Introducción
El calor es una forma de energía que se puede transferir de un sistema a otro como resultado de una diferencia de temperaturas. Un análisis termodinámico se interesa en la cantidad de transferencia de calor conforme un sistema pasa por un proceso, de un estado de equilibrio a otro. La transferencia de energía como calor siempre se produce del medio que tiene la temperatura más elevada hacia el de temperatura más baja, y la transferencia de calor se detiene cuando los dos medios alcanzan la misma temperatura. El calor se puede transferir en tres modos diferentes: conducción, convección y radiación. La conducción térmica de distintos materiales depende de sus propiedades atómicas o internas. En este caso, el modelo que describe la transferencia de calor, no es más que la ley de Fourier: Q kA
dT dx
(1)
Donde x es la dirección en la cual se quiere calcular el flujo, k es la conductividad térmica y A el área de transferencia. Cuando la conductividad térmica NO es constante, y toma el valor de: k a bT la ecuación queda expresada de la siguiente manera: Q (a bT ) A
dT dx
(2)
La ecuación anterior, se resuelve mediante el método de separación de variables llegando a la ecuación de flujo de calor con términos conocidos:
Q A
a bT
dT dx
(2.1)
En el primer miembro de la ecuación se encuentra todo lo relacionado a la posición, mientras que en el segundo todo lo relacionado a la temperatura:
Q
dx (a bT )dT
A
(2.3)
El siguiente paso es integrar en ambos miembros poniendo límites conocidos en cada integral:
Q
T 2
L
dx adT bTdT
A 0
(3)
T 1
De la integración en ambos miembros, se obtiene:
Q A
L
2
T 2
T
1
2
x 0 aT T b
T 2
(3.1)
T 1
Evaluando los límites en cada miembro, se llega a la siguiente ecuación: Q
b
A
2
L aT 2 T 1
T
2 2
T 12
(3.2)
Por último, se despeja el flujo de calor (Q):
Q
Q
A
b
L
2
aT 2 T 1
A
b
L
2
aT 1T 2
T
2 2
T 12
(T 12 T 22 )
(4)
La ecuación 4 describe el flujo de calor, pero lo que ahora se requiere es conocer la función que describe la temperatura del sistema T(x). Por lo cual de la ecuación de Fourier (flujo de calor por conducción) (1), se sustituirá la conductividad térmica (k) por la siguiente ecuación (5). Q kA k a bT
Quedando de la siguiente manera:
dT dx
(5)
Q (a bT ) A
dT dx
(2)
De la ecuación anterior se pasa la A (área) al primer miembro dividiendo al flujo calor, por lo tanto, podemos pasar el signo negativo de la misma manera para poder integrar el segundo miembro y se obtiene la siguiente ecuación:
Q A
(a bT )
dT dx
(2.1)
Integrando con límites ambas partes de la igualdad; el primer miembro se integra con límites de 0 a x y el segundo miembro se integra con límites de T 1 (temperatura conocida) a T (temperatura desconocida) por lo que los diferenciales de integración corresponden a las variables a integrar. x
0
Q A
T
dx (a bT )dT
(2.1.1)
T 1
De la ecuación anterior al primer miembro se le aplica la integral y al ser Q y A constantes salen de la integral, lo único que se integra es dx, la d se elimina con la integral quedando x a la cual se le aplica los límites de 0 a x; al ser una suma el segundo miembro se integrará de la misma manera sacando de la integral las constantes y se resuelve la integral.
Q A
( x ) x 0
Q A
T
x
adT bTdT
(2.1.2)
T 1
Se aplican los límites correspondientes
Q A
x aT
Se resuelven los límites.
T T 1
b
T
2
2
T T T 1
(2.1.3)
Q A
b
x a(T T 1)
2
(T 2 T 12 )
(2.1.4)
Para encontrar una ecuación en función a la T, se usa la ecuación de flujo de calor para k≠ constante. Q
Q A
A
b
L
2
a(T 1 T 2)
(T 12 T 2 2 )
(6)
1 b 2 2 ( 1 2 ) 1 2 a T T T T 2 L
De la ecuación (4) se van a sustituir valores en
Q A
(6.1)
en la ecuación (6.1)
Se obtiene la siguiente ecuación.
1
b
L
2
a(T 1 T 2)
a(T T 1)
b
2
(T 12 T 2 2 ) x a(T T 1)
(T 2 T 12 )
x
b
L
2
a(T 1 T 2)
b
2
(T 2 T 12 )
(T 12 T 2 2 ) 0
(7)
(7.1)
Se tiene una ecuación que tiene a forma de la siguiente manera ax 2 +bx+c=0 b 2 x b 2 2 2 T T 1 aT aT 1 a(T 1 T 2) (T 1 T 2 ) 0 2 2 2 L
b
(8)
Se reducen términos. b x b T 2 aT T 12 aT 1 a(T 1 T 2) (T 12 T 2 2 ) 0 2 2 2 L
b
Para resolver la ecuación anterior se utiliza la fórmula general.
(8.1)
b 4ac 2
x b
2a
(9)
De los datos obtenidos de la forma ax 2 +bx+c=0 se identifican para poder sustituir en la ecuación general como se muestra a continuación. b2 a2
b b x b 4ac 4 T 12 aT 1 a(T 1 T 2) (T 12 T 2 2 ) L 2 2 2
b 2a 2 b 2
Se sustituyen los datos obtenidos conforme a la ecuación general y se obtiene la siguiente ecuación que corresponde a la solución de la variable T(temperatura).
T a
4 x 2 b a 2b 2bT 12 4aT 1 a(T 1 T 2) (T 12 T 2 2 ) 2 L b
(10)
Se obtiene la temperatura en función de la posición como se muestra a continuación: 1
b 4 x 2 a a 2 2b 2bT 12 4aT 1 a(T 1 T 2) (T 12 T 2 2 ) L 2 T ( x) (10.1) b
Aplicación Ejemplo 1
a) Derive una expresión para la pérdida de calor por m 2 del área de la superficie de una pared del horno. Cuando la conductividad térmica varía con la temperatura según la relación: k a bt 2 W/m°C donde t esta en °C
b) Encuentra la tasa de transferencia de calor a través de la pared, si L= 0.2m, t1=300°C. t 2= 30°C, a= 0.3 y b= 5 X 10 -6.
Solución: a) La tasa de transferencia de calor a través de la pared por m 2 está dada por:
q t 2
km (T1 T 2 )
1 Donde km k .dT , y k = f(T) (T1 T 2 ) t 1
t 2
=
1 (a bT 2 )dT (T1 T 2 ) t 1
T 2
3 bT 1 = aT 3 (T1 T 2 ) T
1
=
b 3 1 3 a ( T T ) ( T T ) 2 1 2 1 (T1 T 2 ) 3
L
=
1 b 2 T2 T1 a (T22 TT 1 2 T1 ) (T1 T 2 ) 3
b 2 = a T12 TT 1 2 T2 3
Al sustituir el valor de k m en la ecuación de transferencia de calor obtenemos la siguiente:
q a
b
T 3
2 1
2 T1 T 2 T TT 1 2 2 L
m2
b) Tasa de transferencia por Usando los siguientes datos de la
pared: L= 0.2m; t 1=300°C. t 2=
30°C, a= 0.3 y b= 5 X 10 -6. 30°C 300°C
0.2m
Figura 1. Pared de ejemplo Sustituyendo estos valores en la ecuación obtenida anteriormente, se tiene:
(300 30) 5 X 10 6 (300 2 300 X 30 30 2 ) q 0.3 3 0.2 5 X 10 6 = 0.3 X 99900 X 1350 629.77W / m 2 3
Por lo tanto, la tasa de transferencia por m 2 a través de la pared es: 629.77 W/m2
Bibliografía
1.- Cengel, Y. A.; Boles, M.A.: Transferencia de Calor y Masa. Mc Graw-Hill, 2007.
