armaduras colocadas.

12.14.4.2

En las armaduras empalmadas la fuerza de tracción que se desarrolla en cada

sección se puede evaluar en base a la resistencia especificada del empalme. En las armaduras no empalmadas la fuerza de tracción se evaluará con aquella fracción de Fy definida por la relación entre la Longitud de Desarrollo real más corta de cada barra y el valor de Ld que se requiere para desarrollar la resistencia cedente especificada Fy.

12.14.5

Los empalmes de las barras de un tensor, serán empalmes totales realizados

mediante soldaduras o conexiones mecánicas, según la subsección 12.13.3.3 ó 12.13.3.4 , y estos empalmes, para barras adyacentes, se escalonarán a una distancia de 75 cm como mínimo.


63 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. 12.15 EMPALMES DE BARRAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN.

12.15.1 la longitud mínima para los empalmes por solape sometidos a compresión, será la longitud de desarrollo a compresión calculada de acuerdo con el artículo 12.3 , pero no menor que: a.

0.007 Fy db , para Fy > 4200 Kgf/cm2 .

b.

(0.013 Fy - 24) db , para Fy . Para f'c menor de 210 Kgf/cm2 la longitud de solape se incrementará en 1/3 .

12.15.2

Cuando las barras que se solapan están en compresión y ellas son de diferente

diámetro, la longitud del solape se calculará considerando la longitud mayor entre : a.

La longitud de empalme por solape en compresión de la barra de menor diámetro.

b.

La longitud de desarrollo en compresión de la barra de mayor diámetro. Se prohibe el empalme por solape de barras Nº 14 y Nº 18; sin embargo, se permite

empalmes por solape en compresión, solamente, de las barras Nº 14 y Nº 18 con barras Nº 11 o menores.

12.15.3

En miembros comprimidos armados con ligaduras donde estas tengan un área

efectiva no menor que 0.0015 hs en toda la longitud de solape, la longitud del empalme puede multiplicarse por 0.85 pero no será menor de 30 cm. Para la determinación del área efectiva se utilizarán las ramas de las ligaduras perpendiculares a la dimensión h .

12.15.4

En miembros comprimidos zunchados, la longitud de los empalmes por solape

de las barras dentro de los zunchos puede multiplicarse por 0.75 , pero la longitud de solape no será menor de 30 cm.

12.15.5 Los empalmes soldados y las conexiones mecánicas cumplirán con los requisitos de la subsección 12.13.3.3 ó 12.13.3.4 .

12.15.6 Empalmes a tope.

12.15.6.1

En barras que se requieren para resistir solamente compresión, el esfuerzo de

compresión puede transmitirse por contacto de los extremos cortados perpendicularmente y alineados concéntricamente mediante un dispositivo adecuado.

12.15.6.2

Los extremos de las barras se terminarán como superficies planas y

perpendiculares a sus ejes dentro de una tolerancia de 1.5 grados, y se dispondrán dentro de una


64 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. tolerancia de 3 grados respecto al plano de contacto después de ensamblarse.

12.15.6.3

Los empalmes por contacto de los extremos se utilizarán únicamente en

miembros armados con ligaduras y estribos cerrados o hélices.

12.16 REQUISITOS ESPECIALES PARA LOS EMPALMES EN COLUMNAS.

12.16.1

Donde los esfuerzos en las barras longitudinales de una columna, calculados

para diversas combinaciones de cargas mayoradas, varían desde el valor de Fy en compresión hasta la mitad de Fy en tracción o menos, pueden utilizarse los siguientes tipos de empalme : Solapes, soldaduras a tope, conexiones mecánicas, o uniones por contacto de los extremos. La resistencia total a tracción suministrada en cada cara de la columna mediante empalmes exclusivamente, o por empalmes en combinación con barras contínuas sometidas a esfuerzo cedente especificado Fy, será al menos dos veces la tracción calculada para la cara correspondiente, pero no menor que la resistencia requerida por la sección 12.16.3 .

12.6.2

Donde los esfuerzos en las barras longitudinales de una columna calculados para

cualquier combinación de cargas mayoradas, sean superiores a 0.5 Fy en tracción, solamente se utilizarán empalmes por solape diseñados para desarrollar la resistencia cedente especificada Fy en tracción, o empalmes totales, ya sea soldados o por conexiones mecánicas, de acuerdo con la sección 12.13.3.3 ó 12.13.3.4 .

12.6.3

En las secciones transversales de las columnas donde haya empalmes, se

proporcionará en cada cara de la columna una resistencia mínima a tracción igual al producto de 1/4 del área de las armaduras verticales en esa cara por Fy .

12.17 EMPALMES DE LAS MALLA S SOLDADAS DE ALA MBRES ESTRIADOS SOMETIDAS A TRACCIÓN.

12.17.1

La longitud mínima de los empalmes por solape de las mallas soldadas de

alambres estriados sometidos a tracción, medida entre los extremos de cada malla, no será menor de 1.70 Ld ni 20 cm, y la separación entre los alambres transversales más alejados de la parte superpuesta de las mallas no será inferior a 5 cm. En lo anterior Ld será la longitud de desarrollo correspondiente a la resistencia cedente especificada Fy, según el artículo 12.7 .



Los empalmes de las mallas soldadas de alambres estriados que no contengan

ningún alambre transversal, se determinarán como se hace con los alambres estriados.

12.18 EMPLAMES DE LAS MALLAS SOLDADAS DE ALAMBRES LISOS SOMETIDAS A TRACCIÓN.

La longitud mínima de los empalmes por solape de las mallas soldadas de alambres lisos satisfará los siguientes requisitos :

12.18.1 Cuando el área de armadura provistas en el lugar del empalme sea menor que el doble de la requerida por el análisis estructural, la longitud del solape, medida entre los alambres transversales más alejados de cada malla, no será menor que la separación típica de estos, más 5 cm, ni inferior a 1.50 Ld ni 15 cm. En lo anterior Ld será la longitud de desarrollo correspondiente a la resistencia cedente especificada Fy, según el artículo 12.8 .

12.18.2

Cuando el área de las armaduras suministrada en el lugar del empalme sea al

menos el doble de la requerida por el análisis estructural, la longitud del solape, medida entre los alambres transversales más alejados de cada malla, no será menor de 1.50 Ld ni 10 cm, donde Ld será la longitud de desarrollo para la resistencia cedente especificada Fy, según el artículo 12.8.

A continuación se ilustrarán algunos de los artículos citados, para su mejor comprensión : Secc. 12.5 Longitud de desarrollo (Ldh) para barras con ganchos estándar en tracción :

Recubr imiento

Ld h Ldh = Lhb * Fact. Modif. Lhb = 320*Øb /

f'c

DETALLE DEL GANCHO ESTÁNDAR

Øb LONGITUD RECTA 16 Øb DEL GANCHO

12 Øb


MANDRIL


Secc. 12.10 Longitud de desarrollo (Ld) de armaduras para momentos positivos (As +) :

Nota : El factor 1.3, es aplicable solo si la reacción comprime el concreto que rodea los extremos de la armadura.

La

Mn/Vu P.I.

1.3 Mn/Vu 15 cms.

Máx Ld Máx Ld Prolongación a partir de P.I. CRITERIO

PARA

DETERMINAR

EL

CONCEPTO

PARA

DETERMINAR

EL

DIÁMETRO (ó Ld) MÁX., DE BARRA EN

DIÁMETRO MÁX., DE BARRA EN EL PTO. DE

UN EXTREMO SIMPLE APOYADO.

INFLEXIÓN (P.I.)

Secc. 12.11 Longitud de desarrollo (Ld) de armaduras para momentos negativos (As -) :

d Prolongación de al menos (1/3) de (As -) 12Øb L/16

Ld h

P.I.

Ld Secc. Crítica Usualmente el anclaje, forma parte de la armadura de la viga adyacente.

ANCL AJE EN COLUMNA EXTERIOR

ANCL AJ E EN VIGA ADYACENTE



Secc. 12.9 (Ld) de las armaduras de miembros sometidos a Flexión - Generalidades : As +

M+

Hasta este pto. " "

En este tramo Trabaja solo " A " M (Kg*m)

P.I.

P.I. As -

En este tramo Traba a solo " C " Hasta este pto. Traba a " D " M-

Prolongación As -

Ld "C" "C" "D"

Prolongación As + Prolongación As -

Ld "B"

Ld "D"

"B" "A" Al menos 15 cms.

Prolongación As -

Prolongación As + (En apoyo)

Prolongación As +

(Ld) DE LAS ARMADURAS EN FLEXIÓN

Prolongación As + (En apoyo)


d 12Øb L/16

(Al menos 1/3 de As -)

d 12Øb 1/4 As + (En apoyos externos) 1/3 As + (En apoyos internos)


2.6.- APLICACIÓN DE LA NORMATIVA PARA EL CÁLCULO DE LA LONGITUD DE DESARROLLO EN ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO.

A continuación se procederá a determinar la longitud de los refuerzos de los ejemplos de losas diseñadas, aplicando la normativa referente al capítulo de ADHERENCIA Y ANCLAJE. Ejemplo 1 : Losa Maciza L - E (h = 0.17) DESPIECE DE LOSA :

1

2

3

4.00

4

4.00

4.00

L-E MACIZA h = 0.17

0.15

0.15

Ø 3/8" c/.20

0.15

0.15

Ø 3/8" c/.20

0.15

0.15

Ø 3/8" c/.20

0.15

0.15

Ø 3/8" c/.20

Ø 3/8" c/.20


Para determinar la longitud del refuerzo que resiste la flexión, es necesario conocer la ubicación de los puntos de inflexión (Del diagrama de momento flector). En tal sentido se hará un análisis pormenorizado para cada apoyo (As -), y después para los tramos (As +). A continuación se reproduce el diagrama de momento flector que está determinado en el ejemplo del Tema Nº 1 referente al ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOSAS MACIZAS Y NERVADAS.



Diagrama de Momento Flector de la Losa Maciza L - E (h = 0.17) :

1

2

3

4.00

4

4.00

4.00

qu = 1095 (Kg/m)

L-E MACIZA

0

1752

1401.60

1401.60 0.80 1.11

+

Mu (Kg*m)

0

1752

438

1.11

0.80

+

+ -

-

1752

1752

DISEÑO DEL REFUERZO SUPERIOR (As -) ó DE LOS APOYOS :

Apoyos 1 = 4 : Ldh = Lhb * Fact. Modif. 1 Lhb = 320*Øb /

f'c

L/4 0.025

Ld h

Lhb = 320*(0.95) / √ 210 Lhb = 20.98 cm.

16Øb

Ø 3/8" 0.15

0.15

Si la longitud básica de desarrollo (Lhb), es menor que el ancho disponible (0.275), NO es necesario aplicar ningún factor de modificación, o lo que es igual Fact. Modif. = 1 . Luego : Ldh = 20.98 * 1 = 20.98 cm. Por lo tanto : 0.275 ≥ Ldh = 20.98 cm.

0.275



Long. recta del gancho :

Ø 3/8" x 1.30 c/.20

16Øb = 16*0.95 = 15.20 cm = 0.15 m.

16Øb = 0.15 Long. total de la barra : (4/4) + (0.15-0.025) + (0.15) = 1.275 m L tot. = 1.30 m . Apoyos 2 = 3 : 2

0.80

1.11

+

+

Mu (Kg*m)

-

Prolongación

d = 14 cm .

1752

Prolongación

25 cm

12Øb = 12*(0.95) = 11.40 cm . L/16 = 4/16 = 25 cm . (El mayor)

Ø 3/8" x 2.45 c/.20 Long. total de la barra : (0.80) + (1.11) + (2*0.25)

1.05

1.36

= 2.41 m

Ld = Ldb * Fact. Modif .

L tot. = 2.45 m .

Ldb = 0.06*Ab*Fy / f'c 0.006*Øb*Fy

Ldb = 12.34 cm ≥ 23.94 cm (El mayor )

LOSA

Fact. Modif.= 1.40 (Para As - ) ≥ Ld

0.90

VIGA 0.15 0.15

≥ Ld

Ld = 23.94 * 1.40 = 33.52 cm. Ld = 33.52 cm (Chequeado el anclaje)

1.21

Ya que : 0.90 ≥ Ld (33.52 cm) Y : 1.21 ≥ Ld (33.52 cm)



DISEÑO DEL REFUERZO INFERIOR (As +) ó DE LOS TRAMOS :

Para determinar la longitud del refuerzo para resistir los momentos positivos, se aplica lo concerniente al capítulo 12.10 LONGITUDES DE DESARROLLO DE LAS ARMADURAS PARA MOMENTOS POSITIVOS.

12.10.1

Al menos una tercera parte de las armaduras para momentos positivo se

prolongará hasta los apoyos si estos son exteriores y una cuarta parte si son interiores. " Se recomienda que tales armaduras penetren dentro del apoyo al menos 15 cm ".

Es decir : 2

0.80

1.11

+

+

Mu (Kg*m)

1752 Prolongación

d ó

Prolongación

12Øb

d ó 12Øb

LOSA As +

As +

VIGA



Sin embargo las armaduras para resistir momentos positivos (As +) se prolongarán hasta los apoyos, y penetrarán al menos 15 cms., dentro del apoyo. Por lo tanto :

1

APOYO EXTERNO

Prolongación dentro del apoyo

APOYO INTERNO

2



0.15 0.15

LOSA

0.15

As +

As +

VIGA Ø 3/8" 0.15

Ø 3/8"

0.15

0.15 0.15

Al prolongar las barras (As +) 15 cms, dentro de los apoyos, tenemos que las barras se tocan a tope. En la práctica se estila colocar una sola barra ininterrumpida (corrida) para evitar las conexiones a tope, así como el desperdicio de barras. En definitiva la longitud total de la barra para resistir momentos positivos (As +) será : 4.00 (Tramo 1 - 2) + 4.00 (Tramo 2 - 3) + 4.00 (Tramo 3 - 4) = 12.00 m Nota : Las medidas comerciales de las barras de refuerzo es hasta los 12.00 mts., de longitud, por lo tanto, si la longitud total del refuerzo supera los 12.00 m., es necesario empalmar por solape. Chequeo del Ancl aje de Barras para resistir momentos p ositiv os (As +) : Ld ≤ La + Mn Vu

Donde : La = 15 cms. (prolongación dentro del apoyo). Vu = 2628 Kg (El mayor valor del diagrama de corte).



Si : Ld = 30 cm . (Para Ø 3/8") Mn = As*Fy*(d - a/2)

As = 3.55 cm2 (Ø 3/8" c/.20) As + Fy = 4200 Kg/cm2 d = 14 cm.

a=

As*Fy___ 0.85*f'c*b

b = 100 cm. (Losa Maciza) f'c = 210 Kg/cm2

a = 3.55 cm2 * 4200 Kg/cm2___ = 0.84 cm 0.85 * 210 Kg/cm2 * 100 cm Mn = 3.55 cm2 * 4200 Kg/cm2 * (14 - 0.84/2) cm . Ld ≤ 2024.78 Kg*m + 0.15 m . 2628 Kg

Ld (0.30m)

Mn =2024.78 Kg*m 0.92 m. CHEQUEA EL ANCLA JE DE (As +)

El despiece de la losa con la respectiva longitud de los refuerzos, se presenta a continuación : DESPIECE DEFINITIVO DE LOSA :

1

2

3

4.00

4

4.00

4.00

L-E MACIZA h = 0.17

0.15

0.15

Ø 3/8" x 1.30 c/.20 0.15

0.15

0.15

Ø 3/8" x 2.45 c/.20 1.36

0.15

0.15

Ø 3/8" x 2.45 c/.20 1.36

Ø 3/8" x 12.00 c/.20



0.15

0.15

Ø 3/8" x 1.30 c/.20 0.15


Ejemplo 2 : Losa Nervada L - E (h = 0.25) DESPIECE DE LOSA :

1

2

3

4.00

4.00

0.25

MACIZADOS

4

4.00

0.25 0.25

0.25

0.25 0.25


0.15

0.15

0.15

0.15

1 Ø 3/8"

0.15

0.15

1 Ø 1/2"

0.15

1 Ø 1/2"

1 Ø 1/2"

0.15

1 Ø 3/8"

1 Ø 1/2"

1 Ø 3/8"

Al igual que el ejemplo anterior, se hará un análisis para cada apoyo (As -), y después para los tramos (As +). A continuación se reproduce el diagrama de momento flector que está determinado en el ejemplo del Tema Nº 1 referente al ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOSAS MACIZAS Y NERVADAS. Diagrama de Momento Flector de la Losa Nervada L - E (h = 0.25) : 1

2

3

4.00

4

4.00

4.00

qu = 576 (Kg/m)

L-E NERVADA

0

921.60 737.28

Mu (Kg*m)

0.80

1.11 230.40

+

1.11

0.80

921.60

737.28

+

+ -

0

921.60

921.60



DISEÑO DEL REFUERZO SUPERIOR (As -) ó DE LOS APOYOS :

Apoyos 1 = 4 : Ldh = Lhb * Fact. Modif. 1 Lhb = 320*Øb /

f'c

L/4 0.025

Ld h

Lhb = 320*(0.95) / √ 210 Lhb = 20.98 cm.

16Øb

Si la longitud básica de desarrollo (Lhb), es menor que el ancho disponible (0.275), NO es necesario aplicar ningún factor de modificación, o lo que es igual Fact. Modif. = 1 .

1 Ø 3/8" 0.15

0.15

Luego : Ldh = 20.98 * 1 = 20.98 cm. Por lo tanto : 0.275 ≥ Ldh = 20.98 cm.

0.275

1 Ø 3/8" x 1.30

Long. recta del gancho : 16Øb = 16*0.95 = 15.20 cm = 0.15 m.

16Øb = 0.15 Long. total de la barra : (4/4) + (0.15-0.025) + (0.15) = 1.275 m L tot. = 1.30 m .



Apoyos 2 = 3 : 2

0.80

1.11

+

+

Mu (Kg*m)

-

Prolongación

d = 22 cm .

921.6

Prolongación

25 cm

L/16 = 4/16 = 25 cm . (El mayor)

1 Ø 1/2" x 2.45 Long. total de la barra : (0.80) + (1.11) + (2*.025)

1.05

12Øb = 12*(1.27) = 15.24 cm .

1.36

= 2.41 m

Ld = Ldb * Fact. Modif .

L tot. = 2.45 m .

Ldb = 0.06*Ab*Fy / f'c 0.006*Øb*Fy

Ldb = 22.08 cm ≥ 32.00 cm (El mayor )

LOSA

Fact. Modif.= 1.40 (Para As - ) ≥ Ld

0.90

VIGA 0.15 0.15

≥ Ld

Ld = 32.00 * 1.40 = 44.80 cm. Ld = 44.80 cm (Chequeado el anclaje)

1.21

Ya que : 0.90 ≥ Ld (44.80 cm) Y : 1.21 ≥ Ld (44.80 cm)

DISEÑO DEL REFUERZO INFERIOR (As +) ó DE LOS TRAMOS :

Para determinar la longitud del refuerzo para resistir los momentos positivos, se aplica lo concerniente al capítulo 12.10 LONGITUDES DE DESARROLLO DE LAS ARMADURAS PARA MOMENTOS POSITIVOS.



Al menos una tercera parte de las armaduras para momentos positivo se

prolongará hasta los apoyos si estos son exteriores y una cuarta parte si son interiores. " Se recomienda que tales armaduras penetren dentro del apoyo al menos 15 cm ".

Es decir :

2

0.80

1.11

+

+

Mu (Kg*m)

921.6 Prolongación

d ó

Prolongación

12Øb

d ó 12Øb

LOSA As + (1 Ø 1/2")

As + (1 Ø 3/8")

VIGA

Sin embargo las armaduras para resistir momentos positivos (As +) se prolongarán hasta los apoyos, y penetrarán al menos 15 cms., dentro del apoyo. Por lo tanto :



APOYO EXTERNO

1

APOYO INTERNO

2




0.15 0.15

LOSA

0.15

As +

As +

VIGA 1 Ø 1/2" 0.15

1 Ø 1/2"

0.15

1 Ø 3/8" 0.15 0.15

Al prolongar las barras (As +) 15 cms, dentro de los apoyos, tenemos que las barras se tocan a tope. Si las barras fueran del mismo diámetro, se coloca una sola barra ininterrumpida (corrida) para evitar las conexiones a tope. Sin embargo como se tienen barras de distinto diámetro ( 1 Ø 1/2" en el tramo 1 - 2) , ( 1 Ø 3/8" en el tramo 2 - 3) y ( 1 Ø 1/2" en el tramo 3 - 4) ; estas se colocarán "tocándose" a tope. No obstante, es común (y preferible desde el punto de vista del rendimiento en obra) encontrar una solución práctica que consiste en colocar una sola barra (De 1/2" ) que abarque los tres (3) tramos, es decir 1 Ø 1/2" x 12.00 m En definitiva la longitud total de la barra para resistir momentos positivos (As +) será : 1 Ø 1/2" x 4.00 (Tramo 1 - 2) ; 1 Ø 3/8" x 4.00 (Tramo 2 - 3) ; 1 Ø 1/2" x 4.00 (Tramo 3 - 4)

Chequeo del Ancl aje de Barras para resistir mo mentos positi vos (As +) :

Ld ≤ La + Mn Vu

Donde : La = 15 cms. (prolongación dentro del apoyo). Vu = 1382.40 Kg (El mayor valor del diagrama de corte).



Si : Ld = 32 cm . (Para Ø 1/2") Mn = As*Fy*(d - a/2)

As = 1.27 cm2 (1 Ø 1/2" ) As + (Tramos externos) Fy = 4200 Kg/cm2 d = 22 cm.

a=

As*Fy___ 0.85*f'c*b

b = 10 cm. (Losa Nervada) f'c = 210 Kg/cm2

a = 1.27 cm2 * 4200 Kg/cm2___ = 2.99 cm 0.85 * 210 Kg/cm2 * 10 cm Mn = 1.27 cm2 * 4200 Kg/cm2 * (22 - 2.99/2) cm . Ld ≤ 1093.78 Kg*m + 0.15 m . 1382.40 Kg

Ld (0.32m)

Mn =1093.78 Kg*m 0.94 m. CHEQUEA EL ANCLA JE DE (As +)

El anclaje se verificó para la barra de mayor diámetro, ya que esta es la condición más desfavorable. El despiece de la losa con la respectiva longitud de los refuerzos, se presenta a continuación :

1

DESPIECE DE LOSA :

2

3

4.00 0.25

MACIZADOS

4

4.00 0.25 0.25

4.00 0.25 0.25

0.25 L-E NERVADA h = 0.25

0.15

0.15

1 Ø 3/8" x 1.30

0.15

0.15

1 Ø 1/2" x 2.45

0.15

1.36 1 Ø 1/2" x 4.00

0.15

0.15

1 Ø 1/2" x 2.45

0.15

1 Ø 3/8" x 1.30

1.36

1 Ø 3/8" x 4.00


0.15

0.15 1 Ø 1/2" x 4.00




80

CAPÍTULO Nº 3 .: "ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS" Las Vigas son elementos estructurales que dependiendo del uso de la edificación (con o sin riesgo), deben ser diseñadas para resistir tanto las cargas gravitacionales, como las accidentales (sismos, vientos, empujes laterales,....).

En tal sentido las vigas se diseñarán para

soportar las siguientes combinaciones de cargas : U = 1.4 CM + 1.7 CV U = 0.75*(1.4CM + 1.7CV) +/- S

Donde :

U = 0.90*(CM + CV) +/- S

CM: Carga permanente. CV: Carga variable. S : Sismo.

3.1.- CONDICIONES GEOMÉTRICAS : (Capítulo 18.2.1 (ND3) Normas 1753).

En ND2 no se especifican dimensiones.

h

1.- b/h ≥ 0.30

Secc. Transv. b 0.75hviga

bcol

0.75hviga

2.- bmín = 25 cm. bmáx = bcol + 2*(0.75h viga) . Eje Columna bmáx

Eje Viga

bcol

3.- e ≤ 0.25 bcol


e


81

3.2.- ARMADURA LONGITUDINAL : (Capítulo 18.2.2 (ND3) Normas 1753).

1.- Cuantías de Armadura : (14/Fy ≤ r ≤ 0.025) Si : As = r*b*d. Entonces : As mín = (14/Fy)*b*d Asmáx = 0.025*b*d 2.- En c/esquina de una sección transversal de la viga, debe colocarse al menos una cabilla igual o mayor a la Nº 4. Ej: Ø ≥ 1/2"

d

d = hviga - 5.0 cms.

b Ø ≥ 1/2" 3.3.- DISPOSICIÓN DE LA ARMADURA LONGITUDINAL : (Capítulo 18.8.2.2 Normas 1753). 3.4.- ARMADURA TRA NSVERSAL :

En los elementos sometidos a flexión, la armadura transversal debe ser capaz de resistir la fuerza cortante en los apoyos, arriostrar la armadura longitudinal y confinar el concreto en aquellas zonas donde se considere posible la formación de rótulas plásticas. (Cap. 18.2.3.1). Zonas Confinadas (Cap. 18.8.2.3.1) : La armadura transversal deberá confinar, por medio

de estribos cerrados, la porción comprendida entre la cara del apoyo y una distancia igual a 2h

viga

en ambos extremos de la viga. Separación máxima d e estribos (Cap. 18.8.2.3.2) : Se dispondrán estribos cerrados a lo

largo del eje longitudinal de las vigas, y su separación NO excederá el valor d/2. En zonas confinadas la separación de estribos no debe exceder el menor de los siguientes valores :

a.- d/4 . b.- 8 veces el diámetro de la menor barra longitudinal arriostrada. c.- 24 veces el diámetro del estribo. d.- 30 cm. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


82

Ej.: COLUMNA

As Sup. COLUMNA

VIGA hviga

ZONA CONFINADA 2hviga

2hviga

As Inf.

3.5.- ANCLAJES DE BA RRAS : Longi tud de anclaje de barras con gancho estándar (Lah) : (Cap. 18.4.4). En concretos

normales y cuando se trate de barras nº 3 a nº 11, la longitud de anclaje (Lah) para una barra con gancho estándar de 90º a tracción, será por lo menos igual a 8Ø b , 15 cm o la longitud requerida por la fórmula : Lah = 0.06 Ø b * Fy * (√ f'c). COLUMNA

El gancho de 90º deberá estar situado dentro del núcleo confinado de una columna o de un miembro de borde. La longitud recta del gancho medirá al menos 16 veces el diámetro de la barra.

16*Øb

>= Lah

Longitud de anclaje de barras rectas (Las) : (Cap. 18.4.4.2). Para barras sin

ganchos cuyos diámetros no excedan al de la barra nº 11, la longitud de anclaje (Las), deberá ser por lo menos igual a 2.5 veces la longitud exigida (Lah) para As(+) , y 3.5 veces (Lah) para As(-) . Las ≥ 2.5 Lah (Para barras inferiores As(+) ). Las ≥ 3.5 Lah (Para barras superiores As(-) ). La longitud de anclaje (Las) deberá estar contenida en el núcleo confinado de una columna o en un miembro de borde de un muro. Cualquier porción de (Las) NO contenida en un núcleo confinado deberá incrementarse en un 60% .



83

3.6.- CARGAS QUE ACTÚAN SOBRE LAS VIGAS :

Las fuerzas a considerar para el diseño de vigas, son básicamente : A.- Cargas debido a peso prop io de l a viga. B.- Cargas transmiti das por las los as. C.- Cargas transmitidas por tabiquería. D.- Cargas debidas a empujes laterales (Sismos, vientos, y cualquier otra).

Las cargas por empujes laterales (D) se verán en materias como Fundaciones y muros, Sismos, Proyectos estructurales.

A.- Cargas debid o a peso propio de la viga (Kg/m) : Se determinan según el área de la

sección transversal de la viga y el peso específico del concreto armado.

h

A.- Wpp = d concreto * b * h

(d concreto = 2500 Kg/m3)

Secc. Transv. b

B.- Cargas transmitidas por las losas (Kg/m) : Son las reacciones (Obtenidas del

diagrama de esfuerzo cortante de losa(s) ) que actúan directamente sobre la viga a analizar.

I

II

R I = v I

III

W Losa (Kg/m) Viga I

Viga II

R I

Viga III

R II

R III

R III = v III

v II (der)

vI

V (Kg)

R II = v II (izq) + v II (der)

+

DIAGRAMA DE CORTE DE LOSA

+ -

-

v III

v II (izq)

En Losas macizas : W Losa = Ri En Losas nervadas : W Losa = 2*Ri B.- W L osa (Kg/m)



84

C.- Cargas transmi tidas po r tabiqu ería : Se determinan según el peso específico de los

tabiques y su altura respectiva. (d tabiquería = 180 Kg/m2)

C.- W tab. = d tabiq. * h pared

En definitiva la carga total vertical sobre las vigas será : W viga = Wpp + W

Losa +

W tab.

