Conjuntos Prof. João Marcos
7. (ITA) Seja o conjunto S = {r ∈ Q| r ≥ 0 e r² ≤ 2}, sobre o qual são feitas
Nível 1
as seguintes afirmações:
1. Determine o número de conjuntos conjuntos A que satis satisfazem fazem a relação:
1, 2 2. Dados C
os
conjuntos
A
A
1, 2, 3, 4, 5
1,2,3,4,5 ,
2 , 4 , 5 ,7 , obtenha um conjunto
A X
X
B
tal que
X
A
III.
e
A. ( B. ( C. ( D. ( E. (
II. ( ) A B B A III. ( ) A B A
7 5
S.
2 S.
) ) ) ) )
apenas I e II. apenas I e III. apenas II e III. apenas I. apenas II.
8. Dois conjuntos finitos nitos
A e B possuem m e n elemento elemento s respectivamente. Se o total otal de subconjuntos subconjuntos de A supera super a o total otal de subconjuntos de B em 112, calcule m.
IV. ( ) A B B e B {x N|x é div diviso isor de 120}, calcule o número de elementos elementos de: A {3x|x N }
9. Para quaisquer quaisquer dois conjuntos untos A e B, A-(A-B) A-(A- B) equivale a
A. ( ) B C. ( ) A ∩
a) B b) ∩ c) −
B. ( ) A-B D. ( ) ∩
( ∪ ) ( ∩ ) equivale a B. ( )
10. Para conjuntos A e B, a relação
5. Considerando os conjuntos conjuntos A, B e C, representados ao lado, e
sabendo que
Se
São verdadeiras:
B C .
I. ( ) A B B A A B A B
n AB
4
II. { x R | 0 x 2 } S .
1,2,4,6,8 e
3. Classifique ique como V ou F as sentenças a seguir:
4. Se
5
I.
24; n A B 4; n B C 16; n A C 11, n B C 10
calcule:
A. ( ) C. ( ) A 11. Se Y
D. ( ) Nenhuma das anteriores. anteriores.
calcul ule e (Yx A) (Yx (Yx B) 1,2, 3, 4,5 , A 1,2 e B 3,4, 5 , calc
12. Se n A 4, n B 5 e n(A B ) 3, calcule n[ AXB BXA ]. 13. Dados D ados X e Y com comoo os conjuntos de todos os divisores positivos vos de
400 e de 1000 respectivament va mente. e. Calcule n( ∩ ). 14. Dados os conjuntos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7}; C − A = {7, 8, 9}; C − B = {3, 8, 9} e A ∩ B ∩ C = {4}.
O número de elementos elementos do conjunto C é: A. ( ) 6 C. ( ) 3 E. ( ) 5
a) ( − ) b) ( ∩ ∩ ) c) ( − ( ∪ )
15. Marque a alternati alternativa va que possui possui a expressão que representa a região
6. (ITA) (IT A) Considere as seguintes afi a firmações rmações sobre o conjunto: conjunto: U
I. II. III. IV.
sombreada no Diagrama de Venn abaixo:
0,1,2,3,4,5,6 ,2,3,4,5,6,7,8 ,7,8,9 ,9 0,1
Ø ∈ U e n(U) = 10. Ø ⊂ U e n(U) = 10. 5 ∈ U e {5} ⊂ U. {0,1,2,5} ∩ {5} = 5.
São verdadeiras: A. ( B. ( C. ( D. ( E. (
) ) ) ) )
B. ( ) 7 D. ( ) 4
apenas I e III. apenas II e IV. apenas II e III. apenas IV. todas as afirmações. afirmações.
A. ( B. ( C. ( D. ( E. (
1
) ) ) ) )
(A∪B)∩(A∪C) (A∩B) ∪(A∪C) (A ∪B)∪A A ∪(B∪C) (A∪B)∩(B∪C)
16. Seja
I. II. III. IV.
= {1, 2, 1,2}. Considere as afirmações:
22. (ITA) Considere os conjuntos A, B
, ∩ ∩ são os domínios das funções reais definidas por
1 ∈ A 2 ∈ A
ln x
∅∈ A {1,2} ⊂
A. ( B. ( C. ( D. ( E. (
,
x
2
6x 8
5 x
) =]√, 5[ ) = [2, ] ) = [2, 5 [ ) = [, 4] ) não é intervalo.
A com 6 elementos. Calcule o número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos do conjunto B.
