Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasan tri Untuk SMA

SMA - 1

Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri 1. Jika sudut α  dan  β  lancip, cos α  =

4 5

dan cos β  cos β  =

24 25

,

berapa nilai cos( α  - β  ) ? Jawab : * diketahui cos α  =

4 5

r

; dimana cos α  =

y

 x r 

x= 4 r=5

⇒

5 3

α 

α 

x

2

+  y

r 2 =  x 2

+  y

r=

 y

2

 x

 y r 

* diketahui cos β  cos β  =

 y

2

= 24 25

4

2

2 2 = r  -  x = 25 – 16 =9

y= sehingga sin α  =

2

9 =

±3

karena sudut lancip berada di kuadran 1 maka nilai yang diambil adalah + 3

3 5 ; dimana cos β  cos β  =

 x r 

= r 2 -  x 2 = 625 – 576 = 49

y=

49 = 7  sudut lancip; sehingga sin  β  =

 y r 

=

7 25

Ditanyakan cos( α  - β  ) ⇒ dari rumus dijabarkan menjadi cos(α  cos( α  - β  ) = cos α  cos  β  + sin α  sin  β 

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 2 masukkan nilai-nilai di atas : =

=

4 5

24

.

25

96

+

125

3

+

5

21 125

7

.

25 117

=

125

2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm dan BC= 4 cm dan AC = 5 cm. Nilai Cos C adalah….. Jawab :

B 3 (c)

4 (a)

A

C

5 (b) gunakan aturan cosinus 2

2

2

c = a + b - 2ab cos C

2 ab cos C = a 2 + b 2 - c 2 cos C =

=

3. Diketahui cos A =

a

2

+b

2

−c

2

2ab 4

2

+5

2

−3

2.4.5 4 5

2

=

38 40

=

19 20

, berada di kuadran kedua, berapa nilai sin 2A ….

Jawab: berada di kuadran kedua berarti x nya negatif  kuadran I  kuadran II  kuadran III  kuadran IV 

x = + ; y= + x=-;y=+ x=-;y=x = + ; y= -

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 3 4

cos A =

5

karena di kuadran kedua maka nilai cos A =

−4

5

5 3

-4 cos A = 2

r  =  x  y

2

2

4

−

=

5 +  y

 x r 

2

= r 2 -  x 2 = 25 – 16 =9 

y =3

sehingga sin A =

 y r 

=

3 5

sin 2A = 2 sin A cos A 3 −4 − 24 = 2. . = 5 5 25 4. Bentuk 

1 − cos 4 x 2

adalah identik dengan …

Jawab: 1 − cos 4 x 2

=

=

=

=

1 2 1 2 1 2 1 2

-

-

-

-

cos 4 x 2 cos( 2 x + 2 x ) 2 cos 2 x cos 2 x − sin 2 x sin 2 x 2 cos 2 2 x − sin 2 2 x 2

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 4 1

=

2 1

=

2

(1 − 2 sin 2 2 x)

-

2 1

-

+ sin 2 2 x

2

= sin 2 2 x

1 − cosθ 

5. Jika

sin θ 

3

=

3

, maka θ  = ……….

 jawab : (

1 − cosθ  sin θ 

3

)2 = (

3

2 1 − 2 cosθ  + cos θ  2

sin θ  2 1 − 2 cosθ  + cos θ  2

1 − cos θ 

)2

=

=

1 3 1 3

1 – 2 cosθ  cos θ  + cos 2 θ  = 2 3 4 3

- 2 cosθ  cos θ  +

4 3

1 – 2 cosθ  cos θ  + cos 2 θ  =

⇒

1 3

-

1 3

1 3

( 1- cos 2 θ  )

cos 2 θ 

cos 2 θ  = 0

cos 2 θ  - 2 cos θ  +

2 3

=0

x3

4 cos 2 θ  - 6 cos θ  + 2 = 0 pakai rumus ABC : Anggap cos θ  = x diketahui a = 4 ; b = -6 dan c = 2  x1, 2 =

−b±

b2

− 4ac

2a

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 5

6 ± 36 − 32

=

8  x1 = 1  x 2 =

6+2

 x1 =

⇒

⇒

1

8

=

1 2

0 cos θ  = 1 ; θ  = 0

⇒

2

8

6−2

= 1 ;  x 2 =

1

cos θ  =

2

; θ  = 60 0

Kita masukkan ke dalam persamaan : θ  = 0 0 1 − cos θ 

=

sin θ 

3

⇒

1−1

3

0

=~

⇒

tidak memenuhi

θ  = 60 0

1 − cos θ  sin θ 

=

3

1

1− ⇒

3

2 = 2 = 1 1 3 3 2 2

Sehingga nilai θ  = 60

6. Bentuk 

1

sin 6 x + sin 4 x cos 6 x + cos 4 x

1 3

=

1 3

x

3 3

=

3 3

⇒

memenuhi

0

senilai dengan ….

