Para determinar un conjunto se puede realizar indicando cada uno de los los elementos: elementos: o indican indican una propiedad propiedad com%n de sus elementos.
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO 4eterminar un conjunto es especificar o se!alar en forma precisa, quienes son los elementos que los conforman.
NTRODUCCIÓN En la vida diaria, observamos a los objetos, cosas e ideas en formas individu individuale ales, s, si quisiér quisiéramo amoss realiz realizar ar un estudi estudioo de objetos objetos que poseen poseen características comunes, o realizar una estadística de ellos, hay la necesidad de agruparlos en conjuntos, ya agrupados podemos analizarlos y reaccionarlos con otros grupos de objetos coleccionados coleccionados también por otras característi características cas comunes. Por ejemplo si queremos estudiar el peso de las personas con relación al peso de los monos, para realizar dicho anlisis, todas las personas estn agrupados en un conjunto así como los monos en otros conjuntos y analizamos sus respectivos elementos.
POR EXTENSIÓN O EN FORMA TABULAR Es cuan cuando do se se!a se!ala la a cada cada uno uno de sus sus elem elemen ento toss del del conj conjun unto to,, enumerndolas o indicndolos en forma sobreentendida. Ejemplos( "as estaciones del a!o. $ * +verano, invierno, primavera, oto!o0 "os días de la semana. 1 * +lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sbado, domingo0
Es decir en la vida y el desarrollo de las disciplinas se agrupa a los objetos en cada momento, ya sea por su forma, tama!o, calidad, especie, territorialidad, etc. "o que desarrollaremos en este capítulo sern dichas agrupaciones. Para ello veamos algunos conceptos bsicos.
"as vocales 2 * +a, e, i, o, u0 "os n%meros cuadrados perfectos mayores que uno y menores que -. 4 * +, -, ;, ), <0
TEORÍA DE CONJUNTOS
"os países sudamericanos E * +Per%, 1olivia, $rgentina, 3, 2hile0
#ntuitivamente se entiende por conjunto, a la agrupación, reunión o colección de objetos reales o ideales, a las cuales se les denomina elementos del conjunto. $ los los conju conjunt ntos os gene genera ralme lment ntee se les les repr repres esen enta ta con con letra letrass may%sculas de nuestro alfabeto y a sus elementos separados por comas y encerrados por signos de agrupación &llaves, corchetes, etc.'
Ejemplos( El conjunto de los ) primeros n%meros n%meros primos $ * +, -, ), , //0 El conjunto de las vocales. 1 * +a, e, i, o, u0 El conjunto de las letras del abecedario. 2 * +a, b, c, d, 3 ,z0 El conjunto de los n%meros primos pares mayor que 4*+0 El conjunto de la 2apital del Per% E * + "#5$0 6bserva que un conjunto puede tener un elemento o ms elementos, como también no puede poseer elementos. RELACIÓN DE PERTENENCIA 7i un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece & ∈' a este conjunto, en caso contrario se dir que no pertenece & ∉' a dicho conjunto. "a relación de pertenencia es una relación e8clusiva de elemento a conjunto. Ejemplos( /. 4ado el conjunto. 5 * +, a, -0 pertenece al conjunto 5 &∈5' a pertenece al conjunto 5 &a∈5' ) no pertenece al conjunto 5 &)∉5' b no pertenece al conjunto 5 &b∉5' .
En el el sigu siguie ient ntee conj conjun unto to.. - ∈ $ +-0 ∈ $ +0 ∉ $ ∈ $ 9 ∉ $ +-, 0 ∈ $ +-, +-00 ∉ $ ++-00 ∉ $ ++0, +-00 ∈ $
$ * +-, +-, +-0, +-0, ), +00 +00 & ' & ' & ' & ' & ' & ' & ' & ' & '
POR COMPRENSIÓN O EN FORMA CONSTRUCTIVA Es cuando se mencionan una o ms características comunes y e8clusivas de los elementos del conjunto. Esquem ( $ * +forma del elemento del conjunto=características de la variable involucrada en el elemento0 Ejemplos! "as estaciones del a!o $ * +8=8 es una estación del a!o0 "os días de la semana 1 * +8=8 es un día de la semana0 El conjunto de las vocales 2 * +8=8 es una vocal0 "os n%meros cuadrados perfectos mayores que uno y menores que - 4 * +8=/>8> ∧ 8 ∈ #?0 "os países de 7udamérica E * +8=8 es un país sudamericano0 N"MERO CARDINAL El n%mero cardinal de un conjunto @$A nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee el conjunto y se denota por @n&$'A. Ejemplos! En el conjunto 5 * +, -, )0 n&5' * En el conjunto 5 * +;, ), , ;, , <0 n&5' * ; P * +/, , -,;, 3 , 990 n&P' * 99 B * +, <, /, C, -C, 3 , 9-C0 n&B' * -C D * +8=8 es una letra del abecedario0 n&D' * 7 * +a, +a0, b, +b0, +a, b00 n&7' * ) * +8=8 es un planeta del sistema solar0 n&' * 9
Nota
7ean los conjuntos F * +, ), -, G, a0 H * +, a, -0 I * +,a0
Los diagramas de VENN-EULER representan a los conjuntos mediante regiones planas por figuras geométricas cerradas. Ejemplos! $ * +/, , ), , /C0
Se o&se%' odo elemento de I es elemento de H entonces I ⊂ H odo elemento de H es elemento de F entonces H ⊂ F 7i &I⊂H' adems &H⊂F' entonces se puede incluir I⊂F
A
.2 .1 .5 .7 .10
D#$%m!
1 * +8=8 es un día de la semana0
.Lunes
.Martes
.Miércoles
. Jueves
.Viernes
.Sábado
." ."
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS INCLUSIÓN 7e dice que un conjunto $ est incluido en el conjunto 1, si solo si todos los elementos de @$A son también elementos del conjunto 1. 7e denota( $ ⊂ 1 7e lee( @$ est incluido en 1A @$ est contenido en 1A @$ es un subconjunto de 1A @1 contiene al conjunto $A D#$%m!
A ⊂ ! ⇔ ( ∀% ∈ A ⇒ % ∈ !) Ejemplos! 4ados los conjuntos $ * +8=8 es una vocal débil0 1 * +8=8 es una vocal0 oda vocal débil es una vocal
.i .u
Si al menos un elemento de dicho conjunto no es elemento común a dicho conjuntos entonces no son iguales.
⇔ ( B ⊂ A) ∧ ( A ⊂ B )
7e define( Ejemplos! /. 7ean los conjuntos $ * +, ;, a, b0 1 * +, , ;, a, b, a, b0 2omo &$ ⊂ 1' ∧ &1 ⊂ $' entonces &$ * 1' . 7ean los conjuntos
1 1 1 1 1 = ' ' ' '(((' 2 ) 12 20 &20 1 N = * % ∈ $ ∧ 1 ≤ % ≤ 20 % ( % + 1) M
.e
-. A!
.o 4ados los conjuntos 5 * +8=8 es una ave0 ? * +8=8 es una gallina0 oda gallina es un ave
2omo &5 ⊂ ?' ∧ &? ⊂ 5' entonces &5 * ?' 7ean los conjuntos definidos en I D * +8=8 ) L 8 * C0 7 * +C, /, M/0 2omo &D ⊂ 7' ∧ &7 ⊂ D' entonces &D * 7'
Nota M N
Dos conjuntos diferentes ! " son compara#les$ cuando s%lo uno de los conjuntos est& incluido en el otro$ es decir$ si' A ⊂ ! + ! ⊂ A( . Ejemplos! /. $ * +;, <, 0 1 * +;, , <, G, /, -0
NM
."
Nota
! A
#
J&I⊂H' ∧ &H⊂F'K ⇒ &I⊂F' I(UALDAD #ntuitivamente dos conjuntos $ y 1 son iguales, cuando estos conjuntos poseen los mismos elementos. 7e denota( $ * 1 7e lee( El conjunto $ es igual al conjunto 1
A = B
!
7e define(
.a
."
$
.Domino
A
X
."
!
&$ ⊂ 1' ∧ &$ ≠ 1' entonces $ y 1 son comparables 5 * +8=8 es un n%mero par0 ? * +8=8 es un n%mero entero0 &5 ⊂ ?' ∧ &? ≠ 5' entonces 5 y ? son comparables DISJUNTOS 4os conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes.
Ejemplos! /. $ * +, -, )0 1 * +;, <, G0 $ y 1 son disjuntos . 2 * +8=8 es un varón0 4 * +8=8 es una mujer0 2 y 4 don disjuntos -. 5 * +8=8 es un n%mero par0 ? * +8=8 es un numero impar0 5 y ? son disjuntos D#$%m!
M
2untas proposiciones son falsas. $ y 1 son disjuntos n&$' T c&1' n&$' * n&1' $ ⊂ 1 $*1 $ y 1 son comparables ;.
N
3333333 3333333 3333333 3333333 3333333 3333333
O
4e un aula de )C alumnos, se observa lo siguiente( $ todos los alumnos que les gusta Ulgebra también les gusta $ritmética $ los que les gusta Ulgebra no les gusta rigonometría "os que gustan de $ritmética y rigonometría son /-. /9 alumnos gustan de rigonometría, pero no de $ritmética. "os que gustan sólo de $ritmética es igual a G. Q2untos alumnos gustan de lgebra si todos al menos prefieren un cursoR Rp,! ./
D#$%m )e C%%ol 7e utiliza para representar conjuntos que son disjuntos.
CLASES DE CONJUNTOS FINITO Vn conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos diferentes, es decir, el proceso de contar sus elementos tiene en el tiempo.
/.
Ejemplo!
M , N son dis-untos
En una reunión asistieron hombres y mujeres, adems se observó que un grupo de dichos asistentes son casados. Depresentar a través, de un diagrama los conjuntos mencionados. Es decir( N ( conjunto de los hombres 5 ( conjunto de las mujeres 7 ( conjunto de los solteros 2 ( conjunto de los casados S / M
1 &
2 .
$ * +, ;, <, G, 33., /CC0 1 * +8=8 es un Peruano0 2 * +8/CC S 8)C = 8 ∈ I ∧ ) > 8 > )0 E * +8=8 es un n%mero primo menor que /CCC0
INFINITO Vn conjunto es infinito, si tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes, es decir, el proceso de contar sus elementos no tienen fin en el tiempo. Ejemplo! $ * +8=8 es un tomo en el espacio0 1 * +8- = 8 > )0
% 7e puede leer las regiones( / ( hombres solteros ( hombres casados - ( mujeres casadas
Apl#**#o+es! /. 7ea el conjunto $ * +a, +a0, , +0, ++G00 0 2untas proposiciones son verdaderas a ∈ $ 33333333 O +a0 ∈ $ 33333333 +a0 ⊂ $ 33333333 +, +00 ∉ $ 33333333 ++a00 ⊂ $ 33333333 n&$' * ) 33333333 +G0 ⊂ $ 33333333 O +a, 0 ⊄ $ 33333333 O ++0, 0 ⊂ $ 33333333 G ∈ $ 33333333 O . $ una reunión asistieron /< damas con falda y C varones con bigote, < portaban casaca, C damas no llevaban casaca, ) damas portaban casaca pero no falda, /- varones de bigote no tenían casaca. Q2untos varones que tenían casaca no tenían bigote, si / damas no llevaban falda ni casacaR Rp,! -. 7ean los conjuntos $ * +8-=8∈IS ∧ 8 L - ≤ 9 0 1 * +8M8;=8∈I ∧ > 8 > ) 0
2 * + 5 S- = > 8 > -0 4 * +8=8 es una recta que se puede trazar en un plano0
CONJUNTOS ESPECIALES CONJUNTOS VACÍO O NULO Es aquel conjunto que no posee elementos, la cual se denota por( @ φA ó + 0 Ejemplo! $ * +8=8 es un n%mero par ∧ G > 8 > /C0 $ * φ 1 * +8=8 es una persona que vivió )CC a!os0 1 * φ 2 * +8=8 es un n%mero primo par mayor que )0 4 * φ
CONJUNTO UNITARIO O SIN(LETÓN Es aquel conjunto que sólo posee un elemento. Ejemplo! 7 * +8=8 ∈ I, > 8 > ;0 * +-0 n&7' * / ∴7 es un conjunto unitario. $ * +φ 0 n&1' * / ∴$ es un conjunto unitario. 1 * +8=8 es la capital del Per%0 n&1' * / ∴1 es un conjunto unitario. $ * +8=8 es un n%mero primo par0 n&4' * / ∴4 es un conjunto unitario.
CONJUNTO UNIVERSAL
Es un conjunto referencial que se toma para el estudio de otros conjuntos incluidos en él. ?o e8iste conjunto universal absoluto y se denota generalmente con la letra @VA.
, su#conjunt o de = n(+()) = * n()
Ejemplo! . 7e denomina subconjunto propio de @$A a todo subconjunto de $ y /. Para los conjuntos( diferente de $. $ * +los gatos0 1 * +los tigres0 "os posibles conjuntos considerados que contiene a los conjuntos Ejemplo! 4ado un conjunto( anteriores son( 5 * +,-0 V/ * +los animales0 7ubconjunto de $ * φ, +0, +-0, +, -0 V * +los felinos0 V- * +los mamíferos0 .
-.
Para los conjuntos( $ * +a, e0 1 * +i, e0 "os posibles conjuntos universales que contienen a los conjuntos anteriores son( V/ * +las vocales0 V * +la letras del abecedario0 Para los conjuntos( $ * +, ;, <0 1 * +/, -, 0 2 * +<, /C0 Podemos considerar el siguiente conjunto universal. V * +8=8 ∈ #? ∧ /≤ 8 ≤ /C0 V * +/, , -, 3, 9, /C0 4iagrama A
."
.2 .) .10 .& .5
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS UNIÓN O REUNIÓN "a unión de dos conjuntos @$A y @1A es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de $ con todos los elementos de 1. 7e denota $ ∪ 1 7e lee $ o 1 7e define(
A ∪ ! = { % * % ∈ A ∨ % ∈ !} Ejemplo! /. $ * +, -, )0 1 * +), 0 $ ∪ 1 * +, -, ), 0 4iagrama!
U
C
, su#conjunt o propio de = *n() -
.1 .7 .. .
A B
.
U
A
B
CONJUNTO POTENCIA 4ado un conjunto @$A, el conjunto potencia de @$A es la familia de subconjuntos de $ y se denota como P&$'. P&$' * +8=8 ⊂ $0
Ejemplos!
.
$ * +<, -, 0 1 * +<, -0 $ ∪ 1 * +<, -, 0 4iagrama(
Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos( Ejemplo! $ * +gallinas, patos, monos0 1 * +φ, +φ0, +,-00 2 * +peruanos, bolivianos, argentinos0 4 * ++8 0=8 ∈ #? ∧ 8 > 0
12$ ⇒ $ ∪ 1 * $ -.
A B
$ * +), 0 1 * +<, G0 $ ∪ 1 * +), , <, G0 4iagrama(
4ado el conjunto( $ * +, -0 ⇒ n&$' * 7ubconjunto de $( φ, +0, +-0, +, -0 P&$' * + φ, +0, +-0, +, -00 ⇒ n&P&$'' * 2
B
A
B
CONJUNTO DE CONJUNTO O FAMILIA DE CONJUNTO
/.
U
U A
2
B
=&
4ado el conjunto( 1 * +a, b, c0 ⇒ n&1' * -
A B
7i $ y 1 son disjuntos ⇒ n&$ ∪ 1' * n&$' S n&1' N P ( A)
P&1'*+φ,+a0,+b0,+c0,+a,b0,+a,c0, +b,c0, +a,b,c00 ⇒
= 2. = "
OBSERVACIONES! /. El conjunto potencia de $ es aquel conjunto que tiene como elemento, todos los subconjuntos del conjunto $.
INTERSECCIÓN "a intersección de dos conjuntos @$A y @1A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. 7e denota $ ∩ 1
7e lee @$ y 1A 7e define(
4iagrama(
U
A ∩ ! = { % * % ∈ A ∧ % ∈ !} Ejemplo! /. $ * +, -, )0 1 * +), 0 $ ∪ 1 * + ) 0 4iagrama!
A B
U
A
A !
7i( 1 ⊂ $ ⇒ 1 L $ * φ
B
-.
A B
$ * +), 0 1 * +<, G0 $M1* φ 4iagrama(
U
A
!
Nota .
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A $ * +<, -, 0 1 * +<, -0 $ ∩ 1 * +<, -0 4iagrama( U
B)
A B
A ! 3A
$ y 1 disjuntos
DIFERENCIA SIM0TRICA "a diferencia simétrica de dos conjuntos $ y 1 es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a @$A o @1A pero no a ambos. 7e denota $ ∆ 1 7e lee( @$ o 1A o bien $ o bien 1. 7e define(
A∆! = { % * % ∈( A ∪ !) ∧ % ∉ ( A ∩ !) } A B
4ado que 1 ⊂ 1 1 ⊂ $ ⇒ $ ∩ 1 * 1 -.
Ejemplo! /. $ * +, -, )0 1 * +), 0 $ ∆ 1 * + , -, 0
$ * +), 0 1 * +<, G0 $ ∩ 1 * + 0 * φ
4iagrama! U
U B
A
4iagrama( A
B A B A B =
$ ∆ 1 * &$ ∪1' L &$ ∩ 1'
DIFERENCIA "a diferencia de dos conjuntos @$A y @1A &en dicho orden' es el conjunto formado por los elementos de @$A pero no de @1A. 7e denota $ M 1 7e lee @$A pero no de @1A 7e define(
.
$ * +<, -, 0 1 * +<, -0 $ ∆ 1 * + 0 4iagrama(
A − B = { x * x ∈ A ∧ x ∉ B}
U A
Ejemplo! /. $ * +, -, )0 1 * +), 0 $ M 1 * + , - 0
B
4iagrama!
A B
U
7i( &1 ⊂ $' ⇒ &$ ∆ 1' * &$ M 1'
B
A
-.
$ * +), 0 1 * +<, G0 4iagrama(
.
$ * +<, -, 0 1 * +<, -0
U A
B
A-B
A B
ordenados, donde los primeros componentes pertenecen al conjunto $ y los segundos componentes al conjunto 1. 7e define( 7i $ y 1 son disjuntos( $ ∆ 1 * $ ∪ 1
A % ! 8a' b*a ∈ A ∧ b ∈ !9
COMPLEMENTO El complemento de un conjunto @$A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal @VA pero no a @$A.
C A
A
7e denota , $2, $W, 7e lee( @no $A 7e define(
A 4 = { % * % ∈ ∪ ∧ % ∉ A}
Ejemplo! $ * +a, e0 V * +8=8 es un vocal0 $⊂ * + i, o, u0
U
4iagrama!
A
A
A &$2 '2
$ ∩ $2 * φ
φ2 * V
A7
ASOCIATIVA A ∪ ( ! ∪ )
= ( A ∪ !) ∪ ( A ∩ !) ∩ = A ∩ ( ! ∩ ) A ∪ ( ! ∩ )
= ( A ∪ !) ∩ ( A ∪ ) A ∩ ( ! ∪ ) = ( A ∩ !) ∪ ( A ∩ ) D7
$ * +;, ), , G0 1 * +), G, 90 V * +-, ;, ), <, , G, 90 $ ∪ 1 * +;, ), , G, 90 $ ∩ 1 * +), G0 $ M 1 * +;, 0 1 M $ * +90 $ ∆ 1 * +;, , 90 $2 * +-, G, 90 12 * +-, ;, <, 0 &$ ∪ 1'2 * +-, <0
Primera 2omponente
ABSORCIÓN
A ∪ ( A ∩ !)
=A A ∩ ( A ∪ !) = A
( c ∩ ! ) = ( A ∪ !) c A ∩ ( A ∪ ! ) = ( A ∩ !) A∪ A
E7
DE D8NOR(AN
( A ∪ !) c = ( A c ∩ ! c ) ( A ∩ !) c = ( A c ∪ ! c )
PAR ORDENADO Es un conjunto de sólo dos elementos, no necesariamente diferentes, en el cual interesa el orden de cada uno de ellos. 7e denota( 12&3 7egunda 2omponente
OTROS
( A − !) = A ∩ ! c APLICACIONES /. 2untas de las siguientes proposiciones son verdaderas.
I(UALDAD DE PARES ORDENADOS
a6b 3 c6d ⇔ a 3 c ∧ b 3 d
7e cumple( Ejemplo( 2alcule &8 S y' 7i( &-8 S y : /' * &/ : 8 M y' Solu*#4+( Por igualdad( -8 S y * / 8 M y * /
LE5 DEL 6L(EBRA DE CONJUNTOS CONMUTATIVA
( A ∪ !) = ( ! ∪ A) ( A ∩ !) = ( ! ∩ A) ( A ∆ !) = ( ! ∆ A)
&V'2 * φ
Ejemplo!
OBSERVACIÓN $ 8 1 ≠ 1 8 $ ⇔ $ ≠ 1 $ 8 1 * 1 8 $ ⇔ $ * 1 n&$81' * n&$'. n&1'
C7 DISTRIBUTIVA
&&&$2 '2 '2 * $2
$ 8 1 * +&/,a', &/,b', &,a', &,b',&-,a',&-,b'0 1 8 $ * +&a,/', &a,', &a,-', &b,/',&b,',&b,-'0
*$
n&$' S n&$ 2' * V
$ * +/, , -0 1 * +a, b0
B7
$ ∪ $2 * V
Ejemplo(
( A ∩ !) ∩ c = A − ( ! ∪ )
( A − !) ∩ c = ( A − !) ∪ ( A ∩ ) A ∩ ( ! − ( ! − ) )
= ( A ∪ !) ∩ ( A ∪ )
PROBLEMAS .7
4etermine la suma de los elementos del conjunto(
{
}
A = % 2 + 1* % ∈ ¢ ∧ −. < % < .
8* y*-
$' /C 4' G
PRODUCTO CARTESIANO O CONJUNTO PRODUCTO 4ado los conjuntos $ y 1 no nulos, el conjunto producto @$ 8 1A es aquel conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados, donde los primeros componentes pertenecen al conjunto cuyos elementos son todos los pares
( A ∩ !) ∩ ( A ∪ !) = A ∩ !
97
1' /) E' //
2' /
4eterminar la suma de los elementos de( ! = { ( .% − 1) * % ∈ ¥ ∧− . < &% + < .7} $' )/ 1' )< 2' < 4' ) E' ?.$.
:7
$' -=) 4' ;=)
4ado el conjunto @$A A = { &' 5' { &' .} '1{ { 2' .' &} ' 2} '{ 7} } #ndicar el valor de verdad de cada proposición( :{ &'.} ⊂ A :{ &' .} ∈ A ( ) :{ &'1' 2} ∈ A :{ 2} ⊂ A ( )
⊂A :{ 2' .' &} ∈ A :{ &'{ 7} }
( )
( ) ( )
∈A
:{ 7}
( )
( ) #ndicar el n%mero de proposiciones falsas( $' < 1' 2' 4' ; E' )
;7
! = { ( m + ; ) '10}
<7
( m + n − ;) 1' G E' ;
Nallar( iguales.
( b + c − a )
2'
, sabiendo que los conjuntos $, 1 y 2 son conjuntos
A = { a + 2'. − a}
a' / d' ;
-7
b' e' <
= { 1' b + c}
c' -
Q2untos elementos tiene @$A si( A=
{
}R
% * ( .% + 1) ∈ ¥ 6 % < 2
$' 4' )
=7
! = { a − 1') − a}
b' e' <
c' ;
4iga ud. 2untos subconjuntos propios tiene( = { 2')'12'20'((('110}
$' /C4' 9
>7
b' /C; e' /C
c' /C)
A = { % * % ∈ ¢ ∧ 10 < % < 20}
{
(
, + 15
7i( < ={ %*%∈¥
∧ 0 ≤ % ≤ }
A ∩ ! = { 1' 2' 7}
c ( A ∪ !) = { ( 0')' ) }
A − ! = { .'5}
Q2ul es la suma de los elementos de( &1 M$'R $' /C b' // c' / 4' /e' /;
./7 7i( A ∩ ! ≠ φ y adems( n = ( A∪ != )
{ } ! = { , 2 − 7%} A = % 2 + 16.% − 1
7i $ ∪ 1 es unitario. Nallar A ∩ ! { 5} { 2} { 10} $' 1' 2' { } { "} 4' E'
.<7 4ado el conjunto unitario(
− n ( !) =1 n ( A ∩ !) = .
}
2'
2'
..7 En un salón de clases( -=) de los alumnos usa reloj, /=- de los alumnos sólo usa anteojos y los =) usa anteojos y reloj. QBué fracción de los alumnos no usa anteojos ni relojR
{ n * 0 ≤ n < .1}
n . − 2n ) * n = 2' .' &' )' "} ( { E'
.=7 7í( A = {1'a' 2' b}
! = { .'c' &'d}
= { a'.}
< = { 1' 2'.'a' b'c'd' &}
Nallar( $' / 4' ;
$' 2'
1'
n 2 − n ) * n ∈ [1' ) ] 6n ∈ ¢} ( { 4'
{ % ∈ ¢ * 0 ≤ % ≤ .0}
n ( A− ) 4∪
1'
( !− )
1' E' )
2' -
.>7 4eterminar el conjunto
n ( !)
1' ) E' <
{
= a b '&'c2
a ≠ b ≠ c' y todos son mayores que cero(
Nallar( @ a + b + c A si, $' ) 1' < 4' G E' 9
25)
n ( A)
Nallar( $' 4' G
.;7 7e tienen(
n . − 1* n ∈ [ 1')] 'n ∈ ¢} { $'
) ∈ A}
Q2ul es la suma de los elementos de 1R $' )/ b' ) c' )4' ); e' ))
?7
.97 4e
A = { 0'2')'12'20'.0} .-7 #ndicar( Por comprensión.
7i( ! = , + 5* ,∈¢ ∧
2' /=/)
.:7 4e un grupo de G) deportistas se sabe que( /) atletas participan en f%tbol y natación. • ) son atletas. • )) son nadadores. • odos los futbolistas son atletas. • / deportistas sólo practican atletismo. • /) deportistas no practican los deportes indicados. • Q2untos deportistas son atletas y nadadores pero no futbolistasR $' /G 1' 2' 4' /9 E' ;
4ados los conjuntos unitarios( A = { ( n + m ) ' ( n + ; ) '"}
Nallar( $' 4' -
1' =) E' /=)
{
M = %∈¢ * %
2
M = { .6 −.}
por comprensión.
− = 0}
M = { % ∈ ¢ * ( % + .) ( % − .)
{
}
M = % ∈ ¥ * %2 − = 0
2' 4' $, 1 H 2 E' $, 1
.?7 4ados los conjuntos(
= 0}
A = { % * ( % − 1) ( %
− . ) ( % − 5 ) ((( ( % −151 ) = 0 }
¡
! = { % * % es . , 5}
Nallar(
¤4
n = ( A∩ !)
| ¢
10
1' 2 E' /G
$' - 4' /-
|
2' <;
¥
9/7 7e tienen dos conjuntos comparables $ y 1, adems se sabe que( n ( A ∪ !) + n ( A ∩ ! ) = .0 n= ( A− != )
Nallar( $' )< 1 4' 2
(
)
b' /C;
c' ;C9<
17 e' 2
( A∆! ) ≠ φ
b'
2' A ⊂ ! E' A ⊂ ! ∨ ! ⊂ A
( A − !) = A
d' A ⊂ ! ∧ ! ⊂ A
997 4ados los conjuntos equivalentes con( A
{ φ}
= { ( a 2 + 1) ' ( .a − 1) }
! = { ( 2% + & ) ' ( % − , + " ) }
( a + % + ,)
4ar la suma de valores que puede adoptar $' ; 1' ) 2' // 4' < E' 9 9:7 7ean conjuntos comparables, cuyos cardinales se diferencian en -. $dems la diferencia de los cardinales de sus conjuntos potencia es //. #ndicar el n%mero de elementos que posee el conjunto que incluye al otro. $' 1' /2' 9 4' ; E'
9;7 4eterminar por e8tensión y dar como respuesta la suma de los elementos de P.
