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INSTITUCION EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR Santiago de Cali. CONFERENCIA Y TALLER DE CALCULO LA PARABOLA NOMBRE: CURSO: No: FECHA: 1. LA PARABOLA Una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo que se denomina foco.
Parábola que abre hacia arriba Vértice en (h, k) Foco (h, k+p) Directriz y = k - p (x – (x – h) h)2 = 4p(y – 4p(y – k) k) y
Parábola que abre hacia abajo Vértice en (h, k) Foco (h, k-p) Directriz y = k + p (x – (x – h) h)2 = -4p(y – -4p(y – k) k) y x
Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la sección de un cono recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente es más común definir la parábola como un lugar geométrico:
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad. la gravedad. 1. LADO RECTO: Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal. ̅ = p ̅ = 2p entonces ̅ = 2p ̅ = 2P 2. ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICE (0, 0) Si las coordenadas del: √ ( ( − )2 + ( +)2 Vértice son V(0, V(0, 0) Foco (0, p) x 2 + y 2 - 2yp + p2 = y 2 + 2yp + p 2 Punto E (x, y) x 2 = 4py Punto U (x,-p) Vemos que el lado recto es Por distancia entre dos puntos 4p tenemos que: ̅ = ̅ La ecuación de la directriz es y = -p ( − )2 + ( −)2 = √ (
x Parábola que abre hacia arriba Parábola que abre hacia arriba Vértice en (h, k) Vértice en (h, k) Foco (h-p, k) Foco (h+p, k) Directriz x=k-p Directriz x = k + p 2 2 (y – (y – h) h) = 4p(x – 4p(x – k) k) (y – (y – h) h) =- 4p(x – 4p(x – k) k) 4. APLICACIONES. APLICACIONES. La importancia de la parábola radica en las aplicaciones a la vida practica y de objetos que usualmente conocemos. Tales LAMPARA FOCAL. La parábola refleja sobre el f oco los rayos paralelos al eje. Análogamente, Análogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.
ANTENA PARABOLICA. PARABOLICA. Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.
PANELES DE ENERGIA SOLAR. Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.
Dicha parábola abre hacia arriba
También podemos expresar la ecuación de la parábola de la forma: y= 4 Si la parábola tiene Foco (0,-p) Vértice en (0, 0) Directriz en y = p. Según el grafico y aplicando la ecuación, tendremos:
FOCOS DE LOS AUTOMOVILES.
x 2 =
- 4py
y =-
4
Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se sitúa en el foco de una superficie parabólica.
Para cuando la cuando la parábola abre hacia hacia la izquierda o a la derecha:
5. ECUACION GENERAL. La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma . La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma
y 2 = - 4px
y 2 = + 4px
3. ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICE (h, k) Si el vértice de la parábola, lo colocamos o mejor lo corremos a coordenadas diferentes de (0, 0), tal que sean (h, k). La nuevas ecuaciones de las parábolas serán: Las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación.
. 6. PROBLEMAS RESUELTOS. 1. Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. 6y2 – 12X – 12X = 0, Transformando la ecuación nos queda y 2 = 2x
1 El lado recto 4p = 2, por lo tanto p = 2
1 1 Foco ( , 0). Directriz x = 2 2 2. 2y2 + 7x = 0 Simplificando la expresión. 2y 2 = - 7x 7 y2 = - x 2 7 7 El lado recto es 4p = entonces p = 2 8 7 7 Foco (- , 0) Directriz x = 8 8
2
EJERCICIOS. Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes 1. parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. Graficar. 1. 6x2 – 18y = 0 2. 3x2 – 12y = 0 3. X2 + 4y = 0 4. 15x2 = -42y 5. 3y2 + 6x = 0 6. 2y2 – 15x = 0 7. 4y2 + 18x = 0 8. 5y2 – 12x = 0 2. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
3.
3. Determine la ecuación de la parábola que tiene por directriz x = - 3 y foco (3, 0) La distancia que hay entre la directriz y el foco es 6. Por lo tanto la distancia de la directriz al foco es 2p = 6, p = 3 La parábola abre a la derecha, por la disposición del foco. Lado recto es 4p = 4(3) = 12. La ecuación es y 2 = 12x
1. 2. 3. 4. 5.
4.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
4. De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2). La distancia del vértice al foco es 3. p = 3. Por la disposición del vértice y el foco, la parábola abre hacia arriba. El lado recto es 4p = 4(3) = 12 La ecuación es (x –h)2 = 4p(y – k) (x + 2)2 = 12(y – 2)
Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen: De directriz x = -3/2, de foco (3/2, 0). De directriz x = 3, de foco (-3, 0) De directriz x = 2/3, de foco (-2/3, 0) De directriz x = - 2, de foco (+2, 0) De directriz y = 3, de foco (0, -3) De directriz y = 4, de foco (0, -4) De directriz y = 5, de foco (0, -5) De directriz y = - 5/3, de foco (0, 5/3) Determine las ecuaciones de las siguientes parábolas, determinando el vértice y el lado recto. Graficar. De foco (3, 2), de vértice (5, 2). De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2). De foco (3, 4), de vértice (1, 4). De foco (2, 3), de vértice (2, 6) De foco (-3, 1), y directriz (-3, 5). Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas: y2 – 6y – 8x + 17 = 0 x2 – 2x – 6y – 5 = 0 x2 – 6x – 4y + 1 = 0 y2 + 4y + 5x - 11 = 0 2x2 + 8x + 15y – 37 = 0 4y2 – 12y + 24x + 69 = 0 x2 + 6x – 8y – 15 = 0 4y2 – 4y + 20x + 71 = 0
7. Determine la ecuación de cada una de las parábolas que cumple las siguientes condiciones. Foco, Vértice, Directriz y Grafica. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los 1. puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6). Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: 2. y= 0 y por foco el punto (2, 4). 3. Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a la parábola y 2 = 16 x. Lic. Simeón Cedano Rojas Profesor de la materia. CONFERENCIAPARABOLA.DOC
5. Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas: 4x2 + 12x – 24y + 69 = 0 4x2 + 12x = 24y - 69 9 4(x2 + 3x + ) = 24y – 69 + 9 4 3 3 60 3 5 4(x + )2 = 24y – 60 4(x + )2 = 24(y – ) V(- , ) 2 2 24 2 2 3 60 (x + )2 = 6(y – ) 2 24 3 3 5 3 5 3 4p = 6 p = F (- , + ) Abre hacia arriba. Directriz x = 2 2 2 2 2 2 6. Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a la parábola y2 = 16 x.