3.6.1.- Ejemplo de Diseño de Viga (SIN CARGA SÍSMICA) :

Diseñar la viga V-2 que sirve de apoyo a la losa nervada (L-E) calculada en el ejercicio correspondiente al capítulo de losas nervadas.

Datos : Fy = 4200 Kg/cm2 f'c = 210 Kg/cm2

1

h pared = 2.50 m

2

4.00

Vigas de apoyo = 0.30 x 0.60

3

4.00

D

Columnas = 0.40 x 0.40 1

2

3

4.00

0 0 . 6

4

4.00

4.00

C

qu = 633 (Kg/m) L-E

0 0 . 7

NERVADA 1266

Vu (Kg)

+

+ -

+ -

-

B

1520

0 0 . 6

A

Procedimiento : Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

E L

4

4.00


85

1.- Determinar las c argas que actú an sobr e la viga (W viga) :

Carga por peso propio : Wpp = 2500 Kg/m3 * 0.30 m * 0.60 m * (1.50 Mayoración) = 675,00 Kg/m Reacción de la losa : W Losa = (1266Kg + 1520Kg) / 0.50m =

5.720,00 Kg/m

Carga por tabiquería : W Tab. = 180 Kg/m2 * 2.50 m * (1.50 Mayoración) =

675,00 Kg/m

W viga = 7.070,00 (Kg/m). 2.- Determinar los diagramas de Vu y Mu :

A

B

C

6.00

D

6.00

7.00

W u = 7070 (Kg/m)

V-2

Nota : En apoyos externos, los momentos de empotramiento se pueden asumir como : M = (W u * L^2) / 16

24031 18389

24745

Vu (Kg)

+

+

+

-

-

-

18389

24745 24031 0.82

Mu (Kg*m)

8008

1.22

1.50

+ -

10471

1.50

1.22

8008

+

0.82

+

-

-

-

15908

15908 32833

32833

3.- Diseño de los refuerzos (As y Av) : 3.1.- Acero por flexión (As) :

As mín = (14/Fy) * b * d = (14/4200) * 30cm * 55cm = 5.50 cm2 As mín = 5.50 cm2.

3 Ø 5/8". (As = 5.94 cm2)

(As) Apoyos : A = D : Mu = -15.908,00 Kg*m As = 8.00 cm2.

4 Ø 5/8". (As = 7.92 cm2)

B = C : Mu = -32.833,00 Kg*m As = 18.15 cm2.

4 Ø 5/8" + 3 Ø 7/8". (As = 19.53 cm2).



86

(As) Tramos : A-B = C-D : Mu = + 8.008,00 Kg*m As = 3.96 cm2. < As mín

3 Ø 5/8". (As = 5.94 cm2)

Tramo : B-C : Mu = + 10.471,00 Kg*m As = 5.23 cm2. < As mín

3 Ø 5/8". (As = 5.94 cm2)

3.1.1.- Chequeo de Anclajes : Apoyos A = D :

Lah = 0.06 Ø b * Fy / (√ f'c).

>= Lah

Lah = (0.06 * 1.59 cm * 4200 Kg/cm2) /

COLUMNA (0.40 x 0.40)

Ø 5/8"

210 Kg/cm2

Lah = 27,65 cm. Como 0.365 > 0.27 65 (La barra con gancho queda

16*Øb

Anclada).

0.20

0.035

0.20

0.365

B Ap oyos B = C :

1.22

1.50

Mu (Kg*m)

El chequeo del anclaje de las barras rectas, se verificará con la barra de mayor diámetro. Ya

d = 55 cm .

que si queda comprobado el chequeo para

12*Ø b = 12 * 2.22 cm = 26.67 cm.

estas barras, es lógico suponer que también

L/16 = 6.00m / 16 = 37.50 cm.

d = 55 cm . (Se escoge por ser el mayor). 12*Ø b = 12 * 2.22 cm = 26.67 cm. L/16 = 7.00m / 16 = 43.75 cm.

chequeará para las barras de menor diámetro. 30056 Long. Total = 1.22 + 1.50 + (2*0.55) = 3.82 m.

3 Ø 7/8" x 3.90 2.05

Las = 3.5 * Lah

Long. Total = 3.90 m (ó 4.00 mts)

COLUMNA

Las = 3.5 * 0.27 65 = 0.9678

VIGA

1.85 > 0.96 78 (Chequea por la derecha). 1.65 > 0.96 78 (Chequea por la izquierda). 1.85 = 2.05 (Ext. derecho barra) - 0.20 (1/2 Columna).

≥ Las

0.40

1.65

1.65 = 1.85 (Ext. izquierdo barra) - 0.20 (1/2 Columna). Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

≥ Las 1.85

El chequeo de anclaje de las barras rectas se mide desde la cara del elemento que sirve de soporte (Cara de columna) hasta el extremo donde termina la barra.


87

3.1.2.- Empalme por solape de barras y Longitud total de barras : Los empalmes por solape de barras de un grupo, se basarán en las longitudes de solape que se requieren para las barras individuales, incrementándolas en un 20% para los grupos de tres (3) barras y un 33% para los grupos de cuatro (4) barras. En ninguna sección de un grupo de barras podrá haber más de un empalme por solape de barras individuales. (Cap. 12.13.2.2).

A

B

C

6.00

D

6.00

7.00

W u = 6472 (Kg/m)

0.82

8008

Mu (Kg*m)

1.22

1.50

+

10471

V-2

1.50

1.22

+

-

8008

0.82

+

-

-

-

15908

15908 32833

32833

L solape As(-) 4 Ø 5/8" As(-)

0.25

4 Ø 5/8" 0.25

As(+)

L solape As(+) 0.25

3 Ø 5/8"

3 Ø 5/8"

0.25

El acero superior As(-) se empalmará en el tramo central de la viga. En esta zona As(-) se encuentra sometida a compresión. Por lo tanto el empalme se diseñará a compresión. El acero inferior As(+) se empalmará en el tramo central de la viga. En esta zona As(+) se encuentra sometida a tracción. Por lo tanto el empalme se diseñará a tracción.

Empalme de barras sometidas a compresión : (Cap. 12.15). Longitud de desarrollo básica para barras comprimidas (Ldb) : (0.08*Øb*Fy) / ( √ f'c) ≥ 0.004*Øb*Fy. (0.08 * 1.59cm * 4200 Kg/cm2) /

210 Kg/cm2 ≥ 0.004 * 1.59 cm * 4200 Kg/cm2 36.87 cm ≥ 26.71 cm

Por lo tanto la longitud de solape mínima será de 36.87 cm. Sin embargo como se solaparán cuatro (4) barras, la longitud de solape debe incrementarse un 33%. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


88

Longitud de solape definitiva para As(-) = 36.87 cm * 1.33 = 49.04 cm Longitud de solape definitiva para As(-) = 50 cm. Longitud total de las barras superiores (As - ) : Como las barras superiores (4 Ø 5/8") se empalmarán en el tramo central de la viga, la longitud total de las barras se calculará incluyendo la porción de longitud de solape, la cual corresponderá a ambos grupos de barras (es decir, la longitud total incluirá la mitad de la longitud de solape). Ltot. = 1. (Long. del gancho) + 2. (Porción de barra contenida del eje de columna hacia la izquierda) + 3. (Long. del tramo A - B) + 4. (1/2 Long. del tramo central) + 5. (1/2 de la long. de solape) Ltot. = 1.(0.25) + 2.(0.20-0.035) +3.(6.00) + 4.(7.00/2) + 5.(0.50/2) =10.165 m (Se asume): Ltot. = 10.20 m.

Empalme de barras sometidas a tracción : (Cap. 12.14). As(proporcionado) / As (requerido)

5.94 cm2 / 4.77 cm2 = 1.25 < 2.

Por empalmarse el 100% de las barras, y por ser la relación de As < 2. El empalme será Clase C. Para el Empalme Clase C, la longitud de solape a tracción será de : 1.7 * Ld . Longitud de desarrollo básica para barras traccionadas (Ldb) : (0.06*Ab*Fy) / ( √ f'c) ≥ 0.006*Øb*Fy. (0.06 * 1.98cm * 4200 Kg/cm2) /

210 Kg/cm2 ≥ 0.006 * 1.59 cm * 4200 Kg/cm2 34.43 cm ≥ 40.07 cm

Si la longitud de desarrollo básica de armaduras en tracción (Ø 5/8") es de 40.07 cm, la longitud de solape de barras en tracción será : 1.7 * 40.07 cm = 68.12 cm. Sin embargo como se solaparán tres (3) barras, la longitud de solape debe incrementarse un 20%. Longitud de solape definitiva para As(+) = 68.12 cm * 1.20 = 81.74 cm Longitud de solape definitiva para As(-) = 90 cm. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


89

Longitud total de las barras inferiores (As + ) : Como las barras inferiores (3 Ø 5/8") también se empalmarán en el tramo central de la viga, la longitud total de las barras se calculará tal como se hizo con las barras superiores (As -). Ltot. = 1. (Long. del gancho) + 2. (Porción de barra contenida del eje de columna hacia la izquierda) + 3. (Long. del tramo A - B) + 4. (1/2 Long. del tramo central) + 5. (1/2 de la long. de solape) Ltot. = 1.(0.25) + 2.(0.20-0.035) +3.(6.00) + 4.(7.00/2) + 5.(0.90/2) =10.365 m (Se asume): Ltot. = 10.40 m. Nota : Si se considera la diferencia (en longitud) que existen entre las barras superiores

(4 Ø 5/8" x 10.20 ) con las barras inferiores (3 Ø 5/8" x 10.40 ) , nos damos cuenta que es tan pequeña la diferencia (apenas 0.20 m) que es preferible dejar todas las barras (De Ø 5/8") en 10.40 m. Esto dá mayor ventaja constructiva.

3.2.- Acero por c orte (Av) :

Se colocarán estribos cerrados a lo largo del eje longitudinal de la viga y su separación NO será mayor de : d/2 = 55cm/2 = 27.50 cm (En zonas NO confinadas). En zonas confinadas (2*hviga) : a.- d/4 .

= 55cm/4 = 13.75 cm

b.- 8 veces el diámetro de la menor barra longitudinal arriostrada.

= 8*1.59 cm = 12.72 cm (X)

c.- 24 veces el diámetro del estribo. (Se escoge: Ø 3/8")

= 24*0.95 cm = 22.80 cm

d.- 30 cm.

= 30 cm (El mayor)

(X) Se escoge 12.72 cm (ó 12.50 cm, por facilidad constructiva) por ser la separación mínima requerida.



90

DETALLE DE LA DSIPOSICIÓN DE ESTRIBOS :

COLUMNA (0.40x0.40)

As Sup.

hviga = 0.60

COLUMNA

ZONA CONFINADA 1.20

1.20

Estribos cada 0.125 m (Zona Conf.)

As Inf.

Estribos cada 0.125 m (Zona Conf.)

Chequeo por corte : Vu ≤ Ø * Vn.

Vn = Vc + Vs

Vc = 0.53 *

En Zonas NO confinadas la separación de estribos será a cada 0.25 m. (Por ser el doble de 0.125m).

(Ø = 0.85)

f'c

* b * d = 0.53 *

210 * 30 * 55 = 12.672,71 Kg

Vs = (Av * Fy * d) / S = (2*0.71 * 4200 * 55) / 12.50 = 26.241,60 Kg Vn = 12.672,71 + 26.241,60 = 38.914,31 Kg.

Vu ≤ 0.85 * 38.914,31 Vu

33.077,16 Kg.

Siendo el mayor de valor de Vu 22.652,00 Kg (Obtenido del diagrama de corte Vu de la viga), el esfuerzo cortante en la viga NO supera el admisible (33.077,16 Kg).



91

4.- Despiece d e la Viga :

A

B

C

6.00

D

6.00

7.00 0.40

0.40

0.40

0.40

0.30x0.60

0.30x0.60

0.30x0.60 V-2

Separación de Estribos Ø 3/8"

1.20

C/0.25 5

C/0.12

1.20 5

C/0.12

1.20 C/0.12 5

C/0.25

1.20 C/0.12

3 Ø 7/8" x 3.90

C/0.12

C/0.25 5

1.20 C/0.12 5

3 Ø 7/8" x 3.90

2.05

4 Ø 5/8" x 10.40

1.20 5

2.05

4 Ø 5/8" x 10.40

0.25

0.25

3 Ø 5/8" x 10.40

3 Ø 5/8" x 10.40

0.25

SECCIÓN TÍPICA DE VIGA (V-2) : 0.30

0.25 0.15 0.60

0.55

0.15

0.55 ESTRIBOS Ø 3/8" x 1.90

0.25 Ø 7/8" Ø 5/8"


0.25


92

3.7.- PREDIMENSIONADO DE VIGAS (Por car ga Vertical) : Método Empírico : Este método, basado en la teoría de rotura, permite obtener el área de

la sección transversal de una viga, en función de las cargas y ancho tributario. La mínima dimensión de la base de la viga NO será menor de 25 cms. La altura dependerá de las características que se deseen, pero teniendo en cuenta las consideraciones dadas en el capítulo 3.1.- CONDICIONES GEOMÉTRICAS. 3.7.1.- Solicitacio nes básicas q ue actúan sobr e las vig as :

Flexión ............... 60 % (La ppal) Corte .................. 30% Carga Axial ......... 5% Torsión ................ 5%

Por lo tanto se predimensionarán las vigas en función de la resistencia a flexión : Supongamos que se tiene un pórtico típico, sometido a carga vertical (Distribuida) : Wv (Kg/m)

Wv (Kg/m)

bxh

Lv

Momento Estimado : Me = Wv * (Lv^ 2) 11

Wv * (Lv^2) / 24 Lv

M (Kg*m) -

+

Wv * (Lv^2) / 12

Wv * (Lv^2) / 12

3.7.2.- Cargas actuantes so bre las v igas (Wv) : Wv = (Pp Losa + S.C.Losa) * aTribut. + Pp Viga + PTabiq. , Pp Losa : Peso propio de Losa (Kg/m2)

Para Losas nervadas el peso es :

donde :

(Losas Nervadas armadas en una dirección) h (cm)

Peso (KG/m2)

20 ................... 270 25 .................... 315 30 .................... 360 35 .................... 415 Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


93

En Losas macizas el peso (en Kg/m2) se obtiene multiplicando el peso específico del concreto armado ( g = 2500 Kg/m3) por el espesor de la losa maciza (h losa). S.C.Losa : Sobre carga de losa (Kg/m2). (Tabla 5.1. Normas COVENÍN-MINDUR 2002)

Depende del ambiente y uso de la edificación, y varía entre 100 y 500 Kg/m2 . aTribut. : Ancho tributario (m2).

Se determina estimando la porción de Losa que descansa sobre la viga a predimensionar. A

B

C

4.00

4.00

2 ANCHO TRIBUTARIO (VIGA - B)

0 0 . 6

1 2.00

2.00

PLANTA

aTribut.

Fig. 3.7.2

(VIGA - B)

Pp Viga : Peso propio de viga (Kg/m)

El peso propio de la viga puede estimarse en 300 Kg/m . PTabiq. : Peso de la tabiquería (Kg/m)

El peso de la tabiquería se obtiene de la tabla 4.3. de las Normas COVENÍNMINDUR 2002. (Sin Frisar) (Frisada) Espesor (cm)

Bloques de arcilla

Kg/m2

Kg/m2

10 .............. 120 .......... 180 15 ............. 170 .......... 230 20 .............. 220 .......... 280



94

Ej.: Supongamos que se desea determinar la carga sobre la viga (Wv) del dibujo de planta (Fig. 3.7.2), si esa viga "B" soporta una losa nervada de 25 cms., de espesor y una tabiquería de 15 cms., de espesor (frisada) y 2.30 mts., de altura. Sol.: Wv = (Pp Losa + S.C.Losa) * aTribut. + Pp Viga + PTabiq. PpLosa = 315 Kg/m2

S.C. Losa = 175 Kg/m2

a Tribut. = 4.00 m

PpViga = 300 Kg/m PTabiq = 230 Kg/m2 * 2.30 m = 529 Kg/m Wv = (315 + 175) * 4 + 300 + 529 Wv = 2789 Kg/m

3.7.3.- Dimensi ones :

La estimación de las dimensiones se determinan en función de las condiciones de diseño para elementos sometidos a flexión planteadas por la teoría de la rotura: Mu ≤ Ø*Mn (Condición de diseño) . Mu ≤ Ø*(As *Fy*(d-a/2) .

Si consideramos que ; Mn = As*Fy* (d- a/2), tenemos :

como : As = r*b*d . y a = (As*Fy) / (0.85*f'c*b), queda :

Mu ≤ Ø* (r*b*d) * Fy * (d- (As*Fy) / (1.70*f'c*b)) . Como w = r * f'c/Fy , todo se reduce a: Mu ≤ b*d^2 * Ø* f'c * w * (1 - 0.59* w). Si llamamos Ru = Ø* f'c * w * (1 - 0.59* w) , queda : Mu ≤ b*d^2 * Ru . Como Mu = Me * Fm

(Fm : Factor de mayoración = 1.50), queda :

Me * Fm ≤ b*d^2 * Ru . Si se despejan las incógnitas y se trabaja en la condición límite : b * d^ 2 = Me * Fm / Ru

Ecuación para predimensionar



95

Ejemplo : Predimensionar la (viga - B) de la Fig. 3.7.2, de 6.00 m., de longitud. Datos : Fy = 4200 Kg/cm2 f'c = 210 Kg/cm2 La carga de la viga (Wv), se determinó previamente (Wv = 2789 Kg/m). Sol.: La viga se predimensionará según la ec., b * d^ 2 = Me * Fm / Ru , en tal sentido se determinará cada término por separado : Me :

Momento Estimado :

Me = 9127.64 Kg*m

Me = Wv * (Lv^ 2) = 2789(Kg/m) * (6 m^2) 11 11

= 9127.64 Kg*m

Fm : El factor de mayoración (De cargas) se determina según los datos de Pp Losa y S.C.Losa

PpLosa = 315 Kg/m2 Si :

S.C. Losa = 175 Kg/m2

qu = q serv. * Fm ,

(qu = 1.4*qcm + 1.7*qcv) ,

y qserv = qcm + qcv , entonces :

qu = (1.4*315) + (1.7*175) = 738.50 Kg/m2 qserv = 315 + 175 = 490 Kg/m2 Fm = qu / qserv = 738.50 / 490 = 1.507 .

Por lo tanto :

Fm = 1.51

Ru : Ru = Ø* f'c * w * (1 - 0.59* w)

Ø = 0.90 (Factor de minoración de la capacidad resistente) f'c = 210 Kg/cm2

w = r * f'c / Fy (r : Cuantía geométrica de armadura) , Se toma una cuantía promedio : r prom. = ( rmín + rMax) / 2 rmín = 14 / Fy = 14 / 4200 = 0.0033 rMax = 0.75 * rb.

rb = 0.85 * b1 * (f'c / Fy) * ( 6300 / (6300 + Fy )). ( b1=0.85). rb = 0.0217

rMax = 0.75 * 0.0217 = 0.016 r prom. = (0.0033 + 0.016) / 2 r prom. = 0.0098 w = r * f'c / Fy = 0.0098 * 210 / 4200 w = 0.196 Ru = Ø* f'c * w * (1 - 0.59* w) = 0.90 * 210 * 0.196 * (1 - 0.59*0.196) = 32.745 Ru = 32.75 (Kg/cm2) Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Ahora se procede a aplicar la ecuación de predimensionado : b * d^ 2 = Me * Fm / Ru b * d^2 = 9127.64 (Kg*m) * (100 cm/m) * 1.51 / 32.75 (Kg/cm2) b * d^2 =42084.69 cm^3 .

h = d + 5 cms

Dependiendo de la geometría que se quiera obtener en la viga, se puede fijar una dimensión y despejar para obtener la otra dimensión de la sección transversal.

d

b

Teniendo siempre en cuenta que la mínima dimensión que debe tener la base (b) de la viga es de 25 cms.

Si fijamos el valor de la base (b) con su condición mínima, tenemos : b = 25 cms.

d = (42084.69 / 25)^ 1/2 = 41.03 cm. Por lo que la altura total será de : h = 41.03 cms + 5.00 cms = 46.03 cms. (Redondeamos al sumando de 5 más cercano) h = 50 cms. Por lo tanto las dimension es definitivas d e la viga serán : (0.25 x 0.50)

Es importante tener presente que cuando se predimensionen vigas, se deben tomar en cuenta las consideraciones geométricas dadas al inicio del capítulo ( 3.1.- CONDICIONES GEOMÉTRICAS ). No obstante las condiciones geométricas de una viga, por lo general están condicionadas al planteamiento arquitectónico de la estructura a proyectar.


96


97

3.8.- MÉTODO DEL PORTAL :

* Método aproximado para analizar estructuras aporticadas sometidas a cargas horizontales. * Mientras más simétrica sea la estructura, los resultados serán más confiables. * Su aplicación facilita el diseño de vigas y columnas sometidos a cargas horizontales.

L1

L2

Hn HIPÓTESIS : V1n

V2n

V3n 1.-

H(n-1)

Vin = Hn Vi(n-1) = H(n-1) + Hn

V1 n-1

V2 n-1

V3 n-1 2.-

V1 = V3 V2 = 2*V1

H(n-2) V1 n-2

V2 n-2

V3 n-2

HIPÓTESIS : 1.- La fuerza cortante total de todas las columnas de un determinado piso, es igual y opuesto a la suma de

todas las fuerzas horizontales H(n-i) que actúan por encima de ese piso. 2.- La fuerza cortante en las columnas exteriores es igual. En las columnas internas también son iguales y

equivalen al doble de las exteriores. 3.- Los ptos., de inflexión (donde, M=0) de todos los elementos, se ubican en el pto., medio de la luz.

Excepto en las columnas de Base.



98

EJEMPLO : Determinar la envolvente de diseño (por momento flector) debido a las cargas horizontales, en vigas y columnas del pórtico mostrado. Según los datos suministrados : DATOS: L1 = L2 = 6.00 mts.

“Fundación Rígida”

h = 3.00 mts. Hn = 1000 Kg . H(n-1) = 2000 Kg . COLUMNAS DE BASE (Ptos. De Inflexión) L1

L2

Hn

h h

2h/3

FUNDACIÓN RÍGIDA

H(n-1) h

h h/3 FUNDACIÓN FLEXIBLE

SOLUCIÓN :

6.00

Hipótesis n º2 : V 2V V

6.00

V’ 2V’ V’

1000 V

2V

V

3.00

2000

Hipótesis nº1 : Nivel Techo (Hn) : V + 2V + V =1000 Kg

’

2V’

V = 1000/4 V = 250 Kg

V’ 3.00

Nivel 1º ( H(n-1) ) : V’ + 2V’ + V’ = 2000+1000 Kg V’ = 3000/4


V’ = 750 Kg

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. 100 INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II.

CAPÍTULO Nº 4 .: " CONTROL DE DEFLEXIONES" El control de deflexiones (o de flechas) se regirá de acuerdo a lo pautado en el capítulo 9.5 CONTROL DE LAS FLECHAS de las Normas COVENÍN-MINDUR 1753. 4.1.- TIPOS DE DEFLEXIONES :

Se considerarán dos (2) tipos de deflexiones : •

Deflexiones a corto plazo.

•

Deflexiones a largo plazo.

4.2.- FLECHAS MÁXIMAS PERMISIBLES :

TIPO DE MIEMBRO Techos planos que NO soportan ni están unidos a elementos NO estructurales susceptibles de ser

( Máx)

( Ad m)

FLECHA A

FLECHA L ÍMITE

CONSIDERAR ( Máx)

( Ad m)

Flecha instantánea debida a la carga variable

dañados por grandes flechas.

L/180

(1)

(d Inst.) cv

Entrepisos que NO soportan ni están unidos a elementos NO estructurales susceptibles de ser

Flecha instantánea debida a la carga variable

dañados por grandes flechas.

L/360

(d Inst.) cv

Techos o Entrepisos que soportan Aquella parte de la flecha o están unidos a elementos NO total

que

se

produce

estructurales susceptibles de ser después de la fijación de los dañados por grandes flechas.

L/480

(2)

L/240

(4)

elementos no estructurales.

Techos o Entrepisos que soportan (d Inst.) cv + ( d Largo plazo) o están unidos a elementos NO estructurales

que

NO

cm + cv

son

susceptibles de ser dañados por grandes flechas.


(3)


Notas : (1) Este límite No considera la posibilidad de estancamiento de agua, cuyo efecto debe verificarse mediante cálculos adecuados de flechas, incluyendo las flechas adicionales debidas al agua estancada, y considerando los efectos a largo plazo de las cargas permanentes, la contraflecha inicial, las tolerancias de construcción y la confiabilidad de los dispositivos de drenaje. (2) Se puede exceder este límite si se toman medidas adecuadas para prevenir el daño de los elementos unidos o soportados. (3) La flecha a largo plazo deberá determinarse de acuerdo a la subsección 9.5.2.5 pero puede reducirse deduciendo la parte de la flecha que se produce antes de la colocación de los elementos NO estructurales. Esta parte puede determinarse en base a los datos técnicos aceptables referentes a las características de variación de las flechas con el tiempo de miembros similares a los considerados. (4) Este límite No será mayor que la tolerancia prevista para los elementos NO estructurales. El valor puede ser excedido si se proporciona una contraflecha tal que la diferencia entre esta y la flecha total NO supere el límite estipulado.

4.3.- ANÁLISIS DE LAS FLECHAS : 4.3.1.- Flechas Instantáneas :

q (Kg/m)

d Inst. = 5__ *

384 d Inst.

q * L^4__ E*I (LOSAS)

L

Donde : E * I = Ec * Ie

q (Kg/m)

d Inst. = 1__ *

384 d Inst.

L Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

q * L^4__ E*I (VIGAS)


4.3.2.- Flechas a Largo Plazo : Largo Plazo =

Inst. * [ 2 - 1.20*(As'/As) ].

Siempre que : [ 2 - 1.20*(As'/As) ] ≥ 0.60

Donde : As' : Área de armadura en compresión. As : Área de armadura en tracción.

4.3.3.- CONSIDERACIONES : (Ec ; Ie)

E * I = Ec * Ie . Ec : (Módulo de Elasticidad del Concreto Kg/cm2).

Ec = 15100 * √ f'c

Ie : (Momento de Inercia Efectivo cm4)

Ie = (Mcr/Ma) 3 * Ig + [ 1 - (Mcr/Ma) 3 ]*Icr

Siempre que : Ie ≤ Ig . Donde : Mcr : (Momento de Agrietamiento de la secc.) Mcr = fr * Ig yt

fr : (Módulo de rotura del concreto Kg/cm2).

fr = 2* √f'c

Ig : (Momento de Inercia de la secc. Total Medido desde su baricentro).

Ig = b*h 3 / 12

yt : (Distancia hasta la fibra más traccionada, medida a partir del Eje Neutro). Ma : (Momento máximo sin mayorar). Icr : (Momento de Inercia de la secc. Agrietada transformada a concreto, respecto al E. N.).

E.N.

E.N. As

SECC. NO AGRIETADA

SECC. TRANSFORMADA

SECC. AGRIETADA


h*As (Relación Modular)

SECC. TRANSFORMADA (Usar) = 15


4.3.3.- Ejemplo s :

Ejemplo Nº 1 : Cálculo de deflexión en Losa Maciza de techo que NO soporta tabiquería. A

B

5.00

1.00

DATOS : Fy = 4200 Kg/cm2.

qu = 900 (Kg/m)

2047.50

qcv = 100 Kg/m2. qcm = 521 Kg/m2.

1350.00

+

Vu (Kg)

F'c = 250 Kg/cm2.

L-TECHO Maciza h = 0.15

+ -

PROCEDIMIENTO :

2324.00

1.- h mín., para NO chequear d :

2452.50

Tramo A-B : L/24 = 5.00/24 = 0.21 m

+

Mu (Kg*m)

Volado : L/10 = 1.00/10 = 0.10 m

Como la losa es de 15 cms., de espesor, se 1012.50

0.15

0.15

0.15

Ø 3/8" x 1.40 c/.25

0.15

Ø 3/8" x 2.30 c/.25

chequea la deflexión en el tramo A - B.

L-TECHO Maciza h = 0.15

2.- Chequeando deflexión en el tramo A - B : d Máx = 3__ *

384

0.15 Ø 1/2" x 5.00 c/.20

qu * L^4__ Ec * Ie

El caso que nos ocupa corresponde, de acuerdo a la tabla del pto 4.2.- al de TECHOS PLANOS


QUE NO SOPORTAN NI ...... Nota : La ecuación de ( d Máx), se promedió entre los valores para Losas y para Vigas, por lo que se toma como : d Máx = 3__ * qu * L^4__ 384

Ec * Ie

Por lo tanto se debe considerar la flecha instantánea debida a la carga variable ( Inst.) cv . Siendo la flecha admisible ( L/180 )



d Adm. = L/180 = 5.00/180 = 0.0278 m

Adm. = 2.78 cm .