n 2 − 1) = = * n ∈ ¢'0 < n ≤ 5 n − & y < = { % * % es un n>mero entero} $' -) 4' C
1' ¤ ⊂ ¤ 4
∈ 4' ¥ ¢
c
9.7 Bué alternativa indica la definición de conjuntos comparables. $'
$' ¡ ⊂ ¤ 4 2' ¤ 4 ⊂ ¤
25)
n= A c ∪ A c ∩ ( A∆! )
¤
1' -< E' ?o se puede
2'
9<7 4e alumnos que postularon a las universidades( Dicardo Palma, V. 2atólica y=o #.X.. se sabe que( ;C postularon a la D. Palma, ) a la V. 2atólica, G a la V.#.X.. y / postuló a las - universidades. Q2untos postularon sólo a de estas universidadesR $' /9 1' C 2' /) 4' /; E' / 9-7 7e hizo una encuesta a G) personas de un club sobre el uso de los productos 5 y ? se observó que( ab personas sólo usan 5, a0 b personas sólo usan ?, ba personas usan 5 y ?. si todos usan uno de los productos. Nallar( a S b. $' /C 1' // 2' / 4' /) E' /<
9=7 7eg%n el siguiente diagrama lineal, diga ud. Bué alternativa es la correcta(
E' ¤ , ¢ son com;arables
9>7 4adas las premisas( odos los que estudian en 2EPDEPV2. #ngresan a la PV2P. $lgunos que desean ser ingenieros estudian en 2EPDEPV2. 7e concluye( $' odos los que ingresan a la PV2P estudian en 2EPDEPV2. 1' odos los que no desean ser ingenieros no ingresan a la PV2P. 2' odos los que desean ser ingenieros ingresan a la PV2P. 4' ?inguno que desea ser ingeniero ingresar a la PV2P. E' $lgunos que no estudian en PV2P desean ser ingenieros.
9?7 En un instituto de computación se observó que todos los que estudian Pascal estudian 2obol, /) estudian Pascal, 2obol y 1asic,
n 1' 2 − n − 1
n 4' 2 − 1
n E' 2
n −1 2' 2
A = { { a} '{ { a } } '{ a'{ a} } } :.7 4ado el conjunto( Q2untas de las afirmaciones siguientes son correctasR
∈A :{ a} ⊂ { { a} } :{ { a} } ⊂ A :{ a} ∈ { { a} 'a }
⊂ { { a } 'a } :A ⊂ A :φ ⊂ A :n ( A ) = .
:{ a}
:{ a }
$' ) 4' odas
1' ; E' <
2'
:97 7ean los conjuntos(
= ( −1) ' n ∈ ¢} { B = { y ∈ ¢ * y = ( y − .) − .} n
A = x ∈ ¢ * x
2
C
= z ∈ ¢ *
. z 2
2
7 + . = 2 z + 2
Entonces es cierto
B = C
$'
1' A = B ∪ C
4' A = C
2'
E' B − A = A − C
A = B ∩ C
##.
[ C 4∩ B ] ∪ ( A − B ) ∪ C4
###.
( C − B ) 4∩ ( A ∪ B ) − C !
A
::7 4ados los siguientes conjuntos(
A = { Polígonos ?e gulares}
B = { Cuadriláteros}
C
$' 7ólo # 4' # y ###
= { Triángulos equiláteros}
"uego, cules de las regiones mostradas son vacías. A
! &
5 2
1
) .
7
$' /,- y ) 4' /,- y
1' , - y ; E' -, < y
1' 7ólo ## 2' 7ólo ### E' odas
:>7 En una ciudad de cada /CC hombres, G) son casados, C son abonados al teléfono, ) tienen auto y GC son propietarios de su casa, Q2ul es el n%mero mínimo de personas que al mismo tiempo son casados y poseen eléfono o auto y casa propiaR $' ) 1' /C 2' <) 4' ) E' ;) :?7 4adas las premisas 7i ning%n $ es 1 $lgunos 2 son 1
Entonces la condición lógica es(
2' /,< y
$' ?ing%n $ es 2 1' $lgunos $ no son 2 2' $lgunos 1 son $ 4' $lgunos 2 son $ E' $lgunos 2 no son $, ni 1
:;7 4adas las proposiciones( odos los profesores son personas amables. ?ing%n estudioso es flojo. $lgunos profesores son estudiosos.
A = { −&6 −16 0616 &}
;/7 7ea el conjunto Entonces de las - afirmaciones siguientes cul es la verdadera.
7e concluye( $' $lgunos profesores son flojos 1' odas las personas amables son estudiosas. 2' $lgunos flojos son personas amables. 4' $lgunas personas amables son estudiosas. E' ?ing%n profesor es flojo.
#.
Para todo elemento @8A que pertenece a $ y por lo menos un
≠ y
elemento @yA de $, se cumple 8Sy Para que por lo menos un elemento @8A de $ con por lo menos un @yA de $, se cumple 8 S y * C Por lo menos un elemento @8A de $ con un elemento @HA de $, se cumple( 8 S y * y
##. ###.
:<7 En una encuesta realizada se obtuvo los siguientes resultados(
$'7olo # 4' 7olo ##
1' ## y ### E' odas
2' # y ###
;.7 7e tiene $ , 1 y 2 conjuntos no vacíos, donde se cumple que(
A ⊂ B
y
A ∩ C = φ
a'
{ x * x ∈ ¡ ∧ x < .}
b'
{ x * x ∈ ¡ ∧ x < "}
Q2ul&es' de la&s' afirmaciones siguientes son verdaderasR ( B − A) ∩ C ≠ φ #. ( B − C ) ∩ A = φ ##.
c'
{ x * x ∈ ¡ ∧ x > }
###.
$' 7ólo # 2' 7ólo ###
( A − C ) ∪ ( ¡ − B ) ∩ B 2alcular( $' $
1' 1
4' ¡
E'
E' ?.$.
A = { .' 7'"}
2' 2
φ
( C ∩ B ) − A ∪ ( A ∩ B ) −C
1' 7ólo ## 4' 7ólo # y ###
;97 4ados los conjuntos( ! = { 2' .' )' }
:=7 Q2ul de las siguientes alternativas le corresponde al diagrama mostrado, si 8W( es el complemento de 8W, en el universoR #.
( C − B ) ∩ A = φ
A : ! = { ( a + b ) * a ∈ A ∧ b ∈ !}
7e define( y las proposiciones(
#. En
( A : !) el elemento mayor es /
##.
n ( A :! )
= = { % ∈ N * % es divisor de 12}
= 12
###. "a suma de los elementos de
= { % ∈ N * % es divisor de "}
( A : A ) es
7on verdaderas( $' 7ólo # 1' 7ólo ### 2' # y ### 4' odas E' 7ólo ###
;:7 7i $ tiene /< subconjuntos, 1 tiene G subconjuntos y subconjuntos Q2untos subconjuntos tiene $' G 1' / 2' 4' ; E' ?o se puede conocer
( A ∪ ! ) tiene -
( A ∩ !) R
;;7 4e los -CC integrantes de un 2lub deportivo, / 4' indicar la e8presión correcta. $' N ⊂ M 1' N 2' N − M = N N ∩ M
≠φ
4' E' M ∪ N E7 V? 2YD2V"6 ;-7 4ados los conjuntos $, 1 y 2 y los siguientes datos( n& $ F 1' * G; : n& 1 F 2' * 9G : n&$' S n&2' * < 2alcular el n%mero de subconjuntos propios de 1. $' /C1' / 2' )// 4' -/ E'
{
}
= = { % * % = @ ;rimo ∧ 5 < % < 21}
$' 7olo /, - y ) son correctos 1' 7olo , - y ; son correctos 2' 7olo /, y - son correctos 4' 7olo /,,- y ; son correctos E' odas son correctas.