19. Relativamente às operações com os conjuntos abaixo, é FALSO
C
A B C A BC CC C C obtemos A. ( ) B ∩ B. ( ) ∩ C. ( ) B ∩ D. ( ) ∩ ∩
25. Simplificando
afirmar que: A U (B ∩C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) se A ∩ B = ∅, então A - B = A se A ∩ B = B ∩ A, então A = B se A - B = B - A, então A = B
, , … , 0 possuem 5 elementos cada um, e que os conjuntos , , … , possuem 3 elementos
26. Suponha que os conjuntos
cada um. Se o conjunto S é tal que 30
Nível 2
20. (ITA) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A
pode-se
24. (ITA) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de
18. Se P e Q são subconjuntos de A e P’ e Q’ seus respectiv os complementares em A, então simplifique (P ∩Q)U(P∩Q’).
C: C
, respectivamente,
e, f, g, h}. Sabendo que ( ∪ ) = {f, g, h}, ∩ = {a,b} e \B = {d,e}, então calcule n(P(A ∩ B)).
é 30, o número de elementos de A ∩ C é 20 e o número de elementos de A ∩ B ∩ C é 15. Calcule o número de elementos de A ∩ (B U C).
n
x π
e
23. (ITA) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a, b, c, d,
17. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A ∩ B
) ) ) ) )
afirmar que
Estão corretas: A. ( ) I e II B. ( ) I e III C. ( ) III e IV D. ( ) III E. ( ) I
A. ( B. ( C. ( D. ( E. (
⊂ R e ⊂ ( ∪ ). Se ∪
S
⊂ Be
n
Ai
Bj
i 1
j 1
e que cada elemento de S pertence a exatamente 10 dos conjuntos e 9 dos conjuntos , então calcule n.
=128.
B\ A
Então, das afirmações abaixo: I. () − () é único; II. () + () ≤ 128; III. a dupla ordenada ((),()) é única;
27. (ITA) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e nãovazios, tais que n(P (A) P(B) ) 1 n(P ( A B)).
Então, a diferença n(A) − n(B) pod e assumir
É (são) verdadeira(s): A. ( ) apenas I. B. ( ) apenas II. C. ( ) apenas III. D. ( ) apenas I e II. E. ( ) nenhuma.
A. ( B. ( C. ( D. ( E. (
21. (ITA) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e
) um único valor. ) apenas dois valores distintos. ) apenas três valores distintos. ) apenas quatro valores distintos. ) mais do que quatro valores distintos.
28. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer com B
C quaisquer:
≠ ∅ , tais que:
I. B ⊂ P(A), em que P(A) é o conjunto das partes de A; II. A e C são disjuntos. Com relação às seguintes proposições:
I. A negação de x A B é x A ou xB. II. A B C A B A C . III. A \ B B \ A A B \ A B .
I. II. III.
São falsas: A. ( ) apenas I. B. ( ) apenas II. C. ( ) apenas III. D. ( ) apenas I e III. E. ( ) nenhuma.
(A B) C (A B C) (C B) (A B) A B C (A B) (C B) (A B) (C B)
Podemos afirmar que A. ( ) Apenas I é verdadeira B. ( ) I e III são verdadeiras C. ( ) III é a única verdadeira D. ( ) I e II são verdadeiras E. ( ) todas são verdadeiras.
2
29. Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C
37. (ITA) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de IR, não-vazios. Com
com 4 elementos. O número de elementos do conjunto C-[(A ∩ B) ∩ C] pode variar entre:
respeito às afirmações: I. X {[Y (XUY)C ] [X (XC YC )C ]} X.
A. ( ) 2 e 4 C. ( ) 0 e 4 E. ( ) 0 e 2
II. Se Z X então Z Y X ZC Y XY . C C III. Se X Y Z então Z X. temos que: A. ( ) apenas (I) é verdadeira. B. ( ) apenas (I) e (II) são verdadeiras. C. ( ) apenas (I) e (III) são verdadeiras. D. ( ) apenas (II) e (III) são verdadeiras. E. ( ) todas são verdadeiras.
30. A fórmula A - B = A
B. ( ) 2 e 3 D. ( ) 0 e 3
∩ B’ pode definir a diferença de dois conjuntos
usando somente as operações de interseção e complemento. Da mesma forma, A U B pode ser representada por: A. ( B. ( C. ( D. (
) ) ) )
[A B'] [B A'] [A B] [A B'] B
38. (ITA) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto
[A B'] [B A '] [A B]
finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A U B) = 8, n(A U C) = 9, n(B U C) = 10, n(A U B U C) = 11 e n(A ∩ B ∩ C) =2. Calcule n(A) + n(B) + n(C).