(Deflexión Máxima que permite la norma).

(Inst.) cv = 3__ * qcv * L^ 4__ 384 Ec * Ie

qcv = 100 Kg/m2 * 1.00m = 100 Kg/m = 1.00 Kg/cm . L = 5.00 m = 500 cm. Ec = 15100* √ f'c = 15100 * √ 250 = 238752 Kg/cm2 . Ie = (Mcr/Ma) 3 * Ig + [ 1 - (Mcr/Ma) 3 ]*Icr

Mcr : (Momento de Agrietamiento de la secc.) b = 100 cm Mcr = fr * Ig yt E.N.

h = 15 cm

yt = 7.50 cm

fr = 2*√f'c = 2 *√ 250 = 31.62 Kg/cm2 Ig = b*h3 / 12 = 100 * (15^3) / 12 = 28125 cm4 Mcr = 31.62 * 28125 . 7.50

Mcr =118575 Kg*cm

Ma : (Momento máximo sin mayorar). Ma = Mu / F.M. (F.M. : Factor de mayoración de cargas) Mu = 2324 Kg*m (Del diagrama de momento) F.M. = qu / q serv. = (1.4*qcm) + (1.7*qcv) = (1.4*521) + (1.7*100) F.M. = 1.45 qcm + qcv 521 + 100 Ma = 2324 Kg*m * (100cm/m) 1.45

Ma = 160275.86 Kg*cm

Icr : (Momento de Inercia de la secc. Agrietada transformada a concreto, respecto al E. N.).



Icr : b = 100 cm

b = 100 cm

h = 15 cm

d= 12 cm

E.N.

X =3.93 h*As (Relación Modular)

As = 6.35 cm2 Ø 1/2" c/.20

= 15 .

(Usar)

Este factor se usa para transformar el acero a su equivalente (en área) de

concreto. Las áreas por encima y por debajo del Eje Neutro, deben estar en equilibrio, por lo tanto, si se igualan los momentos de Inercia, podemos obtener la ubicación del Eje Neutro de la sección transformada. S M est. = 0 :

100 * x * x /2 = h*As * (d - x ) .

( d = 12 cm)

50 x ^2 = 15 * 6.35 * (12 - x ) 50 x ^2 + 95.25 x - 1143 = 0

x = - 5.83 cm x = 3.93 cm. (Valor real)

Una vez determinada la ubicación del Eje Neutro de la secc. Transformada, se procede a determinar el Momento de Inercia de esa sección transformada ó (Icr) . En estos casos, como el E.N., separa dos (2) figuras, se determinará el Momento de Inercia por la ecuación de Steiner : Ec. de Steiner : I x-x = Icg + A*(Yx-x - Ycg) 2 . x x

x

x

I x-x = b*h 3 / 3

I x-x = b*h 3 / 12

Icr = 100*(3.93) 3 + [h*As* (8.07)2 ] 3

(Si : h = 15 y As = 6.35 cm2)

Icr = 8226.43 cm4 Ahora se puede proceder a determinar el valor del momento de Inercia Efectivo (Ie) : Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

8.07

d



Ie = (118575/160275.86) 3 * 28125 + [ 1 - (118575/160275.86) 3 ] * 8226.43 Ie = 16283.85 cm4.

≤ Ig

(Ig = 28125 cm4)

Finalmente, se determina la deflexión máxima : (Inst.) cv = 3__ * qcv * L^ 4__ = 3 384 Ec * Ie 384 (Inst.) cv = 0.13 cm .

≤

. * 1.00 Kg/cm * (500cm^4) 238752 Kg/cm2 * 16283.85 cm4

Ad m. = 2.78 cm .

(Deflexión Máx. que permite la norma).

Como la deflexión (0.13 cm) que ocurre en la losa (en el tramo A - B) es menor que la deflexión admisible (2.78 cm). No es necesario aumentar el espesor de la losa más de los 15 cms.

Ejemplo Nº 2 : Cálculo de deflexión en Losa Nervada de Entrepiso que SI soporta tabiquería susceptible de ser dañada por grandes flechas.

A

B

DATOS :

C

4.30

Fy = 4200 Kg/cm2.

6.30

f'c = 250 Kg/cm2. q cm = 305 (Kg/m) L - E .

q cv = 100 (Kg/m)

NERVADA Mu (Kg*m)

435

=

1922

PROCEDIMIENTO : 1 Ø 5/8" x 3.70 1 Ø 1/2" x 1.20

1 Ø 1/2" x 3.70

1.- h mín., para NO chequear d : 1 Ø 1/2" x 1.70

0.20

0.20

1 Ø 1/2" x 10.60

Tramo A-B : L/18 = 4.30/18 = 0.24 m Tramo B-C : L/18 = 6.30/18 = 0.35 m Como la losa es de 25 cms., de espesor, se

1 Ø 1/2" x 6.30


chequea la deflexión en el tramo B - C.


2.- Chequeando deflexión en el tramo B - C : d Máx = 3__ *

384

qu * L^4__ Ec * Ie

El caso que nos ocupa corresponde, de acuerdo a la tabla del pto 4.2.- al de TECHOS O ENTREPISOS QUE SOPORTAN O ESTÁN UNIDOS A ......

Por lo tanto se debe considerar la flecha instantánea debida a la carga variable ( Inst.) cv , más la flecha a largo plazo debida a la suma de la carga permanente y la variable ( Largo Plazo) cm + cv .

Siendo la flecha admisible ( L/480 ) .

Flecha a Considerar :

( Inst.) cv + ( Largo Plazo) cm + cv

Flecha Admisible :

Adm. = L / 480 = 6.30 / 480 = 0.0131 m. Adm. = 1.31 cm (Deflexión máxima que permite la norma).

(Inst.) cv = 3__ * qcv * L^ 4__ 384 Ec * Ie

qcm = 405 Kg/m = 3.05 Kg/cm.

qcv = 100 Kg/m = 1.00 Kg/cm .

L = 6.30 m = 630 cm. Ec = 15100* √ f'c = 15100 * √ 250 = 238751.96 Kg/cm2 . Ie = (Mcr/Ma) 3 * Ig + [ 1 - (Mcr/Ma) 3 ]*Icr

Mcr : (Momento de Agrietamiento de la secc.) b = 50 cm Mcr = fr * Ig yt

5 h = 25 cm

E.N.

20

yt = 16.94 cm bw = 10 cm

yt : yt = S (Ai * yi) = (50*5*22.5) + (10*20*10) S Ai (50*5) + (10*20)

8.06 cm

= 16.94 cm

yt = 16.94 cm. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


fr = 2*√f'c = 2 *√ 250 = 31.62 Kg/cm2 Ig : El momento de Inercia de la sección ( T ) se calculará aplicando el teorema de Steiner. Ec. de Steiner : I x-x = Icg + A*(Yx-x - Ycg) 2 . Ig = [ 50* (5 3) + (50*5)*(8.06 - 2.5) 2 ] + [ 10* (20 3) + (10*20)*(16.94 - 10) 2 ] 12 12 Ig = 24548.62 cm4. Mcr = 31.62 * 24548.62 . 16.94

Mcr = 45822.16 Kg*cm

Ma : (Momento máximo sin mayorar). Ma = Mu / F.M. (F.M. : Factor de mayoración de cargas) Mu = 2324 Kg*m (Del diagrama de momento) F.M. = qu / q serv. = (1.4*qcm) + (1.7*qcv) = (1.4*305) + (1.7*100) F.M. = 1.47 qcm + qcv 305 + 100 Ma = 1922 Kg*m * (100cm/m) 1.47

Ma = 130748.30 Kg*cm

Icr : (Momento de Inercia de la secc. Agrietada transformada a concreto, respecto al E. N.). Icr : b=50cm

b=50cm

E.N. 5 cm

h = 25 cm

bw = 10 cm

M+

d = 22 cm

As = 2.54 cm2 (2 Ø 1/2")

SECCIÓN AGRIETADA

(Usar)

= 15 .

X = 5.08 cm 10 cm


SECCIÓN TRANSFORMADA

Este factor se usa para transformar el acero a su equivalente (en área) de

concreto.


d = 22 cm


Las áreas por encima y por debajo del Eje Neutro, deben estar en equilibrio, por lo tanto, si se igualan los momentos de Inercia, podemos obtener la ubicación del Eje Neutro de la sección transformada. S M est. = 0 : 50*5*(x - 2.5) + 10*(x - 5) * (x - 5) / 2 = h*As * (d - x) .

( d = 22 cm)

250 x - 625 + 5x 2 - 50x + 125 = 15 * 2.54 * (22 - x) 5x2 + 238.10 x - 1338.20 = 0


Una vez determinada la ubicación del Eje Neutro de la secc. Transformada, se procede a determinar el Momento de Inercia de esa sección transformada ó (Icr) . En estos casos, como el E.N., separa dos (2) figuras, se determinará el Momento de Inercia por la ecuación de Steiner : Icr = [ 50*(5 3) + (50*5)*(5.08 - 2.5) 2 ] + [ 10*(0.08 3) ] + [h*As* (d - 5.08) 2 ] 12 3 (Si : h = 15 ; d = 22 cm y As = 2.54 cm2) Icr = 13092.45 cm4 Ahora se puede proceder a determinar el valor del momento de Inercia Efectivo (Ie) : Ie = (Mcr/Ma) 3 * Ig + [ 1 - (Mcr/Ma) 3 ]*Icr

Ie = (45822.16/130748.30) 3 * 24548.62 + [ 1 - (45822.16/130748.30) 3 ] * 13092.45 Ie = 13585.58 cm4.

≤ Ig

(Ig = 24548.62 cm4)

Se determina la deflexión instantánea : (Inst.) cv = 3__ * qcv * L^ 4__ = 3 384 Ec * Ie 384

*

. 1.00 Kg/cm * (630cm^4) 238751.96 Kg/cm2 * 13585.58 cm4

(Inst.) cv = 0.38 cm

Luego : d (Inst.) cm + cv =

3_* (qcm + qcv) * L^ 4__ = 3 * (3.05 + 1.00 Kg/cm)*(630cm^4) 384 Ec * Ie 384 238751.96 Kg/cm2 * 13585.58

cm4 d (Inst.) cm + cv = 1.54 cm



(Largo Plazo) cm + cv =

(Inst.) cm + cv * [ 2 - 1.20*(As'/As) ]

Donde : As' = 0 (No existe armadura en compresión en el tramo B - C). As = 2.54 cm2 Luego : d (Largo Plazo) cm + cv = 1.54 * [ 2 - 1.20*(0/2.54) ]

(Largo Plazo) cm + cv = 3.08 cm

Finalmente, se determina la deflexión total máxima : (Total) =

(Inst.) cv +

(Largo Plazo) cm + cv

(Total) = 0.38 cm + 3.08 cm (Total) = 3.46 cm

Adm. = 1.31 cm (Deflexión máx. que permite la norma).

Como la deflexión en el tramo (4.22 cm) supera la deflexión admisible (1.31 cm), es necesario reforzar el tramo B - C . La forma más sencilla y directa, consiste en reducir al mínimo posible la deflexión a largo plazo. En tal sentido se procederá de la siguiente manera : La expresión [ 2 - 1.20*(As'/As) ] se reducirá al mínimo (0.60) según lo establecido en el pto. 4.3.2- Flechas a L argo Plazo . Por lo tanto : [ 2 - 1.20*(As'/As) ] = 0.60 As' / As = 1.17

Si : As = 2.54 cm2 ( 2 Ø 1/2" )

As' = 1.17 * 2.54 cm2 As' = 2.97 cm2 = 1 Ø 3/4 " (As = 2.85 cm2) Se reforzará el tramo B - C con 1Ø 3/4" en la fibra superior. Esto hace necesario que se recalcule la sección transformada. b=50cm

b=50cm

E.N. As' = 2.85 cm2 (1 Ø 3/4")

h*As'

5 cm

h = 25 cm

d' = 2.5 cm bw = 10 cm

M+

d = 22 cm

As = 2.54 cm2 (2 Ø 1/2")

SECCIÓN AGRIETADA

X 10 cm


SECCIÓN TRANSFORMADA Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

d = 22 cm

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. 111 INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. S M est. = 0 :

50*5*(x - 2.5) + 10*(x - 5) * (x - 5) / 2 + h*As' * (x - d') = h*As * (d - x) . ( d = 22 cm. d' = 2.5 cm) 250 x - 625 + 5x 2 - 50x + 125 + 15*2.85*(x - d') = 15 * 2.54 * (22 - x) 5x2 + 280.85 x - 1445.08 = 0


El resultado (x = 4.74 cm) indica que el E.N. de la sección transformada queda ubicado dentro de la loseta de 5.00 cm, por lo que el dibujo quedaría :

Icr =

b=50cm

[ 50*(4.743) ] + [h*As' (4.74 - 2.5) 2] + [h*As (22 - 4.74) 2] 3

h*As' X = 4.74 cm d = 22 cm

h = 15.

As' = 2.85 cm2.

As = 2.54 cm2.


Icr = 13339.72 cm4 SECCIÓN TRANSFORMADA


Ie = (45822.16/130748.30) 3 * 24548.62 + [ 1 - (45822.16/130748.30) 3 ] * 13339.72 Ie = 13822.21 cm4.

≤ Ig

(Ig = 24548.62 cm4)

Se determina la deflexión instantánea : (Inst.) cv = 3__ * qcv * L^ 4__ = 3 384 Ec * Ie 384

*

. 1.00 Kg/cm * (630cm^4) 238751.96 Kg/cm2 * 13822.21 cm4

(Inst.) cv = 0.37 cm

Luego : d (Inst.) cm + cv =

3_* (qcm + qcv) * L^ 4__ = 3 * (3.05 + 1.00 Kg/cm)*(630cm^4) 384 Ec * Ie 384 238751.96 Kg/cm2 * 13822.21 cm4

d (Inst.) cm + cv = 1.50 cm



(Largo Plazo) cm + cv =

(Inst.) cm + cv * [ 2 - 1.20*(As'/As) ]

Donde : As' = 2.85 cm2 As = 2.54 cm2 Luego : d (Largo Plazo) cm + cv = 1.50 * [ 2 - 1.20*(2.85/2.54) ]

(Largo Plazo) cm + cv = 0.95 cm

Finalmente, se determina la deflexión total máxima : (Total) =

(Inst.) cv +

(Largo Plazo) cm + cv

(Total) = 0.37 cm + 0.95 cm (Total) = 1.32 cm

=

Adm. = 1.31 cm (Deflexión máx. que permite la norma).



CAPÍTULO Nº 5 .: " ANÁLISIS Y DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXO-COMPRESIÓN" Las Columnas, así como las vigas son elementos estructurales que dependiendo del uso de la edificación (con o sin riesgo), deben ser diseñadas para resistir tanto las cargas gravitacionales, como las accidentales (sismos, vientos, empujes laterales,....). En tal sentido las columnas se diseñarán para soportar las siguientes combinaciones de cargas : U = 1.4 CM + 1.7 CV U = 0.75*(1.4CM + 1.7CV) +/- S

Donde :

U = 0.90*(CM + CV) +/- S

CM: Carga permanente. CV: Carga variable. S : Sismo.

5.1.- CONDICIONES GEOMÉTRICAS : (Capítulo 18.3.1 (ND3) Normas 1753).

En ND2 no se especifican dimensiones. 1.- bmín = 30 cm. h Secc. Transv. b

2.- b/h ≥ 0.40

5.2.- ARMADURA LONGITUDINAL : (Capítulo 18.3.3 (ND3) Normas 1753).

1.- Cuantías Máximas y mínimas de acero : (0.01 ≤

r

≤ 0.06)

Si : As = r * b * h. Entonces : As mín = 0.01 * b * h Asmáx = 0.06 * b * h 2.- En c/esquina de la sección transversal de una columna, debe colocarse al menos una cabilla igual o mayor a la Nº 2. Ø ≥ 1/2"

Ej : h b

Ø ≥ 1/2" Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


5.3.- DISPOSICIÓN DE LA ARMADURA LONGITUDINAL : (Cap. 18.3.3.3 Normas 1753). COLUMNA VIGA

Empalmes : Los empalmes por solape solo se permitirán en la mitad central de la luz libre del miembro (de la columna), y deben ser diseñados como empalmes a tracción.

h libre

Long. solape

ZONA DE EMPALME

h libre 2

VIGA

5.4.- ARMADURA TRA NSVERSAL :

Las principales funciones de la armadura transversal, es la de lograr el confinamiento del concreto y servir de soporte lateral a las barras de refuerzo longitudinal de las columnas. La Norma Venezolana (COVENÍN-MINDUR 1753) especifica que " Todas las barras longitudinales en compresión deben estar encerradas por ligaduras ". Estas ligaduras se ajustarán a las siguientes disposiciones :

•

Para barras longitudinales menores o (a lo sumo ) iguales a Ø 1/2 " ⇒ Ligaduras de Ø 1/4 " .

•

Para barras longitudinales de Ø 1/2 " hasta barras de Ø 1 3/8 "

•

Para barras longitudinales mayores de Ø 1 3/8 " y grupos de barras ⇒ Ligaduras de Ø 1/2 " .

⇒ Ligaduras de Ø 3/8 " .

(Cap. 7.10.5.3) Las ligaduras se dispondrán de tal forma que cada barra longitudinal alternada y cada barra esquinera tengan un soporte lateral proporcionado por el doblez de una ligadura que tenga un ángulo interno no mayor de 135 grados. Ninguna barra sin soporte lateral estará separada de la barra soportada lateralmente más de 15 cm., libres medidos sobre la



ligadura (Figuras 5.4. (a) , (b) y (d) ). Cuando las barras longitudinales estén localizadas sobre el perímetro de un círculo, se puede emplear una ligadura circular.

En columnas, donde la geometría de la sección dificulte el arriostramiento de las barras con ligaduras cerradas, se permite el uso de ligaduras de una rama para el soporte lateral de barras opuestas. (Figura 5.4. (c) )

Fig. 5.4 : ≤ 15 cm ≤ 15 cm

≤ 15 cm

≤ 15 cm

Puede ser ≥ 15 cm Puede ser ≥ 15 cm

135 º (Máx)

Fig. 5.4. (a)

Fig. 5.4. (b)

Ligadura o Estribo

Estribo

Ligaduras de Una (1) Rama

Fig. 5.4. (c)


Estribo

Fig. 5.4. (d)


Las ligaduras o estribos cerrados deben colocarse de tal forma y a una separación tal, que garanticen el confinamiento del núcleo de concreto en elementos comprimidos. Esta separación "mínima" viene dada según estipulación normativa : (Cap. 10.13.8.5) La separación de las ligaduras no excederá de : 16 veces el diámetro de las barras longitudinales. (16 * Ø barra) 48 veces el diámetro de las ligaduras.

( 48 * Ø estribo)

La mitad de la menor dimensión de la sección transversal del miembro.

No obstante; teniendo en cuenta las consideraciones para edificaciones sismoresistentes, la disposición de las armaduras de confinamiento y corte deben satisfacer además los siguientes requisitos : Zonas a Confinar (Lo) (Cap. 18.3.4.2) ND2 y ND3 : La armadura transversal (que confina,

por medio de estribos cerrados) deberá colocarse en los extremos de la columna en una longitud por lo menos igual al mayor de los siguientes valores : a.- La mayor dimensión de la sección transversal. b.- (1/6) de la altura libre del elemento. c.- 45 cm. Separación d e estribo s en zonas con finadas (Para ND3 y ND2) : Separación máxima de estribos (En zonas confinadas. Cap. 18.3.4.4) ND3 :

La

separación de las armaduras de refuerzo transversal en la dirección del eje del miembro NO será mayor que el MENOR de los siguientes valores : a.- (1/4) de la menor dimensión del elemento . b.- 10 cm. Separación m áxima de estribos (So) (En zonas confinadas. Cap. 18.8.3.2.2) ND2 : La

separación So, en la dirección del eje del miembro, de la longitud (Lo) de confinamiento, no deberá exceder el menor de los siguientes valores : a.- 8 veces el diámetro de la menor barra longitudinal arriostrada. b.- 24 veces el diámetro del estribo. c.- (1/2) de la menor dimensión de la sección transversal del miembro. d.- 30 cm.



Cuando se trate de zonas NO confinadas, la separación de estribos No excederá el valor de : 2 * So.

Ejemplo de Disposición :

16*Øb

Donde : H Viga

Lo : Zona Confinada. (So) : Separación Máx. de Estribos en zonas Confinadas.

) o o S L (

2*(So) : Separación de estribos en zonas NO confinadas.

) o S ( * 2

H Libre

) o o S L (

E D N S O Ó I B I C I R S T O S P E S I D

H Viga

COLUMNA (b x h)

La disposición de las armaduras tanto para resistir esfuerzos cortantes como para resistir compresión axial y momentos flectores debe cumplir con los requisitos establecidos en las normas COVENÍN-MINDUR 1753 a las cuales se refieren los epígrafes anteriores. No obstante a su vez debe satisfacer los requerimientos que resulten del análisis estructural del elemento. Por redundante que parezca, la aclaratoria siempre es válida en virtud que las columnas (en conjunto con las vigas) son las principales responsables de proporcionar estabilidad (Rigidez) a la edificación que se desee proyectar. De allí que un escrupuloso cuidado en el diseño, redundará en estructuras confiables. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


5.5.- CAPACIDAD DE SOPORTE DE MIEMBROS SOMETIDOS A FLEXO-COMPRESIÓN :

La carga (Pn) que actúa sobre la sección transversal de la columna, la deben resistir todos los materiales

Pn (Kg)

COMPRESIÓN AXIAL

que conforman su sección transversal. Esto significa que : (Kg)

(Kg)

Pn (Kg) = (P concreto) + (P acero de refuerzo) Pn =

(Ac*f'c)

+

(As*Fy)

Si minoramos la capacidad resistente del concreto (Teoría de Rotura), tenemos : Pn =

0.85* (Ac*f'c)

+

(As*Fy) (Ec. 5.5.1)

As

a

Donde : Ac : Área que ocupa el concreto (cm2) As : Área de la armadura de refuerzo (cm2) b

f'c : Resistencia del concreto (Kg/cm2) Fy : Esfuerzo de fluencia del acero (Kg/cm2)

Área de la secc. Transv.: A tot = a * b Área de concreto:

Ac = A tot. - As

En consecuencia a las disposiciones de diseño que plantea la Teoría de la Rotura, la carga de diseño de los elementos sometidos a flexo-compresión será :

Pu

Ø * Pn

(Ec. 5.5.2)

(Ø = 0.70) Para columnas con estribos. (Ø = 0.75) Para columnas zunchadas.

Pu = (1.4*Pcm) + (1.7*Pcv)

Pu : Carga de diseño. Pn : Carga máxima (Donde ocurre la falla).



Los ejemplos que se presentan a continuación, ilustran la forma de diseñar columnas sometidas a carga axial (Únicamente), y en donde los efectos de la esbeltez de la columna no sean considerables :

Ejemplo Nº 5.5.1.- Determinar la capacidad de carga de diseño (Pu) de una columna de 0.30 x 0.40, reforzada con 8 Ø 5/8" , confinada con estribos, si f'c = 250 Kg/cm2 y Fy = 4200 Kg/cm2 . R.Pu

(Ø = 0.70)

Ø * Pn (Ec. 5.5.2)

0.40 Pn =

0.85* (Ac*f' c)

+

(As*Fy)

(Ec. 5.5.1)

Ac = A tot. - As 0.30

Ac = (30cm*40cm) - (15,84 cm2) = 1.184,16 cm2 8 Ø 5/8" (As = 15,84 cm2) Nota : Con los datos que se dan de la columna, se deduce que ella soporta hasta 318,16 toneladas (En ese momento ocurre la falla). Sin embargo se diseña para que soporte hasta 222,71 Ton.

Pn = ( 0.85 * 1.184,16 * 250 ) + (15,84 * 4200) Pn = 318.162,00 Kg (Carga de falla de la columna) Pu = 0.70 * 318.162,00 Pu = 222.713,40 Kg (Carga de diseño de la columna).

Ejemplo Nº 5.5.2.- Si se desea diseñar una columna que soporte 150 toneladas de carga vertical, pero que sus medidas se limiten a 0.30 x 0.30 de sección transversal. ¿ Cual será el refuerzo necesario ?. Asumir : f'c = 210 Kg/cm2 y Fy = 4200 Kg/cm2. R.- En este caso se debe determinar el valor de As. El resultado debe cumplir el requisito mínimo de cuantía de armadura (r mín = 0.01), por otro lado, como no se indica el tipo de confinamiento que tendrá la columna, se escoge el más común. Estribos cerrados (Ø = 0.70).



En condición límite : Pu = Ø*Pn . Por lo tanto :

A tot = 30cm * 30cm = 900 cm2

Pu = Ø * [(0.85*Ac*f'c) + (As*Fy)]

Pu = 150.000,00 Kg

Ac = Atot - As

(Pu/Ø) = (0.85*(Atot -As)*f'c) + (As*Fy)

As mín = 0.01*(A secc. Transv.)

(150000 / 0.70) = (0.85*(900-As)*210) + (As*4200)

As mín = 0.01*(30cm*30cm)

214285,71 = 160650 - 178.50 As +4200 As

As mín = 9.00 cm2

53635.71 = 4021.50 As As = 13.34 cm2. > As mín

La escogencia de las barras de acero para cubrir As = 13.34 cm2, depende de la simetría (respecto al número de barras de acero) que se quiera obtener en la sección transversal de la columna. En principio podemos hacer la escogencia por tanteos, es decir : Para : Ø 1/2" (As = 1.27 cm2) : 13.34 cm2 / 1.27 cm2 (Barra) = 10.50 (11 Barras de Ø 1/2") Ø 5/8" (As = 1.98 cm2) : 13.34 cm2 / 1.98 cm2 (Barra) = 6.73 (7 Barras de 5/8") Tenemos dos opciones (De las muchas) posibles . En cualquier caso: 1.- Es preferible que el número de barras en la sección transversal de una columna sea par. Esto significa que se colocarán 12 Ø 1/2" u 8 Ø 5/8" . 2.- Si queremos la mayor simetría posible (entre otras consideraciones por efectos sísmicos), en una sección "cuadrada" (0.30 x 0.30) la simetría es igual con ocho (8) que con doce (12) barras. 3.- La diferencia que pueda existir entre ambas, estará en la disponibilidad en mercado de las barras, o en la cantidad de acero suministrada, por ej.: 12 Ø 1/2" = (As = 15.24 cm2) 8 Ø 5/8" = (As = 15.84 cm2)

Opciones Posibles : 0.30

0.30

0.30

12 Ø 1/2"


0.30

8 Ø 5/8"


La diferencia sigue siendo mínima, por lo tanto ambas opciones son aceptables. Sin embargo por comodidad constructiva, en la práctica muchos profesionales se inclinarán por 8 Ø 5/8" .

Ejemplo Nº 5.5.3.- En este caso se desea diseñar una columna que sea capaz de resistir una carga a compresión de 365 toneladas. Utilizar f'c = 210 Kg/cm2. Y Fy = 4200 Kg/cm2 . R.- Nótese que no se disponen de muchos datos de diseño, por lo que en casos como estos, depende de la habilidad e ingenio del proyectista proponer una solución que satisfaga los requerimientos técnicos. Planteando la ecuación de diseño : Pu

Ø * Pn

(Ø = 0.70)

En este caso ya se presume que las columnas estarán confinadas con estribos cerrados (Ø = 0.70).

Pn =

0.85* (Ac*f'c)

+

(As*Fy)

Si sustituímos los datos en la ecuación : Pu = Ø * [(0.85*Ac*210) + (As*4200)] 365000 = 0.85 * [(178.5*Ac) + (4200*As)] (365000/0.85) = (178.5 * Ac) + (4200 * As) . La ec. queda : 521428.57 = 178.5*Ac + 4200*As (i) 521428.57 = 178.5(A tot - As) + 4200*As 521428.57 = 178.5*A tot - 178.5*As + 4200*As 521428.57 = 178.5*A tot + 4021.50*As (ii) Se tiene una ecuación con dos incógnitas (A tot y As). Dependiendo de las condiciones que se planteen podemos asumir cualquiera de las dos incógnitas, es decir : A.- Se pueden fijar las medidas de la columna (A tot), y así determinar As. B.- Se puede estimar una cuantía de armadura (As), y así determinar A tot. A.- Fijando A tot : En este caso se procede por tanteos partiendo de la condición más económica, es decir, de las consideraciones geométricas mínimas (Dadas al inicio del capítulo). Si la dimensión mínima de una columna es de 0.30, la otra dimensión también puede ser la mínima (0.30). Por lo tanto : Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


A tot ⇒ 30cm x 30cm . A tot = 900 cm2. En este caso la ecuación (ii) queda : 521428.57 = 178.5*A tot + 4021.50*As 521428.57 = (178.5*900) + 4021.50*As 521428.57 = 160650 + 4021.50*As . despejando queda : As = 89.71 cm2 . Sin embargo entre las condiciones de cuantías mínimas y máximas de armadura plantedas al inicio del capítulo, tenemos : (0.01 <=

r

<= 0.06). Si : As =

r

* b * h.

Entonces : As mín = 0.01 * b * h = 0.01* 900 cm2 = 9.00 cm2 Asmáx = 0.06 * b * h = 0.06 * 900 cm2 = 54.00 cm2 (que supera en mucho el valor de 89.71 cm2). Por lo tanto las dimensiones mínimas (0.30x 0.30) No satisfacen los requerimientos de carga. Como es necesario aumentar la sección, se puede tantear con aumentos de 5 centímetros en las dimensiones de la sección transversal a : 0.35 x 0.35. A tot ⇒ 35cm x 35cm . A tot = 1225 cm2. En este caso la ecuación (ii) queda : 521428.57 = 178.5*A tot + 4021.50*As 521428.57 = (178.5*1225) + 4021.50*As 521428.57 = 218662.50 + 4021.50*As . despejando queda : As = 75.29 cm2 . Asmáx = 0.06 * b * h = 0.06 * 1225 cm2 = 73.50 cm2 (que supera el valor de 75.29 cm2). Por lo tanto las dimensiones (0.35x 0.35) No satisfacen los requerimientos de carga. Tercer tanteo: 0.40 x 0.40 : A tot ⇒ 40cm x 40cm . A tot = 1600 cm2. En este caso la ecuación (ii) queda : 521428.57 = 178.5*A tot + 4021.50*As 521428.57 = (178.5*1600) + 4021.50*As 521428.57 = 285600 + 4021.50*As . despejando queda : As = 58.64 cm2 . Asmáx = 0.06 * b * h = 0.06 * 1600 cm2 = 96.00 cm2 (NO supera el valor máximo). Por lo tanto As = 58.64 cm2 se distribuye con : 16 Ø 7/ 8" (As = 62.08 cm2) ó 12 Ø 1" (As = 60.84 cm2) (Mejor opción)



0.30

0.30

12 Ø 1"

En definitiva la columna que resista la carga de 365 ton., deberá tener una sección trans versal d e 0.40 x 0.40 y refor zada con 12 Ø 1" .

B.- Fijando As : En este caso podemos fijar la cuantía mínima de armadura y determinar el área total necesaria. Al principio del capítulo se plantearon las cuantías mínimas y máximas de armadura que debe tener las sección transversal de la misma. Estos límites son : (0.01 ≤

r

≤ 0.06).

Si : As = r * b * h. Entonces : As mín = 0.01 * b * h = 0.01* A tot. Asmáx = 0.06 * b * h

Trabajando en condición mínima (La más económica) : As = 0.01* Atot. La ecuación (ii), 521428.57 = 178.5*A tot + 4021.50*As

queda :

521428.57 = 178.5*A tot + 4021.50*0.01*A tot 521428.57 = 178.5*A tot + 40.215*A tot 521428.57 = 218.715*A tot. Por lo que : A tot = 2384.05 cm2 Si se asume que la columna es cuadrada : b = (A tot) ^ (1/2) b = (2384.05 cm2) ^(1/2) = 48.82 cm . Se asume b = 50 cm. Y la columna será de : 0.50 x 0.50 . Su refuerzo será : As = 0.01*50*50 = 25.00 cm2 . Opciones : 20 Ø 1/2 " (As = 25.40 cm2) 14 Ø 5/8 " (As = 27.72 cm2) 10 Ø 3/4" (As = 28.50 cm2) 8 Ø 7/8" (As = 31.04 cm2). ⇒ (Ver ejemplo de despiece ( 5.6) de esta opción, a

continuación). Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


5.6.- EJEMPLO DE DESPIECE DE COLUMNA DE DOS (2) PISOS : Para ND2. Opción 1 : 0.36

0.50 5 2 . / C

Viga (0.30x0.45) 0 5 . 0

0 5 2 5 . . 0 / C

COLUMNA (0.50 x 0.50) 8 Ø 7/8 " 0 5 . / C

H Libre = 2.55

0.45 0.32

0.15

0 6 . 7 x " 8 / 7 Ø 8

5 2 . / C

0 5 . 0

0.16 0.16 0.32

0.32

0.45 5 2 . / C

5 2 . / C

0 5 . 0

0 5 . / C

Lig. Ø 3/8" x 1.60

Viga (0.30x0.45)

Estribos Ø 3/8" x 2.10

Opción 2 :

COLUMNA (0.50 x 0.50)

0.50

H Libre = 2.55

0 5 . 0

5 0 2 . 5 . / 0 C

0.36

5 4 . 0

0.15

5 4 . 0

0.32

" E / D 8 3 N Ø Ó I C S I O S B I O P R T S I S D E

8 Ø 7/8 " 0.45

0.45 0.15 0.15

Viga de Fundación (0.35 x 0.50)

0.15

5 4 . 0

5 4 . 0

0.15

Grapa Ø 3/8" x 0.75

0.15 0.45 Estribos Ø 3/8" x 2.10

5 4 . 0

0.15 Grapa Ø 3/8" x 0.75



5.7.- LAS COLUMNAS COMO ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXO - COMPRESIÓN :

Las columnas son elementos que forman parte del sistema de pórticos de una estructura. Su función principal es la de transmitir las cargas de la Superestructura a la Infraestructura (fundación) ; y a su vez ayudar a mantener los desplazamientos laterales de los pórticos dentro de parámetros razonables o permitidos. Esta doble función implica que estos elementos deben ser capaces de resistir Compresión axial y Flexión lateral.

El hecho de que la sección transversal de las columnas sea

comparativamente mucho menor que la dimensión correspondiente a su eje longitudinal, hace suponer que estos elementos están sometidos a esfuerzos de flexión considerables. Es por esta razón que se dice que las columnas son elementos sometidos a Flexo-Compresión. No obstante, y dependiendo de donde se ubique la carga axial en la sección transversal de la columna, la flexo-compresión se clasificará en :

•

Flexo-Compresión Normal.

•

Flexo-Compresión Oblicua. 5.7.1.- Flexo-Compresió n Normal :

Se dice que un elemento está sometido a Flexo-Compresión Normal, cuando la carga axial concentrada (Pu) está aplicada sobre uno de los ejes principales de inercia de la sección transversal del elemento. Si la carga (Pu) NO coincide o NO está aplicada en el centro geométrico de la sección transversal de la columna, se crea una excentricidad (e) que genera a su vez un momento flector (Mu). e

Pu

Pu

Mu = Pu * e

y

y x

e

Pu

x x , y : Ejes ppales. de Inercia



Cuando la carga axial (Pu) actúa en combinación con el momento flector (Mu = Pu * e) , existe flexo-compresión en el elemento capaz de ocasionar la falla (o agotamiento) de la sección. La falla se puede presentar en cualquiera de las siguientes formas :

•

Falla en compresión ( I) ⇒ Hay carga axial solamente ( e = 0 ) en compresión.

•

Falla en tracción ( II) ⇒ Hay carga axial solamente ( e = 0 ) en tracción.

•

Falla en flexión pura ( III) ⇒ La carga axial es despreciable ( e = ∞ ).

•

Falla en flexo-compresión ( IV) ⇒ Ocurren simultáneamente Pu y Mu ( e ≠ 0 ). Si se analiza en detalle cada uno de los tipos de falla, podemos obtener los valores

máximos que puede resistir un elemento en flexo-compresión. Si estos valores los representamos gráficamente en un sistema de ejes cartesianos de coordenadas, en donde las ordenadas representen el valor de carga axial (Pu) y las abscisas representen el valor de momento flector (Mu); obtendremos una gráfica que se conoce con el nombre de diagrama de interacción . Un diagrama de interacción típico de un elemento de sección plana sometido a flexocompresión se presenta a continuación : Pu

Compresión Pura ( I)

θ

Falla Balanceada (IV)

e = Tg ( θ) = Mu/Pu

Flexión Pura ( III) Mu = Pu * e

Tracción Pura ( II)

En el diagrama de interacción se identifican los cuatro (4) puntos característicos (o de agotamiento) que lo conforman. El segmento que une los ptos., (I) y (IV), es aproximadamente una recta; y constituye la falla en compresión del elemento. Por otra parte el segmento que une los ptos., (IV) , (III) y (II) se aproxima a una curva; y esta representa la falla en tracción del elemento. En este segmento, a medida que disminuye la carga (Pu); también disminuye el momento (Mu). Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


El perímetro que envuelve el diagrama se conoce como perímetro plano de agotamiento (o falla) de la sección. Este perímetro puede obtenerse para cualquier elemento de concreto armado en flexo-compresión normal, si se conocen : 1.- Las dimensiones de la sección transversal del elemento. 2.- Las características y calidad de los materiales que componen el elemento (Fy ; f'c). 3.- La cantidad y distribución de las barras de acero de refuerzo en la pieza. A continuación graficaremos un diagrama de interacción de la columna cuyo despiece aparece en el ejemplo ( 5.6.). Los datos son los siguientes : Ejemplo Nº 5.7.1.1.- Graficar el diagrama de interacción de una columna sometida a flexocompresión normal, cuya sección transversal es de 0.50 x 0.50, con refuerzo 8 Ø 7/8", y con f'c = 210 Kg/cm2 y Fy = 4200 Kg/cm2. R.- Se hallan los ptos., representativos del diagrama de interacción : Pto ( I ) : Falla en Compresi ón. Pto ( II ) : Falla en Tracci ón. Pto ( III ) : Falla en Flexión pura. Pto ( IV ) : Falla Balanc eada. Pto ( I ) : Falla en Compresión: Se obtiene aplicando la ecuación de capacidad de

soporte para elementos en flexo-compresión (Ec. 5.5.2) y (Ec. 5.5.1). Pu

Ø * Pn

En este caso :

(Ec. 5.5.2)

Pn =

0.85* (Ac*f'c)

+

(As*Fy)

(Ec. 5.5.1)

Ac = A tot.

La expresión queda : Pu = Ø * [ 0.85* (A tot. * f'c)

+ (As*Fy) ] , donde :

A tot = 50 cm * 50 cm = 2500 cm2. As = 8 Ø 7/8" = 31.04 cm2. Por lo tanto : Pu = 0.70 * [ ( 0.85 * 2500 cm2 * 210 Kg/cm2 ) + (31.04 cm2 * 4200 Kg/cm2) ] Pu = 403.632, 60 Kg ≈ 403,63 Ton. (Falla en compresión pura). Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Pto ( II ) : Falla en Tracción: Se obtiene aplicando la ecuación de capacidad de soporte

para elementos en flexo-compresión (Ec. 5.5.2) y (Ec. 5.5.1), obviando la capacidad de resistir compresión (del concreto). La expresión queda : Pu = Ø * (As*Fy) , donde : Pu = 0.70 * (31.04 cm2 * 4200 Kg/cm2) Pu = 91.257,60 Kg ≈ 91,26 Ton. (Falla en tracción pura). Pto ( IV ) : Falla Balanceada: Se obtiene aplicando las condiciones de falla balanceada

que establece la Norma COVENÍN-MINDUR 1753 en su capítulo 10.3.2. (Cap. 10.3.2.)

Se define que en una sección existen las condiciones de deformación

balanceada cuando la armadura más traccionada alcanza la deformación correspondiente a su esfuerzo cedente especificado Fy y simultáneamente el concreto en compresión alcanza la deformación máxima de 0.003 .

Armadura

ε u = 0.003

n ó i c c a r T n e a l l a F

a d a e c n a l a B a l l a F

n ó i s e r p m o C n e a l l a F

C < Cb Cb C > Cb

d

εy Cb = d *

εu εu + ε

= d*(

6300 ) 6300 + F

Figura C-10.3.2. POSICIÓN DEL EJE NEUTRO PARA LA S FALLA S EN TRACCIÓN, BALA NCEADA Y EN COMPRESIÓN. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Para imponer las condiciones de falla balanceada, se refleja el comportamiento en la sección transversal de la columna : Datos : Fy = 4200 Kg/cm2. f'c = 210 Kg/cm2. As = 31.04 cm2. A tot. = 2500 cm2 Diagrama de deformaciones Balanceada

0.85 f'c

0.50

ε u = 0.003 ε 1=0.0022

0.05

Cb = 0.27

0.20 0 5 . 0

Diagrama de esfuerzos

d = 0.45

E.N

ε 2=0.00022

0.20

ε

m c 5 9 . 2 2 = a

=0.002

P1 Pc = 0.85*f'c*a*b P2

Py

0.05

8 Ø 7/ 8 "

a = β1 * Cb (β1=0.85)

Ey : Módulo de Elast. Del Acero.

F (i) = ε (i) * Ey ≤ Fy

( Ey = 2.100.000 Kg/cm2 ) ( Fy = 4.200 Kg/cm2 )

P(i) = F(i) * As(i)

Cálculo de F (i) : F (i) = ε (i) * Ey . Siempre que : F (i) ≤ Fy. (Fy = 4.200 Kg/cm2). F1 = ε 1 * Ey = 0.0022 * 2.100.000 = 4.620 Kg/cm2 > Fy (4.200 Kg/cm2) F2 = ε 2 * Ey = 0.00022 * 2.100.000 = 462 Kg/cm2 Fy = ε y * Ey = 0.002 * 2.100.000 = 4.200 Kg/cm2 Cálculo de P (i) : P (i) = F(i) * As (i) P1 = 4.200 Kg/cm2 * 11.64 cm2 = 48.888 Kg . (Sentido : ← ) P2 = 462 Kg/cm2 * 7.76 cm2 = 3.585,12 Kg . (Sentido : ← ) Py = 4.200 Kg/cm2 * 11.64 cm2 = 48.888 Kg . (Sentido : → ) Pc = 0.85 * f'c * a * b = 0.85 * 210 Kg/cm2 * 22.95 cm * 50 cm = 204.828,75 Kg. (Sentido : ← ) P (i) (Kg)

y (i) (m)

M (i) (Kg*m)

48.888,00

0.20

9.777,60

3.585,12

0.00

0.00

- 48.888,00

0.20

9.777,60

204.828,75

0.135

27.651,88

Σ P (i) = Pu = 208.413 Ton.

Σ M (i) = Mu = 47.21 Ton*m. (Falla Balanceada). Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Pto ( III ) : Falla en Flexión pura : Se obtiene por tanteos, hasta lograr un valor de (C) tal,

que se anule el valor de Pu. 1º Tanteo. Para C = 15 cm. : Diagrama de deformaciones

0.85 f'c

0.50

ε u = 0.003 ε 1=0.002

0.05

C = 0.15

0.20 0 5 . 0


d = 0.45

E.N 0.20

m c 5 7 . 2 1 = a

P1 Pc = 0.85*f'c*a*b

ε 2=0.002

P2

ε y = 0.006 > εs

Py

0.05

8 Ø 7/ 8 "

a = β1 * C (β1=0.85)


F (i) = ε (i) * Ey ≤ Fy

( Ey = 2.100.000 Kg/cm2 ) ( Fy = 4.200 Kg/cm2 )

P(i) = F(i) * As(i)

Cálculo de F (i) : F (i) = ε (i) * Ey . Siempre que : F (i) ≤ Fy. (Fy = 4.200 Kg/cm2). F1 = ε 1 * Ey = 0.002 * 2.100.000 = 4.200 Kg/cm2 F2 = ε 2 * Ey = 0.002 * 2.100.000 = 4.200 Kg/cm2 Fy = ε y * Ey = 0.006 * 2.100.000 = 12.600 Kg/cm2 > Fy (4200 Kg/cm2 ) Cálculo de P (i) : P (i) = F(i) * As (i) P1 = 4.200 Kg/cm2 * 11.64 cm2 = 48.888 Kg . (Sentido : ← ) P2 = 4.200 Kg/cm2 * 7.76 cm2 = 32.592 Kg . (Sentido : → ) Py = 4.200 Kg/cm2 * 11.64 cm2 = 48.888 Kg . (Sentido : → ) Pc = 0.85 * f'c * a * b = 0.85 * 210 Kg/cm2 * 12.75 cm * 50 cm = 113.793,75 Kg. (Sentido : ← ) P (i) (Kg)

y (i) (m)

M (i) (Kg*m)

48.888,00

0.20

9.777,60

- 32.592,00

0.00

0.00

- 48.888,00

0.20

9.777,60

113.793,75

0.186

21.165,64

Σ P (i) = Pu = 81.20 Ton. (Pu ≠ 0).

Σ M (i) = Mu = 40.72 Ton*m. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


2º Tanteo. Para C = 7.75 cm. : Diagrama de deformaciones

0.85 f'c

0.50

ε u = 0.003 ε 1=0.0011

0.05

C = 0.0775

0.20 0 5 . 0


d = 0.45

E.N 0.20

m c 9 5 . 6 = a

Pc = 0.85*f'c*a*b P1

ε 2=0.007 > εs

P2

ε y = 0.014 > εs

Py

0.05

8 Ø 7/ 8 "

a = β1 * C (β1=0.85)


F (i) = ε (i) * Ey ≤ Fy

( Ey = 2.100.000 Kg/cm2 ) ( Fy = 4.200 Kg/cm2 )

P(i) = F(i) * As(i)

Cálculo de F (i) : F (i) = ε (i) * Ey . Siempre que : F (i) ≤ Fy. (Fy = 4.200 Kg/cm2). F1 = ε 1 * Ey = 0.0011 * 2.100.000 = 2.310 Kg/cm2 F2 = ε 2 * Ey = 0.007 * 2.100.000 = 14.700 Kg/cm2 > Fy (4200 Kg/cm2 ) Fy = ε y * Ey = 0.014 * 2.100.000 = 29.400 Kg/cm2 > Fy (4200 Kg/cm2 ) Cálculo de P (i) : P (i) = F(i) * As (i) P1 = 2.310 Kg/cm2 * 11.64 cm2 = 26.888,40 Kg . (Sentido : ← ) P2 = 4.200 Kg/cm2 * 7.76 cm2 = 32.592 Kg . (Sentido : → ) Py = 4.200 Kg/cm2 * 11.64 cm2 = 48.888 Kg . (Sentido : → ) Pc = 0.85 * f'c * a * b = 0.85 * 210 Kg/cm2 * 6.59 cm * 50 cm = 58.815,75 Kg. (Sentido : ← ) P (i) (Kg)

y (i) (m)

M (i) (Kg*m)

26.888,40

0.20

5.377,68

- 32.592,00

0.00

0.00

- 48.888,00

0.20

9.777,60

58.815,75

0.217

12.763,02

Σ P (i) = Pu = 4,22 Ton. (Pu ≈ 0).

Σ M (i) = Mu = 27,92 Ton*m. (Falla en flexión pura).



Representando los puntos calculados en el diagrama de interacción correspondiente queda una gráfica como la siguiente :

Pu (Ton)

Compresión Pura ( I) Pu = + 403,63 Ton

Falla Balanceada ( IV) Pu = + 208,413 Ton Mu = 47,21 Ton*m

θ e = Tg ( θ) = Mu/Pu

Tracción Pura ( II) Pu = - 91,26 Ton

Flexión Pura ( III) Pu ≈ 0 Ton Mu = 27,92 Ton*m

Mu (Ton*m)

DIAGRAMA DE INTERACCIÓN (EJEMPLO Nº 5.7.1.1)

Usualmente, los elementos sometidos a flexo-compresión se calculan por medio de una serie de diagramas de interacción que abundan en los textos que abordan este tema (Algunos de los cuales se anexan al final de este tema) . Estos diagramas (que se asemejan al del ejemplo anterior) están graficados considerando : 1.- Las características de los materiales (Fy ; f'c) . 2.- El factor de minoración de capacidad resistente para columnas con estribos (Ø = 0.70) . 3.- La relación entre la distancia que contiene al núcleo de la sección y la distancia total del mismo lado ( g = h - 2rec ) . Los valores de ( g ) varían según sea el recubrimiento entre 0.70 y 0.90 . h

En estos diagramas de interacción, el eje de las ordenadas representa los valores de carga específica que se designa con la sigla ( ) ; y en el eje de las abscisas se representan los valores de momento específico que se designa con la sigla ( =

Pu f'c * b*h

y

=

). Donde : Mu = 2 f'c * b * h


* e b


Los términos que incluyen las expresiones son : Pu : Carga límite especificada que resiste la columna. Mu: Momento flector límite (o de falla) que resiste la columna. f'c : Resistencia específica a compresión del concreto. b : Lado de la secc. transversal de la columna, paralelo al eje donde se ubica Pu. h : Lado de la secc. transversal de la columna, perpendicular al eje donde se ubica Pu. e : Excentricidad respecto al centro de inercia de la sección transversal.

e

Pu

Pu

Mu = Pu * e

h b

b y e

h

x

Pu

x , y : Ejes ppales. de Inercia

Por otra parte las curvas de los diagramas de interacción, corresponden a diferentes valores adimensionales de la expresión ( t.m ) usualmente comprendidos entre 0.01 y 1.00 . La expresión ( t.m ), se conoce también con el nombre de cuantía mecánica de armadura, y se designa con la letra ( ). Si : t = As Atot

Entonces :

y

m=

= t.m = As Atot

*

Fy 0.85*f'c

Siendo :

Fy 0.85*f'c


A tot = b * h (Área de la secc)


En resumen, para diseñar elementos en flexo-compresión utilizando los diagramas de interacción, se procede de la siguiente forma : 1. Debe conocerse previamente las dimensiones transversales del elemento, la carga de falla (Pu) y el momento flector de falla (Mu). 2. Se determinan los valores de : 2.1.- ( g ) :

g = h - 2rec h

2.2.- ( ν ) :

=

Pu f'c * b*h

2.3.- ( μ ) :

=

Mu = 2 f'c * b * h

( 0.70 ≤ g ≤ 0.90). Donde : (rec = recubrimiento)

* e b

3. Se escoge la tabla (o Ábaco) que coincida con los valores de Fy , f'c y el valor de ( g ) determinado en el paso 2.1. 4. En la tabla escogida, se intersectan los valores específicos de (

) y de (

) para

obtener la curva que representa el valor correspondiente de ( t.m ). 5. Con el valor obtenido de ( t.m ; Usualmente comprendido entre 0.01 y 1.00 ), se despeja ( t ) conociendo el valor de ( m ) : m = Fy 0.85*f'c

6. Se determina el refuerzo necesario ( As ) despejándolo de la expresión

t = As A tot.

Donde A tot; es el área de la secc. transversal de la columna. TABLAS (o ÁBACOS) :

Los diagramas de interacción (o Ábacos) para el diseño de elementos sometidos a flexocompresión, varían según la forma de la sección transversal de la columna (Ya sea rectangular o circular), las características de los materiales ( Fy y f'c ), y el valor de ( g ) comprendido generalmente entre 0.70 y 0.90. A continuación se presentan dos (2) diagramas de interacción típicos. Sin embargo al final del tema, se anexan los diagramas de secciones más comunmente usados, así como los valores tabulados de cada diagrama. Posteriormente, se ilustrará su aplicación con la resolución de un diseño de columna. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. 135 INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. Fy = 4200 Kg/cm 2

ÁBACO Nº 3

f'c

280 Kg/cm2

g = 0.80 1.30 ) h 1.20 * b 1.10 * c ' f ( 1.00 / u 0.90 P 0.80 = 0.70

p t *m = 1 .0 0 0 .

5 0 . 0 = t / e

0 1 . 0 = t / e

9 0

h

0 .7 0

p t * m = 0 .5 0

gh

2 0 0 . 5 .2 t = e / 0 = 0 t / 0. 3 e = t e /

0 . 3 0

0 .1 p 0 t *

) 0.60 o c 0.50 i f í c 0.40 e p 0.30 s E ( 0.20 u 0.10 P 0.00

Pu

b

5 1 0 . = t e /

m = 0 . 0 1

e

. 4 0 = 0 e / t 0 .5 0 e/ t = 0. 6 0 e/ t = 0. 7 0 0 .8 0 1. 0 0 1. 5 0 2. 0 0

4.00 6.00

0 0 . 0

2 0 . 0

4 0 . 0

6 0 . 0

8 0 . 0

0 1 . 0

2 1 . 0

4 1 . 0

6 1 . 0

8 1 . 0

0 2 . 0

2 2 . 0

4 2 . 0

6 2 . 0

= *e/h = Mu / (f'c * b*h 2)

Mu (Específico)

Fy = 4200 Kg/cm 2

ÁBACO Nº 4

f'c

280 Kg/cm2

g = 0.90

) 1.30 h * 1.20 b * c 1.10 ' f ( 1.00 / u 0.90 P = 0.80 0.70 ) 0.60 o 0.50 c i f í 0.40 c e 0.30 p s 0.20 E ( 0.10 u P 0.00

p t *m = 0 .9 1 .0 0

5 0 . 0 = t / e

0 1 . 0 = t / e

h

0 .7 0

p t * m = 0 .5 0 0

Pu

b

5 1 0 . t = e /

0

h

2 0 0 . 5 .2 t = e / = 0 . 3 0 t / e = 0 t / e

.3 0

0 . p 1 t 0 *

m = 0 . 01

. 4 0 = 0 e / t 0 .5 0 e /t = 0. 6 0 e /t = 0 0 .7 0 .8 0

Ejemplo Nº 5.7.1.2 : Con :

= 0.181

Y:

= 0.133

1. 0 0 1. 5 0 2. 0 0

4.00 6.00

0 0 . 0

2 0 . 0

4 0 . 0

6 0 . 0

8 0 . 0

Mu (Específico)

0 1 . 0

2 1 . 0

4 1 . 0

6 1 . 0

8 1 . 0

0 2 . 0

2 2 . 0

4 2 . 0

= *e/h = Mu / (f'c * b*h 2)


6 2 . 0

Se obtiene Y

t.m

0.35

e/h = 0.70


Ejemplo Nº 5.7.1.2.- Diseñar una columna sometida a flexo-compresión normal, cuya sección transversal es de 0.50 x 0.50, sometida a una carga Pu = 95 Ton., un momento flector Mu = 35 Ton*m; y con f'c = 210 Kg/cm2 y Fy = 4200 Kg/cm2.

y

Pu Mu = Pu * e

Mu

h = 0.50

x b = 0.50

R.- 1.- Siendo una columna rectangular, se supondrá una distribución uniforme del refuerzo en todas las caras de la columna ; así como un recubrimiento uniforme de 2.50 cm. 2.- Calculando el valor de g : g = h - 2rec = 50 cm - 2*2.50 cm = 45 cm = 0.90 h 50 cm 50 cm Hallando los valores de carga y momento específicos : =

Pu f'c * b*h

=

Mu = 3500000 Kg*cm = 0.133 f'c * b 2 * h 210 Kg/cm2 * (50 cm) 2 * 50 cm

=

95000 Kg 210 Kg/cm2 * 50 cm * 50 cm

= 0.181

3.- Utilizamos la tabla correspondiente a los valores de : g = 0.90 ; Fy = 4200 Kg/cm2 ; f'c = 210 Kg/cm2 . (Ábaco Nº 4). 4.- En la tabla escogida (El ábaco Nº 4 de los diagramas anexos), se intersectan los valores específicos de (

) y de (

) para obtener la curva correspondiente de ( t.m ). En este

caso, el pto., de intersección se encuentra en la recta ( e/h = 0.7); y entre las curvas ρt.m = 0.30 y

ρt.m = 0.40 . Para obtener el valor más real posible se interpola entre las dos curvas

obteniéndose un valor aproximado de

t.m = 0.35 .



La línea recta e/h = 0.7, nos indica una excentricidad de cálculo que se obtiene despejando ( e ) de la expresión : e = 0.7 * 50 cm = 35 cm.

La excentricidad mínima para el diseño de

elementos en flexo-compresión se suele tomar como el 10 % de la dimensión de la sección. En nuestro caso : e mín = 10 % (50 cm) = 0.1 * 50 = 5 cm. Por lo que : Excentricidad de cálculo : e = 35 cm > e mín (5 cm)

5.- Con el valor obtenido de =

m = Fy 0.85*f'c

t.m = 0.35 , se despeja

4200 Kg/cm2

= 23.529

⇒

t , conociendo el valor de m : t = 0.35 / m

0.85 * 210 Kg/cm2

t = 0.35 / m = 0.35 / 23.529 = 0.015 (Cuantía geométrica de armadura) Nota : Aunque no se hace mención, la cuantía geométrica de armadura para el diseño (

r

) ; debe superar el

requerimiento mínimo establecido por la Norma COVENÍN-MINDUR. Este requerimiento se menciona en el punto 5.2.- ARMADURA LONGITUDINAL que establece los parámetros de cuantías máximas y mínimas en : (0.01

0.06 )

6. Se determina el refuerzo necesario ( As ) despejándolo de la expresión

t = As A tot.

Donde A tot; es el área de la secc. transversal de la columna. As =

t * A tot. = 0.015 * 50 cm * 50 cm = 37.50 cm2 (Refuerzo necesario)

Se presentarán dos (2) opciones (De las muchas posibles ) para la distribución del refuerzo en la sección transversal de la columna. Opción 1 ⇒ 10 Ø 7/8 "

(As = 38.70 cm2)

Opción 2 ⇒ 4 Ø 7/8 " + 4 Ø 1 " (As = 35.80 cm2) (Distribución más simétrica). Analicemos por separado cada una de las opciones propuestas : Opción 1 ( 10 Ø 7/8 " ) : Como el número de barras imposibilita una distribución simétrica en la sección transversal, se buscará orientar el lado de la sección que tenga mayor número de barras; en dirección perpendicular al momento flector (Mu), de forma tal que contribuya a dar más soporte al elemento. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Por otra parte también se considerará la disposición de la armadura para resistir corte, según lo expuesto en el punto 5.4.- ARMADURA TRANSVERSAL . ya que " no puede haber barras sin soporte lateral, alejadas más de 15 cm., de las que posean soporte lateral " .

Opción 1 : 0.50 0.45 0.15

0.15

M 0 5 . 0

x

0.15

5 4 . 0

5 4 . 0

5 4 . 0

0.15 0.45 10 Ø 7/8 "


Grapa Ø 3/8" x 0.75

Opción 2 ( 4 Ø 7/8 " + 4 Ø 1 " ) : En esta propuesta, el número de barras posibilita una distribución simétrica en la sección transversal, además el acero proporcionado se acerca más al valor real de cálculo. Por otra parte, como también se considera la disposición de las armaduras para resistir corte; su distribución varía notablemente.

Opción 2 : 0.50 0.45 0.32

0.15 0 5 . 0

0.15

5 4 . 0

0.32

5 4 . 0

0.16 0.16 0.32

0.32

0.45 4Ø 1"


4 Ø 7/8 "


Lig. Ø 3/8" x 1.60


5.7.2.- Flexo-Compresi ón Oblícua :

La flexo-compresión oblicua ( o esviada) ocurre cuando la carga de falla (Pu) NO coincide o NO está aplicada en ningún punto de los ejes principales de inercia (x ; y) de la sección transversal del elemento. Dicho de otro modo; cuando la carga (Pu) está ubicada fuera de los ejes principales de inercia, se dá lugar a una excentricidad que ocurre tanto en un lado de la sección transversal del elemento, como en el otro (ex ; ey) .

Estas excentricidades originan momentos

flectores de falla en ambas direcciones (Mux ; Muy). (Ver figura 5.7.2.1). y Pu ey h

Mux = Pu * ex

e

x

Muy = Pu * ey

c.g

ex

Figura 5.7.2.1.

b

El diagrama de interacción que se genera en flexo-compresión oblicua, debe ser representado en un sistema de tres (3) ejes de coordenadas. En este sistema, el eje de las ordenadas estará representado por los valores de (Pu); y los otros dos (2) ejes de las abscisas por los valores de (Mux) y (Muy) . Cuando se grafica este diagrama, se dá origen a un volumen cónico-convexo de interacción que representa todas las posibles combinaciones que producen la falla en el elemento. Este volumen de interacción , se asemeja mucho al de la figura 5.7.2.2. Pu

Com resión Pura

VOLUMEN DE INTERACCIÓN

FIGURA 5.7.2.2 (Ver Fig. 5.7.2.3. )

Falla Balanceada

Plano de Momento Específico (μo)

Mux = Pu * ex Muy = Pu * ey

Tracción Pura



En el volumen de interacción que se genera, se pueden identificar los puntos característicos que identifican la falla del elemento. A diferencia del caso de la flexo-compresión normal, el cálculo de los puntos que identifican el volumen de interacción en flexo-compresión oblicua es muy complicado.

Para simplificar este cálculo se emplea lo que se conoce

comunmente como el método de cálculo del momento específico. Si en flexo-compresión normal, el momento específico es :

=

En flexo-compresión oblicua el momento específico será :

o= x+ y

Donde :

x=

Mux f'c * b 2 * h

Y

y=

Mu f'c * b*h 2

Muy f'c * b * h 2

Estos valores de momento específico, se determinan del volumen de interacción, como lo muestra la figura 5.7.2.3. Mux Mux Mu

Muy

θ

Mux

Muy

Muy Mu

Mux

Muy

Plano de Momento Específico ( μo)

Plano de Momento Específico ( μo) Figura 5.7.2.3. La relación entre el ancho del núcleo y el lado total (g), se determina para cada lado de la sección transversal . Es decir : qx =

b b - 2rec

y

qy =

h h - 2rec

La carga específica ( ) se determina como en la flexo-compresión normal :


= Pu f'c * b*h


El cálculo de un elemento en flexo-compresión oblicua, se ilustra a continuación : Ejemplo Nº 5.7.2.1.- Diseñar la columna sometida a flexo-compresión oblicua, cuya sección transversal es de 0.55 x 0.65, con f'c = 250 Kg/cm2 y Fy = 4200 Kg/cm2. Si está sometida a las siguientes acciones : Solicitaciones en servicio :

P (Ton)

Mx (Ton*m)

My (Ton*m)

Cargas Permanentes (CM) :

20

8

5

Cargas variables

(CV) :

14

7

3

Sismo X

(Sx) :

9

6

7

Sismo Y

(Sy) :

8

7

4

Nota : Las solicitaciones se obtienen del análisis estructural que se hace a los pórticos que conforman la superestructura. Aunque este análisis es riguroso, se han tomado valores indicativos para la resolución del ejemplo.

R.- Las combinaciones de carga a que se hacen referencia al inicio de este tema, se aplicarán para cada una de las solicitaciones dadas. De esta forma se precisará cual será la combinación más desfavorable para utilizarla en el diseño del elemento. y Muy

Mux

h = 0.65

x

b = 0.55

Las combinaciones de carga con las cuales deben diseñarse las columnas son : U = 1.4 CM + 1.7 CV U = 0.75*(1.4CM + 1.7CV) +/- S U = 0.90*(CM + CV) +/- S Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Calculando el valor de g : gx = b - 2rec = 55 cm - 2*2.50 cm = 50 cm = 0.909 b 55 cm 55 cm gy = h - 2rec = 65 cm - 2*2.50 cm = 60 cm = 0.923 h 65 cm 65 cm Adoptamos g = 0.90 Hallando los valores de carga y momento específicos : =

Pu f'c * b*h

=

Pu 250 Kg/cm2 * 55 cm * 65 cm

x=

Mux f'c * b 2 * h

=

Mux 250 Kg/cm2 * (55 cm) 2 * 65 cm

y=

Muy f'c * b * h 2

=

Muy 250 Kg/cm2 * 55 cm * (65 cm) 2

o=

x+

y

= t.m ⇒ Se obtiene del diagrama de interacción respectivo. (Ábaco Nº 4. Anexos) Los resultados del análisis se presentan tabulados a continuación :

Nº

CASO

Pu (Ton)

Mux

Muy

x

(Ton*m) (Ton*m)

y

o

= t.m

1

1.4 CM + 1.7 CV

51.80

23.10

12.10

0.058

0.047

0.021

0.068

0.15

2

0.75*(1.4CM + 1.7CV) + Sx

47.85

23.33

16.08

0.054

0.047

0.028

0.075

0.15

3

0.75*(1.4CM + 1.7CV) - Sx

29.85

11.33

2.08

0.033

0.023

0.004

0.027

0.05

4

0.75*(1.4CM + 1.7CV) + Sy

46.85

24.33

13.08

0.052

0.049

0.023

0.072

0.15

5

0.75*(1.4CM + 1.7CV) - Sy

30.85

10.33

5.08

0.035

0.021

0.009

0.030

0.05

6

0.90*(CM + CV) + Sx

39.60

19.50

14.20

0.044

0.040

0.025

0.065

0.15

7

0.90*(CM + CV) - Sx

21.60

7.50

0.20

0.024

0.015

0.0003

0.015

0.05

8

0.90*(CM + CV) + Sy

38.60

20.50

11.20

0.043

0.042

0.019

0.061

0.15

9

0.90*(CM + CV) - Sy

22.60

6.50

3.20

0.025

0.013

0.006

0.019

0.05



Chequeando excentricidad : e/h = 1.00 ex = 1.00 * 55 cm

⇒

ex = 55cm .

ey = 1.00 * 65 cm

⇒

ey = 65cm . (En cada caso cumple e ≥ 10% Lado sección).

Para el cálculo de As, se toma de la tabla se toma el valor más desfavorable : = t.m = 0.15. Con el valor obtenido de m = Fy

=

0.85*f'c


4200 Kg/cm2

t , conociendo el valor de m :

= 19.765

⇒

t = 0.15 / m

0.85 * 250 Kg/cm2

t = 0.15 / m = 0.15 / 19.765 = 0.008 (Cuantía geométrica de armadura) . mín = 0.01

Se adopta

Se determina el refuerzo necesario ( As ) despejándolo de la expresión As =

t = As A tot.

t * A tot. = 0.01 * 55 cm * 65 cm = 35.75 cm2 (Refuerzo necesario).

Opción

4 Ø 7/8 " + 4 Ø 1 " (As = 35.80 cm2) .

Opción : 0.55 0.50 0.15 0.15 5 6 . 0

0 6 . 0

0.37 0 6 . 0

0.37

0.37

6 6 1 . 1 . 0 0

0.37

0.50 4Ø 1"


4 Ø 7/8 "


Lig. Ø 3/8" x 1.80


5.8.- EFECTO DE LA ESBELTEZ EN COLUMNAS :

Como yá se mencionó en el pto., 5.7.- LAS COLUMNAS COMO ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXO-COMPRESIÓN ; las columnas son elementos cuya sección transversal es

comparativamente mucho menor que su respectiva altura medida a lo largo de su eje longitudinal. Estando las columnas apoyadas verticalmente, es de suponer que su flexión lateral respectiva sea considerable. Si la altura de la columna vá en aumento, la posible flexión lateral también se magnifica dando origen a la falla del elemento por flexión pura. Cuando esto ocurre, se debe a que la columna es esbelta. Un elemento de esbeltez considerable, rompe bajo una carga de compresión menor que un elemento menos esbelto de las mismas dimensiones de sección transversal. La Norma COVENÍN-MINDUR 1753 establece en su capítulo 10 (FLEXIÓN Y CARGAS AXIALES)

que los efectos de esbeltez en las columnas, pueden evaluarse utilizando un

procedimiento aproximado basado en la magnificación de los momentos flectores. Si se analiza en detalle una de las formas típicas de falla en elementos esbeltos; en la cual existe una carga en compresión axial que provoca flexión lateral como lo muestra la figura 5.8.1.(a), nos dá una idea del comportamiento del elemento. P

Pcr

δ

L

Figura 5.8.1.

P (a)

Pcr (b)



Si esta carga en compresión aumenta hasta el punto donde la flexión sea la máxima que pueda soportar la columna (Figura 5.8.1.(b)), se obtendrá el valor de la carga de agotamiento (Pcr) y el valor de flecha máxima ( δ ). A partir de este análisis el físico francés Euler propuso la fórmula para columnas largas o muy esbeltas. La fórmula que propone Euler es la siguiente : Pcr =

2

* E * I (k * L)2

Donde : Pcr : Carga crítica que pandea la columna. E : Módulo de elasticidad del concreto. I : Momento de Inercia de la sección. k : Factor de longitud efectiva. L : Longitud no arriostrada de la columna.

Si : I = r 2 * A

Siendo : r : Radio de giro en la secc. transversal. A : Área de la sección transversal.

Pcr , se transforma a : Pcr = π2 * E * (r 2 * A) (k * L)2 Pcr = π2 * E * r 2 A (k * L)2

⇒

Pcr = π2 * E A (k *L/r) 2

La expresión (k *L/r) se denominará ⇒ Razón de esbeltez. Dependiendo de las condiciones de fijación de los elementos, el factor de longitud efectiva ( k ) también variará. Este factor modifica la longitud real de la columna en una longitud equivalente que determina la distancia entre los punto de inflexión. La figura 5.8.2. muestra los respectivos valores teóricos de ( k ) según el tipo de vinculación. Pcr

Pcr

Pcr

Pcr

Pcr

Pcr

L FIGURA 5.8.2

Pcr

Pcr

Pcr

k = 0.50

k = 0.70

k = 1.00

Pcr k = 1.00


Pcr k = 2.00

Pcr k = 2.00


5.8.1.- Consideraciones para los efectos de Esbeltez :

Las Normas A.C.I., y las Normas COVENÍN-MINDUR 1753 en su capítulo 10.11.4 Consideración de lo s efectos de esbeltez, establecen ciertas consideraciones de los efectos de

esbeltez que se deben tomar en cuenta. Estas consideraciones son : 10.11.4.1.- Para los miembros comprimidos arriostrados contra desplazamientos laterales, los efectos de esbeltez pueden despreciarse cuando :

k *Lu / r < 34 - 12* (M1/M2) Donde : M1 y M2 : Momentos en los extremos. 10.11.4.2.- Para miembros comprimidos NO arriostrados contra desplazamientos laterales, los efectos de esbeltez pueden despreciarse cuando :

k *Lu / r < 22 10.11.4.3.- Para todos los miembros comprimidos se hará un análisis tal como se define en la sección 10.10.1, cuando :

k *Lu / r > 100

•

Lu : Será la longitud NO arriostrada del elemento comprimido.

•

El radio de giro ( r ) será igual a : Secc. Rectangulares : 0.30 veces la dimensión menos estable de la secc. transversal del miembro comprimido. Secc. Circulares : 0.25 veces el diámetro de la sección transversal del miembro comprimido.

•

El factor de longitud efectiva ( k ) se determinará mediante la aplicación del nomograma (anexo) Figura 5.8.3., determinando previamente los valores de los factores ψA y ψB en los extremos de cada elemento comprimido analizado. En el respectivo nomograma, el valor de ( k ) se obtiene uniendo mediante una línea recta los valores de ψA y intersección dará el valor de ( k ).


ψB ; el punto de


A

B

k

50.0 10.0 5.0 3.0

1.0

A 50.0 10.0 5.0 3.0

0.9

2.0

B

k 20.0 10.0

100.0 50.0 30.0 20.0

5.0 4.0

100.0 50.0 30.0 20.0

2.0 0.8

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

0.7

0.4

0.4

0.3

0.3

10 0 90 80

3.0

60

60 50

50 2.0 3.0

3.0

2.0

2.0 1.5

0.6

0.2

10 0 90 80

0.2 1.0

0.1

1.0

k = 1.32

0.1

0

0

0.5

PÓRTICOS ARRIOSTRA DOS =

k ⇒

1.0

0

PÓRTICOS NO ARRIOSTRA DOS

( E*I / L) COL DE MIEMBROS COMPRIMIDOS ( E*I / L) VIGA DE MIEMBROS SOMETIDOS A FLEXIÓN

FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA. FIGURA 5.8.3. NOMOGRAMA PARA LA DETERMINACIÓN DE LONGITUD EFECTIVA ( k )

Para la utilización de los nomogramas, se determinan los valores respectivos en los nodos del elemento comprimido ( ψA ) y ( ψB ), y dependiendo si el pórtico es arriostrado o nó; se utiliza el nomograma correspondiente. La intersección de los valores determinará el valor del factor de longitud efectiva ( k ). Cuando el miembro comprimido está en la base de la edificación, se recomienda adoptar el valor de ( ψ), según la vinculación a tierra, como se muestra a continuación : Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

0


A

ψΑ

Si el apoyo en B es empotrado: ψΒ = 1 Si el apoyo en B es articulado : ψΒ = 10 El factor ( ψ ) se determinará con la expresión :

ψΒ

B

=

( E*I / L) COLUMNA ( E*I / L) VIGA

Ejemplo de cómo determinar ( ψ ) :

1

A

C

3

2

B

ψA = ( E*I AB / L AB) ( E*I1 / L1) ψB = ( E*I AB / L AB) + ( E*I BD / L BD) ( E*I3 / L3) + ( E*I 2 / L2) ψD = 1.00

D

5.8.2.- Magnificación de los Momentos : (Capítulo 10.11.5, Normas 1753)

El diseño de columnas en concreto armado se hace en función de la rotura, es decir mediante la mayoración de las cargas permanentes (qcm) y accidentales (qcv) provenientes del análisis de la estructura. Esto se resumen en la expresión : qu = 1.4*(qcm) + 1.7*(qcv) Los momentos magnificados se calculará por la expresión : Mc = δb*M2b + δs*M2s

donde : M 2b ⇒ Momento debido a las acciones gravitacionales. M2s ⇒ Momento debido a las acciones laterales. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


δb =

δs =

≥ 1.00

Cm 1 - Pu / Ø*Pc

1 1 - ∑ Pu / Ø * ∑ Pu

Pc = π2 * E*I (k*Lu)2

Y:

(Si el pórtico está arriostrado contra desp. Lateral

Se puede adoptar : E*I =

s =

0)

(Ec * Ig / 5) + Es * Ise 1 + βd

Si no se disponen de datos sobre el refuerzo, se puede adoptar : E*I =

(Ec * Ig / 2.5) 1 + βd

Ec : Módulo de elasticidad del concreto (Ec = 15100 * √ f'c ). Es : Módulo de elasticidad del acero (Es = 2.100.000 Kg/cm2 ). Ig : Momento de inercia de la sección gruesa de la columna. Ise : Momento de inercia de la armadura respecto al eje baricéntrico de la columna.

βd : Relación entre el momento por carga permanente y el momento total. βd = M(cm) M(total) Cm = 0.6 + 0.4* M1b ≥ 0.4 (Con arriostramiento Lateral, sin cargas transversales intermedias). M2b Cm = 1.00 (Para todos los demás casos). M1b : Menor momento mayorado en el extremo NO producido por desplazamientos laterales. M2b : Mayor momento mayorado en el extremo NO producido por desplazamientos laterales. Ejemplo Nº 5.8.1.- : Diseñar la columna AB (ver figura) que forma parte de un pórtico que NO está arriostrado contra desplazamientos laterales, cuya sección transversal es de 0.55 x 0.55 y de luz libre NO arriostrada = 5.20 m; considerando (De ser necesario) los efectos que producen la esbeltez en el elemento. Se há determinado que en todas las vigas se cumple que : I VIGA / LVIGA = 850 cm3 . Además los datos de carga y características de los materiales son los siguientes :

Solicitaciones en servicio :

P (Ton)

M (Ton*m)

Cargas Permanentes (CM) :

20.90

12.56

Cargas variables

42.80

31.40

(CV) :

4.80

5.20

Acero : Fy = 4200 Kg/cm2. Concreto : f'c = 250 Kg/cm2.

5.20


) 5 5 . 0 x 5 5 . 0 ( ) 5 5 . 0 x 5 5 . 0 ( ) 5 5 . 0 x 5 5 . 0 (

C

A

B


R.- Siendo un pórtico NO arriostrado contra desplazamientos laterales, se comenzará verificando la esbeltez : 1.- Chequeo de esbeltez : Se determina la razón de esbeltez dad por la expresión : k *Lu / r

Donde : Lu = 5.20m = 520 cm r = 30 % (Dimensión elemento) = 0.3* 0.55 = 0.165m = 16.5 cm.

Si : k *Lu / r < 22 ⇒ Pueden despreciarse los efectos de la esbeltez. k: =

El factor ( ψ ) se determinará con la expresión : ( E*I / L) COLUMNA ( E*I / L) VIGA

Donde :

E*I =

(Ec * Ig / 2.5) 1 + βd

Ec = 15100 * √ f'c = 15100 * √ 250 = 238752 Kg/cm2. Ig = b * h 3 = (55) 4 = 762552.08 cm4. 12 12

βd = M(cm) = 12.56 M(total) (12.56 + 31.40) E*I =

(238752 * 762552.08 / 2.5) 1 + 0.286

= 0.286

E*I = 5.663 x 10 10 Kg*cm2.

ψA = ∑ ( E*I / LAB)COLUMNA + ∑ ( E*I / LAC)COLUMNA = (5.663 x 1010 /520) + (5.663 x 10 10 /480) ∑ ( E*I / L)VIGA 238752 * 850 ψA = 1.12 ψB = ∑ ( E*I / LAB)COLUMNA* 2 = (5.663 x 10 10 /520) * 2 ∑ ( E*I / L) VIGA 238752 * 850 ψB = 1.07 Con los valores de : ψA = 1.12 y ψB = 1.07 , se determina el valor de ( k ) en el nomograma (5.8.3) respectivo (Pórticos NO arriostrados), obteniéndose un valor de : k = 1.32 Calculando la razón de esbeltez : k *Lu / r = 1.32 * 5.20 / 0.165 = 41.60 > 22 Por lo tanto es necesario considerar los efectos de la esbeltez. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Mc =

2.- Magnificación de Momentos :

b *M2b

+

s *M2s

Para este caso se despreciarán los momentos por desplazamientos laterales (M 2s = 0) , por lo que la expresión se reduce a : Mc =

b *M2b .

Donde :

δb =

≥ 1.00

Cm 1 - Pu / Ø*Pc

Cm = 0.6 + 0.4* M1b ≥ 0.4 (Con arriostramiento Lateral, sin cargas transversales intermedias). M2b Cm = 1.00 (Para todos los demás casos). Como el presente es para caso SIN arriostramiento lateral, se tomará : Cm = 1.00 Pu = 1.4*(Pcm) + 1.7*(Pcv) = ( 1.4*20.90) + (1.7*42.80) = Pu = 102.02 Ton. La carga crítica : Pc =

δb =

π2 * E*I = (k*Lu) 2

1.00 1 - 102.02 / (0.70*1186.292)

π2 * 5.663 x 10 10 = Pc = 1186.292 Ton. (1.32 * 520) 2 ≥ 1.00

⇒

δb = 1.14

El momento mayorado será : M2b = 1.4* M(cm) + 1.7*M(cv) = (1.4*12.56) + (1.7*31.40) = M2b = 70.964 Ton*m . Por lo que el Momento magnificado será : Mc =

b *M2b

= 1.14 * 70.964 = 80.90 Ton*m

Mc = 80.90 Ton*m .

3.- Diseño de la Columna : Siendo una columna rectangular, se supondrá una distribución uniforme del refuerzo en todas las caras de la columna ; así como un recubrimiento uniforme de 2.50 cm. Calculando el valor de g : g = h - 2rec = 55 cm - 2*2.50 cm = 50 cm = 0.90 h 55 cm 55 cm Hallando los valores de carga y momento específicos :

ν=

Pu f'c * b*h

=

102.02 * 1000 Kg 250 Kg/cm2 * 55 cm * 55 cm

= 0.135



μ=

Mu = 80.90 * 1000*100 Kg*cm f'c * b2 * h 250 Kg/cm2 * (55 cm) 2 * 55 cm

= 0.195

Utilizamos la tabla (Ábaco Nº 4) correspondiente a los valores de : g = 0.90 ; Fy = 4200 Kg/cm2 ; f'c = 250 Kg/cm2 . Se obtiene :

t.m = 0.72 .

La línea recta e/h = 1.50, nos indica una excentricidad de cálculo : e = 1.5 * 55 cm = 82.50 cm. La excentricidad es el 10 % de la dimensión de la sección. En nuestro caso : e mín = 10 % (55 cm) = 0.1 * 55 = 5.50 cm. Por lo que : Excentricidad de cálculo : e = 82.50 cm > e mín (5 cm). Con el valor obtenido de m = Fy

=

0.85*f'c


4200 Kg/cm2

= 19.765

t , conociendo el valor de m :

⇒

t = 0.72 / m

0.85 * 250 Kg/cm2

t = 0.72 / m = 0.72 / 19.765 = 0.036 (Cuantía geométrica de armadura)

Se determina el refuerzo necesario ( As ) despejándolo de la expresión As =

t = As A tot.

t * A tot. = 0.036 * 55 cm * 55 cm = 108.90 cm2 (Refuerzo necesario)

Opción

22 Ø 1 "

(As = 111.54 cm2)

La disposición del refuerzo (longitudinal y transversal) en la sección de la columna se hará según lo dispuesto en el Capítulo Nº 7 (SEPARACIÓN DEL REFUERZO) de las Normas COVENÍN-MINDUR 1753. El detalle se muestra a continuación : Opción : 0.55 0.50 La Norma permite "agavillar" hasta

0.25 5 5 . 0

0.25

0 5 . 0

0 5 . 0

un máximo de tres (3) barras en las esquinas de las columnas, siempre y cuando estén firmemente sujetas entre sí.

0.50 22 Ø 1 "




5.9.- PREDIMENSIONADO DE COLUMNAS (Por carga Vert ical) : Método Empírico : Este método, basado en la teoría de rotura, permite obtener el área de

la sección transversal de una columna en función de su área de carga tributaria estimada. La mínima dimensión de cualquiera lado de la sección transversal de una columna NO será menor de 25 cms., NO obstante, como se mencionó en el punto 5.1. CONDICIONES GEOMÉTRICAS , con la entrada en vigencia de la normativa Venezolana Sismoresistente (1756-99) las columnas tendrán una dimensión de al menos 30 cms., en la cara de menor tamaño. Supongamos un plano de planta, en el que se desea estimar las dimensiones de las columnas :

A

B

C

4.00

D

4.00

El área tributaria de una columna, es la porción

4.00

estimada (según el plano de planta) que soporta

3

0 0 . 6

At(C-3) At(B -2)

0 0 . 3

2.00

dicha columna, incluyendo los pesos de los

0 0 . 3

elementos que formen parte de la planta.

2.00

Para el ejemplo propuesto se han destacado tres (3)

2

columnas características , para estimar el área 0 0 . 6

0 0 . 3

tributaria de cada una, estas son :

2.00

Columna central (B-2) . At (B-2) = 6 * 4 = 24.00 m2 2.00

2.00

1

0 0 . 3

At(D-1)

Columna lateral (C-3) . At (C-3) = 4 * 3 = 12.00 m2 Columna esquinera (D-1). At (D-1) = 3 * 2 = 6.00 m2

PLANTA

La ecuación para predimensionar se deduce a partir de la condición de diseño de elementos sometidos a flexo-compresión :

Pu

Ø * Pn

(Ø = 0.70)

Pn =

0.85* (Ac*f'c)

Ac = A tot. - As


+

(As*Fy)

Para facilitar el cálculo, obviamos la existencia de refuerzo (As = 0)


Factor de Volcamiento (fv) : Ubic. Columna

Por lo tanto la ecuación queda :

(fv)

Esquineras ................. 0.50

Pn = 0.85*A tot *f'c . Trabajando en la ec., de diseño :

Laterales .................... 0.63

Pu = Ø * 0.85*A tot *f'c .

Centrales ................... 0.70

En este punto, es necesario considerar que según la ubicación de la columna (Central, lateral, esquinera) los esfuerzos no son los mismos, por lo tanto se debe aplicar un Factor de Volcamiento (fv) de acuerdo a la ubicación, es decir : Pu = Ø * 0.85*A tot *f'c * fv .

Si, Pu = P serv * FM :

Pserv * FM = Ø * 0.85*A tot *f'c * fv .

Despejando A tot :

A tot = (P serv * FM) / (Ø * 0.85 * f'c * fv) (FM =1.50)

La ecuación básica para el predimensionado (5.6.A) A tot = (P serv * FM) / (Ø * 0.85 * f'c * fv) puede simplificarse si se agrupan apropiadamente los términos que son independientes : Términos Independientes ; Factor de Mayoración ( FM ) : FM = 1.50 Factor de minoración ( Ø ) :

Ø = 0.70

Factor de Volcamiento ( fv ) :

fv = Dependiendo de la ubicación de la columna.

Si estos términos independientes se agrupan en uno solo, que designaremos con la letra ( a

a)

, queda :

= (Ø*0.85*fv) / FM

Con (Ø = 0.70) y (FM = 1.50 ) tendremos :

Ubic. Columna

(fv)

( a)

Esquineras ................. 0.50........ 0.20 Laterales .................... 0.63........ 0.25 Centrales ................... 0.70 ....... 0.28 Por lo que la ecuación básica de predimensionado (5.6.A), queda simplificada a: Atot = Pserv / ( *f'c) Que será la ecuación simplificada que se utilizará para el predimensionado de columnas .



La carga en servicio (Pserv) se obtiene según los elementos estructurales y NO estructurales, área tributaria y números de pisos que soporta la columna. Pserv = ( Wg * At) * Nº de pis os , donde : Wg : Peso estimado de los elementos (Kg/m2)

At : Área tributaria de la columna. (m2) (Tabla 5.1) Wg : Peso estimado de los elementos (Kg/m2) h (cm)

LOSA

Losa

NERVADA

20

VIGA

COLUMNA

270

100

100

25

315

125

30

360

140

PISO +

TABIQUES

TOTAL

150

220

840

100

150

220

910

100

150

220

970

FRISO

Nótese que la tabla no considera el peso de una losa maciza. De ser el caso que exista, el peso (en Kg/m2) de la losa maciza se determina multiplicando el peso específico del concreto armado; por la altura (ó espesor) de la sección de losa que se analiza. Ejemplo : Predimensionar las columnas (B-2), (C-3) y (D-1) del dibujo de planta señalado al inicio del capítulo, considerando que la edificación es de dos (2) pisos, con losas de 25 cm., de espesor tanto en entrepiso como en techo. Tomar f'c = 210 Kg/cm2 . R.- Las áreas tributarias de las columnas señaladas ya fueron determinadas y explicadas anteriormente : Columna central (B-2) . At (B-2) = 6 * 4 = 24.00 m2 Columna lateral (C-3) . At (C-3) = 4 * 3 = 12.00 m2 Columna esquinera (D-1). At (D-1) = 3 * 2 = 6.00 m2 Para determinar la carga estimada que gravita sobre la columna, consideramos que las losas soportan todos los elementos que aparecen en la tabla 5.1, por lo tanto para una losa nervada de 25 cm., de espesor, la carga total que gravita sobre ella es de 910 Kg/m2. Con este dato determinamos Pserv para cada columna :



Pserv = ( Wg * At) * Nº de pis os

Columna central (B-2) : Pserv = (910 Kg/m2 * 24 m2) * 2 pisos = 43.860,00 Kg Columna lateral (C-3) : Pserv = (910 Kg/m2 * 12 m2) * 2 pisos = 21.840,00 Kg Columna esquinera (D-1) : Pserv = (910 Kg/m2 * 6 m2) * 2 pisos = 10.920,00 Kg Luego se determina el área de la sección transversal que requiere la columna : Atot = Pserv / ( *f'c)

Columna central (B-2) (

a =

0.28) : A tot = 43860 / (0.28 * 210) = 745,92 cm2

Columna lateral (C-3) (

a =

0.25) : A tot = 21840 / (0.25 * 210) = 416,00 cm2

Columna esquinera (D-1) (

a =

0.20) : A tot = 10920 / (0.20 * 210) = 260,00 cm2

Ahora las dimensiones finales de la columna se determinan considerando que la mínima dimensión que debe tener una columna es de 30 cm. Supongamos que las columnas serán de geometría cuadrada : Columna central (B-2) : b =

Atot

=

745,92 cm2 = 27, 31 cm

Columna lateral (C-3) : b =

Atot

=

416,00 cm2 = 20,40 cm

Columna esquinera (D-1) : b =

Atot

= 260,00 cm2 = 16, 12 cm

Nótese que para cualquiera de las columnas la dimensión de los lados está por debajo de la dimensión mínima recomendada. Por lo tanto todas las columnas (B-2), (C-3) y (D-1) serán de 0.30 x 0.30 .

NOTA : Es normal encontrar situaciones o condiciones en las cuales la aplicación del procedimiento de predimensionado se dificulte, estas situaciones pueden ser :

•

Que por la geometría (Vista en planta) se dificulte la determinación del área tributaria de la columna. En este caso lo mejor es determinar un área tributaria aproximada.



•

Es lógico suponer que en una edificación de varios niveles, en el nivel de techo la carga (sobre la columna a predimensionar) sea menor que en las columnas de los niveles de entrepiso, debido al espesor de losa y peso de tabiquería.

•

Las dimensiones de la sección transversal de la columna es normal limitarlas al espacio arquitectónico. Esto no representa ningún problema siempre que se tome en cuenta que la dimensión mínima (En ND2 y ND3) debe ser de al menos 30 cm.



ANEXOS (I) : DIA GRAMAS DE INTERACCIÓN DE COLUMNAS Fy = 3500 Kg/cm 2

ÁBACO Nº 1

f'c

280 Kg/cm2

g = 0.80 1.30 ) h 1.20 p * t *m = 1 b 1.10 * 0 .9 0 .0 0 c ' f 0 .7 0 ( 1.00 / p t * 0.90 m u = 0 P .5 0 0.80 0 = .3 0 0.70

5 0 . 0 = t / e

0 1 . 0 = t / e

h

gh

2 0 0 . t = e /

0

) 0.60 o c 0.50 i f í c 0.40 e p 0.30 s E ( 0.20 u 0.10 P 0.00

.1 p t 0 * m = 0 . 0 1

Pu

b

5 1 0 . = t e /

e 5 0. 2 = t . 3 0 e / = 0 t / e

. 4 0 = 0 e / t 0 .5 0 e/ t = 0 .6 0 e/ t = 0 .7 0 0 .8 0 1. 0 0 1. 5 0 2. 0 0

4.00 6.00

0 0 . 0

2 0 . 0

4 0 . 0

6 0 . 0

8 0 . 0

0 1 . 0

2 1 . 0

4 1 . 0

6 1 . 0

8 1 . 0

0 2 . 0

2 2 . 0

4 2 . 0

6 2 . 0

= *e/h = Mu / (f'c * b*h 2)

Mu (Específico)

Fy = 3500 Kg/c m 2

ÁBACO Nº 2

f'c

280 Kg/cm 2

g = 0.90

) 1.30 h 1.20 * b * 1.10 c ' f ( 1.00 / u 0.90 P 0.80 = 0.70 ) 0.60 o c 0.50 i f í 0.40 c e p 0.30 s 0.20 E ( u 0.10 P 0.00

p t *m = 0 .9 1 .0 0

5 0 . 0 = t / e

0 1 . 0 = t / e

h

0 .7 0

p t * m = 0 .5 0 0

Pu

b

5 1 0 . t = e /

0

h

2 0 0 . 5 t = 0. 2 e / = .3 0 t e / = 0 t / e

.3 0

p t 0 .1 * m 0 = 0 . 01

e

. 4 0 = 0 e / t 0 .5 0 e /t = 0. 6 0 e/ t = 0 0. 7 0 .8 0 1. 0 0 1. 5 0 2. 0 0

4.00 6.00

0 0 . 0

2 0 . 0

4 0 . 0

6 0 . 0

8 0 . 0

Mu (Específico)

0 1 . 0

2 1 . 0

4 1 . 0

6 1 . 0

8 1 . 0

0 2 . 0

2 2 . 0

4 2 . 0

= *e/h = Mu / (f'c * b*h 2)


6 2 . 0


ÁBACO Nº 3

f'c

280 Kg/cm2

g = 0.80 1.30 ) h 1.20 * b 1.10 * c ' f ( 1.00 / u 0.90 P 0.80 = 0.70

p t *m = 1 .0 0 0 .

5 0 . 0 = t / e

0 1 . 0 = t / e

9 0

h

0 .7 0

p t * m = 0 .5 0

gh e

2 0 0 . 5 t = 0. 2 e / 0 = t / 0. 3 e = t e /

0 . 3 0

0 .1 p 0 t *

) 0.60 o c 0.50 i f í c 0.40 e p 0.30 s E ( 0.20 u 0.10 P 0.00

Pu

b

5 1 0 . t = e /

. 4 0 = 0 e / t

m = 0 . 0 1

0. 5 0 e/ t = 0 .6 0 e /t = 0 .7 0 0 .8 0 1. 0 0 1. 5 0 2. 0 0

4.00 6.00

0 0 . 0

2 0 . 0

4 0 . 0

6 0 . 0

8 0 . 0

0 1 . 0

2 1 . 0

4 1 . 0

6 1 . 0

8 1 . 0

0 2 . 0

2 2 . 0

4 2 . 0

6 2 . 0

= *e/h = Mu / (f'c * b*h 2)

Mu (Específico)

Fy = 4200 Kg/cm 2

ÁBACO Nº 4

f'c

280 Kg/cm2

g = 0.90

) 1.30 h * 1.20 b * c 1.10 ' f ( 1.00 / u 0.90 P = 0.80 0.70 ) 0.60 o 0.50 c i f 0.40 í c e 0.30 p s 0.20 E ( 0.10 u P 0.00

p t *m = 0 .9 1 .0 0

5 0 . 0 = t / e

0 1 . 0 = t / e

0

h

0 .7 0

p t * m = 0 .5 0 0

Pu

b

5 1 0 . t = e /

h

2 0 0 . = . 5 2 t e / = 0 . 3 0 t / e = 0 t / e

.3 0

0 . p 1 t 0 *

m = 0 . 0 1

.4 0 = 0 e / t 0. 5 0 e/ t = 0 .6 0 e /t = 0 0 .7 0 .8 0 1. 0 0 1. 5 0 2. 0 0

4.00 6.00

0 0 . 0

2 0 . 0

4 0 . 0

6 0 . 0

8 0 . 0

Mu (Específico)

0 1 . 0

2 1 . 0

4 1 . 0

6 1 . 0

8 1 . 0

0 2 . 0

2 2 . 0

4 2 . 0

= *e/h = Mu / (f'c * b*h 2)


6 2 . 0


ÁBACO Nº 5

f'c

280 Kg/cm2

g = 0.80 ) h 1.30 * b 1.20 * c 1.10 ' f ( / 1.00 u 0.90 P = 0.80

0.70 ) 0.60 o 0.50 c i f í 0.40 c e 0.30 p s 0.20 E ( 0.10 u P 0.00

5 0 . 0 = t / e

0 1 . 0 = t / e

Pu

D

5 1 0 . t = e /

gD e

2 0 0 . 5 t = 0 .2 0 = e / t 0 .3 e / = t e /

0 .1 0

. 4 0 = 0 e / t 0 .5 0 e/ t = 0. 6 0 e/ t = 0. 7 0 0 .8 0 1. 0 0 1. 5 0 2. 0 0

4.00 6.00

0 0 . 0

2 0 . 0

4 0 . 0

6 0 . 0

8 0 . 0

0 1 . 0

2 1 . 0

4 1 . 0

6 1 . 0

8 1 . 0

0 2 . 0

2 2 . 0

4 2 . 0

6 2 . 0

= *e/h = Mu / (f'c * b*h 2)

Mu (Específico)

Fy = 4200 Kg/c m 2

ÁBACO Nº 6

f'c

280 Kg/cm 2

g = 0.90 ) h 1.30 * b 1.20 * c ' f ( 1.10 / 1.00 u P 0.90 = 0.80

5 0 . 0 = t / e

0.70 0 . 1 0 ) 0.60 o 0.50 c i f í 0.40 c 0.30 e p 0.20 s E ( 0.10 u 0.00 0 2 P 0 0 . 0

. 0

0 1 . 0 = t / e

Pu

D

5 1 0 . t = e /

gD

2 0 0 . 5 0. 2 t = 0 = e / / 0. 3 e t = / e t

e

. 4 0 = 0 t / e 0. 5 0 e/ t = 0. 6 0 e/ t = 0 0. 7 0. 8 0 1. 0 0 1. 5 0 2. 0 0

4.00 6.00

4 0 . 0

6 0 . 0

8 0 . 0

0 1 . 0

Mu (Específico)

2 1 . 0

4 1 . 0

6 1 . 0

8 1 . 0

0 2 . 0

2 2 . 0

4 2 . 0

= *e/h = Mu / (f'c* b*h 2)


6 2 . 0


ANEXOS (II) : DIA GRAMAS DE INTERACCIÓN TABUL ADOS ÁBACO Nº 1 :

Colum nas Rectangul ares (Fy = 3500 Kg/cm2. f'c

280 Kg/cm2. g = 0.80 )

pt*m=1.00 pt*m=0.90 pt*m=0.80 pt*m=0.70 pt*m=0.60 pt*m=0.50 pt*m=0.40 pt*m=0.30 pt*m=0.20 pt*m=0.10 pt*m=0.01 (Carga Esp.) 0.00 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.65 0.70 0.76 0.80 0.82 0.88 0.90 0.93 0.99 1.00 1.04 1.10 1.15 1.20

(Momento específico) 0.214 0.229 0.236 0.236 0.234 0.220 0.200 0.178 0.166 0.152 0.138 0.126 0.120 0.104 0.096 0.086 0.067 0.062 0.050 0.024 0

ÁBACO Nº 2 :

0.196 0.211 0.218 0.218 0.216 0.202 0.182 0.160 0.148 0.134 0.120 0.108 0.102 0.086 0.078 0.068 0.049 0.044 0.032 0

0.176 0.193 0.200 0.200 0.198 0.184 0.164 0.142 0.130 0.116 0.102 0.090 0.084 0.068 0.060 0.050 0.031 0.026 0

0.158 0.175 0.182 0.182 0.180 0.166 0.146 0.124 0.112 0.098 0.084 0.072 0.066 0.050 0.042 0.032 0

0.136 0.153 0.160 0.160 0.158 0.144 0.124 0.102 0.090 0.076 0.062 0.050 0.044 0.028 0.020 0

0.116 0.135 0.142 0.142 0.140 0.126 0.106 0.084 0.072 0.058 0.044 0.032 0.026 0

0.096 0.117 0.124 0.124 0.122 0.108 0.088 0.066 0.054 0.040 0.026 0.014 0


0.074 0.099 0.106 0.106 0.104 0.090 0.070 0.048 0.036 0.022 0

0.052 0.081 0.088 0.088 0.086 0.072 0.052 0.030 0.018 0

0.030 0.063 0.070 0.070 0.068 0.054 0.034 0.012 0

0.006 0.043 0.052 0.052 0.050 0.038 0.018 0

280 Kg/cm2. g = 0.90 )



0.217 0.233 0.240 0.240 0.239 0.224 0.202 0.179 0.166 0.151 0.131 0.120 0.116 0.095 0.085 0.078 0.051 0.047 0.033 0

0.192 0.215 0.222 0.223 0.222 0.204 0.184 0.161 0.148 0.132 0.112 0.100 0.097 0.076 0.063 0.055 0.027 0.022 0

0.170 0.194 0.202 0.205 0.202 0.185 0.165 0.142 0.129 0.113 0.093 0.080 0.077 0.055 0.041 0.033 0

0.150 0.172 0.182 0.183 0.183 0.167 0.145 0.122 0.109 0.093 0.073 0.060 0.055 0.033 0.019 0

0.126 0.150 0.162 0.165 0.165 0.149 0.127 0.104 0.091 0.075 0.055 0.042 0.037 0


0.104 0.132 0.144 0.147 0.147 0.131 0.109 0.086 0.073 0.057 0.037 0.024 0

0.080 0.114 0.126 0.129 0.129 0.113 0.091 0.068 0.055 0.039 0

0.056 0.096 0.108 0.111 0.111 0.095 0.073 0.050 0.037 0

0.030 0.076 0.088 0.091 0.091 0.075 0.053 0.032 0

0.000 0.056 0.070 0.073 0.073 0.059 0.037 0


ÁBACO Nº 3 :


280 Kg/cm2. g = 0.80 )



ÁBACO Nº 4 :

0.190 0.205 0.210 0.208 0.205 0.188 0.170 0.150 0.139 0.128 0.112 0.102 0.096 0.080 0.072 0.060 0.042 0.040 0.022 0

0.170 0.187 0.192 0.190 0.187 0.170 0.152 0.132 0.121 0.110 0.094 0.084 0.078 0.062 0.054 0.042 0.024 0.022 0

0.152 0.169 0.174 0.172 0.169 0.152 0.134 0.114 0.103 0.092 0.076 0.066 0.060 0.044 0.036 0.024 0

0.130 0.147 0.152 0.150 0.147 0.130 0.112 0.092 0.081 0.070 0.054 0.044 0.038 0.022 0.014 0

0.110 0.129 0.134 0.132 0.129 0.112 0.094 0.074 0.063 0.052 0.036 0.026 0.020 0

0.090 0.111 0.116 0.114 0.111 0.094 0.076 0.056 0.045 0.034 0.018 0.008 0


0.068 0.093 0.098 0.096 0.093 0.076 0.058 0.038 0.027 0.016 0

0.046 0.075 0.080 0.078 0.075 0.058 0.040 0.020 0.009 0

0.024 0.057 0.062 0.060 0.057 0.040 0.022 0.002 0

0.000 0.041 0.046 0.044 0.041 0.024 0.006 0

280 Kg/cm2. g = 0.90 )



0.212 0.228 0.236 0.234 0.232 0.215 0.195 0.170 0.157 0.144 0.130 0.115 0.110 0.090 0.080 0.072 0.048 0.044 0.030 0

0.192 0.208 0.217 0.218 0.215 0.198 0.177 0.153 0.140 0.127 0.112 0.097 0.092 0.070 0.062 0.052 0.026 0.021 0

0.168 0.189 0.198 0.200 0.196 0.180 0.159 0.136 0.123 0.110 0.094 0.077 0.072 0.050 0.040 0.030 0

0.149 0.169 0.180 0.181 0.179 0.162 0.141 0.119 0.105 0.090 0.074 0.057 0.050 0.028 0.017 0

0.127 0.150 0.162 0.163 0.162 0.145 0.125 0.101 0.086 0.071 0.054 0.034 0.027 0


0.103 0.129 0.142 0.144 0.143 0.129 0.109 0.084 0.067 0.050 0.030 0.010 0

0.078 0.108 0.124 0.126 0.125 0.112 0.092 0.065 0.048 0.030 0

0.056 0.087 0.104 0.108 0.107 0.097 0.075 0.046 0.030 0

0.030 0.066 0.085 0.091 0.090 0.080 0.058 0.025 0

0.000 0.044 0.067 0.072 0.074 0.065 0.040 0


ÁBACO Nº 5 :

Colum nas Circu lares (Fy = 4200 Kg/cm2. f'c

280 Kg /cm2. g = 0.80 )

pt*m=1.00 pt*m=0.90 pt*m=0.80 pt*m=0.70 pt*m=0.60 pt*m=0.50 pt*m=0.40 pt*m=0.30 pt*m=0.20 pt*m=0.10 pt*m=0.01 (Carga Esp.) 0.00 0.10 0.15 0.20 0.30 0.40 0.50 0.55 0.60 0.64 0.69 0.70 0.73 0.78 0.80 0.83 0.88 0.90 0.92 0.98

(Momento específico) 0.146 0.157 0.158 0.157 0.148 0.136 0.120 0.112 0.103 0.094 0.084 0.082 0.074 0.061 0.054 0.044 0.028 0.020 0.015 0

ÁBACO Nº 6 :

0.136 0.145 0.148 0.146 0.138 0.126 0.110 0.102 0.093 0.084 0.074 0.072 0.064 0.048 0.040 0.030 0.013 0.005 0

0.124 0.135 0.137 0.136 0.128 0.116 0.100 0.092 0.083 0.074 0.064 0.062 0.054 0.035 0.026 0.016 0

0.110 0.123 0.126 0.125 0.118 0.106 0.090 0.081 0.071 0.062 0.047 0.042 0.034 0.016 0.010 0

0.095 0.111 0.116 0.115 0.108 0.096 0.080 0.070 0.059 0.050 0.030 0.026 0.020 0

0.082 0.099 0.104 0.103 0.098 0.086 0.070 0.057 0.044 0.036 0.016 0.011 0

0.069 0.087 0.092 0.091 0.088 0.077 0.060 0.044 0.029 0.020 0

Colum nas Circu lares (Fy = 4200 Kg/cm2. f'c

0.056 0.075 0.080 0.082 0.078 0.068 0.048 0.032 0.016 0

0.040 0.063 0.068 0.073 0.068 0.057 0.035 0.018 0

0.021 0.048 0.056 0.062 0.060 0.046 0.020 0

0.000 0.036 0.048 0.052 0.050 0.036 0

280 Kg /cm2. g = 0.90 )

pt*m=1.00 pt*m=0.90 pt*m=0.80 pt*m=0.70 pt*m=0.60 pt*m=0.50 pt*m=0.40 pt*m=0.30 pt*m=0.20 pt*m=0.10 pt*m=0.01 (Carga Esp.) 0.00 0.10 0.15 0.20 0.30 0.40 0.50 0.55 0.60 0.64 0.69 0.70 0.73 0.78 0.80 0.83 0.88 0.90 0.92 0.98

(Momento específico) 0.163 0.174 0.176 0.175 0.167 0.151 0.134 0.124 0.113 0.102 0.091 0.088 0.082 0.064 0.059 0.053 0.035 0.025 0.020 0

0.153 0.160 0.163 0.162 0.154 0.140 0.122 0.112 0.101 0.088 0.077 0.074 0.068 0.050 0.045 0.039 0.021 0.011 0

0.135 0.146 0.150 0.149 0.142 0.129 0.110 0.100 0.089 0.074 0.063 0.060 0.054 0.036 0.030 0.023 0

0.121 0.134 0.139 0.138 0.132 0.119 0.100 0.089 0.077 0.062 0.046 0.045 0.036 0.017 0.014 0

0.106 0.122 0.125 0.126 0.120 0.104 0.086 0.074 0.062 0.052 0.034 0.030 0.022 0

0.090 0.107 0.111 0.114 0.108 0.093 0.074 0.061 0.047 0.038 0.018 0.014 0


0.075 0.093 0.099 0.100 0.096 0.082 0.061 0.047 0.032 0.020 0

0.056 0.080 0.086 0.088 0.084 0.071 0.049 0.033 0.016 0

0.040 0.065 0.074 0.076 0.073 0.060 0.035 0.017 0

0.021 0.050 0.059 0.064 0.062 0.047 0.019 0

0.000 0.035 0.045 0.050 0.052 0.036 0


CAPÍTULO Nº 6 .: " DISEÑO DISEÑO DE FUNDACIONES" FUNDACIONES" En el presente capítulo, estudiaremos las consideraciones para el diseño de fundaciones basados en la Norma COVENÍN-MINDUR 1753, Capítulo 15, Fundaciones. El tipo de cimentación que se suelen proyectar en el campo de la Ingeniería Civil, está directamente relacionado con las características del suelo donde se apoyará la superestructura. Las características que conforman el suelo de cimentación, son competencia directa de los Geólogos (llamados en algunos países Ingenieros Geodésicos) o los Ingenieros Civiles especializados en suelos. Estos son los responsables de elaborar un informe detallado que proporcione la suficiente información en cuanto a las características del suelo a fundar. Es común observar en los informes de estudios de suelos, no solo los detalles de la tipología del suelo; si no también una o más recomendaciones del tipo de cimentación a emplear. Estas Cimentaciones se clasifican en : A.- Profundas (Pilotes, Zapatas, ...) y B.- Superficiales. (Losas de Fundación). En el siguiente capítulo, estudiaremos el diseño de las fundaciones más comunmente utilizadas : Las Zapatas , las Losas de Fundación. Y se incluirá el diseño de Vigas de Riostras. 6.1.- DISEÑO DE FUNDACIÓN PROFUNDA (Zapat a) :

A continuación se presenta en detalle, una fundación típica consistente de Zapata, Pedestal y Viga de Arriostre. COLUMNA VIGA DE ARRIOSTRE

PEDESTAL

PEDESTAL

VIGAS DE ARRIOSTRE

ZAPATA

ZAPATA VISTA DE PERFIL


VISTA DE PLANTA


En el diseño de este tipo de fundaciones, es necesario considerar los efectos de punzonamiento del pedestal sobre la zapata, así como las solicitaciones típicas de cualquier elemento de concreto armado. Es una práctica recomendable proporcionarle a la zapata un asiento de piedra picada de al menos Diez (10) centímetros de espesor, para mejorar la capacidad portante del suelo a fundar. No obstante en los siguientes ejemplos se hará énfasis en el diseño por flexión (Momento) y por esfuerzo cortante. 6.1.1.- Consideraciones Geométricas :

El dimensionado tanto de la zapata como del pedestal lo podemos expresar gráficamente de la siguiente manera :

P (ton)

Desplante (mín = 1.50 m)

W (mín = 0.30 0.30 m)

W

B

W h (mín = 0.30 m) B (mín = 1.00 m) B PERFIL PLANTA

Donde : W = B/4

Siempre que W (mín) = 30 cm.

6.1.2. 6.1.2.-- Esfuerzos A ctu antes :

Tanto el dimensionado de la zapata, como su diseño a flexión y a corte dependerán de la capacidad de soporte del suelo de fundación. Este dato se obtiene de un estudio detallado del suelo, donde se indica su capacidad portante a la profundidad de desplante que sugiera dicho estudio de suelo. No obstante si no se dispone de información alguna en este aspecto se puede considerar una capacidad de soporte mínima de 1.00 Kg/cm2, así como una profundidad de desplante de al menos 1.50 m. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Para el diseño del Pedestal, lo consideraremos como una prolongación de la columna. 6.1.3.- Diseño de la Zapata :

El diseño de zapatas se asemeja en mucho al diseño de una losa maciza (o placa). Es por esto que para determinar tanto el espesor de la zapata, como la disposición de la armadura de refuerzo, se tienen en cuenta las consideraciones para el diseño de losas macizas. Los esfuerzos actuantes en la zapata, se pueden representar gráficamente como lo muestra la figura :

CARGAS ACTUANTES DE LA SUPERESTRUCTURA SUPERESTRUCTURA (Ton )

CAPACIDAD DE SOPORTE DEL SUELO (Kg/cm2)

P (ton)

L

EMPARRILLADO

B (m)

(Kg/cm2)

La figura de la izquierda, muestra la tendencia de la zapata a flectar debido a las cargas que actúan sobre ella (Superestructura). Esto nos indica la porción de zapata sometida a momento flector que debe ser reforzada con acero estructural. La figura de la derecha muestra la tensión que produce el suelo sobre la base de la zapata y la disposición y ubicación de la armadura de refuerzo en la zapata (Emparrillado), conforme a la flexión que se produce y se muestra en la figura de la izquierda. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Para estimar las dimensiones de la Zapata, es necesario conocer la tensión (o Capacidad de soporte) en el suelo (

). Para poder aplicar la ecuación de tensión o compresión axial, en

función de la carga aplicada ( P ) y el área del elemento comprimido (Zapata). La ecuación queda : = P / A.

(Evidentemente, los datos de la ecuación se deben trabajar en las mismas unidades métricas).

6.1.4. 6.1.4.-- Diseño del Pedestal:

Como ya lo mencionamos anteriormente, podemos considerar el pedestal como una prolongación de la columna. En tal sentido, si la profundidad de desplante o la altura del pedestal, no es de tal magnitud que implique una consideración especial en cuanto al diseño del refuerzo o acero principal de la sección, se puede prolongar el mismo acero de la sección transversal de la columna.

El refuerzo por esfuerzo cortante (Estribos), por tratarse de una zona NO sometida a

movimientos de

vibración, se dispondrán según la separación especificada para zonas No

confinadas. W = B/4

Siempre que W (mín) = 30 cm. Nota :

A Separación de Estribos en Columna (So) (Zona Confinad a)

Separación máxima de estribos (So) (En zonas confinadas. Cap.

COLUMNA (A x A)

18.8.3.2.2) ND2 : VIGA DE ARRIOSTRE

s ) o a b d i r a t s i n E f n e o d C n ó O i c N a a r a n p o Z e ( S

La separación So, en la dirección del eje del

miembro, de la longitud (Lo) de confinamiento, no deberá exceder el menor de los siguientes valores : a.- 8 veces el diámetro de la menor barra longitudinal arriostrada.

W

b.- 24 veces el diámetro del estribo. c.- (1/2) de la menor dimensión de la sección transversal del miembro.

PEDESTAL (W x W)

d.- 30 cm.

Cuando se trate de zonas NO confinadas, la separación de ZAPATA

estribos No excederá el valor de : 2 * So.

A continuación ilustraremos el diseño de fundación según el ejemplo que se presenta : Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


EJEMPLO 6.1. : Diseñar la fundación de forma "CUADRADA" , asumiendo que sobre

ella se apoyará una columna cuya sección transversal es de 0.30 x 0.30 y que tiene un refuerzo principal consistente en 8 Ø 5/8" , y con los datos que se dan a continuación :

P = 100 ton

Acero : Fy = 4200 Kg/cm2 Concreto : f'c = 250 Kg/cm2 Desplante (h = 2.00 m)

Capacidad port. Del suelo : σ = 2.00 Kg/cm2

W

Factor de Seguridad : F.M. = 1.60 (Factor de Mayoración) h

B

1.00 m

Al igual que en losas macizas, adoptamos un ancho de franja unitario.

Si :

A = 100.000 Kg / 2.00 Kg/cm2

W

B

= P / A Despejando A , queda :

A = B^2 = 50.000 cm2

W

B = 223.61 cm . Adoptamos : B = 2.25 m .

Por lo que la zapata será de : 2.25 x 2.25 B

Actuante = 100.000 Kg / (225*225) cm2 = 1.98 Kg/cm2 <

Ad m (2.00)

O.K.

Para determinar las dimensiones del pedestal, procedemos a aplicar la expresión : W = B/4

Siempre que W (mín) = 30 cm.