;>7 4ado el siguiente diagrama( <
A !
;?7 7i(
{ } ! = { % ∈ ¢ * % 2 − 7% + 12 = 0} = { % ∈ ¢ * & < % 2 < 25} A = % ∈ ¢ * % 2 + 7% + 12 = 0
A∩! ≠ φ
#. ##. A ∪ ! = ###. A ⊂ 7on verdaderas( $' 7ólo ### 4' # y ##
1' 7ólo ## E' odas
2' ## y ###
<97 4ado el conjunto(
{
}
A = % & − 5% 2 + & * % ∈ $ ∧ 0 ≤ % 2 ≤
###.
Entonces dados los siguientes enunciados( /. P est incluido en ? . 5 no est incluido en ? -. ?ing%n elemento de 5 es elemento de P. ;. El n%mero cardinal de 5 es /C ). ) y / son elementos de P
$' 1 4' ! ∪
<.7 4ados los conjuntos(
#. El n%mero cardinal de $ es ##. "a suma de los elementos de $ es ;;
% * % ∈ $+ ∧ ) < % < 21
7implificar la e8presión(
$' 7i un artista no es ególatra debe ser indigente. 1' odos los indigentes son ególatras. 2' ?ing%n indigente es ególatra. 4' 7i Zuan es indigente entonces debe ser artista. E' $lgunos indigentes no son artistas pero sí ególatras.
Entonces(
;=7 4ados los conjuntos( N =
El conjunto P L B es( $' +/,,;0 1' +G0 2' +/,,;,<0 4' +-,<,/0 E' +/,-,<,/0 7 $ partir de( odos los artistas son ególatras. $lgunos artistas son indigentes. Es correcto afirmar(
A ∩ ! ∩ ( ! 4 ∪ 4) ∪ !
1' $ L 1 E' ! ∪ 4
2' φ
n =( A )
$' # y ## 4' 7ólo ##
=" 1' ## y ### E' 7ólo ###
2' # y ###
<:7 4ados los conjuntos
A= a !=
2
+ 16 b6 a − c
{− .6 a 2 65}
= { % ∈ BN * b − a < % < a + c} 4onde( a ∈ #?, b ∈ #? y $ * 1 Entonces afirmamos( #. El n%mero cardinal de 2 es ; ##. $ ∩ 2 * +; : )0 ###. 2M$ * + a 0 7on ciertas( $' # H ## 1' # y ### 2' ## y ### 4' odas <;7 4ados los conjuntos $, 1 y 2 A = { % ∈ BN * ( % − 1)( % − 2 )( % − .)((((( % − 22 ) = 0} ! = { % ∈ A * % es un n>mero ;rimo } = { % ∈ A * % es un n>mero im;ar } H las proposiciones(
E' 7ólo #
#. 1 ∆ 2 * +/ : : 9 : /) : /0 ##. &1 ∩ 2' tiene elementos ###. n&2 M 1' L n&1 M 2' * #. n J$L&1∪2'K * 9 7on verdaderas( $' #, ## y ### 4' #, ## y #
y las proposiciones(
1' #, ### y # E' # y ##
2' ##, ### y #
<<7 7ean los conjuntos(
7on falsas( $' 7ólo ### 4' 7ólo ### y #
A = {162} ! = { 26.} 2*
{ φ6 {162}}
$dems(
#. 1 ∩2 * φ ##. &1 ∪2'⊂ $ ###. 1 ∪2 * $ #. 1M2 * 1
1'7ólo ## E' ### y #
2' 7ólo #
-.7 "a región sombreada es(
{
Q = x * x ∈( 2 A ∩ 2 B )
}
A
B
C
A Nallar el conjunto @EA siendo( C = 2 − ( ∪ ) $' +/0 1' +/:0 2' ++/00 4' ++/0,0 E' +φ:/0
<-7 4e un grupo de )) personas, ) hablan inglés, - francés, -- alemn y ) los tres idiomas. Q2ul es la diferencia entre los que hablan un idioma solamente y los que hablan dos idiomas %nicamenteR $' C 1' ) 2' /C 4' /) E' G <=7 Encontrar el cardinal de $, sabiendo que(
n ( =( ! )
= & × n ( =( A )
n ( =( ) )
= × n ( =( A ) )
n ( !) $' 4'
=
∪ A ∩ ! 1' ∩ A ∪ ! ∪ A ∩ ! 2' ∩ A ∪ ! 4' ∩ A ∩ ! ∪ A ∩ ! E' ∩ A ∪ !
2 -97 El conjunto A = 8n ∈ ? *n + 5 7e puede escribir como $' A = 8n ∈ ? * n < + n > −19 1' A = 8n ∈ ? * n > − + n > −19
) 5
-:7 4eterminar la suma de elementos del conjunto(
1' E' /C
2' )
<>7 4ados los conjuntos( $ * +8 ∈ I=< ≤ 8 S ≤ /C0 1 * +8 ∈ I= 8 L ) > )0 2 * +8 ∈ I= 8 ∈ $ ∧ 8 ∈ 10 Nallar la suma de los elementos del conjunto @2A $' 9 1' < 2' /C 4' C E' /G 7 4ados los conjuntos(
A = 8% ∈ N * % . − 7 % − ) = 09 $' / 1' 2' 4' ; E' )
-;7 Zorge tiene botellas de Xuinda, Don, $nisado y $gua. 7uponiendo que se puede mezclar por lo menos dos licores. Q2untas mezclas distintas se pueden hacerR $' // 1' /C 2' / 4' /; E' /) -<7 7ean los conjuntos(
A = 8% ∈ N * % 2 − .% + 2 = 09 ! = 8% ∈ N * % < 59
= 810'12'15'1'((('&59
$firmamos( #. n &$' S n &1' * ##. n &$ ∪ 1' * n &1' ###. n &$ L 1 ' * C #. n &1 L $ ' * -
∪ ∪ − ∪ − ∩ 2alcular( n A ! n A n A ! $' )/ 1' ) 2' )4' ;9 E' ;G
7on verdaderas( $' odas 2' 7ólo #, ## y ###
A = 82 % + 1 * % = 2n ' n ∈ N' n ≤ .09 ! = 82 % * % ∈ N'0 < % .
> 1)9
2' A = 8n ∈ ? * n < + n > 19 4' A = 8n ∈ ? * n < − + n > −19 E' A = 8n ∈ ? * n < − + n > 19
1
2 n ( A ) × n( )
$' A ∪ !
< 15)259
-/7 7e tiene - elementos $,1 y 2 subconjuntos de los enteros, tales que( $ *+8=8 &8 L /8 S -)' * C0 1 * +8=8 L //8 S) * C0 2 * +8=8 L /8 S / * C0
1' 7ólo # y ## 4' 7ólo ## y ###
--7 4ados los conjuntos( A = 8 x' y ∈ R 2 * y > x 9
E' 7ólo #, ## y #
,
B = 8 x ' y ∈ R * y − 2 ≥ − x 9 2
"a región sombreada es(
2
%
4' 6 20&"
A − 4 ! !4− A A∩! A ∩ !4 E' A ∪ !4
$' 1' 2' 4'
E' φ 6 102&
=97 7i(
A = 8% ∈ $ * − 12 < % + ) < 209
B = 8x ∈ Z *10 < x 2
< &009
Q2untos elementos tiene $ 8 1R $' ;9< 4' G
-=7 "a región sombreada est representada por( A
$' A ∪ ! ∩ ∪ D 1' A ∪ ! ∩ ∩ D ∪ A ∩ !
2' A ∩ ! ∩ ∩ D
C
D 4' A ∩ ! ∪ ∪ D E' A ∩ ! ∪ EA ∪ ! ∩ ∪ D
B
1' )< E' <
2' 99
=:7 4ados los siguientes intervalos en D(
A =< −∞'2 > ! = E −1' ) > =< &' + ∞ >
Encontrar(
a.M E A − − ! ∩ E ! ∪ ∩ A
->7 "a región sombreada se puede representar por(
b.M EA − ! − ∪ 4
A
$'
!
φ6 < 1'&
4' <6 < −∞'&
1'
φ6 < −∞'&
E' φ6 < −1'& >
2' 8φ96
< −∞'−& >
=;7 4ados los conjuntos binarios( $'
A − ! − 4
1' A − ! ∩
4' !4−4 − A4
2'
A ∩ !4∩
E' odas son correctas
-?7 "a intersección de P y B tiene /G subconjuntos, la diferencia de P respecto a B tiene <; subconjuntos. El producto cartesiano P 8 B presenta /G pares luego podemos afirmar que( &B L P' tiene( $' /C elementos 1' G elementos 2' < elementos 4' 9 elementos E' elementos =/7 4eterminar por comprensión al siguientes conjunto(
. 5 7 P = ' 2' ' .' ' &' 2 2 2 2 $'
% − 1 * ∈ $'. < % < 10 .
==
1' = = % * % = n
a 2 + b 2 != 6 cd6 c + d 2 A = 8)6 a + b6 a − b61)9 y Nalle( c L d $' / 4' ;
=<7 4adas las proposiciones, averiguar cuntas de ellas son falsas. a ∈ + + a 0 0 + 0 ∈ + +0 0 + a, b0 ⊂ + a, b, c 0 φ ∈ + m 0 +a0 , m 0 ⊂ + a, + m 0 0 + + a 0, + φ 0, φ 0 ⊂ + + a 0, φ, + φ 0, - 0
==7 4ados los conjuntos(
=.7 4ado el conjunto( < = 8−"'−)'7'1 * )'5' . ' π' θ9 H dados los siguientes conjuntos(
A = 8% ∈ < * % ∈ ? ∧ % ∈ 49 ! = 8% ∈ < * % ∈ $ − ∧ % ∈ N 9
A = 8% ∈ $ * ) ≤ % 2 + 2 ≤ 1029 ! = 8% ∈ $ * % 2 − 5 < 259 = 8% ∈ $ * % ∈ A ∧ % ∈ ! Nallar la suma de los elementos del conjunto @2A $' 9 1' < 2' /C 4' C E' /G
o
= 8% ∈ < * % ∈ ! ∧ % ∉ A9 Nallar(
2 L &$ ∆ 1' n JP&1 8 $'K
$' <6 512
=>7 4ado el
1' φ 6
512
2' -
$' / 1' 2' 4' ; E' ) =-7 En una fiesta donde habían 9C personas, C eran hombres que no gustaban de la m%sica @Doc[A, ;C eran mujeres que gustaban de esta m%sica. 7i el n%mero de hombres que gusta de la m%sica @Doc[A es la cuarta parte de las mujeres que no gustan de esta m%sica. Q$ cuntos les gusta la m%sica @Doc[AR $' ;C 1' ;< 2' ; 4' )C E' -<
2
+ 1' n ∈ N' n ≤ ) 2' = = { 2% * % ∈ $'2 < % < "} % +1 == * % ∈ N' 2 ≤ % < 2 4' % − 1 * ∈ N' . < % < 10 == 2 E'
1' E' )
2' 8φ96 102&
A
= { a ' { a}' φ' { φ}}
φ ∈ $ φ ⊂ $
{ φ} ∈ A
{{ a} ' φ} ∈ =( A ) {{ a} ' φ' { φ}} ∈ =( A ) {{ φ}} ⊂ A
Q2untos son verdaderosR $' ; 1' ) 4' E' G
2' <
=?7 7e tiene - conjuntos $, 1 y 2 tales que estn incluidos en el universo V, donde( $ ∩ 2 * 2
n ( 4)
= 150
(
∩ ! c = 0 n [ ( A ∪ ! ) − ] = )n ( ) n ( ∪) 2alcule(
n Ac
$' /
1' GC E' /CC
>=7 4e un grupo de << deportistas que practican atletismo, f%tbol o bsquet se ha observado de estos que 9 practican atletismo, -- practicaban f%tbol y -/ practicaban bsquet: // practican atletismo y bsquet, /practican f%tbol y bsquet, ; practican atletismo y f%tbol. Q2untos practican los - deportesR $' b' c' C 4' / e' ) >>7 En un 4e un grupo de 9) personas se observa que( /) son atletas que practican el f%tbol y la natación. ) son atletas. )) son nadadores. odos los futbolistas son atletas y /C son deportistas que sólo practican el atletismo. /) personas no practican los deportes mencionados.
2' /C
>/7 7í $ * 1, halle la suma de elementos de 2. A = 2%
>-7 4e un grupo de CC estudiantes se obtuvo la siguiente información( /C) no estudian inglés: //C no estudian alemn: < no estudian francés: )G estudian inglés, pero no alemn: ;C alemn pero no francés: C no estudian ninguna de los - idiomas. 2alcule cuntos estudiantes estudian uno de estos cursos solamente. $' /C 1' 9< 2' G) 4' /-) E' //
+ 1'.% }
Q2untos deportistas son futbolistasR
{ } = {% 2 * % ∈ A} %
! = 2 ',
$' ) 4' G
$' -C 4' - 1' E' <
2' -
>?7 4ados los conjuntos(
+ 1)6 −106"a' ( b + & ) } M = { % ∈ BN * % es m>lti;lo de a}
= a + b '1& ! = 2 b − . a '. A
N
2alcule n[ =( ) ] si n ( ) = b − .a( $' G/ 1' G 2' G 4' <; E' ) >97 7i( 2 L 1 * φ, adems(
2'
{ 2'.')}
E' A ∩ !
>:7 4e un grupo de /C personas( )C, ;C y 9C de ellos leen las revistas $, 1 y 2 respectivamente, Q2untas personas como m8imo leen - revistasR 7i todos las personas leen por lo menos una de dichas revistas semanales. $' 1' /;; 2' -C 4' G E' G >;7 4e una muestra recogida a CC secretarias, ;C eran rubias, )C eran morenas y 9C tienen ojos azules, de estas %ltimas <) no son rubias y <7 4e una reunión a la cual asistieron /)C personas se ha observado que
de b}
( M 4 ∪ N 4) 4 { a ' b} ⊂ BN
= { 0'2'.'7')} c ( ) − − A ! 2alcular( 7í( $ y 2 son disjuntos. 1' φ
= { % ∈ BN * % es m>lti;lo
Nallar(
A ∩ ( ! ∪ )
{ 0'2'.'7')} { 2'5'0} 4'
2' -)
A = { a 2
>.7 4ados los conjuntos unitarios.