[A B'] B
31. (IME) Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação ∆, definida por X ∆ Y = (X – Y) U (Y – X). Pode-se afirmar que
A. ( B. ( C. ( D. (
39. (ITA) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as
seguintes afirmações
) (X ∆ Y) ∩ (X ∩ Y) = Ø ) (X ∆ Y) ∩ (X – Y) = Ø ) (X ∆ Y) ∩ (Y – X) = Ø ) (X ∆ Y) U (X – Y) = X
I. II. III.
Sobre essas afirmações podemos garantir que: A. ( ) apenas a afirmação I é verdadeira. B. ( ) apenas a afirmação II é verdadeira. C. ( ) apenas a afirmação III é verdadeira. D. ( ) todas as afirmações são verdadeiras. E. ( ) apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
Nível 3
32. (PUTNAM) Determine o número de triplas ordenadas
de conjuntos tais que:
( − ) ∩ ( ∪ ) = ∅ ( − ) = − [( − ) ∩ ( − ) ] =
(, , )
I. ∪ ∪ = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, e II. ∩ ∩ = ∅, em que ∅ representa o conjunto vazio. Expresse a resposta na forma 2 3 5 7 , em que a,b,c,d são inteiros não-negativos.
40. (ITA) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R.
Considere as afirmações: I. Se (E X G) ⊂ F X H), então E ⊂ F e G ⊂ H. II. Se (E X G) ⊂ (F X H), então (E X G) U (F X H) = F X H. III. Se (E X G) U (F X H) = (F X H), então (E X G) ⊂ (F X H).
33. (ITA) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das
afirmações: I. (A \ ) \ = ∩ ( ∪ ); II. (A \ ) \ C = A ∪ ( ∩ ) ; III. ∪ = ( ∩ ) .
Então: A. ( ) Apenas a afirmação I é verdadeira. B. ( ) Apenas a afirmação I é verdadeira. C. ( ) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. D. ( ) Apenas as afirmações I e I são verdadeiras. E. ( ) Todas as afirmações são verdadeiras.
É (são) sempre verdadeiras(s) apenas: A. ( ) I B. ( ) II C. ( ) III D. ( ) I e III E. ( ) II e III
41. (IME) Considere os conjuntos A, B, C e D, não vazios, contidos no
34. (ITA)Analise a existência de conjuntos A e B,ambos não vazios,tais
mesmo conjunto universo U. Assinale a opção correta.
que ( \ ) ∪ (B\A) = A .
A. ( ) Se A D C e B D C então A B C B. ( ) ( A B C) ( A B C) ( A B C) (A B)
35. (ITA) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos dos naturais tais que (X – Y) ∩ Z = {1, 2, 3, 4} , Y = {5, 6}, Z ∩ Y = ∅, W ∩ (X – Z) = {7, 8} , X ∩ W ∩ Z = {2, 4} . Determine o conjunto dado pela expr essão [X ∩ (Z ∪ W)] – [W ∩ (Y ∪ Z)].
C. ( ) (A B C) (A B C) (A B C) (A B C) D. ( )
36. Dados os conjuntos M, N e P tais que ⊂ , n(M∩N)=60%n(M), n(N∩P)=50%n(N), n(M∩N∩P)=40%n(P) e n(P)=x% n(M), calcule o
E. ( )
(A B C) (A B C) (A B C) (A B) (B C)(A C) Se A C e B C então A B C
valor de x. 42 . (IME) Sejam os conjuntos , , e tais que (
( ∩ ) ⊂ e ( ∩ ) ⊂ ( ∪ ) . Demonstre que ( ∩ ) ⊂ ( ∩ ) .
3
∩ ) ⊂ ,
Gabarito
10.
8 {1,3,5} VVFV a) 16 b) 8 c) 8 a) 8 b) 1 c) 7 C D 7 C A
11.
12.
31.
9 12 E A B 35 P D A E C 2 247 B 45 A C A A A
32.
2
33.
C Não existem {1,3,7,8} 75 B 18 A E E demonst.
1. 2. 3. 4.
5.
6. 7. 8. 9.
13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42.
10
3010
4