W = 2.25 / 4 = 0.563 m . Se escoge W = 0.60 m Por lo tanto la sección transversal del pedestal será de : 0.60 x 0.60 Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Con las dimensiones calculadas, se determina el momento flector en la zapata : 1.98 Kg/cm2 * (100cm) = 19800 Kg/m2 (1.00 m)2

P

W = 0.60

q = 19800 Kg/m2 * 1.00 m (Ancho unitario)

0.825

q = 19800 Kg/m

Mu (Kg*m)

Como F.M. = 1.60 . Entonces :

h

qu = 19800 * 1.60 B = 2.25

qu = 31680 Kg/m . Luego : 1.98 Kg/cm2

Mu = qu * l 2 2

= 31680 * (0825) 2 2

Mu = 10781 Kg*m Espesor de la zapata :

Se determina según la tabla 9.5 (a) de las normas COVENÍN-MINDUR 1756. Para una losa maciza en voladizo : L / 10 = 0.825m / 10 = 0.0825 m = 8.25 cm Sin embargo el espesor mínimo de la zapata será de al menos 30 cm. Por lo tanto :

h = 0.30 m . Este espesor, debe verificarse para los esfuerzos cortantes.

Chequeo del Esf uerzo Cortante en la Zapata :

La Norma Venezolana COVENÍN-MINDUR define como la sección crítica para el cálculo de los esfuerzos de corte, el perímetro ubicado a una distancia de ( d/2 ) medida perpendicularmente desde el plano de la zapata. Los dibujos que se muestran a continuación nos lo explican un poco mejor : W = 0.60

d = 0.22

0.30 h = 0.30

DETALLE PARA DETARMINAR ( d ) Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

(0.30 - 0.08) 0.08 (Aprox.)


Perímetro donde actúa el esfuerzo cortante (bo) : 0 82 d/2

0.82 d/2

d/2

d/2 0.60

d/2

2 8 . 0

d/2 0.30

d = 0.22

2.25

=

PLANTA

CORTE bo = 4 * [ 0.60 + ( d/2 + d/2) ] = 4 * 0.82 = 3.28 m .

El perímetro (bo) de la zapata, que se encuentra sometido a corte tiene la tendencia que se muestra a continuación : REQUISITOS ESPECIALES PARA EL DISEÑO A CORTE EN PLACAS Y

Vu

ZAPATAS. (Norma COVENÍN-MINDUR PEDESTAL

1753. Cap. 11) : 11.10.2

ZAPATA

A menos que se coloquen

armaduras de corte según...., el diseño de las placas o zapatas para la acción en dos direcciones se basará en la fórmula Vu ≤ Ø*Vn, en la cual Vn no se tomará mayor que : Vc = (0.53 + 1.06 )*(f'c )^ 1/2 bo * d c

ZAPATA

Vc = 1.06 * (f'c)^ 1/2 bo * d

Donde :

(La menor)

c : Es la relación del lado largo al lado corto del área cargada. ( c = 2.25/2.25 = 1) d : Altura útil de la zapata. ( d = 22 cm ) bo : Perímetro de la sección crítica. ( bo = 328 cm ) Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Aplicando la ecuación tenemos : Vu ≤ Ø * Vn .

Siendo : Vn ≤ Vc y Vu = 100000 Kg * 1.60 (F.M.). Vu = 160000 Kg

Vc = (0.53 + 1.06 )*(f'c)^ 1/2 bo * d ≤ 1.06 * (f'c)^ 1/2 bo βc

(Ecuación 11-32)

Vc = (053 + 1.06) * (250) ^ 1/2 * 328 * 22 ≤ 1.06 * (250) ^1/2 * 328 * 22 Vc = 181411.02 Kg ≤ 120940.68 Kg Por lo tanto se asume Vn = Vc = 120940.68 Kg Luego de la expresión

Vu ≤ Ø * Vc ,

donde (Ø = 0.85) queda :

160000 Kg ≤ 0.85 * 120940.68 Kg 160000 Kg ≤ 102799.58 Kg (Como No se cumple la condición, se puede proceder a : ) 1. Aumentar la altura útil (d) de la zapata (o el espesor de la losa) y rechequear la condición. 2. Colocar refuerzo (o armadura) para resistir corte . 3. Una combinación de las alternativas anteriores. 1. Aumentando espesor de la losa : Esto puede hacerse por tanteo hasta cumplir la

condición Vu ≤ Ø * Vc o despejando el valor (d) en la expresión usada para determinar Vc . Si :

Vc = 1.06 * (f'c)^ 1/2 bo * d (La menor)

Y:

bo = [ 60 cm + (d/2 + d/2) ] * 4 . bo = 240 + 4d

Vc = 1.06 * (250)^ 1/2 * (240 + 4d) * d Vc = 4022.42d + 67.04 d^2 . Pero como

Vu ≤ Ø * Vc

160000 ≤ 0.85 * (4022.42d + 67.04 d^2 ) (Ecuación cuadrática) 67.04 d^2 + 4022.42 d - 188235.29 = 0

De donde : d = - 90.89 cm ó d = 30.89 cm

Si adoptamos d = 32 cm . El espesor total de la zapata será : h = d + 8cm . h = 40 cm



Luego se procede a verificar que los esfuerzos de corte sean menores que los admitidos por la Norma, según la ecuación 11-32 . Vc = (0.53 + 1.06 )*(f'c)^ 1/2 bo * d ≤ 1.06 * (f'c)^ 1/2 bo βc Donde :

(Ecuación 11-32)

c : Es la relación del lado largo al lado corto del área cargada. ( c = 2.25/2.25 = 1) d : Altura útil de la zapata. ( d = 32 cm ) bo : Perímetro de la sección crítica. ( bo = 368 cm )

Vc = (053 + 1.06) * (250) ^ 1/2 * 368 * 32 ≤ 1.06 * (250) ^1/2 * 368 * 32 Vc = 296049.90 Kg ≤ 197366.60 Kg Por lo tanto se asume Vn = Vc = 197366.60 Kg Luego de la expresión

Vu ≤ Ø * Vc ,

donde (Ø = 0.85) queda :

160000 Kg ≤ 0.85 * 197366.60 Kg 160000 Kg ≤ 167761.61 Kg (En este caso queda verificada la condición de diseño) Por lo tanto el espesor definitivo de la zapata será de h = 0.40 m . Diseño del refuerzo princ ipal a flexió n (Emparrillado) de la zapata :

Refuerzo de la zapata (Emparrillado) : As mín = 0.0018*b*h = 0.0018 *100*30 = 5.40 cm2/m ⇒ Ø 3/8" C/.13 (As = 5.46 cm2/m) As = Mu / (Ø*Fy*Ju*d) = 10781 Kg*m / ( 0.90 * 4200 Kg/cm2 * 0.972 * 0.32 m) As = 9.17 cm2 / m ⇒ Opciones : A.- Ø 1/2" C/.13 (As = 9.77 cm2 / m) B.- Ø 5/8" C/.21 (As = 9.43 cm2 / m)

La decisión de escoger alguna de las opciones planteadas (A ó B), así como cualquier otra alternativa, dependerá del criterio del calculista. Desde el punto de vista del autor, es aconsejable adoptar una disposición que se acerque lo más posible al As calculado (9.17 cm2). Por otra parte al tener un área de zapata de 2.25 m x 2.25 m , nos arroja una idea del emparrillado a armar, por Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


lo que es preferible adoptar una alternativa en la cual las cabillas del emparrillado NO estén tan próximas unas de otras. Por lo antes expuesto la opción escogida será : Emparrillado ⇒ Ø 5/8" C/.21 (As = 9.43 cm2 / m) (En cada senti do) Diseño del Pedestal :

Las dimensiones del pedestal fueron determinadas según la expresión W = B/4 , la cual resultó con un pedestal de una sección transversal de 0.60 x 0.60 . El refuerzo principal (o por flexión) del pedestal, será el mismo refuerzo que viene de la columna apoyada. Este refuerzo dado previamente como dato inicial de este ejemplo está conformado por

8 Ø 5/8", y su distribución

será como la mostrada en la siguiente figura :

0.60 0.50

0 6 . 0

0 5 . 0

0.15 0.15

0 5 . 0

0.50

8 Ø 5/8"

Estribos Ø 3/8" x 2.30 C/.25

La separación de estribos (Armadura de corte) se hará de acuerdo a lo especificado en el Capítulo 18.8.3.2.2 ND2 : La separación So, en la dirección del eje del miembro, de la longitud (Lo) de confinamiento, no deberá exceder el menor de los siguientes valores : a.- 8 veces el diámetro de la menor barra longitudinal arriostrada. = 8 * 1.59 = 12.72 cm . (Menor). b.- 24 veces el diámetro del estribo.

= 24 * 0.95 = 22.80 cm

c.- (1/2) de la menor dimensión de la sección transversal del miembro. = 60/2 = 30.00 cm d.- 30 cm. Cuando se trate de zonas NO confinadas, la separación de estribos No excederá el valor de : 2 * So. = 2 * 12.72 = 25.44 cm. En definitiva la separación de estribos será ⇒ 25.00 cm Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Despiece y Detalles de la Fundación : DESPIECE TÍPICO DE FUNDACIÓN

COLUMNA (0.30 x 0.30)

VIGA DE ARRIOSTRE 5 2 . / C " 8 / 3 Ø s o b i r t s E

0 0 . 2

PEDESTAL (0.60 x 0.60)

ZAPATA 0.40 0.10 Lecho de Piedra Picada 2.25 x 2.25 Emparrillado : 10 Ø 5/8" x 2.60 En C/Sentido 0.60

1.125

1.125 5 2 . 0

0.30

5 2 1 . 1

0.30 0 6 . 2 x " 8 / 5 Ø 0 1

0 3 . 0 0 3 . 0 5 2 1 . 1

10 Ø 5/8" x 2.60

8 Ø 5/8" 0.50 0.15

ZAPATA

0.25

0 6 . 0

0 5 . 0

0.25

5 2 . 0

0.15

0 5 . 0

0.50 Estribos Ø 3/8" x 2.30 C/.25

PLANTA


SECCIÓN DE PEDESTAL


6.2.- DISEÑO DE VIGAS DE RIOSTRAS :

El diseño de vigas de riostras (o de arriostre) se fundamenta en el hecho de que su función primordial, es la de proporcionar estabilidad en los elementos que componen la Infraestructura de una edificación. La estabilidad que se busca es fijar el posicionamiento de los elementos, dando soporte lateral y vertical (es decir, evitar desplazamientos y asentamientos diferenciales) como lo muestra la figura a continuación : SUPERESTRUCTURA VIGA DE RIOSTRA

COLUMNA

VIG A DE RIOSTRA INFRAESTRUCTURA

Desplazamiento

Asen t. Diferencial VISTA DE PLANTA

VISTA DE PERFIL

Las vigas de riostras son elementos que se disponen de tal forma que se logre la unión ortogonal (Vista en planta) de las fundaciones . Esta disposición ortogonal, así como los materiales que las componen, hacen de las vigas de riostras elementos con alta rigidez. Todas estas características hacen que la estabilidad que se busca, no solo sea privilegio de la infraestructura, si no también de la superestructura. 6.2.1.- Consi deracio nes Generales : •

Las vigas de riostras por estar en contacto directo con el terreno de fundación, NO pueden sufrir agrietamiento alguno que contamine y/o perjudique las características de los materiales que la componen (Acero de refuerzo y concreto). Por esta razón NO se recomienda diseñarlas por la teoría de la sección agrietada.

•

Las vigas de riostras se diseñan de diversas maneras. El aspecto más relevante a tomar en cuenta, son las condiciones de carga a la cual estará sometida. Por esta razón No es extraño encontrar que pueden ser diseñadas más como vigas de cargas que como vigas de arriostre. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


•

En general se considera que las vigas de riostras aunque puedan en sus extremos estar sometidas a flexión y en menor medida a torsión, en realidad trabajan a tensión axial en la mayor parte de su tramo. Para tal efecto es de aplicación usual que la sección transversal de las vigas de riostras deben diseñarse para que sean capaces de resistir entre un 10% a un 15% de la carga axial de diseño que transmite la columna que soporta a la fundación.

Nota : Algunos calculistas consideran el efecto del momento flector que transmite la base de la columna a la viga de riostra. En tales casos se considera el efecto de la flexión en la sección transversal respectiva.

6.2.2- Consideraciones de Diseño :

El método propuesto para el diseño de vigas de riostras, será el de la sección transformada. Dado que los materiales que componen las vigas de riostras son una combinación de Acero (Fy) y Concreto (f'c) , este método consiste en homogeneizar la sección transversal de la viga en un solo material (su equivalente en concreto) mediante la aplicación de un coeficiente que relaciona los módulos de elasticidad del acero de refuerzo (Es) y del Concreto (Ec) , conocido como relación modular, y que se designa con la letra ( h).

Es decir : h = Es / Ec .

(Se

recomienda adoptar h = 15). Si se analiza en detalle una sección transversal de viga de riostra, así como las tensiones que actúan en ella, podremos representarla de la siguiente manera : fct

b h*As' (Relación Modular)

As'

h*As' *fct

h

Tc h*As (Relación Modular)

As SECC. DE VIGA (a)

SECC. NO AGRIETADA (b)

SECC. TRANSFORMADA (c) (Usar)

= 15

FIGURA 6.2.2.


h*As *fct

DIAG. DE TENSIONES (d)


En la figura 6.2.2., se identifica el procedimiento para transformar una sección compuesta (Acero y concreto) a su equivalente en concreto. Partiendo como dato la sección transversal típica de una viga ( Fig. a ), esta se lleva su forma NO agrietada en donde se agrupan las armaduras superiores en (As ') y las inferiores en (As) (Fig. b ). Esta sección se transforma, convirtiendo el acero de refuerzo (As' y As) en su equivalente de concreto mediante la relación modular ( h), teniéndose como área de acero transformada a concreto = h*As' y h*As (Fig. c ). Luego en la sección transformada se analiza el comportamiento de las tensiones ocurridas, concentrando los esfuerzos de tracción en cargas puntuales, convirtiendo el concreto de (fct) a (Tc) ; y las transformadas de ( h*As') y (h*As) a (h*As' *fct) y (h*As * fct) respectivamente (Fig. d ). Donde : As' : Área de acero superior (Compresión). As : Área de acero inferior (Tracción). h : Relación modular.

fct : Resistencia del concreto a tracción. Tc : Esfuerzo concentrado (a tracción) de la sección transversal de la viga. Hipótesis de Cálculo : Con la sección transversal de la viga (Fig. a ) y el diagrama de tensiones (Fig. d ) , se procederá a plantear las hipótesis de cálculo para obtener el área de la sección transversal necesaria, así como las áreas de acero respectivas. Asumiendo como condición de diseño que la capacidad máxima de tensión en la viga está comprendida entre un 10 % a un 15%, y que la resistencia a tracción del concreto (fct) es un 10 % de su resistencia a compresión (f'c) , tenemos : Σ P

≤

(0.10 ~ 0.15 ) Pu (Trabajando en la condición máxima: P (n) = 0.15 Pu).

P (n) = Σ F (x) ≤ h*As' *fct + Tc + h*As *fct . Tenemos : P (n) ≤ h*fct *As tot + Tc P (n) ≤ h*fct *As tot + Ac * fct

Si : As' + As = As tot Como : Tc = Ac * fct Siendo : Ac = b*h (Área secc. transv.)

P (n) ≤ h*0.10f'c *As tot + Ac * 0.10f'c Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

fct = (10 %) f'c = 0.10*f'c


Sustituyendo el valor de (P (n) = 0.15 Pu) , tenemos : P (n) =

0.15 Pu ≤ 0.10f'c * (h * As tot + Ac ) .

Adoptando h = 15 :

0.15 Pu ≤ 0.10f'c * (15 * As tot + Ac ).

Despejando Ac :

Ac ≥ 0.15 Pu - 15As tot 0.10 f'c

Ec. (6 - 1)

La ecuación (6-1) queda : Ac ≥ 1.50 Pu - 15As tot . f'c

Donde :

Ac = b * h

6.2.3.- Diseño d el refu erzo :

La figura 6.2.2. (b) , muestra la sección de la viga de riostra donde aparecen (As') y (As). Si agrupamos los esfuerzos totales que se producen tanto en (As') como en (As) , tendremos : T' = As' * Fy

;

T = As * Fy.

Si : Σ P (n) ≤ Ø (T' + T) ;

Como condición : Σ P (n) ≤ Ø (Σ T) (Ø = 0.70) Donde : P (n) = 0.15 Pu. Tendremos :

0.15 Pu ≤ Ø * [(As' * Fy) + (As * Fy)] 0.15 Pu ≤ Ø *Fy* As tot . As tot

0.15 Pu Ø * Fy

Despejando As tot : Ec. (6 - 2) Para determinar la cantidad total de acero.

Es importante recordar que la cantidad mínima de acero de refuerzo (En una (1) fibra) viene dada por la expresión As (mín) = (14 / Fy) * b * d .

Y tomando en cuenta que

" en

c/esquina de una sección transversal de la viga, debe colocarse al menos una cabilla igual o mayor a la Nº 4" (Cap. 18.2.2., Normas COVENÍN-MINDUR 1753).

6.2.4.- Dimensionado de la sección transversal :

Conocido el valor de (As tot) según (6 - 2), se pueden determinar las dimensiones de la sección transversal de la viga, aplicando la ec. (6 - 1), donde Ac = b*h. No obstante simplificando las ecs. (6 - 1) y (6 - 2) se puede obtener : Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Ac ≥ 1.50 Pu f'c

- 15As tot

Ec. (6 - 1)

As tot

Ec. (6 - 2)

0.15 Pu Ø * Fy

Sustituyendo (Ac ) por (b*h) ; y As tot de (6 - 2) en (6 - 1) , tenemos : Ac = b*h ≥ 1.50 Pu f'c b*h ≥ 1.50 Pu f'c b*h

- 15 * (0.15 Pu ) Ø * Fy -

2.25 Pu Ø * Fy

1.50 Pu * ( 1 f'c

-

1.50 ) Ø * Fy

Ec. (6 - 3). Para Dimensionar la viga.

Es importante destacar que las dimensiones de las vigas de riostras son afectadas (entre otras cosas) procurando rendimiento en su construcción. La base (b) de estas vigas tienen por lo general 30 cm., debido a que la excavación (y conformación) del terreno de apoyo (generalmente hecho de forma manual) se hacen con instrumentos (Palas) que dan al terreno esa dimensión. La altura (h) de la viga aunque condicionada por la expresión (6 - 3) ó (6 - 1) buscando la esbeltez de la sección transversal del elemento NO debería ser inferior al valor de la base (b). 6.2.5.- Criterios mínimos de diseño :

Se establecerán como una guía práctica de aplicación tomando en cuanta todo lo anterior. Sin embargo estos criterios mínimos NO constituyen de forma alguna una Norma de estricto cumplimiento. •

Se recomienda tomar como dimensiones mínimas de la sección transversal de vigas de riostras 0.30 x 0.30 .

•

La mínima cantidad de acero de refuerzo (el longitudinal ó

As' y As) será de al

menos 1 Ø 1/2" en c/esquina de la sección transversal de la viga. •

Se recomienda que el diámetro mínimo de estribo a utilizar sea de Ø 3/8" cerrados con ganchos.

•

Los estribos por tratarse de zonas NO confinadas, pueden limitarse a una separación de (d/2). Siendo (d) la altura útil del la sección transversal del elemento. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


•

El recubrimiento mínimo aconsejado del refuerzo (Cap. 7.7.1. NORMAS COVENÍNMINDUR 1753) más cercano al ambiente exterior (estribos) será de 7 cms., medido lateralmente a cada lado de la cara de la viga. Y 7 cms., también, medido perpendicularmente desde la base de la viga.

A continuación se ilustrará un ejemplo de aplicación para el diseño de vigas de riostras. EJEMPLO 6.2. :

Diseñar una viga de riostra que sirva de soporte y unión a dos (2)

fundaciones idénticas del ejemplo 6.1., con los datos que allí aparecen.

P = 100 ton

Datos : Acero : Fy = 4200 Kg/cm2 Desplante (h = 2.00 m)

Concreto : f'c = 250 Kg/cm2

0.60

Carga Col.: Pu = 100 Ton. Fact. Minoración : Ø = 0.70 0.40 2.25

b*h

Aplicando la Ec. (6 - 3), se tiene : b*h ≥ 1.50 (100.000) * ( 1 250

-

1.50 Pu * ( 1 f'c

-

1.50 ) Ø * Fy

1.50 ) 0.70 * 4200

b*h ≥ 523.47 cm2 . Adoptando (b mín) = 30 cm. Se tiene: h ≥ 523.47 / 30.

h ≥ 17.45 cm .

Se adopta (h mín) = 30 cm. Dimensiones de la sección transversal de la viga ⇒ (0.30 x 0.30) . Calculando el refuerzo necesario según la Ec. (6 - 2) :


As tot

0.15 Pu Ø * Fy


As tot ≥ 0.15 * 100.000 0.70 * 4200

As tot ≥ 5.10 cm2.

Teniendo que : As tot = As' + As. Si se reparten por igual As' y As , tendremos : As' = As = 5.10 / 2 = 2.55 cm2

As mín .

(2 Ø 1/2" )

Si comparamos ese valor con la cantidad mínima requerida dada por la expresión : As mín = (14/Fy) * b * d = (14/4200) * 30 * 25 = 2.50 cm2 . Por lo tanto la viga de riostra del ejemplo 6.2. será :

0.30 0.025 0 3 . 0

0.15 0 2 . 0

0.07 0.07

0.15 0.15

0 2 . 0

SECCIÓN TRANSVERSAL DE VIGA

0.15

0.07

Estribos Ø 3/8" x 1.00 C/.11 4 Ø 1/2"

COLUMNA (0.30 x 0.30) Estribos Ø 3/8" x 1.00 C/.11

Estribos Ø 3/8" x 1.00 C/.11 VIGA DE RIOSTRA (0.30 x 0.30)

5 2 . / C " 8 / 3 Ø s o b i r t s E

PEDESTAL (0.60 x 0.60)

PERFIL LONGITUDINAL



EJEMPLO 6.2. :

Diseñar una viga de riostra que sirva de soporte y unión a dos (2)

columnas que transmitirán la misma carga y momento. Adicionalmente diseñar la viga para que sea capaz de absorber un 30 % del momento flector de la columna .

Pu = 380 ton

Datos : Acero : Fy = 4200 Kg/cm2 Desplante

Concreto : f'c = 250 Kg/cm2

W

Carga Col.: Pu = 380 Ton. Momento diseño: Mu = 48*(0.3) = 14.40 Ton*m Fact. Minoración : Ø = 0.70 h B

b*h

Aplicando la Ec. (6 - 3), se tiene : b*h ≥ 1.50 (380.000) * ( 1 250

-

1.50 Pu * ( 1 f'c

1.50 ) Ø * Fy

1.50 ) 0.70 * 4200

b*h ≥ 1989.18 cm2 . Adoptando (b) = 40 cm. Se tiene: h ≥ 1989.18 / 30.

h ≥ 49.73 cm .

Se adopta (h) = 50 cm. Dimensiones de la sección transversal de la viga ⇒ (0.40 x 0.50) . Calculando el refuerzo necesario según la Ec. (6 - 2) :

As tot ≥ 0.15 * 380.000 0.70 * 4200

As tot

0.15 Pu Ø * Fy

As tot ≥ 19.39 cm2.

Teniendo que : As tot = As' + As. Si se reparten por igual As' y As , tendremos : As' = As = 19.39 / 2 = 9.69 cm2 (I) Acero por tensi ón. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Si comparamos ese valor con la cantidad mínima requerida dada por la expresión : As mín = (14/Fy) * b * d = (14/4200) * 40 * 45 = 6.00 cm2 . El diseño por momento flector será según la expresión : As =

As =

14.40 * 1000 0.90 * 4200 * 0.951 * 0.45

=

8.90 cm2

Mu 0.90*Fy*Ju*d

(II) Acero por flexión.

Por lo tanto el refuerzo ppal., será : 9.69 cm2 (I) + 8.90 cm2 (II) = 18.59 cm2

(5 Ø 7/8" ) .

Despiece de Viga de riostra del ejemplo 6.3. : 0.40 0.25

0.02

0.15 0.15

0 4 . 0

0 5 . 0

0 4 . 0

SECCIÓN TRANSVERSAL DE VIGA

0.25 0.07 0.07

Estribos Ø 3/8" x 1.60 C/.22 5

0.07

10 Ø 7/8 " COLUMNA COLUMNA Estribos Ø 3/8" x 1.60 C/.22 5

PEDESTAL (W x W )

VIGA DE RIOSTRA (0.40 x 0.50)

PERFIL LONGITUDINAL


PEDESTAL (W x W )


CAPÍTULO Nº 7 .: " DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN" El fenómeno de la torsión ocurre cuando en un elemento actúan simultáneamente un par de esfuerzos orientados en sentido contrario y en planos diferentes. La figura 7.1., ilustra la manera como obran estos esfuerzos :

Esfuer zos Cortantes

T2 Condición de Equilibrio : T1

MInt. = MExt. Ti1 + Ti2 = T2 Ti2

T2

Ti1 T1

En cada Dos (2) capas adyacentes, deben existir en la sección transversal, un par de esfuerzos que llamaremos Momento de Resistencia Interno (Ti1; Ti2) . La suma de estos Momentos de Resistencia Internos, deben ser de igual magnitud pero de sentido contrario a uno (1) de los Momentos de Torsión externos (T1 ó T2). A continuación se muestran algunos de los elementos estructurales que por su forma o por su función; deben ser considerados los esfuerzos de Torsión. 7.1.- SISTEMAS ESTRUCTURALES SOMETIDOS A TORSIÓN : 7.1.1.- Escaleras Helicoidales :

Las escaleras helicoidales son estructuras de gran

elegancia, peso y funcionalidad; que se incluyen en un diseño con el objeto de acentuar la belleza de una obra arquitectónica. Las más comunes de este tipo de escaleras son (1).- Las apoyadas en eje central (Escaleras de caracol), y (2).- Con apoyo externo . Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


(1).- Apoyadas en eje central (Escaleras de caracol) :

Peldaño

PLANTA

ISOMETRÍA

CORTE

En este ejemplo, los peldaños de la escalera se apoyan en una columna central. Tanto los peldaños como la columna están sometidos a flexión y a torsión. (2).- Con apoyo externo :

Peldaño

PLANTA

Muro de Apoyo

CORTE

En este ejemplo, los peldaños de la escalera se apoyan en un muro exterior o perimetral. Tanto los peldaños como el muro están sometidos a flexión y a torsión.

7.1.2.- Escaleras de Losa Helicoidal : Este tipo de escalera se caracteriza por el hecho

de que su sección transversal es una losa maciza. Esto implica que se diseña según los criterios de losas o placas macizas, pero teniendo en cuenta los esfuerzos adicionales (como la Torsión) que se generan. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Diseño :

B A

Sección A - A : Apoyo A

Sección B - B : L/4

B C

A

Sección C - C : L/2

C

B

L : Longitud Escalera. A

B

PLANTA ISOMETRÍA

7.1.3.- Vigas en Balcón : Las vigas en balcón son elementos relativamente complicados

en los que predominan las solicitaciones por flexión y por torsión. Generalmente se utilizan cuando existen escaleras helicoidales de apoyo externo.

PLANTA ISOMETRÍA

7.1.4.- Vigas que Soportan Volados : Las losas en voladizos producen esfuerzos de

corte y torsión en el elemento que les sirve de apoyo. Su uso es de lo más común. Viga que soporta Volado

PLANTA Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

Armadura por Torsión

ISOMETRÍA


7.1.5.- Vigas Contínuas de Planta Circular :

Son empleadas en el proyecto de

estanques y silos de almacenamiento, así como cualquier edificación de geometría tubular. Apoyos

SECCIONES CRÍTICAS :

• Apoyos. • Tramos.

Sección de Máx. Torsión (

depende del Nº de apoyos)

PLANTA

7.2.- MODOS DE FALLA DE ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN : 7.2.1.- En Volados

Falla por Torsión - Corte.

Superficie de Falla

δ

ISOMETRÍA

7.2.2.- En Ménsulas

Falla por Torsión - Corte.

Zonas de Falla El Refuerzo ppal., se diseña para soportar la Torsión Cortante generada.


As ppal.


Tipos de Fallas en Ménsulas :

Superficie de h (Insuf.) Agrietamiento Grieta Agrietamiento

Falla por detalle inadecuado

Falla por poca altura en la

Aplastamiento del Concreto.

de la Armadura

cara externa de la Ménsula

(Placa de apoyo inadecuada).

7.3.- FUNCIÓN DEL ACERO DE REFUERZO :

Acero Ppal. (Longitudinal) ⇒ Se diseña para que sea capaz de absorber los esfuerzos generados por la Torsión. Estribos (Ligaduras) ⇒ Se encargan de impedir la formación de grietas en el concreto, producidos por esfuerzos de Corte, Tracción y Retracción.

7.4.- RESISTENCIA A LA TORSIÓN DE ELEMENTOS RECTANGULARES DE CONCRETO CONCRETO ARMADO ARMA DO :

La Norma COVENÍN-MINDUR 1753, indica las regulaciones a considerar para el diseño de los elementos sometidos a Torsión y Corte. Esto corresponde al Capítulo 11 de las Normas mencionadas, las cuales son de obligatoria referencia. En estas se menciona que los efectos de la Torsión en elementos rectangulares, se considerarán cuando : Tu > Ø * ( 0.13 √f'c * ∑ x2y )

(Cap. 11.5.1 Normas COVENÍN-MINDUR 1753).

No obstante el diseño de elementos sometidos a torsión debe satisfacer la condición : Tu

Ø * Tn .

Siendo :

Tn = Tc + Ts



Y: Tc =

Ct = bw * d ∑ x2y

0.21 * f'c * x 2y 2 1 +

Vu : Fuerza cortante mayorada en la sección. bw : Ancho o base de la sección. d : Altura útil del elemento.

0.4 Vu Ct * Tu

At : Área de acero de la armadura para resistir corte.. Ts = At * t * x1 * y1 * Fy S

X1 : Dimensión corta del estribo cerrado. y1 : Dimensión larga del estribo cerrado. Fy : Resistencia cedente ( = 4200 Kg/cm2).

αt = 0.66 + 0.33 y1 ≤ 1.50 x1 Siempre y cuando : Ts

S : Separación de estribos. x1 + y1 4

4Tc

S≤

(La menor)

30 cm Donde : Tu : Momento torsor mayorado en la sección de estudio. Tn : Resistencia nominal a momento torsor. Tc : Resistencia nominal a momento torsor que resiste el concreto. Ts : Resistencia nominal a momento torsor que resisten las armaduras. Ø : Factor de minoración de la capacidad resistente ( Ø = 0.85 para torsión).

∑ x2y : Propiedades de la sección rectangular sometida a torsión. 7.4.1.- Determinaci ón de ( x 2y ) para secciones en "T" , " Rectangulares" , y en " L" : x 2y

x : Lado menor de la sección. y : Lado mayor de la sección.

b = 3h

b = 3h h H

h

h

b b

B

x 2y = B2H + 2(h2b) = B2H + 6h3

x 2y = b2h Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

x 2y = h2b

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO. EXTENSIÓN VALENCIA. 190 INGENIERÍA CIVIL (42). CONCRETO ARMADO II. B

b

B H

b

h

b

h

b

H h

(b < h)

(b > h)

(B > H)

(B < H)

x 2y = BH2 + b2h

H

x 2y = B2H + 2(bh 2)

B

(b > h) (B < H)

x 2y = B2H + bh2

La Norma COVENÍN-MINDUR 1753, establece que para miembros con sección rectangular con o sin alas, la sumatoria (

x 2y ) se extenderá a los rectángulos componentes de la sección,

pero los anchos de los salientes del ala utilizados en el diseño no excederán de tres (3) veces su espesor. 7.4.2.- Cálculo del Acero Longitudinal ( Al) : El área requerida de las barras

longitudinales (A l) distribuídas en el perímetro de los estribos cerrados, será el mayor de los valores calculados por las expresiones siguientes : A = 2 At * ( x1 + y1 ) S A = [ 28*S*bw * ( Tu ) - 2 At ] * ( x1 + y1 ) Fy Tu + Vu S 3Ct

Pero NO necesita ser mayor a :

A = [ 28*S*bw * ( Tu ) - 3.5 bw*S ] * ( x1 + y1 ) Fy Tu + Vu Fy S 3Ct

7.4.3.- Ejemplo de Diseño de Viga sometida a Torsión : A continuación se ilustrarán dos

(2) ejemplos de diseño de viga sometida a torsión, tomando como dato base en las características de los materiales los valores de f'c = 210 Kg/cm2 (Para el concreto) y Fy = 4200 Kg/cm2 (Para el acero).



Ejemplo Nº 1 : Diseñar la viga del eje " C " que soporta un volado, si su sección transversal es de 0.35 x 0.60. A

B

C

5.50

5.50

h =0.60

1.80

3

bw =0.35

Secc. Transversal 0 0 . 7

A S O L

2

0 0 . 7

PLANTA 1

Reacciones

LOSA

por

C/Nervio (1 m)

1837.5 Kg

6125 Kg

3675 Kg

de Losa (Pu) R.1.- Se determina la torsión producida por el volado, cuya carga o reacción es de 3675 Kg : 3675 Kg

En la secc. Transversal : Pu = 3675 Kg Torsión producida : tu = 3675 Kg * 0.175 m = 643.13 Kg*m / ml Torsión en los apoyos externos de la viga : Tu(1,3) = 1688.22 Kg*m Torsión en el apoyo interno de la viga : Tu(2) = 5627.39 Kg*m 0.175



1

2

3

7.00

7.00 Tu = 643.13 (Kg/m)

Torsión en los a o os : 1688.22 Kg

VIGA " C "

5627.39 Kg

1688.22 Kg

Se analizará la torsión más desfavorable, que es en el apoyo central Tu(2) = 5627.39 Kg*m 2.- Condición : Tu > Ø * ( 0.13 √f'c * ∑ x2y ) (Si cumple, hay que considerar torsión) x 2y = b2h = 352 * 60 = 73500 cm3

Ø = 0.85 h

f'c = 210 Kg/cm2 Tu > 0.85 * (0.13 √ 210 * 73500)

b

Tu > 117695.34 Kg*cm = 1176.95 Kg*m Como : Tu (5627.39) > 1176.95 ⇒ Se debe considerar la torsión.

x 2y = b2h

3.- Se determina la capacidad del concreto de resistir torsión : Tc =

Donde : Ct = bw * d = 35cm * 55cm = 0.0262 cm ∑ x2y 73500 cm3

0.21 * f'c * x 2y 2 1 +

Tc =

0.4 Vu Ct * Tu

Vu : Para determinar el corte mayorado (Vu) : qu = 3675 + (2500Kg/m3 * 0.35m * 0.60m) = 4200 (Kg/m)

0.21 * √210 * 73500 cm3 1+

0.4 *18375 Kg 0.0262 cm-1 * 562739 K *cm

Tc = 200179.16 Kg*cm = 2001.79 Kg*m

2

1

2 qu = 4200 (Kg/m)

Vu (1) = 11025 Kg


7.00

Vu (2) = 18375 Kg


4.- Se determina la capacidad del acero de refuerzo de resistir torsión :

Ts = At * t * x1 * y1 * Fy S

x1 + y1 = 30 + 55 = 21.25 cm = 20 cm (La menor) 4 4

S≤

30 cm

Se asumen estribos Ø 3/8" ⇒ (At = 0.71 cm2) Fy = 4200 Kg/cm2

αt = 0.66 + 0.33 y1 = 0.66 + 0.33 * 55 = 1.265 ≤ 1.50 x1 30 Ts = 0.71cm2 * 1.265 *30cm * 50cm * 4200 Kg/cm2 = 282917.25 Kg*cm 20 cm Ts = 2829.17 Kg*m

(Siempre y cuando : Ts

4Tc) ⇒ 2829.17 ≤ 4*2001.79 Kg*m O.K

5.- Se verifican las condiciones de diseño : Tu

Siendo : Tn = Tc + Ts = 2001.79 + 2829.17 ⇒ Tn = 4830.96 Kg*m

Ø * Tn .

Tu ≤ 0.85 * 4830.96 ⇒ Tu (5627.39 Kg*m) ≤ 4106.32 Kg*m (NO CUMPLE) En este caso se modifican (Tc) y/o (Ts) de manera tal de satisfacer las condiciones de diseño. Trabajando en la condición límite, se modificará la separación de estribos en función de la torsión existente en la sección : Si : Tu ≤ Ø * Tn ⇒ 5627.96 ≤ Ø*Tn ⇒ 5627.96 / 0.85 ≤ Tn ⇒ Tn

6621.13 Kg*m.

Siendo : Tn = Tc + Ts ⇒ 6621.13 = 2001.79 + Ts ⇒ Ts ≥ 4619.34 Kg*m Ts = At * t * x1 * y1 * Fy ⇒ 461934 Kg*cm = 0.71cm2*1.265*30cm*50cm*4200 Kg/cm2 S

S

S ≤ 12.25 cm ⇒ Se adopta como separación de estribos : S = 12 cm. 6.- Cálculo del Acero Longitudinal (A l) . Se determina según las ecuaciones dadas por :



A = 2 At * ( x1 + y1 ) S

(Ec. 1)

A = [ 28*S*bw * ( Tu ) - 2 At ] * ( x1 + y1 ) Fy Tu + Vu S 3Ct

(Ec.2)

Pero NO necesita ser mayor a : A = [ 28*S*bw * ( Tu ) - 3.5 bw*S ] * ( x1 + y1 ) Fy Tu + Vu Fy S 3Ct

(Ec.3)

(Ec. 1) : Al = 2 *0.71 cm2 * ( 30cm + 55cm ) ⇒ Al = 10.06 cm2 12cm (Ec. 2) : Al = [ 28*12cm*35cm * ( 562796 Kg*cm ) - 2 *0.71cm2 ] * ( 30cm + 55cm) 4200Kg/cm2 562796Kg*cm + 18375 Kg 12 cm 3*0.0262 cm -1 Al = 3.95 cm2 Se escoge el valor de la (Ec. 1) ⇒ A = 10.06 cm2 . Por ser el mayor, y NO es necesario calcular el valor de la (Ec. 3). Por lo tanto el acero longitudinal ( A l ) será : 10.06 cm2 : Opción ⇒ 8 Ø 1/2" (10.16 cm2) 7.- La distribución del acero de refuerzo será :

8 Ø 1/2" (Refuerzo por Torsión) (Refuerzo por Flexión)

0.60

0.35

Secc. Transversal



Ejemplo Nº 2 : Diseñar la viga mostrada, con los datos indicados : 0.10 7.00 Pu = 5500 Kg h =0.60

VIGA h1 = 0.20 bw =0.35

0.15

Secc. Transversal

R.1.- Se determina la torsión producida por la carga o reacción Pu = 5500 Kg : 5500 Kg

En la secc. Transversal : Pu = 5500 Kg Torsión producida : tu = 5500 Kg * 0.275 m = 1512.50 Kg*m / ml Torsión en los apoyos de la viga : Tu(Ap) = 5293.75 Kg*m 7.00

0.275

Torsión en los a o os :

tu = 1512.50 (Kg/m)

Tu = 5293.75 Kg

VIGA Tu = 5293.75 Kg

Se analizará la torsión en los apoyos Tu(Ap) = 5293.75 Kg*m 2.- Condición : Tu > Ø * ( 0.13 √f'c * ∑ x2y ) (Si cumple, hay que considerar torsión) x 2y = b12 h + b22 h1 = (352 * 60) + (15 2 * 20) = 78000 cm3

Ø = 0.85 h

f'c = 210 Kg/cm2

h1

Tu > 0.85 * (0.13 √ 210 * 78000) b1

x 2y = b2h

b2

Tu > 124901.18 Kg*cm = 1249.01 Kg*m Como : Tu (5293.75) > 1249.01 ⇒ Se debe considerar la torsión. Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


3.- Se determina la capacidad del concreto de resistir torsión :

Tc =

Donde : Ct = bw * d = 35cm * 55cm = 0.0247 cm ∑ x2y 78000 cm3

0.21 * f'c * x 2y 2 1 +

Tc =

0.4 Vu Ct * Tu

Vu : Para determinar el corte mayorado (Vu) : qu = 5500 + (2500Kg/m3 * 0.35m * 0.60m) = 6025 (Kg/m)

0.21 * √210 * 78000 cm3 1+

0.4 *21087.5 Kg 0.0247 cm-1 * 529375 K *cm

2 qu = 6025 (Kg/m)

Tc = 199466.05 Kg*cm = 1994.66 Kg*m

Vu (1) = 21087.5 Kg

7.00

Vu (2) = 21087.5 Kg

4.- Se determina la capacidad del acero de refuerzo de resistir torsión :

Ts = At * t * x1 * y1 * Fy S

S≤

x1 + y1 = 30 + 55 = 21.25 cm = 20 cm (La menor) 4 4 30 cm

Se asumen estribos Ø 3/8" ⇒ (At = 0.71 cm2) Fy = 4200 Kg/cm2

αt = 0.66 + 0.33 y1 = 0.66 + 0.33 * 55 = 1.265 ≤ 1.50 x1 30 Ts = 0.71cm2 * 1.265 *30cm * 50cm * 4200 Kg/cm2 = 282917.25 Kg*cm 20 cm Ts = 2829.17 Kg*m

(Siempre y cuando : Ts

4Tc) ⇒ 2829.17 ≤ 4*1994.66 Kg*m O.K

5.- Se verifican las condiciones de diseño : Tu

Ø * Tn .

Siendo : Tn = Tc + Ts = 1994.66 + 2829.17 ⇒ Tn = 4823.83 Kg*m

Tu ≤ 0.85 * 4823.83 ⇒ Tu (5293.75 Kg*m) ≤ 4100.26 Kg*m (NO CUMPLE) Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


En este caso se modifican (Tc) y/o (Ts) de manera tal de satisfacer las condiciones de diseño al igual que en el ejemplo anterior. Trabajando en la condición límite, se modificará la separación de estribos en función de la torsión existente en la sección : Si : Tu ≤ Ø * Tn ⇒ 5293.75 ≤ Ø*Tn ⇒ 5293.75 / 0.85 ≤ Tn ⇒ Tn

6227.94 Kg*m.

Siendo : Tn = Tc + Ts ⇒ 6227.94 = 1994.66 + Ts ⇒ Ts ≥ 4233.28 Kg*m Ts = At * t * x1 * y1 * Fy ⇒ 423328 Kg*cm = 0.71cm2*1.265*30cm*50cm*4200 Kg/cm2 S

S

S ≤ 13.37 cm ⇒ Se adopta como separación de estribos : S = 13 cm. 6.- Cálculo del Acero Longitudinal (A l) . Se determina según las ecuaciones dadas por : (Ec. 1) : Al = 2 *0.71 cm2 * ( 30cm + 55cm ) ⇒ Al = 9.28 cm2 13cm (Ec. 2) : Al = [ 28*13cm*35cm * ( 529375 Kg*cm ) - 2 *0.71cm2 ] * ( 30cm + 55cm) 4200Kg/cm2 529375Kg*cm + 21087.5 Kg 13 cm 3*0.0247 cm -1 Al = 3.61 cm2 Se escoge el valor de la (Ec. 1) ⇒ A = 9.28 cm2 . Por ser el mayor. Por lo tanto el acero longitudinal ( A l ) será : 9.28 cm2 : Opción ⇒ 8 Ø 1/2" (10.16 cm2) 7.- La distribución del acero de refuerzo será : 10 Ø 1/2" (Refuerzo por Torsión) (Refuerzo por Flexión)

0.60

0.20

Secc. Transversal 0.35

0.15



7.5.- RESISTENCIA A LA TORSIÓN EN ELEMENTOS TIPO MÉNSULAS :

Las Ménsulas son elementos estructurales de amplia difusión y que son utilizados dependiendo de las características de los elementos que soportan y del material que estén hechas, ya que pueden ser de planchas ancladas de acero o de concreto reforzado. Las ménsulas; por ser elementos que sirven de soporte, ayudan significativamente a resistir los esfuerzos cortantes. En el cálculo y diseño de ménsulas los aspectos más importantes a destacar son :

•

Dimensionado de la ménsula.

•

Diseño del refuerzo metálico.

•

Diseño de la plancha de apoyo.

El diseño de ménsulas de concreto armado se rige por las disposiciones contenidas en el capítulo 11.8. DISPOSICIONES ESPECIALES PARA MÉNSULAS , de las Normas COVENÍNMINDUR 1753. Estas disposiciones son : 11.8.1.- La relación (Luz de corte / espesor) (a/d), será menor o igual a uno (1). Siendo la luz de corte medida desde la cara del apoyo. 11.8.2.- La altura de la ménsula en su borde externo será igual o mayor que la mitad en su borde interno. 7.5.1.- Consideraciones de Diseño para el Dimensionado de Ménsulas : V

a

N ≤ V (1).- a/d

1

(11.8.1.) (d ≈ 50 - 60 cm)

(2).- d1

d/2

(11.8.2.)

N

c

d1 = h1

v (3).-

d

Fig. 7.5.1. (Ménsula Típica)


≥ 5 cms

(Recomendación)


a ≈ (2/3) c

(4).- c = (2.5 cm + 10cm) + Lp (5).- bm = Anch o de Vig a (bviga)

c

d1

a : En elementos sometidos a esfuerzos cortantes

d

(bien sea flectores, torsionales, etc.), se recomienda ubicar el pto., de aplicación de la fuerza ( V ), a (2/3) partes de la dimensión perpendicular ( ⊥ ) a la fuerza

CORTE

≥ 2.5 cm

Lp

de la sección analizada. ≈ 10 cm

Fig. 7.5.1.1. (Diseño de Ménsulas)

m c ) n í 5 . m 2 (

bp = bm - 5.0 cm

bm m c ) n í 5 . m 2 (

PLANTA

7.5.2.- Consideraci ones para el Diseño d el Refuerzo Metálico en Ménsulas : (1).- La secc. crítica se diseña para resistir :

a Vu

Esfuerzos : Corte

h

Tracción

Vu + [ Vu*a + Nuc (h-d) ] + Nuc

Nuc

d

Momento torsor

(2).- Factor de minoración : Ø = 0.85 (3).- Resistencia al Corte asignada al concreto : 0.2*f'c*bw*d

Secc. Crítica Fig. 7.5.2. (Diseño del Refuerzo)

Concretos Normales

Vn 56*bw*d

(0.2 - 0.07 ª/d) *f'c*bw*d Concretos Livianos ⇒ Vn ≤

(56 - 20 ª/d)*bw*d Donde : bw * d = Área de concreto. (Se toma Vn LA MENOR). Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


(4).- Armadura para resistir Corte (Avf) : La armadura para resistir corte, se calculará en

función de la resistencia nominal al corte dada por la fórmula Vu ≤ Ø * Vn , teniendo en cuenta que el diseño de la armadura de corte por fricción viene dado por la expresión : Vn = Avf * Fy *

( : Coeficiente de fricción ) (

: Factor de Corrección)

CONDICIONES

Tipo de Concreto

Concreto vaciado monolíticamente

1.4*l

Concreto vaciado sobre concreto endurecido (Rugoso)

1.0*l

Concreto vaciado sobre concreto endurecido (Liso)

0.6*l

Liviano con Arena

0.85

Concreto anclado a acero estructural

1.4*l

Totalmente Liviano

0.75

Con Agregado normal

1.00

Con Agregado Liviano

(Tabla 7.5.2.4.) (5).- Armadura para resistir Momento Torsor (Af) : La armadura para resistir momento

torsor, se calculará en función de los esfuerzos que actúan en la sección crítica (Fig.7.5.2.), que viene dado por la expresión : Mu = Vu *a + Nu*(h-d)

Y la armadura necesaria (Af) se determina según la expresión para el cálculo de elementos sometidos a momento flector dado por la fórmula : Mu = Ø*As*Fy*ju*d . Despejando As : As = Mu / (Ø*Fy*ju*d) Y como Af = As ⇒ Af = Mu / (Ø*Fy*j u*d)

( Ø = 0.90 Flexión) ( ju ≈ 0.90 )

(6).- Armadura (An) para resistir Tracción (Nuc) : La armadura requerida para resistir los

esfuerzos de tracción, se calculará según la expresión : Nuc Ø*An*Fy ,

Donde :

Nuc ≥ 0.2*Vu



(7).- Armadura Ppal. (De Flexión Traccionada) (As) : Deberá satisfacer los siguientes

requerimientos : Af + An

Pero debe satisfacer la Cuantía Geométrica expresada por :

2 Avf + An 3

ρ = As b*d

As

≥ 0.04 * f'c Fy

7.5.3.- Consi deracio nes para el Diseño d e la Plancha de Apoyo en Ménsul as :

Datos de Plancha : fn ≤ 56 Kg/cm2 (Esf. Normal Tracc.)

V

G ≤10 Kg/cm2 (Esf. Corte)

Δt = 20 (Adimensional)

N

(1).- Se halla bp : bp = b v - 5.0 cm (2).- Se halla Lp : Lp = V bp*fn CORTE

fh : Esfuerzo Tangencial : fh = N bp*Lp ≥ 2.5 cm

Lp

⇒ N = 0.2*V

≈ 10 cm

Siempre que : fh 0.5*G.

m c ) n í 5 . m 2 (

Si no cumple : Lp ≥ N bp*0.5G

bp = bm - 5.0 cm

bm

(3).- Se halla espesor de la Plancha : t = 0.0008*Lviga

m c ) n í 5 . m 2 (

(4).- Se verifica (t) : ΔL1 = 0.0000143 Δt*Lviga

PLANTA

ΔL2 = (t / G) * fh

Fig. 7.5.3. (Diseño de Plancha de Apoyo)

Siempre que : t ≥ 2ΔL (5).- Seleccionar nº de láminas (n) .

(6).- Se calcula el factor de forma ( ff ) : ff = bp * Lp * (n + 1) (bp + Lp)*t (7).- Se chequea ( ff ) : ff > 3 (Si no chequea, se debe aumentar el nº de láminas (n), y/o

modificar las dimensiones de la plancha). Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

El mayor


A continuación se ilustrará un ejemplo de diseño de ménsula : Ejemplo Nº 3 : Diseñar la ménsula mostrada, que sirve de apoyo a una viga que ejerce una reacción de 18.00 Ton. a

V = 18000 Kg DATOS : V = 18000 Kg. Ancho de Viga : bv = 0.35 m c

d1

d

Long. Viga : L viga = 7.00 m Concreto : f'c = 210 Kg/cm2 Acero : Fy = 4200 Kg/cm2 DATOS DE LA PLANCHA DE APOYO :

CORTE

Esf. Normal Tracc.: fn = 56 Kg/cm2 Esf. Corte: G =10 Kg/cm2

Lp

bv

Δt = 20

bp

PLANTA

I.- Diseño de la Plancha de Apoyo : Se aplicará lo expuesto en el aparte 7.5.3.-

Consideraciones para el Diseño de la Plancha de Apoyo en Ménsulas. (1).- Base de la Plancha: bp = b v - 5.0 cm = 35cm - 5.0 cm ⇒ bp = 30 cm. (2).- Largo de la Plancha : Lp = V = 18000 Kg = 10.71 cm ≈ 12 cm ⇒ Lp = 12 cm. bp*fn 30cm * 56 Kg/cm2

Chequeo : (fh ≤ 0.5G)

fh = N = 0.2*18000 Kg = 10 Kg/cm2 bp*Lp 30cm * 12cm

fh ≤ 0.5* 10 Kg/cm2 ⇒ fh (10 Kg/cm2) ≤ 5 Kg/cm2 (NO CUMPLE) Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380


Si no cumple : Lp ≥

N bp*0.5G

≥

≥ 24 cm 0.2*18000 Kg 30cm * 0.5*10 Kg/cm2

Se adopta : Lp = 25 cm Luego : fh = N bp*Lp

= 0.2*18000 Kg = 4.80 Kg/cm2 (Nuevo valor de fh ). 30cm * 25cm

fh ≤ 0.5* 10 Kg/cm2 ⇒ fh (4.80 Kg/cm2) ≤ 5 Kg/cm2 (SI CUMPLE) (3).- Se halla espesor de la Plancha : t = 0.0008*Lviga = 0.0008 * 7000 mm = 5.60 mm

Se adopta : t = 12 mm (Medida comercial). (4).- Se verifica (t) : ΔL1 = 0.0000143 Δt*Lviga = 0.0000143*20*7000 mm = 2.00 mm

ΔL2 = (t / G) * fh = ( 12mm / 10 Kg/cm2) * 4.80 Kg/cm2 = 5.76 mm (El mayor) Siempre que : t ≥ 2ΔL ⇒ t ≥ 2*5.76 mm ⇒ t (12 mm) ≥ 11.52 mm

(O.K.)

(5).- Se selecciona nº de láminas de la plancha (n) : se asume n = 0 (Para NO agregar mas

láminas). (6).- Se calcula el factor de forma ( ff ) : ff = bp * Lp * (n + 1) = 30cm * 25cm * (0 + 1) (bp + Lp)*t (30cm + 25cm)*1.20cm

ff = 11.36 (7).- Se chequea ( ff ) : ff > 3

⇒

ff (11.36) > 3 (O.K.)

Por lo tanto las dimensiones de la Plancha de Apoyo serán :

Largo : Lp = 25 cm. Ancho : bp = 30 cm. Espesor : t = 12.0 mm.

II.- Dimensionado de la Ménsula : Aplicando la teoría respectiva a 7.5.1.-

Consideraciones de Diseño para el Dimensionado de Ménsulas : v (1).- a/d

1

(2).- d1

d/2

≥ 5 cms

(Se escoge d ≈ 60 cm) (3).-


(Recomendación)


≈

=

(4).- c = (2.5 cm + 10cm) + Lp = 12.5cm + 25cm

V = 18000 Kg

= 37.50 cm. Se adopta c = 40 cm. (5).- bm = Anch o de Vig a (bviga) = 30 cm.

c = 40cm

d =h = 6 0cm

d1 = 30cm a = (2/3) c = (2/3)*40cm = 26.67 cm ⇒ a = 30 cm Con : d = 60 cm. Se chequea que : a/d

2.50cm

Lp = 25cm

1

(30cm/60cm) ≤ 1 ⇒ 0.50 ≤ 1 (O.K.)

12.50cm

Luego : d1

d/2 ⇒ d1 ≤ 60/2 ⇒ d1

30 cm

bv = bm = 30cm

III.- Diseño del Refuerzo Metálico : Aplicando el punto 7.5.2.- Consideraciones para el

Diseño del Refuerzo Metálico en Ménsulas . (1).- La secc. crítica se diseña para resistir :

30cm Vu =18000 Kg

Esfuerzos : Corte Nu = 0.2Vu

55cm

60cm

Momento torsor

Tracción

Vu + [ Vu*a + Nuc (h-d) ] + Nuc (2).- Factor de minoración : Ø = 0.85 (3).- Resistencia al Corte asignada al concreto :

Secc. Crítica

0.2*f'c*bw*d Concretos Normales

Vn 56*bw*d

III.1.- Diseño a Corte : Se determina la armadura (Avf) con la expresión : Vn = Avf * Fy *

Se obtienen los valores (

⇒ Avf = Vn / (Fy * )

: Coeficiente de fricción ) y (

Tabla 7.5.2.4. ⇒ ( m = 1.4 l) y (l = 1.00). Ing. Jesús Monagas Márquez C.I.V.: 92.380

: Factor de Corrección). De la


Como : Vu ≤ Ø*Vn. (Ø = 0.85 )

(F.M. ≈ 1.50 Fact. Mayoración)

Vu = V * F.M.

Vu = 18000 Kg * 1.50 ⇒ Vu = 27000 Kg.

27000 Kg ≤ (0.85) *Vn ⇒ Vn = 31765 Kg Chequeando : Vn ≤ 0.2*f'c*bw*d = 0.2 * 210Kg/cm2 * 30cm * 55cm = 69300 Kg Vn ≤ 56*bw*d = 56 * 30cm * 55cm

= 92400 Kg

En cualquier caso Vn (31765 Kg) es menor que los valores dados por las expresiones. Luego : Avf = 31765 Kg / (4200 Kg/cm2 * 1.40) ⇒ Avf = 5.40cm2 Se escogen estribos cerrados (2 ramas) de Ø = 3/8" (As =0.71 cm2). Por lo tanto : 5.40 cm2 / (2*0.71cm2) = 3.80 ⇒ 4 Estri bos c errados de Ø 3/8" (Avf = 5.68 cm2) . III.2.- Diseño a Momento Torsor : Se determinará la armadura para resistir momento torsor (Af), según la expresión dada por la fórmula : Af = Mu / (Ø*Fy*ju*d ) , con (Ø = 0.9 y ju = 0.90) pero teniendo en cuenta que el momento en la sección se determina por : Mu = Vu *a + Nu*(h-d) Vu = 2700 Kg .

a = 30 cm.

h = 60cm.

d = 55cm.

Nu = 0.2Vu = 0.2*27000Kg = 5400 Kg Mu = 27000Kg * 0.30m + 5400Kg * (0.60m - 0.55m) ⇒ Mu = 8370 Kg*m Af = 8370 Kg*m / (0.9 * 4200 Kg/cm2 * 0.9 * 0.55m) ⇒ Af = 4.47 cm2 Escogiendo barras de Ø = 1/2" como refuerzo, tendremos : 4.47 cm2 / 1.27 cm2 =3.52 ⇒ 4 Barras de Ø 1/2" (Af = 5.08 cm2) . III.3.- Diseño a Tracción : Para calcular la armadura (An) para resistir tracción (Nu), procedemos con la expresión : Nuc Ø*An*Fy ,

Donde :

Nuc ≥ 0.2*Vu

An ≥ Nuc / Ø*Fy = 0.2 * 27000Kg / (0.85 * 4200 Kg/cm2) ⇒ An ≥ 1.51 cm2 Se escoge ⇒ 3 Ø 3/8" (2.13 cm2).

III.4.- Armadura Ppal. De Flexión Traccionada (As) : Deberá satisfacer los siguientes requerimientos :


Concreto Armado II Iupsm

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