$'
1' ;C E' ;
, n( A)
$dems( $' { % * % es m>lti;lo de 2&}
=2
1' { % * % es m>lti;lo de 1"} 2' { % * % es m>lti;lo de 12} 4' { % * % es m>lti;lo de 20} E' { % * % es m>lti;lo de 15}
?/7 $, 1 y 2 son tres conjuntos, tales que satisfacen las condiciones siguientes( #. $ est contenido en 1 y 1 est contenido en 2. ##. 7i @8A es un elemento de 2 entonces @8A también es un elemento de $. 4ecir cul de los siguientes enunciados es verdadero. $' 1 no est contenido en $ 1' 2 no est contenido en 1. 2' $ * 1 pero 1 ≠ 2. 4' "a intersección de $ y 1 es 2. E' "a reunión de $ con 1 tiene elementos que no pertenecen al conjunto 2. ?.7 7ea(
= % ∈ $ * % 5 + & % = 5% . ! = % ∈ A * ∃ , ∈ $' % = , 2 } A
Nallar el complemento de 1 respecto a $ es decir( $ L 1 $' +C : /0 1' +C : / : ;0 2' +M/: M : 0
4' +M/ : M0
E' +M : M/0
?97 4efinamos la operación , entre dos conjuntos $ y 1, mediante( $ 1 * $W ∪ 1W Entonces se cumple( #. &$M1' $ * 1 ∪ $W ##. &$1' &$1' ⊂ &$$' &11' ###. $ &$∪1' * $W 2uales con ciertas( $' odas 4' ## y ###
1' # y ## E' ?inguna
2' # y ###
?:7 El círculo $ contiene a las letras a,b,c,d,e,f. El círculo 1 contiene a las letras b,d,f,g,h. "as letras del rectngulo 2 que no estn en $ son h,j,[ y las de 2 que no estn en 1 son a,j,[. Q 2ules son las letras que estn en la fig. sombreada A
!
$' +b,d,f,g,h0 4' +a,b,g,f,[0
1' +a,b,d,f,h0 2' +a,d,g,h,[0 E' +a,b,d,f0
?;7 4e /CC personas que leen por lo menos de - revistas $, 1 y 2 se observa que ;C leen la revista $ y 1: )C leen 1 y 2: y 7 4e un grupo de /CC estudiantes, ;9 no llevan el curso de matemticas y )- no siguen el curso de administración. 7i alumnos no siguen matemtica ni administración. Q2untos alumnos llevan e8actamente uno de tales cursosR $' ; 1' ;2' ; 4' ;G E';)
??7 7ean los conjuntos
< = { Naturales }
A
QEl cardinal de 2 esR $' G 1' -
1' ) E' ;
= { 2a * a ∈ N 6 a ≤ 5} a + & ∈ 2 b + 1 * b ∈ ! != * a A = 2 . 2'
.//77ean los conjuntos P, B y D tales que se cumple( P ⊂ D P y B son disjuntos 7e desea saber cuntas de las siguientes afirmaciones son siempre correctas. #' B ∩ D * φ ##' P L D * φ ###' P LB * B #' &B M P'∩D * φ $' C 1' / 2' 4' E' ; ./.7"a siguiente región sombreada se representa por( $ y 1 * tringulos A 2 y 4 * círculos C $' &$ ∪ 2' L &$ ∩ 2' 1' &$ ∪ 4' ∪ &$V2' 2' J&$ M 2' M &$ M 1'K 4' J&$V2' M &2 ∆ 4'K E' &$ ∆
D B
1' L &2 &4'
./972ierto n%mero de medallas de 6ro, plata y bronce es distribuido entre /CC atletas en un festival deportivo. 7e sabe que ;) atletas reciben medallas de oro, ;) reciben medallas de plata,
2' G
./;7En una encuesta de un club se determinó que el )0 Q2ul puede ser el valor de @aAR $' 1' -,) 4' ;,) E' -,9993 ./-77i(
2' ;
V * +seres humanos0 N * +hombre0 7 * +personas solteras0 1 * +personas blancas0 "uego( @"as mujeres blancas casadasA ser( $' 1 ∩ 7W 1' NW ∩ 1W ∩ 7W 2' &N ∪ 7'W ∩ 1 4' NW ∪ 7W ∪ 1 E' ?. $. ./=7Bue e8presión representa la parte sombreada de la figura.
aprobaron las dos primeras partes - aprobaron las tres partes.
Q2untos desaprobaron las tres partesR $' // 4'/
1' /C E' /-
2' /;
...7 El conjunto sombreado, mostrado en la figura adjunta, representa una operación entre los conjuntos(
M L
$ y 1 ( círculos 2 y E ( Dectngulos 4( 2uadrado
N
$' &$ M E' ∪ &E∪&1'
A ∩ C ∪ B − D 1' 2 &
4' &E ∩1'∪&$M1'
A − B ∪ ( E ∪ B) E' 2
2' $ L & E ∆ 1'
./>7En una encuesta sobre el consumo de las bebidas $, 1 y 2 se obtuvo el siguiente resultado( /9C toman la bebida $ //C oman la bebida 1 /)C toman la bebida 2
" * 2uadrado 5 * 2írculo ? * ringulo
"os que sólo toman 2 es la mitad de los que sólo toman 1 y /=- de los que sólo toman $. "os que sólo toman 1 y 2 es la mitad de los que sólo toman $ y 1. 7i los que toman las - bebidas es un tercio de los que sólo toman $ y 2. Q2untas personas toman una bebida solamenteR $' ;C 4' C
1' )C E' GC
2'
..97 7ean $ y 1 dos conjuntos contenidos en el universo. 7i(
./?77í(
&$ M 1' V &1 M $' * $V1
= { % * % ∈ N ∧ 5 < % < 15} ! = { , + " * , ∈ N ∧ ( 2 , + 1) ∈ A} A
Q2ul es la suma de los elementos de 1: sí adems R 1' //G E' /)
Q2ul de las siguientes proposiciones es falsaR $' $ * $ L1 4' 1 ⊂ $W
1' 1 * 1 L $ 2' $ ∩ 1 ≠ ∅ E' &$ V 1' ⊂ &$ ∩ 1'W
..:7 4eterminar por comprensión el conjunto
N = { 0'1'2'.'((((((((((} $' //< 4' /-9
$' & 5M " ∩ ? '∪ & "M 5 ' 1' & 5M " ∩ ?'∪ & ? M 5 ' 2' & 5 M "' ∪ & 5M ?' 4' & ?M 5' ∪ &"M 5'∪ & " ∩ 5 ∩ ? ' E' & "M 5 ' ∪ J5M&"∪ ?'K ∪ &?M 5 '
2' /-C
../7
! " # $ % = & & & & ! " # $ ' x * x ∈ ¢' 2 < x < 7 x + 1 $' x * x ∈ ¢' 2 ≤ x < " 1' x − 1
x + 1 * x ∈ ¢' 2 ≤ x ≤ " x 2'
x + 1 * x ∈ ¢' 2 < x < " x − 1 4' E' ?.$.