Jawab : 1 (6 x + 4 x ) cos (6 x − 4 x) sin 6 x + sin 4 x 2 2 = 1 1 cos 6 x + cos 4 x 2 cos (6 x + 4 x ) cos (6 x − 4 x ) 2 2 2 sin

= tan

1 2

1

10x = tan 5x

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 6 7. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah :

Jawab : untuk pemecahan soal spt ini agak sedikit banyak logika yang dipakai dibarengi dengan teori Urutan pemecahannya: - dari grafik di atas dapat ditentukan bahwa grafik adalah sinusoidal sehingga fungsinya adalah sinus atau cosinus (bukan tangen) - kita tentukan nilai maksimum dan minimum : maksimum adalah 1 dan minimum adalah -1 - kita lihat tabel sudut-sudut istimewa : α 

00

30 0

45 0

Sin

0

1

1

Cos

1

1

Tan

0

1

2 2 3

3 3

1

2

2 1

60 0 2

1

2

1

2

90 0 3

2 3

1 0 ~

kita lihat pada grafik apabila x = 150 menu menunju njukka kkan n nilai nilai y= y= 0 ; 0 0 karena grafik bergeser ke kanan 15 maka maka fungsi fungsi yang yang dipaka dipakaii adalah adalah ( x − 15) (kalau bergeser kekiri fungsi yang dipakai ( x + 15) 0 ) kalau dimasukkan nilai 15 0 maka ( x − 15) 0 = 0 0 nilai yang memenuhi adalah fungsi sinus karena sin 0 0 = 0 0 fungsi grafik yang pertama kita dapat y=sin ( x − 15) tetapi karena nilai minimumnya berada di kuadran pertama maka fungsi grafiknya pertamanya menjadi y= -sin ( x − 15) 0 . (di kuadran pertama standarnya adalah positif) WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 7 Yang perlu diperhatikan lagi pada grafik memperlihatkan memperlihatkan ½ perioda (1 perioda adalah 360 360 0 sehi sehing ngga ga 0 persamaan terakhirnya menjadi y= -sin 2 ( x − 15) Kita coba masukkan nilai perpotongan di sumbu x yaitu 15 0 , 105 0 dan 195 0 x = 15 0 x = 105

→ 0

y= -sin 2 ( x − 15) 0 = -sin 0 0 = 0 y= -sin 2 ( x − 15)

→

0



benar

0

= - sin 180 = - sin( in( 180 0 - α  ) maka - sin 180 0 = -sin 0 0 = 0

→ α  =



00

benar

Nilai minimum y= -1 yaitu di x = 60 0 0 x = 60

→

y= -sin 2 ( x − 15)

0

0 = - sin 90 = - 1



benar

Nilai maximum y= 1 yaitu di x = 150 0 x = 150 0

→

y= -sin 2 ( x − 15) 0 = - sin 2700 = - sin( in( 180 0 + α  )= sin α  = 1



benar

8. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0 0 < x < 360 0 Jawab : sin x + cos x = 0

⇔

(sin x + cos x) 2 = 0 2

2 2 2 2 sin  x + cos  x + 2 sin x cos x = 0 ( sin x + cos  x = 1 ; 2 sin sin x cos x = sin sin2x) ⇔ 1 + sin2x = 0 ⇔ sin2x = -1 Nilai yang memenuhi adalah 2x = 270 0 → x = 135 0 0 0 0 dan 2x = 630 → x = 315 315 (ing (ingat at sin sin (k. (k. 360 + α  ) = sin α  )

⇔

(dan ingat teori mengenai nilai positif dan negative untuk setiap kuadran) Sehingga HP= { 135 0 , 3150 }

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya