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Fundamento teórico D
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Ejemplos Ejercicios
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En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fuerza de fricción o rozamiento. Cuando esto ocurre, la energía mecánica del movimiento oscilante disminuye con el tiempo y el movimiento se denomina deno mina . La representación más sencilla y más común de una es aquella que la considera proporcional a la velocidad de la masa pero en sentido opuesto,
en donde es una constante que describe describe el . Puesto que siempre está dirigida en sentido opuesto a la dirección del movimiento, el trabajo realizado por la fuerza es siempre negativo. Así pues, hace que disminuya la energía mecánica del sistema. La segunda ley de Newton aplicada al movimiento de un objeto de masa m situado en un muelle de constante k cuando la fuerza amortiguadora es -bv se escribe
Cuando la fuerza amortiguadora es pequeña comparada con kx, es decir, cuando b es pequeña, la solución de la ecuación es:
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en donde la es:
Resulta conveniente expresar la frecuencia de la vibración en la forma
en donde
representa la frecuencia de la oscilación en ausencia de una fuerza de resistencia (el
oscilador no amortiguado). En otras palabras, cuando b = 0 la fuerza resistiva es cero y el sistema oscila con su , . 1. AMORTIGUAMIENTO DEBIL.- Cuando la fuerza disipativa es pequeña en comparación con la fuerza de restitución, el carácter oscilatorio del movimiento se conserva pero la amplitud de la vibración disminuye con el tiempo y, finalmente el movimiento cesará. Este sistema se conoce como oscilador . En el movimiento con una constante de resorte y una partícula masiva dadas, las oscilaciones se amortiguan con más rapidez a medida que el valor máximo de la fuerza disipativa tiende al valor máximo de la fuerza de restitución. La solución de la ecuación diferencial del movimiento es la expresada anteriormente.
2. AMORTIGUAMIENTO CRITICO.- Si el amortiguamiento del oscilador aumenta suficientemente, puede llegar a alcanzar un valor crítico , tal que bc = 2mwo; entonces, de acuerdo con la definición de la frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadas, sera w = 0. Evidentemente, en estas condiciones no hay oscilaciones y el oscilador regresará a la posición de equilibrio sin rebasarla o, a lo más, rebasándola una sóla vez. La condición de b = 2mw o se conoce con el nombre de . En este caso, la solución de la ecuación diferencial es de la forma
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donde Ao y A1 son dos constantes de integración, que pueden expresarse en función de las condiciones iniciales, esto es, de la posición x o y de la velocidad v o de la partícula en el instante inicial:
3. SOBREAMORTIGUAMIENTO.- El se presenta cuando b > 2mwo. Entonces de acuerdo con la definición de la frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadas, w será imaginaria. En estas condiciones es evidente que no habrán oscilaciones, y la partícula regresará a la posición de equilibrio sin rebasarla o rebasándola una vez a lo sumo. Para unas condiciones iniciales dadas (xo,vo), cuanto mayor sea el amortiguamiento más tiempo empleará el sistema en quedar en reposo en la posición de equilibrio. Para el oscilador sobreamortiguado, la solución de la ecuación diferencial es de la forma
con
donde A1 y A2 son dos constantes de integración cuyos valores dependerán de las condiciones iniciales (xo,vo).
Con el siguiente applet se pueden estudiar las clases de oscilaciones amortiguadas. Dados tres
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parámetros fijos: amplitud (A) = 1m.; constante de amortiguamiento (b) = 10; constante de fase () = 0; y con la posibilidad de variar: masa (m) : de 5 a 500 Kg.; constante del muelle (k): de 100 a 2000 N/m; bien con la barra de desplazamiento, bien con la caja de texto (en este caso para que aparezca la gráfica se deberá de pulsar el botón 'Gráfica'), se van representando los distintos tipos de onda de acuerdo a las expresiones matemáticas estudiadas anteriormente. En rojo aparecen el tipo de sistema que se está representando y el grado de amortiguamiento ( g = b/2m), que presenta dicho sistema.
Observamos la ecuación obtenida para una oscilación subamortiguada:
Definimos ahora una , , como
que es el tiempo que tarda la energía en disminuir en el factor 1/e. Cuando el amortiguamiento es pequeño, b es pequeño y t es grande, el oscilador perderá una fracción muy pequeña de energía durante una oscilación. En este caso, la pérdida de energía por período viene dada por la ecuación
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donde T es el período. El amortiguamiento de un oscilador subamortiguado se describe normalmente mediante la magnitud adimensional denominada o . Si la energía total es E y la pérdida en un período es ½DE½, se define el factor Q como
Así pues, el factor Q es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía por ciclo:
Utilizando las ecuaciones anteriores podemos relacionar el factor Q con la constante de amortiguamiento y la constante de tiempo:
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2.- Ejemplos En muchas aplicaciones prácticas se usa un o casi crítico para evitar oscilaciones y conseguir que el sistema vuelva al equilibrio rápidamente. Un ejemplo es el empleo de sistemas que absorben choques para amortiguar las oscilaciones de un automóvil sobre sus muelles. Un sistema como éste se encuentra críticamente amortiguado o sobreamortiguado; puede verse esto empujando la parte delantera o trasera de un coche y observando que se producen una o dos oscilaciones antes de que el sistema quede en reposo. También es importante cuando se diseñan ciertos mecanismos oscilantes como un galvanómetro, en el que se desea que el mecanismo regrese suave y rápidamente a su posición de equilibrio. Oscilaciones en un circuito LCR [
3.- Ejercicios Un objeto de oscila con una amplitud inicial de con un muelle de constante . Hallar. 1
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a) El período b) La energía inicial total.
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c) Si la energía disminuye en por período, hallar la constante de amortiguamiento b y el factor Q. S
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2.- Se tiene un resorte de longitud prácticamente nula cuando está descargado y cuya constante elástica es . Se estira lentamente bajo la acción de una masa de , sometida a la acción de 2
la gravedad (g = 9.8 m/s ).Hallar: a) Longitud en reposo del resorte estirado por el peso de dicha masa. b) Si en estas condiciones se hace oscilar la masa verticalmente, calcular la pulsación y frecuencia de las oscilaciones del m.v.a c) Se desplaza la masa por debajo de su posición de reposo y se le imprime una velocidad inicial hacia abajo de . Calcular la energía total del movimiento armónico. e) Calcular la amplitud del movimiento en cm y la velocidad máxima en cm/s. 2
f) Calcular la máxima fuerza restauradora y la aceleración máxima del movimiento en cm/s . g) El sistema es disipativo y se observa que la amplitud de oscilación al cabo de 1 minuto es de 1cm. Calcular la constante de tiempo. h) Calcular el tanto por uno de la energía total que el sistema pierde en cada oscilación. i) Suponiendo que el sistema e considera detenido cuando su amplitud es menor de 1mm ¿Cuántos minutos tardará en detenerse? S
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Estudio de fenómenos físicos
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