Montigny Eric
Exercice type I, sur le produit de convolution
L’énoncé de l’exercice : Calculer f*g avec :
1 si − 1 ≤ x < 3 x / 2 si 0 ≤ x ≤ 2 f ( x ) = et g ( x ) = ailleurs ailleurs 0 0 a) La première étape : On écrit la définition du produit de convolution, à savoir : +∞
( f * g )( x) =
+∞
∫ f (t ). g ( x − t ) = ∫ g (t ). f ( x − t )
−∞
−∞
b) La deuxième étape : On s’intéresse aux différents intervalles : t • g (t ) = si 0 ≤ t ≤ 2 donc t ∈ [0;2] = I 1 2 • f ( x − t ) = 1 si − 1 ≤ x − t ≤ 3 ⇔ −1 − x ≤ −t ≤ 3 − x ⇔ x + 1 ≥ t ≥ −3 + x ⇔ −3 + x ≤ t ≤ x + 1 donc t ∈ [ −3 + x;1 + x] = I 2
Ensuite, pour mieux cerner la chose, mieux vaut user d’un petit croquis : 0
2 I 1
t
-3+x
1+x I 2
c)
t
On applique la définition du produit de convolution : +∞
Définition du produit de convolution : ( f * g )( x) =
+∞
t
∫ f (t ). g ( x − t ) = ∫ g (t ). f ( x − t ) = ∫ 1. 2.dt
−∞
−∞
I 1 ∩ I 2
Hors, résoudre un tel calcul s’avère assez complexe. Usons de stratégie, et découpons en plusieurs cas, et procédons aux intégrations, au cas par cas : Cas 1 : 0
2 I 1
-3+x
t
1+x I 2
t 0
On remarque que les deux intervalles ne se recouvrent pas, donc quand on va multiplier la fonction f par la fonction g, on va trouver zéro.
Montigny Eric
Dans un langage plus mathématique, cela serait : Si 1 + x < 0, alors I 1 ∩ I 2 = ∅, donc ( f * g )( x) = 0 Cas 2 : 0
2 I 1
t
-3+x
1+x I 2
t
Il n’y a pas non plus de recouvrement dans cette situation. Donc : Si − 3 + x > 2, alors I 1 ∩ I 2 = ∅, donc ( f * g )( x) = 0 Maintenant que nous avons vu les deux cas les plus défavorables (et aussi les plus simples…), passons à la suite. Cas 3 : 0
2 I 1
t
I 2
t
-3+x
1+x
Cette fois-ci il y a recouvrement, sur une partie des deux intervalles. Si 0 < 1 + x < 2, alors I 1 ∩ I 2 = [0;1 + x] On peut donc déterminer la valeur du produit de convolution, à partir de sa définition élémentaire : ( f * g )( x) =
+∞
+∞
∫
∫
∫
−∞
−∞
I 1 ∩ I 2
f (t ). g ( x − t ) =
⇒ ( f * g )( x) =
1 4
1+ x
.[t ² ]0
=
1 4
g (t ). f ( x − t ) =
t 1. .dt = 2
1+ x
t
∫ 2
.dt =
0
1 2
1+ x
1 t 2 t .dt = . 2 2
1+ x
∫ 0
= 0
1 4
1+ x
.[t ²]0
{(1 + x)² − 0} = (1 + x)² 4
Cas 4 : 0
2 I 1
t
t I 2 -3+x
1+x
Une fois encore, il y a bien recouvrement, donc nous allons procéder comme au cas précédent. Si − 3 + x < 0 et 1 + x > 2, alors I 1 ∩ I 2 = [0;2] Déterminons la valeur du produit de convolution : ( f * g )( x) =
1 4
.[t ² ]0 = 2
1 4
{2² − 0²} = 4
−0 4
=
4 4
=1
Montigny Eric
Cas 5 : 0
2 I 1
t
t I 2 -3+x
Il y a toujours et encore recouvrement :
1+x
Si − 3 + x > 0, alors I 1 ∩ I 2 = [− 3 + x;2]
Déterminons la valeur du produit de convolution : 1 1 1 1 1 − x ² + 6 x − 5 2 ( f * g )( x) = .[t ²]−3+ x = {2² − (−3 + x)²} = .{4 − ( x − 3)²} = .{4 − { x ² + 9 − 6 x}} = {4 − x ² − 9 + 6 x} = 4 4 4 4 4 4
d) On résume tout ! Maintenant que nous avons déterminé les diverses valeurs du produit de convolution, sur les divers intervalles, il est envisageable de tracer (par morceaux), la courbe représentative : (f*g)(x)
(-x²+6x-5)/4 (x+1)²/4
x -1
1
3
5