Conjuntos Lic. ENRIQUE CRUZ MITA
Necesidad de :
CLASIFICAR
ORGANIZAR
PRESENTAR
ANALIZAR . . .
Conjunto Identificamos
a un conjunto como una agrupación o colección bien definida de cualquier tipo de entidades u objetos.
Estos
objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
EJEMPLOS DE CONJUNTOS : • Los días de la semana forman un conjunto de siete días. • Los números 2 , 3 , 4 , 5 forman un conjunto de cuatro elementos. • Las partes del automóvil forman un conjunto llamado Toyota 2008.
Clasificación de los conjuntos Número
Infinitos Finitos
Tipo
de elementos 1, 2, 3, 4, . . . a, e, i, o , u
de elementos
Físicos Abstractos
Libro, cuaderno, lapicero. 1. Responsabilidad 2. Puntualidad 3. Respeto
Notación de conjuntos Usualmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas igualadas a unas llaves dentro de las cuales van los elementos o las características que deben tener. A = { 2, 4, 6, 8 } M = { do, re, mi, fa, sol, la, si }
Determinación de conjuntos Extensión
A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {1, 2, 3, 5}
Comprensión Comprensión
A = { x/x es un dígito impar } B = { x/x es un número primo ≤5 }
Algunos de los símbolos usados para denotar un conjunto por comprensión son: / = < > ≤ ≥
tal que igual a menor que mayor que menor o igual que mayor o igual que
Relación de pertenencia Para indicar si un elemento pertenece o no a un conjunto se utiliza el símbolo de pertenencia ( ∈ ). -5 ∈ Z ( se lee: -5 pertenece a Z ) su negación es
∉
5/2 ∉ Z ( se lee: 5/2 no pertenece a Z )
Naturales : N = {1, 2, 3, 4, 5, … }
Enteros: Z ={..., -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3,…}
Racionales: Q ={p/q , p y q enteros y q
Irracionales: I = Q ’
0}
C
R Q Z
I N
Un conjunto B es subconjunto de otro conjunto A, si todos los elementos de B pertenecen a A.
B
A
(se lee: B es subconjunto subconjunto de de A, o B está contenido en A)
Ejemplos:
• C = {3, 7, 9} D = {1, 3, 5, 7, 9} • E = {x/x es un ave} F = {x/x es un pájaro}
entonces C D D C entonces F
E
Cabe
aclarar que la relación entre elementos y conjuntos es de pertenencia, y la relación que se puede dar entre conjuntos es de inclusión.
El conjunto A es igual al conjunto B, si y sólo si, cada elemento de A pertenece a B y viceversa. A=B
↔ ↔
A
B y B
A
Ejemplo: • G = {x N / 3 < x < 10} = {4, 5, 6, 7, 8, 9} H = {x Z / 4 ≤ x ≤ 9} = {4, 5, 6, 7, 8, 9} entonces G = H
Conjunto fijo del cual se toman otros conjuntos. U Ejemplo : 9}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
Conjunto vacío
El que carece de elementos.
Ø
Ejemplo: • M = {x/x es un mes del año con menos de 28 días M=Ø M={}
Conjunto unitario Formado un solo elemento. Ejemplo:
Es la familia de subconjuntos de un conjunto A. P(A) Ejemplo: A = {a, b, c} entonces A tiene 23 = 8 subconjuntos P(A) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, c}, {b, c}, {a, b, c} }
Las operaciones entre conjuntos producen como resultado nuevos conjuntos. Las principales operaciones son :
-
Unión Intersección
-
Diferencia Complemento
La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos pertenecen a A ó a B. A U B = { x/x A
ó
que
x B }
A U B sombreado A
B
A
B
B A
A B
A B B A
La intersección de los conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B. A ∩ B = { x/x A y x B } A ∩ B sombreado A
B
A
B
B
A B
A B
B A
Los conjuntos que no tienen elementos en común ( A ∩ B = Ø ) se llaman conjuntos ajenos o disjuntos. U A
B
La diferencia de los conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, pero no a B. A - B = { x/x A, x B } A - B sombreado A
B
A
B
B
A
A A B
B A
4. Complemento El complemento del conjunto A, es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A. Ac = { x/x U, x A } Ac sombreado A
PROBLEMA 1 PROBLEMA 2 PROBLEMA 3 PROBLEMA 4
Dados los conjuntos: A = { 1 , 3 , 5 , 7 , ... , 15 } B = { 2 , 4 , 6 , ... , 14 } C = { -3 , -2 , -1 , 0 , ... , 12 } a) Expresar B y C por comprensión b) Calcular: n(B) + n(A) c) Hallar: A U B , C – A
Solución a) Expre Expresamos samos B y C por compren comprensión sión A = {x/x ∈ N, x es impar, x<16 } B = {x/x ∈ N, x es par y a) Hal Hallam lamos os :
x <15 }
n (A) = 8 n (B) = 7
Por lo tanto : n (A) + n (B) = 15 c) Hallamos la unión de A y B A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } C – A = { - 3, - 2, - 1, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 }
Si : G = { 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ;11 } Determinar si es verdadero o falso: a) Φ∈ G b) {3} ⊂ G c) {{7};10} G d) {{3};1}⊂ G e) {1;5;11}⊄ G
Observa que los elementos de A son: 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11 Entonces: FALSO FALSO VERDADERO VERDADERO FALSO
Expresar la región sombreada en términos de operaciones entre los conjuntos A,B y C. A
B
C
A
B
A
B
[(A B) – C] A C
B
B A C C
[(A C) – B]
C [(B C)–A]
Según las preferencias de 420 personas que ven los canales A,B o C se observa que 180 ven el canal A ,240 ven el canal B y 150 no ven el canal C, los que ven por lo menos 2 canales son 230 ¿cuántos ven los tres canales?
El universo es: 420 Ven el canal A: 180 Ven el canal B: 240 No ven el canal C: 150 Entonces si ven el canal C: 420 – 150 = 270 B (I)
A e
a d
x c
C
b f
(II) (III)
a + e + d + x =180 b + e + f + x = 240 d + c + f + x = 270
Dato: Ven por lo menos dos canales 230 ,entonces: (IV)
d + e + f + x = 230
Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420
230
entonces : a+b+c =190 Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III) (I) (II) (III)
a + e + d + x =180 b + e + f + x = 240 d + c + f + x = 270
a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690
190
230
190 + 460 + x = 690 ⇒ x = 40 Esto significa que 40 personas ven los tres canales
Axioma de idempotencia Axioma de asociatividad Axioma de conmutatividad Axioma de distributividad
Axioma de identidad Axioma del complemento
Leyes de Morgan
En la unión
AUA=A
En la intersección
A∩A=A
En la unión
(A U B) U C = A U (B U C)
En la intersección
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
En la unión
AUB=BUA
En la intersección
A∩B=B∩A
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
En la unión
AUØ=A
AUU=U
A∩Ø=Ø
A∩U=A
En la intersección
A U Ac = U
A ∩ Ac = Ø
(Ac)c = A
Uc = Ø
Øc = U
(A U B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac U Bc
Muchas gracias
Lic. ENRIQUE CRUZ MITA